FYZIKA II
Petr Praus 9. Přednáška – Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy
Osnova přednášky • • • • •
Energie magnetického pole v cívce Vzájemná indukčnost Kvazistacionární obvody, Obvod se soustředěnými parametry Přechodové jevy v sériovém v LC a RLC obvodu • Přetlumený, kriticky tlumený a slabě tlumený obvod, vlastní kmity • Vynucené kmity v sériovém RLC obvodu
Energie magnetického pole Pokud překonáváme např. přitažlivé síly mezi vodiči, hromadíme tím energii v magnetickém poli, stejně jako se hromadila elektrická potenciální energie při odtahování nábojů s opačné polarity. Obvodová rovnice reálné indukčnosti (2. K.Z.):
Po vynásobení proudem Výkon zdroje emn
Celková magnetická energie cívky: Analogie s elektrickým polem v kondenzátoru:
Nedisipovaná energie nahromaděná v magnetickém poli cívky
Disipace energie v rezistoru
Hustota energie magnetického pole V solenoidu protékaném proudem I vymezíme v oblasti homogenního magnetického pole objem V=S.l. Pak energie rovnoměrně uložená v objemu V má hustotu:
Hustota energie vyjádřená pomocí magnetické indukce: Rovnice udává hustotu energie pro všechna magnetická pole (jakkoliv vytvořená a nejen v ose solenoidu) všude, kde je magnetické pole B Analogie s hustotou energie elektrického pole Hustota energie je tedy vždy úměrná druhé mocnině magnetické indukce, nebo elektrické intenzity popisující pole
Vzájemná indukčnost Vzájemné působení cívek podle Faradayova zákona o elektromagnetické indukci. Projeví se, pokud je v blízkosti cívky protékané proudem je umístěna druhá cívka tak, že vznikající magnetický tok v první cívce prochází současně i druhou. Magnetický tok procházející druhou cívkou je přímo úměrný proudu v první cívce: Pak můžeme psát:
Dvě kruhové, hustě vinuté cívky umístěné blízko sebe:
emn 2 Po záměně situace:
a platí
Vzájemná indukčnost
Kvazistacionární elektrický obvod
Kvazistacionární elektrický obvod
Obvod se soustředěnými parametry
Obvod se soustředěnými parametry
LC obvod RC a LC obvod se vyznačuje exponenciálním průběhem přechodového děje. Sériový LC obvod vykonává při přechodovém ději elektromagnetické kmity (osciluje) - napětí a proud se mění v čase harmonicky s dobou kmitu T a úhlovou frekvencí ω
Děj se opakuje s frekvencí
LC obvod Energie uložená v elektrickém poli kondenzátoru v okamžiku t:
Energie uložená v magnetickém poli cívky v okamžiku t:
Na malém odporu, jehož vliv na obvod je nevýznamný je průběh napětí:
LC obvod
Mechanická analogie LC oscilátoru V mechanické kmitající soustavě se vyskytují 2 druhy energie : potenciální energie stlačené pružiny a kinetická pohybujícího se tělesa. Jsou analogií magnetické a elektrické energie v LC obvodu.
k tuhost pružiny, m hnotnost i proud, q náboj
Thomsonův vztah
Mechanická analogie LC oscilátoru
Zanedbáme tření
Diferenciální rovnice popisující kmity LC obvodu beze ztrát
Energie v LC oscilátoru Energie elektrického poli LC obvodu
Energie magnetického pole LC obvodu přičemž dosadíme
Tlumené kmity RLC obvodu Pokud je do LC obvodu sériově vložen rezistor, pak jeho celková elektromagnetická energie již nezůstává konstantní, ale postupně v čase klesá její disipací na rezistoru při průchodu proudu v jednotlivých amplitudách kmitů obvodu. Kmity jsou tedy tlumené.
Celková energie elektromagnetického pole LC obvodu Rychlost disipace celkové energie Derivací celkové energie
Diferenciální rovnice popisující tlumené kmity RLC obvodu
Tlumené kmity RLC obvodu Řešení rovnice popisující kmity v RLC obvodu: (vyjadřuje změnu náboje Q kondenzátoru v čase)
a
Celková elektromagnetická energie jako funkce času: (sledujeme energii elektrického pole v kondenzátoru)
Tlumené kmity RLC obvodu
Periodické tlumené kmity
Kritické tlumení Mezní aperiodický stav
Přetlumený obvod Aperiodický stav
Střídavé proudy Pokud dodáme do oscilujícího RLC obvodu energii vnějším zdrojem emn, která pokryje tepelné ztráty v rezistoru, pak kmity nebudou tlumené. Energie v rozvodné síti se dodává ve formě střídavého emn, resp. proudu. Emn kmitá harmonicky s frekvencí 50 nebo 60 Hz. Použití střídavého proudu je výhodné, protože se změnou proudů se mění i magnetické pole. Může tak být využito Faradayova zákona elektromagnetické indukce ke změně napětí a proudu pomocí transformátorů a je též výhodou pro použití v rotačních elektrických strojích (alternátory a motory) Pokud se točí smyčka v magnetickém poli o indukci B, indukuje se emn s harmonickým průběhem:
Emn budí harmonický proud se stejnou ωb tzv. budicí úhlová frekvence
Nucené kmity RLC obvodu Náboj napětí a proud oscilují v netlumeném, nebo slabě tlumeném RLC obvodu s frekvencí
Obvod kmitá vlastními kmity s vlastní úhlovou frekvencí Po připojení vnějšího oscilujícího zdroje emn s frekvencí ω b obvod vykonává nucené (buzené) kmity.
Výsledná amplituda je silně závislá na rozdílu frekvencí ωb a ω. Čím menší je tento rozdíl, tím více roste amplituda a pokud jsou si rovny nastává rezonance Podrobnější rozbor pro 3 obvody s různým typem zátěže
Fázorový diagram
Nucené kmity odporová zátěž Ke generátoru harmonického emn je připojen rezistor
Pro obvod s čistě rezistivní zátěží platí:
Nucené kmity kapacitní zátěž Ke generátoru harmonického emn je připojen kondenzátor
Pro obvod s čistě kapacitní zátěží platí: Derivováním dostaneme průběh proudu
Zavedeme: 1. pojem kapacitní reaktance kondenzátoru
Její hodnota závisí na kapacitě a budicí úhlové frekvenci. Jednotkou je ohm, stejně jako u odporu. 2. potom a současně Pro proud a napětí v obecném obvodu s kapacitou platí:
Nucené kmity induktivní zátěž Ke generátoru harmonického emn je připojena ideální indukčnost
Pro obvod s čistě induktivní zátěží platí:
Zavedeme: 1. pojem induktivní reaktanci cívky Její hodnota závisí na indukčnosti a budicí úhlové frekvenci. Jednotkou je ohm, stejně jako u odporu a kapacity. 2. potom a současně Pro čistě induktivní zátěž je Pro proud a napětí v obecném obvodu s cívkou platí:
Vztahy amplitudy a fáze pro střídavé proudy a napětí Přehledné shrnutí
Sériový RLC obvod Na sériový RLC obvod připojíme zdroj harmonického emn Všemi prvky protéká stejný proud Hledáme amplitudu proudu a jeho fázový posuv vůči napětí S pomocí fázorových diagramů
Sériový RLC obvod - impedance
Přechodný proud: vzniká při zapnutí a vypnutí obvodu a je určen časovými konstantami
