Gymnázium Jana Nerudy

Gymnázium Jana Nerudy

Závěrečná práce studentského projektu Metoda Monte Carlo

2014

Marek Šedivý a Noémie Gauthier

Prohlášení o vypracování

Prohlašujeme, že jsme závěrečnou práci na téma Metoda Monte Carlo vypracovali samostatně s použitím uvedené odborné literatury a pramenů.

Datum: ….…………………………

Podpis

Anotace Tématem naší práce je popis metody Monte Carlo a její aplikace v ekonomii. Nejdříve se zaměříme na základní pojmy nutné pro pochopení a následnou aplikaci metody Monte Carlo. Následně popíšeme jednu ze základních aplikací této metody a představíme naše experimentální provedení této aplikace. Poté se budeme zabývat historií vzniku této metody a na to navážeme stanovením podmínek pro aplikaci metody Monte Carlo na burzovní obchodování. Závěrem je sestavení algoritmu fungujícím na principu této metody.

Obsah Anotace ................................................................................................................................................... 3 1. Úvod .................................................................................................................................................... 5 2. Pojmy ................................................................................................................................................... 6 2. a Algoritmus ........................................................................................................................................ 6 2. b Náhodná a pseudonáhodná čísla ..................................................................................................... 6 2. c Pravděpodobnost.............................................................................................................................. 6 3. Buffonova jehla ................................................................................................................................... 8 3. a Teorie ................................................................................................................................................ 8 3. b Experiment ....................................................................................................................................... 9 4. Historie .............................................................................................................................................. 10 5. Vlastní projekt ................................................................................................................................... 11 5. a Určení kritérii .................................................................................................................................. 11 5. b Algoritmus ...................................................................................................................................... 12 5. c Výsledky .......................................................................................................................................... 15 5. d Ověření výsledků ............................................................................................................................ 15 6. Závěr .................................................................................................................................................. 16 7. Použitá literatura ............................................................................................................................... 16

1. Úvod Motivací k výběru metody Monte Carlo byl fakt, že jsme jako téma, hledali nějaký matematický postup, který bychom mohli dále aplikovat v ekonomii. Následovalo stanovení problému, který by byl vhodný pro využití této metody. Právě při tomto jsme narazili na metodu Monte Carlo. Ta se od svého vynalezení ve 40. letech vědci pracujícími na projektu Manhattan stala jednou z nejpoužívanějších metod k určení rizikovosti na akciových trzích. Mimoto má obrovské možnosti uplatnění i v jiných vědních disciplínách (např. fyzice, nebo biologii). Naše rozhodnutí bylo aplikovat tuto metodu při nákupu akcií. Cílem práce je tedy výpočet množství akcií, které splňují námi daná kritéria. Kritéria jsme si určili na základě různých údajů o akciích, snažili jsme vybrat taková, aby akcie nebyla ani příliš riziková, ale aby měla i dostatečný zisk. Metoda je založena na pravděpodobnosti a pseudonáhodných číslech. Budeme tedy generovat náhodná čísla a pomocí algoritmu je rozřadíme, abychom zjistili, kolik akcií by mělo teoreticky naše kritéria splňovat.

2. Pojmy V této kapitole definujeme a názorně vysvětlíme základní pojmy, nezbytné pro pochopení a možnost následné aplikace metody Monte Carlo.

2. a Algoritmus Algoritmus je postup, který se má dodržovat při řešení daného problému za daných podmínek. Rozlišujeme dva základní druhy algoritmů a to – deterministický a stochastický. Při užití deterministického algoritmu víme, že daný jev nastane za předpokladu, že splníme soubor předem známých podmínek. Naopak splnění všech podmínek u algoritmu stochastického nám dává pouze možnost, že daný jev nastane. Díky tomu můžeme následně počítat pravděpodobnost daného jevu. Stochastické algoritmy jsou využity v metodě Monte Carlo.

