= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin cos 9 = 1 0, ( 0, ) = 1 ( 0, ) + 6 0,

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M2A+ULA

ČÁST 10

Příklad 1 Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete na setiny. a) Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (1, 6), nová soustava je vůči otočená o 20° ve směru hodinových ručiček. b) Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (−3, −5), nová soustava je vůči otočená o 40° ve směru hodinových ručiček. c) Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (2, 4), nová soustava je vůči otočená o 20° ve směru hodinových ručiček. d) Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (−3, −2), nová soustava je vůči otočená o 10° proti směru hodinových ručiček. e) Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (−5, 2), nová soustava je vůči otočená o 25° proti směru hodinových ručiček. f) Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (3, 4), nová soustava je vůči otočená o 30° proti směru hodinových ručiček. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1a Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Máme vypočítat jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky máme zaokrouhlit na setiny. Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (1, 6), nová soustava je vůči otočená o 20° ve směru hodinových ručiček. Vztahy pro otáčení kolem počátku jsou = cos − sin = sin + cos Bod má vůči soustavě souřadnice (1, 6). Platí tedy, že = 1, =6 V nové soustavě bude mít bod souřadnice ( , ). Úhel otočení je 20° ve směru hodinových ručiček, tedy =−

9 Nové souřadnice získáme dosazením do výše uvedených vztahů = 1 cos −

Provedeme výpočet

Odtud

Zaokrouhlíme dle zadání

= 1 sin −

9

9

− 6 sin −

+ 6 cos −

9

9

= 1 ∙ 0,939692621 − 6 ∙ (−0,342020143) = 1 ∙ (−0,342020143) + 6 ∙ 0,939692621 = 2,991813481 = 5,296135581 = 2,99 = 5,30

∀ ∃

1


ČÁST 10

Kontrolu správnosti výpočtu můžeme provést výpočtem vzdálenosti bodu od počátku v obou souřadných systémech. V obou případech je tato vzdálenost 6,08276253. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1b Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Máme vypočítat jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky máme zaokrouhlit na setiny. Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (−3, −5), nová soustava je vůči otočená o 40° ve směru hodinových ručiček. Vztahy pro otáčení kolem počátku jsou = cos − sin = sin + cos Bod má vůči soustavě souřadnice (1, 6). Platí tedy, že = −3, = −5 V nové soustavě bude mít bod souřadnice ( , ). Úhel otočení je 40° ve směru hodinových ručiček, tedy =−

4,5 Nové souřadnice získáme dosazením do výše uvedených vztahů = (−3) cos −

Provedeme výpočet

Odtud


= (−3) sin −

4,5

4,5

− (−5) sin −

+ (−5) cos −

4,5

4,5

= (−3) ∙ 0,766044443 − (−5) ∙ (−0,64278761) = (−3) ∙ (−0,64278761) + (−5) ∙ 0,766044443 = −5,512071378 = −1,901859387

= −5,51 = −1,90 Kontrolu správnosti výpočtu můžeme provést výpočtem vzdálenosti bodu od počátku v obou souřadných systémech. V obou případech je tato vzdálenost 5,830951895. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1c Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Máme vypočítat jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky máme zaokrouhlit na setiny. Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (2, 4), nová soustava je vůči otočená o 20° ve směru hodinových ručiček. Vztahy pro otáčení kolem počátku jsou = cos − sin = sin + cos Bod má vůči soustavě souřadnice (1, 6). Platí tedy, že ∀ ∃

2


ČÁST 10

V nové soustavě bude mít bod ručiček, tedy

= 2, =4 souřadnice ( , ). Úhel otočení je 20° ve směru hodinových =−

9 Nové souřadnice získáme dosazením do výše uvedených vztahů = 2 cos −

Provedeme výpočet

Odtud


= 2 sin −

9

9

− 4 sin −

+ 4 cos −

9

9

= 2 ∙ 0,939692621 − 4 ∙ (−0,342020143) = 2 ∙ (−0,342020143) + 4 ∙ 0,939692621 = 3,247465815 = 3,074730196

= 3,25 = 3,07 Kontrolu správnosti výpočtu můžeme provést výpočtem vzdálenosti bodu od počátku v obou souřadných systémech. V obou případech je tato vzdálenost 4,472135955. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1d Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Máme vypočítat jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky máme zaokrouhlit na setiny. Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (−3, −2), nová soustava je vůči otočená o 10° proti směru hodinových ručiček. Vztahy pro otáčení kolem počátku jsou = cos − sin = sin + cos Bod má vůči soustavě souřadnice (1, 6). Platí tedy, že = −3, = −2 V nové soustavě bude mít bod souřadnice ( , ). Úhel otočení je 10° proti směru hodinových ručiček, tedy =

