PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI

TINJAUAN AN TEORI GALAT SECARA STATISTI STATISTIS

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh : Wuri Johana Fransiska NIM: 053114005

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2012

i


STATISTICAL ANALYSIS OF ERROR THEORY

THESIS

Presented As As a Partial Fulfillment of The Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree In Mathematics

By : Wuri Johana Fransiska Student Number: 053114005

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MAT MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2012

ii




I do not like to repeat successes, I like to go on to other things. -Walt DisneyDia yang bisa menaklukkan orang lain adalah manusia kuat, dia yang bisa menaklukkan dirinya adalah manusia super. -Lao TzeGuard your heart with all vigilance, for from it are the sources of life. -Psalm 4:23-

Skripsi ini kupersembahkan kepada: Bapak, ibu, kakak-kakakku, dan nenekku, untuk seluruh keluarga besarku, sahabat, teman, dosen, dan almamaterku.

v




ABSTRAK Setiap pengukuran yang dilakukan pasti akan menghasilkan galat. Galat menunjukkan simpangan antara nilai pengukuran dan nilai sebenarnya serta ketidakpastian dalam suatu percobaan. Galat sendiri dapat diklasifikasikan menjadi: galat acak, galat sistematis, dan galat tidak sah. Teori galat bertujuan untuk mengetahui pendugaan galat sehingga suatu pengukuran dapat dilaporkan dengan lengkap dan benar. Analisis galat adalah studi dan evaluasi ketidakpastian dalam pengukuran. Dengan adanya pemahaman yang benar tentang teori galat, maka kemampuan untuk mengevaluasi ketidakpastian dan menjaganya untuk minimum dapat tercapai. Dari ketiga klasifikasi galat, hanya galat acaklah yang dapat dianalisis secara statistis. Analisis ini meliputi analisis standar deviasi  x  dan standar deviasi nilai rata-



rata  x   x

n



sebagai galat pada pengukuran tunggal. Keunggulan dari

standar deviasi nilai rata-rata adalah faktor

n pada penyebutnya, sehingga galat

perlahan-lahan akan berkurang selama n meningkat. Jika x1 ,..., x n adalah hasil n pengukuran besaran x yang sama, maka pendugaan terbaik untuk besaran x adalah x dan galat yang berhubungan dengan pengukuran besaran tersebut adalah x   x , sehingga secara statistis galat dinyatakan dalam bentuk x  x '  x , dimana x '  x .

viii


ABSTRACT Every measurement will produce error. Error indicates the deviation between the measurement and the true value and also a measure of uncertainty in an experiment. Error can be classified into: random error, systematic error, and illegitimate error. The error theory aims to find the error estimation so that a measurement can be reported completely and correctly. Error analysis is a study and an evaluation of measurement uncertainty. A better understanding of the error theory, the better ability of evaluating the uncertainty and keep the uncertainty minimum as possible. Of the three classification of error, only random error that can be analyzed statistically. This analysis includes the analysis of standard deviation

 x 



and standard deviation of the mean  x   x



n as an error in a single

measurement. An important feature of the standard deviation of the mean is the factor

n in the denominator, so that the error would slowly decrease as long as

n increase. Consider x1 ,..., x n are the result of n measurements of the same quantity x , then the best estimate of the quantity x is x and the error related to the measurement of the quantity is x   x , so that the error can be expressed statistically as x  x '  x , where x '  x .

ix


KATA PENGANTAR

Puji syukur dan terima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan karunia kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini ditulis untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis mendapat bantuan, bimbingan dan arahan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada : a. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma. b. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si. selaku Ketua Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma. c. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selau dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu dan membantu serta sabar membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. d. Prof. Dr. Frans Susilo, S.J. selaku dosen pembimbing akademik. e. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat berguna kepada penulis. f. Seluruh karyawan sekretariat FST yang telah memberikan pelayanan administrasi kepada penulis selama masa kuliah.

x


PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL ............................................................................

i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING....................................

iii

HALAMAN PENGESAHAN ...............................................................

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................

v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..........................

vi

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............

vii

ABSTRAK.............................................................................................

viii

ABSTRACT ..........................................................................................

ix

KATA PENGANTAR ...........................................................................

x

DAFTAR ISI ........................................................................................

xii

DAFTAR TABEL .................................................................................

xvi

DAFTAR GAMBAR.............................................................................

xvii

BAB I PENDAHULUAN .....................................................................

1

A. Latar Belakang Masalah .............................................................

1

B. Perumusan Masalah ....................................................................

2

C. Pembatasan Masalah...................................................................

3

D. Tujuan Penulisan.........................................................................

3

E. Metode Penulisan........................................................................

3

F. Manfaat Penulisan.......................................................................

4

G. Sistematika Penulisan .................................................................

4

BAB II TEORI GALAT ...........................................................................

6

A. Galat ......................................................................................... xii

7

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI B. Deskripsi Awal Analisis Galat .................................................

8

1.

Galat sebagai Ketidakpastian ............................................

9

2.

Sifat yang tidak dapat Dihindarkan dari Galat ..................

9

3.

Pentingnya Mengetahui Galat ...........................................

11

4.

Menduga Galat dalam Pembacaan Skala ..........................

15

5.

Menduga Galat dalam Pengulangan Pengukuran..............

17

C. Cara Memperoleh Galat............................................................

19

D. Klasifikasi Galat .......................................................................

21

1.

Galat Acak .........................................................................

22

2.

Galat Sistematis .................................................................

24

3.

Galat tidak Sah ..................................................................

27

E. Melaporkan dan Menggunakan Galat.......................................

28

1.

Pendugaan Terbaik dan Galat............................................

28

2.

Angka Penting ...................................................................

29

3.

Penyimpangan ...................................................................

31

4.

Membandingkan Nilai Terukur dengan Nilai Sebenarnya

33

5.

Perbandingan Dua Bilangan Hasil Pengukuran ................

36

6.

Memeriksa dengan Grafik .................................................

39

7.

Galat Fraksional.................................................................

48

8.

Angka Penting dan Galat Fraksional .................................

52

9.

Mengalikan Dua Bilangan Terukur ...................................

54

F. Nilai Harapan............................................................................

59

G. Variansi dan Kovariansi ...........................................................

62

H. Korelasi.....................................................................................

63

BAB III RAMBAT GALAT..................................................................... xiii

65

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI A. Galat pada Pengukuran Langsung ............................................

66

B. Metode Akar Kuadrat untuk Percobaan Membilang................

69

C. Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian...........

73

1.

Penjumlahan dan Pengurangan..........................................

73

2.

Perkalian dan Pembagian ..................................................

75

D. Besaran yang Diukur kali Nilai Eksak ....................................

81

E. Pangkat .....................................................................................

83

F. Kovariansi pada Perambatan Galat...........................................

86

G. Galat Independen dalam Penjumlahan .....................................

96

H. Lebih Jauh tentang Galat Independen ......................................

103

I.

Fungsi Sebarang Satu Variabel ................................................

108

J.

Rumus Umum Rambat Galat....................................................

115

BAB IV ANALISIS STATISTIS GALAT ACAK ...............................

121

A. Nilai Rata-rata dan Standar Deviasi .........................................

121

B. Standar Deviasi sebagai Galat pada Pengukuran Tunggal .......

128

C. Standar Deviasi Nilai Rata-rata ................................................

135

D. Galat Sistematis ........................................................................

139

E. Pertimbangan dalam Galat Penjumlahan Kuadrat....................

146

1.

Besaran Hasil Pengukuran Ditambah Nilai tertentu..........

146

2.

Besaran Hasil Pengukuran Dikalikan Nilai tertentu..........

148

3.

Penjumlahan Dua Besaran Hasil Pengukuran....................

149

4.

Kasus Umum................................................................. ....

153

BAB V PENUTUP............................................................................ ....

155

A. Kesimpulan................................................................................

155

B. Saran.......................................................................................... xiv

157

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................

xv

158


DAFTAR TABEL Halaman Tabel 2.2.5.1............................................................................................

18

Tabel 2.5.5.1............................................................................................

37

Tabel 2.5.5.2............................................................................................

38

Tabel 2.5.6.1............................................................................................

41

Tabel 2.5.6.2............................................................................................

43

Tabel 2.5.8.1............................................................................................

54

Tabel 3.6.1...............................................................................................

89

Tabel 3.6.2...............................................................................................

92

Tabel 3.6.3...............................................................................................

93

Tabel 4.1.1...............................................................................................

123

Tabel 4.1.2...............................................................................................

124

Tabel 4.2.1...............................................................................................

131

Tabel 4.2.2...............................................................................................

134

Tabel 4.3.1...............................................................................................

138

Tabel 4.3.2...............................................................................................

138

xvi


DAFTAR GAMBAR Halaman Ganbar 2.1 ...............................................................................................

7

Gambar 2.2.3.1........................................................................................

12

Gambar 2.2.4.1........................................................................................

16

Gambar 2.2.4.2........................................................................................

17

Gambar 2.4.2.1........................................................................................

25

Gambar 2.5.3.1........................................................................................

32

Gambar 2.5.3.2........................................................................................

33

Gambar 2.5.5.1........................................................................................

36

Gambar 2.5.5.2........................................................................................

39

Gambar 2.5.6.1........................................................................................

41

Gambar 2.5.6.2........................................................................................

42

Gambar 2.5.6.3........................................................................................

44

Gambar 2.5.6.4........................................................................................

45

Gambar 2.5.6.5........................................................................................

46

Gambar 2.5.6.6........................................................................................

47

Gambar 2.5.6.7........................................................................................

47

Gambar 2.5.6.8........................................................................................

48

Gambar 3.1.1...........................................................................................

67

Gambar 3.7.1...........................................................................................

98

Gambar 3.7.2...........................................................................................

98

Gambar 3.9.1...........................................................................................

109

xvii


Gambar 3.9.2...........................................................................................

111

Gambar 4.2.1...........................................................................................

129

Gambar 4.2.2...........................................................................................

131

Gambar 4.6.1.1........................................................................................

146

Gambar 4.6.1.2........................................................................................

147

Gambar 4.6.3.1........................................................................................

149

Gambar 4.6.3.2........................................................................................

149

Gambar 4.6.3.3........................................................................................

150

xviii


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Semua pengukuran, meskipun dilakukan secara hati-hati dan ilmiah, tidak terlepas dari ketidakpastian. Analisis galat adalah studi dan evaluasi dari ketidakpastian ini. Dua fungsi utamanya adalah untuk memungkinkan ilmuwan menduga seberapa besar ketidakpastian tersebut dan untuk membantunya mengurangi ketidakpastian tersebut jika diperlukan. Analisis ketidakpastian atau analisis galat adalah bagian penting dari setiap percobaan ilmiah, oleh karena itu analisis galat adalah bagian penting dari setiap materi di bidang ilmu pengetahuan yang

bersifat

percobaan.

Tantangan

pendugaan

ketidakpastian

dan

pengurangannya ke tingkat yang memungkinkan diambilnya suatu kesimpulan tepat dapat mengubah suatu pengukuran yang biasa dan membosankan ke suatu penggunaan yang benar-benar menarik. Tulisan ini menjadi pengantar untuk analisis galat dalam materi dasar fisika yang bersifat percobaan dalam bidang ilmu pengetahuan atau teknik. Analisis galat bukanlah bagian yang paling penting dari materi tersebut, tetapi justru paling sering disalahgunakan dan diabaikan. Pada banyak materi, analisis galat "diajarkan" dengan membagi-bagikan beberapa halaman catatan berisi beberapa rumus, dan para praktikan kemudian diharapkan mengerjakan suatu laporan laboratorium berdasarkan rumus-rumus tersebut. Hasilnya adalah bahwa analisis galat menjadi ritual yang tak berarti, di mana praktikan menambahkan beberapa

1


2

baris perhitungan sampai akhir setiap laporan laboratorium, bukan karena dia memahami mengapa, tetapi hanya karena instruktur telah mengatakan untuk melakukannya. Harus diakui bahwa tanpa memahami dasar teori, mustahil suatu praktikum di laboratorium dapat dikerjakan dengan baik. Tugas praktikum dan pelaporannya tidak jarang dianggap sesuatu yang terpaksa dilakukan karena tercantum dalam kurikulum. Karena itu kerja praktikum dilakukan dengan semangat ingin tahu yang minimum. Percobaan dilakukan dengan tidak banyak pengertian yang cukup tentang maksud dan tujuannya, karena kurang dipersiapkan. Pengukuran dilakukan dengan cara otomatis tanpa ada kesadaran tentang apa yang sebenarnya terjadi. Ini semua berakibat timbulnya rasa bosan dan jemu, dan waktu di laboratorium seolah-olah merupakan waktu yang sia-sia. Hal ini bersumber pada kurang diberikannya motivasi pada para praktikan untuk melakukan suatu percobaan. Dalam skripsi ini, topik yang akan dibahas adalah tentang galat, deskripsi awal analisis galat, cara memperoleh galat, klasifikasi galat, cara melaporkan dan menggunakan galat, rambat galat, dan analisis statistis galat acak yang berkonsentrasi hanya pada pengukuran variabel-variabel fisika.

B. Perumusan Masalah Berdasarkan atas uraian yang dikemukakan dalam latar belakang, pokok permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Apakah yang dimaksud dengan galat? 2. Bagaimana deskripsi awal analisis galat?


3

3. Bagaimana cara memperoleh galat? 4. Bagaimana klasifikasi galat? 5. Bagaimana cara melaporkan dan menggunakan galat? 6. Apa yang dimaksud dengan rambat galat? 7. Bagaimana analisis statistis galat acak?

C. Pembatasan Masalah Pembahasan masalah teori galat dalam skripsi ini dibatasi pada aplikasi teori galat dalam pengukuran variabel-variabel fisika.

D. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan skripsi ini adalah: 1. Mengetahui galat. 2. Mengetahui deskripsi awal analisis galat. 3. Mengetahui cara memperoleh galat. 4. Mengetahui klasifikasi galat. 5. Mengetahui cara melaporkan dan menggunakan galat. 6. Mengetahui rambat galat. 7. Mengetahui analisis statistis galat acak.

E. Metode Penulisan Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan karangan


4

ilmiah yang telah dipublikasikan. Jadi, dalam skripsi ini tidak ada penemuan baru.

F. Manfaat Penulisan Manfaat yang diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah: 1. Dapat mengetahui galat. 2. Dapat mengetahui deskripsi awal analisis galat. 3. Dapat mengetahui cara memperoleh galat. 4. Dapat mengetahui klasifikasi galat. 5. Dapat mengetahui cara melaporkan dan menggunakan galat. 6. Dapat mengetahui rambat galat. 7. Dapat mengetahui analisis statistis galat acak.

G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi gambaran secara umum tentang isi skripsi ini yang meliputi latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan. BAB II TEORI GALAT Bab ini berisi beberapa teori yang melandasi pembahasan bab selanjutnya yaitu galat, deskripsi awal analisis galat, cara memperoleh galat, klasifikasi galat, melaporkan dan menggunakan galat, nilai harapan, variansi dan kovariansi, serta korelasi.


5

BAB III RAMBAT GALAT Bab ini membahas tentang galat pada pengukuran langsung, metode akar kuadrat

untuk

percobaan

membilang,

penjumlahan;

pengurangan;

perkalian; dan pembagian, besaran yang diukur kali nilai eksak, pangkat, kovariansi pada perambatan galat, galat independen dalam penjumlahan, lebih jauh tentang galat independen, fungsi sebarang satu variabel, dan rumus umum rambat galat. BAB IV ANALISIS STATISTIS GALAT ACAK Bab ini membahas tentang nilai rata-rata dan standar deviasi, standar deviasi sebagai galat pada pengukuran tunggal, standar deviasi nilai ratarata, galat sistematis, dan pertimbangan dalam galat penjumlahan kuadrat. BAB V KESIMPULAN Bab ini berisi kesimpulan dari keseluruhan materi yang telah dipaparkan dan saran.


BAB II TEORI GALAT

Galat akan selalu muncul karena ketidaksempurnaan. Tidak ada manusia yang sempurna, begitu juga dengan semesta ini. Hal-hal yang ada di dalamnya pun serba kekurangan. Tuhan memang memberikan alam dan segala isinya kepada manusia, namun tidak semuanya dapat dipergunakan secara langsung oleh manusia. Manusia dibekali logika dan ilmu pengetahuan untuk memaksimalkan fungsi alam, salah satunya adalah dengan melakukan pengamatan. Setiap pengamatan pasti menghasilkan galat. Galat ini memberikan informasi sejauh mana tingkat kesalahan pengamatan tersebut. Sebelum masuk ke rincian analisis galat, penting untuk memahami makna kesalahan dalam ilmu pengetahuan. Galat dalam pengukuran ilmiah biasanya tidak berarti kesalahan. Sebaliknya istilah "galat" atau "ketidakpastian" keduanya merujuk pada ketidaktepatan yang tidak dapat dihindari dalam pengukuran. Tentu saja, tidak semua pengukuran memiliki galat. Jika ditanya berapa banyak orang ada di dalam ruangan, seseorang biasanya dapat memberikan angka yang tepat sebagai jawaban. Namun, jika ingin mengetahui berapa banyak atom yang ada dalam sebuah ruangan, memberikan jawaban yang pasti adalah hal yang hampir mustahil, seperti diilustrasikan dalam gambar di bawah ini.

6


7

Gambar 2.1 Atom dalam Ruangan Pengukuran yang sering dilakukan sebagian besar adalah pengukuran dari jenis kedua

yaitu

penentuan

banyak

atom

dalam

sebuah

ruangan.

Karena

ketidakmampuan mengukur sesuatu dengan presisi tinggi, maka harus diketahui cara untuk mengukur ketidaktepatan hasilnya. Misalkan dilakukan pengukuran suatu besaran fisika. Pengukuran tersebut tidak pernah dilakukan hanya untuk kepentingan sendiri. Pengukuran biasanya diteruskan ke dunia luar agar orang lain memperoleh manfaatnya, baik untuk keperluan ilmu ataupun keperluan praktis. Misalnya adalah: 

mengukur panjang dan lebar meja untuk mengetahui luasnya agar dapat memesan jumlah cat yang cukup,



mengukur modulus kekenyalan besi agar dapat merencanakan pembuatan jembatan kereta api dengan tepat.

A. Galat Kata ini mempunyai dua makna yaitu : 1.

Untuk menunjukkan simpangan antara nilai pengukuran dan nilai sebenarnya. Kecuali pada beberapa kasus yang sudah jelas (seperti percobaan penentuan rasio antara keliling dan diameter suatu lingkaran),


8

nilai sebenarnya tidak diketahui dan besarnya galat didasarkan pada nilai hipotetik yaitu nilai yang diasumsikan dengan hipotesis. 2. Dalam penulisan bilangan seperti  0,000008 1010 , galat menunjukkan ketidakpastian dalam suatu percobaan dan dinyatakan dalam beberapa istilah sebagai simpangan baku, simpangan rata-rata, probabilitas galat, atau indeks presisi. Pengukuran dari besaran fisis tidak akan pernah dibuat dengan ketelitian yang sempurna, akan selalu ada beberapa galat yang muncul. Untuk beberapa pengukuran ada tak hingga bilangan dari faktor yang dapat menyebabkan sebuah nilai yang diperoleh dari percobaan menyimpang dari nilai sebenarnya. Kebanyakan dari faktor ini mempunyai pengaruh yang dapat diabaikan pada hasil percobaan. Bagaimanapun, beberapa pengaruh dapat menyebabkan perubahan yang signifikan atau galat percobaan. Jika sebuah pengukuran bermanfaat, sangatlah penting untuk mempunyai gambaran kuantitatif dari besarnya galat. Oleh karena itu, ketika hasil percobaan dilaporkan, maka hasil percobaan ini disertai dengan pendugaan yang dinamakan galat. Galat menyatakan seberapa besar dapat dipercayanya suatu hasil pengukuran yang dilakukan seorang peneliti.

B. Deskripsi Awal Analisis Galat Analisis galat adalah studi dan evaluasi ketidakpastian dalam pengukuran. Pengalaman menunjukkan bahwa tidak ada pengukuran, meskipun dilakukan secara hati-hati, yang dapat benar-benar bebas dari ketidakpastian. Karena seluruh


9

struktur dan penerapan ilmu tergantung pada pengukuran, kemampuan untuk mengevaluasi ketidakpastian dan menjaganya untuk minimum sangat penting. 1. Galat sebagai Ketidakpastian Dalam ilmu pengetahuan, kata galat tidak sama dengan kata kekeliruan. Galat dalam pengukuran ilmiah berarti ketidakpastian yang tak terelakkan yang hadir dalam semua pengukuran. Dengan demikian, galat bukanlah kekeliruan. Galat tidak bisa dihilangkan sekalipun dengan hati-hati. Hal terbaik yang bisa dilakukan adalah memastikan bahwa galat sekecil mungkin dan memiliki perkiraan yang dapat dipercaya tentang seberapa besar galat tersebut. Galat digunakan semata-mata dalam pengertian ketidakpastian, sehingga galat dan ketidakpastian dapat digunakan secara bergantian.

2. Sifat yang tidak dapat Dihindarkan dari Galat Salah satu cara untuk menggambarkan terjadinya galat yang tidak dapat dihindarkan adalah dengan memeriksa setiap pengukuran sehari-hari dengan hati-hati. Contoh 2.2.2.1 Seorang tukang kayu yang harus mengukur tinggi pintu sebelum memasang pintu. Sebagai pengukuran kasar pertama, dia memperkirakan tinggi pintu adalah 210 cm. Pengukuran mentah ini tentu saja menjadi persoalan pada galat. Jika didesak, tukang kayu itu mungkin mengungkapkan galat ini dengan mengakui bahwa ketinggian pintu bisa suatu bilangan berapapun diantara 205 cm dan 215 cm. Jika dia ingin pengukuran yang lebih teliti, dia akan


10

menggunakan meteran dan mungkin menemukan tingginya 211,3 cm. Pengukuran ini tentu lebih tepat daripada pendugaan aslinya, tapi hal ini jelas masih menjadi persoalan karena tidak mungkin baginya untuk mengetahui tinggi pintu tepatnya yaitu apakah 211,3000 cm atau 211,3001 cm. Galat ini didapat dari banyak sumber. Sebagai contoh, salah satu sumber galat adalah bahwa pencahayaan yang buruk menghambat pembacaan meteran. Masalah ini dapat diperbaiki dengan meningkatkan pencahayaan. Di sisi lain, beberapa sumber galat adalah hakiki pada proses pengukuran yang tidak dapat dihapus seluruhnya. Sebagai contoh, andaikan meteran tukang kayu dibagi dalam setengah sentimeter, maka pengukuran pintu akan lebih baik. Dengan membeli meteran yang lebih baik dan tanda skala lebih halus, tukang kayu dapat mengurangi galat, tapi tidak bisa menghilangkan itu sepenuhnya. Jika dia berkeinginan untuk menemukan ketinggian pintu dengan kemungkinan presisi terbaik maka dia bisa membeli sebuah interferometer laser mahal. Tetapi ketepatan interferometer juga terbatas pada jarak dari urutan panjang gelombang cahaya (sekitar 0,5  10 6 m). Meskipun setelah itu tukang kayu akan mampu mengukur tinggi dengan presisi yang lebih baik, dia tetap tidak akan tahu ketinggian pintu secara tepat. Selanjutnya, selama tukang kayu berupaya untuk mendapatkan presisi yang lebih baik, ia akan menghadapi masalah penting dari prinsip dasar. Dia pasti akan menemukan bahwa ketinggian akan berbeda di tempat yang berbeda. Bahkan di satu tempat, dia akan menemukan bahwa tinggi bervariasi jika suhu dan kelembaban berbeda.


11

Apa yang dialami tukang kayu menggambarkan bahwa tidak ada besaran fisis (misalnya: panjang, waktu, dan suhu) dapat diukur dengan pasti. Dengan perhatian yang benar, galat dapat dikurangi, namun tidak mungkin untuk menghilangkan sepenuhnya. Jika dikatakan bahwa jarak antara rumah dan sekolah adalah 3 mil, apakah ini berarti "suatu tempat antara 2,5 mil dan 3,5 mil" atau "suatu tempat antara 2,99 mil dan 3,01 mil" biasanya tidak penting. Ketika tukang kayu menyesuaikan pintu, ia harus tahu tinggi pintu dengan galat yang kurang dari 1 mm atau lebih. Selama galat yang kecil ini, pintu akan menjadi sesuai dengan ambangnya, dan kekhawatirannya terhadap analisis galat pun berakhir.

3. Pentingnya Mengetahui Galat Contoh tukang kayu mengukur pintu menggambarkan bagaimana galat selalu hadir dalam pengukuran. Sekarang akan diberikan contoh yang menggambarkan lebih jelas tentang pentingmya mengetahui seberapa besar galat ini. Contoh 2.2.3.1 Misalkan dihadapkan dengan suatu masalah yang telah dipecahkan oleh Archimedes, yaitu diminta untuk mencari tahu apakah sebuah mahkota terbuat dari emas 18 karat atau logam campuran yang lebih murah. Berdasarkan Archimedes, maka diputuskan untuk menguji berat jenis mahkota tersebut yaitu  dengan mengetahui bahwa berat jenis emas 18 karat dan logam campuran adalah


12

 emas  15,5 g/cm 3 dan

 campuran  13,8 g/cm 3 . Jika berat jenis mahkota dapat diukur, maka berdasarkan saran Archimedes harus mampu untuk memutuskan apakah mahkota tersebut benar-benar emas dengan membandingkan  dengan  emas dan  campuran . Misalkan pengukuran berat jenis ini menggunakan dua orang yang ahli di bidangnya. Ahli pertama, Deni, membuat pengukuran cepat dan melaporkan bahwa pendugaan terbaik untuk

 adalah 15 g/cm 3 dan interval nilai

dugaannya terletak antara 13,5 g/cm 3 dan 16,5 g/cm 3 . Ahli kedua, Keli, membutuhkan waktu yang sedikit lebih lama dan kemudian melaporkan pendugaan terbaiknya yaitu 13,9 g/cm 3 dengan interval nilai dugaannya (13,7  14 ,1) g/cm 3 .

Gambar 2.2.3.1 Dua Pengukuran Berat Jenis Sebuah Mahkota Emas


13

Hasil dari pengukuran ini adalah bahwa meskipun pengukuran Keli jauh lebih tepat, namun pengukuran Deni mungkin juga benar. Masing-masing ahli menyatakan interval  yang mereka percayai berada, dan interval tersebut saling berhimpitan sehingga sangat mungkin bahwa kedua pernyataan adalah benar. Selanjutnya perhatikan bahwa ketidakpastian dalam pengukuran Deni begitu besar sehingga hasilnya tidak ada gunanya. Berat jenis emas 18 karat dan berat jenis campuran berada dalam intervalnya, yaitu (13,5  16,5) g/cm 3 sehingga tidak ada kesimpulan yang dapat ditarik dari pengukuran Deni. Di sisi lain, pengukuran Keli menunjukkan dengan jelas bahwa mahkota tidak asli, berat jenis dari campurannya diduga 13,8 g/cm 3 terletak dalam interval pendugaan Keli yaitu (13,7  14,1) g/cm 3 , tetapi berat jenis emas 18 karat yaitu 15,5 g/cm 3 tidak masuk dalam interval tersebut. Jadi kesimpulannya adalah

mahkota tersebut lebih mungkin terbuat dari logam campuran daripada logam emas. Jelas sekali, jika pengukuran bertujuan untuk mendapatkan kesimpulan, galat dalam suatu penelitian tidak boleh terlalu besar, tetapi tidaklah harus terlalu kecil. Dalam hal ini, contoh tersebut adalah jenis pengukuran ilmiah, yang ketidakpastiannya harus cukup kecil (mungkin beberapa persen dari nilai terukur) tetapi tidaklah perlu menggunakan presisi yang terlalu ekstrim. Karena keputusan bergantung pada klaim Keli bahwa  terletak pada interval (13,7  14,1) g/cm 3 , maka dia harus memberikan alasan yang cukup agar klaimnya dapat dipercaya. Dengan kata lain, dia harus memberikan alasan mengenai pernyataan interval pendugaannya. Hal ini sering diabaikan oleh


14

peneliti pemula yang hanya menyatakan hasil galat mereka tetapi mengabaikan pembenaran apapun. Tanpa penjelasan singkat tentang bagaimana galat diduga, kesimpulan yang dihasilkan hampir tidak ada gunanya. Poin yang terpenting tentang pengukuran yang dilakukan oleh dua ahli tersebut adalah, seperti kebanyakan pengukuran ilmiah, pengukuran mereka tidak akan berguna jika mereka tidak menyertakan pernyataan yang reliabel dari galat mereka. Kenyataannya, jika hanya diketahui dua pendugaan terbaik ( 15 g/cm 3 untuk Deni dan 13,9 g/cm 3 untuk Keli), maka selain tidak dapat

menarik kesimpulan yang valid, sebenarnya kedua pendugaan tersebut menyesatkan karena hasil pendugaan Deni yaitu 15 g/cm 3 memberikan hasil bahwa mahkota adalah asli atau terbuat dari logam emas. Contoh lain yang lebih kompleks adalah dalam ilmu terapan, misalnya: a. para insinyur yang ingin merancang pembangkit listrik harus mengetahui karakteristik bahan baku dan bahan bakar yang digunakan untuk membuatnya, b. produsen kalkulator saku harus mengetahui komponen-komponen elektronik yang dibutuhkan untuk proses pembuatannya. Pada tiap kasus di atas, peneliti harus mengukur parameter yang relevan dan setelah mengukurnya harus menentukan reliabilitasnya yang menghasilkan analisis galat. Seorang insinyur yang mengurusi keselamatan pesawat terbang, kereta, atau mobil harus memahami galat waktu reaksi pengemudi terhadap jarak pengereman, dan berbagai variabel lain. Kegagalan dalam melakukan analisis galat dapat menyebabkan kecelakaan. Meskipun bukan dalam kancah


15

ilmu pengetahuan, yakni pada industrri pembuatan pakaian, analisis galat dalam bentuk pengendalian mutu mempunyai peran yang sangat penting. Dalam ilmu pengetahuan dasar, analisis galat mempunyai peran yang sangat penting. Ketika teori-teori baru ditemukan, teori-teori tersebut harus dites terlebih dulu dengan teori yang lama dengan cara melakukan satu atau beberapa kali percobaan (yang diduga baik oleh teori baru maupun teori lama) yang menghasilkan hasil yang berbeda. Pada dasarnya, seorang peneliti hanya melakukan percobaan dan baru menyimpulkan setelah hasilnya terlihat. Dalam prakteknya, kondisinya sangatlah rumit karena adanya galat dalam percobaan yang tidak dapat dihindari. Galat ini harus dianalisa secara rinci dan efeknya akan berkurang sampai akhirnya dihasilkan satu teori yang dapat diterima dari percobaan itu. Teori tersebut (hasil dari percobaan yang memuat galat) harus konsisten dengan prediksi dari salah satu teori dan harus tidak konsisten dengan teori-teori yang lainnya. Intinya adalah, keberhasilan dari suatu prosedur bergantung pada pemahaman ilmuwan atau peneliti terhadap analisis galat dan bergantung pada kemampuannya untuk meyakinkan semua orang akan pemahaman ini.

