F3100 - Kmity, vlny, optika ˇ r´ık Typed by Petr Safaˇ 8. ledna 2007
Obsah 1 Osnova
5
2 Souhrn pˇ redeˇ sl´ e fyziky
5
I
7
Kmity
3 Harmonick´ e kmity 3.1 Definice aneb dva pohledy . . . . . . ˇ sen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Reˇ 3.3 Mechanick´a energie . . . . . . . . . . 3.4 Pˇr´ıklady harmonick´ ych oscil´ator˚ u . . 3.4.1 Pruˇziny . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Kyvadlo . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Elektrick´e kmity v elektrick´em 4 Tlumen´ e harmonick´ e kmity 4.1 Definice . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Pˇr´ıklad . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Diskuse v´ ysledk˚ u: γ 2 > ω02 4.2.2 Diskuse v´ ysledk˚ u: γ 2 = ω02 4.2.3 Diskuse v´ ysledk˚ u: γ 2 < ω02 4.3 Porovn´an´ı jednotliv´ ych tlumen´ ych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LC obvodu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . oscil´ator˚ u
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
7 . 7 . 7 . 8 . 9 . 9 . 11 . 12
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
14 14 14 15 16 16 18
5 Vynucen´ e kmity 19 5.1 Definice a n´astin ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.2 Fourierova ˇrada, transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1
OBSAH
2
6 Superpozice kmit˚ u 6.1 Skl´ad´an´ı kmit˚ u stejn´e frekvence (izochronn´ı) 6.1.1 Diskuse: ∆ϕ = 0◦ ⇒ cos ∆ϕ = 1 . . . 6.1.2 Diskuse: ∆ϕ = 180◦ ⇒ cos ∆ϕ = −1 6.2 Skl´ad´an´ı kmit˚ u bl´ızk´e frekvence . . . . . . . 6.2.1 Graf sin (ωt) . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Graf cos (ωR t) . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Graf sin (ωt) cos (ωR t) . . . . . . . . 6.3 Skl´ad´an´ı kmit˚ u ve dvou dimenz´ıch . . . . . . 7 Anharmonick´ e oscil´ atory 7.1 Definice . . . . . . . . 7.2 Z´avislosti . . . . . . . 7.2.1 Prvn´ı moˇznost . 7.2.2 Druh´a moˇznost
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
8 V´ azan´ e kmity 8.1 Zad´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Pˇrevod norm´aln´ı souˇradnice ⇔ q1 , q2 8.4 V´ ysledn´e rovnice v´azan´ ych kmit˚ u . . 8.5 Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky . . . . . . . . . 8.6 Z´avˇer . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
23 23 24 24 24 25 26 26 27
. . . .
28 28 28 29 29
. . . . . .
31 31 31 32 33 33 34
9 Kmitov´ e m´ ody
36
10 Kmity soustav s mnoha stupni volnosti
37
11 Kmity syst´ emu se spojitˇ e rozloˇ zenou hmotou 39 11.1 Pˇrechod od diskr´etn´ıho do spojit´eho rozloˇzen´ı hmoty . . . . . 39 11.2 Vlnov´a rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 12 Kmity ve 2 dim, membr´ any a desky
42
II
43
Vlnˇ en´ı
13 Definice vlny a vlnoplochy, vlnoplochy v 13.1 Vznik postupn´e vlny . . . . . . . . . . . ˇıˇren´ı vlny v prostoru . . . . . . . . . . . 13.2 S´ 13.3 Vlnoplocha . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Rovinn´a vlnoplocha v prostoru . . . . . .
prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
43 43 43 43 44
OBSAH
3
13.5 Kulov´a vlnoplocha v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 14 Huygens˚ uv princip 48 14.1 Huygens˚ uv princip: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 14.2 Chybka? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 14.3 Trochu o Huygensovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 15 Vlnov´ a rovnice podruh´ e
50
16 Polarizace vlny 51 16.1 Pˇr´ıklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 17 Interference vln 17.1 Interference na dvojˇstˇerbinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Dr´ahov´ y posuv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Interference v opaˇcn´em smˇeru . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 52 52 52
18 Doppler˚ uv jev 18.1 Historie, popis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Pˇrijde-li na ˇradu matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 A co teprve, pozastav´ıme-li se nad relativitou . . . . . . . . .
54 54 55 56
ˇ ıˇ 19 S´ ren´ı neharmonick´ ych vln, disperze 19.1 Disperze . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Grupov´a rychlost . . . . . . . . . . . . 19.3 F´azov´a rychlost . . . . . . . . . . . . . 19.4 vg + v aneb Vlny vˇsech zem´ı, spojte se! 19.5 Nedisperzn´ı prostˇred´ı . . . . . . . . . .
58 58 58 58 59 59
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
20 Dotˇ retice vˇ seho dobr´ eho, aneb vlnov´ a rovnice 60 20.1 Pˇr´ıklad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 20.2 D˚ ukaz ekvivalece jednotliv´ ych rovnic . . . . . . . . . . . . . . 61 21 Neline´ arn´ı vlny, zvuk 21.1 Neline´arn´ı vlny . . . . . 21.2 Zvuk . . . . . . . . . . . 21.2.1 Obecnˇe o zvuku . 21.2.2 Zvuk ve vzduchu 21.3 Hudebn´ı zvuky – t´ony .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
62 62 62 62 63 64
OBSAH 22 Svˇ etlo jako elektromagnetick´ e z´ aˇ ren´ı
4 66
Vytvoˇreno jako neofici´aln´ı pomocn´ y uˇcebn´ı text k pˇredmˇetu F3100 Kmity, vlny, optika, kter´e pˇredn´aˇsel doc. RNDr. Zdenˇek Bochn´ıˇcek, Dr..
1 OSNOVA
1
5
Osnova 1. Kmity – harmonick´e, tlumen´e, nucen´e, neharmonick´e kmity, superpozice 2. Vlny –postupn´a a stojat´a vlna na pˇr´ımce a v prostoru, superpozice, disperze, nelinearita, zvuk, vlny na vodˇe 3. Z´akladn´ı pˇredstavy o svˇetle 4. Geometrick´a optika 5. Vlnov´a optika 6. (Fotometrie)
2
Souhrn pˇ redeˇ sl´ e fyziky • II. Newton˚ uv z´akon
d~v F~ = m · ~a = m dt ⇒ ~r(t) + poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky ~r(t = 0) = r~0
d~r dt t=0 • Z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie Ec = Ek + Ep = konst. Ep =
Z
B
F~ d~r
A
A . . . referenˇcn´ı bod • Matematiku ˇ sen´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice 2. ˇr´adu s konstantn´ımi koeficienty Reˇ A¨ x + B x˙ + Cx = 0 dx d2 x kde A, B, C ∈ R; x˙ = ; x¨ = 2 dt dt 2 Aλ + Bλ + C = 0
ˇ ˇ E ´ FYZIKY 2 SOUHRN PREDE SL
6 √
B 2 − 4AC 2A Pro D > 0 pot´e: x = P1 er1 ·t + P2 er2 ·t λ1,2 =
−B ±
B
B
B
Pro D = 0 pot´e: x = P1 e− 2A ·t + P2 te− 2A ·t = e− 2A ·t (P1 + t · P2 )
Pro D < 0 pot´e: x = P1 e B − 2A t
⇒x=e
P1 e
|D| 2A
t
+ P2 e
√
· P1 e
|D| t 2A
√ −i
+ P2 e
√ B − 2A −i
|D| t 2A
Pˇriˇcemˇz √
√
√ B − 2A +i
|D| t 2A
−i
+ P2 e
B
|D| t 2A
= P3 sin (ωt + ϕ)
x = P3 e− 2A t · sin (ωt + ϕ)
|D| 2A
t
7
ˇ ast I C´
Kmity 3
Harmonick´ e kmity
3.1
Definice aneb dva pohledy
Co jsou to harmonick´e kmity? Jsou dva pohledy: 1. Kinematicky x(t) = A sin (ω0 t + ϕ) 2. Dynamicky F~ = −k~r pro k > 0 . . . n dimenzion´aln´ı F = −k · r . . . 1 dimenzion´aln´ı kde x(t) a ~r je v´ ychylka
3.2
ˇ sen´ı Reˇ
Podle 2.Newtonova z´akona plat´ı F~ = m · ~a Dosad´ıme-li za F~ = −k~r a uvˇedom´ıme-li si, ˇze a = −kx = m
dx2 dt2
pot´e dostaneme:
dx2 dt2
neboli:
dx2 + kx = 0 dt2 k Pokud provedeme substituci, ˇze m = ω 2 z´ısk´ame: m
dx2 + ω2x = 0 dt2 ˇ sen´ı t´eto diferenci´aln´ı rovnice odpov´ıdaj´ı dvˇe funkce: Reˇ • Goniometrick´e ˇreˇsen´ı: x(t) = A sin (ω0 t + ϕ)
´ KMITY 3 HARMONICKE
8
• Exponenci´aln´ı ˇreˇsen´ı x(t) = A · ei(ω0 t+ϕ) kde ω0 =
q
k m
Ostatn´ı dvˇe konstanty (A, ϕ) jsou urˇceny poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami. N´am vyhovovaly n´asleduj´ıc´ı hodnoty (aby se shodovaly s uk´azan´ ym experimentem). A . . . amplituda se urˇc´ı jako x (t=0) ϕ . . . poˇc´ateˇcn´ı f´aze se urˇc´ı jako v = dx dt t=0
dx = ω0 A cos (ω0 t + ϕ) dt kde ω0 A je amplituda rychlosti v(t) =
d2 x = −ω02 A sin (ω0 t + ϕ) dt2 kde ω02 A je amplituda zrychlen´ı a(t) =
3.3
Mechanick´ a energie (t)
E(t) = Ek + Ep(t) 1 1 (t) Ek = mv 2 = mω02 A2 cos2 (ω0 t + ϕ) 2 2 Z x Z x 1 kx0 dx = kx2(t) Ep(t) = − F(t) dx0 = 2 0 0 2 2 2 x(t) = A sin (ω0 t + ϕ)
E(t)
1 Ep(t) = k · A2 sin2 (ω0 t + ϕ) 2 1 1 = mω02 A2 cos2 (ω0 t + ϕ) + k · A2 sin2 (ω0 t + ϕ) 2 2 s
E(t)
2
1 1 k 2 = m A cos2 (ω0 t + ϕ) + k · A2 sin2 (ω0 t + ϕ) 2 m 2 h i 1 E(t) = kA2 cos2 (ω0 t + ϕ) + sin2 (ω0 t + ϕ) 2 h
i
cos2 (ω0 t + ϕ) + sin2 (ω0 t + ϕ) = 1 1 E(t) = kA2 2
´ KMITY 3 HARMONICKE
3.4 3.4.1
9
Pˇ r´ıklady harmonick´ ych oscil´ ator˚ u Pruˇ ziny
Tuhost pruˇ ziny k Fp = −kx k=
Gd4 8D3 n
G . . . modul pruˇznosti v torzi d . . . pr˚ umˇer dr´atu D . . . pr˚ umˇer vinut´ı n . . . poˇcet z´avit˚ u
Progresivn´ı pruˇ ziny V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech je tˇreba, aby pruˇzina nemˇela k line´arnˇe z´avist´e na v´ ychylce x, ale aby z´avislost byla strmˇejˇs´ı (napˇr. na motorce, kdy je tˇreba, aby pruˇzina pruˇzila jak s n´ızkou z´atˇeˇz´ı (jeden ˇclovˇek - ˇridiˇc), tak i s dvojn´asobnou z´atˇeˇz´ı(ˇridiˇc a spolujezdec) stejnˇe kvalitnˇe, aby nebyla moc tvrd´a pro jednoho, pˇriˇcemˇz by byla dostateˇcn´a pro dva, nebo naopak dostateˇcn´a pro jednoho, ale pˇr´ıliˇs mˇekk´a pro dva pasaˇz´ery). Zde se pouˇz´ıv´a tzv. progresivn´ıch pruˇzin, kde je z´avislost strmˇejˇs´ı. Dos´ahne se t´ım neline´arn´ım vinut´ım dr´at˚ u.
