& Probabilitas
Statistika
Dispersi
Data
Dispersi Data Dispersi adalah ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data. Beberapa jenis ukuran dispersi data : Jangkauan (range) Simpangan rata-rata (mean deviation) Variansi (variance) Standar deviasi (standard deviation) Simpangan kuartil (quartile deviation) Koefisien variasi (coeficient of variation)
Jangkauan (Range) Dirumuskan : Range (r) = nilai max - nilai min Contoh 1. untuk data tak berkelompok: Data 1: 50,50,50,50,50 ; mempunyai r = 50-50=0 Data 2: 30,40,50,60,70 ; mempunyai r = 70-30=40
Contoh 2. untuk data berkelompok: Kelas Berat Badan
Nilai Tengah(X)
Frekuensi (f)
60-62 63-65 66-68 69-71 72-74
61 64 67 70 73
5 18 42 27 8
mempunyai range data = 73 – 61 = 12
Simpangan Rata-rata (SR) Dirumuskan : SR adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi banyaknya data. Bila data tidak berkelompok, maka: |X X | SR n
Bila data berkelompok, maka: SR
f |X X | n
, di mana n f
di mana : X nilai data X rata rata hitung n banyak data
Simpangan Rata-rata (SR) Contoh 3. untuk data tak berkelompok: Tentukanlah simpangan rata-rata untuk kelompok data : 20, 30, 50, 70, 80! Jawab Rata rata hitung
X 50 dan n 5, maka
| 20 50 | | 30 50 | | 50 50 | | 70 50 | | 80 50 | 5 30 20 0 20 30 100 20 5 5
SR
Simpangan Rata-rata (SR) Contoh 4. untuk data berkelompok: Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut! Kelas (Modal)
Nilai Tengah (X)
Frekuensi (f)
112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174
116 125 134 143 152 161 170
4 5 8 12 5 4 2
f 40
Simpangan Rata-rata (SR) Jawaban Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut! Dimana rata – rata = 140,525 Kelas (Modal)
Nilai Tengah (X)
f
112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174
116 125 134 143 152 161 170
4 5 8 12 5 4 2
X–X 24,525 15,525 6,525 2,475 11,475 20,475 29,475
40 SR
f
|X X |
f
455,850 11,396 40
f |X – X| 98,100 77,625 52,200 29,700 57,375 81,900 58,950 455,950
Variansi (Variance) Dirumuskan : Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung. Bila data tidak berkelompok, maka: S
2
(X X )
2
n 1
Bila data berkelompok, maka: S2
f (X X ) n 1
2
di mana :
, di mana n f
X nilai data X rata rata hitung n banyak data
Variansi (Variance) Contoh 5. untuk data tak berkelompok: Tentukanlah variansi untuk kelompok data : 20, 30, 50, 70, 80! Jawab (20 50) 2 (30 50) 2 (50 50) 2 (70 50) 2 (80 50) 2 S 5 1 900 400 0 400 900 650 4 2
Variansi (Variance) Contoh 6. untuk data berkelompok: Tentukanlah variansi data modal 40 perusahaan berikut! Kelas (Modal)
Nilai Tengah (X)
Frekuensi (f)
112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174
116 125 134 143 152 161 170
4 5 8 12 5 4 2
f 40
Variansi (Variance) Jawaban Kelas (Modal)
Nilai Tengah (X)
f
112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174
116 125 134 143 152 161 170
4 5 8 12 5 4 2
(X – X)2 601,4756 241,0256 42,5756 6,1256 131,6756 419,2256 868,7756
40
S
2
f (X X ) n 1
2
8097,9741 207,64 39
f |X – X|2 2405,9024 1205,1280 340,6048 73,5072 658,3780 1676,9024 1737,5513 8097,9741
Standar Deviasi (Standard Deviation) Dirumuskan : Standar Deviasi adalah akar pangkat dua dari variansi. Bila data tidak berkelompok, maka: S
(X
X )2
n 1
Bila data berkelompok, maka: S 2
f (X X ) n 1
2
, di mana n f
Standar Deviasi (Standard Deviation) Contoh 7. untuk data tak berkelompok: Tentukanlah standar deviasi untuk kelompok data : 20, 30, 50, 70, 80! Jawab (20 50) 2 (30 50) 2 (50 50) 2 (70 50) 2 (80 50) 2 S 5 1 900 400 0 400 900 650 25,495 4
Standar Deviasi (Standard Deviation) Contoh 8. untuk data berkelompok: Tentukanlah standar deviasi data modal 40 perusahaan berikut! Kelas (Modal)
Nilai Tengah (X)
Frekuensi (f)
112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174
116 125 134 143 152 161 170
4 5 8 12 5 4 2
f 40
Standar Deviasi (Standard Deviation) Jawaban Kelas (Modal)
Nilai Tengah (X)
f
112-120 121-129 130-138 139-147 148-156 157-165 166-174
116 125 134 143 152 161 170
4 5 8 12 5 4 2
(X – X)2
f |X – X|2
601,4756 241,0256 42,5756 6,1256 131,6756 419,2256 868,7756
40
S
f (X X ) n 1
2
8097,9741 39
2405,9024 1205,1280 340,6048 73,5072 658,3780 1676,9024 1737,5513 8097,9741
207,64 14,410
Simpangan Kuartil (Quatile Deviation) Simpangan Kuartil adalah setengah jarak antara kuartil ke 3 dan kuartil ke 1. Rumusnya:
SK = [ K3 – K1 ] / 2
Koefisien Variasi (Coeficient of Variance) Digunakan untuk membandingkan beberapa kumpulan data yang berbeda. Rumusnya:
S V 100% X V = Ukuran variasi relatif (koefisien variasi) S = Simpangan baku X = Mean
Koefisien Variasi (Coeficient of Variance) Contoh 9. Hasil ujian dari 120 orang • MK Statistika – Rata-rata = 65 – Simpangan Baku = 30 • MK Matematika – Rata-rata = 56 – Simpangan Baku = 23 Hasil ujian matakuliah manakah yang variansinya lebih besar?
