Fungsi Gamma dan Fungsi Beta. Ayundyah. Ayundyah Kesumawati. Prodi Statistika FMIPA-UII. March 31, 2015

Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah

Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII

March 31, 2015

Fungsi Gamma Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah

Fungsi Gamma didefinisikan sebagai integral tak wajar berikut: Z ∞ Γ(α) := e −x x α−1 dx (1) 0

Integral ini konvergen bila α > 0. Dengan menerapkan integral parsial. diperoleh Z ∞ Γ(α + 1) : = e −x x α dx 0 Z ∞ −x α ∞ = −e x 0 + α e −x x α−1 dx 0

= αΓ(α) Jadi diperoleh rumus rekursif fungsi gamma sebagai berikut : Γ(α + 1) = αΓ(α)

(2)


Berdasarkan (1), bila α = 1 maka berlaku: Z ∞ ∞ Γ(1) = e −x dx = −e −x 0 = 1

(3)

0

Khususnya bila α bilangan bulat positif, maka dengan menggunakan formula rekursif (2) diperoleh Γ(α + 1) = αΓ(α) = α(α − 1)Γ(α) = α(α − 1)(α − 2)(α − 3)...Γ(1) = α! Dengan alasan ini fungsi gamma disebut juga fungsi faktorial atau pengumuman dari faktorial, yaitu Γ(α + 1) = α! bila α bulat positif

(4)


Pada definisi (1) fungsi Gamma Γ(α) hanya berlaku untuk α > 0. Sedangkan untuk α < 0, fungsi gamma didefinisikan menggunakan rumus rekursif (2) yaitu: Γ(α) =

Γ(α + 1) α

(5)

Dengan (5) maka diperoleh: Γ(1) Γ(0) = tidak terdefinisi karena membagi dengan nol 0 Γ(0) Γ(−1) = tidak terdefinisi karena Γ(0) tidak terdefinisi −1 Γ(−1) Γ(−2) = tidak terdefinisi karena Γ(−1) tidak −2 terdefinisi


Jadi fungsi Gamma tidak terdefinisi pada nol dan bilangan bulat negatif. Nilai fungsi gamma untuk α bulat positif sangat mudah dihitung dengan menggunakan bentuk faktorial, misalnya: Γ(5) = 4! = 24, Γ(6) = 5! = 120


Dilihat dari formulanya, kecuali pada bilangan bulat positif, nilai fungsi gamma tidak mudah diperoleh seperti pada fungsi biasa karena kita dituntut untuk menyelesaikan suatu integral. Beberapa program komputer untuk komputasi telah menyediakan fasilitas untuk menghitung nilai fungsi gamma. Berikut grafik dari fungsi gamma untuk α < 0:

Sifat Fungsi Gamma Fungsi Gamma dan Fungsi Beta

1 2

1

Khusus untuk α =

2

Untuk 0 < α < 1 berlaku:

Ayundyah

berlaku √ 1 = π Γ 2

π sin πx Sifat 1 diatas merupakan kasus khusus dari sifat 2 ini yaitu dengan α = 12 Formula Stirling untuk n bilangan positif yang besar maka digunakan aproksimasi berikut: n n √ n! ≈ 2πn e Rumus duplikat fungsi gamma: √ 1 22α−1 Γ(α) Γ(α + ) = πΓ(2α) 2 Γ(α) Γ(1 − α) =

3

4


Contoh 1. Hitunglah nilai dari Γ(5/2), Γ(−1/2), dan Γ(−5/2)

Penyelesaian Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah

dengan menggunakan rumus rekursif akan diperoleh 3 Γ(5/2) = Γ( + 1) 2 3 = Γ(3/2) 2 3 1 = Γ( + 1) 2 2 31 = Γ(1/2) 22 3√ = π 4


Berikutnya, karena α bernilai negatif maka digunakan relasi .... Diperhatikan α = −1/2 dan α + 1 = −1/2 + 1 = 1/2. Diperoleh √ √ 1 1 Γ(1/2) = Γ(−1/2 + 1) ⇔ π = Γ − = −2 π 2 2


