DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika
Dynamika Obor mechaniky, který se zabývá příčinami změn pohybového stavu těles, případně jejich deformací dynamis = síla (řec.) Základní fyzikální veličinou je zde síla Síla je vektorová veličina, její základní jednotkou je 1 N Pokud působí více sil najednou, můžeme určit výslednici sil
Dynamika Zakladateli tzv. klasické dynamiky byli zejména Galileo Galilei, Christian Huygens a zejména Isaac Newton Klasickou dynamiku nelze aplikovat na tělesa pohybující se velmi vysokými rychlostmi a také na tělesa z oblasti mikrokosmu. Teorii klasické dynamiky doplnil na počátku 20. století Albert Einstein svou Teorií relativity a dalšími pracemi Teorii klasické dynamiky doplnil na počátku 20. století Max Planck a další o tzv. kvantovou mechaniku
Vzájemné působení těles Při vzájemném působení dvou těles rozlišujeme dva účinky síly: deformační - dochází k deformaci tělesa pohybové - dochází ke změně pohybového stavu tělesa Z hlediska vzájemného působení rozlišujeme tyto případy: vzájemné působení přímým stykem vzájemné působení prostřednictvím silových polí
Newtonovy pohybové zákony Newton shrnul v 17. století poznatky dynamiky do třech pohybových zákonů izolované těleso = těleso, na nějž nepůsobí žádné síly toto těleso budeme nahrazovat izolovaným hmotným bodem Izolované těleso, které je v dané vztažné soustavě v klidu, v klidu setrvá.
Newtonovy pohybové zákony Izolované těleso je jen myšleným modelem Takový model budeme realizovat jako těleso, na které působí síly takové, že jejich výslednice je nulová. Izolované těleso, které je v pohybu, má stále stejnou rychlost, pohybuje se rovnoměrným přímočarým pohybem.
První Newtonův pohybový zákon “Každé těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nuceno vnějšími silami tento stav změnit.” Tento zákon přináší pojem setrvačnost - proto se tento zákon nazývá také zákon setrvačnosti. Dává do rovnosti klid a rovnoměrný přímočarý pohyb - oba mají nulové zrychlení.
První Newtonův pohybový zákon Soustavy, v nichž platí první Newtonův pohybový zákon, se nazývají inerciální vztažné soustavy. Pokud je soustava inerciální, pak každá další, která je vůči této soustavě v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře, je také inerciální. Za inerciální soustavu obecně považujeme soustavu spojenou s povrchem Země.
Druhý Newtonův pohybový zákon Pokud na těleso v inerciální vztažné soustavě začne působit síla, změní se jeho pohybový stav. Tělesu je uděleno zrychlení. “Velikost zrychlení hmotného bodu je přímo úměrná velikosti výslednice sil působících na hmotný bod a nepřímo úměrná hmotnosti hmotného bodu. Směr zrychlení je shodný se směrem výslednice sil.”
F a= m
Druhý Newtonův pohybový zákon Častěji se tento zákon udává ve tvaru: F = m∙a Tento vztah nazýváme pohybová rovnice. Tento vztah také definuje jednotku Newton: 1 N = 1 kg∙m∙s-2 Síla uděluje tělesu zrychlení nezávisle na tom, zda bylo původně v klidu nebo v pohybu rovnoměrně přímočarém. Tento zákon se také nazývá zákon síly.
Dynamická hmotnost má velký význam tehdy, pokud nemůžeme těleso změřit přímo vahami ( hmotnost částic apod. ) pokud známe výslednici působících sil a zrychlení, s nímž se těleso pohybuje, dynamickou hmotnost určíme jako:
F m= a
Tíhová síla
Ze zákona síly vyplývá, že na těleso pohybující se se stálým zrychlením, působí konstantní síla V případě tíhového zrychlení platí, že působící síla se nazývá tíhová síla a určíme ji:
! ! FG = mg
Příklad 1
Na těleso o hmotnosti 13 kg působí dvě navzájem kolmé síly o velikostech 60 N a 25 N. Určete velikost zrychlení tělesa a úhel, který svírá zrychlení se silou o velikosti 60 N.
