Kvantuminformatikai alapfogalmak http://dtp.atomki.hu/HOME-PAGE/le tures/kvin .pdf
• Bitek és kubitek • A hullámfüggvény összeomlása • Állapotok összefonódása • Kvantumlogikai kapuk • Kvantumteleportá ió • Sûrû kódolás • Kvantumkriptográ a • Kvantumszámítógépek 1
Bitek és Kubitek
• Bitek: kétállapotú klasszikus rendszerek
felle ; igennem ; 0V5V ; 01
• Kubitek (kvantumbitek):
kétállapotú kvantumme hanikai rendszerek (állapotaik Hilbert tere 2 dimenziós)
(elektron)spin ; (fény)polarizá ió ; |0>|1>
Ψ = α|0 > +β|1 >, ∗ ahol α és β komplex számok, ∗ továbbá: |α|2 + |β|2 = 1 ∗ Mivel egy komplex fázissal való szorzásnak önmagában nin s jelentõsége, két független folytonos paraméterrel írható le.
∗ Pl. legyen α mindig valós (Blo h-gömb): Ψ = cos 2θ |0 > +eiϕsin 2θ |1 >
Jelölések: α|0 > +β|1 >↔
α β
!
2
A hullámfüggvény összeomlása. A kvantumme hanika szerint:
• Mindaddig, amíg nem akarjuk tudni, mi is törté-
nik a zárt kvantumme hanikai rendszerben, ad-
dig annak egy unitér idõfejlõdése zajlik le, amelyet a kvantumme hanika törvényei írnak le. Ilyen esetekben pl. a kétállapotú kvantumrendszer un. hullámfüggvénye a Ψ = α(t)|0 > +β(t)|1 > alakba írható.
• Ha mérés segítségével meg szeretnénk határozni, hogy egy kétállapotú kvantumme hanikai rendszer
milyen állapotban van, a mérés hatására a hullámfüggvény összeomlik és a mérés eredményének megfelelõ sajátállapotot fogja realizálni:
α(t)|0 > +β(t)|1 >>mérés>
|0 > vagy |1 >
• Ha a mérésre a t=T idõpillanatban került sor, akkor a mérés eredménye p0 = |α(T )|2 valószínûség-
gel lesz 0 (a hullámfüggvénynek a |0> állapotba való ugrásával együtt) és p1 = |β(T )|2 valószínûséggel lesz 1 (a hullámfüggvénynek az |1> állapotba való ugrásával együtt). (Most láthatjuk miért kellett elõírni a hullámfüggvényre a |α|2+|β|2=1 feltételt.)
3
Az állapotok összefonódása / szeparálhatósága Egy kubit leírásánál a két sajátállapotot (|0> és |1>), mint bázist használtuk a rendszer állapotának megadásához. Több kubitbõl álló rendszerek leírására az egyes kubitek sajátállapotainak Des artes-szorzatait tekinthetjük bázisnak. Pl. |0>|1>|0> egy olyan három kubites rendszer, melynek elsõ és harmadik kubitje a |0> állapotban, míg második kubitje az |1> állapotban található. Természetesen az ilyen több kubites rendszer esetén is a bázisállapotok szuperpozí iójaként írható le az aktuális állapot:
Ψ = α|0 > |0 > +β|0 > |1 > +γ|1 > |0 > +δ|1 > |1 >, ahol α, β , γ és δ komlex számok és teljesül rájuk, hogy |α|2 + |β|2 + |γ|2 + |δ|2 = 1; és pl. |γ|2annak való-
színûségét adja meg, hogy egy mérés az 1 állapotban találná az elsõ kubitet, és a 0 állapotban a másodikat, azaz az 10=2 állapotban találná a két kubites rendszert. Egy több kubites rendszer állapotát összefonódottnak nevezzük, ha nem állítható elõ egy-kubites rendszerek sajátállapotaniak szorzataként (nem szeparálható). A több kubites rendszerek állapotanak többsége összefonódott rendszer {2n ill. 2(2n -1) szabad paraméter}. (Mérés után mindig szeparálható állapot jön létre.)