|F| Progresivní pružina
Klasická pružina
X
´ KMITY 3 HARMONICKE
10
Pˇ r´ıklad
F~g = (−mg; 0; 0) F~pstaticka = F~s = (k∆l; 0; 0) mg ⇒k= ∆l
m · ~a =
X
F~
m · ~a = F~g + F~s + F~d F~g + F~s = 0 ⇒ m · ~a = F~d m · ~a = −kx k k x¨ + · x = 0... = ω2 m m Pˇriˇcemˇz si mus´ıme uvˇedomit: r2 + ω 2 = 0 ⇒ r = iω Pak jistˇe snadno pˇrijdeme na v´ ysledky: x = A sin (ωt + ϕ) x˙ = Aω cos (ωt + ϕ)
´ KMITY 3 HARMONICKE
11
x¨ = −Aω 2 sin (ωt + ϕ)
k Ovˇeˇr´ıme jednoduˇse dosazen´ım do x¨ + m · x = 0: 2 2 −Aω sin (ωt + ϕ) + ω · A sin (ωt + ϕ) = 0 0=0
3.4.2
Kyvadlo
Aproximace Snadno lze odvodit, ˇze s´ıla neodpov´ıd´a u ´hlu, ale jeho sinusu, neboli: F ∼ | ϕ ale F ∼ sin ϕ ⇓ s
T = 2π
l g
a r
ω0 =
g h
Pˇ r´ıklad
Nat´aˇcen´ı tˇelesa s tˇeˇziˇstˇem T kolem osy o vzd´alen´e o l do u ´hlu ϕ II. Newton˚ uv z´akon pˇrejde v II. Impulsovou vˇetu
´ KMITY 3 HARMONICKE
12
~ = J · ~ε F~ = m · ~a ⇒ M ~ . . . S´ıla → Moment s´ıly F~ → M m → J . . . Hmotnost (charakteristika tˇelesa) → Moment setrvaˇcnosti ´ ~a → ~ε . . . Zrychlen´ı → Uhlov´ e zrychlen´ı ε=
d2 ϕ dt2
~ = ~r × F~ M M = −m · g · l · sin ϕ d2 ϕ = −mgl sin ϕ dt2 d2 ϕ mgl + · sin ϕ = 0 dt2 J sin ϕ=ϕ ˙ J
d2 ϕ mgl + ·ϕ=0 dt2 J mgl = ω2 J 2 dϕ + ω2ϕ = 0 2 dt Nyn´ı jiˇz ˇreˇs´ıme klasicky jako tˇeleso na pruˇzinˇe. 3.4.3
C
Elektrick´ e kmity v elektrick´ em LC obvodu
L
Z Krichovov´ ych z´akon˚ u plyne: UC + UL = 0. D´ale v´ıme, ˇze UC = ˇze UL = −L dI dt Q(t) dI(t) −L =0 C dt
Q C
a taky
´ KMITY 3 HARMONICKE
13
i=−
dQ dt
d2 Q 1 Q=0 + 2 dt CL 1 = ω2 CL d2 Q + ω2Q = 0 dt2
´ HARMONICKE ´ KMITY 4 TLUMENE
4
14
Tlumen´ e harmonick´ e kmity
4.1
Definice
Ve skuteˇcnosti ovˇsem neexistuj´ı netlumen´e kmity, takˇze re´alnˇejˇs´ı je m
d2 x = −kx + Ft dt2
kde Ft je tlum´ıc´ı s´ıla. Ot´azkou je, jak vyj´adˇr´ıme pr´avˇe Ft Jsou zde tˇri moˇzn´e pohledy. 1. Tˇrec´ı s´ıla(smyk) |Ft | = konst. ⇒ Ft ± konst. 2. Ft je u ´mˇern´a rychlosti (Ft ∼ v) Stokes˚ uv vztah: Ft = −6πµr · v Hod´ı se pro mal´e rychlosti a mal´e kulov´e tˇelesa 3. Ft je u ´mˇern´a kvadr´atu rychlosti (Ft ∼ v 2 ) 1 Newton˚ uv vztah: Ft = ρCx Sv 2 2 kde Cx je koeficient odporu prostˇred´ı o hustotˇe ρ a S je aktivn´ı pr˚ uˇrez. Tento vztah se hod´ı pro vˇetˇs´ı rychlosti a/nebo pro obecn´e tˇelesa.
4.2
Pˇ r´ıklad
Pro jednoduchost budeme poˇc´ıtat s (Ft ∼ v) m
d2 x = −kx − B · v dt2
d2 x + kx + B · v = 0 dt2 d2 x dx m 2 +B + kx = 0 dt dt d2 x B dx k + + x=0 2 dt m dt m 2 = ω0 m
Substituce:
B m
= 2γ a
k m
d2 x dx + 2γ + ω02 x = 0 2 dt dt
´ HARMONICKE ´ KMITY 4 TLUMENE
15
T´eto diferenci´aln´ı rovnici vyhovuje: x = Aeαt a tedy dx d2 x αAeαt a 2 = α2 Aeαt dt dt 2 αt α Ae + 2γαAeαt + ω02 Aeαt = 0 α2 + 2γα + ω02 = 0 α1,2 =
−2γ ±
q
α1,2 = −γ ± 4.2.1
4γ 2 − 4ω02 2
q
γ 2 − ω02
Diskuse v´ ysledk˚ u: γ 2 > ω02
α1,2 jsou obˇe re´aln´a a z´aporn´a x(t) = A1 e−|α1 |t + A2 e−|α2 |t
x(t)
t
´ HARMONICKE ´ KMITY 4 TLUMENE 4.2.2
16
Diskuse v´ ysledk˚ u: γ 2 = ω02
Dopadne to stejnˇe, jako by γ 2 > ω02 jen s t´ım rozd´ılem, ˇze se do nulov´e polohy dostane nejrychleji, tak aby se jiˇz d´al nepˇrekmitla.
x(t)
t
4.2.3
Diskuse v´ ysledk˚ u: γ 2 < ω02 q
α1,2 = −γ ± ı ω02 − γ 2 x(t) = Ae−γt sin (ωt + ϕ) q√ √ Kde plat´ı, ˇze ω0 = ω − γ a taky Ae−γt = A(t) . . . koeficient u ´tumu. M˚ uˇze to tak´e vyj´adˇrit jako: x(t) = Ae−γt+ı(ωt+ϕ)
´ HARMONICKE ´ KMITY 4 TLUMENE
17
x(t)
t
A jak to je s energiemi? Zachov´av´a se mechanick´a energie i tentokr´at? Zamysl´ıme-li se, tak matematick´ y v´ ysledek n´as nepˇrekvap´ı. A jak´ y vlastnˇe je, onen matematick´ y v´ ysledek? 1 1 E = Ep + Ek = mv 2 + kx2 2 2 matematick´ ymi u ´pravami z´ısk´ame v´ ysledek: 1 E = kA2 2 1 1 E(x) = kA2(x) = kA2 · e−2γt 2 2 1 2 Zvol´ıme-li substituci 2 kA = E|t=0 , pak zjist´ıme, ˇze: E(x) = E(t) = E0 e−2γt Chcete-li to slovnˇe, tak celkov´a mechanick´a energie E z´avis´ı na poˇc´ateˇcn´ı energii E0 a n´aslednˇe kles´a s ˇcasem podle funkce e−2γt1 . A kam tato energie tedy miz´ı? Skuteˇcnˇe jsme tedy dok´azali, ˇze neplat´ı Z´akon Zachov´an´ı Mechanick´e Energie? Odpovˇed’ je ano. Tato energie pˇrejde v energii tepelnou a deformaˇcn´ı zp˚ usoben´e odporem prostˇred´ı a tˇren´ım. 1
Exponenci´ aln´ı pokles energie plat´ı jen pˇribliˇznˇe ve vˇetˇs´ım ˇcasov´em mˇeˇr´ıtku (ve srovn´an´ı s periodou). Pokud bychom poˇc´ıtali mechanickou energii pˇresnˇe, vyˇsla by komplikovan´ a funkce, protoˇze energie kles´a podle okamˇzit´e rychlosti a ta se v pr˚ ubˇehu periody mˇen´ı. Celkov´ a mechanick´ a energie kles´a, z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie plat´ı jen m´alokdy (na Zemi v podstatˇe nikdy)
´ HARMONICKE ´ KMITY 4 TLUMENE
4.3
18
Porovn´ an´ı jednotliv´ ych tlumen´ ych oscil´ ator˚ u
ˇ • Cinitel jakosti: ω Q = 2γ . . . Poˇcet period v radi´anech, za kter´ y klesne energie E na p˚ uvodn´ı energie E0 ˇ Cas f rac2πT 1 ω ·T = T = tQ = 2γπ 4γπ 2γ
Energie 2γ
EtQ = E0 e−2γtQ = E0 e− 2γ = E0 e−1 = ´ • Utlum λ=
A0 e−γt = eγT −γ(t+T ) A0 e
• Logaritmick´y dekrement u ´tlumu δ = ln λ = γT =
π Q
E0 e
1 e
´ KMITY 5 VYNUCENE
5
19
Vynucen´ e kmity
5.1
Definice a n´ astin ˇ reˇ sen´ı
II. Newtonov˚ uv z´akon rozep´ıˇseme jako: d2 x dx + Fv;(t) = −kx − B 2 dt dt kde: −kx je harmonick´a sloˇzka dx B dt je tlum´ıc´ı sloˇzka Fv;(t) je vynucuj´ıc´ı s´ıla. m
O pˇr´ıpadu, kde by se vyskytovala vynucuj´ıc´ı s´ıla Fv;(t) ale chybˇela tlum´ıc´ı sloˇzka uvaˇzovat nebudeme, protoˇze 1. takov´e kmity se nevyskytuj´ı a
2
2. takov´a rovnice m ddt2x = −kx + Fv;(t) by vedla k nesmysln´ ym v´ ysledk˚ um (kyvadlo s nekoneˇcnou energi´ı. . . ) Nyn´ı je jeˇstˇe tˇreba urˇcit onu Fv;(t) vynucuj´ıc´ı s´ılu. Takˇze co o n´ı v´ıme? V naˇsem experimentu byla periodick´a a z´avisl´a na ˇcase. Naˇsemu hled´an´ı odpov´ıd´a funkce2 : Fv;(t) = F0 sin (Ωt) Tato funkce kmit´a s vlastn´ı u ´hlovou rychlost´ı Ω a nab´ yv´a maxima F0 . Takˇze dosad´ıme-li, dostaneme: d2 x dx = −kx − B + F0 sin (Ωt) 2 dt dt Snadnou u ´pravou, kdy vˇsechny ˇcleny obsahuj´ıc´ı nezn´amou x pˇresuneme na jednu stranu a zbytek nech´ame na druh´e z´ısk´ame nehomogenn´ı diferenci´aln´ı rovnici druh´eho stupnˇe. m
2
Volba vynucuj´ıc´ıc s´ıly ve tvaru sinusovky nen´ı jednoznaˇcnˇe d´ana. Vynucuj´ıc´ı s´ıla m˚ uˇze m´ıt i jin´ y pr˚ ubˇeh (a ve skuteˇcnosti v mnoha pˇr´ıpadech m´a), dokonce ani nemus´ı b´ yt nutnˇe periodick´ a. Sinusov´ y tvar je vˇsak vhodn´ y pro relativnˇe snadn´e analytick´e ˇreˇsen´ı. S rosotuc´ım tlumen´ım je rezonaˇcn´ı kˇrivka niˇzˇs´ı a ˇsirˇs´ı. M´alo tlumen´ ymi oscil´atory dos´ahneme vysok´e v´ ysledn´e amplitudy pouze s malou silou, ale mus´ıme pˇresnˇe nastavit zdroj vynucuj´ıc´ı s´ıly do rezonanˇcn´ı frekvence. Silnˇe tlumen´e oscil´atory naopak jsou schopny kmitat se srovnatelnou amplitudou pro ˇsirˇs´ı obor frekvenc´ı vynucuj´ıc´ı s´ıly (Pˇr.: bub´ınek lidsk´eho ucha).