Příklad 2
Vozík stojící na vodorovné podlaze roztlačoval chlapec vodorovnou silou o velikosti 80 N. Vozík nabyl za dobu 4 s rychlosti 2 ms-1. Jaká byla hmotnost vozíku? Tření a odpor vzduchu zanedbejte.
Hybnost veličina vyjadřující míru pohybu tělesa hybnost hmotného bodu je vektorová veličina je definována jako součin hmotnosti a okamžité rychlosti hmotného bodu: ! ! !
p = mv
jednotkou hybnosti je kg∙m∙s-1 Hybnost charakterizuje pohybový stav tělesa nebo hmotného bodu v dané vztažné soustavě.
Změna hybnosti ! ! ! ! ! ! Δp = p2 − p1 = mv2 − mv1 = mΔv Druhý pohybový zákon pak lze vyjádřit vztahem: ! !
! ! Δp F= Δt
Výsledná síla působící na hmotný bod je rovna podílu změny hybnosti hmotného bodu a doby, po kterou síla působila. Tento vztah platí obecně, lze jej použít i v případě, že se hmotnost tělesa během pohybu mění.
Impuls síly ! ! Předchozí vztah lze psát ve tvaru: FΔt = Δp Součin FΔt síly a času se nazývá impuls síly Jde o fyzikální veličinu vyjadřující časový účinek síly. Jednotka impulsu síly je N∙s
Příklad 3
Automobil o hmotnosti 1000 kg jede rychlostí 90 kmh-1. Jak velká je hybnost automobilu? Při jaké rychlosti má stejně velkou hybnost automobil o hmotnosti 3000 kg?
Příklad 4
Míč o hmotnosti 0,2 kg dopadl kolmo na pevnou stěnu rychlostí 20 ms-1 a odrazil se rychlostí 15 ms-1. Náraz trval po dobu 0,05 s. Jak velkou silou působila po dobu nárazu stěna na míč?
Třetí Newtonův pohybový zákon Silové působení těles je vždy vzájemné. “Dvě tělesa na sebe navzájem působí stejně velkými silami opačného směru. Tyto síly vznikají a zanikají současně.” Jednu sílu nazýváme akce, druhou reakce -proto se třetí Newtonův pohybový zákon nazývá zákon akce a reakce.
Příklad 5
Dvě dívky o hmotnostech 30 kg a 50 kg jsou na kolečkových bruslích a přitahují se k sobě pomocí provazu. Jedna dívka táhne za provaz silou 15 N, druhá jej jen pevně drží. Jak velkou silou táhne druhá dívka. Jak velká jsou zrychlení obou dívek? Tření a odpor vzduchu neuvažujte.
Zákon zachování hybnosti Mějme dvě různá tělesa v izolované soustavě. Celková hybnost soustavy je dána vztahem: p = p1 + p2 “Celková hybnost izolované soustavy těles se vzájemným silovým působením těles nemění.” Platí zde také zákon zachování hmotnosti: “Celková hmotnost izolované soustavy těles je konstantní.” Zákon zachování hybnosti se uplatňuje zejména u srážek neboli rázů dvou těles.
Dokonale pružná srážka Jedno těleso se pohybuje a narazí do druhého tělesa, které je v klidu. První těleso se nárazem zastaví a předá svou celkovou hybnost druhému tělesu. Druhé těleso se pak dá do pohybu. Platí zde zákon zachování hybnosti. Pokud by před srážkou byla obě tělesa v pohybu, je třeba počítat ještě se zákonem zachování energie ( později ).
Dokonale nepružná srážka Jedno těleso se pohybuje a narazí do druhého tělesa, které je v klidu nebo se pohybuje. První těleso se nárazem spojí s druhým tělesem a dojde k částečnému předání hybnosti. Obě tělesa se pak spolu pohybují dál. Platí zde zákon zachování hybnosti.
