Tantárgy neve Tantárgy kódja Meghirdetés féléve Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) Számonkérés módja Előfeltétel (tantárgyi kód) Tantárgyfelelős neve Tantárgyfelelős beosztása
Alkalmazott matematika II. MT1003 3 4 2+2 gyakorlati jegy MT1002 Dr. Nagy Károly Főiskolai docens
1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései Ismert, hogy minden n-ed fokú algebrai egyenletnek multiplicitásokat is figyelembe véve pontosan n darab gyöke van a komplex számok körében. A célból, hogy bármely egyenletet meg tudjunk oldani a komplex számok körében, a hallgatóknak meg kell ismerniük a komplex számok halmazát és a komplex számok körében értelmezett műveleteket (összeadás, kivonás, szorzás, osztás, hatványozás, n-edik gyök), komplex számok kanonikus és trigonometrikus alakját. A hallgatók képesek legyenek a komplex számok közötti bármely művelet végre hajtására, valamint tudjanak nagy biztonsággal megoldani olyan másod és magasabb fokú egyenleteket, amelyeknek nem csak valós gyökeik vannak. A lineáris terek, a lineáris operátorok és a vektoranalízis modern elmélete alapjainak ismertetése az alkalmazási területek igényei szerint. A gyakorlaton a hallgatók szerezzenek jártasságot az alapvető módszerekben és az ehhez kapcsolódó numerikus eljárásokban. Mátrixszámítás elemeinek ismertetésével szeretnénk megkönnyíteni lineáris egyenletrendszerek megoldását és a megoldhatóság vizsgálatát. Nevezetesen főcél, hogy a hallgatók tudják alkalmazni a Cramer-szabályt, valamint a Gauss eliminációt. Fontos látni, hogy a lineáris operátorok leírhatóak mátrixok (mátrixreprezentáció) segítségével, így a mátrixok körében értelmezett műveletek kiemelt szerepet játszanak. A valószínűségszámítás elemei gyakran megjelennek a hétköznapjainkban is, a hallgatók legyenek képesek felismerni a valószínüségszámítás törvényszerűségeit akár a hétköznapi életből vett példákban, akár a tankönyvből vett példákban. Ennek megfelelően ismerjék a valószínűség klasszikus képletét, ismerjék fel a permutációk, variációk és kombinációk közötti különbséget, tudják őket alkalmazni valószínűségek kiszámítására. Legyenek tisztában a feltételes valószínűség fogalmával és tudják alkalmazni a teljes valószínűség tételét valamint a Bayes-tételt. Ismerjék a nevezetes eloszlásokat és tudják őket alkalmazni, tudják, hogy az élet mely területein jelennek meg, különös tekintettel a binomiális, a Poisson-eloszlásra, valamint a folytonos eloszlások közül az egyenletes, az exponenciális és a normális eloszlásra. Tudjanak adott eloszlásfüggvény esetén valószínűségeket meghatározni. Képesek legyenek meghatározni diszkrét valószínűségi változó eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását. Adott sűrűségfüggvényű folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értékét és szórását képesek legyenek meghatározni. 2. A tantárgy tartalma Komplex számok definíciója, műveletek komplex számok körében, összeadás, kivonás, szorzás, osztás, n-edik gyök. Komplex számok kanonikus és trigonometrikus alakja, műveletek elvégzése (hatványozás, szorzás, osztás) a trigonometrikus alak segítségével,
komplex szám abszolút értéke, konjugáltja, n-edik egység gyökök. Algebrai egyenletek, az algebra alaptétele, n-ed fokú algebrai egyenlet megoldásainak a száma. Mátrixok, nevezetes mátrixok (négyzetes mátrix, zérusmátrix, egységmátrix, diagonál mátrix, szimmetrikus és antiszimmetrikus mátrix, felsö és alsó háromszög mátrixok). Műveletek mátrixokkal, mátrixok összeadása, transzponáltja, szorzása skalárral illetve mátrixszal, mátrixok inverze, a műveletek tulajdonságai. Determinánsok, a determináns tulajdonságai, a lineáris egyenletrendszer általános alakja, determinánsok és lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának kapcsolata: Cramerszabály, lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval. Lineáris terek. Lineáris függetlenség, függőség, bázis. Lineáris operátorok. Belső szorzat, norma, ortogonalitás (a szám n-esek terében). A kombinatorika elemei: permutáció, ismétléses permutáció, variáció, ismétléses variáció, kombináció és ismétléses kombináció (mintavétel és visszatevéses mintavétel). Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Eseménygyűrű és eseményalgebra, a Kolmogorov-féle valószínűségi mező (példa: klasszikus valószínűségi mező, geometriai valószínűségi mező), a valószínűség tulajdonságai, feltételes valószínűség, a teljes valószínűség tétele, a Bayes-tétel, események függetlensége, biztos és lehetetlen esemény. A valószínűségi változó, eloszlásfüggvény, diszkrét és folytonos valószínűségi változó, sűrűségfüggvény. Az eloszlásfüggvény és a sűrűségfüggvény jellemzése. Várható érték és tulajdonságai, szórás és tulajdonságai, kovariancia és korrelációs együttható, a függetlenség, függőség és a korrelációs együttható kapcsolata. Nevezetes diszkrét eloszlások ismertetése és jellemzése: diszkrét egyenletes eloszlás, binomiális eloszlás, Poisson-eloszlás. Nevezetes folytonos eloszlások ismertetése és jellemzése: egyenletes eloszlás, exponenciális eloszlás, normális eloszlás (és standard normális, standardizálás). A nagy számok törvényei. Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség. Statisztikai függvények: átlag, tapasztalati szórás, korrigált tapasztalati szórás, tapasztalati eloszlásfüggvény és tapasztalati sűrűségfüggvény (hisztogram ). Néhány statisztikai próba. 3. Évközi ellenőrzés módja Két zárthelyi dolgozat, melyben mind a gyakorlati mind az elméleti ismeretekről számot kell adni. A gyakorlat és az elmélet aránya 60%-40%. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai 5. A kötelező ill. ajánlott irodalom Gát György : Valószínűségszámítás. http://zeus.nyf.hu/~gatgy Solt György : Valószínűségszámítás. Műszaki Könyvkiadó, 2000. Scharnitzky Viktor : Mátrixszámítás. Műszakai Könyvkiadó, 2000. Nagy Márta, Sztrik János, Tar László : Valószínűségszámítás és matemtikai statisztika feladatgyűjtemény, Kossuth Egyetemi Kiadó, 2000. Kovács Zoltán : Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz. KEK, 2001. Móricz Ferenc : Numerikus analízis I. Nemzeti Tankönyvkiadó, 1991. Móricz Ferenc : Numerikus analízis II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 1991. Szidarovszki Ferenc, Molnár Sándor : Játékelmélet műszaki alkalmazásokkal. Műszaki Kiadó, 1996. 6. A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása -
Minta elméleti kérdések: A. Csoport: 1. komplex szám abszolút értéke (definíció), 2. komplex szám konjugáltjának tulajdonságai, 3. az algebra alaptétele, 4. soroljon fel legalább három nevezetes mátrixot, 5. a determináns képzés tulajdonságai, 6. lineáris függőség fogalma, 7. Kolmogorov-féle valószínűségi mező fogalma, 8. jellemezze a normális eloszlást (eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, várható érték, szórás), 9. az eloszlás függvény tulajdonságai, 10. a diszkrét valószínűségi változó fogalma, 11. korrelációs együttható fogalma, 12. Markov-egyenlőtlenség. B. Csoport: 1. komplex szám abszolút értékének tulajdonságai, 2. komplex számok szorzása, osztása, hatványozása a trigonometrikus alak segítségével , 3. az n-edik egységgyökök kiszámítása, 4. mátrix szorzása mátrixszal, 5. a determináns definíciója, 6. lineáris leképezés fogalma, 7. a feltételes valószínűség fogalma, 8. jellemezze az exponenciális eloszlást (eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, várható érték, szórás), 9. a sűrűségfüggvény tulajdonságai, 10. a folytonos valószínűségi változó fogalma, 11. kovariancia fogalma, 12. nagyszámok Bernoulli-féle törvénye. C. Csoport: 1. komplex szám trigonometrikus alakja, 2. komplex számok n-edik gyöke a trigonometrikus alak segítségével , 3. az n-edfokú algebrai egyenlet megoldásainak a száma, 4. mátrix szorzása skalárral tulajdonságai, 5. a Cramer-szabály, 6. lineáris tér fogalma, 7. a teljes valószínűség tétele, 8. jellemezze a Poisson-eloszlást (eloszlás, várható érték, szórás), 9. a várható érték fogalma diszkrét valószínűségi változó esetén, 10. Csebisev-egyenlőtlenség, 11. a korrelációs együttható és a függetlenség, függőség kapcsolata, 12. a valószínűségi változók szórása.
Minta feladatsor A. csoport 1. Végezze el az alábbi m¶veleteket a komplex számok körében!
a:
(2 + 3i)(1
8 i)
2 + 3i
b:
1
p3
c:
8i
4 + 4i
d:
14 ( 4 + 4 i)
2. Végezze el az alábbi mátrixm¶veleteket!
A
0 B := B @
2
0
0 4 0 A
3
3
0
3
2
2
3
=?
B
4 1 1
1 C C A
;
B
:=
1
1
1
2
1
2
2
2
1 B
A
=?
j j =? j j =? A
B
3. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert Gauss-eliminációval!
x
+ 2y + 3z = 1
3x + 4y + 6z = 2 4. Oldja meg a következ® másodfokú egyenletet!
2
x
2x + 17 = 0
5. (Kombinatorika) Egy 10-lakásos ház elkészültekor kiderül, hogy csak 7 lakás hibamentes, bár a többi is beköltözhet®. Az els® napon csak öt lakásba költöznek be a lakók.