2. b Náhodná a pseudonáhodná čísla Náhodná čísla jsou čísla, v jejichž výskytu nemůžeme, na základě předchozích čísel určit číslo následující. Zjednodušeně řečeno, nedá se určit posloupnost, která by vygenerovala danou řadu náhodných čísel. Můžeme je generovat například za využití fyzikálních jevů - radioaktivního rozpadu, šumu elektronky, nebo abecedním seřazením měst s počtem obyvatel nad libovolnou mez. Tyto postupy jsou ovšem časově a v některých případech i finančně náročné. Proto byla vymyšlena čísla pseudonáhodná. Ta jsou sice generována na základě nějaké dané posloupnosti, ale jejich výskyt můžeme považovat za dostatečně náhodný. Také jsou rovnoměrně rozdělena na intervalu, do kterého je generujeme. To je důležité právě při jejich užití v metodě Monte Carlo. Víme-li, že daný jev můžeme modelovat v intervalu [a; b] a v jeho podintervalu [c; d] nastane jev příznivý, tak je důležité, aby čísla, která daný jev modelují, byla rovnoměrně rozdělena na intervalu *a; b+ a ne, aby byla například koncentrována zejména v *c; d+, to by totiž mělo za následek posunutí výsledku nesprávným směrem (příznivý jev by v daném modelu nastal víckrát, než by tomu bylo ve skutečnosti)

2. c Pravděpodobnost Pravděpodobnost jsme definovali dvěma základními způsoby a to 1) Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti – Může-li určitý jev (proces) vykázat n různých disjunktních (vzájemně se vylučujících) výsledků, které jsou stejně možné a jestliže m z těchto pokusů má za následek nevyhnutelně realizaci určitého sledovaného jevu A, a zbylých n-m výsledků, ji vylučuje, potom pravděpodobnost jevu A položíme rovnu číslu m/n a píšeme , což se dá zjednodušeně reformulovat takto – pravděpodobnost je poměr počtu případů sledovanému jevu příznivých, k počtu všech případů možných.

Její aplikaci můžeme ukázat na jednoduchém příkladu – Házíme-li dvěma kostkami (červenou a modrou), přičemž červená udává počet desítek a modrá udává počet jednotek výsledného čísla, jaká je pravděpodobnost, že nám padne prvočíslo (jev A)? Nejdříve si vyjádříme n, tedy počet všech možných výsledků. Protože víme, že na každé kostce nám může padnout 6 různých čísel, můžeme obdržet n různých čísel. Přičemž Následně vyhodnotíme, kolik z daných jevů odpovídá jevu A, tedy že výsledné číslo je prvočíslo. Tyto jevy si označíme jako m. Všechna prvočísla, která nám mohou padnout, jsou – 11, 13, 23, 31, 41, 43, 53, 61. (mohou nám vyjít jen prvočísla, která jsou větší 10 a menší 66, přičemž číslo na místě jejich jednotek musí být menší 6). Z výše uvedeného víme, že n = 36 a m = 8. Tudíž pravděpodobnost, že nastane jev A je

2) Geometrická definice pravděpodobnosti - máme množinu Ω (např. objem, obsah, délka) a její podmnožinu ω, pak pravděpodobnost volby bodu z množiny ω (označíme jako jev A), . Její aplikaci můžeme opět ilustrovat na následujícím příkladu – Máme-li přímku D: y = x a generujeme-li náhodná čísla x na intervalu *0;3+ a y na intervalu od *0;3+, která nám udávají souřadnice bodu. Jaká je pravděpodobnost, že se takto generovaný bod bude nacházet pod přímkou D (jev B)? Zadání si můžeme znázornit na následujícím obrázku –

(Ob. 1) Otázka by se tedy dala položit také takto – Jaká je pravděpodobnost, že se bude generovaný bod (výše popsaným způsobem) nacházet v trojúhelníku ABC?

Nejdříve si vyjádříme hodnotu Ω. Ta je rovna obsahu čtverce ABCD. To je čtverec o straně 3. Tudíž Následně vyjádříme hodnotu ω. Ta je rovna obsahu plochy pod přímkou D. K zjištění tohoto obsahu můžeme využít integrál.

