II. TINJAUAN PUSTAKA A. Roti Roti adalah adonan teraerasi dengan komposisi utama tepung, garam dan air. Aerasi umumnya dilakukan melalui fermentasi khamir, tetapi banyak pula yang dihasilkan dengan cara lain. Aerasi berasal dari karbon dioksida yang dihasilkan dari fermentasi khamir. Lemak kadangakadang ditambahkan ke dalam adonan. Secara garis besar proses pembuatan roti terdiri dari tahapan : pencampuran adonan, pembagian adonan, fermentasi pertama, pembentukan akhir, fermentasi akhir, pemanggangan, pendinginan dan pemotongan (Ranken, 1984 di dalam Indriati, 1997). Selain itu, Standar Industri Indonesia (SII) nomor 0031-74 mendefinisikan roti sebagai makanan yang terbuat dari tepung terigu yang diragikan dengan ragi roti dan dipanggang, ke dalam adonan tersebut boleh ditambahkan garam, gula, susu atau susu bubuk, lemak dan bahanbahan pelezat seperti cokelat, kismis dan lainnya. Metode pembuatan roti dapat dibedakan menjadi tiga macam, yaitu metode no time dough, metode straight dough dan metode sponge and dough. Metode no time dough adalah proses langsung dengan waktu fermentasi sesingkat mungkin atau ditiadakan sama sekali. Keuntungan dari metode ini adalah waktu produksi singkat, kehilangan berat karena fermentasi lebih sedikit serta tidak memerlukan banyak peralatan dan tenaga kerja. Adapun kekurangan dari metode ini adalah aroma roti tidak ada, umur simpan (shelf life) lebih pendek dan lebih banyak memakai bread improver (Anonim, 1989). Pembuatan adonan pada metode straight dough dilakukan dengan mencampur semua bahan secara bersamaan dalam suatu campuran tunggal. Dalam hal ini pencampuran dilakukan sampai masa adonan mencapai
penampakan
dan
kehalusan
yang
dikehendaki
serta
pengembangan elastisitas yang diperlukan. Keuntungan dari metode straight dough adalah kebutuhan tenaga minimal, jumlah peralatan yang diperlukan lebih sedikit, jumlah kehilangan berat karena fermentasi lebih
3
sedikit serta waktu produksi lebih pendek. Adapun kelemahan dari metode ini adalah toleransi terhadap waktu fermentasi lebih pendek dan kesalahan dalam proses pengadukan tidak dapat diperbaiki (Anonim, 1989). Metode sponge and dough terdiri dari dua langkah pengadukan yaitu pembuatan sponge dan pembuatan dough. Keuntungan dari metode sponge and dough yaitu lebih memiliki toleransi yang tinggi jika ada penundaan (over fermentation), adanya kesempatan kedua untuk mengkoreksi kesalahan, volume lebih besar, serta umur simpan roti yang lebih lama sedangkan kekurangan metode ini antara lain toleransi yang rendah terhadap pengadukan, tingginya kehilangan air selama fermentasi (fermentasi loss), memerlukan lebih banyak peralatan dan perawatan serta memerlukan penanganan dan tenaga kerja yang lebih besar (Taufik, 2009). Proses pembuatan roti dibagi dalam dua bagian utama, yaitu pembuatan adonan dan pemanggangan. Pembuatan adonan meliputi pencampuran, pembentukan, dan pengembangan. Pencampuran berfungsi untuk mendistribusikan komponen-komponen bahan penyusun roti secara homogen dan membentuk matriks gluten dalam menghasilkan roti yang baik. Waktu pencampuran bervariasi tergantung jenis tepung, suhu, konsentrasi adonan dan alat pencampur yang dgunakan (Pomeranz dan Shellenberger, 1971). Tujuan pencampuran adonan dalam pembuatan roti adalah untuk membuat dan mengembangkan sifat daya rekat gluten yang sebelumnya tidak ada dalam tepung (US Wheat Associates, 1983). Proses yang penting dan mendasar dalam pembuatan roti adalah proses biologis yang disebut dengan proses fermentasi yang dilakukan oleh ragi roti. Ragi sendiri tidak dapat mengawali pembentukan gas dalam adonan, namun dalam tahapan selanjutnya ragi merupakan satu komponen utama yang berfungsi mengembangkan, mematangkan, memproduksi senyawa-senyawa gas dan aroma adonan melalui fermentasi yang dilakukan. Suhu optimum fermentasi adonan adalah 27o C (Hidayat, 2009).
4
Ragi roti atau yeast adalah mikroorganisme hidup jenis khamir yang sering disebut Saccharomyces cerevisiae, berkembang biak melalui cara
membelah
diri
atau
budding.
