Oefenexamen 2009-I
Buiteling
Gegeven een halve cirkel met straal 1. Lijnstuk PQ raakt de halve cirkel in punt R. De lengte van PQ is constant π meter, terwijl het raakpunt R langs de cirkel loopt, met een snelheid van 1 m/s. Gebruik de tekening.
y
Q
t
x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·sin t
t
P 1
In de startsituatie (t = 0) valt P samen met punt E. ROE = t (rad) en RP = t. Voor de coördinaten van P geldt:
R
1
P'
t
O
E R'
1
Vraag 5. Toon de juistheid aan voor x (t) met 0 ≤ t ≤ π ------------------------------------------------------------------
x
Oefenexamen 2009-I
Buiteling
Gegeven een halve cirkel met straal 1. Lijnstuk PQ raakt de halve cirkel in punt R. De lengte van PQ is constant π meter, terwijl het raakpunt R langs de cirkel loopt, met een snelheid van 1 m/s.
y
Q
t
x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·sin t
t
P 1
In de startsituatie (t = 0) valt P samen met punt E. ROE = t (rad) en RP = t. Voor de coördinaten van P geldt:
R
1
P'
t
O
E R'
1
Vraag 5. Toon de juistheid aan voor x (t) met 0 ≤ t ≤ π ------------------------------------------------------------------
• Omdat de driehoeken ORR’ en PRP’ gelijkvormig zijn (hh) is PRP’= ROR’= t (rad)
x
Oefenexamen 2009-I
Buiteling R
1
t
t
P 1
In de startsituatie (t = 0) valt P samen met punt E. EOR = t (rad) en RP = t.
P'
t
O cos t R'
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·sin t
y
Q
Gegeven een halve cirkel met straal 1. Lijnstuk PQ raakt de halve cirkel in punt R. De lengte van PQ is constant π meter, terwijl het raakpunt R langs de cirkel loopt, met een snelheid van 1 m/s.
E 1
Vraag 5. Toon de juistheid aan voor x (t) met 0 ≤ t ≤ π ------------------------------------------------------------------
• Omdat de driehoeken ORR’ en PRP’ gelijkvormig zijn (hh) is PRP’= ROR’= t (rad)
• In ORR’ is cos t = OR’ / 1 dus OR’= cos t
x
Oefenexamen 2009-I
Buiteling R
1
t
t
P 1
In de startsituatie (t = 0) valt P samen met punt E. EOR = t (rad) en RP = t.
P'
t
O costt R'
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·sin t
y
Q
Gegeven een halve cirkel met straal 1. Lijnstuk PQ raakt de halve cirkel in punt R. De lengte van PQ is constant π meter, terwijl het raakpunt R langs de cirkel loopt, met een snelheid van 1 m/s.
1
Vraag 5. Toon de juistheid aan voor x (t) met 0 ≤ t ≤ π ------------------------------------------------------------------
• Omdat de driehoeken ORR’ en PRP’ gelijkvormig zijn (hh) is PRP’= ROR’= t (rad)
• In ORR’ is cos t = OR’ / 1 dus OR’= cos t • In PRP’ is sin t =
E
dus PP’ =
x
Oefenexamen 2009-I
Buiteling R
1
t
t
P 1
In de startsituatie (t = 0) valt P samen met punt E. EOR = t (rad) en RP = t.
P'
t sin t
t
O costt R'
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·sin t
y
Q
Gegeven een halve cirkel met straal 1. Lijnstuk PQ raakt de halve cirkel in punt R. De lengte van PQ is constant π meter, terwijl het raakpunt R langs de cirkel loopt, met een snelheid van 1 m/s.
E 1
Vraag 5. Toon de juistheid aan voor x (t) met 0 ≤ t ≤ π ------------------------------------------------------------------
• Omdat de driehoeken ORR’ en PRP’ gelijkvormig zijn (hh) is PRP’= ORR’= t (rad)
• In ORR’ is cos t = OR’ / 1 dus OR’= cos t • In PRP’ is sin t = PP’ / t dus PP’= t·sin t
x
Oefenexamen 2009-I
Buiteling R
1
t
t
P 1
In de startsituatie (t = 0) valt P samen met punt E. EOR = t (rad) en RP = t.
P'
t sin t
t
O costt R'
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·sin t
y
Q
Gegeven een halve cirkel met straal 1. Lijnstuk PQ raakt de halve cirkel in punt R. De lengte van PQ is constant π meter, terwijl het raakpunt R langs de cirkel loopt, met een snelheid van 1 m/s.
