Inhoudsopgave. Profielwerkstuk

Kosmische straling detecteren

Inhoudsopgave Inhoudsopgave ........................................................................................................................................ 2 Inleiding .................................................................................................................................................. 3 Proloog .................................................................................................................................................... 4 Hoofdstuk 1. Kosmische straling ............................................................................................................ 5 §1. De herkomst van kosmische straling............................................................................................. 5 §2. Showers ......................................................................................................................................... 7 §3. Hisparc .......................................................................................................................................... 8 Eerste intermezzo: Elementaire deeltjes.................................................................................................. 9 Hoofdstuk 2. Muonen detecteren .......................................................................................................... 12 §1. Waarom muonen?........................................................................................................................ 12 §2. Detectie van muonen ................................................................................................................... 13 §3. Coïncidentie en verwerking......................................................................................................... 14 §4. Kalibratie ..................................................................................................................................... 17 §5. Opstelling op het dak................................................................................................................... 19 Tweede intermezzo: Relativiteit............................................................................................................ 21 Hoofdstuk 3. Detectie van kosmische straling ...................................................................................... 25 §1. Berekening richting primair deeltje............................................................................................. 25 §2. Berekening energie van het primaire deeltje ............................................................................... 31 §3. Een rekenvoorbeeld..................................................................................................................... 33 Conclusie............................................................................................................................................... 36 Bronnenlijst ........................................................................................................................................... 37

Profielwerkstuk Titel: Door: Klas: Vak: Docent: Datum:

Kosmische straling detecteren Elwyn Davies G6D, Christelijk Gymnasium Utrecht Natuurkunde 1,2 Peter Schimmel dinsdag 15 maart 2005

Profielwerkstuk natuurkunde Elwyn Davies

2


Inleiding Zonder dat we het beseffen worden wij allen op dit moment bestraald door deeltjes die het gevolg zijn van kosmische straling. Grote energierijke deeltjes ver uit de ruimte botsen tegen deeltjes in de atmosfeer aan en veroorzaken een grote deeltjeslawine: een airshower. Maar waar komen deze deeltjes vandaan? Dit is een vraag die astronomen al decennialang bezighoudt. Dit werkstuk probeert een antwoord te geven op de vraag waar natuurkundigen denken dat kosmische straling vandaan komt en vooral hoe we deze straling kunnen detecteren. Hisparc is een van de projecten van natuurkundigen om deze straling te detecteren, met behulp van de meting van muonen. In dit werkstuk wordt uitgelegd wat muonen zijn, hoe ze gedetecteerd kunnen worden en hoe aan de hand van muonendetectie bepaald kan worden waar de kosmische straling vandaan komt en welke energie de straling heeft. Het werkstuk is opgebouwd uit drie hoofdstukken, met daarnaast nog relevante achtergrondinformatie in de intermezzo’s. In deze intermezzo’s wordt uitgelegd welke elementaire deeltjes allemaal bestaan en welke gevolgen de relativiteitstheorie heeft voor de muonenmeting. Voor dit werkstuk heb ik vier maanden meegelopen met de Hisparc-cluster van de Universiteit Utrecht en hier zelf een muonendetectiestation op het dak geplaatst. Enkele foto’s van dit detectiestation zijn verwerkt in dit werkstuk. Voor de figuren in dit werkstuk geldt dat ze voor het overgrote deel zelf geproduceerd zijn, tenzij dit anders vermeld staat. Tenslotte zou ik graag dr.ir. Gert-Jan Nooren, dr.ir. Koos Kortland en promovendus Emanuele Simili willen bedanken voor hun ondersteuning bij het Hisparc-project. Veel plezier bij het lezen van dit profielwerkstuk! Elwyn Davies Utrecht, maart 2005


3


Proloog Oostenrijk, 12 april 1912 In het kader van zijn onderzoek naar de radioactieve achtergrondstraling van de aarde, besloot de jonge Oostenrijkse natuurkundige Victor Hess met een ballon het stralingsniveau hoog in de lucht te meten. De Franse natuurkundige Henri Becquerel had in het begin van de twintigste eeuw ontdekt dat bepaalde aardse elementen radioactieve straling uitzonden. Met behulp van een elektroscoop kon men deze straling aantonen. Uit deze experimenten bleek dat er ook straling werd gemeten, terwijl er geen radioactieve stoffen in de buurt waren. Deze straling werd de achtergrondstraling genoemd. Het was de verwachting dat het stralingsniveau hoog in de lucht lager zou zijn dan beneden op aarde. Tijdens een zonsverduistering op 12 april 1912 nam Hess de proef op de som en waagde hij zich op een hoogte van vijf kilometer, zonder voorzien te zijn van zuurstoftanks. Toen hij het stralingsniveau mat op deze hoogte, merkte hij dat deze niet gedaald was, maar juist flink gestegen…


Figuur P.1 Victor Hess in zijn ballon (Pierre Auger Observatory)

4


Hoofdstuk 1. Kosmische straling Hess vroeg zich af waar deze straling vandaan kwam. De straling kwam duidelijk niet van de aarde. En aangezien de zon verduisterd was, was het ook niet aannemelijk dat deze straling daarvandaan kwam. De straling moest dus wel bijna ergens anders uit de ruimte komen, daarom sprak Hess over ‘kosmische straling’. Maar waar deze kosmische straling precies vandaan komt, is nog steeds een groot raadsel.

§1. De herkomst van kosmische straling De zon is een van de grootste stralingsbronnen van invloed op aarde. Deze straling bestaat voornamelijk uit protonen en elektronen en wordt ook wel zonnewind genoemd. Deze straling heeft echter zo’n lage energie dat deze deeltjes door het magnetisch veld van de aarde worden afgebogen en bovenin de atmosfeer reageren met gassen, die daardoor ioniseren. Het noorderlicht (of: aurora borealis) wordt hierdoor veroorzaakt. Normaal gesproken is de deeltjesdichtheid van de zonnewind ongeveer 10 tot 100 deeltjes per 10 cm3, met snelheden van 300 tot 500 km/h. Na een zogenaamde zonnevlam (een uitbarsting op de zon) neemt de deeltjesdichtheid van de zonnewind toe tot meer dan 100 deeltjes per 10 cm3, met snelheden tot maar liefst 3000 km/h.

Figuur 1.1.1 Een zonnevlam (NASA)

Deze zonnewind kan bij grote uitbarstingen enorme gevolgen hebben op aarde, doordat de straling het magnetisch veld op de aarde aantast. In 1989 werd een elektriciteitscentrale in Quebec, Canada, getroffen door de gevolgen van zo’n zonnevlam, waardoor miljoenen mensen zonder stroom kwamen te zitten. Galactische straling De straling die Hess mat, was echter niet afkomstig van de zon, die was immers verduisterd. Deze stralen komen blijkbaar dus uit andere delen van het heelal. Deze straling, die van buiten ons zonnestelsel komt, wordt galactische straling genoemd. De straling bestaat voornamelijk uit kernen van atomen die met zeer hoge snelheid (ongeveer de lichtsnelheid) op ons af komen.

Figuur 1.1.2 Een reconstructie van een supernova uit beelden van o.a. de Hubble-telescoop (NASA)

De vraag is waar deze deeltjes ontstaan en waarom ze zo versneld zijn. Een van de vermoede oorzaken zijn supernova’s, exploderende sterren. Deze theorie wordt gestaafd doordat in kosmische straling relatief veel uitzonderlijke isotopen van neon, aluminium en magnesium voorkomen, die in de kernen van sterren door kernfusie zijn ontstaan.

Een andere mogelijke oorzaak wordt gezocht in de vorm van grote zwarte gaten die op minder dan 300 miljoen lichtjaar zouden bestaan. Deze zwarte gaten zouden met hun groot magnetisch veld een rol kunnen spelen bij de versnelling van de atoomkernen. Ook quasars zouden een oorzaak kunnen zijn van kosmische straling. Quasars zijn astronomische objecten die in een telescoop lijken op sterren, maar een zeer grote roodverschuiving kennen en dus ver van de aarde verwijderd zijn. De intensiteit van het licht dat ze uitzenden is ontzettend hoog, meer dan honderd keer zo groot als de energie die een gemiddeld melkwegstelsel uitstraalt. Het is niet bekend waar quasars uit bestaan, maar vermoed wordt dat het grote zwarte gaten zijn met daaromheen Profielwerkstuk natuurkunde Elwyn Davies

5


een afgeplatte, draaiende schijf met materie. De materie die in het zwarte gat ‘valt’ zendt hierbij ongekend hoge straling uit, waardoor quasars nog op grote afstand waar te nemen zijn. Kosmische-stralingsflux De deeltjes die in de aardatmosfeer binnenkomen hebben een ongekend hoge energie: gemiddeld zo’n 10 GeV (= 1010 eV). Er slaan echter ook deeltjes binnen met een veel hogere energie. In figuur 1.1.4 is de frequentie van inslag te zien van deeltjes met verschillende deeltjes. Hierin is te zien dat deeltjes met een hoge energie slechts weinig voorkomen. De grafiek is bijna een rechte lijn, met uitzondering van twee knikken: de zogenaamde knee bij 1015 eV en ankle bij 1018 eV. Figuur 1.1.3 Artistieke interpretatie van een quasar (Don Dixon / cosmographica.com)

Er komen echter ook deeltjes vanuit andere sterrenstelsels bij de aarde terecht. Deze deeltjes hebben een hogere energie nodig om te kunnen ontsnappen uit deze stelsels. Deze deeltjes zorgen voor een tweede knik in de grafiek: de ankle. Aangezien deze deeltjes door hun hoge energie nauwelijks worden afgebogen door magnetische velden, is het mogelijk om hun oorsprong te bepalen. Deze deeltjes komen echter vrij weinig voor: minder dan 1 deeltje per vierkante kilometer per jaar. Daarom is het nodig om een groot detectieoppervlak op te zetten om deze deeltjes te meten. Opvallend zijn de deeltjes met een energie hoger dan 1019 eV. Volgens de theorie zouden deze deeltjes niet eens kúnnen bestaan, omdat ze snel hun energie zouden verliezen door wisselwerking met de kosmische microgolfstraling in de intergalactische ruimte. Desondanks zijn deze deeltjes wel gemeten.