Saccharomyces
cerevisiae
memfermentasikan adonan sehingga menghasilkan gas karbondioksida yang akan mengembangkan adonan. Jika proses fermentasi terkendali dengan baik, maka akan menghasilkan produk roti yang baik, dalam arti mempunyai volume dan tekstur yang baik serta cita rasa yang enak. Selama proses fermentasi akan terbentuk CO2 dan etil alkohol. Gula-gula sederhana seperti glukosa dan fruktosa digunakan sebagai substrat penghasil CO2. Gas CO2 yang terbentuk menyebabkan adonan roti mengembang dan alkohol berkontribusi dalam membentuk aroma roti. Kondisi fermentasi yang ideal terjadi pada kelembaban 75-80%. Berikut reaksi kimia dari pengembangan roti dengan Saccharomyces cerevisiae : C12H22O11 + H2O sukrosa + air C6H12O6 dekstrosa
2C6H12O6 invert sugar
2 C2H5OH + 2 CO2 etil alkohol + karbondioksida
Fungsi ragi (yeast) dalam pembuatan roti adalah untuk proses aerasi adonan dengan mengubah gula menjadi gas karbondioksida, sehingga mematangkan dan mengempukan gluten dalam adonan. Proses proofing adalah proses fermentasi akhir seteleh adonan dibentuk, ditimbang dan dimasukkan ke dalam loyang, sebelum akhirnya adonan dipanggang dalam oven. Pada tahap ini gluten menjadi halus dan meluas serta penampakan proofing volume adonan menjadi dua kali lipat. Suhu proofing atau fermentasi akhir yang baik adalah antara 32-38o C dengan kelembaban relatif (RH) 80-85 % selama 15 - 45 menit (Hidayat, 2009). Proses
pembakaran
adonan
merupakan
tahap
akhir
yang
menentukan berhasil tidaknya suatu proses pembuatan roti. Untuk memperoleh hasil yang baik dan berwarna coklat dibutuhkan pemanasan sekitar 150-200oC sedangkan lama pembakaran roti secara tepat
5
bergantung pada ukuran atau bentuk roti, jumlah gula yang digunakan dalam formula dan jenis roti yang dibakar (Anonim, 2009). B. Teori Antrian Menurut
Machfud
(1999),
teori
antrian
merujuk
kepada
penyelidikan suatu kelompok masalah secara fisik dan matematis, yang dicirikan oleh (1) masuknya suatu objek ke dalam suatu sistem, (2) objek bergerak melalui suatu sistem secara diskrit, (3) objek yang masuk ke dalam sistem untuk mendapatkan pelayanan (proses) diurut menurut aturan tertentu, (4) terdapat suatu mekanisme tertentu yang menentukan waktu pelayanan (proses) dan (5) terdapat paling sedikit satu dari dua mekanisme, kedatangan atau pelayanan, yang tidak dapat ditentukan secara pasti, akan tetapi dapat dipertimbangkan sebagai suatu sistem yang bersifat probabilistik. Sebagian besar aplikasi teori antrian berkenaan dengan suatu nilai ekspektasi terhadap suatu pencapaian perusahaan atau nilai rata-rata pada suatu periode tertentu. Hal ini karena sifat random dari waktu atau kecepatan kedatangan atau pemasukan bahan atau kecepatan pelayanan atau proses yang berlangsung sehingga dapat diduga dari nilai rata-rata, keragaman dan peluang. Teori antrian mengembangkan keadaan-keadaan yang berhubungan dengan segala aspek dalam situasi seseorang atau lebih harus menunggu untuk dilayani. Dengan menggunakan teori antrian ini kita dapat menganalisa antrian dengan menggunakan model-model matematik pada keadaan yang berbeda-beda, dan dengan teori antrian ini pula dapat dibuat keputusan tentang berapa jumlah fasilitas pelayanan yang harus digunakan, luasan tempat antrian yang dibutuhkan, saat pemberian pelayanan dan sebagainya. Terdapat beberapa tipe sistem antrian, akan tetapi semuanya dapat diklasifikasikan menurut karakteristik di bawah ini. 1. Masukan atau kejadian kedatangan, yaitu meliputi sebaran jumlah
kedatangan tiap satuan waktu, jumlah antrian yang diizinkan
6
terbentuk, panjang maksimum antrian dan jumlah maksimum langganan yang harus dilayani. 2. Proses pelayanan, yang mengikuti sebaran waktu pelayanan untuk
satu satuan unit pelanggan, jumlah fasilitas pelayanan serta bentuk fasilitas pelayanan (pararel, seri, dan lain-lain) 3. Disiplin antrian, merupakan cara penentuan antrian atau baris antrian
seperti First In First Out (FIFO), Last In First Out (LIFO) dan lainlain). Menurut Pangestu dkk (1993), terdapat enam struktur dasar dari sistem antrian yang melukiskan kondisi umum dari fasilitas pelayanan, yaitu (1) jalur tunggal satu fasilitas pelayanan, (2) jalur tunggal fasilitas pelayanan ganda, (3) jalur ganda fasilitas pelayanan tunggal, (4) jalur ganda fasilitas pelayanan ganda. Gambar sistem antrian tersebut dapat dilihat pada Gambar 1. hingga Gambar 4. berikut ini.
