BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi berdampak positif pada berbagai bidang termasuk bidang Statistika. Hal ini dapat dilihat dari semakin banyak penemuan dalam bidang Statistika, salah satunya yaitu Distrubusi Weibull yang dikembangkan antara tahun 1922 dan 1943. Dinamakan distribusi Weibull berdasarkan nama seorang ahli mesin Swedia, Waloddi Weibull. Distribusi Weibull telah banyak digunakan oleh ahli-ahli statistik dalam berbagai bidang aplikasi statistika. Hal ini disebabkan karena kelebihan distribusi ini yang dapat digunakan dalam berbagai bidang seperti analisis data waktu hidup (lifetime data), data cuaca, bahkan observasi lain dalam bidang ekonomi, hidrologi dan biologi. Distribusi ini dikenal sebagai distribusi yang fleksibel. Secara umum, fungsi densitas dari distribusi Weibull adalah sebagai berikut.
1 f ( x)
{
0
x x-1e ,
untuk x 0, 0, 0
, untuk x yang lain
Berdasarkan fungsi densitas Weibull di atas dapat dilihat bahwa bila diambil
1 maka fungsi densitas di atas akan menjadi fungsi densitas distribusi Eksponensial dengan . Distribusi eksponensial ini sangat bermanfaat terutama dalam menganalisis data reliabilitas. Hal ini disebabkan karena data reliabilitas pada umumnya tidak berdistribusi normal sehingga tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode statistik standar yang biasanya digunakan untuk distribusi normal. Namun salah satu kelemahan dari distribusi ini adalah hanya dapat digunakan jika tingkat kegagalan komponen diasumsikan konstan, padahal dalam banyak kasus tingkat kegagalan komponen tidak selalu konstan (Johnson, 2005). Untuk mengatasi masalah waktu kegagalan komponen
1
2
yang mungkin akan sangat panjang sepanjang periode pengujian maka digunakan distribusi Weibull. Adapun aplikasi lain dari distribusi Weibull adalah dalam bidang pengendalian
mutu
(Quality
Control).
Pada
tahun
1924
Shewhart
mengembangkan grafik pengendali yang digunakan sebagai alat dalam pengendalian mutu. Grafik pengendali yang biasanya digunakan adalah grafik pengendali yang didasarkan pada distribusi Normal dengan rata-rata Shewhart dan kisaran grafik pengendali 3 (standar deviasi). Namun, pada kenyataannya tidak semua data yang diperoleh berdistribusi normal. Jika data tersebut tetap dianalisis dengan grafik pengendali Shewhart dengan mengasumsikan bahwa data berdistribusi normal maka akan terjadi error yang cukup besar (Samanta et al., 2004). Untuk menyelesaikan masalah tersebut banyak cara yang dilakukan, salah satunya adalah dengan memanfaatkan fungsi kuantil distribusi Weibull yang merupakan invers dari fungsi distribusi kumulatif Weibull. Metode lain yang digunakan adalah dengan memanfaatkan metode Bayes. Metode ini digunakan untuk menjawab permasalahan kelangkaan data oleh karena beberapa data terutama data reliabilitas memiliki reliabilitas yang cukup tinggi sehingga sulit menemukan data dalam jumlah yang cukup banyak. Oleh karena itu penggunaan metode estimasi klasik (non-bayes) menjadi tidak mungkin sehingga dalam Tesis ini, penulis mencoba mengaplikasikan distribusi Weibull dalam bidang pengendalian mutu dengan memanfaatkan metode Bayes dan data yang digunakan adalah data reliabilitas.
1.2 Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dalam tulisan ini adalah sebagai berikut. 1. Apa saja karakteristik dari distribusi Weibull? 2. Bagaimana aplikasi metode bayes dalam pengendalian mutu berdasarkan distribusi Weibull?
3
1.3 Batasan Masalah Agar pembahasan mengenai aplikasi dari metode bayes dalam pengendalian mutu dengan distribusi Weibull tidak melebar terlalu jauh dan terfokus pada latar belakang permasalahan yang dikemukakan, maka penulis memberikan beberapa batasan masalah sebagai berikut: 1. Dalam mengaplikasikan distribusi Weibull dalam pengendalian mutu, penulis hanya menganalisis grafik pengendali. 2. Dalam membentuk grafik pengendali penulis hanya memanfaatkan metode bayes.
