Kmity, vlny. Optika Stanislav Nova k, Jirˇı Kra lı k zdaleka nedodeˇlana verze z 22. srpna 2007

Kmity, vlny. Optika Stanislav Nova´k, Jirˇ´ı Kra´lı´k zdaleka nedodeˇlana´ verze z 22. srpna 2007

2

Obsah ´ vod U

9

I

Kmity a vlny

11

1

Kmity

13

1.1

Za´kladnı´ pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2

Volne´ kmity soustav s jednı´m stupneˇm volnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1

Harmonicky´ pohyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.2

Energie harmonicke´ho oscila´toru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3

Tlumeny´ oscila´tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.4

Nucene´ harmonicke´ kmity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.4.1

Amplitudova´ rezonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.4.2

Rychlostnı´ rezonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.4.3

Pu˚sobenı´ libovolne´ periodicke´ sı´ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Skla´da´nı´ kmita´nı´ netlumeny´ch harmonicky´ch oscila´toru˚ . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.5.1

Superpozice kmitu˚ ve stejne´m smeˇru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.5.2

Superpozice kmitu˚ na sebe kolmy´ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Sprˇazˇene´ oscila´tory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.6.1

Pohyb harmonicky´ch sprˇazˇeny´ch oscila´toru˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.6.2

Energie sprˇazˇeny´ch oscila´toru˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.5

1.6

2

Vlny

35 1

OBSAH 2.1

Volne´ kmity soustav s mnoha stupni volnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2

Vlneˇnı´ na struneˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3

Sˇ´ırˇenı´ vlneˇnı´ v tycˇi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.4

Postupna´ vlna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.4.1

Fa´zova´ rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.4.2

Disperze a grupova´ rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Sˇ´ırˇenı´ vln v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.5.1

Rovinna´ harmonicka´ vlna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.5.2

Kulova´ harmonicka´ vlna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.5.3

Obecna´ rovnice sˇ´ırˇenı´ vlneˇnı´

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Doppleru˚v jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.5

2.6

II

Optika

53

3

Vznik a vy´voj optiky

55

4

Sveˇtlo jako elektromagneticka´ vlna

59

4.1

Maxwellovy vlnove´ rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.2

Rychlost sveˇtla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.3

Polarizace elektromagneticky´ch vln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

4.4

Rovinna´ harmonicka´ elektromagneticka´ vlna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

4.4.1

Rovinna´ harmonicka´ vlna v komplexnı´m za´pisu . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.5

Kulova´ harmonicka´ elektromagneticka´ vlna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.6

Energie a hybnost elektromagneticke´ho vlneˇnı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.6.1

67

5

Intenzita sveˇtla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vlnova´ optika

69

5.1

Interference dvou svazku˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

5.1.1

Co je to koherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

5.1.2

Interference sveˇtla ze dvou koherentnı´ch zdroju˚ . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2

Obsah

5.2

5.3

5.4

5.5

6

5.1.3

Metody zı´ska´va´nı´ koherentnı´ch zdroju˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

5.1.4

Interference dvou svazku˚ na tenke´ vrstveˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

5.1.5

Dvousvazkove´ interferometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Interference mnoha svazku˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

5.2.1

Rozdeˇlenı´ vlnoploch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

Rozsˇteˇpenı´ amplitudy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

5.3.1

Pouzˇitı´ interference v praxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

Difrakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.4.1

Huygensu˚v-Fresnelu˚v princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.4.2

Fresnelovy ohybove´ jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.4.3

Fraunhoferovy ohybove´ jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

5.4.4

Mrˇ´ızˇka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

5.4.5

Difrakce na trojrozmeˇrne´ mrˇ´ızˇce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Holografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

5.5.1

Disperze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

5.5.2

Rozlisˇovacı´ schopnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

Geometricka´ optika

99

6.1

Za´kladnı´ prˇedpoklady geometricke´ optiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

6.2

Fermatu˚v princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3

6.2.1

Za´kon prˇ´ımocˇare´ho sˇ´ırˇenı´ sveˇtla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.2.2

Za´kon odrazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.2.3

Za´kon lomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Geometricke´ opticke´ zobrazova´nı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.3.1

Konvence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.3.2

Za´kladnı´ pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.3.3

Zobrazovacı´ rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.3.4

Typy opticky´ch soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.3.5

Lom a odraz na kulove´ plosˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3

OBSAH 6.3.6

Vysˇetrˇenı´ parametru˚ soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3.7

Odrazna´ kulova´ plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3.8

Skla´da´nı´ kulovy´ch soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7

Fotometrie

113

8

Sveˇtlo v izotropnı´m prostrˇedı´

115

8.1

Elektromagneticke´ vlny na rozhranı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.2

Fresnelovy vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.3

Rozbor Fresnelovy´ch vztahu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.4 9

8.3.1

Odrazˇena´ a prosˇla´ energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.3.2

Kolmy´ a velmi sˇikmy´ dopad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.3.3

Zmeˇna fa´ze prˇi odrazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.3.4

Brewsteru˚v u´hel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.3.5

´ plny´ odraz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 U

Absorpce sveˇtla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Sveˇtlo v anizotropnı´m prostrˇedı´

129

9.1

Pru˚chod sveˇtla anizotropnı´m prostrˇedı´m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.2

Jednoose´ krystaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.2.1

9.3

Polarizacˇnı´ zarˇ´ızenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.3.1

9.4

9.5

Konstrukce rˇa´dny´ch a mimorˇa´dny´ch paprsku˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Vyuzˇitı´ polaroidu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Interference polarizovane´ho sveˇtla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.4.1

Za´vislost interference na vza´jemne´ poloze analyza´toru a polariza´toru . . . . . 137

9.4.2

Interference rˇa´dne´ho a mimorˇa´dne´ho paprsku prˇi konstantnı´ tlousˇt’ce desticˇky . 139

9.4.3

Interference rˇa´dne´ho a mimorˇa´dne´ho paprsku prˇi konstantnı´m natocˇenı´ desticˇky 140

9.4.4

Cˇtvrtvlnova´ desticˇka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.4.5

Kompenza´tory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Umeˇly´ dvojlom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4

Obsah

9.6

9.5.1

Fotoelasticky´ jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.5.2

Kerru˚v jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Opticka´ aktivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 9.6.1

Umeˇla´ opticka´ aktivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10 Kvantova´ optika

147

10.1 Za´kony za´rˇenı´ cˇerne´ho teˇlesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.1.1 Za´kladnı´ pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.1.2 Kirchhoffu˚v za´kon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.1.3 Cˇerne´ teˇleso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.1.4 Opticka´ pyrometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10.2 Fotoelektricky´ jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 10.2.1 Vy´sledky experimenta´lnı´ho zkouma´nı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 10.2.2 Pokus o vysveˇtlenı´ tohoto jevu vlnovou teoriı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.2.3 Einsteinovo vysveˇtlenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 10.2.4 Fotonka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 10.2.5 Vnitrˇnı´ fotoelektricky´ jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.3 Foton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 10.4 Comptonu˚v jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.5 Lasery – kvantove´ genera´tory sveˇtla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 10.5.1 Stavba atomu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 10.5.2 Einsteinova analy´za Planckova za´kona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 10.5.3 Principy laseru˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10.5.4 Rubı´novy´ laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10.5.5 Dalsˇ´ı typy laseru˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 10.5.6 Polovodicˇove´ lasery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 10.5.7 Vyuzˇitı´ laseru˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 11 Kapalne´ krystaly

179

11.1 Typy krystalu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5

OBSAH 11.1.1 Nematicky´ krystal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 11.1.2 Smekticky´ krystal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

11.1.3 Stylicky´ krystal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 11.1.4 Cholesticky´ krystal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 12 Mikroskopie s loka´lnı´ sondou

183

12.1 Minulost oboru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 12.1.1 1982-Binning, Rohrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 12.2 Za´kladnı´ pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 12.2.1 Tunelovacı´ jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 12.2.2 Intenzita tunelovacı´ho proudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 12.3 STM - Scanning Tunneling Microscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 12.4 AFM - Atomic Force Microscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 12.5 SPM - Scanning Probe Microscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 12.6 NSOM - Near-field Scanning Optical Microscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 12.7 Rozlisˇovacı´ schopnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 13 Optika atmosfe´ry

189

13.1 Intenzita rozpty´lene´ho sveˇtla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 13.1.1 Za´kon modre´ho nebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

III

Prˇ´ılohy

191

A Neˇktere´ du˚lezˇite´ vztahy mezi goniometricky´mi funkcemi

193

B Pocˇ´ıta´nı´ s komplexnı´mi cˇ´ısly

195

B.1 Zavedenı´ komplexnı´ch cˇ´ısel a jejich reprezentace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 B.2 Euleru˚v vztah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 B.3 Fa´zory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 C Neˇktere´ du˚lezˇite´ vztahy vektorove´ analy´zy

199 6

Obsah D Za´kladnı´ vztahy Fourierovy analy´zy

201

D.1 Fourieru˚v polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 D.2 Fourieru˚v integra´l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 D.3 Fourierova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 E Variacˇnı´ pocˇet

203

E.1 Brachistochrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 F K rozboru matematicke´ho kyvadla

205

G Pohybova´ rovnice (vodorovne´ho) sloupce kapaliny

209

H Analy´za sˇ´ırˇenı´ vlnove´ho balı´ku

211

I

215

Meˇrˇenı´ rychlosti sveˇtla I.1

Galilei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

I.2

Rømer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

I.3

Fizeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

I.4

Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

I.5

Michelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7

OBSAH

8

´ vod U Prˇestozˇe z kontextu je veˇtsˇinou zrˇejme´ zda se jedna´ o energii nebo velikost intenzity elektricke´ho pole, povazˇovali jsme za vhodne´ tyto velicˇiny rozlisˇit – intenzitu znacˇ´ıme prosty´m E a energii (jakoukoli) du˚sledneˇ znacˇ´ıme E nezna´mou konstantu znacˇ´ıme κ tucˇne´ vy´razy v rejstrˇ´ıku – pojmy, italika – zvy´razneˇnı´ cˇi du˚raz geometricke´ u´tvary jako body, prˇ´ımky (osy) a pod znacˇ´ıme SansSerifem

9

OBSAH

10

Cˇa´st I Kmity a vlny

11

12

Kapitola 1 Kmity 1.1

Za´kladnı´ pojmy

Vzhledem k relativnı´ dostupnosti studijnı´ literatury k tomuto te´matu – naprˇ. [1], [2], [3], [4], [5], ... – se omezı´me pouze na strucˇny´ prˇehled za´kladnı´ch pojmu˚, vztahu˚ a odvozenı´. Mechanicky´ kmitavy´ pohyb (= kmity, = kmita´nı´) vykona´va´ kazˇde´ teˇleso cˇi hmotny´ bod tehdy, vychyluje-li se z rovnova´zˇne´ polohy strˇ´ıdaveˇ v ru˚zny´ch smeˇrech. Rovnova´zˇnou polohou prˇitom rozumı´me mı´sto, ve ktere´ jsou vy´slednice vsˇech vneˇjsˇ´ıch sil a vy´slednice vsˇech momentu˚ teˇchto sil nulove´. Kmitavy´m pohybem mu˚zˇe by´t i cˇa´stecˇneˇ ota´cˇivy´ pohyb teˇlesa (kyvadla). V sˇirsˇ´ım smyslu se za kmita´nı´ pokla´da´ take´ vsˇechny dynamicky´ procesy, ktere´ jsou v dane´ fyzika´lnı´ soustaveˇ popsa´ny matematicky stejny´mi rovnicemi jako mechanicke´ kmita´nı´ (naprˇ. elektricky´ proud v rezonancˇnı´m obvodu). Kmitajı´cı´ (mechanicka´) soustava se nazy´va´ (mechanicky´) oscila´tor. Oscila´torem tedy nazy´va´me i fyzika´lnı´ soustavy, ktere´ uskutecˇnˇujı´ kmita´nı´ nemechanicke´ povahy. Periodicky´m nazy´va´me takovy´ kmitavy´ pohyb, ktery´ se po urcˇite´ dobeˇ – periodeˇ – opakuje. Takovy´to pohyb je matematicky popsa´n periodicky´mi funkcemi cˇasu. Periodicke´mu kmita´nı´ s periodou T prˇirˇazujeme te´zˇ velicˇinu zvanou frekvence (nebo vy´stizˇneˇji kmitocˇet) f , ktera´ je urcˇena pocˇtem cyklu˚ vykonany´ch za cˇasovou jednotku. Z uvedeny´ch definic plyne vztah f T = 1. Pokud na kmitajı´cı´ mechanicky´ oscila´tor nepu˚sobı´ zˇa´dna´ cˇasoveˇ promeˇnna´ vneˇjsˇ´ı sı´la, rˇ´ıka´me, zˇe oscila´tor kona´ volne´ kmity. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ mu˚zˇe vykona´vat tzv. nucene´ kmity. 13

KAPITOLA 1. KMITY

1.2

Volne´ kmity soustav s jednı´m stupneˇm volnosti

V dalsˇ´ım se budeme zaby´vat zejme´na popisem nejjednodusˇsˇ´ıch syste´mu˚, ktere´ majı´ jeden stupenˇ volnosti (jednorozmeˇrne´ syste´my).1 Ukazuje se totizˇ, zˇe na kmity probı´hajı´cı´ v rovineˇ cˇi v prostoru (naprˇ. kmity atomu˚ v uzlech krystalove´ mrˇ´ızˇky) lze nahlı´zˇet jako na slozˇenı´ neza´visly´ch jednorozmeˇrny´ch kmitavy´ch pohybu˚ pode´l navza´jem kolmy´ch prˇ´ımek,2 podobneˇ jako v mechanice mu˚zˇeme povazˇovat pohyb cˇa´stice v tı´hove´m poli Zemeˇ za pohyb slozˇeny´ z rovnomeˇrne´ho pohybu pode´l horizonta´lnı´ osy a rovnomeˇrneˇ zrychlene´ho pohybu pode´l vertika´lnı´ osy (viz oddı´l 1.50). Prˇi popisu fyzika´lnı´ch syste´mu˚ schopny´ch kmita´nı´ (oscila´toru˚) a jejich cˇasove´ho vy´voje uzˇ´ıva´me velicˇin, ktere´ charakterizujı´ jejich vy´chylku z rovnova´zˇne´ polohy (cˇi v prˇ´ıpadeˇ nemechanicky´ch syste´mu˚ obecneˇ z rovnova´zˇne´ho stavu). Tato velicˇina ma´ obecneˇ vektorovy´ charakter, nicme´neˇ prˇi nasˇem omezenı´ na jednorozmeˇrne´ prˇ´ıpady se jejı´ vektorova´ tva´rˇ skryje a objevı´ se tva´rˇ skala´rnı´. Tato velicˇina, ktere´ rˇ´ıka´me stavova´ funkce, za´visı´ na cˇase a v obecny´ch u´vaha´ch ji budeme oznacˇovat ψ, prˇicˇemzˇ ψ = ψ(t).

1.2.1 Harmonicky´ pohyb Harmonicky´m pohybem nazy´va´me takovy´ periodicky´ pohyb, jehozˇ za´vislost vy´chylky z rovnova´zˇne´ polohy na cˇase lze popsat bud’ funkcı´ sinus nebo funkcı´ kosinus (tzv. harmonicke´ funkce). Obecneˇ pak harmonicky´ pohyb jake´koliv fyzika´lnı´ soustavy je da´n sinovou cˇi kosinovou za´vislostı´ stavove´ funkce na cˇase. Protozˇe lze ze soucˇtovy´ch vzorcu˚ (viz prˇ´ıloha A) odvodit, zˇe platı´ As sin(ωt + ϕ0s ) = A sin(ωt) + A0 cos(ωt) = Ac cos(ωt + ϕ0c ) ,

(1.1)

kde As , Ac , A, A0 , ϕ0s a ϕ0c spolu souvisı´ vztahy As cos ϕ0s = A = −Ac sin ϕ0c

As sin ϕ0s = A0 = Ac cos ϕ0c

,

je v za´sadeˇ jedno, ktery´ v teˇchto vy´razu˚ budeme pouzˇ´ıvat.3 1

Stupneˇm volnosti nazy´va´me neza´visly´ dynamicky´ parametr (sourˇadnici), ktery´ v dane´m okamzˇiku plneˇ popisuje konfiguraci soustavy. Prˇ´ıkladem takove´ho parametru u soustav s jednı´m stupneˇm volnosti je poloha kora´lku navlecˇene´ho na niti, u´hel, ktery´ svı´ra´ kyvadlo kukacˇkovy´ch hodin s vertika´lou nebo okamzˇita´ hodnota elektricke´ho proudu v jednoduche´m obvodu. 2 Prˇ´ımky mohou by´t i ru˚znobeˇzˇne´, kmita´nı´ ale mu˚zˇe probı´hat take´ pode´l krˇivocˇary´ch sourˇadnic. 3 Pokud budeme mı´t na vy´beˇr (i z hlediska vhodnosti), budeme nejcˇasteˇji k popisu harmonicke´ho kmita´nı´ vyuzˇ´ıvat funkce kosinus. Jednak proto, zˇe lze obcˇas s vy´hodou vyuzˇ´ıt jejı´ sudost a jednak proto, zˇe u cˇasto uzˇ´ıvane´ho fa´zorove´ho vyja´drˇenı´ kmitavy´ch pohybu˚ cˇi vlneˇnı´ ma´ skutecˇny´ vy´znam rea´lna´ cˇa´st fa´zoru˚ a ta je take´ spojena s funkcı´ kosinus (viz dodatek B.3).

14

1.2. Volne´ kmity soustav s jednı´m stupneˇm volnosti Za´vazˇ´ı na pruzˇineˇ Asi nejjednodusˇsˇ´ım, co do prˇedstavy harmonicke´ho pohybu, je kmitavy´ pohyb za´vazˇ´ı visı´cı´ho na idea´lnı´ pruzˇineˇ4 v tı´hove´m poli Zemeˇ (prˇedpokla´da´me pohyb pouze v jednom smeˇru, tj. jeden stupenˇ volnosti). Na za´vazˇ´ı o hmotnosti m tedy pu˚sobı´ dveˇ sı´ly – tı´hova´, jejı´zˇ pru˚meˇt na svislici je Fg = mg a sı´la pruzˇnosti s pru˚meˇtem Fp = k∆l ≡ k(l − l0 ), kde l0 je de´lka pruzˇiny bez zatı´zˇenı´ (bez za´vazˇ´ı), l je okamzˇita´ de´lka pruzˇiny a k tzv. tuhost pruzˇiny (viz obr. 1.1).

Obra´zek 1.1: K popisu kmita´nı´ za´vazˇ´ı zaveˇsˇene´ho na pruzˇineˇ

Zaveˇsı´me-li teˇleso na neprotazˇenou pruzˇinu tak, aby bylo v klidu (= rovnova´zˇna´ poloha), prodlouzˇ´ı se pruzˇina na de´lku ¯l. Prˇitom v rovnova´zˇne´ poloze musı´ by´t Fg = Fp

tj. platı´ mg = k(¯l − l0 ) .

(1.2)

V obecne´ poloze je vy´slednice sil da´na vztahem Fv = Fg − Fp = mg − k(l − l0 )

.

(1.3)

Oznacˇ´ıme-li vy´chylku z rovnova´zˇne´ polohy ψ ≡ l − ¯l mu˚zˇeme 1.3 prˇepsat na vztah Fv = mg − kψ − k(¯l − l0 )

,

(1.4)

ktery´ celkem da´va´ Fv = −kψ 4

.

Idea´lnı´ pruzˇinou ma´me na mysli pruzˇinu, ktera´ pu˚sobı´ beze ztra´t mechanicke´ energie.

15

(1.5)

KAPITOLA 1. KMITY Sestavenı´m pohybove´ rovnice (II. Newtonu˚v za´kon) m

d2 ψ = −kψ dt2

dostaneme diferencia´lnı´ rovnici

d2 ψ k + ψ=0, (1.6) dt2 m jejı´mzˇ rˇesˇenı´m zı´ska´me cˇasovou za´vislost pohybu teˇlesa o hmotnosti m na pruzˇineˇ o tuhosti k, prˇesneˇji cˇasovou za´vislost jeho vy´chylky z rovnova´zˇne´ polohy. Oveˇrˇme, za jaky´ch podmı´nek bude rˇesˇenı´m rovnice 1.6 vy´raz

Jelikozˇ je

ψ(t) = A cos(ωt + ϕ0 ) .

(1.7)

d2 ψ = −Aω 2 cos(ωt + ϕ0 ) , 2 dt

(1.8)

bude po dosazenı´ do rovnice 1.6 k A cos(ωt + ϕ0 ) = 0 m Tato rovnice bude splneˇna pro vsˇechna t, pokud bude r k ω≡ . m −Aω 2 cos(ωt + ϕ0 ) +

.

(1.9)

Rozborem rˇesˇenı´ ψ(t) = A cos(ωt + ϕ0 )

(1.10)

lze zjistit, zˇe (integracˇnı´) konstanty A a ϕ0 odpovı´dajı´ po rˇadeˇ nejveˇtsˇ´ı vy´chylce (neˇkdy te´zˇ amplitudeˇ5 ) a fa´zi funkce cos v cˇase t = 0 (tzv. pocˇa´tecˇnı´ fa´zi). Funkci Φ(t) ≡ ωt + ϕ0 nazy´va´me fa´zı´ kmitave´ho pohybu a ω = 2πf je tzv. u´hlova´ frekvence. Kdybychom se chteˇli prˇi rozboru pu˚sobenı´ sı´ly pruzˇnosti na teˇleso vyhnout pocˇa´tecˇnı´mu uvazˇova´nı´ tı´hove´ sı´ly, mohli bychom teˇleso polozˇit na dokonale hladkou rovinu a uvazˇovat jeho horizonta´lnı´ pohyb (viz obr. 1.2). V tomto prˇ´ıpadeˇ se totizˇ tı´hova´ sı´la rusˇ´ı prˇ´ımo se silou reakce podlozˇky a vy´slednici sil pu˚sobı´cı´ch na zkoumany´ objekt tvorˇ´ı pouze sı´la pruzˇnosti. Matematicke´ kyvadlo Dalsˇ´ım jednoduchy´m prˇ´ıkladem syste´mu s jednı´m stupneˇm volnosti vykona´vajı´cı´m harmonicke´ kmity je tzv. matematicke´ kyvadlo ky´vajı´cı´ s maxima´lnı´ vy´chylkou ψ ≤ 5◦ . 5

V soucˇasne´ fyzice se pod vy´razem amplituda ma´ na mysli spı´sˇe samotna´ vy´chylka nezˇ maxima´lnı´ vy´chylka. V tomto smyslu se vsˇak tento pojem pouzˇ´ıva´ zejme´na u kmita´nı´ abstraktneˇjsˇ´ıch velicˇin nezˇ je mechanicka´ vy´chylka z rovnova´zˇne´ polohy, hovorˇ´ı se naprˇ. o amplitudeˇ elektricke´ho pole, amplitudeˇ pravdeˇpodobnosti atd. Vy´razu maxima´lnı´ vy´chylka by pak odpovı´dal vy´raz maxima´lnı´ amplituda.

16

1.2. Volne´ kmity soustav s jednı´m stupneˇm volnosti

∆x Fp

Obra´zek 1.2: Pruzˇina kmitajı´cı´ horizonta´lneˇ

Matematicky´m kyvadlem nazy´va´me male´ teˇlı´sko (≡ hmotny´ bod) o hmotnosti m pohybujı´cı´ se v tı´hove´m poli bez trˇenı´, zaveˇsˇene´ na nehmotne´m, neprotazˇitelne´m vla´kneˇ de´lky l (viz obr. F.1). Pro rozbor je zrˇejmeˇ nejjednodusˇsˇ´ı povazˇovat matematicke´ kyvadlo za tuhe´ teˇleso, ktere´ se ota´cˇ´ı kolem pevne´ osy (za´veˇs). Polohu takto se ota´cˇejı´cı´ho teˇlesa mu˚zˇeme popsat jediny´m parametrem (jeden stupenˇ volnosti), nejprˇirozeneˇjsˇ´ı je volba u´hlu ψ mezi smeˇrem tı´hove´ho zrychlenı´ a vla´knem (viz obr. F.1). Z u´vodnı´ho kurzu mechaniky vı´me, zˇe pohyb takove´ho teˇlesa se rˇ´ıdı´ rovnicı´ Jε = Mv , def

kde J je moment setrvacˇnosti, ε = d2 ψ/dt2 je u´hlove´ zrychlenı´ a M vy´sledny´ moment sil pu˚sobı´cı´ch na teˇleso. Z rozboru situace plyne, zˇe vy´slednice momentu˚ sil je rovna (viz prˇ´ıloha F) Mv = −lFg sin ψ

.

(1.11)

Moment setrvacˇnosti teˇlı´ska obı´hajı´cı´ho ve vzda´lenosti l od osy ota´cˇenı´ je J = ml2 , proto nabude pohybova´ rovnice 1.2.1 tvaru d2 ψ ml2 2 = −lmg sin ψ (1.12) dt a zı´ska´va´me tak diferencia´lnı´ rovnici pro funkci ψ(t): d2 ψ g + sin ψ = 0 . dt2 l Tato rovnice je analyticky nerˇesˇitelna´, ale podmı´nka na vy´chylku ≤ 5◦ je volena tak, aby v dobre´m prˇiblı´zˇenı´ bylo sin ψ ≈ ψ (takto zapsana´ aproximace platı´ samozrˇejmeˇ pro u´hly uvedene´ v radia´nech, ψ ¿ 1rad), cozˇ rovnici zjednodusˇ´ı na d2 ψ g + ψ=0. dt2 l 17

(1.13)

KAPITOLA 1. KMITY

Obra´zek 1.3: K matematicke´mu kyvadlu

Rˇesˇenı´ te´to rovnice je zcela analogicke´ rˇesˇenı´ rovnice popisujı´cı´ harmonicke´ho kmita´nı´ na pruzˇineˇ (viz 1.6). Proto mu˚zˇeme prˇ´ımo psa´t ψ(t) = A cos(ωt + ϕ0 ) , kde jsme oznacˇili (v analogii s 1.9)

r ω≡

g . l

(1.14)

(1.15)

Na rozbor pohybu matematicke´ho kyvadla se mu˚zˇeme dı´vat rovneˇzˇ z hlediska mechanicke´ energie. Prˇestozˇe si rozbor energie mechanicke´ho oscila´toru jesˇteˇ udeˇla´me v oddı´lu 1.2.2, jizˇ zde mu˚zˇeme uzˇ´ıt z mechaniky zna´me´ veˇty o souvislosti kineticke´ energie a pra´ce vsˇech sil, ktere´ na cˇa´stici o hmotnosti m pu˚sobı´: 1 2 1 2 − mvini . (1.16) Wcelk = mvfin 2 2 Protozˇe prˇedpokla´da´me pohyb bez trˇenı´ a odporu˚, pu˚sobı´ na teˇlı´sko na niti jen dveˇ sı´ly6 – tı´hova´ Fg a 6

Pozor, cˇasto se mluvı´ i o pu˚sobenı´ odstrˇedive´ sı´ly, ale tato „sı´la“ se projevuje jen v neinercia´lnı´ch vztazˇny´ch soustava´ch, nevyply´va´ z pu˚sobenı´ okolnı´ch teˇles a polı´, ale pra´veˇ z pohybu vztazˇne´ soustavy vu˚cˇi inercia´lnı´ vztazˇne´ soustaveˇ. Z hlediska inercia´lnı´ch vztazˇny´ch soustav (a v teˇch vysˇetrˇujeme fyziku v ra´mci za´kladnı´ho vysokosˇkolske´ho kurzu jako je tento nejcˇasteˇji) nemu˚zˇeme vu˚bec o odstrˇedive´ sı´le hovorˇit!

18

1.2. Volne´ kmity soustav s jednı´m stupneˇm volnosti tazˇna´ sı´la vla´kna Fl . Pra´ce vykonana´ tı´hovou silou je da´na rozdı´lem potencia´lnı´ch energiı´ ∆Ep = mg∆h a tazˇna´ sı´la vla´kna pra´ci nevykona´va´ (ha´dejte procˇ). Zvolı´me-li nulovou hladinu potencia´lnı´ energie v nejnizˇsˇ´ım bodeˇ trajektorie (viz obr. matemkyvadlo.doc), bude jeho potencia´lnı´ energie prˇi vychy´lenı´ o ψ z rovnova´zˇne´ polohy da´na vztahem Ep = mgl(1 − cos ψ) . Zkuste si, jaka´ je hodnota potencia´lnı´ energie prˇi ψ = 0 a ψ = π/2. Pro kinetickou energie musı´me urcˇit rychlost pomocı´ u´hlu. To nenı´ slozˇite´, protozˇe platı´ ds d dψ = lψ = l = lψ˙ . dt dt dt Za´kon zachova´nı´ mechanicke´ energie pak mu˚zˇeme zapsat ve tvaru v=

1 Emech = ml2 ψ˙ 2 + mgl(1 − cos ψ) . (1.17) 2 Pokud chceme z tohoto vztahu odvodit pohybovou rovnici, bude na´m cos ψ deˇlat proble´my, zkusme se tedy uchy´lit k aproximaci maly´ch u´hlu˚ a nahrad’me tuto funkci prvnı´mi dveˇma cˇleny rozvoje do Taylorovy rˇady, tj. ψ2 cos ψ ≈ 1 − . 2 Toto je opravdu velmi dobre´ prˇiblı´zˇenı´, vezmeme-li naprˇ. 1/5 rad (cozˇ je zhruba 12◦ ), bude kosinus roven O,98007 a aproximativnı´ cˇlen 0,9800, cozˇ je chyba 7 tisı´cin procenta a pokud se budeme zajı´mat o u´hel 1/60 rad (≈ 12◦ ), bude kosinus tohoto u´hlu 0,99986114 a aproximativnı´ cˇlen 0,999861111, ktery´ da´va´ vznik chybeˇ necele´ trˇetineˇ milio´ntiny procenta. Rovnici 1.17 mu˚zˇeme v tomto prˇiblı´zˇenı´ zapsat jako 1 ψ2 Emech = ml2 ψ˙ 2 + mgl . 2 2 Nynı´ jizˇ cˇasovou derivacı´ a u´pravou dostaneme zna´mou rovnici pro harmonicke´ kmita´nı´, tj. g → ψ¨ + ψ = 0 0 = ml2 ψ˙ ψ¨ + mglψ ψ˙ l ¡p g ¢ t + ψ0 . se zna´my´m rˇesˇenı´m ψ = ψmax cos l Nynı´ se seznamme s prˇ´ıkladem nemechanicke´ fyzika´lnı´ soustavy, ktera´ je za idea´lnı´ch podmı´nek rovneˇzˇ schopna harmonicke´ho kmita´nı´. LC rezona´tor LC rezona´torem nazy´va´me jednoduchy´ obvod tvorˇeny´ (idea´lnı´) cı´vkou (o indukcˇnosti L) a (idea´lnı´m) kondenza´torem (s kapacitou C). V takove´mto obvodu si jsou napeˇtı´ na cı´vce i na kondenza´toru rovna, tj. v kazˇde´m okamzˇiku platı´ uC (t) = uL (t) , 19

KAPITOLA 1. KMITY

Obra´zek 1.4: LC obvod

z cˇehozˇ

q(t) di(t) = −L , (1.18) C dt kde q(t) je okamzˇity´ na´boj na kondenza´toru a i(t) je okamzˇita´ hodnota proudu procha´zejı´cı´ho cı´vkou. Protozˇe z definice proudu plyne dq(t) i(t) = , dt zı´ska´me po dosazenı´ do 1.18 diferencia´lnı´ rovnici pro cˇasovou za´vislost na´boje na kondenza´toru: d2 q 1 (t) + q(t) = 0 dt2 LC

.

Podmı´nkou pro harmonicke´ rˇesˇenı´ ve tvaru q(t) = qm cos(ωt + ϕ0 ) je vztah zna´my´ jako Thomsonu˚v vzorec r ω=

1 LC

.

(1.19)

Pokud bychom chteˇli vysledovat cˇasovou za´vislost proudu procha´zejı´cı´ho cı´vkou, mohli bychom rovnici 1.18 jesˇteˇ jednou derivovat podle cˇasu a dostali bychom 1 dq d2 i = −L 2 C dt dt

.

Rˇesˇenı´ te´to diferencia´lnı´ rovnice je zcela analogicke´ prˇedchozı´mu, tj. i(t) = im cos(ωt + ϕ0 ) za stejne´ho prˇedpokladu 1.19. 20

1.2. Volne´ kmity soustav s jednı´m stupneˇm volnosti

1.2.2

Energie harmonicke´ho oscila´toru

Kinetickou energii mechanicke´ho oscila´toru, jehozˇ cˇasovy´ vy´voj je popsa´n jeho vy´chylkou ψ(t) z rovnova´zˇne´ polohy, definujeme vztahem µ ¶2 1 dψ Ek = m , (1.20) 2 dt cozˇ pro harmonicky´ oscila´tor vzhledem k 1.10 znamena´ 1 Ek = m(−Aω sin(ωt + ϕ0 ))2 2

.

V mechanice jsme se naucˇili, zˇe nacha´zı´-li se cˇa´stice (=hmotny´ bod) v poli konzervativnı´ch sil F (r ), mu˚zˇeme mu prˇirˇadit skala´rnı´ velicˇinu zvanou potencia´lnı´ energie Ep (r ), pro kterou platı´, zˇe pra´ce teˇchto sil vykonana´ na cˇa´stici prˇi prˇesunu z mı´sta ri na mı´sto rf je da´na vy´razem Wif = Ep (ri ) − Ep (rf ). Potencia´lnı´ energie teˇlı´ska majı´cı´ho vy´chylku ψ v poli sil F (ψ), je pak definova´na jako pra´ce, kterou tyto sı´ly musı´ vykonat, aby se syste´m dostal z aktua´lnı´ho stavu, do stavu ψ0 , kde je dohodou stanovena nulova´ hladina potencia´lnı´ energie, tj. Ep (ψ0 ) = 0 – vybereme-li pro jednoduchost nulovou hladinu potencia´lnı´ energie v rovnova´zˇne´ poloze (ψ0 = 0), bude Z0 F (ψ 0 )dψ 0

Ep =

,

ψ

cozˇ v prˇ´ıpadeˇ sil pruzˇnosti F = −kψ = −mω 2 ψ da´va´ Z0 Ep = −

1 mω 2 ψ 0 dψ 0 = m(ωψ)2 2

ψ

a v prˇ´ıpadeˇ harmonicky´ch kmitu˚ pak 1 Ep = m[ωA cos(ωt + ϕ0 )]2 2

.

Z prˇedchozı´ch vy´sledku˚ plyne, zˇe celkova´ mechanicka´ energie harmonicky kmitajı´cı´ho syste´mu 1 Em = Ek + Ep = m(ωA)2 2

(1.21)

neza´visı´ na cˇase. Na veˇc se ale mu˚zˇeme dı´vat i z opacˇne´ho konce: Protozˇe jsme si za´kon zachova´nı´ mechanicke´ energie pro sı´lu pruzˇnosti (cˇi sı´lu u´meˇrnou vy´chylce) doka´zali jizˇ v mechanice, mohli jsme tento vy´sledek prˇedpokla´dat a rovnou psa´t 1 1 k k 1 2 kxmax = mx˙ 2 + kx2 ⇒ x˙ 2 + x2 − x2max . 2 2 2 m m 21

(1.22)

KAPITOLA 1. KMITY

t

Obra´zek 1.5: Soucˇet kineticke´ (zelena´) a potencia´lnı´ energie (cˇervena´) je beˇhem pohybu konstantnı´, tj. mechanicka´ energie harmonicke´ho oscila´toru se nemeˇnı´ (modra´).

Cˇasovou derivacı´ poslednı´ rovnice zı´ska´me 2x¨ ˙x + 2

k xx˙ = 0 , m

cozˇ po u´praveˇ da´

k x=0, m tj. zpeˇt rovnici linea´rnı´ho harmonicke´ho oscila´toru. Na tomto prˇ´ıkladu mu˚zˇeme videˇt za´blesk ohromne´ role, kterou energie v soucˇasne´ fyzice ma´ – nejenzˇe bez vy´jimky platı´ jejı´ za´kon zachova´nı´, ale pomocı´ energiı´ lze sestavovat i pohybove´ rovnice! x¨ +

1.3

Tlumeny´ oscila´tor

Tlumeny´m oscila´torem budeme rozumeˇt harmonicky´ oscila´tor, na neˇjzˇ bude pu˚sobit odporova´ sı´la prostrˇedı´ Fr , jejı´zˇ velikost bude u´meˇrna´ cˇasove´ zmeˇneˇ stavove´ funkce (rychlosti), tj. Fr = −B

dψ dt

.

Konstantu u´meˇrnosti B nazy´va´me tlumenı´. Prˇi hleda´nı´ rovnice popisujı´cı´ cˇasovou za´vislost stavove´ funkce tlumene´ho oscila´toru vyjdeme opeˇt z rˇesˇenı´ Newtonovy pohybove´ rovnice m

dψ d2 ψ 2 = F + F = −mω ψ − B v r dt2 dt

,

z nı´zˇ po u´praveˇ a po zavedenı´ nove´ velicˇiny nazvane´ konstanta u´tlumu (vhodnost takove´hoto zavedenı´ bude zrˇejma´ z dalsˇ´ıho postupu) B b≡ 2m 22

1.3. Tlumeny´ oscila´tor zı´ska´me homogennı´ diferencia´lnı´ rovnici druhe´ho rˇa´du s konstantnı´mi koeficienty: d2 ψ dψ + 2b + ω2ψ = 0 dt2 dt

.

(1.23)

Z teorie diferencia´lnı´ch rovnic plyne, zˇe rˇesˇenı´ lze nale´zt ve tvaru ψ = κeαt , kde κ a α jsou zatı´m neurcˇene´ (integracˇnı´) konstanty. Po dosazenı´ zı´ska´me κα2 eαt + 2bκαeαt + κω 2 eαt = 0

,

cozˇ po zkra´cenı´ (κeαt 6= 0 pro vsˇechna t) da´ α2 + 2bα + ω 2 = 0

.

To je tzv. charakteristicka´ rovnice rovnice 1.23 a jejı´m rˇesˇenı´m zı´ska´me obecneˇ dva vy´sledky α1 a α2 , takzˇe i ψ1,2 = κ1,2 eα1,2 t . Proto bychom obecne´ rˇesˇenı´ rovnice tlumene´ho kmita´nı´ mohli psa´t ve tvaru √ √ ψ = κ1 exp[(−b + b2 − ω 2 )t] + κ2 exp[(−b − b2 − ω 2 )t] Prˇi ru˚zny´ch pomeˇrech konstanty u´tlumu b a u´hlove´ frekvence netlumene´ho kmita´nı´ ω (vsˇimneˇte si, zˇe majı´ stejny´ fyzika´lnı´ rozmeˇr) se tlumeny´ syste´m bude chovat ru˚zneˇ. Proberme si jednotlive´ prˇ´ıpady: • b<ω Zavedeme dalsˇ´ı substituci ω1 ≡

√

ω 2 − b2

a tedy α1,2 = −b ±

√

b2

(v nasˇem prˇ´ıpadeˇ tedy je ω1 > 0)

−

ω2

q = −b ± −ω12 = −b ± ω1 i .

ˇ esˇenı´ tak mu˚zˇeme upravit R ψ = κ1 exp[(−b + iω1 )t] + κ2 exp[(−b − iω1 )t] = = exp(−bt)[κ1 exp(iω1 t) + κ2 exp(−iω1 t)] = = exp(−bt)[i(κ1 − κ2 ) sin ω1 t + (κ1 + κ2 ) cos ω1 t] . Uzˇijeme-li substituce i(κ1 − κ2 ) ≡ −A sin ϕ0 κ1 + κ2 ≡ A cos ϕ0

,

v nichzˇ jsme nahradili integracˇnı´ konstanty κ1 a κ2 konstantami A a ϕ0 , ma´me ψ = exp(−bt)[A cos ϕ0 cos ω1 t − A sin ϕ0 sin ω1 t] 23

(1.24)

KAPITOLA 1. KMITY a pouzˇitı´m soucˇtove´ho vzorce A.4 (viz prˇ´ıloha) konecˇneˇ zı´ska´va´me rˇesˇenı´ ve tvaru ψ(t) = A exp(−bt) cos(ω1 t + ϕ0 ) .

(1.25)

Z matematicke´ho hlediska jsou hodnoty funkce kosinus snizˇova´ny exponencia´lnı´ funkcı´ – fyzika´lneˇ tedy dosta´va´me kmitavy´ pohyb s u´hlovou frekvencı´ ω1 a klesajı´cı´ maxima´lnı´ vy´chylkou A(t) ≡ A exp(−bt). Takovy´to druh pohybu nazy´va´me tlumene´ kmita´nı´ a velicˇinu ω1 nazy´va´me frekvence tlumene´ho pohybu. • b>ω Protozˇe v tomto prˇ´ıpadeˇ jsou α1 i α2 rea´lne´ konstanty, nebude rˇesˇenı´ ψ(t) = κ1 exp(α1 t) + κ2 exp(α2 t)

(1.26)

odpovı´dat opakujı´cı´mu se kmitave´mu pohybu jako v prˇedchozı´m prˇ´ıpadeˇ. Pohyb popsany´ vy´sˇe uvedenou rovnicı´ je nazy´va´n tlumeny´m aperiodicky´m pohybem. • b=ω V tomto prˇ´ıpadeˇ je exponencia´lnı´ cˇlen α roven −b a pu˚vodneˇ neza´visla´ rˇesˇenı´ κ1 eα1 t a κ2 eα2 t rovnice 1.23 jizˇ neza´visla´ nejsou. Ukazuje se vsˇak, zˇe vyna´sobenı´m rˇesˇenı´ e−bt promeˇnnou t, zı´ska´me nove´ neza´visle´ rˇesˇenı´ rovnice 1.23 (oveˇrˇte) a tedy bude ψ(t) = κ1 exp(−bt) + κ2 t exp(−bt)

(1.27)

Pohyb rˇ´ıdı´cı´ se touto rovnicı´ je nazy´va´n meznı´m aperiodicky´m pohybem. ´ tlum U Prˇi rˇesˇenı´ u´loh ty´kajı´cı´ch se kmitajı´cı´ch tlumeny´ch oscila´toru˚ (tj. teˇch, kde b < ω) je cˇasto uzˇ´ıva´no velicˇiny u´tlum definovane´ podı´lem dvou o periodu (T1 = 2π/ω1 ) posunuty´ch vy´chylek (viz 1.25): def

λ=

ψ(t) A exp(−bt) cos(ω1 t + ϕ0 ) cos(ω1 t + ϕ0 ) = = ψ(t + T1 ) A exp(−b(t + T1 )) cos(ω1 (t + T1 ) + ϕ0 ) exp(−bT1 ) cos(ω1 t + ω1 T1 + ϕ0 )

.

Jelikozˇ je ω1 T1 = 2π, bude u´tlum neza´visly´ na cˇase, tj. λ=

ψ(t) = exp(bT1 ) ψ(t + T1 )

.

(1.28)

Prˇi zada´nı´ cˇi rˇesˇenı´ prˇ´ıkladu˚ se cˇasto mı´sto dvou o periodu posunuty´ch obecny´ch vy´chylka´ch hovorˇ´ı o dvou za sebou na´sledujı´cı´ch maxima´lnı´ch vy´chylka´ch, tj. λ=

A(t) A(t + T1 )

.

Pro strucˇnost je take´ cˇasto vy´hodne´ pracovat s velicˇinou nazvanou logaritmicky´ dekrement u´tlumu δ, definovanou jako prˇirozeny´ logaritmus u´tlumu def

δ = ln λ = bT1 24

.