7
Sistem Antrian
Output
Input Antrian
Fasilitas Pelayanan
Gambar 1. Model Antrian Jalur Tunggal dengan Fasilitas Pelayanan Tunggal Sistem Antrian
Output
Input Antrian
Fasilitas Pelayanan
Antrian
Fasilitas Pelayanan
Fasilitas Pelayanan
Gambar 2. Model Antrian Jalur Tunggal dengan Fasilitas Pelayanan Ganda Sistem Antrian
Output Input Fasilitas Pelayanan
Antrian
Gambar 3. Model Antrian Jalur Ganda dengan Fasilitas Pelayanan Tunggal Sistem Antrian
Output
Input
Antrian
Fasilitas Pelayanan
Antrian
Fasilitas Pelayanan
Gambar 4. Model Antrian Jalur Ganda dengan Fasilitas Pelayanan Ganda (Pangestu dkk, 1993)
8
Selain empat struktur dasar antrian tersebut, masih terdapat struktur model antrian lain yang pada dasarnya merupakan gabungan dari dua atau lebih struktur antrian diatas. 1. Pola Kedatangan Pola kedatangan adalah menggambarkan cara individu-individu dari suatu populasi memasuki sistem. Individu-individu mungkin datang dengan laju kedatangan yang konstan atau juga acak. Sebaran peluang Poisson adalah salah satu dari sebaran pola kedatangan yang paling umum bila beberapa faktor mempengaruhi waktu kedatangan. Hal tersebut disebabkan sebaran Poisson sesuai dengan suatu pola kedatangan yang bersifat acak sempurna, berarti bahwa masing-masing kedatangan saling bebas satu dengan yang lainnya (Gordon, 1980 di dalam Sahar, 2007). Apabila laju kedatangan mempunyai sebaran Poisson, waktu antar kedatangan akan mempunyai sebaran eksponensial (Pangestu, 1993 dan Taha, 1982). 2. Pola Pelayanan Jumlah unit yang dapat dilayani persatuan waktu disebut sebagai laju pelayanan dari fasilitas pelayanan. Laju pelayanan dapat berpola konstan, dan dapat pula berpola acak. Untuk laju pelayanan yang berpola acak, akan mempunyai sebaran peluang seperti halnya pola kedatangan acak, yaitu sebaran Poisson. Bila laju pelayanan mempunyai sebaran Poisson, maka waktu pelayanan mempunyai sebaran peluang eksponensial (Pangestu, 1993 dan Taha, 1982). 3. Model-Model Antrian Untuk mempelajari model antrian diperlukan beberapa notasi yang digunakan untuk menggambarkan model antrian yang dimaksud. Menurut Aalto (2005) di dalam Sahar (2007), Notasi Kendall dapat digunakan untuk menggambarkan karakteristik dari antrian dengan sistem pararel secara umum yang dibakukan dengan format sebagai berikut : (xb / yb / z) : (u / v / w)
9
Keterangan : x
: sebaran kedatangan
y
: sebaran waktu pelayanan
z
: jumlah fasilitas pelayanan pararel
u
: disiplin pelayanan atau disiplin antrian
v
: jumlah maksimum pelanggan di dalam sistem
w
: ukuran dari populasi asal pelanggan
b
: kedatangan bulk, pelayanan bulk Notasi baku yang menggunakan x dan y dapat diisi dengan
notasi sebagai berikut : M
: sebaran kedatangan atau laju pelayanan Poisson (ekivalen dengan sebaran waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan eksponensial.
D
: waktu pelayanan atau waktu antar kedatangan konstan atau deterministik.
G
: sebaran waktu pelayanan umum (normal, binomial).
GI : sebaran kedatangan atau tingkat pelayanan mempunyai sebaran khusus. K
: sebaran selang untuk waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan
Notasi untuk mengganti V dan W adalah : I
: Jumlah maksimum pelanggan di dalam sistem dan ukuran populasi asal pelanggan tak terhingga.
F
: jumlah maksimum pelanggan di dalam sistem dan ukuran populasi asal pelanggan terhingga.
Disiplin antrian yang digunakan untuk mengisi u adalah : FCFS : First Come, First Serve LCFS : Last Come, First Serve SIRO : Service in Random Order SPT : Sort Processing (Serving) Time GD
: General (Service) Discipline
10
Dengan format baku tersebut dapat diketahui berbagai model antrian yang terbentuk. Masing-masing model antrian dapat diselesaikan secara analitis dengan rumus-rumus pada model baku. Menurut Gillet (1976), penyelesaian masalah antrian secara analitis dengan rumus-rumus pada model baku dapat dilakukan apabila kondisi-kondisi di bawah ini dipenuhi : a. Kedatangan pelanggan ke dalam sistem terjadi secara acak sempurna dan mengikuti sebaran Poisson b. Proses pelayanan terjadi secara acak sempurna dan waktu pelayanan mengikuti sebaran eksponensial c. Disiplin antrian adalah FIFO d. Peluang terjadinya suatu kedatangan pada selang waktu t sampai + ∆ , untuk ∆ cukup kecil adalah
∆ .
