INTEGRASI NUMERIK
INTEGRASI NUMERIK
Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative) Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.
INTEGRASI NUMERIK
Fungsi yang dapat dihitung integralnya :
ax n +1 ∫ ax dx = n + 1 + C ax e ax e ∫ dx = a + C ∫ sin(ax + b)dx = − 1 a cos(a + b) + C ∫ cos(ax + b)dx = 1 a sin(a + b) + C 1 ∫ xdx = ln | x | +C n
2
∫ 0
Fungsi yang rumit misal : 3
2 + cos(1 + x 2 ) 1 + 0.5 sin x
e 0.5 x dx
∫ ln | x |dx = x ln | x | − x + C
INTEGRASI NUMERIK
Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar
Dasar Pengintegralan Numerik ¾
Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi
∫
b
a
f(x)
x0
n
f ( x)dx ≈ ∑ ci f ( xi ) i =0
= c0 f ( x0 ) + c1 f ( x1 ) + ... + cn f ( xn )
x1
xn-1
xn
x
Dasar Pengintegralan Numerik
Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian. Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak. 12
10
8
6
4
2
0 3
5
7
9
11
13
15
Dasar Pengintegralan Numerik Formula Newton-Cotes - Berdasarkan pada
I=
∫
b
a
f ( x )dx ≅
∫
b
a
f n ( x )dx
¾ Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
f n ( x ) = a0 + a1 x + Λ + an− 1 x n− 1 + an x n
¾ fn (x) bisa fungsi linear ¾ fn (x) bisa fungsi kuadrat
¾ fn (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi
¾ Polinomial dapat didasarkan pada data
INTEGRASI NUMERIK
Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan : L= b
∫ f (x )dx a
Metode Integral Reimann 0.5 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Metode Integral Reimann
Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b] Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li=f(xi). ∆xi
Metode Integral Reimann
Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan : L = L0 + L1 + L2 + .. + Ln
= f ( x0 )∆x0 + f ( x1 )∆x1 + f ( x 2 )∆x 2 + ... + f ( x n )∆x3 n
= ∑ f ( xi )∆xi i =0
Dimana ∆x0 = ∆x1 = ∆x 2 = ... = ∆x n = h n Didapat b
∫ f (x )dx = h∑ f (xi ) a
i =0
1
L= ∫
Contoh
x 2 dx
0
Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1] 1 x**2
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Contoh
Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
10
L = h.∑ f ( xi ) i =0
= 0.1(0 + 0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81 + 1.00 )
= (0.1)(3,85) = 0,385
Secara kalkulus :
1
1 L = ∫ x 2 dx = x 3 |10 = 0,3333..... 3 0
Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052
Algoritma Metode Integral Reimann:
Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi Tentukan jumlah pembagi area N Hitung h=(b-a)/N N Hitung
L = h.∑ f ( xi ) i =0
Metode Integrasi Trapezoida
Aproksimasi garis lurus (linier)
∫
b
a
1
f ( x )dx ≈ ∑ c i f ( x i ) = c0 f ( x0 ) + c 1 f ( x 1 ) i =0
h = [ f ( x0 ) + f ( x 1 )] 2 f(x) L(x)
x0
x1
x
Aturan Komposisi Trapesium ∫
b
a
f ( x )dx =
∫
x1
x0
x2
xn
x1
xn − 1
f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + Λ Λ + ∫
f ( x )dx
h [ f ( x0 ) + f ( x 1 ) ] + h [ f ( x 1 ) + f ( x 2 ) ] + Λ + h [ f ( x n− 1 ) + f ( x n ) ] 2 2 2 h = [ f ( x0 ) + 2 f ( x 1 ) + Λ + 2f ( x i ) + Λ + 2 f ( x n− 1 ) + f ( x n )] 2
=
f(x)
b−a h= n x0
h
x1
h
x2
h
x3
h
x4
x
Metode Integrasi Trapezoida 1 Li = ( f ( xi ) + f ( xi +1 )).∆xi 2 atau 1 Li = ( f i + f i +1 ).∆xi 2
η −1
L = ∑ Li
n −1
i =0
h 1 L = ∑ h( f i + f i +1 ) = ( f 0 + 2 f1 + 2 f 2 + ... + 2 f n −1 + f n ) 2 i =0 2 n −1 ⎞ h⎛ L = ⎜⎜ f 0 + 2∑ f i + f n ⎟⎟ 2⎝ i =1 ⎠
Algoritma Metode Integrasi Trapezoida
Definisikan y=f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) Tentukan jumlah pembagi n Hitung h=(b-a)/n Hitung n −1 ⎞ h⎛
L=
⎜⎜ f 0 + 2∑ f i + f n ⎟⎟ 2⎝ i =1 ⎠
Aturan Simpson 1/3
Aproksimasi dengan fungsi parabola 2 b ∫a f ( x )dx ≈ ∑ c i f ( xi ) = c0 f ( x0 ) + c1 f ( x1 ) + c 2 f ( x2 ) i =0
=
h [ f ( x0 ) + 4 f ( x 1 ) + f ( x 2 )] 3
L(x)
f(x)
x0
h
x1
h
x2
x
Aturan Simpson 1/3 ( x − x0 )( x − x 2 ) ( x − x 1 )( x − x 2 ) L( x ) = f ( x0 ) + f ( x1 ) ( x0 − x 1 )( x0 − x 2 ) ( x 1 − x0 )( x 1 − x 2 ) ( x − x0 )( x − x 1 ) f ( x2 ) + ( x 2 − x0 )( x 2 − x 1 ) a+b 2 x − x1 b−a dx h= ,ξ = , dξ = 2 h h ⎧ x = x0 ⇒ ξ = −1 ⎪ ⎨ x = x1 ⇒ ξ = 0 ⎪x = x ⇒ ξ = 1 2 ⎩ let
x0 = a, x 2 = b, x 1 =
L(ξ ) =
ξ (ξ − 1) 2
f ( x0 ) + ( 1 − ξ 2 ) f ( x 1 ) +
ξ (ξ + 1) 2
f ( x2 )
Aturan Simpson 1/3 L(ξ ) =
∫
b
a
ξ (ξ − 1) 2
f ( x0 ) + ( 1 − ξ ) f ( x 1 ) + 2
ξ (ξ + 1) 2
f ( x2 )
h 1 f ( x)dx ≈ h ∫ L(ξ )dξ = f ( x0 ) ∫ ξ (ξ − 1)dξ −1 2 −1 1 h 1 2 + f ( x1 )h ∫ ( 1 − ξ )dξ + f ( x2 ) ∫ ξ (ξ + 1)dξ 0 2 −1 1
1
1
h ξ ξ ξ = f ( x0 ) ( − ) + f ( x1 )h(ξ − ) 2 3 2 −1 3 −1 3
2
3
1
h ξ ξ + f ( x2 ) ( + ) 2 3 2 −1 3
∫
b
a
2
h f ( x )dx = [ f ( x0 ) + 4 f ( x 1 ) + f ( x 2 )] 3
Aturan Komposisi Simpson b−a h= n f(x)
…... x0 h x1 h x2 h x3 h
x4
xn-2 xn-1
xn
x
