Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. MATERI Prosedur Plot Tempat Kedudukan Akar

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

MATERI Prosedur Plot Tempat Kedudukan Akar

Sub Pokok Bahasan Anda akan belajar 1. Prosedur plot Letak Kedudukan Akar 2. Prosedur plot dengan bantuan Matlab

Pengantar 1. Respon system tergantung pada letak / posisi pole 2. Saat menambahkan sebuah pengendali, maka besarnya gain perlu disesuaikan /diatur 3. Peyesuaian gain ini pada dasarnya adalah memindahkan letak pole untuk menyesuaikan dengan respon yang diinginkan 4. Terkadang penyesuaian nilai gain tidak selalu menghasilkan performansi respon seperti yang diharapkan. Apabila seperti ini maka dilakukan perancangan system kendali yang lebih kompleks

ROOT LOCUS • ROOT = akar-akar • LOCUS = tempat kedudukan • ROOT LOCUS – Tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik dari sebuah sistem pengendalian proses – Digunakan untuk menentukan stabilitas sistem tersebut: selalu stabil atau ada batas kestabilannya?

Dua Cara Penggambaran ROOT LOCUS • Cara 1: Mencari akar-akar persamaan karakteristik pada tiap kenaikan gain kontroler Kc • Cara 2: Didasarkan pada pengalaman – Mencari nilai pole dan zero – Menentukan breakaway point, center of gravity, asimptot – Mencari nilai u (titik potong dengan sumbu imajiner, dengan substitusi langsung)

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Prosedur Plot Tempat Kedudukan Akar • Persamaan karakteristik fungsi alih loop tertutup adalah,

1  KG (s)h(s)  0

atau

( s  p1 )(s  p 2 ) ( s  p n )  K ( s  z1 )(s  z 2 ) ( s  z m )

• Dari persamaan tersebut, untuk suatu titik dalam bidang-s, tempat kedudukan akar untuk nilai 0
K

Perkalian panjang vektor dari pole berhingga Perkalian panjang vektor dari zero berhingga

0 sudut zero G ( s ) H ( s )  sudut pole G ( s ) H ( s )  r ( 180 )  

r  1,  3,  5,

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Prosedur Plot Tempat Kedudukan Akar Langkah-langkah membuat tempat kedudukan akar 1. Jumlah kedudukan (loci). Untuk n>m, jumlah cabang kedudukan tempat kedudukan akar, adalah sama dengan jumlah pole fungsi alih loop terbuka G(s)H(s). Kedudukan akar adalah simetris terhadap sumbu real pada bidang-s. 2. Titik awal dan titik akhir. Jika K dinaikkan dari nol menuju ke takberhingga, kedudukan awal pole loop tertutup bergerak dari pole loop terbuka (K=0), dan berhenti pada zero loop terbuka (K). Zero terbentang kearah tempat kedudukan akar- nya, dan pole terbentang kearah sebaliknya. 3. Segmen tempat kedudukan akar dalam sumbu real. Untuk K>0, tempat kedudukan akar terjadi pada suatu segmen tertentu pada sumbu real, jika dan hanya jika ada selisih jumlah pole dan zero dari fungsi alih loop terbuka yang terebah disisi kanan segmen.

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Prosedur Plot Tempat Kedudukan Akar Langkah-langkah membuat tempat kedudukan akar 4. Interseksi sumbu imajiner. Dengan menggunakan kriteria RouthHurwitz, tentukan titik kedudukan akar yang terletak di sumbu-j. Harga K dan  dapat diperoleh dari array Routh. 5. Asymptot (Untuk nm). Untuk sebagian besar sistem perhatikan, n>m. Untuk n>m ada (n-m) zero pada takberhingga, untuk 0
r180 o  nm

r  1,  3,  5,

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Prosedur Plot Tempat Kedudukan Akar Langkah-langkah membuat tempat kedudukan akar karena s mendekati takberhingga. Berikut adalah tabel sudut asimtotik, n-m (selisih jumlah pole – jumlah zero) 0 1 2 3 4