(1.29)

1.4. Nucene´ harmonicke´ kmity

1.4

Nucene´ harmonicke´ kmity

Vysˇetrˇeme nynı´, co se stane, pu˚sobı´-li na tlumeny´ oscila´tor vysˇetrˇovany´ v prˇedchozı´ch odstavcı´ch vneˇjsˇ´ı periodicka´ sı´la popsana´ rovnicı´ F (t) = F0 cos Ωt ,

(1.30)

ktera´ doda´va´ oscila´toru energii pro vyrovna´nı´ ztra´t zpu˚sobeny´ch tlumenı´m. Newtonova pohybova´ rovnice nabude nynı´ tvaru dψ d2 ψ m 2 = F0 cos Ωt − kψ − B , (1.31) dt dt cozˇ po stejny´ch substitucı´ch jako v prˇedchozı´m vede na linea´rnı´ nehomogennı´ diferencia´lnı´ rovnici druhe´ho rˇa´du s konstantnı´mi koeficienty dψ d2 ψ F0 + 2b + ω2ψ = cos Ωt . 2 dt dt m

(1.32)

Obecne´ rˇesˇenı´ tohoto typu diferencia´lnı´ch rovnic hleda´me jako soucˇet obecne´ho rˇesˇenı´ jejı´ho homogennı´ho zu´zˇenı´ a jednoho jejı´ho (tzv. partikula´rnı´ho) rˇesˇenı´. Protozˇe homogennı´ cˇa´st rovnice 1.32 je totozˇna´ s rovnicı´ pro tlumene´ kmity, zameˇrˇ´ıme se na nalezenı´ partikula´rnı´ho rˇesˇenı´. Zkusme vysˇetrˇit, za jaky´ch okolnostı´ by takovy´m rˇesˇenı´m mohla by´t funkce ψp = Av cos(Ωt + ϕv ) .

(1.33)

Dosazenı´m do rovnice 1.32 zı´ska´me rovnost −Av Ω2 cos(Ωt + ϕv ) − 2bAv Ω sin(Ωt + ϕv ) + ω 2 Av cos(Ωt + ϕv ) =

F0 cos(Ωt) m

(1.34)

platı´cı´ v kazˇde´m okamzˇiku t. Abychom nalezli podmı´nky pro zatı´m neurcˇene´ konstanty Av a ϕv , zvolme si vhodneˇ dva ru˚zne´ cˇasove´ okamzˇiky t1 a t2 tak, aby platilo Ωt1 + ϕv = 0

nebo Ωt2 + ϕv =

π 2

(1.35)

Po dosazenı´ t1 do 1.34 zı´ska´me −Av Ω2 + ω 2 Av = a po dosazenı´ za t2 zase −2bAv Ω =

F0 cos(−ϕv ) m

π F0 cos( − ϕv ) . m 2

´ pravou obou rovnic dostaneme soustavu dvou rovnic pro dveˇ nezna´me´ ve tvaru U F0 cos ϕv , m F0 sin ϕv . −2bAv Ω = m

Av (ω 2 − Ω2 ) =

25

(1.36) (1.37)

KAPITOLA 1. KMITY Podeˇlenı´m teˇchto rovnic jizˇ snadno dosta´va´me vyja´drˇenı´ pro konstantu ϕv , kterou mu˚zˇeme interpretovat jako fa´zovy´ posun kmitu˚ vu˚cˇi pu˚sobı´cı´ sı´le, tj. ¶ µ −2bΩ (1.38) ϕv = arctg . ω 2 − Ω2 Naproti tomu umocneˇnı´m a secˇtenı´m zı´ska´me rovnici ·

F0 [Av (ω − Ω )] + [2bAv Ω] = m 2

2

2

¸2

2

,

ktera´ vede na podmı´nku pro velicˇinu Av , kterou mu˚zˇeme interpretovat jako maxima´lnı´ vy´chylku vynucene´ho kmita´nı´ oscila´toru, tj. Av =

F0 p 2 m (ω − Ω2 )2 + 4b2 Ω2

Je-li oscila´tor schopen tlumene´ho kmita´nı´ (tj. je-li ω1 ≡ rovnice pro vynucene´ kmita´nı´ tlumene´ho oscila´toru

√

.

(1.39)

ω 2 − b2 rea´lne´), bude obecne´ rˇesˇenı´ pohybove´

ψ(t) = Av cos(Ωt + ϕv ) + A exp(−bt) cos(ω1 t + ϕ0 ) £ ¡ ¢¤ F0 cos Ωt + arctg − ω22bΩ 2 −Ω p = + A exp(−bt) cos(ω1 t + ϕ0 ) . 2 2 2 2 m (ω − Ω ) + 4b Ω2

(1.40)

Kmita´nı´ tlumene´ho oscila´toru podrobene´ho periodicke´ sı´le 1.30 je tedy slozˇenı´m kmita´nı´ vynucene´ho, vyja´drˇene´ho prvnı´m scˇ´ıtancem a kmita´nı´ tlumene´ho, vyja´drˇene´ho scˇ´ıtancem druhy´m. Protozˇe tlumene´ kmita´nı´ je v cˇasech t À T1 = 2π/ω1 exponencia´lneˇ potlacˇeno (cˇlenem e−bt ), bude po dostatecˇneˇ dlouhe´ dobeˇ pohyb oscila´toru popsa´n pouze prvnı´m cˇlenem v rovnici 1.40 (tzn. rovnicı´ 1.33). O druhe´m cˇlenu rˇ´ıka´me, zˇe popisuje tzv. prˇechodovy´ deˇj.

1.4.1 Amplitudova´ rezonance Vysˇetrˇeme nynı´, pro jake´ frekvence vynucujı´cı´ sı´ly bude maxima´lnı´ vy´chylka usta´leny´ch vynuceny´ch kmitu˚ oscila´toru nejveˇtsˇ´ı, tj. pro jaka´ Ω bude Av naby´vat sve´ maxima´lnı´ hodnoty. Z vyja´drˇenı´ 1.39 je zrˇejme´, zˇe amplituda bude maxima´lnı´, bude-li minima´lnı´ vy´raz f (Ω) ≡ (ω 2 − Ω2 )2 + 4b2 Ω2 Extre´m funkce hleda´me obvykle v bodeˇ, v neˇmzˇ je jejı´ prvnı´ derivace nulova´ df (Ω) = 4Ω(Ω2 − ω 2 ) + 8b2 Ω = 0 dΩ √ Rˇesˇenı´ poslednı´ rovnice jsou dveˇ: Ω1 = 0 a Ω2 = ω 2 − 2b2 , prˇitom prvnı´ rˇesˇenı´ odpovı´da´ konstantnı´ budı´cı´ sı´le a je tedy nezajı´mave´. Po dosazenı´ druhe´ho rˇesˇenı´ do 1.39 zı´ska´me pro amplitudu kmitu˚ prˇi te´to frekvenci vy´raz (oveˇrˇte, zˇe jde skutecˇneˇ o maximum Av ) Ar =

F /m F0 √0 = 2bmω1 2b ω 2 − b2 26

1.4. Nucene´ harmonicke´ kmity Deˇj, prˇi ktere´m v du˚sledku pu˚sobenı´ periodicke´ budı´cı´ sı´ly naby´va´ maxima´lnı´ vy´chylka kmita´nı´ buze´ hlova´ frekvence vynucene´ho oscila´toru sve´ nejveˇtsˇ´ı hodnoty, nazy´va´me amplitudova´ rezonance. U ne´ho kmita´nı´ definovana´ vztahem √ Ωr ≡ ω 2 − 2b2 je nazy´va´na rezonancˇnı´ frekvencı´ prˇi amplitudove´ rezonanci. Stojı´ za povsˇimnutı´, zˇe v prˇ´ıpadeˇ snizˇova´nı´ vlivu tlumenı´, tj. pro b → 0, poroste amplituda v rezonanci nade vsˇechny meze.

1.4.2 Rychlostnı´ rezonance Zkoumejme da´le, za jaky´ch okolnostı´ naby´va´ sve´ nejveˇtsˇ´ı hodnoty kineticka´ energie nuceny´ch kmitu˚, tj. velicˇina 1 Ek = mΩ2 A2v [sin(Ωt + ϕv )]2 . 2 Kineticka´ energie bude jisteˇ nejveˇtsˇ´ı, kdyzˇ sin(Ωt + ϕv ) = 1. Stacˇ´ı tedy zkoumat maximum vy´razu Ω2 (Ω2 − ω 2 )2 + 4b2 Ω2

.

Jednoduchou u´pravou zı´ska´me ¡ Ω−

1 ¢2

ω2 Ω

+ 4b2

=

£

ω 2 ( Ωω

1 − Ωω )2 +

4b2 ω2

¤

,

cozˇ uzˇitı´m substituce u ≡ Ω/ω mu˚zˇeme prˇepsat na ω2

£

1 (u − u1 )2 +

4b2 ω2

¤.

Tento vy´raz, a tedy i kineticka´ energie, je maxima´lnı´, kdyzˇ u − u1 = 0, cozˇ vzhledem k Ω > 0 i ω > 0 znamena´, zˇe Ω = ω, tj. frekvence budı´cı´ sı´ly je stejna´ jako vlastnı´ frekvence oscila´toru (bez tlumenı´) – rˇ´ıka´me, zˇe nasta´va´ tzv. rychlostnı´ rezonance. Prˇi te´to podmı´nce pak kineticka´ energie prˇ´ıslusˇna´ vynuceny´m kmitu˚m tlumene´ho oscila´toru je Ekr =

F02 F02 = 2 8mb2 2mω 2 4b ω2

.

1.4.3 Pu˚sobenı´ libovolne´ periodicke´ sı´ly Podı´vejme se za´veˇrem na jednu zajı´mavou vlastnost rovnic typu 1.32. Prˇedpokla´dejme, zˇe ma´me dveˇ diferencia´lnı´ rovnice lisˇ´ıcı´ se pravou stranou, tj. dψ d2 ψ + 2b + ω 2 ψ = F1 (t) 2 dt dt 27

KAPITOLA 1. KMITY a

d2 ψ dψ + 2b + ω 2 ψ = F2 (t) . 2 dt dt Je-li ψ1 (t) rˇesˇenı´m prvnı´ rovnice a ψ2 (t) rˇesˇenı´m druhe´ rovnice, bude ψ(t) = ψ1 + ψ2 rˇesˇenı´m rovnice d2 ψ dψ + 2b + ω 2 ψ = F1 (t) + F2 (t) . 2 dt dt Tuto vlastnost lze podobneˇ doka´zat pro libovolny´ pocˇet ru˚zny´ch pravy´ch stran. Da´le, z Fourierovy analy´zy je zna´mo, zˇe kazˇdou „rozumnou“ periodickou funkci F (t) s periodou T = 2π/ω lze rozlozˇit do rˇady harmonicky´ch funkcı´ naprˇ´ıklad ve tvaru F (t) = A0 +

∞ X

An cos(nωt + ϕn ) =

n=1

∞ X

An cos(

n=1

2πn t + ϕn ). T

(1.41)

Z prˇedchozı´ho postupu jizˇ umı´me najı´t rˇesˇenı´ libovolne´ rovnice typu (pocˇa´tecˇnı´ fa´ze nenı´ va´zˇnou komplikacı´) d2 ψ dψ + 2b + ω 2 ψ = A cos(Ωt + ϕ0 ), 2 dt dt proto lze teoreticky rˇesˇit i pohybove´ rovnice popisujı´cı´ tlumeny´ oscila´tor podrobeny´ jake´koliv periodicke´ vneˇjsˇ´ı sı´le F (t).

1.5

Skla´da´nı´ kmita´nı´ netlumeny´ch harmonicky´ch oscila´toru˚

Prˇ´ıpad rˇesˇeny´ v prˇedchozı´ch odstavcı´ch platı´ i obecneˇji: je-li syste´m popsa´n linea´rnı´ diferencia´lnı´ rovnicı´ a stavove´ funkce ψ1 , ψ2 , · · · , ψn jsou jejı´ prˇ´ıslusˇna´ rˇesˇenı´, tj. pohyb syste´mu je za jisty´ch okolnostı´ popsa´n cˇasovou za´vislostı´ ψ1 , za jiny´ch za´vislostı´ ψ2 atd., mu˚zˇe se tento syste´m pohybovat i tak, zˇe jeho cˇasova´ za´vislost stavove´ funkce bude da´na linea´rnı´ kombinacı´ ψ(t) = κ1 ψ1 (t) + κ2 ψ2 (t) + · · · + κn ψn (t)

.

Rˇ´ıka´me, zˇe pro tento syste´m platı´ tzv. princip superpozice (skla´da´nı´).

1.5.1 Superpozice kmitu˚ ve stejne´m smeˇru V tomto cˇla´nku stojı´me prˇed u´kolem prozkoumat, jak se bude pohybovat harmonicky´ oscila´tor, ktery´ je rozkmita´va´n dveˇma neza´visly´mi budı´cı´mi silami F1 a F2 . Prˇedpokla´da´me prˇitom, zˇe tyto sı´ly pu˚sobı´ tak, zˇe kdyby na oscila´tor pu˚sobila jen F1 , byl by jeho pohyb (v usta´lene´ fa´zi) obecneˇ da´n rovnicı´ ψ1 (t) = A1 cos(ω1 t + ϕ01 ) 28

(1.42)

1.5. Skla´da´nı´ kmita´nı´ netlumeny´ch harmonicky´ch oscila´toru˚ a kdyby pu˚sobila jen F2 , pohyboval by se v souladu se vztahem ψ2 (t) = A2 cos(ω2 t + ϕ02 ) .

(1.43)

Vy´sledne´ kmita´nı´ ψc bude da´no superpozicı´ (secˇtenı´m) obou za´vislostı´, tj. ψc = A1 cos(ω1 t + ϕ01 ) + A2 cos(ω2 t + ϕ02 ) .

(1.44)

V praxi jsou du˚lezˇite´ zejme´na dva specia´lnı´ prˇ´ıpady – kdyzˇ frekvence vynucujı´cı´ch sil jsou stejne´ a kdyzˇ jsou stejne´ maxima´lnı´ vy´chylky obou oscila´toru˚. a) ω1 = ω2 ≡ ω ψc = A1 cos(ωt + ϕ01 ) + A2 cos(ωt + ϕ02 ) dodeˇlat!!! b) A1 = A2 ≡ A Za tohoto prˇedpokladu a prˇi zjednodusˇenı´ ϕ01 = 0 = ϕ02 mu˚zˇeme rovnici 1.44 upravit pouzˇitı´m soucˇtove´ho vzorce A.7 ψc = A cos ω1 t + A cos ω2 t ω1 t − ω2 t ω1 t + ω2 t (ω1 − ω2 )t (ω1 + ω2 )t = 2A cos cos = 2A cos cos 2 2 2 2 Uzˇitı´m substituce ω1 + ω2 ω ¯ ≡ 2 ω1 − ω2 ωM ≡ 2 mu˚zˇeme psa´t ψc = 2A cos(ωM t) cos(¯ ω t)

(1.45) (1.46)

Uvedenou rovnici kmitu˚ lze cha´pat tak, zˇe cˇinitel AM ≡ 2A cos ωM t pouze moduluje harmonicke´ kmita´nı´ s pru˚meˇrnou frekvencı´ ω ¯ , nazy´va´me jej modulovana´ amplituda. Stavovou rovnici slozˇene´ho kmita´nı´ nakonec pı´sˇeme ve tvaru ψv = AM cos(¯ ω t)

(1.47)

ω1 ≈ ω2

(1.48)

Prˇi splneˇnı´ podmı´nky pak docha´zı´ k tzv. ra´zu˚m (za´zneˇju˚m) – amplituda vy´sledne´ho kmita´nı´ se pak meˇnı´ dostatecˇneˇ pomalu na to, aby byla snadno zaznamenatelna´. 29

KAPITOLA 1. KMITY

1.5.2

Superpozice kmitu˚ na sebe kolmy´ch

Nynı´ prˇedpokla´dejme harmonicky´ oscila´tor schopny´ kmitat v rovineˇ xy, prˇitom ve smeˇru osy x jej budı´cı´ sı´la nutı´ kmitat podle rovnice x = A sin(ωt)

(1.49)

a ve smeˇru osy y podle (viz A.3) y = A sin(ωt + ϕ0 ) = A[sin(ωt) cos ϕ0 + cos(ωt) sin ϕ0 ] Sloucˇenı´m teˇchto vztahu˚, uzˇitı´m A.1, umocneˇnı´m a opeˇtovny´m uzˇitı´m A.1 ma´me √ y = x cos ϕ0 + A2 − x2 sin ϕ0 √ y − x cos ϕ0 = A2 − x2 sin ϕ0 y 2 − 2xy cos ϕ0 + x2 cos2 ϕ0 = (A2 − x2 ) sin2 ϕ0 y 2 − 2xy cos ϕ0 + x2 = A2 sin2 ϕ0

.

(1.50)

Zı´skali jsme tak rovnici elipsy v karte´zsky´ch sourˇadnicı´ch, jejı´zˇ hlavnı´ poloosa je pootocˇena o u´hel ϕ0 vu˚cˇi ose x.7 Specia´lnı´ prˇ´ıpady vy´sledny´ch trajektoriı´ pohybu oscila´toru v rovineˇ xy jsou: a) Kruzˇnicova´ trajektorie – vznika´ v prˇ´ıpadeˇ, zˇe pro rozdı´l fa´zı´ ϕ0 platı´ ϕ0 = (2n + 1)

π 2

pro

n∈Z

,

pak je totizˇ x2 + y 2 = A . • Prˇ´ımkova´ trajektorie – vznika´, pokud ϕ0 splnˇuje ϕ0 = 2kπ

nebo ϕ0 = (2k + 1)π pro k ∈ Z

.

Po dosazenı´ do 1.50 totizˇ dosta´va´me x=y

nebo x = −y

.

Prˇi skla´da´nı´ dvou kolmy´ch kmitu˚ ru˚zny´ch frekvencı´, ktere´ jsou v pomeˇru maly´ch prˇirozeny´ch cˇ´ısel, opisuje oscila´tor trajektorie, ktery´m se rˇ´ıka´ Lissajousovy obrazce. 7

O tom, zˇe tato rovnice skutecˇneˇ popisuje rovnici elipsy s uvedeny´mi parametry se lze prˇesveˇdcˇit procˇtenı´m literatury ty´kajı´cı´ se analyticke´ geometrie nebo v matematicky´ch prˇ´ırucˇka´ch naprˇ. [10], [11], ... .

30

1.6. Sprˇazˇene´ oscila´tory

-2

1

1

0.5

0.5

-1

1

-2

2

-1

1

-0.5

-0.5

-1

-1

2

Obra´zek 1.6: Lissajousu˚v obrazec vznikly´ slozˇe- Obra´zek 1.7: Lissajousu˚v obrazec vznikly´ slozˇenı´m kolmy´ch kmitu˚ – 2 sin 2t a sin 3t nı´m kolmy´ch kmitu˚ – 2 sin 3t a sin 8t

1.6

Sprˇazˇene´ oscila´tory

1.6.1

Pohyb harmonicky´ch sprˇazˇeny´ch oscila´toru˚

Pohyb dvou stejny´ch, ale neza´visly´ch harmonicky´ch oscila´toru˚ se bude rˇ´ıdit dveˇma neza´visly´mi diferencia´lnı´mi rovnicemi d2 ψ1 d2 ψ2 m 2 = −mω 2 ψ1 a m 2 = −mω 2 ψ2 (1.51) dt dt Spojme nynı´ tyto oscila´tory pruzˇnou vazbou (naprˇ. dveˇ matematicka´ kyvadla spojena´ pruzˇinou - viz obr. 1.8). Sı´la F1 pu˚sobı´cı´ na oscila´tor 1 od oscila´toru 2 prostrˇednictvı´m te´to vazby bude da´na vztahem F1 = −kv (ψ1 − ψ2 ),

(1.52)

kde kv je tuhost vazby syste´mu. Podle za´kona akce a reakce bude oscila´tor 1 pu˚sobit na oscila´tor 2 silou F2 = −F1 . Pohyb syste´mu teˇchto tzv. sprˇazˇeny´ch oscila´toru˚ bude popsa´n soustavou diferencia´lnı´ch rovnic d2 ψ1 = −mω 2 ψ1 − kv (ψ1 − ψ2 ) 2 dt d2 ψ2 m 2 = −mω 2 ψ2 + kv (ψ1 − ψ2 ), dt m

kterou za pouzˇitı´ substituce k∗ ≡

kv m

(1.53)

mu˚zˇeme prˇepsat na d2 ψ1 = −ω 2 ψ1 − k ∗ (ψ1 − ψ2 ) 2 dt d2 ψ2 = −ω 2 ψ2 + k ∗ (ψ1 − ψ2 ) dt2 Rˇesˇenı´ takove´to soustavy sva´zany´ch rovnic pro dveˇ nezna´me´ funkce ψ1 a ψ2 mu˚zˇeme najı´t pomocı´ jejı´ transformace na soustavu neza´visly´ch rovnic pro jine´ nezna´me´ (ktere´ samozrˇejmeˇ s pu˚vodnı´mi nezna´my´mi musı´ jednoznacˇneˇ souviset). 31

KAPITOLA 1. KMITY

Obra´zek 1.8: Sprˇazˇene´ oscila´tory

Secˇtenı´m a odecˇtenı´m vy´sˇe uvedeny´ch rovnic zı´ska´me rovnice: d2 (ψ1 + ψ2 ) = −ω 2 (ψ1 + ψ2 ) dt2 d2 (ψ1 − ψ2 ) = −ω 2 (ψ1 − ψ2 ) − 2k ∗ (ψ1 − ψ2 ) dt2 Po zavedenı´ substitucı´ x1 ≡ ψ1 + ψ2

x2 ≡ ψ1 − ψ2

ω ∗2 ≡ ω 2 + 2k ∗ ≡ ω 2 +

2kv m

(1.54)

dostaneme dveˇ neza´visle´ rovnice pro nezna´me´ funkce x1 (t) a x2 (t): d2 x1 = −ω 2 x1 dt2 d2 x2 = −ω ∗2 x2 2 dt Rˇesˇenı´ pak mu˚zˇeme psa´t naprˇ´ıklad ve tvaru: x1 (t) = A1 sin(ωt) + B1 cos(ωt)

(1.55)

x2 (t) = A2 sin(ω ∗ t) + B2 cos(ω ∗ t) ,

(1.56)

kde (integracˇnı´) konstanty Ai a Bi je nutno urcˇit z pocˇa´tecˇnı´ch podmı´nek. Mezi vsˇemi mozˇny´mi kombinacemi pocˇa´tecˇnı´ch podmı´nek existujı´ dveˇ takove´, prˇi ktery´ch bude soustava va´zany´ch oscila´toru˚ kmitat s jedinou nemeˇnı´cı´ se frekvencı´ a amplitudou. 32

1.6. Sprˇazˇene´ oscila´tory 1. Vychy´lı´me-li v cˇase t = 0 oba oscila´tory na stejnou stranu o stejnou vy´chylku (tj. bude-li ψ1 (0) = ψ2 (0)) a pustı´me s nulovou pocˇa´tecˇnı´ rychlostı´, bude podle 1.54 x2 (0) = 0 a z 1.56 zı´ska´me podmı´nku B2 = 0. Derivacı´ 1.56 (a dosazenı´m za B2 ) ma´me dx2 (t) = A2 ω ∗ cos ω ∗ t dt cozˇ pro cˇas t = 0 da´va´ podmı´nku A2 = 0. Z uvedene´ho plyne, zˇe x2 zu˚sta´va´ prˇi te´to pocˇa´tecˇnı´ podmı´nce nulove´ po celou dobu pohybu soustavy, tzn. vztah ψ1 (t) = ψ2 (t) platı´ pro vsˇechna t. Pohyb soustavy je pak popsa´n rovnicı´ plynoucı´ z 1.55 (procˇ je A1 = 0?) x1 = B1 cos ωt Prˇi teˇchto pocˇa´tecˇnı´ch podmı´nka´ch se neprojevuje vazba a oscila´tory kmitajı´ s frekvencı´ ω 2. Prˇi pocˇa´tecˇnı´m vychy´lenı´ oscila´toru˚ na opacˇnou stranu (ψ1 (0) = −ψ2 (0)) lze analogickou analy´zou uka´zat, zˇe pro vsˇechna t bude sta´le x1 (t) = 0 (tj. ψ1 (t) = −ψ2 (t)) a oscila´tory budou kmitat s frekvencı´ ω ∗ , protozˇe se pohyb soustavy bude rˇ´ıdit rovnicı´ x2 = B2 cos ω ∗ t Lze uka´zat, zˇe obecne´ kmity dvou sprˇazˇeny´ch oscila´toru˚ vznikajı´ slozˇenı´m (superpozicı´ nebo take´ linea´rnı´ kombinacı´) teˇchto za´kladnı´ch kmitu˚. Zkusme pro jednoduchost vysˇetrˇit prˇ´ıpad, kdy na pocˇa´tku vychy´lı´me pouze jeden z oscila´toru˚, tj. budou platit pocˇa´tecˇnı´ podmı´nky ψ1 (0) = A ψ2 (0) = 0

dψ1 (0) = 0 dt dψ2 v2 (0) ≡ (0) = 0 dt

v1 (0) ≡

Pro promeˇnne´ x1 a x2 pak platı´ x1 (0) = x2 (0) = A

dx1 dx2 (0) = (0) = 0, dt dt

a

cozˇ po dosazenı´ do 1.55 a 1.56 da´va´ x2 = A cos ω ∗ t

x1 = A cos ωt

Vyja´drˇ´ıme-li zpeˇtneˇ rea´lne´ vy´chylky z 1.54, dostaneme: µ ∗ ¶ µ ∗ ¶ x1 + x2 A ω −ω ω +ω ∗ ψ1 (t) = = (cos ωt + cos ω t) = A cos t cos t 2 2 2 2 µ ∗ ¶ µ ∗ ¶ x1 − x 2 A ω −ω ω +ω ∗ ψ2 (t) = = (cos ωt − cos ω t) = A sin t sin t 2 2 2 2 Oscila´tory tedy nekmitajı´ s u´hlovou frekvencı´ ω ani s u´hlovou frekvencı´ ω ∗ – rˇ´ıka´me, zˇe jejich frekvence je neurcˇita´. 33

KAPITOLA 1. KMITY Stojı´ za povsˇimnutı´, zˇe vy´sˇe uvedene´ rˇesˇenı´ pohybu sprˇazˇeny´ch oscila´toru˚ vykazuje vsˇechny znaky ra´zu˚ vznikly´ch slozˇenı´m (superpozicı´) dvou kmitu˚. Bude-li vazba mala´ (2kv → 0), budou u´hlove´ frekvence blı´zke´ (ω ∗ → ω) a modulovana´ u´hlova´ frekvence ω∗ − ω ωM ≡ 2 bude take´ mala´, a tudı´zˇ i ra´zy budou snadneˇji zaznamenatelne´. Oznacˇ´ıme-li pru˚meˇrnou frekvenci ω ¯ ≡ (ω + ω ∗ )/2, mu˚zˇeme cˇasovy´ vy´voj stavovy´ch funkcı´ sprˇazˇeny´ch oscila´toru˚ prˇepsat na ψ1 (t) = A cos ωM t cos ω ¯ t ≡ AM cos ω ¯t ψ2 (t) = A sin ωM t sin ω ¯ t ≡ BM sin ω ¯t

,

kde vy´razy AM ≡ A cos ωM t a BM ≡ A sin ωM t byly zavedeny jako tzv. modulovane´ amplitudy.

1.6.2 Energie sprˇazˇeny´ch oscila´toru˚ Zajı´mejme se nada´le o prˇ´ıpad volne´ vazby. Za teˇchto okolnostı´ mu˚zˇeme zanedbat vlastnı´ energii vazby a celkova´ energie E soustavy oscila´toru˚ pak bude da´na vztahem 1 1 1 1 2 ω 2 A2M + m¯ ω 2 BM = m¯ ω 2 A2 (cos2 ωM t + sin2 ωM t) = m¯ ω 2 A2 E = E1 + E2 = m¯ 2 2 2 2 tj. celkova´ energie syste´mu dvou slabeˇ va´zany´ch harmonicky´ch oscila´toru˚ se beˇhem pohybu nebude meˇnit. Celkovou energii kazˇde´ho z obou oscila´toru˚ mu˚zˇeme prˇepsat pomocı´ energie cele´ soustavy jako E [1 + cos(ω ∗ − ω)t] , 2 E E2 = [1 − cos(ω ∗ − ω)t] . 2 Z teˇchto vztahu˚ je videˇt, zˇe energie oscila´toru˚ kmitajı´ kolem hodnoty E/2 s frekvencı´ ∆ω ≡ ω ∗ − ω. Mu˚zˇeme take´ rˇ´ıci, zˇe energie se mezi oscila´tory prˇele´va´ s periodou T = 2π/∆ω,8 prˇitom rychlost9 tohoto prˇele´va´nı´ energie mu˚zˇeme vyja´drˇit vztahem E1 =

cgr =

∆x T 2

,

kde jako ∆x jsme oznacˇili vzda´lenost oscila´toru˚ v rovnova´zˇny´ch poloha´ch. Rychlost prˇenosu energie (pozor, hmota se neprˇena´sˇ´ı) mezi oscila´tory tedy nakonec mu˚zˇeme zapsat cgr = 8

.

(1.57)

Toto tvrzenı´ mu˚zˇeme videˇt i z toho, kdyzˇ si vyja´drˇ´ıme za´vislost rozdı´lu energiı´ oscila´toru˚ na cˇase (viz A.2): E1 − E2 =

9

∆x∆ω π

1 1 m¯ ω 2 A2 (cos2 ωM t − sin2 ωM t) = m¯ ω 2 A2 cos 2ωM t = E cos 2ωM t 2 2

Tato rychlost souvisı´ s tzv. rychlostı´ grupovou, o jejı´mzˇ vy´znamu bude pojedna´no v odstavci ???.

34

.

Kapitola 2 Vlny 2.1

Volne´ kmity soustav s mnoha stupni volnosti

Pro popis pohybu soustavy N harmonicky´ch oscila´toru˚ va´zany´ch pruzˇnou vazbou bychom potrˇebovali zave´st N stavovy´ch funkcı´ ψ1 (t), ψ2 (t), · · · , ψN (t) (N je pocˇet stupnˇu˚ volnosti). Popis takove´ soustavy je v za´sadeˇ podobny´ tomu, co jsme videˇli prˇi rozboru pohybu a sˇ´ırˇenı´ energie dvou va´zany´ch oscila´toru˚, ktery´ jsme deˇlali v prˇedchozı´ch odstavcı´ch. Porˇa´d budeme zjisˇt’ovat, zˇe pro N harmonicky´ch oscila´toru˚ mu˚zˇeme nale´zt N za´kladnı´ch kmitu˚ a zˇe obecny´ prˇ´ıpad je da´n superpozicı´ vsˇech teˇchto za´kladnı´ch kmitu˚. Energie se opeˇt bude v obecne´m prˇ´ıpadeˇ sˇ´ırˇit z jednoho konce soustavy na druhy´ a zpeˇt.

Obra´zek 2.1: Rˇada oscila´toru˚ v jednom rozmeˇru

Ukazˇme si nynı´, jak mu˚zˇeme od takove´ soustavy prˇejı´t k popisu kmitave´ho pohybu ve spojite´m prostrˇedı´ – tzv. kontinuu. Prˇedstavu jednorozmeˇrne´ho pruzˇne´ho kontinua mu˚zˇeme zı´skat touto u´vahou: Vyberme naprˇ. na ose x libovolnou omezenou oblast a umı´steˇme do nı´ rovnomeˇrneˇ N va´zany´ch oscila´toru˚. Budeme-li v te´to oblasti zvysˇovat pocˇet oscila´toru˚, budou se zmensˇovat jejich vzda´lenosti ∆x. V limiteˇ N → ∞ pak bude i ∆x → 0 a prostrˇedı´ se stane spojite´. Pu˚vodnı´ popis pohybu soustavy pomocı´ N 35

KAPITOLA 2. VLNY funkcı´ ψ1 (t), ψ2 (t), · · · , ψN (t) pro oscila´tory na ru˚zny´ch sourˇadnicı´ch x pak prˇejde v popis pomocı´ cˇasove´ho vy´voje funkce ψ urcˇene´ v kazˇde´m bodeˇ x kontinua, tj. kmity jednorozmeˇrne´ho kontinua budeme popisovat pomocı´ funkce dvou promeˇnny´ch ψ(r , t) , ktere´ budeme rˇ´ıkat vlnova´ funkce, protozˇe, jak da´le uvidı´me, popisuje vlneˇnı´. V na´sledujı´cı´ch odstavcı´ch si na´zorneˇ uka´zˇeme, jak lze takovouto funkci zı´skat.

2.2

Vlneˇnı´ na struneˇ

Struna je slozˇena z obrovske´ho pocˇtu atomu˚ – maly´ch oscila´toru˚. Z fyzika´lnı´ho i matematicke´ho hlediska je vsˇak mozˇne´ povazˇovat strunu za pruzˇne´ kontinuum a vysˇetrˇovat jejı´ makroskopicky´ pohyb pomocı´ Newtonovy mechaniky. Uvazˇujme prˇ´ıcˇne´ vlneˇnı´ struny a pro jednoduchost prˇedpokla´dejme, zˇe struna mu˚zˇe kmitat pouze v jedne´ rovineˇ (prˇ´ıcˇne´ vlneˇnı´). Zvolme syste´m sourˇadnic naprˇ´ıklad tak, zˇe touto rovinou prolozˇ´ıme rovinu xz, prˇicˇemzˇ cˇa´st osy x bude sply´vat se strunou v rovnova´zˇne´ poloze. Hleda´me tedy funkci za´vislosti vy´chylky z struny z rovnova´zˇne´ polohy na cˇase, pro kazˇde´ mı´sto x struny, tj. hleda´me funkci z(x, t), ktera´ bude popisovat tvar struny v kazˇde´m okamzˇiku. Pro tuto funkci pouzˇijeme stejne´ oznacˇenı´ jako drˇ´ıve, popı´sˇeme tedy tvar struny vlnovou funkcı´ ψ(x, t). Nejprve vysˇetrˇeme silove´ pu˚sobenı´ na libovolneˇ vybrany´ velmi maly´ element struny de´lky Deltax, jejzˇ v rovnova´zˇne´ poloze ohranicˇujı´ sourˇadnice x1 a x2 ≡ x1 + ∆x. Struna necht’ je napı´na´na v rovnova´zˇne´ poloze silou T0 . Pokud je uvazˇovany´ element v pohybu, budou na konce tohoto elementu mimo rovnova´zˇnou polohu pu˚sobit sı´ly T1 a T2 , pro jejichzˇ pru˚meˇty do smeˇru osy x sta´le platı´ T1 cos ϑ1 = T2 cos ϑ2 = T0

,

(2.1)

kde ϑ1 a ϑ2 jsou u´hly, ktere´ svı´rajı´ smeˇry koncu˚ elementu se smeˇrem osy x. Ve smeˇru osy z (smeˇr vy´chylky elementu z rovnova´zˇne´ polohy) bude na strunu pu˚sobit vy´sledna´ sı´la Fz = T2 sin ϑ2 − T1 sin ϑ1 cozˇ po dosazenı´ z 2.1 mu˚zˇeme prˇepsat na Fz = T0 tg ϑ2 − T0 tg ϑ1 Protozˇe v mı´steˇ vy´chylky z(x) = ψ(x) urcˇuje tg ϑ smeˇrnici tecˇny ke struneˇ, a tedy i ke grafu funkce ψ(x, t) (v dane´m cˇasove´m okamzˇiku), mu˚zˇeme vy´sˇe uvedene´ tangenty nahradit (parcia´lnı´) derivacı´ funkce ψ podle x, tj. bude ¸ · ∂ψ ∂ψ (x2 ) − (x1 ) F z = T0 ∂x ∂x 36

2.2. Vlneˇnı´ na struneˇ Podle Taylorovy veˇty vsˇak lze pro rozdı´l funkcˇnı´ch hodnot odpovı´dajı´cı´ch velmi blı´zky´m hodnota´m promeˇnne´ v dobre´m prˇiblı´zˇenı´ psa´t df (x1 )∆x dx A protozˇe parcia´lnı´ derivace je funkce jako kazˇda´ jina´, mu˚zˇe by´t vy´sledna´ sı´la Fz pu˚sobı´cı´ na element v ose z vyja´drˇena vztahem ∂ 2ψ Fz = T0 2 ∆x (2.2) ∂x f (x2 ) − f (x1 ) ≡ f (x1 + ∆x) − f (x1 ) =

Oznacˇ´ıme-li jako ∆m hmotnost studovane´ho elementu, bude jeho vy´sledne´ zrychlenı´ ve smeˇru osy z da´no opeˇt Newtonovou pohybovou rovnicı´, tj. bude platit ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∆m 2 = T0 2 ∆x ∂t ∂x

(2.3)

Uvazˇujeme-li homogennı´ strunu o celkove´ hmotnosti M a celkove´ de´lce L, mu˚zˇeme zave´st tzv. linea´rnı´ hustotu M ρ0 = , L ktera´ se pode´l struny nemeˇnı´.1 Pomocı´ linea´rnı´ hustoty mu˚zˇeme vyja´drˇit hmotnost elementu ∆m = ρ0 ∆x, cozˇ po dosazenı´ do 2.3 vede na parcia´lnı´ diferencia´lnı´ rovnici pro funkci ψ(x, t) ∂ 2ψ T0 ∂ 2 ψ = . ∂t2 ρ0 ∂x2

(2.4)

Tato pohybova´ rovnice musı´ by´t splneˇna pro kazˇdy´ element struny, tedy mu˚zˇeme rˇ´ıci, zˇe platı´ pro celou strunu. Rovnice tohoto typu, tj. rovnice, v nichzˇ je druha´ parcia´lnı´ derivace podle cˇasu prˇ´ımo u´meˇrna´ druhe´ parcia´lnı´ derivaci podle prostorove´ sourˇadnice, nazy´va´me vlnove´ rovnice. K tomu, abychom zjistili, jaky´ ma´ tento na´zev pu˚vod, prozkoumejme nejprve tzv. stojate´ vlneˇnı´ na struneˇ. Obecneˇ je stojate´ vlneˇnı´ takovy´m pohybem kontinua, kdy vsˇechny jeho elementy kmitajı´ se stejnou fa´zı´. Matematicky to znamena´, zˇe cˇasovy´ vy´voj teˇchto elementu˚ lze popsat spolecˇnou harmonickou funkcı´, tzn. zˇe cˇasova´ a prostorova´ cˇa´st vlnove´ funkce je separova´na. Konkre´tneˇ pro strunu, bude kazˇdy´ jejı´ element kmitat v souladu s funkcı´ naprˇ. cos(ωt + ϕ0 ), pohyb struny tedy bude da´n vlnovou funkcı´ ve tvaru ψ(x, t) = A(x) cos(ωt + ϕ0 ) . Podı´vejme se, jak musı´ vypadat prostorova´ cˇa´st A(x), ktera´ v kazˇde´m okamzˇiku uda´va´ geometrii struny, aby byla splneˇna vlnova´ rovnice 2.4. Vyja´drˇeme si potrˇebne´ derivace funkce ψ ∂ 2ψ = −A(x)ω 2 cos(ωt + ϕ0 ) 2 ∂t ∂ 2ψ d2 A(x) = cos(ωt + ϕ0 ) ∂x2 dx2 1

Prˇesneˇji, zmeˇny linea´rnı´ hustoty struny prˇi jejı´m kmita´nı´ zanedba´va´me.

37

KAPITOLA 2. VLNY a dosad’me do 2.4 −A(x)ω 2 cos(ωt + ϕ0 ) =

T0 d2 A(x) cos(ωt + ϕ0 ) . ρ0 dx2

To da´le vede na diferencia´lnı´ rovnici pro funkci A(x) ve tvaru −A(x)ω 2 =

T0 d2 A(x) ρ0 dx2

⇒

d2 A ρ0 ω 2 + A=0 dx2 T0

.

Obecne´ rˇesˇenı´ te´to rovnice mu˚zˇeme zapsat jako A(x) = κ1 sin(kx) + κ2 cos(kx) kde jsme oznacˇili k2 ≡

ω 2 ρ0 T0

,

.

(2.5)

(2.6)

Vy´znam velicˇiny k, vystupujı´cı´ v soucˇinu s prostorovou sourˇadnicı´, je zcela analogicky´ vy´znamu velicˇiny ω, ktera´ vzˇdy vystupovala v soucˇinu s cˇasovou sourˇadnicı´. Podı´vejme se na to podrobneˇji. Prˇedstavme si dveˇ mı´sta na vlneˇ, ktera´ kmitajı´ se stejnou fa´zı´. Oznacˇ´ıme-li symbolem λ nejmensˇ´ı vzda´lenost takovy´ch mı´st, bude pro takto sva´zana´ mı´sta platit naprˇ. cos kx = cos k(x + λ) (stejna´ fa´ze), cozˇ bude vzˇdy splneˇno, bude-li 2π kλ = 2π =⇒ k = (2.7) λ (vsˇimneˇte si analogie s u´hlovou frekvencı´ ω = 2π/T , λ je tedy prostorova´ perioda, analogicka´ cˇasove´ periodeˇ T ). Konstanteˇ k obvykle rˇ´ıka´me u´hlovy´ vlnocˇet, neˇkdy te´zˇ vlnove´ cˇ´ıslo (viz da´le) a uda´va´, o kolik radia´nu˚ se zmeˇnı´ fa´ze vlny prˇi postupu o jeden metr (v dany´ okamzˇik). Nejmensˇ´ı vzda´lenost bodu˚, ve ktery´ch ma´ vlneˇnı´ stejnou fa´zi nazy´va´me vlnova´ de´lka (ozn. λ) a konecˇneˇ jejı´ prˇevra´cenou hodnotu, tj. velicˇinu 1 σ= (2.8) λ nazy´va´me vlnocˇet (analogie ke kmitocˇtu). Tato velicˇina uda´va´, kolik vlnovy´ch de´lek se vejde na vzda´lenost jednoho metru. Stojate´ vlneˇnı´ je tedy v jednorozmeˇrne´m prˇ´ıpadeˇ popsa´no vlnovou funkcı´ ψ(x, t) = [κ1 sin(kx) + κ2 cos(kx)] cos(ωt + ϕ0 ) . Pro strunu de´lky L, upevneˇnou na obou koncı´ch mu˚zˇeme zapsat tzv. okrajove´ podmı´nky ve tvaru x=0 :

ψ(0, t) = 0

x=L :

ψ(L, t) = 0.

Prvnı´ z teˇchto podmı´nek vede k κ2 cos(ωt + ϕ) = 0 38

⇒

κ2 = 0.

2.3. Sˇ´ırˇenı´ vlneˇnı´ v tycˇi Druha´ z podmı´nek vede na rovnici µ κ1 sin(kL) cos(ωt + ϕ0 ) = κ1 sin

¶ 2π L cos(ωt + ϕ0 ) = 0 λ

,

jezˇ je rˇesˇitelna´ pro vsˇechna t a κ1 6= 0 za podmı´nky sin

2π 2π L=0⇒ L = nπ, kde n ∈ N λ λ

,

tj. pro vsˇechny vlnove´ de´lky, pro ktere´ platı´ λn =

2L . n

Rˇ´ıka´me, zˇe na strunu se vejde pouze celistvy´ pocˇet pu˚lvln. Vidı´me, zˇe stojate´ vlneˇnı´ na struneˇ upevneˇne´ na obou koncı´ch mu˚zˇe mı´t pouze diskre´tnı´ vlnove´ de´lky (a tedy i diskre´tnı´ vlnocˇty). Prˇepisˇme nynı´ definici u´hlove´ho vlnocˇtu pro strunu 2.6 na µ

2π λ

¶2

µ =

2π T

¶2

ρ0 T0

.