1
Vraag 5. Toon de juistheid aan voor x (t) met 0 ≤ t ≤ π ------------------------------------------------------------------
• Omdat de driehoeken ORR’ en PRP’ gelijkvormig zijn (hh) is PRP’= ORR’= t (rad)
• In ORR’ is cos t = OR’ / 1 dus OR’= cos t • In PRP’ is sin t = PP’ / t dus PP’= t·sin t • Dus x (t) =
E
x
Oefenexamen 2009-I
Buiteling R
1
t
t
P 1
In de startsituatie (t = 0) valt P samen met punt E. EOR = t (rad) en RP = t.
P'
t sin t
t
O cos t R'
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·sin t
y
Q
Gegeven een halve cirkel met straal 1. Lijnstuk PQ raakt de halve cirkel in punt R. De lengte van PQ is constant π meter, terwijl het raakpunt R langs de cirkel loopt, met een snelheid van 1 m/s.
E 1
Vraag 5. Toon de juistheid aan voor x (t) met 0 ≤ t ≤ π ------------------------------------------------------------------
• Omdat de driehoeken ORR’ en PRP’ gelijkvormig zijn (hh) is PRP’= ORR’= t (rad)
• In ORR’ is cos t = OR’ / 1 dus OR’= cos t • In PRP’ is sin t = PP’ / t dus PP’= t·sin t • Dus x (t) = OR’+ P’P = cos t + t·sin t
x
Oefenexamen 2009-I
Buiteling P
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·cos t met 0 ≤ t ≤ π De snelheid van P na t sec is:
v(t ) ( x(t ))2 ( y(t ))2
Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt: v(t) = t ------------------------------------------------------
O
E
Oefenexamen 2009-I
Buiteling P
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·cos t met 0 ≤ t ≤ π De snelheid van P na t sec is:
v(t ) ( x(t ))2 ( y(t ))2
Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt: v(t) = t -----------------------------------------------------• x’(t) =
O
E
Oefenexamen 2009-I
Buiteling P
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·cos t met 0 ≤ t ≤ π De snelheid van P na t sec is:
v(t ) ( x(t ))2 ( y(t ))2
Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt: v(t) = t -----------------------------------------------------• x’(t) = – sin t + 1·sin t + t·cos t = t·cos t
productregel
O
E
Oefenexamen 2009-I
Buiteling P
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·cos t met 0 ≤ t ≤ π De snelheid van P na t sec is:
v(t ) ( x(t ))2 ( y(t ))2
Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt: v(t) = t -----------------------------------------------------• x’(t) = – sin t + 1·sin t + t·cos t = t·cos t
• y’(t) =
O
E
Oefenexamen 2009-I
Buiteling P
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·cos t met 0 ≤ t ≤ π De snelheid van P na t sec is:
v(t ) ( x(t ))2 ( y(t ))2
Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt: v(t) = t -----------------------------------------------------• x’(t) = – sin t + 1·sin t + t·cos t = t·cos t
• y’(t) = cos t – (1·cos t – t·sin t) = cos t – cos t + t·sin t = t·sin t
O
E
Oefenexamen 2009-I
Buiteling P
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·cos t met 0 ≤ t ≤ π De snelheid van P na t sec is:
v(t ) ( x(t ))2 ( y(t ))2
Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt: v(t) = t -----------------------------------------------------• x’(t) = – sin t + 1·sin t + t·cos t = t·cos t
• y’(t) = cos t – (1·cos t – t·sin t) = cos t – cos t + t·sin t = t·sin t 2 2 • v(t ) (t cos t ) (t sin t )
O
E
Oefenexamen 2009-I
Buiteling P
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·cos t met 0 ≤ t ≤ π De snelheid van P na t sec is:
v(t ) ( x(t ))2 ( y(t ))2
Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt: v(t) = t -----------------------------------------------------• x’(t) = – sin t + 1·sin t + t·cos t = t·cos t
• y’(t) = cos t – (1·cos t – t·sin t) = cos t – cos t + t·sin t = t·sin t 2 2 2 2 2 2 • v(t ) (t cos t ) (t sin t ) t cos t t sin t
O
E
Oefenexamen 2009-I
Buiteling P
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·cos t met 0 ≤ t ≤ π De snelheid van P na t sec is:
v(t ) ( x(t ))2 ( y(t ))2
O
Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt: v(t) = t -----------------------------------------------------• x’(t) = – sin t + 1·sin t + t·cos t = t·cos t
• y’(t) = cos t – (1·cos t – t·sin t) = cos t – cos t + t·sin t = t·sin t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 • v(t ) (t cos t ) (t sin t ) t cos t t sin t t (cos t sin t ) t 1 t
