Tantárgy neve Tantárgy kódja Meghirdetés féléve Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) Számonkérés módja Előfeltétel (tantárgyi kód) Tantárgyfelelős neve Tantárgyfelelős beosztása
Algebrai alapismeretek MTB1003 1 4 2+2 Gyakorlati jegy Kurdics János Főiskolai tanár
1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései A hallgatók ismerjék meg az algebra alapfogalmait, legyenenk képesek ezek alkotó alkalmazására modern felsőbb matematika felépítésének megalapozásaként. Sajátítsák el az elemi számelmélet alapvető eredményeit, legfontosabb eljárásait. Ismerjék meg a polinomelmélet alapjait. Alakuljon ki bennük a szabatos matematikai fogalomalkotás készsége és a bizonyítás iránti igény. Legyenek képesek ezen a bázison a tárgyra épülö további kurzusok anyagának feldolgozására. 2. A tantárgy tartalma Előadás. Algebrai műveletek általános fogalma. Műveleti tulajdonságok: asszociativitás, kommutativitás, invertálhatóság, idempotencia, disztributivitás, abszorptivitás. Kitüntetett elemek: neutrális elem, inverzelem, zéruselem, zérusosztó, egység. Alapvető algebrai struktúrák: félcsoport, monoid, csoport, Abel-csoport, gyűrű, egységelemes gyűrű, kommutatív gyűrű, integritástartomány, ferdetest, test, félháló, háló, disztributív háló, komplementumos háló, Boole-algebra. Példák a fenti tulajdonságú műveletekre, a fenti struktúratípusokra, ezeknek alkalmazásaira. Elemi algebrai azonosságok. Az asszociativitás következményei: szorzat zárójelezése, a neutrális elem egyértelműsége, az iverz egyértelműsége (létezés esetén), az egységek csoportja. A racionális kitevőjű hatvány fogalma, a hatványozás azonosságai. A disztributivitás következményei. Az additív neutrális elem multiplikatív zérus. A de Morgan törvények. Elemi számelmélet. Egész számok oszthatósága: az oszthatóság reláció tulajdoságai, asszociáltság. A maradékos osztás tétele, az euklideszi algoritmus. A legnagyobb közös osztó fogalma, létezése és előállítása az euklideszi algoritmus alapján. A legnagyobb közös osztó képzésének tulajdonságai. A legkisebb közös többszörös fogalma, létezése. A legkisebb közös többszörös képzésének tulajdonságai. Számrendszerek. A prímszám és a törzsszám fogalma. A két fogalom közötti összefüggés. Az egyértelmű prímfaktorizáció tétele, a számelmélet alaptétele. Elemi polinomelmélet. A testfölötti polinomgyűrű. Testfölötti polinomok oszthatósága: az oszthatóság reláció tulajdoságai, asszociáltság. A maradékos osztás tétele testfölötti polinomokra, polinom osztása polinommal, az euklideszi algoritmus testfölötti polinomokra.