18 Nové souřadnice získáme dosazením do výše uvedených vztahů = (−3) cos

Provedeme výpočet

Odtud

∀ ∃

= (−3) sin

18

18

− (−2) sin

+ (−2) cos

18

18

= (−3) ∙ 0,984807753 − (−2) ∙ 0,173648178 = (−3) ∙ 0,173648178 + (−2) ∙ 0,984807753 = −2,607126904

3



ČÁST 10 = −2,490560039


Řešení 1e Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Máme vypočítat jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky máme zaokrouhlit na setiny. Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (−5, 2), nová soustava je vůči otočená o 25° proti směru hodinových ručiček. Vztahy pro otáčení kolem počátku jsou = cos − sin = sin + cos Bod má vůči soustavě souřadnice (1, 6). Platí tedy, že = −5, =2 V nové soustavě bude mít bod souřadnice ( , ). Úhel otočení je 25° proti směru hodinových ručiček, tedy =

7,2 Nové souřadnice získáme dosazením do výše uvedených vztahů = (−5) cos

Provedeme výpočet

Odtud


= (−5) sin

7,2

7,2

− 2 sin

+ 2 cos

7,2

7,2

= (−5) ∙ 0,906307787 − 2 ∙ 0,422618262 = (−5) ∙ 0,422618262 + 2 ∙ 0,906307787 = −5,376775459 = −0,300475735


Řešení 1f Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Máme vypočítat jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky máme zaokrouhlit na setiny.

∀ ∃

4


ČÁST 10

Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (3, 4), nová soustava je vůči otočená o 30° proti směru hodinových ručiček. Vztahy pro otáčení kolem počátku jsou = cos − sin = sin + cos Bod má vůči soustavě souřadnice (1, 6). Platí tedy, že = 3, =4 V nové soustavě bude mít bod souřadnice ( , ). Úhel otočení je 25° proti směru hodinových ručiček, tedy =

6 Nové souřadnice získáme dosazením do výše uvedených vztahů = 3 cos

Provedeme výpočet

Odtud


= 3 sin

6

6

− 4 sin

+ 4 cos

6

6

= 3 ∙ 0,866025404 − 4 ∙ 0,500000000 = 3 ∙ 0,500000000 + 4 ∙ 0,866025404 = 0,598076211 = 4,964191615

= 0,60 = 4,96 Kontrolu správnosti výpočtu můžeme provést výpočtem vzdálenosti bodu od počátku v obou souřadných systémech. V obou případech je tato vzdálenost 5,000000000. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀ ∃

5


ČÁST 10

Příklad 2 Napište matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho kolmý průmět na níže uvedenou rovinu. Výsledek zkontrolujte výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a průmětu normály roviny. a) − −4 =0 b)

3 +2 −2 =0

c) +2 −2 =0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 2a Máme napsat matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho kolmý průmět na níže uvedenou rovinu. Výsledek máme zkontrolovat výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a průmětu normály roviny. − −4 =0 Jedná se o zvláštní případ průmětu na rovinu v daném směru. V tomto případě je směr kolmý, tedy ve směru normály dané roviny. Matici této projekce vypočteme tak, že si zvolíme tři vektory s jasnou projekcí. Dva z nich budou ležet v dané rovině, třetí bude na ně kolmý, neboli bude ve směru normály k dané rovině. Zvolíme tedy dva vektory ležící v dané rovině = (1,1,0) , = (0, −4,1) Nyní nalezneme vektor na oba z nich kolmý. =( , , ) Pro něj musí platit 〈 , 〉 = 0, 〈 , 〉=0 Dosadíme a dostaneme dvě rovnice o třech neznámých. Hledáme jakékoli jedno netriviální řešení. 1 +1 +0 =0 0 −4 +1 =0 Volíme = , ∈ Odtud =− =4 Vektor směru zobrazení tedy je (− , , 4 ) = (−1,1,4) Jeden konkrétní vhodný vektor směru promítání je = (−1,1,4) Hledáme zobrazení s požadovanými vlastnostmi. Pro průmět našich vektorů platí ( je nulový vektor) ( )= , ( )= , ( )= Pro zobrazení tedy musí platit, že obraz báze je očekávaná matice (obrazem je zobrazení vstupu), obecně tedy ( )=( ) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme souřadnice 1 0 −1 1 0 0 1 −4 1 = 1 −4 0 0 1 4 0 1 0 ∀ ∃

6


ČÁST 10

Odtud vypočítáme matici . Nejprve obě strany vynásobíme inverzní maticí k matici na levé straně 1 0 −1 1 −4 1 0 1 4 Tedy ( je jednotková matice)

