INTEGRASI NUMERIK 0 Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative) 0 Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.
INTEGRASI NUMERIK 0 Fungsi yang dapat dihitung integralnya :
ax n 1 ax dx n 1 C ax e ax e dx a C sin( ax b)dx 1 a cos(a b) C cos(ax b)dx 1 a sin( a b) C 1 x dx ln | x | C n
0 Fungsi yang rumit misal : 2
0
3
2 cos(1 x 2 ) 1 0.5 sin x
e 0.5 x dx
ln | x |dx x ln | x | x C
INTEGRASI NUMERIK 0 Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. 0 digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.
0 Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar
Dasar Pengintegralan Numerik
Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi
b
a
f(x)
x0
n
f ( x)dx ci f ( xi ) i 0
c0 f ( x0 ) c1 f ( x1 ) ... cn f ( xn )
x1
xn-1
xn
x
Dasar Pengintegralan Numerik 0 Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti
saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.
0 Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih
mendekati jawaban eksak. 12
10
8
6
4
2
0 3
5
7
9
11
13
15
Dasar Pengintegralan Numerik Formula Newton-Cotes - Berdasarkan pada b
b
a
a
I f ( x )dx fn ( x )dx Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
fn ( x ) a0 a1 x an1 x n1 an x n
fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat
fn (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi
Polinomial dapat didasarkan pada data
INTEGRASI NUMERIK 0 Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan : 0L =
b
f x dx a
Metode Integral Reimann 0.5 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Metode Integral Reimann 0 Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x
0 Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b] 0 Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang
dimana Li=f(xi).
x i
Metode Integral Reimann 0 Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan : L L0 L1 L2 .. Ln
f x0 x0 f x1 x1 f x 2 x 2 ... f x n x3 n
f xi xi i 0
0 Dimana 0 Didapat
x0 x1 x2 ... xn h b
n
a
i 0
f x dx h f xi
Contoh
1
L = x 2 dx 0
0 Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1] 1 x**2
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Contoh 0 Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
10
L h. f ( xi ) i 0
0.10 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1.00 0.13,85 0,385 1 1 3 1 2 L x dx x | 0 0,3333 ..... 0 Secara kalkulus : 3 0 0 Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 0 = 0,052
Algoritma Metode Integral Reimann: 0 Definisikan fungsi f(x)
0 Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi 0 Tentukan jumlah pembagi area N 0 Hitung h=(b-a)/N 0 Hitung
N
L h. f ( xi ) i 0
Metode Integrasi Trapezoida 0 Aproksimasi garis lurus (linier)
b
a
1
f ( x )dx c i f ( x i ) c0 f ( x0 ) c 1 f ( x1 ) i 0
h f ( x0 ) f ( x 1 ) 2 f(x)
L(x)
x0
x1
x
Aturan Komposisi Trapesium
b
a
x1
x2
xn
x0
x1
xn 1
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
f ( x )dx
h f ( x0 ) f ( x 1 ) h f ( x 1 ) f ( x 2 ) h f ( x n 1 ) f ( x n ) 2 2 2 h f ( x0 ) 2 f ( x1 ) 2f ( x i ) 2 f ( x n1 ) f ( x n ) 2
f(x)
h
ba n x0
h
x1
h
x2
h
x3
h
x4
x
Metode Integrasi Trapezoida 1 Li f xi f xi 1 .xi 2 atau 1 Li f i f i 1 .xi 2
1
L Li
n 1
i 0
1 h L h f i f i 1 f 0 2 f1 2 f 2 ... 2 f n1 f n 2 i 0 2 n 1 h L f 0 2 f i f n 2 i 1