Testfölötti polinomok legnagyobb közös osztójának fogalma, létezése és előállítása az euklideszi algoritmus alapján. Testfölötti polinomok legnagyobb közös osztója képzésének tulajdonságai. Testfölötti polinomok legkisebb közös többszörösének fogalma, létezése. Testfölötti polinomok legkisebb közös többszöröse képzésének tulajdonságai. A prímpolinom és irreducibilis polinom fogalma. A két fogalom közötti összefüggés. Az egyértelmű prímfaktorizáció tétele testfölötti polinomokra, a polinomelmélet alaptétele. Irreducibilitási kritériumok. Polinomok és racionális törtfüggvények, a parciális törtekre bontás tétele. Algebrai egyenlet fogalma, algebrai egyenletek megoldásai. Bézout tétele. Többszörös gyökök, multiplicitás fogalma, gyöktényezős alak. Horner-elrendezés, Rolle tétele. Másodfokú egyenlet megoldása, gyöktényezős alakja. Viéte formulái. Speciális harmad-, negyed- és magasabbfokú egyenletek megoldása. Gyakorlat. Melyik hozzárendelés algebrai művelet és melyik nem. Annak ellenőrzése, hogy adott művelet milyen tulajdonságokkal rendelkezik és milyen tulajdonságokkal nem. Kitüntetett elemekek: neutrális elem, inverzelem, zéruselem, zérusosztók, egységek megkeresése speciális esetekben. Annak ellenőrzése, hogy adott struktúrák milyen típusúak (például, hogy félcsoport, monoid, csoport, Abel-csoport, gyűrű, egységelemes gyűrű, kommutatív gyűrű, integritástartomány, ferdetest, test, félháló, háló, disztributív háló, komplementumos háló, Boole-algebra-e). Algebrai azonosságok bizonyítása egyes konkrét algebrai műveletek esetén. Az elemi számelmélet legfontosabb eljárásai, oszthatósági szabályok. Oszthatósági feladatok megoldásának legfontosabb módszerei. Teljes indukciós bizonyítások. Az euklideszi algoritmus elvégzése adott számokon. A legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös megkeresése az euklideszi algoritmus segítségével. A legnagyobb közös osztó előállítása a két szám többszöröseinek összegeként. Adott egész prímtényezős felbontásának megadása, legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös megkeresése a felbontás alapján. Az alapműveletek elvégzése nemdecimális számrendszerekben. Áváltás számrendszerek között. Elemi polinomelmélet legfontosabb eljárásai. Adott polinom maradékos osztása adott polinommal, az euklideszi algoritmus elvégzése testfölötti polinomokon. Testfölötti polinomok legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének kiszámítása az euklideszi algoritmus alapján. Egyes polinomok irreducibilitásának ellenőrzése. Egyes polinomok irreducibilis faktorizációjának kiszámítása. Parciális törtekre való felbontás megadása. A Horner-elrendezés alkalmazásai. Racionális gyökök megkeresése. A polinom megadása új ismeretlen polinomjaként. Másodfokú egyenlet megoldása, gyöktényezős alakjának felírása. A Viéte formulák alkalmazásai. Speciális harmad-, negyed- és magasabbfokú egyenletek megoldása. Többszörös gyökök kiszűrésének módszere. Reciprok egyenletek visszavezetése alacsonyabb fokú egyenletekre.
3. Évközi ellenőrzés módja A gyakorlati jegy megszerzésének feltétele két zárthelyi dolgozatból ötven százalékos eredmény elérése. A gyakorlatvezetők az alábbi mintadolgozatokhoz hasonlót írassanak a hallgatókkal. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai 5. A kötelező ill. ajánlott irodalom Szendrei János: Algebra és számelmélet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1984 Szendrei János: Matematikai feladatgyűjtemény tanárképző főiskolai matematika szakos hallgatók számára, Tankönyvkiadó, Budapest, 1986 Kuros, A.G.: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1971 6. A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása
˝ za ´rthelyi dolgozata Matematika szakosok elso
MINTA
N´ev:........................................................
1. M˝ uveletek, strukt´ ur´ ak. (a) V´egezze el a kijel¨olt halmazm˝ uveletet! (A ∩ B ∪ C) ∩ A = ...............................................