´ KMITY 5 VYNUCENE
20
d2 x dx + ω02 x = F0 sin (Ωt) + (2γ) dt2 dt Tuto rovnici ˇreˇs´ıme ve tˇrech kroc´ıch: 1. Zhomogenizujeme a vyˇreˇs´ıme. Z´ısk´ame tak x0
d2 x dt2
+ (2γ) dx + ω02 x = F0 sin (Ωt) ⇒ dt
d2 x dt2
2. Najdeme partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı xp 3. V´ ysledn´e ˇreˇsen´ı je x(t) = x0(t) + xp(t) Protoˇze jsme jiˇz v minul´e kapitole naˇsli ˇreˇsen´ı tlumen´ ych harmonick´ ych kmit˚ u, m´ame i x0 x0 = Ae−γt+ı(ωt+ϕ) Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı budeme hledat ve tvaru: xp = Av sin (Ωt + φ) F0
m kde konstanta Av je rovna Av = q 2 −ω 2 +4Ω2 γ 2 Ω ( 0) 2γΩ a konstanta φ se spoˇc´ıt´a jako φ = − ω2 −Ω2 0
V´ ysledn´e x(t) tedy bude F0 m
· sin Ωt −
2γΩ
ω02 −Ω2
x(t) = Ae−γt+ı(ωt+ϕ) + q (Ω2 − ω02 ) + 4Ω2 γ 2 Z rovnice plyne, ˇze po nekoneˇcnˇe dlouh´em ˇcase kmit´an´ı z´ısk´a tvar xp = Av sin (Ωt + φ) Pokud je Av maxim´aln´ı, ˇr´ık´ame, ˇze nastala rezonance. Neboli extr´em funkce Av(Ω) Naˇstˇest´ı nemus´ıme ˇreˇsit cel´ y tvar Av , protoˇze m a F0 jsou konstanty a odmocnina taky nic nezmˇen´ı na monot´onnosti (o kterou n´am jde), ale ”pouze” tvar i d h 2 Ω − ω02 + 4Ω2 γ 2 = 4Ω Ω2 − ω 2 + 8γ 2 Ω dΩ
4Ω Ω2 − ω02 + 2γ 2 = 0 Ω1 = 0 ∨ Ω2 − ω02 + 2γ 2 = 0 q
Ω2,3 = ± ω02 − 2γ 2
+ (2γ) dx + ω02 x = 0 dt
´ KMITY 5 VYNUCENE
21
Protoˇze Ω je frekvence a nulov´a frekvence n´as nezaj´ım´a, tak Ω1 vynech´ame. Stejnˇ uˇze b´ yt z´aporn´a, tak vynech´ame i Ω2 = q e tak jako frekvence nem˚ 2 − ω0 − 2γ 2 . Z´ısk´ame tedy rezonanˇcn´ı frekvenci ΩR =
q
ω02 − 2γ 2
1
2
3
γ3 > γ2 > γ1 . . . vˇetˇs´ı dlumen´ı, niˇzˇs´ı rezonanˇcn´ı kˇrivka
´ KMITY 5 VYNUCENE
5.2
22
Fourierova ˇ rada, transformace
f(t)
T t
Jak´akoli periodick´a funkce se d´a popsat pomoc´ı tzv. fourierovy ˇrady, coˇz je funkce sloˇzen´a pouze z konstant a funkc´ı sin a cos. f(t) = A0 +
∞ X n=
An cos (nωt) +
∞ X
Bn sin (nωt)
n=1
Vzpomeneme si, ˇze ω = 2π T A0 , An a Bn jsou konstanty a z´ısk´ame je z n´asleduj´ıc´ıch vztah˚ u: 2ZT An = f(t) cos (nωt) dt . . . n = 1, 2, . . . ∞ T 0 2ZT Bn = f(t) sin (nωt) dt . . . n = 1, 2, . . . ∞ T 0 1ZT A0 = f(t) dt T 0 A co bychom mohli udˇelat s neperiodickou funkc´ı? Zde je moˇznost udˇelat z neperiodick´e funkce periodickou prost´ ym posunut´ım periody do nekoneˇcna T →∞⇒ω→0
˚ 6 SUPERPOZICE KMITU
6
23
Superpozice kmit˚ u
6.1
Skl´ ad´ an´ı kmit˚ u stejn´ e frekvence (izochronn´ı)
u1,(t) = u1,0 sin (ωt + ϕ1 ) u2,(t) = u2,0 sin (ωt + ϕ2 ) Kmity jsou izochronn´ı, tedy maj´ı stejnou frekvenci, neboli f1 = f2 ⇒ ω1 = ω2 Jak tedy zjist´ıme, co se bude d´ıt, kdyˇz tyto dva kmity poˇsleme spolu? Sloˇz´ı se, neboli m˚ uˇzeme fyzik´alnˇe napsat: u(t) = u1,(t) + u2,(t) No, takˇze tady touto rovnic´ı veˇsker´a fyzik´aln´ı pr´ace konˇc´ı a m´ısto fyzika mus´ı nastoupit matematik (jenˇz se v kaˇzd´em fyzikovi skr´ yv´a) a pokraˇcuje s vervou a chut´ı d´al. u(t) = u1,(t) + u2,(t) = u1,0 sin (ωt + ϕ1 ) + u2,0 sin (ωt + ϕ2 ) u(t) = u1,0 (sin ωt cos ϕ1 + cos ωt sin ϕ1 ) + u2,0 (sin ωt cos ϕ2 + cos ωt sin ϕ2 ) Pokud tedy vytkneme goniometrick´e ˇcleny, kter´e jsou z´avisl´e na ˇcase, z´ısk´ame:
u(t) = sin (ωt) [u1,0 cos ϕ1 + u2,0 cos ϕ2 ] + cos (ωt) [u1,0 sin ϕ1 + u2,0 sin ϕ2 ] ˇ Cleny v hranat´ ych z´avork´ach nez´avis´ı na ˇcase ale pouze na poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınk´ach (ϕ, u1,0 , u2,0 ), takˇze to jsou ”pouze” ˇc´ısla. Proto n´am nic nebr´an´ı v zaveden´ı n´asleduj´ıc´ı substituce: u1,0 cos ϕ1 + u2,0 cos ϕ2 = B1 u1,0 sin ϕ1 + u2,0 sin ϕ2 = B2 Dostaneme tedy tvar: u(t) = B1 sin (ωt) + B2 cos (ωt) Jednoduch´ ymi matematick´ ymi operacemi z´ısk´ame tvar: u(t) = R sin (ωt + ϕ) neboli ˇze se jedn´a opˇet o periodickou sinusovou funkci, pouze f´azovˇe posunutou q o ϕ a s amplitudou R. R = B12 + B22
˚ 6 SUPERPOZICE KMITU Po dosazen´ ı a upraven´ı: q 2 R = u1,0 + u22,0 + 2u1,0 u2,0 cos (ϕ2 − ϕ1 )
B2 ϕ = arctan B 1 Moˇznosti v´ ysledk˚ u, neboli:
6.1.1
Diskuse: ∆ϕ = 0◦ ⇒ cos ∆ϕ = 1
R = u1,0 + u2,0
6.1.2
Diskuse: ∆ϕ = 180◦ ⇒ cos ∆ϕ = −1
R = |u1,0 − u2,0 |
6.2
Skl´ ad´ an´ı kmit˚ u bl´ızk´ e frekvence
u1,(t) = u0 sin (ω1 t) u2,(t) = u0 sin (ω2 t) ω1 6= ω2 ⇒ f1 6= f2 u(t) = u1,(t) + u2,(t)
24
˚ 6 SUPERPOZICE KMITU
25
A opˇet, jako v minul´em pˇr´ıpadˇe, pr´ace fyzika konˇc´ı a pˇrich´az´ı na ˇradu matematik... u(t) = u0 (sin (ω1 t) + sin (ω2 t)) ω1 + ω2 ω1 − ω2 u(t) = 2u0 sin t · cos t 2 2 Po zaveden´ı n´asleduj´ıc´ı substituce ω1 +ω2 =ω 2 ω1 −ω2 = ωR 2 se n´am v´ yraz u(t) zjednoduˇs´ı do podoby:
u(t) = 2u0 sin (ωt) cos (ωR t) Pro bl´ızk´e frekvence tedy plat´ı: ω >> ωR 6.2.1
Graf sin (ωt)
˚ 6 SUPERPOZICE KMITU 6.2.2
Graf cos (ωR t)
6.2.3
Graf sin (ωt) cos (ωR t)
26
˚ 6 SUPERPOZICE KMITU
6.3
27
Skl´ ad´ an´ı kmit˚ u ve dvou dimenz´ıch y u_y
u_x
x
ux,(t) = u0,x sin (ω1 t + ϕ1 ) uy,(t) = u0,y sin (ω2 t + ϕ2 ) Zaj´ımav´e moˇznosti v´ ysledk˚ u: • ω1 = ω2 . . . Vznikl´ ym obrazcem bude obecnˇe obecn´a elipsa, ale tak´e pˇr´ımka, kruˇznice, elipsa v v´ yznaˇcn´e poloze, obecn´e poloze (neboli ”deformovan´a elipsa”) •
ω1 ω2
e cel´e ˇc´ıslo = Mal´ Mal´e cel´e ˇc´ıslo . . . vzniknou Lissajousovy obrazce:
´ OSCILATORY ´ 7 ANHARMONICKE
7
28
Anharmonick´ e oscil´ atory
7.1
Definice
Fyzik´aln´ı vlastnosti harmonick´ ych oscil´ator˚ u: F = −kx; Ep = Vx = 12 kx2 Pokud je vratn´a s´ıla obecn´a funkce: F(x) , pak je ji moˇzn´e rozloˇzit do Taylorova rozvoje: F(x) = F0 + F1 x + F2 x2 + F3 x3 + F4 x4 . . . V tomto rozvoji vzhledem k fyzik´aln´ım z´akon˚ um a fyzik´aln´ımu pozad´ı plati: • F0 = 0 • F1 x je ˇc´ast, kter´a zp˚ usobuje harmonick´e kmit´an´ı a vyskytuje se vˇzdy. • F2 x2 + F3 x3 + F4 x4 . . . zp˚ usobuj´ı ”ruˇsen´ı” harmonick´eho pr˚ ubˇehu kmit´an´ı vratn´e s´ıly. Obdobn´ ym postupem m˚ uˇzeme rozloˇzit potenci´aln´ı energii V(x) : V(x) = V0 + V1 x + V2 x2 + V3 x3 + V4 x4 . . . I v tomto rozvoji jsou jednotliv´e ˇc´asti opodstatnˇen´e a zd˚ uvodniteln´e fyzikou: • V0 je nulov´a hladina potenci´aln´ı energie, kterou si m˚ uˇzeme zvolit (rovnov´aˇzn´a poloha, tˇeˇziˇstˇe tˇelesa, nehybn´ y z´avˇes, proj´ıˇzdˇej´ıc´ı rychl´ık, ...)
dV • V1 x je podm´ınˇeno dx(x) =0 x=0 • V2 x2 je harmonick´ y ˇclen funkce • V3 x3 + V4 x4 . . . opˇet neharmonick´e ˇcleny. Z´ avˇ er Libovoln´ y oscil´ator m˚ uˇzeme v dan´e aproximac´ı v jist´em okol´ı nahradit oscil´atorem harmonick´ ym.