Výše uvedeným postupem jsme zjistili, že Ω = 9 a ω = . Tudíž

3. Buffonova jehla Tato kapitola se bude věnovat několik set let starému pokusu sloužícímu k aproximaci čísla π. Nejprve začneme vysvětlením teorie tohoto pokusu. Následně tento experiment sami vyzkoušíme.

3. a Teorie Pravděpodobnost se dá využít kupříkladu v matematice, ekonomii, či při předvídání jevů v sociologii. Jedno z využití je i aproximace hodnoty čísla π. To se podařilo francouzskému matematikovi Jeanu Louisu Leclerc de Buffon. Ten vymyslel úlohu, díky které je možné aproximovat hodnotu čísla π, díky jeho vlastnostem. George Louis Leclerc de Buffon (1707 Montbard- 1788 Paris) Francouzský naturalista spisovatel. Zabýval se fyzikou, biologii a matematikou. Podílel se na tvorbě encyklopedií. Je také autorem pokusu s názvem Buffonova jehla.

Buffon řešil následující úlohu: Nechť jsou jehly o stejné délce d zcela náhodně házeny na rovnou podložku. Podložka musí být nalinkována rovnoběžnými čarami, vzdálené od sebe stejnou vzdálenosti l pro kterou platí, že d
Je tedy možné pozorovat, že jehla protne čáru jen v případě, že (vyšrafovaná část). Musíme tedy najít pravděpodobnost jevu P ). Pro usnadnění použijeme úhel β jako obecný úhel a znázorníme si všechny možnosti 2 proměnných x (na ose x) a α (na ose α) (Ob. 3).

Využijeme tedy souřadnice x a α a vymezíme si část vnitřku obdélníku OPQR, který toto splňuje, tato část je na obrázku vyšrafovaná. Vlastně jsme přiřadili ke každé hodnotě α hodnotu x pro kterou platí, že jehla protne čáru. Musí pro ně tedy platit nerovnost

a

.

Jelikož celý obdélník nám ukazuje všechny možnosti dopadu jehly, a tyto možnosti jsou všechny stejně pravděpodobné, musíme zjistit jaká je pravděpodobnost, že jehla bude splňovat výše uvedené nerovnosti. Tato pravděpodobnost je rovna poměru vyšrafované plochy obdélníku OP a celé jeho plochy. Z obrázku odvodíme že To znamená, že pokud budeme házet jehly o délce d, na linkovaný povrch, kde vzdálenosti mezi čárami jsou rovny d, pravděpodobnost úspěšných hodů bude . Lze tedy jednoduše provést pokus a odvodit číslo π

, tedy poměr úspěšných jehel (jehly, která protly čáru) a

neúspěšných jehel (jehla, která neprotly jednu z rovnoběžných čar).

3. b Experiment K našemu experimentu jsme použili papír o velikosti A4 a 285 špendlíků. Určili jsme si vzdálenost mezi čáry jako kde je délka jehly. Díky tomuto kroku si můžeme upravit výsledný poměr

. (Záznam experimentu je přiložen na poslední stránce této

práce). Po náhodném rozhození jehel po papíře jsme měli 216 jehel, které neproťaly žádnou čáru a 69 jehel které proťaly.

. Tento výsledek je menší než číslo π, které se rovná 3,1416,

ovšem změna jedné jehly (přechod z úspěšných do neúspěšných) by nám dal výsledek 3,1911, který je naopak větší než π.

4. Historie Za metodou Monte Carlo tak, jak jí známe dnes, stojí dva muži - Stanislaw Marcin Ulam a Jon von Neumann. Právě jejich spolupráce na amerických vědeckých projektech je přivedla na tento nápad. Jon von Neumann (občas jako John von Neumann) je původem maďarský matematik, narozený v roce 1903 na území Rakouska– Uherska. Věnoval se kvantové teorii a byl průkopníkem teorie her. V roce 1929 dostal nabídku učit kvantovou teorii na Princetonu. Tam se stal prvním profesorem v Ústavu pro pokročilé studium (Institute for Advanced Study). Roku 1943 byl přizván Robertem Oppenheimrem k projektu Manhatann.

