BAB III MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DAN FUNGSI STOK UANG

25

BAB III MODEL PERTUMBUHAN EKONOMI DAN FUNGSI STOK UANG

3. 3.1

Asumsi dan Notasi Dalam proses pertukaran dan pembagian kerja, uang memainkan peranan

ppe penting e di dalam ekonomi modern. Fungsi produksi yang digunakan adalah model oon n one-sector growth (OSG) yang memanfaatkan dua faktor produksi, yaitu modal ddan da a tenaga kerja. Misalkan diasumsikan bahwa permintaan uang per kapita adalah suatu fungsi dari pendapatan uang per kapita, kekayaan uang per kapita, dan ssu u tingkat suku bunga. Uang yang dimaksud adalah uang yang dikeluarkan tti in pemerintah yang berbentuk uang giral atau kartal. Pasar uang diasumsikan terjadi ppe e pada ppa a keadaan ekuilibrium, yaitu permintaan uang per kapita ݉݀ selalu sama uang yang beredar per kapita, yang dinotasikan: ݉݀ ൌ ‫ܩ‬ሺ‫ݕ‬ǡ ‫ݓ‬ǡ ‫ݎ‬ሻ ൌ ݉, ddengan de e ‫ܯ‬

ddengan de e ݉ ൌ ܰ , (dengan ‫ ܯ‬adalah stok uang dan ܰ adalah banyaknya tenaga kerja) adalah persediaan stok uang per kapita, G suatu fungsi kontinu, y output per kke e kapita, w kekayaan uang per kapita, r tingkat suku bunga (Zhang 2005). kka a Diasumsikan bahwa seluruh penduduk dalam negara tersebut adalah tenaga kerja. Di Model berikut adalah model pertumbuhan ekonomi berdasarkan stok uang yang dikembangkan oleh Zhang (2005), dengan beberapa modifikasi yang ya dilakukan untuk menyempurnakan model tersebut. Untuk menggambarkan model di tersebut, berikut ini diberikan beberapa definisi umum yang digunakan dalam ter model: m ܹሺ‫ݐ‬ሻ

= kekayaan pada waktu t;

‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ

= total cadangan modal pada waktu t;

ܰሺ‫ݐ‬ሻ

= banyaknya tenaga kerja pada waktu t;

‫ܨ‬ሺ‫ݐ‬ሻ

= tingkat output sektor produksi pada waktu t;

ሺ‫ݐ‬ሻ

= pendapatan bersih pada waktu t;

2266

ܻ݀ ሺ‫ݐ‬ሻ

= pendapatan bersih yang siap dibelanjakan pada waktu t;

ߖሺ‫ݐ‬ሻ ߖ

= banyak uang yang beredar pada waktu t;

‫ܯ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ‫ܯ‬

= total stok uang pada waktu t;

‫ܥ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ‫ܥ‬ሺ

= tingkat konsumsi pada waktu t;

ܲሺ‫ݐ‬ሻ ܲ ሺ

= tingkat harga atau nilai uang pada waktu t;

ߜ݇

= depresiasi kapital, dengan 0 ≤ ߜ݇ < 1.

Perumusan Model dan Fungsi Produksi 3.2 P e Misalkan fungsi produksi F didefinisikan dengan fungsi produksi CobbM Douglas Dou ugla ug las sebagai berikut: ‫ܨ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܣ‬ሺ‫ݐ‬ሻ‫ ߙ ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻܰߚ ሺ‫ݐ‬ሻǢ ߙ ൅ ߚ ൌ ͳǡ ߙ ൐ Ͳǡ ߚ ൐ Ͳ ‫ܨ‬

(3.1)

dengan deng gan an ‫ ܣ‬ൌ ͳ, ‫ ܭ‬menyatakan modal, ܰ adalah banyaknya tenaga kerja, ߙ dan ߚ adalah adal lah h besaran elastisitas terhadap produksi. Output produksi per kapita dide efiini ni didefinisikan sebagai berikut: ‫ܭ‬

݂ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݇ ߙ ሺ‫ݐ‬ሻ dengan ݇ ൌ ܰ .

