Matematická analýza III

Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky

Matematická analýza III. ˇ 4. Extrémy funkcí více promenných

Miroslav Hušek, Lucie Loukotová

UJEP 2010

Matematická analýza III.


Úvod Tato kapitola nás seznámí s metodami urˇcování lokálních extrému˚ ˇ ˇ funkcí více promenných a ukáže využití techto metod v praxi. ˇ znát Co bychom meli metody ˇrešení soustav rovnic ˇ lokální extrémy funkcí jedné promenné parciální derivace funkce dané implicitneˇ Klíˇcová slova kapitoly lokální extrémy, kvadratická forma, Lagrangeuv ˚ multiplikátor, Tayloruv ˚ polynom



ˇ Extrémy funkcí více promenných Extrémy na otevˇrené množineˇ Vázané extrémy Tayloruv ˚ polynom

Definice extrému˚

Definice 1 ˇ ˇ ˇ Mejme funkci f dvou promenných. Ríkáme, že v bodeˇ p ∈ D(f ) má funkce f lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu p takové, že f (p) je maximální (resp. minimální) hodnota f na U ∩ D(f ). Funkce f má v p lokální extrém, jestliže má v p lokální maximum nebo lokální minimum. Nahradíme-li v definici lokálních extrému˚ slovo maximální slovem ˇ (resp. slovo minimální slovem nejmenší), dostáváme definici nejvetší ostrých lokálních extrému. ˚




Kritické body ˇ 2.1 (Existence extrému) Veta ˚ Funkce f definovaná na množineˇ A muže ˚ mít lokální extrém pouze v následujících bodech: 1 v hraniˇcním bodeˇ A, patˇrí-li do definiˇcního oboru; 2 ˇ ve vnitˇrním bodeˇ A, ve kterém f nemá nekterou z parciálních derivací 1.ˇrádu; 3 ve vnitˇrním bodeˇ A, kde má f všechny parciální derivace 1.ˇrádu rovny 0. Definice 2 ˇ eˇ se nazývají kritické body (pro lokální Body popsané v pˇredchozí vet extrémy).




Urˇcení extrému˚ ˇ 2.2 (Nutná podmínka) Veta Necht’ v otevˇrené množineˇ G má funkce f všechny parciální derivace 1.ˇrádu. Má-li f v bodeˇ p ∈ G lokální extrém, jsou v tomto bodeˇ ˇ všechny parciální derivace 1.ˇrádu (i smerové) rovny 0, tj. grad f (p) = 0. Dukaz ˚

ˇ neplatí! Naopak ale tato veta Napˇríklad funkce f (x, y ) = x 3 má v bodeˇ (0, 0) obeˇ parciální derivace rovny 0, ale v tomto bodeˇ lokální extrém nemá. Naopak parciální derivace funkce g(x, y ) = |x| + |y | v bodeˇ (0, 0) neexistují, a pˇresto má funkce v tomto bodeˇ lokální extrém. ˇ Zduvodn ˚ ení




ˇ 2.3 (Postaˇcující podmínky) Veta Necht’ má funkce f (x, y ) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otevˇrené ∂f ∂f množineˇ G a pro p ∈ G je ∂x (p) = ∂y (p) = 0. Oznaˇcme F (h, k ) 2 kvadratickou formu h fxx (p) + 2hk fxy (p) + k 2 fyy (p). 1 Je-li F pozitivneˇ definitní, nabývá f v p ostré lokální minimum. 2 Je-li F negativneˇ definitní, nabývá f v p ostré lokální maximum. 3 Je-li F indefinitní, nenabývá f v p lokální extrém. 4 Je-li F semidefinitní, nelze o lokálním extrému f v p pomocí F rozhodnout. ˇ Více o kvadratických formách naleznete v Doplncích.




