Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Uji Deret Positif. Ayundyah. Uji Integral. Uji Komparasi. Uji Rasio

Uji Deret Positif Ayundyah Uji Integral Uji Komparasi Teorema Uji Komparasi Langsung Uji Limit Komparasi

Uji Rasio

Uji Deret Positif Ayundyah Kesumawati

Uji Akar

Prodi Statistika FMIPA-UII

April 29, 2015

Uji Integral Uji Deret Positif Ayundyah Uji Integral Uji Komparasi Teorema Uji Komparasi Langsung Uji Limit Komparasi

Uji Rasio Uji Akar

Deret yang mempunyai suku-suku positif menjadi bahasan pada uji integral ini. Uji integral ini menggunakan ide dimana suatu integral didefinisikan melalui bentuk jumlahan. Memang, kedua R notasi Σ dan ini mempunyai kaitan yang erat. Teorema Jika ak = f (k) dimana f (x) fungsi positif, kontinu dan turun pada x ≥ 1 maka kedua ekspresi berikut ∞ X k=1

Z ak dan

∞

f (x)dx 1

sama-sama konvergen atau sama-sama divergen

Uji Deret Positif Ayundyah

Bukti Perhatikan ilustrasi grafik berikut ini

Uji Integral Uji Komparasi Teorema Uji Komparasi Langsung Uji Limit Komparasi

Uji Rasio Uji Akar

Figure: Jumlah Atas dan Bawah Luas Persegipanjang


Uji Rasio Uji Akar

Luas persegipanjang pada gambar di atas adalah L1 = A1, L2 = A2, ...., LN = An−1 Luas persegipanjang pada gambar dibawah adalah A1 = a1, A2 = a2, ...., AN = an Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) dari x = 1 sampai dengan x = n adalah Z n In = f (x)dx 1

Dari ketiga luasan tersebut berlaku hubungan A1 + A2 + A3 + ... + An ≤ In ≤ L1 + L2 + L3 + ... + Ln ⇒ a2 + a3 + a4 + ... + an ≤ In ≤ a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an−1


Uji Rasio Uji Akar

Jadi, Sn − a1 ≤ In ≤ Sn − an R∞ Misalkan integral 1 f (x)dx < ∞ (konvergen), maka berdasarkan persamaan di atas didapatkan Z ∞ f (x)dx := lim In ≥ lim Sn − a1 n→∞

1

n→∞

dan S=

∞ X k=1

Z ak := lim Sn ≤ n→∞

∞

f (x)dx + a1 < ∞ 1

(1)


Uji Rasio

P Sebaliknya, jika deret ∞ k=1 ak konvergen maka limn→∞ an = 0 dan berdasarkan (3.1) diperoleh Z ∞ f (x)dx := lim In ≤ lim (Sn − an ) = S − 0 < ∞ 1

n→∞

n→∞

Uji Akar

Selanjutnya, kedivergenan kedua ekspresi ini juga didasarkan pada ketidaksamaan (3.1) dan dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti diatas.


Uji Rasio Uji Akar

Contoh P 1 Lakukan uji integral untuk melihat bahwa deret S = ∞ k=1 k divergen. Penyelesaian Diambil f (x) := x1 , x ≥ 1. Fungsi f (x) kontinu, positif dan turun pada x ≥ 1 dan f (k) = k1 . Selanjutnya, Z ∞ Z ∞ 1 f (x)dx = dx = lnx|∞ 1 = ln∞ − ln1 = ∞(divergen) x 1 1 P 1 Deret S = ∞ k=1 k disebut Deret Harmonik. Lebih umum, deret harmonik diperumum menjadi Deret-p,


Uji Rasio Uji Akar

Contoh P 1 Tentukan harga p agar deret-p berikut S = ∞ k=1 k p konvergen. Penyelesaian 1 Diambil f (x) = , x ≥ 1. Fungsi f (x) kontinu, positif, turun xp pada x ≥ 1 dan f (k) = k1p . Telah diperoleh pada Bab Integral Tak Wajar bahwa  Z ∞  1 1 ,p > 1 dx = p−1 p  x 1 divergen, p ≤ 1 Oleh karena itu deret S =