(3.2)

Padaa sis sistem ini, tingkat suku bunga r dan tingkat upah z ditentukan oleh pasar. Berdasarkan persamaan (2.11), diperoleh hasil sebagai berikut: Berd dasa ‫ݎݎ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ ܭܨ‬ൌ ݂ Ԣ ሺ݇ሻ ൌ ߙ݇ ߙ െͳ ሺ‫ݐ‬ሻǢ ‫ݖݖ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ ܰܨ‬ൌ ݂ሺ݇ሻ െ ݂݇ Ԣ ሺ݇ሻ ൌ ݇ ߙ െ ݇ߙ݇ ߙെͳ ൌ ߚ݇ ߙ ሺ‫ݐ‬ሻ.

(3.3)

Analog dengan model sebelumnya pada persamaan (2.13), pendapatan An bersih berssihh Y adalah sama dengan fungsi produksi F merupakan penjumlahan dari faktor-faktor produksi dalam perekonomian yaitu dari pembayaran bunga fakt toorrr-fa ‫ݎ‬ሺ‫ݐ‬ሻ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ‫ݎ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ሻ‫ ܭ‬ሺ‫ ݐ‬dan pembayaran upah ‫ݖ‬ሺ‫ݐ‬ሻܰሺ‫ݐ‬ሻ, yang dinyatakan dengan: ܻሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ݎ‬ሺ‫ݐ‬ሻ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ  ൅ ‫ݖ‬ሺ‫ݐ‬ሻܰሺ‫ݐ‬ሻ  ൌ ‫ܨ‬ሺ‫ݐ‬ሻ. ܻ







(3.4)

Pendapatan kotor ܻ ‫ כ‬merupakan penjumlahan dari pendapatan bersih dan P Pe e modal modda dal yakni ܻ ‫ כ‬ሺ‫ݐ‬ሻ  ൌ ܻሺ‫ݐ‬ሻ  ൅ ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ. Kemudian diberikan batasan anggaran belaannjja yaitu: belanja

27



‫ܥ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ߜ݇ ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ܹሶ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܻ ‫ כ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܻሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ





(3.5)

dengan ߜ݇ adalah rasio depresiasi kapital, 0൑  ߜ݇ ൏ ͳ. Persamaan (3.5) de m menjelaskan bahwa pendapatan kotor biasanya digunakan untuk konsumsi, membayar depresiasi kapital dan tabungan atau menambah kekayaan. m Kekayaan ܹሺ‫ݐ‬ሻ diperoleh dari modal ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ dan peredaran uangߖሺ‫ݐ‬ሻ, yaitu: ܹሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ߖሺ‫ݐ‬ሻ ߖሺ‫ݐ‬ሻ ‫ؠ‬ ddengan e

‫ܯ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ܲሺ‫ݐ‬ሻ

(3.6)

, ‫ܯ‬ሺ‫ݐ‬ሻ adalah total stok uang dan ܲሺ‫ݐ‬ሻ tingkat harga atau

nni nilai i uang. Pendapatan bersih yang siap dibelanjakan ܻ݀ ሺ‫ݐ‬ሻ didefinisikan sebagai bbe berikut: e ܻ݀ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܨ‬൫‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻǡ ܰሺ‫ݐ‬ሻ൯ െ ߜ݇ ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ߖሶሺ‫ݐ‬ሻ.

(3.7)

M Menurut David Ricardo, kuat atau lemahnya nilai uang sangat bergantung pada jju um jumlah uang yang beredar. Apabila jumlah uang yang beredar berubah menjadi ddu u kali lipat, maka nilai uang akan menurun menjadi setengah dari semula, dan dua ju juga sebaliknya. Berdasarkan teori tersebut, peredaran uang sangat berpengaruh ter terhadap kekayaan dan pendapatan bersih yang siap dibelanjakan. Pendapatan bersih yang siap dibelanjakan digunakan untuk konsumsi dan m menambah kekayaan (semakin banyak simpanan atau tabungan, maka kekayaan ju juga akan bertambah karena mendapat bunga). Pada setiap titik waktu, seseorang m mendistribusikan seluruh anggaran untuk konsumsi ‫ܥ‬ሺ‫ݐ‬ሻ dan menambah ܹሶ ሺ‫ݐ‬ሻ. Kendala pembiayaan adalah: kkekayaan ke e ܻ݀ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܥ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅  ܹሶ ሺ‫ݐ‬ሻ.