ˇ umožnuje ˇ Tato veta urˇcit definitnost kvadratické formy pˇrímo podle parciálních derivací druhého ˇrádu. ˇ 2.4 (Rozeznání definitnosti forem) Veta ˇ je Kvadratická forma F z pˇredchozí vety 1 pozitivneˇ definitní práveˇ když 2 fxx (p) > 0 a fxx (p) · fyy (p) > fxy (p); 2

negativneˇ definitní práveˇ když 2 fxx (p) < 0 a fxx (p) · fyy (p) > fxy (p);

3

2 indefinitní práveˇ když fxx (p) · fyy (p) < fxy (p);

4

2 semidefinitní práveˇ když fxx (p) · fyy (p) = fxy (p);

Dukaz ˚




ˇ udává postaˇcující podmínky pro existenci ostrých Následující veta extrému˚ dané funkce. ˇ 2.5 (Postaˇcující podmínky pro ostré extrémy) Veta Necht’ má funkce f (x, y ) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otevˇrené množineˇ G a pro p ∈ G je grad f (p) = 0. 2 Jestliže fxx (p) · fyy (p) > fxy (p), pak f má v bodeˇ p ostrý lokální extrém (maximum pro fxx (p) < 0, minimum pro fxx (p) > 0). Dukaz ˚




Vázané extrémy ˇ a nejmenší hodnoty reálné Vázanými extrémy rozumíme nejvetší funkce na dané množineˇ (tj. tato množina je tedy vazbou). ˇ Pˇredpokládejme, že f je funkce dvou promenných definovaná na kompaktní množineˇ M, pˇriˇcemž f je na M spojitá. Potom f na množineˇ M nabývá svého maxima i minima. ˇ Hledáme tedy podezˇrelé body, v nichž funkce f muže ˚ techto extrému˚ nabývat. Podezˇrelé body jsou dvojího druhu: 1 body z vnitˇrku množiny M, jsou to kritické body, nebo body, ˇ v nichž nekterá parciální derivace neexistuje 2 body z hranice množiny M, v nichž muže ˚ být extrém vzhledem k hranici nebo její cˇ ásti Práveˇ hledání podezˇrelých bodu˚ z hranice množiny M bude ˇ ˇ v této kapitole. pˇredmetem vet Matematická analýza III.



Extrémy na parametrických kˇrivkách ˇ hovoˇrí o hledání extrému˚ na hranici (množiny), která Následující veta je dána parametricky. ˇ 2.6 (Extrémy funkcí na kˇrivkách) Veta Necht’ A je grafem parametricky zadané kˇrivky x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ J. Pak extrémy funkce f definované na A jsou extrémy funkce f (ϕ(t), ψ(t)), t ∈ J. ˇ si, že tato veta ˇ pˇrevede puvodní Všimnete ˚ úlohu na hledání extrému˚ ˇ funkce jedné promenné.




Metoda Lagrangeových multiplikátoru˚ ˇ že hranice množiny je dána implicitne, ˇ není vždy možné V pˇrípade, vyjádˇrit z její rovnice neznámou y a dosadit ji do funkce f (x, y ). Pro tyto pˇrípady se využívá tzv. metoda Lagrangeových multiplikátoru. ˚ ˇ 2.7 (Extrémy na implicitních kˇrivkách) Veta Necht’ A je grafem implicitneˇ zadané kˇrivky g(x, y ) = 0, funkce f je ˇ definována na nejaké otevˇrené množineˇ U obsahující A a platí: 1 2

f , g mají spojité parciální derivace prvního rˇádu na U; ∂g pro každý bod (x, y ) ∈ A je bud’ ∂g ∂x (x, y ) 6= 0 nebo ∂y (x, y ) 6= 0.

Má-li f v bodeˇ p ∈ A lokální extrém, pak existuje reálné cˇ íslo λ tak, že ∂(f + λg) (p) = 0 , ∂x

∂(f + λg) (p) = 0 , ∂y Matematická analýza III.

g(p) = 0 .



Definice 3 (Lagrangeovy multiplikátory) ˇ se funkce Za pˇredpokladu˚ pˇredchozí vety F (x, y , λ) = f (x, y ) + λg(x, y ) nazývá Lagrangeova funkce a parametr λ Lagrangeuv ˚ multiplikátor. ˇ ˇ Podrobné vysvetlení a porovnání obou zmínených metod naleznete v úloze 2.




