Hogeschool Rotterdam Voorbeeldexamen Wiskunde A Oplossingen 1.
Bereken zonder rekenmachine:
5 3 + = 7 8
5 3 40 21 61 + = + = = 7 8 56 56 56 5 d. 1 56 2.
Bereken zonder rekenmachine:
5 3 7 + − = 3 4 6
5 3 7 20 9 14 15 5 + − = + − = = = 3 4 6 12 12 12 12 4 1 b. 1 4 3.
Bereken zonder rekenmachine:
−3 3 5 ∗ ∗ = 4 − 9 12
−3 3 5 −1 1 5 ∗ ∗ = ∗ ∗ = 4 − 9 12 4 1 12 5 d. 48 4.
Een supermarkt biedt een cadeaudoos aan bij inlevering van een volle spaarkaart met 150 zegels. Er wordt 1 zegel verstrekt per € 5,- aan boodschappen. Elke week doe je voor € 96,- aan boodschappen en tussendoor voor € 14,- en € 23,50. Na hoeveel weken heb je de spaarkaart vol? € 96,- = 19 zegels; € 14,- = 2 zegels; € 23,50 = 4 zegels; dus elke week 25 zegels 150/25 = 6; dus na 6 weken is de spaarkaart vol a. 6
5.
Schrijf zo eenvoudig mogelijk:
1 a.
17 = 64
81 = 64 1 1 8
81 64
=
9 = 8
1
17 = 64
6.
Schrijf zo eenvoudig mogelijk (dat wil zeggen als product van een geheel getal en een niet verder vereenvoudigbare wortel):
128 =
128 = 64 ∗ 2 = 64 ∗ 2 = d. 8 2 7.
Vereenvoudig de volgende breuk zo ver mogelijk:
a2 + a = a +1
a 2 + a a(a + 1) a = = = a +1 (a + 1) 1 a c. 8.
Ontbind in factoren:
x 2 −144 =
Hier gebruik je een van de merkwaardige producten: (a + b)(a − b) = a − b b. ( x − 12)( x + 12) 2
9.
− 34 =
Bereken:
− 34 = −(34 ) = c. − 81 10.
Schrijf zo eenvoudig mogelijk:
(3a 2 b 4 ) 3 =
(3a 2 b 4 ) 3 = 33 ∗ (a 2 ) 3 ∗ (b 4 ) 3 = 27a 6 b12
d.
11.
Schrijf zo eenvoudig mogelijk:
− a 3b 7 = − a 4b5
− a 3b 7 − 1 a 3 b 7 1 b2 = ∗ ∗ = 1 ∗ ∗ = a 1 − a 4b5 − 1 a 4 b5 b2 a. a 12.
Bepaal de oplossing(en) x:
x 2 = 81
Als x = 81 dan is x = 81 of x = − 81 a. x = 9 en x = −9 2
2
13.
5( x − 3) − 4(3x + 2) = 0
Bepaal de oplossing(en) x:
5( x − 3) − 4(3x + 2) = 0 5x − 15 − 12x − 8 = 0 − 7 x − 23 = 0 − 7 x = 23 x=−
x = −3
c.
14.
23 7
2 7 3 =2 5x − 6
Bepaal de oplossing x:
3 =2 5x − 6 3 = 2(5x − 6) 3 = 10x − 12 15 = 10x 15 3 =x= 10 2 x =1
d.
15.
1 2
3x 2 − 8 x = 0
Bepaal de oplossing(en) x:
3x 2 − 8x = 0 x(3x − 8) = 0 Het product van x en (3x-8) kan alleen nul worden als tenminste één van de factoren nul is. Om de vergelijking waar te maken moet dus of x gelijk zijn aan nul (x=0), of
3x − 8 = 0 3x = 8 x=
b.
8 3 x = 0 en
x=2
2 3
16.
Bepaal de oplossing(en) x: (hint: gebruik de abc-formule)
2x 2 − 7 x + 3 = 0
2x 2 − 7 x + 3 = 0
hier zijn: a = 2; b = -7; c = 3
− b ± b − 4ac 7 ± 49 − 24 7 ± 25 7 ± 5 = = = 2a 4 4 4 12 2 x1 = en x2 = 4 4 1 a. x = 3 en x = 2 x1, 2 =
17.