4. Menduga Galat dalam Pembacaan Skala Sejauh ini, telah diberikan beberapa contoh yang menggambarkan mengapa setiap pengukuran tidak lepas dari galat dan mengapa besarnya galat penting untuk diketahui. Pendugaan yang wajar dari galat beberapa pengukuran


16

dapat dilakukan dengan akal sehat yang sederhana. Berikut ini terdapat beberapa contoh tentang bagaimana menghitung besarnya galat. Contoh 2.2.4.1 Mengukur panjang pensil menggunakan penggaris

Gambar 2.2.4.1 Mengukur Panjang dengan Penggaris Panjang yang ditampilkan ternyata lebih dekat ke 36 mm dari pada 35 mm atau 37 mm tetapi tidak bisa dijamin bahwa ukuran itu tepat, sehingga kesimpulannya adalah pendugaan panjang terbaik =36 mm. kemungkinan jangkauan =35,5-36,5 mm . Dari pengamatan tersebut, kesimpulan yang bisa dibuat adalah besaran terletak lebih dekat ke nilai yang diberikan yaitu 36 mm daripada nilai yang lainnya. Dengan alasan ini, banyak ilmuwan menyepakati bahwa pernyataan p =36 mm tanpa pembatasan apapun dianggap berarti bahwa p lebih dekat ke 36 mm daripada 35 mm atau 37 mm, yaitu p =36 mm

yang artinya adalah 35,5 mm  p  36,6 mm.


17

Contoh 2.2.4.2 Mengukur tegangan menggunakan voltmeter

Gambar 2.2.4.2 Membaca Skala pada Voltmeter Jarak antar satuan hitung pada voltmeter pada gambar lebih lebar daripada jarak antar satuan hitung pada penggaris. Jarum terletak di antara dua angka. Karena jarak antar angkanya lebih lebar daripada jarak angka pada penggaris, maka dari melihat gambar saja bisa diperkirakan letak jarum voltmeter tersebut berada. Dengan demikian, kesimpulan yang mungkin adalah pendugaan tegangan terbaik =5,3 volt, kemungkinan jangkauan:(5,2-5,4) volt. Proses menduga posisi antara skala bertanda disebut interpolasi yang keterampilan melakukannya dapat ditingkatkan dengan banyak latihan.

5. Menduga Galat dalam Pengulangan Pengukuran Banyak pengukuran melibatkan galat yang jauh lebih sulit untuk diduga daripada pengukuran yang berhubungan dengan mencari titik-titik pada skala seperti pada contoh sebelumnya. Sebagai contoh, ketika mengukur interval


18

waktu menggunakan stopwatch, sumber utama galat bukanlah kesulitan membaca angka tetapi pada waktu reaksi individu yang tidak diketahui dalam memulai dan menghentikan stopwatch. Kadang-kadang jenis galat dapat diduga dengan tingkat kepercayaan yang tinggi jika pengukuran dapat diulang beberapa kali. Contoh 2.2.5.1 Sebuah pendulum yang diayunkan dengan waktu periode satu kali mendapatkan hasil sebesar 2,3 detik. Jika hanya dilakukan satu kali pengukuran saja, maka tidak akan bisa disimpulkan tentang galat percobaan. Tetapi jika pengukuran diulangi dan kemudian misalnya didapatkan 2,4 detik, maka dapat dikatakan bahwa ketidakpastiannya mungkin adalah sebesar 0,1 detik. Misalnya dilakukan empat kali pengukuran sebagai berikut Tabel 2.2.5.1 Pengukuran Periode Pendulum

No.

Waktu (detik)

1 2 3 4

2,3 2,4 2,5 2,4

maka akan dapat dibuat beberapa pendugaan yang cukup realistis. Pertama, asumsi alaminya adalah bahwa pendugaan terbaik periode tersebut adalah nilai rata-ratanya yaitu 2,4 detik. Kemudian asumsi selanjutnya adalah bahwa


19

periode tersebut benar terletak di antara nilai terendah yaitu 2,3 detik dan nilai tertinggi 2,5 detik. Jadi, bisa disimpulkan bahwa pendugaan terbaik = rata-rata = 2,4 detik, interval kemungkinan: 2,3  2,5 detik.

C. Cara Memperoleh Galat Cara memperoleh galat adalah dengan pengukuran. Definisi 2.3.1.1 Pengukuran Pengukuran adalah tindakan atau proses menentukan kuantitas, kapasitas, atau dimensi dari suatu kejadian berdasarkan suatu aturan. Pengukuran dapat dibagi menjadi tiga jenis menurut cara melakukannya, yaitu: a. Pengukuran langsung Pengukuran ini dilakukan dengan cara membandingkan langsung sesuatu yang akan diukur dengan sebuah standar yang dipakai sebagai alat ukurnya. Misalnya seseorang mengukur panjang seutas tali, ia akan membandingkan panjang tali itu dengan mistar yang dimilikinya. b. Pengukuran tidak langsung Pengukuran ini terpaksa dilakukan karena berbagai macam sebab, antara lain keterbatasan panca indra manusia sebagai sensor terhadap gejala alam yang akan diukur. Untuk melihat benda-benda mikroskopis, manusia perlu alat bantu yaitu mikroskop. Untuk mengukur arus listrik manusia perlu mengubah dulu gejala listrik menjadi gejala mekanik suatu jarum amperemeter.


20

c. Pengukuran dengan perhitungan Pengukuran ini dilakukan berdasarkan pada hasil-hasil pengukuran yang dilakukan sebelumnya. Hasil ukurnya didapat melalui suatu perhitungan data pengukuran langsung maupun tidak langsung. Contohnya adalah volume tabung dapat diukur langsung dengan gelas ukur, dan dapat juga dihitung dari hasil ukur diameter dan tingginya. Contoh lain adalah massa jenis suatu zat cair dapat diukur dengan densimeter, dan dapat juga dihitung dengan mengukur lebih dulu massa dan volumenya. Definisi 2.3.1.2 Percobaan Definisi percobaan menurut Robert, Steel, dan Torrie (1989) adalah penyelidikan terencana untuk mendapatkan fakta baru. Percobaan merupakan kegiatan yang tidak terpisahkan

dengan istilah

penelitian di bidang fisis. Kegiatan ini meliputi tiga hal sekaligus yaitu: pengukuran, pengolahan dan analisa data. Ketiga hal ini terkait satu dengan lainnya demikian erat sehingga pembahasannya pun tidak dapat dipisahkan secara tegas. Definisi 2.3.1.3 Data Data adalah informasi dalam bentuk mentah atau tidak terorganisasi (seperti huruf, angka, atau simbol) yang mengacu pada, atau mewakili, kondisi, ide, atau objek. Definisi 2.3.1.4 Datum Datum adalah item dari informasi faktual yang berasal dari pengukuran atau penelitian.


21

Data merupakan bentuk jamak dari datum yang berasal dari bahasa Latin yang berarti “sesuatu yang diberikan”. Dalam penggunaan sehari-hari data berarti suatu pernyataan yang diterima secara apa adanya. Pernyataan ini adalah hasil pengukuran atau pengamatan suatu variabel yang bentuknya dapat berupa angka, kata-kata, atau citra. Data harus diolah dahulu supaya dapat ditampilkan secara terintegrasi dan ilmiah. Tampilan hasil pengolahan inilah yang kemudian perlu diinterpretasikan melalui suatu analisa. Kegiatan pengukuran memerlukan dua perangkat penting yaitu peralatan sebagai perangkat kerasnya dan metode pengukuran sebagai perangkat lunaknya. Keduanya digunakan secara serempak untuk mendapatkan data yang sebaikbaiknya. Sebelum pembahasan tentang pengukuran dilanjutkan, ada baiknya mengetahui karakter-karakter hasil pengukuran (data) yang akan diperoleh. Data hasil pengukuran terhadap suatu besaran fisis tidak akan memberikan suatu nilai yang tepat. Ini berarti bahwa data ini pasti mengandung galat Hal ini disebabkan oleh banyak faktor antara lain keterbatasan jangkauan ukur alat yang digunakan, kelemahan metode pengukurannya, karakteristik alamiah besaran itu sendiri, dan lain-lain. Jadi data yang dapat disajikan nantinya hanyalah merupakan perkiraan terbaik tentang nilai besaran yang diukur.

D. Klasifikasi Galat Ada tiga jenis galat, yaitu galat acak, sistematis, dan tidak sah. Definisi 2.4.1. Galat Acak Definisi galat acak menurut Taylor (1939) adalah galat percobaan yang dapat


22

dinyatakan dengan mengulang pengukuran. Definisi 2.4.2 Galat Sistematis Definisi galat sistematis menurut Taylor (1939) adalah galat percobaan yang tidak dapat dinyatakan dengan mengulang pengukuran. Menurut Beers (1957) ada tipe galat yang lain yaitu galat tidak sah. Dalam percobaan-percobaan yang sangat teliti sekalipun, kebanyakan atau bahkan semua jenis galat sebelumnya selalu ditemukan, meskipun derajatnya kecil,. Galat-galat tersebut harus dibicarakan dalam suatu laporan tertulis. Bagaimanapun, ada beberapa jenis galat yang dapat dihindarkan yang tidak mempunyai tempat dalam suatu percobaan yaitu galat tidak sah. Penjelasan dan contoh dari masing-masing jenis galat tersebut adalah sebagai berikut 1. Galat Acak Jika suatu pengukuran tertentu diulang beberapa kali maka nilai-nilai yang didapat pada umumnya beragam. Sebab-sebab keberagaman antara nilainilai yang satu dengan yang lain merupakan sebab-sebab timbulnya selisih antara nilai-nilai tadi dengan nilai yang sebenarnya. Galat acak biasanya dihasilkan dari kesalahan manusia dan kesalahan yang tidak disengaja. Kesalahan yang tidak disengaja adalah kesalahan yang tidak selalu terulang ketika pengamatan diulang dalam kondisi yang sama. Kesalahan yang tidak disengaja disebabkan oleh perubahan kondisi percobaan diluar kendali peneliti. Contoh-contoh dari kesalahan manusia dan kesalahan yang tidak disengaja tersebut adalah :


23

a. Galat menaksir. Contohnya adalah kebanyakan alat mengharuskan dilakukannya suatu taksiran terhadap pembagian skala terkecil yang dimilikinya. Taksiran pengamat yang satu mungkin berbeda dengan yang lain dari waktu ke waktu karena berbagai macam sebab. Contoh lain adalah stopwatch yang ditekan terlalu cepat menurut reaksi individu. b. Kondisi-kondisi yang berfluktuasi (seperti suhu, tekanan, tegangan kawat, kelembaban), yaitu keadaan yang selalu berubah-ubah sedikit demi sedikit.. Contohnya adalah perbedaan hasil sinyal detektor foto yang disebabkan oleh fluktuasi suhu lingkungan, keacakan proses alami seperti kerusakan radioaktif atau emisi foton yang menghasilkan fluktuasi yang tidak disengaja dari angka pendeteksi kejadian selama pengukuran waktu t, pengukuran titik didih air yang selalu berubah-ubah. c. Gangguan. Contohnya adalah getaran mekanik dapat menyebabkan goyangan jarum miliamperemeter sehingga arus yang terbaca berubah-ubah meskipun arus yang sesungguhnya tidak berubah, pengambilan sinyal palsu dari dekat rotasi mesin listrik atau peralatan lain. d. Definisi. Walaupun proses pengukuran dilakukan dengan sempurna, pengulangan pengukuran pada suatu besaran yang sama mungkin masih belum berhasil, sebab besaran itu mungkin tidak didefinisikan secara tepat. Contohnya adalah panjang meja persegi panjang bukan suatu besaran eksak dengan berbagai alasan tepian meja tidak rata (setidaknya jika dilihat menggunakan kaca pembesar) atau sesungguhnya tepian itu tidak benarbenar lurus. Contoh lainnya adalah pengukuran diameter suatu pipa. Dalam


24

perhitungan penampang pipa dianggap sebagai lingkaran sempurna, padahal penampangnya tidak mungkin bulat sempurna. Oleh sebab itu nilai ukur diameter yang didapat bergantung ke arah mana diameter ini diukur. Dalam tiap percobaan, galat acak ini selalu ada. Galat acak dapat diperkecil dengan melakukan pengamatan berulang kali lalu menghitung harga rata-ratanya. Kesalahan manusia melibatkan banyak hal seperti kesalahan hitung dalam analisis data, atau prasangka pribadi dalam mengasumsikan bahwa bacaan tertentu lebih dapat dipercaya dari pada yang lain. Pada dasarnya, galat acak tidak dapat diukur dengan tepat selama besarnya galat acak dan pengaruhnya pada nilai percobaan berbeda untuk setiap pengulangan percobaan. Jadi, metode statistis biasa digunakan untuk memperoleh estimasi galat acak dalam suatu percobaan. Galat acak selalu menunjukkan bahwa hasil pengukuran menyimpang dari nilai yang sebenarnya. Jika pengukuran dilakukan secara berulang, maka penyimpangan ke bawah atau ke atas dari nilai sebenarnya akan seimbang satu dengan yang lain.

2. Galat Sistematis Definisi 2.4.2.1 Kalibrasi Definisi kalibrasi menurut ISO/IEC Guide 17025:2005 dan Vocabulary of International Metrology (VIM) (2005) adalah kegiatan yang menghubungkan nilai yang ditunjukkan oleh instrumen ukur atau nilai yang diwakili oleh bahan


25

ukur dengan nilai-nilai yang sudah diketahui tingkat kebenarannya (yang berkaitan dengan besaran yang diukur). Galat sistematis biasanya muncul dari

faktor-faktor yang dapat

dihasilkan dalam perubahan sistematis hasil percobaan. Faktor-faktor itu adalah : a. Galat kalibrasi peralatan . Ini adalah galat yang disebabkan oleh kerusakan peralatan. Contohnya adalah mengukur jarak menggunakan meteran yang tidak rata, menggunakan peralatan yang tidak dikalibrasi, jangka sorong dengan simpangan yang terhambat sehingga susah disesuaikan, timbangan elektronik yang diatur dengan kurang baik. Hal-hal yang tidak menyenangkan tentang galat ini adalah bahwa tidak ada peringatan selama pengukuran. b. Galat perseorangan. Ini adalah galat yang disebabkan oleh kebiasaan individu pengamat. Misalnya adalah timbulnya kesalahan paralaks. Galat ini timbul apabila pada waktu membaca skala, mata pengamat tidak tegak lurus di atas jarum penunjuk. Banyak alat ukur yang memakai jarum penunjuk yang kemudian dilengkapi dengan suatu cermin yang terpasang di bawah jarum untuk menghindari paralaks.

Gambar 2.4.2.1 Paralaks


26

c. Kondisi-kondisi percobaan. Ini adalah galat yang disebabkan oleh peralatan yang digunakan dalam kondisi-kondisi percobaan yang berbeda (seperti tekanan atau suhu) dan tidak adanya koreksi yang dibuat. Contohnya adalah pengukuran tekanan udara di Makasar pada suhu 25 0 C dengan barometer yang dikalibrasi di Italia pada suhu 0 0 C, hasil pengukurannya akan salah jika tidak diadakan koreksi terhadap ketinggian tempat dan suhu. d. Teknik yang kurang sempurna. Ini adalah galat yang disebabkan oleh penggunaan teknik pengukuran yang salah. Contohnya adalah mengabaikan pengaruh hambatan udara, gesekan udara, dan kekentalan, misalnya pengukuran kekentalan oleh Hukum Poiseuille memerlukan pengukuran dari jumlah zat cair yang muncul dari peralatan di waktu yang diberikan. Jika sejumlah kecil dari zat cair memercik keluar bejana yang digunakan untuk menangkapnya, maka galat ini dihasilkan. Contoh lainnya adalah dalam percobaan mengukur panas jenis benda padat. Benda ini mula-mula dipanaskan di dalam ruang di atas air yang mendidih, suhu mula-mula dianggap sama dengan suhu titik didih air. Benda ini kemudian diangkat dan dimasukkan kedalam kalorimeter dengan cepat. Meskipun hal ini dilakukan dengan cepat namun selama benda bergerak di udara ada kalor dari benda merambat ke udara, sehingga kalor yang terukur dalam kalorimeter lebih kecil daripada yang sesungguhnya. Kehadiran galat sistematis sulit diantisipasi pada awal percobaan, kecuali peneliti yang melakukannya adalah orang yang berpengalaman. Biasanya galat sistematis dapat diidentifikasi setelah percobaan selesai dilakukan dan diolah


27

datanya. Jika dalam suatu percobaan terdapat galat sistematis, hasil olahannya akan menunjukkan kesalahan yang teratur (sistematis). Misalnya hasil yang semestinya konstan akan diperoleh dalam pengolahan data sebagai besaran yang berubah secara sistematis. Meskipun sifat dan besar galat sistematis sulit untuk diprediksi dalam praktek, beberapa usaha seharusnya dibuat untuk mengukur pengaruhnya sewaktu-waktu dimungkinkan. Kesesuaian peralatan akan membantu mengurangi galat sistematis. Galat sistematis dapat dihilangkan atau diperkecil dengan memelihara peralatan pengujian, menerapkan perbaikan pada pengaruh lingkungan, menggunakan model matematika yang berlaku, dan koreksi-koreksi atau mengulang

percobaan

setelah

menghilangkan

sebab-sebab

yang

menimbulkannya. Galat sistematis harus ditemukan dan dihapuskan. Bagaimanapun, jika tingkat galat sistematis misalnya sisa pembelokan dari ohmmeter, aliran suhu dari amplifier, atau galat kalibrasi dari termometer diketahui, maka dapat digunakan sebagai catatan pada hasilnya.

3. Galat tidak Sah Ada tiga tipe galat tidak sah yaitu : a. Galat karena kesalahan tindakan (Blunders). Galat ini adalah galat yang disebabkan

oleh

kesalahan

seketika

dalam

membaca

peralatan,

menyesuaikan kondisi dari percobaan, atau melakukan perhitungan. Sebagai contoh harus diukur waktu untuk 12 ayunan ternyata yang diukur hanya 11


28

ayunan. Galat ini sebagian besar dapat dihapuskan dengan ketelitian dan dengan pengulangan dari percobaan dan perhitungan. b. Galat perhitungan. Alat-alat matematika yang dipilih untuk menghitung hasil dari sebuah percobaan (seperti mistar hitung, tabel logaritma, dan mesin hitung), haruslah mempunyai galat yang cukup kecil agar dapat diabaikan jika dibandingan dengan galat yang bersifat wajar (natural error) dari percobaan. Misalnya mengukur panjang sampai lima angka penting, maka akan timbul galat yang besar jika dihitung volume dengan mistar hitung yang hanya dapat dibaca sampai tiga angka. Untuk itu sebaiknya digunakan daftar logaritma atau alat penghitung lain yang lebih teliti. c. Galat chaos (chaotic errors). Jika pengaruh gangguan menjadi sangat besar jika dibandingkan dengan galat acak yang bersifar wajar, maka dinamakan galat chaos (chaotic errors). Dalam situasi tersebut percobaan harus dihentikan sampai sumber dari gangguan dihilangkan.

E. Melaporkan dan Menggunakan Galat 1. Pendugaan Terbaik dan Galat Suatu cara yang benar untuk menyatakan hasil pengukuran adalah dengan memberikan pendugaan terbaik dan interval dimana suatu besaran berada. Sebagai contohnya adalah pendugaan periode pendulum yang dilaporkan sebagai berikut pendugaan waktu terbaik = 2,4 detik, interval kemungkinan: 2,3  2,5 detik.


29

Nilai pendugaan terbaiknya adalah 2,4 detik. Nilai ini terletak pada titik tengah interval, sehingga pengukuran periode pendulum dinyatakan sebagai berikut nilai waktu terukur = 2,4  0,1 detik. Persamaan tunggal ini sama dengan dua kesimpulan sebelumnya. Secara umum, hasil dari setiap pengukuran suatu besaran x dinyatakan sebagai

x  xterbaik  x

(2.5.1.1).

Artinya, pertama bahwa dugaan terbaik seorang peneliti untuk besaran yang bersangkutan adalah nilai xterbaik , dan kedua adalah bahwa peneliti cukup yakin bahwa besaran tersebut terletak di suatu titik di antara xterbaik  x dan xterbaik  x . Nilai x disebut ketidakpastian atau galat dalam pengukuran x . Galat didefinisikan selalu positif, sehingga xterbaik  x selalu sebagai nilai kemungkinan tertinggi dan xterbaik  x adalah nilai kemungkinan terendah dari besaran yang diukur.

2. Angka Penting Cara menulis x dan x haruslah sesuai, dalam arti sebagai berikut. Misalkan suatu pengukuran menghasilkan x 

22  3,14285... . Berapa angka 7

desimalkah harus dilaporkan? Hal ini bergantung pada ketepatan yang tercapai dalam pengukuran itu, yakni pada galat x . Jika misalnya x diketahui atau ditemukan 0,01 , maka x harus dilaporkan juga dengan dua angka desimal,


30

jadi x  3,14  0,01 karena dengan galat x  0,01 diartikan angka desimal kedua mulai diragukan hingga pada x juga angka desimal kedua harus diragukan (yakni angka 4). Semua angka di depan angka yang diragukan, diketahui dengan tepat. Dikatakan besaran x diketahui dengan 3 angka penting. Pengertian angka penting mencakup semua angka yang diketahui dengan pasti dan angka pertama yang diragukan. Angka selanjutnya yang diragukan tidak dicantumkan dalam pelaporan. Jika karena sesuatu hal, misalnya pengulangan yang cukup banyak, x diketahui dengan lebih tepat, misalnya x  0,003 , maka x dapat dilaporkan sebagai x  3,143  0,003 . Nilai angka penting adalah empat. Kesimpulannya adalah, semakin tinggi ketepatan pengukuran, semakin banyak nilai angka penting yang boleh diikutsertakan dalam pelaporan. Perhatikan, x  3,1 dan x  3,10 berbeda artinya dilihat dari sudut ketepatan. Pengukuran pertama x  3,1 berarti angka 3 diketahui dengan tepat tetapi angka 1 diragukan sedangkan pada x  3,10 , selain angka 3, angka 1 juga diketahui dengan tepat, sedangkan angka 0 diragukan. Pengukuran dengan hasil 3,10 lebih tepat daripada yang menghasilkan 3,1. Seringkali ketelitian pengukuran dinyatakan dengan %, misalnya x

22 22  1% . Artinya adalah x   3,14285... dan x  0,0314285 ... . 7 7

Dengan berpikir sejenak dapat dimengerti bahwa x  0,03 . Dengan demikian

x dilaporkan sebagai x  3,14  0,03 yang memang memiliki ketelitian 1 % dan mengandung 1 angka saja yang meragukan.


Seandainya ketelitian pengukuran dinyatakan dengan x  3,14285...

dan

x  0,003142...

sehingga

0

00

31

, maka

pelaporannya

x  3,142  0,003 , jadi mempunyai empat angka penting. Sebaliknya dengan ketelitian hanya 10 %, x  3,1  0,3 sehingga mempunyai dua angka penting.

3. Penyimpangan Penyimpangan adalah selisih antara dua nilai yang diukur dari suatu besaran. Misalnya selisih antara dua nilai yang diukur dari suatu besaran yang sama yang diperoleh dua orang siswa, atau selisih antara nilai penelitian yang diperoleh seorang siswa dengan nilai yang terdapat dalam suatu handbook atau buku pelajaran. Banyak kesan keliru yang timbul, yaitu bahwa nilai-nilai yang dijumpai dalam handbook atau buku-buku pelajaran adalah nilai-nilai yang eksak atau benar. Semua nilai itu adalah hasil suatu percobaan dan mengandung galat. Beberapa diantaranya, misalnya dalam percobaan menentukan sifat-sifat dari bahan tertentu, nilai-nilai yang terdapat dalam handbook kurang dapat dipercaya jika dibandingkan dengan nilai-nilai yang didapatkan oleh peneliti karena contoh yang digunakan oleh peneliti itu mungkin berbeda dalam susunannya dibandingkan dengan bahan-bahan yang menjadi dasar dari nilai-nilai yang terdapat dalam handbook. Contoh 2.5.3.1 Dua siswa mengukur hambatan yang sama sebagai berikut


32

Siswa A: 15  1 ohm, Siswa B: 25  2 ohm, penyimpangannya adalah = 25 -15 =10 ohm. Ilustrasinya adalah sebagai berikut

Gambar 2.5.3.1 Dua Pengukuran Resistansi yang Sama Setiap pengukuran menunjukkan pendugaan terbaik, ditunjukkan oleh satu noktah, dan berbagai nilai kemungkinan, ditunjukkan dengan garis vertikal. Penyimpangan (selisih antara dua pendugaan terbaik) adalah 10 ohm dan signifikan karena jauh lebih besar dari gabungan galat dua pengukuran. Hampir pasti bahwa setidaknya salah satu peneliti melakukan kesalahan. Contoh 2.5.3.2 Dua siswa yang lain mengukur hambatan yang sama sebagai berikut Siswa C: 16  8 ohm, Siswa D: 26  9 ohm,


33

penyimpangannya adalah = 26 -16 = 10 ohm. Ilustrasinya adalah sebagai berikut

Gambar 2.5.3.2 Dua Perbedaan Pengukuran dari Resistansi yang Sama Penyimpangannya sama dengan contoh sebelumnya, yaitu 10 ohm. Namun dalam kasus ini, penyimpangannya tidak signifikan karena seperti ditunjukkan pada gambar, galat keduanya berhimpitan dan kedua pengukuran dapat benar semua. Penyimpangan antara dua pengukuran dari besaran yang sama dapat dinilai tidak hanya dalam ukurannya tetapi yang lebih penting lagi adalah dengan seberapa besar dibandingkan dengan galat dalam pengukuran.

4. Membandingkan Nilai Terukur dengan Nilai Sebenarnya Melakukan penelitian tanpa disertai dengan penarikan kesimpulan tidak akan banyak berguna. Beberapa penelitian akan menghasilkan sebagian besar kesimpulan yang kualitatif, misalnya adalah pola interferensi pada tangki reaksi atau warna pada lampu pemancar oleh susunan perkakas optik. Tetapi,


34

kebanyakan penelitian bertujuan untuk menghasilkan kesimpulan yang kuantitatif yaitu untuk menyatakan hasil yang numerik. Pengukuran tunggal tidak akan ada artinya. Pernyataan bahwa berat jenis beberapa logam adalah 9,3  0,2 gr/cm 3 atau momentum sebuah gerobak adalah 0,051  0,004 kgm/s tidak akan berarti karena hanya terdapat satu pengukuran saja. Kesimpulan yang berarti adalah kesimpulan yang diperoleh dengan membandingkan dua atau lebih bilangan yaitu hasil pengukuran dengan nilai sebenarnya, pengukuran dengan nilai prediksi secara teoritis, atau beberapa pengukuran lain. Hal ini dilakukan untuk menunjukkan bahwa masing-masing pengukuran berhubungan satu sama lain sesuai dengan hukum fisika. Contoh 2.5.4.1 Dilakukan penelitian untuk mengukur kecepatan suara di udara (suhu dan tekanan standar) oleh seorang siswa yaitu siswa A. Hasil pengukuran kecepatan siswa A= 329  5 m/s , dibandingkan dengan Kecepatan sebenarnya = 331 m/s . Karena nilai sebenarnya berada dalam interval galatnya, maka pengukuran siswa A benar atau memuaskan. Arti dari ketidakpastian x adalah bahwa nilai sebenarnya dari x kemungkinan berada antara xterbaik  x dan

xterbaik  x . Dimungkinkan juga

jika nilai sebenarnya berada masih disekitar interval ini. Oleh karena itu, pengukuran dapat dianggap memuaskan meskipun nilai sebenarnya berada sedikit diluar interval pendugaan.


