1
MODEL DINAMIKA PERTUMBUHAN EKONOMI PEDESAAN DAN PERKOTAAN
SUGIYANTORO
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
2
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Model Dinamika Pertumbuhan Ekonomi Pedesaan dan Perkotaan adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Juni 2011
Sugiyantoro NRP G551090171
3
ABSTRACT SUGIYANTORO. Dynamics Model for Rural and Urban Economic Growth. Under supervision of ENDAR H. NUGRAHANI and RETNO BUDIARTI. Lewis theory of structural change has focused on mechanisms that allow countries to transform their domestic economic structure to a more modern economy. The proposed model deals with the mechanism of interaction between rural and urban Economic. This model is concerned with the process of labor transfer from rural to urban areas. This study aims to model the dynamics of economic growth in rural and urban areas, including determining the equilibrium solution and to carry out simulation of the model. The simulation results show that the transfer of labor from rural to urban areas will increase the rate of change of capital so that structural changes can be realized. In addition, increased propensity to save in rural areas will also accelerate structural change. Key words: economic growth model, rural and urban interaction, labor migration, propensity to save, structural change, equilibrium
4
RINGKASAN SUGIYANTORO. Model Dinamika Pertumbuhan Ekonomi Pedesaan dan Perkotaan. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan RETNO BUDIARTI. Dewasa ini, hampir semua negara di dunia tengah bekerja keras untuk melaksanakan pembangunan. Salah satu komponen utama keberhasilan pembangunan ditandai dengan adanya pertumbuhan ekonomi di negara tersebut. Pertumbuhan ekonomi adalah proses dimana terjadi kenaikan produk nasional bruto riil atau pendapatan nasional riil. Jadi perekonomian dikatakan tumbuh atau berkembang bila terjadi pertumbuhan output riil. Tiga komponen pertumbuhan ekonomi yang mempunyai arti penting bagi setiap negara adalah akumulasi modal, tenaga kerja, dan kemajuan teknologi. Sebagian besar negara di dunia ini termasuk Indonesia dalam kategori negara berkembang dengan perekonomian yang terbelakang. Model pertumbuhan ekonomi yang akan dibahas menggunakan pendekatan pola perubahan struktural yang dirumuskan oleh W. Arthur Lewis yang dikenal dengan Teori Pembangunan Lewis. Teori perubahan struktural memusatkan perhatiannya pada mekanisme yang memungkinkan negara-negara yang masih berkembang untuk mentransformasikan struktur perekonomian dalam negeri mereka dari pola perekonomian pertanian tradisional ke perekonomian yang lebih modern, lebih berorientasi ke kehidupan perkotaan, serta memiliki sektor industri manufaktur yang lebih bervariasi dan sektor jasa yang tangguh dengan cara tenaga kerja di pedesaan yang mengalami surplus pindah ke perkotaan. Model pertumbuhan ekonomi telah banyak dimodelkan oleh Zhang (2005). Di antara model pertumbuhan ekonomi yang diajukan oleh Zhang telah dikaji oleh Tajau (2008), Herliani (2009). Tajau menekankan pada modal dan knowledge, sedangkan Herliani pada perpindahan/pertukaran modal antarkelompok. Perhatian utama dari model ini diarahkan pada terjadinya proses perpindahan tenaga kerja dari pedesaan ke perkotaan, serta pertumbuhan output dan peningkatan penyerapan tenaga kerja di sektor modern. Penelitian ini bertujuan untuk membuat model dinamika pertumbuhan ekonomi pedesaan dan perkotaan, termasuk didalamnya menentukan solusi ekuilibrium, dan membuat simulasi dari model tersebut. Pada model ini diasumsikan sistem ekonomi terdiri atas dua daerah, yaitu daerah pedesaan dan daerah perkotaan. Diasumsikan bahwa di pedesaan terjadi surplus tenaga kerja, tingkat suku bunga besarnya sama pada kedua daerah, semua pekerjaan di daerah pedesaan menghasilkan output yang sama sehingga tingkat upah riil di daerah pedesaan ditentukan oleh produktivitas tenaga kerja rata-rata, dan pertumbuhan tenaga kerja masing-masing daerah mengikuti fungsi logistik. Dari kajian terhadap model dinamika pertumbuhan ekonomi pedesaan dan perkotaan dapat disimpulkan bahwa model dinamika pertumbuhan ekonomi pedesaan dan perkotaan yang berhasil dirumuskan adalah suatu model sistem persamaan diferensial tak linear dua dimensi. Perpindahan tenaga kerja dari pedesaan ke perkotaan dapat meningkatkan laju pertumbuhan modal sehingga perubahan struktural dapat terwujud. Selain itu peningkatan kecenderungan untuk menabung dari daerah pedesaan juga akan mempercepat perubahan
5
struktural. Perubahan struktural belum terjadi pada saat kecenderungan menabung daerah pedesaan 30%, dan saat kecenderungan menabungnya meningkat menjadi 48% perubahan struktural hampir terjadi. Kemudian saat kecenderungan menabungnya meningkat lagi menjadi 68% perubahan struktural sudah terjadi. Jika semakin kecil kecenderungan konsumsi daerah pedesaan atau dengan kata lain semakin besar kecenderungan menabungnya, maka perubahan struktural akan terwujud dengan cepat dan begitu pula sebaliknya. Dampak dari perubahan struktural dapat meningkatkan output produksi, pendapatan bersih, banyaknya konsumsi dan tabungan, serta dapat menurunkan jumlah tenaga kerja yang pindah. Semua nilai dari variabel-variabel endogen tersebut selalu lebih besar pada saat perubahan struktural telah terjadi bila dibandingkan dengan pada saat perubahan struktural itu belum terjadi, kecuali variabel perpindahan tenaga kerja. Dengan demikian cara untuk mengoptimalkan variabel-variabel tersebut sebaiknya dengan cara mendorong terjadinya perubahan struktural terlebih dahulu. Kondisi ekuilibrium didapat sebagai persamaan implisit dari fungsi modal perkotaan dan pedesaan. Berdasarkan simulasi, gambar arah medan menuju pada dua titik tetap akan tetapi hanya ada satu titik tetap yang stabil, sehingga solusi pada saat ekuilibrium tunggal. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa pada saat ekuilibrium, baik terjadi ataupun tidak terjadi perubahan struktural, masingmasing kasus mempunyai satu titik tetap yang stabil. Kata kunci: model pertumbuhan ekonomi, hubungan desa dan kota, perpindahan tenaga kerja, kecenderungan untuk menabung, perubahan struktural, ekuilibrium
6
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2011 Hak Cipta dilindungi Undang-undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
8
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S.
9
Judul Tesis : Model Dinamika Pertumbuhan Ekonomi Pedesaan dan Perkotaan Nama : Sugiyantoro NRP : G551090171
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Ketua
Ir. Retno Budiarti, M.S. Anggota
Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr
Tanggal Ujian: 9 Juni 2011
Tanggal Lulus:
10
Karya ini aku persembahkan buat: Istriku Siti Juwairiah Saefoeddin Anak-anakku: Muhammad Hafidz Massugi, Abdul Harits Massugi, Zahra Putri Massugi, Ahmad Azam Massugi
11
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2010 ini adalah model pertumbuhan ekonomi yang memperhatikan surplus tenaga kerja, dengan judul Model Dinamika Pertumbuhan Ekonomi Pedesaan dan Perkotaan. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. dan Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S. yang telah membimbing penulis dengan penuh kesabaran dalam penulisan tesis ini. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Kementerian Agama Republik Indonesia yang telah membiayai penelitian ini. Kepada ibunda, istri, anak-anakku, dan seluruh keluarga atas segala doa, motivasi, serta kasih sayangnya. Ucapan terima kasih penulis sampaikan juga kepada semua pihak yang telah turut membantu dalam penulisan tesis ini. Penulis berdoa semoga Allah SWT membalas kebaikan mereka di dunia dan akhirat. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juni 2011
Sugiyantoro
7
MODEL DINAMIKA PERTUMBUHAN EKONOMI PEDESAAN DAN PERKOTAAN
SUGIYANTORO
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
12
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Cilacap pada tanggal 27 Juni 1979 dari pasangan bapak Sastro Suwito dan ibu Seminah. Penulis merupakan putra ke lima dari enam bersaudara. Tahun 1997 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Warmare Manokwari Papua Barat. Pada tahun yang sama pula penulis diterima masuk Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Cenderawasih Jayapura Papua melalui jalur UMPTN. Penulis memilih program studi Pendidikan Matematika pada Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Setelah mengikuti perkuliahan selama sembilan semester, pada bulan Maret 2002 penulis dinyatakan lulus. Sejak tahun 2000 sampai 2007 penulis bekerja sebagai guru di MTs dan MA Pesantren DDI Entrop Jayapura. Kemudian tahun 2007 sampai 2009 mutasi ke MTs Muhammadiyah Jayapura. Pada tahun 2009 penulis mengikuti seleksi beasiswa S2 dari Kementerian Agama RI, dan alhamdulillah penulis berkesempatan mendapatkan beasiswa tersebut. Awal Agustus 2009 penulis mulai mengikuti matrikulasi selama tiga bulan, kemudian dilanjutkan dengan perkuliahan S2 pada Program Studi Matematika Terapan di IPB dan berhasil menyelesaikan studi pada bulan Juni tahun 2011.
13
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR TABEL ............................................................................................ xxiii DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xxv DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................... xxvii 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ..................................................................................... 1.2 Tujuan Penelitian ................................................................................. 1.3 Manfaat Penelitian ...............................................................................
1 2 2
2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pengertian Pertumbuhan Ekonomi ....................................................... 2.2 Komponen Pertumbuhan Ekonomi ...................................................... 2.2.1 Akumulasi Modal ...................................................................... 2.2.2 Populasi dan Pertumbuhan Angkatan Kerja ............................. 2.2.3 Kemajuan Teknologi ................................................................. 2.3 Model Pertumbuhan Ekonomi ............................................................. 2.4 Perubahan Struktur Ekonomi ............................................................... 2.5 Fungsi Produksi .................................................................................... 2.6 Ekuilibrium .......................................................................................... 2.7 Fungsi Logistik ....................................................................................
3 3 3 4 5 6 8 8 15 17
3 MODEL DINAMIKA PEDESAAN DAN PERKOTAAN 3.1 Perumusan Model ............................................................................... 3.2 Ekuilibrium Sistem Dinamik ..............................................................
19 22
4 SIMULASI MODEL 4.1 Menentukan Variabel-variabel Endogen di Setiap Titik Waktu ......... 4.1.1 Pertumbuhan Modal .................................................................. 4.1.2 Perpindahan Tenaga Kerja ........................................................ 4.1.3 Pendapatan Bersih ..................................................................... 4.1.4 Output Produksi ....................................................................... 4.1.5 Besarnya Konsumsi dan Tabungan ........................................... 4.2 Menentukan Variabel-variabel Endogen di Saat Ekuilibrium ............ 4.2.1 Modal ...................................................................................... 4.2.2 Pendapatan Bersih ................................................................... 4.2.3 Konsumsi dan Tabungan .........................................................
25 25 30 32 35 39 47 48 53 54
14
5 SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan ............................................................................................. 5.2 Saran ....................................................................................................
55 56
DAFTAR PUSTAKA .....................................................................................
57
LAMPIRAN ....................................................................................................
59
15
DAFTAR TABEL
Halaman 1. Besaran parameter modal masing-masing daerah saat kecenderungan menabung daerah pedesaan rendah ...........................................................
26
2. Titik tetap stabil modal dalam tiga kondisi ...............................................
52
3. Pendapatan bersih masing-masing daerah saat ekuilibrium dalam tiga kondisi ................................................................................................
53
4. Konsumsi masing-masing daerah saat ekuilibrium dalam tiga kondisi ....
54
16
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1. Modal masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan rendah ........................................................................................
27
2. Modal masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan sedang .........................................................................................
28
3. Modal masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan tinggi ..........................................................................................
29
4. Modal total kedua daerah ..........................................................................
30
5. Perpindahan tenaga kerja dari pedesaan ke perkotaan ..............................
31
6. Pendapatan bersih masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan rendah ........................................................................................
32
7. Pendapatan bersih masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan sedang ........................................................................................
33
8. Pendapatan bersih masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan tinggi ..........................................................................................
34
9. Pendapatan bersih total dari daerah pedesaan dan daerah perkotaan dalam tiga kasus ........................................................................................
35
10. Output produksi masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan rendah ........................................................................................