Algoritma Metode Integrasi Trapezoida 0 Definisikan y=f(x)
0 Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) 0 Tentukan jumlah pembagi n 0 Hitung h=(b-a)/n 0 Hitung
n 1 h L f 0 2 f i f n 2 i 1
Aturan Simpson 1/3 0 Aproksimasi dengan fungsi parabola
b
a
2
f ( x )dx c i f ( x i ) c0 f ( x0 ) c 1 f ( x1 ) c 2 f ( x 2 ) i 0
h f ( x0 ) 4 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 3
L(x)
f(x)
x0
h
x1
h
x2
x
Aturan Simpson 1/3 ( x x0 )( x x 2 ) ( x x1 )( x x 2 ) L( x ) f ( x0 ) f ( x1 ) ( x0 x1 )( x0 x 2 ) ( x1 x0 )( x1 x 2 ) ( x x0 )( x x1 ) f ( x2 ) ( x 2 x0 )( x 2 x1 ) ab 2 x x1 ba dx h , , d 2 h h x x0 1 x x1 0 x x 1 2 let
x0 a, x 2 b, x 1
Aturan Simpson 1/3 L( )
b
a
( 1) 2
f ( x0 ) ( 1 ) f ( x1 ) 2
( 1) 2
f ( x2 )
h 1 f ( x)dx h L( )dξ f ( x0 ) ξ (ξ 1)dξ 1 2 1 1 h 1 2 f ( x1 )h ( 1 ξ )dξ f ( x2 ) ξ (ξ 1)dξ 0 2 1 1
1
1
h ξ ξ ξ f ( x0 ) ( ) f ( x1 )h(ξ ) 2 3 2 1 3 1 3
2
3
1
h ξ ξ f ( x2 ) ( ) 2 3 2 1 3
b
a
2
h f ( x )dx f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 ) 3
Aturan Komposisi Simpson ba h n f(x)
…... x0 h x1 h x2 h x3 h
x4
xn-2 xn-1
xn
x
Metode Integrasi Simpson 0 Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut: N=0–n L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln
h h h h h h L f 0 2 f1 2 f1 f 2 f 2 2 f 3 2 f 3 f 4 ... f n2 2 f n1 2 f n1 f n 3 3 3 3 3 3 0 atau dapat dituliskan dengan: h L f 0 4 f i 2 f i f n 3 i ganjil i genap
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
0 Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb x x( x h) 2 x x( x h) 2 p2 x f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x ) f f f0 0 0 0 2 2 h h 2!h 2!h
Cara II (Buku Rinaldi Munir) 0 Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h] 2h
L
2h
f ( x)dx p 0
2
xdx
0
x x ( x h) 2 L f 0 f 0 f 0 dx 2 h 2!h 0 2h
x3 x2 x2 2 L f0 x f 0 2 2 f 0 | xx 02 h 2h 4h 6h 8h 3 4h 2 2 4h 2 f 0 L 2hf 0 x f 0 2 2h 4h 6h 4h L 2hf 0 x 2hf 0 h 2 f 0 3 h L 2hf 0 x 2hf 0 2 f 0 3
Cara II (Buku Rinaldi Munir) 0 Mengingat
f 0 f1 f 0
2 f 0 f1 f 0 ( f 2 f1 ) ( f1 f 0 ) f 2 2 f1 f 0 0 Maka selanjutnya h L 2hf0 x 2h( f1 f 0 ) ( f 2 2 f1 f 0 ) 3 h 2h h L 2hf0 x 2hf1 2hf0 f 2 f1 f 0 3 3 3 h 4h h L f0 f1 f 2 3 3 3 h L ( f 0 4 f1 f 2 ) 3
Aturan Simpson 3/8
Aproksimasi dengan fungsi kubik
b
a
3
f ( x )dx c i f ( x i ) c0 f ( x0 ) c 1 f ( x1 ) c 2 f ( x 2 ) c 3 f ( x 3 ) i 0
3h f ( x0 ) 3 f ( x 1 ) 3 f ( x 2 ) f ( x 3 ) 8
L(x)
x0
h
f(x)
x1
h
x2
h
x3
x
Aturan Simpson 3/8 L( x )
( x x1 )( x x 2 )( x x 3 ) ( x x0 )( x x 2 )( x x 3 ) f ( x0 ) f ( x1 ) ( x0 x1 )( x0 x 2 )( x0 x 3 ) ( x1 x0 )( x1 x 2 )( x1 x 3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x 3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x 2 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ( x 2 x0 )( x 2 x1 )( x 2 x 3 ) ( x 3 x0 )( x 3 x1 )( x 3 x 2 )
b
a
f(x)dx
b
a
ba L(x)dx ; h 3
3h f ( x0 ) 3 f ( x 1 ) 3 f ( x 2 ) f ( x 3 ) 8 Error Pemenggalan
3 5 (4) ( b a) 5 ( 4 ) ba Et h f ( ) f ( ) ; h 80 6480 3
Metode Integrasi Gauss 0 Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson)
berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan : 0 H sama 0 Luas dihitung dari a sampai b
0 Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.
