MECHANICKÉ KMITÁNÍ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A
Kinematika kmitavého pohybu Mechanický oscilátor - volně kmitající zařízení Rovnovážná poloha Výchylka
Kinematika kmitavého pohybu Veličiny charakterizující kmitání: Perioda T Frekvence f Pohyb nerovnoměrný Časový diagram kmitavého pohybu:
Kinematika kmitavého pohybu Oscilátor koná harmonický pohyb Podobnost s pohybem po kružnici
Kinematika kmitavého pohybu Pro okamžitou polohu oscilátoru platí: y = ym ⋅sin (ω t )
ω - úhlová frekvence
ω = 2πf 2π ω= T
Kinematika kmitavého pohybu Vztahy pro okamžitou rychlost a okamžité zrychlení: Veličina
Rovnice
Amplituda
y
y = ym ⋅sin (ω t )
ym
v
v = vm ⋅ cos (ω t )
vm = ω ⋅ ym
a
a = − am ⋅sin (ω t ) = − ω y 2
a m = ω ym 2
Kinematika kmitavého pohybu Vztahy pro okamžitou rychlost a okamžité zrychlení:
Příklad 1
Hmotný bod kmitá harmonicky s maximální výchylkou 1,5 cm a periodou 0,2 s. Určete rovnici kmitavého pohybu. Jaká bude výchylka v čase 0,75 s?
Příklad 2
Určete dobu od počátečního okamžiku, kdy hmotný bod dosáhne výchylky -5 mm. Rovnice kmitání tohoto bodu je:
y = 5 ⋅10 sin ( 4πt ) −3
Příklad 3
Mechanický oscilátor kmitá s periodou 0,5 s a amplitudou 2 cm. Počáteční fáze kmitání je 30°. Určete v čase 1,3 s a) okamžitou výchylku, b) okamžitou rychlost, c) okamžité zrychlení.
Skládání kmitání Počáteční fáze ϕ 0 - určuje počáteční výchylku Obecný tvar rovnice kmitavého pohybu: y = ym ⋅sin (ω t + ϕ 0 )
Skládání kmitání Fázový rozdíl = rozdíl fází dvou kmitání Závisí pouze na rozdílu počátečních fází ( pokud mají stejné f ! ) Δϕ = ϕ 02 − ϕ 01
Stejná fáze Δϕ = 2k ⋅π Opačná fáze Δϕ = ( 2k + 1) ⋅π
Skládání kmitání Složením dvou a více kmitání vzn. složené kmitání Princip superpozice
Skládání kmitání Skládání kmitání se stejnou frekvencí: vzn. harmonické kmitání stejná fáze: ym = ym1 + ym2 opačná fáze: ym = ym1 − ym2
Skládání kmitání Skládání kmitání s různou frekvencí: neharmonické kmitání speciální případ: frekvence jsou si blízké - rázy ( zázněje )
Dynamika kmitavého pohybu Platí 2. Newtonův pohybový zákon: F = − mω y 2
Vlastnosti mechanického oscilátoru: hmotnost a tuhost Fp Tuhost pružiny: k = Δl Příčinou kmitání je síla, která oscilátor vychyluje z rovnovážné polohy: F = − ky
Dynamika kmitavého pohybu Z 2. Newtonova pohybového zákona platí:
k ω0 = m 1 k f0 = ⋅ 2π m m T0 = 2π ⋅ k
Příklad 4
Těleso zavěšené na pružině o tuhosti 50 Nm-1 vykoná 50 kmitů za 64 s. Určete hmotnost tělesa.
Příklad 5
Pružina se po zavěšení tělesa prodlouží o 2,5 cm. Určete frekvenci vlastního kmitání mechanického oscilátoru.
Kyvadlo
Model: matematické kyvadlo
g Úhlová frekvence kyvadla: ω 0 = l Kyv
Příklad 6
Určete délku kyvadla hodin.
Příklad 7
Kyvadlo dlouhé 40 cm kmitá se stejnou periodou jako těleso zavěšené na pružině o tuhosti 20 Nm-1. Určete hmotnost tělesa.
Energie kmitavého pohybu Platí zákon zachování mechanické energie:
1 2 Kinetická energie: Ek = mv 2 1 2 Potenciální energie: Ep = ky 2 Obě tyto energie se harmonicky mění ( příčina kmitání ) Celková mech. energie je rovna součtu energií
Příklad 8
Určete celkovou mechanickou energii pružiny, která má tuhost 30 Nm-1, pokud je její amplituda výchylky 3 cm.
Netlumené kmitání Ideální případ. Nepůsobí žádné vnější síly. Amplituda kmitání se nemění. Oscilátor by kmital neomezeně dlouho. Takovýto případ je jen modelem, ve skutečnosti dochází k tlumení.
Tlumené kmitání Působí vnější síly - odporová síla vzduchu, deformace pružiny oscilátoru apod. Mechanická energie oscilátoru se tak mění na jiné formy energie Vzn. tlumeného kmitání. Kmitání reálného oscilátoru je vždy tlumené! Tlumení má vliv na periodu kmitání.
Tlumené kmitání Amplituda tlumeného kmitání se v čase zmenšuje, až dojde k ustání kmitavého pohybu.
Nucené kmitání Aby nedocházelo ke tlumení kmitavého pohybu, musíme působit vnějšími silami. Mezi oscilátorem a jeho okolím existuje vazba. Vazbou se do oscilátoru přivádí energie.
Nucené kmitání Pokud jsou ztráty energie kompenzovány v krátkém okamžiku, pohyb není harmonický. Aby pohyb byl harmonický, je třeba ztráty nahrazovat v průběhu celé periody - vzniká nucené kmitání. Při nuceném kmitání oscilátor kmitá vždy s frekvencí vnějšího působení.
Rezonance Vlastní frekvence oscilátoru sice nemá vliv na frekvenci nuceného kmitání, ale ovlivňuje jeho amplitudu. Amplituda nucených kmitů je největší tehdy, pokud frekvence nucených kmitů, která je rovna vlastní frekvenci oscilátoru. Nastává tedy rezonance oscilátoru. Frekvence, pro níž toto maximum nastává, nazýváme rezonanční frekvence.
Rezonance Rezonanční křivka
Rezonance Při rezonanci na sebe tedy působí dva oscilátory - jeden je zdrojem nucených kmitů ( oscilátor ) a druhý se působením nucených kmitů rozkmitá ( rezonátor ). Mezi oscilátorem a rezonátorem může existovat pevná nebo volná vazba.
Rezonance Spřažená kyvadla:
Rezonance
Příklad 9
Perioda vlastního kmitání železničního vagonu je 1,25 s. Při jaké velikosti rychlosti dosáhne kmitání způsobené nárazy kol na spoje mezi kolejnicemi maxima, jestliže délka kolejnic je 25 m?