4
Az 1 kubites kvantumlogikai kapuk
1 0
• Az állapottér bázisa: |0>=
1 0 0 1
• Az operátorok bázisa: 1 = σ1 =
0 1 1 0
!
, σ2 =
0 −i i 0
!
0 1
ill. |1>=
!
,
!
1 0 0 −1
, σ3 =
!
ˆN OT = σ1 • NEM-kapu: U ˆN OT |0 >= |1 > ill. U ˆN OT |1 >= |0 > U ˆH = √1 (σ1 + σ3) • Hadamard-kapu: U 2 ˆH |0 >= U
√1 (|0 2
ˆH |1 >= > +|1 >) ill. U
1 0 0 eiδ
ˆP h(δ) = • Fázis kapu: U ˆP h(δ) |Ψ >= U
1 0 0 eiδ
cos 2θ eiϕ sin 2θ
√1 (|0 2
> −|1 >)
! =
cos 2θ ei(ϕ+δ) sin 2θ
• Tetszõleges unitér transzformá ióra: θ
ˆH U ˆP h(θ) U ˆH |0 >= ei 2 (cos θ |0 > +eiϕsin θ |1 >) ill. ˆP h( π +ϕ) U U 2 2 2 θ iϕ ˆP h( π +ϕ2 )U ˆH U ˆP h(θ2 −θ1 ) U ˆH U ˆP h(− π −ϕ1) (cos 1 |0>+e 1 sin θ1 |1>) U 2 2 2 2
.
!
= eiP hase(cos θ22 |0 > +eiϕ2 sin θ22 |1 >)
5
.
Két kubites kapuk
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 eiδ
ˆCN OT = • Feltételes NEM-kapu: U
0 0 1 0
ˆCN OT |0 > |0 >= |0 > |0 >, U ˆCN OT |0 > |1 >= |0 > |1 >, U ˆCN OT |1 > |0 >= |1 > |1 >, U ˆCN OT |1 > |1 >= |1 > |0 >. U
ˆCP h(δ) = • Feltételes fázis-kapu: U
ˆSW AP = • Billentõ-kapu: U
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
6
Kvantumteleportá ió Kiinduló állapot:
Alíz és Bé i birtokolja egy össze-
a
fonódott kubit-pár egy-egy kubitjét ( -t és
b-t); Alíz
ezen felül rendelkezik egy ismeretken állapotú kubittel
i
( ). Az ismeretlen
i
kubit állapota: |Ψ >= α|0 > +β|1 >;
ab) kubitpár állapota:
a satolt (
|Φ >= √1 (|0 > |0 > +|1 > |1 >)
.
2
Feladat: két bit klasszikus informá ió megküldésével (Alíztól Bé ihez) lehetõvé válik, hogy Bé i rendelkezzen egy olyan kubittel, melynek állapota megegyezik az eredeti
1,
i
kubit állapotával.
ia
Alíz: A nála lévõ ( ) kubitekre hat a feltételes NEM-kapuval: ˆCN OT α |0i |0i) |0i + (U ˆCN OT β |1i |0i) |0i |Ψ > |Φ >⇒ √12 (U ˆ ˆ . + (UCN OT α|0 > |1 >)|1 > +(UCN OT β|1 > |1 >)|1 > . = √1 [α|0 > |0 > |0 > +β|1 > |1 > |0 >] 2 .