(b) Az eg´esz sz´amok halmaz´an legyen a ∗ b = a + b2 . V´egezze el a kijel¨olt m˝ uveletet! (a ∗ b) ∗ (b ∗ a) = .................................................................... (c) Legyenek az S strukt´ ura elemei az ABC szab´alyos h´aromsz¨og szimmetri´ai, a m˝ uvelet a kompoz´ıci´oszorz´as, jel¨olje a a C ponton ´atmen˝o szimmetriatengelyre t¨ort´en˝ o t¨ ukr¨oz´est, b a 120◦ -os elforgat´ast. Melyik szimmetria az (ab)(ba) : .......................................................................... (d) A racion´alis szmok halmaz´an legyen a∗b = a+b−2ab. A neutr´alis elem ................. uveletre n´ezve Az 31 sz´am inverze erre a m˝ 1 −1 = ................................................. 3 (e) Igazolja (k¨ ul¨on lapon), hogy az eg´eszek halmaz´an az a ∗ b = a + b + ab m˝ uvelet asszociat´ıv! √ u nemnulla val´os (f) Igazolja (k¨ ul¨on lapon), hogy az a + b 2 (a, b racion´alis sz´am) alak´ sz´amok halmaz´an a szok´asos szorz´as invert´alhat´o m˝ uvelet! 2. Eg´ esz sz´ amok. (a) Legyen a = 136, b = 116. V´egezz¨ uk el az euklideszi algoritmust az a, b sz´amokon! A m´asodik oszt´as h´anyadosa ........... , marad´eka ........... . A harmadik oszt´as h´anyadosa ........... , marad´eka ........... . Mennyi a legnagyobb ´ ıtsuk el˝o a legnagyobb k¨oz¨os oszt´ot k¨oz¨os oszt´ojuk? (a, b) = ...................... All´ (a, b) = .................a + ...............b alakban, ahol a keresett egy¨ utthat´ok eg´esz sz´amok! (b) Az 5040 sz´am pr´ımt´enyez˝os felbont´asa 5040 = ............................... . A sz´am ¨osszes oszt´oja ......................................................................................... . (c) Az A = 6576238 nyolcas sz´amrendszerbeli sz´am kilences sz´amrendszerbeli alakja A = ............................ 9 (d) Az 146647 : 417 hetes sz´amrendszerbeli marad´ekos oszt´as h´anyadosa Q = .............................7 ´es marad´eka R = .............................7 a hetes sz´amrendszerben.
´sodik za ´rthelyi dolgozata Matematika szakosok ma
MINTA
N´ev:........................................................
Polinomok, egyenletek. (a) Legyen a(x) = x4 + 2x3 + x + 1, b(x) = x4 + x3 − 2x2 + 2x − 1 V´egezz¨ uk el az euklideszi algoritmust az a(x), b(x) polinomokon! A m´asodik oszt´as marad´eka (asszoci´alts´agt´ol eltekintve) r2 (x) = .............................................. . A harmadik oszt´as marad´eka (asszoci´alts´agt´ol eltekintve) r3 (x) = ................................................ . Mennyi a legnagyobb k¨oz¨os oszt´ojuk? (a(x), b(x)) = ................................ (b) Legyen a(x) = x4 + x3 + −3x2 − x + 2, y = x − 1.´Irja fel f (x)-et y polinomjak´ent! f (x) = g(y) = .................................................................................. . (c) Keresse meg az x5 + 2x4 − 6x3 − 19x2 − 20x − 12 = 0 egyenlet racion´alis gy¨okeit! (A nem racion´alis gy¨ok¨ok hely´et h´ uzza ki!): x1 = .................................. x2 = .................................. x3 = .................................. x4 = .................................. x5 = .................................. (d) Keresse meg az x5 + 7x4 + 10x3 − 18x2 − 27x + 27 = 0 egyenlet t¨obbsz¨or¨os gy¨okeit: (A nem t¨obbsz¨or¨ os gy¨ok¨ok hely´et h´ uzza ki!) ′ (f (x), f (x)) = ........................................................ x1 = .................................. x2 = .................................. x3 = .................................. x4 = .................................. x5 = .................................. (e) Oldja meg az x5 + 2x4 − 27x3 − 27x2 + 2x + 1 = 0 reciprok egyenletet: Az ismert gy¨ok: x1 = .................................. Az y = x+ x1 u ´j ismeretlen bevezet´ese ut´ani egyenlet: ...........y 2 + ...........y + ............ = 0 x2 = .................................. x3 = .................................. x4 = .................................. x5 = ..................................