36
11. Output produksi masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan sedang .........................................................................................
37
12. Output produksi masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan tinggi ..........................................................................................
38
13. Output produksi total dari daerah pedesaan dan daerah perkotaan dalam tiga kasus ........................................................................................
39
14. Besarnya konsumsi masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan rendah ........................................................................................ 40 15. Besarnya konsumsi masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan sedang ......................................................................................... 41
17
16. Besarnya konsumsi masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan tinggi ......................................................................................... 42 17. Besarnya konsumsi total dari daerah pedesaan dan daerah perkotaan dalam tiga kasus ........................................................................................
43
18. Besarnya tabungan masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan rendah ........................................................................................ 44 19. Besarnya tabungan masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan sedang ......................................................................................... 45 20. Besarnya tabungan masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan tinggi ......................................................................................... 46 21. Besarnya tabungan total dari daerah pedesaan dan daerah perkotaan dalam tiga kasus ........................................................................................
47
22. Medan arah tenaga kerja saat ekuilibrium ................................................
48
23. Medan arah modal saat kecenderungan menabung pedesaan rendah .......
49
24. Medan arah modal saat kecenderungan menabung pedesaan sedang ........
50
25. Medan arah modal saat kecenderungan menabung pedesaan tinggi ........
51
26. Titik tetap stabil modal dalam tiga kondisi ..............................................
52
18
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1. Pembuktian Persamaan (3.2 dan 3.3) ...................................................
61
2. Pembuktian Persamaan (3.9) ................................................................
63
3. Pembuktian Persamaan (3.10) ..............................................................
64
4. Pembuktian Persamaan (3.11) ..............................................................
65
5. Pembuktian Persamaan (3.12) ..............................................................
66
6. Pembuktian Persamaan (3.14) ..............................................................
68
7. Pembuktian Persamaan (3.15) ..............................................................
69
19
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Dewasa ini, hampir semua negara di dunia tengah bekerja keras untuk melaksanakan pembangunan. Salah satu komponen
utama keberhasilan
pembangunan ditandai dengan adanya pertumbuhan ekonomi di negara tersebut. Pertumbuhan ekonomi adalah proses dimana terjadi kenaikan produk nasional bruto riil atau pendapatan nasional riil. Jadi perekonomian dikatakan tumbuh atau berkembang bila terjadi pertumbuhan output riil. Tiga komponen pertumbuhan ekonomi yang mempunyai arti penting bagi setiap negara adalah akumulasi modal, tenaga kerja, dan kemajuan teknologi. Sebagian besar negara di dunia ini dalam kategori negara berkembang dengan perekonomian yang terbelakang. Menurut model pembangunan yang diajukan oleh Lewis, perekonomian yang terbelakang terdiri dari dua sektor, yakni: (1) sektor tradisional, yaitu sektor pedesaan yang kelebihan penduduk – ini merupakan situasi yang memungkinkan Lewis untuk mendefinisikan kondisi surplus tenaga kerja (surplus labor) sebagai suatu fakta bahwa jika sebagian tenaga kerja tersebut ditarik dari sektor pertanian, maka sektor itu tidak akan kehilangan output produksinya – dan (2) sektor industri perkotaan modern yang tingkat produktivitasnya tinggi dan menjadi tempat penampungan tenaga kerja yang ditransfer sedikit demi sedikit dari sektor pedesaan. Model Pertumbuhan Ekonomi telah banyak dimodelkan oleh Zhang (2005). Model yang diajukan oleh Zhang telah dikaji oleh Tajau (2008) dalam tesisnya tentang model pertumbuhan ekonomi dua daerah berdasarkan modal dan knowledge. Kemudian oleh Herliani (2009) tentang model
distribusi
pertumbuhan ekonomi antarkelompok pada dua daerah. Tajau menekankan pada modal dan knowledge sedangkan Herliani pada perpindahan/pertukaran modal antarkelompok. Perhatian utama dari model ini diarahkan pada terjadinya proses pengalihan tenaga kerja, serta pertumbuhan output produksi dan peningkatan
20
penyerapan tenaga kerja di sektor modern. Pengalihan tenaga kerja dan pertumbuhan kesempatan kerja dimungkinkan oleh adanya perluasan output pada sektor modern tersebut. Adapun laju atau kecepatan perluasan tersebut ditentukan oleh tingkat investasi di bidang industri dan akumulasi modal secara keseluruhan di sektor modern. Peningkatan investasi itu sendiri dimungkinkan oleh adanya kelebihan keuntungan sektor modern dari selisih upah, dengan asumsi bahwa “para kapitalis” yang berkecimpung dalam sektor modern tersebut bersedia menanamkan kembali modalnya dari sebagian besar keuntungan.
1.2 Tujuan Penelitian Dalam penelitian ini ada tiga tujuan yang akan dicapai, ketiganya adalah sebagai berikut: 1. Membuat model dinamika pertumbuhan ekonomi pedesaan dan perkotaan. 2. Menentukan solusi ekuilibrium dari model tersebut. 3. Membuat simulasi terhadap model dan solusi ekuilibrium.
1.3 Manfaat Penelitian Penelitian mempunyai beberapa manfaat, adapun manfaat dalam penelitian ini di antaranya sebagai berikut: 1.
Mengetahui dinamika pertumbuhan ekonomi pedesaan dan perkotaan.
2.
Dapat memprediksi pertumbuhan ekonomi pedesaan dan perkotaan di masa yang akan datang.
3.
Sebagai salah satu bahan pertimbangan dalam mengambil kebijakan ekonomi di pedesaan dan perkotaan.
21
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Pertumbuhan Ekonomi Menurut Sukirno (1994) Pertumbuhan ekonomi (Economic Growth) adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksikan dalam masyarakat bertambah dan kemakmuran masyarakat meningkat.
2.2 Komponen Pertumbuhan Ekonomi Menurut Todaro dan Smith (2006), tiga komponen pertumbuhan ekonomi yang mempunyai arti penting bagi setiap negara adalah akumulasi modal, tenaga kerja, dan kemajuan teknologi.
2.2.1 Akumulasi Modal Akumulasi modal termasuk semua investasi baru seperti tanah, peralatan fisik, dan sumber daya manusia melalui perbaikan di bidang kesehatan, pendidikan, dan keterampilan kerja. Akumulasi modal akan diperoleh bila sebagian dari pendapatan yang diterima saat ini ditabung dan diinvestasikan lagi dengan tujuan meningkatkan output dan pendapatan di masa depan. Pabrik-pabrik, mesin, peralatan, dan bahan-bahan baku baru akan meningkatkan stok modal fisik suatu negara (yaitu total nilai riil neto dari semua barang modal produktif secara fisik) dan memungkinkan untuk meningkatkan tingkat output yang ingin dicapai. Investasi produktif secara langsung tersebut ditopang oleh investasi infrastruktur seperti jalan, listrik, air dan sanitasi, komunikasi, dan sebagainya. Sebagai contoh, investasi yang dilakukan oleh seorang petani dalam traktor baru dapat meningkatkan output total dari sayur-sayuran yang diproduksi, tetapi tanpa fasilitas transportasi yang memadai untuk mengangkut produk ekstra ini ke pasar lokal, maka investasinya tidak dapat menambah produksi pangan nasional. Ada beberapa cara yang tidak langsung untuk melakukan investasi dalam sumber daya suatu negara. Pembuatan fasilitas irigasi dapat memperbaiki kualitas
22
lahan pertanian sehingga produktivitasnya meningkat. Bila 100 hektar tanah yang mendapat saluran irigasi dapat memproduksi output yang setara dengan 200 hektar tanah yang tidak mendapat saluran irigasi, maka pembuatan irigasi semacam itu sama saja dengan melipatgandakan kuantitas tanah yang belum mendapat irigasi. Penggunaan pupuk buatan dan pembasmian hama dengan pestisida sehingga dapat menaikkan produktivitas lahan pertanian yang sudah ada. Semua bentuk investasi tersebut merupakan cara untuk memperbaiki kualitas sumber daya alam yang ada saat ini. Akan tetapi pengaruhnya sama saja dengan membuka lahan baru. Demikian juga investasi dalam sumber daya manusia yang dapat memperbaiki kualitas pekerja sehingga mempunyai pengaruh yang sama atau bahkan lebih kuat terhadap produksi seiring dengan meningkatnya jumlah manusia. Selain itu, perbaikan di bidang kesehatan secara signifikan juga dapat meningkatkan produktivitas. Dengan demikian konsep investasi di bidang sumber daya manusia dan penciptaan modal manusia analog dengan perbaikan kualitas. Semua fenomena tersebut dan banyak yang lainnya merupakan bentukbentuk investasi yang bertujuan untuk mengakumulasi modal. Akumulasi modal juga dapat menambah sumber daya baru misalnya membuka lahan tidur.
2.2.2
Populasi dan Pertumbuhan Angkatan Kerja Pertumbuhan jumlah penduduk, dan yang pada akhirnya dihubungkan
dengan kenaikan angkatan kerja secara tradisional dianggap sebagai faktor positif dalam merangsang pertumbuhan ekonomi. Jika angkatan kerja tersedia dalam jumlah yang lebih besar berarti tersedia juga lebih banyak pekerja yang produktif. Akan tetapi masih diragukan apakah pertumbuhan penawaran tenaga kerja yang cepat di negara-negara berkembang sehingga menimbulkan surplus tenaga kerja memberikan dampak positif atau negatif terhadap pertumbuhan ekonomi. Hal itu akan tergantung pada kemampuan sistem perekonomian untuk menyerap dan mempekerjakan secara produktif tambahan tenaga kerja tersebut. Kemampuan ini sangat berhubungan dengan tingkat dan jenis akumulasi modal serta ketersediaan faktor-faktor terkait seperti keterampilan manajerial dan administratif.
23
2.2.3
Kemajuan Teknologi Dalam bentuk yang paling sederhana, kemajuan teknologi dihasilkan dari
pengembangan cara-cara lama atau penemuan metode baru dalam menyelesaikan tugas-tugas tradisional seperti bercocok tanam, membuat baju, atau membangun rumah. Ada tiga klasifikasi dasar dari kemajuan teknologi yaitu: kemajuan teknologi yang bersifat netral, kemajuan teknologi yang hemat tenaga kerja, dan kemajuan teknologi yang hemat modal. Kemajuan teknologi yang bersifat netral terjadi bila tingkat output yang lebih tinggi dicapai dengan kuantitas dan kombinasi faktor-faktor input yang sama. Inovasi sederhana seperti yang berasal dari pembagian tenaga kerja dapat menghasilkan tingkat output total yang lebih tinggi dan tingkat konsumen yang lebih besar bagi semua individu. Ditinjau dari analisis kemungkinan produksi, perubahan teknologi yang bersifat netral akan melipatgandakan output total secara konseptual sama dengan melipatgandakan semua input-input produksi. Sebaliknya, kemajuan teknologi dapat dihasilkan dengan menghemat salah satu dari modal atau tenaga kerja yakni tingkat output yang lebih tinggi dapat dicapai dengan kuantitas input modal atau tenaga kerja yang sama. Komputer, internet, alat tenun otomatis, mesin bor berkecepatan tinggi, traktor, dan mesin bajak dan banyak jenis mesin serta peralatan modern lainnya dapat diklasifikasikan sebagai produk dari kemajuan teknologi yang hemat tenaga kerja. Kemajuan teknologi yang hemat modal adalah fenomena yang relatif langka. Hal ini terutama disebabkan karena hampir semua riset teknologi dan ilmu pengetahuan di dunia dilakukan di negara-negara maju. Akan tetapi di negaranegara berkembang di mana tenaga masih banyak yang menganggur, kemajuan teknologi yang menghemat modal adalah hal yang paling mereka butuhkan. Kemajuan seperti itu dihasilkan dari metode produksi padat karya yang lebih efisien (biaya yang lebih murah). Sebagai contoh, mesin pemotong rumput dan mesin pengayak yang digerakkan oleh tangan atau roda, pompa yang digerakkan oleh kaki, dan penyemprot mekanik yang dipanggul di punggung bagi pertanian berskala kecil. Kemajuan teknologi dapat juga berupa penambahan modal atau tenaga kerja. Kemajuan teknologi yang meningkatkan tenaga kerja terjadi apabila
24
kualitas atau keterampilan tenaga kerja ditingkatkan, misalnya dengan penggunaan kaset vidio, televisi, dan media komunikasi elektronik lainnya dalam pengajaran di kelas. Demikian juga, kemajuan teknologi yang meningkatkan modal dihasilkan dari penggunaan barang-barang modal yang ada secara lebih produktif, misalnya mengganti bajak dari kayu dengan bajak dari baja.