7.2
Z´ avislosti
Rozklad nab´ız´ı dvˇe moˇznosti:
´ OSCILATORY ´ 7 ANHARMONICKE 7.2.1
29
Prvn´ı moˇ znost
• −kx + sud´e mocniny x – s´ıla •
1 kx 2
+ lich´e mocniny x – potenci´aln´ı energie
Vlastnosti: • Asymetrie V(x) • Minim´aln´ı zmˇena periody • Zmˇena stˇredn´ı hodnoty polohy Pˇ r´ıklad Pˇr´ıkladem by mohla b´ yt napˇr´ıklad chemick´a vazba ⇒ Teplotn´ı roztaˇznost materi´al˚ u ... 7.2.2
Druh´ a moˇ znost
• −kx + lich´e mocniny x – s´ıla •
1 kx 2
+ sud´e mocniny x – potenci´aln´ı energie
´ OSCILATORY ´ 7 ANHARMONICKE
30
M´ame zde dvˇe moˇznosti: Takto se projev´ı, pokud bude: kladn´a:
Tato s´ıla se naz´ yv´a tvrdnouc´ı. Zkr´acen´ı periody T
z´aporn´a:
Tato s´ıla se naz´ yv´a mˇeknouc´ı. Prodlouˇzen´ı periody T
Vlastnosti: • Symetrie V(x) • Zmˇena periody • st´al´a stˇredn´ı hodnota polohy Pˇ r´ıklad Pˇr´ıkladem je tˇreba nejz´akladnˇejˇs´ı ze vˇsech objekt˚ u, kter´e se uˇc´ı uˇz na gymn´aziu, neboli: Matematick´e kyvadlo. V´ıme, ˇze vratn´a s´ıla je u ´mˇern´a sinu α, neboli: F ∼ sin α a to tak, ˇze sin α=α. ˙ Ve Fourierovˇe rozvoji se pak dostaneme k v´ yrazu: sin α = α −
T = T0 q
α3 α5 α7 − − ... 3! 5! 7!
1 αm 9 αm 1 + sin2 + sin2 + ... 4 2 64 2
kde T0 = 2π gl a αm . . . u ´hlov´a amplituda v´ ychylky. ◦ usoben´a odliˇsnost´ı v´ yrazu α od T = Pokud je αm = 5 pak je chyba zp˚ 9 T0 1 + 41 sin2 α2m + 64 sin2 α2m + . . . asi 0, 047% Pokud je αm = 10◦ , pot´e je odchylka jiˇz 0, 2%, ˇcili ˇr´adovˇe vˇetˇs´ı!
´ ´ KMITY 8 VAZAN E
8
31
V´ azan´ e kmity Vysvˇetleno v pˇr´ıkladˇe
8.1
Zad´ an´ı
L
L
m
m k
M´ame dvˇe tˇelesa, matematick´a kyvadla, o hmotnosti m zavˇeˇsen´e na dvou z´avˇesech d´elky l. Jedno tˇeleso, naz´ yvejme jej tˇreba tˇeleso 1 jsme vych´ ylili do polohy x0 v pod´eln´em smˇeru. Jak´e budou v´ ysledn´e rovnice kmit´an´ı?
8.2
Rovnice
Pohybov´e rovnice pro kaˇzd´e tˇeleso, pokud mezi nimi nen´ı pruˇzina: d2 xi mg + xi = 0 . . . i = 1, 2 dt2 l Pokud mezy tˇelesy je pruˇzina, budou pro kaˇzd´e tˇeleso vypadat rovnice jinak. m
Tˇ eleso 1:
d2 x1 mg + x1 = k (x2 − x1 ) dt2 l d2 x1 mg m 2 + x1 − k (x2 − x1 ) = 0 dt l m
´ ´ KMITY 8 VAZAN E
32
Tˇ eleso 2:
d2 x2 mg x2 = k (x1 − x2 ) + dt2 l d2 x2 mg m 2 + x2 − k (x1 − x2 ) = 0 dt l Po zaveden´ı n´asledn´e substituce: m
g = ω02 l k = ωV2 m Z´ısk´ame tvar:
d2 x1 + ω02 x1 − ωV2 (x2 − x1 ) = 0 2 dt d2 x2 + ω02 x2 − ωV2 (x1 − x2 ) = 0 dt2 Dalˇs´ımi element´arn´ımi u ´pravami z´ısk´ame tvary rovnic: d2 x1 2 2 2 ω + ω + x 1 0 V − ωV x2 = 0 dt2 d2 x2 2 2 + x ω + ω − ωV2 x1 = 0 2 0 V 2 dt
8.3
Pˇ revod norm´ aln´ı souˇ radnice ⇔ q1 , q2
Odeˇcten´ım a seˇcten´ım pˇredeˇsl´ ych dvou rovnic z´ısk´ame: d2 (x1 + x2 ) + ω02 (x1 + x2 ) dt2 d2 (x1 − x2 ) + ω02 (x1 − x2 ) 2 dt Nyn´ı m´ame jiˇz soustavu rovnic, kter´e jiˇz nez´avis´ı na dvou nezn´am´ ych (x1 A x2 ) ale na jedn´e (x1 + x2 ) resp. (x1 − x2 ). D˚ uleˇzit´e je, ˇze nov´e rovnice v norm´aln´ıch souˇradnic´ıch jiˇz maj´ı odseparovan´e promˇenn´e, tedy nejsou z´avisl´e a ˇreˇs´ıme je jako jednodimenzion´aln´ı dva (nev´azan´e) oscil´atory!!! Zavedeme si tedy substituci: x1 + x2 = q1 pˇriˇcemˇz x1 = x1 − x2 = q2 pˇriˇcemˇz x2 =
q1 +q2 2 q1 −q2 2
´ ´ KMITY 8 VAZAN E
33
ω02 + 2ωV2 = (ω 0 )2 Rovnice se n´am tedy zjednoduˇs´ı do tvar˚ u: d2 q1 + ω02 q1 = 0 dt2 d2 q2 2 + (ω 0 ) q2 = 0 2 dt
8.4
V´ ysledn´ e rovnice v´ azan´ ych kmit˚ u q1 = q1;0 sin (ω0 t + ϕ1 ) q2 = q2;0 sin (ω0 t + ϕ2 )
V´ yznam koeficient˚ u q1 a q 2 • q1 . . . dvojn´asobek v´ ychylky tˇeˇziˇstˇe soustavy z rovnov´aˇzn´e polohy • q2 . . . vz´ajemn´a vzd´alenost
8.5
Poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınky
Fyzik nem˚ uˇze b´ yt spokojen, pokud nezn´a pˇresnou rovnici. A tu dos´ahne poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami3 . Smˇele tedy do nich. x1(t=0) = x0 [m]
dx1 dt t=0
= 0 [ms−1 ]
x2(t=0) = 0 [m]
dx1 dt t=0
= 0 [ms−1 ]
q1(t=0) = x1 + x2 = x0 + 0 = x0 q1(t=0) = x1 − x2 = x0 − 0 = x0 dq1 =0 dt dq2 =0 dt ϕ1 , ϕ2 = π2 . . . Tato podm´ınka vzn´ık´a z nutnosti, ˇze v ˇcase t = 0 je maxim´aln´ı v´ ychylka a nulov´a rychlosti. Vzhledem k tomu, ˇze jsou si q1;0 a q2;0 rovny, m˚ uˇzeme zapsat: q1;0 = q2;0 = x0 Rovnice se n´am tedy znaˇcnˇe zjednoduˇs´ı: 3
Tyto poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınky vol´ıme proto, abychom popsali uk´azan´ y experiment.
´ ´ KMITY 8 VAZAN E
34
q1(t) = x0 cos (ω0 t) q2(t) = x0 cos ((ω 0 ) t) Z dˇr´ıvˇejˇska v´ıme, ˇze x0 q1 + q 2 = (cos ω0 t + cos ((ω 0 ) t)) 2 2 x0 q1 − q2 = (cos ω0 t − cos ((ω 0 ) t)) x2 = 2 2 Pomoc´ı souˇctov´ ych vzorc˚ u (at’ ˇzije Bartsch) zjist´ıme, ˇze: x1 =
ω0 + (ω 0 ) ω0 − (ω 0 ) x1 = x0 cos t cos t 2 2 !
!
ω0 + (ω 0 ) ω0 − (ω 0 ) x2 = −x0 sin t sin t 2 2 !
!
Pokud si vzpomeneme na prvn´ı substituce, tak za k ω 2 = gl a pot´e taky ωV2 = m , kter´e snadno z´ısk´ame ze vztahu ω02 + 2ωV2 = (ω 0 )2 uˇzeme na z´akladˇe ω02 + 2ωV2 = (ω 0 )2 ˇr´ıci, ˇze ω 0 A protoˇze je ω02 >> ωV2 m˚ je velmi bl´ızk´a ω0
8.6
Z´ avˇ er
M´ame-li tedy kmity s velmi slabou vazbou, pot´e se jedn´a o skl´ad´an´ı kmit˚ u bl´ızk´e frekvence. Chceme-li to graficky, tak pro tˇelesa 1 a 2 bychom mˇeli tyto trajektorie:
´ ´ KMITY 8 VAZAN E Tˇeleso 1
35 Tˇeleso 2
´ MODY ´ 9 KMITOVE
9
36
Kmitov´ e m´ ody
Kmitov´ ych mod˚ u je tolik, kolik je stupˇ n˚ u volnosti (ve f´azi, v protif´azi). Kdyˇz se tˇelesa m˚ uˇzou k´ yvat jen v jedn´e moˇzn´e ose, existuj´ı 2 kmitov´e mody. Oba se budou k´ yvat ve f´azi a v protif´azi. Jak´ ykoli kmit je n´aslednˇe jen line´arn´ı kombinac´ı kmitov´ ych mod˚ u. Kdyˇz ˇc´astice kmitaj´ı ”norm´aln´ımi kmity”, tak vˇsechny ˇc´astice kmitaj´ı se stejnou frekvenc´ı.