1 0 −1 1 −4 1 0 1 4

1 = 1 0

0 0 −4 0 1 0

1 0 −1 1 −4 1 0 1 4

1 0 0 1 0 −1 = 1 −4 0 1 −4 1 0 1 0 0 1 4 A nakonec (k výpočtu inverzní matice byl využit Excel) 1 0 0 1 17 1 4 = 1 −4 0 4 −4 2 18 0 1 0 −1 1 4 Vypočteme 4 1 17 1 = 1 17 −4 18 4 −4 2 Zkouška V rámci zkoušky vypočteme obrazy vektorů + , 2 . První z nich leží v dané rovině, druhý má daný směr promítání 4 1 1 1 17 1 ( + )= 1 17 −4 −3 = −3 = ( + ) 18 4 −4 2 1 1 17 1 4 −2 0 1 = 2 = 0 = 1 17 −4 18 4 −4 2 8 0 Zobrazení se chová dle očekávání. Tím je ověřena správnost výpočtu matice zobrazení. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 2b Máme napsat matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho kolmý průmět na níže uvedenou rovinu. Výsledek máme zkontrolovat výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a průmětu normály roviny. 3 +2 −2 =0 Jedná se o zvláštní případ průmětu na rovinu v daném směru. V tomto případě je směr kolmý, tedy ve směru normály dané roviny. Matici této projekce vypočteme tak, že si zvolíme tři vektory s jasnou projekcí. Dva z nich budou ležet v dané rovině, třetí bude na ně kolmý, neboli bude ve směru normály k dané rovině. Zvolíme tedy dva vektory ležící v dané rovině = (2, −3,0) , = (0,1,1) Nyní nalezneme vektor na oba z nich kolmý. =( , , ) Pro něj musí platit 〈 , 〉 = 0, 〈 , 〉=0 Dosadíme a dostaneme dvě rovnice o třech neznámých. Hledáme jakékoli jedno netriviální řešení. 2 −3 +0 =0 0 +1 +1 =0 Volíme =2 , ∈ Odtud =3 = −2 ∀ ∃

7


ČÁST 10

Vektor směru zobrazení tedy je (3 , 2 , −2 ) = (3,2, −2) Jeden konkrétní vhodný vektor směru promítání je = (3,2, −2) Hledáme zobrazení s požadovanými vlastnostmi. Pro průmět našich vektorů platí ( je nulový vektor) ( )= , ( )= , ( )= Pro zobrazení tedy musí platit, že obraz báze je očekávaná matice (obrazem je zobrazení vstupu), obecně tedy ( )=( ) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme souřadnice 2 0 3 2 0 0 −3 1 2 = −3 1 0 0 1 −2 0 1 0 Odtud vypočítáme matici . Nejprve vyjádříme 2 0 3 2 0 3 2 0 0 2 0 3 = −3 1 0 −3 1 2 −3 1 2 −3 1 2 0 1 −2 0 1 −2 0 1 0 0 1 −2 Tedy ( je jednotková matice) 2 0 0 2 0 3 = −3 1 0 −3 1 2 0 1 0 0 1 −2 A nakonec (k výpočtu inverzní matice byl využit Excel) 2 0 0 1 4 −3 3 = −3 1 0 6 4 13 17 0 1 0 3 2 −2 Vypočteme 1 8 −6 6 = −6 13 4 17 6 4 13 Zkouška V rámci zkoušky vypočteme obrazy vektorů + , 2 . První z nich leží v dané rovině, druhý má daný směr promítání 2 2 1 8 −6 6 ( + )= −6 13 4 −2 = −2 = ( + ) 17 6 4 13 1 1 8 −6 6 6 0 1 (2 ) = −6 13 4 4 = 0 = 17 6 4 13 −4 0 Zobrazení se chová dle očekávání. Tím je ověřena správnost výpočtu matice zobrazení. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 2c Máme napsat matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho kolmý průmět na níže uvedenou rovinu. Výsledek máme zkontrolovat výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a průmětu normály roviny. +2 −2 =0 Jedná se o zvláštní případ průmětu na rovinu v daném směru. V tomto případě je směr kolmý, tedy ve směru normály dané roviny. Matici této projekce vypočteme tak, že si zvolíme tři vektory s jasnou

