Tantárgy neve Tantárgy kódja Meghirdetés féléve Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) Számonkérés módja Előfeltétel (tantárgyi kód) Tantárgyfelelős neve Tantárgyfelelős beosztása
Lineáris algebra I MTB1004 2 3k 2+0 kollokvium MTB1003 Kurdics János Főiskolai tanár
1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései A lineáris algebra tantárgy célja a lineáris algebra klasszikus fejezeteinek megismerése (szabadvektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek, determinánsok) és a modern lineáris algebra alapjainak elsajátítása (végesen generált vektorterek, lineáris leképezések). A tantárgy nyújtson biztos alapot a matematika további fejezeteinek tanulmányozásához. 2. A tantárgy tartalma Test fölötti vektortér, altér. Alterek összege és metszete. Lineáris kombináció, lineárisan független vektorrendszer, generátorrendszer, bázis, jellemzésük. A dimenzió fogalmát előkészítő tételek, dimenzió. Direkt összeg és különböző jellemzései. Lineáris sokaság, faktortér. A faktortér dimenziója. A skalár n-esek euklideszi vektortere. A szám n-esek terénk vektortér és euklideszi vektortér struktúrája. Norma, a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség. Távolság és szög. Multilineáris alternáló formák, a determinánsfüggvény bevezetése és alaptulajdonságai. Lineáris leképezés fogalma, műveletek lineáris leképezésekkel, a lineáris leképezések tere. Lineáris leképezés bázispárra vonatkozó mátrixa. Báziscsere. A koordináták transzformációja báziscsere esetén. Lineáris transzformáció mátrixának transzformációja báziscsere esetén, hasonló mátrixok. Képtér, magtér, a homomorfiatétel. Mátrix fogalma, a mátrixok algebrája, mátrixgyűrű. Mátrix transzponáltja. Lépcsős mátrixok, mátrixok elemi sorátalakításai, a Gauss kiküszöbölés algoritmusa. Mátrixok szorzása, inverze. invertálhatósága. Mátrix inverzének meghatározása szimultán Gauss kiküszöböléssel. Mátrixok rangja, rangszámtétele, algoritmus a rang megállapítására. A szorzatmátrix rangjára vonatkozó tétel. Algoritmus a determináns kiszámítására. A determinánsok szorzástétele. A transzponált mátrix determinánsa. Kofaktorok, a kifejtési tétel és a ferde kifejtési tétel. Lineáris egyenletrendszerek és alapvető elnevezések. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldásának szerkezete. Inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldhatósága, a Kronecker-Capelli tétel. A megoldható inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásának szerkezete. Algoritmus a lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának eldöntésére és megoldására Gauss kiküszöböléssel. Speciális lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer-szabály segítségével.
3. Évközi ellenőrzés módja Az anyag első fele (vektorterek, lineáris leképezések) a félév során kerül számonkérésre zárthelyi dolgozat formájában. A vizsgára bocsátás feltétele ebből a dolgozatból legalább
50%-os eredmény elérése. Követelmény a tételek és definíciók pontos ismerete, a tanult eljárások ismerete és gyakorlati alkalmazása. A számonkéréskor az alábbi tételek bizonyítását kötelező tudni: 1. A CBS egyenlõtlenség a skalár n-esek terében. 2. Steinitz-féle kicserélési tétel. Végesen generált vektortérben létezik bázis és minden bázis azonos tagszámú. 3. A faktortér dimenziójára vonatkozó tétel. 4. A mátrixszorzás műveleti tulajdonságai (asszociativitás, disztributivitás). 5. Minden mátrix sorekvivalens egy lépcsős mátrixszal. 6. A determinánsok kifejtési tétele. 7. Kronecker-Capelli tétel. 8. Cramer szabály. 9. A homomorfiatétel, a ,,nullitás+rang'' tétel. 10. Az első SMS formula. A számonkéréskor az alábbi eljárások gyakorlati alkalmazását kötelező tudni: 1. Szám n-es hosszának, két szám n-es szögének kiszámítása. 2. Mátrixalgebra: (megfelelő típusú) mátrixok összege, szorzata, mátrix skalárszorosa, mátrix behelyettesítése polinomba. 3. Mátrix lépcsős alakra hozása, rangjának megállapítása a lépcsõs alakból. 