Sudut Asimtotik Tidak-asimtot 180o 90o 180o, 60o 45o, 135o

Garis lurus menyebar dari suatu titik s pada sumbu real dinyatakan dengan,

a

pole G(s) H (s)   zero G(s) H (s)   nm

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Prosedur Plot Tempat Kedudukan Akar Langkah-langkah membuat tempat kedudukan akar 6. Sudut berangkat dan sudut datang. Anggap titik s sebarang didekat pole (untuk berangkat) atau zero (untuk datang) dan kemudian gunakan persamaan sudut sebagai berikut,  d   zi   pi  r (180 0 ) i

i

i

i

 a   pi   zi  r (180 0 )

7. Titik breakaway dan titik re-entry. Titik-titik pada sumbu real dimana dua atau lebih cabang tempat kedudukan akar berangkat dari atau datang pada sumbu real. Titik breakaway dapat ditentukan dengan pernyataan persamaan karakteristik untuk gain K sebagai fungsi s, K=-1/(G(s)H(s)), dan kemudian menyelesaikan titik breakaway s dari, dK ( s) ds

0

s  sB

akar-akar real persamaan ini, yang sesuai dengan langkah (3), adalah titik breakaway atau re-entry.

• Perhatikan diagram blok di bawah ini R(s)

2 (3s  1)(s  1)

Kc

C(s)

0.5

Kc 0 • Persamaan Karakteristiknya: 1  (3s  1)(s  1)

atau 1 + G(s)H(s) = 0

11

Penentuan Akar Pers. Karakteristik

3s2 + 4s + (1 + Kc) = 0  4  16  12(1  K c ) 2 1 s1 , s2     1  3K c 6 3 3

12

Plot Root Locus Kc 0 1 5 10 20 50



IMAJINER

AKAR -1; -1/3 -2/3 ± j (2)/3 -2/3 ± j (14)/3 -2/3 ± j (29)/3 -2/3 ± j (59)/3 -2/3 ± j (149)/3

Sistem SELALU STABIL karena akar-akarnya selalu berada di sebelah KIRI

X -1

-2/3

-

X -1/3

REAL

2 (3s  1)(s  1)

R(s)

Kc

C(s)

0,5 0,5s  1 Persamaan karakteristik:

Kc 1 0 (3s  1)(s  1)0,5s  1 14

Persamaan Karakteristik Kc 1 0 (3s  1)(s  1)0.5s  1 Kc (3s  1)(s  1)0.5s  1  0 (3s  1)(s  1)0.5s  1 (3s  1)(s  1)0.5s  1 (3s  1)(s  1)0.5s  1  K c 0 (3s  1)(s  1)0.5s  1 (3s  1)(s  1)0.5s  1  K c  0 1.5s  5s  4.5s  1  K c  0 3

2

Gambar Root Locus Kc

IMAJINER



AKAR

0

-1; -1/3; -2

1

-2.271; -0.53±j0.55

5

-2.77; -0.281±j1.168

14

-3.3; ±j1.732

20

-3.586; 0.126±j1.97

30

-3.92; 0.29±2.279j

X -2

X -1

X -1/3

Sistem ADA BATAS KESTABILAN karena akar-akarnya ada yang berada di sebelah KANAN

REAL

-

Cara 2 • Persamaan karakteristik:

Kc 1 0 (3s  1)(s  1)0,5s  1

• pole: -1/3, -1, -2; n (jumlah pole) = 3 • zero: tidak ada; m (jumlah zero) = 0

Uji Letak Pole/Zero IMAJINER n–m= 3 – 0 = ganjil  tempat kedudukan akar

X

X

-2

-1

X -1/3

REAL

Uji Letak Pole/Zero IMAJINER n–m= 2– 0 = genap  BUKAN tempat kedudukan akar

X -2

X -1

X -1/3

REAL

Uji Letak Pole/Zero IMAJINER

n–m= 1– 0 = ganjil  tempat kedudukan akar

X -2

X -1

X -1/3

REAL

Plot Semua daerah yang terdapat Pole IMAJINER

X -2

X -1

X -1/3

REAL

Di Antara Tempat Kedudukan 2 Pole Ada BREAKAWAY POINT m

n 1 1   i 1 s  zi j 1 s  p j

1 1 1 0   s 1/ 3 s 1 s  2 s  1s  2  s  1 / 3s  2  s  1 / 3s  1  0 s  1 / 3s  1s  2 s 2  3s  2  s 2  2 13 s  23  s 2  1 13 s  13  0 3s 2  6 23 s  3  0