∀ ∃

8


ČÁST 10

projekcí. Dva z nich budou ležet v dané rovině, třetí bude na ně kolmý, neboli bude ve směru normály k dané rovině. Zvolíme tedy dva vektory ležící v dané rovině = (−2,1,0) , = (0,1,1) Nyní nalezneme vektor na oba z nich kolmý. =( , , ) Pro něj musí platit 〈 , 〉 = 0, 〈 , 〉=0 Dosadíme a dostaneme dvě rovnice o třech neznámých. Hledáme jakékoli jedno netriviální řešení. −2 + 1 + 0 = 0 0 +1 +1 =0 Volíme =2 , ∈ Odtud = = −2 Vektor směru zobrazení tedy je ( , 2 , −2 ) = (1,2, −2) Jeden konkrétní vhodný vektor směru promítání je Hledáme zobrazení vektor) Pro zobrazení obecně tedy

= (1,2, −2) s požadovanými vlastnostmi. Pro průmět našich vektorů platí ( je nulový

( )= , ( )= , ( )= tedy musí platit, že obraz báze je očekávaná matice (obrazem je zobrazení vstupu),

( )=( ) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme souřadnice −2 0 1 −2 0 0 1 1 2 = 1 1 0 0 1 −2 0 1 0 Odtud vypočítáme matici . Nejprve vyjádříme −2 0 1 1 1 2 0 1 −2 Tedy ( je jednotková matice)

−2 0 1 1 1 2 0 1 −2

=

−2 0 1 1 0 1

0 0 0

−2 0 1 1 0 1

1 2 −2

−2 0 0 −2 0 1 1 1 0 1 1 2 0 1 0 0 1 −2 A nakonec (k výpočtu inverzní matice byl využit Excel) −2 0 0 1 −4 1 −1 = 1 1 0 2 4 5 9 0 1 0 1 2 −2 Vypočteme 1 8 −2 2 = −2 5 4 9 2 4 5 Zkouška V rámci zkoušky vypočteme obrazy vektorů + , 2 . První z nich leží v dané rovině, druhý má daný směr promítání =

∀ ∃

9


ČÁST 10

−2 1 8 −2 2 −2 −2 5 4 2 = 2 =( + ) 9 2 4 5 1 1 8 −2 2 2 0 1 (2 ) = −2 5 4 4 = 0 = 9 2 4 5 −4 0 Zobrazení se chová dle očekávání. Tím je ověřena správnost výpočtu matice zobrazení. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ( + )=

∀ ∃

10


ČÁST 10

Příklad 3 Napište matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho průmět v daném směru na níže uvedenou rovinu. Výsledek zkontrolujte výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a ve směru promítání. a) směr (3, 1, -1), rovina − 3 − = 0 b)

směr (2, 0, 3), rovina 3 − 2 + = 0

c) směr (2, 0, 1), rovina − 2 − = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3a Máme napsat matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho průmět v daném směru na níže uvedenou rovinu. Výsledek máme zkontrolovat výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a ve směru promítání. směr (3, 1, -1), rovina − 3 − = 0 Jedná se o případ průmětu na rovinu v daném směru. Matici této projekce vypočteme tak, že si zvolíme tři vektory s jasnou projekcí. Dva z nich budou ležet v dané rovině, třetí bude zadaný směr. Zvolíme tedy dva vektory ležící v dané rovině = (3,1,0) , = (0,1, −3) Vektor směru průmětu máme zadán. = (3, 1, −1) Hledáme zobrazení s požadovanými vlastnostmi. Pro průmět našich vektorů platí ( je nulový vektor) ( )= , ( )= , ( )= Pro zobrazení tedy musí platit, že obraz báze je očekávaná matice (obrazem je zobrazení vstupu), obecně tedy ( )=( ) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme souřadnice 3 0 3 3 0 0 1 1 1 = 1 1 0 0 −3 −1 0 −3 0 Odtud vypočítáme matici . Nejprve vyjádříme 3 0 3 1 1 1 0 −3 −1 Tedy ( je jednotková matice)

3 0 3 1 1 1 0 −3 −1

=

−2 0 1 1 0 1

0 0 0

3 0 0 3 0 3 = 1 1 0 1 1 1 0 −3 0 0 −3 −1 A nakonec (k výpočtu inverzní matice byl využit Excel) 3 0 0 1 −2 9 3 = 1 1 0 −1 3 0 3 0 −3 0 3 −9 −3 Vypočteme −2 9 3 = −1 4 1 1 −3 0 ∀ ∃