10 KMITY SOUSTAV S MNOHA STUPNI VOLNOSTI
10
37
Kmity soustav s mnoha stupni volnosti m
k
m
m
m k
k
k
k
Libovolnou ˇc´astici si oznaˇc´ıme jako ˇc´astici p. Okoln´ı ˇc´astice budiˇz p ± 1, p ± 2, p ± 3 a tak d´ale. Vytvoˇr´ıme tedy pohybovou rovnici pro ˇc´astici p d2 xp = −k (xp − xp−1 ) − k (xp − xp+1 ) = k (xp−1 + xp+1 − 2xp ) dt2 po u ´pravˇe z´ısk´ame: m
d2 xp − ω02 (xp−1 + xp+1 − 2xp ) = 0 dt2 Coˇz je vlastnˇe rovnice pro pˇr´ıpad pod´eln´ ych kmit˚ u. Pokud budeme m´ıt soustavu, kde mezi jednotliv´ ymi body p nejsou ”gumiˇcky”, ale pevn´e spojen´ı (napˇr. ˇretˇez). Ten chytneme nˇekde za ˇcl´anek p, napneme a pust´ıme. Jak´e s´ıly zde budou figurovat? Pod´ıvejme se na obr´azek:
y p+1
p+1
yp y p-1
p ap-1 p-1 L
ap
L
|F1 | = |F2 | = F
10 KMITY SOUSTAV S MNOHA STUPNI VOLNOSTI
38
Ve smˇeru osy y: Fy = f(y,p) − F(y,p−1) Fy = F · sin αp − F · sin αp−1 yp − yp−1 tan αp−1 = pro mal´e u ´hly n´am tan pˇrejde v sin l yp − yp−1 = sin αp−1 tan αp−1 = l yp+1 − yp = sin αp tan αp = l Nyn´ı jiˇz tedy m´ame vˇse, co potˇrebujeme k z´ısk´an´ı v´ yslednice sil p˚ usoben´ı na bod p: d2 yp F m 2 = (yp+1 − yp − yp + yp−1 ) dt l 2 F d yp = (yp+1 + yp−1 − 2yp ) 2 dt ml ˇ sen´ım t´eto diferenci´aln´ı rovnice z´ısk´ame: Reˇ yp,(t) = C sin (pΘ + Φ) · sin (ωt + ϕ) C sin (pΘ + Φ) m˚ uˇzeme ch´apat jako amplitudu, kter´a je funkc´ı polohy. Mus´ıme jeˇstˇe doplnit okrajov´e podm´ınky: M´ame-li ˇretˇez o N ˇcl´anc´ıch, tak jej mus´ıme na konc´ıch ukotvit. Takˇze bude platit, ˇze v´ ychylka nult´eho ˇclenu (kter´ y bude odpov´ıdat m´ıstu uchycen´ı) bude nula. Stejnˇe tak i na druh´e stranˇe ˇclenu N + 1. y0;(t) ≡ 0 ⇒ Φ = 0 yN +1;(t) ≡ 0 ⇒ (N + 1) Θ = nπ ⇒ Θ = Nnπ +1
´ ˇ ROZLOZENOU ˇ 11 KMITY SYSTEMU SE SPOJITE HMOTOU
11 11.1
39
Kmity syst´ emu se spojitˇ e rozloˇ zenou hmotou Pˇ rechod od diskr´ etn´ıho do spojit´ eho rozloˇ zen´ı hmoty
Za pˇr´ıklad si vezmeme strudu o d´elkov´em elementu dm
ya+da
a+da
ya
a
x
x+dx
Budeme postupovat analogicky s ”Kmity soustav s mnoha stupni volnosti”, ˇcili si urˇc´ıme s´ıly, kter´e p˚ usob´ı na dva konce d´elkov´eho elementu dm. Fy = F sin (α + dα) − F sin α = F (α + dα − α) Nyn´ı si definujeme line´arn´ı hustotu µ jako pod´ıl hmotnosti ku d´elce: µ = ml d2 y(t) = F dα(t) dt2 µdx si definujeme jako element hmotnosti dm µdx
d2 y(t) dm 2 = F dα(t) dt
´ ˇ ROZLOZENOU ˇ 11 KMITY SYSTEMU SE SPOJITE HMOTOU
40
ale s t´ımto tvarem (s dm) poˇc´ıtat nebudeme. Zamˇeˇrme se na jin´ y probl´em: Jak se nyn´ı zbav´ıme dα(t) , neboli jak celou rovnici pˇrevedeme na rovnici o jedn´e promˇenn´e x? tan α =
∂y dy ⇒ tan α = dx ∂x
1 ∂ dx = 2 cos α ∂x dx =
!
∂y dx ∂x
∂2y dx ∂x2
Dosad´ıme: d2 y(t) ∂2y µdx 2 = F 2 dx dt ∂x dx se n´am vykr´at´ı a z˚ ustane: d2 y(t) ∂2y = F dt2 ∂x2 Po u ´pravˇe dostaneme vlnovou rovnici: µ
11.2
Vlnov´ a rovnice
d2 y(t) F ∂2y = · dt2 µ ∂x2 A toto je vlnov´a rovnice. M˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze kdyˇz dostaneme jakoukoli nezn´amou v pozici y, bude hse ˇsi´ıˇrit prostorem a ˇcasem jako vlna!!! 2 D´ale Fµ ≡ v 2 ms2 si definujeme jako f´ azovou rychlost vlny. ˇ sen´ım tedy bude tvar: Reˇ y(x,t) = f(x) sin (ωt + ϕ) ∂2y = −f(x) ω 2 sin (ωt + ϕ) 2 ∂t df(x) 2 ∂2y = ω sin (ωt + ϕ) ∂x2 dx2 d2 f sin (ωt + ϕ) dx2 sin (ωt + ϕ) se vykr´at´ı a po snadn´e u ´pravˇe dostaneme: −f(x) ω 2 sin (ωt + ϕ) = v 2
´ ˇ ROZLOZENOU ˇ 11 KMITY SYSTEMU SE SPOJITE HMOTOU
d2 f ω2 + f(x) = 0 dx2 v2 Tuto rovnici snadno vyˇreˇs´ıme: ω f(x) = A sin x+Φ v K urˇcen´ı konstant opˇet vyuˇzijeme stejn´e okrajov´e podm´ınky: f(0) = 0 ⇒ Φ = 0 v f(x=L) = 0 ⇒ ωv L = πn ⇒ ωn = πn L Toto vˇse tedy dosad´ıme do rovnice pro v´ ychylku a dostaneme:
ωn yn(x,t) = A sin x · sin (ωn t + ϕ) v kde n znaˇc´ı poˇrad´ı kmitov´eho m´odu.
mod 1 mod 2 mod 3
ω1 = Lπ v
ω2 =
2π v L
ω3 =
3π v L
ωn =
nπ v L
41
´ 12 KMITY VE 2 DIM, MEMBRANY A DESKY
12
42
Kmity ve 2 dim, membr´ any a desky u(x,y,t)
V´ ychylka u(x,y,t) je funkc´ı prostorov´ ych souˇradnic x, y a ˇcasov´e souˇradnice t. 2 ∂2u ∂2u 2 ∂ u = v + ∂t2 ∂x2 ∂y 2
!
43
ˇ ast II C´
Vlnˇ en´ı 13 13.1
Definice vlny a vlnoplochy, vlnoplochy v prostoru Vznik postupn´ e vlny u(x,t) = u0 sin ω (t − τ )
kde τ =
x v
a naz´ yv´a se ˇcasov´e zpoˇzdˇen´ı.
x u(x,t) = u0 sin ω t − v Vlny jsou tedy z´avisl´e na dvou parametrech a to na ˇcase t, stejnˇe jako kmity, ale i na vzd´alenosti x. Pokraˇcujme tedy v u ´prav´ach a z´ısk´ame:
2πx t = u0 sin 2π − T T ·v
u(x,t)
Definujeme ω = 2π a λ = T · v. N´aslednˇe definujeme vlnov´e ˇc´ıslo k a to T 2π vztahem: k = λ Pro jednodimenzion´aln´ı prostor tedy z´ısk´av´ame vztah: u(x,t) = u0 sin (ωt − kx)
13.2
ˇ ıˇ S´ ren´ı vlny v prostoru
Viz. obr´azek 1
13.3
Vlnoplocha
Geometrick´e m´ısto bod˚ u stejn´e f´aze (viz. obr. 2) ωt − kx = konstantn´ı x=
1 (ωt − konst.) k x=v·t
13 DEFINICE VLNY A VLNOPLOCHY, VLNOPLOCHY V PROSTORU44
u
x
u
t
ˇıˇren´ı vlny po pˇr´ımce v z´avislosti na vzd´alenosti a na ˇcase Obr´azek 1: S´ Definujeme f´azovou rychlost v jako: v=
13.4
ω k
Rovinn´ a vlnoplocha v prostoru
~s . . . smˇer paprsku. |~s| = 1 V´ıce na obr´azku 3 u(~r,t) = u0 sin ω (t − τ ) Z obr´azku 3 plyne, ˇze τ =
∆ v
u(~r,t)
∆ = u0 sin ω t − v
!
u(~r,t)
~r~s = u0 sin ω t − v
A opˇet se odvol´am na obr´azek 3, kdyˇz nap´ıˇsu: ~r~s = |~r| · |~s| cos ϕ =
13 DEFINICE VLNY A VLNOPLOCHY, VLNOPLOCHY V PROSTORU45
Detail kulové vlnoplochy kde vzniká rovinná vlnoplocha Kulová vlnoplocha
Obr´azek 2: Grafick´e zn´azornˇen´ı vlnoplochy kulov´e a rovinn´e
S
r
j D
Rovinná vlnoplocha
Obr´azek 3: Rovinn´a vlnoplocha v prostoru
13 DEFINICE VLNY A VLNOPLOCHY, VLNOPLOCHY V PROSTORU46 Pamatujte, ˇze |~s| = 1 = ~r cos ϕ = ∆ !
u(~r,t)
2π~r~s = u0 = ωt − T ·v
!
u(~r,t)
2π~s = u0 = ωt − ~r λ
Definujeme vlnov´ y vektor ~k jako vektor o velikosti k = paprsku. Rovnice rovinn´e vlny:
u(~r,t) = u0 sin ωt − ~k · ~r
13.5
2π λ
a ve smˇeru
Kulov´ a vlnoplocha v prostoru
ubec S ohledem na kulovou symetrii (viz. obr´azek 4) nem´a smysl vektor ~k v˚ definovat.
k k
r r k
Obr´azek 4: Kulov´a vlnoplocha v prostoru ~ k m´ a danou hodnotu
~k||~r M˚ uˇzeme tedy napsat rovnici pro kulovou vlnoplochu v prostoru:
13 DEFINICE VLNY A VLNOPLOCHY, VLNOPLOCHY V PROSTORU47
u0 sin (ωt − k · r) r Definujeme veliˇcinu, kterou budeme naz´ yvat intenzita I u(r,t) =
intenzita =
tok plocha
Intenzita je tedy u ´mˇern´a druh´e mocninˇe amplitudy: I ∼ u20
˚ PRINCIP 14 HUYGENSUV
14
48
Huygens˚ uv princip
Tento princip n´am ˇr´ık´a jen obecnˇe co m´ame udˇelat, abychom vˇedˇeli, jak´ ym zp˚ usobem se bude ˇs´ıˇrit vlna v prostoru. Jiˇz nic se z nˇej nedozv´ıme o tom, jak m´ame nˇeco poˇc´ıtat.
14.1
Huygens˚ uv princip:
Pˇredstavme si, ˇze kaˇzd´ y bod vlnoplochy je element´arn´ım zdrojem element´arn´ı kulov´e vlnoplochy. Vlnoplocha za ˇcas ∆t bude ob´alkou vˇsech takto vznikl´ ych elementr´arn´ıch vlnoploch. Pˇredpokl´ad´a, ˇze v kaˇzd´em okamˇziku lze kaˇzd´ y bod na ˇcele ˇs´ıˇr´ıc´ı se vlny ch´apat jako nov´ y zdroj vlnˇen´ı (sekund´arn´ıch vln). Nov´ y tvar ˇcela vlny v ˇcase o mal´ y okamˇzik pozdˇejˇs´ım lze pak urˇcit jako vnˇejˇs´ı ob´alku vln, ˇs´ıˇr´ıc´ıch se z tˇechto zdroj˚ u.
14.2
Chybka?
Huygens˚ uv princip nen´ı zcela spr´avn´ y, nebot’ podle nˇej by se napˇr´ıklad vlna proch´azej´ıc´ı vzduchem ˇci vodou ze vˇsech bod˚ u vracela zpˇet do zdroje, aniˇz by se odrazila od nˇejak´e pˇrek´aˇzky. Upˇresnˇen´ y Huygens˚ uv-Fresnel˚ uv princip doplˇ nuje p˚ uvodn´ı pˇredstavu o interferenci sekund´arn´ıch vln a zav´ad´ı tzv. inklinaˇcn´ı faktor K. Opraven´ y princip by tedy znˇel: Kaˇzd´ y bod vlnoplochy, do nˇehoˇz postupn´e vlvnˇen´ı v izotropn´ım prostˇred´ı dospˇelo v urˇcit´em okamˇziku, m˚ uˇzeme pokl´adat za zdroj element´arn´ıho vlnˇen´ı, kter´e se z nˇeho ˇs´ıˇr´ı v element´arn´ıch vlnoploch´ach. Vlnoplocha v dalˇs´ım ˇcasov´em okamˇz´ıku je vnˇejˇs´ı vlnoplocha vˇsech element´arn´ıch vlnoploch ve smˇeru, ve kter´em se vlvnˇen´ı ˇs´ıˇr´ı. D´ıky Huygensovu principu m˚ uˇzeme zkonstruovat vlnoplochu v urˇcit´em okamˇziku, je-li zn´am´a jej´ı poloha a tvar v nˇekter´em pˇredch´azej´ıc´ım okamˇziku. Lze tak´e podle nˇej odvodit princip odrazu a lomu vlnˇen´ı
14.3
Trochu o Huygensovi
Pˇrevzato z http://cs.wikipedia.org
Christian Huygens (14. dubna 1629, Haag – 8. ˇcervna 1695, Haag) byl v´ yznaˇcn´ y holandsk´ y matematik, fyzik a astronom. Na jeho objevy pˇr´ımo navazovala pr´ace Isaaca Newtona. Narodil se ve v´aˇzen´e haagsk´e rodinˇe. Uˇz bˇehem sv´ ych studi´ı na univerzitˇe publikoval pr´ace, kter´e lze povaˇzovat za z´aklady poˇctu pravdˇepodobnosti.