35

Contoh 2.5.4.2 Dilakukan penelitian untuk mengukur kecepatan suara di udara (suhu dan tekanan standar) oleh siswa B. Hasil pengukuran kecepatan siswa B= 325  5 m/s , dibandingkan dengan Kecepatan sebenarnya = 331 m/s . Nilai sebenarnya tidak tepat berada dalam interval galatnya, meskipun begitu siswa B bisa mengklaim bahwa pengukurannya konsisten dengan nilai sebenarnya karena masih berada disekitar interval ini. Contoh 2.5.4.3 Dilakukan penelitian untuk mengukur kecepatan suara di udara (suhu dan tekanan standar) oleh siswa C. Hasil pengukuran kecepatan siswa C= 345  2 m/s , dibandingkan dengan Kecepatan sebenarnya = 331 m/s . Penyimpangannya adalah 14 m/s yaitu tujuh kali lebih besar daripada galat yang diberikan. Maka dapat disimpulkan dengan sangat meyakinkan bahwa nilai sebenarnya tidak berada dalam interval galatnya, sehingga ada masalah dengan percobaan pengukuran dari siswa B. Penyimpangan yang dilakukan oleh siswa C menunjukkan beberapa sumber yang tidak terdeteksi dari galat sistematis. Mendeteksi galat sistematis membutuhkan pemeriksaan yang hati-hati dari kalibrasi semua peralatan dan pemeriksaan yang rinci dari semua prosedur.


36

5. Perbandingan Dua Bilangan Hasil Pengukuran Contoh 2.5.5.1 Berikut ini adalah pengukuran momentum dua gerobak sebelum  p  dan sesudah q  tumbukan. q  1,56  0,06 kgm/s p  1,49  0,03 kgm/s

Gambar 2.5.5.1 Nilai Hasil Pengukuran Momentum Dua Gerobak Sebelum (p) dan Sesudah (q) Tumbukan Berdasarkan interval galat awal dan akhir momentum, keduanya saling berhimpitan yaitu (1,46  p  1,52) kgm/s dan (1,50  q  1,62) kgm/s . Jadi, pengukuran ini konsisten dengan hukum momentum. Jika tidak saling berhimpitan, maka kemungkinan ada kesalahan dalam hal pengukuran, galat sistematis, dan kemungkinan beberapa pengaruh dari luar misalnya gaya gravitasi dan gaya gesek yang menyebabkan momentumnya berubah. Jika dilakukan pengukuran yang diulang, maka cara terbaik untuk menyajikannya adalah dengan menggunakan tabel. Galat antar pengukuran memang sedikit berbeda, untuk itu perlunya meyakinkan diri sangat penting


37

dalam hal ini, misalnya galat dalam seluruh pengukuran momentum awal adalah p  0,03 kgm/s dan momentum akhir q  0,06 kgm/s . Tabel 2.5.5.1 Momentum Terukur (kgm/s)

Percobaan 1 2 3

Momentum awal  p   0,03 1,49 3,10 2,16

Momentum akhir q   0,06 1,56 3,12 2,05

Pengukuran menunjukkan bahwa masing-masing interval kemungkinan nilai p berhimpit atau hampir berhimpit dengan interval kemungkinan nilai q, sehingga pengukuran ini konsisten dengan hukum momentum. Jika terdapat banyak percobaan, maka akan membutuhkan waktu yang lama untuk mengeceknya satu persatu. Cara yang paling tepat adalah dengan menambahkan kolom keempat yaitu simpangan, p  q . Kesulitan metode ini adalah harus dihitung ketidakpastian dari p  q , yaitu p terukur  pterbaik  p , q terukur  q terbaik  q .

Bilangan

p terbaik dan qterbaik

adalah pendugaan terbaik dari p dan q ,

sehingga pendugaan terbaik untuk simpangan p  q adalah pterbaik  qterbaik . Untuk mencari galat p  q harus dicari nilai kemungkinan tertinggi dan terendah dari p  q . Nilai tertinggi untuk p  q dihasilkan jika p adalah


38

nilai kemungkinan terbesar, yaitu pterbaik  p dan pada waktu yang bersamaan q adalah nilai terkecilnya yaitu qterbaik  q seperti berikut ini

Nilai kemungkinan tertinggi untuk p  q  ( pterbaik  qterbaik )  (p  q) . Nilai kemungkinan terendah didapat jika

p adalah nilai kemungkinan

terkecil, yaitu p terbaik  p tetapi q adalah nilai terbesarnya yaitu qterbaik  q seperti berikut ini Nilai kemungkinan terendah untuk p  q  ( pterbaik  qterbaik )  (p  q) . Jadi, galat dalam simpangan p  q adalah jumlahan p  q dari galat semula. Sebagai contoh, jika p  1,49  0,03 kgm/s

dan q  1,56  0,06 kgm/s ,

maka p  q  0,07  0,09 kgm/s .

Tabel 2.5.5.2 Momentum Terukur (kgm/m)

Percobaan 1 2 3

Momentum awal  p   0,03 1,49 3,10 2,16

Momentum akhir q   0,06 1,56 3,12 2,05

Simpangan  p  q -0,07 -0,02 0,11


39

Gambar 2.5.5.2 Simpangan yang Dihasilkan dari Tiga Percobaan dalam Pengujian Hukum Momentum Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika dua besaran x dan y diukur dengan galat

x dan y dan jika nilai terukur x dan y digunakan untuk menghitung simpangan yaitu d  x  y , maka galat dalam d adalah jumlahan dari galat dalam x dan y dan ditulis sebagai

 d  x  y

(2.5.5.1).

6. Memeriksa dengan Grafik Banyak hukum-hukum fisika menyatakan bahwa satu besaran harus sebanding dengan besaran yang lain. Sebagai contoh, hukum Hooke menyatakan

bahwa

perpanjangan

pegas

sebanding

dengan

gaya

peregangannya, dan hukum Newton menyatakan bahwa percepatan benda


40

adalah sebanding dengan gaya total yang digunakan. Banyak percobaan di laboratorium dirancang untuk memeriksa kesebandingan ini. Jika suatu besaran y sebanding dengan besaran lain yaitu x , grafik y terhadap x merupakan garis lurus yang melalui titik nol. Jadi, untuk menguji apakah y sebanding dengan x adalah dengan melakukan plot nilai terukur dari y terhadap nilai-nilai terukur dari x dan perhatikan apakah titik yang dihasilkan terletak pada garis lurus yang melalui titik nol. Karena garis lurus begitu mudah dikenali, maka metode ini merupakan cara yang sederhana dan efektif untuk memeriksa kesebandingan. Untuk menggambarkan kegunaan grafik ini akan digunakan sebuah percobaan untuk menguji hukum Hooke. Hukum ini biasanya ditulis sebagai

F  kx , yang menyatakan bahwa perpanjangan pegas (x) adalah sebanding dengan gaya peregangannya (F), jadi x 

F , dimana k adalah konstanta gaya k

pegas. Cara sederhana untuk menguji hukum ini adalah dengan menggantung pegas secara vertikal dan menambahkan suatu beban (m) yang digantungkan pada pegas. Di sini, gaya (F) adalah berat beban (m) kali gravitasi (g) beban, maka perpanjangannya menjadi x

mg  g    m k k

(2.5.6.1)

Perpanjangan (x) harus sebanding dengan beban (m) dan grafik x terhadap m harus merupakan garis lurus yang melalui titik nol. Jika x diukur untuk berbagai beban yang berbeda dan nilai-nilai pengukuran x dan m ini kemudian diplot, maka titik yang dihasilkan hampir


41

pasti tidak akan terletak tepat pada garis lurus. Anggaplah misalnya diukur perpanjangan (x) untuk delapan beban yang berbeda dan mendapatkan hasil yang ditunjukkan pada tabel berikut ini Tabel 2.5.6.1 Beban dan Perpanjangan Beban (m) (gr) ( m diabaikan) 200 300 400 500 600 700 800 900

Perpanjangan (x) (cm)  0,3 1,1 1,5 1,9 2,8 3,4 3,5 4,6 5,4

dan digambarkan pada gambar berikut

Gambar 2.5.6.1 Beban dan Perpanjangan Gambar tersebut menunjukkan kemungkinan garis lurus yang melewati titik nol dan cukup dekat dengan kedelapan titik. Seperti yang seharusnya


42

diharapkan, kedelapan titik tidak terletak tepat pada garis. Pertanyaannya adalah apakah hasil ini berasal dari galat percobaan (seperti yang diharapkan), dari kesalahan yang dibuat, atau karena perpanjangan (x) yang tidak sebanding dengan m. Untuk menjawab pertanyaan ini, maka perlu mempertimbangkan galat yang dihasilkan.

Gambar 2.5.6.2 Beban dan Perpanjangan yang disertai dengan Error Bar yang Konsisten dengan Kesebandingan yang Diharapkan dari x dan m Pengukuran besaran yaitu perpanjangan (x) dan massa (m) pastilah mengikutsertakan galat. Untuk mempermudah, anggaplah bahwa massa yang digunakan diketahui dengan tepat, sehingga galatnya diabaikan. Anggaplah di sisi lain bahwa semua pengukuran x mempunyai galat sekitar 0,3 cm. Untuk beban 200 gram, misalnya, perpanjangan mungkin akan berada di sekitar 1,1 ± 0,3 cm. Titik percobaan pertama pada grafik tersebut yang terletak pada garis vertikal m = 200 gram adalah di suatu tempat di antara x = 0,8 cm dan x = 1,4 cm. Kisaran ini ditunjukkan pada gambar 2.5.6.2 disebut error bar yang melalui setiap titik untuk menunjukkan rentang di mana kemungkinan letak


43

titik tersebut. Harapannya adalah ditemukan garis lurus yang melewati titik nol dan melalui atau dekat dengan semua error bar. Gambar 2.5.6.2 mempunyai kemungkinan banyak garis, maka dari itu dapat disimpulkan bahwa data berdasarkan pada gambar 2.5.6.2 konsisten dengan kesebandingan yang diharapkan dari x dan m. Persamaan (2.5.6.1) menunjukkan bahwa kemiringan grafik x terhadap m adalah

g . Dengan mengukur kemiringan garis pada gambar 2.5.6.2, maka k

akan dapat dicari konstanta k pegas. Dengan menggambar kemiringan garis yang sesuai dengan data, maka akan dapat dicari galat dalam nilai ini untuk k. Contoh 2.5.6 1 Jika sebuah batu dilempar vertikal ke atas dengan kecepatan v, maka ketinggian batu akan mencapai puncak di h sehingga v 2  2 gh . Secara khusus, v 2 harus sebanding dengan h. Untuk menguji kesebandingannya ini, maka

akan diukur v 2 dan h untuk tujuh pelemparan berbeda dan hasilnya ditunjukkan pada Tabel berikut Tabel 2.5.6.2 Ketinggian dan Kecepatan sebuah Batu yang Dilempar Vertikal ke Atas h (m)  0,05 0,4 0,8 1,4 2,0 2,6 3,4 3,8

v 2 m/s 2 73 17  3 25  3 38  3 45  3 62  3 72  3


44

a. Buatlah plot v 2 terhadap h beserta dengan error bar vertikal dan horisontal. Apakah plot konsisten dengan prediksi bahwa v 2 sebanding dengan h? b. Kemiringan grafik haruslah 2g. Untuk mencari kemiringan, gambarlah garis lurus

”terbaik”

yang

melalui

titik-titik

dan

kemudian

ukurlah

kemiringannya. Untuk menemukan galat pada kemiringannya, gambarlah garis-garis yang sesuai dengan data. Kemiringan garis-garis ini memberikan nilai kemungkinan terbesar dan terkecil dari kemiringan. Apakah hasilnya konsisten dengan nilai 2 g  19,6 m/s 2 ? Penyelesaian a. v 2 (m/s 2 )

h( m)

Gambar 2.5.6.3 Plot v 2 terhadap h beserta dengan Errror Bar Vertikal dan Horisontal Berdasarkan gambar di atas, maka dapat disimpulkan bahwa plot v 2 terhadap h konsisten dengan prediksi bahwa v 2 sebanding dengan h.


45

b. Mengukur kemiringan garis Gradien garis yang melalui titik A(0,0) dan D(0,4;7,5) adalah y1  y 2 0  7,5   18,75 m/s 2 x1  x 2 0  0,4

Jadi, hasilnya konsisten dengan nilai 2 g  19,6 m/s 2 . Penentuan garis ”terbaik” di atas menggunakan metode ”free hand” yang bersifat tidak eksak. Oleh karena itu untuk menentukan garis itu konsisten atau tidak menjadi subjektif (jika subjektif orang dapat memperdebatkan sejauh mana 18,75 m/s 2 ”dekat” atau konsisten dengan 19,6 m/s 2 ) adalah dengan metode yang lebih eksak. Metode yang lebih eksak adalah Metode Kuadrat Terkecil yang akan dibahas kemudian. Jika garis lurus terbaik melewatkan jangkauan tertinggi dari interval galat atau jika garis lurus melewatkan beberapa jangkauan tertinggi dengan jarak yang besar (dibandingkan dengan panjang interval galat), hasilnya tidak akan konsisten dengan kesebandingan yang diharapkan dari x dan m. Situasi ini diilustrasikan pada gambar berikut.

Gambar 2.5.6.4 Beban dan Perpanjangan disertai dengan Error Bar yang Tidak Konsisten dengan Kesebandingan yang Diharapkan dari x dan m


46

Dengan hasil yang ditampilkan pada gambar tersebut, maka harus diperiksa kembali pengukuran dan perhitungan (termasuk perhitungan galat) dan mempertimbangkan apakah x tidak sebanding dengan m untuk beberapa alasan. Misalnya pada gambar 2.5.6.3, lima titik pertama dapat ditarik garis garis lurus melalui titik nol. Situasi ini menunjukkan bahwa x mungkin sebanding dengan m sampai dengan sekitar 600 gram, tetapi hukum Hooke terpatahkan pada titik itu dan pegas mulai meregang lebih cepat. Sejauh ini, telah dianggap bahwa galat dalam massa (yang digambar sepanjang sumbu horisontal) diabaikan dan bahwa galat hanya di x, seperti ditunjukkan oleh interval galat secara vertikal. Jika x dan m mengikutsertakan galat, cara paling sederhana untuk menampilkan mereka adalah dengan menggambar interval galat secara vertikal dan horisontal, yang panjangnya menunjukkan galat dalam x dan m seperti pada gambar berikut ini

Gambar 2.5.6.5 Pengukuran yang Mempunyai Galat di Semua Variabel Setiap bentuk salib pada gambar ini sesuai dengan salah satu pengukuran x dan m, di mana x kemungkinan terletak pada interval yang didefinisikan oleh interval vertikal salib dan m kemungkinan didefinisikan oleh interval horizontal salib.


47

Contoh lain yang sedikit lebih rumit adalah bahwa beberapa besaran diharapkan sebanding dengan pangkat dari besaran yang lain (misalnya, jarak tempuh benda jatuh bebas (d) sebanding dengan kuadrat t, yaitu d 

1 2 gt ). 2

Andaikan bahwa y diharapkan sebanding dengan x 2 , maka y  Ax 2

(2.5.6.2)

di mana A adalah suatu konstanta, dan grafik y terhadap x harus parabola dengan bentuk umum seperti pada gambar berikut.

Gambar 2.5.6.6 Grafik y terhadap x Jika y Sebanding dengan x 2 Jika diukur serangkaian nilai untuk y dan x dan memetakan y terhadap x, maka akan dihasilkan grafik seperti pada gambar berikut

Gambar 2.5.6.7 Kesulitan Pemeriksaan secara Visual Beberapa Nilai Terukur Plot y terhadap x


48

Sayangnya, secara visual menilai apakah sekumpulan titik tersebut membentuk suatu parabola (atau kurva lainnya kecuali garis lurus) sangat sulit. Cara yang lebih baik untuk memeriksa bahwa y sebanding dengan x 2 adalah dengan menggambar y terhadap x 2 . Dari persamaan (2.5.6.2), dapat dilihat bahwa beberapa grafik harus merupakan garis lurus, yang dapat diperiksa dengan mudah seperti pada gambar berikut

Gambar 2.5.6.8 Grafik y terhadap x 2 Merupakan Garis Lurus yang Melalui Titik Nol Dengan cara yang sama, jika y  Ax n , grafik y terhadap x n harus merupakan garis lurus, dan dengan memetakan nilai-nilai yang diamati dari y terhadap x n , maka akan dapat diperiksa dengan mudah untuk setiap pasangan titik. Ada situasi lain di mana hubungan nonlinier (yaitu yang menghasilkan kurva nonlinear) dapat dikonversi menjadi linear dengan pilihan suatu variabel yang tepat untuk dipetakan.

7. Galat Fraksional Galat dalam pengukuran seperti pada persamaan (2.5.1.1) menyatakan reliabilitas atau ketelitian dari pengukuran. Bagaimanapun, galat dengan


49

sendirinya tidak menggambarkan keadaan sebenarnya dari pengukuran. Sebuah galat satu inci dalam jarak satu mil akan menunjukkan suatu pengukuran yang teliti, sedangkan galat satu inci dalam jarak tiga inci akan menunjukkan perkiraan yang agak kasar. Jelas, kualitas pengukuran ditunjukkan bukan hanya oleh galat tetapi juga oleh perbandingan antara galat dan nilai terukurnya, yang disebut juga sebagai galat fraksional. galat fraksional 

x xterbaik

(2.5.7.1)

Galat fraksional sering disebut juga sebagai galat relatif atau presisi. Pada definisi ini, simbol xterbaik menunjukkan nilai mutlak xterbaik . Galat kadangkadang disebut galat mutlak untuk menghindari kerancuan dengan galat fraksional. Pada kebanyakan pengukuran, galat jauh lebih kecil dari nilai yang terukur. Karena galat fraksional biasanya adalah bilangan yang kecil, maka akan lebih baik jika mengalikannya dengan 100 dan menyatakannya sebagai galat persen. Misalnya, pengukuran panjang ( p )  50  1 cm mempunyai galat fraksional

p xterbaik



1  0,02 cm 50

dan galat persen 2%. Dengan demikian, hasil pengukurannya dapat dinyatakan sebagai berikut panjang ( p )  50  2% .


50

Perhatikan bahwa meskipun galat mutlak p mempunyai satuan yang sama dengan p, galat fraksional

p xterbaik

adalah besaran tak berdimensi, tanpa satuan.

Galat fraksional merupakan indikasi perkiraan kualitas pengukuran, berapapun ukuran besaran yang diukur. Galat fraksional 10% atau lebih biasanya mengindikasikan bahwa karakteristik pengukuran cukup kasar. (pengukuran kasar 10 inci setidaknya mempunyai galat 1 inci, pengukuran kasar 10 mil setidaknya mempunyai galat 1 mil). Galat fraksional 1% atau 2% merupakan karakteristik pengukuran yang cukup hati-hati dan merupakan galat fraksional terbaik yang diharapkan pada banyak percobaan di laboratorium fisika dasar. Galat fraksional yang kurang dari 1% seringkali sulit untuk dicapai dan agak jarang ditemukan di laboratorium dasar. Sebuah pengukuran sederhana dapat mempunyai galat fraksional sebesar 0,1% atau kurang. Meteran dapat dengan mudah mengukur jarak 10 meter dengan galat

1 milimeter, atau sekitar 0,1%, sebuah stopwatch yang baik 10

dapat dengan mudah mengukur jangka waktu satu jam dengan galat kurang dari satu detik, atau 0,03%. Di sisi lain, untuk besaran lain yang sangat sulit diukur, galat 10% akan dianggap sebagai percobaan yang berhasil. Maka dari itu, galat persen yang besar tidak selalu berarti bahwa pengukuran tidak berguna secara ilmiah. Bahkan, banyak pengukuran penting dalam sejarah fisika mempunyai galat percobaan sebesar 10% atau lebih. Tentu banyak yang dapat dipelajari di laboratorium fisika dasar dari peralatan yang mempunyai galat minimum beberapa persen.


Contoh 2.5.7.1 Konversikan galat pada pengukuran kecepatan dua gerobak ke dalam galat fraksional dan galat persen a. v  55  2 cm/s , b. u  20  2 cm/s . c. Energi kinetik gerobak adalah K  4,58 J  2% . Tulis kembali hasil ini dalam galat mutlak. Penyelesaian a. v  55  2 cm/s galat fraksional

v vterbaik



2  0,04 cm . 55

galat persen 0,04  100%  4% .

b. u  20  2 cm/s galat fraksional

u u terbaik



2  0,1 cm .  20

galat persen 0,1  100%  10% .

c. K  4,58 J  2%

51


52

galat fraksional 2%  0,02 J . 100%

galat mutlak

K K   0,02 J K terbaik 4,58 . K  0,1 Jadi, K  4,58 J  0,1 .

8. Angka Penting dan Galat Fraksional Konsep galat fraksional erat kaitannya dengan angka penting. Bahkan, jumlah bilangan dalam angka penting adalah indikator pendugaan galat fraksional. Untuk memperjelas hubungan ini, akan ditinjau secara singkat tentang gagasan angka penting. Bagi ahli matematika, pernyataan bahwa x  21 untuk dua angka penting berarti jelas bahwa x lebih dekat dengan 21 daripada 20 atau 22. Dengan demikian, bilangan 21 dengan dua angka penting berarti 21 ± 0,5. Bagi peneliti, kebanyakan bilangan adalah bilangan yang telah diukur dengan suatu alat atau yang telah dihitung dari bilangan yang telah diukur tersebut. Secara khusus, jika alat ukur digital, misalnya meteran digital, memperlihatkan dua angka penting dan membaca 21, ini mungkin berarti 21 ± 0,5; tetapi juga dapat berarti 21 ± 1 atau bahkan berarti 21 ± 5. Dalam keadaan ini, pernyataan bahwa bilangan terukur mempunyai dua angka penting hanyalah indikator kasar dari galatnya. Daripada memperdebatkan bagaimana persisnya konsep ini harus


53

didefinisikan, maka diambil jalan tengahnya bahwa bilangan 21 dengan dua angka penting berarti 21 ± 1, dan lebih umum bahwa bilangan dengan N angka penting mempunyai galat sekitar 1 satuan pada digit yang ke-N. Contoh 2.5.8.1 Terdapat dua bilangan, yaitu x = 21 dan y = 0,21 keduanya telah dijamin keakuratannya untuk dua angka penting. Berdasarkan ketentuan yang telah disetujui, nilai-nilai ini berarti x = 21 ± 1 dan y = 0,21 ± 0,01.

Meskipun kedua bilangan mempunyai dua angka penting, keduanya jelas mempunyai galat yang sangat berbeda. Di sisi lain, keduanya mempunyai galat fraksional yang sama, yang dalam hal ini adalah 5%

x y 1 0,01     0,05 atau 5%. x y 21 0,21 Ternyata, pernyataan bahwa bilangan-bilangan 21 dan 0,21 mempunyai dua angka penting adalah setara dengan mengatakan bahwa bilangan-bilangan tersebut adalah 5% tak pasti. Dengan cara yang sama, bilangan 21,0 dengan tiga angka penting adalah 0,5% tak pasti, dan sebagainya. Sayangnya, hubungan ini hanyalah pendugaan. Misalnya, pernyataan bahwa s = 10, dengan dua angka penting, berarti s = 10 ± 1 atau 10 ± 10%. Sedangkan, t = 99, dengan dua angka penting, berarti t = 99 ± 1 atau 99 ± 1%.


54

Ternyata, galat fraksional yang terkait dengan dua angka penting berkisar dari 1% sampai 10%, tergantung pada digit pertama dari bilangan yang bersangkutan. Tabel 2.5.8.1 Pendugaan Korespondensi antara Angka Penting dan Galat Fraksional Jumlah angka penting 1 2 3

Korespondensinya dengan galat fraksional Antara secara kasar 10% dan 100% 50% 1% dan 10% 5% 0,1% dan 1% 0,5%

9. Mengalikan Dua Bilangan Terukur Boleh jadi, hal paling penting dari galat fraksional muncul ketika mulai saling mengalikan bilangan hasil pengukuran. Sebagai contoh, untuk mencari momentum tubuh, dapat diukur massanya (m) dan kecepatannya (v) dan kemudian mengalikannya untuk mendapatkan momentum yaitu   mv . Besaran m dan v adalah subjek galat, yang harus diduga. Masalahnya kemudian adalah mencari galat dalam  yang dihasilkan dari galat yang diketahui dalam m dan v. Hal pertama yang harus dilakukan adakah menulis ulang bentuk standar

x  xterbaik  x dalam hubungan dengan galat fraksional  x x  xterbaik 1  xterbaik 

 ,  

(2.5.9.1).


55

Sebagai contoh, jika galat fraksional adalah 3%, maka berdasarkan persamaan (2.5.9.1) 3   x  xterbaik 1    100 

galat 3% berarti bahwa x mungkin terletak antara xterbaik kali 0,97 dan xterbaik kali 1,03 (0,97)  xterbaik  x  (1,03)  xterbaik Sekarang kembali ke masalah menghitung   mv , jika m dan v telah diukur seperti berikut ini  m m  mterbaik 1  mterbaik 

   

(2.5.9.2)

 v v  vterbaik 1  vterbaik 

   

(2.5.9.3)

dan

Karena mterbaik dan vterbaik merupakan pendugaan terbaik untuk m dan v, pendugaan terbaik untuk   mv adalah

 terbaik  mterbaik vterbaik .

Nilai kemungkinan terbesar dari m dan v ditunjukkan oleh (2.5.9.2) dan (2.5.9.3) dengan tanda plus. Dengan demikian, nilai kemungkinan terbesar untuk   mv adalah  m (nilai terbesar untuk  )  mterbaik vterbaik 1  mterbaik 

 1  v  vterbaik 

  . (2.5.9.4)  


56

Nilai kemungkinan terkecil untuk  adalah  m (nilai terkecil untuk  )  mterbaik vterbaik 1   mterbaik 

 1  v  vterbaik 

  . (2.5.9.5)  

Hasil kali bilangan yang ada di dalam kurung pada persamaan (2.5.9.4) dan (2.5.9.5) adalah  1  m  mterbaik 

 1  v  v terbaik 

 v   1  m  v  m (2.5.9.6)  m v m v terbaik terbaik terbaik terbaik 

 1  m  mterbaik 

 1  v  vterbaik 

 v   1  m  v  m .(2.5.9.7)  m v m v terbaik terbaik terbaik terbaik 

Karena dua galat fraksional

m v dan adalah bilangan yang kecil mterbaik vterbaik

dan

(mungkin hanya beberapa persen saja), maka hasil kalinya sangat kecil. Oleh karena itu,

m v mterbaik vterbaik

pada persamaan (2.5.9.6) dan (2.5.9.7) dapat

diabaikan. Kembali ke persamaan (2.5.9.4) dan (2.5.9.5) didapatkan  m v (nilai terbesar untuk  )  mterbaik vterbaik 1    mterbaik vterbaik 

   

 m v (nilai terkecil untuk  )  mterbaik vterbaik 1   mterbaik vterbaik 

 .  

dan

sehingga   m v   mterbaik vterbaik 1    vterbaik   mterbaik

  .  


57

Bandingkan persamaan ini dengan bentuk umum

Di

sini

dapat

dilihat

     terbaik 1   terbaik 

 .  

bahwa pendugaan

terbaik

untuk



adalah

 terbaik  mterbaik vterbaik dan bahwa galat fraksional dalam  adalah jumlah dari galat fraksional dalam m dan v,

  terbaik



m v  . mterbaik vterbaik

Jika, m dan v diketahui, yaitu m  0,53  0,01 kg

dan v  9,1  0,3 m/s

pendugaan terbaik untuk   mv adalah

 terbaik  mterbaik vterbaik  (0,53)  (9,1)  4,82 kgm/s . Untuk menghitung galat dalam  , pertama-tama akan dihitung galat fraksional

m 0,01   0,02  2% mterbaik 0,53 dan

v vterbaik



0,3  0,03  3% . 9,1

Galat fraksional dalam  adalah penjumlahan keduanya


  terbaik

58

 2%  3%  5% .

Jika ingin mengetahui galat mutlak dalam  , maka harus mengalikannya dengan  terbaik

 

  terbaik

  terbaik  0,05  4,82  0,241 .

Kemudian p dan  terbaik dibulatkan untuk mendapatkan jawaban akhir

  4,8  0,2 kgm/s . Contoh 2.5.9.1 Carilah luas sebuah piring persegi panjang jika diketahui panjangnya adalah p  9,1  0,1 cm

dan lebarnya adalah l  3,3  0,1 cm .

Nyatakan galat ini sebagai galat persen dan kemudian carilah luasnya ( L  pl ) dengan galatnya. Penyelesaian p  9,1  0,1 cm

dan l  3,3  0,1 cm

pendugaan terbaik untuk L  pl adalah Lterbaik   terbaik l terbaik  (9,1)  (3,3)  30,03 cm 2 .

Untuk menghitung galat dalam L , pertama-tama akan dihitung galat fraksional


p



pterbaik

59

0,1  0,010  1% . 9,1

dan

l lterbaik



0,1  0,030  3% . 3,3

Galat fraksional dalam L adalah penjumlahan keduanya

L Lterbaik

 1%  3%  4% .

galat mutlak dalam L

L 

L Lterbaik

 Lterbaik  0,04  30,03  1,201 .

Kemudian L dan Lterbaik dibulatkan untuk mendapatkan jawaban akhir L  30,0  1,2 cm 2 .