3 0 3 1 1 1 0 −3 −1

11


ČÁST 10

Zkouška V rámci zkoušky vypočteme obrazy vektorů + , 2 . První z nich leží v dané rovině, druhý má daný směr promítání −2 9 3 3 3 ( + ) = −1 4 1 2 = 2 =( + ) 1 −3 0 −3 −3 −2 9 3 6 0 (2 ) = −1 4 1 = 0 = 2 1 −3 0 −2 0 Zobrazení se chová dle očekávání. Tím je ověřena správnost výpočtu matice zobrazení. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3b Máme napsat matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho průmět v daném směru na níže uvedenou rovinu. Výsledek máme zkontrolovat výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a ve směru promítání. směr (2, 0, 3), rovina 3 − 2 + = 0 Jedná se o případ průmětu na rovinu v daném směru. Matici této projekce vypočteme tak, že si zvolíme tři vektory s jasnou projekcí. Dva z nich budou ležet v dané rovině, třetí bude zadaný směr. Zvolíme tedy dva vektory ležící v dané rovině = (2,3,0) , = (0,1,2) Vektor směru průmětu máme zadán. = (2, 0, 3) Hledáme zobrazení s požadovanými vlastnostmi. Pro průmět našich vektorů platí ( je nulový vektor) ( )= , ( )= , ( )= Pro zobrazení tedy musí platit, že obraz báze je očekávaná matice (obrazem je zobrazení vstupu), obecně tedy ( )=( ) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme souřadnice 2 0 2 2 0 0 3 1 0 = 3 1 0 0 2 3 0 2 0 Odtud vypočítáme matici . Nejprve vyjádříme 2 0 2 3 1 0 0 2 3 Tedy ( je jednotková matice)

2 0 2 3 1 0 0 2 3

2 = 3 0

0 0 1 0 2 0

2 0 3 1 0 2

2 0 0 2 0 2 = 3 1 0 3 1 0 0 2 0 0 2 3 A nakonec (k výpočtu inverzní matice byl využit Excel) 2 0 0 1 3 4 −2 = 3 1 0 −9 6 6 18 0 2 0 6 −4 2 Vypočteme 1 3 4 −2 = 0 9 0 9 −9 6 6 ∀ ∃

2 0 3

12


ČÁST 10

Zkouška V rámci zkoušky vypočteme obrazy vektorů + , 2 . První z nich leží v dané rovině, druhý má daný směr promítání 2 1 3 4 −2 2 ( + )= 0 9 0 4 = 4 =( + ) 9 −9 6 6 2 2 0 1 3 4 −2 4 (2 ) = 0 9 0 0 = 0 = 9 −9 6 6 6 0 Zobrazení se chová dle očekávání. Tím je ověřena správnost výpočtu matice zobrazení. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3c Máme napsat matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho průmět v daném směru na níže uvedenou rovinu. Výsledek máme zkontrolovat výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a ve směru promítání. směr (2, 0, 1), rovina − 2 − = 0 Jedná se o případ průmětu na rovinu v daném směru. Matici této projekce vypočteme tak, že si zvolíme tři vektory s jasnou projekcí. Dva z nich budou ležet v dané rovině, třetí bude zadaný směr. Zvolíme tedy dva vektory ležící v dané rovině = (2,1,0) , = (0,1, −2) Vektor směru průmětu máme zadán. = (2, 0, 1) Hledáme zobrazení s požadovanými vlastnostmi. Pro průmět našich vektorů platí ( je nulový vektor) ( )= , ( )= , ( )= Pro zobrazení tedy musí platit, že obraz báze je očekávaná matice (obrazem je zobrazení vstupu), obecně tedy ( )=( ) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme souřadnice 2 0 2 2 0 0 1 1 0 = 1 1 0 0 −2 1 0 −2 0 Odtud vypočítáme matici . Nejprve vyjádříme 2 0 2 1 1 0 0 −2 1 Tedy ( je jednotková matice)

2 1 0

0 2 1 0 −2 1

2 = 1 0

0 0 1 0 −2 0

2 0 0 2 0 = 1 1 0 1 1 0 −2 0 0 −2 A nakonec (k výpočtu inverzní matice byl využit Excel) 2 0 0 1 −1 4 = 1 1 0 1 −2 2 0 −2 0 2 −4 Vypočteme −1 4 2 = 0 1 0 −1 2 2 ∀ ∃

2 0 1

2 1 0

0 2 1 0 −2 1

2 −2 −2

13


ČÁST 10

Zkouška V rámci zkoušky vypočteme obrazy vektorů + , 2 . První z nich leží v dané rovině, druhý má daný směr promítání −1 4 2 2 2 ( + )= 0 1 0 2 = 2 =( + ) −1 2 2 −2 −2 −1 4 2 4 0 (2 ) = 0 1 0 0 = 0 = −1 2 2 2 0 Zobrazení se chová dle očekávání. Tím je ověřena správnost výpočtu matice zobrazení. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀ ∃

