Integral Tak Wajar Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII
March 25, 2015
Ayundyah
Integral Tak Wajar
Integral Tak Wajar
Suatu integral tertentu Z
b
f (x)dx
(1)
a
dikatakan wajar jika ia memenuhi dua syarat berikut: i. Batas integrasi a dan b merupakan bilangan berhingga ii. fungsi f (x) terbatas pada interval [a,b] yaitu ada M > 0 sebagai nilai pembatas sehingga −M ≤ f (x) ≤ M untuk setiap x ∈ [a, b] Bila salah satu saja dari kedua syarat tersebut tidak dipenuhi maka integral (1.1) dikatakan tak wajar
Ayundyah
Integral Tak Wajar
Definisi Integral Wajar Definisi 1.1 Integral tak wajar (improper integral)adalah integral dengan satu atau kedua syarat berikut ini dijumpai, yaitu: i. Interval dari integral adalah tidak terbatas [a, +∞), (−∞, b].(−∞, ∞) Sebagai contoh: Z
∞
1
1 dx x2
ii. Integran mempunyai suatu ketakkontinuan tak hingga di suatu titik c dalam [a ,b]: lim f (x) = ±∞
x→c
Sebagai contoh: Z 0 Ayundyah
1
1 √ dx x Integral Tak Wajar
Integral Tak Wajar Tipe I Dalam bidang fisika, ekonomi, probabilitas dan statistika maupun di bidang lainnya sering melibatkan integral yang didefinisikan pada domain yang tak terbatas. Kenyataan ini melahirkan integral tak wajar tipe I karena batas integrasinya memuat ∞ atau −∞ Definisi 1.2 Andaikan bahwa suatu fungsi f kontinu pada (∞,−∞). Didefinisikan integral tak wajar ketika limitnya ada Z
∞
Z
b
f (x)dx = lim
∞
−∞
f (x)dx
Z b f (x)dx = lim f (x)dx a→−∞ a −∞ Z c Z ∞ f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx Z
Z
b→∞ a
a b
−∞
Ayundyah
c
Integral Tak Wajar
(2) (3) (4)
Dimana, dalam definisi (4), integral-integral di ruas kanan ada untuk suatu c. Jika integral tak wajar ada, maka integral dikatakan konvergen, tetapi jika tidak ada maka dikatakan divergen. Contoh 1. x2 Fungsi F (x) = √12π e − 2 disebut fungsi densitas normal dan memiliki banyak aplikasi dalam bidang probabilitas dan statistik. Secara khusus x2 1 F (x) = √ e − 2 = 1 2π
Ayundyah
Integral Tak Wajar
Definisi 1.3 RN Misalkan a suatu bilangan tertentu dan diasumsikan a f (x)dx ada untuk setiap N ≥ a. Selanjutnya jika limN→∞ f (x)dx ada maka nilai integral tak wajar didefinisikan sebagai Z
∞
Z f (x)dx := lim
N→∞ a
a
N
f (x)dx
R∞ Selanjutnya, integral tak wajar a f (x)dx dikatakan konvergen jika nilainya berhingga. Selain dari itu dikatakan divergen
Ayundyah
Integral Tak Wajar
Contoh 2 Hitunglah integral tak wajar Z
∞
1
1 dx x2
Penyelesaian: Dengan menggunakan definisi 1.3, akan diperoleh: Z 1
∞
1 dx = lim N→∞ x2
N
Z
f (x)dx 1
1 N − dx N→∞ x 1 1 = lim − − (−1) = 1 N→∞ N = lim
Jadi, integral tak wajar ini konvergen. Ayundyah
Integral Tak Wajar
(5)
Contoh 3. Hitunglah integral tak wajar Z
∞
−∞
3x dx + 2)3
(3x 2
Ayundyah
Integral Tak Wajar
Penyelesaian: 3x dx kemudian cari + 2)3 limitnya. Misalkan u = 3x 2 + 2 maka du = 6xdx. Jadi 1 3xdx = du. Subtitusikan pemisalan ini ke dalam integral, maka 2 diperoleh: 1 Z Z 1 3x 1/4 2 4 dx = du = − 2 = − (3x 2 + 2)3 u3 u (3x 2 + 2)3 Selanjutnya dengan menggunakan definisi 1.3 didapatkan Z ∞ Z N 3x 3x dx = lim dx 2 3 2 N→∞ −N (3x + 2)3 −∞ (3x + 2) N −1/4 = lim N→∞ (3x 2 + 2)2 −N 1/4 −1/4 = lim + N→∞ (3N 2 + 2)2 (3(−N)2 + 2)2 =0 Selesaikan dahulu integral tak tentu
Ayundyah
R
(3x 2
Integral Tak Wajar
Jadi, integral tak wajar ini konvergen dan bernilai nol. Khusus nilai nol integral ini didapat kenyataan bahwa terdapat dua luasan daer ah yang sama tetapi satu ini di atas sumbu x dan satunya di bawah sumbu x
Ayundyah
Integral Tak Wajar
Contoh 4 Tentukan semua bilangan p sehingga integral tak wajar Z ∞ 1 dx xp 1 Konvergen, dan hitunglah nilainya ?