e. Peluang adanya pelanggan meninggalkan sistem pada selang waktu t
sampai
+∆ ,
untuk ∆
cukup
kecil
adalah
∆ . f. Laju kedatangan lebih kecil dari laju pelayanan C. Uji Kecukupan data Untuk mengetahui apakah data yang diambil telah mencukupi atau telah mewakili populasi sampel, maka harus dilakukan uji kecukupan data. Idealnya jumlah pengamatan diambil dalam jumlah banyak, tetapi mengingat faktor waktu, tenaga, biaya dan lain-lain maka hal tersebut sulit dilakukan. Oleh karena itu digunakan istilah tingkat kepercayaan dan tingkat ketelitian sehubungan dengan data pengamatan yang diambil. Tingkat kepercayaan adalah tingkat atau derajat dimana data yang diperoleh dari populasi yang sama. Sedangkan tingkat ketelitian adalah tingkat atau derajat dimana batas-batas yang digunakan dapat diijinkan untuk diterima atau ditoleransi. Pengujian kecukupan data pengamatan dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
11
′
⎡20 =⎢ ⎢ ⎣
∑
− (∑ ∑
) ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
Jumlah data yang dibutuhkan (N’) harus lebih kecil atau sama dengan data yang diperoleh agar data dapat dikatakan telah mewakili populasi. Berdasarkan rumus diatas, N adalah jumlah data pengukuran yang diperoleh,
adalah nilai dari data dan i adalah pengukuran ke-i yang
dilakukan. Apabila N>N’ maka jumlah data yang diperoleh telah cukup mewakili populasi yang diamati di lapangan. Rumus tersebut memiliki tingkat ketelitian 10 persen dan tingkat keyakinan 90 persen (Sutalaksana et al.,1979). D. Uji Distribusi Pendekatan yang dilakukan untuk menentukan bentuk distribusi dapat dilakukan dengan cara-cara sebagai berikut (dalam urutan dari yang paling tidak disukai) (Conover, 1971 di dalam Anggraini, 2005) : 1. Nilai-nilai data tersebut digunakan secara langsung dalam simulasi. sebagai contoh, jika data menggambarkan waktu pelayanan, maka salah satu data digunakan jika sebuah waktu pelayanan diperlukan dalam sebuah simulasi. Hal ini disebut trace driven simulation. 2. Nilai data-data tersebut digunakan untuk mendefinisikan sebuah fungsi distribusi empiris dengan cara tertentu. Jika diperlukan dalam sebuah simulasi, sampel diambil dari distribusi ini. 3. Data dicocokkan terhadap bentuk teoritis distribusi tertentu, misal eksponensial atau poison, dengan menampilkan hipotesis tes untuk menentukan kecocokan tersebut (goodness of fit). Pencocokan ini menghasilkan sejumlah parameter statistika. Saat dilakukan simulasi, sampel diambil dari jenis distribusi teoritis dan nilai-nilai parameter yang cocok ini. Pada sebagian besar situasi, sifat dasar pada satu atau beberapa distribusi populasi merupakan hal yang paling penting. Kesahihan
12
prosedur-prosedur inferensi statistika parametrik bergantung pada bentuk populasi-populasi asal sampel-sampel yang dianalisis. Apabila bentukbentuk fungsi dari populasi-populasi yang dianalisis tidak diketahui maka populasi tersebut harus diuji kecenderungannya apakah terdistribusi sesuai dengan asumsi-asumsi yang mendasari prosedur parametrik yang diuji. Metode-metode keselarasan (goodnes of fit) digunakan untuk menentukan sampai seberapa jauh data sampel yang teramati “selaras”, “cocok” atau fit dengan model tertentu yang diujikan. Uji-uji keselarasan merupakan alat yang bermanfaat untuk mengevaluasi sampai seberapa jauh suatu model mampu mendekati situasi nyata yang digambarkannya (Anggraini, 2005). Uji Kolmogorov-Smirnov menguji sifat distribusi data empiris hasil pengamatan pada suatu populasi tertentu dengan distribusi teoritis seperti distribusi normal, eksponensial dan sebagainya. Hipotesis nolnya adalah distribusi data hasil pengamatan tidak berbeda nyata dengan distribusi teoritis. Menurut Heinz (1994), statistik uji D merupakan nilai absolut dari deviasi maksimum antara distribusi frekuensi pengamatan (Fo) dan distribusi frekuensi harapan (Fe) yang dapat ditulis : |
=
−
|
Jika nilai D hasil perhitungan lebih besar dari nilai D tabel, maka hipotesis nol ditolak. Sebaliknya, jika nilai D hasil perhitungan lebih kecil dari nilai D tabel, maka hipotesis nol diterima. Menurut Hendryardinanto
Watson (2003),
dan uji
Blackstone
(1981)
Kolmogorov-Smirnov
di
dalam
selain
dapat
digunakan pada sampel berukuran besar, juga dapat digunakan pada sampel
berukuran
kecil.
Menurut
Conover
(1971)
di
dalam
Hendryardinanto (2003), jika sampel berukuran kecil, maka penggunaan uji Kolmogorov-Smirnov adalah sesuai, karena uji tersebut memiliki ketelitian yang cukup baik walaupun sampel berukuran kecil. Untuk itu diasumsikan bahwa sampel acak. Asumsi yang kedua adalah jika fungsi distribusi yang dihipotesiskan kontinu, maka uji dikatakan teliti. Jika tidak, maka uji dikatakan konservatif.