2.3 Model Pertumbuhan Ekonomi Seiring dengan perkembangan zaman, model tentang pertumbuhan ekonomi juga mengalami perubahan dari waktu ke waktu. Namun pasca perang dunia kedua, model pertumbuhan ekonomi didominasi oleh empat aliran pemikiran yang terkadang bersaing satu sama lain. Keempat pendekatan itu adalah: (1) model pertumbuhan tahapan linear; (2) pola perubahan struktural; (3) revolusi ketergantungan internasional; dan (4) kontra revolusi pasar bebas neoklasik. Hal ini dikemukakan oleh Todaro dan Smith (2006). Model
pertumbuhan
ekonomi
yang
akan
dibahas
menggunakan
pendekatan pola perubahan struktural yang dirumuskan oleh W. Arthur Lewis yang dikenal dengan Teori Pembangunan Lewis. Teori perubahan struktural memusatkan perhatiannya pada mekanisme yang memungkinkan negara-negara yang masih terbelakang untuk mentransformasikan struktur perekonomian dalam negeri mereka dari pola perekonomian pertanian tradisional ke perekonomian yang lebih modern, lebih berorientasi ke kehidupan perkotaan, serta memiliki sektor industri manufaktur yang lebih bervariasi dan sektor jasa-jasa yang tangguh. Model perubahan struktur tersebut dalam analisisnya menggunakan perangkat-perangkat neoklasik berupa teori harga dan alokasi sumber daya, serta metode-metode ekonometri modern untuk menjelaskan terjadinya proses transformasi. Lewis mengemukakan dua asumsi perihal sektor pertanian tradisional di Pedesaan. Yang pertama adalah adanya “surplus tenaga kerja”. Kedua, bahwasanya semua pekerjaan di daerah pedesaan menghasilkan output yang sama sehingga tingkat upah real di daerah pedesaan ditentukan oleh produktivitas tenaga kerja rata-rata, bukan produktivitas tenaga kerja marjinal seperti pada sektor modern. Asumsikanlah bahwa ada sejumlah pertanian yang menghasilkan produk pangan sebanyak
tenaga kerja
, dan masing-masing
25
tenaga kerja menghasilkan output pangan dalam jumlah yang persis sama, yakni sebanyak
/ ). Dengan demikian asumsi
(ini sama dengan hasil hitungan
surplus tenaga kerja berlaku pada seluruh pekerja yang melebihi
. Tingkat
yang ada di perkotaan, merupakan
output dari barang-barang manufaktur fungsi dari input variabel tenaga kerja
. Pada sumbu horizontal, kuantitas
tenaga kerja yang dikerahkan untuk menghasilkan sejumlah output misalnya dengan stok modal
dinyatakan dalam ribuan pekerja perkotaan
. Dalam
model Lewis, stok modal di Perkotaan dimungkinkan untuk bertambah dari menjadi
, kemudian menjadi
dan seterusnya, sebagai akibat dari adanya
kegiatan reinvestasi keuntungan oleh para kapitalis industri. Hal tersebut akan ke
menggeser kurva total produk ke atas, dari ke
, dan akhirnya
. Kurva produksi tenaga kerja marjinal dari sektor industri modern
di perkotaan merupakan turunan dari kurva-kurva
.
menunjukkan tingkat rata-rata pendapatan real dari sektor ekonomi tradisional di daerah-daerah pedesaan. Dengan demikian
memperlihatkan
tingkat upah real pada sektor kapitalis modern. Pada tingkat upah itu, penawaran tenaga kerja pedesaan diasumsikan “tidak terbatas” atau elastis sempurna. Dengan kata lain, Lewis mengasumsikan bahwa pada tingkat upah di perkotaan sebesar yang lebih tinggi dari pada tingkat pendapatan pedesaan
, maka para
penyedia lapangan kerja di sektor modern dapat merekrut tenaga kerja pedesaan sebanyak yang diperlukan tanpa harus merasa kuatir bahwa tingkat upah akan meningkat. Rangkaian
proses
pertumbuhan
berkesinambungan
dan
perluasan
kesempatan kerja di sektor modern tersebut di atas diasumsikan akan terus berlangsung sampai semua surplus tenaga kerja pedesaan diserap habis oleh sektor industri. Selanjutnya tenaga kerja tambahan yang berikutnya hanya dapat ditarik dari sektor pertanian dengan biaya yang lebih tinggi karena hal tersebut pasti akan mengakibatkan merosotnya produksi pangan. Dengan demikian, tatkala tingkat upah serta kesempatan kerja di sektor modern terus mengalami pertumbuhan, kemiringan kurva penawaran tenaga kerja bernilai positif. Transformasi struktural perekonomian dengan sendirinya akan menjadi suatu kenyataan, dan perekonomian itu pun pada akhirnya pasti beralih dari
26
perekonomian pertanian tradisional yang berpusat di daerah pedesaan menjadi sebuah perekonomian industri modern yang berorientasi pada pola kehidupan perkotaan.
2.4 Perubahan Struktur Ekonomi Proses perubahan struktur sering disebut dengan proses alokasi. Pada dasarnya proses alokasi ini adalah hasil interaksi antara proses akumulasi di satu pihak, dengan proses perubahan pola konsumsi masyarakat yang timbul secara bersamaan dengan meningkatnya pendapatan per kapita di pihak lain. Interaksi ini pada akhirnya akan memberikan dampak berupa perubahan pada komposisi barang dan jasa yang diproduksi dan diperdagangkan. Dengan demikian, secara ringkas dapat dibuat suatu alat ukur untuk menilai apakah perekonomian suatu wilayah mengalami perubahan struktur atau tidak, yaitu dengan melihat: 1. Struktur permintaan domestik Dengan meningkatnya pendapatan per kapita, terjadi pula perubahan struktur permintaan domestik dalam bentuk menurunnya bagian pendapatan yang digunakan untuk mengkonsumsi bahan makanan. Penurunan konsumsi bahan makanan ini dikaitkan dengan hukum Engels yang menyatakan bahwa elastisitas permintaan terhadap perubahan pendapatan untuk bahan makanan adalah lebih kecil dari 1 (in elastic), dengan demikian jika terjadi peningkatan pendapatan maka permintaan akan bahan makanan meningkat dengan persentase lebih rendah dari persentase peningkatan pendapatan per kapita. 2. Struktur produksi Perubahan struktur produksi yang terjadi pada saat perekonomian tumbuh biasanya ditunjukkan dengan semakin rendahnya peran sektor pertanian dalam perekonomian nasional, dan semakin tingginya peran sektor lain di luar sektor pertanian.
2.5 Fungsi Produksi Dalam pembahasan fungsi produksi banyak digunakan fungsi homogen derajat pertama sebagaimana diungkapkan oleh Chiang dan Wainwright (2006).
27
Ini sering dinyatakan sebagai fungsi homogen secara linear. Penerapan fungsi homogen secara linear pada fungsi produksi, misalnya: ,
(2.1)
Apakah diterapkan pada tingkat mikro atau pun makro, asumsi matematik homogenitas linear akan sama dengan asumsi ekonomi mengenai hasil yang konstan terhadap skala, karena homogenitas linear berarti bahwa kenaikan semua input (variabel bebas) sebanyak
kali lipat akan selalu menaikkan output (nilai
fungsi) tepat sebesar kali lipat pula. Sifat-sifat khas yang memberi ciri fungsi produksi homogen secara linear adalah:
Sifat 1: ,
Jika fungsi produksi homogen secara linear secara fisik
, rata-rata produk buruh
, dan rata-rata produk modal secara fisik
dinyatakan sebagai fungsi dari rasio modal – buruh,
, maka dapat
saja.
Untuk membuktikan ini kalikanlah setiap variabel bebas pada (2.1) dengan suatu faktor
. Dengan pembuktian-pembuktian homogenitas linear, hal ini
akan mengubah output dari
. Ruas kanan dari (2.1) dengan
menjadi
sendirinya akan menjadi ,
,1
Karena variabel-variabel berturut-turut dengan modal buruh tunggal
,1 dan
pada fungsi semula harus diganti secara
dan l sebagai akibatnya ruas kanan menjadi fungsi rasio
saja, katakan (k), yang merupakan fungsi dengan argumen
, meskipun dua variabel bebas
dan
sebenarnya terlibat dalam
argumen tersebut. Dengan menyamakan kedua ruas kita dapatkan (2.2) Ekspresi untuk APPK akan diperoleh menjadi (2.3)
28
Karena kedua rata-rata produk tergantung pada
saja, homogenitas linear
tetap konstan (apapun tingkat absolut
menerangkan bahwa selama rasio
dan
), rata-rata akan menjadi konstan juga. Oleh karena itu, sementara fungsi dan
produksi homogen berderajat satu, pada variabel-variabel dan
dan
adalah homogen derajat nol
. Karena perubahan proporsional yang sama dalam
(dengan mempertahankan konstanta ) tidak akan mengubah besaran
rata-rata produk.
Sifat 2: Bila diberikan fungsi produksi homogen secara linear marjinal secara fisik
dan
,
, maka produk
dapat dinyatakan sebagai fungsi
saja.
Untuk mendapatkan produk marjinal, mula-mula dituliskan produk total sebagai
yang menurut persamaan (2.2) menjadi:
(2.4)
dan kemudian didiferensiasikan
terhadap
dan . Untuk tujuan ini, kita akan
memperoleh dua hasil sebagai berikut: (2.5) Hasil diferensiasinya adalah
′
′
(2.6)
′ ′ ′
yang sesungguhnya menunjukkan bahwa saja.
(2.7) dan
merupakan fungsi
29
Seperti produk rata-rata, produk marjinal akan tetap sama selama rasio modal buruh dipertahankan konstan, mereka adalah homogen berderajat nol pada variabel
dan
.
Sifat 3 (Dalil Euler) ,
Bila
homogen secara linear, maka
Bukti: ′
′
′
Hasil ini valid untuk setiap nilai
′
dan
;
. Itu sebabnya mengapa sifat ini
dapat ditulis sebagai kesamaan identik. Apa yang dinyatakan oleh sifat ini adalah bahwa nilai sebuah fungsi yang homogen secara linear selalu dapat dinyatakan sebagai suatu penderivatif parsial orde pertama terhadap variabel itu, tanpa memperhatikan besarnya kedua input yang sungguh-sungguh digunakan. Tetapi hendaknya berhati-hati untuk membedakan antara identitas (Dalil Euler yang hanya diterapkan pada hasil yang konstan terhadap kasus skala ,
dari setiap fungsi
dan persamaan ,
(diferensial total
, untuk
).
Secara ekonomi, sifat ini berarti bahwa pada kondisi hasil yang konstan terhadap skala, bila setiap faktor input dibayar sesuai dengan jumlah produk marjinalnya. Produk total akan sepenuhnya terbagi di antara semua faktor input atau secara ekuivalen keuntungan ekonomi yang murni akan nol. Karena situasi ini merupakan gambaran ekuilibrium jangka panjang pada persaingan murni. Pernah dianggap bahwa hanya fungsi produksi yang homogen secara linear yang akan mempunyai arti ekonomi. Keuntungan ekonomi sebesar nol dalam ekuilibrium jangka panjang itu merupakan hasil kekuatan persaingan melalui masuk dan keluarnya perusahaan, tanpa memperhatikan sifat fungsi produksi
30
khusus yang sungguh-sungguh berlaku. Jadi tidaklah diharuskan untuk mempunyai fungsi produksi yang menjamin pemakaian produk untuk masingmasing keseluruhan pasangan
,
. Selanjutnya pada kondisi persaingan tidak
sempurna dalam pasar faktor produksi, pemberian balas jasa kepada faktor produksi bisa tidak sama dengan produk marjinal, yang akibatnya dalil Euler menjadi tidak relevan untuk gambaran tentang distribusinya. Namun fungsi produksi yang homogen secara linear sering kali sesuai untuk digunakan karena didukung oleh adanya berbagai sifat matematikanya yang baik.