ˇ Protože derivace podle tˇretí promenné funkce F (x, y , λ) v pˇríslušné kvadratické formeˇ vypadnou, dostaneme následující postaˇcující podmínky: ˇ 2.8 (Postaˇcující podmínky) Veta ˇ oznaˇcíme Za pˇredpokladu˚ pˇredchozí vety H(h, k ) = h2 Fxx (p) + 2hk Fxy (p) + k 2 Fyy (p) . ˇ V kvadratické formeˇ H nahradíme h nebo k druhou promennou z ∂g rovnice h ∂g (p) + k (p) = 0 a dostaneme kvadratickou formu ∂x ∂y e ˇ H(t) = at 2 jedné promenné. 1 2 3

Je-li a > 0, nabývá f v p ostré lokální minimum. Je-li a < 0, nabývá f v p ostré lokální maximum. e rozhodnout. Je-li a = 0, nelze o lokálním extrému f v p pomocí H




6= 0. Potom k = −h ggyx (p) (p) . e Kvadratická forma H bude ve tvaru Necht’ napˇr.

∂g ∂y (p)

gx (p) g 2 (p) e H(h) = h2 fxx (p) − 2h2 fxy (p) + h2 fyy (p) x2 = gy (p) gy (p) gx2 (p) gx (p) = fxx (p) − 2fxy (p) + fyy (p) 2 h2 . gy (p) gy (p) ˇ se tedy rovná Koeficient a z pˇredchozí vety fxx (p) − 2fxy (p)

g 2 (p) gx (p) + fyy (p) x2 . gy (p) gy (p)




Extrémy na plochách

Budeme pˇredpokládat, že všechny parciální derivace 1.ˇrádu používaných funkcí existují a jsou spojité. ˇ Hledáme-li extrémy funkce tˇrí promenných f (x, y , z) na množineˇ A urˇcené rovnicí g(x, y , z) = 0, hledají se extrémy funkce F (x, y , z, λ) = f (x, y , z) + λg(x, y , z) . Pˇredpokladem je nenulovost alesponˇ jedné z derivací gx , gy , gz v každém bodeˇ A (tj. hodnost 1 matice grad g v každém bodeˇ A).




Nutnou podmínkou, aby bod p byl lokálním extrémem f na A, je rovnost grad F (p) = 0. e dvou Postaˇcující podmínky pak dává definitnost kvadratické formy H ˇ ˇ promenných, která vznikne z kvadratické formy tˇrí promenných H(h, k , l) =

h

2 ∂F ∂F ∂F (p) + k (p) + l (p) ∂x ∂y ∂z

ˇ dosazením za jednu promennou z rovnice h

∂g ∂g ∂g (p) + k (p) + l (p) = 0 . ∂x ∂y ∂z




Extrémy na kˇrivkách v prostoru

ˇ Hledáme-li extrémy funkce tˇrí promenných f (x, y , z) na množineˇ A urˇcené rovnicemi g(x, y , z) = 0, h(x, y , z) = 0, hledají se extrémy funkce F (x, y , z, λ, µ) = f (x, y , z) + λg(x, y , z) + µh(x, y , z) . Pˇredpokladem je hodnost 2 matice s ˇrádky grad g, grad h v každém bodeˇ A.




Nutnou podmínkou, aby bod p byl lokálním extrémem f na A, je rovnost grad F (p) = 0. e jedné Postaˇcující podmínky pak dává definitnost kvadratické formy H ˇ ˇ promenné, která vznikne z kvadratické formy tˇrí promenných 2 ∂F ∂F ∂F H(h, k , l) = h ∂x (p) + k ∂y (p) + l ∂z (p) dosazením za dveˇ ˇ promenné z rovnic h

∂g ∂g ∂g (p) + k (p) + l (p) = 0 , ∂x ∂y ∂z

h

∂h ∂h ∂h (p) + k (p) + l (p) = 0 . ∂x ∂y ∂z




Tayloruv ˚ polynom ˇ 2.9 (Rozvoj funkce v polynom) Veta Má-li f spojité parciální derivace až do rˇádu n + 1 v intervalu J okolo bodu (a, b), pak pro (a + h, b + k ) ∈ J platí f (a + h, b + k ) =

∂ ∂ j n X (h ∂x + k ∂y ) f (a, b)

j!

j=0

+

+

∂ ∂ n+1 (h ∂x + k ∂y ) f (c, d)

(n + 1)!