(3.8)

Utilitas ܷሺ‫ݐ‬ሻ untuk seseorang, bergantung pada tingkat konsumsi ‫ܥ‬ሺ‫ݐ‬ሻ dan laju Ut U t pertumbuhan kekayaan ܹሶ ሺ‫ݐ‬ሻ, yaitu memenuhi: ppe e ܷሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ ߦ ܥ‬ሺ‫ݐ‬ሻܹሶ ߣ ሺ‫ݐ‬ሻǢ ߦǡ ߣ ൐ ͲǢ ߦ ൅ ߣ ൌ ͳ

(3.9)

2288

deng gan ߦ adalah kecenderungan untuk mengonsumsi barang-barang dan ߣ adalah dengan kece ende kecenderungan untuk menambah kekayaan. Solusi dari optimasi fungsi utilitas padaa pe persamaan (3.9) dengan kendala pembiayaan pada persamaan (3.8) adalah tung ggal, yaitu: tunggal, ‫ܥ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ߦܻ݀ ሺ‫ݐ‬ሻǡܹሶ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ߣܻ݀ ሺ‫ݐ‬ሻ.

(3.10)

(bukti: Lampiran 4) (buk kti ti: lihat l Menurut Men nurruu definisi, akumulasi modal ‫ܭ‬ሶ dinyatakan dengan: nu ‫ܭ‬ሶ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܹሶ ሺ‫ݐ‬ሻ െ ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ.

(3.11)

(3.4), (3.5), dan (3.11), maka fungsi produksi dinyatakan: Darii persamaan per ‫ܨ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܥ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ߜ݇ ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൅  ‫ܭ‬ሶ ሺ‫ݐ‬ሻ

(3.12)

(bukti: Lampiran 5). (buk ktii: lihat l Terl lihhaatt bahwa nilai output produksi digunakan untuk konsumsi ‫ܥ‬ሺ‫ݐ‬ሻ, membayar Terlihat depr reessia i kapital ߜ݇ ‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ, dan menambah modal ‫ܭ‬ሶ ሺ‫ݐ‬ሻ. depresiasi Dari persamaan (3.4), (3.7), (3.10) dan (3.12) didapatkan laju pertumbuhan Da modal dianggap merupakan persamaan dari model pertumbuhan ekonomi moddal yang y berdasarkan fungsi stok uang sebagai berikut: berd dasar ‫ܭ‬ሶ ൌ ߣሺܻ െ  ߜ݇ ‫ܭ‬ሻ െ ߦߖሶ .

(3.13)

(bukti: Lampiran 6). (buk kti: lihat l Model dari (3.13) menunjukkan bahwa akumulasi modal bergantung pada M pendapatan, modal awal dan laju peredaran uang. Modal awal biasanya cenderung pend dap apa sama maa aatau t tetap dan depresiasi kapital cenderung turun. Jadi semakin banyak pendapatan dan laju peredaran uang semakin kecil, maka akumulasi modal pend dap apa semakin sema aki kin banyak atau sebaliknya. Stok uang bergantung pada laju peredaran uang, semakin banyak uang yang beredar maka stok uang juga akan bertambah sertaa sse e em bany banyak yaakk dengan asumsi tingkat harga tetap.