Fungsi Produksi Cobb-Douglas Salah satu bentuk khusus fungsi produksi yang dipakai secara luas dalam analisis ekonomi adalah fungsi produksi Cobb-Douglas: (2.8) di mana
adalah konstanta positif dan adalah pecahan positif. Apa yang mula-
mula kita perhatikan di sini adalah sebuah versi umum fungsi tersebut yaitu: (2.9) di mana adalah pecahan positif lainnya yang dapat sama dengan atau tidak sama dengan 1-. Beberapa ciri utama dari fungsi ini adalah: (1) homogen berderajat (+); (2) dalam kasus +=1, fungsi tersebut adalah fungsi homogen secara linear; (3) isokuannya mempunyai kemiringan yang negatif dan cembung sempurna untuk setiap nilai positif dari untuk nilai
dan
dan ; dan (4) kuasi cekung sempurna
yang positif.
Homogenitasnya dapat dilihat dengan mudah dari kenyataan bahwa dengan mengubah
dan
menjadi
dan
, outputnya akan berubah menjadi
yaitu fungsi tersebut adalah homogen berderajat (+). Dalam hal +=1 terjadi hasil konstan terhadap skala, karena fungsinya adalah homogen secara linear tapi harus diingat bahwa fungsi ini bukan fungsi linear. Oleh karena itu akan membingungkan dengan menyebutnya sebagai fungsi “homogen linear” atau “linear dan homogen”. Bahwa isokuannya mempunyai kemiringan yang negatif dan kecembungan sempurna dapat dibuktikan dengan melihat tanda dari derivatif
31
/
dan
output positif
/
atau tanda dari
/
/
dan
. Untuk setiap nilai
, persamaan (9) dapat dinyatakan sebagai , , ,
0
Dengan mengambil logaritma asli dari kedua sisi persamaan tersebut dan mengubah urutannya, kita peroleh 0 yang secara implisit mendefinisikan
sebagai fungsi . Oleh karenanya, dengan
aturan fungsi implisit dan aturan log, kita peroleh hasil sebagai berikut: / /
/ /
0
Jika demikian halnya, maka 1
0
Tanda dari derivatif-derivatif ini menghasilkan isokuan (setiap isokuan) dengan kemiringan yang menurun dan cembung pada bidang
untuk nilai-nilai
dan
yang positif. Hal ini tentu saja hanya dapat diperoleh dari fungsi yang kuasi mutlak untuk
dan
yang positif. Untuk fungsi dengan ciri kuasi kecekungan
sempurna. Sekarang kita periksa kasus +=1 (fungsi Cobb-Douglas yang sebenarnya), untuk membuktikan ketiga syarat dan homogenitas linear seperti yang disebutkan sebelumnya. Pertama, produk total dalam kasus khusus ini dapat dinyatakan sebagai (2.10) di mana ekspresi
adalah suatu versi khusus dari ekspresi umum (k) yang
digunakan sebelumnya. Oleh karena itu produk rata-ratanya adalah
(2.11) dan keduanya sekarang juga merupakan fungsi dari
saja.
32
Kedua, diferensiasi dari
menghasilkan produk marjinal:
1
1
1
dan fungsi-fungsi ini juga hanya merupakan fungsi dari
(2.12)
saja.
Selanjutnya dapat dibuktikan dalil Euler dengan menggunakan (2.12) sebagai berikut: 1 1 1 Arti ekonomi yang menarik dapat diberikan pada pangkat dan (1-) pada fungsi produksi Cobb-Douglas yang homogen secara linear. Jika setiap input dianggap senilai dengan produk marjinalnya, maka bagian relatif dari produk total terhadap modal akan menjadi
Dengan cara yang sama, bagian relatif tenaga kerja menjadi 1
1
Jadi pangkat setiap variabel input menunjukkan bagian relatif dari input tersebut terhadap produk total. Di sisi lain, kita juga dapat mengartikan pangkat dari setiap variabel input sebagai elastisitas parsial output terhadap input tersebut. Hal ini adalah karena persamaan bagian modal tersebut di atas adalah sama dengan persamaan (Q/K)/(Q/K) ≡ QK dan dengan cara yang sama persamaan bagian tenaga kerja di atas adalah sama dengan QL . Untuk nilai tertentu, besaran konstanta Oleh karena itu
akan mempengaruhi tingkat
dan
yang
secara proporsional.
dapat dianggap sebagai parameter efisiensi, yaitu sebagai
indikator dari tingkat teknologi. Menurut Soekartawi (1994), Returns to Scale (RTS) perlu diketahui untuk melihat apakah kegiatan produksi tersebut mengikuti kaidah increasing, constant,
33
atau decreasing returns to scale. Kalau persamaan (2.9) dipakai untuk menjelaskan hal ini maka jumlah besaran elastisitas dan kemungkinannya ada tiga alternatif yaitu: 1. Decreasing return to scale, bila ( + ) < 1. Dalam keadaan demikian dapat diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi melebihi proporsi penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 25% , maka produksi akan bertambah sebesar 15%. 2. Contstant return to scale, bila ( + ) = 1. Dalam keadaan demikian dapat diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi akan proporsional dengan proporsi penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 25% , maka produksi akan bertambah sebesar 25%. 3. Increasing return to scale, bila ( + ) > 1. Dalam keadaan demikian dapat diartikan bahwa proporsi penambahan faktor produksi kurang dari proporsi penambahan produksi. Misalnya, bila penggunaan produksi ditambah 10% , maka produksi akan bertambah sebesar 20%. Dalam penelitian ini menggunakan Contstant return to scale yakni (+)=1. Dalam keadaan seperti ini, walaupun input ditambah pada tingkatan tertentu, maka tambahan produksi dapat dihitung dengan mudah. Misalnya, kalau faktor produksi ditambah dua kali, maka: 2
2
2 2 di mana
dan +=1.
Dengan demikian, bila faktor produksi K dan L ditambah n kali, maka produksi juga akan bertambah n kali.
2.6 Ekuilibrium Seperti dalam istilah ekonomi lainnya, ekuilibrium dapat didefinisikan dalam berbagai cara. Menurut Chiang dan Wainwright (2006), salah satu definisi ekuilibrium adalah suatu kumpulan variabel-variabel terpilih yang saling berhubungan dan disesuaikan satu dengan lainnya dengan cara sedemikian rupa sehingga tidak ada kecenderungan yang melekat (inherent) dalam model tersebut
34
untuk berubah. Beberapa perkataan dalam definisi ini memerlukan perhatian khusus. Pertama, kata “terpilih” menekankan pada kenyataan bahwa ada variabel yang tidak dimasukkan dalam model oleh analis. Jadi ekuilibrium dalam pembahasan ini hanya relevan dengan himpunan variabel-variabel tertentu yang terpilih, dan bila modelnya diperluas untuk memasukkan variabel tambahan, maka ekuilibrium pada model semula tidak dapat digunakan lagi. Kedua, perkataan saling berhubungan (interrelated) menyatakan bahwa, untuk dapat mencapai ekuilibrium, maka semua variabel dalam model harus secara bersamaan dalam keadaan tetap. Selain itu, keadaan tetap dari setiap variabel harus cocok dengan variabel lainnya. Jika tidak, maka beberapa variabel akan berubah sehingga akan mengakibatkan variabel lainnya juga berubah dalam reaksi yang berantai dan karenanya tidak terjadi ekuilibrium. Ketiga, kata melekat (inherent) menyatakan bahwa dalam mendefinisikan ekuilibrium, keadaan tetap variabel dalam model hanya didasarkan pada penyeimbangan kekuatan internal dari model tersebut, sedangkan faktor-faktor eksternal dianggap tetap. Secara operasional ini berarti bahwa parameter dan variabel eksogen diperlukan konstan. Jika faktor eksternal ternyata berubah, maka terjadi ekuilibrium baru atas dasar nilai parameter baru, tetapi dalam mendefinisikan ekuilibrium baru, nilai parameter yang baru juga diasumsikan tetap tidak berubah. Pada pokoknya ekuilibrium untuk model tertentu adalah suatu keadaan yang mempunyai ciri tidak adanya kecenderungan untuk berubah. Oleh karena itu analisis ekuilibrium secara khusus disebut statika (statics). Kenyataan bahwa ekuilibrium berarti tidak ada kecenderungan untuk berubah dapat mendorong seseorang untuk menarik kesimpulan bahwa suatu ekuilibrium harus berarti adanya suatu keadaan yang ideal atau keadaan yang diinginkan. Karena hanya pada keadaan ideal saja tidak ada dorongan terjadinya perubahan. Kesimpulan seperti ini tidak dijamin kebenarannya. Walaupun keadaan ekuilibrium tertentu dapat menunjukkan suatu keadaan yang diinginkan dan sesuatu yang harus dicapai seperti keuntungan maksimum dari sudut pengusaha. Akan tetapi ada keadaan ekuilibrium lainnya tidak diinginkan dan perlu dihindari, seperti “underemployment” dalam tingkat ekuilibrium pendapatan
35
nasional. Interpretasi yang menjamin adanya ekuilibrium adalah suatu keadaan yang bila tercapai akan dapat mengabdikan dirinya sendiri, kecuali bila terjadi perubahan kekuatan dari faktor-faktor eksternal. Berbagai ekuilibrium yang dikehendaki dinyatakan sebagai ekuilibrium tujuan sebagai masalah optimisasi. Sedangkan jenis ekuilibrium bukan tujuan, yang tidak dihasilkan dari tujuan objek tertentu tetapi dari proses pengaruh interaksi dan penyesuaian kekuatan ekonomi. Contoh mengenai hal ini adalah ekuilibrium yang dicapai oleh suatu pasar dengan kondisi permintaan dan penawaran tertentu dan ekuilibrium pendapatan nasional dengan kondisi pola konsumsi dan investasi tertentu.
2.7 Fungsi Logistik Menurut Tarumingkeng (1994) pertama kali persamaan logistik ditemukan oleh Verhulst pada tahun 1839 yang terkenal dengan nama kurva logistik yang berbentuk S atau sigmoida. Persamaan tersebut adalah sebagai berikut: 1
(2.13)
dengan L merupakan banyaknya populasi, t adalah waktu, r melambangkan laju pertumbuhan intrinsik per individu, dan M merupakan daya dukung lingkungan sehingga jika L mencapai M, dL/dt = 0. Dengan menggunakan integral persamaan (2.13) mempunyai solusi sebagai berikut: (2.14) Fungsi logistik dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang, termasuk jaringan saraf tiruan, biologi, biomathematics, demografi, ekonomi, kimia, psikologi matematika, probabilitas, sosiologi, ilmu politik, dan statistik.
36
37
BAB III MODEL DINAMIKA PEDESAAN DAN PERKOTAAN
3.1 Perumusan Model Misalkan sebuah sistem ekonomi terdiri atas dua daerah yaitu pedesaan dan perkotaan, memproduksi sejumlah barang yang berbeda. Barang tersebut diproduksi dengan menggunakan dua faktor produksi yaitu tenaga kerja dan modal. Diasumsikan bahwa di pedesaan terjadi surplus tenaga kerja. Untuk menggambarkan model tersebut, dinotasikan: L(t)
= banyaknya tenaga kerja keseluruhan pada waktu t;
Lj(t)
= banyaknya tenaga kerja daerah j pada waktu t;
K(t)
= cadangan modal keseluruhan pada waktu t;
Kj(t)
= total cadangan modal daerah j pada waktu t;
E(t)
= banyaknya tenaga kerja pedesaan yang digunakan oleh daerah perkotaan pada waktu t;
Fj(t)
= banyaknya output daerah j pada waktu t;
r(t)
= suku bunga pada waktu t;
wj(t)
= tingkat upah untuk daerah j pada waktu t;
Yj (t)
= pendapatan bersih daerah j pada waktu t;
Cj(t)
= tingkat konsumsi daerah j pada waktu t;
Sj(t)
= tingkat tabungan bersih daerah j pada waktu t.
j
= indeks daerah; j=1 pedesaan; j=2 perkotaan Fungsi produksi dari kedua daerah tersebut adalah:
F1 (t ) K 1 ( L1 E ) ,
F2 (t ) K 2 ( L2 E ) ,
dengan di mana
;
1, , 0
(3.1)
; dan
berturut-turut adalah banyaknya tenaga kerja yang
digunakan oleh daerah pedesaan dan perkotaan. Dengan asumsi bahwa tingkat suku bunga besarnya sama pada kedua daerah. Sehingga diberikan oleh:
kondisi marjinal
38
r
F j Kj
(3.2)
dan adalah laju depresiasi kapital, 0 1 . Kemudian tingkat upah dari kedua daerah tersebut tidak sama yakni daerah perkotaan produktivitas tenaga kerja marjinalnya sebagai berikut:
w2
F2
(3.3)
L2 E
(Bukti: lihat Lampiran 1). Sedangkan
semua
pekerjaan
di
daerah
pedesaan
diasumsikan
menghasilkan output yang sama sehingga tingkat upah riil di daerah pedesaan ditentukan oleh produktivitas tenaga kerja rata-rata, bukan produktivitas tenaga kerja marjinal seperti pada daerah perkotaan.
w1
F1 L1 E
(3.4)
Pendapatan bersih daerah j, Yj merupakan penjumlahan dari faktor-faktor produksi dalam perekonomian, yaitu tenaga kerja dan modal yang dinyatakan dengan Y1 rK 1 w1 ( L1 E ) w2 E Y2 rK 2 w2 L2
(3.5)
Diasumsikan bahwa tingkat utilitas (utility level), U j (t), pada daerah j bergantung pada tingkat konsumsi C j (t) dan tabungan bersih S j (t).