13
Keunggulan dari penggunaan Kolmogorov-Smirnov sebagai penguji keselarasan goodness of fit adalah uji ini tidak membutuhkan pengelompokan data seperti khi-kuadrat sehingga tidak ada informasi yang hilang dari data. Hal tersebut dapat menghilangkan masalah spesifikasi interval yang berarti akan memberi kesempatan data diuji dengan semua distribusi yang lebih luas dibanding dengan khi-kuadrat. Keuntungan lain dari penggunaan Kolmogorov-Smirnov ialah tes ini tepat untuk semua ukuran n (untuk kasus semua parameter yang telah diketahui) sehingga lebih kuat (powerfull) dalam perbandingan dengan banyak fungsi distribusi, dibandingkan dengan tes khi-kuadrat (Law dan Kelton, 1991). Saat
ini
Kolmogorov-Smirnov
telah
diperluas
sehingga
memungkinkan dilakukan estimasi parameter-parameter untuk distribusi normal (lognormal), eksponensial, weibull, dan log-logistik. Meskipun tes Kolmogorov-Smirnov dalam bentuk aslinya (semua parameter telah diketahui) telah dapat diaplikasikan secara langsung pada distribusi kontinu dengan parameter-parameter yang telah diestimasi dan untuk distribusi diskret (Law dan Kelton, 1991). E. Distribusi Peluang Pemilihan fungsi sebaran peluang yang sesuai dengan kondisi nyata diperlukan untuk
mendapatkan
model
yang
mendekati keadaan
sebenarnya. Langkah-langkah yang harus ditempuh dalam memilih fungsi sebaran peluang untuk kecepatan kedatangan dan kecepatan pelayanan adalah sebagai berikut : 1. Mengelompokan data menurut bentuknya, yaitu jumlah kedatangan
dan jumlah unit yang dilayani per unit waktu. 2. Mencari frekuensi relatif dan frekuensi kumulatif dari data. 3. Menghitung rata-rata, keragaman dan simpangan baku. 4. Mencari bentuk baku dari data. 5. Menguji apakah sebaran yang dipilih sesuai (langkah 6) atau tidak
(langkah 7)
14
6. Menetapkan bentuk parameter penduga dari sebaran baku yang
dipilih 7. Sebaran yang tidak dapat diterapkan pada model-model sebaran baku
ditetapkan sebagai sebaran khusus (sebaran empiris). Sistem antrian umumnya ditentukan oleh dua buah kelengkapan statistik, yaitu distribusi peluang waktu antar kedatangan dan distribusi peluang waktu pelayanan. Dalam sistem antrian yang nyata, waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan mengikuti berbagai macam bentuk distribusi. Bentuk distribusi yang mendasari model-model antrian adalah distribusi Poisson dan distribusi eksponensial namun kecocokkan data sampel dapat mengikuti beberapa sebaran distribusi lainnya. Berikut adalah distribusi yang digunakan untuk uji distribusi goodness of fit. 1. Distribusi Poisson Menurut Morgan (1984), peubah acak diskret x dengan distribusi Poisson memiliki parameter Pr( = ) =
k!
sebagai berikut : ,0 ≤ i ≤ ~
Maka x dikatakan mempunyai sebaran Poisson dengan ( ) =
dan
var x = . Hal ini merupakan sifat khusus yang menarik dari distribusi Poisson
yaitu
bahwa
nilai
harapannya
sama
dengan
nilai
keragamannya. 2. Distribusi Eksponensial Menurut Morgan (1984), peubah acak kontinu x dengan distribusi eksponensial memiliki parameter ( )=
sebagai berikut :
,0 ≤ x ≤ ~
Maka x dikatakan mempunyai distribusi eksponensial dengan ( ) = 1/
dan var x =1/ . Beberapa penulis yang lain (seperti
Barnett, 1965) menyebut distribusi peluang eksponensial dengan distribusi peluang negatif eksponensial.
15
3. Distribusi Normal Dalam dunia nyata terdapat beberapa tipe kejadian acak ynag dibentuk
oleh
distribusi
normal.
Distribusi
ini
mempunyai
karakteristik kepadatan peluangnya berbentuk lonceng yang simetris terhadap garis x=
dengan fungsi densitas pada X=x dengan
persamaan : ( )= Dengan :
1
(
)
√2
: nilai konstan (3,1416) e : nilai konstan (2,7183) : rata-rata : simpangan baku dan nilai x mempunyai batas −~ <
<~
Distribusi normal dapat dibedakan dari distribusi normal lainnya atas dasar perbedaan nilai rata-rata dan simpangan bakunya atau keduaduanya (Sudjana, 1982). 4. Distribusi Gamma Meskipun distribusi normal memiliki penerapan yang luas di berbagai bidang, dalam kenyataannya terdapat situasi dimana hasilhasil eksperimen menunjukan distribusi yang tidak simetris ataupun tidak menunjukan kecenderungan simetris. Dalam kasus-kasus semacam ini, model distribusi normal tidak dapat memberikan hasil yang tepat jika digunakan. Untuk eksperimen-eksperimen probabilitas yang hasilnya menunjukan suatu bentuk distribusi yang mempunyai variasi ukuran kemencengan yang cukup signifikan, distribusi gamma merupakan salah satu alternatif model yang banyak digunakan. (Harinaldi, 2005) Didefinisikan untuk α > 0, fungsi gamma Γ( )adalah :
Γ( ) = Sifat-sifat penting fungsi gamma adalah :
16
1. Untuk sebuah bilangan bulat positif n, Γ( ) = ( − 1)! 2. Didefinisikan : Γ
=√