Pythagoras
E
Oefenexamen 2009-I
Buiteling P
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·cos t met 0 ≤ t ≤ π De snelheid van P na t sec is:
v(t ) ( x(t ))2 ( y(t ))2
Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt: v(t) = t ------------------------------------------------------
O
• x’(t) = – sin t + 1·sin t + t·cos t = t·cos t
• y’(t) = cos t – (1·cos t – t·sin t) = cos t – cos t + t·sin t = t·sin t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 • v(t ) (t cos t ) (t sin t ) t cos t t sin t t (cos t sin t ) t 1 t
Vraag 7. Bereken exact de lengte van de baan van P (0 ≤ t ≤ π). ------------------------------------------------------------------------------
E
Oefenexamen 2009-I
Buiteling P
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·cos t met 0 ≤ t ≤ π De snelheid van P na t sec is:
v(t ) ( x(t ))2 ( y(t ))2
Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt: v(t) = t ------------------------------------------------------
O
• x’(t) = – sin t + 1·sin t + t·cos t = t·cos t
• y’(t) = cos t – (1·cos t – t·sin t) = cos t – cos t + t·sin t = t·sin t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 • v(t ) (t cos t ) (t sin t ) t cos t t sin t t (cos t sin t ) t 1 t
Vraag 7. Bereken exact de lengte van de baan van P (0 ≤ t ≤ π). -----------------------------------------------------------------------------π
π
• s 0 ds 0
ds dt dt
E
Oefenexamen 2009-I
Buiteling P
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·cos t met 0 ≤ t ≤ π De snelheid van P na t sec is:
v(t ) ( x(t ))2 ( y(t ))2
Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt: v(t) = t ------------------------------------------------------
O
• x’(t) = – sin t + 1·sin t + t·cos t = t·cos t
• y’(t) = cos t – (1·cos t – t·sin t) = cos t – cos t + t·sin t = t·sin t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 • v(t ) (t cos t ) (t sin t ) t cos t t sin t t (cos t sin t ) t 1 t
Vraag 7. Bereken exact de lengte van de baan van P (0 ≤ t ≤ π). -----------------------------------------------------------------------------π
π
• s 0 ds 0
π ds dt v(t ) dt 0 dt
E
Oefenexamen 2009-I
Buiteling P
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·cos t met 0 ≤ t ≤ π De snelheid van P na t sec is:
v(t ) ( x(t ))2 ( y(t ))2
Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt: v(t) = t ------------------------------------------------------
O
• x’(t) = – sin t + 1·sin t + t·cos t = t·cos t
• y’(t) = cos t – (1·cos t – t·sin t) = cos t – cos t + t·sin t = t·sin t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 • v(t ) (t cos t ) (t sin t ) t cos t t sin t t (cos t sin t ) t 1 t
Vraag 7. Bereken exact de lengte van de baan van P (0 ≤ t ≤ π). -----------------------------------------------------------------------------π
π
• s 0 ds 0
π π ds dt v(t ) dt t dt 0 0 dt
E
Oefenexamen 2009-I
Buiteling P
Voor de coördinaten van P geldt: x (t) = cos t + t·sin t y (t) = sin t – t·cos t met 0 ≤ t ≤ π De snelheid van P na t sec is:
v(t ) ( x(t ))2 ( y(t ))2
Vraag 6. Toon aan dat hieruit volgt: v(t) = t ------------------------------------------------------
O
• x’(t) = – sin t + 1·sin t + t·cos t = t·cos t
• y’(t) = cos t – (1·cos t – t·sin t) = cos t – cos t + t·sin t = t·sin t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 • v(t ) (t cos t ) (t sin t ) t cos t t sin t t (cos t sin t ) t 1 t
Vraag 7. Bereken exact de lengte van de baan van P (0 ≤ t ≤ π). -----------------------------------------------------------------------------π π π ds 2 1 1 2 • s 0 ds 0 dt 0 v(t ) dt 0 t dt 2 t 2 π 0 dt π
π
E
Oefenexamen 2009-I
Koordenvierhoek?
C
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. K en L liggen op de cirkel zo dat CK = CL. Zie de figuur. Vraag 15. Bewijs dat BAC = QCL + CLK ---------------------------------------------------------
L Q
P
K
A
B
Oefenexamen 2009-I
Koordenvierhoek?
C
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. K en L liggen op de cirkel zo dat CK = CL. Zie de figuur. Vraag 15. Bewijs dat BAC = QCL + CLK --------------------------------------------------------• Trek AL.