P∞

1 k=1 k p

konvergen untuk p > 1


Uji Rasio Uji Akar

Jika diperhatikan pada integral diatas maka Teorema Uji Integral dimulai dari x = 1. Dalam kasus batas ini lebih dari 1 maka teorema ini tetap berlaku. Untk kasus ini kita harus menentukan nilai b > 1 sehingga fungsi f (x) positif, kontinu dan turun untuk x > b. Secara sederhana hasil ini dikaitkan pada kenyataan bahwa kekonvergenan suatu deret tidak ditentukan oleh sejumlah berhingga suku-suku awal tapi ditentukan oleh takberhingga banyak suku-suku dibelakangnya.


Uji Rasio Uji Akar

Contoh k Ujilah kekonvergenan deret berikut Σ∞ k=1 k/5 , dan jika e konvergen hitunglah jumlahnya secara aproksimasi. Penyelesaian x Bila diambil fungsi f (x) = e x/5 maka fungsi ini positif dan kontinu untuk x > 0. Tetapi sifat turunnya belum dapat dipastikan.

Uji Deret Positif

Diperhatikan grafiknya pada gambar berikut

Ayundyah Uji Integral Uji Komparasi Teorema Uji Komparasi Langsung Uji Limit Komparasi

Uji Rasio Uji Akar

Figure: Grafik Fungsi f(x)


Uji Rasio Uji Akar

x Berdasarkan gambar tersebut, fungsi f (x) = e x/5 pada awalnya naik kemudian turun terus. Untuk memastikan titik dimana fungsi mulai turun, digunakan materi pada kalkulus elementer, f turun jika dan hanya jika f 0 (x) < 0. 1 −x/5 0 −x/5 e <0 f (x) = e −x 5

⇔ e −x/5 (1 − x/5) < 0


Uji Rasio Uji Akar

Karena e −x/5 6= 0 maka diperoleh harga nolnya, (1 − x/5) = 0 ⇔ x = 5. jadi fungsi f (x) turun untuk x > 5. Selanjutnya, kekonvergenan deret diperiksa dengan menghitung integral tak wajar. Z ∞ xe −x/5 dx 5

Dengan menggunakan definisi integral tak wajar, dan teknik integrasi parsial diperoleh


Z

∞

xe Uji Integral Uji Komparasi Teorema Uji Komparasi Langsung Uji Limit Komparasi

Uji Rasio Uji Akar

5

−x/5

Z

T

xd(−5e −x/5 ) Z −x/5 T = lim −5xe |5 −

dx = lim

T →∞ 5 T →∞

= lim (−5xe −x/5 − 25e T →∞

∞

5 −x/5

−5e

−x/5

dx

) |T 5

= lim (−5Te −T /5 − 25e T /5 + 25e −1 + 25e −1 ) T →∞

50 T +5 + lim T /5 T →∞ e T →∞ e 50 50 1 =0+ <∞ = −5 lim 1 T /5 + T →∞ e e e 5 = −5 lim

Karena integral tak wajat ini konvergen maka disimpulkan deret di atas juga konvergen

Uji Komparasi Uji Deret Positif Ayundyah Uji Integral Uji Komparasi Teorema Uji Komparasi Langsung Uji Limit Komparasi

Uji Rasio Uji Akar

ada dua macam uji komparasi, yaitu uji komparasi langsung dan uji limit komparasi’ Ide pada uji ini adalah membandingkan suatu deret dengan deret lain yang konvergen, juga dengan deret lain yang divergen.