2
Bepaal de oplossing(en) x: (hint: gebruik de abc-formule)
2x 2 − x + 3 = 0
2 x 2 − x + 3 = 0 hier zijn: a = 2; b = -1; c = 3 − b ± b 2 − 4ac 1 ± 1 − 24 7 ± − 23 x1, 2 = = = 2a 4 4
Onder de wortel staat een negatief getal; dit is niet op te lossen. d. de vergelijking heeft geen oplossingen 18.
Een rechte lijn gaat door de punten (2,3) en (5,9). De vergelijking van deze lijn is: De algemene vergelijking voor een rechte lijn is y = mx + p. De punten geven twee paren van x en y aan, dus kunnen wij twee vergelijkingen maken: Voor punt (2,3) 3 = 2m + p Voor punt (5,9) 9 = 5m + p Oplossen als stelsel eerstegraads vergelijkingen door de tweede vergelijking van de eerste af te trekken: -6 = -3m en daarmee: m = -6/-3 = 2 Invullen voor m in een van de twee vergelijkingen: 3=4+p en daarmee: p = -1 Dus de vergelijking voor de lijn moet zijn: b. y = 2x −1
19.
Een rechte lijn gaat door de punten (1,2) en (-2,8). De helling (= richtingscoëfficiënt) m van deze lijn is: De helling is de verandering in y gedeeld door de verandering in x. In dit geval weten wij (door de twee punten) dat als x van -2 naar 1 gaat dan gaat y van 8 naar 2. Dus de helling: m = d.
m = −2
8−2 6 = = − 2 −1 − 3
20.
Bereken het snijpunt van de twee lijnen met de volgende vergelijkingen: Lijn 1: 2x + 3y = 4 Lijn 2: 3x – 2y = 6 Het snijpunt is er een paar van waarden (x,y) dat allebei de vergelijkingen oplost. Om dit paar te vinden moeten wij de vergelijkingen oplossen als stelsel eerstegraads vergelijkingen. Lijn 1: 2x + 3y = 4 of 6x + 9y = 12 (met 3 vermenigvuldigd) Lijn 2: 3x – 2y = 6 of 6x – 4y = 12 (met 2 vermenigvuldigd) Trek de tweede van de eerste af: 13y = 0 dus y = 0 Vul dit in een van de vergelijkingen: 2x + 0 = 4 dus 2x = 4 dus x = 2 Het snijpunt is daarmee: b. (2,0)
21.
Bereken het snijpunt van de twee lijnen met de volgende vergelijkingen: Lijn 1: y = 4x + 8 Lijn 2: 8x – 2y = – 16 Een andere methode om het snijpunt te vinden is allebei de vergelijkingen in de vorm y = mx + p te brengen en daarna aan elkaar gelijk te zetten (omdat y voor allebei hetzelfde moet zijn): Lijn 1: y = 4x + 8 Lijn 2: 8x – 2y = – 4 of -2y = -8x – 4 of y = 4x + 2 Gelijkzetten levert nu het volgende op: 4x + 8 = 4x + 2 of 4x – 4x = 8 -2 0 = 6 Dat is natuurlijk onzin. Waarom is er geen oplossing? Omdat de lijnen evenwijdig aan elkaar zijn. Zij hebben dezelfde helling (m = 4), maar gaan op verschillende punten door de y-as (y = 2 en y = 8). d. de lijnen snijden elkaar niet
22.
Een rechte lijn heeft de volgende vergelijking: 3x -2y = 12 Bereken de hellingshoek van deze lijn in graden. De hellingshoek van een lijn is gerelateerd aan de richtingscoëfficiënt: m = tan(α ) Eerst moet je dus m vinden door de vergelijking te verbouwen: 3x -2y = 12 of -2y = -3x + 12 of y = 3/2 x + 6 Dus m = 3/2. Met de rekenmachine bereken je dan: α = tan −1 ( m) = tan −1 (3 / 2) a. α = 56,3°
23.