4. Mátrix inverzének meghatározása szimultán Gauss eliminációval. Két mátrixról eldönteni, hogy egymás inverzei-e. 5. Lineáris egyenletrendszer megoldása, a megoldás szerkezetének felírása. 6. Determináns kiszámítása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai Nincs külső szakmai gyakorlat. 5. A kötelező ill. ajánlott irodalom Kötelező irodalom: 1. Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2001. 2. Gaál István-Kozma László: Lineáris algebra. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 1998. 3. Kovács Zoltán: Lineáris algebra (előadásvázlat). zeus.nyf.hu/~kovacsz 4. Kovács Zoltán (szerk.): Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz. Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2003. Ajánlott irodalom 1. Halmos, P.R.: Véges dimenziós vektorterek. Műszaki Könyvkiadó, 1984. 2. Kovács Zoltán: Tesztfeladatok lineáris algebrából. zeus.nyf.hu/~kovacsz. 3. Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába. Polygon, Szeged. 6. A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása A tantárgy nem igényel speciális felszerelést.
Tantárgy neve Tantárgy kódja Meghirdetés féléve Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) Számonkérés módja Előfeltétel (tantárgyi kód) Tantárgyfelelős neve Tantárgyfelelős beosztása
Lineáris algebra I gyakorlat MTB1005 2 2k 0+2 gyakorlati jegy MTB1003, MTB1004(E) Kurdics János Főiskolai tanár
1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései A lineáris algebra tantárgy célja a lineáris algebra klasszikus fejezeteinek megismerése (szabadvektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek, determinánsok) és a modern lineáris algebra alapjainak elsajátítása (végesen generált vektorterek, lineáris leképezések). A gyakorlat nyújtson megfelelő támogatást az elméletben tanultak elsajátításához és az elmélet gyakorlati alkalmazásaihoz. A hallgatók ismerjék meg és hatékonyan tudják alkalmazni az elemi lineáris algebra alapvető algoritmusait. 2. A tantárgy tartalma A gyakorlatok kötelező feladatanyaga: a kötelező irodalom 1-253. feladatai. 3. Évközi ellenőrzés módja Két zárthelyi dolgozat írása a kijelölt feladatanyagból. A két zárthelyi dolgozat együttes eredményének el kell érnie az 50%-ot a tárgy sikeres teljesítéséhez. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai Nincs külső szakmai gyakorlat. 5. A kötelező ill. ajánlott irodalom Kötelező irodalom: 1. Kovács Zoltán (szerk.): Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz. Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2003. 6. A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása A tantárgy nem igényel speciális felszerelést.
Mintafeladatsor Line´aris algebra-A I. Elm´elet (20pt) 1. Mit e´ rt ir´any´ıtott szakaszon, e´ s szabadvektoron? (2) 2. Mondja ki k´et szabadvektor skal´aris szorzat´anak defin´ıci´oj´at, valamint kisz´am´ıt´as´at egy ortonorm´alt b´azisra vonatkoz´o koordin´at´akb´ol! (2) 3. Test feletti vektort´er fogalma. (2) 4. Line´aris lek´epez´es fogalma. Hogyan e´ rtelmezz¨uk az o¨ sszead´ast e´ s a skal´arral val´o szorz´ast az L(V ; W ) vektort´erben. (2) 5. Mondja ki a Cramer szab´alyt! (2) 6. Bizony´ıtsa be: Nincs n´egy line´arisan f¨uggetlen szabadvektor. (5) 7. Bizony´ıtsa be: V´egesen gener´alt vektort´erben l´etezik b´azis e´ s minden b´azis azonos tagsz´am´u. (5) II. Feladatok (4×5pt=20pt) 8. Legyen a(1, 2, 2), b(2, 4, 4), c(−1, 1, 0). (A koordin´at´ak pozit´ıv ON b´azisra vonatkoznak.) Sz´am´ıtsa ki: (a) kak, a · b, b × c, ^(a, b)! (b) Line´arisan f¨uggetlen-e az (a, b, c) vektorrendszer? (Indokl´assal!) 9. Legyen a(1, −1, 1). (A koordin´at´ak pozit´ıv ON b´azisra vonatkoznak.) (a) ´Irja fel az orig´ora illeszked˝o a ir´anyvektor´u egyenes egyenletrendszer´et. (2) (b) Adjon meg az el˝obbi egyenesen egy orig´ot´ol k¨ul¨onb¨oz˝o pontot. (1) (c) az (1, 0, 0) pontra illeszked˝o a norm´alvektor´u s´ık egyenlet´et. (2) 10. Legyen
2 A= 4 2
−1 5 −2 7 −1 1
7 5 . −5
´ Allap´ ıtsa meg A rangj´at! 11. ´Irja fel azt a homog´en line´aris egyenletrendszert, amelynek alapm´atrixa az el˝obbi A m´atrix, oldja meg, adja meg a megold´as szerkezet´et!