,

kde

∂ ∂ +k h ∂x ∂y

j f (a, b) =

j X j i=0

i

hi k j−i

∂j f (a, b) . ∂x i ∂y j−i




Definice 4 ˇ Polynom promenných h, k na pravé straneˇ se nazývá Tayloruv ˚ polynom funkce f v bodeˇ (a, b) ˇrádu n, poslední cˇ len na pravé straneˇ se nazývá zbytek.



Otázky a úlohy Úloha 1 ˇ lokální extrémy funkce f (x, y ) = x 3 + y 3 − 3xy . Naleznete ˇ Rešení

Úloha 2 Urˇcete vázané lokální extrémy funkce f (x, y ) = x 2 + 3y 2 pˇri vazbeˇ x − 2y + 7 = 0. ˇ Rešení

Úloha 3 Rozložte cˇ íslo 64 na tˇri cˇ initele tak, aby jejich souˇcet byl co nejmenší. ˇ Rešení Matematická analýza III.


V literatuˇre . . .

1

Teorie: Jarník – Diferenciální poˇcet (II), kap. X. Kopáˇcek – Matematická analýza pro fyziky (II), kap. 9.

2

Úlohy: ˇ Demidoviˇ c – Sbírka úloh a cviˇcení z matematické analýzy, kap. VI. Kopáˇcek – Pˇríklady z matematiky pro fyziky (II), kap. 3. Pelikán, Zdráhal – Matematická analýza – funkce více ˇ promenných, cviˇcení III., kap. 10



O kvadratických formách Dukazy ˚ ˇ ˇ Rešení a odpovedi

Kvadratické formy Definice 5 Je-li A symetrická matice typu n×n, pak funkci F : Rn → R, definovanou pˇredpisem F (h) =

n X

aij hi hj

i,j=1

nazveme kvadratickou formou s maticí A. (Znaˇcíme h = (h1 , h2 , . . . hn ).) Pro úˇcely výpoˇctu˚ lokálních extrému˚ budeme využívat kvadratickou formu druhého diferenciálu funkce f v bodeˇ p, tj. matice A bude rovna: a11 a12 f (p) fxy (p) A= = xx a21 a22 fyx (p) fyy (p) Matematická analýza III.



Dosadíme-li do výrazu v definici kvadratické formy, dostaneme: F (h) =

2 X

aij hi hj = fxx (p)h1 h1 + fxy (p)h1 h2 + fyx (p)h2 h1 + fyy (p)h2 h2 =

i,j=1

= fxx (p)h1 2 + fxy (p)h1 h2 + fyx (p)h2 h1 + fyy (p)h2 2 Protože f má spojité parciální derivace 2. ˇrádu, platí fxy (p) = fyx (p). Tedy F (h) = fxx (p)h1 2 + 2fxy (p)h1 h2 + fyy (p)h2 2 . Protože h = (h1 , h2 ), mužeme ˚ napsat F (h1 , h2 ) = fxx (p)h1 2 + 2fxy (p)h1 h2 + fyy (p)h2 2 . V tomto tvaru budeme kvadratickou formu dále využívat. Matematická analýza III.



Vlastnosti kvadratických forem Definice 6 Kvadratická forma se nazývá pozitivneˇ definitní, platí-li pro každou dvojici h, k , kde (h, k ) 6= (0, 0), F (h, k ) > 0. Kvadratická forma se nazývá negativneˇ definitní, platí-li pro každou dvojici h, k , kde (h, k ) 6= (0, 0), F (h, k ) < 0. Kvadratická forma se nazývá pozitivneˇ semidefinitní, platí-li pro ˇ každou dvojici h, k , F (h, k ) ≥ 0 a v nejakém nenulovém bodeˇ je F (h, k ) = 0. Kvadratická forma se nazývá negativneˇ semidefinitní, platí-li pro ˇ každou dvojici h, k , F (h, k ) ≤ 0 a v nejakém nenulovém bodeˇ je F (h, k ) = 0. Kvadratická forma se nazývá indefinitní, jestliže nabývá jak záporných, tak kladných hodnot. ˇ zpet Matematická analýza III.