Metode Integrasi Gauss 0 Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1] 1
h I f ( x)dx f (1) f (1) f (1) f (1) 2 1 h2
0 Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss) 1
I
f ( x)dx c
1
f ( x1 ) c 2 f ( x 2 )
1
0 Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida 0 Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai
tersebut sehingga error integrasinya min
Metode Integrasi Gauss 0 Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap
memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1] 0 f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3 1
1
I
c1 c 2 1dx 2
f ( x)dx c
1
f ( x1 ) c 2 f ( x 2 )
1
1
1
c1 x1 c 2 x 2 xdx 0
Didapat
1
c1 c 2 1
1
c1 x12 c 2 x 22 x 2 dx 2 1 1
c x c 2 x x dx 0 3 1 1
3 2
3
1
3
x1
1 3
x2
1 3
Metode Integrasi Gauss 0 Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss
Legendre 2 titik 1
f ( x)dx f (
1
1 3
) f(
1 3
)
Transformasi b
Li f ( x )dx a
0 Range [a,b] [-1,1] 0 X u f(x) g(u) dx du
1
Li g (u )du 1
Transformasi x a u 1 ba 2 2 x 2a (u 1)(b a ) 2 x (u 1)(b a ) 2a a b bu au x 2 (a b) (b a )u x 2 ba dx du 2
a
x
b
-1
u
1
Transformasi 1
Li g (u )du 1
1 g (u) (b a) f 12 (b a)u 12 (b a) 2 1 (a b) (b a)u g ( u ) du ( b a ) f du 1 2 2 1 1
1
Analisa 0 Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes
(Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode GaussLegendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi. 0 Lebih teliti dibandingkan dengan metode NewtonCotes. 0 Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi 1
g (u)du
1
Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik 0 0 0
Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) Hitung nilai konversi variabel : x
0
1 b a u 1 (b a) 2 2
Tentukan fungsi g(u) dengan: 1 g (u) (b a) f 12 (b a)u 12 (b a) 2
0
Hitung
1 1 L g g 3 3
Contoh Soal
Metode Gauss Legendre 3 Titik 1
I
f ( x)dx c
1
f ( x1 ) c2 f ( x2 ) c3 f ( x3 )
1
0 Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan
membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :
f ( x) 1; f ( x) x; f ( x) x 2 f ( x) x 3 ; f ( x) x 4 ; f ( x) x 5 0 Dengan cara yang sama didapat 5 8 5 c1 ; c 2 ; c3 9 9 9 x1 3 5 ; x 2 0; x3 3 5
Metode Gauss Legendre 3 Titik 5 3 8 5 3 g ( u ) du g g 0 g 1 9 5 9 9 5 1
Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik
Metode Gauss n-Titik
Beberapa Penerapan Integrasi Numerik 0 Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
0 Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar 9
6
3
Skala 1:100000 0
5
10
15
0 Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m. 0 Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar 0 Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode: 0 Dengan menggunakan metode integrasi Reimann 16
L h y i 73.5 i 0
0 Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida 15 h L y 0 y16 2 yi 73.5 2 i 1
0 Dengan menggunakan metode integrasi Simpson
h L y 0 y16 4 y i 2 y i 74 3 i ganjil i genap
Menghitung Luas dan Volume Benda Putar 0 Luas benda putar: b
0 Volume benda putar:
L p 2 f ( x)dx a
b
V p f ( x)2 dx a
Contoh :
5 cm 7 cm
I
II
6 cm
III
12 cm
4 cm
IV
7 cm
satuan dalam cm
0 Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian 0 bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu
dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, 0 bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.
0 Bagian I:
0 Bagian II:
LI 2 (4)(7) 56 VI (4)(7) 2 196
LII 2 12(12) 288 VII 2 12 12 2 3456
Contoh : 0 Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
VII VIV 0 Pada bagian II dan IV: LII LIV dan 0 Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh: 4 h LII ( LIV ) 2 y 0 y5 2 yi 108 2 i 1 4 h 2 2 V II V IV y 0 y5 2 yi2 1187 .5 2 i 1
Contoh : 0 Luas permukaan dari botol adalah:
L LI LII LIII LIV
0 Luas = 1758.4 cm2 0 Volume botol adalah:
0 Volume = 18924.78 cm3
56 108 288 108 560 1758 .4 V VI VII VIII VIV 196 1187 .5 3456 1187 .5 6024
