BAB I PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang
Invers Moore Penrose pada ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi disampaikan oleh Koliha dan Patricio (2002). Dijelaskan bahwa jika elemen suatu ring yang dilengkapi involusi mempunyai invers Moore Penrose, maka elemen tersebut adalah elemen reguler yang mempunyai invers dalam yang ternormalisasi. Diketahui bahwa invers dalam elemen reguler pada suatu ring tidak selalu ternormalisasi. Harte dan Mbektha (1992) menjelaskan bahwa setiap invers dalam dapat dinormalisasi. Artinya invers dalam yang ternormalisasi dari suatu elemen reguler dapat diperoleh melalui invers dalam sebarang dari elemen reguler tersebut. Berdasarkan fenomena yang dimiliki oleh elemen reguler dan elemen yang mempunyai invers Moore Penrose menunjukkan adanya hubungan pada pengertian reguleritas dan ternormalisasi invers dalamnya. Berdasarkan hal tersebut muncul ide untuk mengaplikasikan fenomena yang dimiliki oleh elemen reguler pada invers Moore Penrose yaitu dengan menyelidiki kemungkinan untuk memperoleh invers Moore Penrose dari elemen reguler suatu ring dengan mengabaikan syarat ternormalisasi invers dalamnya. Dugaan sementara penulis adalah bahwa invers Moore Penrose suatu elemen reguler masih dapat diperoleh melalui invers dalam sebarang dari elemen tersebut. Hal ini karena jika R adalah ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi, a∈R dan b∈R adalah invers dalam sebarang dari a, maka dapat dibangun c = bab. Dapat ditunjukkan bahwa c adalah invers dalam yang ternormalisasi dari a, yaitu aca = ababa = a dan cac = bababab = bab = c. Selanjutnya diperoleh bahwa ab = abab = ac dan ba = baba = ca. Apabila invers Moore Penrose dari elemen suatu ring masih dapat diperoleh melalui invers dalam sebarang dari elemen tersebut, maka akan diperoleh terminologi baru mengenai pengertian invers Moore Penrose yang tidak mensyaratkan ternormalisasi dari invers dalamnya. Sifat ternormalisasi dari invers dalam menyebabkan invers Moore Penrose suatu elemen di ring tunggal. Oleh karena terminologi baru invers Moore Penrose pada penelitian ini dibangun dengan mengabaikan syarat ternormalisasi, maka invers yang dihasilkan menjadi tidak selalu tunggal. Di antara invers yang tidak tunggal tersebut
1
2
pasti terdapat invers yang ternormalisasi, hal ini karena invers dalam yang ternormalisasi dapat dibangun dari invers dalam sebarang. Misal pada ring Z4 dengan involusi identitas, Z4 adalah invers dalam dari 0, sementara 0 adalah invers dalam yang ternormalisasi dari 0. Peluang untuk menjadi invers Moore Penrose dari 0 hanya terjadi pada 0, sedangkan peluang untuk menjadi invers dari 0 pada terminologi baru invers Moore Penrose pada penelitian ini dapat terjadi pada setiap elemen di Z4 . Berdasarkan contoh dapat dilihat bahwa jika suatu elemen memiliki peluang untuk menjadi invers Moore Penrose dari 0, maka elemen tersebut memiliki peluang untuk menjadi invers dari 0 pada terminologi baru invers Moore Penrose pada penelitian ini, tetapi sebaliknya tidak berlaku. Oleh karena invers yang dihasilkan diduga tidak selalu tunggal, maka penelitian ini menjadi tidak mudah untuk diselesaikan. Hal ini disebabkan karena sifat-sifat yang dihasilkan harus berlaku untuk setiap invers dari elemen tersebut. 1.2.