Z tohoto vztahu je videˇt, zˇe mu˚zˇeme zave´st velicˇinu o rozmeˇru rychlosti s T0 λ ω vf ≡ = λf = = . T k ρ0

(2.9)

Te´to velicˇineˇ rˇ´ıka´me fa´zova´ rychlost a jejı´ pravy´ vy´znam vyplyne azˇ prˇi zkouma´nı´ tzv. postupne´ho vlneˇnı´. Jesˇteˇ nezˇ se obra´tı´me k jeho studiu, prˇepisˇme vlnovou rovnici struny 2.4 pomocı´ fa´zove´ rychlosti do cˇasto uzˇ´ıvane´ho tvaru ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ − =0 . (2.10) ∂x2 vf2 ∂t2

2.3

Sˇ´ırˇenı´ vlneˇnı´ v tycˇi

Uvazˇujme nynı´ tycˇ va´lcovite´ho tvaru o prˇ´ıcˇne´m pru˚rˇezu S (viz obr. 2.2). Necht’se prˇi pohybu rozruchu tycˇ´ı zveˇtsˇ´ı jejı´ element o de´lce ∆x na ∆x0 = ∆x + (ψ(x2 ) − ψ(x1 )) , kde vy´chylka z rovnova´zˇne´ polohy ψ opeˇt za´visı´ i na cˇase, tj. ψ = ψ(x, t). Pro male´ deformace tycˇe vznikle´ prˇi sˇ´ırˇenı´ rozruchu platı´ Hookeu˚v za´kon σ = Eε, 39

(2.11)

KAPITOLA 2. VLNY

Obra´zek 2.2: K vlnove´ rovnici kmita´nı´ tycˇe

kde σ je napeˇtı´, E Youngu˚v modul pruzˇnosti v tahu tycˇe a ε relativnı´ prodlouzˇenı´ tycˇe. Prˇitom za prˇedpokladu, zˇe se maly´ element ∆x prodlouzˇil o malou hodnotu ∆ψ = ψ(x2 ) − ψ(x1 ), bude s dobrou prˇesnostı´ platit ∆ψ ∂ψ ε = lim = . ∆x→0 ∆x ∂x V mı´steˇ o sourˇadnici x1 tedy bude napeˇtı´ σ1 = E

∂ψ(x1 ) ∂x

σ2 = E

∂ψ(x2 ) . ∂x

a v mı´steˇ o sourˇadnici x2

Celkem tak na element ∆x bude ve smeˇru osy x pu˚sobit vy´sledna´ sı´la · ¸ ∂ψ ∂ψ Fv = −Sσ1 + Sσ2 = SE (x2 ) − (x1 ) , ∂x ∂x ktera´ v linea´rnı´m (diferencia´lnı´m) prˇiblı´zˇenı´ mu˚zˇe by´t vyja´drˇena jako Fv = SE

∂2ψ ∆x ∂x2

40

2.4. Postupna´ vlna Prˇedpokla´da´me-li, zˇe tycˇ je homogennı´ s hustotou ρ, mu˚zˇeme sestavit pohybovou rovnici pro element tycˇe o hmotnosti ∆m = ρS∆x ve tvaru ρS∆x

∂ 2ψ ∂ 2ψ = SE ∆x , ∂t2 ∂x2

z cˇehozˇ po zkra´cenı´ dostaneme ∂2ψ E ∂ 2ψ = ∂t2 ρ ∂x2

,

(2.12)

cozˇ je rovnice, jezˇ popisuje tzv. pode´lne´ vlneˇnı´ v tycˇi (viz da´le). Uvedena´ diferencia´lnı´ rovnice je rovnicı´ vlnovou (viz 2.4, resp. 2.10), prˇicˇemzˇ prˇ´ıslusˇna´ fa´zova´ rychlost je da´na vztahem s vf =

E ρ

.

(2.13)

Nezˇ si rozeberme skutecˇny´ vy´znam te´to rychlosti, upozornˇujeme, zˇe v dodatku G je dalsˇ´ı prˇ´ıklad odvozenı´ vlnove´ rovnice.

2.4

Postupna´ vlna

Stojate´ vlneˇnı´ mu˚zˇe vzniknout pouze v prostoroveˇ omezeny´ch syste´mech. V otevrˇeny´ch syste´mech bez hranic se sˇ´ırˇ´ı pouze postupne´ vlneˇnı´. Tento druh vlneˇnı´ odpovı´da´ prˇedstaveˇ, ve ktere´ se kmitavy´ pohyb cˇa´stic (a s nı´m spojena´ energie) prˇena´sˇ´ı z jednoho mı´sta prostrˇedı´ na dalsˇ´ı, podobneˇ jako tomu bylo u sprˇazˇeny´ch oscila´toru˚. Zaby´vejme se nynı´ syste´mem, v neˇmzˇ je mozˇne´ vybudit postupne´ vlneˇnı´.2 Prˇedpokla´dejme nekonecˇne´ jednorozmeˇrne´ pruzˇne´ kontinuum a opeˇt volme sourˇadnicovy´ syste´m tak, zˇe toto kontinuum lezˇ´ı v ose x. Jizˇ jsme si uka´zali, zˇe dynamiku takove´ho syste´mu mu˚zˇeme popsat pomocı´ vlnove´ rovnice typu 2.10. Matematickou cestou lze doka´zat, zˇe vsˇechna rˇesˇenı´ kazˇde´ takove´ vlnove´ rovnice mu˚zˇeme zapsat jako linea´rnı´ kombinaci libovolny´ch funkcı´3 ve tvaru µ ¶ µ ¶ x x ψ1 (x, t) = f1 t − a ψ2 (x, t) = f2 t + . vf vf Oveˇrˇme naprˇ´ıklad, zˇe funkce ψ1 je (partikula´rnı´m) rˇesˇenı´m vlnove´ rovnice. Oznacˇ´ıme-li argument te´to funkce jako τ (x, t) ≡ t − 2 3

x vf

,

Postupne´mu vlneˇnı´, cozˇ je proces, take´ neˇkdy rˇ´ıka´me postupna´ vlna a pro zjednodusˇenı´ o nı´ uvazˇujeme jako o objektu. Tj. nejen harmonicky´ch.

41

KAPITOLA 2. VLNY bude

∂ψ1 (x, t) df1 (τ ) ∂τ = ∂x dτ ∂x

Ale protozˇe je

∂τ 1 =− ∂x vf

ma´me tak

∂ψ1 (x, t) df1 (τ ) ∂τ = ∂t dτ ∂t

a

a

µ ¶ ∂ψ1 df1 1 = · − ∂x dτ vf

∂τ =1 ∂t

,

∂ψ1 df1 = ∂t dτ

a

.

(2.14)

.

(2.15)

Derivujeme-li jesˇteˇ jednou, bude ¶2 µ ∂ 2 ψ1 d2 f1 1 = · − ∂x2 dτ 2 vf

a

∂ 2 ψ1 d2 f1 = ∂t2 dτ 2

a po dosazenı´ do 2.10 zı´ska´me skutecˇneˇ rovnost. Naprosto analogicky´m postupem bychom oveˇrˇili i prˇ´ıpad ψ2 (odpovı´da´ to za´meˇneˇ vf → −vf ). Protozˇe je vsˇak vlnova´ rovnice rovnicı´ linea´rnı´, bude skutecˇneˇ kazˇda´ linea´rnı´ kombinace κ1 ψ1 + κ2 ψ2 jejı´m dalsˇ´ım rˇesˇenı´m.

2.4.1 Fa´zova´ rychlost K podstateˇ fa´zove´ rychlosti se dostaneme rozborem argumentu τ . Necht’tedy vlnova´ funkce syste´mu za´visı´ na sourˇadnicı´ch a cˇase v kombinaci µ ¶ x ψ =ψ t− vf a necht’v okamzˇiku t0 mu˚zˇeme mı´sto o sourˇadnici x0 charakterizovat vlnovou funkcı´ µ ¶ x0 ψ0 ≡ ψ t 0 − . vf Uvazˇme, zˇe do stejne´ho stavu ψ0 se v cˇase t dostanou i mı´sta x, ve ktery´ch bude t−

x x0 = t0 − vf vf

,

tj. budeme-li se po ose x pohybovat rychlostı´ vf v souladu s rovnicı´ x = x0 + vf (t − t0 ) , nebude se pro na´s stav syste´mu v dane´m mı´steˇ meˇnit. Pro konkre´tnost si prˇedstavme velmi dlouhou tycˇ lezˇ´ıcı´ v ose x (jednorozmeˇrne´ pruzˇne´ kontinuum) a zacˇ´ınajı´cı´ v mı´steˇ se sourˇadnicı´ 0. Necht’jsou jejı´ elementy vybuzeny harmonicky kmitajı´cı´m zdrojem na pocˇa´tku, tj. zdrojem kmitajı´cı´m v souladu s rovnicı´ ψ(0, t) = A cos ωt . 42

2.4. Postupna´ vlna Prˇedpokla´da´me-li, zˇe tento pohyb nebude tlumen, budou se se stejnou amplitudou postupneˇ rozkmita´vat dalsˇ´ı a dalsˇ´ı u´seky tycˇe, prˇitom okamzˇity´ stav zdroje se bude prˇena´sˇet rychlostı´ vyja´drˇenou vztahem 2.13. To konkre´tneˇ znamena´, zˇe bod na sourˇadnici x bude ve stejne´ fa´zi kmita´nı´ jako zdroj v cˇase t azˇ o x/vf pozdeˇji. Mu˚zˇeme tedy takove´to harmonicke´ kmita´nı´ tycˇe popsat funkcı´ µ ¶ x ψ(x, t) = A cos ω t − , (2.16) vf kde pro vf platı´ 2.13. Tato funkce je skutecˇneˇ rˇesˇenı´m rovnice 2.12 a vy´znam fa´zove´ rychlosti je tak vyjasneˇn. Pro specia´lnı´ tvar fa´ze vlneˇnı´ Φ = ωt − kx lze pro prˇa´tele derivacı´ nale´zt vy´znam fa´zove´ rychlosti take´ takto: hleda´me-li podmı´nku na x a t tak, aby se fa´ze beˇhem jejich zmeˇny nezmeˇnila, tj. co musı´ platit pro x a t, aby dΦ = 0? Z takove´ podmı´nky kladene´ na tota´lnı´ diferencia´l dΦ = ωdt − kdx = 0 plyne ωdt = kdx, takzˇe bude-li se sourˇadnice meˇnit rychlostı´ dx ω = , dt k nebude se fa´ze vlneˇnı´ meˇnit. V tomto vztahu lze rozpoznat fa´zovou rychlost. Vzhledem k platnosti (viz 2.9)

ω k mu˚zˇeme funkci 2.16 prˇepsat neˇkolika ekvivalentnı´mi zpu˚soby µ ¶ x ψ(x, t) = A cos ω t − = vf = A cos(ωt − kx) ¶ µ x t − = A cos 2π T λ vf ≡ λf =

(2.17)

Vlny sˇ´ırˇ´ıcı´ se pode´l osy x opacˇny´m smeˇrem se od vztahu 2.16 lisˇ´ı pouze za´meˇnou zname´nka rychlosti, tzn. takove´ vlneˇnı´ mu˚zˇeme popsat naprˇ. i vztahem ψ(x, t) = A cos(ωt + kx) Na za´veˇr tohoto cˇla´nku uved’me, zˇe stojate´ vlneˇnı´ mu˚zˇeme cha´pat jako superpozici dvou proti sobeˇ jdoucı´ch stejny´ch postupny´ch vln sˇ´ırˇ´ıcı´ch se fa´zovy´mi rychlostmi ±vf = ±ω/k. Du˚kaz zkuste prove´st sami (secˇteˇte funkce tyto vlny popisujı´cı´). 43

KAPITOLA 2. VLNY

2.4.2

Disperze a grupova´ rychlost

Ze vztahu˚ 2.9, 2.13 a G.2 je zrˇejme´, zˇe fa´zova´ rychlost vlneˇnı´ za´visı´ na vlastnostech prostrˇedı´, ve ktere´m je vlneˇnı´ vybuzeno. Ukazuje se vsˇak, zˇe rychlost sˇ´ırˇenı´ se fa´ze vln v neˇktery´ch prostrˇedı´ch za´visı´ take´ na frekvenci teˇchto vln, resp. na jejich vlnove´ de´lce. To znamena´, zˇe vztah mezi u´hlovou frekvencı´ ω a u´hlovy´m vlnocˇtem k nenı´ vzˇdy tak jednoduchy´ jako v 2.17. Obecneˇ mu˚zˇe by´t u´hlova´ frekvence libovolnou funkcı´ u´hlove´ho vlnocˇtu, tj. ω = ω(k)

(2.18)

Tento vztah se obvykle nazy´va´ disperznı´ za´kon cˇi disperznı´ relace a o vlneˇnı´ v prostrˇedı´ch, ve ktery´ch tento vztah naby´va´ slozˇiteˇjsˇ´ı podoby nezˇ 2.17, mluvı´me jako o vlneˇnı´ s disperzı´. Harmonicke´ vlneˇnı´ nemu˚zˇe samo o sobeˇ ne´st informace, protozˇe pru˚chod kazˇde´ vlnove´ de´lky vlneˇnı´ prostrˇedı´m je zcela totozˇny´. Pro prˇenos informace je tedy nutno modulovat bud’ amplitudu, frekvenci nebo fa´zi vlneˇnı´ – v takovy´ch prˇ´ıpadech hovorˇ´ıme o amplitudove´ modulaci, frekvencˇnı´ modulaci nebo o fa´zove´ modulaci. O jednoduchy´ zpu˚sob zavedenı´ popisu rychlosti sˇ´ırˇenı´ informace prostrˇednictvı´m vln – grupove´ rychlosti – se pokusı´me pomocı´ rozboru soucˇtu (superpozice) dvou harmonicky´ch vlneˇnı´ se stejnou amplitudou ψ(x, t) = A cos(ω1 t − k1 x) + A cos(ω2 t − k2 x) . Vsˇimneˇte si, zˇe v pocˇa´tku (x = 0) se soucˇet jevı´ naprosto stejneˇ jako v prˇ´ıpadeˇ skla´da´nı´ kmitu˚ dvou oscila´toru˚ kmitajı´cı´ch ve stejne´m smeˇru (viz cˇla´nek 1.5.1) ψ(0, t) = A cos(ω1 t) + A cos(ω2 t). A take´ postup rˇesˇenı´ bude stejny´. Ma´me tedy ¯ ψ(x, t) = AM cos(¯ ω t − kx), kde

k1 + k2 k¯ = 2

a

ω ¯=

ω1 + ω2 2

a modulovana´ amplituda AM (x, t) = 2A cos(ωM t − kM x), kde kM =

k1 − k2 2

a

ωM =

ω1 − ω2 . 2

Na´s opeˇt bude zajı´mat, jak se musı´ meˇnit cˇasova´ a prostorova´ sourˇadnice, aby se amplituda nemeˇnila, tj. AM = 2A cos(ωM t − kM x) = konst. 44

2.4. Postupna´ vlna Podmı´nka pro zmeˇnu celkove´ fa´ze dΨ = ωM dt − kM dx = 0 tak urcˇuje rychlost, se kterou kdyzˇ se pohybujeme, nebude se pro na´s fa´ze a tedy ani amplituda meˇnit vg =

ωM ω1 − ω2 ∆ω = = kM k1 − k2 ∆k

(2.19)

Pokud bude k1 → k2 (viz ra´zy v cˇla´nku 1.5.1), je grupova´ rychlost def

dω ∆ω ≡ ∆k→0 ∆k dk

vg = lim

(2.20)

Ze zavedenı´ je zrˇejme´, zˇe grupova´ rychlost a fa´zova´ rychlost sˇ´ırˇenı´ vlneˇnı´ se sobeˇ rovnajı´ pouze v prˇ´ıpadeˇ prostrˇedı´ bez disperze (ω 6= ω(k)). Grupovou rychlostı´ se sˇ´ırˇ´ı nejen informace prˇena´sˇena´ vlneˇnı´m, ale take´ energie – viz sprˇazˇene´ harmonicke´ oscila´tory a vztah 1.57. ....

Disperznı´ vztahy ω = vf (k)k pro ru˚zna´ prostrˇedı´ • Disperznı´ vztah pro elektromagneticke´ vlny ve vakuu ω 2 = c2 k 2 .

(2.21)

Vakuum je pro elektromagneticke´ vlny prostrˇedı´m bez disperze. • Pro elektromagneticke´ vlny v prostrˇedı´ s indexem lomu n = n(k) je ω2 =

c2 2 k . n2 (k)

(2.22)

• Pro elektromagneticke´ vlny v ionosfe´rˇe platı´ disperznı´ relace ω 2 = ωp2 + c2 k 2 ,

(2.23)

kde ωp je u´hlova´ frekvence kmitu˚ plazmy. Z tohoto vztahu plyne pro grupovou a fa´zovou rychlost c2 k vg = p 2 ωp + c2 k 2

r a

vf =

ω2 = k2

r

ωp2 + c2 . k2

(2.24)

Disperznı´ vztahy neza´visı´ na okrajovy´ch podmı´nka´ch, na nich ale za´visı´ typ vlneˇnı´, tj. zdali se jedna´ o vlneˇnı´ stojate´, postupne´ nebo smı´sˇene´ vlny. 45

KAPITOLA 2. VLNY

2.5

Sˇ´ırˇenı´ vln v prostoru

Obecneˇ se vlneˇnı´ v otevrˇene´m (trˇ´ırozmeˇrne´m) prostoru mu˚zˇe chovat i velmi slozˇity´m zpu˚sobem. My se v te´to cˇa´sti zameˇrˇ´ıme na popis nejjednodusˇsˇ´ıch typu˚ vln – rovinne´ a kulove´. Vlneˇnı´ v neˇjake´m prostrˇedı´ je vzˇdy buzeno prostoroveˇ ohranicˇeny´m zdrojem a z tohoto zdroje odna´sˇ´ı energii. Uvazˇujeme-li nejjednodusˇsˇ´ı prˇ´ıpad netlumene´ho vlneˇnı´ buzene´ho maly´m harmonicky kmitajı´cı´m zdrojem v homogennı´m a izotropnı´m prostoru, budou se kmity prostrˇedı´ prˇena´sˇet rovnomeˇrneˇ na vsˇechny strany. Body prostrˇedı´ stejneˇ vzda´lene´ od zdroje budou kmitat se stejnou fa´zı´ – o takovy´ch bodech rˇ´ıka´me, zˇe lezˇ´ı na stejne´ vlnoplosˇe. Ze zdroje se v takove´m prˇ´ıpadeˇ sˇ´ırˇ´ı vlneˇnı´ v kulovy´ch vlnoplocha´ch. Vzhledem k platnosti za´kona zachova´nı´ energie musı´ by´t v usta´lene´m stavu energie procha´zejı´cı´ kulovou slupkou se strˇedem ve zdroji a nacha´zejı´cı´ se ve vzda´lenosti r1 od zdroje stejna´, jako energie procha´zejı´cı´ kulovou slupkou o polomeˇru r2 (viz obr. 2.3). Je-li energie vyzarˇovana´ zdrojem u´meˇrna´ ω 2 A2 (viz 1.21), musı´ klesat amplituda kmita´nı´ cˇa´stic prostrˇedı´ (prˇedpokla´da´me, zˇe se frekvence kmita´nı´ nemeˇnı´ – kmity jsou buzene´). Konkre´tneˇ, amplituda musı´ klesat neprˇ´ımo u´meˇrneˇ vzda´lenosti od zdroje.4

E2/1cm2 << E1/1cm2 E1/1cm2 Z

je ploška o obsahu 1 cm2, postavená kolmo ke smeru pohledu

Obra´zek 2.3: K poklesu energie kulove´ho vlneˇnı´ na vlnoplosˇe

V maly´ch oblastech prostoru nacha´zejı´cı´ch se ve velky´ch vzda´lenostech od zdroje vsˇak nenı´ pokles amplitudy tak vy´razny´ a v dobre´m prˇiblı´zˇenı´ mu˚zˇeme povazˇovat mı´sta kmitajı´cı´ ve stejne´ fa´zi za roviny. 4

Podrobneˇji: Prˇedpokla´da´me-li, zˇe se vlneˇnı´ sˇ´ırˇ´ı v prostrˇedı´, ve ktere´m se jeho celkova´ energie nebude ztra´cet (tj. prˇemeˇnˇovat na jine´ formy), projde kazˇdou sekundu P jouleu˚ energie kazˇdou kulovou plochou obepı´najı´cı´ zdrojovou kouli. Stejne´ mnozˇstvı´ energie tedy musı´ kazˇdou sekundu projı´t kulovou plochou s obsahem S1 = 4πr12 obepı´najı´cı´ zdrojovou kouli ve vzda´lenosti r1 od jejı´ho strˇedu i vzda´leneˇjsˇ´ı kulovou plochou o obsahu S2 = 4πr22 (r2 > r1 ). Vytneme-li na prvnı´ plosˇe jednotkovy´ cˇtverec, projde jı´m za sekundu P/S1 = P/(4πr12 ) jouleu˚ energie. Jednotkovy´m cˇtvercem na druhe´ kouli vsˇak projde jizˇ jen P/S2 = P/(4πr22 ) jouleu˚. Je-li tedy E ∼ 1/r2 a za´rovenˇ E ∼ A2 , bude i A ∼ 1/r.

46

2.5. Sˇ´ırˇenı´ vln v prostoru Vlneˇnı´, jejichzˇ vlnoplochy tvorˇ´ı roviny nazy´va´me rovinne´ vlneˇnı´.

2.5.1 Rovinna´ harmonicka´ vlna Necht’ se rovinne´ harmonicke´ vlneˇnı´ sˇ´ırˇ´ı beze ztra´t ve smeˇru osy x. Necht’ da´le vlneˇnı´ v okamzˇiku t ma´ v osove´m bodeˇ x fa´zi ωt − kx. Kazˇdy´ bod v rovineˇ kolme´ na osu x a procha´zejı´cı´ bodem x ma´ pak stejnou fa´zi. Urcˇ´ıme-li polohu libovolne´ho bodu v prostoru polohovy´m vektorem vyja´drˇeny´m v karte´zsky´ch sourˇadnicı´ch pomocı´ jednotkovy´ch vektoru˚ lezˇ´ıcı´ch v sourˇadnicovy´ch osa´ch

r = xe x + y e y + z e z , bude fa´ze, se kterou tento bod kmita´, za´viset pouze na pru˚meˇtu tohoto vektoru do osy x, tj. na skala´rnı´m soucˇinu ex · r = x. Vlnovou funkci ψ popisujı´cı´ vlneˇnı´ v kazˇde´m bodeˇ prostoru pak mu˚zˇeme psa´t ve tvaru ψ(x, y, z, t) = ψ(r , t) = A cos(ωt − k ex · r ) . Kdyby se rovinna´ vlna sˇ´ırˇila ve smeˇru obecne´ho jednotkove´ho vektoru en , za´visela by fa´ze kmita´nı´ libovolne´ho bodu prostrˇedı´ take´ pouze na pru˚meˇtu jeho vzda´lenosti od zdroje na smeˇr dany´ vektorem en . To znamena´, zˇe rovinnou harmonickou vlnu sˇ´ırˇ´ıcı´ se prostorem ve smeˇru en mu˚zˇeme popsat funkcı´ ψ(r , t) = A cos(ωt − k en · r ) .

(2.25)

Karte´zske´ slozˇky jednotkove´ho vektoru en mu˚zˇeme vyjadrˇovat pomocı´ kosinu˚ u´hlu˚ (tzv. smeˇrovy´ch kosinu˚), ktere´ svı´rajı´ jednotlive´ osy se smeˇrem urcˇeny´m tı´mto vektorem:

en = (cos α, cos β, cos γ).5

(2.26)

Zavedeme-li vztahem

k ≡ k en novou velicˇinu, obvykle nazy´vanou vektor sˇ´ırˇenı´ nebo take´ vlnovy´ vektor, mu˚zˇeme 2.25 prˇepsat do cˇasto uzˇ´ıvane´ho tvaru ψ(r , t) = A cos(ωt − k · r ), (2.27) ktery´ je vhodne´ neˇkdy rozepsat do slozˇek na ψ(r , t) = A cos(ωt − kx x − ky y − kz z) = A cos(ωt − k(x cos α + y cos β + z cos γ)) I kdyzˇ intuitivnı´ na´hled na rovinne´ vlny mu˚zˇe napoveˇdeˇt, meˇli bychom si odvodit, jaky´ smeˇr zaujı´ma´ vlnovy´ vektor vzhledem k vlnoplocha´m jake´hokoli druhu vln. Podmı´nka, kterou musı´ splnˇovat body r na´lezˇ´ıcı´ v jednom okamzˇiku t jedne´ vlnoplosˇe je konstantnost jejich fa´ze pohybu, tj. Φ ≡ ωt − k · r = konst

.

Jednotkovost en zajisˇt’uje vztah cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1, ktery´ lze odvodit z Pythagorovy veˇty (Py´thagora´s) a na´cˇrtku umı´steˇnı´ en do pocˇa´tku karte´zsky´ch souradnicovy´ch os. 5

47

KAPITOLA 2. VLNY Z toho ale plyne dΦ = 0 = ωdt − k · dr

.

Protozˇe se vsˇak zajı´ma´me o jediny´ okamzˇik, bude dt = 0 a pro vlnovy´ vektor a zmeˇnu polohove´ho vektoru na vlnoplosˇe pak platı´

k · dr = 0 . To znamena´, zˇe vlnovy´ vektor je vzˇdy na vlnoplochu kolmy´.

2.5.2 Kulova´ harmonicka´ vlna Rovnice kulove´ vlny vzhledem k poklesu maxima´lnı´ vy´chylky (viz ...) bude

ψ(r , t) =

A cos(ωt − k · r ), r

Kulovou vlnu mu˚zˇeme vyrobit z rovinne´ vlny zpu˚sobem zna´zorneˇny´m na obr. 2.4.

Obra´zek 2.4: K ilustraci toho, jak z rovinne´ vlny vyrobit vlnu kulovou

Obvykle se ale rovinna´ vlna odvozuje z vlny kulove´ ... ve velky´ch vzda´lenostech .... dodeˇlat ...

Obra´zek 2.5: K ilustraci toho, jak z kulove´ vlny vznika´ vlna rovinna´

48

(2.28)

2.6. Doppleru˚v jev

2.5.3

Obecna´ rovnice sˇ´ırˇenı´ vlneˇnı´

Lze snadno dosazenı´m zjistit, zˇe funkce 2.27 urcˇujı´cı´ rovinnou harmonickou vlnu je rˇesˇenı´m vlnove´ rovnice prˇ´ımocˇarˇe zobecneˇne´ do trˇ´ırozmeˇrne´ho prostoru µ 2 ¶ ∂ 2ψ ∂ ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 2 = vf + 2 + 2 = vf2 4ψ (2.29) ∂t2 ∂x2 ∂y ∂z za prˇedpokladu, zˇe platı´ ω 2 = vf2 (kx2 + ky2 + kz2 )

⇒

.6

ω = vf k

Zpeˇtneˇ, obecny´m rˇesˇenı´m te´to parcia´lnı´ diferencia´lnı´ rovnice je libovolna´ linea´rnı´ kombinace rozruchu˚, ktere´ lze popsat libovolny´mi funkcemi typu µ ¶ en · r ψ(r , t) = f t − vf ve vsˇech smeˇrech en , kde f je funkce jedine´ho argumentu t − en · r /vf . V obecneˇjsˇ´ım prˇ´ıpadeˇ ani vlnova´ funkce nemusı´ by´t pouze skala´rnı´ velicˇinou, vlnovy´m procesu˚m − → podle´hajı´ naprˇ. i vektorove´ velicˇiny, ktere´ obecneˇ budeme oznacˇovat ψ(≡ ψ ). V takove´m prˇ´ıpadeˇ se budou rˇ´ıdit rovnicı´ zcela analogickou rovnici 2.29: ∂ 2 ψ(r , t) ∂ 2 ψ(r , t) ∂ 2 ψ(r , t) 1 ∂ 2 ψ(r , t) + + − =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 vf2 ∂t2 Rˇesˇenı´m te´to diferencia´lnı´ rovnice je vektorova´ funkce ψ(r , t), popisujı´cı´ netlumene´ vlneˇnı´, ktere´ se pohybuje homogennı´m izotropnı´m prostrˇedı´m s konstantnı´ fa´zovou rychlostı´ o velikosti vf . Jesˇteˇ obecneˇjsˇ´ı je prˇepis te´to rovnice pomocı´ Laplaceova opera´toru ∇2 , protozˇe ten mu˚zˇe by´t vyja´drˇen i pomocı´ jiny´ch nezˇ karte´zsky´ch sourˇadnic, tj. ∇2 ψ(r , t) −

2.6

1 ∂ 2 ψ(r , t) =0 vf2 ∂t2

Doppleru˚v jev

Zhruba v polovineˇ 19. stoletı´ rakousky´ fyzik Johann Christian Doppler matematicky popsal jev, ktery´ byl o neˇco pozdeˇji potvrzen i experimenta´lneˇ – sˇlo o zmeˇnu frekvence vlnove´ho procesu prˇi vza´jemne´m pohybu pozorovatele a zdroje vlneˇnı´. Zaby´vejme se tı´mto jevem z pohledu klasicke´ fyziky (tj. 2

2

∂ ∂ V prˇedchozı´m vztahu jsme pouzˇili oznacˇenı´ pro Laplaceu˚v opera´tor 4 = ∂x 2 + ∂y 2 + literaturˇe oznacˇuje poneˇkud vy´stizˇneˇji jako ∇2 . Rovnice 2.29 se cˇasto uva´dı´ take´ ve tvaru 6

1 ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ + + − =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 vf2 ∂t2

49

∂2 ∂z 2 ,

ktery´ se v zahranicˇnı´

KAPITOLA 2. VLNY nebudeme uvazˇovat relativisticke´ efekty). Rozebereme si postupneˇ jednotlive´ prˇ´ıpad, prˇitom budeme vsˇude prˇedpokla´dat, zˇe se vlny sˇ´ırˇ´ı v klidne´m prostrˇedı´. a) Pohyblivy´ zdroj Kdyby se zdroj nepohyboval, vlnoplochy, ktere´ by vytva´rˇel by v homogennı´m a izotropnı´m prostrˇedı´ tvorˇily soustrˇedne´ kulove´ slupky. Frekvence vlneˇnı´ fz , kterou vysı´la´, by byla shodna´ s frekvencı´ fp , kterou by prˇijı´mal pozorovatel. Pohybuje-li se vsˇak zdroj rychlostı´ vz smeˇrem k pozorovateli, ktery´ je vzhledem k prostrˇedı´, ve ktere´m se vlneˇnı´ sˇ´ırˇ´ı, v klidu, budou vlnoplochy nahusˇteˇny ve smeˇru pohybu zdroje. Vlnova´ de´lka se tedy beˇhem jedne´ periody T pro pozorovatele zkra´tı´ o ∆λ = vz T . Vnı´mana´ frekvence pak bude da´na (c znacˇ´ı rychlost zvuku v klidne´m prostrˇedı´) ωz c c c fz ⇒ ωp = = = fp = λ − ∆λ cT − vz T c − vz 1 − vcz Prˇi vzdalova´nı´ zdroje se zmeˇnı´ pouze zname´nko vz .

Obra´zek 2.6: K Dopplerovu jevu prˇi pohybujı´cı´m se zdroji

b) Pohyblivy´ pozorovatel Pohybuje-li se naopak pozorovatel rychlostı´ vp smeˇrem ke zdroji, ktery´ je vu˚cˇi prostrˇedı´ v klidu, procha´zejı´ kolem neˇj vlny vysˇsˇ´ı rychlostı´ c + vp . Vnı´mana´ frekvence tedy bude fp =

c + vp c + vp = fz λ c

⇒

³ vp ´ ωp = 1 + ωz c

Prˇi vzdalova´nı´ pozorovatele se zmeˇnı´ pouze zname´nko vp . c) Vza´jemny´ pohyb Pohybujı´-li se vu˚cˇi prostrˇedı´ zdroj i pozorovatel prˇ´ımo k sobeˇ, uplatnı´ se oba zmı´neˇne´ procesy a pozorovatel zaznamena´ frekvenci c + vp fp = fz c − vz

⇒ 50

1+ ωp = 1−

vp c vz c

ωz

2.6. Doppleru˚v jev

Obra´zek 2.7: K Dopplerovu jevu prˇi pohybujı´cı´m se pozorovateli

Pokud se zdroj a pozorovatel nepohybujı´ prˇ´ımo k sobeˇ, ale rychlosti vp a vz svı´rajı´ s jejich spojnicı´ nenulove´ u´hly, je nutne´ bra´t v u´vahu pouze pru˚meˇty rychlostı´ na tuto spojnici, tj. fp =

c + vp cos ϑp fz c − vz cos ϑz

51

KAPITOLA 2. VLNY

52

Cˇa´st II Optika

53

54

Kapitola 3 Vznik a vy´voj optiky Optika vznikla jako nauka o sveˇtle – prˇ´ıcˇineˇ zrakovy´ch vjemu˚. Na´zory na podstatu sveˇtla se od da´vny´ch veˇku˚ ru˚znily. Ke konci 17. stoletı´ mezi tehdejsˇ´ımi veˇdci vykrystalizovaly dveˇ, na prvnı´ pohled neslucˇitelne´, prˇedstavy – vlnova´ a cˇa´sticova´. Prˇestozˇe prˇedstavu sveˇtla jako vlneˇnı´ v hypoteticke´ vsˇeprostupujı´cı´ la´tce zvane´ e´ter lze vystopovat uzˇ u Rene´ Descarta a Roberta Hooka, vlastnı´m zakladatelem vlnove´ teorie sveˇtla byl Christiaan Huygens.1 Huygens prˇedpokla´dal, zˇe sveˇtlo se v e´teru sˇ´ıˇr´ı konecˇnou rychlostı´ (cozˇ tehdy nebylo vu˚bec samozrˇejme´). Jeho vysveˇtlenı´ zna´my´ch sveˇtelny´ch jevu˚ jako jsou odraz, lom a dvojlom bylo relativneˇ velmi snadne´ a prˇ´ımocˇare´ za prˇedpokladu, zˇe (v dnesˇnı´m zneˇnı´) Kazˇdy´ bod, do neˇjzˇ dospeˇje vlneˇnı´, se sta´va´ elementa´rnı´m zdrojem vln a vy´sledna´ vlnoplocha je oba´lkou vlnoploch generovany´ch teˇmito zdroji ve smeˇru sˇ´ırˇenı´ pu˚vodnı´ vlny. K vysveˇtlenı´ za´kona lomu Huygens pouzˇil prˇedstavu, zˇe v hustsˇ´ım prostrˇedı´ se sveˇtlo sˇ´ırˇ´ı pomaleji nezˇ v prostrˇedı´ rˇidsˇ´ım. Dvojlom objeveny´ Erasmem Barholinem v roce 1657 v islandske´m va´penci Huygens pecˇliveˇ experimenta´lneˇ zkoumal a vysveˇtlil jej pomocı´ elipticky´ch vlnoploch. Pokusy se dveˇma islandsky´mi va´penci Huygens objevil polarizaci, ale neumeˇl ji vysveˇtlit, prˇedpokla´dal totizˇ, zˇe vlneˇnı´ v e´teru je pode´lne´. Nevyuzˇil ani periodicitu vlneˇnı´, nemohl tedy vysveˇtlit ani interferenci sveˇtla. Nevypracoval ani teorii barev a teorii ohybu, rovneˇzˇ neumeˇl vysveˇtlit prˇ´ımocˇare´ sˇ´ırˇenı´ sveˇtla. S prvnı´ uceleneˇjsˇ´ı teoriı´ sveˇtla prˇisˇel Isaac Newton2 . Newton dovedl da´le prˇedstavy staroveˇky´ch atomistu˚ – mı´sto modelu sveˇtla jako vlneˇnı´ e´teru pouzˇil teorii dynamicky´ch sil vza´jemne´ho pu˚sobenı´ sveˇtelny´ch cˇa´stic a teˇles, ve ktery´ch se tyto cˇa´stice pohybujı´. Snadno odvodil za´kon odrazu a lomu, z podstaty nedeˇlalo proble´my ani prˇ´ımocˇare´ sˇ´ırˇenı´. Rˇesˇil proble´m polarizace i barvy sveˇtla. 1

Ch. Huygens [hejchens] ∗1629 − †1695 – nizozemsky´ fyzik, matematik a astronom. Jeho steˇzˇejnı´ dı´lo z roku 1678 veˇnovane´ optice ma´ na´zev „Traite´ de la lumi`ere“ (Pojedna´nı´ o sveˇtle). 2 I. Newton ∗1643 − †1727 – anglicky´ fyzik, matematik a astronom. Sve´ na´zory na sveˇtelne´ jevy shrnul v obsa´hle´m spisu „Optica“ (1704).

55

KAPITOLA 3. VZNIK A VY´VOJ OPTIKY Dı´ky Newtonoveˇ autoriteˇ a propracovanosti jeho optiky se cˇa´sticova´ (korpuskula´rnı´) prˇedstava sveˇtla stala vsˇeobecneˇ prˇijı´manou (paradigma). Na´sledujı´cı´ch sto let po Newtonovi nikdo z vy´znamny´ch veˇdcu˚, snad kromeˇ Johanna Bernoulliho a Leonharda Eulera, vlnovou teorii da´le nerozvı´jel. Newtonova prˇedstava sveˇtla jako proudu cˇa´stic (korpuskulı´) se vsˇak pocˇa´tkem 19. stoletı´ uka´zala jako nevyhovujı´cı´ – mnozˇstvı´ pokusu˚ (naprˇ. Youngu˚v pokus, Foucaultovo urcˇova´nı´ rychlosti sveˇtla ve vodeˇ, difrakce na hraneˇ atd.) bylo s Newtonovu teoriı´ v prˇ´ıme´m rozporu. Pru˚lom v prˇijı´ma´nı´ vlnove´ teorie sveˇtla veˇdeckou verˇejnostı´ nastal azˇ s pokusy a teoreticky´mi vy´zkumy Thomase Younga3 a Augustina Jeana Fresnela4 . Oba, neza´visle na sobeˇ, formulovali velmi du˚lezˇity´ princip interference a ve spolupra´ci prˇisˇli s na´vrhem, zˇe sveˇtlo nenı´ pode´lne´, ale prˇ´ıcˇne´ vlneˇnı´ e´teru. Navı´c, v polovineˇ 19. stoletı´ Armand H. L. Fizeau spolecˇneˇ s Le´onem J. B. Foucaultem 5 a dalsˇ´ı prˇ´ımy´m experimentem potvrdili, zˇe rychlost sveˇtla ve vodeˇ je nizˇsˇ´ı nezˇ ve vzduchu, cozˇ byla poslednı´ ra´na korpuskula´rnı´ teorii, ktera´ prˇedpovı´dala opacˇny´ pomeˇr rychlostı´ sveˇtla ve vodeˇ a ve vzduchu. Hlubsˇ´ı teoreticke´ zdu˚vodneˇnı´ vlnovy´ch prˇedstav o sveˇtle prˇinesla v druhe´ polovineˇ 19. stoletı´ teorie elektromagneticke´ho pole, vybudovana´ Jamesem Clerkem Maxwellem.6 Optika se tak stala podoborem elektromagneticke´ teorie pole (elektromagneticka´ optika). Vlnova´ povaha sveˇtla se vsˇak pocˇa´tkem dvaca´te´ho stoletı´ uka´zala rovneˇzˇ nedostatecˇny´m prˇiblı´zˇenı´m popisu reality. Byly provedeny experimenty, na jejichzˇ vysveˇtlenı´ Maxwellova elektromagneticka´ teorie nestacˇila. Aby za kazˇdou cenu objasnil experimenta´lnı´ vy´sledky ty´kajı´cı´ se vyzarˇova´nı´ vycha´zejı´cı´ho ze zacˇerneˇne´ pece udrzˇovane´ na konstantnı´ teploteˇ (cozˇ je model tzv. absolutneˇ cˇerne´ho teˇlesa), musel Max Planck7 prˇedpokla´dat, zˇe elektromagneticke´ vlneˇnı´ (tedy i sveˇtlo) si prˇi interakci s la´tkou vymeˇnˇuje energii jen v urcˇity´ch da´vka´ch – kvantech energie, tj. nespojiteˇ, cozˇ je v prˇ´ıme´m kontrastu 3

T. Young [jan¸] ∗1773 − †1829 – anglicky´ vsˇestranneˇ nadany´ veˇdec. Kromeˇ fyziky (nesmrtelnost si zı´skal zejme´na dı´ky svy´m pokusu˚m a obhajobeˇ vlnove´ podstaty sveˇtla) samotne´ u´speˇsˇneˇ pracoval take´ v astronomii, medicı´neˇ (naprˇ. vysveˇtlil akomodaci oka zmeˇnou krˇivosti ocˇnı´ cˇocˇky), geofyzice, technologii, zoologii a filologii (naprˇ. prˇispeˇl k rozlusˇteˇnı´ egyptsky´ch hieroglyfu˚). 4 A. J. Fresnel [frenel] ∗1788 − †1827 – francouzsky´ inzˇeny´r a fyzik. Znacˇneˇ rozvinul vlnovou teorii sveˇtla, zkoumal zejme´na jeho difrakci, polarizaci, interferenci, dvojlom a aberaci. 5 A. H. L. Fizeau [fizo:] ∗1819 − †1896 – francouzsky´ fyzik. Zaby´val se zejme´na tepelny´mi jevy a optikou. V roce 1849 vykonal prvnı´ pozemske´ meˇrˇenı´ rychlosti sveˇtla. L. J. B. Foucault [fuko:] ∗1819 − †1868 – francouzsky´ astronom, fyzik a vyna´lezce. V roce 1851 podal prvnı´ prˇ´ımy´ du˚kaz, zˇe se Zemeˇ ota´cˇ´ı (sta´cˇenı´ roviny kyvadla – Foucaultovo kyvadlo – v parˇ´ızˇske´m Panteonu, v roce 1862 zmeˇrˇil rychlost sveˇtla pomocı´ rotujı´cı´ho zrcadla; pojmenovali po neˇm vı´rˇive´ proudy, ktere´ objevil (?kdy?) a popsal. 6 J. C. Maxwell [mexwel] ∗1831 − †1879 – skotsky´ fyzik. Kromeˇ teoreticke´ho zavrsˇenı´ elektromagneticke´ teorie pole, ktery´m se zarˇadil mezi nejvy´znamneˇjsˇ´ı fyziky vsˇech dob, meˇl vy´znamne´ prˇ´ıspeˇvky i v kineticke´ teorii plynu˚ (naprˇ. Maxwellovo rozdeˇlenı´). 7 M. K. E. L. Planck [plank] ∗1858 − †1947 neˇmecky´ fyzik. Zpocˇa´tku se zaby´val zejme´na termodynamikou a dı´ky tomu se dostal k proble´mu analy´zy vyzarˇova´nı´ cˇerne´ho teˇlesa, prˇi tom v roce 1900 zjistil, zˇe teorii mu˚zˇe uve´st do souladu s experimenta´lnı´mi vy´sledky pouze za prˇedpokladu kvantova´nı´ energie harmonicky kmitajı´cı´ch elektricky´ch oscila´toru˚, jimizˇ modeloval steˇny cˇerne´ho teˇlesa. V roce 1918 zı´skal Nobelovu cenu za fyziku za objev kvant energie, nespojite´ struktury za´rˇenı´.