29

Dari model (3.13), laju pertumbuhan modal selanjutnya dibuat dalam per ka kapita, karena fungsi ‫ ܨ‬masih mengandung variabel ܰ (banyaknya tenaga kerja). Pa Padahal angkatan tenaga kerja setiap waktu berbeda. Persamaan (3.3) di disubstitusikan ke persamaan (3.4), maka pendapatan bersih per kapita y adalah se sebagai berikut: ܻሺ‫ݐ‬ሻ

‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܰሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ݎ‬ሺ‫ݐ‬ሻ

‫ܭ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ܰሺ‫ݐ‬ሻ

൅ ‫ݖ‬ሺ‫ݐ‬ሻ

ܰሺ‫ݐ‬ሻ ܰሺ‫ݐ‬ሻ

‫ܨ‬ሺ‫ݐ‬ሻ

ൌ ܰሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ,

‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ݎ‬ሺ‫ݐ‬ሻ݇ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ‫ݖ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ, ‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ሺߙ݇ ߙെͳ ሻ݇ ൅ ߚ݇ ߙ ൌ ݇ ߙ ൌ ݂ሺ‫ݐ‬ሻǤ







(3.14)

Dari persamaan (3.13) dan (3.14), maka laju pertumbuhan modal dari model Da D (3.13) dalam per kapita sebagai berikut: ((3 3 ߖሶ ݇ሶ ൌ ߣሺ݇ ߙ െ ߜ݇ ݇ሻ െ ߦ‫ݔ‬ሶ dengan ‫ݔ‬ሶ ൌ . ܰ

(3.15)

P e Persamaan (3.15) dapat dibuat menjadi sistem persamaan diferensial taklinear yya a yaitu: ‫ݔ‬ሶ ൌ

െߣߜ ݇ ݇൅‫ݔ‬

(3.16)

ߦ

݇ሶ ൌ ߣ݇ ߙ െ ‫ݔ‬.

(3.17)

Penyelesaian analitik sistem persamaan diferensial taklinear dari persamaan (3.16) Pe dan (3.17) tidaklah mudah, sehingga untuk menyelesaikannya digunakan da pendekatan secara numerik yaitu menggunakan alat bantu perangkat lunak ppe e Mathematica. M 3.3 33. .3

Kondisi Ekuilibrium Selanjutnya akan ditentukan variabel-variabel pada saat ekuilibrium, yaitu

saat ppada pa a

݀݇ ݀‫ݐ‬

ൌ Ͳ dan

݀‫ݔ‬ ݀‫ݐ‬

ൌ Ͳ. Kondisi ekuilibrium dari sistem persamaan

ddi diferensial i taklinear persamaan (3.16) dan (3.17) adalah sebagai berikut: ݀݇ ݀‫ݐ‬

ൌ Ͳ ՜ ߣ݇ ߙ െ ‫ ݔ‬ൌ Ͳ

3300

‫ ݔ‬ൌ ߣ݇ ߙ ݀‫ݔ‬ ݀‫ݐ‬

ൌ Ͳ ՜ 

‫ݔ‬െߣߜ ݇ ݇ ߦ

(3.18)

ൌͲ

‫ ݔ‬െ ߣߜ݇ ݇ ൌ Ͳ Persamaan Perssama (3.18) disubstitusikan ke ‫ ݔ‬െ ߣߜ݇ ݇ ൌ Ͳ, ߣ݇ ߙ െ ߣߜ݇ ݇ ൌ Ͳ ߣ݇ ߙ ൌ ߣߜ݇ ݇ ݇ ߙെͳ ൌ ߜ݇ ݇ൌ

ߙ െͳ

ඥߜ݇ .

(3.19)

Darii persamaan (3.18) dan (3.19), dapat ditentukan nilai-nilai variabel pada saat per e ekuilibrium. Apabila nilai ߣ,ߙ, dan ߜ݇ diketahui, maka nilai݇ dan ‫ ݔ‬akan ekuiiliibbrri dipe diperoleh. ero ole le Pembahasan selanjutnya dalam Bab IV adalah simulasi model. Dengan P e simu ulaasi akan diketahui model mana yang sesuai dengan fenomena pada simulasi pertu umb um pertumbuhan ekonomi berdasarkan fungsi stok uang.