Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték ∞ 1. , a legnagyobb taggal egyszerűsítünk ∞
2. e-ados: lim
n→∞
1+
a p(n)
p(n)
√ n n n 125 3 − 9 2 +1 + ( 3)2n · 8 3 lim n→∞ 2 · 52n + 23n − (−2)n+1
√ 3n2 n − n + 2 √ lim , n→∞ n5 + n2
n3 − 3n2 + 2 , lim n→∞ 2n3 − 1 = ea
(a pn tetszőleges sorozat, amire lim pn = ±∞)
3 lim 1 + n+1
2n+3
,
lim
n n+3
2n
3. konjugálttal beszorzós: ∞ − ∞, a két tagból az egyik gyökös √
lim
4. egyéb: lim
lim
p
n+2
√ n
a = 1,
√
n·
lim
n3 − 2n + 1 = 1,
n−1−
√ n
√
n+1 ,
polinom = 1,
lim
p
2n
lim
lim
√ n
(n + 1)! = ∞,
n· n−
4 √
n2 + 1
faktoriális = ∞,
lim
√ √ 3n + 1 − 3n √ √ lim n+1− n−1
,
(polinom << exponenciális << faktoriális)
n10 + n2 + 3 = 0, 3n+2
lim
en = 0, (n + 1)!
Függvény határérték 1. L’Hospital szabály a)
±∞ ±∞ 2ex , x→∞ ex + 1 lim
b)
ln(2 + 3ex ) √ x→∞ 3 + 2x lim
0 0 sin x , x→0 1 − cos x lim
c) 0 · ∞ =
0 1 ∞
vagy =
∞ 1 0
lim x · ln x,
x→0
d) 00
, ∞0
, 1∞
(ex − 1) = ... x→0 tg x
lim (ex − 1) · ctg x = lim
x→0
lim f (x)g(x) = lim eg(x)·ln(f (x))
(a kitevő limeszét külön kiszámítjuk) x 1 1 lim , lim (cos x) x x→0+ x→0+ x
lim xx ,
x→0+
e) ∞ − ∞
2
e−x − 1 + x2 x→0 x4 lim
közös nevezőre hozás után L’Hospital lim
x→0
1 1 − x sin x e − 1 1
lim
n2
2n = ∞, +n+1
stb.
2. konjugálttal beszorzós (ugyanúgy, mint sorozatoknál) p lim ( x2 + 1 − x),
lim √
x→∞
x→1
x2 + x − 2 √ x2 + x − 1 − x2 + 1
sin f (x) =1 f (x)→0 f (x) lim
3. trigonometrikus
sin 3x , x→0 sin 6x lim
sin2 x · (1 − cos x) x→0 cos x · x4
cos x − 1 , x→0 x
tg 4x , x→0 tg 2x lim
lim
lim
(Az utolsó előtti simán kijön L’H-val is, de az utolsó L’H-val már nagyon ronda. Ha (1 − cos x) vagy (cos x − 1) szerepel x a limeszben, akkor próbáljunk szorozni a "konjugálttal", vagyis pl. az utolsónál 1+cos 1+cos x -szel, aztán felhasználjuk, hogy 1 − cos2 x = sin2 x)
Numerikus sorok 1. konkrét összeg kiszámítása a) geometriai sor:
∞ X
qk =
k=0
1 1−q ∞ X −5 k=0
b) teleszkopikus összeg:
∞ X k=
∞ X k=1
4k
∞ X 3k+1 =? 22k−3
=?,
k=1
∞
∞
k=
k=
X X c c = = másodfokú elsőfokú · elsőfokú ∞ X
1 =?, k · (k + 1)
k=1
1 =?, (2k − 1)(2k + 1)
A B + elsőfokú elsőfokú ∞ X k=0
1 =? 9k 2 + 15k + 4
2. konvergens-e a) divergencia kritérium:
P
an nem konvergens, ha lim an 6= 0 ∞ X
1−
n=0
b) hányadoskritérium:
P
an konvergens-e?
ha
2 n+1
| lim |a|an+1 n|
3n
< 1, akkor konvergens > 1, akkor divergens = = 1, akkor másik módszer kell
(elv: ha az an -ben szerepel faktoriális, akkor próbálkozzunk ezzel) ∞ X n! , nn n=1
c) gyökkritérium:
P
an konvergens-e?
ha
∞ X 5k k=1
k!