Ayundyah
Integral Tak Wajar
Penyelesaian: Z 1
∞
1 1−p 1 dx = lim N − 1 N→∞ 1 − p xp
Bila 1 − p > 0 → p < 1 maka N 1−p → ∞ untuk N → ∞. Jadi, Z ∞ 1 1 1 1 [0 − 1] = [−1] = konvergen(berhingga) dx = p x 1−p 1−p p−1 1 untuk p − 1 = 0, yaitu p = 1 integral ini divergen. Jadi dapat disimpulkan Z ∞ 1 1 ,p > 1 dx = p−1 p x 1 divergen, p ≤ 1 Jadi untuk setiap p > 1, integral tak wajar 1 dengan nilai p−1 Ayundyah
R∞ 1 1 x p dx konvergen
Integral Tak Wajar
Integral Tak Wajar Khusus Jenis Pertama 1. Integral Geometrik atau Eksponensial Z ∞ e tx dx
(6)
a
dimana t adalah sebuah konstanta, konvergen jika t > 0 dan divergen jika t ≤ 0.Perhatikanlah analogi dengan deret geometri jika r = e −tx sehingga e −tx = r x 2. Integral p jenis pertama Z a
∞
1 dx xp
(7)
dimana p adalah sebuah konstanta dan a > 0, konvergen jika p > 1 dan divergen jika p ≤ 1.
Ayundyah
Integral Tak Wajar
Latihan 1 1. Sebutkan dan tuliskan beberapa fungsi kepadatan peluang dimana rentang variabelnya menuju ketakberhinggaan. Kemudian tunjukkan integral sepanjang domainnya bernilai 1 2. Hitunglah integral tak wajar R∞ 1 dx R1u x b. −∞ cos(x)dx a.
Ayundyah
Integral Tak Wajar
Integral Tak Wajar Tipe II Suatu fungsi dikatakan tak terbatas di c jika nilainya sangat besar sekali (mendekati ∞ atau −∞) di sekitar c. Misalkan fungsi f didefinisikan pada domain [a, b]. Beberapa model fungsi tak terbatas di sekitar a, b dan titik c dengan a < c < b ditunjukkan pada gambar berikut
Ayundyah
Integral Tak Wajar
Pada gambar sebelah kiri, fungsi f tak terbatas di titik a dari kanan. Gambar tengah menunjukkan fungsi f tak terbatas di titik b dari kiri. Sedangkan gambar sebelah kanan menunjukkan f tak terbatas di titik c dengan a ¡ c ¡ b dari kanan dan kiri. Bila f tak terbatas pada [a , b], baik di titik a dari kanan di titik b dari kiri ataupun di titik interior [a , b] maka integral Z
b
f (x)dx a
merupakan integral tak wajar, dan disebut integral tak wajar tipe II.
Ayundyah
Integral Tak Wajar
Definisi 1.4 Rb Bila f (x) tak terbatas di a dan a f (x)dx dan ada untuk setiap t > a maka integral tak wajar didefinisikan sebagai: Z a
b
b
Z f (x)dx := lim+ t→a
f (x)dx
(8)
t
Rb Bila f (x) tak terbatas di b dan t f (x)dx ada untuk setiap t < b maka Z b Z t f (x)dx := lim f (x)dx (9) t→b −
a
Ayundyah
a
Integral Tak Wajar
Selanjutnya, bila f (x) tak terbatas di c, dengan a ¡ c¡ b maka integral dipecah menjadi dua yaitu Z
b
Z
c
f (x)dx := a
Z f (x)dx +
a
b
f (x)dx
(10)
c
Dan selanjutnya digunakan definisi integral tak wajar sebelumnya. Contoh 5. Hitunglah nilai integral tak wajar berikut dengan menggunakan definisi 1.4 Z 1 1 2 dx 0 (x − 1) 3
Ayundyah
Integral Tak Wajar
Penyelesaian 1
2 tak terbatas di x = 1 dari kiri. (x − 1) 3 Berdasarkan definisi 4 maka diperoleh: Z 1 Z t h it 1 1 1/3 dx = lim dx = lim 3(x − 1) 2 2 0 t→1− 0 (x − 1) 3 t→1− 0 (x − 1) 3
Perhatikan fungsi f (x) =
Contoh 6. Selesaikan integral berikut Z
1
−1
1 dx x2
coba kita kerjakan dahulu integral ini dengan cara biasa tanpa menggunakan definisi integral tak wajar. Hasilnya, Z
1
−1
1 1 −1 dx = = −(1 − (−1)) = −2 x2 x −1 Ayundyah
Integral Tak Wajar
Integral ini kelihatannya konvergen, tapi cara ini salah sebab 1 integran f (x) = 2 tak terbatas di x = 0. x Penyelesaian Z 1 Z 0 Z 1 1 1 1 dx = dx + dx 2 2 2 −1 x −1 x 0 x Z 1 Z t 1 1 dx + lim dx = lim 2 t→0+ t x 2 t→0− −1 x t 1 −1 −1 = lim + lim+ x −1 t→0 x t t→0− =∞−∞ Ternyata integral tak wajar ini divergen, sebab ∞ − ∞ tak terdefinisi
Ayundyah
Integral Tak Wajar