Reaktivní motory Využívají zákona akce a reakce a zejména zákona zachování hybnosti Plynné spaliny motorů jsou tryskou vytlačovány ven, letoun nebo raketa se pak pohybují na opačnou stranu.
Příklad 6 Vozík o hmotnosti 4 kg jede po vodorovných kolejích rychlostí 0,5 ms-1 a narazí na vozík o hmotnosti 2 kg. Při nárazu se oba vozíky spojí a dále se pohybují společně. Určete jejich rychlost po srážce, jestliže se: a) druhý vozík pohybuje rychlostí 0,2 ms-1 ve stejném směru, b)druhý vozík pohybuje rychlostí 0,2 ms-1 v opačném směru, c) druhý vozík nepohybuje.
Příklad 7 Těleso o hmotnosti 4 kg se pohybuje rychlostí 2 ms-1, těleso o hmotnosti 3 kg rychlostí 6 ms-1. Vypočítejte velikost celkové hybnosti této soustavy dvou těles, jsou-li rychlosti těles: a) v téže přímce a mají stejný směr, b)v téže přímce a mají opačný směr, c) navzájem kolmé.
Příklad 8
Střela o hmotnosti 0,01 kg je vystřelena rychlostí 800 ms-1 z pušky o hmotnosti 4 kg. Vypočítejte zpětnou rychlost pušky.
Příklad 9
Prázdný nákladní železniční vůz o hmotnosti 10 t narazí se pohybuje rychlostí 0,9 ms-1 po vodorovné trati a narazí na naložený vůz o hmotnosti 20 t, který je v klidu. Určete rychlost naloženého vozu, jestliže se prázdný vůz po srážce zcela zastaví.
Smykové tření Je-li těleso v přímém styku s jiným tělesem, vzniká na styčné ploše třecí síla. Tato síla směřuje vždy proti směru rychlosti. Smykové tření - vzniká při vzájemném pohybu dvou styčných těles. Vzniká tak třecí síla Ft Tato síla není nikdy nulová.
Smykové tření Třecí síla nezávisí na: velikosti styčných ploch rychlosti vzájemného pohybu Třecí síla závisí na: velikosti kolmé tlakové síly (normálové síly FN) jakosti styčných ploch
Smykové tření Velikost třecí síly určíme následovně: !
Ft = f ⋅ FN
!
f - součinitel smykového tření jde o tabulkovou hodnotu, která nemá jednotku
Klidové tření Síla potřebná k uvedení tělesa do pohybu je větší než síla, která jej v tomto pohybu udržuje. Působí zde totiž klidové tření. Součinitel klidového tření f0 je za stejných podmínek vždy větší než součinitel smykového tření
Tření
VS.
Valivý odpor Vzniká při valení tělesa po pevné podložce. Velikost valivého odporu určíme následovně: ! !
FN Fr = ξ ⋅ R
ξ - rameno valivého odporu, jednotou je 1 metr Valivý odpor je při stejných podmínkách mnohem menší než tření
Příklad 10
Jak velkou silou musíme působit na bednu o hmotnosti 200 kg, abychom ji posouvali rovnoměrným pohybem po vodorovné podlaze, je-li součinitel smykového tření mezi bednou a podlahou 0,2?
Příklad 11
Jaká je nejkratší vzdálenost, na které muže zastavit automobil, který jede po vodorovné silnici rychlostí 72 kmh-1, je-li součinitel smykového tření mezi pneumatikami a vozovkou 0,25? Předpokládejte, že automobil jede s vyřazeným rychlostním stupněm, a všechny další odporové síly zanedbejte.
Příklad 12
Kvádr o hmotnosti 5 kg táhneme po vodorovné podložce vodorovnou silou o velikosti 30 N. Součinitel smykového tření mezi kvádrem a vodorovnou podložkou je 0,4. Určete velikost zrychlení kvádru.