(n´ev) III. Teszt (20pt) A helyes v´alasz 1, 5 pont, a helytelen −0, 5 pont, az u¨ resen hagyott n´egyzet 0 pont. Mindenki 5 ponttal indul, teh´at ha minden v´alaszt elront, a szerzett pontsz´am 0p, ha valamennyi n´egyzetet u¨ resen hagyja, akkor a szerzett pontsz´am 5p, m´ıg ha valamennyi v´alasz helyes, a szerzett pontsz´am 20 pont. Ha az a´ ll´ıt´as igaz, ´ırjon a n´egyzetbe I bet˝ut, ha az a´ ll´ıt´as hamis, akkor H bet˝ut. M2×2 , azaz a 2×2 t´ıpus´u val´os elem˝u m´atrixok halmaza, csoport a m´atrixszorz´as m˝uvelet´ere n´ezve. M2×2 , azaz a 2 × 2 t´ıpus´u val´os elem˝u m´atrixok halmaza, csoport a m´atrixok o¨ sszead´as´anak m˝uvelet´ere n´ezve. Az R2 → R2 , (x, y) 7→ (x, y) lek´epez´es line´aris lek´epez´es. Az R2 → R2 , (x, y) 7→ (1, 1) lek´epez´es line´aris lek´epez´es. Egy gener´atorrendszert b˝ov´ıts¨uk a z´erusvektorral. ´Igy v´altozatlanul gener´atorrendszert kapunk. Ha egy gener´atorrendszer b´azis, akkor egyben line´arisan f¨uggetlen is. Az al´abbi vektorrendszerb˝ol R3 z´erusvektora csak trivi´alisan kombin´alhat´o. ¡ ¢ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (1, 1, 1) . Az R2 vektort´er y = x egyenesre vonatkoz´o t¨ukr¨oz´es´enek m´atrixa a kanonikus b´azisban diagon´alis m´atrix. Az R2 vektort´er y = x egyenesre µ vonatkoz´ ¶ o t¨ukr¨oz´es´enek m´atrixa az ¡ ¢ 1 −1 (1, 1)t , (−1, 1)t b´azisban: . 1 1 Az R2 vektort´er y = x egyenesre vonatkoz´o t¨ukr¨oz´es´enek magtere az y = −x egyenes.