Uji Komparasi Langsung Uji Deret Positif Ayundyah Uji Integral Uji Komparasi Teorema Uji Komparasi Langsung Uji Limit Komparasi

Uji Rasio Uji Akar

P P∞ Misalkan ada dua deret tak berhingga ∞ k=1 ak dan k=1 bk dengan 0 ≤ ak ≤ bk untuk setiap k ≥ N, N suatu bilangan asli. i. Jika deret konvergen

P∞

konvergen maka deret

ii. Jika deret

P∞

divergen maka deret

k=1 bk

k=1 ak

P∞

k=1 ak

P∞

k=1 bk

divergen


Uji Rasio Uji Akar

Bukti P P∞ i. Karena ∞ k=1 bk konvergen maka k=1 bk < ∞. Selanjutnya ∞ X k=1

ak =

N−1 X

ak +

k=1

yang berarti deret

∞ X

ak ≤

k=1

P∞

k=1 ak

N−1 X

ak +

k=1

konvergen

∞ X k=1

bk < ∞

(2)


P P∞ ii. Karena ∞ k=1 ak divergen dan ak ≥ 0 maka k=1 ak = ∞ sehingga

Uji Integral

∞ X

Uji Komparasi Teorema Uji Komparasi Langsung Uji Limit Komparasi

Uji Rasio Uji Akar

ak =

k=N

∞ X

ak −

k=1

N−1 X

ak = ∞

(3)

k=1

Akhirnya didapat, ∞ X k=1

bk =

N−1 X

bk +

k=1

∞ X

bk ≥

k=N

=

N−1 X

k=1

yang berarti deret

P∞

k=1 bk

divergen

∞ X

ak

(4)

bk + ∞ = ∞

(5)

k=1 N−1 X

bk +

k=N


Uji Rasio Uji Akar

Untuk menggunakan uji ini dibutuhkan deret lain sebagai pembanding. pekerjaan memilih deret yangtepat yang akan digunakan sebagai bahan perbandingan tidaklah sederhana, sangat bergantung dari pengalaman. Namun dua deret penting yaitu deret p dan deret geometri sering digunakan sebagai deret pembanding. Contoh Ujilah kekonvergenan deret ∞ X k=1

k (k + 2)2k


Penyelesaian

Uji Integral Uji Komparasi Teorema Uji Komparasi Langsung Uji Limit Komparasi

Uji Rasio Uji Akar

k k ak = = k +2 (k + 2)2k

k k 1 1 ≤ 2 2

k k P∞ 1 1 . Diperhatikan bahwa k=1 m Diambil bk = 2 2 merupakan deret geometri yang konvergen sebab r = 1/2. jadi, P k deret ∞ juga konvergen. Dengan menggunakan k=1 (k + 2)2k pendekatan numerik diperoleh jumlah deret secara aproksimasi adalah 0,4548 (Silahkan cek)


Uji Rasio Uji Akar

Latihan Gunakan uji integral untuk mengetahui kekonvergenan deret di bawah ini. Bila konvergen, tentukan nilai untuk aproksimasi jumlahnya P∞ 1 1. . k=2 (2 + 3k)2 P∞ lnk . 2. k=2 k

Uji Limit Komparasi Uji Deret Positif Ayundyah Uji Integral Uji Komparasi Teorema Uji Komparasi Langsung Uji Limit Komparasi

Uji Rasio Uji Akar

Teorema Uji Limit Komparasi Misalkan ak > 0 dan bk > 0 untuk k cukup besar, diambil ak k→∞ bk P P∞ Jika 0 < L < ∞ maka kedua deret ∞ k=1 ak dan k=1 bk sama-sama konvergen atau sama-sama divergen. Untuk P∞ melakukan uji ini dalam menguji kekonvergenan deret k=1 ak dilakukan prosedur sebagai berikut: P 1. Temukan deret ∞ k=1 bk yang sudah diketahui sifat kekonvergenannya, dan bentuk suku-sukunya bk ”mirip” dengan ak ak 2. Hitunglah limit L = limk→∞ , pastikan nilainya positif. b P∞k 3. Sifat kekonvergenan deret k=1 ak akan sama dengan P deret ∞ b k=1 k I := lim


Uji Rasio Uji Akar

Dalam kasus dimana L = 0 maka pengujian dengan alat ini dinyatakan gagal, sehingga harus dilakukan dengan uji yang lain. Latihan Lakukan uji komparasi limit untuk mengetahui sifat kekonvergenan deret, nila konvergen, hitunglah jumlahnya secara aproksimasi P∞ 3k + 2 a. k=1 √ k(3k − 5) P∞ 1 b. k=1 √ k k P∞ 1 c. k=1 √ 2k + 3 P∞ 1 d. k=1 √ kk 2