Příklad 13 Na koncích vlákna vedeného přes pevnou kladku jsou zavěšena závaží o hmotnostech 2 kg a 3 kg. Určete velikost zrychlení obou závaží. Tření a hmotnost kladky neuvažujte.
Příklad 14 Určete velikost zrychlení těles o hmotnostech 2 kg a 3 kg, spojených vláknem podle obrázku. Jak velkou silou je lano napínáno? Síly působící proti pohybu: a) zanedbejte, b)uvažte, přičemž koeficient smykového tření mezi tělesem a podložkou je 0,2.
Příklad 15 Určete velikost zrychlení těles o hmotnostech 2 kg a 3 kg, spojených vláknem podle obrázku. Nakloněná rovina svírá s vodorovným směrem úhel 30°. Jak velkou silou je lano napínáno? Síly působící proti pohybu: a) zanedbejte, b)uvažte, přičemž koeficient smykového tření mezi tělesem a podložkou je 0,2.
Příklad 16
Po nakloněné rovině, která svírá s vodorovnou rovinou úhel 30°, sjíždí dřevěný kvádr. Určete velikost jeho zrychlení, je-li součinitel smykového tření mezi kvádrem a nakloněnou rovinou 0,4.
Dostředivá síla Působí na hmotný bod, který se pohybuje po kružnici. Směřuje vždy do středu kružnice. Je vždy kolmá na vektor rychlosti. Způsobuje zakřivení pohybu. Pro velikost této síly platí: 2
v 2 Fd = m = mω r r
Dostředivá síla Pokud přestane dostředivá síla působit, těleso se začne pohybovat ve směru tečny ke kružnici.
Příklad 17
Při hodu diskem roztáčí atlet disk o hmotnosti 2 kg po kružnici o poloměru 1,1 m, přičemž na něj působí dostředivou silou o velikosti 900 N. Jaké rychlosti disk dosáhne?
Příklad 18
Sportovec při hodu kladivem roztáčí kladivo o hmotnosti 7,25 kg po kružnici o poloměru 1,8 m tak, že vykoná jednu otočku za 0,45 s. Jak velkou dostředivou sílu musí vyvinout?
Neinerciální vztažné soustavy Každá soustava, která se k inerciální vztažné soustavě pohybuje jinak než rovnoměrně: soustava pohybující se rovnoměrně zrychleně / zpomaleně, soustava pohybující se křivočaře ( po kružnici ). Neplatí zde 1. ani 3. Newtonův pohybový zákon.
Neinerciální vztažné soustavy Setrvačná síla Fs
Fs = − ma
Neinerciální vztažné soustavy Setrvačná síla Fs ! ! ! !
Fa = FG
Fb = FG + Fs
Fc = FG − Fs
Speciálním případem situace “c” je volný pád výtahu a s tím spojený stav beztíže.
Neinerciální vztažné soustavy Při otáčivém pohybu zaznamená pozorovatel spojený s neinerciální vztažnou soustavou setrvačnou sílu: sílu odstředivou
2
v 2 Fo = m = mω r r
Příklad 19
Těleso o hmotnosti 2 kg je zavěšeno na vlákně, které vydrží maximálně namáhání silou o velikosti 60 N. Jaké nejvyšší zrychlení směrem svisle vzhůru můžeme tělesu pomocí vlákna udělit?
Příklad 20 Těleso o hmotnosti 5 kg je zavěšeno na siloměru v kabině výtahu. Jak velkou sílu ukazuje siloměr, jestliže se kabina pohybuje: stálou rychlostí, se zrychlením o velikosti 2 ms-2 směřujícím vzhůru, se zrychlením o velikosti 2 ms-2 směřujícím dolů?
Příklad 21
Letadlo opisuje rychlostí o stálé velikosti kružnici o poloměru 640 m ve svislé rovině. V nejvyšším bodě trajektorie je pilot na okamžik v beztížném stavu. Jak velkou rychlostí letadlo letí?