Tinjauan Pustaka
Pengertian invers diperumum pada himpunan matriks atas bilangan riil dikemukakan oleh Rao (1962). Diperoleh bahwa untuk setiap matriks A∈Mmxn (R) dapat ditemukan matriks B∈Mnxm (R) yang memenuhi ABA = A. Invers pada Mmxn (R) yang menggunakan pengertian dasar invers diperumum merupakan suatu kajian yang menarik bagi para peneliti. Hal ini ditandai dengan beberapa hasil penelitian yang dihasilkan. Frame (1964) dan Bjerhammar (1951) membahas invers semu dari matriks A∈Mmxn (R) yaitu matriks B∈Mnxm (R) yang memenuhi ABA = A dan BAB = B. Selanjutnya matriks normal diperumum dari matriks A∈Mmxn (R), yaitu matriks B∈Mnxm (R) yang memenuhi ABA = A, BAB = B dan (AB)T = AB diteliti oleh Rohde(1965). Berikutnya Goldman dan Zelen (1964) memperkenalkan invers lemah diperumum dari matriks A∈Mmxn (R) sebagai matriks B∈Mnxm (R) yang memenuhi ABA = A, BAB = B dan (BA)T = BA. Moore (1920), Penrose (1955), Greville (1959), Ben Israel dan Charnes (1963) membahas invers Moore Penrose dari matriks A∈Mmxn (R) yaitu matriks B∈Mnxm (R) yang memenuhi ABA = A, BAB = B, (AB)T = AB dan (BA)T = BA. Invers Moore Penrose dari matriks A diberi simbol A+ . Salah satu jenis invers diperumum yang lain pada Mmxn (R) adalah invers grup. Invers grup dari matriks A∈Mmxn (R) oleh Ben Israel dan Greville (1974) didefinisikan sebagai matriks B∈Mnxm (R) yang memenuhi ABA=A , BAB=B dan
3
AB=BA. Diperoleh bahwa tidak setiap matriks mempunyai invers grup dan jika ada maka tunggal. Invers grup dari A disimbolkan A] . Pada Mmxn (R) dikenal kelas-kelas matriks yaitu kelas simetris (AT = A), kelas normal (AT A = AAT ), kelas parsial isometri (AT = A+ ), kelas star dagger (AT A+ = A+ AT ) dan kelas Enhancer Promoter (EP) (A+ = A] ). Dalam perkembangan penelitian invers Moore Penrose, telah ditunjukkan bahwa sifat dari kelas-kelas matriks di atas dapat dibangun dengan menggunakan invers Moore Penrose dan invers grup. Baksalary dan Trenkler (2008) membahas sifat dari matriks simetris, normal, dan EP. Sementara sifat dari matriks parsial isometri dan star dagger dibahas oleh Baksalary, et al. (2009). Menurut Kwak dan Hong (1977), jika A,B∈Mn (R) mempunyai invers maka (AB)−1 = B−1 A−1 . Selanjutnya persamaan (AB)−1 = B−1 A−1 disebut hukum urutan terbalik dari perkalian invers matriks. Greville (1966) menjelaskan bahwa formula di atas tidak dapat secara trivial diperluas pada perkalian invers Moore Penrose matriks dan membangun syarat perlu dan cukup A,B,AB∈Mn (R) memenuhi (AB)+ = B+ A+ . Menurut Norman dan Smith (1998), jika diberikan pemodelan regresi linier Y = Xb + ε dengan 1. Y menyatakan vektor observasi 2. X menyatakan matriks regresi 3. b menyatakan vektor parameter regresi 4. ε menyatakan vektor error pada pendugaan nilai Y, E(ε) = 0 dan var(ε) = E[ε − E(ε)][ε − E(ε)T ] = E[εεT ] = σ 2 Ir
b adalah maka penduga dari vektor parameter regresi b yaitu b b = (XT X)−1 XT Y. b Persamaan untuk penduga dari vektor parameter b yang disampaikan oleh Norman dan Smith tersebut diatas hanya berlaku untuk matriks X dengan XT X mempunyai invers. Selanjutnya Schmidt K.,(2000) berhasil membangun persamaan untuk
4