F. Nilai Harapan Konsep dari nilai harapan memegang peranan penting dalam statistika. Contoh yang paling mudah adalah rata-rata dan variansi suatu variabel random. Keduanya adalah parameter-parameter yang hampir selalu muncul dalam teknikteknik analisis statistika elementer atau lanjut. Yang dimaksud dengan nilai harapan dinyatakan dengan definisi berikut ini : Definisi 2.6.1 Nilai Harapan Nilai harapan


60

n  y1 p yi , jika Y diskret dengan fungsi probabilitas p y   i 1 E Y     yf  y dy, jika Y kontinu dengan fungsi densitas f  y   Teorema 2.6.1 Nilai Harapan Misalkan Y suatu variabel random dengan distribusi peluang p y  atau f  y  . Nilai harapan fungsi g Y  adalah  g  y  p  y , jika Y diskret   y E g Y      g  y  f  y , jika Y kontinu  

Sifat-sifat Nilai Harapan Teorema 2.6.2 Konstanta Nilai Harapan Jika a dan b konstanta, maka

E aY  b   aE Y   b Bukti : Menurut definisi nilai harapan, n

E (aY  b)   (ay i  b) f ( y i ) i 1

 (ay1  b) f ( y1 )  (ay 2  b) f ( y 2 )  ...  (ay n  b) f ( y n )

 a y1 f ( y i )  y 2 f ( y 2 )  ...  y n f ( y n )  b f ( y i )  f ( y 2 )  ...  f ( y n ) n

n

i 1

i 1

 a  y i f ( y i )  b f ( y i )

Jumlah yang disebelah kanan adalah E Y  dan jumlah yang kedua sama dengan 1. Jadi, E aY  b   aE Y   b


61

Teorema 2.6.3 Nilai Harapan Jumlah Dua Variabel Random Misalkan g1 Y  dan g 2 Y  adalah dua fungsi dari variabel random Y , maka

Eg1 Y   g 2 Y   Eg1 Y   Eg 2 Y  Bukti : Berdasarkan definisi 2.6.1, E g 1 Y   g 2 Y    g 1  y   g 2  y  p y  y

  g1  y  p y    g 2  y  p y  y

y

 Eg1 Y   E g 2 Y .

Akibat 2.6.1 Nilai harapan jumlahan angka berhingga fungsi dari variabel random Y , sama dengan jumlah dari nilai harapannya E g 1 Y   g 2 Y   ...  g n Y   Eg1 Y   E g 2 Y   ...  E g n Y . Teorema 2.6.4 Perkalian Dua Variabel Random Bebas Misalkan g1 Y  dan g 2 Y  dua fungsi dari variabel random bebas Y , maka

Eg1 Y g 2 Y   Eg1 Y Eg 2 Y . Bukti : Karena g1 Y  dan g 2 Y  bebas, maka dapat ditulis f  y   p y1 q y 2  dengan

p y1  dan q y 2  menyatakan masing-masing distribusi marginal g1 Y  dan g 2 Y  . Jadi,


Eg 1 Y g 2 Y  

62



  g  y g  y p y q y dy dy 1

2

1

2

1

2

  





 





 



 g1  y p y1   g 2  y q y 2 dy 2 dy1





 g  y p y Eg Y dy 1

1

2

1





 Eg 2 Y   g 1  y  p y1 dy1 

 Eg 2 Y E g 1 Y .

Akibat 2.6.2 Nilai harapan dari perkalian beberapa fungsi dari variabel random bebas Y , sama dengan perkalian nilai harapannya Eg 1 Y , g 2 Y ,..., g n Y   E g 1 Y Eg 2 Y ....Eg n Y . Akibat 2.6.3 Jika c konstanta, maka

Ecg Y   cEg Y .

G. Variansi dan Kovariansi Salah satu nilai harapan yang penting adalah variansi yang merupakan nilai harapan fungsi g Y   Y    , dimana   E Y  . 2

Definisi 2.7.1 Variansi Variansi variabel random Y



  

VarY   E Y     E Y 2   2 2

Akar pangkat dua dari Var Y  adalah standard deviasi dari Y dan diberi notasi  . Kegunaan dari variansi adalah untuk mengukur keragaman data.


63

Teorema 2.7.2 Variansi Konstanta Bila ada a konstanta, maka Var aY   a 2Var Y  . Bukti :

VaraY   E aY  aY   a 2 E Y  Y   a 2VarY  . 2

2

Definisi 2.7.2 Kovariansi Kovariansi dari dua variabel random X dan Y dinotasikan dengan Kov X , Y  Kov  X , Y   E  X  E  X Y  E Y   E  XY  YE  X   XE Y   E  X E Y   E  XY   E Y E  X   E  X E Y   E  X E Y   E  XY   E  X E Y 

H. Korelasi

Definisi 2.8.1 Korelasi

Ukuran keeratan hubungan linear antara dua variabel X dan Y diduga dengan koefisien korelasi sampel ‫ݎ‬, didefinisikan sebagai rXY 



n  n  n  n xi y i    xi   yi  i 1  i 1  i 1  2  n 2   n  2   n 2   n     xi     xi     y i     y i     i 1    i 1   i 1    i 1 Kov X , Y 

Var  X Var Y 


64

Nilai ‫ ݎ‬adalah -1 sampai +1. Tanda (-) menyatakan korelasi negatif sedangkan tanda (+) menyatakan korelasi positif. Hubungan linear sempurna terdapat antara nilai-nilai ܺ dan ܻ dalam sampel, bila ‫ =ݎ‬+1 atau ‫ =ݎ‬-1.


BAB III RAMBAT GALAT

Sebagian besar besaran fisika biasanya tidak dapat diukur secara langsung dalam bentuk tunggal tetapi dilakukan dalam dua langkah yang berbeda. Pertama, diukur satu atau lebih besaran yang dapat diukur secara langsung. Kedua, nilai hasil pengukuran dari besaran tersebut digunakan untuk menghitung besaran yang dimaksud. Misalnya, untuk mencari luas persegi panjang, sebenarnya yang diukur adalah panjang (p) dan lebar (l), tetapi luasnya (A), dapat dihitung dengan rumus A  pl

Demikian pula, cara yang paling tepat untuk mencari kecepatan (v) dari sebuah benda adalah dengan mengukur jarak tempuh (d) dan waktu tempuh (t) dan kemudian menghitung kecepatannya, yaitu v

d t

Contoh lain dalam bidang fisika, terutama di laboratorium, banyak ditemukan bahwa hampir semua pengukuran melibatkan dua langkah yang berbeda dari pengukuran langsung ini dan kemudian diikuti dengan perhitungan. Ketika pengukuran melibatkan dua langkah ini, pendugaan galat juga melibatkan dua langkah. Pertama-tama harus menduga galat pada besaran yang diukur secara langsung dan kemudian menentukan bagaimana galat tersebut "merambat" melalui perhitungan untuk menghasilkan galat akhir. Rambat galat ini merupakan pokok utama dari bab ini. Rambat galat adalah teknik yang digunakan berulang kali di laboratorium 65


66

A. Galat pada Pengukuran Langsung Hampir semua pengukuran langsung melibatkan pembacaan skala (misalnya pada penggaris, jam, atau voltmeter) atau alat digital (misalnya pada jam digital atau voltmeter digital). Beberapa masalah dalam pembacaan skala dibahas pada bab II. Kadang-kadang sumber utama galat adalah pembacaan skala dan kebutuhan akan interpolasi diantara skala bertanda. Pada situasi tertentu, pendugaan yang masuk akal dari galat mudah dibuat. Sebagai contoh, jika harus mengukur lebar (l) dengan penggaris dalam milimeter, maka harus diputuskan bahwa lebar dapat dibaca paling dekat dalam milimeter, namun hal ini tidak lebih baik. Di sini, galat l akan menjadi l  0,5 mm . Jika skala bertanda terpisah jauh (misalnya sepersepuluh inci), maka dapat diputuskan misalnya dibaca seperlima inci saja. Pada beberapa kasus, galat yang berhubungan dengan pembacaan skala dapat benar-benar diduga dengan cukup mudah dan realistis. Sayangnya, sumber-sumber lain galat sering jauh lebih penting daripada kesulitan dalam membaca skala. Dalam mengukur jarak antara dua titik, masalah utama adalah untuk menentukan dimana dua titik tersebut berada. Sebagai contoh, dalam percobaan optik, diharapkan untuk mengukur jarak (q) dari pusat lensa ke gambar terfokus, seperti pada gambar 3.1.1. Pada prakteknya, lensa biasanya beberapa milimeter lebih tebal, sehingga menempatkan pusatnya menjadi sulit. Jika lensa yang digunakan lebih tebal lagi, menempatkan pusatnya bahkan lebih sulit. Selanjutnya, gambar tersebut mungkin tampak terfokus baik sepanjang jangkauan beberapa milimeter. Meskipun alat ini dipasang pada sebuah dudukan optik yang jelas terbagi dalam milimeter, galat pada jarak dari lensa ke gambar


67

dapat dengan mudah menjadi satu sentimeter atau lebih. Karena galat ini muncul akibat dua titik yang bersangkutan tidak jelas, maka masalah seperti ini disebut dengan masalah definisi.

Gambar 3.1.1 Gambar bohlam di sebelah kanan difokuskan oleh lensa ke layar di sebelah kiri Contoh ini menggambarkan bahaya serius dalam pendugaan galat. Jika hanya melihat pada skala dan melupakan sumber-sumber galat lainnya, maka galat totalnya akan ditaksir salah. Kenyataannya, kesalahan awal yang paling umum dilakukan pengamat adalah mengabaikan beberapa sumber galat dan karenanya meremehkan galat tersebut. Tentu saja, pengamat harus menghindari galat yang berlebih. Para ahli yang memutuskan untuk bermain aman dan menyertakan galat pada semua pengukuran dapat menghindari ketidakkonsistenan yang memalukan, tetapi pengukuran mereka mungkin tidak banyak berguna. Jelas, idealnya adalah untuk mencari semua kemungkinan penyebab galat dan menduga pengaruhnya secara tepat. Sepintas, membaca meteran digital jauh lebih mudah daripada meteran analog konvensional, kecuali jika meteran digital rusak. Meteran digital


68

seharusnya hanya menampilkan angka penting. Jadi, biasanya aman untuk mengatakan bahwa jumlah angka penting dalam pembacaan digital justru adalah sejumlah angka yang ditampilkannya. Sayangnya, seperti dibahas pada bab sebelumnya, makna yang tepat dari angka penting tidak selalu jelas. Dengan demikian, voltmeter digital yang memberitahu bahwa V  81 microvolt dapat berarti bahwa galat dapat berapapun dari V  0,5 sampai V  1 atau lebih. Tanpa manual untuk menjelaskan galat dalam meteran digital, asumsi yang masuk akal adalah bahwa galat di digit terakhir adalah ± 1 (sehingga tegangan yang baru saja disebutkan adalah V  81  1 ). Peralatan digital, meskipun lebih baik daripada skala analog, dapat memberikan kesan menyesatkan dari ketepatan. Sebagai contoh, seorang pengamat harus menggunakan pengatur waktu digital untuk waktu jatuh pada mesin Atwood atau perangkat serupa. Jika pengatur waktu menampilkan 8,01 detik, waktu jatuh ini mendekati t  8,01  0,01 detik.

(3.1.1)

Bagaimanapun, pengamat yang berhati-hati yang mengulang percobaan menurut kondisi yang hampir serupa mungkin akan menghasilkan pengukuran kedua yaitu 8,41 detik, sehingga t = 8,41 ± 0,01 detik. Satu kemungkinan penjelasan dari penyimpangan besar ini adalah ketidakpastian pada prosedur awal yang mempengaruhi kondisi awal sehingga mempengaruhi pula waktu jatuh. Akibat dari keadaan ini, waktu hasil pengukuran menjadi sangat berbeda. Pada beberapa kasus, ketepatan yang dinyatakan pada persamaan (3.1.1)


69

terlalu bagus (optimis). Berdasarkan dua pengukuran yang dilakukan, jawaban yang lebih realistis adalah t = 8,2 ± 0,2 detik. Faktanya, galat adalah sekitar 20 kali lebih besar dari galat yang disarankan pada persamaan (3.1.1) berdasarkan pada pembacaan tunggal yang asli. Contoh ini membawa ke jalur yang disebutkan dalam bab 1, yaitu setiap kali pengukuran dapat diulang, biasanya harus dilakukan beberapa kali. Hasil penyebaran nilai-nilai sering memberikan indikasi yang baik dari galat, dan nilai rata-rata hampir pasti lebih dapat dipercaya daripada pengukuran manapun.

B. Metode Akar Kuadrat untuk Percobaan Membilang Percobaan membilang (counting experiment) sering terjadi di laboratorium fisika, contoh yang paling terkenal adalah studi radioaktif. Pada bahan radioaktif, setiap inti berkurang pada waktu acak, tetapi pengurangan dalam sampel besar terjadi pada nilai rata-rata tertentu. Contoh lain adalah kelahiran bayi di rumah sakit yang terjadi secara acak. Bayangkan bahwa seorang ahli kependudukan yang ingin mengetahui rata-rata kelahiran pada periode dua-mingguan di suatu rumah sakit. Berdasarkan hasil ini, dia akan secara alami mengatakan bahwa pendugaan terbaiknya untuk jumlah yang diharapkan dari kelahiran selama dua minggu adalah 14. Kecuali jika dia membuat kesalahan, 14 adalah jumlah kelahiran dalam periode dua-mingguan yang dipilihnya untuk diamati. Karena kelahiran terjadi secara acak, meskipun begitu, bilangan 14 boleh tidak sama dengan nilai rata-rata


70

sebenarnya dari kelahiran pada semua periode dua-mingguan (kemungkinan bisa 13,15, atau bahkan merupakan bilangan desimal seperti 13,5 atau 14,7). Jelasnya, galat pada percobaan jenis ini tidak termasuk dalam hitungan bilangan yang diamati (misalnya 14 pada contoh di atas). Malahan, galat adalah seberapa baik bilangan yang diamati ini memperkirakan nilai rata-rata sebenarnya. Masalahnya adalah menduga seberapa besar galat ini. Galat pada beberapa bilangan yang dihitung dari kejadian acak, sebagai suatu pendugaan dari nilai rata-rata sebenarnya, merupakan akar kuadrat dari bilangan yang dihitung. Pada contoh, ahli kependudukan menghitung 14 kelahiran pada periode dua-mingguan. Oleh karena itu, galatnya adalah 14  4 , dan kesimpulan akhirnya akan menjadi (rata-rata banyaknya kelahiran dalam satu periode dua-mingguan)  14  4 . Untuk membuat pernyataan ini lebih umum, andaikan dihitung kejadian dari setiap peristiwa (seperti kelahiran bayi di rumah sakit) yang terjadi secara acak tetapi dalam nilai rata-rata tertentu. Andaikan dihitung untuk interval waktu tertentu, T (misalnya dua minggu), dan ditunjukkan jumlah dari kejadian yang diamati,  (dibaca “nu”). Berdasarkan percobaan ini, pendugaan terbaik untuk nilai rata-rata dari kejadian dalam waktu T, tentu saja, nilai pengamatan  , dan galat dalam pendugaan ini adalah akar kuadrat dari bilangan tersebut, yaitu

.

Oleh karena itu, jawaban untuk nilai rata-rata kejadian pada waktu T adalah (nilai rata-rata kejadian pada waktu T)    

(3.2.1)

dan disebut juga sebagai Metode Akar Kuadrat untuk Percobaan Membilang. Pada contoh studi radioaktif di atas, untuk mencari nilai rata-rata tertentunya dapat


71

dihitung dengan mudah nilai  yang berkurang dalam beberapa interval waktu T yang sesuai. Contoh 3.2.1 Untuk memeriksa contoh aktivitas radioaktif, seorang peneliti menempatkan sampel pada penghitung kilauan cairan untuk menghitung jumlah pengurangan dalam satu interval dua-menitan dan mendapat 33 hitungan. Apa yang seharusnya dilaporkannya sebagaimana jumlah pengurangan yang diproduksi oleh sampel selama dua menit? Penyelesaian: (rata-rata pengurangan dalam satu periode dua-menitan)     33  33  33  5,74  33  6.

Contoh 3.2.2 Andaikan, pengawas memonitor sampel yang sama pada contoh 3.2.1 selama 50 menit dan mendapatkan 907 hitungan, apa yang seharusnya dilaporkannya untuk jumlah pengurangan selama dua menit? Penyelesaian: T  2 menit,



907  2  36,28, 50

(rata-rata pengurangan dalam periode dua-menitan)


72

    36,28  36,28  36,28  6,02.

Contoh 3.2.3 Carilah persen galat pada kedua pengukuran pada contoh 3.2.1 dan 3.2.2, kemudian apakah kegunaan dari penghitungan untuk periode yang lebih lama pada contoh 3.2.2? Penyelesaian: o Pada contoh 3.2.1

  33  6. galat fraksional

  terbaik



6  0,18 33

persen galat 0,18  100%  18%.

o Pada contoh 3.2.2

  36,28  6,02 galat fraksional

  terbaik



6,02  0,166 36,28

galat persen 0,166  100%  16,6% .


73

Dari pembahasan di atas, kegunaan dari penghitungan untuk periode yang lebih lama adalah agar mendapatkan nilai rata-rata pengurangan yang lebih tepat pada periode dua-menitan. Jika dilihat dari persen galat masing-masingnya, maka pengukuran untuk periode yang lebih lama akan menghasilkan persen galat yang lebih kecil.

C. Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian Andaikan diukur satu atau lebih besaran x, y ,..., dengan galat x, y ,..., dan diharapkan untuk menggunakan nilai hasil pengukuran dari

x, y ,..., untuk

menghitung besaran hasilnya (q). Perhitungan q biasanya mudah, masalahnya adalah

bagaimana

galat

x, y ,...,

merambat

melalui

perhitungan

dan

mengakibatkan galat q pada nilai akhir q. 1. Penjumlahan dan Pengurangan Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang apa yang terjadi ketika dua besaran x dan y diukur dan dihitung jumlahnya ( x  y ) , atau selisihnya ( x  y ) . Untuk menduga galat dalam jumlah atau selisih, hanya dapat ditentukan pada nilai kemungkinan tertinggi dan terendahnya. Nilai kemungkinan tertinggi dan terendah dari x adalah xterbaik  x dan untuk y adalah y terbaik  y . Oleh karena itu, nilai kemungkinan tertinggi dari ( x  y ) adalah xterbaik  yterbaik  (x  y ), dan nilai kemungkinan terendahnya adalah xterbaik  y terbaik  x  y 


74

Jadi, pendugaan terbaik untuk q  x  y adalah q terbaik  xterbaik  y terbaik , dan galatnya adalah

q  x  y.

(3.3.1.1)

Penjelasan yang sama menunjukkan bahwa galat dalam selisih

x y

dinyatakan oleh rumus yang sama pada persamaan (3.3.1.1). Artinya, galat, baik dalam jumlah ( x  y ) atau selisih ( x  y ) adalah penjumlahan x  y dari galat dalam x dan y . Jadi, jika beberapa besaran x,..., w yang diukur dengan galat x,..., w , dan nilai hasil pengukurannya digunakan untuk menghitung q  x  ...  z  (u  ...  w),

maka galat dalam nilai hasil penghitungan dari q adalah jumlah

q  x  ...  z  u  ...  w,

(3.3.1.2)

dari semua galat aslinya. Dengan kata lain, jika bilangan dari sebuah besaran dijumlah atau dikurangi, galat pada besaran tersebut selalu dijumlahkan. Seperti sebelumnya, digunakan tanda  untuk menekankan bahwa rumus ini hanyalah pendekatan. Contoh 3.3.1.1 Andaikan peneliti mencampur cairan dalam dua labu elenmeyer, kemudian mengukur masing-masing massanya ketika penuh dan kosong, sebagai berikut

M 1  massa labu elenmeyer pertama dan isinya  540  10 gram ,

m1  massa labu elenmeyer pertama kosong  72  1 gram ,


75

M 2  massa labu elenmeyer kedua dan isinya  940  20 gram , m2  massa labu elenmeyer kedua kosong  97  1 gram . Peneliti sekarang menghitung massa total cairan, yaitu M  M 1  m1  M 2  m 2  (540  72  940  97) gram  1.311 gram. Berdasarkan persamaan (3.3.1.2), galat pada jawaban ini adalah jumlah dari keempat galat, yaitu

M  M 1  m1 M 2  m2  (10  1  20  1) gram  32 gram . Berdasarkan prinsip angka penting pada BAB II, maka penulisan jawaban akhirnya adalah massa total cairan  1.310  30 gram. Perhatikan bahwa begitu kecilnya galat pada massa dari labu elenmeyer kosong sehingga dapat diabaikan pada galat akhirnya. Seringkali, hal ini dapat menyederhanakan perhitungan galat.

2. Perkalian dan Pembagian Pada Contoh 2.5.9.1 telah dibahas tentang galat dalam perkalian dua besaran yang diukur yaitu L  pl . Terlihat bahwa galat fraksional dalam L  pl adalah jumlahan dari galat fraksional di p dan l . Jika besaran yang

diukur adalah x dan y , maka dengan aturan yang sama pembahasan tentang


galat dalam pembagian dua besaran yang diukur yaitu q 

76

x akan menjadi y

serupa dengan galat dalam perkalian. Galat fraksional dalam q 

x adalah y

jumlahan dari galat fraksional di x dan y . Karena galat dalam perkalian dan pembagian yang terbaik dinyatakan dalam galat fraksional, maka penyederhanaan notasi untuk pembahasan selanjutnya akan lebih membantu. Ingat bahwa jika diukur beberapa besaran x yaitu x  xterbaik  x, maka galat fraksional di x 

x xterbaik

.

(Nilai mutlak dalam penyebut memastikan bahwa galat fraksional selalu positif, bahkan ketika xterbaik negatif). Untuk memudahkan pembacaan, simbol xterbaik diganti dengan x ' sehingga galat fraksional di x 

x . x'

Hasil pengukuran setiap besaran x dapat dinyatakan dalam kaitan dengan galat fraksionalnya yaitu  x  x  x ' 1  ' .  x  

Oleh karena itu, nilai q 

x dapat ditulis sebagai y


77

 x  1    x '  x'  q ' . y  y  1   '   y   Masalahnya sekarang adalah mencari nilai-nilai kemungkinan ekstrim dari

1

x y dan 1  ' . Nilai-nilai ini akan menjadi nilai terbesar jika pembilang ' y x

mempunyai nilai terbesar, yaitu 1 

terkecil, yaitu 1 

x , dan penyebut mempunyai nilai x'

y . Jadi, y'  x  1    x '  x'  (nilai terbesar dari q )  ' . y  y  1   '   y  

Unsur terakhir pada persamaan (3.3.2.1) mempunyai bentuk

(3.3.2.1)

(1  a ) , (1  b)

dimana angka a dan b biasanya kecil (kurang dari 1). Hal ini dapat disederhanakan dengan dua pendekatan. Pertama, karena b kecil, teorema binomial menyiratkan bahwa 1  1  b. 1  b  Teori binomial menyatakan 1 1−ܾ

(3.3.2.2)


78

sebagai deret tak hingga 1 + ܾ + ܾଶ + ⋯.

Jika ܾ sangat kecil daripada 1, maka 1  1 b 1  b  seperti pada persamaan (3.3.2.2). Oleh karena itu,

1 a  (1  a)(1  b)  1  a  b  ab 1 b  1  a  b, dimana, di baris kedua, yaitu hasil kali ab telah diabaikan karena keduanya adalah besaran dengan nilai yang kecil. Kembali ke (3.3.2.1) dan menggunakan pendekatan ini, maka akan didapat (nilai terbesar dari q ) 

x '  x y  1 '  ' . y'  x y  

Perhitungan yang sama menunjukkan bahwa nilai kemungkinan terkecil ditunjukkan oleh rumus yang sama, sehingga (nilai terkecil dari q ) 

x '  x y  1 '  ' . y'  x y  

Penggabungan keduanya menjadi q

x '   x y  1  ' . y'   x' y    

Bandingkan persamaan ini dengan bentuk standar,


79

 q  q  q' 1 ' ,  q   

dapat dilihat bahwa nilai terbaik untuk q adalah q ' 

x' seperti yang y'

diharapkan dan galat fraksionalnya adalah

q x y   , q' x ' y '

(3.3.2.3)

Dari penjelasan tersebut dapat disimpulkan bahwa ketika membagi atau mengalikan dua besaran yang diukur, yaitu x dan y , galat fraksional hasilnya adalah jumlah dari galat fraksional di x dan y , seperti pada persamaan (3.3.2.3). Jika serangkaian angka dikalikan atau dibagi, mengulangi penerapan dari hasil ini mengarah ke rumus pendekatan, yaitu jika beberapa besaran x,..., w diukur dengan galat yang kecil, yaitu x,..., w , dan nilai yang diukur

digunakan untuk menghitung q

x  ...  k , l  ...  w

(3.3.2.4)

maka

q x k l w  '  ...  '  '  ...  ' . ' q x k l w

(3.3.2.5)

Contoh 3.3.2.1 Dalam survei, kadang-kadang nilai dapat dicari untuk panjang yang tidak dapat diakses (seperti tinggi pohon) dengan mengukur tiga panjang lainnya yaitu l1 , l 2 , l 3 . Diketahui


l

80

l1l 2 . l3

Andaikan dilakukan percobaan dan diperoleh hasil sebagai berikut l1  100  2 m, l 2  5,5  0,1 m, l 3  10,0  0,4 m. Berdasarkan persamaan (3.3.2.4), pendugaan terbaiknya adalah l' 

100  5,5  55 m. 10,0

Berdasarkan persamaan (3.3.2.5), galat fraksional masing-masing pohon adalah

l1 2   0,02  2%, ' l1 100 l 2 0,1   0,02  2%, 5,5 l 2'

l3 0,4   0,04  4%. l3' 10,0 Jadi

l l1 l 2 l3  '  '  '  (2  2  4)% l' l1 l2 l3  8%,

l  55 

8  4,4 m/s 2 100

jawaban akhirnya adalah l  55  4 m.


81

Terdapat dua kasus khusus yang penting dari rumus (3.3.2.5). Salah satunya terkait hasil kali dua bilangan yang salah satunya tidak mempunyai galat. Kasus yang lainnya melibatkan pangkat (misalnya x 3 ) dari nilai yang diukur.

D. Besaran yang Diukur kali Nilai Eksak Misalkan diukur suatu besaran x dan kemudian digunakan suatu nilai yang terukur untuk menghitung hasil kali q  Bx , di mana B tidak mempunyai galat. Sebagai contoh, menghitung keliling lingkaran k  d  dan mengukur ketebalan

T 

kertas yang terdiri dari 200 lembar, jika kemudian akan dihitung ketebalan

per satu lembar

t  ,

maka t 

1  T . Berdasarkan rumus (3.3.2.5), galat 200

fraksional di q  Bx adalah jumlah galat fraksional di B dan x . Karena B  0 , ini berarti bahwa

q x  . q x Artinya, galat fraksional di q  Bx sama dengan galat fraksional di x . Hasil ini dapat dinyatakan secara berbeda jika q  Bx dikalikan sebagai q  Bx untuk mendapatkan q  B x . Dari penjelasan tersebut, jika besaran x diukur dengan galat x dan digunakan untuk menghitung hasil kali q  Bx,

dimana B tidak mempunyai galat, maka

q  B x.

(3.4.1)


82

Rumus ini berguna dalam mengukur sesuatu yang sangat kecil atau tipis, seperti ketebalan selembar kertas atau waktu untuk sekali revolusi roda yang berputar cepat. Contoh (3.4.1) Jika diukur ketebalan 200 kertas T  , yaitu T  1,4  0,1 cm, maka ketebalan per satu lembarnya t  adalah 1 T 200 1   1,4  0,1 200  0,0070  0,0005 cm.

t

Perhatikan bagaimana teknik ini membuat mudah suatu pengukuran yang seharusnya membutuhkan peralatan yang cukup canggih dan bahwa teknik ini memberikan galat yang sangat kecil. Contoh (3.4.2) Andaikan diukur diameter sebuah lingkaran, yaitu d  5,0  0,1 cm, maka kelilingnya adalah k  d 

22  5,0  15,7 cm 7

dan galatnya

k   d 22 0,1 7  0,31 cm, 


83

Sehingga k  15,7  0,31  15,7  0,3 cm.

E. Pangkat Misalkan akan diukur kecepatan v  dari beberapa objek, kemudian, untuk mencari energi kinetiknya

1 mv 2 , haruslah dihitung v 2 lebih dahulu. Karena v 2 2

berarti v  v , maka menurut persamaan (3.3.2.5) bahwa galat fraksional di v 2 adalah dua kali galat fraksional di v . Secara umum, jika besaran x diukur dengan galat x dan nilai hasil pengukurannya digunakan untuk menghitung pangkat q  xn , maka galat fraksional di q adalah n kali galat fraksional di x ,

q x n . q x Contoh (3.5.1) Panjang sisi sebuah kubus adalah s  2,00  0,02 cm. Carilah volume beserta dengan galatnya! Penyelesaian: Galat sisi

s 0,02   0,01  1%. s 2,00

(3.5.1)


84

Volume kubus V  s 3  2,00 3  8,00 cm, galat kubus

V s  3  3  1%  3% V s V  8,00 

3  0,24 cm 100

Jadi, V  8,00  0,24 cm. Contoh (3.5.2) Andaikan seorang siswa mengukur percepatan gravitasi  g  dengan mengukur waktu jatuhnya sebuah batu t  dari ketinggian h  dari tanah. Setelah melakukan beberapa kali, maka siswa tersebut menyimpulkan bahwa t  1,6  0,1 detik,

dan ketinggiannya adalah h  12,4  0,3 m, maka g

2h 2  12,4   9,7 m/s 2 . 2 2 t (1,6)

Galat fraksionalnya adalah

h 0,3   0,024  2,4%, h 12,4 dan


85

t 0,1   0,063  6,3%. t 1,6 Berdasarkan persamaan (3.5.1) maka galat fraksional di t 2 adalah dua kali galat fraksional di t . Dengan menggabungkan ke persamaan (3.3.2.5) maka galat fraksionalnya adalah

g h t  2 g h t

(3.5.2)

 2,4%  26,3%  2,4%  12,6%  15,0% dan galatnya adalah

g  9,7 

15,0  1,46 m/s 2 . 100

Jadi, g  9,7  1,46  9,7  1,5 m/s 2 .