De knee is te verklaren doordat deeltjes met een lagere energie niet kunnen ontsnappen uit het magnetisch veld van de Melkweg. Deeltjes met een hogere energie kunnen dat wel en slaan dus minder in op de aarde, wat dus voor een knik zorgt in de grafiek.

1 deeltje per m2/s

knee (1 deeltje per m2/jaar)

ankle (1 deeltje per km2/jaar)

Figuur 1.1.4 De kosmischestralingflux (NASA)

De kosmische straling met een kleinere energie dan 3 · 1015 eV (ongeveer op de plek van de knee) wordt door onderzoekers toegeschreven aan supernova-explosies. Waar de straling met hogere energie vandaan komt, blijft nog een mysterie. Onderzoekers denken aan quasars en zwarte gaten, maar dit is nog niet bewezen. Profielwerkstuk natuurkunde Elwyn Davies

6


§2. Showers De hoogenergetische deeltjes komen uit de ruimte de aardatmosfeer binnen. Ze blijven echter niet intact, want door hun hoge energie botsen ze snel op deeltjes in de atmosfeer, zoals zuurstof en stikstofatomen. Dit heeft een kettingreactie tot gevolg, waarbij talloze deeltjes vrij komen. Hierdoor ontstaat een lawine van hoogenergetische secundaire deeltjes, een zogenaamde airshower. Deze airshower bestaat uit een heleboel deeltjes, zoals fotonen, elektronen, muonen en protonen. In figuur 1.2.1 is een simulatie te zien van zo’n airshower. Het is duidelijk dat de verstrooiing van de deeltjes erg groot is:

inslag

alle deeltjes

gamma-fotonen

muonen

hadronen (protonen e.d.)

elektronen

Figuur 1.2.1 Simulatie van een airshower (H. Drescher, Universiteit van Frankfurt)


7


Soorten showers De showers ten gevolge van kosmische straling zijn onder te verdelen in twee soorten: hadronische en elektromagnetische showers. Hadronische showers worden veroorzaakt door een hoog-energetisch proton dat de atmosfeer binnendringt. De bron van een elektromagnetische shower is een (gamma)foton of een geladen deeltje. De samenstelling tussen hadronische en elektromagnetische showers is verschillend: zo komen in een elektromagnetische shower veel minder muonen voor dan in een hadronische shower. Meer hierover in het eerste intermezzo.

§3. Hisparc Het Hisparc-project (High School Project on Astrophysics Research with Cosmics) is een Nederlands project om kosmische straling te detecteren. Aan het project werken verschillende universiteiten en instituten mee: Universiteit Utrecht, Radbout Universiteit Nijmegen, Vrije Universiteit Amsterdam, Universiteit Leiden, het Nationaal Instituut voor Kernfysica en Hogere-energiefysica (NIKHEF) en het Kernfysisch Versneller Instituut (KVI). Het Hisparc-project richt zich vooral op kosmische straling met een hoge energie, hoger dan 1015 eV (dus boven de knee in de grafiek van de kosmischestralingflux). De bedoeling is om zowel detectoren neer te zetten bij de universiteiten als bij middelbare scholen, om zo een grote detectieoppervlakte te verkrijgen. In de fluxgrafiek is immers te zien dat de frequentie van hoogenergetische deeltjes zeer laag is, waardoor het dus noodzakelijk is om het meetoppervlakte zo groot mogelijk te maken.

Figuur 1.3.1 De verschillende Hisparc-clusters in Nederland. (Hisparc.nl)

Het doel van Hisparc is naast onderzoek naar kosmische straling ook om middelbare scholieren te betrekken bij wetenschappelijk onderzoek en op die manier meer te motiveren voor een bètaopleiding. Het project wordt onder andere gesponsord door bedrijven als Philips en Corus. Muonendetectie Om de plaats van inslag en de energie van het oorspronkelijke (primaire) deeltje te bepalen, wordt er gebruik gemaakt van muonendetectoren. Muonen vormen een van de secundaire deeltjes in een airshower. Aangezien muonen hoofdzakelijk voorkomen in hadronische showers, richt het onderzoek zich vooral op dit type shower. Hoe de meting van muonen en de verwerking van de meetgegevens in zijn werk gaat wordt, uitgelegd in hoofdstuk 2 en 3. In het eerste intermezzo wordt dieper op fundamentele deeltjes, zoals elektronen, muonen en quarks, ingegaan.


8


Eerste intermezzo: Elementaire deeltjes ‘Waaruit is onze wereld opgebouwd?’ is een vraag die de mensheid al eeuwenlang bezighoudt. De Griekse filosoof Herakleitos, die leefde omstreeks 540 voor Christus, dacht dat vuur de oerstof was, waaruit alles ontstaan is. Empedocles (480-423 v. Chr.) had het over vier elementen: vuur, water, lucht en aarde. De filosoof Demokritos (460-370 v. Chr.) zat er het dichtste bij: volgens hem bestond de wereld uit ondeelbare atomen, die met elkaar botsten en klonteren, waardoor de ‘kosmos’ ontstond. Het duurde pas tot begin 1900 voordat men een beeld kreeg van hoe atomen daadwerkelijk in elkaar zaten. Eerder was al ontdekt dat atomen bestonden uit een positieve kern met daarin protonen en neutronen, waaromheen elektronen draaiden. Niels Bohr ontdekte dat deze elektronen zich in verschillende banen (of: schillen) bevonden en dat elektronen door absorptie van de energie van fotonen zich naar een andere baan konden verplaatsen (de zogenaamde ‘aangeslagen toestand’). Hierna was de vraag of de protonen, neutronen en elektronen in een atoom zelf ondeelbaar waren of dat ze zelf ook weer uit andere deeltjes bestonden. Tot ongeveer 1930 dacht men dat deze deeltjes de elementaire deeltjes waren.

Figuur I.1 Het atoommodel van Niels Bohr (1885-1962)

Quarks Dit was echter niet het geval. Protonen en neutronen bleken op hun beurt ook weer samengesteld te zijn uit andere deeltjes, de zogenaamde quarks. Er bestaan drie paren quarks, waarbij respectievelijk het ene deeltje telkens een lading van − 13 e en het ander een lading van 23 e heeft: • • •

down en up (‘neer’ en ‘op’) strange en charm (‘vreemd’ en ‘tover’) bottom en top (‘onderkant’ en ‘bovenkant’)

Al deze quarks kennen ook nog een antideeltje, met tegengestelde lading. Protonen bestaan uit twee up-quarks en één down-quark en hebben dus een lading van 2 ⋅ 23 e + 1 ⋅ − 13 e = +1e . Een neutron bestaan uit twee down-quarks en één up-quark en is dus neutraal geladen: 2 ⋅ − 13 e + 1 ⋅ 23 e = 0 . Deeltjes die uit quarks bestaan worden ook wel hadronen genoemd. naam

symbool

massa (me)

massa (MeV/c2)

down

d

600

310

up

u

600

310

strange

s

103

505

charm

c

3 · 103

1500

bottom

b

10 · 103

5000

top

t

>50·103

>22500

lading (e) −

1 3 2 3

−

1 3 2 3

−

1 3 2 3

Figuur I.2 De verschillende soorten quarks (Binas)


9


Leptonen Het elektron bleek echter niet uit quarks of uit andere deeltjes te bestaan, maar bleek zelf een fundamenteel en ondeelbaar deeltje te zijn. De categorie deeltjes waaronder het elektron valt zijn de leptonen. Er zijn drie leptonen met materie bekend, namelijk het elektron, het muon en het tauon. Daarnaast zijn er drie corresponderende neutrino’s en al deze deeltjes hebben ook nog eens een antideeltje. Een overzicht: naam

symbool

elektron

e−

neutrino muon neutrino

neutrino

massa (MeV/c2)

lading (e)

levensduur

antideeltje e+

1

0,511

-1 stabiel

ν e0

0

-5

0 stabiel

ν e0

µ−

207

105,7

-1 2,2·10-6

µ+

νµ0

0

<0,25

0 stabiel

νµ0

3491

1784

-1 0,3·10-12

τ+

0

<17

0 stabiel

ντ 0

τ−

tauon

massa (me)

ντ 0

<1·10

verval

e− +ν µ +ν e

µ − +ντ +ν µ

Figuur I.3 Een overzicht van de leptonen (Binas)

Vier groepen Uiteindelijk kon men de elementaire deeltjes in vier groepen indelen: • • • •

De baryonen – zwaardere deeltjes, zoals het proton en het neutron. Deze deeltjes zijn opgebouwd uit drie quarks. De mesonen – deeltjes die opgebouwd zijn uit een quark en een antiquark. De leptonen – deeltjes die geen kracht ondervinden van de sterke wisselwerking (het elektron, het muon en het tauon). Deze deeltjes bestaan niet uit quarks. De ijkdeeltjes – overige deeltjes zoals gluonen, fotonen, gravitonen en vectorbosonen.