56

s Maxwellovou teoriı´ (pole je vzˇdy spojite´). Planck pu˚vodneˇ povazˇoval svu˚j „objev“ spı´sˇe jen za matematicky´ trik, ovsˇem o neˇkolik let pozdeˇji uzˇil Albert Einstein8 Planckovu kvantovou hypote´zu k vysveˇtlenı´ dalsˇ´ıch jevu˚, ktere´ z hlediska Maxwellovy teorie elektromagneticke´ho pole byly zcela nepochopitelne´. Po dalsˇ´ıch vy´zkumech se dospeˇlo i k tomu, zˇe elektromagneticke´ vlneˇnı´ si prˇi styku s la´tkou vymeˇnˇuje nespojiteˇ take´ hybnost (cozˇ se na vlneˇnı´ uzˇ vu˚bec neslusˇ´ı), tj. chova´ se jako soubor jaky´chsi zrnı´cˇek hmoty (kvant). Tato kvanta byla nazva´na fotony. Tı´m se do prˇedstavy o sveˇtle opeˇt dostaly cˇa´sticove´ rysy. V soucˇasne´ dobeˇ tedy sveˇtlo povazˇujeme za soubor fotonu˚, ktere´ povazˇujeme za objekty s elektromagnetickou povahou a ktere´ se prˇi styku s la´tkou chovajı´ jako male´ lokalizovane´ objekty majı´cı´ svou energii a hybnost, ale prˇitom se sˇ´ırˇ´ı ve formeˇ vlneˇnı´ (cozˇ je ne prˇ´ılisˇ dobrˇe lokalizovatelny´ proces) s vlnovy´mi de´lkami z intervalu ∼ (380; 760) nm. Matematicky konzistentnı´m zpu˚sobem popisuje elektromagneticke´ pole a jeho interakce s la´tkou cˇa´st kvantove´ teorie zvana´ kvantova´ elektrodynamika, a cˇinı´ tak s prˇesnostı´, ktera´ nema´ v deˇjina´ch veˇdy obdoby.9 Soucˇa´stı´ kvantove´ elektrodynamiky je kvantova´ optika. Neju´plneˇjsˇ´ım popisem sveˇtla v ra´mci nekvantove´ (klasicke´) optiky vsˇak zu˚sta´va´ elektromagneticka´ teorie. Elektromagneticke´ pole, resp. elektromagneticke´ za´rˇenı´ ma´ vektorovy´ charakter (popisujeme jej vektorovy´mi velicˇinami E a B ), nicme´neˇ se ukazuje, zˇe mnohe´ opticke´ jevy lze vysveˇtlit pomocı´ teorie, v nı´zˇ je sveˇtlo popsa´no pomocı´ jedine´ skala´rnı´ funkce – takto zjednodusˇene´ teorii rˇ´ıka´me vlnova´ optika. Zjednodusˇenı´ vlnove´ optiky na´m prˇi zkouma´nı´ sveˇtelny´ch jevu˚ dovoluje uzˇ´ıvat prakticky stejne´ pojmy, jake´ jsme uzˇ´ıvali prˇi studiu mechanicke´ho vlneˇnı´. Blı´zˇ´ı-li se vlnova´ de´lka one´ skala´rnı´ funkce k nule, nebo je zanedbatelna´ oproti typicky´m rozmeˇru˚m prˇedmeˇtu˚ kolem nichzˇ se sveˇtlo sˇ´ırˇ´ı, dosta´va´me se k tzv. paprskove´ optice. Usporˇa´da´nı´ teoriı´ ty´kajı´cı´ch se sveˇtla co do objemu a hloubky popisu sveˇtelny´ch jevu˚ zna´zornˇuje obr. 3.1. V dnesˇnı´ dobeˇ cha´peme optiku jako fyzika´lnı´ disciplı´nu zaby´vajı´cı´ se za´konitostmi a procesy, ktery´ch se u´cˇastnı´ sveˇtlo, prˇ´ıpadneˇ blı´zke´ infracˇervene´ a ultrafialove´ za´rˇenı´. Prˇestozˇe se jizˇ v prvnı´ polovineˇ 20. stoletı´ zda´lo, zˇe jako veˇda je optika jizˇ uzavrˇenou disciplı´nou, na´stup laseru v sˇedesa´ty´ch letech dvaca´te´ho stoletı´ z nı´ vytvorˇil dynamicky se vyvı´jejı´cı´ disciplı´nu – holografie, nelinea´rnı´ optika, 8

A. Einstein ∗1879 − †1955 neˇmecky´ fyzik. V roce 1905 vysveˇtlil pomocı´ prˇedpokladu kvantove´ struktury elektromagneticke´ho za´rˇenı´ naprˇ´ıklad dlouhotrvajı´cı´ za´hadu fotoelektricke´ho jevu, ve stejne´m roce polozˇil za´klady specia´lnı´ teorie relativity a popsal zpu˚sob, jaky´m lze jednoznacˇneˇ rozhodnout ve prospeˇch hypote´zy o atomove´ strukturˇe hmoty, ktera´ tehdy jesˇteˇ nebyla obecneˇ uzna´va´na. O dva roky pozdeˇji vysveˇtlil pomocı´ prˇedstavy o kvantova´nı´ energie za´hadu specificky´ch tepel krystalu˚. V roce 1915 zverˇejnil svou teorii gravitace nazvanou obecna´ teorie relativity, v roce 1917 z nove´ho, statisticke´ho hlediska odvodil Planckovy vy´sledky z roku 1900 a teoreticky odhalil mozˇnost stimulovane´ emise za´rˇenı´, ktera´ zhruba po cˇtyrˇiceti letech vedla k vy´voji laseru˚ a konecˇneˇ v roce 1924 zobecnil statisticke´ rozdeˇlenı´ pocˇtu fotonu˚ v za´vislosti na energii a teploteˇ indicke´ho fyzika Satyendry Boseho (Boseho-Einsteinovo rozdeˇlenı´) abychom uvedli jen neˇktere´ z nejvy´znamneˇjsˇ´ıch pracı´. Kazˇda´ z teˇchto pracı´ byla prvotrˇ´ıdnı´ho vy´znamu a prakticky za kazˇdy´ z teˇchto objevu˚ by Einstein mohl zı´skat Nobelovu cenu, byla mu vsˇak udeˇlena pouze jedna a to v roce 1921 za objev za´kona fotoelektricke´ho jevu a dalsˇ´ı pra´ce v teoreticke´ fyzice. 9 Na popula´rnı´ u´rovni se o te´to u´zˇasne´ teorii mu˚zˇete docˇ´ıst v [6].

57

KAPITOLA 3. VZNIK A VY´VOJ OPTIKY

Kvantová optika

Elektromagnetická o. Vlnová o. Paprsková o.

Obra´zek 3.1: Obory optiky

fotonova´ optika ... ??? Protozˇe nejobecneˇjsˇ´ı teorie jakou o sveˇtle v soucˇasnosti ma´me – kvantova´ elektrodynamika – je matematicky i pojmoveˇ znacˇneˇ na´rocˇna´10 , budeme se nejprve zajı´mat o elektromagneticky´ charakter sveˇtla a z neˇj vyply´vajı´cı´ oblasti zjednodusˇenı´ – vlnovou a paprskovou optikou. O kvantove´ optice se ve strucˇnosti zmı´nı´me na za´veˇr kurzu.

10

Jak uka´zal Richard Feynman ve sve´ jizˇ citovane´ [6], fyzika´lneˇ je pomeˇrneˇ jednoducha´.

58

Kapitola 4 Sveˇtlo jako elektromagneticka´ vlna 4.1

Maxwellovy vlnove´ rovnice

Budeme-li se zaby´vat elektromagnetickou povahou sveˇtla, musı´me vyjı´t z Maxwellovy´ch rovnic, se ktery´mi jste se jizˇ sezna´mili v kurzu Elektrˇina a magnetismus:

div D = ρ, rot H = j + rot E = − div B = 0,

∂D , ∂t

∂B , ∂t

(4.1) (4.2) (4.3) (4.4)

kde vektor E je vektorem intenzity elektricke´ho pole, vektor D je elektricka´ indukce, H je intenzita magneticke´ho pole, B je magneticka´ indukce, ρ je (objemova´) hustota volny´ch na´boju˚ a konecˇneˇ j je (plosˇna´) hustota elektricke´ho proudu. Tyto diferencia´lnı´ rovnice popisujı´ elektromagneticke´ pole loka´lneˇ, tj. svazujı´ vy´sˇe uvedene´ polnı´ vektory a budı´cı´ zdroje (ρ, j ) v neˇjake´m okamzˇiku v urcˇite´m mı´steˇ prostoru (vsˇechny velicˇiny jsou obecneˇ funkcemi cˇasove´ a prostorovy´ch sourˇadnic). Pro u´cˇely reference si zde jesˇteˇ uved’me podmı´nky, ktere´ vektory E , D , B a H musı´ splnˇovat na rozhranı´ dvou prostrˇedı´, kde se nacha´zı´ volne´ elektricke´ na´boje o plosˇne´ hustoteˇ σ a kde tecˇou volne´ plosˇne´ 59

KAPITOLA 4. SVEˇTLO JAKO ELEKTROMAGNETICKA´ VLNA proudy o hustoteˇ jp (en je jednotkovy´ vektor kolmy´ na rozhranı´):1

en · (D1 − D2 ) = σ,

(4.5)

en × (H1 − H2 ) = jp ,

(4.6)

en × (E1 − E2 ) = 0 ,

(4.7)

en · (B1 − B2 ) = 0.

(4.8)

Rovnice 4.5 rˇ´ıka´, zˇe norma´love´ slozˇky vektoru elektricke´ indukce se na rozhranı´ s plosˇnou hustotou na´boje σ meˇnı´ skokem, podobneˇ rovnice 4.6 popisuje zmeˇnu tecˇny´ch slozˇek vektoru intenzity magneticke´ho pole v prˇ´ıpadeˇ existence plosˇny´ch proudu˚ na rozhranı´ a rovnice 4.7 a 4.8 vyjadrˇujı´ nemeˇnnost (spojitost) tecˇny´ch slozˇek intenzity elektricke´ho pole a norma´lovy´ch slozˇek magneticke´ indukce prˇi pru˚chodu rozhranı´m. Ukazˇme si, jak soustava parcia´lnı´ch diferencia´lnı´ch rovnic 4.1 – 4.4, spolecˇneˇ s jednoduchy´mi materia´lovy´mi vztahy D = εE a B = µH (4.9) vedou v prˇ´ıpadeˇ homogennı´ho izotropnı´ho dielektrika na vlnove´ rovnice typu 2.5.3. Protozˇe v takove´m prostrˇedı´ se nenacha´zejı´ zˇa´dne´ volne´ na´boje ani proudy, bude ρ = 0 a j = 0 a permitivita ε i permeabilita µ prostrˇedı´ jsou konstantnı´. Soustava Maxwellovy´ch rovnic se pak redukuje na soustavu rovnic pro dveˇ vektorove´ velicˇiny div E = 0,

(4.10)

∂E rot B = εµ , ∂t ∂B rot E = − , ∂t div B = 0.

(4.11) (4.12) (4.13)

Zapu˚sobı´me-li opera´torem rotace na rovnici 4.12, ma´me (viz C.3) rot rot E = grad div E − ∇2 E = −

∂ rot B , ∂t

∂ kde jsme na prave´ straneˇ rovnice jizˇ zameˇnili porˇadı´ opera´toru˚ rot a ∂t , cozˇ je mozˇne´ vzhledem k neza´vislosti cˇasove´ a prostorovy´ch sourˇadnic. Da´le, dosadı´me-li do vznikle´ rovnice vztahy 4.10 a 4.11, zı´ska´me po u´praveˇ ∂ 2E (4.14) ∇2 E − εµ 2 = 0 . ∂t Obdobneˇ, pu˚sobenı´m opera´toru rotace na rovnici 4.11 a analogickou u´pravou dostaneme

∇2 B − εµ

∂ 2B = 0. ∂t2

1

(4.15)

Komu se bude na´sledujı´cı´ za´pis zda´t na´rocˇny´, at’si uveˇdomı´, zˇe skala´rnı´ soucˇin s jednotkovy´m vektorem geometricky vlastneˇ znamena´ promı´ta´nı´ druhe´ho soucˇinitele do smeˇru en a podobneˇ u vektorove´ho soucˇinu s en – jeho velikost je da´na pru˚meˇtem kolmy´m na en .

60

4.2. Rychlost sveˇtla

4.2

Rychlost sveˇtla

Jak jizˇ vı´me z prˇedchozı´ho (viz 2.5.1 a 2.5.3), vy´sˇe uvedene´ rovnice jsou vlnove´ rovnice pro jednotlive´ slozˇky vektoru˚ elektricke´ intenzity a magneticke´ indukce, ktere´ charakterizujı´ elektricke´ a magneticke´ pole – elektricke´ a magneticke´ pole se tedy v homogennı´m izotropnı´m dielektriku mu˚zˇe sˇ´ırˇit ve formeˇ vln. Rovneˇzˇ jizˇ vı´me, zˇe obecne´ rˇesˇenı´ rovnice 4.14 mu˚zˇeme hledat ve formeˇ linea´rnı´ch kombinacı´ funkcı´ typu µ ¶ en · r E (τ ) ≡ E t ± (4.16) vf a rˇesˇenı´ rovnice 4.15, pomocı´ funkcı´ typu µ

B (τ ) ≡ B t ±

en · r vf

¶ .

(4.17)

Vidı´me, zˇe fa´zova´ rychlost sˇ´ırˇenı´ obou teˇchto rovinny´ch vln v prostrˇedı´ s permitivitou ε a permeabilitou µ je da´na vztahem 1 vf = √ . εµ V prˇ´ıpadeˇ vakua pak toto vyja´drˇenı´ oznacˇujeme specia´lnı´m symbolem c= √

1 . ε 0 µ0

(4.18)

Pro rychlost sˇ´ırˇenı´ se elektromagneticke´ho vlneˇnı´ (sveˇtla) ve vakuu pak vycha´zı´ hodnota c = 2, 997 924 58 · 108

m s

(≈ 300 000

km ) s

prˇitom vzhledem k soucˇasne´ definici metru je tato hodnota prˇesna´. O historii a metoda´ch meˇrˇenı´ rychlosti sveˇtla je strucˇneˇ pojedna´no v dodatku I. Sˇ´ırˇenı´ elektromagneticky´ch vln (sveˇtla) v la´tkove´m prostrˇedı´ je obvykle charakterizova´na tzv. (absolutnı´m) indexem lomu n definovany´m vztahem n≡

c √ = ε r µr . vf

(4.19)

Opticke´ prostrˇedı´ je obvykle nemagneticke´ a pro jeho relativnı´ permeabilitu tedy s vysokou prˇesnostı´ platı´ µr ≈ 1, proto take´ prˇiblizˇneˇ mu˚zˇeme psa´t n≈

√

εr .

(4.20)

Vidı´me, zˇe index lomu prostrˇedı´ souvisı´ s jeho dielektricky´mi vlastnostmi (s permitivitou prostrˇedı´). V literaturˇe se proto mı´sto indexu lomu velmi cˇasto uda´vajı´ opticke´ vlastnosti prostrˇedı´ pomocı´ permitivity la´tky. 61

KAPITOLA 4. SVEˇTLO JAKO ELEKTROMAGNETICKA´ VLNA

4.3

Polarizace elektromagneticky´ch vln

Prˇestozˇe kazˇda´ funkce typu 4.16, resp. 4.17 vyhovuje vlnovy´m rovnicı´m 4.14, resp. 4.15, nemusı´ jesˇteˇ kazˇda´ takova´ funkce vyhovovat vsˇem Maxwellovy´m rovnicı´m. Rovneˇzˇ je podezrˇele´, zˇe se hovorˇ´ı o elektromagneticky´ch vlna´ch a ne o elektricky´ch a magneticky´ch vlna´ch zvla´sˇt’, jak by se mohlo z teˇchto rovnic zda´t logicke´. Z Maxwellovy´ch rovnic totizˇ plyne, zˇe kazˇda´ cˇasova´ zmeˇna jednoho pole vyvola´ i pole druhe´ (viz rovnice 4.12 a 4.11), jedno pole bez druhe´ho nemu˚zˇe existovat. Podı´vejme se konkre´tneˇ na dodatecˇne´ podmı´nky, ktere´ musı´ splnˇovat kazˇda´ rovinna´ elektromagneticka´ vlna, pohybujı´cı´ se homogennı´m izotropnı´m dielektrikem. Rozepı´sˇeme-li skala´rnı´ soucˇin ve vlneˇ 4.16 (pro konkre´tnost uvazˇujeme pouze za´porne´ zname´nko) µ ¶ x cos α + y cos β + z cos γ E (τ ) = E t − , vf bude

∂E dE cos α =− , ∂x dτ vf

∂E dE cos β =− , ∂y dτ vf

∂E dE cos γ =− ∂z dτ vf

a

∂E dE = . ∂t dτ

Vyja´drˇenı´m rotace E pomocı´ teˇchto vztahu˚ a dosazenı´m do 4.12, dostaneme rovnici 1 − vf

µ

∂E en × ∂t

¶ =−

∂B , ∂t

kterou, vzhledem k tomu, zˇe u rovinny´ch vln jsou vf i en cˇasoveˇ neza´visle´, mu˚zˇeme prˇepsat na ∂ (vf B − en × E ) = 0. ∂t Polozˇ´ıme-li integracˇnı´ konstantu rovnu nule (du˚vod?), zı´ska´me vyja´drˇenı´

B=

1 (en × E ). vf

(4.21)

Obdobneˇ vyja´drˇenı´m rotace B , dosazenı´m do 4.11 a integracı´ zı´skane´ rovnice (integracˇnı´ konstantu opeˇt uvazˇujeme nulovou) zı´ska´me

E = −vf (en × B ).

(4.22)

Rovinne´ vlny 4.16 a 4.17 tedy splnˇujı´ Maxwellovy rovnice za prˇedpokladu˚ 4.21 a 4.22, tj. kmita´nı´ vektoru˚ intenzity elektricke´ho pole a magneticke´ indukce se deˇje kolmo na smeˇr sˇ´ırˇenı´ tohoto tzv. (rovinne´ho) elektromagneticke´ho vlneˇnı´ a navı´c kolmo k sobeˇ navza´jem – mluvı´me o prˇ´ıcˇne´ rovinne´ elektromagneticke´ vlneˇ. Pokud vektory E a B zachova´vajı´ prˇi sˇ´ırˇenı´ sta´le stejny´ smeˇr v prostoru, rˇ´ıka´me, zˇe elektromagneticka´ vlna je linea´rneˇ polarizovana´. 62

4.4. Rovinna´ harmonicka´ elektromagneticka´ vlna

4.4

Rovinna´ harmonicka´ elektromagneticka´ vlna

Matematicke´ vyja´drˇenı´ rovinne´ harmonicke´ elektromagneticke´ vlny mu˚zˇeme uva´deˇt v ru˚zny´ch tvarech, naprˇ.: · µ ¶¸ en · r E = E0 cos ω t − ≡ E0 cos [ωt − k · r ] = E0 cos [k · r − ωt] , (4.23) vf kde prvnı´ rovnost vyply´va´ z definice vlnove´ho vektoru a druha´ rovnost ze sudosti funkce kosinus (E0 je konstanta). Paradoxneˇ pra´veˇ poslednı´ z uvedeny´ch vyja´drˇenı´ je patrneˇ nejcˇasteˇji uzˇ´ıvany´m za´pisem rovinne´ harmonicke´ elektromagneticke´ vlny – tento vy´raz na´s vsˇak v budoucnosti usˇetrˇ´ı psanı´ mnoha za´porny´ch zname´nek, proto se jej v tomto textu budeme nada´le drzˇet. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe v okamzˇiku, kdy zacˇ´ına´me pocˇ´ıtat cˇas (tj. v t = 0) neprocha´zı´ pocˇa´tkem r = 0 vlnoplocha s maxima´lnı´ intenzitou E0 elektricke´ho pole, je nutne´ zave´st pocˇa´tecˇnı´ fa´zi ϕ0 , potom bude

E (r , t) = E0 cos [k · r − ωt + ϕ0 ]

.

(4.24)

Za´vislostı´ intenzity elektricke´ho pole na prostorocˇasovy´ch sourˇadnicı´ch je dı´ky 4.21 urcˇena i za´vislost indukce magneticke´ho pole, je totizˇ

B (r , t) =

1 (k × E ) = B0 cos [k · r − ωt + ϕ0 ] vf k

kde

B0 ≡

1 k × E0 ω

,

(4.25)

.

Vektory E a B jsou v kazˇde´m okamzˇiku „ve fa´zi“ a pro jejich velikosti platı´ v kazˇde´m okamzˇiku vztah B=

E . v

(4.26)

V dalsˇ´ım se tedy budeme zaby´vat pouze vysˇetrˇova´nı´m vektoru intenzity elektricke´ho pole.2 Prˇedpokla´dejme nynı´ pro jednoduchost za´pisu, zˇe se sveˇtlo (elektromagneticka´ vlna) sˇ´ırˇ´ı ve smeˇru osy z. Slozˇky vektoru E do smeˇru os x a y mu˚zˇeme obecneˇ vyja´drˇit vztahy (viz 4.24) Ex (r , t) = Ex (z, t) = E0x cos(kz − ωt + ϕ0x ), Ey (r , t) = Ey (z, t) = E0y cos (kz − ωt + ϕ0y )

(4.27) .

(4.28)

Vektor intenzity elektricke´ho pole v rovinne´ harmonicke´ elektromagneticke´ vlneˇ sˇ´ırˇ´ıcı´ se ve smeˇru osy z ma´ tedy obecneˇ vyja´drˇenı´ (tj. chybı´ z-ova´ slozˇka)

E = Ex ex + Ey ey 2

Neˇkdy se rˇ´ıka´, zˇe vektor intenzity elektricke´ho pole je v elektromagneticke´ vlneˇ vy´znamneˇjsˇ´ı nezˇ vektor magneticke´ indukce. Nemyslı´me si, zˇe by to bylo vhodne´, kdyzˇ jedno bez druhe´ho ztra´cı´ vy´znam, ale je pravda, zˇe ve zvoleny´ch jednotka´ch (SI) ma´ E veˇtsˇ´ı hodnotu nezˇ B (naprˇ. pro vakuum je B = E/c) a z vyja´drˇenı´ sı´ly pu˚sobı´cı´ na pohybujı´cı´ se elektricky´ na´boj – pro prˇipomenutı´ je vztah pro tuto tzv. Lorentzovu sı´lu F = q(E + v × B ) – plyne, zˇe elektricke´ pole elektromagneticke´ vlny na neˇj pu˚sobı´ silneˇji, i kdyby se jeho rychlost v blı´zˇila rychlostı´ sveˇtla (vzˇdy ovsˇem bude v < c).

63

KAPITOLA 4. SVEˇTLO JAKO ELEKTROMAGNETICKA´ VLNA Podı´vejme se nynı´, jak vypada´ „trajektorie“ koncove´ho bodu vektoru E , prˇi pohledu kolmo na osu sˇ´ırˇenı´. Zavedenı´m substituce φ ≡ kz − ωt + ϕ0x

a

δ ≡ ϕ0y − ϕ0x

mu˚zˇeme psa´t Ex = E0x cos φ Ey = E0y cos(φ + δ) = E0y (cos φ cos δ − sin φ sin δ) , cozˇ vyloucˇenı´m φ pomocı´ A.1 prˇevedeme na rovnici µ

Ex E0x

¶2

µ +

Ey E0y

¶2 −

2Ex Ey cos δ = sin2 δ. E0x E0y

(4.29)

Tato rovnice popisuje trajektorii koncove´ho bodu vektoru intenzity elektricke´ho pole (v rovineˇ xy). Tato rovnice prˇedstavuje rovnici elipsy, s hlavnı´ poloosou skloneˇnou vzhledem k ose x o u´hel δ. O te´to harmonicke´ vlneˇ rˇ´ıka´me, zˇe je obecneˇ elipticky polarizovana´. Je videˇt, zˇe du˚lezˇity´ je pouze fa´zovy´ posun δ nikoli hodnoty samotny´ch pocˇa´tecˇnı´ch fa´zı´, proto bez u´jmy na obecnosti mu˚zˇeme slozˇky 4.27 a 4.28 psa´t ve tvaru Ex (r , t) = Ex (z, t) = E0x cos(kz − ωt), Ey (r , t) = Ex (z, t) = E0y cos (kz − ωt + δ)

(4.30) .

(4.31)

Specia´lnı´ prˇ´ıpad nasta´va´ pro δ = kπ, kde k ∈ Z. Pak totizˇ z 4.29 plyne Ey =

E0y Ex E0x

,

tj. vektor E kmita´ v rovineˇ rovnobeˇzˇne´ s osou z a skloneˇnou vu˚cˇi ose x o u´hel α, pro ktery´ platı´ tg α =

E0y E0x

.

V takove´mto prˇ´ıpadeˇ rˇ´ıka´me, zˇe elektromagneticka´ vlna je linea´rneˇ polarizovana´. Pro δ = (k + 1/2)π bude

µ

Ex E0x

µ

¶2 +

Ey E0y

¶2 =1

a pro E0x = E0y bude koncovy´ bod vektoru E opisovat kruzˇnici. O elektromagneticke´ vlneˇ pak rˇ´ıka´me, zˇe je kruhoveˇ polarizovana´. ???? Pravotocˇivost levotocˇivost ???? 64

4.5. Kulova´ harmonicka´ elektromagneticka´ vlna

4.4.1

Rovinna´ harmonicka´ vlna v komplexnı´m za´pisu

Pro operace s jednotlivy´mi slozˇkami rovinne´ harmonicke´ elektromagneticke´ vlny se cˇasto uzˇ´ıva´ tzv. fa´zorovy´ za´pis, ktery´ usnadnˇuje pocˇ´ıta´nı´ s goniometricky´mi funkcemi objevujı´cı´mi se v popisu tohoto vlneˇnı´. Podrobneˇji se o fa´zorech mu˚zˇete docˇ´ıst na konci dodatku B, na tomto mı´steˇ jen uvedeme vy´sledek: slozˇky intenzity elektricke´ho pole 4.30 a 4.31 mu˚zˇeme za jisty´ch okolnostı´ uzˇ´ıvat ve tvaru E˜x (z, t) = Ex0 ei(kz−ωt) , E˜y (z, t) = Ey0 ei(kz−ωt+δ) .

(4.32) (4.33)

Vektor intenzity elektricke´ho pole v elektromagneticke´ vlneˇ sˇ´ırˇ´ıcı´ se ve smeˇru osy z ma´ tedy fa´zorove´ vyja´drˇenı´ ˜ = E˜x ex + E˜y ey , E (4.34) cozˇ mu˚zˇeme rozepsat ˜ = (ex Ex + ey Ey eiδ ) exp[i(ωt − kz)]. E 0 0

4.5

(4.35)

Kulova´ harmonicka´ elektromagneticka´ vlna

Jesˇteˇ nenı´

4.6

Energie a hybnost elektromagneticke´ho vlneˇnı´

Z Maxwellovy´ch rovnic 4.1 azˇ 4.4 a za´kona pu˚sobenı´ elektromagneticke´ho pole na nabite´ cˇa´stice (Lorentzova sı´la) lze odvodit rovnici charakterizujı´cı´ energetickou bilanci soustavy nabity´ch cˇa´stic a elektromagneticke´ho pole. Energie elektromagneticke´ho pole je v te´to rovnici charakterizova´na dveˇma velicˇinami: tzv. hustotou energie elektromagneticke´ho pole definovanou vztahem def

ρE =

1 (E · D + H · B ) 2

(4.36)

a tzv. hustotou toku energie elektromagneticke´ho pole def

S = E×H

(4.37)

Skala´rnı´ velicˇina ρE urcˇuje mnozˇstvı´ elektromagneticke´ energie v jednotce objemu a vektorova´ velicˇina S , zvana´ z historicky´ch du˚vodu˚ te´zˇ Poyntingu˚v vektor, urcˇuje mnozˇstvı´ elektromagneticke´ energie, ktera´ za jednotku cˇasu proproudı´ jednotkovou plochou postavenou kolmo na smeˇr tohoto vektoru.3 3

Zkuste prˇ´ımy´m vy´pocˇtem vyja´drˇit jednotky teˇchto velicˇin pomocı´ za´kladnı´ch jednotek soustavy SI.

65

KAPITOLA 4. SVEˇTLO JAKO ELEKTROMAGNETICKA´ VLNA V jednoduche´m prˇ´ıpadeˇ oblasti, kde se nenale´zajı´ volne´ nosicˇe elektricke´ho na´boje, platı´ rovnice kontinuity ∂ρE − = div S , (4.38) ∂t ktera´ v dane´m prˇ´ıpadeˇ rˇ´ıka´, zˇe u´bytek elektromagneticke´ energie z mı´sta bez volny´ch na´boju˚ mu˚zˇe nastat pouze vy´tokem te´to energie skrz hranice oblasti.4 Z vy´sˇe uvedene´ho plyne, zˇe energie v jednotce objemu, druzˇ´ıcı´ se s elektromagnetickou vlnou popsanou vztahy 4.24 a 4.25, ktera´ se pohybuje v homogennı´m izotropnı´m prostrˇedı´ charakterizovane´m ε a µ, bude da´na vztahem (viz 4.9 a 4.26) µ ¶ B2 E2 1 2 εE + = 2 (4.39) ρE = 2 µ µvf Uvazˇujeme-li, zˇe se rovinna´ vlna sˇ´ırˇ´ı ve smeˇru jednotkove´ho vektoru en , bude energie prˇena´sˇena´ za sekundu jednotkovou plosˇkou kolmou na en da´na 1 E2 S = (E × B ) = en = ρE vf en µ µvf

.

(4.40)

Z Maxwellovy´ch rovnic rovneˇzˇ plyne, zˇe pro soustavu cˇa´stic la´tky a elektromagneticke´ho pole bude splneˇn take´ za´kon zachova´nı´ hybnosti, prˇirˇadı´me-li poli velicˇinu (ozn. g ) s rozmeˇrem hustoty hybnosti −1 ( kg·m·s ) ve tvaru m3 g =D×B . Pro homogennı´ izotropnı´ prostrˇedı´ charakterizovane´ ε a µ bude

g = εµE × H =

1 ρ S = E en 2 vf vf

.

Dopada´-li rovinna´ elektromagneticka´ vlna pohybujı´cı´ se s fa´zovou rychlostı´ vf kolmo na plochu ∆σ, na nı´zˇ se zcela pohltı´, prˇeda´ beˇhem doby ∆t te´to plosˇce hybnost ∆P = g ∆V = g ∆σvf ∆t = ρE ∆σvf ∆ten

.

Beˇhem intervalu ∆t tedy bude pu˚sobit na uvedenou plosˇku strˇednı´ sı´la hF i = 4

∆G = ρE ∆σ en ∆t

Rovnice 4.38 je pravdeˇpodobneˇ na´zorneˇjsˇ´ı ve sve´m integra´lnı´m tvaru Z I d − ρE dV = S · dσ, dt V0

hranice V0

ve ktere´m jejı´ leva´ strana vyjadrˇuje u´bytek celkove´ elektromagneticke´ energie v objemu V0 za jednotku cˇasu a prava´ strana celkovy´ tok energie plochou ohranicˇujı´cı´ tento objem (integruje se prˇes vsˇechny infinitezima´lnı´ plosˇky charakterizovane´ vektorem dσ).

66

4.6. Energie a hybnost elektromagneticke´ho vlneˇnı´ a tedy za´rˇenı´ tak bude pu˚sobit tlakem p = ρE

.

Pro dokonale odrazivy´ povrch bude zmeˇna hybnosti dvojna´sobna´, tedy i tlak bude dvojna´sobny´. Realita se samozrˇejmeˇ pohybuje mezi teˇmito dveˇma extre´my.5 Existence energie a hybnosti druzˇ´ıcı´ se s elektromagneticky´m polem ma´ sve´ oveˇrˇitelne´ du˚sledky – elektromagneticke´ pole (ktery´m je naprˇ. i sveˇtelna´ vlna) je skutecˇneˇ schopno konat pra´ci a vyvı´jet tlak. Naprˇ´ıklad slunecˇnı´ za´rˇenı´ pu˚sobı´ na povrch Zemeˇ v pru˚meˇru tlakem ≈ 3 · 10−6 Pa. Nejvy´konneˇjsˇ´ı soucˇasne´ lasery jsou vsˇak schopny vyvinout tlaky rˇa´doveˇ 1010 Pa. (Jak je to pro beˇzˇne´ zdroje sveˇtla ???)

4.6.1 Intenzita sveˇtla Azˇ do odvola´nı´ se nada´le budeme zaby´vat pouze energeticky´mi a fa´zovy´mi pomeˇry mezi elektromagneticky´mi vlnami ve vakuu cˇi v linea´rnı´ch homogennı´ch dielektricky´ch prostrˇedı´ch. Proto mu˚zˇeme na chvı´li zapomenout na jejich vektorovy´ charakter. Jizˇ jsme si uvedli (viz 4.40), zˇe elektromagneticka´ energie proudı´ ve smeˇru hustoty toku dane´ (Poyntingovy´m) vektorem S , jehozˇ velikost u sveˇtelny´ch vln uda´va´, kolik energie dopadne kolmo na jednotkovou plosˇku za jednotku cˇasu, je tedy S=

E2 cµ

.

(4.41)

Vidı´me tedy, zˇe tato energie je azˇ na konstantu rovna druhe´ mocnineˇ intenzity elektricke´ho pole E . Tento vy´sledek je v u´zke´ analogii s energiı´ mechanicky´ch vln, ktera´ je u´meˇrna´ druhe´ mocnineˇ jejich amplitudy 1 E = mω 2 A2 . (4.42) 2 Prˇi studiu elektromagneticke´ho vlneˇnı´, je pro jednoduchost vhodne´, zave´st si novou skala´rnı´ velicˇinu I, ktera´ bude redukovanou obdobou vektoru hustoty toku elektromagneticke´ energie I = cµ|S |

.

(4.43)

Tato velicˇina se, aby to nebylo azˇ prˇ´ılisˇ jednoduche´, z historicky´ch du˚vodu˚ nazy´va´ intenzita elektromagneticke´ho vlneˇnı´, resp. v prˇ´ıpadeˇ studia opticky´ch jevu˚ – intenzita sveˇtla. Veˇtsˇina detektoru˚ sveˇtla (vcˇetneˇ lidske´ho oka) nezaznamena´va´ .. kvadraticke´ detektory. Jde o velikost, nikoli o fa´zi ... ˜ · E˜∗ I=E 5

(4.44)

Demonstrace tlaku za´rˇenı´ ve sˇkolnı´ch podmı´nka´ch lze prove´st na tzv. Crookesoveˇ mly´nku – lopatky mly´nku, ktery´ je ulozˇen ve vycˇerpane´ trubici a zaveˇsˇen tak, aby meˇl co nejmensˇ´ı trˇenı´, jsou slozˇeny ze dvou materia´lu˚ jeden sveˇtlo co nejvı´ce pohlcuje a druhy´ co nejvı´ce odra´zˇ´ı. Ota´cˇenı´ mly´nku mu˚zˇeme cha´pat jako du˚sledek platnosti za´kona zachova´nı´ hybnosti.

67

KAPITOLA 4. SVEˇTLO JAKO ELEKTROMAGNETICKA´ VLNA

ZT 1 ˜∗ ˜ hIi = E · E dt . T 0

68

(4.45)

Kapitola 5 Vlnova´ optika V geometricke´ optice (viz na´sledujı´cı´ kapitola 6) se mimo jine´ vycha´zı´ z prˇedpokladu, zˇe dva krˇ´ızˇ´ıcı´ se svazky sveˇtla (sveˇtelne´ paprsky) se nijak vza´jemneˇ neovlivnˇujı´. Pokud se ale na sveˇtlo dı´va´me jako na urcˇity´ druh vlneˇnı´, a my z prˇedchozı´ kapitoly vı´me, zˇe sveˇtlo lze cha´pat jako elektromagnetickou vlnu, je za jisty´ch okolnostı´ vza´jemne´ ovlivneˇnı´ ru˚zny´ch sveˇtelny´ch paprsku˚ dobrˇe pozorovatelne´. V na´sledujı´cı´m si uka´zˇeme neˇkolik ilustracı´ vlnove´ho charakteru sveˇtelne´ho za´rˇenı´.

5.1

Interference dvou svazku˚

5.1.1 Co je to koherence Ja´dro kazˇde´ho zdroje sveˇtla tvorˇ´ı soubor atomu˚, ktere´ vysı´lajı´ elektromagneticke´ vlneˇnı´ (o zpu˚sobu vyzarˇova´nı´ sveˇtla se dozvı´te vı´ce v kapitole 10). Sveˇtelna´ vlneˇnı´ vyzarˇovana´ jednotlivy´mi atomy spolu obecneˇ nijak nesouvisı´ ... na´hoda ... fa´ze ... viz naprˇ. gymnazia´lnı´ optika str. 92 nebo Quantum Optics

5.1.2

Interference sveˇtla ze dvou koherentnı´ch zdroju˚

V tomto oddı´lu se budeme zaby´vat interferencı´ dvou sveˇtelny´ch vln – pra´veˇ schopnost interference za´rˇenı´ prozrazuje jeho vlnovou povahu. Nejprve pro jednoduchost prˇedpokla´dejme dva idea´lnı´ zdroje sveˇtla vyzarˇujı´cı´ rovinne´ (daleko od zdroju˚) monochromaticke´ vlneˇnı´ popsane´ fa´zory ˜ 01 exp[−i(kx1 − δ1 )] E˜1 = E01 exp[i(ωt − kx1 + δ1 )] = E a ˜ 02 exp[−i(kx2 − δ2 )] . E˜2 = E02 exp[i(ωt − kx2 + δ2 )] = E 69

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA Dopadajı´-li tato vlneˇnı´ spolecˇneˇ na stı´nı´tko (viz obr. 5.1), bude vy´sledna´ intenzita elektricke´ho pole

Obra´zek 5.1: K interferenci dvou svazku˚

˜ =E ˜1 + E ˜2 E Intenzitu sveˇtla na stı´nı´tku pak pocˇ´ıta´me podle zna´me´ho vztahu (viz ???) ˜ ·E ˜ ∗ = (E ˜1 + E ˜ 2 )(E ˜∗ + E ˜ ∗) = I = E 1 2 = [E01 exp[−i(kx1 − δ1 )]][E02 exp[−i(kx2 − δ2 )]] = 2 2 = E01 + E02 + 2E01 · E02 cos δ

,

kde poslednı´ cˇlen nazy´va´me interferencˇnı´m cˇlenem a platı´ δ = k(x2 − x1 ) + (δ2 − δ1 ) .

(5.1)

Interferencˇnı´ cˇlen tvorˇ´ı rozdı´l mezi vy´slednou intenzitou a soucˇtem intenzit jednotlivy´ch zdroju˚ – pra´veˇ on poukazuje na vlnove´ chova´nı´ sveˇtla. Kdyby sveˇtlo bylo proudem klasicky´ch cˇa´stic (hmotny´ch bodu˚), byla by vy´sledna´ (patrˇicˇneˇ jinak definovana´) vy´sledna´ intenzita prosty´m soucˇtem intenzit z obou zdroju˚. Je nanejvy´sˇ vhodne´ si uveˇdomit, zˇe vy´raz 2E01 · E02 cos δ mu˚zˇe v za´vislosti na δ velmi podstatneˇ zmeˇnit vy´sledek cele´ho skla´da´nı´ sveˇtelny´ch vln. Podı´vejme se blı´zˇe na to, jaky´m zpu˚sobem. Protozˇe frekvence sveˇtla je velmi vysoka´ (∼ 1015 Hz) nenı´ oko ani veˇtsˇina jiny´ch detektoru˚ schopna tyto oscilace zachytit – na stı´nı´tku je tedy zaznamena´va´na pouze strˇednı´ hodnota intenzity sveˇtla za neˇjaky´ delsˇ´ı cˇasovy´ u´sek ∆t (v porovna´nı´ s periodou T kmitu sveˇtla tato podmı´nka tedy znamena´ ∆t À T ), tj. Z∆t Z∆t 1 1 2 2 hIi = I dt = E01 + E02 + 2(E01 · E02 ) cos δ dt . (5.2) ∆t ∆t 0

0

70

5.1. Interference dvou svazku˚ 1) V prˇ´ıpadeˇ, zˇe dva zdroje jsou nekoherentnı´,1 budou se meˇnit s cˇasem jejich fa´ze, tj. δ1 = δ1 (t) i δ2 = δ2 (t), proto bude i fa´zovy´ rozdı´l definovany´ 5.1 za´visly´ na cˇase, tj. δ = δ(t) a obecneˇ se bude meˇnit na´hodneˇ. Protozˇe vy´raz cos δ bude se stejnou pravdeˇpodobnostı´ naby´vat hodnot z intervalu h−1; 1i, bude Z∆t cos δ(t) dt = 0 . 0

Vy´sledkem skla´da´nı´ sveˇtla z obou zdroju˚ tak bude 2 2 hIi = E01 + E02 = I1 + I2

,

cozˇ znamena´, zˇe dopadajı´cı´ paprsky se neovlivnˇujı´ (jsou neza´visle´) a interference nenasta´va´. 2) Pro dva fa´zoveˇ sva´zane´, tj. koherentnı´, zdroje bude jejich fa´zovy´ rozdı´l cˇasoveˇ konstantnı´ δ2 (t) − δ1 (t) = δ 6= δ(t) , z cˇehozˇ 1 ∆t

Z∆t cos δ dt = cos δ

,

0

a tedy hIi = I1 + I2 + 2E01 · E02 cos δ

.

Nynı´ za´lezˇ´ı jednak na skala´rnı´m soucˇinu E01 · E02 = E01 E02 cos α a jednak na fa´zove´m rozdı´lu δ. Podı´vejme se na jednotlive´ prˇ´ıpady. a) Jsou-li vektory E01 a E02 navza´jem kolme´, tj. E01 · E02 = 0, bude hIi = I1 + I2 a interference opeˇt nenasta´va´. b) Jsou-li vektory E01 a E02 navza´jem rovnobeˇzˇne´, tj. E01 · E02 = E01 E02 , bude 2 2 + 2E01 E02 cos δ + E02 I = E01

.

Za teˇchto podmı´nek bude na stı´nı´tku intenzita sveˇtla maxima´lnı´, bude-li cos δ = 1, tj. p 2 2 + 2E01 E02 = I1 + I2 + 2 I1 I2 . + E02 Imax = E01 (5.3) rˇ´ıka´me, zˇe nasta´va´ u´plneˇ konstruktivnı´ interference Bude-li cos δ = −1, bude p 2 2 Imin = E01 + E02 − 2E01 E02 = I1 + I2 − 2 I1 I2 1

O koherentnı´ch a nekoherentnı´ch zdrojı´ch viz ??? nı´zˇe.

71

(5.4)

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA a mluvı´me o u´plneˇ destruktivnı´ interferenci V prˇ´ıpadech, kdy fa´zovy´ rozdı´l δ bude naby´vat neˇktere´ z hodnot z intervalu (0; π/2) hovorˇ´ıme o cˇa´stecˇneˇ konstruktivnı´ interferenci a je-li δ ∈ (π/2; π) o cˇa´stecˇneˇ destruktivnı´ interferenci. V prˇ´ıpadeˇ, kdy I1 = I2 ≡ I0 , bude δ I = I0 + I0 + 2I0 cos δ = 2I0 (1 + cos δ) = 4I0 cos2 ) , (5.5) 2 Prˇitom i z obra´zku˚ 5.2 a 5.3 je videˇt, zˇe intenzita sveˇtla na stı´nı´tku je v maximech cˇtyrˇikra´t veˇtsˇ´ı nezˇ je intenzita sveˇtla z jednoho zdroje. Rovneˇzˇ je zajı´mave´, zˇe prˇestozˇe na stı´nı´tko svı´tı´ oba zdroje, existujı´ na neˇm mı´sta, ve ktery´ch je intenzita sveˇtla nulova´. Tento jev nelze pomocı´ prˇedstavy sveˇtla skla´dajı´cı´ se z klasicky´ch hmotny´ch bodu˚ (=cˇa´stic). V mı´stech, kde by zdroje takovy´ch cˇa´stic sveˇtla vykazovaly naprˇ. nulovy´ fa´zovy´ posuv by byla jejich prˇ´ıslusˇna´ „intenzita dopadu“ dvojna´sobna´ oproti intenziteˇ dopadu sveˇtelny´ch cˇa´stic pouze z jednoho zdroje a nikoli cˇtyrˇna´sobna´. Podobneˇ kdyby bylo stı´nı´tko osveˇtleno proudem cˇa´stic z obou zdroju˚ rovnomeˇrneˇ, nebyly by na neˇm oblasti kam by nedopada´valy zˇa´dne´ cˇa´stice. Jev interference pohrˇbil Newtonovy cˇa´sticove´ prˇedstavy o sveˇtle, ktere´ ve veˇdecke´m sveˇteˇ prˇevla´daly vı´ce nezˇ jedno stoletı´. E

I

4

4

3

3

2

2

1

1 Delta 2

4

6

8

10

12

Delta

14

2

Obra´zek 5.2: Za´vislost velikosti intenzity vy´sledne´ho elektricke´ho pole na stı´nı´tku na fa´zove´m rozdı´lu. Prˇ´ıma´ cˇa´ra je strˇednı´ hodnota intenzity elektricke´ho pole

4

6

8

10

12

14

Obra´zek 5.3: Interferencˇnı´ jev – za´vislost intenzity sveˇtla na stı´nı´tku na fa´zove´m (a tedy i dra´hove´m) rozdı´lu. Prˇ´ıma´ cˇa´ra je strˇednı´ hodnota intenzity sveˇtla.

c) Zcela analogicky jako u fa´zove´ho rozdı´lu δ bude interferencˇnı´ jev prˇi konstantnı´m δ za´viset take´ na u´hlu α mezi vektorem E01 a E02 . Vy´sledna´ intenzita sveˇtla pak bude za´visla´ na soucˇinu mezi cos α a cos δ.

