Tlumené a vynucené kmity Katedra fyziky FEL ČVUT
Evropský sociální fond Praha & ЕU: Investujeme do vaší budoucnosti
Problémová úloha 1: Laplaceova transformace
Pomocí Laplaceovy transformace vlastností transformace, zformulujte závěry.
najdětě obrazy následujících funkcí a rovnic bez použití tabulek obraz ů a
Parametry A, a, b, ω, μ , Ω nezávisí na čase, apostrofem je značena derivace podle času. Funkce
=
f(t)= 1 f(t)= 1
g(t)=A f(t)
označ uje jednotkový skok v bodě c:
g(t)=f' (t) ; f(0)=a g(t)=f'' (t)=h' (t);f' (t)=h (t) ; f(0)=a; f'(0)=b ; f(0)=a; f'(0)=0 g(t)=
; f(0)=0; f'(0)=b
g(t)=
; f(0)=a; f'(0)=b
g(t)=
; f(0)=a; f'(0)=0
g(t)=
; f(0)=0; f'(0)=b
g(t)=
; f(0)=a; f'(0)=b
Problémová úloha 2: Harmonický oscilátor Pomocí Laplaceovy transformace najděte obecné ř ešení diferenciální rovnice popisující harmonický oscilátor
Pomocí obecného ř ešení najděte konkrétní ř ešení pro následující počáteční podmínky:
Zformulujte závěry.
Problémová úloha 3: Tlumený lineární oscilátor Pomocí Laplaceovy transformace najděte obecné ř ešení diferenciální rovnice popisující tlumený lineární oscilátor
Zobrazte grafy pro různé hodnoty a, b, μ, ω
Problémová úloha 4: Vynucené kmity Pomocí Laplaceovy transformace najděte obraz diferenciální rovnice popisující sinusodiálně buzený tlumený lineární oscilátor
Seznamte se s obecným ř ešením a sestrojte reznanční k řivku pro amplitudu vynuceného kmitání
Harmonický oscilátor - kontola Tranformujeme nejprve levou stranu rovnice
Dosadíme do rovnice za obraz
proměnnou Y a počáteční podmínky, vzniklou rovnici vyřešíme pro Y
Zpětnou transformací nalezneme řešení diferenciální rovnice v obecném tvaru: Všimněte si, že čitatel výrazu odráží počáteční podmínky a jmenovatel odráží diferencíální rovnici. (Ve jmneovateli je charakteristická rovnice.)
Harmonický oscilátor - kontola Správnost Vašeho dosazení počátečních podmínek zkontrolujte porovnáním s analytickým řešením diferenciálních rovnic:
Tlumený lineární oscilátor - kontola Tranformujeme nejprve levou stranu rovnice
Dosadíme do rovnice za obraz
proměnnou Y a počáteční podmínky, vzniklou rovnici vyřešíme pro Y
Povšimněte si, že i zde je ve jmenovateli charakteristická rovnice a tvar čitatele je nastavován počátečními podmínkami.
Tlumený lineární oscilátor - kontola
Pokud je μ>ω, můžeme jmenovatel zapsat ve tvaru obecném tvaru:
a zpětnou transformací nalezneme řešení diferenciální rovnice v
Pokud je μ<ω, můžeme jmenovatel zapsat ve tvaru obecném tvaru:
a zpětnou transformací nalezneme řešení diferenciální rovnice v
Pokud je μ=ω, můžeme pro kritické tlumení jmenovatel zapsat ve tvaru rovnice v obecném tvaru:
a zpětnou transformací nalezneme řešení diferenciální
Tlumený lineární oscilátor - kontrola Výsledky porovnáme s analytickým řešením
Povšimněte si, že toto řešení nepředpokládá rovnost μ = ω. Zapíšeme rovnici pro kritické tlumení
Pro podkritické tlumení budeme předpokládat, že μ = 2, ω = 3
Pro nadkritické tlumení budeme předpokládat, že μ = 4, ω = 3
Tlumený lineární oscilátor - grafické vyjád ření Pro vykreslení grafu můžeme použít vyjádření v podobě harmonických funkcí vynásobených exponencielou
Tlumený lineární oscilátor - grafické vyjád ření Zápis pomocí komplexnich exponenciel umožní lépe pochopit, proč se při kritickém tlumení systém nejrychleji přiblíží k nule bez překmitu.
Vynucené kmity - kontrola Tranformujeme nejprve levou stranu rovnice
Tranformujeme pravou stranu rovnice A sin(Ω t)
Dosadíme do rovnice za obraz
proměnnou Y a počáteční podmínky, vzniklou rovnici vyřešíme pro Y
Zpětnou transformací tohoto výrazu bychom dostali komplexní výraz, který by podobně jako v případě tlumeného lineárního oscilátoru bylo obtížné interpretovat.
Vynucené kmity - kontrola Pro jednoduchost zvolíme nulové počáteční podmínky.
Tento výsledek je možné zapsat ve tvaru součtu dvou zlomků na Ω, μ a ω.
Originál zlomku odpovídá lineární kombinaci výrazu odpovídá řešení tlumeného harmonického oscilátoru.
+
, kde K, L, M a N jsou konstanty závislé
, originál zlomku
Zjednodušme situaci předpokladem μ =
a najděme originál:
Všimněte si, že přechodový děj, popsaný členem obecně vzniká i při nenulových počátečních podmínkách. Stejná dvě řešení, přechodový děj a vynucené kmity s frekvencí buzení se nám objeví i při nenulových počátečních podmínkách.
Vynucené kmity - analytické řešení Řešme obecně rovnici vynucených kmitů :
Poslední dva členy popisují přechodový děj. Všimněte si, že ustálené kmity nejsou ovlivněny počátečními podmínkami vyjádřenými integračními konstantami
a
.
Ustálené kmity popisuje výraz
Zjednodušme nejprve jmenovatel výrazu:
Poté najdeme amplitudu výsledných kmitů:
Nakonec najdeme maximum amplitudy z podmínky
Vynucené kmity - rezonance amplitudy
Created with Wolfram Mathematica 8.0
