INTEGRASI NUMERIK Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu
integral dan turunan(derivative) Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.
INTEGRASI NUMERIK Fungsi yang dapat dihitung integralnya :
ax n 1 ax dx n 1 C ax e ax e dx a C sin(ax b)dx 1 a cos(a b) C cos(ax b)dx 1 a sin(a b) C 1 x dx ln | x | C n
Fungsi yang rumit misal : 2
0
3
2 cos(1 x 2 ) 1 0.5 sin x
e 0.5 x dx
ln | x |dx x ln | x | x C
INTEGRASI NUMERIK Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang
digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Penerapan integral : menghitung luas dan volumevolume benda putar
Dasar Pengintegralan Numerik
Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi
b
a
f(x)
x0
n
f ( x)dx ci f ( xi ) i 0
c0 f ( x0 ) c1 f ( x1 ) ... cn f ( xn )
x1
xn-1
xn
x
Dasar Pengintegralan Numerik Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal
belajar integral – penjumlahan bagian-bagian. Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati
jawaban eksak. 12
10
8
6
4
2
0 3
5
7
9
11
13
15
Dasar Pengintegralan Numerik Formula Newton-Cotes - Berdasarkan pada b
b
a
a
I f ( x )dx fn ( x )dx Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
fn ( x ) a0 a1 x an1 x n1 an x n
fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat
fn (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi
Polinomial dapat didasarkan pada data
INTEGRASI NUMERIK Luas daerah yang diarsir L
dapat dihitung dengan : L= b
f x dx a
Metode Integral Reimann 0.5 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Metode Integral Reimann Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x
Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b] Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana
Li=f(xi).
Metode Integral Reimann Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :
L L0 L1 L2 .. Ln
f x0 x0 f x1 x1 f x2 x2 ... f xn x3 n
f xi xi i 0
Dimana Didapat
x0 x1 x2 ... xn h b
n
a
i 0
f x dx h f xi
1
Contoh
L = x 2 dx 0
Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk
range x = [0,1] 1 x**2
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Contoh Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
10
L h. f ( xi ) i 0
0.10 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1.00 0.13,85 0,385
Secara kalkulus :
1
1 L x 2 dx x 3 |10 0,3333..... 3 0
Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333
= 0,052
Algoritma Metode Integral Reimann: Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi Tentukan jumlah pembagi area N Hitung h=(b-a)/N Hitung
N
L h. f ( xi ) i 0
Metode Integrasi Trapezoida Aproksimasi garis lurus (linier)
b
a
1
f ( x )dx c i f ( x i ) c0 f ( x0 ) c 1 f ( x1 ) i 0
h f ( x0 ) f ( x 1 ) 2 f(x) L(x)
x0
x1
x
Aturan Komposisi Trapesium
b
a
x1
x2
xn
x0
x1
xn 1
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
f ( x )dx
h f ( x0 ) f ( x 1 ) h f ( x 1 ) f ( x 2 ) h f ( x n 1 ) f ( x n ) 2 2 2 h f ( x0 ) 2 f ( x1 ) 2f ( x i ) 2 f ( x n1 ) f ( x n ) 2
f(x)
ba h n x0
h
x1
h
x2
h
x3
h
x4
x
Metode Integrasi Trapezoida 1 Li f xi f xi 1 .xi 2 atau 1 Li f i f i 1 .xi 2
1
L Li
n 1
i 0
1 h L h f i f i 1 f 0 2 f1 2 f 2 ... 2 f n1 f n 2 i 0 2 n 1 h L f 0 2 f i f n 2 i 1
Algoritma Metode Integrasi Trapezoida Definisikan y=f(x)
Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) Tentukan jumlah pembagi n Hitung h=(b-a)/n Hitung
n 1 h L f 0 2 f i f n 2 i 1
Aturan Simpson 1/3 Aproksimasi dengan fungsi parabola
b
a
2
f ( x )dx c i f ( x i ) c0 f ( x0 ) c 1 f ( x1 ) c 2 f ( x 2 ) i 0
h f ( x0 ) 4 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 3
L(x)
f(x)
x0
h
x1
h
x2
x
Aturan Simpson 1/3 ( x x0 )( x x 2 ) ( x x 1 )( x x 2 ) L( x ) f ( x0 ) f ( x1 ) ( x0 x 1 )( x0 x 2 ) ( x1 x0 )( x1 x 2 ) ( x x0 )( x x 1 ) f ( x2 ) ( x 2 x0 )( x 2 x1 ) ab 2 x x1 ba dx h , , d 2 h h x x0 1 x x1 0 x x 1 2 let
x0 a, x 2 b, x 1
L( )
( 1) 2
f ( x0 ) ( 1 2 ) f ( x1 )
( 1) 2
f ( x2 )
Aturan Simpson 1/3 L( )
b
a
( 1) 2
f ( x0 ) ( 1 ) f ( x1 ) 2