5.1.3 Metody zı´ska´va´nı´ koherentnı´ch zdroju˚ Dva koherentnı´ zdroje mu˚zˇeme zı´skat naprˇ. rozdeˇlenı´m sveˇtelne´ho paprsku jednoho zdroje, nebo pomocı´ velkoplosˇne´ho koherentnı´ho zdroje – laseru. Na´sleduje neˇkolik konkre´tnı´ch metod zı´ska´va´nı´ 72

5.1. Interference dvou svazku˚ dvou koherentnı´ch paprsku˚ (zdroju˚). Sveˇtelne´ obrazce na stı´nı´tku jsou u vsˇech metod stejne´. Youngu˚v pokus Historicky prvnı´m dvousvazkovy´m interferencˇnı´m experimentem byl pokus Thomase Younga z roku 1802. Pu˚vodnı´ usporˇa´da´nı´ pokusu je videˇt z obr. 5.4. Sveˇtlo z intenzivnı´ho zdroje (Slunce) procha´zelo maly´m kruhovy´m otvorem S a dopadalo na dalsˇ´ı dva male´ otvory S1 a S2 , ktere´ byly velmi blı´zko sebe. Tı´mto rozdeˇlenı´m vlnoplochy vznikly v S1 a S2 dva koherentnı´ zdroje. Pro lepsˇ´ı sveˇtelnost obrazce na stı´nı´tku je vhodne´ uzˇ´ıt mı´sto maly´ch kruhovy´ch otvoru˚ dlouhy´ch u´zky´ch sˇteˇrbin. Prˇi pouzˇitı´ zdroje monochromaticke´ho za´rˇenı´ (naprˇ. Slunce prˇes barevny´ filtr) vznika´ na stı´nı´tku soustava (prˇiblizˇneˇ) ekvidistantnı´ch sveˇtly´ch prouzˇku˚. Prˇi pouzˇitı´ bı´le´ho sveˇtla se vytvorˇ´ı soustava navza´jem se prˇekry´vajı´cı´ch barevny´ch prouzˇku˚. ———–dodeˇlej———————— Vy´sledek tohoto pokusu lze snadno vysveˇtlit pomocı´ Huygensovy prˇedstavy sˇ´ırˇenı´ vln: Z (prakticky) bodove´ho zdroje S se sˇ´ırˇ´ı kulove´ vlnoplochy, ktere´ dopadajı´ na sˇteˇrbiny S1 a Prˇedpokla´da´me, zˇe vzda´lenost sˇteˇrbin je velice mala´, tj. |S1 S2 |≡ d ¿ x. δ = k1 · r1 − k2 · r2 prˇedpokla´dejme zˇe vlnove´ vektory jsou prˇiblizˇneˇ stejne´, jsou to pouze sekunda´rnı´ zdroje vlneˇnı´. ϑ1 ≈ ϑ2 Vysveˇtlenı´ budeme deˇlat za neˇkolika prˇedpokladu˚ – sˇteˇrbiny jsou identicke´, zanedba´va´me vliv ohybu (idea´lnı´ cˇa´rove´ (bodove´) zdroje), vyzarˇovacı´ schopnost sˇteˇrbin neza´visı´ na ϑ. ——————————————–

Obra´zek 5.4: Usporˇa´da´nı´ Youngova pokusu

Obra´zek 5.5: K vysveˇtlenı´ Youngova pokusu

Do bodu˚ s y-ovou sourˇadnicı´ (prˇ´ımky rovnobeˇzˇne´ se sˇteˇrbinami) dopadajı´ vlneˇnı´ z S1 i S2 s ru˚znou 73

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA fa´zı´ v za´vislosti na rozdı´lu drah |r1 | a |r2 |. Fa´zovy´ rozdı´l je urcˇen vztahem δ = k1 · r1 − k2 · r2

.

(5.6)

Prˇedpokla´da´me-li, zˇe vlnove´ vektory jsou prˇiblizˇneˇ stejne´, tj.

k1 ≈ k2 (= k ) , bude δ = k · (r1 − r2 ) .

(5.7)

Protozˇe je |r 1 − r 2 | = d , platı´ δ = kd cos

³π 2

´ − ϑ = kd sin ϑ ≈ kd tg ϑ .

Pro fa´zovy´ rozdı´l tak ma´me δ=

(5.8)

2π y d λ x

a intenzita sveˇtla na stı´nı´tku tedy bude (viz 5.5) I = 4I0 cos2

πdy λx

.

(5.9)

Z uvedene´ho snadno najdeme podmı´nky pro sourˇadnice bodu˚ na stı´nı´tku, pro ktere´ nastanou minima cˇi maxima intenzity sveˇtla. a) Maximum intenzity nasta´va´, kdyzˇ πdy π = 2n , kde n ∈ Z , 2 λx 2 z cˇehozˇ plyne podmı´nka sourˇadnice intenzivnı´ch prouzˇku˚ (Imax = 4I0 ) ymax = 2n

λx 2d

.

b) Minimum intenzity nasta´va´, kdyzˇ π πdy = (2n + 1) λx 2

, kde

Sourˇadnice bodu˚, v nichzˇ je ymin = (2n + 1)

λx 2d

n∈Z

.3

.

Vzda´lenosti mezi jednotlivy´mi maximy zjistı´me vyja´drˇenı´m λx , d ze ktere´ho vidı´me, zˇe prouzˇky jsou v nasˇem prˇiblı´zˇenı´ ϑ1 ≈ ϑ2 skutecˇneˇ ekvidistantnı´. ∆y = yn+1 − yn =

2 3

Hovorˇ´ıme o sudy´ch na´sobcı´ch π/2, dvojku v tomto vztahu nevykra´tı´me cˇisteˇ z mnemotechnicky´ch du˚vodu˚ (viz da´le). Hovorˇ´ıme o lichy´ch na´sobcı´ch π/2.

74

5.1. Interference dvou svazku˚ Fresnelova zrcadla Jedna´ se o dveˇ rovinna´ zrcadla, ktera´ navza´jem svı´rajı´ maly´ u´hel – viz obr. 5.6.

Obra´zek 5.6: Fresnelova zrcadla

Lloydu˚v pokus V te´to metodeˇ zı´ska´nı´ dvou koherentnı´ch svazku˚ se uzˇ´ıva´ jen jednoho zrcadla zpu˚sobem zna´zorneˇny´m na obr. 5.7.

Obra´zek 5.7: Lloydu˚v pokus

Fresnelu˚v dvojhranol Sveˇtlo ze zdroje S se bude na dvojhranolu la´mat (viz obr. 5.8) a vzniknou tak virtua´lnı´ zdroje S1 a S2 vyzarˇujı´cı´ sveˇtlo s konstantnı´m fa´zovy´m posunem. 75

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA

Obra´zek 5.8: Fresnelu˚v dvojhranol

5.1.4

Interference dvou svazku˚ na tenke´ vrstveˇ

Zobrazenı´, ktere´ pozorujeme v odrazˇene´m nebo prosˇle´m sveˇtle na tenky´ch vrstva´ch, naprˇ. vrstveˇ oleje na vodeˇ, my´dlove´ bla´neˇ apod. ma´ pu˚vod v interferenci. Interferujı´ spolu paprsky odrazˇene´ od hornı´ a dolnı´ steˇny vrstvy a pokud nenı´ odrazivost rozhranı´ umeˇle zvy´sˇena, jde v podstateˇ o interferenci dvou paprsku˚.

Planparalelnı´ vrstva Uvazˇujme tenkou vrstvu z pru˚hledne´ho materia´lu s indexem lomu n0 , ktera´ ma´ vsˇude stejnou tlousˇt’ku t (=planparalelnı´) a necht’je tato vrstva umı´steˇna v pru˚hledne´m prostrˇedı´ s indexem lomu n – viz obr. 5.9. Pocˇ´ıtejme, jaky´ je rozdı´l opticky´ch drah paprsku˚ prˇ´ıslusˇny´ch rovinne´mu vlneˇnı´ dopadajı´cı´mu na vrstvu. Z obr. 5.9 mu˚zˇeme odvodit, zˇe pro dra´hovy´ rozdı´l platı´ ∆l = n0 (AB + BC) − nAD Pro dra´hu paprsku urazˇenou ve vrstveˇ je AB + BC = AC 0 =

2t cos β

a pro dra´hu paprsku urazˇenou v obklopujı´cı´m prostrˇedı´ platı´ AD = 2t tg β sin α 76

.

.

5.1. Interference dvou svazku˚

Obra´zek 5.9: K vysveˇtlenı´ sveˇtelne´ho obrazce odrazˇene´ho od planparalelnı´ vrstvy.

Celkem tedy ma´me ∆l = n0

2t 2t − n2t tg β sin α = (n0 − n sin β sin α) , cos β cos β

cozˇ s pouzˇitı´m za´kona lomu (viz 6.4) n sin α = n0 sin β mu˚zˇeme jesˇteˇ da´le upravit na ∆l = 2t(

n0 1 − sin2 β − n0 sin β tg β) = 2tn0 = 2tn0 cos β cos β cos β

.

V za´vislosti na pomeˇru velikostı´ indexu˚ lomu se meˇnı´ na hornı´m cˇi dolnı´m rozhranı´ fa´ze o ±π, konkre´tneˇ a) Pro n < n0 (vrstva je opticky hustsˇ´ı nezˇ okolı´) nasta´va´ zmeˇna fa´ze na hornı´m rozhranı´ a fa´ze paprsku odrazˇene´ho od dolnı´ho rozhranı´ se nemeˇnı´. b) Pro n > n0 nasta´va´ zmeˇna fa´ze pouze na dolnı´m rozhranı´. Podmı´nky kladene´ na fa´zovy´ rozdı´l δ = k∆l + π =

4π 0 tn cos β ± π λ

opeˇt urcˇ´ı umı´steˇnı´ minim a maxim intenzity sveˇtla. 77

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA a) Maximum intenzity sveˇtla nasta´va´ prˇi splneˇnı´ podmı´nky δ = m2π

,

kde

m ∈ Z,

cozˇ pro kosinus u´hlu lomu β znamena´ µ ¶ 1 λ 0 2tn cos β = m ± λ ⇒ cos β = (2m ± 1) 2 4tn0

.

(5.10)

b) Minimum intenzity sveˇtla nasta´va´, kdyzˇ δ = (2m ± 1)π

,

kde

m ∈ Z,

z cˇehozˇ pro u´hel lomu plyne 4π 0 λ tn cos β ± π = 2πm ± π ⇒ cos β = 2m λ 4tn0

.

Protozˇe vy´sledek interference za´visı´ prˇi osveˇtlenı´ vrstvy dane´ tlousˇt’ky monochromaticky´m za´rˇenı´m pouze na u´hlu dopadu sveˇtelne´ho vlneˇnı´, rˇ´ıka´me vznikle´mu interferencˇnı´mu obrazci prouzˇky stejne´ho sklonu. V prosˇle´m sveˇtle nasta´va´ odraz dvakra´t (viz obr. 5.10) a protozˇe je dra´hovy´ rozdı´l ∆l stejny´ jako u odrazu, bude pro fa´zovy´ rozdı´l platit podmı´nka δ = k∆l ± 2π

,

kterou pro harmonicke´ vlneˇnı´ mu˚zˇeme prˇepsat na δ = k∆l

.

Pro prosˇle´ sveˇtlo tedy nasta´va´ prˇi stejneˇ silne´ vrstveˇ minimum pro ty u´hly, pro ktere´ v odrazˇene´m nasta´va´ maximum a naopak – interferencˇnı´ obraz je tedy v prosˇle´m sveˇtle doplnˇkovy´ k obrazu v odrazˇene´m sveˇtle. Prouzˇky stejne´ho sklonu – dalsˇ´ı prˇ´ıklad Necht’ z kondenzoru zdroje monochromaticke´ho sveˇtla vystupuje mı´rneˇ divergentnı´ svazek, procha´zı´ polopropustny´m zrcadlem Z a dopada´ na (prˇesneˇ) planparalelnı´ vrstvu V o tlousˇt’ce t. Pozorujeme sveˇtlo odrazˇene´ od vrstvy a na´sledneˇ od zrcadla (viz obr. 5.11). Do oka tedy vstupujı´ sveˇtelne´ paprsky odrazˇene´ kolmo od vrstvy (u´hel lomu β je velmi maly´). Paprsky s urcˇity´m β tvorˇ´ı kuzˇel, takzˇe v prˇ´ıpadeˇ konstruktivnı´ interference vidı´me sveˇtly´ krouzˇek a v prˇ´ıpadeˇ destruktivnı´ interference vidı´m krouzˇek tmavy´. Protozˇe tyto krouzˇky odpovı´dajı´ dane´mu β, mluvı´me o krouzˇcı´ch stejne´ho sklonu. Pokud vrstvu pootocˇ´ıme, strˇed krouzˇku˚ bude mimo zorne´ pole, krouzˇky (kruzˇnice) se zmeˇnı´ na elipsy a prˇi dalsˇ´ım vychy´lenı´ vrstvy je videˇt uzˇ jen jedna strana teˇchto elips a uvidı´me te´meˇrˇ prˇ´ımkove´ prouzˇky. 78

5.1. Interference dvou svazku˚

Obra´zek 5.10: Planparalelnı´ vrstva – procha´zejı´cı´ sveˇtlo

Obra´zek 5.11: Prouzˇky stejne´ho sklonu

Prouzˇky stejne´ tlousˇt’ky

V prˇ´ıpadeˇ, zˇe se tlousˇt’ka tenke´ vrstvy pozvolna meˇnı´, mu˚zˇeme v odrazˇene´m sveˇtle pozorovat tzv. prouzˇky stejne´ tlousˇt’ky. Pro pozorova´nı´ je vhodny´ plosˇny´ monochromaticky´ zdroj (viz obr. 5.12). Zornice oka vymezı´ v odrazˇene´m sveˇtle u´zky´ svazek, v neˇmzˇ se podstatneˇ nemeˇnı´ cos β. Intenzita sveˇtla je urcˇena loka´lnı´ tlousˇt’kou vrstvy. S okem zaostrˇeny´m na vrstvu vidı´me tmave´ a sveˇtle´ prouzˇky, ktere´ spojujı´ mı´sta stejne´ tlousˇt’ky. V klı´novite´ vrstveˇ vidı´me soustavu te´meˇrˇ ekvidistantnı´ch prouzˇku˚ rovnobeˇzˇny´ch s hranou klı´nu. Kazˇda´ nerovnost znamena´ deformaci prouzˇku˚. Prouzˇky stejne´ tlousˇt’ky jsou lokalizova´ny ve vrstveˇ. 79

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA

Obra´zek 5.12: Prouzˇky stejne´ tlousˇt’ky – str.34b

Newtonovy krouzˇky Zvla´sˇtnı´m prˇ´ıpadem prouzˇku˚ stejne´ tlousˇt’ky jsou Newtonovy prouzˇky. Pozorujeme je na tenke´ vzduchove´ vrstveˇ mezi skleneˇnou rovinnou desticˇkou a ploskovypuklou cˇocˇkou s velky´m polomeˇrem krˇivosti na zarˇ´ızenı´, ktere´mu se rˇ´ıka´ Newtonova skla (viz obr. 5.13).

Obra´zek 5.13: Newtonova skla

80

5.1. Interference dvou svazku˚

5.1.5

Dvousvazkove´ interferometry

Z prˇedchozı´ho vı´me, zˇe rozlozˇenı´ minim a maxim prˇi osveˇtlenı´ opticke´ vrstvy za´visı´ na vy´razu λ/4tn0 . Za urcˇity´ch podmı´nek tedy mu˚zˇeme meˇrˇenı´m urcˇit neˇkterou z velicˇin λ, t cˇi n0 . Nezˇ si ve strucˇnosti rozebereme princip prˇ´ıstroju˚, ktere´ za tı´mto u´cˇelem pouzˇ´ıva´me, seznamme se se zavedeny´mi na´zvy rozdeˇleny´mi podle jejich prˇedmeˇtu jejich za´jmu: • Refraktometr meˇrˇ´ı index lomu. • Kompara´tor meˇrˇ´ı male´ vzda´lenosti. • Spektrometr meˇrˇ´ı vlnovou de´lku. Jaminu˚v interferometr Sche´ma tohoto prˇ´ıstroje je na obr. 5.14. Dveˇ stejne´ pru˚hledne´ stejneˇ silne´ desticˇky pro zvy´sˇenı´ odrazu od zadnı´ strany vneˇ pokovene´ jsou skloneˇne´ vu˚cˇi sobeˇ o maly´ u´hel γ. Vlozˇ´ıme-li mezi tyto desky kyvetu s meˇrˇenou la´tkou, zmeˇnı´ se opticka´ dra´ha jednoho paprsku, a tedy i jejich dra´hovy´ rozdı´l. Z toho, jaky´m zpu˚sobem se zmeˇnı´ interferencˇnı´ obrazec mu˚zˇeme zjistit index lomu dane´ la´tky. Nevy´hodou tohoto Jaminova interferometru je, zˇe pro tenke´ desticˇky, ktere´ prˇedpokla´da´me, je vzda´lenost paprsku˚ a a b mala´.

Obra´zek 5.14: Sche´ma Jaminova interferometru

Rozˇdeˇstvenske´ho interferometr Tento druh interferometru, zvane´ho te´zˇ Machu˚v-Zehnderu˚v interferometr, odstranˇuje zminˇovanou vadu Jaminova interferometru – viz obr. 5.15. Variace tohoto interferometru jsou hojneˇ vyuzˇ´ıva´ny v soucˇasne´ 81

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA kvantove´ optice a kvantove´ kryptografii (viz naprˇ. [9]).

Obra´zek 5.15: Sche´ma Rozˇdeˇstvenske´ho-Machova-Zehnderova interferometru

Michelsonu˚v interferometr Tento typ interferometru byl pu˚vodneˇ zkonstruova´n A. A. Michelsonem pro experiment, ktery´ meˇl doka´zat existenci e´teru (pozdeˇji byl Michelsonem vy´znamneˇ zdokonalen ve spolupra´ci s E. Morleyem). V soucˇasne´ dobeˇ se rozbor tohoto experimentu cˇasto uzˇ´ıva´ prˇi u´vodnı´ch vy´kladech specia´lnı´ teorie relativity. Nejsou-li zrcadla Z1 a Z2 ve stejne´ vzda´lenosti od polopropustne´ho zrca´tka A, vznikajı´ na stı´nı´tku krouzˇky stejne´ho sklonu (desticˇka B je vkla´da´na, aby paprsek jdoucı´ vodorovny´m smeˇrem procha´zel stejnou vrstvou materia´lu jako paprsek jdoucı´ svisle). Pokud zrcadlo Z2 naklonı´me, vznikne klı´nova´ vrstva a zı´ska´me tak prouzˇky stejne´ tlousˇt’ky. Prˇi zmeˇneˇ dra´hove´ho rozdı´lu (tj. prˇi posunu zrca´tka o vzda´lenost d) se zmeˇnı´ rˇa´d interference a prouzˇky se posunou. Urcˇenı´m tohoto posunu lze zjistit vlnovou de´lku λ pouzˇite´ho sveˇtla nebo velikost posunu d. 82

5.2. Interference mnoha svazku˚

Obra´zek 5.16: Sche´ma Michelsonova interferometru. A je polopropustne´ zrca´tko, B je kompenzacˇnı´ vrstva, Z1 je pevne´ zrcadlo a Z2 je pohyblive´ zrcadlo.

5.2

Interference mnoha svazku˚

Podobneˇ jako v prˇ´ıpadeˇ zkouma´nı´ interference dvou svazku˚ se i v prˇ´ıpadeˇ interference mnoha svazku˚ zı´ska´vajı´ koherentnı´ svazky v za´sadeˇ dvojı´m zpu˚sobem – rozsˇteˇpenı´m vlnoplochy (naprˇ. pomocı´ soustavy sˇteˇrbin) nebo rozsˇteˇpenı´m amplitudy (naprˇ. pomocı´ planparalelnı´ vrstvy s vysoky´m koeficientem odrazu).

5.2.1 Rozdeˇlenı´ vlnoploch Prˇedpokla´dejme soustavu m sˇteˇrbin, v nichzˇ po dvou sousednı´ majı´ stejnou vzda´lenost d (viz obr. 5.17) – je-li m velke´, hovorˇ´ıme o opticke´ mrˇ´ızˇce. Necht’na tuto soustavu dopada´ rovinne´ monofrekvencˇnı´ elektromagneticke´ za´rˇenı´. Odvozenı´ pro u´hlove´ rozdeˇlenı´ intenzity elektricke´ho pole udeˇla´me zjednodusˇeneˇ pomocı´ fa´zorove´ho diagramu. a) Paprsku˚m vycha´zejı´cı´m ze sˇteˇrbin pod prˇ´ımy´m u´hlem (ϑ = 0) prˇ´ıslusˇ´ı stejne´ fa´zory (ozn. E˜1 ). Soucˇet teˇchto m fa´zoru˚ tedy na stı´nı´tku v bodeˇ P(y = 0) da´ E˜0 = mE˜1

(5.11)

b) Dra´hovy´ rozdı´l sousednı´ch paprsku˚ vycha´zejı´cı´ pod u´hlem ϑ 6= 0 je ∆l = d sin ϑ (viz obr. 5.18 a tedy fa´zovy´ rozdı´l je δ = kd sin ϑ. Vy´sledny´ fa´zor intenzity elektricke´ho pole na stı´nı´tku 83

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA

Obra´zek 5.17: K interferenci mnoha svazku˚ – soustava sˇteˇrbin

Obra´zek 5.18: K dra´hove´mu posunu dvou sˇteˇrbin

bude pro tento u´hel da´n soucˇtem m fa´zoru˚, ktere´ budou po dvou vza´jemneˇ pootocˇeny o u´hel δ. Prˇedpokla´da´me-li, zˇe se velikost fa´zoru se s natocˇenı´m nemeˇnı´, bude E˜ = E˜1 + E˜1 eiδ + E˜1 ei2δ + · · · + E˜1 eimδ

.

Tento soucˇet si mu˚zˇeme na´zorneˇ prˇedstavit. Povazˇujeme-li fa´zor za vektor v Gaussoveˇ rovineˇ, bude fa´zorovy´ soucˇet zna´zornˇovat obr. 5.19. Z geometrie proble´mu plynou pro velikosti vy´sledne´ho fa´zoru E˜ a fa´zoru, ktery´m prˇispı´va´ jedna sˇteˇrbina E˜1 vztahy mδ E1 δ E = r sin a = r sin . 2 2 2 2 A protozˇe z vy´sledne´ho fa´zoru pro prˇ´ımy´ smeˇr (5.11) mu˚zˇeme vzı´t vyja´drˇenı´ E1 , bude celkova´ hodnota elektricke´ho pole na stı´nı´tku pro obecny´ u´hel θ da´na sin mδ E0 sin mδ 2 2 E = E1 = m sin 2δ sin 2δ 84

.

(5.12)

5.2. Interference mnoha svazku˚

Obra´zek 5.19: K soucˇtu fa´zoru˚ elektricke´ho pole od m sˇteˇrbin. (viz str. 37)

Pro intenzitu sveˇtla pak platı´ (viz te´zˇ grafy na obra´zcı´ch 5.20, 5.21 a 5.22) I = E 2 = I0

sin2 mδ 2 2 m sin2 2δ

.

(5.13)

Pro ktere´ u´hly nasa´vajı´ maxima intenzity prˇi dane´ vlnove´ de´lce a pocˇtu a vzda´lenosti sˇteˇrbin? Z obr. 5.19 je videˇt, zˇe maximum nastane prˇi splneˇnı´ podmı´nky δ = πN 2

,

kde N ∈ Z

.

(5.14)

Pokud si tuto podmı´nku rozepı´sˇeme kd sin ϑ = N2π

, resp.

d sin ϑ = Nλ ,

(5.15)

zı´ska´me rovnici pro maxima mrˇ´ızˇky, ktera´ se vyucˇuje i na neˇktery´ch strˇednı´ch sˇkola´ch (vsˇimneˇte si, zˇe neza´visı´ na m). Oveˇrˇme si nynı´, zˇe skutecˇneˇ pro podmı´nku 5.14 zı´ska´me maximum intenzity sveˇtla. Z funkce 5.13 pro I(δ) je vzhledem k tomu, zˇe sin α ≤ 1 pro vsˇechna α a vzhledem k m ≥ 1 patrne´, zˇe I(δ) ≤ I0 . A protozˇe platı´ Ã !2 mδ δ sin2 mδ sin 2 2 = I0 , Imax = lim I = lim I0 2 22 δ = I0 lim δ→0 m δ sin δ δ→2πN δ→2πN m sin 2 2 2 doka´zali jsme, zˇe podmı´nka 5.14 skutecˇneˇ zajisˇt’uje maximum intenzity sveˇtla. Minima intenzity sveˇtla nasta´vajı´ pro takove´ u´hly ϑ, pro ktere´ je splneˇna podmı´nka sin To vede na splneˇnı´ rovnice

mδ =0 2

mδ = N2π 2

, a za´rovenˇ

δ 6= 0

, kde N ∈ Z − {0} 85

.

(5.16)

.

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA Nulova´ intenzita sveˇtla nasta´va´ pro u´hly ϑ, pro ktere´ je md sin ϑ = Nλ

.

(5.17)

Z tohoto vyja´drˇenı´ i z grafu˚ 5.20, 5.21 a 5.22 je videˇt, zˇe mezi dveˇma hlavnı´mi maximy lezˇ´ı m - 1 minim. S rostoucı´m m se sˇ´ırˇka hlavnı´ch maxim zmensˇuje (sveˇtelne´ prouzˇky na stı´nı´tku jsou uzˇsˇ´ı) a velikost vedlejsˇ´ıch maxim klesa´. Zatı´mco u Youngova dvousˇteˇrbinove´ho pokusu jsou prouzˇky sˇiroke´ a neostre´, u mrˇ´ızˇky jsou tyto prouzˇky u´zke´ a oddeˇluje je sˇiroky´ tmavy´ pruh. 0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

1

2

3

4

5

1

6

Obra´zek 5.20: Intenzita sveˇtla pro pocˇet sˇteˇrbin 4

5.3

2

3

4

5

6

Obra´zek 5.21: Intenzita sveˇtla pro pocˇet sˇteˇrbin 7

Rozsˇteˇpenı´ amplitudy

Pouzˇijeme-li k zı´ska´nı´ obrazce vznikle´ho interferencı´ mnoha svazku˚ planparalelnı´ vrstvu s vysoky´m koeficientem odrazu, rozsˇteˇpı´me tı´m amplitudu dopadajı´cı´ho svazku, jak je naznacˇeno na obr. 5.23. Dva sousednı´ paprsky vystupujı´cı´ z takove´ vrstvy majı´ stejny´ fa´zovy´ rozdı´l ∆ϕ = 2dk cos β

,

proto vy´sledny´ fa´zor intenzity elektricke´ho pole prosˇle´ho sveˇtla bude X ¡ ¢ E˜j = E0 t2 r2 ei∆ϕ +E0 t2 r4 e2i∆ϕ +· · ·+E0 t2 r2m eim∆ϕ · · · = E0 t2 1 + r2 ei∆ϕ + r4 e2i∆ϕ + · · · . E˜ = j

Na uvedeny´ soucˇet se mu˚zˇeme dı´vat jako na nekonecˇnou geometrickou rˇadu4 s kvocientem r2 ei∆ϕ , vy´sledny´ fa´zor pak bude E0 t2 E˜ = . (5.18) 1 − r2 ei∆ϕ 4

Jizˇ na gymna´ziı´ch se dokazuje pro vsˇechna |q| < 1 platnost vztahu 1 + q + q 2 + q 3 + · · · + q m + · · · =

86

1 1−q .

5.3. Rozsˇteˇpenı´ amplitudy

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

1

2

4

3

5

6

Obra´zek 5.22: Intenzita sveˇtla pro pocˇet sˇteˇrbin 20

Uzˇijeme-li v definici intenzity sveˇtla I = E˜ · E˜ ∗ =

E02 t4 (1 − r2 ei∆ϕ )(1 − r2 e−i∆ϕ )

,

oznacˇenı´ (viz Fresnelovy vzorce) E02 = I0 , r2 = R a t2 = T a vztah B.5, postupny´mi u´pravami zı´ska´me T2 I0 T 2 = I0 = I = (1 − Rei∆ϕ )(1 − Re−i∆ϕ ) 1 + R2 − 2R cos ∆ϕ T2 T2 = I0 = I 0 (1 − R)2 + 2R(1 − cos ∆ϕ) (1 − R)2 + 4R sin2

∆ϕ 2

.

Ma´-li vrstva nı´zkou absorpci („neztra´cı´“ se energie), bude IR + IT = I0 a tedy i R + T = 1. Nakonec se tak dosta´va´me k vyja´drˇenı´ celkove´ intenzity sveˇtla prosˇle´ho planparalelnı´ vrstvou I = I0

1 1+

4R (1−R)2

sin2

∆ϕ 2

.

(5.19)

Tento vztah se take´ oznacˇuje jako Airyho funkce (viz 5.24). 4R Pro R → 1 bude (1−R) ´ , a tedy I bude proti I0 male´ vyjma prˇ´ıpadu˚, kdy sin(∆ϕ/2) = 0. V 2 velke takovy´ch prˇ´ıpadech, tj. tehdy kdyzˇ ∆ϕ = 2Nπ, totizˇ bude I = Imax = I0 .

87

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA

Obra´zek 5.23: Planparalelnı´ vrstva z polopropustny´ch zrcadel. d je sˇ´ırˇka sˇteˇrbiny, r je koeficient odrazu a t koeficient propustnosti (viz Fresnelovy vzorce)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

6

8

10

12

14

16

Obra´zek 5.24: Airyho funkce pro hodnoty odrazivosti R = 0, 3 (modra´), R = 0, 5 (zelena´), R = 0, 7 (cˇervena´) a R = 0, 9 (zˇluta´)

Fabryu˚v-Perotu˚v interferometr Za´klad tohoto interferometru tvorˇ´ı soustava dvou velmi prˇesneˇ rovinny´ch skleneˇny´ch desek, z nichzˇ jedna je posuvna´ (jejich vzda´lenost je azˇ rˇa´du centimetru˚). Prˇivra´cene´ povrchy jsou kryty kovovou vrstvou s vysokou odrazivostı´ (R > 90%) a malou vlastnı´ absorpcı´.

Lummeru˚v-Gehrcheho interferometr Paprsky dopadajı´ na rozhranı´ v desce pod u´hlem blı´zky´m k u´hlu meznı´mu, cˇ´ımzˇ se docı´lı´ vysoka´ odrazivost. 88

5.3. Rozsˇteˇpenı´ amplitudy

Obra´zek 5.25: Fabryho-Perotu˚v interferometr (etalon)

Obra´zek 5.26: Lummerova-Gehrcheova deska

5.3.1

Pouzˇitı´ interference v praxi

Nynı´ si hesloviteˇ uvedeme neˇkolik dalsˇ´ıch mozˇnostı´ vyuzˇitı´ interferencˇnı´ch jevu˚ (kromeˇ jizˇ uvedene´ho meˇrˇenı´ indexu lomu, vzda´lenosti a vlnove´ de´lky): a) Urcˇova´nı´ kvality opticky´ch ploch – polozˇ´ıme-li na zkoumanou plochu prˇesneˇ planparalelnı´ desticˇku, vznikly´ interferencˇnı´ obrazec uka´zˇe nedokonalosti zkoumane´ho povrchu (docha´zı´ k deformaci prouzˇku˚). b) Podobny´m zpu˚sobem mu˚zˇeme urcˇit koeficient tepelne´ roztazˇnosti, protozˇe vesˇkere´ zmeˇny vzda´lenosti jsou zaznamena´ny v interferencˇnı´m obrazci. c) Antireflexnı´ vrstvy – u cˇocˇek v opticky´ch prˇ´ıstrojı´ch by prˇi velke´m pocˇtu cˇocˇek byly velke´ ztra´ty dı´ky odrazu˚m. Tento proble´m rˇesˇ´ı antireflexnı´ vrstvy naparˇovane´ na cˇocˇky. Tyto vrstvy se deˇlajı´ tak, aby meˇly uprostrˇed spektra´lnı´ oblasti sveˇtla nejvysˇsˇ´ı propustnost. V odrazˇene´m sveˇtle pak pro takto upravene´ cˇocˇky nasta´va´ interferencˇnı´ minimum. Na naparˇova´nı´ se cˇasto pouzˇ´ıva´ fluorid horˇecˇnaty´ (n = 1, 35). 89

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA d) Interferencˇnı´ filtry – na skleneˇnou podlozˇku se naparˇ´ı cˇa´stecˇneˇ propustna´ vrstvicˇka kovu (Ag, Al), pak opticka´ vrstva dane´ tlousˇt’ky a nakonec opeˇt vrstva kovu. Vytvorˇ´ı se vlastneˇ Fabryu˚vPerotu˚v etalon o male´ tlousˇt’ce. Podle odrazivosti vrstev lze docı´lit ru˚znou sˇ´ırˇku proupousˇteˇne´ho spektra´lnı´ho oboru.

5.4 Difrakce V prˇedchozı´ cˇa´sti jsme se sezna´mili s jevem interference, ktery´m se sveˇtlo podstatneˇ odchyluje od za´konu˚ geometricke´ optiky (viz kapitola 6), konkre´tneˇ od postula´tu o neza´vislosti chodu paprsku˚. Nynı´ se budeme zaby´vat dalsˇ´ı du˚lezˇitou odchylkou chova´nı´ sveˇtla od jeho geometricke´ho chova´nı´ – narusˇenı´m prˇ´ımocˇarosti chodu sveˇtla. Kdyby totizˇ byly za´kony geometricke´ optiky splneˇny prˇesneˇ, za osveˇtleny´mi prˇedmeˇty a otvory by byly oblasti stı´nu, ktere´ by byly ostrˇe oddeˇlene´ od osveˇtleny´ch oblastı´.5 Striktneˇ vzato je tato cˇa´st, veˇnovana´ studiu ohybu sveˇtla neboli difrakci, jen specia´lnı´m prˇ´ıpadem interference (viz da´le). Cha´pa´no v ra´mci klasicke´ fyziky vycha´zı´ prˇesna´ teorie ohybu sveˇtla z Maxwellovy´ch rovnic.6 Obecne´ rˇesˇenı´ teˇchto rovnic je v konkre´tnı´ch prˇ´ıpadech velmi cˇasto znacˇneˇ slozˇite´. Proto bylo v pru˚beˇhu veˇku˚ nalezeno neˇkolik prˇiblizˇny´ch metod, ktere´ ve sve´ oblasti jevu˚ jsou v dobre´m souhlasu s experimenty a prˇitom jsou vı´ce cˇi me´neˇ jednodusˇsˇ´ı.

5.4.1

Huygensu˚v-Fresnelu˚v princip

Zajı´mavy´ pohled na sˇ´ırˇenı´ sveˇtla poskytl zhruba prˇed 350-ti lety Christiaan Huygens ve sve´m Trakta´tu o sveˇtle (viz kap. 3). Huygens si sveˇtlo prˇedstavoval jako jisty´ druh mechanicke´ho vlneˇnı´ v hypoteticke´ la´tce zvane´ e´ter, prˇitom objevil zvla´sˇtnı´ zpu˚sob konstrukce vlnoplochy v cˇase t+∆t z jejı´ znalosti v cˇase t. Huygens tvrdil, zˇe kazˇdy´ bod e´teru, do neˇhozˇ v okamzˇiku t dorazila sveˇtelna´ vlnoplocha, se sta´va´ novy´m elementa´rnı´m zdrojem vlneˇnı´, ktere´ se z neˇj sˇ´ırˇ´ı neza´visle na ostatnı´ch bodech vlnoplochy do okolnı´ho prostrˇedı´. Vsˇechna tato elementa´rnı´ vlneˇnı´ se spolu skla´dajı´ podle principu superpozice (interferujı´). Vlnoplochu vy´sledne´ho vlneˇnı´ konstruujeme jako vneˇjsˇ´ı oba´lku (tj. tzv. tecˇnou plochu ve smeˇru sˇ´ırˇenı´ vlneˇnı´) jednotlivy´ch vlnoploch vznikly´ch z elementa´rnı´ch zdroju˚. Mimo vy´slednou vlnoplochu se elementa´rnı´ vlneˇnı´ skla´da´ destruktivneˇ. Pomocı´ tohoto principu Huygens vysveˇtlil nejen za´kony odrazu a lomu sveˇtla na rozhranı´ dvou izotropnı´ch prostrˇedı´, ale naprˇ´ıklad i dvojlom sveˇtla. Jizˇ jsme se zminˇovali, zˇe tento geometricky´ prˇ´ıstup meˇl mnoho nedostatku˚, jednı´m z nich je naprˇ´ıklad nezodpoveˇzena´ ota´zka, co se sta´va´ s vlneˇnı´m v bodech, ktere´ nejsou na oba´lce.7 Huygensu˚v princip 5

To nenı´ tak u´plneˇ pravda, protozˇe rozptyl sveˇtla ve vzduchu a odrazy od okolnı´ch prˇedmeˇtu˚ by zpu˚sobily rozmaza´nı´ sveˇtelny´ch obrazcu˚ i kdyby se sveˇtlo sˇ´ırˇilo pouze v souladu s principy geometricke´ optiky. 6 Nejprˇesneˇjsˇ´ım popisem vsˇech jevu˚ souvisejı´cı´ch se sveˇtlem je kvantova´ teorie elektromagneticke´ho pole – kvantova´ elektrodynamika. 7 Nebo procˇ se oba´lka konstruuje jen na straneˇ syste´mu elementa´rnı´ch vlnoploch odvra´cene´ od zdroje?

90

5.4. Difrakce v prvnı´ cˇtvrtineˇ podstatneˇ rozsˇ´ırˇil J. A. Fresnel tı´m, zˇe do neˇj zavedl princip superpozice a dalsˇ´ı prˇedstavy. Z takto upravene´ho Huygensova principu lze vypocˇ´ıtat naprˇ. intenzitu sveˇtla v libovolne´m bodeˇ prostoru cˇi sˇ´ırˇ´ıcı´m se v libovolne´m smeˇru. U Fresnela je oba´lka elementa´rnı´ch vlnoploch mnozˇina bodu˚, v nichzˇ se sveˇtlo interferencı´ zesı´lı´. Jakou amplitudu bude mı´t vlneˇnı´, ktere´ z bodove´ho zdroje dospeˇje do libovolne´ho bodu B? Kolem zdroje si myslı´me libovolnou uzavrˇenou plochu S, na kterou dospeˇlo vlneˇnı´ ze zdroje. Chceme-li urcˇit, jaka´ bude amplituda vlneˇnı´, ktere´ ze zdroje dospeˇje do B vneˇ plochy S, vyloucˇ´ıme z u´vahy zdroj a pta´me se, jakou amplitudu vyvola´ v bodeˇ B vlneˇnı´ obsazˇene´ v plosˇe S. Plochu S si prˇedstavı´me rozdeˇlenou na elementy dS, ktere´ povazˇujeme za druhotne´ zdroje vlneˇnı´, z nichzˇ do bodu B prˇicha´zı´ vlneˇnı´ po (Huygensovy´ch) elementa´rnı´ch kulovy´ch vlnoplocha´ch. Fresnel postuloval, zˇe amplituda a fa´ze s nimizˇ prˇicha´zı´ vlneˇnı´ z elementu dS do bodu B je za´visla´ na u´hlu α, ktery´ svı´ra´ spojnice r 0 elementu dS s bodem B s norma´lovy´m vektorem en elementu dS. Fresnel prˇedpokla´dal, zˇe prˇ´ıspeˇvek k vy´sledne´ amplitudeˇ v bodeˇ B od vlneˇnı´ z elementu dS je maxima´lnı´, je-li u´hel α roven nule a sta´va´ se nulovy´m pro α = π/2 (????proto tento prˇ´ıspeˇvek povazˇoval u´meˇrny´ cos α, resp. pru˚meˇtu vektoru dS = dS en do r 0 ???? – to ani ne). Vlneˇnı´, ktere´ prˇicha´zı´ do bodu B z jednotlivy´ch elementu˚, zachova´va´ svoji fa´zi prˇi vy´stupu z dS, je tedy v bodeˇ B koherentnı´ a mu˚zˇe interferovat. Proto vy´sledna´ amplituda vlneˇnı´ v bodeˇ B je urcˇena interferencı´ vlneˇnı´ prˇicha´zejı´cı´ho do tohoto bodu ze vsˇech elementu˚ dS plochy S. Na za´kladeˇ teˇchto prˇedpokladu˚ je mozˇno podle Huygensova-Fresnelova principu jednoznacˇneˇ vysveˇtlit jak prˇ´ımocˇare´ sˇ´ırˇenı´ sveˇtla, tak i ohyb sveˇtla. Urcˇenı´ amplitudy v bodeˇ B je velmi slozˇitou matematickou u´lohou, prˇitom nenı´ bez vy´znamu, jak volı´me plochu S, kterou nahrazujeme zdroj sveˇtla. Velmi vy´hodne´ je, je-li takovou plochou zvolena vlnoplocha, potom vlneˇnı´ vystupuje ze vsˇech elementu˚ se stejnou fa´zı´. Prˇ´ıklad: Ma´me-li bodovy´ zdroj, z neˇhozˇ se sveˇtlo rozsˇ´ırˇilo na kulovou vlnoplochu S, kterou nahradı´me zdroj vlneˇnı´. Rˇesˇ´ıme ota´zku, jakou amplitudu vyvola´ v bodeˇ B (vneˇ plochy S) vlneˇnı´ obsazˇene´ v S. Uzˇijeme rovnici kulove´ harmonicke´ vlny o polomeˇru r0 v komplexnı´m tvaru 1 0 ψ = ei(ωt−k ·r ) r

.

Protozˇe jde o urcˇova´nı´ amplitudy, ktera´ je na faktoru eiωt neza´visla´, budeme se nada´le zaby´vat jen cˇinitelem 1 0 ψ = eikr . r Podle Huygensova principu se vlneˇnı´ z libovolne´ho elementu dS plochy S sˇ´ırˇ´ı v elementa´rnı´ch kulovy´ch vlnoplocha´ch, Fresnel postuluje, zˇe intenzita vlneˇnı´ na teˇchto elementa´rnı´ch vlnoplocha´ch za´visı´ na u´hlu α, ktery´ svı´ra´ smeˇr postupujı´cı´ho vlneˇnı´ s norma´lou en elementu dS, tuto za´vislost je mozˇno vyja´drˇit urcˇitou smeˇrovou funkcı´ K(α). O te´to funkci se prˇedpokla´da´, zˇe ma´ maxima´lnı´ hodnotu pro 91

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA

Obra´zek 5.27: K Huygensoveˇ-Fresneloveˇ principu

α = 0 a pro α = π/2 je K(α) = 0. (V zavedenı´ smeˇrove´ funkce lze spatrˇovat alesponˇ forma´lnı´ odpoveˇd’ na ota´zku, procˇ oba´lka vznika´ jen na „prˇednı´“ straneˇ soustavy elementa´rnı´ch vlnoploch.) Tedy amplitudu vlneˇnı´ na elementa´rnı´ kulove´ vlnoplosˇe vysı´lane´ elementem dS je mozˇno napsat ve tvaru 1 0 K(α) 0 eikr dS . r Ale na element dS na vlnoplosˇe S dospeˇlo vlneˇnı´ ze zdroje s amplitudou 1 ikR e R

,

proto elementa´rnı´ prˇ´ıspeˇvek plosˇky dS k vy´sledne´ amplitudeˇ dψ vlneˇnı´ v bodeˇ B je dψ =

1 ikR 1 0 e K(α) 0 eikr dS R r

.

