Vektor pada Bidang: Pendekatan Geometrik
Geometri pada Bidang, Vektor
[email protected] Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah
September 9, 2011
[email protected]
Geometri pada Bidang, Vektor
Vektor pada Bidang: Pendekatan Geometrik
Pengertian Operasi-operasi pada vektor Latihan
Secara geometrik, vektor pada bidang dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah (anak panah). Panjang dari anak panah merepresentasikan besaran (magnitude) dari vektor. Arah dari anak panah merepresentasikan arah (direction) dari vektor tersebut. Perhatikan gambar berikut:
Gambar: Vektor direpresentasikan sebagai garis berarah
[email protected]
Geometri pada Bidang, Vektor
Vektor pada Bidang: Pendekatan Geometrik
Pengertian Operasi-operasi pada vektor Latihan
Sebuah vektor mempunyai dua ujung yaitu yang disebut ekor (tail) dan yang disebut kepala (head). Dua buah vektor dikatakan ekuivalen (equivalent) jika kedua vektor tersebut mempunyai besaran dan arah yang sama. Vektor-vektor akan dilambangkan dengan huruf tebal seperti u dan v. Dalam penulisan dengan tangan (karena susah membedakan antara yang tebal dan tidak) dapat diganti − − dengan lambang → u dan → v. Besaran dari suatu vektur u dilambangkan dengan |u|.
ekor
kepala
Gambar: Vektor direpresentasikan sebagai anak panah
[email protected]
Geometri pada Bidang, Vektor
Vektor pada Bidang: Pendekatan Geometrik
Pengertian Operasi-operasi pada vektor Latihan
Untuk menentukan jumlah (sum), atau resultan (resultant), dari vektor-vektor u dan v, gerakkan v tanpa mengubah besaran atau arahnya sampai ekor v tersebut berhimpit dengan kepala u. Maka u + v adalah suatu vektor yang menghubungkan ekor u ke kepala v. Cara ini disebut Hukum Segitiga (Triangle Law). Cara lainnya disebut sebagai Hukum Jajaran Genjang (Paralellelogram Law) yaitu dengan cara menggerakkan v sedemikian rupa sehingga ekornya berimpit dengan u. Maka u + v adalah suatu vektor dengan ekor yang sama dan berhimpit dengan garis diagonal dari suatu jajaran genjang yang mempunyai u dan v sebagai sisi-sisinya.
[email protected]
Geometri pada Bidang, Vektor
Vektor pada Bidang: Pendekatan Geometrik
Pengertian Operasi-operasi pada vektor Latihan
Gambar: Penjumlahan dua buah vektor u dan v. Kiri: Hukum Segitiga; Kanan: Hukum Jajaran Genjang.
[email protected]
Geometri pada Bidang, Vektor
Vektor pada Bidang: Pendekatan Geometrik
Pengertian Operasi-operasi pada vektor Latihan
Hukum segitiga dan hukum jajaran genjang keduanya adalah metode yang ekuivalen untuk menjumlahkan dua buah vektor. Penjumlahan vektor mempunyai sifat asosiatif dan komutatif (u + v) + w = u + (v + w) u+v = v+u Jika u adalah sebuah vektor maka 2u adalah vektor dengan arah yang sama dengan vektor u tetapi dua kali lebih panjang. Vektor −2u berarti dua kali lebih panjang tetapi dengan arah yang berlawanan. Secara umum cu disebut kelipatan skalar dari u (scalar multiple of u). Secara khusus, (−1)u = −u disebut negatif dari u.
[email protected]
Geometri pada Bidang, Vektor
Vektor pada Bidang: Pendekatan Geometrik
Pengertian Operasi-operasi pada vektor Latihan
Vektor nol (zero vector) dan dinotasikan dengan 0 merupakan satu-satunya vektor yang tidak mempunyai arah. Vektor nol merupakan vektor identitas penjumlahan yaitu u + 0 = 0 + u = u. Kecepatan (velocity) mempunyai arah dan juga besaran sehingga merupakan sebuah vektor. Besaran dari sebuah vektor kecepatan disebut laju (speed).
[email protected]
Geometri pada Bidang, Vektor
Vektor pada Bidang: Pendekatan Geometrik
Pengertian Operasi-operasi pada vektor Latihan
Contoh 3 Sebuah beban seberat 200 Newton digantung pada dua utas tali (perhatikan gambar berikut ini). Tentukan besaran dari tegangan setiap tali.
[email protected]
Geometri pada Bidang, Vektor
Vektor pada Bidang: Pendekatan Geometrik
Pengertian Operasi-operasi pada vektor Latihan
Penyelesaian Contoh 3 Misalkan beban w dan kedua tegangan u dan v adalah gaya-gaya yang bersifat sebagai vektor. Perhatikan gambar berikut.
[email protected]
Geometri pada Bidang, Vektor
Vektor pada Bidang: Pendekatan Geometrik
Pengertian Operasi-operasi pada vektor Latihan
Penyelesaian Contoh 3 (lanjutan) Setiap vektor dapat dinyatakan sebagai jumlah dari sebuah komponen horizontal ditambah sebuah komponen vertikal. Untuk mencapai kesetimbangan maka besaran gaya ke kiri harus sama dengan besaran gaya ke kanan dan besaran gaya ke atas harus sama dengan besaran gaya ke bawah. Jadi harus dipenuhi |u| cos 33◦ = |v| cos 50◦ ◦
◦
|u| cos 33 + |v| sin 50
[email protected]
= |w| = 200
Geometri pada Bidang, Vektor
(1) (2)
Vektor pada Bidang: Pendekatan Geometrik
Pengertian Operasi-operasi pada vektor Latihan
Penyelesaian Contoh 3 (lanjutan) |u| cos 33◦ dan dengan cos 50◦ mensubstitusikan ke persamaan ke (2) diperoleh
Dari (1) diperoleh |v| =
|u| cos 33◦ +
|u| cos 33◦ sin 50◦ = |w| = 200 cos 50◦
atau |u| =
sin 33◦
200 ≈ 129, 52newton. + cos 33◦ tan 50◦
Juga diperoleh |v| =
|u| cos 33◦ 129, 52 cos 33◦ ≈ ≈ 168, 99newton. cos 50◦ cos 50◦
[email protected]
Geometri pada Bidang, Vektor
Vektor pada Bidang: Pendekatan Geometrik
Pengertian Operasi-operasi pada vektor Latihan
Latihan
[email protected]
Geometri pada Bidang, Vektor
Vektor pada Bidang: Pendekatan Geometrik
[email protected]
Pengertian Operasi-operasi pada vektor Latihan
Geometri pada Bidang, Vektor