14


ČÁST 10

Příklad 4 Napište matici rovinného přetvoření, které vektory směru prodlouží o % a přitom zachová jejich směr a orientaci. Vektory kolmého směru zkrátí o % a též zachová jejích směr a orientaci. Prvky matice vyčíslete a zaokrouhlete na tisíciny. Přetvoření graficky znázorněte – zvolte vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslete spolu s jeho obrazem. a) = (4, 2), = 6, =2 = (2, −2),

b)

= 6,

=3

c) = (3, −3), = 7, =2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 4a Máme napsat matici rovinného přetvoření, které vektory směru prodlouží o % a přitom zachová jejich směr a orientaci. Vektory kolmého směru zkrátí o % a též zachová jejích směr a orientaci. Prvky matice máme vyčíslit a zaokrouhlit na tisíciny. Přetvoření máme graficky znázornit – máme zvolit vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslit spolu s jeho obrazem. = (4, 2), = 6, =2 Označme = (−2,4) vektor kolmý na vektor . Hledáme zobrazení takové, že Musí tedy platit

( )= 1+ (

100

)=

( )= 1−

100

1− 100 100 Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme konstanty a souřadnice 4 −2 4 −2 = 1,06 0,98 2 4 2 4 Vypočteme 4,24 −1,96 4 −2 = 2,12 3,92 2 4 Matici zobrazení vypočteme tak, že obě strany rovnice vynásobíme maticí inverzní k matici na levé straně. 4,24 −1,96 4 −2 4 −2 4 −2 = 2,12 3,92 2 4 2 4 2 4 Odtud ( je jednotková matice) 4,24 −1,96 4 −2 = 2,12 3,92 2 4 Tedy 4,24 −1,96 4 −2 = 2,12 3,92 2 4 Invertujeme matici vpravo 4,24 −1,96 1 2 1 = 2,12 3,92 10 −1 2 Vynásobíme matice a dostáváme výsledek 1,044 0,032 = 0,032 0,996 ∀ ∃

1+

,

15


ČÁST 10

Výsledek si máme znázornit na obrázku obdélníku a jeho přetvoření. Zvolíme jako vzor obdélník velikosti 2×3 s celočíselnými souřadnicemi. Vypočteme si souřadnice obrazu. 1,076 1 = 1,028 1 4,208 4 = 1,124 1 4,272 4 = 3,116 3 1,140 1 = 3,020 3 Na obrázku vidíme vzor modře a obraz červeně. Přetvoření je jasně patrné.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 4b Máme napsat matici rovinného přetvoření, které vektory směru prodlouží o % a přitom zachová jejich směr a orientaci. Vektory kolmého směru zkrátí o % a též zachová jejích směr a orientaci. Prvky matice máme vyčíslit a zaokrouhlit na tisíciny. Přetvoření máme graficky znázornit – máme zvolit vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslit spolu s jeho obrazem. = (2, −2), = 6, =3 Označme = (−2, 2) vektor kolmý na vektor . Hledáme zobrazení takové, že Musí tedy platit

( )= 1+ (

100

)=

( )= 1−

100

1− 100 100 Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme konstanty a souřadnice 2 2 2 2 = 1,06 0,97 −2 2 −2 2 Vypočteme 2,12 1,94 2 2 = −2,12 1,94 −2 2 Matici zobrazení vypočteme tak, že obě strany rovnice vynásobíme maticí inverzní k matici na levé straně. 2,12 1,94 2 2 2 2 2 2 = −2,12 1,94 −2 2 −2 2 −2 2 Odtud ( je jednotková matice) ∀ ∃

1+

,

16


ČÁST 10

=

Tedy

=

Invertujeme matici vpravo

2,12 1,94 −2,12 1,94

2,12 1,94 −2,12 1,94

2 2 −2 2

2 2 −2 2

2,12 1,94 1 1 −1 −2,12 1,94 4 1 1 Vynásobíme matice a dostáváme výsledek 1,015 −0,045 = −0,045 1,015 Výsledek si máme znázornit na obrázku obdélníku a jeho přetvoření. Zvolíme jako vzor obdélník velikosti 2×3 s celočíselnými souřadnicemi. Vypočteme si souřadnice obrazu. 0,970 1 = 0,970 1 4,015 4 = 0,835 1 3,925 4 = 2,865 3 0,880 1 = 3,000 3 Na obrázku vidíme vzor modře a obraz červeně. Přetvoření je jasně patrné. =

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 4c Máme napsat matici rovinného přetvoření, které vektory směru prodlouží o % a přitom zachová jejich směr a orientaci. Vektory kolmého směru zkrátí o % a též zachová jejích směr a orientaci. Prvky matice máme vyčíslit a zaokrouhlit na tisíciny. Přetvoření máme graficky znázornit – máme zvolit vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslit spolu s jeho obrazem. = (3, −3), = 7, =2 Označme = (3, 3) vektor kolmý na vektor . Hledáme zobrazení takové, že Musí tedy platit