(Ob. 4)

(Ob. 5) Stanislaw Marcin Ulam je původem Polák, narozený 1909 na území tehdejšího Rakouska–Uherska. Po získání doktorátu, v roce 1933, ve Lvově (nynější Lviv) byl pozván Jonem von Neumannem do spojených států, aby pracoval ve vědeckém ústavu na Princetonu. Po té učil na různých univerzitách, až nakonec získal americké občanství a mohl být zapojen do institutu Los Alamos, kde pracoval na jaderné bombě v rámci projektu Manhattan. Největší spolupráce těchto dvou začala právě díky výzkumu v institutu Los Alamos. Vědci potřebovali spočítat vzdálenost, kterou neutrony mohou urazit, skrze různé materiály. I přes všechna data a výzkumy to nemohli fyzici z Los Alamos spočítat. Problém totiž nastal ve chvíli, kdy se neutron pohltí při srážce s jiným nukleonem. Ulama napadla možnost vypočítat pravděpodobnost „odehratelnosti“ solitairu, tedy pravděpodobnost, že při rozložení karet je možné hru odehrát. To mělo být uskutečněno díky ENIACu (Electronic Numerical Integrator And Computer), na kterém právě pracovali, Ulam s Von Neumannem. Později se rozhodli aplikovat i na neutrony a jejich trasu. Sestavili experiment, ve kterém použili na simulaci cesty atomu rulety. Věděli, že k pohlcení dojde v jednom případu ze 100 a tudíž 1 ze sta políček na ruletě označili jako pohlcení. Následně roztočili ruletu, pokud padlo políčko pohlcení, byl to konec života neutron. V opačném případě se z dalších otočení ruletou určil směr a rychlost neutronu (vše bylo tedy náhodné). Ten samý postup se opakoval stále, dokud nenastalo pohlcení neutronu.

Při hledání jména pro svou metodu se inspirovali Ulamovým strýčkem, velkým gamblerem v Monte Carlu. Následně Neumann vymyslel výpočet pseudonáhodných čísel, která je možné využít při aplikování této metody.

Od té doby metoda Monte Carlo našla uplatnění v mnoha různých disciplínách, namátkou můžeme zmínit – biologii (simulace vývoje hmyzu), fyziku (simulace života neutronu), ekonomie (hodnocení rizikovosti akcií na burze). Tyto problémy musí jednak splnit některé podmínky – spojité rozložení pravděpodobnosti a jednak musíme znát pravidla, kterými se daná problematika řídí. Jako jsou například u života neutronu podmínky jeho pohlcení a odražení od určitých prvků.

5. Vlastní projekt Jak je řečeno již v anotaci, naším cílem bylo aplikovat metodu Monte Carlo na nějaký ekonomický problém, a to ideálně z burzovního prostředí. Jako samotný problém k řešení jsme si stanovili odhad počtu akcií, které odpovídají námi zadaným kritériím pro nákup.

5. a Určení kritérii Prvně bylo nutné najít kritéria, podle kterých chceme hodnotit akcie. Vybrali jsme si 4 základní charakteristiky, které jsou veřejně dostupné pro veškeré akcie. Pro stanovení intervalů, ve kterých se daná kritéria pohybují, jsme využili server Patria Direct: 1. Cena akcie – je reálná suma, kterou člověk zaplatí za jednu akcii. Jejich rozmezí je velmi různé ovšem určili jsme si rozmezí 0-1000 Kč a podinterval 25-200 Kč. 2.

, podle tabulek se následně dá určit jak riziková akcie je,

zpravidla čím vyšší P/E poměr tím vyšší rizikovost. Kvalita akcie se dá určit z následující tabulky. My jsme si stanovili podinterval 12-23 z celkového intervalu 0-50, tudíž chceme potencionálně obchodovat s akciemi, které se považují za stabilní.