Metode Integrasi Simpson
Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut: N=0–n L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln
h h h h h h L= ( f0 +2f1) + (2f1 + f2) + ( f2 +2f3) + (2f3 + f4) +...+ ( fn−2 +2fn−1) + (2fn−1 + fn) 3 3 3 3 3 3 atau dapat dituliskan dengan: ⎞ h ⎛⎜ L = ⎜ f 0 + 4 ∑ f i + 2 ∑ f i + f n ⎟⎟ 3⎝ i ganjil i genap ⎠
Cara II
(Buku Rinaldi Munir)
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb
p 2 x = f ( x0 ) +
x x ( x − h) 2 x x ( x − h) 2 f ( x ) f f ∆ f0 ∆f ( x 0 ) + ∆ = + + 0 0 0 2 2 h h 2!h 2!h
Cara II
(Buku Rinaldi Munir)
Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h] 2h
L=
2h
∫ f ( x)dx = ∫ p 0
2
xdx
0
2h
x x ( x − h) 2 ⎞ ⎛ L = ∫ ⎜ f 0 + ∆f 0 + ∆ f 0 ⎟dx 2 h 2!h ⎠ 0⎝ ⎛ x3 x2 x2 L = f0 x + ∆f 0 + ⎜⎜ 2 − 2 2h 4h ⎝ 6h
⎞ 2 ⎟⎟∆ f 0 | xx ==02 h ⎠
⎛ 8h 3 4 h 2 ⎞ 2 4h 2 ⎟⎟∆ f 0 L = 2hf 0 x + ∆f 0 + ⎜⎜ 2 − 2h 4h ⎠ ⎝ 6h ⎛ 4h ⎞ L = 2hf 0 x + 2h∆f 0 + ⎜ − h ⎟∆2 f 0 ⎝ 3 ⎠ h L = 2hf 0 x + 2h∆f 0 + ∆2 f 0 3
Cara II
(Buku Rinaldi Munir)
Mengingat
∆f 0 = f1 − f 0
∆2 f 0 = ∆f 1 − ∆f 0 = ( f 2 − f 1 ) − ( f 1 − f 0 ) = f 2 − 2 f 1 + f 0
Maka selanjutnya h L = 2hf 0 x + 2h( f1 − f 0 ) + ( f 2 − 2 f1 + f 0 ) 3 2h h h L = 2hf 0 x + 2hf1 − 2hf 0 + f 2 − f1 + f 0 3 3 3 4h h h L = f0 + f1 + f 2 3 3 3 h L = ( f 0 + 4 f1 + f 2 ) 3
Aturan Simpson 3/8 ¾
Aproksimasi dengan fungsi kubik
∫
b
a
3
f ( x )dx ≈ ∑ c i f ( x i ) = c0 f ( x0 ) + c 1 f ( x 1 ) + c 2 f ( x 2 ) + c 3 f ( x 3 ) i =0
=
3h [ f ( x0 ) + 3 f ( x 1 ) + 3 f ( x 2 ) + f ( x 3 )] 8
L(x)
x0
h
f(x)
x1
h
x2
h
x3
x
Aturan Simpson 3/8 L( x ) = +
( x − x1 )( x − x 2 )( x − x 3 ) ( x − x0 )( x − x 2 )( x − x 3 ) f ( x0 ) + f ( x1 ) ( x0 − x 1 )( x0 − x 2 )( x0 − x 3 ) ( x 1 − x0 )( x 1 − x 2 )( x1 − x 3 ) ( x − x0 )( x − x1 )( x − x 3 ) ( x − x0 )( x − x1 )( x − x 2 ) f ( x2 ) + f ( x3 ) ( x 2 − x0 )( x 2 − x 1 )( x 2 − x 3 ) ( x 3 − x0 )( x 3 − x1 )( x 3 − x 2 )
∫
b
a
f(x)dx ≈ ∫
b
a
b−a L(x)dx ; h = 3
3h [ f ( x0 ) + 3 f ( x 1 ) + 3 f ( x 2 ) + f ( x 3 )] = 8 ¾ Error Pemenggalan
(b − a)5 ( 4 ) b−a 3 5 (4) f (ξ ) ; h = h f (ξ ) = − Et = − 3 6480 80
Metode Integrasi Gauss
Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) Æ berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :
H sama Luas dihitung dari a sampai b
Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.