ˇ 2.2 Dukaz ˚ vety

ˇ ˇ Pro funkce jedné promenné platí následující veta: Jesliže má funkce g v bodeˇ c lokální extrém, pak g 0 (c) = 0. ∂f ˇ Protože ∂x (p) je dle definice rovna derivaci funkce jedné promenné i f (p1 , . . . , pi−1 , xi , pi+1 , . . . , pn ) v bodeˇ pi , vztahuje se na ni uvedená ∂f ˇ veta, a tedy je ∂x (p) = 0. i ˇ zpet




ˇ 2.4 Dukaz ˚ vety Vyjdeme z kvadratické formy F (h, k ) = fxx (p)h2 + 2fxy (p)hk + fyy (p)k 2 . Pˇredpokládejme, že k 6= 0. Vytknutím k 2 upravíme kvadratickou formu do tvaru ! 2 h h F (h, k ) = k 2 fxx (p) + 2fxy (p) + fyy (p) . k k ˇ výpoˇctu˚ položíme fxx (p) = a, fxy (p) = b, fyy (p) = c Pro zpˇrehlednení a kh = x. Kvadratická forma tedy bude mít tvar F (h, k ) = k 2 (ax 2 + 2bx + c).



1


Aby kvadratická forma byla pozitivneˇ definitní, musí platit F (h, k ) > 0 pro všechna x, neboli k 2 (ax 2 + 2bx + c) > 0. To nastane, pokud diskriminant kvadratické rovnice ax 2 + 2bx + c = 0 bude menší než 0 a zárovenˇ a > 0 (parabola bude „ležet celá nad osou x “). Platí tedy, že D = 4b2 − 4ac < 0, tj. b2 < ac. Z toho plyne 2 fxx (p) · fyy (p) > (fxy (p)) Protože a > 0, je i fxx (p) > 0. ˇ Za techto podmínek je kvadratická forma pozitivneˇ definitní i pro k = 0, nebot’ nabývá tvaru F (h, k ) = h2 fxx (p) (a fxx (p) > 0).



2


Dukaz ˚ negativní definitnosti kvadratické formy je analogický ˇ musí platit D = 4b2 − 4ac < 0, ale tentokrát s pˇredchozím, opet a < 0 (parabola bude „ležet celá pod osou x “). 2

Dostáváme tedy podmínky fxx (p) · fyy (p) > (fxy (p)) a fxx (p) < 0. 3

Aby kvadratická forma byla indefinitní, musí mít rovnice k 2 (ax 2 + 2bx + c) = 0 dveˇ ˇrešení, tj. D = 4b2 − 4ac > 0, neboli b2 > ac. 2 Z toho vyplývá podmínka fxx (p) · fyy (p) < (fxy (p)) .

4

Kvadratická forma semidefinitní, jestliže je bud’ f (h, k ) > 0 a pro ˇ nejaký nenulový bod (u, v ) je f (u, v ) = 0 nebo f (h, k ) < 0 a f (u, v ) = 0. Platí tedy D = 4b2 − 4ac = 0, tj. b2 = ac. 2

Z toho plyne podmínka fxx (p) · fyy (p) = (fxy (p)) . ˇ zpet




ˇ 2.5 Dukaz ˚ vety

ˇ je dusledkem ˇ 2.3 a 2.4. Veta ˚ vet ˇ zpet




ˇ Zduvodn ˚ ení

Parciální derivace funkce f v bodeˇ (0, 0) jsou rovny nule: ∂f = 3x 2 , a tedy ∂x ∂f = 0, a tedy ∂y

∂f (0, 0) = 0 ∂x ∂f (0, 0) = 0 ∂x

Z obrázku je ale zˇrejmé, že funkce f v bodeˇ (0, 0) lokální extrém nemá.




Pˇri výpoˇctu parciálních derivací funkce g v bodeˇ (0, 0) budeme postupovat podle definice: g(0 + h, 0) − g(0, 0) |h| + 0 − 0 |h| ∂g (0, 0) = lim = lim = lim h→0 h→0 h→0 h ∂x h h Tato limita neexistuje, nebot’ pro h → 0+ je rovna 1 a pro h → 0− je rovna −1. Analogicky pro ∂g ∂y . Pˇresto má funkce g v bodeˇ (0, 0) minimum (viz obrázek).




funkce f

funkce g

ˇ Zpet Matematická analýza III.