P/E poměr 0 – 10

Závěr vyplívající pro akcii dané firmy Buďto je akcie dané firmy podhodnocena, nebo jsou zisky dané firmy v úpadku.

Pro většinu akcií se P/E poměr pohybující v tomto intervalu považuje za dobrou 10 – 17 hodnotu.

Akcie dané společnosti je buď nadhodnocená, nebo zisk dané společnosti vzrostl 17 – 25 oproti posledním publikovaným výsledkům. 25 +

Společnost, od níž se očekává v budoucnosti velký růst, nebo její letošní zisk byl velmi nízký. Případně mohou její akcie být obětí spekulace.

zdroj – http://en.wikipedia.org/wiki/Price%E2%80%93earnings_ratio

3. Dividenda – suma, která se vyplácí akcionářům dané firmy ve stanovený termín (tzv. rozhodný den). Její výše není přímo závislá na tom, zda akcie rostla nebo klesala, ale na rozhodnutí valné hromady dané firmy. Zde jsme si stanovili celkový interval 0-1000 a podinterval 100-300. 4. Tržní kapitalizace – tržní hodnota akciové společnosti. Spočítáme ji tak, že objem všech akcií dané firmy na trhu vynásobíme aktuální cenou jedné akcie. Celkový interval byl 10 000 - 200 000. My jsme si stanovili podinterval 20 000 - 60 000.

5. b Algoritmus Na základě výše zmíněných kritérií a seřazení jich dle pořadí našeho rozhodování získáme algoritmus. Ten je znázorněn na dolním schématu.

Zde vidíme samotný program (psaný v jazyce Java) vycházející z našeho algoritmu – function vypocet(){ var pokusy = 1000000; var vyhrajeNakupAkcie = 0; var prohrajeNakupAkcie = 0; for(var i = 0;i<pokusy;i++){ var num1 = Math.random() * (1000); var num2 = Math.random() * (50); var num3 = Math.random() * (1000); var num4 = Math.random() * (190)+10;

if (nakupAkcie(num1, num2, num3, num4) == true) { vyhrajeNakupAkcie += 1; }else { prohrajeNakupAkcie += 1;

(1)

(2)

(3) (4)

} } Logger.log("Nakup:"+vyhrajeNakupAkcie); Logger.log("Prodej:"+prohrajeNakupAkcie) } function nakupAkcie(num1, num2, num3, num4) {

(5)

if (num1 > 25 && num1 < 500) {

(6)

if (num2 > 12 && num2 < 30) {

(7)

if (num3 > 100 && num3 < 500) {

(8)

if (num4 > 20 && num4 < 100) {

(9)

return true;

(10)

}}}} return false;

(11)

}; Komentář (1) Počet pokusů – zde zadáme, kolikrát chceme pokus opakovat, respektive s kolika akciemi chceme pokus provést (jeden pokus = jedna akcie) (2) Generátor pseudonáhodných čísel pro jednotlivé parametry dané akcie, var num1 reprezentuje cenu, var num2 P/E poměr, var num3 Dividendu, var num4 tržní kapitalizaci. Za každou proměnou je stanoven interval, do kterého mají být čísla generována. (3) Přírůst výher – pokud je výsledek srovnání parametrů dané akcie označen jako pozitivní, tak program na základě tohoto příkazu připíše 1 k počtu pozitivních výsledků. (4) Přírůst proher - pokud není některá z podmínek splněna, program na základě tohoto příkazu připíše 1 k počtu negativních výsledků. (5) Následuje soubor podmínek, které akcie musí splnit, abychom dostali pozitivní výsledek. (6) Zadání rozpětí ceny – zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k další podmínce. Pokud ne tak je srovnání ukončeno. (7) P/E poměr - zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k další podmínce. Pokud ne tak je srovnání ukončeno. (8) Dividenda - zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k další podmínce. Pokud ne tak je srovnání ukončeno.