2
mintafeladatsor Line´aris algebra-B Elm´elet ¨ 1. Test feletti vektort´er fogalma. Osszead´ as e´ s skal´arral val´o szorz´as a val´os polinomok ter´eben. (2) 2. Legyenek v1 , v2 , . . . , vn egy V vektort´er vektorai. Mit jel¨ol L(v1 , v2 , . . . , vn )? (Mik az elemei, hogyan nevezz¨uk?) Alt´er lesz-e L(v1 , v2 , . . . , vn ) V -ben? (2) 3. Mikor nevez egy vektorrendszert line´arisan f¨uggetlennek, gener´atorrendszernek, b´azisnak? (2) 4. Legyen H aV vektort´er altere. Mit e´ rt a V /H faktort´eren. (Az o¨ sszead´as e´ s a skal´arral val´o szorz´as megad´asa.) P´elda. (2) 5. Mit e´ rt line´aris lek´epez´esen? Mondjon p´eld´at R3 → R2 (nemz´er´o) line´aris lek´epez´esre! (2) 6. Line´aris lek´epez´es nulltere e´ s magtere. Valamely r¨ogz´ıtett k 6= 0 val´os sz´amra tekints¨uk a V → V, x 7→ k · x line´aris lek´epez´est! Mi a k´eptere, magtere, rangja. (V val´os n dimenzi´os vektort´er.) (2) 7. Mit e´ rt egy n´egyzetes m´atrix inverz´en?. Invert´alhat´o m´atrixok szorzat´anak inverze. Az inverzk´epz´es e´ s a transzpon´al´as kapcsolata. (2) 8. n × n-es determin´ans fogalma. A determin´ansok sor szerinti kifejt´esi t´etele. (2) 9. A homomorfiat´etel, nullit´as + rang t´etel. (6) 10. A m´atrixszorz´as asszociat´ıv tulajdons´aga.(6) 11. Cramer szab´aly. (6) Feladatok (5–5pt) 12. Legyen
2 A= 4 2
−1 5 −2 7 −1 1
7 5 . −5
´ Allap´ ıtsa meg A rangj´at! 13. Legyen
1 1 B = 0 1 0 0
0 1 . 1
Hat´arozza meg At · B 2 -et! ´ fel azt a homog´en line´aris egyenletrendszert, amelynek alapm´atrixa az el˝obbi 14. Irja A m´atrix, oldja meg, adja meg a megold´as szerkezet´et!
1
(n´ev) III. Teszt (20pt) A helyes v´alasz 1, 5 pont, a helytelen −0, 5 pont, az u¨ resen hagyott n´egyzet 0 pont. Mindenki 5 ponttal indul, teh´at ha minden v´alaszt elront, a szerzett pontsz´am 0p, ha valamennyi n´egyzetet u¨ resen hagyja, akkor a szerzett pontsz´am 5p, m´ıg ha valamennyi v´alasz helyes, a szerzett pontsz´am 20 pont. Ha az a´ ll´ıt´as igaz, ´ırjon a n´egyzetbe I bet˝ut, ha az a´ ll´ıt´as hamis, akkor H bet˝ut. M2×2 , azaz a 2×2 t´ıpus´u val´os elem˝u m´atrixok halmaza, csoport a m´atrixszorz´as m˝uvelet´ere n´ezve. M2×2 , azaz a 2 × 2 t´ıpus´u val´os elem˝u m´atrixok halmaza, csoport a m´atrixok o¨ sszead´as´anak m˝uvelet´ere n´ezve. Az R2 → R2 , (x, y) 7→ (x, y) lek´epez´es line´aris lek´epez´es. Az R2 → R2 , (x, y) 7→ (1, 1) lek´epez´es line´aris lek´epez´es. Egy gener´atorrendszert b˝ov´ıts¨uk a z´erusvektorral. ´Igy v´altozatlanul gener´atorrendszert kapunk. Ha egy gener´atorrendszer b´azis, akkor egyben line´arisan f¨uggetlen is. Az al´abbi vektorrendszerb˝ol R3 z´erusvektora csak trivi´alisan kombin´alhat´o. ¡ ¢ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (1, 1, 1) . Az R2 vektort´er y = x egyenesre vonatkoz´o t¨ukr¨oz´es´enek m´atrixa a kanonikus b´azisban diagon´alis m´atrix. Az R2 vektort´er y = x egyenesre µ vonatkoz´ ¶ o t¨ukr¨oz´es´enek m´atrixa az ¡ ¢ 1 −1 (1, 1)t , (−1, 1)t b´azisban: . 1 1 Az R2 vektort´er y = x egyenesre vonatkoz´o t¨ukr¨oz´es´enek magtere az y = −x egyenes.
2