Dengan cara yang sama kita dapat menyelesaikan soal berikutnya: 1 3 3 3 3 5 Γ − =Γ − +1 = − Γ − = − Γ − +1 2 2 2 2 2 2 √ 3 5 5 5 8 √ − Γ − ⇒Γ − = − π −2 π = − 2 2 2 2 15


Jika diperhatikan nilai fungsi gamma Γ(x) dapat disederhanakan jika fungsi tersebut direduksi menjadi Γ( 12 ), yaitu dengan menggunakan rumus rekursif. Tetapi jika tidak dapat direduksi menjadi Γ( 21 ) maka nilai Γ(x) harus dihitung dengan definisi fungsi Gamma. Latihan Hitunglah masing-masing bentuk fungsi gamma di bawah ini: Γ(3)Γ( 52 ) a. Γ( 10 2 ) 6Γ( 38 ) 5Γ( 32 ) Γ(6) c. 2Γ(3)

b.

Penggunaan Fungsi Gamma Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah

Fungsi gamma sering digunakan untuk menyelesaikan bentuk integral yang cukup rumit. Untuk menyelesaikan soal-soal integral dengan menggunakan fungsi gamma kita harus membandingkan kembali dengan definisi fungsi gamma. Dua hal yang ahrus diperhatikan adalah batas integrasinya dan integrannya. Integral-integral ini harus diolah sedemikian rupa sehingga menjadi bentuk definisi fungsi gamma. Contoh Hitunglah integral berikut dengan menggunakan definisi fungsi gamma Z ∞ x 4 e −x dx 0


Penyelesaian R∞ dengan melihat bentuk R0 x 4 e −x dx, kemudian bandingkan ∞ dengan definisi Γ(α) := 0 e −x x α−1 dx maka tidak ada yang perlu diubah lagi pada soal karena fungsi tersebut sudah berbentuk fungsi Gamma dengan α − 1 = 4 atau α = 5. Jadi Z ∞ x 4 e −x dx = Γ(5) = 4! = 24 0


Bila integral ini diselesaikan dengan cara biasa tanpa menggunakan fungsi gamma maka harus dilakukan integral parsial beberapa kali seperti berikut ini Z Z x 4 e −x dx = |{z} x 4 |{z} e −x dx u

v

4 −x

=− x e

= −x 4 e −x

Z

3 −x

− 4 x e dx Z + 4 |{z} x 3 |{z} e −x dx u

v

= ... Untuk menghabiskan pangkat dari x 4 harus dilakukan 4 kali integral parsial, suatu pekerjaan yang cukup melelahkan. Tapi dengan menggunakan fungsi gamma pekerjaan ini dapat dilakikan dengan sangat mudah.


Contoh Hitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsi gamma Z ∞ √ 3 3 xe −x dx 0

Penyelesaian R∞√ 3 Integral 0 3 xe −x dx belum berbentuk fungsi gamma dalam hal integrannya, namun batas integrasi sudah sama. Subtitusi variabel baru x 3 = y maka batas-batasnya tidak berubah dan diperoleh: 2 1 1 x = y 3 dan dx = y − 3 dy 3


Subtitusi hasil ini ke dalam integral pada soal dan diperoleh: Z ∞ Z ∞ √ 1 1 2 −x 3 3 xe dx = y 6 e −y y − 3 dy 3 0 0 Z ∞ 1 1 = y − 2 e −y dy 3 0 1 = Γ(1/2) 3√ π = 3


Latihan 1. hitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsi gamma Z 1 1 3 dx ln x 0 2. hitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsi gamma Z 1 x 3 (lnx)2 dx 0

3. Diketahui variabel random X berdistribusi gamma dengan fungsi kepadatan peluang dari X adalah PX (x) =

x α−1 e −x/β , α, β, x > 0 β α Γ(α)

Hitunglah ekspektasi E (x) dan variansi var (x)

Fungsi Beta Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah

Fungsi beta adalah fungsi Gamma dengan komposisi dua parameter yang didefinisikan sebagai: Z 1 B(m, n) := x m−1 (1 − x)n−1 dx

(6)

0

integral ini hanya konvergen bila m, n > 0. Tidak ada definisi fungsi beta untuk m, n < 0 Bentuk trigonometri dari fungsi beta adalah: Z B(m, n) = 2

π 2

sin2m−1 θcos 2n−1 θdx

(7)

0

Karena fungsi beta merupakan fungsi dua variabel maka dalam pengerjaannya lebih sedikit sulit daripada fungsi gamma.