penduga dari vektor parameter b pada pemodelan regresi linear yang berlaku untuk setiap matriks X yaitu b = X+ Y + (I − X+ X)z b dengan X+ menyatakan invers Moore Penrose dari X dan z adalah vektor sebarang. Pengertian invers diperumum untuk kejadian khusus pada Mn (R), oleh Harte dan Mbektha (1992) diperumum pada sebarang ring dengan elemen satuan. Harte dan Mbektha menjelaskan bahwa jika R adalah ring yang dilengkapi elemen satuan dan a∈R, maka b∈R disebut invers dalam dari a jika aba = a. Tidak setiap elemen di ring mempunyai invers dalam. Jika a∈R mempunyai invers dalam, maka a disebut elemen reguler. Selanjutnya invers dalam b dari a disebut ternormalisasi jika bab = b. Seiring berkembangnya pengertian invers diperumum pada himpunan matriks atas bilangan riil, berkembang pula pengertian invers pada ring dengan elemen satuan. Setelah menambahkan involusi "∗" pada ring R dan menggunakan pengertian invers dalam pada elemen reguler, selanjutnya Koliha, et al. (2002, 2007) mendefinisikan pengertian invers Moore Penrose dari a∈R. Menurut Koliha, elemen b∈R yang memenuhi aba = a, bab = b, (ab)∗ = ab dan (ba)∗ = ba disebut invers Moore Penrose dari a∈R. Invers Moore Penrose dari a disimbolkan a+ , sementara R+ adalah simbol untuk himpunan elemen di R yang mempunyai invers Moore Penrose. Selain membahas sifat-sifat invers Moore Penrose, Koliha juga membangun syarat perlu dan cukup elemen di ring mempunyai invers Moore Penrose. Invers grup dari a∈R oleh Koliha (1999) didefinisikan sebagai elemen b∈R yang memenuhi aba = a, bab = b, dan ab = ba. Tidak setiap a∈R mempunyai invers grup dan jika ada maka tunggal. Invers grup dari a disimbolkan a] . Oleh beberapa peneliti selanjutnya invers Moore Penrose dan invers grup digunakan untuk membangun sifat dari elemen di ring. Sifat elemen normal dan simetris dibangun Mosic dan Djordjevic (2009a, 2010a), sedangkan sifat elemen parsial isometri, star dagger dan EP dibahas oleh Mosic dan Djordjevic (2009b, 2010b). Hukum urutan terbalik pada ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi dibahas Mosic dan Djordjevic (2010c). Telah dihasilkan beberapa kondisi ekuivalen yang harus dipenuhi oleh a, b, ab∈R+ agar memenuhi (ab)+ = b+ a+ . Harte dan Mbektha (1992) menunjukkan bahwa invers dalam ternormalisasi dari a∈R dapat diperoleh melalui invers dalam sebarang dari a∈R. Sementara menurut Koliha dan Patricio (2002), invers Moore Penrose dari a∈R dibangun oleh invers
5
dalam yang ternormalisasi dari a. Hal ini memberi peluang untuk memperumum pengertian invers Moore Penrose pada ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi. Mengikuti hasil penelitian invers Moore Penrose pada Mmxn (R) dan pada ring dengan elemen satuan yang telah dilakukan oleh para peneliti sebelumnya, maka kegiatan yang akan dilakukan pada penelitian ini adalah, 1. Memperumuman pengertian invers Moore Penrose pada ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi "∗" dengan mengabaikan syarat ternormalisasi dari invers dalamnya. 2. Mencari syarat perlu dan cukup elemen di ring R mempunyai perumuman dari pengertian invers Moore Penrose. 3. Menyelidiki sifat-sifat dari perumuman pengertian invers Moore Penrose. Sifatsifat yang diperoleh selanjutnya akan digunakan untuk membangun sifat-sifat dari elemen lain di R. 4. Membangun hukum urutan terbalik dari elemen di ring R yang mempunyai perumuman dari pengertian invers Moore Penrose. 5. Meneliti apakah pengertian invers Moore Penrose dapat diperumum dengan memperumum involusinya. 6. Menyelidiki apakah perumuman dari pengertian invers Moore Penrose dapat b pada pediaplikasikan untuk menentukan penduga vektor parameter b yaitu b modelan Regresi Linear. Melalui kegiatan penelitian ini telah diperoleh hasil awal mengenai pengertian invers Moore Penrose diperumum dan sifat-sifatnya oleh Titi U., et al.,(2014). 1.3.