ˇ Rešení úlohy 1 ˇ Nejprve urˇcíme parciální derivace funkce f podle obou promenných: ∂f = 3x 2 − 3y ∂x ∂f = 3y 2 − 3x ∂y Nalezneme kritické body, tj. položíme obeˇ parciální derivace rovny 0 a ˇrešíme soustavu rovnic 3x 2 − 3y = 0 3y 2 − 3x = 0. Tato soustava má dveˇ ˇrešení, body A(0, 0) a B(1, 1).




ˇ Pro zjištení, zda je v A a B lokální extrém, urˇcíme ješteˇ parciální derivace 2. ˇrádu v bodech A a B. ∂2f = 6x ∂x 2 ∂2f (A) = 0 ∂x 2 ∂2f (B) = 6 ∂x 2

∂2f = −3 ∂x∂y ∂2f (A) = −3 ∂x∂y ∂2f (B) = −3 ∂x∂y


∂2f = 6y ∂y 2 ∂2f (A) = 0 ∂y 2 ∂2f (B) = 6 ∂y 2



Kvadratická forma v bodeˇ A bude ve tvaru: F (h, k )(A) = h2 fxx (A) + 2hk fxy (A) + k 2 fyy (A) = = h2 · 0 + 2hk · (−3) + k 2 · 0 = = −6hk Kvadratická forma v bodeˇ A je indefinitní, nebot’ pro ruzná ˚ h, k muže ˚ nabývat jak kladných, tak i záporných hodnot. Funkce f tedy nemá v bodeˇ A lokální extrém (bod A je sedlovým bodem).




Analogicky urˇcíme kvadratickou formu v bodeˇ B: F (h, k )(B) = h2 fxx (B) + 2hk fxy (B) + k 2 fyy (B) = = h2 · 6 + 2hk · (−3) + k 2 · 6 = = 6h2 − 6hk + 6k 2 = = 3h2 + 3k 2 + 3h2 − 6hk + 3k 2 = = 3h2 + 3k 2 + 3(h2 − 2hk + k 2 ) = 2

= 3h2 + 3k 2 + 3(h − k )

Kvadratická forma v bodeˇ B je pozitivneˇ definitní, nebot’ pro libovolná h, k , kde (h, k ) 6= (0, 0), nabývá pouze kladných hodnot. Funkce f má tedy v bodeˇ B lokální minimum.




ˇ ze dvou pohledu): Graf funkce f vypadá takto (je znázornen ˚

ˇ zpet




ˇ Rešení úlohy 2 ˇ Uvedomte si, že množinou, na níž hledáme extrémy, je pouze kˇrivka (v našem pˇrípadeˇ jde dokonce o pˇrímku). ˇ Pˇri ˇrešení této úlohy mužeme ˚ postupovat dvema zpusoby. ˚ Ukážeme oba. 1

ˇ 2.6 (extrémy na parametrických Tento postup se opírá o vetu kˇrivkách). Z rovnice vazby vyjádˇríme x, tj. x = 2y − 7 a dosadíme do pˇredpisu funkce f (x, y ). ˇ Dostaneme funkci g jedné promenné y: g(y ) = (2y − 7)2 + 3y 2 = 7y 2 − 28y + 49. ˇ Hledáme tedy extrémy funkce jedné promenné g(y ) pro y ∈ R. Využijeme napˇr. diferenciálního poˇctu. Matematická analýza III.