3. Untuk setiap α > 1 berlaku , Γ( ) = ( − 1). Γ( − 1) (Harinaldi, 2005) 5. Distribusi Weibull Distribusi Weibull pertama kali diperkenankan oleh ahli fisika dari swedia Waloddi Weibull pada tahun 1939. Dalam aplikasinya, distribusi ini sering digunakan untuk memodelkan “waktu sampai kegagalan (time to failure)” dari suatu sistem fisika. Ilustrasi yang khas, misalnya, yaitu pada sistem dimana jumlah kegagalan meningkat dengan berjalannya waktu (misalnya keausan bantalan), berkurang dengan berjalannya waktu (misalnya daya hantar beberapa semi konduktor) atau kegagalan yang terjadi oleh suatu kejutan (shock) pada sistem (Harinaldi, 2005). 6. Distribusi Pareto Distribusi Pareto dinamai oleh ekonom Italia Vilfredo Pareto, hukum merupakan kekuatan distribusi probabilitas ditemukan sejumlah besar situasi dunia nyata (Wikipedia 2006). Distribusi Pareto ini awalnya digunakan untuk menggambarkan alokasi kekayaan di antara individu-individu karena itu tampaknya cukup baik untuk menunjukkan jalan bahwa porsi yang lebih besar dari kekayaan masyarakat mana pun dimiliki oleh persentase yang lebih kecil dari orang-orang dalam masyarakat. Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) penduduk grafik f (x), probabilitas atau fraksi dari f(x) yang memiliki sedikit kekayaan per orang adalah tinggi. Probabilitas kemudian menurun terus sebagai kekayaan yang meningkat (Wikipedia 2006). Distribusi ini tidak terbatas untuk menggambarkan kekayaan atau distribusi pendapatan, tetapi untuk banyak situasi di mana suatu kesetimbangan ditemukan dalam distribusi yang “kecil” ke “besar” (Wikipedia 2006). 17
7. Distribusi Lognormal Distribusi lognormal merupakan distribusi probabilitas dari variabel acak yang logaritma adalah terdistribusi normal. Jika X adalah variabel acak dengan distribusi normal, maka Y = exp (X) memiliki distribusi lognormal juga, jika Y terdistribusi lognormal, maka log (Y) adalah distribusi normal. Distribusi lognormal kadangkadang disebut sebagai Galton distribusi (Panompuan, 2006). Sebuah variabel dapat dimodelkan sebagai lognormal jika dapat dianggap sebagai perkalian produk dari banyak independen variabelvariabel acak yang masing-masing adalah positif. Sebagai contoh, dalam keuangan, jangka panjang faktor diskon dapat diturunkan dari produk jangka pendek faktor diskon. Dalam komunikasi nirkabel, atenuasi yang disebabkan oleh bayangan atau lambat memudar dari objek acak sering diasumsikan terdistribusi lognormal (Panompuan, 2006). 8. Distribusi Uniform Suatu pola distribusi random dapat dibentuk jadi pola reguler jika mempunyai sifat uniform atau seragam. Pola data dalam peta dikatakan uniform jika kecendrungan data sub area satu dengan sub area lain mempunyai jumlah data yang relatif sama. Untuk mengetahui sifat uniform perlu dilakukan pengujian hipotesis statistik. Kebenaran atau ketidakbenaran hipotesis statistik tidak pernah diketahui secara pasti kecuali seluruh populasi diamati, namun hal ini tidak praktis dalam kebanyakan keadaan, untuk itu diambil sampel acak dari populasi yang diselidiki dan dengan menggunakan informasi yang dikandung sampel itu diputuskan apakah hipotesa tersebut benar atau salah. Suatu uji antara frekwensi pengamatan dan harapan biasa digunakan‘uji goodness of fit’ (Haribowo, 2005). F. Simulasi Simulasi
merupakan
permodelan
suatu
proses
atau
sistem
sedemikian rupa sehingga model menyerupai sistem nyata dengan segala
18
yang terjadi didalamnya atau dapat juga dikatakan bahwa simulasi adalah proses perancangan model dari suatu sistem nyata yang pelaksanaan eksperimennya dengan model untuk tujuan memahami tingkah laku sistem nyata. Menurut Kelton et al., (1998), simulasi merupakan sekumpulan metode dan aplikasi yang menirukan tingkah laku dari sistem nyata, biasanya menggunakan komputer dengan bantuan software yang sesuai. Simulasi memiliki beberapa keunggulan sebagai berikut : a. Tidak semua sistem (terutama sistem yang kompleks) dapat dipresentasikan
dalam
model
metematika
sehingga
simulasi
merupakan alternatif yang tepat. b. Model yang dibuat dapat dipergunakan berulang untuk menganalisis tujuan. c. Analisis dengan metode simulasi dapat dilakukan dengan input data yang bervariasi. d. Simulasi dapat mengestimasi performansi suatu sistem pada kondisi tertentu dan dapat memberikan alternatif disain yang terbaik berdasarkan spesifikasi yang diinginkan. e. Simulasi memungkinkan untuk melakukan percobaan terhadap system tampa adanya resiko pada sistem nyata. f. Simulasi memungkinkan untuk melakukan studi suatu system jangka panjang dalam waktu yang relatif singkat. Sedangkan keterbatasan dari simulasi antara lain : a. Simulasi hanya mengestimasi karakteristik system nyata berdasarkan masukan tertentu. b. Harga model simulasi relatif mahal dan memerlukan waktu yang cukup lama untuk pengembangannya. c. Kualitas dan analisis model tergantung pada kualitas keahlian sipembuat model. d. Tidak dapat menyelesaikan masalah, hanya dapat memberikan informasi darimana solosi dapat dicari.