1.4 Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan ini adalah untuk mengetahui beberapa karakteristik dari distribusi Weibull serta aplikasinya pengendalian mutu dengan metode Bayes. Secara akademis penelitian ini juga dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat untuk meraih gelar master dalam bidang matematika pada program studi matematika FMIPA UGM serta diharapkan dapat memperkaya khazanah ilmu pengetahuan khususnya bidang ilmu Statistika di Indonesia.
1.5 Tinjauan Pustaka Seperti telah dijelaskan di atas bahwa distribusi Weibull termasuk salah satu distribusi yang fleksibel. Fleksibilitas ini dapat dilihat dari banyaknya bidang yang mengaplikasikan distribusi ini dalam analisis datanya. Khususnya dalam masalah data reliabilitas, distribusi inipun memiliki fleksibilitas diantaranya dapat digunakan untuk menganalisis data dengan tingkat kegagalan yang tidak selalu konstan. Hal inilah yang menjadi dasar bagi Zhang (2008) dalam tesisnya “Performance of Control Chart for Weibull Processes” yang menggunakan distribusi Weibull dalam pengendalian mutu. Tesis tersebut memanfaatkan metode Maximum Likelihood (ML) dan metode Maximum Likelihood Ratio Test (MLRT) dalam mencari parameter untuk membentuk grafik pengendalinya. Dalam kaitannya dengan pembentukkan grafik pengendali Samanta (2004) mengatakan bahwa jika data yang dianalisis tidak berdistribusi normal maka
4
penggunaan grafik pengendali Shewhart akan menimbulkan error yang cukup besar. Oleh karenanya Ia mengusulkan penggunaan distribusi non-normal dalam pembentukkan grafik pengendali seperti distribusi geometri, log-normal dan Weibull.
Distribusi
Weibull
menjadi
sangat
berguna
terutama
karena
fleksibilitasnya mulai dari data yang sangat tidak simetris sampai data yang mendekati distribusi normal (simetris). Berbeda dengan Zhang (2008), Erto dan Pallotta (2007) telah berhasil mengaplikasikan metode bayes dalam pembentukkan grafik pengendali dengan memanfaatkan data reliabilitas yang berdistribusi Weibull. Penggunaan metode bayes ini dilakukan mengingat bahwa banyak data reliabilitas yang memiliki reliabilitas yang sangat tinggi sehingga tidak mungkin jika dianalisis dengan menggunakan metode lain (non-bayes). Erto dalam penelitiannya berhasil menyimpulkan bahwa penggunaan metode bayes memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan metode klasik seperti metode Maximum Likelihood (ML). Selain beberapa penelitian di atas, Hsu dkk (2011) juga berhasil mendeteksi dan membandingkan kekuatan grafik pengendali persentil Weibull, grafik pengendali Bootstrap-Weibull dan grafik pengendali berdasarkan metode Bayes yang telah dibahas oleh Erto (2007). Berdasarkan hasil penelitian mereka diperoleh bahwa grafik pengendali yang paling bagus terutama dalam menganalisis masalah reliabilitas adalah grafik pengendali berdasarkan distribusi Weibull yang telah dibahas oleh Erto.
1.6 Sistematika Penulisan Adapun sistematika penulisan tesis ini adalah sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Bab ini memberikan penjelasan yang berisi tentang latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian dan sitematika penulisan.
5
BAB II LANDASAN TEORI Bab ini akan membahas teori-teori dasar yang menunjang penyelesaian dari masalah yang dirumuskan. BAB III DISTRIBUSI WEIBULL DAN APLIKASI METODE BAYES DALAM PENGENDALIAN MUTU Bab ini membahas mengenai beberapa karakteristik distribusi Weibull, bagaimana estimasi parameter dari distribusi Weibull, reliabilitas dari distribusi Weibull serta aplikasi metode Bayes dalam pengendalian mutu dengan distribusi Weibull. BAB IV GRAFIK PENGENDALI DARI DATA RELIABILITAS DAN ANALISIS KEMAMPUAN PROSES Bab ini membahas aplikasi metode Bayes pada pengendalian mutu dengan menggunakan data reliabilitas suatu produk. Pengendalian kualitas dianalisis dengan menggunakan grafik pengendali. Selain itu pada bab ini akan dibahas juga mengenai Perbandingan Kemampuan Proses (PKP) yang diperoleh dengan memanfaatkan fungsi distribusi kumulatif berdasarkan PKP konvensional atau PKP berdasarkan grafik pengendali Shewhart. PKP ini yang digunakan untuk mengevaluasi hasil dari grafik pengendali yang diperoleh.