Derivace funkce g je rovna g 0 (y ) = 14y − 28. Položíme g 0 (y ) = 0, tj. 14y − 28 = 0, odkud plyne, že bod y = 2 je kritickým bodem. Protože g 00 (y ) = 14, a tedy g 00 (2) = 14 > 0, má funkce g v bodeˇ y = 2 minimum. Z rovnice vazby pak plyne, že x = 2 · 2 − 7 = −3 Tudíž pˇri dané vazbeˇ má funkce f vázané lokální minimum v bodeˇ (−3, 2). Poznámka: Pˇri urˇcování extrému˚ funkce g se obejdeme i bez diferenciálního ˇ poˇctu. Staˇcí si uvedomit, že grafem funkce g je parabola, která má minimum ˇ než 0). Souˇradnice bodu, v nemž ˇ (nebot’ koeficient u y 2 je vetší je minimum, urˇcíme snadno úpravou na cˇ tverec 7y 2 − 28y + 49 = 7[(y 2 − 4y + 4) + 3] = 7(y − 2)2 + 21. Minimum je pak v bodeˇ y = 2. Matematická analýza III.


2


Napodruhé budeme tuto úlohu ˇrešit metodou Lagrangeových ˇ multiplikátoru, ˚ tj. v souladu s vetou 2.7. ˇ jsou splneny, ˇ Pˇredpoklady této vety nebot’ derivace obou funkcí jsou spojité na R2 a pro každý bod (x, y ) ∈ A je ∂g ∂y = −2 6= 0. Má-li f v bodeˇ p ∈ A lokální extrém, pak existuje reálné cˇ íslo λ tak, že ∂(f + λg) (p) = 0 , ∂x

∂(f + λg) (p) = 0 , ∂y

g(p) = 0 .

Hledáme tedy bod p = (x, y ) ∈ A a λ tak, aby platily pˇredchozí podmínky.




Lagrangeova funkce má tvar F (x, y , λ) = x 2 + 3y 2 + λ(x − 2y + 7) Parciální derivace funkce F jsou rovny: ∂F = 2x + λ ∂x ∂F = 6y − 2λ ∂y ˇ Rešíme tedy soustavu tˇrí rovnic o tˇrech neznámých x, y a λ: 2x

+ λ =0 6y − 2λ =0 x − 2y +7=0




Vyjádˇríme-li z prvních dvou rovnic x, resp. y a dosadíme-li do tˇretí rovnice, má soustava ˇrešení λ = 6, x = −3 a y = 2. Bod p podezˇrelý z extrému má tedy souˇradnice (−3, 2). To, zda je v p lokální extrém, mužeme ˚ zjistit napˇr. metodou kvadratických forem. Protože ∂2f (p) = 2 ∂x 2

∂2f (p) = 0 ∂x∂y

∂2f (p) = 6, ∂y 2

kvadratická forma v bodeˇ p má tvar H(h, k ) = 2h2 + 6k 2 , je tedy pozitivneˇ definitní a v bodeˇ p = (−3, 2) nabývá funkce f pˇri dané vazbeˇ lokální minimum. Matematická analýza III.



ˇ Obrázek znázornuje geometrickou interpretaci výpoˇctu˚ – hledáme extrémy na parabole, která vznikla jako ˇrez funkce f (paraboloidu) rovinou kolmou na rovinu xy a obsahující pˇrímku x − 2y + 7 = 0.

ˇ zpet




ˇ Rešení úlohy 3 ˇ máme rozložit cˇ íslo 64. Oznaˇcíme a, b, c jednotlivé cˇ initele, na než Souˇcet a + b + c oznaˇcíme S. Protože souˇcet S má být co nejmenší, hledáme minimum funkce S = a + b + c pˇri vazbeˇ a · b · c = 64. ˇ budeme postupovat dvema ˇ Opet zpusoby. ˚ 1

ˇ 2.6. Z rovnice vazby vyjádˇríme Budeme postupovat podle vety napˇr. neznámou c c=

64 ab

(a, b 6= 0)

a dosadíme ji do pˇredpisu funkce. Dostaneme S =a+b+

64 , ab

ˇ jde tedy o funkci dvou promenných. Matematická analýza III.



Parciální derivace funkce S jsou rovny ∂S 64 1 64 =1+ · (−1) · 2 = 1 − 2 ∂a b a a b ∂S 64 =1− 2 ∂b ab Pro urˇcení kritických bodu˚ položíme obeˇ parciální derivace rovny nule a po úpravách dojdeme k soustaveˇ rovnic 64 = a2 b 64 = ab2 Z první rovnice vyjádˇríme napˇr. b b = 64 a dosadíme do druhé. b2 Po úpravách dostaneme 2 64 64 = a · a2 a3 = 64 a = 4. Matematická analýza III.