Perumusan Masalah Penelitian
Berdasarkan uraian pada latar belakang dan tinjauan pustaka maka perumusan masalah dalam penelitian ini adalah : 1. Invers Moore Penrose suatu elemen reguler a di ring R dibangun oleh invers dalam yang ternormalisasi dari a, sementara invers dalam yang ternormalisasi dari a dapat diperoleh melalui invers dalam sebarang dari a. Perlu diselidiki
6
apakah invers Moore Penrose dari elemen reguler a dapat diperoleh melalui invers dalam sebarang dari a. Invers Moore Penrose dari a yang dapat diperoleh melalui invers dalam sebarang dari a selanjutnya disebut invers Moore Penrose diperumum. 2. Jika a∈R, maka belum tentu a reguler. Contoh pada Z4 , setiap elemen kecuali 2 adalah elemen reguler. Elemen 2∈Z4 bukan elemen reguler sebab 2 b 2 6= 2 untuk setiap b∈Z4 . Kondisi ini mengakibatkan tidak setiap elemen di R mempunyai invers Moore Penrose diperumum. Diperoleh kesempatan untuk membangun syarat perlu dan cukup elemen di ring R mempunyai invers Moore Penrose diperumum. 3. Jika b∈R invers dalam yang ternormalisasi dari a∈R, maka a∈R invers dalam yang ternormalisasi dari b∈R. Sementara jika b∈R invers dalam sebarang dari a∈R, maka sebaliknya belum tentu berlaku. Contoh 0, 1 elemen reguler di Z4 dan 1 invers dalam dari 0 tetapi 0 bukan invers dalam dari 1. Akibatnya sifat nvers Moore Penrose dari a∈R tidak dapat diperluas secara trivial pada sifat nvers Moore Penrose diperumum dari a∈R. Perlu diteliti bagaimana sifat invers Moore Penrose diperumum dari a∈R. Demikian juga perlu diselidiki apakah hukum urutan terbalik pada elemen yang mempunyai invers Moore Penrose dapat diperluas pada elemen yang mempunyai invers Moore Penrose diperumum. 4. Fungsi "∗" : a∈R 7→ a∗ ∈R dapat diperumum menjadi fungsi ∗u : a∈R 7→ a∗u = (uau)∗ ∈R, u∈R. Selanjutnya jika "∗" adalah involusi pada R yang memenuhi (a∗ )∗ = a, (a + b)∗ = a∗ + b∗ , (ab)∗ = b∗ a∗ untuk setiap a,b ∈ R, maka (a∗u )∗u = (u(uau)∗ u)∗ = (u∗ )2 (a∗ )∗ (u∗ )2 = (u∗ )2 a(u∗ )2 6= a, (a + b)∗u = (u(a + b)u)∗ = (uau + ubu)∗ = (uau)∗ + (ubu)∗ = a∗u + b∗u dan (ab)∗u = (uabu)∗ 6= (uauubu)∗ = (ubu)∗ (uau)∗ = b∗u a∗u untuk setiap a,b ∈ R dan sebarang u∈R. Diperoleh bahwa fungsi "∗u " bukan involusi pada R. Apakah dapat ditambahkan syarat pada u∈R, supaya "∗u " memenuhi syarat involusi. Selanjutnya akan diselidiki apakah pengertian invers Moore Penrose dapat diperumum dengan memperumum involusi "∗" menjadi involusi "∗u ". 5. Schmidt K.,(2000) telah menunjukkan bahwa penduga vektor parameter b yaitu b pada pemodelan Regresi Linear dapat diperoleh melalui invers Moore Penb rose matriks regresi X. Akan diteliti apakah perumuman dari pengertian invers
7
Moore Penrose matriks regresi X juga dapat digunakan untuk menentukan penb pada pemodelan Regresi Linear. duga vektor parameter b yaitu b 1.4.