( 1) 2
f ( x2 )
h 1 f ( x)dx h L( )dξ f ( x0 ) ξ (ξ 1)dξ 1 2 1 1 h 1 2 f ( x1 )h ( 1 ξ )dξ f ( x2 ) ξ (ξ 1)dξ 0 2 1 1
1
1
h ξ ξ ξ f ( x0 ) ( ) f ( x1 )h(ξ ) 2 3 2 1 3 1 3
2
3
1
h ξ ξ f ( x2 ) ( ) 2 3 2 1 3
b
a
2
h f ( x )dx f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x 2 ) 3
Aturan Komposisi Simpson ba h n f(x)
…... x0 h x1 h x2 h x3 h
x4
xn-2 xn-1
xn
x
Metode Integrasi Simpson Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah
yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut: h h h h h h L f 0 2 f1 2 f1 f 2 f 2 2 f 3 2 f 3 f 4 ... f n2 2 f n1 2 f n1 f n 3 3 3 3 3 3 N=0–n
L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln
atau dapat dituliskan dengan: h L f 0 4 f i 2 f i f n 3 i ganjil i genap
Cara II (Buku Rinaldi Munir) Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang
melalui ketiga titik tsb p 2 x f ( x0 )
x x( x h) 2 x x( x h) 2 f ( x0 ) f ( x ) f f f0 0 0 0 2 2 h h 2!h 2!h
Cara II (Buku Rinaldi Munir) Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h] 2h
L
2h
f ( x)dx p 0
2
xdx
0
x x ( x h) 2 L f 0 f 0 f 0 dx 2 h 2!h 0 2h
x3 x2 x2 L f0 x f 0 2 2 2h 4h 6h
2 f 0 | xx 02 h
8h 3 4h 2 2 4h 2 f 0 L 2hf 0 x f 0 2 2h 4h 6h 4h L 2hf 0 x 2hf 0 h 2 f 0 3 h L 2hf 0 x 2hf 0 2 f 0 3
Cara II (Buku Rinaldi Munir) Mengingat
f 0 f1 f 0 Maka selanjutnya
2 f 0 f1 f 0 ( f 2 f1 ) ( f1 f 0 ) f 2 2 f1 f 0 h L 2hf 0 x 2h( f1 f 0 ) ( f 2 2 f1 f 0 ) 3 h 2h h L 2hf 0 x 2hf1 2hf 0 f 2 f1 f 0 3 3 3 h 4h h L f0 f1 f 2 3 3 3 h L ( f 0 4 f1 f 2 ) 3
Aturan Simpson 3/8
Aproksimasi dengan fungsi kubik
b
a
3
f ( x )dx c i f ( x i ) c0 f ( x0 ) c 1 f ( x1 ) c 2 f ( x 2 ) c 3 f ( x 3 ) i 0
3h f ( x0 ) 3 f ( x 1 ) 3 f ( x 2 ) f ( x 3 ) 8
L(x)
x0
h
f(x)
x1
h
x2
h
x3
x
Aturan Simpson 3/8 L( x )
( x x1 )( x x 2 )( x x 3 ) ( x x0 )( x x 2 )( x x 3 ) f ( x0 ) f ( x1 ) ( x0 x1 )( x0 x 2 )( x0 x 3 ) ( x1 x0 )( x1 x 2 )( x1 x 3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x 3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x 2 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ( x 2 x0 )( x 2 x1 )( x 2 x 3 ) ( x 3 x0 )( x 3 x1 )( x 3 x 2 )
b
a
f(x)dx
b
a
ba L(x)dx ; h 3
3h f ( x0 ) 3 f ( x 1 ) 3 f ( x 2 ) f ( x 3 ) 8 Error Pemenggalan
3 5 (4) ( b a) 5 ( 4 ) ba Et h f ( ) f ( ) ; h 80 6480 3
Metode Integrasi Gauss Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson)
berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan : H sama Luas dihitung dari a sampai b
Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.
Metode Integrasi Gauss Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1] 1
h I f ( x)dx f (1) f (1) f (1) f (1) 2 1 h2 Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss) 1
I
f ( x)dx c
1
f ( x1 ) c2 f ( x2 )
1
Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga
error integrasinya min
Metode Integrasi Gauss Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi
secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1] f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3 1
1
I
c1 c 2 1dx 2
f ( x)dx c
1
f ( x1 ) c2 f ( x2 )
1
1
1
c1 x1 c 2 x 2 xdx 0
Didapat
1
c1 c 2 1
1
c1 x12 c 2 x 22 x 2 dx 2 1 1
c x c 2 x x dx 0 3 1 1
3 2
3
1
3
x1
1 3
x2
1 3
Metode Integrasi Gauss Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2
titik
1
f ( x)dx f (
1
1 3
) f(
1 3
)
Transformasi b
Li f ( x)dx a
Range [a,b] [-1,1] X u f(x) g(u) dx du
1
Li g (u )du 1
Transformasi x a u 1 ba 2 2 x 2a (u 1)(b a ) 2 x (u 1)(b a ) 2a a b bu au x 2 (a b) (b a )u x 2 ba dx du 2
a
x
b
-1
u
1
Transformasi 1
Li g (u )du 1
1 g (u ) (b a) f 12 (b a)u 12 (b a) 2 1 (a b) (b a)u g ( u ) du ( b a ) f du 1 2 2 1 1
1
Analisa Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida,
Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi. Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes. Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi 1
g (u)du
1
Tugas Carilah perintah dalam bahasa matlab untuk Integrasi Gauss-
Legendre (Gauss – Quadratic)