˚ PRINCIP 14 HUYGENSUV
49
V roce 1665 se v Lond´ ynˇe stal ˇclenem uˇcen´e Kr´alovsk´e spoleˇcnosti (Royal Society). Na pozv´an´ı kr´ale Ludv´ıka XIV. pˇriˇsel v roce 1666 do Paˇr´ıˇze, kde se stal zakl´adaj´ıc´ım ˇclenem Kr´alovsk´e akademie vˇed (Academie Royale des Sciences), jej´ımˇz ˇclenem byl aˇz do roku 1681. V Akademii se sezn´amil a spolupracoval s Giovanni Cassinim (zn´ate sondu Cassini?). V roce 1686 jako protestant uprchl pˇred pron´asledov´an´ım z Francie do Nizozemska. V roce 1689 navˇst´ıvil Anglii, kde se sezn´amil s Isaacem Newtonem. Posl´eze se uch´ ylil do rodn´eho Haagu, kde tak´e zemˇrel. Huygensovy objevy ovlivnily celou ˇradu fyzik´aln´ıch obor˚ u. V roce 1657 uveˇrejnil sdˇelen´ı o sv´em vyn´alezu kyvadlov´ ych hodin s netlumen´ ym pohybem kyvadla, pouˇz´ıvan´ ych dodnes. Sestrojil je roku 1655 a podrobnˇe popsal ve spisu Horologium oscillatorium v roce 1673. Nez´avisle na Angliˇcanu Hookovi vynalezl i hodinov´ y nepokoj. Zobecnil tak´e z´akony ot´aˇciv´eho pohybu (zaveden´ı pojmu moment setrvaˇcnosti), objevil z´akon zachov´an´ı momentu hybnosti (1656), zkoumal z´akony r´azu tˇeles a odstˇrediv´e s´ıly (1659). Od roku 1652 se tak´e vˇenoval optice, dalekohled˚ um a mikroskop˚ um. Zkonstruoval po nˇem pojmenovan´ y dvouˇcoˇckov´ y okul´ar a postavil nˇekolik velk´ ych dalekohled˚ u s ohniskovou d´elkou aˇz 75 metr˚ u. V roce 1659 popsal skuteˇcn´ y tvar Saturnov´ ych prstenc˚ u (1659 v pr´aci Systema Saturnium), objevil jeho mˇes´ıc Titan (25. bˇrezna 1655), popsal emisni mlhovinu dnes naz´ yvanou Velk´a mlhovina v Orionu (M-42) v souhvˇezd´ı Oriona a postupnˇe naˇsel i ˇctyˇri jasn´e hvˇezdy (tzv. Trapez ˇcili Lichobˇeˇzn´ık) v t´eto mlhovinˇe, kter´e tuto mlhovinu sv´ ym svˇetlem ozaˇruj´ı. Jako prvn´ı pozoroval pol´arn´ı ˇcepiˇcky na Marsu a objevil velk´ y tmav´ yu ´tvar v rovn´ıkov´e oblasti Marsu, dnes naz´ yvan´ y Syrtis Major. V mikroskopii objevil metodu pozorov´an´ı na temn´em pozad´ı. Popsal vlnov´e vlastnosti svˇetla (1678) a zavedl pojem ´eter. I kdyˇz se ´eterov´a teorie uk´azala pozdˇeji chybnou, ovlivnila na nˇekolik set let fyzik´aln´ı uvaˇzov´an´ı. Huygens˚ uv princip je dodnes platn´ y pro vˇsechny druhy ˇs´ıˇren´ı vln. Na konci ˇzivota nav´azal v pr´aci Cosmotheros (vyd´an 1698) na myˇslenky Giordana Bruna o moˇznosti mimozemsk´eho ˇzivota.
´ ROVNICE PODRUHE ´ 15 VLNOVA
15
50
Vlnov´ a rovnice podruh´ e
Asi si ˇr´ık´ate, ˇze uˇz jsme se o n´ı jednou bavili (ano, ˇc´ast 11.2). Pod´ıvejme se ale na ni jeˇstˇe jednou, l´epe a radostnˇeji: • V jedn´e dimenzi by vlnov´a rovnice vypadala n´asledovnˇe: ∂2u 1 ∂2u = ∂x2 v 2 ∂t2 • S poˇctem dimenz´ı se n´am rovnice komplikuje: ∂2u ∂2u ∂2u 1 ∂2u + + = ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 v 2 ∂t2 pˇriˇcemˇz ∇2 = 4
∂2 ∂x2
+
∂2 ∂y 2
+
∂2 ∂z 2
se zkr´acenˇe zapisuje jako La Place˚ uv oper´ator
Cel´ y z´apis tak m˚ uˇzeme zkr´atit na: 4u =
1 ∂2u v 2 ∂t2
16 POLARIZACE VLNY
16
51
Polarizace vlny
~u(~r,t) = u~0 sin ωt − ~k~r
Pod´eln´e vlnˇen´ı je ~u||~k Pˇr´ıˇcn´e vlnˇen´ı je, pokud ~u⊥~k
16.1
Pˇ r´ıklad
Vlna ve smˇeru osy z (pod´eln´a vlna) ~k = (0, 0, k) u(z,t) ~ = u0 sin (ωt − k · z) ~u = (0, 0, r) Pˇr´ıˇcn´a vlna ~u = (ux , uy , 0) ux = U(x,0) sin (ωt + ϕ1 ) uy = U(y,0) sin (ωt + ϕ2 ) Kdyˇz vyˇreˇs´ıme parametrickou rovnici (v´ yˇse), z´ısk´ame nˇekolik moˇznost´ı tvar˚ u: ´ cka – line´arnˇe polarizovan´e • Useˇ • Kruˇznice – kruhovˇe polarizovan´e • Elipsa – elipticky polarizovan´e
17 INTERFERENCE VLN
17
52
Interference vln
Interference se t´eˇz naz´ yv´a sl´ad´an´ı nebo superpozice. Nˇekter´e vˇeci jsou shodn´e se skl´ad´an´ım kmit˚ u (kap. 6). Ovˇsem nˇekter´e jevy se ve kmitech vyskytovat nem˚ uˇzou (vzhledem k tomu, ˇze nez´avis´ı na d´elce x, resp. nemaj´ı ˇz´adn´ y prostorov´ y parametr). Jde o dva jevy:
17.1
Interference na dvojˇ stˇ erbinˇ e
Obr´azek (tˇreba 5) vyd´a za tis´ıc slov.
Obr´azek 5: Interference na dvojˇstˇerbinˇe
17.2
Dr´ ahov´ y posuv
M´ame-li dva bodov´e zdroje z1 , z2 (obr´azek ??), kter´e kmitaj´ı ve f´azi ve vz´ajemn´e vzd´alenosti d, tak se vznˇen´ı bude skl´adat. Z1
z2
pozorovatel
d
Obr´azek 6: Dr´ahov´ y posuv F´azi vlny spoˇc´ıt´ame z ωt − kx ∆ϕ = k · d = 2π d a taky ∆ϕ = 2kπ λ 2π 2kπ = λ d d = kλ
17.3
Interference v opaˇ cn´ em smˇ eru
Co se bude d´ıt, kdyˇz budeme m´ıt dvˇe vlny, kter´e p˚ ujdou proti sobˇe? Kdyˇz si nap´ıˇseme rovnice kaˇzd´e z vln, z´ısk´ame:
17 INTERFERENCE VLN
53
u1 = u0 sin (ωt − kx) u2 = u0 sin (ωt + kx) Pro jednoduchost jsme si urˇcili, ˇze amplitudy budou stejn´e. V´ yslednou vlnu z´ısk´ame souˇctem vln: u = u1 + u2 S pouˇzit´ım matematick´ ych goniometrick´ ych souˇctov´ ych vzorc˚ u z´ısk´ame: u(x,t) = u0 · cos kx · sin ωt Tato rovnice se naz´ yv´a rovnic´ı stojat´e vlny, kter´a se vyznaˇcuje nˇekolika prvky: u0 · cos kx je amplituda, kter´a je z´avisl´a na vzd´alenosti x u0 · cos kx = u00,(x) u00,(x) . . . min se naz´ yv´a uzel. 0 u0,(x) . . . max se naz´ yv´a kmitna.
˚ JEV 18 DOPPLERUV
18 18.1
54
Doppler˚ uv jev Historie, popis
Doppler˚ uv jev popisuje zmˇenu frekvence a vlnov´e d´elky pˇrij´ıman´eho oproti vys´ılan´emu sign´alu, zp˚ usobenou nenulovou vz´ajemnou rychlost´ı vys´ılaˇce a pˇrij´ımaˇce. Jev byl poprv´e pops´an Christianem Dopplerem v roce 1842 v monografii ¨ Uber das farbige Licht der Doppelsterne und einige andere Gestirne des Himmels.
Obr´azek 7: Zdroj vln se pohybuje doleva. Frekvence vlevo je vyˇsˇs´ı neˇz pravo. Pro vlny (napˇr´ıklad zvukov´e), kter´e se ˇs´ıˇr´ı v prostoru, je rychlost pozorovatele a zdroje pozorov´ana relativisticky vzhledem k prostˇred´ı, ve kter´em se zvuky ˇs´ıˇr´ı. Pokud rychlost ˇs´ıˇren´ı vlny nen´ı z´avisl´a na prostˇred´ı, ve kter´em se ˇs´ıˇr´ı (napˇr´ıklad gravitace), resp. pokud se ˇs´ıˇr´ı vlny s podle speci´aln´ı teorie relativity (svˇetlo), pot´e se uvaˇzuje pouze vz´ajemn´a rychlost pozorovatele a zdroje. Jedn´ım z nejbˇeˇznˇejˇs´ıch pˇr´ıklad˚ u, jak lze Doppler˚ uv jev pozorovat, je zmˇena v´ yˇsky t´on˚ u vyd´avan´ ych sir´enou na vozidle proj´ıˇzdˇej´ıc´ım okolo pou zorovatele (viz obr´azek 9). Dopplerova jevu vyuˇz´ıv´a ˇrada mˇeˇric´ıch pˇr´ıstroj˚ a zaˇr´ızen´ı, napˇr. radary pro mˇeˇren´ı rychlosti vozidel nebo l´ekaˇrsk´e sonografy. V astronomii se Doppler˚ uv jev projevuje posuvem spektr´aln´ıch ˇcar vyzaˇrovan´ ych vesm´ırn´ ymi tˇelesy; pokud se tato tˇelesa vzdaluj´ı od Zemˇe, lze pozorovat takzvan´ y rud´ y posuv (viz. obr´azek 10).
˚ JEV 18 DOPPLERUV
55 Vln op loc
hy
Pozorovatel, ke kterému letí ''zhuštěné'' vlnoplochy
Dx Pohyb zdroje
Obr´azek 8: Pˇri posunut´ı zdroje o ∆x se mˇen´ı stˇred vlnoploch. Pozorovatel tedy zaznamen´av´a maxima vlny ”ˇcastˇeji”, neˇz skuteˇcnˇe pˇrich´azej´ı, neboli zaznamen´av´a vyˇsˇs´ı frekvenci.