Tujuan Penelitian
Secara umum penelitian ini bertujuan membangun invers Moore Penrose suatu elemen reguler pada ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi yang dibangun dari invers dalam sebarang. Secara rinci penelitian ini membahas beberapa kajian teori yang meliputi : 1. Menghasilkan terminologi baru dari invers Moore Penrose suatu elemen di ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi "∗". Terminologi baru ini merupakan perumuman dari invers Moore Penrose dan selanjutnya disebut invers Moore Penrose diperumum. 2. Menghasilkan syarat perlu dan cukup suatu elemen di ring mempunyai invers Moore Penrose diperumum. 3. Membangun sifat-sifat invers Moore Penrose diperumum elemen suatu ring. 4. Menghasilkan hukum urutan terbalik pada elemen di ring yang mempunyai invers Moore Penrose diperumum. 5. Memperumum invers Moore Penrose diperumum dengan memperumum involusinya, yang selanjutnya disebut invers µ-Moore Penrose diperumum. 6. Mengaplikasikan pengertian invers Moore Penrose diperumum dan invers µMoore Penrose diperumum pada pemodelan regresi linear. 1.5.
Manfaat Penelitian
Secara umum manfaat atau dampak yang diharapkan dari hasil penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Pengertian invers diperumum suatu elemen pada ring diperoleh melalui elemen reguler. invers Moore Penrose diperumum dan invers µ-Moore Penrose diperumum pada penelitian ini dibangun menggunakan sifat ternormalisasi yang dimiliki oleh elemen reguler. Hasil penelitian ini diharapkan mampu menjadi pendorong bagi peneliti lain untuk menghasilkan pengertian invers diperumum lain yang mungkin masih dapat diperoleh dari sifat elemen reguler.
8
2. Schmidt K.(2000) telah menunjukkan bahwa penduga vektor parameter regresi pada pemodelan regresi linier dapat diperoleh dengan melibatkan invers Moore Penrose matriks regresi. Pada penelitian ini dapat ditunjukkan bahwa penduga vektor parameter regresi pada pemodelan regresi linier dapat diperoleh dengan melibatkan invers Moore Penrose diperumum dan invers µ-Moore Penrose diperumum matriks regresi. Pendekatan ini lebih sederhana karena tidak memerlukan syarat ternormalisasi dari invers dalam matriks regresi. 1.6.
Keaslian Penelitian
Berdasarkan kajian yang dilakukan oleh peneliti, pembahasan mengenai pengertian invers pada himpunan matriks atas bilangan riil yang menggunakan pengertian invers diperumum selalu mensyaratkan pengertian invers semu, ( Rohde (1965), Goldman dan Zelen (1964), Moore (1920), Penrose (1955), Greville (1959), Ben Israel dan Charnes (1963), Ben Israel dan Greville (1974)). Demikian juga untuk pembahasan pengertian inves pada ring yang menggunakan pengertian dasar elemen reguler selalu mensyaratkan ternormalisasi dari invers dalamnya. Hal ini ditunjukkan pada pembahasan pengertian invers grup oleh Koliha (1999) dan pengertian invers Moore Penrose oleh Koliha dan Patricio (2002). Sementara penelitian yang mengabaikan syarat ternormalisasi dari invers dalamnya belum pernah dilakukan. Demikian juga perumuman pengertian invers pada ring yang dilakukan dengan memperumum involusi pada ring juga belum pernah dilakukan. Invers yang menggunakan pengertian dasar elemen reguler yang sudah diaplikasikan pada pemodelan regresi linier adalah invers Moore Penrose, sementara untuk pengertian invers yang lainnya belum ada. Diperoleh bahwa penelitian ini merupakan penelitian baru di bidang struktur aljabar dan penerapannya dalam bidang statistik khususnya pada pemodelan regresi linier. 1.7.
Metode Penelitian
Berdasarkan sifat masalah dan tujuannya metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah : 1. Mempelajari teori-teori dasar yang terkait dengan pengertian invers Moore Penrose suatu elemen di ring R dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi.