Mi a valószín¶sége annak, hogy legalább három hibátlan lakásba
költöznek be? 6. Egy m¶helyben három m¶szakban termelnek árut. Egy napon az összes termelt áru 40 százaléka az els®, 30-30 százaléka a második és harmadik m¶szakban készült. Az els® m¶szakban készült áruk 5 százaléka, a második m¶szakban készült áruk 7 százaléka, a harmadikban készült áruk 10 százaléka hibás. Mi annak a valószín¶sége, hogy egy találomra kivett áru hibátlan? 7. Egy sorsjátékon 1 darab 5000 Ft-os,10 darab 500 Ft-os és 50 darab 100 Ft-os nyeremény van. A játékhoz 10000 darab jegyet adnak el. Legyen a valószín¶ségi változó a nyeremény értéke számítsa ki a várható értékét és a szórását! 8. Annak valószín¶sége, hogy egy benzinkútnál 3 percnél tovább kell várakozni 0,6.
Mi annak a valószín¶sége, hogy ha már három percet várakoztunk ak-
kor további három percet kell várakoznunk, feltételezve, hogy a várakozási id® exponenciális eloszlású?
1
Minta feladatsor B. csoport 1. Végezze el az alábbi m¶veleteket a komplex számok körében!
a:
(1 + 2i)(2
6 i)
1 + 2i
b:
2
c:
6i
p3
2
2i
d:
14 2 i)
( 2
2. Végezze el az alábbi mátrixm¶veleteket!
A
0 B := B @
4
0
2
5
0
1
0
1
5
3
2
1
0
3
2
1
A
B
t
=?
B
1 C C A
;
A
B
=?
:=
1 1
2
1
1
2
2
2
j j =? j j =? A
B
3. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert Gauss-eliminációval!
x1
+ x2
3x1
x2
+ 4x4 + 4x3
=
3
=
5
4. Oldja meg a következ® másodfokú egyenletet!
2
x
4x + 29 = 0
5. Egy céllövöldében három rekeszben vannak puskák, az els®ben három puska van, ezekkel 0.5 a találat valószín¶sége. A másodikban egy puska van, ezzel 0.7 a találat valószín¶sége.
A harmadik rekesz két puská jával 0.8 valószín¶séggel
találunk. Mi a találat valószín¶sége, ha találomra választunk egy puskát? 6. A 32 lapos magyar kártyából egyszerre 3 lapot húzunk. Mi a valószín¶sége annak, hogy a kihúzott lapok között legfeljebb 2 zöld van? 7.
Egy dobozban 10 alkatrész van, amelyek közül 4 selejtes, 3 elem¶ mintát
veszünk visszatevéssel.
Mi a valószín¶sége annak, hogy a mintában 2 selejtes
alkatrész lesz? 8.
Egy adott típusú ég® élettartama exponenciális eloszlású 1000 óra várható
értékkel. Az ég®k hány százaléka fog kiégni várhatóan 900 óra alatt?
1
Minta feladatsor C. csoport
1. Végezze el az alábbi m¶veleteket a komplex számok körében! a: (5 + 3i)(1
7 i)
b:
5 + 3i
c:
7i
1
p3
4i
4
d: ( 4
14 4 i)
2. Végezze el az alábbi mátrixm¶veleteket!
0 B A := B @
2
0
0 4 0
3
3
0
3
2
2
3
At B =?
4 1 1
1 C C A;
B :=
1 1
1
2
1
2
2
2
1
B A =?
jAj =? jB j =?
3. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert Gauss-eliminációval! x + 2y + 3 z = 2 4x + 4 y + 6 z = 2
4. Oldja meg a következ® másodfokú egyenletet! x2 + 6x + 25 = 0
5. Egy dobozban 40 darab boríték van. Ezek közül 15-ben 60 Ft, 10-ben 50 Ft, 8-ban 40 Ft van, a többi üres. Két borítékot találomra kiveszünk a dobozból. Mi annak a valószín¶sége, hogy ezekben összesen 60 Ft van? 6. Tegyük fel, hogy a fér ak 5%-a és a n®k 0.25%-a színvak. Egy 20 n®b®l és 5 fér ból álló csoportból 1 személyt találomra kiválasztunk, kiderül, hogy színvak. Mi annak a valószín¶sége, hogy n®t választottunk? Találomra kiválasztunk egy embert, mi annak a valószín¶sége, hogy az illet® színvak? 7. Valaki találomra tölt ki egy totószelvényt. Mi annak a valószín¶sége, hogy az els® hét mérk®zéshez az 1, 2, x lehet®ségek közül legalább öt helyre egyest választ? 8. jelentse annak az útnak a hosszát, amelyet egy gépkocsi az els® hibáig megtesz, ez exponenciális eloszlású 500 km várható értékkel. Mi annak a valószín¶sége, hogy a kocsi kevesebb ideig jó mint a várható értéke?
1