18.2
Pˇ rijde-li na ˇ radu matematika
A jak by cel´ y probl´em vypadal z pohledu fyzika-matematika? Pod´ıvejme se na obr´azek 8. Nyn´ı budu vˇsechny veliˇciny spojen´e s pozorovatelem oznaˇcovat indexem p a se zdrojem indexem 0. λp =
v−u f0
Hned v prvn´ı rovnici se n´am vyskytly hodnoty s dosud neuveden´ ym v´ yznamem. Proto dod´am, ˇze: v je rychlost ˇs´ıˇren´ı vlny u je rychlost zdroje pˇriˇcemˇz: • u > 0 zdroj se bl´ıˇz´ı k pozorovateli • u < 0 zdroj se od pozorovatele vzdaluje
fp =
1 v v= f0 λp v−u
Podobnou transformaci m˚ uˇzeme prov´est i pro pohyb pozorovatele w, pˇriˇcemˇz • w < 0 pozorovatel se bl´ıˇz´ı ke zdroji
˚ JEV 18 DOPPLERUV
56
Obr´azek 9: Dvˇe sir´eny na autech vyd´avaj´ı t´on o stejn´e v´ yˇsce. Zelen´e auto se vzdaluje od pozorovatele (mikrofon), kter´ y zvuk jeho sir´eny vn´ım´a jako niˇzˇs´ı; naopak oranˇzov´e auto se k nˇemu pˇribliˇzuje a zvuk jeho sir´eny je pro pozorovatele vyˇsˇs´ı. • w > 0 pozorovatel se od zdroje vzdaluje Pak tedy m˚ uˇzeme napsat: fp =
v−w f0 v
Pokud oba vzorce spoj´ıme v jeden, pot´e z´ısk´ame: fp = f0
18.3
v−w v−u
A co teprve, pozastav´ıme-li se nad relativitou
A co se bude d´ıt, pokud se zdroj bude pohybovat rychleji neˇz je rychlost ˇs´ıˇren´ı vlny v prostoru? Zde jiˇz zapoj´ıme i teorii relativity, ale nebojte, odvozov´an´ı nech´ame asi na jindy. V´ ysledkem bude vzoreˇcek4 : v u u1 + f = f0 t
1−
v c v c
kde c je rychlost svˇetla ve vakuu a v je vz´ajemn´a rychlost zdroje a pozorovatele. Zlomek vc se ˇcasto nahrazuje vc = β. Z´ısk´ame tedy 4
tento vzoreˇcek plat´ı pro pˇribliˇzov´an´ı se. Pokud by se zdroj s pozorovatelem vz´ajemnˇe oddalovali, tak bychom museli vymˇenit znam´enka + a −
˚ JEV 18 DOPPLERUV
57
Obr´azek 10: Rud´ y posuv spektr´arn´ıch ˇcas optick´eho spektra kupy vz´alen´ ych galaxi´ı (prav´ y diagram) ve srovn´an´ı se Sluncem (lev´ y diagram)
s
f = f0
1+β 1−β
ˇ ´I NEHARMONICKYCH ´ 19 Sˇ´IREN VLN, DISPERZE
19 19.1
58
ˇ ıˇ S´ ren´ı neharmonick´ ych vln, disperze Disperze
Pokud rychlost ˇs´ıˇren´ı vlny z´avis´ı na vlnov´e d´elce λ, event. frakvenci f je tento jev naz´ yv´an disperz´ı.
Obr´azek 11: Disperze svˇeteln´eho paprsku na hranolu
19.2
Grupov´ a rychlost
Definujme si grupovou rychlost vg jako rychlost, kterou se ˇs´ıˇr´ı cel´e vlnov´e klubko (pˇripomeˇ nme si, ˇze to je ta ˇcerven´a ˇc´ast v obr´azku z kapitoly 6.2.3, resp. ˇze na zm´ınˇen´em obr´azku je 5 vlnov´ ych klubek). Tato rychlost nikdy nepˇres´ahne rychlost svˇetla. Vlnov´ ym klubkem se pˇren´aˇs´ı veˇsker´a energie, chcete-li informace. M˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze i jeden foton je jist´ ym vlnov´ ym klubkem (m´a (i) vlnov´ y charakter, vlnovou d´elku, frekvenci. . . )
19.3
F´ azov´ a rychlost
Vedle grupov´e rychlosti vg definujeme i f´azovou rychlost v, kter´a ud´av´a, jakou rychlost´ı se ˇs´ıˇr´ı f´aze vlny v r´amci vlnov´eho klubka. F´azov´a rychlost m˚ uˇze b´ yt ’ vyˇsˇs´ı neˇzli rychlost svˇetla, ale to nic neznamen´a, nebot pro pˇred´an´ı informace je tˇreba pˇren´est cel´e vlnov´e klubko.
ˇ ´I NEHARMONICKYCH ´ 19 Sˇ´IREN VLN, DISPERZE
19.4
59
vg + v aneb Vlny vˇ sech zem´ı, spojte se!
Spojen´ı grupov´e a f´azov´e rychlosti se d´a pˇrepsat do interference vln bl´ızk´e frekvence. Pro jednoduchost si pˇredstavme, ˇze amplitudy u1 a u2 jsou shodn´e a u1 + u2 = u0 . Pro obr´azek se pod´ıvejte do kapitoly 6.2.3. u(x,t) = u0 sin (ω1 t − k1 x) + u0 sin (ω2 t − k2 x) Pouˇzijeme kr´asy souˇctov´ ych vzorc˚ u a z´ısk´ame: !
u(x,t)
ω1 − ω2 k1 − k2 ω1 + ω2 k 1 + k2 = u0 · cos t− x · sin t− x 2 2 2 2 u(x,t)
ω1 + ω2 k 1 + k2 = u0 · cos (∆ωt − ∆kx) · sin t− x 2 2
!
!
kde ˇclen cos (∆ωt − ∆kx) definuje vnˇejˇs´ı ob´alku vlnov´eho bal´ıku. Pˇr´ımo ˇclen ∆ωt − ∆kx pot´e urˇcuje grupovou rychlost vg . A jak? x=
∆ω t − konst. ∆k
grupov´a rychlost: vg =
19.5
dω dk
Nedisperzn´ı prostˇ red´ı
Jak takov´e prostˇred´ı pozn´ame? Na prvn´ı pohled asi nikoli (voda to nen´ı). Ale budeme-li uˇz poˇc´ıtat, dojdeme k z´avˇeru, ˇze nedisperzn´ı prostˇred´ı se bude chovat podle pˇredv´ıdateln´eho vztahu: dω =v dk Neboli ˇze grupov´a rychlost bude shodn´a s f´azovou rychlost´ı. vg =
ˇ ˇ ´ ´ ROVNICE 20 DOTRETICE VSEHO DOBREHO, ANEB VLNOVA
20
60
Dotˇ retice vˇ seho dobr´ eho, aneb vlnov´ a rovnice
Uˇz zase? Tentokr´at si uk´aˇzeme jak se ˇreˇs´ı. . . aspoˇ n n´aznaky. . . at’ to m´ame pohromadˇe. ∂2u 1 ∂2u = ∂x2 v 2 ∂t2 Pohybujeme-li se v 3dimm prostˇred´ı, mus´ıme pouˇz´ıt: ∂2u ∂2u ∂2u 1 ∂2u + + = ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 v 2 ∂t2 2
2
∂ ∂ pˇriˇcemˇz ∂x 2 + ∂y 2 + ∇2 = 4 Takˇze zkr´acennˇe:
∂2 ∂z 2
se zkr´acenˇe zapisuje jako La Place˚ uv oper´ator
1 ∂2u 4u = 2 2 v ∂t no a budeme-li minimalistiˇct´ı, bude moˇzno pouˇz´ıt 2u = 0 Ale nic se nem´a pˇreh´anˇet, takˇze my z˚ ustaneme hezky u 4u = budeme se d´ıvat, co se s t´ım d´a vyv´adˇet: Moˇzn´a ˇreˇsen´ı jsou 2: 1. u = A sin (ωt − kx)
2. u = A sin ωt − ~k · ~r
kde k = 2π . . . vlnov´e ˇc´ıslo, pamatujete? a λ ω = 2πf = 2π T A nyn´ı si uk´aˇzeme r˚ uzn´e ekvivalentn´ı vyj´adˇren´ı prvn´ı rovncice: • u = A sin (ωt − kx)
• u = A sin 2π f t −
x λ
• u = A sin 2π
t τ
−
• u = A sin 2π λ
λt T
−x
x λ
• u = A sin k (tv − x)
1 ∂2u v 2 ∂t2
a
ˇ ˇ ´ ´ ROVNICE 20 DOTRETICE VSEHO DOBREHO, ANEB VLNOVA • Nebo se d´a taky udˇelat tento pˇrechod:
x λ
• u = A sin 2π f t −
x λf
x τ
• u = A sin ω t − • u = A sin ω t −
Pˇriˇcemˇz vˇsechny rovnice zde uveden´e jsou si vz´ajemnˇe ekvivalentn´ı(!)
20.1
Pˇ r´ıklad:
Vlnˇen´ı je pops´ano rovnic´ı: y = 3 · 10−3 [m] sin (0, 25πt [s] − 50πx [m]) Urˇcete: • Amplitudu: A = 3 · 10−3 • Frekvenci: f = • Periodu: T =
1 f
ω 2π
= 0, 125Hz
= 8s
• Vlnovou d´elku: λ =
2π k
=
2π 50π
= 0, 04m
• Rychlost ˇs´ıˇren´ı: – v= – v=
20.2
λ T ω k
= =
0,04 = 0, 005ms−1 8 0,25π = 0, 005ms−1 50π
D˚ ukaz ekvivalece jednotliv´ ych rovnic
Dokaˇzte, ˇze u(x,t) = u(ωt − kx) je ˇreˇsen´ım vlnov´e rovnice. Vlnov´a rovnice: ∂ 2 u(x,t) 1 ∂ 2 u(x,t) − =0 ∂x2 v 2 ∂t2 = u0 k(ωt − kx) = u00 k 2 (ωt − kx) ∂x2 ∂u = u0 ω(ωt − kx) ∂t 2 ∂ u = u0 ω 2 (ωt − kx) ∂t2 ω2 = k2 v2 k 2 u00 (ωt − kx) − k 2 u00 (ωt − kx) = 0 0=0 ∂u ∂x
∂2u
61
´ ´I VLNY, ZVUK 21 NELINEARN
21 21.1
62
Neline´ arn´ı vlny, zvuk Neline´ arn´ı vlny
Nelinearita existuje u vˇsech pod´eln´ ych vlnˇen´ı, pokud je amplituda dostateˇcnˇe velk´a. Ehm, dobˇre, takˇze ted’ v´ıme, kde to hledat, ale jeˇstˇe je tˇreba definovat, co to to vlastnˇe je. Nˇekter´ ych vˇec´ı se zˇrejmˇe nezbav´ıme. Mezi jednu takovou patˇr´ı i vlnov´a rovnice, takˇze neuˇskod´ı si ji zopakovat: 2 ∂2u 2∂ u = v ∂t2 ∂x2 Nyn´ı m˚ uˇzeme napsat tyto dvˇe rovnice a k nim pˇriˇradit pojmy:
1. v = f(λ) . . . disperze 2. v = f(u) . . . nelinearita. Obr´azek vyd´a za tis´ıc slov a nejhezˇc´ı obr´azek je vzoreˇcek. Douf´am, ˇze nebudu muset napsat tis´ıc slov, abych obs´ahl to, co n´am ˇrekl tento vzoreˇcek. . . Je-li rychlost vlny z´avisl´a na v´ ychylce, jedn´a se o nelinearitu. Fajn, tak to bylo jen 11 slov.