Hubungan Fungsi Gamma dan FUngsi Beta Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah

Fungsi beta dapat dinyatakan melalui fungsi gamma dengan cara berikut ini: Dengan memisalkan z 2 = x 2 , maka kita memperoleh Z ∞ Z ∞ 2 u−1 −z z e dx = 2 Γ(u) = x 2u−1 e −x dx (8) 0

0

Dengan cara yang sama, ∞

Z Γ(v ) = 2

2

y 2v −1 e −y dx

(9)

0

Maka Z

∞

x

Γ(u)Γ(v ) = 4 Z

0 ∞Z ∞

=4 0

2u−1 −x 2

0

e

Z dx

∞

y

2v −1 −y 2

e

0 2

2

x 2u−1 e −x y 2v −1 e −y dx dy

dy


Dengan mentransformasikannya ke koordinat polar,x = ρ cos φ, maka y = ρ sin φ. Sehingga Z π Z ∞ 2 2 ρ2(u+v )−1 e −ρ cos2u−1 φ sin(2v − 1) φ dρ d Γ(u)Γ(v ) = 4 φ=0

Z

∞

ρ=0 2(u+v )−1 −ρ2

ρ

=4

e

Z dρ

ρ=0

π 2

cos(2u − 1)φ sin(2v

φ=0

Z

π/2

= 2Γ(u + v )

cos 2u−1 φsin2v −1 φdφ

0

= Γ(u + v )B(u, v ) Jadi diperoleh hubungan fungsi gamma dan fungsi beta adalah B(m, n) =

Γ(m)Γ(n) Γ(m + n)

(10)


Sifat lain dari fungsi gamma yang diturunkan dari fungsi beta adalah: Z ∞ p−1 x π dx = Γ(p)Γ(1 − p) = ,0 < p < 1 (11) 1+x sinpπ 0 Contoh Hitunglah nilai fungsi beta berikut B(5, 2), B(1/2, 3), B(1/3, 2/3)

Penggunaan Fungsi Beta Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Ayundyah

Sama seperti pada fungsi gamma, fungsi beta juga banyak digunakan untuk menyelesaikan bentuk integral yang cukup rumit. Contoh Hitunglah integral berikut dengan menggunakan fungsi beta Z 1 x 2 (1 − x)5 dx 0


Penyelesaian Integral ini sudah berupa fungsi beta. Jadi cukup ditentukan nilai m dan n yang bersesuaian lalu bandingkan dengan Z 1 B(m, n) := x m−1 (1 − x)n−1 dx 0

maka m = 3 dan n = 6 sehingga Z 1 Γ(3)Γ(6) 1 x 2 (1 − x)5 dx = B(3, 6) = = Γ(9) 168 0


Latihan 1. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgi beta Z 3 p x 4 9 − x 2 dx 0

2. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgi beta Z π/2 sin3 θcos 4 θ dθ 0

3. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgi beta Z π sin5 θdθ 0


4. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgi beta Z 3 dx p (x − 1)(3 − x) 1 5. Hitunglah integral berikut dengan menggunakan funsgi beta Z π/2 √ tan θ dθ 0


Semangatlah dalam hal yang bermanfaat untukmu, minta tolonglah pada Allah, dan jangan malas (patah semangat). (HR. Muslim no. 2664).

Fungsi Gamma dan Fungsi Beta. Ayundyah. Ayundyah Kesumawati. Prodi Statistika FMIPA-UII. March 31, 2015

Recommend Documents