Mesonen en baryonen zijn beiden uit quarks samengestelde deeltjes en vallen dus ook onder de hadronen. Fundamentele wisselwerkingen Een andere vraag die de natuurkunde bezighield was ‘wat houdt de wereld bij elkaar?’, of beter gezegd: welke fundamentele krachten spelen een rol? Natuurkundigen stelden hierop vier wisselwerkingen vast, namelijk: • • •

•

gravitatie-wisselwerking – Voorwerpen met een massa werken een kracht op elkaar uit. Bij normale voorwerpen is deze kracht zeer klein, terwijl bij voorwerpen met een grote massa deze kracht duidelijk merkbaar is (bijv. de zwaartekracht op de aarde) elektromagnetische wisselwerking – Tegengesteld geladen voorwerpen trekken elkaar aan, terwijl voorwerpen met eenzelfde lading elkaar afstoten. Magnetisme is te verklaren door bewegende ladingen. sterke wisselwerking – krachten die werken tussen afzonderlijke quarks. Deze kracht zorgt ervoor dat quarks in bijvoorbeeld een proton bij elkaar blijven. Naast een elektrische lading hebben quarks namelijk ook nog een ‘kleurlading’ (rood, groen en blauw). Dankzij deze kracht blijven de kerndeeltjes (protonen en neutronen) bij elkaar. Leptonen ondervinden geen kracht van deze wisselwerking. zwakke wisselwerking – een kracht die ervoor zorgt dat deeltjes (zoals muonen) uiteenvallen in lichtere varianten.


10


Antideeltjes Van veel elementaire deeltjes bestaan ook antideeltjes. Dit zijn deeltjes met dezelfde massa, maar met een tegengestelde lading. Als een deeltje met zijn antideeltje reageert, verdwijnen zij beiden en ontstaat er twee gamma-fotonen. Als een elektron bijvoorbeeld botst met een positron (zijn antideeltje), verdwijnen zij beiden en zal de energie van beide deeltjes vrijkomen in de vorm van twee gamma-fotonen. Het is logisch dat veel antideeltjes, zoals positronen, die ontstaan bij kosmische straling, snel weer verdwijnen doordat ze reageren met hun ‘tegenpolen’. Hierdoor worden er nauwelijks positronen gemeten, terwijl die wel ontstaan als secundair deeltje. Botsingen in de atmosfeer Als een energierijk deeltje uit de ruimte de aardatmosfeer binnendringt, is de kans groot dat hij in de hogere atmosfeerlagen stuit op een stikstof- of zuurstofatoom. De fotonen van een elektromagnetische airshower kennen alleen een elektromagnetische wisselwerking met de materie. Vergeleken met de andere wisselwerkingen is deze relatief zwak. Als een foton stuit op een materiedeeltje, kan een paar deeltje-antideeltje uit de reactie ontstaan, bijvoorbeeld elektronen en positronen. Omdat de massa van een muon 207 keer zo groot is als de massa van een elektron, is de benodigde energie van het foton om een muon en een anti-muon te laten ontstaan vele malen groter dan de benodigde energie om een elektron en een positron te laten ontstaan. Er ontstaan dus nauwelijks muonen bij een elektromagnetische shower. Bij hadronische showers speelt naast de elektromagnetische wisselwerking ook nog een andere wisselwerking een rol: de sterke wisselwerking tussen quarks onderling. Als een energierijk proton op de kerndeeltjes van een zuurstof- of stikstofatoom botst, kan er een reactie optreden tussen quarks van het primaire deeltje en van de kerndeeltjes. Hierbij kunnen grote aantallen mesonen (gebonden quarkantiquark paren) ontstaan, zoals pionen. Deze pionen vervallen vervolgens al snel in andere deeltjes, zoals muonen of fotonen. Daarom kunnen pionen niet of nauwelijks aan het aardoppervlak gemeten worden.


11


Hoofdstuk 2. Muonen detecteren Het Hisparc-project probeert dus door middel van detectie van muonen te bepalen waar de kosmische straling vandaan komt. Om de muonen zelf te meten wordt gebruik gemaakt van scintillatoren. In dit hoofdstuk wordt uitgelegd hoe muonen hiermee gemeten worden en hoe de meetgegevens op de computer verwerkt worden.

§1. Waarom muonen? Zoals eerder behandeld ontstaan bij airshowers talloze verschillende deeltjes. In figuur 2.1.1a is te zien dat de verstrooiing van de meeste deeltjes groot is: ze lijken alle kanten op te gaan. Van de deeltjes bewegen muonen zich echter nog het meeste in een rechte lijn, zoals te zien is in figuur 2.1.1b:

Figuur 2.1.1a De verstrooiing van deeltjes in een airshower. (Een simulatie gemaakt door H. Drescher, Universiteit van Frankfurt)

Figuur 2.1.1b De verstrooiing van muonen in een airshower. (H. Drescher, Universiteit van Frankfurt)

Het voordeel van muonen meten is dat doordat de deeltjes zich minder verstrooien en zich min of meer in een rechte lijn bevinden, de locatie en hoek van inslag van de shower beter bepaald kunnen worden. Muonen, behoren net als elektronen, tot de leptonen. In tegenstelling tot andere elementaire deeltjes ondervinden deze deeltjes geen invloed van de sterke wisselwerking, de kracht die er bijvoorbeeld voor zorgt dat protonen en neutronen in een kern bijeengehouden worden. De massa van een muon is 207 keer zo groot als de massa van een elektron. (zie ook het eerste intermezzo) Muonen zijn net als elektronen elektrisch negatief geladen. Ze worden dus ook onder invloed van het magnetisch veld van de aarde afgebogen. Het valt echter te berekenen dat de invloed van deze afbuiging zo klein is, dat de baan van de muonen nog steeds als ‘recht’ beschouwd wordt. Muonenverval In tegenstelling tot elektronen zijn muonen niet stabiel. Na 2,2·10-6 s vallen ze uiteen in een elektron, een muonneutrino en een elektronneutrino. De deeltjes verplaatsen zich met een snelheid die tegen de lichtsnelheid aanligt (c = 3,0·108). Tijdens hun levensduur zou verwacht worden dat ze een afstand van 660 m afleggen. Omdat de snelheid echter tegen de lichtsnelheid aanligt, spelen relativistische effecten hier een rol. Doordat de snelheid zo hoog is, loopt de tijd van de muonen langzamer en kunnen ze dus een grotere afstand afleggen. In plaats van 660 m kunnen ze een afstand van 13 kilometer afleggen. Profielwerkstuk natuurkunde Elwyn Davies

12


Deze afstand is dus ruimschoots genoeg om de muonen de aarde te laten bereiken (de inslag vindt namelijk meestal plaats op 12 km hoogte in de atmosfeer). Meer hierover in het tweede intermezzo.

§2. Detectie van muonen Muonen reageren nauwelijks met de omgeving, waardoor we gelukkig weinig last van kosmische straling ondervinden, maar het zorgt er wel voor dat ze lastig te meten zijn. Scintillatoren bieden hierbij uitkomst. Scintillatoren zijn plastic platen met daarin sporen van bepaalde elementen. Deze elementen zorgen ervoor dat wanneer er een energierijk deeltje doorheen valt, er een foton vrijkomt. Als bijvoorbeeld een muon of een foton op deze scintillator komt, wordt er dus een lichtsignaal opgewekt. Dit lichtsignaal is wel te meten. Een muon gaat door de scintillator, en wordt iets afgeremd. Uit de energie die daarbij vrij komt, ontstaat een foton.

muon foton

fotomultiplier scintillator

lichtgeleider

Figuur 2.2.1 Een muon slaat in in de scintillator.

Versterking Net zoals geluid vaak versterkt moet worden om er iets van te horen, is dit bij het lichtsignaal ook het geval. Daarnaast moet het lichtsignaal omgezet worden in een (meetbare) elektrische puls. Hiervoor wordt een zogenaamde fotomultiplier (ookwel photomultiplier tube of PMT) gebruikt. Het lichtsignaal wordt daarom via een speciale lichtgeleider (gemaakt van perspex) naar deze fotomultiplier gestuurd. De werking van de fotomultiplier berust op het zogenaamde foto-elektrisch effect. Door tussen twee geleidende platen een spanningsverschil op te wekken, gaat er een stroom lopen zodra er licht op de negatieve plaat valt. Hierbij maken fotonen elektronen vrij, waardoor er dus een elektrische puls gaat lopen. De fotomultiplier heeft echter nog meer geleidende platen met een oplopende spanning, waardoor de elektronen versneld worden en nieuwe elektronen (zogenaamde secundaire elektronen) vrijmaken, waardoor het elektrische signaal nog meer versterkt wordt. Uiteindelijk levert dit voor de computer een meetbaar signaal op (een negatieve puls). (zie ook figuur 2.2.4)

Figuur 2.2.2 Fotomultiplier (Hisparc.nl)


Figuur 2.2.3 Zijaanzicht van de multiplier zonder beschermend folie en plasticlaag (Hisparc.nl)

13


licht

e−

Een foton wordt opgevangen op een negatieve plaat. Hierbij komt een elektron vrij.

e−

Door de spanning telkens op te voeren wordt het elektron versneld en maakt het nieuwe elektronen los.

Uiteindelijk levert dit in het signaal een negatieve puls op (elektronen zijn namelijk negatief geladen)

Figuur 2.2.4 De werking van een fotomultiplier.