< 1, akkor konvergens p > 1, akkor divergens lim n |an | = = 1, akkor másik módszer kell
2
∞ X n=1
d) összehasonlító kritérium: egy konvergens sorral.
P
n 2n + 1
2
n ∞ X n 1 · n n−1 2 n=1
n ,
an konvergens-e? Vagy alulról becsüljük az összeget egy divergens sorral, vagy felülről
1 . Ha α ≤ 1, akkor divergenciát akarunk bizonyítani, amihez c·n1 α ≤ an nα belátása elég. Ha α > 1, akkor konvergenciát akarunk bizonyítani, amihez azt kell belátnunk, hogy an ≤ c · n1α . (A "c" az sokszor lehet 1, vagy ha szükséges, akkor 1-nél nagyobb egész szám. ) Sokszor működik: megbecsüljük, hogy az an ≈
∞ X
∞ X
1 √ , n + n n=1 P
e) Leibniz-sorok: egy
√
n=1
n+1 , n2 + 1
∞ X sin2 n n2 + 1 n=1
an sor Leibniz-sor, ha:
1. az an váltakozó előjelű 2. |an | monoton fogyó 3. lim |an | = 0 A Leibniz-sorok mindig konvergensek. Konvergensek-e a következő sorok? ∞ X
1 (−1) , n n=1 n
∞ X
n2 (−1)n+1 n , 2 n=1
∞ X (−1)n ln n n=2
Deriválás, parciális deriváltak, gradiens, Hesse-mátrix a) függvény érintője/érintősíkja adott pontban b) függvényérték közelítése Taylor-polinom segítségével c) szélsőérték számítás d) feltételes szélsőérték e) teljes függvényvizsgálat Függvénysorok a) Hatványsor konvergencia-sugara b) Függvények hatványsorba fejtése egy adott x0 körül Néhány megjegyzendő sor:
∞ X xn = ex , n! n=0
∞ X
(−1)n
n=0
∞ X
x2n+1 = sin x, (2n + 1)!
(−1)n
n=0
∞ X n=0
xn =
x2n = cos x, (2n)!
1 1−x
b1) Az ismert sorok alapján könnyű 3
(x ∈ (−1, 1))
∞ X x2n+1 = sh x (2n + 1)! n=0
∞ X x2n = ch x (2n)! n=0
Fejtsd sorba az x0 = 0 körül!