Vy´sledna´ amplituda v bodeˇ B, zpu˚sobena´ vlneˇnı´m obsazˇeny´m v plosˇe S je da´na integra´lem Z Z 1 1 ikR 0 K(α) 0 eikr dS . ψ(rB ) = e R r Huygensu˚v-Fresnelu˚v princip ma´ ale take´ nedostatky: a) Tvar smeˇrove´ funkce K(α) nenı´ zna´m a tato funkce se zava´dı´ proto, aby se zı´skal souhlas teorie s experimentem. b) Tı´m, zˇe postulujeme vlastnosti smeˇrove´ funkce K(α), rˇa´dneˇ nevysveˇtlı´me, procˇ oba´lka elementa´rnı´ch vlnoploch vznika´ jen na „prˇednı´“ straneˇ soustavy elementa´rnı´ch vlnoploch. 92

5.4. Difrakce c) Vy´sledna´ fa´ze vlneˇnı´ urcˇena´ podle Huygensova-Fresnelova principu nemusı´ by´t vzˇdy ve shodeˇ s experimentem. Prˇesto Huygensu˚v-Fresnelu˚v princip tvorˇ´ı bezpecˇny´ teoreticky´ za´klad pro vy´klad nejen prˇ´ımocˇare´ho sˇ´ırˇenı´ sveˇtla, ale i pro vy´klad ohybu sveˇtla. Kolem roku 1882 Gustav Kirchhoff formuloval Huygensu˚v-Fresnelu˚v princip exaktneˇ a matematicky forma´lneˇ odstranil vy´sˇe uvedene´ nedostatky. Dospeˇl ke stejny´m vy´sledku˚m, jake´ vyply´vajı´ z Fresnelovy metody. Vysveˇtluje se to tı´m, zˇe Fresnelova metoda je spra´vna´, ale vy´pocˇet podle nı´ je jen prˇiblizˇny´ (???). Pro podrobnosti se podı´vej do Born-Wolf: Optics V roce 1942 objevil mlady´ doktorand Richard P. Feynman u´zkou souvislost Huygensovy´ch a Fresnelovy´ch prˇedstav se za´kony kvantove´ mechaniky. ——————————— dodeˇlat!!! ——————————— Nezˇ se sezna´mı´me s relativneˇ jednoduchy´m pouzˇitı´m te´to metody v praxi, rozdeˇlı´me si z prakticky´ch du˚vodu˚ ohybove´ jevy podle geometrie usporˇa´da´nı´ experimentu˚ na dveˇ za´kladnı´ (ne ostrˇe oddeˇlene´) skupiny: a) O Fraunhoferovy´ch ohybovy´ch jevech hovorˇ´ıme tehdy, kdyzˇ vznikajı´ v rovnobeˇzˇny´ch sveˇtelny´ch svazcı´ch, tj. kdyzˇ vzda´lenost zdroje i pozorovane´ho obrazu je velka´ vzhledem k rozmeˇru˚m stı´nı´tka. b) O Fresnelovy´ch ohybovy´ch jevech hovorˇ´ıme tehdy, kdyzˇ vznikajı´ ve sbı´havy´ch cˇi rozbı´havy´ch (kulovy´ch) sveˇtelny´ch svazcı´ch, tj. kdyzˇ vzda´lenosti zdroje nebo pozorovane´ho obrazu od stı´nı´tka jsou male´.

5.4.2

Fresnelovy ohybove´ jevy

Pouzˇ´ıva´ se velmi maly´ kruhovy´ otvor, stı´nı´tko, zdroj sveˇtla. Pouzˇijeme metodu tzv. Fresnelovy´ch pa´sem (viz obr. 5.28). Plocha kulove´ho vrchlı´ku je Sv = 2πRh rk2 = ρ2k + (r0 + hk )2 ⇒ ρ2k = rk2 − (r0 + hk )2

R2 = ρ2k + (R − hk )2 ⇒ ρ2k = ρ2k − (r0 − hk )2 93

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA

Obra´zek 5.28: Fresnelova pa´sma

porovna´nı´m teˇchto ρk dosta´va´me rk2 − r02 − 2r0 hk − h2k = R2 − R2 + 2Rhk − h2k rk2 − r02 = 2hk (R + r0 ) rk2 − r02 hk = 2(R + r0 ) 2

r2 + 2k λ2 r0 + k 2 λ4 − r02 hk = 0 2(R + r0 ) 2 2

r0 kλ + k 4λ hk = 2(R + r0 ) druhy´ cˇlen v cˇitateli jde zanedbat a tı´m pro plochu k-te´ho Fresnelova pa´sma dosta´va´me Sk = Sv,k − Sv,k−1 = 2πR(

r0 kλ r0 (k − 1)λ πRr0 λ − )= 2(r0 + r) 2(r0 + r) r0 + R

Jak je patrne´ neza´visı´ plocha Fresnelova pa´sma na vlnove´m vektoru k. Amplitudy Fresnelovy´ch prˇ´ıspeˇvku˚ klesajı´ ak < ak−1 . Prˇedpokla´da´me-li, zˇe ak =

ak−1 + ak+1 2

pak mu˚zˇeme psa´t E = a1 − a2 + a3 − ... = E=

, X

(−1)i ai

a3 a3 a1 a1 + − a2 + + − a4 + ... 2 2 2 2

Za pouzˇitı´ prˇedpokladu Eliche = a Esude =

a1 an + 2 2

a1 an−1 + − an 2 2 94

(5.20)

5.4. Difrakce pro n blı´zˇ´ıcı´ se k nekonecˇnu je E=

a1 2

(5.21)

Jak to bude s intenzitou sveˇtla mimo optickou osu? Budou to soustrˇedne´ kruhy, ale nebudou uprostrˇed. 1. Fresnelu˚v ohyb na kruhove´m tercˇ´ıku E = an+1 − an+2 + . . . E=

an+1 2

I=(

an+1 2 ) 2

a proto je tento bod osveˇtlen intenzitou

2. Ohyb na hraneˇ Cornuova spira´la

Obra´zek 5.29: Cornuova spira´la

5.4.3

Fraunhoferovy ohybove´ jevy dE˜ = B exp[ikx sin ϑ]dx a

Z2 E˜ =

B exp[ikx sin θ]dx = [ − a2

B exp[ikx sin ϑ] a2 ]− a 2 ik sin θ

a a B [exp[ik sin θ] − exp[−ik sin ϑ]] ik sin θ 2 2 1 substitucı´ µ = 2 ka sin ϑ, cozˇ je fa´zovy´ rozdı´l mezi paprsky, ktere´ procha´zejı´ strˇedem a okrajem otvoru. E=

B exp[2i sin µ] sin µ sin µ E˜ = = Ba =C k sin θ µ µ 95

(5.22)

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA a tı´m je intenzita I = I0

sin2 µ µ2

• Globa´lnı´ maximum µ=0 • Minima I = 0 ... µ = 12 ka sin θ = N π a sin ϑ = N d • Loka´lnı´ maxima µ = tg µ

5.4.4 Mrˇ´ızˇka Pouzˇijeme vy´sledek 5.22, tudı´zˇ vlastneˇ prˇedpokla´da´me rovinne´ vlnoplochy. Zavedeme si substituci pro fa´zovy´ rozdı´l mezi dveˇmi otvory γ = kd sin θ sin µ E˜1 (u) = C µ sin µ E˜2 (u) = C exp[iγ] µ sin µ E˜m (u) = C exp[i(m − 1)γ] µ ] exp[ −imγ ] − exp[ imγ ] sin µ 1 − exp[imγ] sin µ exp[ imγ 2 2 2 ˜ E=C =C [ ] iγ iγ −iγ µ 1 − exp[im] µ exp[ 2 ] exp[ 2 ] − exp[ 2 ] ] sin mγ sin µ exp[ imγ sin µ sin mγ γ 2 2 2 ˜ E=C [ γ ] = C γ exp[i(m − 1) ] iγ µ exp[ 2 ] sin 2 µ sin 2 2 a z toho intenzita je

(5.23)

sin µ sin mγ 2 2 I = EE = [C γ ] µ sin 2 ∗

po dosazenı´ substitucı´ a limitnı´m procesu limθ→0 dosta´va´me E(ϑ = 0) = mC ⇒ I = m2 C 2 proto se da´ psa´t I = I0 (

sin µ sin mγ 2 )2 µ m sin γ2 96

(5.24)

5.5. Holografie

5.4.5

Difrakce na trojrozmeˇrne´ mrˇ´ızˇce

(podı´vej se do Velicke´ho Atomove´ fyziky ...) Prova´dı´ se bud’ rentgenovy´m za´rˇenı´m nebo svazkem elektronu˚, aby byla docı´lena vlnova´ de´lka λ = h ˙ 1A = 10−10 m, kde h je Planckova konstanta, p je hybnost cˇa´stic. p • 1D Vytva´rˇejı´ se va´lcove´ plochy maxima´lnı´ch intenzit s vrcholovy´m u´hlem 2α a osou shodnou s vektorem a . Laueho podmı´nky a(cos α0 − cos α) = N1 λ • 2D Stejne´ jako v minule´m prˇ´ıpadeˇ, ale ma´me dalsˇ´ı kuzˇel ve smeˇru b a(cos α0 − cos α) = N1 λ b(cos β0 − cos β) = N2 λ • 3D Opeˇt stejne´ s dalsˇ´ım kuzˇelem tentokra´t ve smeˇru c c(cos γ0 − cos γ) = N3 λ Obecneˇ se nedajı´ tyto soustavy vyrˇesˇit, jelikozˇ ma´me vı´ce nezna´my´ch nezˇ-li rovnic. Proto musı´me da´t teˇmto soustava´m dalsˇ´ı stupenˇ volnosti (naprˇ. λ, rotace teˇlesa, polykrystalicky´ vzorek). Braggova podmı´nka Tato podmı´nka uda´va´ kdy nasta´va´ maximum. 2d sin ϑ = N λ

5.5

Holografie

• Za´znam obrazu dE = Cf (r ) exp[iδ(r , k )dV ]

,

kde f (r ) je funkce stı´nı´tka ktera´ je da´na v poloze otvoru hodnotou 1 a na poloze stı´nı´tka 0. Te´to funkci se rˇ´ıka´ aperturnı´ funkce. Pokud bude prˇeka´zˇka nedokonala´ je funkcˇnı´ hodnota f (r )²h0, 1i Z cf (r ) exp[iδ(r , k )]dV

E=

(5.25)

(V )

viz D.3 Pro holografii je velice du˚lezˇite´ koherentnı´ sveˇtlo, prˇi za´znamu docha´zı´ k zaznamena´nı´ pouze intenzita I = EE ∗ a tı´m se ztra´cı´ informace o fa´zi, proto se pouzˇ´ıva´ tzv. referencˇnı´ svazek dı´ky ktere´mu se do amplitudy dosta´va´ interferencı´ fa´zovy´ posun. 97

KAPITOLA 5. VLNOVA´ OPTIKA • Rekonstrukce obrazu Za´znamova´ deska je osvı´cena koherentnı´m sveˇtlem a vznikajı´ dva obrazy virtua´lnı´ a rea´lny´. I na cˇa´sti desticˇky je mozˇno videˇt cely´ obraz, ale z mensˇ´ıho u´hlu (mensˇ´ı okno). • Pouzˇitı´ holografie

– interferometrie – reklamnı´ hologramy

5.5.1

Disperze

´ hlova´ vzda´lenost mezi dveˇma paprsky lisˇ´ıcı´ch se o 1nm U D=

dϑ dλ

[

rad ] nm

(5.26)

Pro mrˇ´ızˇku s N vrypy d sin ϑ = N λ d cos ϑdϑ = N dλ dϑ N Dmrizky = = dλ d cos ϑ

(5.27)

5.5.2 Rozlisˇovacı´ schopnost Minima´lnı´ rozdı´l pro rozlisˇenı´. R=

λ dλ

(5.28)

Rayleighovo rozlisˇovacı´ krite´rium dveˇ cˇa´ry rozlisˇ´ıme pokud minimum nenı´ veˇtsˇ´ı nezˇ 0.8 maxima nebo maximum je nad jednı´m minimem. Pro mrˇ´ızˇku bereme druhe´ krite´rium d sin ϑ1 = N λ1 d sin ϑ2 = N λ2 minimum prvnı´ vlnove´ de´lky je md sin ϑ1,min = mλ1 + λ1 sin ϑ1 = sin ϑ2 mN λ1 + λ1 N λ2 = md d λ = Nm R= mλ 98

(5.29)

Kapitola 6 Geometricka´ optika Sveˇtelne´ vlneˇnı´ se vyznacˇuje vysokou frekvencı´ 1014 − 1015 Hz(tudı´zˇ malou vlnovou de´lkou 10−7 m) V geometricke´ optice zanedba´va´me vlnovou de´lku a proto mluvı´me o paprsku sveˇtla. A v souvislosti s tı´m se sˇ´ırˇ´ı prˇ´ımocˇarˇe i energie.

6.1

Za´kladnı´ prˇedpoklady geometricke´ optiky

• sˇ´ırˇ´ı se prˇ´ımocˇarˇe • neza´vislost paprsku˚ • za´kon odrazu • za´kon lomu • mozˇnost obra´cenı´ chodu paprsku Opticka´ dra´ha Zava´dı´me ji, protozˇe sveˇtlo se sˇ´ırˇ´ı v ru˚zny´ch prostrˇedı´ch ru˚znou rychlostı´ a tı´m se meˇnı´ i vlnova´ de´lka... Opticka´ dra´ha v prostrˇedı´ s konstantnı´m indexem lomu def

l = n·s kde s je aktua´lnı´ dra´ha (vzda´lenost) urazˇena´ sveˇtelny´m paprskem v prostoru a n je index lomu prostrˇedı´. Jiny´mi slovy, prˇeva´dı´me vzda´lenost s do vzda´lenosti l, kterou by sveˇtlo urazilo za stejnou dobu ve vakuu. 99

KAPITOLA 6. GEOMETRICKA´ OPTIKA V prostrˇedı´ s promeˇnny´m indexem lomu n = n(x, y, z) prˇ´ıpadneˇ n = n(x, y, z, t) bude opticka´ dra´ha sveˇtla mezi body B1 a B2 da´na vztahem ZB2 l = nds (6.1) B1

V te´to souvislosti se take´ cˇasto hovorˇ´ı o tzv. dra´hove´m rozdı´lu dl = nds.

6.2

Fermatu˚v princip

Jinak se mu take´ rˇ´ıka´ Obecny´ princip geometricke´ optiky. Sveˇtlo se sˇ´ırˇ´ı mezi dveˇma body, po takove´ dra´ze, zˇe doba potrˇebna´ k probeˇhnutı´ te´to dra´hy je extre´mnı´.

• v homogennı´m prostrˇedı´ vzˇdy minimum • v nehomogennı´m prostrˇedı´ bud’ minimum nebo maximum dt =

ds v

= nc ds t =

1 c

RB H

nds =

l c

proto stacˇ´ı hledat extre´m

RB H

nds, jelikozˇ c je konstantnı´ E.

6.2.1 Za´kon prˇ´ımocˇare´ho sˇ´ırˇenı´ sveˇtla prˇedpokla´dejme izotropnı´ prostrˇedı´ tudı´zˇ dle 6.1. l =n·s

(6.2)

6.2.2 Za´kon odrazu prˇedpokla´dejme zˇe α 6= β dle 6.2.1, by spojnice mezi body A a B’ meˇla by´t prˇ´ımka α + β + 2ε = π protozˇe, ε = π2 − β ma´me α + β − 2β = 0 α=β

6.2.3 Za´kon lomu ¯ + m2 · CB ¯ l = n1 · AC p √ l = n1 a2 + x2 + n2 b2 + (d − x)2 dl dx

=0=

√2xn1 2 a2 +x2

2 − √2(d−x)n 2

2

b +(d−x)2

100

(6.3)

6.3. Geometricke´ opticke´ zobrazova´nı´ √ xn1 a2 +x2

2 = √(d−x)n 2

b +(d−x)2

n1 sin α = n2 sin β

6.3

(6.4)

Geometricke´ opticke´ zobrazova´nı´

6.3.1 Konvence Kladny´ smeˇr osy x a x’ je da´n smeˇrem paprsku˚ vstupujı´cı´ch do syste´mu. Oba sourˇadne´ syste´my majı´ stejnou tocˇivost. ´ hly paprsku˚ bereme, pouze ostry´ u´hel od osy k paprsku, kde kladny´ smeˇr je proti smeˇru hodinovy´ch U rucˇicˇek. Polomeˇr krˇivosti je kladny´ pokud vypukla´ strana cˇocˇky je prˇivra´cena k prˇicha´zejı´cı´m paprsku˚m.

6.3.2

Za´kladnı´ pojmy

• Veˇrne´ zobrazenı´ Po zobrazenı´ zanecha´va´ bod bodem, prˇ´ımku prˇ´ımkou, rovinu rovinou. Prˇirˇadı´ bodu X[x, y, z] pra´veˇ jeden bod v obrazove´m prostoru X 0 [x0 , y 0 , z 0 ]. • Kolineace geometricka´ prˇ´ıbuznost, jednoznacˇnost zobrazenı´. • Ohnisko teˇmito body procha´zejı´ paprsky prˇicha´zejı´cı´ z nekonecˇna. Tyto body jsou sdruzˇene´ s nekonecˇnem. • Ohniskova´ rovina rovina kolma´ k opticke´ ose a procha´zejı´cı´ ohniskem • Prˇ´ıcˇne´ zveˇtsˇenı´ je to podı´l velikosti zdroje a obrazu z =

y y0

• Hlavnı´ roviny navza´jem sdruzˇene´ roviny kolme´ na optickou osu, na nichzˇ kazˇde´mu bodu prˇ´ıslusˇ´ı prˇ´ıcˇne´ zveˇtsˇenı´ z = 1 • Hlavnı´ body body pru˚secˇ´ıku˚ opticke´ osy a hlavnı´ roviny ´ hlove´ zveˇtsˇenı´ pomeˇr tangent u´hlu˚ paprsku˚ s optickou osou. ξ = • U

tg α0 tg α

• Paprsek mysˇlena´ cˇa´ra podle nı´zˇ se sˇ´ırˇ´ı elektromagneticke´ vlny. • Uzlove´ body body, ktery´mi procha´zı´ paprsek pod stejny´m u´hlem s osou. • Ohniskova´ vzda´lenost Vzda´lenost hlavnı´ho bodu od ohniska. 101

KAPITOLA 6. GEOMETRICKA´ OPTIKA

6.3.3

Zobrazovacı´ rovnice a1 x+b1 y+c1 z+d1 ax+by+cz+d

obecneˇ pro kolineaci x0 = y0 =

a2 x+b2 y+c2 z+d2 ax+by+cz+d

z0 =

a3 x+b3 y+c3 z+d3 ax+by+cz+d

Pokud budeme uvazˇovat xf = yf = zf = 0, x0f = yf0 = zf0 = 0 x0 =

A x

y 0 = B xy z 0 = B xz 0

• Newtonu˚v tvar zobrazovacı´ch rovnic xx0 = f f 0 y 0 = f xy y = f 0 xy 0 • Cˇocˇkova´ rovnice zavedeme sourˇadne´ syste´my v ohniscı´ch ve smeˇru paprsku. x = f + a x0 = f 0 + a0 (f + a)(f 0 + a0 ) = f f 0 af 0 + f a0 + aa0 = 0 f0 f + +1=0 a0 a

(6.5)

0

y y = f 0 f 0y+a0 y 0 = f f +a

y0 y

Odvozenı´ polohy hlavnı´ch bodu˚

z=1

Odvozenı´ polohy uzlovy´ch bodu˚

tan α =

=1=

y f −x

B xH

tan α0 =

0

nebo take´ ξ =

f −x f 0 −x0

=

f − fxf0 f 0 −x0

=

Bx0H 0 A

y f 0 −x0

xH = f x0H 0 = f 0

ξ=

f −x f 0 −x0

=

f −x 0 f 0 − fxf

=

x(f −x) f 0 (x−f )

= − fx0

== − xf0 proto vycha´zejı´ sourˇadnice uzlovy´ch bodu˚ xU = −f 0 x0U = −f

6.3.4 Typy opticky´ch soustav 1.

• f > 0 spojna´ • f < 0 rozptylna´

2.

• f f 0 < 0 dioptricka´ (pru˚chod) • f f 0 > 0 katoptricka´ (odraz)

6.3.5

Lom a odraz na kulove´ plosˇe

Omezı´me se na Gaussu˚v paraxia´lnı´ prostor: paprsky blı´zko opticke´ osy. ε = α − ω = α − α0 + ε0 0 −r) −h +h sin α α−ω anr a r = n = = x0 = a0 = a(n−1)+r y 0 = y(aa−r 0 0 h sin α α −ω − +h a0

r

102

6.3. Geometricke´ opticke´ zobrazova´nı´

6.3.6

Vysˇetrˇenı´ parametru˚ soustavy

Hleda´nı´ sourˇadnic ohnisek n r

−

n a0

=

1 r

−

1 a

• F protozˇe • F’ protozˇe

n a0 n a

→0

1 aF

→0

n a0F 0

=

1−n r

aF =

n−1 r

=

r 1−n

a0F 0 =

nr n−1

Hleda´nı´ sourˇadnice hlavnı´ch bodu˚ pouzˇij podmı´nky: aH = a0H 0 =

y0 y

=1

Hleda´nı´ ohniskove´ vzda´lenosti f = FH = aH − aF =

r n−1

nr f 0 = F 0 H 0 = a0H 0 − a0F 0 = − n−1

Hleda´nı´ sourˇadnice uzlovy´ch bodu˚ r aU = aF − f 0 = − n−1 +

nr n−1

= r a0U 0 = a0F 0 − f =

nr n−1

−

r n−1

= r a proto aU = a0U 0 = r

6.3.7 Odrazna´ kulova´ plocha Pouzˇijeme Snellu˚v za´kon pro la´mavou plochu sin ε =n sin ε0

(6.6)

pokud budeme prˇedpokla´dat prostrˇedı´ prˇed zrcadlem n=1 a za zrcadlem n=-1, jsou vy´sledky stejne´ jako r nr u la´mave´ plochy. Jinak f = n−1 = − 2r f 0 = n−1 = − 2r aH = a0H 0 = 0 aU = a0U 0 = r

6.3.8 Skla´da´nı´ kulovy´ch soustav Centrovane´ soustavy • Kam projde paprsek z nekonecˇna? Paprsek procha´zı´ mezi sourˇadnicovy´mi syste´my tı´mto zpu˚sobem (−∞, 0, 0) ⇒ (0, 0, 0) ⇒ (−∆, 0, 0) ⇒ (e0 , 0, 0) −∆e0 = f2 f20 e0 = − 103

f2 f20 ∆

(6.7)

KAPITOLA 6. GEOMETRICKA´ OPTIKA • Odkud vycha´zı´ paprsek ktery´ vycha´zı´ rovnobeˇzˇneˇ s optickou osou? Paprsek procha´zı´ mezi sourˇadnicovy´mi syste´my tı´mto zpu˚sobem (−e, 0, 0) ⇒ (∆, 0, 0) ⇒ (0, 0, 0) ⇒ (∞, 0, 0) e=

f1 f10 ∆

(6.8)

Cˇocˇky • 1.plocha z prostrˇedı´ 1 do prostrˇedı´ n f1 =

r1 n−1

nr1 f10 = − n−1

• 2.plocha z prostrˇedı´ n do prostrˇedı´ 1 f2 =

nr2 1−n

r2 f20 = − 1−n

d(n−1)+n(r2 −r1 ) R zavedeme substituci R = d(n−1)+n(r2 −r1 ) a dosta´va´me ∆ = n−1 n−1 r1 nr2 nr r 1 2 f0f0 nr1 r2 nr1 r2 n−1 n−1 = R(n−1) f 0 = 1∆ 2 = − n−1Rn−1 = − R(n−1) takzˇe ohniskove´ vzda´lenosti cˇocˇky R n−1 n−1 0

∆ = f10 +d−f2 = f = − f1∆f2 =

jsou ve vztahu f = −f Tenka´ cˇocˇka

. d << r1 , r2 R = n(r2 − r1 ) f =

r1 r2 (n−1)(r2 −r1 )

r1 r2 f 0 = − (n−1)(r 2 −r1 )

Opticka´ mohutnost D=

1 f

= (n − 1)( r11 −

1 ) r2

[dioptrie][m−1 ]

Dveˇ tenke´ cˇocˇky ∆ = f10 + v − f2 = v − f1 − f2 D = D1 + D2 − D1 D2 v

1 f

= − f1∆f2 =

f1 +f2 −v f1 f2

=

1 f1

+

1 f2

−

v f1 f2

=

Vady zobrazenı´ Zatı´m jsme prˇedpokla´dali zobrazeni paprsky v paraxia´lnı´m prostoru a monochromaticky´m sveˇtlem – idea´lnı´ zobrazenı´ V praxi vsˇak potrˇebujeme zobrazit i body mimo osu a sveˇtlem slozˇeny´m (uplatnˇuje se disperze). To ma´ za na´sledek, zˇe se projevujı´ ru˚zne´ vady 1. monochromaticke´ vady (a) Sfe´ricka´(otvorova´) vada [obr.6.1 str.105] Sˇiroky´ svazek(vı´ce nezˇ 2◦ ) z bodu P na ose procha´zı´ prˇes spojku. Paprsky mimo paraxia´lnı´ prostor se protı´najı´ drˇ´ıve. P1, P2, uda´va´ pode´lnou prostorovou vadu. 104

6.3. Geometricke´ opticke´ zobrazova´nı´ Na stı´nı´tku vznika´ jako obraz bodu P nerovnomeˇrneˇ osveˇtleny´ rozptylovy´ krouzˇek. Polomeˇr krouzˇku – prˇ´ıcˇna´ otvorova´ vada. Prˇi odstranˇova´nı´ vyuzˇ´ıva´me toho, zˇe spojky a rozptylky majı´ opacˇnou otvorovou vadu. Kombinacı´ obou ji mu˚zˇeme potlacˇit. (b) Koma [obr.6.2 str.106] Koma se objevuje prˇi zobrazenı´ mimoosovy´ch paprsku˚ – vznika´ rozbı´hajı´cı´ se sveˇtla´ skvrna prˇipomı´najı´cı´ kometu. Odstranˇuje se podobneˇ jako sfe´ricka´ vada. (c) Astigmatismus a sklenutı´ obrazu [obr.6.3 str.106] Prˇi zobrazenı´ mimoosove´ho bodu nenı´ zobrazovacı´ svazek homocentricky´. Paprsky v tangencia´lnı´ rovineˇ(bodem P a optickou osou) se protı´najı´ v bodeˇ P 0 . Paprsky v sagita´lnı´ rovineˇ(kolme´ k tangencia´lnı´) se protı´najı´ v bodeˇ P 00 . Obrazem je obecneˇ elipsa – ve dvou prˇ´ıpadech u´secˇka foka´la. Vzda´lenost P 0 , P 00 je c astigmaticky´ rozdı´l. Syste´my korigovane´ na astigmatismus – anastigma´ty. Korekce se prova´dı´ kombinacı´ dvou slozˇity´ch cˇocˇkovy´ch syste´mu˚ s opacˇny´m a stejneˇ velky´m astigmaticky´m rozdı´lem. Je u astigmaticke´ho syste´mu povazˇujeme za obraz bodu nejmensˇ´ı krouzˇek (B), pak obraz roviny ⊥ k ose je krˇiva´ rotacˇnı´ plocha. (d) zkreslenı´ obrazu [obr.6.4 str.107] Porusˇuje se geometricky´ tvar prˇedmeˇtu. Prˇ´ımky mimobeˇzˇne´ s osou se zobrazujı´ jako krˇivky. Prˇ´ıcˇinou je, zˇe bocˇnı´ zveˇtsˇenı´ za´visı´ na vzda´lenosti od osy. Odstranˇuje se podobneˇ jako astigmatismus.

Obra´zek 6.1: Sfe´ricka´ (otvorova´) vada 2. chromaticke´ vady Vznikajı´ v du˚sledku disperze. Naprˇ pro tenkou cˇocˇku platı´ f=

r1 r2 (n − 1)(r2 − r1 ) 105

KAPITOLA 6. GEOMETRICKA´ OPTIKA

Obra´zek 6.2: Koma

Obra´zek 6.3: Astigmatismus f tedy za´visı´ na n(λ). Proto je pro ru˚zne´ barvy ru˚zne´ ohnisko. Obraz prˇedmeˇtu je pro ru˚zne´ barvy v ru˚zny´ch mı´stech – barevna´ vada pode´lna´ [obr.6.5 str.107]. Korekce • achroma´t (vykorigova´n pro dveˇ barvy [obr. 6.6 strana: 108]) – dveˇ cˇocˇky (spojka a rozptylka) stmelene´ dohromady • apochroma´t(vykorigova´n pro 3 barvy) Disperze zpu˚sobuje taky barevnou vadu prˇ´ıcˇnou – zveˇtsˇenı´ pro ru˚zne´ barvy ru˚zne´. 3. zkreslenı´ obrazu 106

6.3. Geometricke´ opticke´ zobrazova´nı´

Obra´zek 6.4: Zkreslenı´ obrazu

Obra´zek 6.5: Barevna´ vada pode´lna´ Jednoduche´ opticke´ prˇ´ıstroje • clony [obr.6.7 str.108] – v osoveˇ symetricky´ch – kruhovy´ otvor v nepropustne´ steˇneˇ – omezuje svazek paprsku˚ To znamena´, zˇe i obruby cˇocˇek a zrcadel jsou clony. Skutecˇne´ clony se pak skla´dajı´ za u´cˇelem zmensˇenı´ zobrazovacı´ch vad, vymezenı´ zorne´ho pole, zajisˇteˇnı´ ostrosti obrazu. Kdyzˇ budeme sledovat vstupnı´ svazek z bodu na ose neˇjake´ho opticke´ho syste´mu, zjistı´me, zˇe neˇktera´ clona ho omezuje nejvı´ce – aperturnı´ clona Zobrazı´me-li ji cˇa´stı´ syste´mu prˇed nı´, dostaneme jejı´ obraz(rea´lny´ nebo virtua´lnı´) – vstupnı´ pupila Analogicky cˇa´st syste´mu za aperturnı´ clonou vytva´rˇ´ı obraz – vy´stupnı´ pupila • oko [obr.6.8 str.109] . Ocˇnı´ bulva je vyplneˇna sklivcem s n = 1,336 (jako voda). Ve prˇedu je cˇocˇka – dvojvypukla´, s veˇtsˇ´ı krˇivostı´ dovnitrˇ oka. Pomocı´ cilia´rnı´ho svalu (rˇasnate´ teˇlı´sko) se prova´dı´ zmeˇna krˇivosti . cˇocˇky – akomodace oka. Index lomu nenı´ stejny´, stoupa´ od steˇn ke strˇedu (n = 1,437) nelisˇ´ı se prˇ´ılisˇ od sklivce. Prˇed cˇocˇkou – kruhovy´ sval d-duhovka – tvorˇ´ı aperturnı´ clonu. Pru˚meˇr se meˇnı´ od 2mm do 8mm, to odpovı´da´ 16 na´sobne´ zmeˇneˇ plochy a osveˇtlenı´. 107

KAPITOLA 6. GEOMETRICKA´ OPTIKA

Obra´zek 6.6: Korekce barevne´ vady pode´lne´ – achroma´t

Obra´zek 6.7: clony Oko je schopno vnı´mat mezi 10−2 - 103 Lx. Hlavnı´ roli prˇi zmeˇna´ch osveˇtlenı´ nehraje duhovka, ale prˇizpu˚sobivost sı´tnice. Vypukla´ prˇednı´ cˇa´st oka je kryta rohovkou r. Prostor mezi rohovkou a cˇocˇkou je vyplneˇn ocˇnı´m mokem s indexem lomu jako sklivec. Zadnı´ steˇna je kryta sı´tnicı´, ktera´ obsahuje vlastnı´ sveˇtlocitlive´ elementy. Jsou to tycˇinky a cˇ´ıpky, tvorˇ´ı zakoncˇenı´ vla´ken ocˇnı´ho nervu.tycˇinky jsou citliveˇjsˇ´ı na sveˇtlo, ale nerozezna´vajı´ barvu. Cˇ´ıpky jsou citlive´ na barvy a vnı´ma´me jimi prˇi silne´m a strˇednı´m osveˇtlenı´m. V ose oka je na sı´tnici zˇluta´ skvrna – obsahuje jen cˇ´ıpky – tam vidı´me obraz nejostrˇeji V mı´steˇ, kde vstupuje ocˇnı´ nerv je tzv. slepa´ skvrna – nejsou tam ani cˇ´ıpky ani tycˇinky. Akomodace – k ostre´mu videˇnı´ – je-li cilia´rnı´ sval uvolneˇn je norma´lnı´ oko zaostrˇeno na nekonecˇno 108

6.3. Geometricke´ opticke´ zobrazova´nı´

Obra´zek 6.8: Oko

– akomodacˇnı´ schopnost je omezena´, takzˇe mu˚zˇeme zaostrˇit na urcˇitou minima´lnı´ vzda´lenost – blı´zky´ bod – blı´zky´ bod se se sta´rˇ´ım vzdaluje – strˇednı´ hodnota vzda´lenosti blı´zke´ho bodu se nazy´va´ konvencˇnı´ zrakova´ vzda´lenost – l = 0,25m Vady zobrazenı´ se prakticky neprojevujı´, protozˇe zornice omezuje svazek, a nejcitliveˇjsˇ´ı cˇa´st sı´tnice – zˇluta´ skvrna je tak mala´ a v ose, zˇe se na ni tvorˇ´ı obraz jen v paraxia´lnı´mi paprsky. Obrazu na jiny´ch cˇa´stech sı´tnice neveˇnujeme takovou pozornost, aby vady rusˇily. • lupa [obr.?? str.??] Umı´stı´me-li spojnou cˇocˇku prˇed oko, je to jako bychom zveˇtsˇily akomodaci oka, takzˇe mu˚zˇeme pozorovat prˇedmeˇt z veˇtsˇ´ı blı´zkosti a vidı´me jej pod veˇtsˇ´ım zorny´m u´hlem. Cˇocˇka se nazy´va´ lupa. Uzˇ´ıva´me cˇocˇky s f = 10 − 1 cm. Zveˇtsˇenı´ lupy – pomeˇr tangenty zorne´ho u´hlu pomocı´ lupy ku tangenteˇ zorne´ho u´hlu v konvencˇnı´ zrakove´ vzda´lenosti.

tg u = 109

y y = l 0,25

KAPITOLA 6. GEOMETRICKA´ OPTIKA Oko akomodova´no na nekonecˇno – prˇedmeˇt v ohniskove´ rovineˇ lupy. tg u0 =

z=

y f

tg u0 0,25 D = = tg u f 4

D je opticka´ mohutost v dioptriı´ch. Pozn. D = f1 . Zveˇtsˇenı´ omezujı´ vady. Jednoducha´ lupa max. 3x. Slozˇene´ lupy max. 20x.

Obra´zek 6.9: K principu lupy

Obra´zek 6.10: K principu lupy

Obra´zek 6.11: K principu lupy

• mikroskop [obr.6.12 str.111] pro veˇtsˇ´ı zveˇtsˇenı´ ve dvou stupnı´ch 1. objektivem se zobrazı´ prˇedmeˇt umı´steˇny´ prˇed prvnı´m ohniskem, takzˇe vznikne zveˇtsˇeny´ skutecˇny´ obraz 2. ktery´ pozorujeme okula´rem jako lupou tg u0 tg u y tg u = l 0 y z1 = y

z=

tg u0 = z=

y0 f2 y l

= 110

y0 f2

y0 l l = z1 y f2 f2

6.3. Geometricke´ opticke´ zobrazova´nı´

Obra´zek 6.12: Mikroskop l f2

je zveˇtsˇenı´ lupy okula´rem z = z1 z2

Modernı´ objektivy majı´ korigova´nu vadu chromatickou (achroma´ty). Nejdokonalejsˇ´ı jsou apochroma´ty (azˇ z 10 cˇocˇek) a majı´ opravenou vadu chromatickou pro trˇi barvy a vadu sfe´rickou pro 2 barvy. Zveˇtsˇenı´ nelze udeˇlat libovolneˇ velke´ – uplatnˇuje se ohyb sveˇtla, rozlisˇovacı´ schopnost ma´ urcˇitou hodnotu, obraz se sta´va´ neostry´m – nepoma´ha´ zde uzˇ geometricka´ dokonalost syste´mu – prˇ´ıcˇina ohybu sveˇtla na maly´ch struktura´ch, konecˇna´ vlnova´ de´lka sveˇtla Rozlisˇovacı´ schopnost omezuje prakticky pouzˇitelne´ zveˇtsˇenı´ mikroskopu asi na 1 500×. Ukazuje se, zˇe nejmensˇ´ı vzda´lenost dvou bodu˚ rozlisˇitelny´ch opticky´m mikroskopem je rovna prˇiblizˇneˇ vlnove´ de´lce pouzˇite´ho sveˇtla. Zveˇtsˇenı´ rozlisˇovacı´ schopnosti: 1. pouzˇitı´ kra´tky´ch vlnovy´ch de´lek(UV sveˇtla a fotograficke´ho za´znamu) 111

KAPITOLA 6. GEOMETRICKA´ OPTIKA 2. uzˇitı´ elektronove´ho mikroskopu λ ≈ 10−10 − 10−11 m – o 3 azˇ 4 rˇa´dy mensˇ´ı 3. pouzˇitı´m sˇikme´ho osveˇtlenı´ prˇedmeˇtu se zvy´sˇ´ı rozlisˇovacı´ schopnost asi 2x • dalekohled Dalekohledy deˇlı´me podle typu˚ hlavnı´ho zobrazovacı´ho cˇlenu na cˇocˇkove´(refraktory) a zrcadlove´(reflektory).Cˇockovy´ hveˇzda´rˇsky´(Kepleru˚v) – objektiv (spojka s dlouhy´m ohniskem) a okula´r (lupa) ¯ ¯ y0 ¯ tg α0 ¯ f ¯ = 20 = f1 z = ¯¯ y tg α ¯ f2 f1

Da´va´ obra´ceny´ obraz. Pro pozemske´ pozorova´nı´ proto triedr, v neˇmzˇ se obraz obracı´ pomocı´ dvou 45˚ hranolu˚ nebo Galileiu˚v dalekohled – jeho okula´r rozptylka. Zveˇtsˇenı´ stejne´ z=

f1 f2

Hodı´ se pro mala´ zveˇtsˇenı´, naprˇ v divadelnı´ch kuka´tka´ch. Obeˇ soustavy majı´ opticky´ interval 4 nulovy´, nekonecˇne´ ohniskove´ de´lky. Nazy´va´me je teleskopicke´ soustavy. Objektivy cˇocˇkovy´ch dalekohledu˚ by´vajı´ korigova´ny prˇedevsˇ´ım na vadu chromatickou, prˇi veˇtsˇ´ı sveˇtelnosti te´zˇ na sfe´rickou vadu. Cena a technologicke´ obtı´zˇe rychle rostou s pru˚meˇrem, proto se dnes veˇtsˇ´ı nezˇ 20cm konstruujı´ jako zrcadlove´. Ma´ prˇed ohnisko vlozˇeno male´ vypoukle´ zrca´tko, ktere´ prodluzˇuje ohniskovou de´lku. Prˇednostı´ zrcadlovy´ch dalekohledu˚ je jen jedna velka´ brousˇena´ plocha, chromaticke´ vady neexistujı´. Sfe´ricka´ vada se odstranˇuje parabolizacı´. Nejveˇtsˇ´ı zrcadla dosahujı´ pru˚meˇru 5m. Brousˇenı´ trva´ neˇkolik let. Rozlisˇovacı´ schopnost je omezena jako u mikroskopu ohybem.

112

Kapitola 7 Fotometrie Tato oblast optiky se zaby´va´ meˇrˇenı´m fyzika´lnı´ch velicˇin vzhledem k lidske´mu oku. • Sveˇtelny´ tok Φ Jednotkou je lumen, znacˇ´ıme lm (tj. [Φ] = lm) 1lm = 1cd · 1sr

,

kde sr je jednotka prostorove´ho u´hlu Z∞ Φλ =

kλ ρλ dλ

(7.1)

dΦ dΩ

(7.2)

dI dS cos α

(7.3)

0

• Svı´tivost I Jednotku candela znacˇ´ıme cd I= kde Ω je prostorovy´ u´hel • Jas plosˇne´ zdrojove´ plochy L Jednotku nit znacˇ´ıme nt L= U tzv. kosinovy´ch za´rˇicˇu˚ se zkra´tı´ cos α.

• Osveˇtlenı´ E Jednotku lux znacˇ´ıme lx. Jedna´ se o sveˇtlo dopadajı´cı´ na plochu, klesa´ se cˇtvercem vzda´lenosti E= 113

dΦ dS

(7.4)

KAPITOLA 7. FOTOMETRIE Sveˇtelna´ u´cˇinnost za´rˇenı´

Kλ =

dΦ(λ) dΦe (λ)

kde Φe je za´rˇivy´ tok, ktery´ uda´va´ mnozˇstvı´ energie, ktera´ projde plochou za cˇasovy´ interval Z∞ Φe =

ρλ dλ 0

kde ρλ charakterizuje spektra´lnı´ rozdeˇlenı´ energie zdroje. Druhy fotometru˚ 1. Ritchieu˚v fotometr 2. Bunsenu˚v fotometr 3. Lumerova-Brodhunova kostka Kanadsky´ balza´m - lepidlo pro optiku s vynikajı´cı´mi vlastnostmi, dobry´ index lomu.

114

Kapitola 8 Sveˇtlo v izotropnı´m prostrˇedı´ 8.1

Elektromagneticke´ vlny na rozhranı´

Prˇedpokla´dejme, zˇe na rovinne´ rozhranı´ dvou nenabity´ch a nevodivy´ch bezstra´tovy´ch prostrˇedı´, charakterizovany´ch materia´lovy´mi konstantami ε1 , µ1 , ε2 , µ2 , resp. indexy lomu n1 , n2 , dopada´ harmonicka´ linea´rneˇ polarizovana´ vlna. Oznacˇ´ıme vlnove´ vektory dopadajı´cı´, odrazˇene´ a lomene´ vlny po rˇadeˇ ki (incident), kr (reflect) a kt (transmit). Ze symetrie situace vyply´va´, zˇe odrazˇena´ i lomena´ vlna budou rovneˇzˇ rovinne´ a zˇe vektory kr i kt budou lezˇet v rovineˇ urcˇene´ vlnovy´m vektorem dopadajı´cı´ vlny a kolmicı´ k rozhranı´. Oznacˇ´ıme-li jednotkovy´ vektor kolmy´ k rozhranı´ (norma´la) en , bude tato tzv. rovina dopadu urcˇena kolmicı´ en × ki . Uvedenou trojici elektromagneticky´ch vln popisˇme rovnicemi1

Ei = E0i exp i(ki · r − ωi t) ,

Er = E0r exp i(kr · r − ωr t) ,

Et = E0t exp i(kt · r − ωt t) .

Protozˇe vzhledem k platnosti 4.7 musı´ by´t tecˇne´ slozˇky intenzity elektricke´ho pole na rozhranı´ spojite´, bude

en × Ei + en × Er = en × Et resp. [E0i ]τ exp i(ki · r − ωi t + ϕ0i ) + [E0r ]τ exp i(kr · r − ωr t + ϕ0r ) = = [E0t ]τ exp i(kt · r − ωt t + ϕ0t ) Tato rovnice musı´ platit pro vsˇechny cˇasy t a vsˇechny body rozhranı´ r , musı´ tedy by´t i (je-li pocˇa´tek 1

Umı´steˇnı´m pocˇa´tku soustavy sourˇadnic na rozhranı´ budou pocˇa´tecˇnı´ fa´ze jednotlivy´ch vln stejne´, proto se jimi nemusı´me zaby´vat.