In het Hisparc-project wordt gebruik gemaakt van scintillatoren met een grootte van 100 bij 45 cm. Aangezien de scintillator ook op andere energetische deeltjes reageert en dus ook op fotonen, is deze afgeplakt met zwart landbouwplastic, zodat de scintillator niet meer reageert op licht. Ook de lichtgeleider is goed geïsoleerd.

scintillator

De afzonderlijke onderdelen (de scintillator, de lichtgeleider en de fotomultiplier) zijn aan elkaar gelijmd met een speciaal soort lijm, die zowel voor stevigheid zorgt als voor een goede helderheid, zodat de lichtsignalen hier zo weinig mogelijk hinder van ondervinden. Het uiteindelijke signaal van de fotomultiplier kan worden gemeten met behulp van een oscilloscoop. Zoals in figuur 2.2.4 is te zien, levert dit een negatieve puls op.

lichtgeleider fotomultiplier Figuur 2.2.5 De scintillator en lichtgeleider zijn goed geïsoleerd.

§3. Coïncidentie en verwerking Niet alle gedetecteerde muonen zijn afkomstig van een airshower, ook andere natuurkundige processen zorgen ervoor dat muonen worden afgegeven. Deze zijn echter niet relevant voor het experiment en moeten er daarom uitgefilterd worden. Coïncidentie Muonen ontstaan in grote getale ten gevolge van kosmische straling. Zoals in de simulatie (figuur 1.1.1b) te zien is, verspreiden de muonen zich over een redelijk groot oppervlak. Als er op twee verschillende plekken tegelijkertijd een muon wordt aangetroffen, is de kans dus groot dat er sprake is van een airshower. In het Hisparc-project wordt hier op een handige manier gebruik gemaakt door twee scintillatoren naast elkaar te plaatsen. Er is sprake van coïncidentie als binnen 100 microseconden in beide scintillatoren muonen gedetecteerd worden (zie ook figuur 2.3.2). Op deze manier wordt geprobeerd om de muonen uit airshowers van de overige muonen te ‘isoleren’.


Figuur 2.3.1 Twee muonpieken naast elkaar: hier is sprake van coïncidentie.

14


Er is sprake van een coïncidentie als twee muonen binnen 100 µs gedetecteerd worden.

muon

&

muon

∆t is maximaal 100 µs

Figuur 2.3.2 Coïncidentie

Verwerking De verwerking van de signalen uit de scintillatoren gebeurd door de computer en een speciaal verwerkingskastje, geproduceerd door het Nikhef in Amsterdam. Dit kastje fungeert als ‘tussenstation’ voor de scintillatoren en de computer. In dit kastje kunnen ook verschillende grootheden, zoals de bronspanning voor de fotomultipliers, veranderd worden. Daarnaast zorgt dit kastje ervoor dat er een apart signaal wordt verstuurd naar de ‘trigger out’poort indien er sprake is van coïncidentie, zodat de computer een signaal krijgt dat hij de signalen van de afzonderlijke scintillatoren moet gaan meten.

Figuur 2.3.3 Het verwerkingskastje van Nikhef.

GPS-antenne Tijdsbepaling is een belangrijk aspect binnen het Hisparc-project, omdat het noodzakelijk is om tijdsverschillen tussen verschillende detectiestations te kunnen meten (zie ook §3.1). Naast een systeem voor plaatsbepaling is het Global Positioning System ook een zeer geschikt instrument om de tijd te meten. Satellieten uit de ruimte versturen namelijk voortdurend tijdsignalen, samen met de positie waarin zij zich bevinden. Omdat sommige satellieten dichterbij de ontvanger staan dan andere, zullen de signalen van die satelliet eerder bij de ontvanger aankomen dan de signalen van andere satellieten die verder weg staan. Op basis van deze tijdsverschillen kan een GPS-ontvanger zijn positie en de tijd nauwkeurig bepalen. Figuur 2.3.4 De GPS-antenne


De GPS-antenne wordt in dit experiment tussen de scintillatoren geplaatst. Deze antenne is via het Nikhef-verwerkingskastje aangesloten op de meetcomputer.

15


scintillator A

scintillator B

GPS-antenne

computer

hisparc on power/control

to ADC

to ADC

trigger out

power/control

PM

PM

GPS Timing

+12V +5V

signal

monitor

monitor

A

signal

counts

-5V off

B

Threshold

Threshold

HV

HV

PM Current (mA)

Coincidence (A&B) A B

reset

timer start

PM Current (mA) HV (500-1500V) Threshold (0-1V)

Figuur 2.3.5 Aansluitingen op het verwerkingskastje

In de figuur hierboven staan alle gemaakte verbindingen met het Nikhef-verwerkingskastje weergegeven. Beide scintillatoren zijn verbonden met eenpower/control-poort (voor de spanning en instellingen van de fotomultiplier) en een signal-poort (om het signaal van de fotomultiplier op te vangen). De instellingen voor de multiplier (zoals hoogspanning en de drempelwaarde) kunnen worden aangepast door middel van enkele schroefjes linksonderin. In totaal lopen er vier kabels naar de computer: een voor het coïncidentiesignaal (trigger out), twee voor de signalen van de scintillatoren en daarnaast nog een kabel voor het GPS-systeem. Het verwerkingskastje kent daarnaast ook nog een eigen telsysteem waarmee het mogelijk is om het aantal inslagen in een bepaalde detector te meten gedurende een bepaalde tijd. Ook het aantal coïncidenties kan worden gemeten. Computerprogramma Voor de verwerking van de gegevens met de computer heeft het Nikhef een speciaal programma ontwikkeld waarmee alle meethandelingen geautomatiseerd worden en de resultaten op internet gepresenteerd worden. Het computerprogramma registreert de volgende zaken bij iedere coïncidentie: • • • •

de tijd van iedere coïncidentie, in nanoseconden nauwkeurig (gemeten via de GPS) de hoogte van de puls in mV (van beide detectoren) de oppervlakte (integraal) van de puls in µC (van beide detectoren) de geschatte achtergrondruis in mV


16


De gegevens van de detector zijn op te vragen via de website van Hisparc, www.hisparc.nl, onder het kopje ‘Data Display’. De gegevens worden meerdere malen per uur bijgewerkt en in het geval van een (internet-)storing slaat het systeem zelf de gegevens op, om deze later te versturen, zodra de storing verholpen is. Deze gegevens zijn gemakkelijk te verwerken met bijvoorbeeld een spreadsheetprogramma zoals Excel. Op deze manier kan bijvoorbeeld onderzocht worden of er verbanden bestaan tussen luchtdruk en het aantal gemeten deeltjes.

§4. Kalibratie Nu alle apparatuur is geïnstalleerd, is het noodzakelijk deze eerst grondig door te meten, alvorens de opstelling op het dak te plaatsen. In het Nikhef-verwerkingskastje kunnen verschillende zaken worden ingesteld, zoals de gebruikte hoogspanning in de fotomultiplier. Hoe hoger de ingestelde spanning, hoe meer deeltjes er gedetecteerd zullen worden, maar ook zal er meer ‘ruis’ gemeten worden. Het is daarom van belang de hoogspanning zo in te stellen, dat er genoeg deeltjes gemeten worden en er geen ruis gedetecteerd wordt.

& miniscintillator

Figuur 2.4.1 De kalibratieopstelling

computermeetkastje

Een kalibratie is een proefmeting waarbij wordt gekeken of de hoogspanning correct staat ingesteld. Hiertoe worden naast de twee grote scintillatoren ook twee kleinere scintillatoren boven elkaar geplaatst. Dit heeft als doel om er zeker van te zijn dat de deeltjes die gemeten worden daadwerkelijk muonen zijn. De grote scintillatoren staan immers zelf nog niet goed ingesteld, waardoor de kans aanwezig is dat ruis voor muonen wordt aangezien. Kalibratie levert uiteindelijk een spectrum op, zoals te zien is in figuur 2.4.2:


17


40

aantal metingen

35 30 25 scintillator A scintillator B

20 15 10 5 0 0

200

400

600

800

1000

spanning (mV) Figuur 2.4.2 Het spectrum van twee scintillatoren bij een hoogspanning van 950 V (scintillator A) en 775 V (scintillator B)

Er wordt gestreefd om de piek ongeveer rond de 150 mV te hebben. Zoals uit de grafiek blijkt, moet scintillator B hier nog wat bijgesteld worden. De piek zit in deze grafiek namelijk te veel naar rechts (bij ongeveer 300 mV in plaats van 150 mV). Ook de piek van scintillator A zit nog te veel naar rechts. Voor de kalibratie wordt gebruik gemaakt van een speciaal meetprogramma op de computer, waarmee de spectra worden gegenereerd:

Figuur 2.4.3 Het meetprogramma dat gebruikt wordt voor de kalibratie. Rechts zijn de spectra van de twee scintillatoren te zien. Overigens zijn de schaalverdelingen van de verticale as niet gelijk.


18


§5. Opstelling op het dak Na alles goed doorgemeten te hebben door middel van kalibreren, konden de scintillatoren tezamen met de GPSantenne op het dak van het Buys Ballot-laboratium van de Universiteit Utrecht geplaatst worden. De scintillatoren werden in een skibox geplaatst, zodat ze goed beschermd zijn tegen het weer. Voor de muonenontvangst maakt het weinig uit, omdat muonen niet of nauwelijks door de skibox worden afgeremd. Om de kabels te beschermen tegen de omstandigheden buiten, zijn er speciale metalen afvoergoten aangelegd.