Fungsi
utilitas (utility functions), U j (t), diberikan oleh persamaan
j j 1
U j (t ) C j j S j j ,
(3.6)
dengan j dan j berturut-turut adalah kecenderungan pada daerah j untuk mengonsumsi barang-barang dan untuk menabung. Masing-masing daerah mempunyai dua variabel keputusan, C j dan S j . Kendala pembiayaan diberikan oleh: C j S j Tj
j = 1, 2
(3.7)
dengan T j Y j K j K j
(3.8)
39
di mana T j adalah pendapatan yang siap dibelanjakan oleh daerah j. Keputusan optimal konsumen yang merupakan solusi dari optimasi fungsi utilitas dengan kendala (3.7) adalah tunggal, yaitu: C j jT j , S j jT j
j = 1, 2
(3.9)
(Bukti: lihat Lampiran 2). Laju pertumbuhan modal daerah j diberikan oleh
dK j dt
S j K j dengan
menggunakan persamaan (3.8) dan (3.9) ke dalam persamaan di atas, diperoleh: dK j dt
jY j j K j
(3.10)
dengan j j j (Bukti: lihat Lampiran 3). Sistem ini terdiri atas 16 variabel endogen, K j , F j , C j , S j , Y j , w j , U j (j=1,2), E , dan r . Untuk menentukan variabel-variabel endogen tersebut, langkah pertama adalah dengan menyubstitusikan persamaan (3.1) ke dalam persamaan berikut: r=
F j Kj
sehingga diperoleh E yang merupakan sebuah fungsi dari K1 dan K 2 sebagai berikut:
E (t )
L1 K 2 L2 K 1 K1 K 2
(3.11)
(Bukti: lihat Lampiran 4). Dengan menyubstitusikan persamaan (3.4), (3.3), (3.2), (3.1), dan (3.11) ke dalam persamaan (3.5), maka akan diperoleh persamaan Y j , yaitu: L L2 Y1 ( 1) K 1 1 K1 K 2 L L2 Y2 K 2 1 K1 K 2
K K2 K 1 1 L1 L 2
K K2 K 2 1 L1 L2
E
L2
(Bukti: lihat Lampiran 5), yang merupakan sebuah fungsi dari K j .
(3.12)
40
Dari persamaan (3.12) dan (3.10) dinamika kedua variabel K j (t) ditentukan oleh sistem persamaan diferensial dua dimensi, yang merupakan persamaan dari model dinamika pertumbuhan ekonomi pedesaan dan perkotaan.
L L2 dK 1 1 ( 1) K 1 1 dt K1 K 2 L L2 dK 2 2 K 2 1 dt K1 K 2
K K2 K 1 1 L1 L2
E 1 K1
K1 K 2 L2 2 K 2 K 2 L1 L2
(3.13)
Nilai-nilai dari semua variabel-variabel endogen pada setiap titik waktu dapat
diselesaikan
dengan
menggunakan
pendekatan
secara
numerik
menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica.
3.2 Ekuilibrium Sistem Dinamik Selanjutnya akan ditentukan nilai-nilai dari semua variabel-variabel endogen pada saat ekuilibrium dari sistem dinamik, yaitu persamaan diferensial dK j
(3.13). Ekuilibrium terjadi pada saat
dt
0 , sehingga dari persamaan (3.12),
(3.13), maka diperoleh persamaan
L L2 K K2 K K1 1 E = 1 1 ( 1) K1 1 1 K1 K 2 L1 L2
L L K K2 K L2 = 2 2 K 2 1 2 K 2 1 2 K1 K 2 L1 L2
1 K1 1
2K2 2
(3.14)
(Bukti: lihat Lampiran 6). Dengan menyubstitusikan
Yj
jK j j
dari persamaan (3.14) dan
persamaan (3.8) ke persamaan (3.9) menghasilkan: Cj
j Kj, Sj Kj j
(3.15)
(Bukti: lihat Lampiran 7). Persamaan tersebut menjelaskan bahwa pada saat ekuilibrium, tingkat konsumsi daerah j adalah proporsional dengan cadangan modal yang dimiliki
41
daerah j, dan tingkat tabungan bersih daerah j adalah sama dengan cadangan modal yang dimiliki oleh daerah j. Dengan menyubstitusikan persamaan (3.15) ke dalam fungsi utilitas (3.6) diperoleh j U j (t ) K j j
j
K
j
j
.
(3.16)
Untuk menentukan K j pada saat ekuilibrium, dengan menggunakan persamaan (3.13). Ekuilibrium terjadi pada saat
dK j dt
0 sehingga diperoleh
persamaan
L L2 0 1 ( 1) K 1 1 K1 K 2 L L2 0 2 K 2 1 K1 K 2
K K2 K 1 1 L1 L2
K K2 K 2 1 L1 L2
E 1 K 1
L2 2 K 2
(3.17)
Nilai-nilai dari semua variabel-variabel endogen pada saat ekuilibrium dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan (3.14) sampai dengan (3.17) melalui pendekatan secara numerik menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica.
42
43
BAB IV SIMULASI MODEL
Pada Bab III telah diberikan cara untuk menentukan variabel-variabel endogen di setiap titik waktu dan di saat ekuilibrium. Sedangkan pada bab ini akan dibuat simulasi modelnya melalui pendekatan secara numerik menggunakan alat bantu perangkat lunak Mathematica dengan menggunakan buku panduan penggunaan Mathematica (Ardana 2004). Adapun tenaga kerja diasumsikan mengikuti fungsi logistik seperti pada persamaan (2.14) dengan banyaknya tenaga kerja awal daerah pedesaan l1 =5, banyaknya tenaga kerja awal daerah perkotaan
l 2 =1, daya dukung lingkungan daerah pedesaan M 1 =60, daya dukung lingkungan daerah perkotaan M 2 =9, laju pertumbuhan intrinsik daerah pedesaan r1 =0,5, dan laju pertumbuhan intrinsik daerah perkotaan r2 =0,45.
4.1 Menentukan Variabel-variabel Endogen di Setiap Titik Waktu Variabel-variabel endogen dipengaruhi oleh waktu, sehingga setiap saat mengalami perubahan. Sebelum membahas pada saat ekuilibrium, terlebih dahulu membahas perubahan variabel-variabel endogen setiap waktu. Selengkapnya akan dikaji satu per satu sebagai berikut:
4.1.1
Pertumbuhan Modal Modal daerah pedesaan dan daerah perkotaan sangat dipengaruhi oleh
beberapa parameter. Parameter-parameter tersebut yang mempengaruhi sehingga perubahan struktural itu terjadi atau tidak. Ada tiga kondisi yang mungkin terjadi yakni: perubahan struktural belum terjadi, perubahan struktural hampir terjadi, dan perubahan struktural sudah terjadi.
Kasus 1: Kecenderungan menabung daerah pedesaan rendah Salah satu parameter yang mempengaruhi perubahan struktural adalah tingkat kecenderungan konsumsi suatu daerah j . Jika tingkat kecenderungan
44
konsumsi tersebut dinaikkan, maka secara otomatis tingkat kecenderungan menabung j akan turun dan sebaliknya. Menyimulasikan modal masing-masing daerah digunakan persamaan (3.13). Besaran parameter model disajikan pada Tabel 4.1. Tabel 4.1 Besaran parameter modal masing-masing daerah saat kecenderungan menabung daerah pedesaan rendah j
j
j
kj
1
0.75
0.25
0.7
0.3
0.01
50
2
0.75
0.25
0.3
0.7
0.01
100
Parameter-parameter pada Tabel 4.1 menunjukkan bahwa daerah pedesaan dan daerah perkotaan memiliki kesamaan dalam hal elastisitas tenaga kerja dan elastisitas modal terhadap output produksi, serta kesamaan dalam depresiasi modal. Namun dalam hal kecenderungan menabung dan konsumsi tidak sama yakni daerah pedesaan memiliki kecenderungan konsumsi sebesar 70 % dan kecenderungan menabungnya hanya sebesar 30 % sehingga kecenderungan konsumsi lebih besar dari pada menabungnya. Hal ini bisa terjadi karena penghasilan setiap individu dari mereka relatif kecil sehingga lebih banyak digunakan untuk kebutuhan konsumsi. Sedangkan di daerah perkotaan yang penghasilannya relatif lebih besar bila dibandingkan dengan daerah pedesaan memiliki kecenderungan konsumsi 30 % dan kecenderungan menabung 70 %.
45
Kt
500 400
Ket:
300
K1 200
K2
100
10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.1 Modal masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan rendah. Dari Gambar 4.1 nampak bahwa laju perubahan modal daerah pedesaan sangat lambat bahkan cenderung stagnan. Sedangkan laju perubahan modal daerah perkotaan mengalami kenaikan yang signifikan. Kejadian seperti ini dapat dikatakan bahwa perubahan struktural belum terjadi.
Kasus 2: Kecenderungan menabung daerah pedesaan sedang Jika parameter-parameter yang ada pada Tabel 4.1 hanya diubah tingkat kecenderungan konsumsi di daerah pedesaannya, yakni diturunkan menjadi 52% dengan kata lain menaikkan kecenderungan untuk menabung menjadi 48% maka grafik laju perubahan modal juga mengalami perubahan seperti pada gambar berikut:
46
Kt
300
Ket:
200
K1 K2
100
10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.2 Modal masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan sedang. Dari Gambar 4.2 nampak bahwa laju perubahan modal kedua daerah mengalami kenaikan yang cukup berarti. Laju perubahan modal daerah pedesaan pada waktu tertentu menyamai laju perubahan modal daerah perkotaan, namun dalam waktu yang panjang kembali berada pada posisi di bawahnya. Kejadian seperti ini dapat dikatakan bahwa perubahan struktural hampir terjadi.
Kasus 3: Kecenderungan menabung daerah pedesaan tinggi Jika parameter-parameter yang ada pada Tabel 1 hanya diubah lagi tingkat kecenderungan konsumsi di daerah pedesaannya, yakni diturunkan menjadi 32% dengan kata lain menaikkan kecenderungan untuk menabung menjadi 68% maka grafik laju perubahan modal juga mengalami perubahan lagi seperti pada gambar berikut:
47
Kt 10 000
8000
6000
Ket: K1
4000
K2
2000
10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.3 Modal masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan tinggi. Dari Gambar 4.3 nampak bahwa laju perubahan modal daerah perkotaan sangat lambat bahkan cenderung stagnan. Sedangkan laju perubahan modal daerah pedesaan mengalami kenaikan yang signifikan. Kejadian seperti ini dapat dikatakan bahwa perubahan struktural sudah terjadi. Dengan demikian dari ketiga kejadian di atas dapat disimpulkan bahwa jika kondisi parameter-parameter pada Tabel 4.1 hanya diubah tingkat kecenderungan konsumsinya sudah bisa mempengaruhi terjadinya perubahan struktural. Jika semakin rendah kecenderungan konsumsi pada daerah pedesaan dengan kata lain semakin tinggi kecenderungan untuk menabungnya, maka perubahan struktural semakin nyata terjadi dan begitu pula sebaliknya. Modal total kedua daerah didapat dengan menjumlahkan
1
dari persamaan (3.13). Hasil diberikan pada Gambar 4.4 berikut ini:
dan
yakni
48
Kt 10 000
8000
Ket: 6000
Kasus 3 Kasus 2 Kasus 1
4000
2000
10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.4 Modal total kedua daerah. Dari Gambar 4.4 terlihat bahwa laju perubahan modal total sesudah terjadi perubahan struktural mengalami kenaikan yang signifikan. Sedangkan laju perubahan modal total sebelum terjadi perubahan struktural relatif sama dengan laju perubahan modal total saat perubahan struktural hampir terjadi. Keduanya mengalami kenaikan yang sangat lambat. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa modal total pada saat perubahan struktural sudah terjadi akan lebih besar dari modal total saat perubahan struktural belum terjadi. Sehingga untuk mendapatkan modal total yang lebih besar sebaiknya dengan mendorong terjadinya perubahan struktural.