Metode Integrasi Gauss
Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1] 1
h I = ∫ f (x)dx ≈ ( f (1) + f (−1)) ≈ f (1) + f (−1) 2 −1
h=2
Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss) 1
I=
∫ f ( x)dx ≈c
1
f ( x1 ) + c 2 f ( x 2 )
−1
Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 Æ menjadi m. trapezoida Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error integrasinya min
Metode Integrasi Gauss
Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1] f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3 1
1
I=
c1 + c 2 = ∫ 1dx = 2
∫ f ( x)dx ≈c
1
f ( x1 ) + c 2 f ( x 2 )
−1
−1
1
c1 x1 + c 2 x 2 = ∫ xdx = 0
Didapat
−1
c1 = c 2 = 1
1
c1 x12 + c 2 x 22 = ∫ x 2 dx = 2 −1 1
c x + c 2 x = ∫ x dx = 0 3 1 1
3 2
3
−1
3
x1 =
1 3
x2 =
−1 3
Metode Integrasi Gauss
Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik 1
∫ f ( x)dx =
−1
f(
1 3
)+ f(
−1 3
)
Transformasi b
Li = ∫ f ( x)dx a
1
Li = ∫ g (u )du −1
Range [a,b] Æ [-1,1] X Æ u f(x) Æ g(u) dx Ædu
Transformasi x − a u +1 = 2 b−a 2 x − 2a = (u + 1)(b + a ) 2 x = (u + 1)(b + a ) + 2a a + b + bu − au x= 2 (a + b) + (b − a )u x= 2 ⎛b−a⎞ dx = ⎜ ⎟du ⎝ 2 ⎠
a
x
b
-1
u
1
Transformasi 1
Li = ∫ g (u )du −1
1 g (u ) = (b − a ) f 2
(12 ( b
− a )u +
1 2
(b + a ) )
1 ⎛ ( a + b ) + (b − a )u = − g u du b a f ( ) ( ) ∫− 1 ∫− 1 ⎜⎝ 2 2 1
1
⎞ ⎟ du ⎠
Analisa
Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode GaussLegendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi. Lebih teliti dibandingkan dengan metode NewtonCotes. Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi 1
∫ g (u )du
−1
Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik
Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) Hitung nilai konversi variabel : x=
Tentukan fungsi g(u) dengan: g (u ) =
1 (b − a )u + 1 (b + a) 2 2
Hitung
1 (b − a ) f ( 12 (b − a )u + 12 (b + a ) ) 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + g ⎜⎜ L = g ⎜⎜ − 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
Contoh Soal
Metode Gauss Legendre 3 Titik 1
I=
∫ f ( x)dx ≈c
1
f ( x1 ) + c 2 f ( x 2 ) + c3 f ( x3 )
−1
Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :
f ( x) = 1; f ( x) = x; f ( x) = x 2 f ( x) = x 3 ; f ( x) = x 4 ; f ( x) = x 5
Dengan cara yang sama didapat 5 8 5 c1 = ; c 2 = ; c3 = 9 9 9 x1 = − 3 5 ; x 2 = 0; x3 = 3 5
Metode Gauss Legendre 3 Titik 5 ⎛ 3⎞ 8 5 ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ( ) g u du g g g ( ) 0 + + = − ∫−1 9 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 9 9 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 1
Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik
Metode Gauss n-Titik
Beberapa Penerapan Integrasi Numerik
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar 9
6
3
Skala 1:100000 0
5
10
15
Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m. Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode: Dengan menggunakan metode integrasi Reimann 16
L = h∑ y i = 73.5 i =0
Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida 15 ⎞ h⎛ L = ⎜⎜ y 0 + y16 + 2∑ y i ⎟⎟ = 73.5 2⎝ i =1 ⎠
Dengan menggunakan metode integrasi Simpson ⎞ h⎛ L = ⎜⎜ y 0 + y16 + 4 ∑ y i + 2 ∑ y i ⎟⎟ = 74 3⎝ i = ganjil i = genap ⎠
Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
Luas benda putar: b
L p = 2π ∫ f ( x)dx a
Volume benda putar: b
V p = π ∫ [ f ( x)] dx a
2
Contoh :
5 cm 7 cm
I
II
6 cm
III
12 cm
4 cm
satuan dalam cm
bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.
Bagian I:
LI = 2π (4)(7) = 56π V I = π (4)(7) 2 = 196π
7 cm
Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian
IV
Bagian II:
LII = 2π (12)(12) = 288π VII = 2π (12)(12)2 = 3456π
Contoh :
Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
Pada bagian II dan IV: LII = LIV dan V II = V IV Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh: 4 ⎤ h⎡ LII ( LIV ) = 2π ⎢ y 0 + y5 + 2∑ yi ⎥ = 108π 2⎣ i =1 ⎦ 4 ⎤ h⎡ 2 2 V II (= V IV ) = π ⎢ y 0 + y5 + 2∑ y i2 ⎥ = 1187.5π 2⎣ i =1 ⎦
Contoh :
Luas permukaan dari botol adalah:
L = LI + LII + LIII + LIV = 56π + 108π + 288π + 108π
Luas = 1758.4 cm2 Volume botol adalah:
= 560π = 1758.4 V = V I + V II + V III + V IV = 196π + 1187.5π + 3456π + 1187.5π = 6024π
Volume = 18924.78 cm3