L Q
P
K
A
B
Oefenexamen 2009-I
Koordenvierhoek?
C
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. K en L liggen op de cirkel zo dat CK = CL. Zie de figuur. Vraag 15. Bewijs dat BAC = QCL + CLK --------------------------------------------------------• Trek AL. • A1= K = α (constante hoek, beide op koorde CL)
α K
L Q
P
α A
B
Oefenexamen 2009-I
Koordenvierhoek?
C
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. K en L liggen op de cirkel zo dat CK = CL. Zie de figuur. Vraag 15. Bewijs dat BAC = QCL + CLK --------------------------------------------------------• Trek AL. • A1= K = α (constante hoek, beide op koorde CL) • Trek BL.
α K
L Q
P
α A
B
Oefenexamen 2009-I
Koordenvierhoek?
C
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. K en L liggen op de cirkel zo dat CK = CL. Zie de figuur. Vraag 15. Bewijs dat BAC = QCL + CLK --------------------------------------------------------• • • •
Trek AL. A1= K = α (constante hoek, beide op koorde CL) Trek BL. A2= C2 = β (constante hoek, beide op koorde BL)
Q
α
P
K
α A
L
β
β B
Oefenexamen 2009-I
Koordenvierhoek?
C
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. K en L liggen op de cirkel zo dat CK = CL. Zie de figuur. Vraag 15. Bewijs dat BAC = QCL + CLK --------------------------------------------------------• • • • •
Trek AL. A1= K = α (constante hoek, beide op koorde CL) Trek BL. A2= C2 = β (constante hoek, beide op koorde BL) L1 = K = α (gelijkbenige driehoek)
L
P
K
A
α Q
α
α
β
β B
Oefenexamen 2009-I
Koordenvierhoek?
C
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. K en L liggen op de cirkel zo dat CK = CL. Zie de figuur. Vraag 15. Bewijs dat BAC = QCL + CLK --------------------------------------------------------• Trek AL. • A1= K = α (constante hoek, beide op koorde CL) • Trek BL. • A2= C2 = β (constante hoek, beide op koorde BL) • L1 = K = α (gelijkbenige driehoek) Dus BAC = QCL + CLK
α+β
β
α
β
α
L
Q P
K
α A
β B
Oefenexamen 2009-I
Koordenvierhoek?
C
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. K en L liggen op de cirkel zo dat CK = CL. Zie de figuur.
β
α
L
Q P
K
Vraag 16. Bewijs dat ABQP een koordenvierhoek is. ----------------------------------------------------------------α
Bewijs: • A = α + β
A
β B
Oefenexamen 2009-I
Koordenvierhoek?
C
β 1
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. K en L liggen op de cirkel zo dat CK = CL. Zie de figuur.
α
L
Q P
K
Vraag 16. Bewijs dat ABQP een koordenvierhoek is. ----------------------------------------------------------------α
Bewijs: • A = α + β • In CLQ is α + β + Q1 = 180o (hoekensom)
A
β B
Oefenexamen 2009-I
Koordenvierhoek?
C
β Q 1 2
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. K en L liggen op de cirkel zo dat CK = CL. Zie de figuur.
α
L
P
K
Vraag 16. Bewijs dat ABQP een koordenvierhoek is. ----------------------------------------------------------------α
Bewijs: • A = α + β • In CLQ is α + β + Q1 = 180o (hoekensom) • Q2 = Q1 (overstaande hoeken) =180o – (α + β)
A
β B
Oefenexamen 2009-I
Koordenvierhoek?
C
β Q 1 2
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. K en L liggen op de cirkel zo dat CK = CL. Zie de figuur.
α
L
P
K
Vraag 16. Bewijs dat ABQP een koordenvierhoek is. ----------------------------------------------------------------α
Bewijs: • A = α + β • In CLQ is α + β + Q1 = 180o (hoekensom) • Q2 = Q1 (overstaande hoeken) =180o – (α + β) • Dus A + Q2 = 180o
A
β B
Oefenexamen 2009-I
Koordenvierhoek?
C
β 1
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. K en L liggen op de cirkel zo dat CK = CL. Zie de figuur.
α
L
Q P
K
Vraag 16. Bewijs dat ABQP een koordenvierhoek is. ----------------------------------------------------------------α
Bewijs: • A = α + β • In CLQ is α + β + Q1 = 180o (hoekensom) • Q2 = Q1 (overstaande hoeken) =180o – (α + β) • Dus A + Q2 = 180o • Dus ABQP is een koordenvierhoek (som overstaande hoeken)
A
β B