4.1.2
Perpindahan Tenaga Kerja Perpindahan tenaga kerja dari daerah pedesaan ke daerah perkotaan sangat
dipengaruhi oleh beberapa parameter. Parameter-parameter tersebut yang mempengaruhi sehingga sejumlah tenaga kerja harus berpindah. Ada empat parameter yang mempengaruhi perpindahan tenaga kerja yaitu banyaknya tenaga kerja di daerah pedesaan L1 , banyaknya tenaga kerja di daerah perkotaan L2 , modal di daerah pedesaan K 1 , dan modal di daerah perkotaan K 2 . Untuk
49
menentukan seberapa banyak tenaga kerja yang pindah, dengan menggunakan persamaan (3.11). Hasil diberikan pada Gambar 4.5 berikut ini: Et 50 40 30
Ket:
20
Kasus 3 Kasus 2 Kasus 1
10
10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.5 Perpindahan tenaga kerja dari pedesaan ke perkotaan. Dari Gambar 4.5 terlihat bahwa perpindahan tenaga kerja dari desa ke kota sesudah terjadi perubahan struktural mengalami kenaikan untuk t < 5,31908 akan tetapi untuk t > 5,31908 justru mengalami penurunan dan saat t = 8 tidak terjadi perpindahan tenaga kerja. Bahkan untuk t > 8 perpindahan mengalami negatif yang artinya terjadi perpindahan arus balik dari kota ke desa. Sedangkan perpindahan tenaga kerja sebelum terjadi perubahan struktural mengalami kenaikan dari waktu ke waktu dalam jumlah yang sangat banyak. Begitu pula untuk kondisi saat perubahan struktural hampir terjadi, juga mengalami kenaikan perpindahan tenaga kerja dari desa ke kota. Keduanya mengalami kenaikan yang sangat cepat di awal waktu. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa perpindahan tenaga kerja pada saat perubahan struktural sudah terjadi akan lebih kecil dari perpindahan tenaga kerja saat perubahan struktural belum terjadi. Sehingga untuk mengurangi jumlah perpindahan tenaga kerja atau bahkan menghilangkannya, sebaiknya dengan membuat perubahan struktural terlebih dahulu.
50
4.1.3
Pendapatan Bersih
Kasus 1: Kecenderungan menabung daerah pedesaan rendah Parameter-parameter
untuk
menentukan
pendapatan
bersih
masih
menggunakan Tabel 4.1. Dalam kasus ini bahwa kecenderungan menabung daerah pedesaan rendah sehingga pendapatan bersih dari masing-masing daerah dapat dilihat pada gambar di bawah ini yang dihasilkan dari persamaan (3.5). Y t 250
200
150
100
Ket: Y1
50
Y2 10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.6 Pendapatan bersih masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan rendah. Dari Gambar 4.6 nampak bahwa laju pendapatan bersih daerah pedesaan mengalami penurunan di awal waktu, kemudian mengalami kenaikan. Sedangkan laju pendapatan bersih daerah perkotaan mengalami kenaikan yang signifikan. Meskipun keduanya mengalami kenaikan akan tetapi kenaikan yang tertinggi untuk pendapatan bersih dari daerah perkotaan.
Kasus 2: Kecenderungan menabung daerah pedesaan sedang Jika parameter-parameter yang ada pada Tabel 4.1 hanya diubah tingkat kecenderungan konsumsi di daerah pedesaannya, yakni diturunkan menjadi 52% dengan kata lain menaikkan kecenderungan untuk menabung menjadi 48% maka grafik laju pendapatan bersih juga mengalami perubahan seperti pada gambar berikut:
51
Y t 350 300 250 200 150
Ket:
100
Y1
50
Y2 10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.7 Pendapatan bersih masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan sedang. Dari Gambar 4.7 nampak bahwa laju pendapatan bersih daerah pedesaan mengalami kenaikan yang sangat tajam bila dibandingkan dengan laju pendapatan bersih daerah perkotaan. Meskipun keduanya mengalami kenaikan akan tetapi kenaikan yang tertinggi untuk pendapatan bersih dari daerah pedesaan.
Kasus 3: Kecenderungan menabung daerah pedesaan tinggi Jika parameter-parameter yang ada pada Tabel 4.1 hanya diubah lagi tingkat kecenderungan konsumsi di daerah pedesaannya, yakni diturunkan menjadi 32% dengan kata lain menaikkan kecenderungan untuk menabung menjadi 68% maka grafik laju pendapatan bersih juga mengalami perubahan lagi seperti pada gambar berikut:
52
Y t
4000
3000
Ket: Y1
2000
Y2
1000
10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.8 Pendapatan bersih masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan tinggi. Dari Gambar 4.8 nampak bahwa laju pendapatan bersih daerah perkotaan sangat lambat bahkan cenderung stagnan. Sedangkan laju pendapatan bersih daerah pedesaan mengalami kenaikan yang signifikan. Dengan demikian dari ketiga kejadian di atas dapat disimpulkan bahwa jika kondisi parameter-parameter pada Tabel 4.1 hanya diubah tingkat kecenderungan konsumsinya sudah bisa mempengaruhi pendapatan bersih masing-masing daerah. Jika semakin rendah kecenderungan konsumsi pada daerah pedesaan dengan kata lain semakin tinggi kecenderungan untuk menabungnya, maka pendapatan bersih daerah tersebut semakin naik secara nyata begitu pula sebaliknya. Pendapatan bersih total merupakan penjumlahan dari Y1 dan Y 2 . Untuk lebih lengkapnya perhatikan gambar di bawah ini yang dihasilkan dari persamaan (3.5).
53
Y t 5000
4000
3000
Ket: Kasus 3 Kasus 2 Kasus 1
2000
1000
10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.9 Pendapatan bersih total dari daerah pedesaan dan daerah perkotaan dalam tiga kasus. Berdasarkan Gambar 4.9 dapat disimpulkan bahwa dalam kondisi apapun pendapatan bersih total selalu cenderung naik, akan tetapi kenaikan yang lebih tinggi diperlihatkan oleh grafik kasus 3 yakni kondisi pada saat perubahan struktural sudah terjadi. Sehingga untuk mendapatkan pendapatan bersih total yang lebih banyak, sebaiknya dengan cara mendorong terjadinya perubahan struktural.
4.1.4
Output Produksi Grafik banyaknya output produksi dari masing-masing daerah yang
dihasilkan dari persamaan (3.1) mempunyai pola yang mirip dengan grafik pertumbuhan modal. Besaran parameter yang digunakan masih sama seperti yang digunakan pada pertumbuhan modal. Hasil diberikan pada gambar berikut ini:
54
Kasus 1: Kecenderungan menabung daerah pedesaan rendah Ft 300 250 200
Ket:
150
F1
100
F2
50
10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.10 Output produksi masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan rendah. Dari Gambar 4.10 nampak bahwa laju output produksi daerah pedesaan mengalami penurunan di awal waktu, kemudian mengalami kenaikan yang lambat bahkan cenderung stagnan. Sedangkan laju output produksi daerah perkotaan mengalami kenaikan yang signifikan. Meskipun keduanya mengalami kenaikan akan tetapi kenaikan yang tertinggi untuk output produksi dari daerah perkotaan.
55
Kasus 2: Kecenderungan menabung daerah pedesaan sedang Ft 200
150
Ket:
100
F1 50
F2 10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.11 Output produksi masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan sedang. Dari Gambar 4.11 nampak bahwa laju output produksi daerah pedesaan mengalami kenaikan yang relatif sama dengan laju output produksi daerah perkotaan. Meskipun keduanya mengalami kenaikan akan tetapi kenaikan yang tertinggi untuk output produksi dari daerah perkotaan, hanya pada waktu tertentu yang relatif singkat output produksi mencapai titik yang sama.
56
Kasus 3: Kecenderungan menabung daerah pedesaan tinggi Ft
2500 2000
Ket:
1500
F1 1000
F2 500
10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.12 Output produksi masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan tinggi. Dari Gambar 4.12 nampak bahwa laju output produksi daerah perkotaan sangat lambat bahkan cenderung stagnan. Sedangkan laju output produksi daerah pedesaan mengalami kenaikan yang signifikan. Dengan demikian dari ketiga kejadian di atas dapat disimpulkan bahwa jika kondisi parameter-parameter pada Tabel 4.1 hanya diubah tingkat kecenderungan konsumsinya sudah bisa mempengaruhi pendapatan bersih masing-masing daerah. Jika semakin rendah kecenderungan konsumsi pada daerah pedesaan dengan kata lain semakin tinggi kecenderungan untuk menabungnya, maka pendapatan bersih daerah tersebut semakin naik secara nyata begitu pula sebaliknya. Banyaknya output produksi total merupakan penjumlahan dari F1 dan F2 . Untuk lebih lengkapnya perhatikan gambar di bawah ini yang dihasilkan dari persamaan (3.1).
57
Ft 3000 2500 2000
Ket:
1500
Kasus 3 Kasus 2 Kasus 1
1000 500
10
20
30
40
50
t
60
Gambar 4.13 Output produksi total dari daerah pedesaan dan daerah perkotaan dalam tiga kasus. Berdasarkan Gambar 4.13 dapat disimpulkan bahwa dalam kondisi apapun output produksi total selalu cenderung naik, akan tetapi kenaikan yang lebih tinggi diperlihatkan oleh grafik kasus 3 yakni kondisi pada saat perubahan struktural sudah terjadi. Sehingga untuk mendapatkan output produksi total yang lebih banyak, sebaiknya dengan cara mendorong terjadinya perubahan struktural.
4.1.5
Besarnya Konsumsi dan Tabungan Besarnya
konsumsi
masing-masing
daerah
proporsional
dengan
pendapatan yang siap dibelanjakan (T) oleh daerah tersebut. Grafik besarnya konsumsi dari masing-masing daerah yang dihasilkan dari persamaan (3.9) mempunyai pola yang mirip dengan grafik pendapatan bersih. Besaran parameter yang digunakan masih sama seperti yang digunakan pada pertumbuhan modal. Hasil diberikan pada gambar berikut ini:
58
Kasus 1: Kecenderungan menabung daerah pedesaan rendah Ct 250
200
150
100
Ket: C1
50
C2 10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.14 Besarnya konsumsi masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan rendah. Dari Gambar 4.14 nampak bahwa besarnya konsumsi daerah pedesaan mengalami penurunan di awal waktu, kemudian mengalami kenaikan. Sedangkan besarnya konsumsi daerah perkotaan mengalami kenaikan yang signifikan. Meskipun keduanya mengalami kenaikan akan tetapi kenaikan yang tertinggi untuk besarnya konsumsi dari daerah perkotaan.
59
Kasus 2: Kecenderungan menabung daerah pedesaan sedang Ct 350 300 250 200 150
Ket: 100
C1 50
C2 10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.15 Besarnya konsumsi masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan sedang. Dari Gambar 4.15 nampak bahwa besarnya konsumsi daerah pedesaan mengalami kenaikan yang sangat tajam bila dibandingkan dengan besarnya konsumsi daerah perkotaan. Meskipun keduanya mengalami kenaikan akan tetapi kenaikan yang tertinggi untuk besarnya konsumsi dari daerah pedesaan.
60
Kasus 3: Kecenderungan menabung daerah pedesaan tinggi Ct
4000
3000
Ket: C1
2000
C2
1000
10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.16 Besarnya konsumsi masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan tinggi. Dari Gambar 4.16 nampak bahwa besarnya konsumsi daerah perkotaan sangat lambat bahkan cenderung stagnan. Sedangkan besarnya konsumsi daerah pedesaan mengalami kenaikan yang signifikan. Besarnya konsumsi total merupakan penjumlahan dari C1 dan C 2 . Untuk lebih lengkapnya perhatikan gambar di bawah ini yang dihasilkan dari persamaan (3.9).