Fejtsd sorba az x0 = 2 körül:
x , 2 − x3
1 , 1 + x2
cos 2x,
e3x ,
cos2 x
sin x · cos x,
2 3+x
b2) A deriváltat tudjuk sorba fejteni. Fejtsd sorba az x0 = 0 körül! ln(1 + x2 ),
ln(1 + x),
arctg x
b3) Az integrálját tudjuk sorba fejteni Fejtsd sorba az x0 = 0 körül! 1 (1 + x)2
(ez a binomiális sor segítségével is megy)
c) Fourier-sorok c1) páros függvények c2) páratlan függvények Mátrixok a) mátrix determinánsa b) mátrix inverze c) lineáris egyenletrendszerek: Gauss-algoritmus d) sajátérték, sajátvektor Integrál a) rápillantós Z 0 f A) = ln f f Z f α+1 B) f 0 · f α = (α 6= −1) α+1 Z C) f (g(x)) · g 0 (x) = F (g(x)) (F 0 = f ) Z D)
f (a x + b) =
F (ax + b) a
(F 0 = f )
b) trigonometrikus és hiperbolikus fv-ek Z
cos2 x dx,
Z
Z
sin2 3x dx,
ch3 x dx,
Z
sin5 x dx,
Z
cos3 x · sin2 x dx,
c) parciális integrál R c1) polinom · (exponenciális vagy trigonometrikus vagy hiperbolikus): a polinom a vessző nélküli Z
(x2 + 2) · e2x dx,
Z
Z (x − 1) · cos(3x) dx,
4
(x − 2x2 ) · sh (5x) dx
c2)
R
polinom · (logaritmikus vagy arcus vagy area) Ilyenkor a polinom a vesszős! Z
Z x · ln x dx,
c3)
R
(2x + 1) · arctg x dx
(logaritmus, arcus vagy area): ez ugyanolyan mint a c2) csak be kell erőltetni az 1 szorzót, az lesz a vesszős Z
Z ln x dx,
arctg x dx
R c4) (trigonometrikus vagy hiperbolikus)· (exponenciális): két parciális integrál után visszakapjuk az eredeti I integrált, egyenlet lesz az I-re. (Mindegy melyik a vesszős, csak a második parciális integrálásnál maradjon az ugyanolyan típusú a vesszős.) Z sin(2x) · e
−x
Z dx,
ch (3x) · 25x dx
c5) sok egyéb esetben is ez kell, pl.: Z Z 2 2 2x3 · ex dx = x2 · 2x · ex dx, g
Z
x3 · sin(x2 ) dx
f0
d) racionális törtfüggvények - parciális törtekre bontás Z
x3 − x2 − 3x dx x2 − 2x − 3
Z
x2 + 2 dx x3 − 5x2 + 8x − 4
Z x3
+
x dx + 4x + 2
3x2
e) helyettesítéses integrál p p p A) gyök alatt másodfokú polinom: cél: y 2 − 1, y 2 + 1, vagy 1 − y 2 alakra hozni Rp A1) y 2 − 1, ilyenkor y = ch t helyettesítés kell ahhoz, hogy a gyök alatt teljes négyzet legyen (ch2 t − 1 = sh2 t) Z p 2x2 − 4 dx A2)
Rp
Z p
y 2 + 1, ilyenkor y = sh t helyettesítés kell ahhoz, hogy a gyök alatt teljes négyzet legyen (sh2 t + 1 = ch2 t) Z p 9x2 + 3 dx
A3)
Rp
2x2 + 4x − 1
Z p
3x2 − 3x + 1
1 − y 2 , ilyenkor y = sin t (vagy y = cos t is jó). (1 − sin2 t = cos2 t, 1 − cos2 t = sin2 t) Z p
3−
4x2
Z p −x2 + 6x − 7
dx
B) Z
e2x dx, x e +1
Z
e3x + 4 dx, e6x + e3x
Z
1 dx ch x
C) Z
√
Z
1 √ dx, x+ 4x
1+
5
1 √ dx 3 x+1
D) trigonometrikus függvények racionális törtfüggvényei: t = tg
x , 2
ekkor sin x =
Z
2t , 1 + t2
1 dx, 1 + cos x
cos x =
Z
1 − t2 , 1 + t2
tg x =
1 dx, sin x · cos x
f) határozott integrál g) integrál alkalmazásai Kettős integrál a) síkbeli polárkoordináták Hármas integrál a) térbeli polárkoordináták b) hengerkoordináták Vonlaintegrál a) definíció alapján b) skalárpotenciál segítségével Felületi integrál a) definíció alapján b) Stokes-tétellel (vektorpotenciál keresése) c) Gauss-tétellel Diffegyenletek a) Lineáris differenciálegyenletek b) Lineáris differenciálegyenlet-rendszerek c) Bernoulli-féle differenciálegyenlet d) Egzakt differenciálegyenlet e) Egzakttá tehető differenciálegyenlet f) Szétválasztható változójú differenciálegyenlet g) Szukcesszív approximáció
6
Z
2t , 1 − t2 1 dx cos x
dx =
2 dt 1 + t2