( )= 1+ (

∀ ∃

100

)=

1+

,

100

( )= 1− 1−

100

100

17


ČÁST 10

Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme konstanty a souřadnice 3 3 3 3 = 1,07 0,98 −3 3 −3 3 Vypočteme 3,21 2,94 3 3 = −3,21 2,94 −3 3 Matici zobrazení vypočteme tak, že obě strany rovnice vynásobíme maticí inverzní k matici na levé straně. 3,21 2,94 3 3 3 3 3 3 = −3,21 2,94 −3 3 −3 3 −3 3 Odtud ( je jednotková matice) 3,21 2,94 3 3 = −3,21 2,94 −3 3 Tedy 3,21 2,94 3 3 = −3,21 2,94 −3 3 Invertujeme matici vpravo 3,21 2,94 1 1 −1 = −3,21 2,94 6 1 1 Vynásobíme matice a dostáváme výsledek 1,025 −0,045 = −0,045 1,025 Výsledek si máme znázornit na obrázku obdélníku a jeho přetvoření. Zvolíme jako vzor obdélník velikosti 2×3 s celočíselnými souřadnicemi. Vypočteme si souřadnice obrazu. 0,980 1 = 0,980 1 4,055 4 = 0,845 1 3,965 4 = 2,895 3 0,890 1 = 3,030 3 Na obrázku vidíme vzor modře a obraz červeně. Přetvoření je jasně patrné.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀ ∃

18


ČÁST 10

Příklad 5 Napište matici rovinného přetvoření, které vektory směru zobrazí na sebe a směr s kolmým směrem skosí o radiánů a zachová obsah obrazců. Prvky matice vyčíslete a zaokrouhlete na tisíciny. Přetvoření graficky znázorněte – zvolte vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslete spolu s jeho obrazem. a) = (1, 2), = 0,3 b)

= (3, −2),

= 0,3

c) = (4, −3), = 0,4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 5a Máme napsat matici rovinného přetvoření, které vektory směru zobrazí na sebe a směr s kolmým směrem skosí o radiánů a zachová obsah obrazců. Prvky matice máme vyčíslit a zaokrouhlit na tisíciny. Přetvoření máme graficky znázornit – máme zvolit vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslit spolu s jeho obrazem. = (1, 2), = 0,3 Nejprve je dobré si ujasnit, co to je jeden radián. Jeden radián je středový úhel, který přísluší oblouku o stejné délce, jako je poloměr kružnice. Je to jednotkový úhel při měření v obloukové míře. Platí 180° 1 = ≈ 57,296° Označme

= (2, −1) vektor kolmý na vektor . Hledáme zobrazení takové, že ( )= , ( ) = − tg(0,3) Musí tedy platit (vektor se zobrazuje na sebe a na něj kolmý vektor je skosen o radiánů, přitom oba vektory tvoří bázi roviny a plocha původního obdélníku a odpovídajícího rovnoběžníku bude stejná) ( )=( − tg(0,3)) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme konstanty a souřadnice 1 2 1 2 = 0,309336 2 −1 2 −1 Vypočteme 1 1,690664 1 2 = 2 −1,618670 2 −1 Matici zobrazení vypočteme tak, že obě strany rovnice vynásobíme maticí inverzní k matici na levé straně. 1 1,690664 1 2 1 2 1 2 = 2 −1,618670 2 −1 2 −1 2 −1 Odtud ( je jednotková matice) 1 1,690664 1 2 = 2 −1,618670 2 −1 Tedy 1 1,690664 1 2 = 2 −1,618670 2 −1 Invertujeme matici vpravo ∀ ∃

19


ČÁST 10

1 1,690664 1 1 2 2 −1,618670 5 2 −1 Vynásobíme matice a dostáváme výsledek 0,876 0,062 = −0,247 1,124 Výsledek si máme znázornit na obrázku obdélníku a jeho přetvoření. Zvolíme jako vzor obdélník velikosti 2×3 s celočíselnými souřadnicemi. Vypočteme si souřadnice obrazu. 0,938 1 = 0,876 1 3,567 4 = 0,134 1 3,691 4 = 2,381 3 1,062 1 = 3,124 3 Na obrázku vidíme vzor modře a obraz červeně. Přetvoření je jasně patrné. =