Figuur 2.5.1 De scintillatoren worden in een skibox gelegd als bescherming.

afvoergoot

Nikhef-verwerkkastje

GPS-antenne

5 meter

scintillator

scintillator

Figuur 2.5.2 Opstelling op het dak van het Buys Ballotlaboratorium. Het Nikhefverwerkingskastje en de computer staan twee verdiepingen lager opgesteld.

Zoals in figuur 2.5.2 te zien is, staan de scintillatoren vijf meter uit elkaar. De GPS-antenne is in het midden neergezet.

Figuur 2.5.3 Het aanleggen van de verschillende kabels. De twee scintillatoren worden uiteindelijk op de twee betonnen blokken geplaatst.


Figuur 2.5.4 De scintillator wordt in de skibox gelegd.

19


Figuur 2.5.5 De skiboxen worden stevig bevestigd aan de betonnen blokken.

Figuur 2.5.6 De scintillator, ingepakt en wel.

Om te voorkomen dat de skiboxen met de scintillatoren ten gevolge van bijvoorbeeld een storm of andere weersomstandigheden wegwaaien of op een andere manier een gevaar vormen voor de omgeving, zijn ze stevig vastgemaakt aan de betonnen blokken. Voor de verwerking van de meetgegevens is enkele etages lager een speciale ruimte ingericht. De kabels van de GPS-antenne en de scintillatoren zijn hier aangesloten op het rode Nikhef-kastje, dat vervolgens weer verbonden is met de computer. Deze computer staat dag en nacht aan om de signalen van de scintillatoren te registreren en te verwerken.

Figuur 2.5.7 De uiteindelijke opstelling.

Figuur 2.5.8 De uiteindelijke opstelling.

Figuur 2.5.9 Het Buys Ballot-laboratorium

Figuur 2.5.10 Om de kabels naar beneden te leiden, is een speciaal netwerk van pijpen aangelegd.


20


Tweede intermezzo: Relativiteit De relativiteitstheorie is een van de meest baanbrekende theorieën geweest in de moderne natuurkunde. De speciale relativiteitstheorie werd in 1905 ontwikkeld door de theoretisch natuurkundige Albert Einstein (1879-1955) en had grote gevolgen op de manier waarop men naar de wereld keek. Einstein stelde namelijk dat de lichtsnelheid in alle gevallen constant was, ongeacht de snelheid van de waarnemers. Relatieve snelheden Voor Einstein ging men ervan uit dat licht een absolute beweging was, waarvan de snelheid van waarneming net zoals bij andere snelheden afhangt van de snelheid van de waarnemer. Einstein toonde aan dat dit niet het geval was, de lichtsnelheid is in alle gevallen constant:

A

v = 20 m/s v=c

volgens de ‘oude’ natuurkunde: B

A

v = 20 m/s v=c

v’ = c + 20 m/s

Figuur II.1 Volgens de klassieke natuurkunde is de snelheid waarmee waarnemer A een lichtdeeltje (B) ziet tegemoetkomen gelijk aan de lichtsnelheid c + 20 m/s.

volgens Einstein: v’ = c B

Figuur II.2 Volgens de relativiteitstheorie is de lichtsnelheid altijd constant. De snelheid waarmee waarnemer A het lichtdeeltje ziet tegemoetkomen is nog steeds de lichtsnelheid c.

Einstein gebruikte vaak gedachte-experimenten om zijn theorieën te bewijzen. Dit zijn theoretische voorbeelden, waaruit hij de formules van de relativiteitstheorie afleidde. In de volgende gedachteexperimenten gaan we steeds uit van een waarnemer op het perron en een passagier die zich in een bewegende trein bevindt. De lichtklok Een voorwerp dat vaak gebruikt wordt in de gedachte-experimenten bij het uitleggen van de speciale relativiteitstheorie, is de zogenaamde lichtklok. Deze klok bestaat uit een lampje, een lichtdetector en een spiegel. De werking is als volgt: het lampje stuurt een lichtsignaal, dit wordt weerspiegeld in de spiegel en vervolgens weer gedetecteerd bij het lampje. Dit wordt gezien als één tik. spiegel

afstand

L0

Het omhoog en weer omlaag gaan van het lichtsignaal wordt gezien als één tik. Per tik legt het lichtsignaal dus twee keer de afstand L0 af. De tijd tussen twee tikken in ( ∆T ' ) is gelijk aan de afgelegde weg ( 2 ⋅ L0 ) gedeeld door de snelheid (in dit geval de lichtsnelheid):

lampje en lichtdetector Figuur II.3 De werking van de lichtklok, in stilstand.

∆T ' =

2 ⋅ L0 c

(vergelijk: ∆t =

(II.1)

x(t ) ) v

Als we deze lichtklok nu in een bewegende trein plaatsen en we kijken vanuit het oogpunt van de waarnemer op het perron, dan zien we dat het lichtsignaal voor één tik een langere weg moet afleggen:


21


B

snelheid

v

∆T is de tijd tussen twee tikken. In deze tijd beweegt de trein zich over een afstand van v ⋅ ∆T . Afstand ∆x is dus gelijk aan:

afstand

L0

∆x = v ⋅ A

C

∆x = v ⋅

∆T 2

De afstand die het lichtsignaal tussen A en B moet afleggen is volgens de stelling van Pythagoras gelijk aan:

⎛ ∆T ⎞ 2 AB 2 = L0 + ⎜ v ⋅ ⎟ 2 ⎠ ⎝

∆T 2

Figuur II.4 De lichtklok in beweging

⎛ ∆T ⎞ 2 AB = L0 + ⎜ v ⋅ ⎟ 2 ⎠ ⎝

2

2

(II.2)

Stel we hebben twee identieke lichtklokken: één daarvan zit in een rijdende trein bij de passagier en de ander staat stil bij de waarnemer op het perron. Vanuit de positie van de waarnemer op het perron moet de lichtklok op de trein een langere weg afleggen en tikt dus langzamer dan de lichtklok die naast hem staat. De tijd op de rijdende trein tikt dus langzamer dan op het perron! Dit heeft dus als consequentie dat de tijd van bewegende voorwerpen langzamer tikt dan van minder snel bewegende of stilstaande voorwerpen. Met behulp van formules kunnen we berekenen wat het verschil is: De lengte die het licht moet afleggen bij een halve tik is (afstand AB): ⎛ ∆T ⎞ AB = L0 + ⎜ v ⋅ ⎟ 2 ⎠ ⎝

2

2

(II.2)

De lengte bij een hele tik is dus: (afstand AB + BC = ABC) ⎛ ∆T ⎞ 2 ABC = 2 AB = 2 L0 + ⎜ v ⋅ ⎟ 2 ⎠ ⎝

2

Deze afstand is tevens gelijk aan c ⋅ ∆T : ABC = c ⋅ ∆T

(vergelijk: x = v ⋅ ∆t )

Dus: 2

⎛ ∆T ⎞ 2 2 L0 + ⎜ v ⋅ ⎟ = c ⋅ ∆T 2 ⎠ ⎝ ⎛ 2 ⎛ ∆T ⎞ 2 ⎞ 2 4⎜ L0 + ⎜ v ⋅ ⎟ ⎟ = (c ⋅ ∆T ) ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

(kwadrateren)

2

4 ⋅ L0 + v 2 ∆T 2 = c 2 ⋅ ∆T 2 c 2 ⋅ ∆T 2 − v 2 ∆T 2 = 4 ⋅ L0

2


22


(

)

∆T 2 c 2 − v 2 = 4 ⋅ L0

2

( ∆T buiten haakjes halen)

2

∆T 2 = ∆T =

∆T =

4 ⋅ L0 c2 − v2 2 ⋅ L0

(worteltrekken)

c2 − v2 2 ⋅ L0 ⎛ v ⎞ c 2 ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ c ⎠ ⎝ 2

=

⎛ 2 ⋅ L0 ⎞ ⎜⎜ c ⎟⎟ ⎝ ⎠ 1−

2

v c2

(c2 buiten haakjes halen)

Eerder was al aangetoond: ∆T ' =

2 ⋅ L0 c

(zie II.1)

Dus:

∆T =

⎛ 2 ⋅ L0 ⎜⎜ ⎝ c

⎞ ⎟⎟ ⎠ 2

v 1− 2 c

=

∆T ' v2 1− 2 c

(II.3)

Uit de formule blijkt dat bij zeer lage snelheiden ∆T niet noemenswaardig van ∆T ' afwijkt. De v2 verhouding 2 is dan nagenoeg nul, waardoor de noemer van de breuk ongeveer gelijk is aan 1 en er c dus geldt dat ∆T ≈ ∆T ' . Tweelingparadox Een ander gedachte-experiment waaruit de gevolgen van relativiteit blijken, is de zogenaamde tweelingparadox. In dit experiment wordt één tweelingbroer met een snelle raket (met een snelheid tegen de lichtsnelheid aan, bijvoorbeeld 0,8c) naar een verre planeet gestuurd, terwijl de ander op aarde blijft. Door zijn snelheid zal de tijd op het ruimteschip, vanuit de aarde gezien, langzamer lopen dan op aarde. Bij terugkomst zal de tweelingbroer in de raket jonger zijn dan zijn broer die op aarde bleef. Gevolgen voor muonen Maar ook voor muonen heeft dit consequenties. Muonen reizen namelijk met een snelheid die nagenoeg gelijk is aan die van het licht (voor een muon met een energie van 2 GeV geldt: v ≈ 0,9987 ⋅ c ). De levensduur van het muon is normaal 2,2·10-6 seconden. Volgens de traditionele natuurkundige wetten zou hij dan een afstand van 660 m kunnen afleggen: x = v ⋅ ∆t x = 0,9987 ⋅ c ⋅ 2,2 ⋅ 10 −6 = 6,6 ⋅ 10 2 m