61
Ct
4000
3000
Ket: Kasus 3 Kasus 2 Kasus 1
2000
1000
10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.17 Besarnya konsumsi total dari daerah pedesaan dan daerah perkotaan dalam tiga kasus. Berdasarkan Gambar 4.17 dapat disimpulkan bahwa dalam kondisi apapun besarnya konsumsi total selalu cenderung naik, akan tetapi kenaikan yang lebih tinggi diperlihatkan oleh grafik kasus 3 yakni kondisi pada saat perubahan struktural sudah terjadi. Sehingga untuk mendapatkan besarnya konsumsi total yang lebih banyak, sebaiknya dengan cara mendorong terjadinya perubahan struktural. Kemudian besarnya tabungan masing-masing daerah juga proporsional dengan pendapatan yang siap dibelanjakan (T) oleh daerah tersebut. Grafik besarnya tabungan dari masing-masing daerah yang dihasilkan dari persamaan (3.9) mempunyai pola yang mirip dengan grafik pertumbuhan modal. Besaran parameter yang digunakan masih sama seperti yang digunakan pada pertumbuhan modal. Hasil diberikan pada gambar berikut ini:
62
Kasus 1: Kecenderungan menabung daerah pedesaan rendah S t
500 400 300
Ket:
200
S1
100
S2
10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.18 Besarnya tabungan masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan rendah. Dari Gambar 4.18 nampak bahwa besarnya tabungan daerah pedesaan mengalami penurunan di awal waktu, kemudian mengalami kenaikan yang lambat bahkan cenderung stagnan. Sedangkan besarnya tabungan daerah perkotaan mengalami kenaikan yang signifikan. Meskipun keduanya mengalami kenaikan akan tetapi kenaikan yang tertinggi untuk besarnya tabungan dari daerah perkotaan.
63
Kasus 2: Kecenderungan menabung daerah pedesaan sedang S t
300
200
Ket: S1
100
S2 10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.19 Besarnya tabungan masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan sedang. Dari Gambar 4.19 nampak bahwa besarnya tabungan daerah pedesaan mengalami kenaikan yang relatif sama dengan besarnya tabungan daerah perkotaan. Meskipun keduanya mengalami kenaikan akan tetapi kenaikan yang tertinggi untuk besarnya tabungan dari daerah perkotaan, hanya pada waktu tertentu yang relatif singkat besarnya tabungan mencapai titik yang sama.
64
Kasus 3: Kecenderungan menabung daerah pedesaan tinggi S t 10 000
8000
6000
Ket: S1
4000
S2
2000
10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.20 Besarnya tabungan masing-masing daerah saat kecenderungan menabung pedesaan tinggi. Dari Gambar 4.20 nampak bahwa besarnya tabungan daerah perkotaan sangat lambat bahkan cenderung stagnan. Sedangkan besarnya tabungan daerah pedesaan mengalami kenaikan yang signifikan. Dengan demikian dari ketiga kejadian di atas dapat disimpulkan bahwa jika kondisi parameter-parameter pada Tabel 4.1 hanya diubah tingkat kecenderungan konsumsinya sudah bisa mempengaruhi besarnya tabungan masing-masing daerah. Jika semakin rendah kecenderungan konsumsi pada daerah pedesaan dengan kata lain semakin tinggi kecenderungan untuk menabungnya, maka besarnya tabungan daerah tersebut semakin naik secara nyata begitu pula sebaliknya. Besarnya tabungan total merupakan penjumlahan dari S 1 dan S 2 . Untuk lebih lengkapnya perhatikan gambar di bawah ini yang dihasilkan dari persamaan (3.9).
65
S t 10 000
8000
6000
Ket: Kasus 3 Kasus 2 Kasus 1
4000
2000
10
20
30
40
50
60
t
Gambar 4.21 Besarnya tabungan total dari daerah pedesaan dan daerah perkotaan dalam tiga kasus. Berdasarkan Gambar 4.21 dapat disimpulkan bahwa dalam kondisi apapun besarnya tabungan total selalu cenderung naik, akan tetapi kenaikan yang lebih tinggi diperlihatkan oleh grafik kasus 3 yakni kondisi pada saat perubahan struktural sudah terjadi. Sehingga untuk mendapatkan besarnya tabungan total yang lebih banyak, sebaiknya dengan cara mendorong terjadinya perubahan struktural.
4.2 Menentukan Variabel-variabel Endogen di Saat Ekuilibrium Sebelumnya telah dibahas variabel-variabel endogen di setiap titik waktu. Sekarang akan dibahas variabel-variabel tersebut saat ekuilibrium. Untuk menentukannya terlebih dahulu menentukan titik ekuilibrium dari fungsi tenaga kerja dengan menggunakan persamaan logistik (2.13). Perhatikan gambar medan arah di bawah ini.
66
L2 t 15
10
.
.
.
.
5
0
L1 t
5 20
0
20
40
60
Gambar 4.22 Medan arah tenaga kerja saat ekuilibrium. Dari Gambar 4.22 dapat dilihat bahwa tenaga kerja saat ekuilibrium berada pada 4 titik yang berbeda yaitu (60,0), (60,9), (0,9), (0,0). Dari keempat titik tersebut yang stabil adalah titik (60,9) yang artinya banyaknya tenaga kerja daerah pedesaan 60 dan banyaknya tenaga kerja daerah perkotaan 9. Titik tetap yang stabil pada saat ekuilibrium untuk tenaga kerja ini selanjutnya akan dipakai untuk menentukan variabel yang lainnya.
4.2.1
Modal Ekuilibrium terjadi pada saat
dK j dt
0 , untuk menentukan solusi sistem
dinamik dari persamaan (3.17) menggunakan Mathematica sebagai alat bantunya. Sama halnya dengan pembahasan sebelumnya, kali ini juga akan dibahas modal dalam tiga kondisi berikut ini.
67
Kasus 1: Kecenderungan menabung pedesaan rendah Akan ditentukan modal saat ekuilibrium sebelum terjadi perubahan struktural dengan menggunakan simulasi. Dalam simulasi kali ini masih menggunakan parameter-parameter yang dipakai saat simulasi di setiap titik waktu yakni Tabel 4.1. Sebelum menentukan titik tetapnya, terlebih dahulu menentukan medan arah agar lebih kelihatan secara nyata. Adapun gambar medan arahnya sebagai berikut: K2 t
.
600
400
200
.
0
0
K1
100
200
300
400
500
Gambar 4.23 Medan arah modal saat kecenderungan menabung pedesaan rendah. Dari Gambar 4.23 dapat dilihat bahwa modal saat ekuilibrium berada pada 2 titik yang berbeda yaitu (53,8229; 595,162), (20,3205; -1,44614). Dari kedua titik tersebut yang stabil adalah titik yaitu titik (53,8229; 595,162) yang artinya pada saat ekuilibrium modal daerah pedesaan mencapai 53,8229, sedangkan modal daerah perkotaan mencapai 595,162. Berdasarkan Gambar 4.1 yang didapatkan dari persamaan (3.13) modal daerah pedesaan mencapai 53,8229 saat t=186 dan modal daerah perkotaan mencapai 595,162 saat t=185.
68
Kasus 2: Kecenderungan menabung pedesaan sedang Untuk menentukan modal saat ekuilibrium setelah terjadi perubahan struktural tetapi belum stabil secara numerik dengan menggunakan Mathematica. Dalam simulasi kali ini masih menggunakan parameter-parameter yang dipakai saat simulasi di setiap titik waktu yakni Tabel 4.1 hanya diubah tingkat kecenderungan konsumsi di daerah pedesaannya, yakni diturunkan menjadi 52% dengan kata lain menaikkan kecenderungan untuk menabung menjadi 48%. Sebelum menentukan titik tetapnya, terlebih dahulu menentukan medan arah agar lebih kelihatan secara nyata. Adapun gambar medan arahnya sebagai berikut: K2 t 600
.
400
200
0
200 100
K1 t
. 0
100
200
300
400
500
600
Gambar 4.24 Medan arah modal saat kecenderungan menabung pedesaan sedang. Dari Gambar 4.24 dapat dilihat bahwa modal saat ekuilibrium berada pada 2 titik yang berbeda yaitu (493,475; -145,66), (323,961; 404,935). Dari kedua titik tersebut yang stabil adalah titik yaitu titik (323,961; 404,935) yang artinya pada saat ekuilibrium modal daerah pedesaan mencapai 323,961, sedangkan
69
modal daerah perkotaan mencapai 404,935. Berdasarkan Gambar 4.2 yang didapatkan dari persamaan (3.13) modal daerah pedesaan mencapai 323,961 saat t=57,7 dan modal daerah perkotaan mencapai 404,935 saat t=279,6.
Kasus 3: Kecenderungan menabung pedesaan tinggi Saat terjadi perubahan struktural dengan stabil modal tetap dapat ditentukan dengan menggunakan simulasi. Dalam simulasi kali ini masih menggunakan parameter-parameter yang dipakai saat simulasi di setiap titik waktu yakni Tabel 4.1 hanya diubah lagi tingkat kecenderungan konsumsi di daerah pedesaannya, yakni diturunkan menjadi 32% dengan kata lain menaikkan kecenderungan untuk menabung menjadi 68%. Sebelum menentukan titik tetapnya, terlebih dahulu menentukan medan arah agar lebih kelihatan secara nyata. Adapun gambar medan arahnya sebagai berikut: K2 t 5000
4000
3000
2000
1000
.
.
0
K1 t
1000 0
2000
4000
6000
8000
10 000
Gambar 4.25 Medan arah modal saat kecenderungan menabung pedesaan tinggi. Dari Gambar 4.25 dapat dilihat bahwa modal saat ekuilibrium berada pada 2 titik yang berbeda yaitu (10.162,6; 416,401), (-204,109; 817,204). Dari kedua
70
titik tersebut yang stabil adalah titik (10.162,6; 416,401) yang artinya pada saat ekuilibrium modal daerah pedesaan mencapai 10.162,6, sedangkan modal daerah perkotaan mencapai 416,401. Berdasarkan Gambar 4.3 yang didapatkan dari persamaan (3.13) modal daerah pedesaan mencapai 10.162,6 saat t=165 dan modal daerah perkotaan mencapai 416,401 saat t=173. Dari ketiga kondisi di atas masing-masing titik tetap stabilnya dapat digambarkan menjadi satu sebagai berikut: K2 t 800
600
400
. .
Kasus 1
Kasus 3
Kasus 2
.
200
0
2000
4000
6000
8000
K1 t
10 000
Gambar 4.26 Titik tetap stabil modal dalam tiga kondisi. Selain dapat dibuatkan gambar titik tetap stabil dalam tiga kondisi, untuk melihat pola dari ketiga kondisi saat ekuilibrium juga dapat dibuatkan tabel titik tetap stabil modal dalam tiga kondisi sebagai berikut: Tabel 4.2 Titik tetap stabil modal dalam tiga kondisi Kondisi Perubahan Struktural
K1
K2
Sebelum terjadi
53,8229
595,162
Sudah terjadi tapi belum stabil
323,961
404,935
Sudah terjadi dengan stabil
10.162,6
416,401
71
Dari Tabel 4.2 terlihat kecenderungan modal dari sebelum terjadi perubahan struktural menuju ke perubahan struktural untuk daerah pedesaan mengalami kenaikan, sedangkan untuk daerah perkotaan mengalami penurunan tapi kemudian naik lagi.
4.2.2
Pendapatan Bersih Dengan menggunakan data pada modal saat ekuilibrium dan persamaan
(3.14), selanjutnya akan dibahas tentang pendapatan bersih pada saat ekuilibrium. Pendapatan bersih saat ekuilibrium di mana perubahan struktural belum terjadi, untuk daerah pedesaan sebesar 126,125 sedangkan untuk daerah perkotaan sebesar 261,021. Pendapatan bersih saat ekuilibrium di mana perubahan struktural sudah terjadi akan tetapi belum stabil, untuk daerah pedesaan sebesar 354,197 sedangkan untuk daerah perkotaan sebesar
177,593. Pendapatan bersih saat
ekuilibrium di mana perubahan struktural sudah terjadi dengan stabil, untuk daerah pedesaan sebesar
4884,02 sedangkan untuk daerah perkotaan sebesar
182,622. Berdasarkan penjelasan di atas, untuk melihat pola dari ketiga kondisi dapat dibuatkan tabel pendapatan bersih masing-masing daerah dalam tiga kondisi sebagai berikut: Tabel
4.3
Pendapatan bersih masing-masing ekuilibrium dalam tiga kondisi
Kondisi Perubahan Struktural
daerah
saat
Y1
Y2
Sebelum terjadi
126,125
261,021
Sudah terjadi tapi belum stabil
354,197
177,593
Sudah terjadi dengan stabil
4.884,02
182,622
Dari Tabel 4.3 terlihat kecenderungan pendapatan bersih dari sebelum terjadi perubahan struktural menuju ke perubahan struktural untuk daerah pedesaan mengalami kenaikan, sedangkan untuk daerah perkotaan mengalami penurunan tapi kemudian naik lagi.