s1  1.5954 s2  0.6268

DI LUAR TEMPAT KEDUDUKAN YANG DIPAKAI

Letak Breakwaway Point IMAJINER

X -2

X -1

X -0.6 -1/3

REAL

Penentuan Center of Gravity dan Sudut Asimtot n

CG 

m

 p z j 1

j

i 1

nm

i

 13  1  2  3 13    1.1 30 3

1800  (3600 )k  nm 1800  (3600 )0 0   60o 30 1800  (3600 )1 1   180o 30 1800  (3600 )2 2   300o 30

Center of Gravity dan Sudut Asimtot IMAJINER

180o 60o

X -2

X -1.1-1 300o

X -0.6 -1/3

Cg

REAL

Titik Potong pada Sumbu Imajiner 1.5s  5s  4.5s  1  K c  0 Substitusi dengan s  i u 3

2

1.5(iu )3  5(iu ) 2  4.5(iu )  1  Kc  0  1.5iu  5u  4.5(iu )  1  Kc  0 3

 1.5iu  4.5iu  0 3





iu  1.5u  4.5  0 2

u  0 dan u 2  3

2

 5u  1  K c  0  5(3)  1  K c  0 K c  14 2

u  1.7

TITIK POTONGNYA

Titik Potong dengan Sumbu Imajiner IMAJINER

1.7

X -2

X -1.1-1

X -0.6 -1/3

REAL

-1.7

Hasil Plot ROOT LOCUS IMAJINER

X -2

X -1.1-1

X -0.6 -1/3

REAL

Program Matlab Root Locus

K (s  8) G( s )  s(s  2)(s 2  8s  32)

>> rlocus(tf([1 8], conv(conv([1 0],[1 2]),[1 8 32])))

Tugas Latihan 1 1. Plot Root Locus sebuah sistem dengan G(s) = 1/s(s+0,8) 2. Hasil plot di scan, dan diupload di Minggu 11, dengan nama file= nama mahasiswa

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Latihan SOAL 2

Sistem motor servo yang dinyatakan dengan fungsi alih loop terbuka berikut,

G( s ) H ( s ) 

K K  3 (s  1)(s  3  j1)(s  3  j1) s  7s 2  16s  10

a. Cari tempat kedudukan akar untuk K>0. b. Gunakan Program Matlab untuk menganalisa letak kedukdukan akar

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Latihan SOAL 3

Sistem motor servo yang dinyatakan dengan fungsi alih loop terbuka berikut,

K (s  5) K (s  5) G( s) H ( s)   2 (s  1)(s  3) s  4s  3

a. Cari tempat kedudukan akar untuk K>0. b. Gunakan Program Matlab untuk menganalisa letak kedukdukan akar

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

Latihan SOAL 4

Sistem motor servo yang dinyatakan dengan fungsi alih loop terbuka berikut,

G( s) H ( s) 

K (s  5) K (s  5)  3 (s  1)(s  3)(s  6) s  10s 2  27s  18

a. Cari tempat kedudukan akar untuk K>0. b. Gunakan Program Matlab untuk menganalisa letak kedukdukan akar

Pengantar

Materi

Contoh Soal

Latihan

Ringkasan

RINGKASAN 1. Letak kedudukan akar diperoleh dari persamaan persamaan close loop, dengan gain kendali bernilai K 2. Letak kedudukan akar diuji dengan cara, menentukan selisih jumlah pole dengan zero di suatu letak titik uji 3. Bila selisih pole dengan zero di lokasi titik uji bernilai ganjil, maka titik uji terdapat akar 4. Bila selisih pole dengan zero di lokasi titik uji bernilai genap, maka tidak ada akar 5. Plot letak kedudukan akar dapat digunakan untuk menguji kestabilan sebuah system