+ √12 [α|0 > |1 > |1 > +β|1 > |0 > |1 >]
7
2,
i
Alíz: Az ismeretlen kubitre a Hadamard-kapuval hat 1 ˆ ˆ √ α(UH |0 >)|0 > |0 > +β(UH |1 >)|1 > |0 > .⇒ 2 ˆH |0 >)|1 > |1 > +β(U ˆH |1 >)|0 > |1 > .+ √1 α)U 2 1 .= 2 [α(|0 > +|1 >)|0 > |0 > +β(|0 > −|1 >)|1 > |0 >] 1 .+ 2 [α(|0 > +|1 >)|1 > |1 > +β(|0 > −|1 >)|0 > |1 >] = √12 |0> |0> √12 (α|0> +β|1>) + √12 |0> |1> √12 (α|1> +β|0>) + √12 |1> |0> √12 (α|0> −β|1>) + √12 |1> |1> √12 (α|1> −β|0>) = √12 |0> |0> |Ψ> + √12 |0> |1> σ1|Ψ> + √12 |1> |0> σ3|Ψ> + √12 |0> |1> iσ2|Ψ>
3,
ia) kubiteket.
Alíz: Megméri a nála lévõ (
azonos
valószínûségekel kapja a 4 lehetséges érték valamelyikét: |0>|0>, |0>|1>, |1>|0> vagy |1>|1>
4,
Hagyományos satornán megüzeni Bé inek a kapott eredményt (00; 01; 10; vagy 11).
5,
Bé i az üzenettõl függõen végrehajtja az 1; σ1; σ3 vagy az iσ2 mûveletet a nála lévõ kubitre, mely így felveszi az
i
b
kubit eredeti - továbbra is
ismeretlen- állapotát.
8
Sûrû kódolás / egy kubitben elküldünk két klasszikus bitnyi informá iót. Az ismert |Ψ >= √1 (|0 > |0 > +|1 > |1 >) állapotú 2 kubitpár egy-egy tagja Alíznál (a) Bé inél ( ) vannak.
b
1,
Alíz: egy kubites operátorok segítségével kódol két klasszikus bitnyi informá iót a nála lévõ kubitbe: Kód Kapu |ΨK > 00
2, 3,
01
1 σ3
10
σ1
00
iσ2
|Ψ > √1 (|0 > |0 > −|1 > |1 >)
2 √1 (|1 > |0 > +|0 > |1 >) 2 1 √ (|1 > |0 > −|0 > |1 >) 2
Alíz: elküldi egy kvantum satornán az Bé ihez.
a kubitet
Bé i: Feltételes NEM-kapu (|0 > +|1 >)|0 > (|0 > −|1 >)|0 > 1 ˆCN OT |ΨK >= √ |ΨK >⇒ U 2 (|1 > +|0 >)|1 >
(|1 > −|0 >)|1 >
4,
a
Bé i:Hadamard-kapu az kubitre (|0 > +|1 > +|0 > −|1 >)|0 >= 2|0 > |0 > (|0 > +|1 > −|0 > +|1 >)|0 >= 2|1 > |0 > 1 ⇒2 (|0 > −|1 > +|0 > +|1 >)|1 >= 2|0 > |1 >
(|0 > −|1 > −|0 > +|1 >)|1 >= 2|1 > |1 > 9
Klasszikus kriptográ a
• Egyszer használatos kul s módszere Vernam eljárás 1917,
II. Világháborúban széles körben használták Egy M elemû kul
sal (k1 , k2, ...kM , ahol 0 ≤ kj ≤ B ) legfeljebb N<M hosszúságú üzenet kódolható:
cj = pj + kj mod B , ahol j=1, 2, ... N • RSA
N
és
nyilvános kul s módszere - nyilvános kul s; d - titkos kul s
N=p1 ∗ p2 ; d<ϕ(N ) = (p1 − 1) ∗ (p2 − 1)
olyan, hogy: c ∗ d = 1mod ϕ(N )
tikosítás: cj = pcj mod N
dekódolás: pj = cd j mod N
10
Kvantumkriptográ a / visszatérés a Vernam-eljáráshoz Lényeg:
Kvantum satorna segítségével egyeztetni a
titkosító kul sot; a kul
sal kódolni ill. dekódolni az üzenetet. 1992: 30 m;
2003: 100km;
Azóta: Épülõ hálózatok az internet mellett. A kvantum satorna tipikusan polarizált fotonokat közvetít. Négyféle polarizá ióra van szükség, pl. 0 (H), 45 (D), 90 (V) és 135 (A) fokos irányok mentén.