21.2
Zvuk
21.2.1
Obecnˇ e o zvuku
Co to je? Zvuk je kaˇzd´e pod´eln´e (v plynech a kapalin´ach, v pevn´ ych l´atk´ach i pˇr´ıˇcn´e) mechanick´e vlnˇen´ı v l´atkov´em prostˇred´ı, kter´e je schopno vyvolat v lidsk´em uchu sluchov´ y vjem. Frekvence tohoto vlnˇen´ı leˇz´ı v rozsahu pˇribliˇznˇe 20 Hz aˇz 20 kHz (taky se ud´av´a 16Hz aˇz 16kHz nebo 16Hz aˇz 20kHz. . . vyberte si); za jeho hranicemi ˇclovˇek zvuk sluchem nevn´ım´a. V ˇsirˇs´ım smyslu lze za zvuk oznaˇcovat i vlnˇen´ı s frekvencemi mimo tento rozsah. Zvuk s frekvenc´ı niˇzˇs´ı neˇz 20 Hz (16Hz)(kter´ y slyˇs´ı napˇr. sloni) naz´ yv´ame infrazvuk. Zvuk s frekvenc´ı vyˇsˇs´ı neˇz 20 kHz (16kHz)(napˇr. delf´ınovit´ı vn´ım´aj´ı zvuk aˇz do frekvenc´ı okolo 150 kHz) naz´ yv´ame ultrazvuk. Zvuky m˚ uˇzeme rozdˇelit na hudebn´ı (t´ony) a nehudebn´ı (hluky). T´ony vznikaj´ı pˇri pravideln´em, v ˇcase periodicky prob´ıhaj´ıc´ım pohybem kmit´an´ı. Pˇri jejich poslechu vznik´a v uchu vjem zvuku urˇcit´e v´ yˇsky, proto se t´on˚ u vyuˇz´ıv´a v hudbˇe. Zdrojem hudebn´ıch zvuk˚ u mohou b´ yt napˇr´ıklad lidsk´e hlasivky, r˚ uzn´e hudebn´ı n´astroje. Jako hluky oznaˇcujeme nepravideln´e vlnˇen´ı, vznikaj´ıc´ı jako sloˇzit´e nepravideln´e kmit´an´ı tˇeles, nebo kr´atk´e nepravideln´e rozruchy (sr´aˇzka dvou tˇeles, v´ ystˇrel, pˇreskoˇcen´ı elektrick´e jiskry apod.). I hluky jsou vyuˇz´ıv´any v hudbˇe, nebot’ k nim patˇr´ı i zvuky mnoha hudebn´ıch n´astroj˚ u, pˇredevˇs´ım bic´ıch.
´ ´I VLNY, ZVUK 21 NELINEARN
63
Kaˇzd´ y zvuk, hudebn´ı i nehudebn´ı, se vyznaˇcuje svoj´ı fyzik´aln´ı intenzitou, s kterou je rovnocenn´a veliˇcina naz´ yvan´a hladina intenzity zvuku mˇeˇren´a v dB, a fyziologickou hladinou sv´e hlasitosti. Mimo to se hudebn´ı zvuky vyznaˇcuj´ı jeˇstˇe frekvenc´ı, kter´a urˇcuje jejich v´ yˇsku. Tˇret´ı z´akladn´ı vlastnost´ı zvuku je pr˚ ubˇeh kmit´an´ı, ovlivˇ nuj´ıc´ı jeho zabarven´ı. Trv´an´ı zvuku v ˇcase urˇcuje jeho d´elku. Pˇriˇcemˇz rychlosti ve vzduchu, kapalinˇe a pevn´e l´atce jsou rozdˇeleny pˇribliˇznˇe takto: vplyn < vkap. < vp.l. 21.2.2
Zvuk ve vzduchu
F´azovou rychlost zvuku ve vzduchu urˇc´ıme ze vztahu: s
v=
ℵ·p ρ
kde p je statick´ y tlak ρ je hustota vzduchu ℵ je poissonova konstanta. Definujeme intenzitu zvuku I(v´ıce v ˇc´asti ??), kter´a je u ´mˇern´a druh´e mocninˇe v´ ychylky, resp. druh´e mocninˇe amplitudy. Matematicky: I ≡ u20 a tak´e truh´e mocninˇe tlaku. I =≡ p20 Kdyˇz uv´aˇz´ıte, ˇze intenzita mus´ı b´ yt st´ale stejn´a, tak jistˇe nebudete protestovat proti tvrzen´ı: p ≡ u0 neboli ˇze tlak, ˇze u ´mˇern´ y v´ ychylce. Experiment Udˇelejme si mal´ y experiment. Budeme m´ıt dva mikrofony vz´ajemnˇe vzd´alen´e x = 1, 5m pˇripojen´e na vyhodnocovac´ı zaˇr´ızen´ı, kter´e bude mˇeˇrit s´ılu sign´alu v z´avislosti na ˇcase (klasick´ y z´aznam zvuku). Ze zdroje pot´e vyˇsleme ostr´ y zvuk (n´araz kovu na kov) a budeme sledovat sign´al z obou mikrofon˚ u. ˇ Co n´am vyˇslo? Cas, kdy dorazila vlna k prvn´ımu mikrofonu, oznaˇc´ıme t1 a u druh´eho mikrofonu logicky a pˇredv´ıdatelnˇe t2 . Jejich vz´ajemn´ y rozd´ıl bude ∆t.
´ ´I VLNY, ZVUK 21 NELINEARN
64
t1 = 1, 29259s t2 = 1, 29681s ∆t = 4, 2ms vzd´alenost mikrofon˚ u byla5 x = 1, 5m. 1, 5 x = · 103 = 3606 ms−1 ∆t 4, 2 A vida — zmˇeˇrili jsme rychlost zvuku ve vzduchu. N´aslednˇe n´as zaj´ımalo, jakou rychlost´ı se ˇs´ıˇr´ı zvuk (resp. mechanick´e vlnˇen´ı) v mˇedi. Vlnˇen´ı m´ame dvoj´ıho typu. Pˇr´ıˇcn´e a pod´eln´e. My nebyli troˇskaˇri a zmˇeˇrili jsme oboje: v=
• Pro pˇr´ıˇcn´e vlnˇen´ı: ∆tCu−pr = 0, 74s vCu−pr =
1, 5 x = · 103 = 2400ms−1 ∆t 0, 74
• Pro pod´eln´e vlnˇen´ı: ∆tCu−pr = 0, 0, 38s vCu−pr =
x 1, 5 = · 103 = 4000ms−1 ∆t 0, 38
Pokud by V´as snad zaj´ımalo, jak to vypad´a s ofici´aln´ımi (tabulov´ ymi) hodnotami, tak povaˇzne v r´amci chyby, jak´e bylo naˇse mˇeˇren´ı u ´spˇeˇsn´e (tabulka 1). rychlost Prostˇred´ı Vzduch v = 340ms−1 Mˇed’ – pˇr´ıˇcn´e v = 2320ms−1 Mˇed’ – pod´eln´e 3800ms−1 Tabulka 1: Rychlosti zvuku v r˚ uzn´ ych prostˇred´ıch
21.3
Hudebn´ı zvuky – t´ ony
Jde o mechanick´e vlnˇen´ı ve slyˇsiteln´ ych frekvenc´ıch (v´ıce v ˇc´asti 21.2.1). 7 Co urˇcuje , jak t´on slyˇs´ıme? Jsou to tˇri vˇeci: 5
Uˇz jsem to sice jednou ˇr´ıkal, ale abychom to mˇeli vˇsechno pohromadˇe Zaokrouhleno v r´ amci chyby 7 Z fyzik´ aln´ıho hlediska vzhledem k vlnˇen´ı 6
´ ´I VLNY, ZVUK 21 NELINEARN
65
1. V´ yˇska t´onu: Z´akladn´ı frekvence. V hudebn´ı teorii je jedn´ım ze z´akladn´ıch prvk˚ u stupnice okt´ava. Co to znamen´a fyzik´alnˇe? Okt´ava je zdvojn´asoben´ı (z´akladn´ı) frekvence. A co tvoˇr´ı stupnici? Celkem 7t´on˚ u, jejichˇz vz´ajemn´e frekvence jsou v pomˇerech mal´ ych cel´ ych ˇc´ısel. 2. Barva t´onu: Zde se projevuj´ı Alikvotn´ı t´ony. Alikvotn´ı t´on, nebo t´eˇz vyˇsˇs´ı harmonick´ y t´on, ˇc´astkov´ y t´on je t´on, kter´ y zn´ı spoleˇcnˇe s t´onem z´akladn´ım. Vˇetˇsinou se u kaˇzd´eho t´onu (zvuku) vyskytuje mnoˇzstv´ı alikvotn´ıch t´on˚ u. Intenzita jednotliv´ ych alikvotn´ıch t´on˚ u je to, co urˇcuje charakteristickou barvu zvuku. Pr´avˇe d´ıky alikv´otn´ım t´on˚ um jsme schopni napˇr. poslechem rozpoznat, o jak´ y se to jedn´a hudebn´ı n´astroj. Napˇr´ıklad n´astroje s ostˇrejˇs´ım zvukem (trubka, pozoun) maj´ı silnˇejˇs´ı lich´e alikvotn´ı t´ony (prvn´ı, tˇret´ı etc), sud´e alikvotn´ı t´ony d´avaj´ı zvuku sp´ıˇs teplo a mˇekkost. Pokaˇzd´e, kdyˇz zn´ı nˇejak´ y t´on, je to proto, ˇze rovnomˇernˇe vibruje hmota n´astroje (ozvuˇcn´a deska, hlasivky atd). N´astroj (s v´ yjimkou elektronick´eho t´onov´eho gener´atoru generuj´ıc´ım ˇcist´ y ”sinus”) ale nikdy nevibruje pouze na z´akladn´ı frekvenci, tedy na frekvenci t´onu, kter´ y slyˇs´ıme. Vˇzdy je rozezn´ıv´an jeˇstˇe v celoˇc´ıseln´ ych n´asobc´ıch z´akladn´ı frekvence. Tyto n´asobky jsou frekvenˇcn´ı hodnoty alikvotn´ıch t´on˚ u. Prvn´ı alikv´otn´ı t´on je tedy dvojn´asobn´e frekvence neˇz z´akladn´ı t´on, druh´ y trojn´asobn´e atd. Alikvotn´ı t´ony vytv´aˇr´ı ˇradu, ve kter´e jsou intervaly mezi jednotliv´ ymi t´ony st´ale menˇs´ı a menˇs´ı. To je d˚ usledek faktu, ˇze lidsk´e ucho vn´ım´a zvuk v podstatˇe logaritmicky. Kaˇzd´a dalˇs´ı okt´ava m´a dvojn´asobnou frekvenci. Frekvence okt´av tedy rostou exponenci´alnˇe (v mocnin´ach), kdeˇzto frekvence alikvotn´ıch t´on˚ u rostou pouze line´arnˇe (v n´asobc´ıch). Specifick´a barva t´onu kaˇzd´eho jednotliv´eho n´astroje je pak d´ana pr´avˇe r˚ uznˇe intenzivn´ım zastoupen´ım jednotliv´ ych alikvotn´ıch t´on˚ u v jeho zvuku.
ˇ ´ ZA ´ REN ˇ ´I 22 SVETLO JAKO ELEKTROMAGNETICKE
22
Svˇ etlo jako elektromagnetick´ e z´ aˇ ren´ı ∂2E . . . intenzita elektrick´eho pole ∂t2 2 ~ = µε ∂ H . . . intenzita magnetick´eho pole ∆H ∂t2 ~ = µε ∆E
∆u =
1 ∂2u . . . vlnov´a rovnice v 2 ∂t2 s
v=
1 εµ
66