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 5b Máme napsat matici rovinného přetvoření, které vektory směru zobrazí na sebe a směr s kolmým směrem skosí o radiánů a zachová obsah obrazců. Prvky matice máme vyčíslit a zaokrouhlit na tisíciny. Přetvoření máme graficky znázornit – máme zvolit vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslit spolu s jeho obrazem. = (3, −2), = 0,3 Nejprve je dobré si ujasnit, co to je jeden radián. Jeden radián je středový úhel, který přísluší oblouku o stejné délce, jako je poloměr kružnice. Je to jednotkový úhel při měření v obloukové míře. Platí 180° 1 = ≈ 57,296° Označme

= (2, −1) vektor kolmý na vektor . Hledáme zobrazení takové, že ( )= , ( ) = − tg(0,3) Musí tedy platit (vektor se zobrazuje na sebe a na něj kolmý vektor je skosen o radiánů, přitom oba vektory tvoří bázi roviny a plocha původního obdélníku a odpovídajícího rovnoběžníku bude stejná) ( )=( − tg(0,3)) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme konstanty a souřadnice ∀ ∃

20


Vypočteme

ČÁST 10 3 2 = −2 3

3 −2

0,309336

2 3

3 1,071991 3 2 = −2 3,618672 −2 3 Matici zobrazení vypočteme tak, že obě strany rovnice vynásobíme maticí inverzní k matici na levé straně. 3 1,071991 3 2 3 2 3 2 = −2 3,618672 −2 3 −2 3 −2 3 Odtud ( je jednotková matice) 3 1,071991 3 2 = −2 3,618672 −2 3 Tedy 3 1,071991 3 2 = −2 3,618672 −2 3 Invertujeme matici vpravo 3 1,071991 1 3 −2 = −2 3,618672 13 2 3 Vynásobíme matice a dostáváme výsledek 0,857 −0,214 = 0,095 1,142 Výsledek si máme znázornit na obrázku obdélníku a jeho přetvoření. Zvolíme jako vzor obdélník velikosti 2×3 s celočíselnými souřadnicemi. Vypočteme si souřadnice obrazu. 0,643 1 = 1,238 1 3,215 4 = 1,523 1 2,786 4 = 3,809 3 0,215 1 = 3,523 3 Na obrázku vidíme vzor modře a obraz červeně. Přetvoření je jasně patrné.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀ ∃

21


ČÁST 10

Řešení 5c Máme napsat matici rovinného přetvoření, které vektory směru zobrazí na sebe a směr s kolmým směrem skosí o radiánů a zachová obsah obrazců. Prvky matice máme vyčíslit a zaokrouhlit na tisíciny. Přetvoření máme graficky znázornit – máme zvolit vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslit spolu s jeho obrazem. = (4, −3), = 0,4 Nejprve je dobré si ujasnit, co to je jeden radián. Jeden radián je středový úhel, který přísluší oblouku o stejné délce, jako je poloměr kružnice. Je to jednotkový úhel při měření v obloukové míře. Platí 180° 1 = ≈ 57,296° Označme

= (2, −1) vektor kolmý na vektor . Hledáme zobrazení takové, že ( )= , ( ) = − tg(0,4) Musí tedy platit (vektor se zobrazuje na sebe a na něj kolmý vektor je skosen o radiánů, přitom oba vektory tvoří bázi roviny a plocha původního obdélníku a odpovídajícího rovnoběžníku bude stejná) ( )=( − tg(0,3)) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme konstanty a souřadnice 4 4 3 3 = 0,422793 −3 4 −3 4 Vypočteme 4 1,308827 4 3 = −3 5,268380 −3 4 Matici zobrazení vypočteme tak, že obě strany rovnice vynásobíme maticí inverzní k matici na levé straně. 4 1,308827 4 3 4 3 4 3 = −3 5,268380 −3 4 −3 4 −3 4 Odtud ( je jednotková matice) 4 1,308827 4 3 = −3 5,268380 −3 4 Tedy 4 1,308827 4 3 = −3 5,268380 −3 4 Invertujeme matici vpravo 4 1,308827 1 4 −3 = −3 5,268380 25 3 4 Vynásobíme matice a dostáváme výsledek 0,797 −0,271 = 0,152 1,203 Výsledek si máme znázornit na obrázku obdélníku a jeho přetvoření. Zvolíme jako vzor obdélník velikosti 2×3 s celočíselnými souřadnicemi. Vypočteme si souřadnice obrazu. 0,526 1 = 1,355 1 2,918 4 = 1,812 1 2,376 4 = 4,218 3 −0,015 1 = 3,761 3 Na obrázku vidíme vzor modře a obraz červeně. Přetvoření je jasně patrné. ∀ ∃

22


ČÁST 10

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀ ∃

23

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin cos 9 = 1 0, ( 0, ) = 1 ( 0, ) + 6 0,

Recommend Documents