■

Contoh tersebut menggambarkan bagaimana sederhananya pendugaan galat dapat dilakukan. Contoh ini juga menggambarkan bagaimana analisis galat menyatakan

tidak

hanya

ukuran

galat

namun

juga

bagaimana

untuk

menguranginya. Dalam contoh ini, persamaan (3.5.2) menunjukkan bahwa kontribusi terbesar berasal dari pengukuran waktu. Jika ingin mendapatkan nilai g yang lebih tepat, maka pengukuran t harus ditingkatkan.

Nilai sebenarnya dari g adalah 9,8 m/s 2 , yang terletak di antara margin galat. Dengan demikian, siswa tersebut dapat menyimpulkan bahwa pengukuran, meskipun tidak terlalu akurat, namun konsisten dengan nilai g yang sebenarnya.


86

F. Kovariansi pada Perambatan Galat Standar deviasi ߪ௫ dari ܰ pengukuran ‫ݔ‬ଵ, … , ‫ݔ‬ே didefinisikan sebagai ߪ௫ଶ

dan

ே

1 )ଶ. = ෍ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ܰ

(3.6.1)

௜ୀଵ

Andaikan bahwa untuk mencari nilai fungsi ‫ݔ(ݍ‬, ‫)ݕ‬, diukur dua besaran ‫ݔ‬ ‫ݕ‬

beberapa

kali,

kemudian

diperoleh

ܰ

pasangan

data,

(‫ݔ‬ଵ, ‫ݕ‬ଵ), … , (‫ݔ‬ே , ‫ݕ‬ே ) dari ܰ pengukuran ‫ݔ‬ଵ, … , ‫ݔ‬ே , dapat dihitung rata-rata, ‫ݔ‬ҧdan

standar deviasi, ߪ௫, begitu juga dengan pengukuran ‫ݕ‬ଵ, … , ‫ݕ‬ே , dapat dihitung ‫ݕ‬ ത dan ߪ௬ . Kemudian dengan menggunakan ܰ pasang pengukuran, dapat dihitung ܰ nilai besaran hasilnya, yaitu

‫ݍ‬௜ = ‫ݔ(ݍ‬௜, ‫ݕ‬௜), ݅= 1, … , ܰ .

Dari hasil ‫ݍ‬ଵ, … , ‫ݍ‬ே , dapat dihitung nilai rata-ratanya, ‫ݍ‬ ത, yang diasumsikan

memberikan pendugaan terbaik untuk ‫ݍ‬, dan standar deviasinya, ߪ௤, yang merupakan ukuran galat acak pada nilai ‫ݍ‬௜.

Andaikan bahwa semua galat adalah kecil dan oleh karena itu semua

bilangan ‫ݔ‬ଵ, … , ‫ݔ‬ே dekat dengan ‫ݔ‬ҧdan semua bilangan ‫ݕ‬ଵ, … , ‫ݕ‬ே dekat dengan ‫ݕ‬ ത, kemudian dapat dibuat pendekatan berikut ini ‫ݍ‬௜ = ‫ݔ(ݍ‬௜, ‫ݕ‬௜)

≈ ‫ݔ(ݍ‬, ഥ‫ݕ‬ ത) +

Pada rumus ini, turunan parsial

߲‫ݍ‬ ߲‫ݍ‬ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ )+ (‫ ݕ‬− ‫ݕ‬ ത). ߲‫ݔ‬ ߲‫ ݕ‬௜

(3.6.2)

q q dan digunakan pada ‫ݔ = ݔ‬ҧ ,‫ݕ =ݕ‬ ത, x y

dan berlaku sama untuk semua ݅= 1, … , ܰ. Dengan pendekatan ini, rata-ratanya menjadi


87

ே

1 ‫ݍ‬ ത= ෍ ‫ݍ‬௜ ܰ ௜ୀଵ ே

1 ߲‫ݍ‬ ߲‫ݍ‬ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ )+ (‫ ݕ‬− ‫ݕ‬ = ෍ ൤‫ݔ(ݍ‬ҧ ,‫ݕ‬ ത) + ത)൨. ܰ ߲‫ݔ‬ ߲‫ ݕ‬௜ ௜ୀଵ

Persamaan ini menjadikan ‫ݍ‬ ത sebagai jumlahan dari tiga suku. Suku yang

pertama adalah ‫ݔ(ݍ‬ҧ ,‫ݕ‬ ത), dan dua yang lainnya adalah nol. Contohnya, seperti pada definisi ‫ݔ‬ҧbahwa

 x

i

 x   0 . Maka hasilnya adalah

‫ݍ‬ ത= ‫ݔ(ݍ‬ҧ ,‫ݕ‬ ത)

(3.6.3)

yang artinya, untuk mencari rata-rata ‫ݍ‬ ത, hanya menghitung fungsi ‫ݔ(ݍ‬, ‫ )ݕ‬pada ‫ݔ = ݔ‬ҧdan ‫ݕ = ݕ‬ ത.

Standar deviasinya ே

1 ߪ௤ଶ = ෍ (‫ݍ‬௜ − ‫ݍ‬ ത)ଶ. ܰ ௜ୀଵ

Dengan mensubstitusikan (3.6.2) dan (3.6.3), didapatkan ߪ௤ଶ

ே

ଶ 1 ߲‫ݍ‬ ߲‫ݍ‬ )+ (‫ݕ‬௜ − ‫ݕ‬ = ෍ ൤ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ത)൨ ܰ ߲‫ݔ‬ ߲‫ݕ‬ ௜ୀଵ

ே

߲‫ ݍ‬ଶ 1 ߲‫ ݍ‬ଶ 1 ଶ ) + ൬ ൰ ෍ (‫ݕ‬௜ − ‫ݕ‬ = ൬ ൰ ෍ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ത)ଶ ߲‫ܰ ݔ‬ ߲‫ܰ ݕ‬ ௜ୀଵ

ே

߲‫ ݍ߲ ݍ‬1 )(‫ݕ‬௜ − ‫ݕ‬ +2 ෍ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ത). ߲‫ܰ ݕ߲ ݔ‬ ௜ୀଵ

(3.6.4)

Jumlahan pada dua suku yang pertama adalah yang muncul pada definisi standar deviasi ߪ௫ dan ߪ௬ . Jumlahan terakhir dinamakan kovariansi dari ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬dan dinotasikan


ߪ௫௬

ே

1 )(‫ݕ‬௜ − ‫ݕ‬ = ෍ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ത). ܰ ௜ୀଵ

88

(3.6.5)

Nama kovariansi untuk ߪ௫௬ yang digunakan untuk dua variabel yaitu ‫ ݔ‬dan ‫ݕ‬ sejajar dengan nama variansi untuk ߪ௫ଶ yang digunakan untuk satu variabel ‫ݔ‬. Dengan definisi ini, persamaan (3.6.5) untuk standar deviasi ߪ௤ menjadi 2

 q  q q  q       x2     y2  2  xy . x y  x   y  2

2 q

(3.6.6)

Jika pengukuran ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬independen, maka akan dengan mudah terlihat

bahwa setelah beberapa kali pengukuran, kovariansi ߪ௫௬ harus mendekati nol. Untuk sebarang nilai ‫ݕ‬௜, besaran ‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧmungkin sekali menjadi negatif daripada menjadi positif. Jadi, setelah beberapa kali pengukuran, suku positif dan negatif

yang ada pada persamaan (3.6.4) haruslah seimbang; pada limit tak hingga banyaknya pengukuran,

ଵ

ே

pada persamaan (3.6.5) menjamin bahwa ߪ௫௬ adalah

nol. (Sesudah bilangan berhingga dari pengukuran, ߪ௫௬ tidak akan tepat nol, tetapi

haruslah kecil jika galat pada ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬benar-benar independen dan acak). Dengan ߪ௫௬ adalah nol, persamaan (3.6.6) untuk ߪ௤ menjadi

߲‫ ݍ‬ଶ ߲‫ ݍ‬ଶ ߪ௤ଶ = ൬ ൰ ߪ௫ଶ + ൬ ൰ ߪ௬ଶ, ‫ݔ‬ ߲‫ݕ‬

yang merupakan hasil yang familiar untuk galat independen dan acak.

(3.6.7)

Kondisi-kondisi yang dapat terjadi adalah: a. Jika pengukuran ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬tidak independen, kovariansi  xy tidak perlu nol. Sebagai contoh, jika dugaan nilai ‫ ݔ‬berlebihan dan disertai dengan dugaan nilai

) dan (‫ݕ‬௜ − ‫ݕ‬ ‫ ݕ‬yang berlebihan, atau sebaliknya, bilangan (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ത) akan selalu


89

memiliki tanda yang sama (positif atau negatif), dan hasil kalinya akan selalu positif. Karena semua suku dalam jumlahan pada persamaan (3.6.5) adalah positif, ߪ௫௬ akan menjadi positif (dan tidak nol), bahkan pada limit yang dibuat tak hingga banyaknya pengukuran.

b. Jika dugaan nilai ‫ ݔ‬berlebihan yang disertai dengan dugaan rendah nilai ‫ݕ‬, atau ) dan (‫ݕ‬௜ − ‫ݕ‬ sebaliknya, maka (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ത) akan selalu memiliki tanda yang berlawanan, dan ߪ௫௬ akan negatif.

Ketika kovariansi ߪ௫௬ tidak nol (bahkan pada limit dari tak hingga

banyaknya pengukuran), galat pada ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬berkorelasi. Dalam hal ini, galat ߪ௤

pada ‫ݔ(ݍ‬, ‫ )ݕ‬yang diberikan oleh persamaan (3.6.6) tidak sama seperti yang didapatkan dari rumus persamaan (3.6.7) untuk galat independen dan acak. Contoh 3.6.1 Dua Sudut dengan Kovariansi Negatif Masing-masing dari lima siswa mengukur dua sudut yang sama yaitu ߙ dan ߚ dan mendapatkan hasilnya yang ditunjukkan pada tiga kolom pertama tabel berikut ini Tabel 3.6.1

Siswa

ࢻ

Lima Pengukuran Dua Sudut ࢻ dan ࢼ (dalam Derajat) ࢼ

A 35 50 B 31 55 C 33 51 D 32 53 E 34 51 Jumlah 165 260

(ߙ − ߙത) 2 -2 0 -1 1 0

൫ߚ − ߚ̅ ൯ (ߙ − ߙത)൫ߚ − ߚ̅ ൯ (ߙ − ߙത)ଶ ൫ߚ − ߚ̅ ൯ଶ -2 -4 4 4 3 -6 4 9 -1 0 0 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 -12 10 16

Carilah rata-rata dan standar deviasi untuk masing-masing sudut, dan kemudian carilah kovariansi ߪఈఉ seperti yang didefinisikan pada persamaan

(3.6.5).


90

Hitunglah ‫ ߙ = ݍ‬+ ߚ dan carilah pendugaan terbaik untuk ‫ ݍ‬seperti yang ditunjukkan pada persamaan (3.6.3) dan standar deviasi ߪ௤ yang ditunjukkan pada

persamaan (3.6.4). Bandingkan standar deviasi dengan apa yang akan didapatkan jika diasumsikan (secara tidak benar) bahwa galat pada ߙ dan ߚ adalah independen dan bahwa ߪ௤ ditunjukkan pada persamaan (3.6.7) Penyelesaian:

Rata-ratanya adalah ߙത= 33 dan ߚ̅ = 52. Dengan nilai-nilai ini, akan dapat dicari

simpangan (ߙ − ߙത) dan ൫ߚ − ߚ̅ ൯, seperti ditunjukkan pada Tabel 3.6.1, dan dari simpangan ini dapat dengan mudah dicari

 2 

1 N

 

 2 

1 N

 

i

1 2     .10  2,0 5

dan

i

2 1     .16  3,2 . 5

(Disini digunakan persamaan (3.6.1) dengan ܰ sebagai penyebut).

Dari tabel (3.6.1) dapat dilihat bahwa nilai tinggi dari ߙ tampaknya

berkorelasi dengan nilai rendah dari ߚ dan sebaliknya, karena (ߙ − ߙത) dan ൫ߚ − ߚ̅ ൯ selalu mempunyai tanda yang berlawanan. Korelasi ini berarti bahwa

hasil kali (ߙ − ߙത)൫ߚ − ߚ̅ ൯ yang ditunjukkan pada kolom terakhir dari tabel ini

semua negatif (atau nol). Dengan demikian, kovariansi ߪఈఉ seperti yang didefinisikan oleh persamaan (3.6.5) adalah negatif, ߪఈఉ =

1 1 ෍ (ߙ − ߙത) ൫ߚ − ߚ̅ ൯= × (−12) = −24. ܰ 5


91

Pendugaan terbaik untuk penjumlahan ‫ ߙ = ݍ‬+ ߚ ditunjukkan oleh

persamaan (3.6.3) sebagai

‫ݍ‬ᇱ = ‫ݍ‬ ത= ߙത+ ߚ̅ = 33 + 52 = 85.

Untuk mencari standar deviasi menggunakan persamaan (3.6.6), diperlukan డ௤

డ௤

dua turunan parsial, dengan డఈ = డఉ = 1. Oleh karena itu, berdasarkan (3.6.6), ߪ௤ଶ

߲‫ ݍ‬ଶ ଶ ߲‫ ݍ‬ଶ ଶ ߲‫ݍ߲ ݍ‬ = ൬ ൰ ߪఈ + ൬ ൰ ߪఉ + 2 ߪ ߲ߙ ߲ߚ ߲ߙ ߲ߚ ఈఉ

ߪ௤ଶ = ߪఈଶ + ߪఉଶ + 2ߪఈఉ

ߪ௤ = ට ߪఈଶ + ߪఉଶ + 2ߪఈఉ Jika

korelasi

= ඥ2,0 + 3,2 + 2 × (−2,4) = 0,6. antar

pengukuran

ߙ

dan

ߚ

diabaikan

kemudian

memperlakukan keduanya sebagai independen, maka berdasarkan persamaan (3.6.7) akan mendapatkan jawaban yang salah ߲‫ ݍ‬ଶ ߲‫ ݍ‬ଶ ߪ௤ଶ = ൬ ൰ ߪఈଶ + ൬ ൰ ߪఉଶ ߲ߙ ߲ߚ ߪ௤ଶ = ߪఈଶ + ߪఉଶ

ߪ௤ = ට ߪఈଶ + ߪఉଶ

= ඥ2,0 + 3,2 = 2,3.

Dapat dilihat dari contoh ini bahwa korelasi di ruas kanan dapat menyebabkan selisih dramatis pada perambatan galat. Dalam hal ini, akan dapat dilihat mengapa terdapat selisih ini: Galat pada setiap sudut ߙ dan ߚ kurang lebih satu derajat, menganjurkan bahwa ‫ ߙ = ݍ‬+ ߚ akan menjadi tidak pasti jika


92

mempunyai derajat yang lebih besar. Tetapi, galat positif di ߙ disertai dengan galat negatif di ߚ, dan sebaliknya. Jadi, ketika menjumlahkan ߙ dan ߚ galatnya

cenderung diabaikan. Dengan demikian ketidakpastiannya hanya sebagian kecil dari derajatnya. Contoh 3.6.2 Masing-masing dari tiga siswa mengukur dua sisi, ‫ ݔ‬dan ‫ݕ‬, dari sebuah persegi dan mendapatkan hasilnya yang ditunjukkan pada tabel berikut ini. Tabel 3.6.2 Tiga Pengukuran Dua Sisi ࢞ dan ࢟ (dalam mm) Siswa A B C

‫ݔ‬ 25 27 29

‫ݕ‬ 33 34 38

Carilah rata-rata, ‫ݔ‬ҧdan ‫ݕ‬ ത, dan kemudian buatlah tabel seperti tabel (3.6.1) untuk mencari kovariansi ߪ௤. Jika siswa menghitung penjumlahan ‫ ݔ = ݍ‬+ ‫ݕ‬, carilah standar deviasi ߪ௤ menggunakan persamaan (3.6.6) dan membandingkannya

dengan nilai yang didapat jika kovariansi diabaikan dan menggunakan persamaan (3.6.7). (Perhatikan bahwa pada contoh ini, nilai tinggi ‫ ݔ‬sepertinya berkorelasi

dengan nilai tinggi ‫ݕ‬, dan sebaliknya. Secara spesifik, siswa C muncul secara

konsisten untuk menduga secara berlebihan dan siswa A untuk menduga terlalu rendah. Ingat juga bahwa dengan hanya tiga pengukuran, hasil dari setiap perhitungan statistika hanya panduan kasar untuk galat yang bersangkutan. Penyelesaian:


93

Tabel 3.6.3

Siswa A B C Jumlah

Tiga Pengukuran Dua Sisi ࢞ dan ࢟ (dalam mm)

‫ݔ‬ ‫ ݔ( ݕ‬− ‫ ݕ( ) ̅ݔ‬− ‫ݕ‬ ത) 25 33 -2 -2 27 34 0 -1 29 38 2 3 81 105 0 0

(‫ ݔ‬− ‫ ݕ() ̅ݔ‬− ‫ݕ‬ ത) 4 0 6 10

(‫ ݔ‬− ‫) ̅ݔ‬ଶ 4 0 4 8

(‫ ݕ‬− ‫ݕ‬ ത)ଶ 4 1 9 14

ே

1 1 ‫ݔ‬ҧ= ෍ ‫ = ݔ‬. 81 = 27 ܰ 3 ௜ୀଵ

ே

1 1 ‫ݕ‬ ത= ෍ ‫ = ݕ‬. 105 = 35. ܰ 3 ௜ୀଵ

Kovariansi ߪ௤

ߪ௫௬ =

Standar deviasinya

dan

ߪ௫ଶ = ߪ௬ଶ =

1 1 ) (‫ ݕ‬− ‫ݕ‬ ෍ (‫ ݔ‬− ‫ݔ‬ҧ ത) = . 10 = 3,3. ܰ 3

1 1 )ଶ = . 8 = 2,7, ෍ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ܰ 3

1 1 ෍ (‫ݕ‬௜ − ‫ݕ‬ ത)ଶ = . 14 = 4,7. ܰ 3

Pendugaan terbaik untuk penjumlahan ‫ ݔ = ݍ‬+ ‫ ݕ‬adalah ‫ݍ‬ᇱ = ‫ݍ‬ ത = ‫ݔ‬ҧ +‫ݕ‬ ത= 27 + 35 = 62.

Untuk mencari standar deviasi menggunakan persamaan (3.6.6), diperlukan dua turunan parsial, dengan

q q   1 . Oleh karena itu, berdasarkan (3.6.6), x y 2

 q  q q  q       x2     y2  2  xy x y  x   y  2

2 q


94

 q2   x2   y2  2  xy

 q   x2   y2  2  xy = ඥ2,7 + 4,7 + 2 × 3,3 = 3,7.

Jika korelasi antar pengukuran ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬diabaikan kemudian memperlakukan

keduanya sebagai independen, maka berdasarkan persamaan (3.6.7) akan mendapatkan jawaban yang salah ߲‫ ݍ‬ଶ ߲‫ ݍ‬ଶ ߪ௤ଶ = ൬ ൰ ߪ௫ଶ + ൬ ൰ ߪ௬ଶ ߲‫ݔ‬ ߲‫ݕ‬ ߪ௤ଶ = ߪ௫ଶ + ߪ௬ଶ

ߪ௤ = ටߪ௫ଶ + ߪ௬ଶ

= ඥ2,7 + 4,7 = 2,7.

Dapat dilihat dari contoh ini bahwa korelasi di ruas kanan dapat menyebabkan selisih dramatis pada perambatan galat. Dalam hal ini, akan dapat dilihat mengapa terdapat selisih ini: Disini terjadi kondisi di mana menduga secara berlebihan nilai ‫ ݔ‬akan selalu disertai dengan menduga secara berlebihan nilai ‫ݕ‬, ) dan (‫ݕ‬௜ − ‫ݕ‬ dan sebaliknya. Bilangan (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ത) akan selalu memiliki tanda yang

sama (positif atau negatif), dan hasil kalinya akan selalu positif. Karena semua suku dalam jumlahan pada persamaan (3.6.5) adalah positif, ߪ௫௬ akan menjadi positif (dan tidak nol).

∎

Dengan menggunakan rumus pada persamaan (3.6.6), akan dapat diperoleh batas atas ߪ௤ yang selalu berlaku. Kovariansi ߪ௫௬ memenuhi pertidaksamaan yang disebut pertidaksamaan Schwarz


หߪ௫௬ ห≤ ߪ௫ߪ௬ .

95

(3.6.8)

Jika persamaan ini disubstitusikan ke persamaan (3.6.6) untuk galat ߪ௤,

maka akan didapat

2

 q  q q  q       x2     y2  2  x y x y  x   y  2

2 q

 q  q   x   y  y  x 

2

yaitu,

q 

q q x   y. x y

(3 . 6 . 9 )

Dengan hasil ini, akhirnya dapat ditentukan arti yang tepat dari rumus sederhana

q 

q q x  y x y

(3.6.10 )

untuk galat ߜ௤. Jika standar deviasi ߪ௤ diambil sebagai ukuran pada galat di ‫ݍ‬, maka (3.6.9) menunjukkan bahwa persamaan (3.6.10) benar-benar batas atas

galat. Apakah galat pada ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬independen dan berdistribusi normal, ataupun

tidak, galat pada ‫ ݍ‬tidak akan pernah melebihi ruas kanan persamaan (3.6.10). Jika pengukuran ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬berkorelasi hanya pada หߪ௫௬ ห= ߪ௫ߪ௬ (nilai ini merupakan nilai kemungkinan terbesar dari pertidaksamaan (3.6.8)), maka galat

pada ‫ ݍ‬dapat benar-benar besar seperti yang ditunjukkan pada persamaan (3.6.10).


96

G. Galat Independen dalam Penjumlahan Sebelumnya telah dibahas bahwa jika besaran hasil pengukuran dijumlahkan atau dikurangkan, maka galatnya dijumlahkan; Jika besaran hasil pengukuran dikalikan atau dibagi, maka galat fraksionalnya dijumlahkan. Pada subbab ini dan selanjutnya akan dibahas tentang bagaimana, pada kondisi tertentu, galat yang dihitung dengan menggunakan aturan tersebut mungkin tidak perlu besar. Secara khusus, jika galat asal yang independen dan acak, pendugaan yang lebih realistis dari galat akhir diperoleh dari aturan serupa di mana galat atau galat fraksional ditambahkan dalam kuadratur (prosedur ini akan didefinisikan kemudian). Jika dihitung ‫ ݔ = ݍ‬+ ‫ ݕ‬dengan dan

‫ݔ = ݔ‬′ ± ߜ‫ݔ‬ ‫ݕ = ݕ‬′ ± ߜ

maka, pertama nilai terbaik untuk ‫ ݔ = ݍ‬+ ‫ ݕ‬adalah ‫ݍ‬ᇱ = ‫ݔ‬ᇱ + ‫ݕ‬′. Kedua,

karena nilai dari ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬adalah ‫ݔ‬′ ± ߜ‫ ݔ‬dan ‫ݕ‬′ ± ߜ‫ݕ‬, maka nilai kemungkinan tertinggi untuk ‫ ݍ‬adalah

‫ݔ‬ᇱ + ‫ݕ‬ᇱ + ߜ‫ ݔ‬+ ߜ‫ݕ‬

(3.7.1)

‫ݔ‬ᇱ + ‫ݕ‬ᇱ − ߜ‫ ݔ‬− ߜ‫ݕ‬

(3.7.2).

Dan nilai kemungkinan terendahnya adalah

Kesimpulannya adalah nilai dari ‫ ݍ‬ada diantara dua bilangan tersebut dan

galat di ‫ ݍ‬adalah

ߜ‫ ݔߜ ≈ ݍ‬+ ߜ‫ݕ‬

(3.7.3).


97

Untuk melihat mengapa rumus ini cenderung memberi dugaan yang terlalu tinggi untuk nilai ߜ‫ݍ‬, akan dipertimbangkan bagaimana nilai sebenarnya dari

‫ ݍ‬bisa sama dengan nilai tertinggi pada persamaan (3.7.1). Jelas, ini terjadi jika nilai ‫ ݔ‬diduga terlalu rendah daripada jumlah ߜ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬terlalu rendah daripada jumlah ߜ‫ݕ‬, dan hal ini

jelas tidak mungkin. Jika ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬diukur secara

independen dan galatnya merupakan galat acak, maka akan terdapat kemungkinan yang sama untuk menduga terlalu rendah nilai ‫ ݔ‬disertai dengan menduga terlalu tinggi nilai ‫ݕ‬, atau sebaliknya. Jelasnya, kemungkinan untuk menduga terlalu rendah keduanya daripada jumlah ߜ‫ ݔ‬dan ߜ‫ ݕ‬cukup kecil.

Pendugaan yang terbaik dari ߜ‫ ݍ‬adalah bergantung pada apa yang dimaksud

dengan pernyataan bahwa ‫ ݍ‬adalah nilai yang "mungkin" ada di antara ‫ݍ‬ᇱ − ߜ‫ݍ‬ dan ‫ݍ‬ᇱ + ߜ‫ݍ‬. Selain itu juga bergantung pada hukum statistis yang mengatur galat

dalam pengukuran. Pada Bab selanjutnya akan dibahas tentang distribusi normal, yang menjelaskan pengukuran berdasarkan pada galat acak. Hal ini menunjukkan bahwa jika pengukuran ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬dibuat secara independen dan keduanya berdistribusi normal, maka galat pada ‫ ݔ = ݍ‬+ ‫ ݕ‬adalah

q 

x 2  y 2 .

(3.7.4)

Jika dua bilangan yang masing-masing dikuadratkan dijumlahkan, kemudian keduanya diakar kuadratkan seperti pada persamaan (3.7.4), maka bilangan tersebut dapat dikatakan sebagai penjumlahan dalam kuadratur. Jadi, aturan yang terkandung dalam persamaan (3.7.4) dapat dinyatakan sebagai berikut: Jika pengukuran ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬independen dan bersifat acak, maka galat ߜ‫ ݍ‬pada ‫ ݔ = ݍ‬+ ‫ݕ‬


98

adalah penjumlahan dalam kuadratur atau penjumlahan kuadrat dari galat ߜ‫ ݔ‬dan ߜ‫ݕ‬.

Bandingkan persamaan (3.7.4) untuk galat pada ‫ ݔ = ݍ‬+ ‫ ݕ‬dengan

persamaan (3.7.3). Pertama, persamaan (3.7.4) selalu lebih kecil daripada persamaan (3.7.3), dengan penjelasan sebagai berikut: Untuk sebarang dua bilangan positif ܽ dan ܾ, bilangan ܽ, ܾ dan √ܽଶ + ܾଶ adalah tiga sisi dari segitiga siku-siku.

ඥ ܽଶ + ܾଶ

ܾ

ܽ

Gambar 3.7.1 Sisi-sisi Segitiga Siku-siku. Karena panjang setiap sisi segitiga kurang dari jumlah dua sisi yang lainnya, maka

pertidaksamaan

pertidaksamaan

√ܽଶ + ܾଶ < ܽ + ܾ

√ܽଶ + ܾଶ < ܽ + ܾ

selalu

selalu

benar

benar. adalah

ketaksamaan segitiga, yaitu untuk segitiga

|ܽ + ܾ|

|ܽ|

|ܾ|

Gambar 3.7.2 Ketaksamaan Segitiga.

Bukti

bahwa

menggunakan


99

berlaku |ܽ + ܾ| ≤ |ܽ| + |ܾ|.

Dengan menggunakan nilai mutlak

|‫ = |ݔ‬ξ ‫ݔ‬ଶ,

maka

|ܽ + ܾ| = ඥ(ܽ + ܾ)ଶ = √ܽଶ + 2ܾܽ + ܾଶ. Pada pertidaksamaan berlaku −|ܽ| ≤ ܽ ≤ |ܽ| untuk setiap ܽ bilangan real, sehingga

−|ܽ|ଶ ≤ ܽଶ ≤ |ܽ|ଶ → ඥ ܽଶ + 2ܾܽ + ܾଶ ≤ ඥ|ܽ|ଶ + 2|ܽ||ܾ| + |ܾ|ଶ → |ܽ + ܾ| ≤ ඥ(|ܽ| + |ܾ|)ଶ. Jadi, |ܽ + ܾ| ≤ |ܽ| + |ܾ|. Secara geometri pertidaksamaan tersebut terjadi hanya jika segitiga mempunyai sudut 180° dan sudut 0°. Untuk segitiga yang mempunyai sudut 180° berlaku |ܽ + ܾ| < |ܽ| + |ܾ| dan untuk segitiga yang mempunyai sudut 0° berlaku |ܽ + ܾ| = |ܽ| + |ܾ|.


100

Pada kasus diatas pertidaksamaan terjadi pada segitiga yang mempunyai sudut 180°, sehingga berlaku |ܽ + ܾ| < |ܽ| + |ܾ|, sehingga untuk segitiga pada gambar 3.7.1 terbukti benar bahwa √ܽଶ + ܾଶ < ܽ + ܾ.

■

Karena panjang setiap sisi segitiga selalu kurang dari jumlah dua sisi yang lainnya, maka panjang salah satunya adalah √ܽଶ + ܾଶ < ܽ + ܾ dan karenanya (3.7.3) selalu lebih kecil dari (3.7.4).