Door de hoge snelheid spelen relativistische effecten een rol. De relativistische levensduur van het muon is ongeveer twintig keer zo groot:


23


∆T =

∆T =

∆T '

(II.3)

v2 1− 2 c 2,2 ⋅ 10 −6

1−

(0,9987 ⋅ c ) c

2

2

2,2 ⋅ 10 −6

= 1−

0,9987 ⋅ c c2 2

2

=

2,2 ⋅ 10 −6 1 − 0,9987

2

= 4,32 ⋅ 10 −5 s

De afstand die het muon kan gedurende zijn levensduur afleggen is dus ook ongeveer twintig keer zo groot: x = v ⋅ ∆t x = 0,9987 ⋅ c ⋅ 4,32 ⋅ 10 −5 = 1,3 ⋅ 10 4 m = 13 km

De meeste inslagen van primaire deeltjes vinden plaats op een hoogte van ongeveer 12 kilometer in de atmosfeer. De levensduur van het muon is dus voldoende om, dankzij de relativistische effecten, de aarde te bereiken. Algemene relativiteitstheorie De speciale relativiteitstheorie is alleen van toepassing op een situatie waarin waarnemers eenparig bewegen, met een constante snelheid dus. Later ontwikkelde Einstein een tweede relativiteitstheorie, waarin hij ook de invloed van de zwaartekracht als kromming van de ruimte en tijd meenam. Deze theorie is een stuk complexer dan de speciale relativiteitstheorie en heeft weinig invloed op de meting van muonen.


24


Hoofdstuk 3. Detectie van kosmische straling In hoofdstuk 2 is beschreven hoe muonen gemeten werden. In dit hoofdstuk wordt uitgelegd hoe aan de hand van deze metingen bepaald kan worden waar het primaire deeltje vandaan komt en hoe de energie van dit primaire deeltje bepaald kan worden. In de derde paragraaf tenslotte worden de formules toegelicht aan de hand van een rekenvoorbeeld.

§1. Berekening richting primair deeltje Om de richting van het primaire deeltje te kunnen bepalen is het nodig om meerdere meetstations in gebruik te hebben, die niet te ver uit elkaar liggen (hooguit zo’n tien kilometer). Door de tijdsverschillen tussen de afzonderlijke stations te meten, kan worden bepaald uit welke richting de airshower vandaan komt. Bij een airshower die recht op het aardoppervlak invalt, zullen de tijdsverschillen klein zijn, terwijl bij een airshower die schuin invalt de tijdsverschillen juist groot zijn. inslag primair deeltje

De muonshower komt eerder aan in detector A dan in detector B en C. Door dit tijdsverschil (met de GPS-antenne) te meten, kan bepaald worden waar het signaal vandaan komt. Hoe groter het tijdsverschil tussen de afzonderlijke stations is, hoe schuiner de airshower invalt.

detectiestation C

detectiestation A

detectiestation B

Figuur 3.1.1 Tijdsverschil

Het showerfront In het model voor de berekening wordt ervan uitgegaan dat de baan van de shower recht is en dat het showerfront een recht vlak is (dat wil dus zeggen dat alle muonen zich tegelijkertijd in één vlak bevinden). Dit is in overeenstemming met de simulaties die men gemaakt heeft van muonenshowers. De showerkern De meeste muonen reageren niet met deeltjes in de omgeving en zullen dus een rechte baan volgen. In het midden van de shower zullen zich dus de meeste deeltjes bevinden. Dit gedeelte noemt men dan ook de showerkern.


Figuur 3.1.2 Het showerfront wordt gezien als een plat vlak. De showerkern is rood aangegeven.

25


De muonen bevinden zich in één vlak: het zogenaamde showerfront. Lijn s is de snijlijn tussen het showerfront en het aardoppervlak. De muonen bij lijn s komen nu dus op de aarde aan.

richting primair deeltje

showerfront

oppervlak aarde

s Figuur 3.1.3 Het showervlak. De lijn s beweegt zich over het aardoppervlak.

In figuur 3.1.3 is zo’n invallende airshower te zien. De muonen bevinden zich hier in het oranje vlak (het showerfront). Het onderste gedeelte van de shower heeft het aardoppervlak reeds bereikt (de snijlijn s). Aangezien de shower steeds meer de aarde nadert, zal de lijn s naar rechts bewegen. De snelheid waarmee deze lijn zich over het aardoppervlak beweegt hangt af van de hoek van inval van het primaire deeltje: hoe verticaler de shower is, hoe sneller deze lijn zich over het aardoppervlak zal bewegen. Ruimtemeetkunde Hier is sprake van een driedimensionale omgeving en daarom wordt er gebruik gemaakt van de zogenaamde zenit- (θ) en de azimuth-hoek (φ). De zenithoek is de hoek tussen Z-as, de baan van het deeltje. De azimuth-hoek is de hoek tussen de X-as en de projectie van de baan van het deeltje op het XYvlak (de lijn b’ in de figuur hiernaast). De lijn s staat loodrecht op de projectielijn b’. De hoek tussen de X-as en b’ noemden we φ, de hoek tussen de X-as en lijn s noemen we ξ. Aangezien lijn s loodrecht op lijn b’ staat, geldt:

Z

baan deeltje θ

Y

X

φ

b’

Figuur 3.1.4 zenit- en azimuth-hoek

ξ = φ + 90° En dus ook: φ = ξ - 90°

(3.1.1)

De lijn s verplaatst zich met snelheid v over het aardoppervlak. Deze snelheid hangt af van de hoek van de shower.


26


baan deeltje

op tijdstip 1 bevindt de shower zich op deze hoogte

de showerkern legt in ∆t de afstand QP af

Q

θ Y-as

Q’ P op tijdstip 1 bevindt de snijlijn s zich hier

Z-as

op tijdstip 2 komt de showerkern aan op de aarde. de snijlijn s ligt nu hier.

lijn s legt in ∆t afstand Q’P af Figuur 3.1.5 De shower bekeken vanuit het YZ-vlak.

Berekening snelheid van de snijlijn s Hoek ∠QQ' P is gelijk aan θ: ∠Q' PQ = 90° − θ ∠QQ' P = 180° − ∠Q' QP − ∠Q' PQ ∠QQ' P = 180° − 90° − (90° − θ ) = 180° − 180° + θ ∠QQ' P = θ

(hoekensom driehoek)

Nu geldt: sin θ =

QP Q' P

(3.1.2)

Lijn s (lijn QP) legt in ∆t afstand Q’P af, zijn snelheid is dus: Q' P ∆t Q' P = v ⋅ ∆t v=

De showerkern (lijn QP) beweegt met de lichtsnelheid, in ∆t de afstand QP af, dus geldt: QP ∆t QP = c ⋅ ∆t c=

Als we dit invullen in de formule 3.1.2, is het resultaat: sin θ =

QP c ⋅ ∆t c = = Q' P v ⋅ ∆t v


27


De snelheid v is dus gelijk aan: v=

c sin θ

(3.1.3)

Drie detectiestations In dit rekenvoorbeeld maken we gebruik van drie detectiestations: A, B en C. Detectiestation A wordt in de oorsprong van de X-, Y- en Z-as geplaatst en heeft dus als coördinaten (0, 0, 0). Detectiestation B ligt even hoog als detectiestation A en heeft als coördinaten: (Bx, By, 0), waarbij Bx de afstand tussen detectiestation A en B op de x-as is, en By de afstand tussen detectiestation A en B op de y-as is. (zie ook figuur 3.1.6) Hetzelfde geldt voor detectiestation C, deze heeft als coördinaten (Cx, Cy, 0). In de onderstaande figuur zien we hoe de lijn s zich over het aardoppervlak met snelheid v beweegt. Hij komt daartoe als eerste aan in detectiestation A. De afstand die lijn s nu nog moet afleggen totdat deze bij detectiestation B is, noemen we dB: x P

By

φ = ξ - 90° β = 90° - φ Dus: β = 90° - (ξ - 90°) β = 180° - ξ (3.1.4)

m

R y = mx

b’ Q

Bx

φ

dB

β

B

φ

dB is de afstand tussen punt B en lijn s, dus: (3.1.5) RB = dB

φ A

ξ

s

m ⋅ Bx

By

y

Figuur 3.1.6 De shower bekeken vanaf het XY-vlak

De vergelijking van lijn s is y = mx. Van punt P is bekend dat deze op lijn s ligt en als y-coördinaat By heeft. Het x-coördinaat is dan dus: y = mx x=

y By = m m

De coördinaten van P zijn dus: (

By m

, By )

Punt Q ligt op lijn s en heeft als x-coördinaat Bx. Het y-coördinaat is dus:


28


y = mx = m ⋅ B x

De coördinaten van Q zijn dus: ( Bx , m ⋅ B x ) Afstand QB is dus gelijk aan: QB = B y − B x ⋅ m

(3.1.6)

De richtingscoëfficiënt van lijn l is gelijk aan de tangens van hoek ξ: ∆y m= = tan ξ ∆x Dus: β = 180° - ξ tan β = tan (180° − ξ ) = − tan ξ = −m tan β =

(zie 3.1.4)

QR QR = BR d B

Dus lengte QR is gelijk aan: QR = d B ⋅ tan β = d B ⋅ −m

(3.1.7)