115

KAPITOLA 8. SVEˇTLO V IZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´

Obra´zek 8.1: Ke stavu elektromagneticke´ho pole na rozhranı´ dvou prostrˇedı´ - uzˇij neˇco podobne´ho obra´zku˚m z Hechta str. 112

sourˇadnicove´ soustavy umı´steˇn na rozhranı´) ωi = ωr = ωt

(8.1)

[ki ]τ = [kr ]τ = [kt ]τ

(8.2)

ϕ0i = ϕ0r = ϕ0t

(8.3)

Rovnice 8.1 rˇ´ıka´, zˇe prˇi odrazu ani prˇi pru˚chodu sveˇtla rozhranı´m se jeho frekvence nemeˇnı´ (nada´le budeme znacˇit jen ω). Prˇepı´sˇeme-li rovnici 8.2 na ki sin αi = kr sin αr = kt sin αt

,

zı´ska´me, uzˇitı´m (viz 2.17) ω = v1 ki = v1 kr = v2 kt

,

√ √ kde v1 = 1/ ε1 µ1 je fa´zova´ rychlost sˇ´ırˇenı´ sveˇtla v prvnı´m prostrˇedı´ a v2 = 1/ ε2 µ2 je fa´zova´ rychlost sˇ´ırˇenı´ sveˇtla v druhe´m prostrˇedı´, za´kon odrazu

i za´kon lomu

αi = αr

(8.4)

ki v1 n2 sin αi = = = sin αt kt v2 n1

(8.5)

116

8.2. Fresnelovy vztahy

8.2

Fresnelovy vztahy

V prˇedchozı´m jsme nalezli vztahy mezi fa´zemi intenzit elektricke´ho pole Ei , Er a Et na rozhranı´. Nynı´ je nasˇ´ım u´kolem abychom urcˇili vza´jemny´ pomeˇr amplitud intenzit elektricke´ho pole Ei0 , Er0 a Et0 (magneticke´ pole je dı´ky vztahu 4.25 jednoznacˇneˇ urcˇeno), vyja´drˇeme si podmı´nky na rozhranı´ 4.5 4.8 pro σ = 0 a jp = 0 a dosad’me do nich ze vztahu˚ (viz 4.9 a 4.21)

B=

1 (k × E ) ω

H=

a

1 (k × E ) µω

,

zı´ska´me tak rovnice

en · [ε1 (Ei + Er ) − ε2 Et ] = 0 ·

1 1 (ki × Ei + kr × Er ) − k t × Et en × ωµ1 ωµ2

(8.6)

¸ = 0

(8.7)

en × [(Ei + Er ) − Et ] = 0

(8.8)

·

1 1 en · (ki × Ei + kr × Er ) − kt × Et ω ω

¸ = 0

(8.9)

Tyto rovnice vyjadrˇujı´ spojitost intenzit elektricke´ho a magneticke´ho pole a elektricke´ a magneticke´ indukce prˇi pru˚chodu rozhranı´m bez proudu˚ a volny´ch na´boju˚. Obecne´ rˇesˇenı´ teˇchto rovnic pro amplitudy Er0 a Et0 (v za´vislosti na Ei0 ) je pomeˇrneˇ zdlouhave´. Zjednodusˇme si tedy situaci prˇedpokladem nemagneticke´ho prostrˇedı´, tj. µ1 = µ2 = µ0 . Da´le si pro jednoduchost rozdeˇlme kazˇdy´ vektor E na cˇa´st kolmou na rovinu dopadu (E⊥ ) a cˇa´st paralelnı´ s touto rovinou (Ek ) a zaby´vejme se obeˇma prˇ´ıpady zvla´sˇt’. Jesˇteˇ prˇedtı´m si vsˇak zaved’me znacˇenı´ αi ≡ α ≡ αr ,

αt ≡ β,

ki ≡ k1 ≡ kr ,

k t ≡ k2

E kolme´ k rovineˇ dopadu Dopada´-li na rozhranı´ elektromagneticka´ vlna linea´rneˇ polarizovana´ kolmo na rovinu dopadu (ozn. Ei⊥ ), bude z du˚vodu symetrie stejneˇ polarizovana´ i odrazˇena´ a prosˇla´ vlna.2 Bude tedy pro vsˇechny trˇi vlny platit

en · E⊥ = 0 . Da´le, protozˇe je

en × (k × E ) = k (en · E ) − E (en · k ) a en · (k × E ) = E · (en × k ) 2

Neˇkdy rˇ´ıka´me, zˇe takto polarizovana´ vlna je v transverza´lneˇ elektricke´m mo´du.

117

KAPITOLA 8. SVEˇTLO V IZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´ a vektor en svı´ra´ s vektorem ki u´hel π − α, s vektorem kr u´hel α a s vektorem kt u´hel π − β (viz obr fresnelte.doc), mu˚zˇeme hranicˇnı´ podmı´nky psa´t po rˇadeˇ ve tvaru 0 = 0 −Ei⊥ (en · ki ) − Er⊥ (en · kr ) = −Et⊥ (en · kt )

en × Ei⊥ + en × Er⊥ = en × Et⊥ Ei⊥ · (en × ki ) + Er⊥ · (en × kr ) = Et⊥ · (en × kt ) Vzhledem k tomu, zˇe fa´ze vln jsou na rozhranı´ stejne´, platı´ pro amplitudy jednotlivy´ch vln rovnice [(Ei0 )⊥ − (Er0 )⊥ ] k1 cos α = (Et0 )⊥ k2 cos β (Ei0 )⊥ + (Er0 )⊥ = (Et0 )⊥ [(Ei0 )⊥ + (Er0 )⊥ ] k1 sin α = (Et0 )⊥ k2 sin β Zavedeme-li znacˇenı´ r⊥ ≡

(Er0 )⊥ (Ei0 )⊥

a t⊥ ≡

(Et0 )⊥ (Ei0 )⊥

(8.10)

pak vzhledem k platnosti za´kona lomu 8.5 budou druhe´ dveˇ rovnice totozˇne´ a zı´ska´me dveˇ neza´visle´ rovnice pro dveˇ nezna´me´ r⊥ a t⊥ 1 + r⊥ = t⊥ (1 − r⊥ )k1 cos α = t⊥ k2 cos β Jejich rˇesˇenı´m zı´ska´me r⊥ =

k1 cos α − k2 cos β k1 cos α + k2 cos β

a

t⊥ =

2k1 cos α k1 cos α + k2 cos β

.

(8.11)

Vyja´drˇenı´m k1 = ω/v1 , k2 = ω/v2 , dosazenı´m za´kona lomu ve tvaru v2 sin β = v1 sin α a u´pravou (viz A.3) zı´ska´me vztah

sin(α − β) sin(α + β)

(8.12)

2 cos α sin β , sin(α + β)

(8.13)

r⊥ = − a t⊥ =

ktere´ nazy´va´me Fresnelovy vztahy cˇi Fresnelovy vzorce pro transverza´lneˇ elektricky´ mo´d. Koeficient r⊥ se nazy´va´ amplitudovy´ cˇinitel odrazu a koeficient t⊥ amplitudovy´ cˇinitel prostupu.3 3

Za´hy pozna´me jesˇteˇ jeden amplitudovy´ cˇinitel odrazu rk a jeden amplitudovy´ cˇinitel prostupu tk pro vektor intenzity elektricke´ho pole rovnobeˇzˇny´ s rovinou dopadu (transverza´lneˇ magneticky´ mo´d).

118

8.2. Fresnelovy vztahy

E rovnobeˇzˇne´ s rovinou dopadu Dopada´-li na rozhranı´ elektromagneticka´ vlna linea´rneˇ polarizovana´ rovnobeˇzˇneˇ s rovinou dopadu (ozn. Eik ), bude z du˚vodu symetrie stejneˇ polarizovana´ i odrazˇena´ a prosˇla´ vlna. Z toho vyply´va´, zˇe k rovineˇ dopadu bude kolma´ magneticka´ slozˇka. 4 Uveˇdomı´me-li si, zˇe norma´lovy´ vektor n ◦ je pro kazˇdou vlnu kolmy´ na vektor k × Ek , bude

en · (k × Ek ) = 0 a protozˇe u rovinny´ch vln je kolme´ take´ k a Ek , bude rovneˇzˇ |en × (k × Ek )| = kEk

.

Vsˇechny tyto vektory budou mı´rˇit ve smeˇru pru˚secˇnice rozhranı´ a roviny dopadu. Hranicˇnı´ podmı´nky pro tento prˇ´ıpad pak budou ε1 (en · Eik + en · Erk ) = ε2 en · Etk

en × (ki × Eik ) + en × (kr × Erk ) = en × (kt × Etk ) en × Eik + en × Erk = en × Etk 0 = 0 Protozˇe vektor en svı´ra´ s vektorem Eik u´hel π/2 − α, s vektorem Erk svı´ra´ stejny´ u´hel a s vektorem Erk svı´ra´ u´hel π/2 − β, a protozˇe en × Ek je vektor kolmy´ na rovinu dopadu pro vsˇechny trˇi vlny, mu˚zˇeme pro amplitudy psa´t ε1 [(Ei0 )k + (Er0 )k ] = ε2 (Et0 )k £

k1 [(Ei0 )k + (Er0 )k ] = k2 (Et0 )k ¤ (Ei0 )k − (Er0 )k cos α = (Et0 )k cos β 0 = 0

Vzhledem k platnosti za´kona lomu a definice fa´zove´ rychlosti elektromagneticky´ch vln jsou prvnı´ dveˇ rovnice totozˇne´. Zı´skali jsme tak dveˇ neza´visle´ rovnice sin α tk sin β cos β tk 1 − rk = cos α 1 + rk =

(8.14) (8.15)

pro dveˇ nezna´me´ rk ≡ 4

(Er0 )k (Ei0 )k

a

tk ≡

(Et0 )k (Ei0 )k

Neˇkdy rˇ´ıka´me, zˇe takto polarizovana´ vlna je v transverza´lneˇ magneticke´m mo´du.

119

(8.16)

KAPITOLA 8. SVEˇTLO V IZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´ Secˇtenı´m rovnic 8.14 a 8.15 zı´ska´me vztah 2 sin β cos α sin α cos α + sin β cos β

tk =

,

ktery´ u´pravou (viz A.1, A.3 a A.4) tk =

2 sin β cos α sin α cos α(sin β + cos2 β) + sin β cos β(sin2 α + cos2 α) 2

prˇevedeme na cˇasteˇji uzˇ´ıvany´ tvar tk =

2 cos α sin β sin(α + β) cos(α − β)

.

(8.17)

Podobneˇ vydeˇlenı´m rovnic 8.14 a 8.15, vyja´drˇenı´m rk a u´pravou zı´ska´me rk =

sin α cos α − sin β cos β sin α cos α + sin β cos β

.

Protozˇe vsˇak je tg(α − β) = tg(α + β)

sin(α−β) cos(α−β) sin(α+β) cos(α+β)

sin α cos α(sin2 β + cos2 β) − sin β cos β(sin2 α + cos2 α) = sin α cos α(sin2 β + cos2 β) + sin β cos β(sin2 α + cos2 α)

uva´dı´ se tento vy´sledek cˇasteˇji ve tvaru rk =

tg(α − β) tg(α + β)

(8.18)

Vztahy 8.12 a 8.18, pro amplitudove´ cˇinitele odrazu a vztahy 8.13 a 8.17 pro amplitudove´ cˇinitele prostupu se nazy´vajı´ Fresnelovy vzorce v obvykle´m tvaru a je zajı´mave´, zˇe je Fresnel odvodil ze svy´ch vlnovy´ch prˇedstav o sveˇtle jesˇteˇ prˇed vznikem Maxwellovy teorie elektromagneticke´ho pole.

8.3

Rozbor Fresnelovy´ch vztahu˚

8.3.1

Odrazˇena´ a prosˇla´ energie

Nynı´ se budeme zajı´mat o energii, ktera´ se prˇi dopadu elektromagneticke´ vlny na rozhranı´ odrazı´ cˇi rozhranı´m projde za jednotku cˇasu, budou na´s tedy zajı´mat odrazˇene´ a prosˇle´ vy´kony za´rˇenı´. Pro tento u´cˇel zavedeme koeficienty odrazivosti R a propustnosti T , ktere´ charakterizujı´ po rˇadeˇ pomeˇry vy´konu˚ vlneˇnı´, ktere´ se odra´zˇ´ı nebo procha´zı´ vu˚cˇi vy´konu vlny dopadajı´cı´. Z kapitoly 4 vı´me, zˇe tyto vy´kony jsou da´ny velikostı´ hustoty toku energie elektromagneticke´ho pole (Poyntingovy´m vektorem) S (viz 4.37, 4.40, 4.41). Pro odrazˇene´ a prosˇle´ vy´kony budou du˚lezˇite´ pru˚meˇty Poyntingovy´ch vektoru˚ prˇ´ıslusˇny´ch jednotlivy´m vlna´m do smeˇru norma´ly, tj. skala´rnı´ soucˇiny

en · Si = Si cos α,

en · Sr = Sr cos α, 120

en · St = St cos β.

(8.19)

8.3. Rozbor Fresnelovy´ch vztahu˚ Pro velikost hustoty toku energie elektromagneticke´ vlny pohybujı´cı´ se v prostrˇedı´, kde µ ≈ µ0 , platı´ S ≡ |S | = |

1 1 c 2 1 (E × B )| = E = nE 2 µ0 µ 0 c vf µc

,

(8.20)

kde n je (absolutnı´) index lomu prostrˇedı´. Pro odrazivost tedy ma´me (viz 8.10 a 8.16) R=

Sr cos α E2 = r2 = r0 Si cos α Ei02

(8.21)

a pro propustnost 2 St cos β Et0 cos βn2 cos β 2 T = = 2 =n t Si cos α Ei0 cos αn1 cos α

.5

(8.22)

Lze se prˇesveˇdcˇit, zˇe pro obeˇ polarizace platı´ vztah R+T =1

,

ktery´ interpretujeme jako za´kon zachova´nı´ energie. Neˇkam sem patrˇ´ı grafy za´vislosti koeficientu˚ r, R, t, T na u´hlu odrazu a lomu.

8.3.2 Kolmy´ a velmi sˇikmy´ dopad Pro u´hel dopadu α = 0 si oba amplitudove´ cˇinitele rovny a platı´ r⊥ = rk = a pro odrazivost

µ R=

1−n 1+n

1−n 1+n

(8.23)

¶2 .

(8.24)

Naprˇ´ıklad prˇedpokla´da´me-li pro sklo n = 1, 5, bude pro odrazivost R = 0, 04, tj. takove´ sklo bude odra´zˇet 4 % vsˇeho na neˇj kolmo dopadajı´cı´ho za´rˇenı´. Pokud je u´hel dopadu tak velky´, zˇe se elektromagneticka´ vlna sˇ´ırˇ´ı te´meˇrˇ rovnobeˇzˇneˇ s rozhranı´m, je se odrazivost te´meˇrˇ stoprocentnı´. Matematicky pro α → π/2 je R → 1. 5

Zde n1 a n2 jsou absolutnı´ indexy lomu prˇ´ıslusˇny´ch prostrˇedı´ a n je relativnı´ index lomu obou prostrˇedı´.

121

KAPITOLA 8. SVEˇTLO V IZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´

8.3.3

Zmeˇna fa´ze prˇi odrazu

Pomeˇr amplitud r⊥ pro linea´rneˇ polarizovanou elektromagnetickou vlnu, jejı´zˇ elektricke´ pole kmita´ kolmo k rovineˇ dopadu (transverza´lneˇ elektricke´) v absolutnı´ hodnoteˇ roste (prˇesneˇji neklesa´) pro jaky´koli index lomu (vsˇechna n), ale pro relativnı´ index n > 1 je r⊥ < 0 a pro n < 1 je r⊥ > 0. Z uvedene´ho vyply´va´, zˇe prˇi odrazu na hustsˇ´ım prostrˇedı´ se meˇnı´ fa´ze o π,6 kdezˇto prˇi odrazu na rˇidsˇ´ım prostrˇedı´ nikoli.

8.3.4 Brewsteru˚v u´hel Pokud je dopadajı´cı´ vlneˇnı´ polarizova´no rovnobeˇzˇneˇ s rovinou dopadu nasta´va´ pro jisty´ u´hel αB zmeˇna zname´nka – pro α ≶ αB je rk ≷ 0. Pro tento, tzv. Brewsteru˚v, u´hel je rk = 0, tj. odrazˇena´ elektromagneticka´ vlna ma´ prˇi tomto u´hlu dopadu nulovou transverza´lneˇ magnetickou slozˇku – elektricke´ pole v odrazˇene´ vlneˇ kmita´ jen kolmo na rovinu dopadu (odra´zˇ´ı se jen transverza´lneˇ elektricka´ slozˇka a tedy nasta´va´ linea´rnı´ polarizace v rovineˇ kolme´ na rovinu dopadu). Podmı´nku pro Brewsteru˚v u´hel zı´ska´me z podmı´nky rk = −

tg(α − β) =0 tg(α + β)

.

(8.25)

Pro dveˇ ru˚zneˇ husta´ prostrˇedı´ bude α 6= β a tento vy´raz bude nulovy´ jen tehdy, bude-li tg(α + β) → ∞, tj. pro α + β = π/2. Brewsteru˚v u´hel tedy musı´ by´t takovy´, aby odrazˇeny´ a lomeny´ paprsek spolu svı´raly pravy´ u´hel. Chteˇlo by to obra´zek k Brewsteroveˇ u´hlu Ze za´kona lomu pro Brewsteru˚v u´hel plyne (viz A.3) n=

sin αB sin αB sin αB = = π sin βB sin( 2 − αB ) cos αB

,

tj. tg αB = n . Mohlo by se zda´t, zˇe je to jednoduchy´ zpu˚sob zı´ska´va´nı´ u´plneˇ linea´rneˇ polarizovane´ho sveˇtla. Bohuzˇel je ma´lo u´cˇinny´, protozˇe odrazivost transverza´lneˇ elektricke´ slozˇky je pro Brewsteru˚v u´hel obvykle nı´zka´ – naprˇ´ıklad pro sklo (n = 1, 5 je R ≈ 20%). 6

Je-li r⊥ < 0, pak (Er0 )⊥ = −(Ei0 )⊥ .

122

8.3. Rozbor Fresnelovy´ch vztahu˚

8.3.5

´ plny´ odraz U

Pru˚beˇh odrazivosti Rk pro transverza´lneˇ magneticky´ mo´d je nemonoto´nnı´ (viz obr ???) – nejdrˇ´ıve klesa´, nuly naby´va´ pro Brewsteru˚v u´hel a na´sledneˇ stoupa´ azˇ u jiste´ho u´hlu αM , ktery´ nazy´va´me meznı´ u´hel, dosa´hne jednicˇky a zu˚sta´va´ jednotkovy´ i pro u´hly α > αM , rˇ´ıka´me pak, zˇe nasta´va´ tota´lnı´ nebo take´ u´plny´ odraz. Meznı´ u´hel je vy´znamny´m bodem i pro graf za´vislosti odrazivosti R⊥ (α) pro transverza´lneˇ elektricky´ mo´d a takte´zˇ platı´ R⊥ (αM ) = 1 a stejneˇ tak pro vsˇechny u´hly α > αM . Vy´raz pro meznı´ u´hel mu˚zˇeme snadno najı´t ze za´kona lomu sin α =n . sin β

(8.26)

V prˇ´ıpadeˇ (a jen v neˇm), zˇe pro relativnı´ index lomu dvou prostrˇedı´ je n < 1, la´me se sveˇtlo od kolmice a existuje takovy´ u´hel, prˇi ktere´m lomeny´ paprsek probı´ha´ rovnobeˇzˇneˇ s rozhranı´m (β = π/2). Ze 8.26 pak pro tento u´hel (oznacˇme ho sugestivneˇ αm ) plyne αm = n .

(8.27)

Nynı´ bychom meˇli doka´zat, zˇe tento αm je stejny´ jako αM , ktery´ plyne z analy´zy grafu˚ za´vislosti odrazivosti na u´hlu dopadu – meˇli bychom tedy doka´zat, zˇe αm = αM , tj. zˇe R⊥ (αm ) = 1 = Rk (αm ) .

2 R⊥ = r⊥ =

sin2 (α − β) sin2 (α + β)

(8.28)

p p cos α − n2 − sin2 β cos α − n cos β cos α − n 1 − sin2 β p p r⊥ = = = cos α + n cos β cos α + n 1 − sin2 β cos α + n2 − sin2 β p −n cos α + cos β −n2 cos α + cos β −n2 cos α + n2 − sin2 α p rk = = = n cos α + cos β n cos + cos β n2 cos α + n2 − sin2 α

.

.

(8.29)

(8.30)

Z odvozenı´ podmı´nky pro meznı´ u´hel (8.27) je videˇt, zˇe pro α > αm bude sin2 α > n2 , a tedy bude platit i n2 − sin2 α < 0 . (8.31) Vztahy 8.29 a 8.30 mu˚zˇeme prˇepsat na p cos α − i sin2 α − n2 p r⊥ = cos α + i sin2 α − n2

a

p −n2 cos α + i sin2 α − n2 p rk = n2 cos α + i sin2 α − n2

.

(8.32)

a amplitudove´ cˇinitele odrazu pak majı´ strukturu pomeˇru komplexnı´ho a komplexneˇ sdruzˇene´ho cˇ´ısla, tj. z r=± ∗ . z 123

KAPITOLA 8. SVEˇTLO V IZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´ Pro oba druhy odrazivosti tedy konecˇneˇ ma´me R = |r|2 =

zz ∗ =1 z∗z

,

cozˇ jsme meˇli doka´zat.

Lomena´ vlna v prˇ´ıpadeˇ u´plne´ho odrazu Nynı´ prozkoumejme, co z elektromagneticke´ho vlneˇnı´ dopadajı´cı´ho na rozhranı´ vnika´ do druhe´ho prostrˇedı´. Pro prosˇlou vlnu

Et = Et0 exp[i(kt r − ωt)] totizˇ mu˚zˇeme vzhledem k (viz 8.31 a obr. ???) p p n2 − sin2 α cos β = 1 − sin2 α = ≡ iγ n

a

kt = kt sin β ex + kt cos β ez

(8.33)

psa´t

Et0 exp[i(kt x sin β − kt z cos β − ωt)] = Et0 exp[i(kt x sin β − ikt γz − ωt)] .

(8.34)

Oznacˇ´ıme-li δ ≡ kt γ

a

kT ≡ kt sin β

,

zı´ska´me tak celkem

Et = Et0 exp[δz] exp[i(kT x − ωt)] .

(8.35)

Tato rovnice vyjadrˇuje nehomogennı´ vlnu sˇ´ırˇ´ıcı´ se ve smeˇru rozhranı´ (tj. ve smeˇru osy x) a exponencia´lneˇ uby´vajı´cı´ smeˇrem do druhe´ho prostrˇedı´ (tlumena´ vlna). Odrazny´ hranol Tota´lnı´ho odrazu se vyuzˇ´ıva´ naprˇ. v odrazny´ch hranolech, cozˇ jsou opticke´ prvky s rovinny´mi opticky´mi plochami urcˇene´ k odchylova´nı´ paprsku˚ do jiny´ch smeˇru˚ pomocı´ u´plne´ho odrazu sveˇtla na rozhranı´ch. Nejjednodusˇsˇ´ı odychlovacı´ hranol je symetricky´ pravou´hly´ hranol s u´hly 45◦ , 90◦ , 45◦ . Jestlizˇe paprsek procha´zı´ odveˇsnovy´mi plochami a odra´zˇ´ı se na prˇeponove´ plosˇe, odchy´lı´ se o 90◦ . Jestlizˇe vstupuje i vystupuje prˇeponovou plochou a odra´zˇ´ı se postupneˇ na obou odveˇsnovy´ch plocha´ch, vracı´ se stejny´m smeˇrem. Dvojice takovy´ch hranolu˚, ktere´ jsou vza´jemneˇ pootocˇeny o 90◦ se pouzˇ´ıva´ u triedru˚ k prˇevra´cenı´ obrazu. Pomocı´ odrazny´ch hranolu˚ lze jednodusˇe proka´zat, zˇe sveˇtlo pronika´ do druhe´ho prostrˇedı´ i prˇi u´plne´m odrazu. Umı´stı´me-li k odrazne´mu hranolu, na jehozˇ odveˇsnovou plochu dopada´ kolmo sveˇtlo, druhy´ 124

8.3. Rozbor Fresnelovy´ch vztahu˚

Obra´zek 8.2: Du˚kaz pronika´nı´ sveˇtla do druhe´ho prostrˇedı´ (str. 76b)

hranol do teˇsne´ blı´zkosti tak, aby se hranoly nedoty´kaly (viz obr. 8.2), vznikne v odrazˇene´m sveˇtle (paprsky ve smeˇru A na obra´zku) tmave´ mı´sto o velikosti prˇikla´dane´ho hranolu, naopak z prˇilozˇene´ho hranolu sveˇtlo vycha´zı´, prˇestozˇe v tomto smeˇru pu˚vodneˇ sveˇtlo vu˚bec nebylo.

Opticka´ vla´kna Tota´lnı´ odraz sveˇtla se uzˇ´ıva´ i ve vla´knove´ optice. Prˇi sˇ´ırˇenı´ sveˇtla vla´knem (naprˇ. skleneˇny´m) docha´zı´ na jeho steˇna´ch k u´plny´m odrazu˚m a lze tak prˇena´sˇet elektromagnetickou energii prakticky bezeztra´t (ztra´ty nasta´vajı´ samozrˇejmeˇ v du˚sledku absorpce v materia´lu vla´kna – viz na´sledujı´cı´ oddı´l). Spojenı´m vı´ce vla´ken vznika´ sveˇtlovod, ktery´m lze i na velke´ vzda´lenosti prˇena´sˇet obraz, resp. obecneˇ vesˇkere´ informace zako´dovane´ do opticky´ch signa´lu˚. ... intenzivneˇ se rozvı´jejı´cı´ odveˇtvı´ fyziky i pru˚myslu ...

Fresnelu˚v hranol Lze uka´zat, zˇe prˇi u´plne´m odrazu nasta´va´ fa´zovy´ posun transverza´lneˇ elektricke´ho a transverza´lneˇ magneticke´ho mo´du elektromagneticky´ch vln. Dopada´-li tedy na vhodne´ rozhranı´ linea´rneˇ polarizovana´ vlna pod u´hlem α > αm , bude po u´plne´m odrazu polarizovana´ elipticky. Na za´kladeˇ tohoto poznatku navrhnul Fresnel zarˇ´ızenı´ na vy´robu kruhoveˇ polarizovane´ho sveˇtla. Pokud na specia´lneˇ vybrousˇeny´ skleneˇny´ hranol (viz obr. I.2), dopada´ linea´rneˇ polarizovane´ vlneˇnı´, odrazı´ se tota´lneˇ na jeho zadnı´ hraneˇ a mezi transverza´lneˇ elektrickou a transverza´lneˇ magnetickou slozˇkou polarizace se objevı´ fa´zovy´ posuv π/4 – uvnitrˇ tak vznika´ elipticky polarizovane´ vlneˇnı´. Po druhe´m odrazu bude celkovy´ posuv mezi teˇmito slozˇkami π/2 a vlneˇnı´ z hranolu vycha´zı´ jako kruhoveˇ polarizovane´. 125

KAPITOLA 8. SVEˇTLO V IZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´

Obra´zek 8.3: Fresnelu˚v hranol (str. 77)

8.4

Absorpce sveˇtla

V kazˇde´m prostrˇedı´ (kromeˇ vakua) se sveˇtlo pohlcuje (absorbuje). Absorpce by´va´ selektivnı´ – kazˇda´ vlnova´ de´lka (barva) se absorbuje jinak. Pru˚hledne´ a bezbarve´ la´tky majı´ pro viditelne´ sveˇtlo malou absorpci, naprˇ. sklo (jake´?) ma´ na 1 cm tlousˇt’ky u´bytek prˇiblizˇneˇ 1 % intenzity, ale silneˇ pohlcuje ultrafialove´ i infracˇervene´ za´rˇenı´. Barevne´ sklo jevı´ ve viditlene´ oblasti selektivnı´ absorpci. Naprˇ´ıklad cˇervene´ sklo ma´lo absorbuje sveˇtlo cˇervene´ a oranzˇove´ (male´ vlnove´ de´lky) a silneˇ zelene´, modre´ a fialove´ – oza´rˇ´ıme-li ho tedy bı´ly´m sveˇtlem, bude se jevit jako cˇervene´ a oza´rˇ´ıme-li ho sveˇtlem modry´m, bude se jevit jako cˇerne´. Chceme-li matematicky popsat absorpci (z makroskopicke´ho hlediska), musı´me si uveˇdomit, na jaky´ch velicˇina´ch za´visı´. Uvazˇujme dopad rovinne´ho monochromaticke´ho za´rˇenı´ o intenziteˇ I0 na vrstvu materia´lu s konstantnı´ tlousˇt’kou (viz obr. 8.4). Ota´zka znı´, jaka´ bude intenzita sveˇtla po pru˚chodu vrstvou sˇ´ırˇky x dane´ho materia´lu?

Obra´zek 8.4: K absorpci sveˇtla (str. 77b)

Zajı´mejme se nejprve o u´bytek intenzity (oznacˇme jej −dI) na tenke´ vrstvicˇce o tlousˇt’ce dx. Sa126

8.4. Absorpce sveˇtla mozrˇejmeˇ cˇ´ım bude dx veˇtsˇ´ı, tı´m bude veˇtsˇ´ı i u´bytek −dI, u´bytek intenzity bude rovneˇzˇ za´viset na intenziteˇ sveˇtla I dopadajı´cı´ho na vrstvicˇku, cˇ´ım totizˇ bude dopadat vı´ce sveˇtla, tı´m vı´ce ho bude uby´vat, a konecˇneˇ jisteˇ bude za´viset na materia´lu, ze ktere´ho vrstvicˇka je, charakterizujme ho parametrem α. Budeme-li prˇedpokla´dat jednoduche´ prˇ´ıme´ u´meˇry, bude u´bytek intenzity na vrstvicˇce da´n vztahem −dI = αIdx

.

Vztah pro celkovy´ u´bytek intenzity sveˇtla na vrstveˇ materia´lu s tlousˇt’kou x pak bude da´n secˇtenı´m (integracı´) vsˇech teˇchto u´bytku˚: dI 0 = −αdx0 I0

ZI ⇒

dI 0 = −α I0

Zx dx0 0

I0

⇒

ln

I = −αx I0

.

(8.36)

Vyja´drˇenı´m I pak zı´ska´me tzv. Lambertu˚v absorpcˇnı´ za´kon I(x) = I0 e−αx ,

(8.37)

kde materia´lovou konstantu α nazy´va´me koeficient absorpce. Jejı´ vy´znam mu˚zˇeme videˇt z toho, zˇe ve vrstveˇ s tlousˇt’kou x = 1/α bude intenzita sveˇtla jizˇ e-kra´t mensˇ´ı oproti intenziteˇ dopadajı´cı´ho sveˇtla, takzˇe vy´raz 1/α tak urcˇuje jakousi „charakteristickou tlousˇt’ku u´bytku“. Prˇesna´ mikroskopicka´ teorie absorpce je zalozˇena na kvantove´ fyzice, ale kvalitativneˇ uspokojujı´cı´ model poda´va´ take´ Lorentzova elektronova´ teorie. Z te´to teorie vyply´va´, zˇe sveˇtlo procha´zejı´cı´ la´tkou rozkmita´va´ elektrony v atomech a ty vykona´vajı´ nucene´ kmity se stejnou frekvencı´ jakou ma´ dopadajı´cı´ sveˇtelne´ vlneˇnı´. Kmitajı´cı´ elektrony (elektricke´ na´boje) pak vyzarˇujı´ sveˇtlo (sta´le stejna´ frekvence) na vsˇechny strany – cˇa´st energie se vyza´rˇ´ı da´l, ale cˇa´st energie je transformova´na na kmita´nı´ krystalove´ mrˇ´ızˇky, cozˇ se projevı´ jako zahrˇ´ıva´nı´ la´tky. ??? Chybı´ stra´nka 88 ??? Prˇi rezonanci se zvysˇuje absorpce.

127

KAPITOLA 8. SVEˇTLO V IZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´

128

Kapitola 9 Sveˇtlo v anizotropnı´m prostrˇedı´ 9.1

Pru˚chod sveˇtla anizotropnı´m prostrˇedı´m

V roce 1670 pozoroval Erasmus Bartolinus, zˇe sveˇtelny´ paprsek se prˇi pru˚chodu islandsky´m va´pencem rozdeˇluje na dva – tento jev byl nazva´n dvojlom. Oba paprsky vycha´zejı´cı´ z va´pence jsou rovnobeˇzˇne´, takzˇe dı´va´me-li se na takovy´ krystal, vidı´me prˇedmeˇty dvojmo. Cˇasem se zjistilo, zˇe kromeˇ krystalu˚ s mrˇ´ızˇkou v krychlove´ soustaveˇ (naprˇ. NaCl) vykazujı´ dvojlom i vsˇechny ostatnı´ krystaly. Vy´razny´ dvojlom vsˇak nasta´va´ jen u neˇktery´ch. Paprsky vycha´zejı´cı´ z dvojlomne´ho krystalu nazy´va´me rˇa´dny´ a mimorˇa´dny´, v dalsˇ´ım si uvedeme procˇ. ˇ a´dny´ (ordina´lnı´) paprsek – tento paprsek zu˚sta´va´ v rovineˇ dopadu a pomeˇr sin α je konstantnı´ • R sin β pro libovolne´ u´hly dopadu. Rˇa´dny´ paprsek se tedy rˇ´ıdı´ za´konem lomu, tj. prˇi vstupu do krystalu se ve vsˇech smeˇrech sˇ´ırˇ´ı stejnou rychlostı´ (viz vysveˇtlenı´ za´kona lomu z Huygensova principu), cozˇ znamena´, zˇe ma´ dany´ pevny´ index lomu. α • Mimorˇa´dny´ (extraordina´lnı´) paprsek – u tohoto paprsku se pomeˇr sin meˇnı´ s u´hlem dopadu sin β (paprsek se obecneˇ odchyluje i prˇi kolme´m dopadu na steˇnu krystalu α = 0. Mimorˇa´dny´ paprsek obvykle nelezˇ´ı v rovineˇ dopadu. Prˇi vstupu paprsku do krystalu za´visı´ rychlost vlneˇnı´ na zvolene´m smeˇru v krystalu – index lomu je tedy take´ za´visly´ na smeˇru sˇ´ırˇenı´ lomene´ho paprsku.

Oba dva tyto paprsky jsou linea´rneˇ polarizovane´ a v rovina´ch navza´jem kolmy´ch. V krystalech existujı´ smeˇry (nebo jen jeden), ve ktery´ch dvojlom nenasta´va´. Tyto smeˇry se nazy´vajı´ opticka´ osa,. Krystaly, v nichzˇ existuje jen jedna opticka´ osa se nazy´vajı´ jednoose´ krystaly.. Krystaly s dveˇma opticky´mi osami se ze zrˇejmy´ch du˚vodu˚ nazvaly krystaly dvojose´. Ve veˇtsˇineˇ jednoosy´ch krystalu˚ je intenzita obou paprsku˚ stejna´. V neˇktery´ch se vsˇak jeden pohlcuje vı´ce 129

KAPITOLA 9. SVEˇTLO V ANIZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´ nezˇ druhy´ – tento jev se nazy´va´ dichroismus. Dichroismem „trpı´“ naprˇ´ıklad turmalı´n, ktery´ absorbuje rˇa´dny´ paprsek jizˇ prˇi tlousˇt’ce 1 mm.

9.2

Jednoose´ krystaly

Rˇa´dny´ paprsek se sˇ´ırˇ´ı vsˇemi smeˇry stejneˇ, kdezˇto sˇ´ırˇenı´ mimorˇa´dne´ho za´visı´ na smeˇru sˇ´ırˇenı´.

Obra´zek 9.1: Dopad paprsku na dvojlomny´ krystal kolmo na optickou osu (str. 80)

Obra´zek 9.2: Demonstrace dvojlomu (str. 80b)

Vlnoplochy v jednoose´m krystalu prˇ´ıslusˇejı´cı´ rˇa´dne´mu paprsku jsou cˇa´sti kulovy´ch ploch, kdezˇto vlnoplochy prˇ´ıslusˇejı´cı´ mimorˇa´dne´mu paprsku jsou rotacˇnı´ elipsoidy – viz obr. 9.3 a 9.4. Podle pomeˇru rychlosti sˇ´ırˇenı´ rˇa´dne´ho a mimorˇa´dne´ho paprsku deˇlı´me dvojlomne´ krystaly na kladne´, pro neˇzˇ je ve < vo a za´porne´, pro ktere´ je ve > vo . Vzhledem k definici absolutnı´ho indexu lomu paprsku n=

c v

130

,

9.2. Jednoose´ krystaly bude pro kladne´ krystaly ne > no a elipsa sˇ´ırˇenı´ ma´ svou hlavnı´ osu na opticke´ ose (viz obr. 9.3). Elipsa sˇ´ırˇenı´ u za´porny´ch krystalu˚ bude mı´t na opticke´ ose svou vedlejsˇ´ı osu a pro indexy lomu rˇa´dne´ho a mimorˇa´dne´ho paprsku bude platit ne < no . Je zrˇejme´, zˇe cˇ´ım veˇtsˇ´ı je rozdı´l mezi ne a no tı´m vı´ce je krystal dvojlomny´.

Obra´zek 9.3: Vlnoplochy tzv. kladny´ch dvojlom- Obra´zek 9.4: Vlnoplochy tzv. za´porny´ch dvojlomny´ch krystalu˚ (str. 80b) ny´ch krystalu˚ (str. 80b) Na´sledujı´cı´ tabulka uva´dı´ indexy lomu pro rˇa´dny´ a mimorˇa´dny´ paprsek u cˇtyrˇ krystalu˚: Na´zev Islandsky´ va´penec Krˇemen Turmalı´n Led

9.2.1

no 1,6583 1,5442 1,64 1,306

ne 1,4864 1,5533 1,62 1,307

Konstrukce rˇa´dny´ch a mimorˇa´dny´ch paprsku˚

Na na´sledujı´cı´ch obra´zcı´ch si uka´zˇeme, jak se konstruujı´ paprsky lomene´ do dvojlomne´ho krystalu pro prˇ´ıpady, zˇe 1) opticka´ osa se nacha´zı´ v rovineˇ dopadu a je sˇikma´ k rozhranı´. 2) opticka´ osa je kolma´ k rovineˇ dopadu a je rovnobeˇzˇna´ s rozhranı´m 3) opticka´ osa je rovnobeˇzˇna´ s rovinou dopadu i s rozhranı´m ad 1) Na obra´zcı´ch 9.5 a 9.6 je vyobrazena konstrukce paprsku˚ dopadajı´cı´ch A) sˇikmo a B) kolmo k rozhranı´. 131

KAPITOLA 9. SVEˇTLO V ANIZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´

Obra´zek 9.5: A) Konstrukce lomeny´ch paprsku˚ prˇi Obra´zek 9.6: B) Konstrukce lomeny´ch paprsku˚ prˇi sˇikme´m dopadu na krystal s optickou osou sˇikmou kolme´m dopadu na krystal s optickou osou sˇikmou k rozhranı´ (str. 81) k rozhranı´ (str. 81)

ad 2) Na´sledujı´cı´ obra´zek naznacˇuje konstrukci lomeny´ch paprsku˚ do krystalu, jehozˇ opticka´ osa je rovnobeˇzˇna´ s rozhranı´m a kolma´ na rovinu dopadu. V tomto prˇ´ıpadeˇ je splneˇn za´kon lomu pro mimorˇa´dny´ paprsek, tj. sin α = ne sin βe

Obra´zek 9.7: Konstrukce lomeny´ch paprsku˚ prˇi sˇikme´m dopadu na krystal s optickou osou rovnobeˇzˇnou s rozhranı´m a kolmou na rovinu dopadu (str. 81b)

ad 3) Obra´zky ?? a ?? ukazujı´ konstrukci lomeny´ch paprsku˚ pro sˇikmy´ a kolmy´ dopad. 132

9.3. Polarizacˇnı´ zarˇ´ızenı´

Obra´zek 9.8: (str. 81b)

9.3

Obra´zek 9.9: (str. 82)

Polarizacˇnı´ zarˇ´ızenı´

Polarizace vznika´ lomem, odrazem a dvojlomem, ale take´ pru˚chodem neˇktery´mi la´tkami, ktere´ se sta´vajı´ anizotropnı´mi vlivem mechanicky´ch vlivu˚ cˇi pu˚sobenı´m elektricke´ho nebo magneticke´ho pole (umeˇly´ dvojlom). Polarizacˇnı´ zarˇ´ızenı´, tj. zarˇ´ızenı´, ktera´ jsou schopna udeˇlat z nepolarizovane´ho sveˇtla udeˇlat polarizovane´, k tomuto u´cˇelu uzˇ´ıvajı´ • Brewsteru˚v u´hel – polarizovane´ sveˇtlo vznika´ prˇi odrazu prˇi Brewsteroveˇ u´hlu. Prˇi jine´m u´hlu je odrazˇene´ sveˇtlo jen cˇa´stecˇneˇ polarizovane´. Lomene´ sveˇtlo nenı´ ani prˇi αB u´plneˇ polarizovane´. Polarizaci lomene´ho sveˇtla mu˚zˇeme zlepsˇit neˇkolikra´t za sebou opakovany´m lomem. K tomuto u´cˇelu se vyra´bı´ sada rovnobeˇzˇny´ch skleneˇny´ch desticˇek, sveˇtlo je pak te´meˇrˇ u´plneˇ polarizovane´. • Dvojlom – protozˇe rˇa´dne´ a mimorˇa´dne´ paprsky jsou navza´jem kolmo polarizova´ny, stacˇ´ı, kdyzˇ se tyto paprsky odchy´lı´ do jiny´ch smeˇru˚. – Nicolu˚v hranol – skla´da´ se ze dvou pravou´hly´ch hranolu˚ z islandske´ho va´pence stmeleny´ch kanadsky´m balza´mem. Rˇa´dny´ paprsek dopada´ na stmelenou steˇnu pod u´hlem veˇtsˇ´ım nezˇ je meznı´ u´hel – nasta´va´ tedy u´plny´ odraz – rˇa´dny´ paprsek se pohltı´ v objı´mce. – Wollastonu˚v hranol – 2 pravou´hle´ hranoly z islandske´ho va´pence, jejichzˇ osy jsou navza´jem kolme´. V prvnı´m hranolu nasta´va´ dvojlom – paprsky se sˇ´ırˇ´ı ve stejne´m smeˇru ru˚zny´mi rychlostmi. V druhe´m hranolu je opticka´ osa kolma´ – proto ten paprsek, ktery´ byl pu˚vodneˇ rˇa´dny´, je nynı´ mimorˇa´dny´ a obra´ceneˇ. Jeden se la´me ke kolmici, druhy´ od kolmice a jejich odchylka se jesˇteˇ zveˇtsˇ´ı prˇi vy´stupu z hranolu – dosta´va´me tak dva navza´jem kolmo linea´rneˇ polarizovane´ paprsky sˇ´ırˇ´ıcı´ se v ru˚zny´ch smeˇrech. 133

KAPITOLA 9. SVEˇTLO V ANIZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´

Obra´zek 9.10: Nicolu˚v hranol (str. 82b)

Obra´zek 9.11: Wollastonu˚v hranol (str. 82b) – Dichroismus – turmalı´nove´ klesˇteˇ, 2 turmalı´nove´ desticˇky • Polaroidy – Je to pru˚hledna´ fo´lie (celuoid), na nı´zˇ je nanesena tenka´ vrstva krystalku˚ silneˇ dichroicke´ la´tky (takovou la´tkou je naprˇ´ıklad chininova´ su˚l zvana´ herapatit). Sveˇtlo procha´zejı´cı´ takovy´m polariza´torem ale nenı´ zcela linea´rneˇ polarizovane´. V soucˇasnosti tento typ polarizacˇnı´ch zarˇ´ızenı´ vzhledem ke sve´ la´ci cˇasto vyuzˇ´ıva´. Vy´hodou polaroidu˚ je i to, zˇe ke zkouma´nı´ polarizovane´ho sveˇtla mu˚zˇeme pouzˇ´ıt snadno stejne´ zarˇ´ızenı´. Pouzˇijeme-li jeden polaroid k zı´ska´nı´ polarizovane´ho sveˇtla, nazveme ho polariza´torem, uzˇijeme-li druhe´ho polaroidu k analy´ze tohoto sveˇtla, nazveme ho analyza´torem.