Uji Rasio Uji Deret Positif Ayundyah Uji Integral

P Secara intuitif, deret ∞ k=1 ak dengan suku-suku positif akan konvergen jika kekonvergenan barisan ak ke nol cukup cepat. Bandingkan kedua deret ini


Uji Rasio Uji Akar

∞ ∞ X X 1 1 dan k k2 k=1

k=1

Telah diketahui bahwa deret pertama divergen sedangkan deret 1 kedua konvergen. Faktanya, kekonvergenan barisan 2 menuju k 1 nol lebih cepat dari barisan . Selain daripada itu, untuk k mengukur kecepatan konvergensi ini dapat diperhatikan pola rasio ak+1 /ak untuk k cukup besar. Ide ini merupakan dasar pembentukan uji rasio, seperti pada teorema berikut ini

Uji Deret Positif Ayundyah Uji Integral

Teorema P Diberikan deret ∞ k=1 ak dengan ak > 0, dan dihitung L = lim

k→∞


Uji Rasio Uji Akar

ak+1 ak

diperoleh hasil pengujian sebagai berikut: P∞ 1 Jika L < 1 maka deret k=1 ak konvergen P∞ 2 Jika L > 1 atau L = ∞ maka deret k=1 ak divergen 3 L = 1 maka pengujian gagal (tidak dapat diambil kesimpulan) Contoh Dengan menggunakan uji rasio, ujilah kekonvergenan deret berikut ∞ X kk k=1

k!


Uji Rasio Uji Akar

Penyelesaian kk Karena ak = maka diperoleh k! kk k→∞ k! (k + 1)k+1 (k + 1)k+1 k k (k + 1)! = lim = lim k→∞ k→∞ (k + 1)! k! kk k! (k + 1)k (k + 1)k = lim = lim k→∞ k→∞ kk kk k 1 = lim 1 + = e ≈ 2, 7183 k→∞ k

L = lim


Uji Rasio Uji Akar

Latihan Dengan menggunakan uji rasio, ujilah kekonvergenan deret berikut ∞ X k=1

k 2 2−k

Uji Akar Uji Deret Positif Ayundyah Uji Integral Uji Komparasi Teorema Uji Komparasi Langsung Uji Limit Komparasi

Pada bahasan sebelumnya kita dapatkan bahwa limk→∞ ak = 0 belumlah menjamin bahwa deret konvergen, karena dapat saja deret tersebut divergen. Pada uji akar ini akan dilihat √ kekonvergenan deret melalui suku-suku k ak . Teorema P Diberikan deret ∞ k=1 ak dengan ak ≥ 0 dan dihitung

Uji Rasio

L = lim

Uji Akar

k→∞

√ k

ak

diperoleh hasil pengujian sebagai berikut: P∞ 1 Jika L < 1 maka deret k=1 ak konvergen P∞ 2 Jika L > 1 atau L = ∞ maka deret k=1 ak divergen 3

L = 1 maka pengujian gagal (tidak dapat diambil kesimpulan)


Uji Rasio Uji Akar

Latihan Gunakan uji akar untuk mengetahui apakah deret 2 ∞ X 1 −k 1+ k k=1

konvergen. Bila konvergen, aproksimasikan jumlahnya.


Uji Rasio Uji Akar

Pemilihan uji merupakan masalah tersendiri yang juga membutuhkan pengalaman agar tepat memilih uji mana yang akan dipakai. Namun, dari beberapa contoh sebelumnya, uji rasio lebih cocok digunakan pada deret yang suku-sukunya memuat eksponen dan faktorial. Sedangkan uji akar lebih cocok untuk deret dengan suku-suku memaut pangkat k.


Uji Rasio Uji Akar

Latihan Gunakan uji rasio atau uji akar untuk mengetahui kekonvergenan deret dibawah ini, jika konvergen hitung nilainya. k P∞ k a. k=1 3k + 1 5 P∞ k + 100 b. k=1 k! P∞ k! c. k=1 2k

Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Uji Deret Positif. Ayundyah. Uji Integral. Uji Komparasi. Uji Rasio

Recommend Documents