Bereken het snijpunt van de twee lijnen met de volgende vergelijkingen: Lijn 1: y = 8 Lijn 2: y = 3x – 4 Lijn 1 is evenwijdig aan de x-as. Voor alle waarden van x heb je dezelfde y, namelijk y = 8. Als je nu deze waarde voor y in de vergelijking voor lijn 2 invult: 8 = 3x – 4 of 12 = 3x of x=4 Dan krijg je de x waarde van lijn 2 op het punt waar y = 8. Dit is het snijpunt. c. (4,8)
24.
Een parabool is gegeven door de functie: Bepaal het snijpunt met de y-as.
f ( x) = 2 x 2 − x + 8
Op het snijpunt met de y-as is x = 0. Vul dit in de vergelijking in:
y = 0−0+8 =8
b.
25.
(0,8)
f ( x) = x − 5 x + 4 Een parabool is gegeven door de functie: Bepaal het snijpunt/de snijpunten met de x-as. 2
Op de snijpunten met de x-as is y = 0, dus de gehele functie wordt nul:
f ( x) = x 2 − 5 x + 4 = 0 Dit kan je met de abc-formule oplossen:
a = 1; b = -5; c = 4
− b ± b − 4ac 5 ± 25 − 16 5 ± 9 5 ± 3 = = = 2a 2 2 2 8 2 x1 = = 4 en x2 = = 1 2 2
x1, 2 =
c.
26.
2
(4,0) en (1,0)
Een parabool is gegeven door de functie f ( x) = −3 x 2 + 7 Bepaal de coördinaten van de top van deze parabool. De coordinaten van de top, (Tx,Ty), zijn makkelijk af te lezen als je de formule verbouwt tot te volgende vorm: f ( x) = a ( x − Tx ) 2 + T y In dit geval heb je de functie in feit al in deze vorm:
f ( x) = −3 x 2 + 7 = −3( x − 0) 2 + 7 Dus de top ligt op het punt: d. (0,7)
27.
Een parabool is gegeven door de functie f ( x) = 2 x 2 + 4 x − 12 Bepaal de coördinaten van de top van deze parabool. Zie de voorafgaande vraag, alleen moet je hier de functie wel eerst verbouwen:
f ( x) = 2 x 2 + 4 x − 12 = 2( x 2 + 2 − 6) = 2( x 2 + 2 + 1 − 7) = 2( x 2 + 2 + 1) − 14 De functie wordt dus: En de top ligt daarmee op het punt: a. (-1, -14)
f ( x) = 2( x + 1) 2 − 14
28.
Bereken de snijpunten van de volgende twee functies: f ( x) = 5 x − 3 en g ( x) = 7 x 2 − x − 4 Op het snijpunt hebben allebei de functies dezelfde waarden voor x en y. Je kan de functies daarom gelijkzetten:
f ( x ) = g ( x)
5x − 3 = 7 x 2 − x − 4 7 x 2 − x − 5x − 4 + 3 = 0 7x 2 − 6x − 1 = 0
Oplossen met de abc-formule:
a = 7; b = -6; c = -1
− b ± b 2 − 4ac 6 ± 36 + 28 6 ± 64 6 ± 8 = = = 2a 14 14 14 14 −2 1 x1 = = 1 en x2 = = − ≈ −0,14 14 14 7 Zet deze waarden voor x in de functie f ( x ) = 5 x − 3 om de bijbehorende waarden voor y te x1, 2 =
vinden: Voor x = 1
f ( x) = 5 − 3 = 2 5 5 21 26 f ( x) = − − 3 = − − =− ≈ −3,71 Voor x = - 1/7 7 7 7 7 b. (1 , 2) en (−0,14 , − 3,71)
29.
Teken de lijn gegeven door de vergelijking: y = 2,5 x – 4 in een coördinatenstelsel. Geef duidelijk aan welke punten je voor de constructie van de lijn gebruikt.
30.
Teken de lijn gegeven door de vergelijking: y = 3 x2 – x +2 in een coördinatenstelsel. Geef duidelijk aan welke punten je voor de constructie van de lijn gebruikt.