• Ha a detektor iránya párhuzamos a polarizá iós
iránnyal, akkor 1 valószínûséggel detzektáljuk a fotont.
• Ha merõleges rá, akkor 0 valószínûséggel detektáljuk a fotont.
• Ha a detektor ferdén helyezkedik el a polarizá ió
irányához képest, akkor 0.5 valószínûséggel tudjuk
detektálni a fotont.
• A polarizá iós irányokat soportba rendezzük: 090>+ ; 45-135>× • Az egyes soportokban 0-t ill. 1-et rendelünk az egyes irányokhoz, pl. V1 H0 ill. A1 D0
11
A BB84 protokoll
• Aliz véletlenszerûen válasz egy sorozat bitet és po-
larizá iós soportot: 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 + + × + × × × + + × + × H V A H A D D H V D V A A táblázat alsó sorának megfelelõ polarizá iójú fotonokat a kvantum satornán elküldi Bé inek.
• Bé i véletlenszerûen válasz egy sorozat polarizá iós irányt, és detektálja a fotonokat + + + × + × × + × + 0 0 1 1 0 H V H D V D D H A H
0 1
0 0 0
+
×
V
A
1 1
• Klasszikus satornán köl sönösen megüzenik egy-
másnak, hogy milyen polarizátor állásokat használtak: Alíz + + × + × × × + + × + × Bé i + + + × + × × + × + + ×
• Eldobják azokat a biteket, ahol eltérõ polarizá iót használtak.
• A maradék egy részét arra használják, hogy el-
lenõrizzék, történt-e lehallgatás a kvantum satornán. A többivel végzik a tikosítást, ill. a dekódolást.
12
Egy példa:
•
Bé i a véletlenszerûen választott polarizá iós irányokkal, az alábbiakat detektálja a kvantum satornán:
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
+
+
+
+ 1
0
0
1
0
1
×
×
+
0
×
+
0
×
+
1
×
+
0
×
0
0
15 ×
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
+
×
×
+
×
+
+
+
+
0
×
+
1
×
1
0
0
×
1
•
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
A klasszikus satornán az alábbi informá iók jutnak el hozzá:
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
×
+
×
×
+
×
+
×
×
+
+
×
×
+
15 ×
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
×
+
×
+
+
+
×
×
+
×
×
+
×
Ellenõrzés: 2.-6. bit 0110 1 Kódolt informá ió: 1001 0010 1011
•
Csak az egyezõ polarizá iókkal vett adatokat õrzi meg: 1 0010 1101 01 1
•
Összeveti a 2.-tól 6. bitig terjedõ részt a klasszikus informá ióval: 01 101 == 0110 1 ==> hozzávetõleg ( 3 )5-nél 4 kisebb valószínûséggel történt lehallgatás.
•
Dekódolás a kizáró vagy mûvelettel: 1100 1011 0101 kul s 1001 0010 1011" kódolt informá ió 0101 1001 1110 dekódolt informá ió
01 101
13
A kvantumszámítõgépek
• Deuts h-Józsa algoritmus
logikai függvények egy bizonyos tulajdonságának
eldöntésére szolgál Ha már tudjuk, hogy a függvény
vagy állandó, azaz f (x1 ) = f (x2 ),
vagy kiegyenlített, azaz ugyanannyi helyen veszi fel az 1 értéket, mint a 0 értékek akkor a függvény egyetlen lekérdezésével el tudjuk dönteni, hogy állandó-e vagy kiegyenlített
• Grover algoritmus
√ N -el arányos idõ N elemû rendezetlen listából
alatt keres meg egy adott elemet.
• Shor algoritmus
nagy egész számok faktorizálására szolgál
(Segítségével feltörhetõ az RSA) Egyelõre a gyakorlatban még sak a 15=5*3-nál járunk.
14