Vervolgens gebruiken we de stelling van Pythagoras: QB 2 = QR 2 + RB 2

De lengtes van RB, QB en QR zijn bekend: RB = dB QB = B y − B x ⋅ m

(zie 3.1.5) (zie 3.1.6)

QR = d B ⋅ tan β = d B ⋅ −m

(zie 3.1.7)

Dus: QB 2 = QR 2 + RB 2

(B (B (B (B

− B x ⋅ m ) = (d B ⋅ −m ) + (d B ) 2

y

2

− B x ⋅ m ) = (d B ⋅ m ) + (d B ) 2

y

− B x ⋅ m) = d B ⋅ m 2 + d B 2

y

2

(

2

2

)

− B x ⋅ m) = d B ⋅ m 2 + 1 2

y

2

2

2

B y − Bx ⋅ m = d B m 2 + 1

dB =

B y − Bx ⋅ m m2 + 1

(worteltrekken) (3.1.8)

Het spreekt voor zich dat een soortgelijke formule ook voor dC geldt:


29


dC =

C y − Cx ⋅ m m2 + 1

(3.1.9)

Tijdmeting Ook de tijdmeting stellen we relatief aan detectiestation A. Het tijdstip dat de muonen (en dus ook lijn s) aankomen in punt A, wordt op nul gesteld (t = 0). Bt is dan het tijdsverschil tussen het moment van aankomst van de muonen in detectiestation A en het moment van aankomst in detectiestation B. En Ct is dus het tijdsverschil tussen detectiestation A en detectiestation C. Aangezien de lijn s zich in dit tijdsverschil (Bt) de afstand dB aflegt met snelheid v, geldt dus de volgende formule: d B = v ⋅ Bt

(3.1.10)

Eenzelfde soort formule geldt voor dC: d C = v ⋅ Ct

(3.1.11)

Deze kunnen worden gelijkgesteld met vergelijkingen (3.1.8) en (3.1.9): v ⋅ Bt =

v ⋅ Ct =

B y − Bx ⋅ m m2 + 1 C y − Cx ⋅ m m2 + 1

(3.1.12)

(3.1.13)

Bx, By, Bt, Cx, Cy en Ct zijn bekende variabelen, dit zijn namelijk de coördinaten van de detectiestations en de gemeten tijdsverschillen. Alleen m en v zijn nog onbekend. Er is dus sprake van twee vergelijkingen met twee onbekenden. Deze worden als volgt opgelost: De formule voor v is simpel: v ⋅ Ct = v=

C y − Cx ⋅ m

m2 + 1 C y − Cx ⋅ m

Ct ⋅ m 2 + 1

(zie 3.1.13) (3.1.14)

Vervolgens wordt v in (3.1.12) gelijkgesteld met (3.1.14) v ⋅ Bt =

B y − Bx ⋅ m

m2 + 1 Cy − Cx ⋅ m B y − Bx ⋅ m ⋅ Bt = 2 Ct ⋅ m + 1 m2 + 1 C y − Cx ⋅ m ⋅ Bt = B y − B x ⋅ m Ct


(zie 3.1.12)

(beide kanten vermenigvuldigd met

m2 + 1 )

30


Bt ⋅ (C y − C x ⋅ m ) = C t ⋅ (B y − B x ⋅ m ) Bt ⋅ C y − Bt ⋅ C x ⋅ m = C t ⋅ B y − C t ⋅ B x ⋅ m Bt ⋅ C y − Ct ⋅ By = Bt ⋅ C x ⋅ m − Ct ⋅ Bx ⋅ m

Bt ⋅ C y − Ct ⋅ By = m ⋅ (Bt ⋅ C x − Ct ⋅ Bx )

Dit levert de volgende vergelijking voor m op: m=

Bt ⋅ C y − C t ⋅ B y Bt ⋅ C x − C t ⋅ B x

(3.1.15)

m is tevens gelijk aan de tangens van hoek ξ m = tan ξ = tan (φ + 90°)

(zie figuur 3.1.6)

φ + 90° = tan −1 m

φ = (tan −1 m ) − 90°

(3.1.16)

De totaalvergelijking voor φ wordt dus: ⎛ ⎜ ⎝

⎛ Bt ⋅ C y − C t ⋅ B y ⎞ ⎞ ⎟ ⎟ − 90° ⎟⎟ ⋅ − ⋅ B C C B t x t x ⎠⎠ ⎝

φ = ⎜ tan −1 ⎜⎜

(3.1.17)

v is tevens gelijk aan: v=

c sin θ

sin θ =

(zie 3.1.3)

c v ⎛c⎞ ⎝v⎠

θ = sin −1 ⎜ ⎟

(3.1.18)

De totaalvergelijking voor θ wordt dus: ⎛ c ⋅ C ⋅ m2 + 1 ⎞ t ⎟ ⎜ Cy − Cx ⋅ m ⎟ ⎝ ⎠

θ = sin −1 ⎜

(3.1.19)

Met behulp van deze formules is het dus mogelijk om φ en θ (de zenit- en azimuth-hoek) te berekenen en daarmee is de richting van de inslag van het primaire deeltje te bepalen.

§2. Berekening energie van het primaire deeltje De oppervlakte van de puls is een maat voor de energie van de ingeslagen deeltjes. Hoe meer muonen inslaan, hoe groter de oppervlakte van de puls zal zijn. Aan de hand van de integraal van de puls kan men berekenen hoeveel muonen er zijn gemeten.


31


De Nishimura-Kamata-Greisenfunctie Hoe verder we van de showeras verwijderd zitten, hoe minder deeltjes we aantreffen. De zogenaamde Nishimura-Kamata-Greisenfunctie beschrijft het verband tussen het aantal gemeten deeltjes S en de afstand r tussen het meetpunt en de showeras. Deze formule is afgeleid uit verschillende experimenten, gecombineerd met enkele aannames. De Nishimura-Kamata-Greisenfunctie (vaak afgekort met NKG-functie) luidt: ⎛r S (r ) = k ⋅ ⎜⎜ ⎝ r0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−α

⎛ r ⎞ ⋅ ⎜⎜1 + ⎟⎟ r0 ⎠ ⎝

− (η −α )

(3.2.1)

Hierbij is: • S(r) – de deeltjesdichtheid in de detector • r – de afstand van detector tot de showeras • k – een factor die evenredig is met de energie van het primaire deeltje • α en η – twee constanten, die onder andere afhankelijk zijn van de zenithoek θ • r0 – molièrestraal, een maat voor de verstrooiing van deeltjes door de atmosfeer Bij het AGASA-project in Japan, waarbij eveneens muonen werden gemeten die vrijkwamen bij kosmische straling, werden de volgende waarden gebruikt: (deze waarden worden ook in het voorbeeld in §3.3 gebruikt) constante waarde 1,2 α η ⎛ 1 ⎞ 3,97 − 1,79 ⋅ ⎜ − 1⎟ cos θ ⎝ ⎠ r0

92 m

De deeltjesdichtheid S kan worden berekend door de oppervlakte van de puls te bepalen. Op deze manier kan worden berekend op welke afstand r het detectiestation zich van de showerkern bevindt. Als van de drie meetstations bekend is hoever ze zich van de showerkern bevinden, kan de positie van de showerkern bepaald worden door het trekken van cirkels:

rB B

showerkern

rA A C rC Figuur 3.2.1 De positie van de showerkern kan worden bepaald door cirkels te trekken. De stralen van de cirkels kunnen worden berekend met behulp van de NKG-functie (zie 3.2.1).


32


In de vergelijking zit één onbekende: de factor k. Deze factor is afhankelijk van de grootte van de energie van het primaire deeltje: hoe groter k, hoe groter de energie van het primaire deeltje. Deze factor kan berekend worden door te kijken of de cirkels elkaar in één punt snijden. Als de factor k te klein is, blijkt dit doordat de cirkels elkaar niet in één punt snijden, zoals in figuur 3.2.2. Indien de factor te groot is zal de overlap tussen de cirkels te groot worden. Het is dus belangrijk de waarde voor de factor k zó te kiezen, dat de cirkels in één punt snijden. Dit punt is het punt waar de showerkern de aarde raakt. Berekening energie De energie van het primaire deeltje kan worden bepaald met de volgende formule: E 0 = c ⋅ S (600 )

ε

rB B rA A C rC Figuur 3.2.2 Een te kleine factor k zorgt ervoor dat de cirkels elkaar niet in één punt snijden.

(3.2.2)

De energie kan worden berekend door de deeltjesdichtheid op een afstand van 600 meter van de showerkern te verheffen tot de macht van een constante ε, en het geheel te vermenigvuldigen met constante c. Net als de NKG-functie is deze afgeleid uit experimenten. Als voorbeeldwaarden nemen we weer de waarden van het AGASA-project in Japan: constante waarde 2,15 · 1017 c 1,015 ε Deze formule berekent met nadruk de minimale energie van het primaire deeltje, omdat in dit experiment alleen gekeken is naar muonen, terwijl ook een hoop andere energierijke deeltjes vrijkomen. Deze formule kan dus slechts gebruikt worden als een schatting voor de energie van de deeltjes. Computerprogramma Al deze rekenstappen kunnen worden geïntegreerd in een complex wiskundig model, dat vervolgens geautomatiseerd kan worden met behulp van een rekenprogrammaatje voor de computer, dat automatisch kan berekenen wat de waarde van k is en waar het showerfront zich bevindt. Op deze manier kan uiteindelijk een schatting worden gegeven van de energie van het deeltje en de locatie van het showerfront.