Karena Vs > Vm berarti hasil ujian statistika lebih bervariasi (heterogen) dibanding hasil ujian matematika!
Kemiringan Distribusi Data Kemiringan adalah derajat atau ukuran dari asimetri suatu distribusi data, ada tiga jenis : a) Simetris Letak nilai rata-rata hitung, median dan modus berhimpit
b) Miring ke kanan/kemiringan positif Nilai modus paling kecil dan rata-rata hitung paling besar
c) Miring ke kiri/ kemiringan negatif Nilai modus paling besar dan rata-rata hitung paling kecil
Kemiringan Distribusi Data Simetris
Miring Kanan
Miring Kiri frekuensi
x
frekuensi
frekuensi x
x
Mod=Med=X
Mod
Med X
Mod Med X
Kemiringan Distribusi Data Beberapa cara yang dipakai untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data: a) Pearson b) Momen c) Bowley
Pearson • Dirumuskan :
• Rumus ini dapat dipakai untuk data tidak berkelompok maupun data berkelompok, dengan aturan sbb:
– Bila = 0, distribusi data simetri – Bila = negatif, distribusi data miring ke kiri – Bila = positif, distribusi data miring ke kanan • Semakin besar , distribusi data akan semakin miring atau makin tidak simetri.
Momen • Dirumuskan : Bila data tidak berkelompok, maka:
Bila data berkelompok, maka:
Bila 3 = 0, distribusi data simetri Bila 3 < 0, distribusi data miring ke kiri Bila 3 > 0, distribusi data miring ke kanan
Bowley • Dirumuskan :
Jika distribusi simetris maka
sehingga
mengakibatkan
Jika distribusinya MIRING, ada 2 kemungkinan: Q1 = Q2 maka = 1 Q2 = Q3 maka = -1
= 0.
Mari dikerjakan..... Diketahui data berat badan 100 mahasiswa kelas Statistika dan Probabilitas adalah sebagai berikut: Berat Badan 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74
Frekuensi (f) 5 18 27 8 42 100
Mari dikerjakan..... Tentukanlah: 1. Jangkauan, Simpangan Rata-rata, Variansi, dan Standar Deviasi-nya. 2. Derajat kemiringan dan jenisnya dari data tersebut! Silahkan kerjakan secara matematis (gunakan rumus yang tadi dipelajari) dan buktikan dengan SPSS! (harus disertai printscreen).
Boleh melakukan diskusi tetapi dilarang menyontek! Kumpulkan secara pribadi ke
[email protected] dengan subject: dispersi_data_NIM. Paling lambat pukul 12.00WIB
Keruncingan Distribusi Data Keruncingan adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data, ada tiga jenis: a) Leptokurtis Distribusi data yang puncaknya relatif tinggi.
b) Mesokurtis Distribusi data yang puncaknya normal.
c) Platikurtis Distribusi data yang puncaknya rendah atau terlalu datar.
Keruncingan Distribusi Data Leptokurtis
Platikurtis
Mesokurtis frekuensi
frekuensi
frekuensi
Puncak runcing
Puncak normal
Puncak tumpul
Koefisien Kurtosis • Dirumuskan : Bila data tidak berkelompok, maka:
Bila data berkelompok, maka:
Bentuk kurva keruncingan – kurtosis: Mesokurtik, 4 = 3 Leptokurtik, 4 > 3 Platikurtik, 4 < 3
Mau bertanya..?