72
4.2.3
Konsumsi dan Tabungan Pada pembahasan kali ini, masih menggunakan data pada modal saat
ekuilibrium dan persamaan (3.15). Untuk besarnya tabungan saat ekuilibrium sama persis dengan besarnya modal, sehingga tidak perlu dibahas secara khusus. Sedangkan besarnya konsumsi proporsional dengan modal. Konsumsi saat ekuilibrium di mana perubahan struktural belum terjadi, untuk daerah pedesaan sebesar
125,587sedangkan untuk daerah perkotaan
sebesar 23,067. Konsumsi saat ekuilibrium di mana perubahan struktural sudah terjadi akan tetapi belum stabil, untuk daerah pedesaan sebesar sedangkan untuk daerah perkotaan sebesar
350,958
138,84. Konsumsi bersih saat
ekuilibrium di mana perubahan struktural sudah terjadi dengan stabil, untuk daerah pedesaan sebesar
4782,4 sedangkan untuk daerah perkotaan sebesar
4355,4. Berdasarkan penjelasan di atas, untuk melihat pola dari ketiga kondisi dapat dibuatkan tabel konsumsi masing-masing daerah dalam tiga kondisi sebagai berikut: Tabel 4.4 Konsumsi masing-masing daerah saat ekuilibrium dalam tiga kondisi Kondisi Perubahan Struktural
C1
C2
Sebelum terjadi
125,587
23,067
Sudah terjadi tapi belum stabil
350,958
138,84
Sudah terjadi dengan stabil
4.782,4
4.355,4
Dari Tabel 4.4 terlihat kecenderungan konsumsi dari sebelum terjadi perubahan struktural menuju ke perubahan struktural untuk daerah pedesaan maupun daerah perkotaan semuanya mengalami kenaikan.
73
BAB V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan Dari kajian terhadap model dinamika pertumbuhan ekonomi pedesaan dan perkotaan, maka dapat disimpulkan bahwa: 1. Model dinamika pertumbuhan ekonomi pedesaan dan perkotaan yang berhasil dirumuskan adalah suatu model sistem persamaan diferensial tak linear dua dimensi. 2. Kondisi ekuilibrium didapat sebagai persamaan implisit dari fungsi modal perkotaan dan pedesaan. 3. Hasil studi simulasi numerik adalah sebagai berikut: i. Semakin besar kecenderungan menabung daerah pedesaan, maka perubahan struktural akan terwujud dengan cepat dan begitu pula sebaliknya. Saat kecenderungan menabung daerah pedesaan 30% perubahan struktural belum terjadi, dan saat kecenderungan menabungnya meningkat menjadi 48% perubahan struktural hampir terjadi. Kemudian saat kecenderungan menabungnya meningkat lagi menjadi 68% perubahan struktural sudah terjadi. ii. Semua nilai dari variabel endogen pada saat perubahan struktural telah terjadi selalu lebih besar apabila dibandingkan dengan kondisi saat perubahan struktural belum terjadi, kecuali pada variabel perpindahan tenaga kerja. Dengan demikian cara untuk mengoptimalkan variabelvariabel tersebut sebaiknya didorong terjadinya perubahan struktural terlebih dahulu. iii. Pada kondisi ekuilibrium, baik terjadi ataupun tidak terjadi perubahan struktural, masing-masing kasus mempunyai satu titik tetap yang stabil.
74
5.2 Saran Dalam penelitian ini perlu adanya perbaikan dan pengembangan dari model dinamika pertumbuhan ekonomi pedesaan dan perkotaan, diantaranya: 1. Mengurangi asumsi-asumsi yang ada pada model menjadi lebih mendekati pada dunia nyata, sebagai contoh fungsi tenaga kerjanya bukan diasumsikan menggunakan fungsi logistik tetapi menggunakan fungsi tenaga kerja yang lebih sesuai kenyataan. 2. Agar dapat menggambarkan kondisi nyata di lapangan, parameter model dihitung menggunakan data empirik.
75
DAFTAR PUSTAKA
Ardana NKK. 2004. Buku I Panduan Penggunaan Mathematica. Bogor: Departemen Matematika Fakultas MIPA IPB. Chiang AC, Wainwright K. 2006. Dasar-dasar Matematika Ekonomi Jilid 1 Ed. Ke-4. Sudigno S, Nartanto, penerjemah; Sumiharti Y, Prasetyo SST, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Fundamental Methods of Mathematical Economics. Encyclopedia. 2011. Logistic Function. http://en.wikipedia.org Herliani AL. 2009. Model Distribusi Pertumbuhan Ekonomi Antarkelompok Pada
Dua
Daerah. [tesis]. Bogor: Sekolah Pascasarjana, Institut
Pertanian Bogor. http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/17585/4/Chapter%20II.pdf Soekartawi. 1994. Teori Ekonomi Produksi. Jakarta: Raja Grafindo Persada. Sukirno S. 1994. http://jurnal-sdm.blogspot.com/2010/01/pertumbuhan-ekonomidefinisi-sumber.html Tajau MTN. 2008. Model Pertumbuhan Ekonomi Dua Daerah Berdasarkan Modal dan Knowledge. [tesis]. Bogor: Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Tarumingkeng RC. 1994. Dinamika Populasi: kajian ekologi kuantitatif. Jakarta: Pustaka Sinar Harapan dan Universitas Kristen Krida Wacana. Tim. 2004. Buku II Panduan Penggunaan Mathematica. Bogor: Departemen Matematika Fakultas MIPA IPB. Todaro MP, Smith SC. 2006. Pembangunan Ekonomi Jilid 1 Ed. ke-9. Munandar H, Puji AL, penerjemah; Barnadi D, Hardani SSW, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Economic Development. Zhang WB. 2005. Differential equations, bifurcations, and chaos in economic. World Scientific.
76
LAMPIRAN
77
78
Lampiran 1 Pembuktian persamaan (3.2 dan 3.3) Keuntungan adalah nilai penerimaan total dikurangi biaya total yang dikeluarkan. Jika keuntungan dinotasikan
sebagai fungsi dari K, maka:
= penerimaan total – biaya produksi = F.p – (rK+wL+δK) Di mana p adalah harga, r tingkat suku bunga / imbal hasil, w upah dan L tenaga kerja. Dengan mengasumsikan p=1 maka: = F – (rK+wL+δK) Persamaan (3.2)
Akan dibuktikan: r
F1 K1
F2 K2
Keuntungan akan maksimum jika
0 sehingga didapatkan persamaan dari
suku bunga/imbal hasil sebagai berikut:
0
F1 (t ) K1 ( L1 E ) ,
r
dF1 dK1 1
K1
( L1 E )
K1 ( L1 E ) K1
F1 K1
▐
F2 (t ) K 2 ( L2 E )
79
r
dF2 dK 2
K 2
1
( L2 E )
K 2 ( L2 E ) K2
F2 K2
▐
Selanjutnya untuk persamaan (3.3)
Akan dibuktikan: w2
F2 L2 E
= F – (rK+wL+δK) d dF w dL dL 0
dF w dL
w2 K 2 ( L2 E ) 1
w2 w2
K 2 ( L2 E ) L2 E
F2 L2 E
▐
Dan diasumsikan w1
F1 L1 E
80
Lampiran 2 Pembuktian persamaan (3.9) Akan dibuktikan: S j jT j C j jT j
Masalah optimasi fungsi utilitas berkendala dapat dirumuskan sebagai berikut:
Terhadap Karena
U j (t ) C j j S j j
Maksimalkan
C j S j Y j K j K j = T j C j = Tj S j
Maka dapat dijadikan masalah optimasi tanpa kendala, yaitu dengan
mengoptimalkan U j (t ) (T j S j ) j S j j
Uji turunan pertama terhadap S j dU j (t ) dS j
j (T j S j )
j 1
S j j j (T j S j ) j S j
j 1
j (T j S j )
j 1
S j j j (T j S j ) j S j
j 1
0
j S j j (T j S j ) j S j j S j jT j Sj
jT j jT j ▐ j j
C j Tj S j
= T j jT j = jT j ▐ Maka fungsi utilitasnya maksimum pada nilai C j jT j dan S j jT j .
81
Lampiran 3 Pembuktian persamaan (3.10)
Akan dibuktikan:
dK j dt
dK j dt
jY j j K j
Sj Kj jT j K j , S j jT j j (Y j K j K j ) K j jY j j K j jK j K j jY j ( j j 1) K j jY j [(1 j ) j ]K j jY j ( j j ) K j ,
jY j j K j ▐
dengan j j j
Lampiran 4
j j 1
82
Pembuktian persamaan (3.11)
Akan dibuktikan: E
Persamaan (3.1):
L1 K 2 L2 K1 K1 K 2
F1 (t ) K1 ( L1 E ) ,
F2 (t ) K 2 ( L2 E ) ,
Persamaan (3.2):
r=
F1
F1
K1
K1
F2 K2
F2 K2
K1 ( L1 E ) K 2 ( L2 E ) K1 K2 1
K1
( L1 E ) K 2
1
1
( L2 E ) ,
L1 E K 2 L2 E K1 L1 E K 2 L2 E K1 L1 E K1 L2 E K 2
K 2 ( L1 E ) K1 ( L2 E ) L1K 2 K 2 E L2 K1 K1E ( K1 K 2 ) E L1K 2 L2 K1 E
Lampiran 5
L1 K 2 L2 K1 ▐ K1 K 2
1
83
Pembuktian persamaan (3.12)
L L2 K K2 K1 1 E Akan dibuktikan: Y1 ( 1) K1 1 K1 K 2 L1 L2
K K2 L L2 L2 K 2 1 Y2 K 2 1 L1 L2 K1 K 2
L1 ( K1 K 2 ) L1 K 2 L2 K1 K1 K 2
L1 K1 L1 K 2 L1 K 2 L2 K1 K1 K 2
( L1 L2 ) K1 K1 K 2
L2 ( K1 K 2 ) L1 K 2 L2 K1 K1 K 2
L2 K1 L2 K 2 L1 K 2 L2 K1 K1 K 2
( L1 L2 ) K 2 K1 K 2
Y1 rK 1 w1 ( L1 E ) w2 E
(
K1 ( L1 E ) K1
) K1
K 2 ( L2 E ) K1 ( L1 E ) E ( L1 E ) L1 E L2 E
K K2 L L2 L L2 K 2 E K1 K 2 1 K1 K1 K1 1 K1 1 K K K K L L 2 2 2 1 1 1
K K2 L L2 L L2 E 1 K1 K1 1 K1 1 L1 L2 K1 K 2 K1 K 2
K K2 L L2 E ▐ K1 1 ( 1) K1 1 L1 L2 K1 K 2 Y2 rK 2 w2 L2
84
(
K 2 ( L2 E ) K2
)K 2
K 2 ( L2 E ) L2 E
L2
K K2 L L2 K 2 L2 K 2 K 2 K 2 1 K 2 1 K K L L 2 2 1 1
K K2 L L2 L2 ▐ K 2 1 K 2 1 L1 L2 K1 K 2
85
Lampiran 6 Pembuktian persamaan (3.14)
Akan dibuktikan: Y j
dK j dt dK j dt
jK j j
0, jY j j K j 0
L L2 K K2 K K1 1 E 1 1 ▐ Y1 ( 1) K1 1 1 K1 K 2 L1 L2
K K2 L L2 K L2 2 2 ▐ K 2 1 Y2 K 2 1 2 L1 L2 K1 K 2
86
Lampiran 7 Pembuktian persamaan (3.15)
Akan dibuktikan: C j
j K j j
Sj Kj C j jT j ,
T j Y j K j K j
j (Y j K j K j )
K j j j K j K j , j j j j j j j 1 K j j
j j j j j j j j j j Cj
j K ▐ j j
K j
K j j 1 j
K j
87
S j jT j
j (Y j K j K j )
K j j j K j K j j j j j 1 K j j j j j j j j j j j j
j K j j
Sj Kj▐
K j
K j j 1 j
K j