19
Simulasi merupakan kegiatan untuk mendapatkan kesimpulan mengenai tingkah laku sistem dengan jalan mempelajari tingkah laku model yang sesuai, yaitu model yang mempunyai hubungan sebab akibat yang sama dengan sistem atau keadaan yang sebenarnya. Keuntungan penggunaan simulasi adalah fleksibilitasnya, yaitu sifatnya yang mudah disesuaikan dengan keadaan. Simulasi tidak mempunyai batasan-batasan tertentu dan dari studi suatu simulasi akan didapatkan informasi yang lengkap tentang kriteria penampilan sistem tersebut. Menurut
Siagian
(1987),
simulasi
yang
baik
memerlukan
perencanaan dan organisasi yang baik. Meskipun demikian, simulasi tidak tetap untuk selamanya, tetapi berubah dari waktu ke waktu. Pada umumnya terdapat 5 langkah pokok yang diperlukan dalam mendapatkan simulasi, yaitu : 1. Menentukan sistem atau persoalan yang hendak disimulasikan. 2. Mengembangkan model simulasi yang hendak digunakan. 3. Menguji model dan membandingkan tingkah laku model dengan tingkah laku dari sistem nyata, kemudian menetapkan model simulasi yang akan dilakukan. 4. Merancang percobaan-percobaan simulasi 5. Jalankan simulasi dan analisa data. Perumusan permasalahan dan pembuatan model untuk suatu simulasi harus dilaksanakan berdasarkan keadaan masalah yang dihadapi. Dalam pembentukan
suatu
model
biasanya
dilakukan
penyederhanaan-
penyederhanaan, sehingga pemecahan dengan menggunakan model-model matematis dapat dilakukan. Penyederhanaan suatu model dapat berupa meniadakan unsur-unsur yang kecil pengaruhnya terhadap keluaran model tersebut. Disamping itu, seringkali dalam pembuatan model simulasi dimasukkan unsur-unsur ketidakpastian (peluang) dan ada kemungkinan beberapa hal atau variabel yang sebenarnya masih perlu diikutsertakan. Dalam pelaksanaannya, model simulasi yang telah disusun harus disempurnakan lagi (Hillier dan Lieberman, 1981).
20
Terdapat berbagai jenis model simulasi, yaitu : 1. Discrete-event simulation 2. Simulasi sistem antrian dengan single server 3. Simulasi sistem persediaan 4. Alternative assproaches to modelling and coding simulations 5. Continuous simulation 6. Combined discrete-continuous simulation 7. Simulasi Monte Carlo
Simulasi Monte Carlo merupakan sebuah rencana yang melibatkan sejumlah angka acak yaitu variabel acak U (0,1), yang digunakan untuk menyelesaikan masalah stokastik atau deterministik dimana waktu lintasan bukan merupakan peran yang sesungguhnya sehingga umumnya simulasi ini merupakan simulasi yang lebih bersifat statik daripada dinamis (Law dan Kelton, 1991). Pengambilan contoh pada simulasi Monte Carlo dilakukan secara acak dari populasi teoritis dan merata-ratakannya. Hal ini memerlukan adanya suatu pembangkitan bilangan acak untuk menghasilkan nilai-nilai yang mempunyai distribusi setara dengan populasi yang sebenarnya. Metode simulasi Monte Carlo dapat dilihat pada gambar dibawah ini. Parameter distribusi
Mulai
Pembangkitan bilangan acak
Pembangkitan variabel acak dan distribusi peluang
Ok?
Selesai
N = n+1 Gambar 5. Diagram Simulasi Monte Carlo (Watson, 1981) Simulasi Monte Carlo sekarang digunakan secara luas untuk menyelesaikan masalah-masalah tertentu dalam statistik yang tidak dapat diselesaikan secara analitis. Simulasi ini diaplikasikan untuk mengestimasi nilai kritis atau kekuatan sebuah tes hipotesis baru.
21
Menurut Simaratama (1985), simulasi tidak menghasilkan nilai yang optimal, tetapi memberikan penyelesaian yang mungkin baik berdasarkan masukan alternatif terpilih yang diberikan. Model simulasi dapat dibedakan menjadi model simulasi deterministik dan stokastik atau probabilistik. Model stokastik adalah model yang mengandung peubah acak, dimana keluaran dari proses ditentukan berdasarkan masukan dan merupakan hasil dari konsep acak. Pada model deterministik tidak mengandung peubah acak. G. Sistem dan Model Menurut Fachri (2008) Semua definisi sistem mencakup lima unsur utama yang terdapat dalam sistem, yaitu : 1. Elemen-elemen atau bagian-bagian 2. Adanya interaksi atau hubungan antar elemen atau bagian-bagian 3. Adanya sesuatu yang mengikat elemen-elemen atau bagian-bagian tersebut menjadi suatu kesatuan 4. Terdapat tujuan bersama sebagai hasil akhir 5. Berada dalam satu lingkungan yang kompleks Secara sederhana sistem dapat didefinisikan sebagai suatu agregasi atau kumpulan obyek-obyek yang terangkai dalam interaksi dan saling bergantun yang teratur. Sistem juga dapat didefinisikan sebagai kumpulan dari elemen-elemen yang berfungsi secara bersama untuk mencapai suatu tujuan tertentu. Sistem juga dapat diklasifikasikan menurut perubahan variabelvariabel setiap waktu. apabilah variabel-veriabel sistem ini berubah secara kontinyu setiap waktu, maka sistem ini disebut sebagai sistem kontinyu, jika variabel sistem tidak terjadi perubahan secara kontinyu setiap waktu, maka disebut sebagai sistem discrete. Selanjutnya, apabila variabevariabel sitem berubah secara kontinyu dan yang lainnya tidak sistem ini disebut kombinasi sistem (Fachri, 2008). Model dapat didefinisikan sebagai representasi dari sitem baik secara kualitatif dan kuantitatif yang mewakili suatu proses atau kejadian dimana