Karena persamaan (3.7.3) untuk galat pada ‫ ݔ = ݍ‬+ ‫ ݕ‬selalu lebih kecil dari

(3.7.4), maka harus menggunakan (3.7.3) dalam penerapannya. Akan tetapi, hal

ini tidak selalu dapat diterapkan. Persamaan (3.7.3) mencerminkan kemungkinan bahwa menduga terlalu tinggi nilai ‫ ݔ‬dapat diimbangi dengan menduga terlalu

rendah nilai ‫ ݕ‬atau sebaliknya, tetapi ada pengukuran dimana kanselasi ini tidak berlaku.

Andaikan bahwa ‫ ݔ = ݍ‬+ ‫ ݕ‬adalah jumlah dari panjang ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬diukur

dengan pita baja yang sama. Misalkan bahwa sumber utama galat adalah

ketakutan bahwa pita baja tersebut dirancang untuk digunakan pada suhu yang berbeda dari suhu sekarang. Jika suhu sekarang tidak diketahui (dan tidak mempunyai pita baja yang dapat diandalkan untuk perbandingan), maka harus diakui bahwa pita baja mungkin lebih panjang atau lebih pendek daripada pita baja yang telah dikalibrasi dan karenanya dapat menghasilkan pembacaan yang


101

kurang atau lebih daripada panjang yang sebenarnya. Galat ini dapat dengan mudah dipenuhi (andaikan, pita baja mempunyai koefisien ekspansi ߙ = 10ିହ per derajat dan ditentukan bahwa selisih antara suhu kalibrasinya dan suhu saat ini tidak mungkin lebih dari 10 derajat. Pita baja tersebut kemudian tidak mungkin lebih dari 10ିସ, atau 0,01%, menjauh dari panjang sebenarnya, dan oleh karena itu galatnya adalah 0,01%). Maksudnya adalah bahwa jika pita baja tersebut

terlalu panjang, maka ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬dapat diduga terlalu rendah. Dan jika pita baja tersebut terlalu pendek, maka ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬dapat diduga terlalu tinggi. Jadi, tidak ada

kemungkinan untuk kanselasi yang dibenarkan menggunakan jumlah dalam kuadratur untuk menghitung galat dalam ‫ ݔ = ݍ‬+ ‫ݕ‬.

Apakah galat independen dan acak, ataupun tidak, galat pada ‫ ݔ = ݍ‬+ ‫ݕ‬

tentulah tidak lebih besar daripada ߜ‫ ݔ‬+ ߜ‫ݕ‬, sehingga berdasarkan persamaan (3.6.9) dan (3.6.10)

ߜ‫ ݔߜ ≤ ݍ‬+ ߜ‫ݕ‬.

(3.7.5)

Pada persamaan (3.7.3), ߜ‫ ݍ‬sebenarnya merupakan batas atas yang ada pada

semua kasus. Jika terdapat alasan untuk menduga galat pada ‫ ݔ‬dan ‫ ݕ‬tidak

independen dan acak (seperti pada contoh ukuran pita baja), maka tidak dibenarkan dalam menggunakan jumlah kuadrat seperti pada persamaan (3.7.4) untuk ߜ‫ݍ‬. Di sisi lain, persamaan (3.7.5) menjamin bahwa ߜ‫ ݍ‬memang tidak lebih buruk daripada ߜ‫ ݔ‬+ ߜ‫ݕ‬, dan tentu saja metode paling aman adalah dengan menggunakan aturan lama yaitu

ߜ‫ ݔߜ ≈ ݍ‬+ ߜ‫ݕ‬.


102

Seringkali, jika galat merupakan penjumlahan dalam kuadratur atau secara langsung mempunyai selisih yang kecil. Misalnya, andaikan bahwa ‫ ݔ‬dan ‫ݕ‬ adalah panjang semua pengukuran dengan galat ߜ‫ = ݕߜ = ݔ‬2 mm. Jika galat ini

adalah independen dan acak, maka galat pada ‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬akan diduga sebagai penjumlahan dalam kuadratur,

tetapi

ඥ (ߜ‫)ݔ‬ଶ + (ߜ‫)ݕ‬ଶ = √4 + 4 mm = 2,8 mm ≈ 3 mm,

jika diduga bahwa galat mungkin tidak independen, maka harus

digunakan penjumlahan biasa, ߜ‫ ݔ‬+ ߜ‫( = ݕ‬2 + 2)mm = 4 mm.

Pada banyak percobaan, pendugaan galat begitu kasar bahwa selisih antara kedua jawaban (3 mm dan 4 mm) tidaklah penting. Di sisi lain, kadang-kadang penjumlahan dalam kuadratur secara signifikan lebih kecil daripada penjumlahan biasa. Juga, agak mengherankan, penjumlahan dalam kuadratur kadang-kadang lebih mudah untuk dihitung daripada penjumlahan biasa. Contoh 3.7.1 Andaikan diukur volume air dalam dua gelas sebagai berikut

V1  120  8 ml V2  65  4 ml , kemudian dengan hati-hati isinya dituang dari gelas pertama ke gelas kedua. a. Bagaimanakah prediksi untuk total volume, ܸ = ܸଵ + ܸଶ beserta dengan galatnya, ߜܸ?(asumsikan galat asalnya independen dan acak)

b. Bagaimanakah nilai ߜܸ jika galat asalnya diduga tidak independen? Penyelesaian:


103

Volume air ܸᇱ = ܸଵᇱ + ܸଶᇱ

= 120 + 65 = 185 ml.

a. Karena galat asalnya adalah independen dan acak, maka galat pada ܸଵ + ܸଶ akan diduga sebagai penjumlahan dalam kuadratur,

ߜܸ = ඥ(ߜܸଵ)ଶ + (ߜܸଶ)ଶ = ඥ 8ଶ + 4ଶ

= √64 + 16 = √80 = 8,9 ≈ 9 ml.

Jadi,

ܸ = 185 ± 9 ml.

b. Karena galat asalnya tidak independen, maka harus digunakan penjumlahan biasa, ߜܸ = ߜܸଵ + ߜܸଶ = (8 + 4) = 12 ml.

Jadi,

ܸ = 185 ± 12 ml. H. Lebih Jauh tentang Galat Independen Andaikan nilai ‫ݔ‬, … , ‫ ݓ‬diukur dengan galat ߜ‫ݔ‬, … , ߜ‫ ݓ‬dan nilai hasil

pengukuran digunakan untuk menghitung

‫ ݔ = ݍ‬+ ⋯ + ݉ − (݊ + ⋯ + ‫) ݓ‬.

Jika galat pada ‫ݔ‬, … , ‫ ݓ‬diketahui independen dan acak, maka galat pada ‫ ݍ‬adalah penjumlahan kuadrat

ߜ‫ = ݍ‬ඥ(ߜ‫)ݔ‬ଶ + … + (ߜ݉ )ଶ + (ߜ݊)ଶ + … + (ߜ‫) ݓ‬ଶ

(3.8.1)


104

dari galat asalnya. Dalam hal apapun, ߜ‫ ݍ‬tidak pernah lebih besar dari pada jumlah aslinya,

ߜ‫ ݔߜ ≤ ݍ‬+ ⋯ + ߜ݉ + ߜ݊ + ⋯ + ߜ‫ ݓ‬.

(3.8.2)

Andaikan nilai ‫ݔ‬, … , ‫ ݓ‬diukur dengan galat ߜ‫ݔ‬, … , ߜ‫ ݓ‬dan nilai hasil

pengukuran digunakan untuk menghitung ‫=ݍ‬

‫ݔ‬+ ⋯+ ݉ . ݊+ ⋯+ ‫ݓ‬

Jika galat pada ‫ݔ‬, … , ‫ ݓ‬diketahui independen dan acak, maka galat

fraksional pada ‫ ݍ‬adalah penjumlahan dalam kuadratur dari galat fraksional asalnya

ߜ‫ݍ‬ ߜ‫ ݔ‬ଶ ߜ݉ ଶ ߜ݊ ଶ ߜ‫ ݓ‬ଶ ඨ = ൬ ൰ + …+ ൬ ൰ + ൬ ൰ + …+ ൬ ൰ |‫|ݍ‬ ‫ݔ‬ ݉ ݊ ‫ݓ‬ dari galat awalnya. Dalam hal apapun,

(3.8.3)

q tidak pernah lebih besar dari pada q

jumlah aslinya,

q x m n w   ...    ...  q x m n w

(3.8.4)

Terkadang tidak ada perbedaan yang signifikan antara menghitung dengan penjumlahan dan penjumlahan dalam kuadratur. Namun demikian penjumlahan dalam kuadratur sering lebih sederhana untuk dihitung daripada penjumlahan biasa. Contoh 3.8.1 Misalkan ingin dicari efisiensi motor listrik DC dengan menggunakannya untuk mengangkat massa ݉ melalui ketinggian ℎ. Energi yang digunakan adalah ݉ ݃ℎ,


105

dan energi listrik yang dikirimkan ke motor adalah ܸ‫ݐܫ‬, di mana ܸ adalah tegangan yang diberikan, ‫ ܫ‬diberikan, dan ‫ ݐ‬adalah waktu motor berjalan. Efisiensinya adalah

e

Energi yang digunakan motor mgh  . Energi yang dikirimkan ke motor VIt

Andaikan bahwa ݉ , ℎ, ܸ dan ‫ܫ‬dapat diukur dengan akurasi 1% (galat fraksional

untuk ݉ , ℎ, ܸ dan ‫ =ܫ‬1%), ‫ݐ‬mempunyai galat 5% (galat fraksional untuk ‫=ݐ‬5%,

dan galat ݃ diabaikan. Jika sekarang dihitung efisiensinya, ݁, maka berdasarkan aturan terdahulu yaitu “penjumlahan galat fraksional”, maka akan didapatkan ߜ݁ ߜ݉ ߜℎ ߜܸ ߜ‫ݐߜ ܫ‬ ≈ + + + + |݁| |݉ | |ℎ| |ܸ| |‫|ݐ| |ܫ‬ = (1 + 1 + 1 + 1 + 5)% = 9%.

Di sisi lain, jika diyakini bahwa galat-galat ini adalah independen dan acak, maka dapat dihitung

e dengan penjumlahan kuadrat, yaitu e ߜ݁ ߜ݉ ଶ ߜℎ ଶ ߜܸ ଶ ߜ‫ ܫ‬ଶ ߜ‫ ݐ‬ଶ ඨ = ൬ ൰ +൬ ൰ +൬ ൰ +൬ ൰ +൬ ൰ |݁| |݉ | |ℎ| |ܸ| |‫|ܫ‬ |‫|ݐ‬

= ඥ(1%)ଶ + (1%)ଶ+(1%)ଶ+(1%)ଶା (5%)ଶ

= √29% ≈ 5%.

Jelas bahwa penjumlahan kuadrat mengarah ke pendugaan yang lebih kecil dari ߜ݁. Di samping itu, untuk satu angka penting, galat pada ݉ , ℎ, ܸ, dan ‫ ܫ‬sama

sekali tidak memberikan kontribusi untuk galat pada ݁ yang dihitung dengan cara ini; artinya, untuk satu angka penting, dapat dicari


106

ߜ݁ ߜ‫ݐ‬ = . |݁| |‫|ݐ‬

Penyederhanaan ini mudah dipahami. Jika bilangan dijumlahkan dalam kuadratur, maka bilangan tersebut dikuadratkan dahulu dan kemudian dijumlahkan. Proses mengkuadratkan lebih diutamakan pada bilangan paling besar. Jadi, jika satu bilangan 5 kali dari bilangan yang lainnya (seperti pada contoh), maka kuadratnya adalah 25 kali dari bilangan yang lain, dan biasanya bilangan yang lain dapat diabaikan sepenuhnya. Contoh ini menggambarkan bagaimana penggabungan galat dalam kuadratur biasanya lebih baik dan sering lebih mudah daripada menghitung galat dengan penjumlahan saja. Contoh ini juga menggambarkan jenis masalah di mana galat adalah independen dan di mana penjumlahan dalam kuadratur dibenarkan. Lima besaran hasil pengukuran (݉ , ℎ, ܸ, ‫ܫ‬, dan ‫ )ݐ‬adalah besaran fisika yang

berbeda dengan satuan yang berbeda dan diukur dengan proses yang sepenuhnya berbeda. Untuk sumber galat pada setiap besaran yang berkorelasi dengan sumber galat pada besaran lainnya hampir tidak dapat dibayangkan. Oleh karena itu, galat dapat layak diperlakukan sebagai galat yang independen dan dikombinasikan dalam kuadratur. Contoh 3.8.2 Andaikan diukur tiga bilangan sebagai berikut: ‫ = ݔ‬200 ± 2, ‫ = ݕ‬50 ± 2, ‫ = ݖ‬20 ± 1,

dimana ketiga galatnya adalah independen dan acak. Hitunglah nilai:


a. ‫ ݔ = ݍ‬+ ‫ ݕ‬− ‫ݖ‬, b. r 

xy , z

beserta dengan galatnya? Penyelesaian: a. Nilai ‫ݍ‬ᇱ = ‫ݔ‬ᇱ + ‫ݕ‬ᇱ − ‫ݖ‬ᇱ = 200 + 50 − 20 = 230,

galatnya

q 

x 2  y 2  z 2

 2 2  2 2  12  4  4  1  9  3, sehingga

q  230  3. b. Nilai r' 

x ' y ' 200.50   500 20 z'

Galat fraksional masing-masing bilangan adalah

x 2   0,01  1%, x 200 y 2   0,04  4%, y 50 z 1   0,05  5%. z 20 Galatnya

107


2

2

 x   y   z  q          q  x  y  z

108

2

 12  4 2  5 2  1  16  25  42  6,48%

q  q  6,48  500  6,48  32,4 sehingga

r  500  32.

I. Fungsi Sebarang Satu Variabel Seperti yang telah dijelaskan tentang bagaimana galat, semua independen dan sebaliknya, merambat melalui penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Namun, banyak perhitungan membutuhkan operasi yang lebih rumit, seperti perhitungan sinus, kosinus, atau akar kuadrat, dan perlu diketahui bagaimana galat merambat dalam kasus ini. Sebagai contoh, untuk mencari indeks bias ݊ kaca adalah dengan mengukur

sudut kritis ߠ. Seperti yang telah diketahui dari optik dasar bahwa n 

1 . Oleh sin 

karena itu, jika dapat diukur sudut ߠ, akan dapat dengan mudah dihitung indeks bias ݊, tetapi kemudian harus ditentukan apakah galat ߜ݊ pada n  diakibatkan oleh galat ߜߠ pada pengukuran ߠ.

1 sin 


109

Lebih umum lagi, andaikan diukur besaran ‫ ݔ‬dalam bentuk standar ‫ݔ‬ᇱ ± ߜ‫ݔ‬ ଵ

dan ingin menghitung beberapa fungsi ‫ )ݔ(ݍ‬yang dikenal, seperti ‫ = )ݔ(ݍ‬ୱ୧୬ ఏ atau ‫ݔ√ = )ݔ(ݍ‬. Sebuah cara sederhana untuk mencari perhitungan ini adalah dengan menggambar grafik ‫ )ݔ(ݍ‬seperti gambar berikut ini

Gambar 3.9.1 Grafik ࢗ(࢞) vs ࢞. Jika ‫ ݔ‬diukur sebagai ‫ݔ‬ᇱ + ߜ‫ݔ‬, maka pendugaan terbaik untuk ‫ )ݔ(ݍ‬adalah

‫ݍ‬ᇱ = ‫ݔ(ݍ‬ᇱ). Nilai kemungkinan terbesar dan terkecil dari ‫ )ݔ(ݍ‬bersesuaian dengan nilai ‫ݔ‬ᇱ ± ߜ‫ ݔ‬dari ‫ݔ‬. Untuk menentukan galat ߜ‫ ݍ‬adalah sebagai berikut: Nilai kemungkinan terbesar ‫ ݔ‬adalah ‫ݔ‬ᇱ + ߜ‫ݔ‬. Dengan menggunakan grafik, maka akan

dengan mudah dicari nilai kemungkinan terbesar ‫ݍ‬, yang ditampilkan sebagai

‫ݍ‬௠ ௔௞௦ dan nilai kemungkinan terkecil ‫ݍ‬, yang ditampilkan sebagai ‫ݍ‬௠ ௜௡ . Jika galat ߜ‫ ݔ‬kecil, maka potongan grafik pada gambar ini kurang lebih adalah lurus,


110

dan q maks dan q min terlihat sama jaraknya dari ‫ݍ‬ᇱ. Galat ߜ‫ ݍ‬kemudian dapat diperoleh dari grafik sebagai panjang yang ditampilkan, dan kemudian dapat dicari nilai ‫ ݍ‬dalam bentuk standar, yaitu ‫ݍ‬ᇱ + ߜ‫ݍ‬.

Kadang-kadang, galat dihitung dari grafik yang sudah dijelaskan. Akan

tetapi, biasanya fungsi ‫ )ݔ(ݍ‬diketahui secara eksplisit, misalnya q x   sin x dan q x  

x yang galatnya dapat dihitung secara analitik. Dari gambar (3.9.1) dapat

dilihat bahwa ߜ‫ݔ(ݍ = ݍ‬ᇱ + ߜ‫ )ݔ‬− ‫ݔ(ݍ‬ᇱ).

(3.9.1)

Pendekatan fundamental kalkulus menyatakan bahwa, untuk setiap fungsi ‫)ݔ(ݍ‬ dan setiap kenaikan‫ ݑ‬yang cukup kecil,

‫ ݔ(ݍ‬+ ‫ )ݑ‬− ‫= )ݔ(ݍ‬

݀‫ݍ‬ ‫ݑ‬. ݀‫ݔ‬

Jadi, jika galat ߜ‫ ݔ‬kecil, maka persamaan (3.9.1) dapat ditulis menjadi ߜ‫= ݍ‬

݀‫ݍ‬ ߜ‫ݔ‬. ݀‫ݔ‬

Jadi, untuk mencari galat ߜ‫ݍ‬, hanya dihitung turunan,

(3.9.2)

dq dan dikalikan dengan dx

galat ߜ‫ݔ‬.

Rumus pada persamaan (3.9.2) bukanlah rumus akhir. Rumus ini diperoleh

untuk digunakan pada suatu fungsi, seperti pada Gambar (3.9.1), yang kemiringannya positif.


111

Gambar 3.9.2 Grafik ࢗ(࢞) vs ࢞.

Jika kemiringan ‫ )ݔ(ݍ‬negatif, maka nilai kemungkinan maksimum dari ‫ݍ‬

bersesuaian dengan nilai minimum dari ‫ݔ‬, dan sebaliknya. Gambar (3.9.2) menunjukkan suatu fungsi dengan kemiringan negatif. Di sini, nilai kemungkinan maksimum ‫ݍ‬௠ ௔௞௦ ternyata bersesuaian dengan nilai minimum ‫ݔ‬, sehingga ߜ‫ = ݍ‬−

Karena

݀‫ݍ‬ ߜ‫ݔ‬. ݀‫ݔ‬

dq dq negatif, maka  dapat ditulis dx dx

sebagai

(3.9.3)

dq , sehingga secara dx

umum jika ‫ ݔ‬diukur dengan galat ߜ‫ ݔ‬dan digunakan untuk menghitung fungsi ‫)ݔ(ݍ‬, maka galat ߜ‫ ݍ‬adalah

݀‫ݍ‬ ߜ‫ = ݍ‬ฬ ฬߜ‫ݔ‬. ݀‫ݔ‬

(3.9.4)

Kadang-kadang jika ‫ ݔ‬rumit, maka menduga turunannya juga sulit dan

menggunakan (3.9.1) kadang-kadang lebih mudah.


112

Contoh 3.9.1 Andaikan diukur sudut ߠ berikut ini

ߠ = 20 ± 3° .

Hitunglah cos ߠ dan galatnya. Penyelesaian:

Pendugaan terbaik dari cos ߠ adalah, cos 20 = 0,94, dan berdasarkan persamaan (3.9.4), galatnya adalah

݀ cos ߠ ߜ(cos ߠ) = ฬ ฬߜߠ ݀ߠ

= |sin ߠ|ߜߠ(dalam radian)

(3.9.5).

Telah ditunjukkan bahwa ߜߠ harus dinyatakan dalam radian, karena turunan dari cos ߠ adalah − sin ߠ hanya jika ߠ dinyatakan dalam radian. Oleh karena itu, ߜߠ = 3° dapat ditulis kembali sebagai

ߜߠ = =

3 |sin ߠ| 20 3 |0,34| 20

= 0,05

maka berdasarkan persamaan (3.9.5) menjadi ߜ(cos ߠ) = หsin 20° ห× 0,05 = 0,34 × 0,05

Jadi, jawaban akhirnya adalah

= 0,02

cos ߠ = 0,94 ± 0,02.


113

Contoh 3.9.2 Andaikan diukur ‫ ݔ‬berikut ini

‫ = ݔ‬3,0 ± 0,1.

Hitunglah ‫݁ = ݍ‬௫ dan galatnya. Penyelesaian:

Pendugaan terbaik dari ‫݁ = ݍ‬௫ adalah, ‫݁ = ݍ‬ଷ,଴ = 19,90, dan berdasarkan persamaan (3.9.4), galatnya adalah

௫)

ߜ(݁

݀݁௫ = ฬ ฬߜߠ ݀ߠ

= |݁௫|ߜߠ (dalam radian)

ߜߠ = 0,1 dapat ditulis kembali sebagai

ߜ‫= ݍ‬ =

(3.9.6).

0,1 ௫ |݁ | 3,0

0,1 ଷ,଴ |݁ | 3,0

= 0,6,

maka berdasarkan persamaan (3.9.5) menjadi ߜ(݁௫) = |݁௫| × 0,6

= 19,90 × 0,6

Jadi, jawaban akhirnya adalah

Contoh 3.9.3

= 11,94.

cos ߠ = 19,90 ± 11,94.

Andaikan diukur besaran ‫ݔ‬. Hitunglah ‫ݔ = )ݔ(ݍ‬௡ (݊ sebarang bilangan, positif


114

atau negatif) dan galatnya. Penyelesaian: Berdasarkan persamaan (3.9.4), galat di ‫ ݍ‬adalah ݀‫ݍ‬ ߜ‫ = ݍ‬ฬ ฬߜ‫ݔ‬ ݀‫ݔ‬

= |݊‫ݔ‬௡ିଵ|ߜ‫ݔ‬.

Jika kedua ruas dibagi dengan persamaan |‫ݔ| = |ݍ‬௡ |, dapat dihasilkan ߜ‫ݍ‬ ߜ‫ݔ‬ = |݊| |‫|ݍ‬ |‫|ݔ‬

(3.9.7)

yaitu, galat fraksional di ‫ݔ = ݍ‬௡ adalah ݊ kali galat fraksional di x . Hasil persamaan (3.9.7) ini adalah aturan pada persamaan (3.5.1), kecuali bahwa hasil

persamaan (3.9.7) lebih umum, karena ݊ bisa sebarang bilangan. Contohnya, jika n

1 , maka ‫ ݔ√ = ݍ‬, dan 2

ߜ‫ ݍ‬1 ߜ‫ݔ‬ = , |‫ |ݍ‬2 |‫|ݔ‬

yaitu, galat fraksional di √‫ ݔ‬adalah setengah dari galat fraksional di ‫ݔ‬.

Persamaan (3.9.7) hanyalah kasus khusus dari persamaan (3.9.4). Jika ‫ ݔ‬diukur dengan galat ߜ‫ ݔ‬dan digunakan untuk menghitung ‫ݔ = ݍ‬௡ (݊ sebarang bilangan,

positif atau negatif), maka galat fraksional di ‫ ݍ‬adalah |‫ |ݔ‬kali galat fraksional di ‫ݔ‬,

Contoh 3.9.4 Andaikan diukur ‫ ݔ‬berikut ini

ߜ‫ݍ‬ ߜ‫ݔ‬ = |݊| . |‫|ݍ‬ |‫|ݔ‬


115

‫ = ݔ‬100 ± 6.

Hitunglah ‫ ݔ√ = ݍ‬dan galatnya. Penyelesaian:

Pendugaan terbaik dari ‫ ݔ√ = ݍ‬adalah, ‫√ = ݔ√ = ݍ‬100 = 10, dan berdasarkan persamaan (3.9.7), galatnya adalah

ߜ‫ݍ‬ ߜ‫ݔ‬ = |݊| |‫|ݍ‬ |‫|ݔ‬ =

1 6 × 2 100

= 0,03

ߜ‫ = ݍ‬10 × 0,03 = 0,3

Jadi,

‫ = ݍ‬10,0 ± 0,3. J. Rumus Umum Rambat Galat Andaikan diukur tiga besaran x, y , dan z . Hitunglah q

x y xz

(3.10.1)

di mana terdapat variabel yang muncul lebih dari sekali (dalam kasus ini x ). Jika galatnya dihitung dalam langkah-langkah, maka pertama akan dihitung galat dalam jumlah yaitu, x  y dan x  z , kemudian dihitung galat dalam pembagian. Jika cara ini dilakukan, maka yang akan terjadi adalah kehilangan kemungkinan bahwa galat pada pembilang terkait dengan galat di x , mungkin, sampai batas


116

tertentu, menghilangkan galat pada penyebut terkait dengan galat di x . Untuk memahami bagaimana kanselasi ini dapat terjadi, andaikan bahwa x, y dan z adalah bilangan positif, dan pertimbangkan apa yang terjadi jika pengukuran x adalah pengukuran yang mempunyai galat. Jika x diduga secara berlebihan, maka

x  y dan x  z juga diduga secara berlebihan, dan (untuk sebagian besar) dari pendugaan ini menghapus satu sama lain ketika dihitung

x  y  / x  z  .

Demikian pula, menduga terlalu rendah x mendorong untuk menduga terlalu rendah x  y dan x  z , yang juga menghapus satu sama lain ketika dihitung dalam bentuk pembagian. Dalam kedua kasus, galat di x pada hakekatnya dihapuskan pada pembagian  x  y  /  x  z  . Setiap kali suatu fungsi melibatkan besaran yang sama lebih dari sekali, seperti dalam (3.10.1), beberapa galat dapat menghapus sendiri. Jika kanselasi ini mungkin, maka perhitungan galat bertahapnya dapat menduga secara berlebihan galat akhirnya. Satu-satunya cara untuk menghindari pendugaan secara berlebihan ini adalah menghitung galat dalam satu langkah dengan menggunakan metode berikut ini. Andaikan diukur dua besaran x dan y dan kemudian dihitung beberapa fungsi q  q x, y  . Fungsi ini bisa berupa fungsi sederhana seperti q  x  y atau





fungsi yang lebih rumit seperti q  x 3  y sin  xy  . Untuk fungsi q x  dari variabel tunggal, jika penduga terbaik untuk x adalah x ' , maka penduga terbaik

 

untuk q   x  adalah q  x ' . Selanjutnya, jika nilai kemungkinan ekstrim x adalah x '  x dan bahwa nilai-nilai ekstrim q yang sesuai adalah






q x '  x .

117

(3.10.2)

Akhirnya, digunakan pendekatan qx  u   qx  

dq u dx

(3.10.3)

(untuk setiap kenaikan kecil u ) untuk menulis ulang nilai-nilai kemungkinan ekstrim (3.10.2) sebagai

 

q x' 

dq x , dx

(3.10.4)

dimana nilai mutlak adalah untuk memenuhi kemungkinan

(3.10.4) berarti bahwa q 

dq negatif. Hasil dx

dq x . dx

Jika q adalah fungsi dari dua variabel, q x, y  , argumennya adalah sama. Jika x ' dan y ' merupakan pendugaan terbaik untuk x dan y , maka diharapkan bahwa pendugaan terbaik untuk q adalah





q'  q x' , y' . Untuk memduga galat pada hasil ini, maka perlu untuk menggeneralisasi pendekatan (3.10.3) untuk fungsi dari dua variabel. Generalisasi yang dimaksudkan adalah q  x  u , y  v   q  x, y  

q q u  v, x y

(3.10.5)


di mana u dan v adalah setiap kenaikan kecil di x dan y , dan

q q dan x y

adalah yang disebut turunan parsial dari q terhadap x dan y . Artinya,

hasil turunan q terhadap x sementara y tetap, dan sebaliknya untuk

118

q adalah x

q . y

Nilai-nilai kemungkinan ekstrim untuk x dan y adalah x '  x dan y '  y . Jika nilai-nilai ini dimasukkan ke dalam (3.10.5) dan ingat bahwa

q q dan x y

bisa positif atau negatif, maka nilai-nilai ekstrim dari q adalah

 q q  q x ' , y '   x  y  . y   x





Ini berarti bahwa galat dalam q x, y  adalah

q 

q q x  y . x y

(3.10.6)

Andaikan bahwa

q x, y   x  y ,

(3.10.7)

Turunan parsial keduanya adalah satu, q q   1, x y

(3.10.8)

q  x  y .

(3.10.9)

dan berdasarkan (3.10.6),

Ini hanyalah aturan sementara bahwa galat di x  y adalah jumlah dari galat di x dan y .