(9) Tržní kapitalizace - zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k dalšímu příkazu. Pokud ne tak je srovnání ukončeno. (10)Pokud akcie splnila všechna srovnání, tak tento příkaz označí výsledek jako pozitivní. (11)Pokud akcie nesplnila některé ze srovnání, tak tento příkaz označí výsledek jako pozitivní.

5. c Výsledky Počet pokusů (akcií) – 1 000 000 Počet pozitivních výsledků – 1 674 = 0,1674 % Počet negativních výsledků – 998 326 = 99,8326 %

5. d Ověření výsledků Pro ověření výsledků nejdříve spočítáme pravděpodobnost pro získání pozitivního výsledku za námi daných podmínek (6. a) a tou následně vynásobíme počet akcií, se kterým jsme provedli náš experiment. Pravděpodobnost získání pozitivního výsledku u jednotlivých kritérií výběru Cena Počet všech možných výsledků – n = 1000 Počet všech příznivých výsledků – m = 200 – 25 = 175

P/E poměr Počet všech možných výsledků – n = 50 Počet všech pozitivních výsledků – m = 23 – 12 = 11

Dividenda Počet všech možných výsledků – n = 1000 Počet všech pozitivních výsledků – m = 300 – 100 = 200

Tržní kapitalizace Počet všech možných výsledků – n = 190 000 Počet všech příznivých výsledků – m = 60 000 – 20 000 = 40 000

Tudíž pravděpodobnost, že za námi daných podmínek dostaneme pozitivní výsledek (akcie bude odpovídat všem podmínkám) je

Tuto pravděpodobnost vynásobíme počtem pokusů (akcií), se kterými jsme počítali a tím získáme počet akcií, který by měl odpovídat námi zadaným podmínkám.

6. Závěr Námi experimentálně získaný počet se liší o 53 akcií od předpokládaného výsledku (odchylka 5,3 * %). Vzhledem k takto malé odchylce můžeme konstatovat, že náš algoritmus negeneruje chybné výsledky a tudíž se nám podařilo nasimulovat počet akcií, které odpovídají námi zadaným podmínkám. Ovšem je potřeba si uvědomit, že bychom mohli ještě zpřísnit kritéria pro výběr akcie. Také by se mohla použít jinak definovaná pravděpodobnost.

7. Použitá literatura FABIÁN, F, KLUIBER, Z. Metoda Monte Carlo a možnosti jejího uplatnění. Praha: Prospektum s.r.o., 1998. 148 s. ISBN 80-7175-058-1. Bakalářská práce- Statistická metoda Monte Carlo Bc.Jakub Kupčík , UTB Zlín publikováno 2009 Bakalářská práce- Monte Carlo simulace v ekonometrii Autor: Klára Vopatová VŠE publikováno 2013 HAVLÍČEK, Jiří. Iracionální čísla: Ludolfovo číslo π. In: [online]. [cit. 2014-02-03]. Dostupné z: http://iracionalnicisla.ic.cz/Pi/Zajimavosti.html PIVETEAU, Jean. Britannica: Georges-Louis Leclerc, count de Buffon. In: [online]. [cit. 2014-02-03]. Dostupné z: http://www.britannica.com/EBchecked/topic/83673/Georges-Louis-Leclerc-count-deBuffon SCHUKLA, Gurav a Chelsey PARROTT-SHEFFER. Britannica: Stanislaw Marcin Ulam. In: [online]. [cit. 2014-02-03]. Dostupné z: http://www.britannica.com/EBchecked/topic/613123/Stanislaw-MarcinUlam O´CONNOR, J J a E F ROBERTSON. History at School of Mathematisc and Statistics: John von Neumann. In: [online]. [cit. 2014-02-03]. Dostupné z: http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Von_Neumann.html Wikipedia: John von Neumann. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001[cit. 2014-02-03]. Dostupné z: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/JohnvonNeumann-LosAlamos.gif/460pxJohnvonNeumann-LosAlamos.gif Wikipedia: Stanislaw Ulam. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001[cit. 2014-02-03]. Dostupné z: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Stanislaw_Ulam.tif/lossy-page1-413pxStanislaw_Ulam.tif.jpg