22
dapat menggambarkan secara jelas hubungan interaksi antara berbagai faktor penting yang akan diamati. Pemodelan merupakan suatu langkah utama dalam mendukung kemampuan pengambilan keputusan selama tahap desain sistem. Karakteristik model yang baik adalah sebagai berikut : 1. Meliputi semua elemen yang langsung yang menunjang pemecahan masalah. 2. Valid yaitu merepresentasikan sistem secara tepat. 3. Mudah dimodifikasi dan diperluas. 4. Cepat dan tidak mahal dibuat. 5. Dapat digunakan kembali. 6. Mudah dimengerti Secara umum model simulasi dapat dibedakan, yaitu : a. Statis-Dinamis Model simulasi statis adalah model yang menggambarkan sistem dimana keadanya tidak dipengaruhi oleh waktu. Model simulasi dinamis adalah model simulasi yang keadaan sistemnya berubah dipengarui waktu. b. Stokastik-deterministik Model simulasi dapat menggambarkan kejadian yang bersifat pasti atau tidak mengandung unsur probabilitas (deterministik), maupun yang tidak pasti dengan mengandung unsur probabilitas yang ditandai dengan adanya kerandoman input dari model (stokastik) c. Kontinyu-Diskret Model simulasi disebut diskret jika status sistem berubah secara diskret terhadap waktu. Sedangkan model simulasi disebut kontinyu jika status variabelnya berubah seiring berjalannya waktu. Variabel-variabel model simulasi dapat berubah dengan cara : kontinyu setiap saat, diskret setiap saat, kontinyu pada saat-saat tertentu atau diskret pada saat-saat tertentu.
23
H. Verifikasi dan Validasi Model Salah satu masalah dalam penggunaan model simulasi sebagai alat analisis sitem adalah menentukan apakah model merupakan representasi yang akurat dalam memodelkan sestem yang menjadi obyek studi. Proses verifikasi dilakukan untuk menentukan apakah model simulasi berjalan sesuai dengan keinginan pembuat model, misalnya dengan proses debug komputer. Verifikasi merupakan langkah terakhir yang harus dilakukan sebelum program simulasi di implementasikan, khususnya untuk implementasi pengembangan model alternatif. Verifikasi dilakukan untuk memeriksa dan memastikan bahwa model simulasi yang dibentuk berjalan sesuai harapan dan terbukti sesuai dengan kondisi nyatanya dengan pemeriksaan program komputer. Menurut Didi (2002), Verifikasi adalah proses pemeriksaan apakah logika operasional model (program komputer) sesuai dengan logika diagram alur, kalimat sederhananya adalah mengecek apakah ada kesalahan dalam program. Verifikasi dapat dilakukan dengan beberapa cara, yakni : 1. Tes Data, yaitu mengevaluasi setiap kejadian yang mungkin, mempersiapkan data masukan secara khusus dan kemampuan program pada kondisi ekstrim. 2. Tulis dan debug program dalam modul-modul atau subprogramsubprogram. 3. Diuji oleh banyak orang. 4. Run pada asumsi penyederhanaan dimana model simulasi dapat dihitung dengan mudah. 5. Lihat hasil simulasi. (Maarif, 2006 di dalam Sahar, 2007) Sedangkan validasi digunakan untuk menentukan apakah model simulasi mampu mewakili system nyata secara akurat (Fachri, 2008), atau menurut Law dan Kelton (1991), validasi adalah penentuan apakah model konseptual simulasi (sebagai tandingan program komputer) adalah
24
representasi akurat dari sistem nyata yang sedang dimodelkan. Uji yang dapat dilakukan sebagai validasi adalah uji kesamaan nilai tengah antara dua populasi. Uji hipotesis kesamaan nilai tengah antara dua populasi dilakukan untuk menguji hipotesis nol (H0) rata-rata kedua populasi dan tandingannya (H1), yaitu : H0 : 1 =
2
H1 : 1 ≠
2
Uji signifikasi kesamaan antara dua nilai tengah dapat dilakukan bedasarkan statistik t yang sesuai. Uji ini digunakan jika n1< 30 atau n2<30. Asumsi yang diterapkan adalah bahwa sampel merupakan sampel independen acak yang diambil dari populasi yang secara teliti dapat didekati oleh distribusi normal yang memiliki standar deviasi yang sama. Keputusan lalu dapat diambil berdasarkan statistik : t=
dimana Sp =
(
)
(
)
dimana distribusi sampling adalah distribusi t dengan ( (
− 1) =
+
− 2 derajat bebas,
dalam kelompok pertama, dan
dan
− 1) +
adalah jumlah item data di masing-masing adalah nilai rata-
rata dan standar deviasi data, sedangkan
,
, dan
menyatakan
kuantitas yang sama untuk kelompok kedua. Wilayah kritis pengujian terletak pada daerah >
/
<−
/
dan
. Apabila hasil pengujian menunjukan nilai t termasuk dalam
wilayah kritis, berarti H0 ditolak dan H1 diterima. Sebaliknya, apabila hasil pengujian menunjukan nilai t diluar wilayah kritis, berarti H0 diterima dan H1 ditolak. (Hamburg,1979 di dalam Hendryardinanto, 2003)
25