119

Aturan (3.10.6) dapat digeneralisasi dalam berbagai cara. Jika galat x dan

y independen dan acak, jumlahan pada (3.10.6) dapat diganti dengan kuadrat jumlah. Jika fungsi q tergantung pada lebih dari dua variabel, maka cukup ditambahkan suku tambahan untuk setiap variabel tambahan. Dengan cara ini, maka sampailah pada rumus umum berikut. Andaikan bahwa x,..., z diukur dengan galat x,..., z dan nilai-nilai hasil pengukuran digunakan untuk menghitung fungsi qx,..., z  . Jika galat di x,..., z independen dan acak, maka galat di q adalah  q   q  q   x   ...   z  .  x   z  2

2

(3.10.10)

Galat ini tidak pernah lebih besar daripada penjumlahan biasa

q 

q q x  ...  z . x z

(3.10.11)

Meskipun rumus (3.10.10) dan (3.10.11) terlihat cukup rumit, namun mudah untuk dipahami. Misalnya, andaikan bahwa di antara semua besaran hasil pengukuran, x, y ,..., z , hanya x yang mempunyai galat ( y  ...  z  0) . Kemudian (3.10.10) hanya berisi satu suku dan akan dicari

q 

Dengan kata lain, suku

q x (jika y  ...  z  0 ) x

(3.10.12)

q x dengan sendirinya adalah galat, atau galat parsial, x

di q yang disebabkan oleh galat di x saja. Dengan cara yang sama,

q y adalah y

galat parsial di q yang disebabkan oleh galat di y saja. Mengacu kembali ke


120

(3.10.10), dapat dilihat bahwa galat total di q adalah jumlah kuadrat dari galat parsial yang terkait dengan setiap galat yang terpisah, x, y ,..., z (dengan ketentuan independen). Ini adalah cara yang baik untuk berpikir tentang hasil (3.10.10), dan cara ini menunjukkan cara paling sederhana untuk menggunakan (3.10.10) untuk menghitung total galat di q : Pertama, menghitung galat parsial di q secara terpisah, menggunakan (3.10.12), kemudian menggabungkan galat-galat

terpisah ini dalam jumlah kuadrat untuk mendapatkan galat total seperti dalam (3.10.10). Dengan cara yang sama, apakah x, y ,..., z independen atau tidak, aturan (3.10.11) mengatakan bahwa galat total di q tidak pernah melebihi penjumlahan biasa dari galat parsial secara terpisah.


BAB IV ANALISIS STATISTIS GALAT ACAK

Pada bab ini akan dibahas bagaimana statistika digunakan untuk menganalisis galat.

A. Nilai Rata-rata dan Standar Deviasi Andaikan diukur besaran ‫ ݔ‬beberapa kali. Diasumsikan semua sumber galat

sistematis telah diidentifikasi dan kemudian diabaikan. Karena semua sumber galat yang tersisa adalah acak, maka harus dideteksi dengan cara mengulangi pengukuran beberapa kali. Misalnya, dilakukan pengukuran lima kali dan dihasilkan 71, 72, 72, 73, 71

(4.1.1)

Pertanyaan yang muncul pertama kali adalah: berapakah nilai ‫ݔ‬ᇱ untuk

besaran ‫ ?ݔ‬Jawabannya adalah nilai rata-rata, ‫ݔ‬ҧdari lima nilai tersebut x'  x

71  72  72  73  71 5  71,8. 

(4.1.2)

Di sini, baris kedua hanyalah definisi ‫ݔ‬ҧuntuk bilangan yang mudah

dihitung. Karena semua bilangan ada di sekitar nilai 70, maka nilai rata-ratanya juga berada pada nilai 70, sehingga yang tersisa adalah rata-rata dari 1, 2, 2, 3, 1.

121


122

9  1,8 ; sehingga jawabannya 5

Nilai rata-rata dari bilangan-bilangan ini adalah adalah ‫ݔ‬ҧ= 71,8.

Secara umum, andaikan dilakukan ܰ pengukuran besaran ‫( ݔ‬semua

menggunakan peralatan dan prosedur yang sama), yaitu ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, … , ‫ݔ‬ே ,

maka, pendugan terbaik untuk ‫ ݔ‬adalah

x x '

(4.1.3)

N

x i 1

i

N

(4.1.4)

Konsep nilai rata-rata hampir pasti telah dikenal. Konsep berikutnya yang kurang begitu dikenal adalah standar deviasi. Standar deviasi pengukuran ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, … , ‫ݔ‬ே adalah pendugaan galat nilai rata-rata pengukuran ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, … , ‫ݔ‬ே dan ditentukan sebagai berikut.

Mengingat bahwa ‫ݔ‬ҧ adalah pendugaan terbaik besaran ‫ݔ‬, maka

simpangannya adalah ‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ= ݀௜. Simpangan ini, yang sering disebut deviasi ‫ݔ‬௜

dari ‫ݔ‬ҧ , menjelaskan tentang seberapa besar ‫ݔ‬௜ berbeda dari ‫ݔ‬ҧ . Jika ݀௜ = ‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ sangat kecil, maka pengukurannya akan lebih presisi, dan sebaliknya.

Untuk memastikan pemahaman tentang gagasan dari simpangan, maka akan dihitung kembali simpangan untuk lima pengukuran pada (4.1.1). Simpangan ini diperlihatkan pada tabel berikut


123

Tabel 4.1.1 Penghitungan Simpangan No. 1 2 3 4 5 Jumlah

Nilai hasil pengukuran (‫ݔ‬௜) 71 72 72 73 71 359

‫ݔ‬ҧ=

Simpangan (݀௜ = ‫ݔ‬௜ − ‫) ̅ݔ‬ -0,8 0,2 0,2 1,2 -0,8 0

∑ ‫ݔ‬௜ 359 = = 71,8. ܰ 5

Perhatikan bahwa simpangan tidak mempunyai ukuran yang sama; ݀௜ kecil

jika nilai ‫ݔ‬௜ dekat dengan ‫ݔ‬ҧ , dan sebaliknya. Perhatikan juga bahwa beberapa dari

݀௜ adalah positif dan negatif karena beberapa dari ‫ݔ‬௜ lebih tinggi dan lebih rendah dari pada ‫ݔ‬ҧ .

Untuk menduga reliabilitas nilai rata-rata pengukuran x1 , x 2 ,..., x5 adalah

dengan merata-rata simpangannya. Sayangnya, untuk sebarang pengukuran, nilai rata-rata simpangannya adalah nol, oleh karena itu nilai rata-rata simpangan bukanlah cara yang berguna untuk mengkarakterisasi reliabilitas pengukuran ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, … , ‫ݔ‬ே .

Cara terbaik untuk menghindari keadaan ini adalah dengan mengkuadratkan

semua simpangan, yang akan menghasilkan nilai-nilai yang positif, dan kemudian merata-rata nilai-nilai ini. Jika kemudian hasilnya diakarkuadratkan, maka akan diperoleh suatu nilai. Nilai ini disebut standar deviasi dari ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, … , ‫ݔ‬ே , dan dinotasikan dengan ߪ௫,


ே

ே

௜ୀଵ

௜ୀଵ

1 1 )ଶ . ߪ௫ = ඩ ෍ (݀௜)ଶ = ඩ ෍ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ܰ ܰ

124

(4.1.5)

Dengan definisi ini, standar deviasi dapat digambarkan sebagai akar kuadrat ratarata simpangan dari pengukuran ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, … , ‫ݔ‬ே . Hal ini terbukti menjadi cara yang tepat untuk mengkarakterisasi reliabilitas pengukuran.

Pada data Tabel 4.1.1, penghitungan untuk nilai  x adalah sebagai berikut Tabel 4.1.2 Penghitungan Standar Deviasi No. 1 2 3 4 5 Jumlah

Nilai hasil pengukuran (‫ݔ‬௜) 71 72 72 73 71 359

‫ݔ‬ҧ=

Simpangan (݀௜ = ‫ݔ‬௜ − ‫) ̅ݔ‬ -0,8 0,2 0,2 1,2 -0,8 0

Simpangan kuadrat (݀௜ଶ) 0,64 0,04 0,04 1,44 0,64 2,80

∑ ‫ݔ‬௜ 359 = = 71,8. ܰ 5

Menjumlahkan nilai-nilai ݀௜ଶ pada kolom keempat Tabel 4.1.2 dan membaginya dengan angka 5 akan diperoleh suatu besaran yang dinotasikan dengan ߪ௫ଶ (sering disebut variansi pengukuran),

Standar deviasinya adalah

ߪ௫ଶ =

1 2,80 ෍ ݀௜ଶ = = 0,56. ܰ 5

(4.1.6)

ߪ௫ = ඥ0,56 ≈ 0,7.

(4.1.7)

Jadi, rata-rata galat dari lima pengukuran tersebut adalah sekitar 0,7.


125

Sayangnya, standar deviasi memiliki definisi alternatif. Ada argumentasi teoritis untuk mengganti faktor ܰ pada definisi (4.1.5) dengan (ܰ − 1) dan mendefinisikan standar deviasi ߪ௫ sebagai berikut ߪ௫ = ඨ

1 1 )ଶ ෍ ݀௜ଶ = ඨ ෍ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ܰ −1 ܰ −1

(4.1.8)

Definisi ini ternyata sedikit lebih luas daripada definisi (4.1.5). Definisi (4.1.8) mengoreksi kecenderungan definisi (4.1.5) untuk mengecilkan galat pada pengukuran

‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, … , ‫ݔ‬ே ,

terutama

jika

jumlah

pengukuran

ܰ

kecil.

Kecenderungan ini dapat dipahami dengan menganggap bahwa ܰ = 1 (hanya

terdapat satu pengukuran). Di sini, ‫ݔ‬ҧ= ‫ݔ‬ଵ dan simpangannya adalah nol. Oleh

karena itu, definisi (4.1.5) memberikan hasil, ߪ௫ = 0. Di sisi lain, definisi (4.1.8) ଴

memberikan hasil ଴; yaitu, dengan definisi (4.1.8), ߪ௫ tak terdefinisi. Hal ini

berarti mencerminkan bahwa galat tidak diketahuai jika hanya terdapat satu pengukuran. Definisi (4.1.5) kadang-kadang disebut standar deviasi populasi dan (4.1.8) disebut standar deviasi sampel. Perbedaan antara dua definisi ini hampir secara numerik tidak terlalu signifikan. Maka harus selalu mengulang pengukuran berkali-kali (setidaknya lima kali). Bahkan jika hanya dilakukan lima pengukuran (ܰ = 5), simpangan

antara √ܰ = 2,2 dan √ܰ − 1 = 2, tidaklah terlalu signifikan. Sebagai contoh, jika dihitung ulang standar deviasi pada (4.1.7) menggunakan definisi (4.1.8), diperoleh ߪ௫ = ඨ

1 1 )ଶ ෍ ݀௜ଶ = ඨ ෍ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ܰ −1 ܰ −1


=ඨ

126

2,80 2,80 =ඨ = ඥ0,7 = 0,8 5−1 4

dan bukan  x  0,7 . Perbedaan ini tidak terlalu signifikan. Namun demikian, kedua definisi ini perlu diperhatikan dan perlu untuk menyatakan secara jelas definisi yang digunakan pada setiap perhitungan. Di dalam teori statistika, standar deviasi sampel dengan penyebut ݊ − 1 (n

adalah ukuran sampel) disimbolkan dengan ܵ௫ଶ dan merupakan penduga yang baik karena tak bias bagi ߪ௫ଶ. Untuk menunjukkan bahwa ܵ௫ଶ adalah penduga tak bias maka harus dibuktikan bahwa ‫ܵ(ܧ‬௫ଶ) = ߪ௫ଶ.

Andaikan ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, … , ‫ݔ‬௡ adalah sampel random dengan ‫ݔ(ܧ‬ଵ) = ߤ dan

ܸ(‫ݔ‬ଵ) = bagi ߪ௫ଶ.

ߪ௫ଶ.

Akan dibuktikan bahwa S

2 x

 x 

i

 x

2

n 1

adalah penduga tak bias

Bukti :

Pertama, akan ditunjukkan bahwa ଶ )ଶ = ෍ ‫ݔ‬௜ଶ − ݊‫ݔ‬ҧ ෍ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ .

ଶ) )ଶ = ෍ (‫ݔ‬௜ଶ − 2‫ݔ‬௜‫ݔ‬ҧ ෍ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ + ‫ݔ‬ҧ

ଶ = ෍ ‫ݔ‬௜ଶ − 2 ෍ ‫ݔ‬௜‫ݔ‬ҧ + ෍ ‫ݔ‬ҧ ଶ = ෍ ‫ݔ‬௜ଶ − 2‫ݔ‬ҧ ෍ ‫ݔ‬௜ + ݊‫ݔ‬ҧ ଶ ଶ = ෍ ‫ݔ‬௜ଶ − 2݊‫ݔ‬ҧ + ݊‫ݔ‬ҧ

ଶ = ෍ ‫ݔ‬௜ଶ − ݊‫ݔ‬ҧ ,

(4.1.9)


127

sehingga ଶ)] )ଶቃ= ‫ ܧ‬ቀ෍ ‫ݔ‬௜ଶቁ− ‫ݔ(݊[ܧ‬ҧ ‫ ܧ‬ቂ෍ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ ଶ). = ෍ ‫ݔ(ܧ‬௜ଶ) − ݊‫ݔ(ܧ‬ҧ

Karena ‫ݔ(ܧ‬௜ଶ) sama untuk semua ݅= 1,2, … , ݊ dan karena

(4.1.10)

ܸܽ‫ ݔ[ܧ = )ݔ(ݎ‬− ‫])ݔ(ܧ‬ଶ

= ‫ݔ{ܧ‬ଶ − 2‫ )ݔ(ܧݔ‬+ [‫])ݔ(ܧ‬ଶ}

= ‫ݔ(ܧ‬ଶ) − 2[‫])ݔ(ܧ‬ଶ + [‫])ݔ(ܧ‬ଶ = ‫ݔ(ܧ‬ଶ) − [‫])ݔ(ܧ‬ଶ

maka

ܸܽ‫ݔ(ܧ = )ݔ(ݎ‬ଶ) − ߤଶ,

‫ݔ(ܧ‬ଶ) = ܸܽ‫ )ݔ(ݎ‬+ ߤଶ ‫ݔ(ܧ‬ଶ) = ߪ௫ଶ + ߤଶ,

penggabungan persamaan (4.1.10) dan persamaan (4.1.12) ଶ) )ଶቃ= ෍ ‫ݔ(ܧ‬௜ଶ) − ݊‫ݔ(ܧ‬ҧ ‫ ܧ‬ቂ෍ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ

) + ߤ௫̅ଶ), = ෍ ‫ݔ(ܧ‬௜ଶ) − ݊(ܸܽ‫ݔ(ݎ‬ҧ

menggunakan persamaan (4.1.12), maka

ߪ௫ଶ = ݊(ߪ௫ଶ + ߤଶ) − ݊ ቆ + ߤଶቇ ݊ = ݊ߪ௫ଶ + ݊ߤଶ − ߪ௫ଶ − ݊ߤଶ = ݊ߪ௫ଶ − ߪ௫ଶ

)ଶቃ= (݊ − 1)ߪ௫ଶ. ‫ ܧ‬ቂ෍ (‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ

(4.1.11)

(4.1.12)


∑(‫ݔ‬௜ − ‫ݔ‬ҧ )ଶ ‫ ܧ‬ቈ ቉= ‫ܵ(ܧ‬௫ଶ), ݊− 1

128

(4.1.13)

sehingga ܵ௫ଶ adalah penduga yang tak bias bagi ߪ௫ଶ.

■

Selanjutnya, berdasarkan penjelasan ini, rumus yang akan digunakan lebih

lanjut adalah penggantian simbol untuk jumlah pengukuran ܰ menjadi ݊. B. Standar Deviasi sebagai Galat pada Pengukuran Tunggal Sebelumnya telah dinyatakan bahwa standar deviasi, ߪ௫ mengkarakterisasi

galat nilai rata-rata pengukuran ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, … , ‫ݔ‬௡ . Jika diukur besaran ‫ ݔ‬yang sama

berkali-kali, selalu menggunakan metode yang sama, dan jika semua sumber galatnya kecil dan acak, maka hasilnya akan didistribusikan sekitar ‫ݔ‬௦௘௕௘௡௔௥௡௬௔

sesuai dengan kurva normal atau kurva lonceng. Secara khusus, sekitar 68% dari hasilnya akan berada dalam jarak ߪ௫ pada kedua sisi nilai ‫ݔ‬௦௘௕௘௡௔௥

௬௔ ;

yaitu, 68%

dari pengukuran akan berada dalam jangkauan ‫ݔ‬௦௘௕௘௡௔௥௡௬௔ ± ߪ௫. Sifat ini dijamin oleh teorema Tchebysheff berikut. Teorema 4.2.1 Tchebysheff Andaikan ܺ adalah variabel random dengan fungsi densitas ݂(‫)ݔ‬. Maka untuk sebarang ݇ > 0, berlaku

ܲ(|ܺ − ߤ| < ݇ߪ௫) ≥ 1 −

Dimana ‫ ߤ = )ݔ(ܧ‬dan ܸ(‫ߪ = )ݔ‬௫ଶ < ∞. Bukti :

Akan dibuktikan untuk kasus kontinu

1 , ݇ଶ


129

݂(‫)ݔ‬

ߤ − ݇ߪ௫ߤߤ + ݇ߪ௫

Gambar 4.2.1 Grafik Normal Probabilitas Pengukuran dalam ࢑ Standar Deviasi dari ࣆ. ஶ

ܸ(‫ ݔ(ܧ = )ݔ‬− ߤ)ଶ = ߪ௫ଶ = න (‫ ݔ‬− ߤ)ଶ݂(‫ݔ݀)ݔ‬ ିஶ

ఓି௞ఙೣ

= න ିஶ

+

ఓା௞ఙೣ

න

ఓି௞ఙೣ

(‫ ݔ‬− ߤ)ଶ݂(‫ݔ݀)ݔ‬

(‫ ݔ‬− ߤ)ଶ݂(‫ ݔ݀)ݔ‬+

ஶ

න (‫ ݔ‬− ߤ)ଶ݂(‫ݔ݀)ݔ‬.

ఓା௞ఙೣ

Integral yang kedua selalu ≥ 0 dan untuk integral yang pertama dan ketiga selalu (‫ ݔ‬− ߤ)ଶ ≥ ݇ଶߪ௫ଶ. Dengan mensubstitusikan 0 dan ݇ଶߪ௫ଶ akan diperoleh ఓି௞ఙೣ

ܸ(‫ߪ = )ݔ‬௫ଶ ≥ න ିஶ

݇ଶߪ௫ଶ݂(‫ ݔ݀)ݔ‬+ ఓି௞ఙೣ

→ ߪ௫ଶ ≥ ݇ଶߪ௫ଶ ቎ න ିஶ

ஶ

න ݇ଶߪ௫ଶ݂(‫ݔ݀)ݔ‬

ఓା௞ఙೣ

݂(‫ ݔ݀)ݔ‬+

ஶ

න ݂(‫ݔ݀)ݔ‬቏

ఓା௞ఙೣ

→ ߪ௫ଶ ≥ ݇ଶߪ௫ଶܲ(|‫ ݔ‬− ߤ| ≥ ݇ߪ௫)

Bagi kedua ruas dengan ݇ଶߪ௫ଶ

→ ܲ(|‫ ݔ‬− ߤ| ≥ ݇ߪ௫) ≤

1 ݇ଶ


ଵ

→ ܲ(|‫ ݔ‬− ߤ| < ݇ߪ௫) ≥ 1 − ௞మ .

130

■

Contoh dari teori ini adalah standar deviasi sebagai batas keyakinan 68% yang akan dijelaskan sebagai berikut: Probabilitas pada gambar (4.2.1) adalah Probabilitas dalam  x 

Dengan mensubstitusikan

  x

1



 x 2

x     z , sehingga x



( x   )2

e

2 x2

dx .

(4.2.1)

  x

dx   x dz dan batas integralnya

menjadi z  1 . Jadi, 1

1

Probabilitas dalam  x 

2

e



z2 2

dz .

(4.2.2)

1

Sebelum membahas integral ini, dengan melihat gambar (4.2.1), dapat dihitung probabilitas dalam t x , yang artinya adalah probabilitas pengukuran dalam t x dari ߤ, dengan t bilangan positif Probabilitas dalam t x 

1

2

t

e



z2 2

dz .

(4.2.3)

t

Persamaan ini adalah standar integral fisika matematis dan sering disebut sebagai fungsi galat, disimbolkan erf t  , atau integral galat normal. Integral ini tidak dapat dihitung secara analitik tetapi dapat dengan mudah dihitung melalui komputer atau kalkulator tertentu. Berikut ini adalah probabilitas beberapa nilai t standar deviasi.


131

Tabel 4.2.1 Probabilitas beberapa Nilai t Standar Deviasi No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

t 0 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Prob %  0 20 38 55 68 79 87 92 95,4 98,8 99,7 99,95 99,99

Jika nilai-nilai tersebut dieksekusi dalam program MATLAB, maka akan dihasilkan suatu grafik yang menggambarkan hubungan antara t dan probabilitas dalam t berikut ini. Probabilitas dalam t x

Gambar 4.2.2 Probabilitas bahwa Pengukuran x akan Berada dalam t Standar Deviasi dari Nilai Sebenarnya x   .


132

Gambar 4.2.2 menunjukkan integral ini diplot sebagai fungsi dari t dan kemudian disusun tabel dari beberapa nilai. Probabilitas bahwa pengukuran akan jatuh pada satu standar deviasi dari jawaban yang benar adalah 68%. Jika standar deviasi dianggap sebagai galat pada suatu pengukuran (yaitu, jika x  x '  x , maka x   x ), maka terdapat kepercayaan 68% bahwa berada antara  x jawaban yang benar. Probabilitas

dalam

t x

dengan

cepat

mendekati

100%

dengan

meningkatnya t . Probabilitas bahwa pengukuran akan jatuh pada 2 x adalah 95,4%; dan 3 x adalah 99,7%. Untuk menempatkan hasil ini dengan cara lain, probabilitas bahwa pengukuran akan jatuh di luar satu standar deviasi adalah cukup besar (32%), probabilitas bahwa pengukuran akan berada di luar 2 x jauh lebih kecil (4,6%), dan akan berada di luar 3 x sangatlah kecil (0,3%). Tidak ada yang spesial dengan bilangan 68%. Bilangan ini hanyalah suatu bilangan yang berhubungan dengan standar deviasi  x . Salah satu alternatif untuk standar deviasi adalah galat kemungkinan (probable error), atau PE, dan didefinisikan sebagai jarak dimana terdapat kemungkinan 50% pengukuran antara

  PE . Gambar 4.2.2 menunjukkan bahwa (untuk pengukuran dengan distribusi normal) galat kemungkinannya adalah PE  0,67 x . Beberapa peneliti mengganggap PE sebagai galat pada

pengukuran mereka.

Meskipun demikian, standar deviasi  x adalah pilihan yang paling populer karena sifat-sifatnya sangat sederhana.

■


133

Jika dibuat pengukuran tunggal (menggunakan metode yang sama), probabilitasnya adalah 68% bahwa hasilnya akan berada dalam ߪ௫ dari nilai sebenarnya. Jadi, ߪ௫ dapat dipakai untuk mengartikan secara tepat apa yang dimaksud dengan galat. Jika dibuat satu pengukuran ‫ݔ‬, galat yang berhubungan dengan pengukuran adalah

ߜ‫ߪ = ݔ‬௫;

dengan ini, terdapat keyakinan sebanyak 68% bahwa pengukuran berada dalam ߜ‫ ݔ‬dari jawaban yang benar.

Untuk menggambarkan penerapan dari ide ini, andaikan terdapat kotak yang

berisi pegas-pegas yang sama. Kemudian dicari konstanta pegasnya, ݇. Pengukuran konstanta pegas adalah dengan membebani setiap pegas dan mengamati perpanjangannya atau dengan menangguhkan massa dari setiap pegas dan mengukur waktu osilasinya. Apapun metode yang dipilih, perlu diketahui ݇ dan galatnya, ߜ݇ untuk setiap pegas, tetapi akan memakan waktu untuk

mengulang pengukuran berkali-kali pada setiap pegasnya. Malahan, jika diukur ݇ untuk pegas pertama beberapa (5 atau 10) kali, maka rata-rata pengukuran ini harus memberikan pendugaan yang baik dari ݇ untuk pegas pertama. Standar

deviasi, ߪ௞ dari pengukuran memberikan pendugaan galat dalam metode untuk

mengukur ݇. Asalkan semua pegas sama dan metode yang digunakan untuk mengukur setiap pegas juga sama, maka harapannya adalah galatnya sama pada

setiap pengukuran. Jadi, untuk setiap pegas berikutnya, hanya perlu dibuat satu pengukuran, dan dapat segera dinyatakan bahwa galat ߜ݇ adalah standar deviasi,


134

ߪ௞ yang diukur untuk pegas pertama, dengan keyakinan 68% bahwa jawabannya berada dalam ߪ௞ dari nilai yang benar. Contoh 4.2.1

Andaikan dilakukan 10 pengukuran pada pegas pertama dan mendapatkan nilai hasil pengukuran ݇ berikut ini

86, 85, 84, 89, 85, 89, 87, 85, 82, 85.

Hitunglah rata-rata dan standar deviasinya. Penyelesaian : Tabel 4.2.2 Penghitungan Standar Deviasi Pegas No.

Nilai hasil pengukuran (݇௜) 1 86 2 85 3 84 4 89 5 85 6 89 7 87 8 85 9 82 10 85 Jumlah 857 Rata-ratanya adalah k 

k

Simpangan ത) (݀௜ = ݇௜ − ݇ 0,3 -0,7 -1,7 3,3 -0,7 3,3 1,3 -0,7 -3,7 -0,7 0

i

n



857  85,7 N/m 10

dan standar deviasinya adalah

k 

1  d i2 n -1

Simpangan kuadrat (݀௜ଶ) 0,9 0,49 2,89 10,89 0,49 10,89 1,69 0,49 13,69 0,49 42,91




42,91 10 - 1



42,91  4,7  2,16  2 N/m . 9

135

Galat pada setiap satu pengukuran ݇ adalah sekitar 2 N/m . Jika sekarang

diukur pegas yang kedua sebanyak satu kali dan menghasilkan k  71 N/m , maka

k   k  2 N/m dan menyatakan dengan keyakinan 68% bahwa ݇ terletak dalam

kisaran

k  71 2 N/m .

C. Standar Deviasi Nilai Rata-rata Jika ‫ݔ‬ଵ, … , ‫ݔ‬௡ adalah hasil ݊ pengukuran besaran ‫ ݔ‬yang sama, maka

pendugaan terbaik untuk besaran ‫ ݔ‬adalah ‫ݔ‬ҧ . Telah diketahui juga bahwa ߪ௫

mengkarakterisasi galat nilai rata-rata pengukuran ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, … , ‫ݔ‬௡ . Galat pada hasil akhir ‫ݔ‬ᇱ = ‫ݔ‬ҧditunjukkan oleh

ߪ௫̅ =

ߪ௫

√݊

.

(4.3.1)

Besaran ini disebut standar deviasi nilai rata-rata. Besaran ini sering disebut juga

sebagai standar galat atau standar galat nilai rata-rata. Jadi, berdasarkan pada ݊ pengukuran ‫ݔ‬ଵ, … , ‫ݔ‬௡ , dapat dinyatakan bahwa jawaban akhirnya adalah ‫ݔ = ݔ‬ᇱ ± ߜ‫ݔ‬,

dimana ‫ݔ‬ᇱ = ‫ݔ‬ҧ , nilai rata-rata dari ‫ݔ‬ଵ, … , ‫ݔ‬௡ , dan ߜ‫ ݔ‬adalah standar deviasi nilai rata-rata,


ߜ‫ߪ = ݔ‬௫̅ =

Contoh 4.3.1

ߪ௫

√݊

.

136

(4.3.2)

Berdasarkan pengukuran pada contoh 4.2.1. Hitunglah rata-rata dan galatnya. Penyelesaian : Rata-ratanya k  85,7 N/m , standar deviasinya

 k  2,2 N/m , standar deviasi nilai rata-ratanya

k 

k n



2,2 10



2,2  0,7 N/m , 3,16

hasil akhirnya adalah k  85,7  0,7 N/m .

■

Keunggulan dari standar deviasi nilai rata-rata adalah faktor √݊ pada penyebutnya. Standar deviasi ߪ௫̅ menyatakan galat nilai rata-rata pengukuran

‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ, … , ‫ݔ‬௡ . Jadi, jika akan dibuat beberapa pengukuran (menggunakan teknik

yang sama), ߪ௫ tidak akan berubah secara signifikan. Di sisi lain, standar deviasi nilai rata-ratanya perlahan-lahan akan berkurang selama ݊ meningkat. Penurunan ini merupakan hal yang diharapkan. Jika dibuat pengukuran yang lebih banyak

sebelum menghitung rata-rata, maka akan diharapkan hasil akhir yang lebih dapat dipercaya. Kesimpulan ini memberikan suatu cara yang jelas untuk meningkatkan presisi suatu pengukuran.


137

Sayangnya, faktor √݊ meningkat agak lambat sebagaimana peningkatan ݊.

Sebagai contoh, jika ingin meningkatkan presisi sebanyak 10 hanya dengan

meningkatkan jumlah pengukuran ݊, maka harus meningkatkan ݊ sebanyak 100. Dalam prakteknya, jika ingin meningkatkan presisi secara signifikan, akan lebih baik untuk meningkatkan teknik daripada hanya mengandalkan peningkatan jumlah pengukuran. Contoh 4.3.2 Andaikan diukur konstanta pegas, ݇, dengan mengukur waktu osilasi massa, ݉ , yang sesuai sampai akhir. Periode untuk osilasi tersebut adalah ݉ ܶ = 2ߨට . ݇

Hitunglah konstanta pegas dan galatnya. Penyelesaian :

Dengan mengukur ܶ dan ݉ , dapat dicari nilai ݇ sebagai berikut ݇=

4ߨଶ݉ . ܶଶ

(4.3.3)

Cara paling sederhana untuk mencari ݇adalah mengambil satu massa yang

diketahui secara akurat dan membuat beberapa pengukuran ܶ. Bagaimanapun, pengukuran waktu untuk beberapa massa yang berbeda mungkin lebih menarik. (Sebagai contoh, dapat diperiksa bahwa ܶ~√݉ sama baiknya seperti pengukuran ݇).