§3. Een rekenvoorbeeld Als voorbeeld nemen we de volgende gegevens om de richting en de energie van het primaire deeltje te berekenen: detectiestation A B C

x 300 800 600


y 200 100 750

∆t (µs) 0,00 0,32 0,68

deeltjesdichtheid S 10 7 12

33


Als eerste stap worden de x- en y-coördinaten van detectiestation A op nul gesteld, en de coördinaten van de andere detectiestations worden daaraan gerelateerd: detectiestation A B C

x 0 500 (=Bx) 300 (=Cx)

y 0 -100 (=By) 550 (=Cy)

∆t (µs) 0,00 0,32 (=Bt) 0,68 (=Ct)

deeltjesdichtheid S 10 7 12

Vervolgens worden de formules uit §3.1 gebruikt om de zenit- en de azimuth-hoek te berekenen, en daarmee de richting van het primaire deeltje: m= v=

Bt ⋅ C y − C t ⋅ B y

(3.1.15)

Bt ⋅ C x − C t ⋅ B x C y − Cx ⋅ m

(3.1.14)

Ct ⋅ m 2 + 1

φ = (tan −1 m ) − 90° ⎛c⎞ θ = sin −1 ⎜ ⎟ ⎝v⎠

(3.1.16) (3.1.18)

Invullen levert op: m=

v=

Bt ⋅ C y − Ct ⋅ B y Bt ⋅ C x − Ct ⋅ B x

C y − Cx ⋅ m Ct ⋅ m + 1 2

=

=

0,32 ⋅10 −6 ⋅ 550 − 0,68 ⋅10 −6 ⋅ −100 = −1,0... 0,32 ⋅10 −6 ⋅ 300 − 0,68 ⋅10 −6 ⋅ 500

550 − 300 ⋅ −1,0 −6

0,68 ⋅10 ⋅

(− 1,0)

2

+1

= 883,88... ⋅108 m/s

φ = (tan −1 (− 1,0 )) − 90° = −135° ⎛ 2,99792458 ⋅10 8 ⎝ 883,88... ⋅10

⎛c⎞ ⎝v⎠

θ = sin −1 ⎜ ⎟ = sin −1 ⎜⎜

(zie 3.1.15) (zie 3.1.14)

(zie 3.1.16) 8

⎞ ⎟⎟ = 19,8° ⎠

(zie 3.1.18)

Berekening van de energie Hiervoor wordt gebruik gemaakt van de volgende formules: ⎛r S (r ) = k ⋅ ⎜⎜ ⎝ r0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−α

⎛ r ⎞ ⋅ ⎜⎜1 + ⎟⎟ r 0 ⎠ ⎝

− (η −α )

E 0 = c ⋅ S (600 )

ε

(3.2.1)

(3.2.2)

Hiervoor zijn de volgende constanten van toepassing: constante α

waarde 1,2

η

⎛ ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ − 1⎟ = 3,97 − 1,79 ⋅ ⎜⎜ − 1⎟⎟ = 3,86 3,97 − 1,79 ⋅ ⎜ ⎝ cos θ ⎠ ⎝ cos 19,8° ⎠

r0

92 m

c

2,15 · 1017

ε

1,015


34


Voor de berekening van k en de locatie van de showerkern wordt gebruik gemaakt van het computerprogramma. Deze komt met de volgende resultaten: k = 3260 x = 274 y = 219

Dit betekent dat de coördinaten van de showerkern ten opzichte van station A (274, 219) zijn. Nu de waarde van k bekend is, kan de energie van het oorspronkelijke deeltje worden berekend met behulp van formule (3.2.1) en (3.2.2): ⎛r S (600) = k ⋅ ⎜⎜ ⎝ r0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−α

⎛ r ⎞ ⋅ ⎜⎜1 + ⎟⎟ r0 ⎠ ⎝

− (η −α )

⎛ 600 ⎞ = 3260 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 92 ⎠

E 0 = c ⋅ S (600) = 2,15 ⋅ 1017 ⋅ (1,603) ε

`1, 015

−1, 2

600 ⎞ ⎛ ⋅ ⎜1 + ⎟ 92 ⎠ ⎝

= 3,47 ⋅ 1017 eV

− (3,86 −1, 2 )

= 1,603

(zie 3.2.1)

(zie 3.2.2)

De minimale energie van het primaire deeltje is dus 3,47 · 1017 eV. Dit komt overeen met 0,0556 J. Bij deze berekening is gebruik gemaakt van gegevens van het AGASA-project in Japan. Voor het Hisparc-project zal gelden dat de waarden van de constanten anders zullen zijn. De manier van berekenen zal min of meer hetzelfde zijn.


35


Conclusie Kosmische straling werd in 1912 ontdekt door Victor Hess, die een ballontochtje maakte om het stralingsniveau hoog in de atmosfeer te meten. Het stralingsniveau bleek hier hoger dan op aarde. Hij concludeerde dat deze straling dan ook van buiten de aarde, uit de ruimte kwam. Veel is nog onbekend over de herkomst van kosmische straling. Een deel van de straling is afkomstig van de zon, maar ook uit buiten ons eigen zonnestelsel bereikt straling de aarde. Een deel van deze straling kan worden toegeschreven aan exploderende supernova’s, maar waar de hoogenergetische straling vandaan komt blijft een raadsel. Onderzoekers vermoeden dat zwarte gaten en quasars een bron van deze straling zouden kunnen zijn. Het Hisparc-project richt zich dan ook voornamelijk op deze hoogenergetische straling. Met behulp van meerdere muondetectoren kunnen de plaats van inslag, de richting en de energie van de deeltjes bepaald worden. Omdat hoogenergetische kosmische straling zeldzaam is, is het hiervoor wel noodzakelijk een groot detectieoppervlakte te nemen, vandaar worden er meerdere detectiestations verspreid over heel Nederland neergezet. In Utrecht is op dit moment nog maar één detectiestation actief, op het Buys Ballot-laboratorium van de Universiteit Utrecht. Het uiteindelijke doel is om ook op daken van verschillende middelbare scholen detectiestations te plaatsen. De Radboud Universiteit in Nijmegen is al een stapje verder: daar is een cluster met meerdere detectiestations actief en zijn al verschillende metingen aan kosmische straling gedaan. Op deze manier hoopt men met het Hisparc-project meer informatie te verkrijgen over de hoogenergetische straling en daarmee een beter beeld te krijgen waar deze straling vandaan komt en hoe deze straling ontstaat.


36


Bronnenlijst Figuren Voor de figuren, grafieken en foto’s geldt dat zij zelf vervaardigd zijn, tenzij anders vermeld. Het grote deel van de niet-zelfvervaardigde afbeeldingen zijn afkomstig van internet of van de Universiteit Utrecht. •

Figuur P.1 Pierre Auger Observatory, http://www.auger.org/photos/galler_arch.html

• • •

•

Figuur 1.1.1 NASA, http://www.gsfc.nasa.gov/topstory/20021030solar.html Figuur 1.1.2 NASA, http://www.nasa.gov/multimedia/imagegallery/image_feature_219.html Figuur 1.1.3 Don Dixon, http://www.cosmographica.com/gallery/portfolio/portfolio301/pages/326-QuasarB.htm Figuur 1.1.4 NASA, http://science.nasa.gov/headlines/y2001/ast15jan_1.htm Figuur 1.2.1 H. Drescher, Universiteit Frankfurt, http://www.th.physik.unifrankfurt.de/~drescher/CASSIM Figuur 1.3.1 Hisparc.nl, http://www.hisparc.nl/clusters.php

• •

Figuur I.2 Binas, tabel 26A Figuur I.3 Binas, tabel 26A

•

Figuur 2.1.1 H. Drescher, Universiteit Frankfurt, http://www.th.physik.unifrankfurt.de/~drescher/CASSIM Figuur 2.2.2 Hisparc.nl, http://www.hisparc.nl/pmt_open.php Figuur 2.2.3 Hisparc.nl, http://www.hisparc.nl/pmt_open.php

• •

• •

Literatuur Verder is voor dit werkstuk ook nog gebruik gemaakt van verschillende literatuurbronnen: • • • • • •

Microsoft Encarta Winkler Prins Editie, artikelen ‘kosmische straling’, ‘supernova’, ‘quasar’, ‘Einstein’, ‘elementaire deeltje’ Onbekend, ‘Kosmische straling’, uit: Sterrenkunde Encyclopedie Universiteit van Amsterdam, http://www.astro.uva.nl/encyclopedie/straling.html Onbekend, ‘What are cosmic rays’, http://www1.ast.leeds.ac.uk/haverah/cosrays.shtml Phillips, Dr. T., ‘Ballooning for cosmic rays’, op: Firstscience.com, http://www.firstscience.com/site/articles/balloon.asp Hess, V.F., ‘Unsolved Problems in Physics: Tasks for the Immediate Future in Cosmic Ray Studies’, op: Nobelprize.org, http://nobelprize.org/physics/laureates/1936/hess-lecture.html Drescher, H., ‘Cosmic Air Shower Pictures’, http://www.th.physik.unifrankfurt.de/~drescher/CASSIM

Verder is gebruik gemaakt van een opdrachtenstencil van de Universiteit Utrecht over de berekening van de energie en richting van het primaire deeltje. Dit stencil is niet op internet beschikbaar. Voor het tweede intermezzo over relativiteit is gebruik gemaakt van aantekeningen bij een lezing over relativiteit gegeven door de Universiteit van Amsterdam op een voorlichtingsdag.


37

Inhoudsopgave. Profielwerkstuk

Recommend Documents