9
2. Mencari fenomena khusus yang dimiliki pengertian invers Moore Penrose dengan menyelidiki ide bagaimana membangun pengertian tersebut. Fenomena khusus yang diperoleh selanjutnya diupayakan diperumum dengan cara mengurangi syarat dari pengertian invers Moore Penrose, sehingga diperoleh terminologi baru yang selanjutnya disebut pengertian invers Moore Penrose diperumum. 3. Membangun syarat perlu dan cukup suatu elemen di R adalah reguler, kemudian hasilnya dikembangkan untuk membangun syarat perlu dan cukup elemen tersebut mempunyai invers Moore Penrose diperumum. 4. Menghasilkan sifat yang diperoleh langsung dari definisi invers Moore Penrose diperumum. Sifat yang diperoleh selanjutnya digunakan untuk membangun sifat elemen di Rg+ yaitu himpunan elemen di R yang mempunyai invers Moore Penrose diperumum. 5. Menentukan u∈R supaya involusi "∗" dapat diperumum menjadi involusi "∗u ". Tahapan selanjutnya adalah memperumum pengertian invers Moore Penrose diperumum dengan menggunakan involusi "∗u ". 6. Menurut Schmidt K. (2000), persamaan normal dari pemodelan regresi linier b = XT Y. Selanjutnya menggunakan sifat-sifat dari Y = Xb + ε adalah XT X b invers Moore Penrose diperumum matriks regresi X akan diperoleh penduga b vektor parameter regresi b yaitu b. 1.8.
Sistematika Penulisan
Laporan disertasi ini terdiri dari lima bab dan tiap bab terbagi menjadi beberapa subbab. Struktur bahasa yang digunakan sesuai dengan kaidah bahasa Indonesia baku. Ide diungkapkan secara teratur sesuai dengan urutan dan tingkatannya baik dalam kalimat maupun paragraf. Pemakaian kata seperlunya dan dipilih sesuai dengan arti yang sesungguhnya. Definisi dan teorema ditulis dengan huruf miring dimaksudkan untuk membedakan dengan kalimat lain dan memberikan penekanan. Untuk menunjukkan bahwa definisi dan teorema yang disampaikan adalah temuan baru, maka pada penulisan definisi dan teorema yang dimaksud diberi tanda ♣. Bab I terdiri dari tujuh subbab yaitu pengantar, tinjauan pustaka, perumusan masalah penelitian, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan.
10
Pengertian dan teori dasar yang digunakan sebagai landasan dalam pembahasan penelitian ini, seperti definisi dan sifat elemen reguler, invers Moore Penrose, invers grup, "*"-kansellasi, elemen simetris, elemen normal, elemen star dagger, elemen Enhancer Promoter (EP), elemen parsial isometri, hukum urutan keterbalikan serta pengertian dan sifat pada pemodelan regresi linier tidak disampaikan dalam bab tersendiri, melainkan terbagi di bab II, III dan IV. Pada bab II disampaikan ide bagaimana membangun definisi invers Moore Penrose diperumum dan hukum urutan keterbalikan pada Rg+ . Definisi, sifat-sifat dan eksistensi invers Moore Penrose diperumum disampaikan pada subbab pertama sementara pembahasan hukum urutan keterbalikan pada subbab ke dua. Subbab satu sampai dengan subbab lima pada bab III menjelaskan sifat-sifat elemen simetris, elemen normal, elemen star dagger, elemen EP dan elemen parsial isometri di Rg+ . Hasil pembahasannya selanjutnya digunakan untuk membangun sifat-sifat elemen di R yang disampaikan pada subbab enam. Bab IV terdiri dari tiga subbab. Subbab pertama berisi penjelasan ide membangun definisi, sifat-sifat dan eksistensi invers µ-Moore Penrose diperumum. Hukum urutan keterbalikan pada Rg+µ disampaikan pada subbab ke dua, dan subbab terakhir menunjukkan aplikasi struktur aljabar pada bidang statistik. Kesimpulan pada bab V berisi rangkaian hasil dan pembahasan dari penelitian, yang menegaskan kembali kaitan hasil penelitian dengan masalah dan tujuan penelitian. Pada bab ini disampaikan juga masalah terbuka yang belum dapat diselesaikan melalui penelitian disertasi ini.