138

Tabel 4.3.1 Pengukuran Konstanta Pegas, ࢑

4ߨଶ݉ ܶଶ 1 13,17 2 12,97 3 13,53 4 13,15 5 13,18 6 13,02 7 13,06 8 13,12 Jumlah 105,2 Ini jelas tidak masuk akal untuk merata-rata massa dan waktu yang berbeda No.

Massa, ݉ (݇݃) 0,513 0,581 0,634 0,691 0,752 0,834 0,901 0,950

Periode ܶ (‫)ݏ‬ 1,24 1,33 1,36 1,44 1,50 1,59 1,65 1,69

݇=

karena massa dan waktu bukanlah pengukuran yang berbeda dari besaran yang sama. Selain itu juga tidak dapat memperoleh galat dalam pengukuran dengan membandingkan nilai ݉ yang berbeda. Di sisi lain, setiap nilai ݉ dapat

digabungkan dengan periode ܶ yang sesuai dan menghitung ݇. Jawaban untuk ݇ adalah semua pengukuran dari besaran yang sama sehingga dapat dijadikan subjek analisis statistik. Tabel 4.3.2 Penghitungan Standar Deviasi Konstanta Pegas No. 1 2 3 4 5 6 7 8 Jumlah

Nilai hasil pengukuran (݇௜) 13,17 12,97 13,53 13,15 13,18 13,02 13,06 13,12 105,2

Simpangan ത) (݀௜ = ݇௜ − ݇ 0,02 -0,18 0,38 0 0,03 -0,13 -0,09 -0,03 0

Simpangan kuadrat (݀௜ଶ) 0,0004 0,0324 0,1444 0 0,0009 0,0169 0,0081 0,0009 0,204


139

Secara khusus, pendugaan terbaik untuk ݇ adalah nilai rata-ratanya, yaitu k

k n

i



105,2  13,15 N/m , 8

standar deviasinya ߪ௞ = ඨ

1 ෍ ݀௜ଶ ݊− 1

=ඨ



0,204 8−1

0,204  0,17 N/m . 7

dan galatnya adalah standar deviasi nilai rata-ratanya,

k 

 k 0,17   0,06 N/m . n 8

Dengan demikian, jawaban akhirnya adalah k  13,15  0,06 N/m .

D. Galat Sistematis Pada beberapa subbab sebelumnya telah dinyatakan bahwa semua galat sistematis diperkecil bahkan diabaikan sebelum pengukuran dimulai. Di sini akan dibahas tentang kemungkinan adanya galat sistematis yang signifikan. Contohnya, mengukur massa dengan neraca yang dibaca secara konsisten tinggi atau rendah, pengukur waktu yang berjalan secara konsisten cepat atau lambat. Kedua galat sistematis ini tidak akan muncul dalam perbandingan berbagai jawaban untuk konstanta pegas ݇. Akibatnya, standar deviasi nilai rata-ratanya dapat dianggap


140

sebagai komponen acak (ߜ݇௔௖௔௞ ) dari galat total ߜ݇ tapi tentu saja besarnya tidak sama dengan galat totalnya. Masalahnya adalah untuk menentukan bagaimana

menduga komponen sistematis, ߜ݇௦௜௦ dan kemudian bagaimana menggabungkan ߜ݇௔௖௔௞ dan ߜ݇௦௜௦ untuk menghasilkan galat totalnya, ߜ݇.

Tidak ada teori sederhana yang menjelaskan tentang apa yang harus

dilakukan terhadap galat sistematis. Bahkan, satu-satunya teori galat sistematis adalah bahwa galat ini harus diidentifikasi dan diperkecil sampai kurang dari presisi yang diperlukan. Dalam sebuah laboratorium pengajaran, tujuan ini sering tidak dicapai. Para siswa sering tidak dapat memeriksa satu penggaris terhadap penggaris yang lebih baik untuk mengoreksinya, apalagi membeli penggaris baru untuk menggantikan yang lama. Untuk alasan ini, beberapa laboratorium pengajaran menetapkan aturan bahwa, tidak adanya informasi yang lebih spesifik, penggaris harus dipertimbangkan mempunyai beberapa galat sistematis tertentu. Sebagai contoh, stopwatch mempunyai galat sistematis hingga 0,5%, voltmeter dan ammeter mempunyai galat sistematis hingga 3%. Dengan aturan ini, terdapat berbagai cara yang mungkin untuk melanjutkan prosesnya. Tidak ada yang benar-benar dengan tegas dibenarkan. Pada contoh terakhir, konstanta pegas k 

4 2 m dicari dengan mengukur nilai-nilai ݉ dan T2

nilai ܶ yang bersesuaian. Analisis statistis dari berbagai jawaban untuk ݇ memberikan komponen acak ߜ݇ berikut ini

k acak   k  0,7 N/m .

(4.4.1)


141

Andaikan telah ditentukan bahwa neraca yang digunakan untuk mengukur ݉ dan pengatur waktu yang digunakan untuk mengukur ܶ memiliki galat sistematis masing-masing hingga 1% dan 0,5%. Kemudian dapat dicari komponen sistematis ߜ݇ dengan galat rambat; satu-satunya pertanyaan adalah apakah menggabungkan

galat dalam kuadratur atau langsung. Hal ini tergantung pada apa yang dimaksud dengan pernyataan bahwa neraca mempunyai galat sistematis hingga 1%. Jika hal ini berarti bahwa galat, pasti tidak lebih dari 1% (begitu juga dengan pengatur waktu), maka penjumlahan langsung adalah penggabungan yang sesuai, dan ߜ݇௦௜௦ tentu tidak lebih dari 2%. Di sisi lain, mungkin sebuah analisis dari semua neraca di laboratorium menunjukkan bahwa galat neraca mengikuti distribusi normal, dengan 68% dari galat tersebut tidak lebih dari 1% (begitu juga dengan pengatur waktu). Dalam kasus ini, dapat digunakan penjumlahan kuadrat dengan tingkat kepercayaan 68% yaitu ߜ݇௦௜௦ ߜ݇௦௜௦ ଶ ߜ݇௦௜௦ ଶ = ඨ൬ ൰ + ൬2 ൰ ݇ ݉ ݇ dan oleh karena itu

= ඥ(1%) + (1%) = 1,4%

ߜ݇௦௜௦ = ݇ᇱ × (1,4%)

 (13,16 N/m)  0,014  0,18 N/m .

Selanjutnya adalah menduga kedua galat dalam ݇. Harus ditentukan

bagaimana menyatakan hasil akhir untuk konstanta pegas ݇ dengan galat

keseluruhannya. Karena metode untuk menggabungkan ߜ݇௔௖௔௞ dan ߜ݇௦௜௦ tidak


142

sepenuhnya jelas, banyak ilmuwan menyatakan dua komponen sebagai komponen yang terpisah dan menyatakan jawaban akhir dalam bentuk ݇ = ݇ᇱ ± ߜ݇௔௖௔௞ ± ߜ݇௦௜௦

 13,16  0,06  0,18 N/m .

(4.4.2)

Atau, kasus dapat dibuat bahwa ߜ݇௔௖௔௞ dan ߜ݇௦௜௦ harus dikombinasikan dalam kuadratur, yaitu

ߜ݇ = ඥ(ߜ݇௔௖௔௞ )ଶ + (ߜ݇௦௜௦)ଶ

 (0,06) 2  (0,18) 2  0,19 N/m ,

(4.4.3)

sehingga ݇ = ݇ᇱ ± ߜ݇

 13,16  0,19 N/m

 13,2  0,2 N/m .

Persamaan (4.4.3) untuk ߜ݇ tidak cukup meyakinkan, dalam arti tidak dapat

mengklaim bahwa 68% hasil pengukuran yang sebenarnya terletak pada kisaran ത ± ߜ݇. Meskipun demikian, setidaknya hasil pendugaan selang menunjukkan ݇

pendugaan yang logis untuk galat totalnya, mengingat bahwa peralatan yang digunakan memiliki galat sistematis yang tidak dapat diabaikan. Telah diperlihatkan pada subbab sebelumnya bahwa standar deviasi nilai rata-rata mendekati nol selama jumlah pengukuran meningkat. Hasil ini menganjurkan bahwa jika terdapat kesabaran untuk membuat sejumlah besar pengukuran, maka dapat mengurangi galat tanpa batas tanpa harus meningkatkan peralatan atau teknik. Saran ini bukanlah saran yang benar. Meningkatkan ݊ dapat


143

mengurangi komponen acak tanpa batas, tetapi setiap peralatan yang digunakan mempunyai beberapa galat sistematis yang tidak berkurang selama ݊ ditingkatkan.

Dari persamaan (4.4.3) jelas dilihat bahwa sedikit yang diperoleh dari pengurangan lebih lanjut ߜ݇௔௖௔௞, saat ߜ݇௔௖௔௞ lebih kecil dari ߜ݇௦௜௦. Secara khusus, jumlah ߜ݇ tidak pernah dapat dibuat kurang dari ߜ݇௦௜௦. Fakta ini hanya menegaskan apa yang telah diduga, bahwa dalam praktek, pengurangan galat memerlukan perbaikan dalam teknik atau peralatan untuk mengurangi baik galat acak dan sistematis dalam setiap pengukuran tunggal. Sebagaimana dibahas dalam Bab II, hal yang khas dari laboratorium pengajaran adalah bahwa kemungkinan untuk mengukur besaran, seperti percepatan gravitasi, yang nilainya sudah ditentukan. Dalam percobaan jenis ini, logika analisis galat sedikit membingungkan. Mungkin saja bagian yang paling jujur adalah mengabaikan nilai sebenarnya yang diketahui sampai melakukan semua perhitungan nilai hasil pengukuran, ‫ݍ‬ᇱ dan galatnya. Kemudian, harus

ditentukan apakah nilai sebenarnya terletak di dalam (atau setidaknya mendekati) kisaran ‫ݍ‬ᇱ ± ߜ‫ݍ‬. Jika ya, maka hasil ini dapat dijadikan hasil untuk laporan. Jika kemungkinan penyebab perbedaan yang berlebihan. Misalnya, mengukur g , percepatan gravitasi, dan mendapatkan hasil g '  9,97 m/s 2 , dengan galat

sehingga

g acak  0,02 m/s 2 dan g sis  0,03 m/s 2 ,


g  

144

g acak 2  g sis 2

0,022  0,032

 0,04 m/s 2 .

Jelas, nilai sebenarnya g  9,80 m/s 2 terletak jauh di luar kisaran hasil pengukuran, 9,97 ± 0,04. (Lebih khusus lagi,

perbedaannya adalah 0,17; yaitu empat kali nilai galatnya). Hasil ini jelas tidak memuaskan sehingga analisis yang lebih lanjut diperlukan.

Hal pertama yang dilakukan untuk memeriksanya adalah kemungkinan membuat kesalahan dalam menghitung g ' , g acak , atau g sis . Jika dapat meyakinkan diri sendiri bahwa semua perhitungan yang dilakukan adalah benar, kemungkinan berikutnya adalah bahwa nilai sebenarnya adalah salah. Dalam hal g  9,80 m/s 2 , kemungkinan ini agak tidak mungkin, tapi sangatlah mungkin untuk banyak kasus lain. Sebagai contoh, andaikan diukur kepadatan udara; karena

pengukuran

ini

sangat

tergantung

pada

suhu

dan tekanan, maka untuk parameter ini digunakan nilai sebenarnya. Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghapus dugaan ini dan hanya satu kemungkinan yang tersisa: harus mengabaikan beberapa galat sistematis sehingga nilai g sis terlalu kecil. Idealnya, harus dicari penyebabnya, tetapi pencarian ini akan sulit karena banyak kemungkinan: 1. Salah satu alat pengukur yang digunakan mempunyai galat sistematis yang lebih besar dari yang digunakan untuk menghitung g sis . Dapat dilakukan penyelidikan terhadap kemungkinan ini dengan menentukan seberapa besar


145

galat sistematis pada pengukur waktu, voltmeter, dsb, yang akan diperlukan untuk penghitungan. Jika galat yang dibutuhkan tidak masuk akal, terdapat satu penjelasan yang mungkin dari kesulitan ini. 2. Penggunaan nilai yang salah untuk beberapa parameter yang diperlukan dalam perhitungan. Contohnya adalah pengukuran muatan elektron, ݁ Millikan. Metode Millikan tergantung pada kerapatan udara, dimana dia menggunakan

nilai yang 0,4% terlalu kecil. Gangguan ini menyebabkan semua nilai-nilai ݁ menjadi 0,6% terlalu kecil, sebuah galat yang tidak diperhatikan selama hampir

20 tahun. Kesalahan jenis ini kadang-kadang muncul di laboratorium pengajaran ketika seorang siswa menggunakan nilai yang juga mempunyai angka penting terlalu sedikit. Misalnya, andaikan dilakukan percobaan dengan proton dan diharapkan untuk mempunyai akurasi yang lebih baik dari 1%. Jika massa proton adalah 1,7  10 -27 kg (sebagai pengganti 1,67  10 -27 kg ), maka galat sistematisnya adalah 2%, yang akan hampir pasti menggagalkan harapan untuk hasil 1%. 3. Jauh lebih sulit untuk menganalisa kemungkinan cacat dalam rancangan percobaan. Sebagai contoh, jika diukur g dengan menjatuhkan suatu benda dari suatu ketinggian, hambatan udara bisa mendatangkan galat sistematis yang cukup signifikan. Demikian pula, jika diukur waktu paruh bahan radioaktif dan ternyata sampel yang diambil terkontaminasi dengan bahan lain yang waktu paruhnya lebih pendek, maka akan didapatkan jawaban yang secara sistematis terlalu pendek.


146

F. Pertimbangan dalam Galat Penjumlahan Kuadrat Pada Bab III telah dinyatakan bahwa tanpa bukti formal, ketika galat bersifat acak dan independen dapat dikombinasikan dalam kuadratur berdasarkan aturan standar tertentu, baik “aturan sederhana” pada (3.8.1) dan (3.8.3). Penggunaan penjumlahan dalam kuadratur ini sekarang dapat dibenarkan. Galat rambat muncul ketika mengukur satu atau lebih besaran x,..., w dengan galat masing-masingnya, dan kemudian menggunakan nilai-nilai hasil pengukuran untuk menghitung beberapa besaran q ( x,..., w) . Pertanyaannya adalah bagaimana menentukan galat pada q ? Jika pengukuran terhadap besaran x,..., w menghasilkan galat acak, maka besaran ini akan berdistribusi normal dengan lebar parameter  x , ,  w , yang adalah galat yang terkait dengan pengukuran tunggal yang sesuai dengan besaran. Setelah mengetahui distribusi pengukuran x,..., w ; pertanyaan selanjutnya adalah bagaimana menentukan distribusi nilai-nilai q ? Langkah-langkah untuk menjawab pertanyaan tersebut adalah sebagai berikut: 1. Besaran Hasil Pengukuran Ditambah Nilai tertentu Andaikan diukur besaran x dan dilanjutkan menghitung besaran q  x A

(4.6.1.1)

dimana A adalah nilai tertentu tanpa galat (misalnya A  1 atau  ). Andaikan juga bahwa pengukuran x berdistribusi normal dengan lebar  x , a.

x  x

x

x   x

x

Gambar 4.6.1.1 Distribusi Normal Besaran Hasil Pengukuran.


147

b.

q x A

x  A  x

x  A

x  A   x

Gambar 4.6.1.2 Distribusi Normal Besaran Hasil Pengukuran Ditambah Nilai Tertentu. maka 

(probabilitas memperoleh nilai x )~ e

( x x )2 2 x2

.

(4.6.1.2)

Jika nilai hasil pengukuran x berdistribusi normal dengan pusat x   x dan lebar  x , penghitungan nilai q  x  A (dengan A nilai tertentu dan diketahui) akan berdistribusi normal dengan pusat q   x  A dan lebar yang sama. Permasalahannya adalah untuk menyimpulkan probabilitas nilai q dari besaran pada persamaan (4.6.1.1). Dari persamaan tersebut, x  q  A dan oleh karena itu (probabilitas memperoleh nilai q ) = (probabilitas memperoleh nilai x  q  A ),

maka 

(probabilitas memperoleh nilai q )~ e

[( q  A )   x ]2 2 x2


e



148

[ q (  x  A)]2 2 x2

.

(4.6.1.3)

Hasil ini menunjukkan bahwa menghitung nilai q adalah berdistribusi normal dan berpusat pada nilai  x  A , dengan lebar  x , seperti pada gambar (4.6.1.2). Secara khusus, galat pada q sama dengan galat pada x seperti aturan yang telah diduga pada (3.8.1).

2. Besaran Hasil Pengukuran Dikalikan Nilai tertentu Andaikan diukur besaran x dan dilanjutkan menghitung besaran q  Bx ,

dimana B adalah nilai tertentu tanpa galat (misalnya

2 atau  ). Disini

diperkenalkan notasi alternatif exp (z ) untuk fungsi eksponensial, sehingga exp ( z )  e z . Ketika pangkat z menjadi rumit, notasi "exp" lebih sesuai untuk ditulis atau dicetak. Jadi, jika pengukuran x berdistribusi normal, maka (probabilitas memperoleh nilai q ) ~ (probabilitas memperoleh nilai x 

q ) B

2  q      x   B   ~ exp  2   2 x    

  q  B x 2  ~ exp  . 2 2  2B  x 

(4.6.2.1)

Dengan kata lain, nilai-nilai q  Bx akan berdistribusi normal, dengan pusat di q  B x dan lebar B x .


149

Secara khusus, galat pada q  Bx adalah B kali galat di x , seperti aturan yang telah diprediksikan pada (3.4.1). Jika nilai hasil pengukuran x berdistribusi normal dengan pusat x   x dan lebar  x , maka penghitungan nilai q  Bx (dengan B nilai tertentu dan diketahui) akan berdistribusi normal dengan pusat B x dan lebar B x .

3. Penjumlahan Dua Besaran Hasil Pengukuran Sebagai contoh untuk rambat galat, andaikan diukur dua besaran independen x dan y dan dihitung x  y . Dimisalkan bahwa pengukuran x dan y berdistribusi normal sekitar nilai  x dan  y , dengan lebar  x dan  y seperti pada gambar berikut ini

x

x  x

x

x   x


y  y

y

y  y

y



150

Dan distribusi untuk nilai x  y adalah

x y

x  y    2 x

2 y

x  y

x  y    2 x

2 y

Gambar 4.6.3.3 Distribusi Normal Penjumlahan Dua Besaran Hasil Pengukuran. Jika nilai hasil pengukuran x dan y independen dan berdistribusi normal dengan pusat  x dan  y serta lebar  x dan  x , maka nilai hasil penghitungan x  y akan berdistribusi normal dengan pusat  x   y dan lebar

 x2   y2

Secara khusus, hasil ini membenarkan aturan pada Bab III bahwa jika x dan y independen dan acak, maka galat pada x  y adalah jumlah kuadrat masingmasing galat dalam x dan y . Untuk menyederhanakan bentuk aljabarnya, pertama diasumsikan bahwa nilai-nilai sebenarnya dari  x   y adalah nol. Dalam hal ini, probabilitas mendapatkan nilai tertentu x dan y adalah   x2 Prob x  ~exp  2  2 x

  

(4.6.3.1)

  y2 Prob  y  ~exp   2 2 y 

  . 

(4.6.3.2)

dan


151

Permasalahan sekarang adalah bagaimana menghitung probabilitas memperoleh nilai tertentu x  y . Karena x  y diukur secara independen, probabilitas untuk memperoleh sebarang x dan y yang diberikan hanyalah hasil kali dari (4.6.3.1) dan (4.6.3.2), yaitu  1  x2 y 2  Prob x, y  ~exp   2  2   .    2   x  y  

(4.6.3.3)

Setelah mengetahui probabilitas untuk memperoleh sebarang x dan y , sekarang dapat dihitung probabilitas untuk sebarang nilai x  y yang diberikan. Langkah pertama adalah menulis ulang pangkat pada (4.6.3.3) di suku pada variabel x  y . Langkah ini dapat dilakukan dengan menggunakan identitas berikut ini

Bx  Ay  x 2 y 2 x  y     A B A B AB  A  B  2

2  x  y 

A B

2

 z2 .

(4.6.3.4)

(4.6.3.5)

Pada baris kedua diperkenalkan z 2 untuk menggantikan suku kedua ruas kanan persamaan (4.6.3.4). Jika persamaan (4.6.3.5) disubstitusikan ke (4.6.3.3), mengganti A dengan  x2 dan B dengan  y2 , maka dapat diperoleh   x  y 2 z2  Prob x, y  ~exp   . 2 2 2   2  x   y





(4.6.3.6)

Probabilitas untuk memperoleh nilai x dan y ini dapat dipandang sebagai probabilitas untuk memperoleh nilai x  y dan z . Dengan demikian, (4.6.3.6) dapat ditulis ulang menjadi


   x  y 2   z2  Prob x  y , z  ~exp  exp    . 2 2  2     2  x y   





152

(4.6.3.7)

Probabilitas nilai x dan y dapat diperoleh dengan menjumlahkan, atau lebih tepatnya mengintegralkan (4.6.3.7) di semua nilai z , yaitu Prob  x  y  





Prob  x  y, z dz .

(4.6.3.8)



 z2  Ketika mengintegralkan (4.6.3.7) terhadap z , faktor exp    diintegralkan  2  ke

2 , dan diperoleh    x  y 2  Prob  x  y  ~exp  . 2 2  2       x y  

(4.6.3.9)

Hasil ini menunjukkan bahwa nilai x  y berdistribusi normal dengan lebar

 x2   y2 seperti yang diharapkan. Bukti ini dipenuhi untuk kasus ketika nilai sebenarnya dari x dan y nol,

 x   y  0 . Jika  x dan  y tidak nol, maka x  y  x   x    y   y    x   y .

(4.6.3.10)

Di sini, dua suku pertama pada ruas kanan berpusat di nol, dengan lebar  x dan  y , seperti pada hasil pada langkah 1. Oleh karena itu, berdasarkan (4.6.3.9), jumlah dari dua suku pertama berdistribusi normal dengan lebar

 x2   y2 . Suku ketiga pada ruas kanan persamaan (4.6.3.10) adalah bilangan tertentu; oleh karena itu, berdasarkan hasil pada langkah 1, hanya menggeser pusat distribusi menjadi  x   y , tetapi lebarnya tidak berubah. Dengan kata


153

lain, nilai-nilai  x  y  pada persamaan (4.6.3.10) berdistribusi normal dengan pusat  x   y  dengan lebar

 x2   y2 .

4. Kasus Umum Andaikan diukur dua besaran x dan y yang nilai hasil pengamatannya berdistribusi normal, dan sekarang dihitung beberapa besaran q  x, y  pada suku x dan y . Distribusi nilai q  x, y  dengan mudah dicari dengan menggunakan hasil dari langkah I sampai III sebagai berikut: Pertama, lebar  x dan  y (galat di x dan y ) harus kecil. Syarat ini berarti bahwa hal ini hanya terkait dengan nilai x yang dekat dengan  x dan y yang dekat  y , dan dapat digunakan pendekatan (3.10.5) untuk menulis

 q   q  q  x, y   q  x ,  y     x   x     y   y .  x   y 

(4.6.4.1)

Pendekatan ini baik karena satu-satunya nilai dari x dan y yang terjadi secara signifikan sering dekat dengan  x dan  y . Dua turunan parsial ditafsir di  x dan  y dan oleh karena itu merupakan bilangan tertentu. Pendekatan (4.6.4.1)

menyatakan besaran yang diinginkan q  x, y 

sebagai jumlah dari tiga suku. Suku pertama q  x ,  y  adalah bilangan tertentu, sehingga hanya menggeser distribusi dari jawaban. Suku kedua adalah bilangan tertentu

q kali  x   x  , yang distribusinya mempunyai lebar  x , x

sehingga nilai-nilai dari suku kedua berpusat pada nol, dengan lebar


154

 q    x .  x 

Demikian pula, nilai-nilai suku ketiga berpusat pada nol dengan lebar  q    y .  y  Dengan menggabungkan tiga suku dalam (4.6.4.1) dan hasil ini, maka dapat disimpulkan bahwa nilai-nilai q  x, y  berdistribusi normal disekitar nilai sebenarnya q  x ,  y  dengan lebar 2

 q   q   q    x     y  .  x   y  2

(4.6.4.2)

Jika didentifikasi, standar deviasi  x dan  y sebagai galat pada x dan y , maka hasilnya (4.6.4.2) adalah aturan (3.10.10) untuk rambat galat acak,

untuk kasus jika q adalah fungsi dari hanya dua variabel, q ( x, y ) . Jika q tergantung pada beberapa variabel, q ( x, y,..., z ) , argumen sebelumnya dapat diperluas untuk menetapkan aturan umum (3.10.10) untuk fungsi-fungsi dari beberapa variabel. Karena aturan pada Bab III tentang rambat galat acak dapat diturunkan dari (3.10.10), maka semuanya dapat dibenarkan.


BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan Galat merupakan komponen yang tidak pernah lepas dari suatu pengukuran. Galat akan selalu hadir dalam setiap pengukuran. Galat menunjukkan simpangan antara nilai pengukuran dan nilai sebenarnya serta ketidakpastian dalam suatu percobaan. Untuk menghasilkan pengukuran yang akurat maka galat perlu dianalisis. Analisis galat adalah studi dan evaluasi ketidakpastian dalam pengukuran. Deskripsi awal tentang analisis galat meliputi: galat sebagai ketidakpastian, sifat yang tidak dapat dihindarkan dari galat yaitu dengan memeriksa setiap pengukuran sehari-hari dengan hati-hati, pentingnya mengetahui seberapa besar suatu galat, menduga galat dalam pembacaan skala, dan menduga galat dalam pengulangan pengukuran sehingga galat dapat diduga dengan tingkat kepercayaan yang tinggi. Setelah dianalisis galat perlu dilaporkan dan digunakan secara semestinya yaitu dengan: menyajikan suatu pengukuran sebagai pendugaan terbaik dan galat, berdasarkan angka penting, berdasarkan penyimpangan yaitu selisih antara dua nilai yang diukur dari suatu besaran, membandingkan nilai terukur dengan nilai sebenarnya, membandingan dua bilangan hasil pengukuran, memeriksa dengan grafik, menyajikan sebagai galat fraksional, menghubungkan antara angka penting dan galat fraksional, dan mengalikan dua bilangan terukur. Galat dapat terjadi karena adanya suatu pengukuran. Pengukuran dapat dibagi menjadi tiga jenis menurut cara melakukannya, yaitu: pengukuran

155


156

langsung, pengukuran tidak langsung, dan pengukuran dengan perhitungan. Galat dapat diklasifikasikan menjadi tiga yaitu: galat acak, galat sistematis, dan galat tidak sah. Rambat galat adalah teknik yang digunakan untuk mengukur suatu besaran fisika yang biasanya tidak dapat diukur secara langsung. Dengan adanya teori tentang rambat galat ini maka pengukuran yang dilakukan akan lebih presisi. Dari tiga klasifikasi galat, galat yang yang dapat dianalisis secara statistis adalah galat acak. Artinya adalah galat acak dapat disajikan dalam bentuk numerik atau dapat diketahui dengan suatu perhitungan. Sedangkan kedua galat yang lain dapat diperkecil dengan perlakuan-perlakuan tertentu seperti yang telah dipaparkan. Analisis statistis ini meliputi analisis standar deviasi  x  dan standar

   deviasi nilai rata-rata  x  x  sebagai galat pada pengukuran tunggal. n  Keunggulan dari standar deviasi nilai rata-rata adalah faktor

n

pada

penyebutnya, sehingga galat perlahan-lahan akan berkurang selama n meningkat. Jadi, jika x1 ,..., x n adalah hasil n pengukuran besaran x yang sama, maka pendugaan terbaik untuk besaran x adalah x dan galat yang berhubungan dengan pengukuran besaran tersebut adalah x   x . Secara statistis galat dinyatakan dalam bentuk x  x '  x ,

dimana x '  x . Dengan adanya analisis ini maka suatu pengukuran besaran ‫ݔ‬ yang sama berkali-kali dan menggunakan metode yang sama, akan dapat menghasilkan suatu kesimpulan yang lebih presisi.


157

B. Saran Teori galat pada skripsi ini lebih ditekankan pada analisisnya sehingga lebih banyak mengacu pada galat acak saja. Akan lebih baik jika skripsi ini bisa dikembangkan dalam pembahasan yang lebih detail tentang galat sistematis dan galat tidak sah serta penanganannya sehingga dapat dihasilkan suatu pengukuran yang mendekati sempurna.


DAFTAR PUSTAKA

Adiati, Dahlia. (1998). Teknik Penarikan Sampel Acak Berlapis dan Aplikasinya pada Pendugaan Parameter (Skripsi). Yogyakarta.

Beers, Yardley. (1957). Introduction to the Theory of Error. New York: AddisonWesley Publishing Company.

Djonoputro, B. Darmawan. (1984). Teori Ketidakpastian. Bandung: ITB.

Loktik, Oleg. (2005). Physics Laboratory Tutorial. New York: Columbia University.

Mendenhall, William et al. (2001). Mathematical Statistics with Application. Third Edition. Boston: Duxbury Press.

Pikatan, Sugata. (1992). Pengukuran, Pengolahan, & Analisa Data Eksperimen. Lokakarya Metodologi Universitas Surabaya.

Scuro, Sante R. (2004). Introduction to Error Theory. Dallas: Texas A&M University.

Steel, Robert G. D dan James H. Torrie. (1989). Prinsip dan Prosedur Statistika: Suatu Pendekatan Biometrik. Jakarta: PT Gramedia.

Taylor, John R. (1939). An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainty in Physical Measurements. Sausalito: University Science Books.

158

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Recommend Documents