Protože a = 4, plyne z poslední soustavy, že i b = 4. Kritickým bodem je tedy bod (a, b) = (4, 4). ˇ ríme, zda je v tomto bodeˇ lokální minimum. Oveˇ Parciální derivace druhého ˇrádu jsou rovny: ∂2S 128 = 3 ∂a2 a b

∂2S 64 = 2 2 ∂a∂b a b

∂2S 128 = ∂b2 ab3

Pˇríslušné funkˇcní hodnoty v bodeˇ (4, 4) jsou ∂2S 1 (4, 4) = 2 ∂a 2

∂2S 1 (4, 4) = ∂a∂b 4


∂2S 1 (4, 4) = 2 ∂b 2



Pˇri urˇcení, zda je v bodeˇ (4, 4) lokální minimum, se opˇreme o ˇ 2.5. vetu Funkce S má v rovineˇ kromeˇ os x a y spojité parciální derivace druhého ˇrádu (dle pˇredpokladu je a, b 6= 0) a navíc pro neˇ platí 2 Saa (4, 4) · Sbb (4, 4) > Sab (4, 4),

nebot’

1 2

·

1 2

>

1 2 4 .

ˇ jsou splneny ˇ a funkce S má tedy v bodeˇ [4, 4] Pˇredpoklady vety ostrý lokální extrém. Protože je Saa (4, 4) =

1 > 0, 2

jde o ostré lokální minimum. Rozklad cˇ ísla 64 na tˇri cˇ initele má tedy nejmenší souˇcet pro a = b = c = 4. Matematická analýza III.


2


Podruhé budeme tuto úlohu ˇrešit metodou Lagrangeových ˇ 2.7. multiplikátoru, ˚ tj. budeme se opírat o vetu Rovnici vazby pˇrevedeme do implicitního tvaru, tj. a · b · c − 64 = 0. ˇ jsou splneny, ˇ Pˇredpoklady vety nebot’ derivace obou funkcí jsou spojité na R3 a pro každý bod (a, b, c) ∈ A je ∂g ∂c = ab 6= 0, protože rozklad nemuže ˚ obsahovat nulu.




Lagrangeova funkce má tvar F (a, b, c, λ) = a + b + c + λ(abc − 64) Parciální derivace funkce F jsou rovny ∂F ∂a ∂F ∂b ∂F ∂c ∂F ∂λ

= 1 + λbc = 1 + λac = 1 + λab = abc − 64.




ˇ Rešíme tedy soustavu cˇ tyˇr rovnic o cˇ tyˇrech neznámých 1 + λbc = 0 1 + λac = 0 1 + λab = 0 abc − 64 = 0. Struˇcneˇ nastíníme postup ˇrešení. Z poslední rovnice vyjádˇríme a (a = 64 bc ) a dosadíme do druhé a tˇretí rovnice. Získáme soustavu tˇrech rovnic o tˇrech neznámých: 1 + λbc = 0 64 1 + λ cA = 0 bcA 64 1+λ b A=0 b Ac Matematická analýza III.



Z druhé rovnice vyjádˇríme b (b = −64λ), ze tˇretí rovnice c (c = −64λ) a dosadíme do první rovnice: 1 + λ · (−64λ) · (−64λ) = 0 1 + 4096λ3 = 0 λ=−

1 16

Potom b = c = 4 a a = 4. Bod podezˇrelý z extrému má souˇradnice (4, 4, 4).




Zkontrolujeme správnost našeho výsledku. Možné rozklady cˇ ísla 64 (nehledíme-li na poˇradí cˇ initelu) ˚ jsou ˇ v následující tabulce. znázorneny ˇ Druhý sloupec udává souˇcet techto cˇ ísel. Rozklad 1 · 1 · 64 1 · 2 · 32 1 · 4 · 16 1·8· 8 2 · 2 · 16 2·4· 8 4·4· 4

Souˇcet 66 35 21 17 20 14 12

I z tabulky je patrné, že nejmenšího souˇctu dosáhneme pro rozklad 64 = 4 · 4 · 4. ˇ zpet


Matematická analýza III

Recommend Documents