9.3.1 Vyuzˇitı´ polaroidu˚ • Polarizacˇnı´ prˇ´ıstroj – polariza´tor a analyza´tor tohoto zarˇ´ızenı´ tvorˇ´ı Nicolovy hranoly. Je-li na obr. 9.12 polariza´tor umı´steˇny´ rovnobeˇzˇne´ s analyza´torem a na´dobka L se zkoumanou la´tkou je pra´zdna´, sveˇtlo procha´zı´, jsou-li polariza´tor a analyza´tor kolme´, sveˇtlo neprocha´zı´ – umı´stı´me-li prˇi takto zkrˇ´ızˇeny´ch hranolech do na´doby L la´tku, zacˇne sveˇtlo procha´zet a my 134

9.4. Interference polarizovane´ho sveˇtla

Obra´zek 9.12: Polarizacˇnı´ prˇ´ıstroj (str. 83b)

musı´me pootocˇit analyza´tor tak, aby opeˇt prˇestalo procha´zet, tento u´hel pootocˇenı´ na´m mu˚zˇe rˇ´ıci naprˇ´ıklad neˇco o koncentraci jedne´ la´tky ve druhe´ apod. • Polarizacˇnı´ mikroskop – je to obycˇejny´ mikroskop s vlozˇeny´m polariza´torem a analyza´torem. Polariza´tor se umist’uje pod kondenzor a analyza´tor pod okula´r. • Turmalı´nove´ klesˇteˇ • No¨rrenbergru˚v prˇ´ıstroj

Obra´zek 9.13: Sche´ma No¨rrenbergova prˇ´ıstroje (str. 83b)

9.4

Interference polarizovane´ho sveˇtla

Jak jizˇ bylo uvedeno v kapitole ???, mu˚zˇe k pozorovatelne´ interferenci dojı´t jen u koherentnı´ch paprsku˚. Dı´ky existenci dvojlomu mu˚zˇeme snadno koherentnı´ svazky zı´skat. Uvazˇujme kolmy´ dopad na desticˇku z jednoose´ho krystalu, jehozˇ osa je rovnobeˇzˇna´ s rozhranı´m. Z prˇedchozı´ho vı´me, zˇe rˇa´dny´ a mimorˇa´dny´ 135

KAPITOLA 9. SVEˇTLO V ANIZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´ paprsek se pak sˇ´ırˇ´ı stejny´m smeˇrem, ale ru˚zny´mi rychlostmi. Oznacˇ´ıme-li tlousˇt’ku desticˇky d, je fa´zovy´ rozdı´l rˇa´dne´ho a mimorˇa´dne´ho paprsku ∆ϕ = ke d − ko d = ne ki d − no ki d = (ne − no )d

2π λi

,

(9.1)

kde ke je velikost vlnove´ho vektoru mimorˇa´dne´ho paprsku sˇ´ırˇ´ıcı´ho se v krystalu (s prˇ´ıslusˇny´m indexem lomu ne , ko je velikost vlnove´ho vektoru rˇa´dne´ho paprsku, ki velikost vlnove´ho vektoru dopadajı´cı´ho paprsku a λi je jeho vlnova´ de´lka.1 Po vy´stupu z desticˇky jizˇ postupujı´ oba paprsky stejnou fa´zovou rychlostı´, ale majı´ ru˚zne´ fa´ze a obecneˇ majı´ ru˚zne´ amplitudy.

Obra´zek 9.14: K vyuzˇitı´ interference paprsku˚ vznikly´ch dvojlomem na desticˇce z krystalu (str. 84b)

Meˇjme pokus vyobrazeny´ na obr. 9.14. Za polariza´torem (P) vznika´ linea´rneˇ polarizovane´ sveˇtlo, ze ktere´ho, po dopadu na desticˇku (D), vzniknou prˇi spra´vne´m nastavenı´ krystalu rˇa´dny´ a mimorˇa´dny´ paprsek sˇ´ırˇ´ıcı´ se ve stejne´m smeˇru. Amplituda dopadajı´cı´ho sveˇtla se tedy rozdeˇlı´ na dveˇ navza´jem kolme´ linea´rneˇ polarizovane´ slozˇky. Tyto slozˇky majı´ po pru˚chodu desticˇkou fa´zovy´ posun ∆ϕ a obecneˇ se skla´dajı´ na elipticky polarizovane´ sveˇtlo. Protozˇe je v cesteˇ analyza´tor A, budeme prˇi jeho ota´cˇenı´ pozorovat oscilace intenzity, odpovı´dajı´cı´ zmeˇneˇ amplitud v rozmezı´ poloos elipticke´ho kmitu. Takovy´mto zpu˚sobem mu˚zˇeme urcˇit smeˇry teˇchto poloos. Analyza´tor propousˇtı´ pouze neˇktere´ slozˇky Ee a Eo a protozˇe jsou tyto slozˇky koherentnı´ docha´zı´ k interferenci. 1

Uvedeny´ fa´zovy´ rozdı´l lze vysveˇtlit i prˇes rozdı´l opticky´ch drah ∆l = ne d − no d = (ne − no )d, prˇitom ∆ϕ = ki ∆l.

136

9.4. Interference polarizovane´ho sveˇtla

Obra´zek 9.15: Rozdeˇlenı´ intenzit elektricke´ho pole paprsku˚

Obra´zek 9.16: Poloosy elipticke´ho kmitu

Tento jev se nazy´va´ interference polarizovane´ho sveˇtla, protozˇe pomocı´ analyza´toru vybı´ra´me z kolmo polarizovany´ch vln jejich slozˇky ve spolecˇne´m smeˇru. Protozˇe vznikly rozsˇteˇpenı´m amplitudy pu˚vodnı´ jedine´ linea´rneˇ polarizovane´ vlny, jsou koherentnı´, a tedy schopne´ interference.

9.4.1 Za´vislost interference na vza´jemne´ poloze analyza´toru a polariza´toru Nynı´ prostudujeme, jak za´visı´ intenzita sveˇtla dopadajı´cı´ho na stı´nı´tko S na orientaci vsˇech prvku˚ soustavy z obr. 9.14. 1. Polariza´tor kolmo k analyza´toru

Obra´zek 9.17: Diagram rozdeˇlenı´ intenzit elektricke´ho pole pro prˇ´ıpad, zˇe je polariza´tor kolmy´ na analyza´tor (str. 85)

Oznacˇme amplitudu intenzity elektricke´ho pole sveˇtla jako E1 . Jak uzˇ bylo uvedeno, rozdeˇlı´ se 137

KAPITOLA 9. SVEˇTLO V ANIZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´ paprsek dopadajı´cı´ na desticˇku na dva – pro intenzity jejich elektricky´ch polı´ bude E1o = E1 sin α a E1e = E1 cos α (viz obr. 9.17). Prˇi uvazˇovane´m nastavenı´ propustı´ analyza´tor slozˇky E2o a E2e , pro ktere´ platı´ 1 E2o = −E1 o cos α = −E1 sin α cos α = − E1 sin(2α) 2 1 E2e = E1e sin α = E1 sin α cos α = E1 sin(2α) 2

(9.2) (9.3)

Vzhledem k za´porne´mu zname´nku E2o je celkovy´ fa´zovy´ rozdı´l obou paprsku˚ ∆ϕ = (ne − no )d

2π ±π λi

.

(9.4)

Nynı´ urcˇ´ıme, jaka´ bude intenzita sveˇtla dopadajı´cı´ho na stı´nı´tko. 1 2 2 I⊥ = EE ∗ = E2o + E2e + 2E2o E2e cos(∆ϕ + π) = E12 [2 + 2 cos(∆ϕ + π)] sin2 (2α) 4 1 I⊥ = E12 sin2 (2α)[1 − cos(∆ϕ)] 2

(9.5)

2. Polariza´tor rovnobeˇzˇneˇ s analyza´torem

Obra´zek 9.18: Diagram rozdeˇlenı´ intenzit elektricke´ho pole pro prˇ´ıpad, zˇe jsou polariza´tor a analyza´tor rovnobeˇzˇne´ (str. 85b)

Z obra´zku 9.18 opeˇt vyply´va´ oznacˇenı´ E1o = E1 sin α

a

E1e = E1 cos α

.

(9.6)

Intenzity elektricky´ch polı´ paprsku˚ vycha´zejı´cı´ch z analyza´toru pak budou 1 E2o = −E1 cos2 α = E1 (1 + cos(2α)) 2

1 a E2e = E1e sin2 α = E1 (1 − cos(2α)) 2 138

. (9.7)

9.4. Interference polarizovane´ho sveˇtla Z toho pro intenzitu sveˇtla na stı´nı´tku plyne Ik = + = + = =

1 2 1 E1 (1 − cos(2α))2 + E1 (1 + cos(2α))2 + 4 4 1 2 E (1 − cos(2α))(1 + cos(2α)) cos(∆ϕ) = 2 1 1 2 E [1 − 2 cos2 (2α) + cos2 (2α) + 1 + 2 cos2 (2α) + cos2 (2α)] + 4 1 (2 + 2 cos2 (2α)) cos(∆ϕ) = 1 2 E [2 + 2 cos2 (2α) + (2 + 2 cos2 (2α)) cos(∆ϕ)] = 4 1 1 2 E [1 + cos2 (2α) + sin2 (2α) cos(∆ϕ)] . 2 1

Celkem tedy je Ik = E12 [1 −

1 2 sin (2α)(1 − cos(∆ϕ))] 2

.

(9.8)

Z uvedene´ho vidı´me, zˇe jevy prˇi rovnobeˇzˇny´ch a zkrˇ´ızˇeny´ch polariza´torech jsou doplnˇkove´, tj. zˇe Ik + I⊥ = E12 = I

(9.9)

9.4.2 Interference rˇa´dne´ho a mimorˇa´dne´ho paprsku prˇi konstantnı´ tlousˇt’ce desticˇky Prˇedpokla´dejme, tlousˇt’ka d desticˇky je konstantnı´ (cozˇ znamena´, zˇe i ∆ϕ je konstantnı´) a hledejme, za jaky´ch podmı´nek jsou intenzity sveˇtla na stı´nı´tku minima´lnı´ a za jaky´ch maxima´lnı´. Prˇ´ıpad, zˇe • Ik minima´lnı´ (⇒ I⊥ maxima´lnı´) nasta´va´ tehdy, kdyzˇ sin(2α) = ±1 ⇒ 2α = (2n + 1)

π 2

(n ∈ Z) ,

to znamena´, kdyzˇ smeˇry kmitu˚ v desticˇce svı´rajı´ se smeˇrem polariza´toru u´hel

π 4

rad.

• I⊥ minima´lnı´ (⇒ Ik maxima´lnı´) nasta´va´, je-li sin(2α) = 0 ⇒ α = n

π 2

,

cozˇ nasta´va´, kdyzˇ smeˇr polarizace jednoho paprsku v desticˇce je rovnobeˇzˇny´ se smeˇrem polariza´toru (α = 0 cˇi α = π2 ). Beˇhem jedne´ otocˇky tak nastane na stı´nı´tku cˇtyrˇikra´t tma. Takto mu˚zˇeme zjistit polarizaci sveˇtla v desticˇce, zna´me-li smeˇry polarizace polariza´toru a analyza´toru. 139

KAPITOLA 9. SVEˇTLO V ANIZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´

9.4.3

Interference rˇa´dne´ho a mimorˇa´dne´ho paprsku prˇi konstantnı´m natocˇenı´ desticˇky

Prˇedpokla´dejme, zˇe u´hel natocˇenı´ α je konstantnı´ a meˇnı´me pouze fa´zovy´ posuv ∆ϕ (tj. tlousˇt’ku desticˇky). Opeˇt zkoumejme, kdy je intenzita sveˇtla na stı´nı´tku minima´lnı´. Podmı´nka pro to, aby byla • Ik minima´lnı´, je cos(∆ϕ) = −1 ⇒ ∆ϕ = (2n + 1)π = (ne − no )

2π d λ

,

z cˇehozˇ pro tlousˇt’ku desticˇky plyne (ne − no )d = (2n + 1)

λ 2

.

(9.10)

Intenzita I⊥ = E12 sin2 2α je pak maxima´lnı´. • I⊥ minima´lnı´, je cos(∆ϕ) = 1 ⇒ ∆ϕ = 2nπ = (ne − no )

2π d λ

,

a pro tlousˇt’ku desticˇky tak ma´me (ne − no )d = 2n

λ 2

.

(9.11)

Pouzˇijeme-li bı´le´ sveˇtlo, dostaneme zajı´mave´ barevne´ efekty, protozˇe indexy lomu no a ne za´visı´ na vlnove´ de´lce, bude krystal jevit pro rˇa´dny´ a mimorˇa´dny´ paprsek ru˚znou disperzi – kdyzˇ tedy neˇktera´ z barev bude mı´t minimum, objevı´ se na stı´nı´tku doplnˇkova´ barva.

9.4.4 Cˇtvrtvlnova´ desticˇka Jak jsme si jizˇ uvedli, desticˇka z dvojlomne´ho krystalu meˇnı´ linea´rnı´ polarizaci sveˇtla na obecneˇ elipticky polarizovane´. Bude-li α = 14 π nebo α = 34 π, bude E1e = E1o . Bude-li navı´c splneˇna podmı´nka pro fa´zovy´ posuv ∆ϕ 2π π (ne − no ) d = ( + 2nπ) , λ 2 bude sveˇtlo vystupujı´cı´ z desticˇky kruhoveˇ polarizova´no. Chceme-li tedy zı´skat z linea´rneˇ polarizovane´ho sveˇtla pru˚chodem dvojlomnou desticˇkou kruhoveˇ polarizovane´ sveˇtlo, musı´ na desticˇku dopadat linea´rneˇ polarizovane´ sveˇtlo pod u´hlem 45◦ a desticˇka musı´ mı´t tlousˇt’ku d=

4n + 1 λ ne − no 4

.

(9.12)

Nejuzˇsˇ´ı desticˇka splnˇujı´cı´ tuto podmı´nku (n = 0) se nazy´va´ cˇtvrtvlnova´ desticˇka. Tyto desticˇky se zhotovujı´ vzˇdy pro urcˇitou vlnovou de´lku. 140

9.5. Umeˇly´ dvojlom

Obra´zek 9.19: K cˇtvrtvlnove´ desticˇce (str. 87)

Cˇtvrtvlnovou desticˇku mu˚zˇeme pouzˇ´ıt take´ obra´ceneˇ a zı´skat ze sveˇtla kruhoveˇ nebo elipticky polarizovane´ho sveˇtlo linea´rneˇ polarizovane´. Mu˚zˇeme s nı´ tedy zji Vznikne-li elipticky polarizovane´ sveˇtlo s jiny´m fa´zovy´m rozdı´lem, musı´me k prˇevedenı´ takove´ho sveˇtla na linea´rneˇ polarizovane´ vne´st dodatecˇny´ fa´zovy´ rozdı´l ∆ϕ, ktery´ by s pu˚vodnı´m dal dohromady rozdı´l nπ. K tomuto u´cˇelu se pouzˇ´ıvajı´ tzv. opticke´ kompenza´tory.

9.4.5

Kompenza´tory

• Babinetu˚v kompenza´tor – skla´da´ se ze dvou krˇemenny´ch klı´nu˚ s navza´jem kolmy´mi opticky´mi osami (viz obr. 9.20). Paprsek rˇa´dny´ v hornı´m klı´nu se stane mimorˇa´dny´m v dolnı´m a naopak. V mı´steˇ, kde je d1 = d2 , se fa´zove´ rozdı´ly kompenzujı´ a vy´sledny´ fa´zovy´ rozdı´l vystupujı´cı´ch paprsku˚ je tak nulovy´. Zmeˇnou mı´sta vstupu paprsku do kompenza´toru tedy mu˚zˇeme zı´skat libovolny´ fa´zovy´ rozdı´l. Nevy´hodou je, zˇe abychom dostali konstantnı´ fa´zovy´ rozdı´l, musı´ by´t vstupujı´cı´ svazek sveˇtla musı´ by´t dostatecˇneˇ u´zky´. • Soleilu˚v kompenza´tor – tento kompenza´tor (viz obr. 9.21) tvorˇ´ı krˇemenne´ klı´ny a krˇemenna´ planparalelnı´ desticˇka. Hornı´ klı´n se mu˚zˇe mikrometricky´m sˇroubem posouvat. Je-li tlousˇt’ka klı´nu˚ a desticˇky stejna´, nevytvorˇ´ı se mezi rˇa´dny´m a mimorˇa´dny´m paprskem zˇa´dny´ fa´zovy´ rozdı´l. Posouva´nı´m klı´nu sˇroubem lze spojiteˇ meˇnit fa´zovy´ rozdı´l i pro sˇiroky´ svazek, takzˇe Soleilu˚v kompenza´tor netrpı´ stejny´m nesˇvarem jako kompenza´tor Babinetu˚v.

9.5 Umeˇly´ dvojlom Neˇktere´ izotropnı´ la´tky, ktere´ se skla´dajı´ z anizotropnı´ch cˇa´stic, se sta´vajı´ anizotropnı´mi v du˚sledku orientace teˇchto cˇa´stic vlivem pole neˇjake´ vneˇjsˇ´ı sı´ly. Podle druhu pole rozezna´va´me ru˚zne´ druhy umeˇle´ 141

KAPITOLA 9. SVEˇTLO V ANIZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´

Obra´zek 9.20: Sche´ma Babinetova kompenza´toru Obra´zek 9.21: Sche´ma Soleilova kompenza´toru (str. 87b) (str. 87b) anizotropie.

9.5.1

Fotoelasticky´ jev

Neˇktere´ izotropnı´ la´tky se sta´vajı´ anizotropnı´ vlivem mechanicke´ sı´ly, resp. mechanicke´ho napeˇtı´.

Obra´zek 9.22: K fotoelasticke´mu jevu (str. 88) Zkoumejme desticˇku D z takove´ izotropnı´ la´tky v zarˇ´ızenı´ na naznacˇene´m na obr. 9.22. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe je polariza´tor P kolmy´ na analyza´tor A, neprocha´zı´ desticˇkou zˇa´dne´ sveˇtlo. Pu˚sobı´me-li ale na desticˇku silou, zacˇne se z opticke´ho hlediska chovat jako anizotropnı´ la´tka – jako jednoosy´ dvojlomny´ krystal, s optickou osou ve smeˇru sı´ly – a na stı´nı´tku se objevı´ obraz odpovı´dajı´cı´ rozlozˇenı´ napeˇtı´ v materia´lu desticˇky. Tento jev nazy´va´me fotoelasticitou. Prˇitom pro indexy lomu rˇa´dne´ho a mimorˇa´dne´ho paprsku platı´ vztah no − ne ≈ κf p , 142

9.6. Opticka´ aktivita kde κf je konstanta u´meˇrnosti charakteristicka´ pro dany´ materia´l a p je tlak. Na za´kladeˇ tohoto jevu se rozvinul fyzika´lneˇ-technicky´ obor zvany´ fotoelasticimetrie, ktery´ se zaby´va´ zkouma´nı´m rozlozˇenı´ napeˇtı´ v pevny´ch la´tka´ch. Pro nepru˚hledne´ pevne´ la´tky vyuzˇ´ıva´ modelu˚ (naprˇ. z plexiskla), dı´ky ktery´m zpeˇtneˇ usuzuje na napeˇt’ove´ pomeˇry ve zkoumany´ch la´tka´ch.

9.5.2 Kerru˚v jev Neˇktere´ kapaliny (zejme´na nitrobenzen) se mohou sta´t opticky anizotropnı´mi i dı´ky pu˚sobenı´ vneˇjsˇ´ıho elektricke´ho pole, rˇ´ıka´me pak, zˇe u takovy´ch la´tek nastal Kerru˚v jev. Uvazˇujeme o stejne´m zarˇ´ızenı´ jako v prˇedchozı´m odstavci (viz obr. 9.22), ale mı´sto desticˇky D da´me na´dobku s kovovy´mi desticˇkami (Kerrova cela), do ktere´ nale´va´me zkoumanou kapalinu. Po prˇilozˇenı´ napeˇtı´ na desticˇky, ktere´ fungujı´ jako elektricky´ kondenza´tor, se sta´va´ kapalina dvojlomnou a sveˇtlo prˇes kolmo stojı´cı´ polariza´tor a analyza´tor procha´zı´. Opticka´ osa je potom rovnobeˇzˇna´ se smeˇrem elektricke´ho pole pu˚sobı´cı´ho na kapalinu a pro indexy lomu rˇa´dne´ho a mimorˇa´dne´ho paprsku prˇiblizˇneˇ platı´ prˇ´ıma´ u´meˇrnost no − ne ≈ κK E 2

,

kde κK je konstanta charakterizujı´cı´ danou kapalinu a E je intenzita elektricke´ho pole, a tedy pro fa´zovy´ posun mezi paprsky je 2π κK ∆ϕ = d(no − ne ) = 2πd E 2 , λ λ kde d je tlousˇt’ka vrstvy kapaliny ve smeˇru sˇ´ırˇenı´ sveˇtla a pomeˇr κK /λ se obvykle nazy´va´ Kerrova konstanta. Tento jev ma´ malou setrvacˇnost rˇa´doveˇ 10−9 s a proto ho lze vyuzˇ´ıvat naprˇ´ıklad prˇi vytva´rˇenı´ ostrˇe ohranicˇeny´ch sveˇtelny´ch pulsu˚ nebo obecneˇ prˇi modulaci sveˇtla.

9.6

Opticka´ aktivita

Neˇktere´ la´tky majı´ schopnost sta´cˇet rovinu linea´rneˇ polarizovane´ho sveˇtla. U anizotropnı´ch la´tek tento jev mu˚zˇe nastat v prˇ´ıpadeˇ, sˇ´ırˇ´ı-li se sveˇtlo rovnobeˇzˇneˇ s optickou osou. Sta´cˇet rovinu polarizovane´ho sveˇtla umı´ take´ mnohe´ kapaliny (naprˇ. oleje a roztoky cukru˚ ve vodeˇ) – takove´ la´tky nazy´va´me opticky aktivnı´. Podle toho, jak la´tky sta´cˇ´ı rovinu polarizace je deˇlı´me na pravotocˇive´ a levotocˇive´. Optickou aktivitu meˇrˇ´ıme ve stejne´m usporˇa´da´nı´ jako na obr. 9.14 a 9.22, jen na mı´steˇ desticˇky cˇi na´dobky D je opticky aktivnı´ la´tka (v prˇ´ıpadeˇ krystalu je mu˚zˇe by´t naprˇ. krˇemenna´ desticˇka vybrousˇena´ kolmo na optickou osu). Po vlozˇenı´ la´tky do zarˇ´ızenı´ (se zkrˇ´ızˇeny´mi polariza´tory) se dı´ky jejı´ sta´cˇivosti pole na stı´nı´tku prosveˇtlı´. Pootocˇ´ıme-li analyza´tor o urcˇity´ u´hel (dany´ sta´cˇivostı´ la´tky), stı´nı´tko opeˇt 143

KAPITOLA 9. SVEˇTLO V ANIZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´ ztmavne.2 V pevny´ch la´tka´ch za´visı´ u´hel otocˇenı´ α na tlousˇt’ce d vrstvy dane´ la´tky a samozrˇejmeˇ na slozˇenı´ dane´ la´tky, matematicky α ≈ α0 d , kde velicˇinu α0 nazy´va´me meˇrna´ sta´cˇivost (uda´va´ se v rad/m cˇi ◦ /m) a platı´ pro ni experimenta´lneˇ oveˇrˇeny´ vztah B α0 = A + 2 λ kde A a B jsou la´tkove´ konstanty. U roztoku˚ za´visı´ u´hel otocˇenı´ roviny polarizovane´ho sveˇtla take´ na jejich koncentraci c, tj. prˇiblizˇneˇ platı´ α ≈ kcd , kde k je konstanta za´visla´ na slozˇenı´ kapaliny. Tento vztah je v dobre´ shodeˇ s experimentem prˇi nı´zky´ch koncentracı´ch roztoku˚ a vyuzˇ´ıva´ se k meˇrˇenı´ koncentrace pomocı´ polarimetru˚.

9.6.1

Umeˇla´ opticka´ aktivita

Pu˚sobı´-li magneticke´ pole rovnobeˇzˇneˇ se smeˇrem sˇ´ırˇenı´ sveˇtla (viz obr. 9.23), vykazujı´ optickou aktivitu i neˇktere´ la´tky jinak opticky neaktivnı´ – toto chova´nı´ se nazy´va´ Faradayu˚v jev. V takove´m prˇ´ıpadeˇ je u´hel stocˇenı´ roviny polarizovane´ho sveˇtla za´visly´ nejen na sˇ´ırˇce d vzorku, ale velikosti magneticke´ho pole B (magneticka´ indukce), prˇiblizˇneˇ tak ma´me α ≈ V Bd kde konstanta u´meˇrnosti V se nazy´va´ Verdetova konstanta.

2

Usporˇa´da´nı´ s polariza´torem otocˇeny´m kolmo na analyza´tor se pouzˇ´ıva´ proto, zˇe oko le´pe rozpozna´va´ minima nezˇli maxima.

144

9.6. Opticka´ aktivita

Obra´zek 9.23: Aparatura k demonstraci Faradayova jevu (str. 90)

145

KAPITOLA 9. SVEˇTLO V ANIZOTROPNI´M PROSTRˇEDI´

146

Kapitola 10 Kvantova´ optika Jak jsme v prˇedchozı´m videˇli, elektromagneticka´ teorie z jednotne´ho hlediska vysveˇtluje s u´zˇasnou prˇesnostı´ mnoho jevu˚ ty´kajı´cı´ch se sveˇtla – interference, difrakce, polarizace atd. Pocˇa´tkem 20. stoletı´ vsˇak byla provedena rˇada pozorova´nı´, v jejichzˇ vysveˇtlenı´ Maxwellova teorie naprosto selhala. V na´sledujı´cı´m se setka´me s neˇkolika experimenty, v nichzˇ u´strˇednı´ roli hraje elektromagneticke´ za´rˇenı´ u neˇhozˇ jeho prˇedstava jakozˇto vlneˇnı´ selha´va´ a je nutne´ opeˇt prˇijmout prˇedpoklad o jeho cˇa´sticove´ povaze. Pote´ budeme ve strucˇnosti diskutovat modernı´ rˇesˇenı´ teˇchto podivnostı´ – kvantovou teorii elektromagneticke´ho za´rˇenı´ a konec te´to kapitoly bude veˇnova´n velmi vy´znamne´ aplikaci kvantove´ teorie – laseru˚m.

10.1 Za´kony za´rˇenı´ cˇerne´ho teˇlesa 10.1.1

Za´kladnı´ pojmy

Kvantova´ teorie vdeˇcˇ´ı za svu˚j pu˚vod studiu tepelne´ho za´rˇenı´, zvla´sˇteˇ za´rˇenı´ cˇerne´ho teˇlesa. Nezˇ se tomuto proble´mu budeme veˇnovat, uvedeme si v tomto cˇla´nku za´kladnı´ definice velicˇin nutny´ch k popisu vyzarˇova´nı´ teˇles. Za´kladnı´ velicˇinou, kterou popisujeme ztra´tu energie teˇlesa v du˚sledku za´rˇenı´ je za´rˇivy´ tok Φe . Hodnota za´rˇive´ho toku uda´va´ mnozˇstvı´ energie, ktera´ z urcˇite´ plochy (prˇ´ıpadneˇ z cele´ho povrchu) zdroje za´rˇenı´ unikne za cˇasovou jednotku (obvykle 1 s), tj. vyza´rˇ´ı-li teˇleso beˇhem cˇasove´ho intervalu dt energii dE, definujeme za´rˇivy´ tok vycha´zejı´cı´ z teˇlesa vztahem def

Φe =

dE dt

.

(10.1)

Jednotkou za´rˇive´ho toku v soustaveˇ SI je watt (W). Pro podrobneˇjsˇ´ı popis vyzarˇova´nı´ teˇles zava´dı´me velicˇinu nazy´vanou intenzita vyrˇazova´nı´ Ie , cozˇ 147

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA je podı´l za´rˇive´ho toku dΦe , ktery´ vycha´zı´ z male´ plosˇky z povrchu zdroje za´rˇenı´, a velikosti dS te´to plosˇky def dΦe . (10.2) Ie = dS Intenzita vyzarˇova´nı´ mu˚zˇe by´t pro ru˚zne´ cˇa´sti vyzarˇujı´cı´ho teˇlesa ru˚zna´, tedy kazˇda´ infinitezima´lnı´ plosˇka dS teˇlesa mu˚zˇe obecneˇ vyzarˇovat s ru˚znou intenzitou Ie , za´rˇivy´ tok z tohoto mı´sta je pak da´n vztahem dΦe = Ie dS a celkovy´ za´rˇivy´ tok z teˇlesa pak bude da´n integra´lem prˇes celou plochu, z nı´zˇ teˇleso vyzarˇuje, tj. ZZ Φe = Ie dS . (10.3) Jednotkou intenzity vyzarˇova´nı´ je watt na cˇtverecˇnı´ metr (W/m2 ). Jesˇteˇ podrobneˇjsˇ´ı informace o vyzarˇova´nı´ poskytuje velicˇina, ktera´ rˇ´ıka´, jak je intenzita vyzarˇova´nı´ rozdeˇlena na jednotlive´ vlnove´ de´lky, tj. na ktery´ch vlnovy´ch de´lka´ch teˇleso vyzarˇuje me´neˇ a na ktery´ch vı´ce. Tuto velicˇinu nazy´va´me spektra´lnı´ hustota intenzity vyzarˇova´nı´, znacˇ´ıme ji Ieλ a matematicky definujeme vztahem def dIe Ieλ = . (10.4) dλ Pro urcˇitou vyzarˇujı´cı´ plochu teˇlesa pak celkova´ intenzita vyzarˇova´nı´ bude Z∞ Ie =

Ieλ dλ . 0

Zna´me-li tedy spektra´lnı´ hustotu vyzarˇova´nı´ Ieλ , je za´rˇivy´ tok dΦe vyzarˇovany´ plosˇkou dS v intervalu vlnovy´ch de´lek hλ, λ + dλi da´n vztahem dΦe = Ieλ dλdS

.

Kdybychom chteˇli zna´t celkovy´ za´rˇivy´ tok z plosˇky konecˇne´ho obsahu na intervalu vlnovy´ch de´lek konecˇne´ sˇ´ırˇky, museli bychom tento vy´raz integrovat. Dopada´-li na teˇleso za´rˇenı´, cˇa´st energie, kterou s sebou prˇina´sˇ´ı, se v teˇlese pohlcuje (zvysˇuje tak vnitrˇnı´ energii teˇlesa) a cˇa´st se odra´zˇ´ı. Pokud za jednu sekundu dopadne na teˇleso za´rˇiva´ energie dΦe a z toho se pohltı´ cˇa´st dΦ0e , mu˚zˇeme schopnost teˇlesa pohlcovat za´rˇenı´ charakterizovat velicˇinou A=

dΦ0e dΦe

.

(10.5)

Tuto bezrozmeˇrovou velicˇinu nazy´va´me pohltivost. Pohltivost sama vsˇak nic nerˇ´ıka´ o tom, na jaky´ch vlnovy´ch de´lka´ch dopadajı´cı´ho za´rˇenı´ teˇleso pohlcuje nejvı´ce a na jaky´ch naopak nejme´neˇ, proto pro prˇesneˇjsˇ´ı popis pohlcova´nı´ zava´dı´me velicˇinu zvanou spektra´lnı´ pohltivost. Tato velicˇina Aλ =

dΦ0eλ dΦeλ

148

(10.6)

10.1. Za´kony za´rˇenı´ cˇerne´ho teˇlesa tedy uda´va´, jaka´ cˇa´st energie za´rˇenı´ se pohltı´ v u´zke´m intervalu vlnovy´ch de´lek hλ, λ + dλi. Je zrˇejme´, zˇe pohltivost i spektra´lnı´ pohltivost je cˇ´ıslo z intervalu h0; 1i, prˇicˇemzˇ hodnoty 0 naby´va´ prˇi u´plne´m (tota´lnı´m) odrazu a hodnoty 1 prˇi u´plne´m pohlcenı´ (pro vsˇechny vlnove´ de´lky nebo jen pro danou vlnovou de´lku). Z uvedene´ho vyply´va´, zˇe povrch teˇlesa, ktery´ ma´ velke´ A se jevı´ jako tmavy´, zatı´mco povrch s maly´m A se jevı´ jako sveˇtly´.

10.1.2 Kirchhoffu˚v za´kon Z prvnı´ho termodynamicke´ho principu vı´me, zˇe nejcˇasteˇjsˇ´ı zmeˇna vnitrˇnı´ energie teˇlesa (pevne´ho, kapalne´ho cˇi plynne´ho) nasta´va´ prˇ´ısunem cˇi u´bytkem tepla a kona´nı´m pra´ce. V na´sledujı´cı´m se budeme zaby´vat specia´lnı´m druhem tepelne´ vy´meˇny – vyzarˇova´nı´m. Kazˇdy´ vy´dej cˇi prˇ´ıjem energie teˇlesem jde na u´kor jeho vnitrˇnı´ energie cˇi na u´kor na neˇj dopadajı´cı´ho za´rˇenı´ Je-li teˇleso zahrˇ´ıva´no, mluvı´me o tepelne´m za´rˇenı´. Ve stavu termodynamicke´ rovnova´hy (konstantnı´ teplota) musı´ by´t hodnota energie doda´vana´ teˇlesu dopadajı´cı´m za´rˇenı´m stejna´ jako hodnota energie, kterou teˇleso ztra´cı´ prˇi vyzarˇova´nı´. Prˇedstavme si neˇkolik teˇles nacha´zejı´cı´ch se v pra´zdne´ dutineˇ (vakuum), jejı´zˇ steˇny jsou udrzˇova´ny na konstantnı´ teploteˇ (termostat, rezervoa´r) T . Teˇlesa po vlozˇenı´ vyzarˇujı´ a absorbujı´ energii ve formeˇ (elektromagneticke´ho) za´rˇenı´ a dı´ky te´to vy´meˇneˇ se po urcˇite´ dobeˇ (podle nulte´ho termodynamicke´ho za´kona) dostanou do rovnova´zˇne´ho stavu, v neˇmzˇ budou mı´t vsˇechna stejnou teplotu T . Aby se „udrzˇelo“ na stejne´ teploteˇ, musı´ teˇleso s veˇtsˇ´ı pohltivostı´ A vyza´rˇit vı´ce energie (Ie ) nezˇ teˇleso s pohltivostı´ mensˇ´ı. Z uvedene´ho plyne, zˇe pomeˇr mezi intenzitou vyzarˇova´nı´ a pohltivostı´ bude pro vsˇechna teˇlesa prˇi konkre´tnı´ teploteˇ stejny´, tj. platı´ Ie = konst. A Uvedena´ konstanta nenı´ za´visla´ na tvaru ani na chemicke´m slozˇenı´ teˇles, ale je prˇirozeneˇ pro ru˚zne´ teploty ru˚zna´, proto ji mu˚zˇeme zapsat jako funkci teploty. Gustav R. Kirchhoff1 dokonce doka´zal, zˇe platı´ konstantnost spektra´lnı´ho pomeˇru, prˇesneˇji rˇecˇeno, zˇe tento pomeˇr za´visı´ pouze na teploteˇ a na vlnove´ de´lce a nikoli na teˇlesech samotny´ch, proto pomeˇr spektra´lnı´ intenzity vyzarˇova´nı´ a spektra´lnı´ pohltivosti bude univerza´lnı´ funkcı´ teploty a vlnove´ de´lky, tj. Ieλ = f (T, λ) . Aλ

(10.7)

Tento vztah byl nazva´n Kirchhoffovy´m za´konem a jiny´mi slovy rˇ´ıka´, zˇe teˇleso vyzarˇuje nejsilneˇji ty vlnove´ de´lky, ktere´ nejvı´ce pohlcuje. 1

G. R. Kirchhoff ∗1824 − †1887 – vy´znamny´ neˇmecky´ fyzik, ktery´ zasa´hl snad do vsˇech oblastı´ fyziky ...

149

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA

10.1.3

Cˇerne´ teˇleso

Definice Pro fyziky je vzˇdy velmi prˇitazˇlive´, kdyzˇ mohou studovat neˇco velmi obecne´ho, neˇco absolutnı´ho, co neza´visı´ na konkre´tnı´m usporˇa´da´nı´, zpu˚sobu realizace ..... ??? Kirchhoffu˚v za´kon prˇ´ımo vybı´zı´ ke studiu teˇlesa (alesponˇ hypoteticke´ho), jehozˇ pohltivost je pro vsˇechny vlnove´ de´lky rovna jedne´. Takove´ teˇleso, ktere´ vsˇechno dopadajı´cı´ za´rˇenı´ absorbuje, tj. z vneˇjsˇ´ıho pohledu se jevı´ jako cˇerne´, bylo nazva´no absolutneˇ cˇerny´m teˇlesem.2 Prˇirozeneˇ teˇleso, ktere´ by meˇlo stoprocentnı´ pohltivost na vsˇech vlnovy´ch de´lka´ch nikde v prˇ´ırodeˇ neexistuje, je to tedy jaka´si idealizace, nicme´neˇ 1) je tato idealizace velmi uzˇitecˇna´, jak uvidı´me za chvı´li, 2) umı´me udeˇlat velmi dobre´ modely tohoto objektu – naprˇ´ıklad dutina s maly´m otvorem, jejı´zˇ steˇny jsou neˇjaky´m zpu˚sobem zvra´sneˇny cˇi zakrˇiveny tak, aby paprsek do nı´ dopadajı´cı´ byl co nejvı´ce rozpty´len a oslaben (banˇka s prˇ´ıcˇkami, ktere´ zamezujı´ unika´nı´ paprsku˚ nebo jednodusˇe viz 10.1) a konecˇneˇ 3) z doby asi 380 tisı´c let po vzniku te´to cˇa´sti vesmı´ru (velky´ trˇesk) se zachovalo za´rˇenı´, ktere´mu dnes rˇ´ıka´me reliktnı´ za´rˇenı´ a ktere´ ma´ velmi podobne´ vlastnosti jako za´rˇenı´, ktere´ by vycha´zelo z povrchu cˇerne´ho teˇlesa (viz da´le), takzˇe by se dalo rˇ´ıci, zˇe vesmı´r sa´m je nasˇ´ım nejlepsˇ´ım modelem cˇerne´ho teˇlesa.

Obra´zek 10.1: Jednoduchy´ model cˇerne´ho teˇlesa

Procˇ je dobre´ mı´t dobry´ model cˇerne´ho teˇlesa? Protozˇe z Kirchhoffova za´kona (rov. 10.7) plyne, zˇe 2

Drˇ´ıve se te´meˇrˇ vzˇdy pouzˇ´ıvalo spojenı´ absolutneˇ cˇerne´ teˇleso, dnes se vsˇak od slova „absolutneˇ“ upousˇtı´ a cˇasteˇji rˇ´ıka´ jen cˇerne´ teˇleso, protozˇe z fyzika´lnı´ho hlediska neexistujı´ odstı´ny cˇerne´ – cˇerna´ jen jedna, vsˇe ostatnı´ je bı´le´, barevne´ nebo sˇede´??? Na druhou stranu se v beˇzˇne´m zˇivoteˇ setka´va´me s vjemy, ktere´ nazy´va´me cˇernou barvou a kazˇdy´ doka´zˇe odlisˇit sametovou cˇernˇ od tusˇe, sazı´ cˇi ma´ku ... slunecˇnicova´ semı´nka, havran, ... takzˇe ono „absolutneˇ“ ma´ z kazˇdodennı´ho zˇivota jisteˇ sve´ opodstatneˇnı´ ...

150

10.1. Za´kony za´rˇenı´ cˇerne´ho teˇlesa funkce f (λ, T ) je pro vsˇechna teˇlesa stejna´ a konkre´tneˇ pro cˇerne´ teˇleso je tato funkce rovna spektra´lnı´ intenziteˇ vyzarˇova´nı´ Meλ . Zjistı´me-li tedy neˇco o vyzarˇova´nı´ cˇerne´ho teˇlesa, budeme tak veˇdeˇt, prˇi znalosti spektra´lnı´ pohltivosti Aλ , jak vyzarˇujı´ ostatnı´ teˇlesa. To znamena´, zˇe budeme-li zna´t za´kon vyzarˇova´nı´ cˇerne´ho teˇlesa, mu˚zˇeme z rovnice Ieλ CˇT 0 = Ieλ ≡ Ieλ Aλ

(10.8)

a ze znalosti Aλ vypocˇ´ıtat rozdeˇlenı´ energie ve spektru libovolne´ho teˇlesa. 0 Experimenta´lneˇ se meˇrˇenı´ Ieλ prova´dı´ tak, zˇe steˇny dutiny modelujı´cı´ cˇerne´ teˇleso zahrˇejeme na pozˇadovanou teplotu T a meˇrˇ´ıme jak je rozdeˇlena z otvoru vycha´zejı´cı´ za´rˇiva´ energie (energie elektromagneticke´ho pole) vzhledem na jednotlive´ vlnove´ de´lky spektra.

Zde by meˇl by´t obra´zek dutiny – modelu cˇerne´ho teˇlesa

Stefanu˚v-Boltzmannu˚v za´kon V roce 1879 Jozˇef Stefan experimenta´lneˇ uka´zal a o peˇt let pozdeˇji Ludwig Boltzmann teoreticky zdu˚vodnil,3 zˇe intenzita vyzarˇova´nı´ cˇerne´ho teˇlesa Ie0 je u´meˇrna´ cˇtvrte´ mocnineˇ teploty T teˇlesa, tj. matematicky Ie0 = σT 4

,

(10.9)

kde konstanta u´meˇrnosti v tomto tzv. Stefanoveˇ-Boltzmannoveˇ za´koneˇ je σ = 5, 67 · 10−3 Wm−2 K−4 R∞ 0 a Ie0 = 0 Ieλ dλ. Wienu˚v posunovacı´ za´kon V roce 1888 Heinrich Weber nalezl rozdeˇlovacı´ funkci empiricky a odvodil odtud tzv. posunovacı´ za´kon λmax T = κ, ktery´ byl o dva roky pozdeˇji potvrzen experimenta´lneˇ. V roce 1893 odvodil posunovacı´ za´kon Wilhelm Wien z termodynamicky´ch u´vah i teoreticky. Z tohoto za´kona tedy plyne, zˇe vlnova´ 0 de´lka λmax , prˇi nı´zˇ spektra´lnı´ intenzita vyzarˇova´nı´ cˇerne´ho teˇlesa Ieλ naby´va´ prˇi dane´ teploteˇ T sve´ho maxima, splnˇuje pro ru˚zne´ teploty vztah λmax T = λ0max T 0 = b ,

(10.10)

kde konstanta b = 2, 898 · 10−3 mK. Maxima intenzity vyzarˇova´nı´ se tedy s rostoucı´ teplotou posunujı´ ke kratsˇ´ım vlnovy´m de´lka´m (veˇtsˇ´ım kmitocˇtu˚m). 3

Kombinacı´ Maxwellovy elektrodynamiky a termodynamiky.

151

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA T /K 1 200 1 600 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 8 000 10 000

λmax /nm Ie /W · cm−2 2 405 11,84 1 804 37,41 1 443 91,34 962 432,4 721 1 461, 577 3 568, 481 7 399, 361 23 384, 289 57 090,

Z tabulky je take´ videˇt, zˇe intenzita vyzarˇova´nı´ Ie vzru˚sta´ velmi rychle s teplotou. Naprˇ´ıklad prˇi teploteˇ 6 000 K se kazˇdou sekundu vyzarˇuje z kazˇde´ho cˇtverecˇnı´ho centimetru povrchu cˇerne´ho teˇlesa energie 7 399 J, cozˇ je ekvivalentnı´ pohybove´ energii, kterou ma´ cˇloveˇk o hmotnosti 80 kg prˇi rychle´ jı´zdeˇ na kole (te´meˇrˇ 50 km/h) nebo stokilogramove´ teˇleso padajı´cı´ z vy´sˇky prˇes 7 metru˚. Prˇi nizˇsˇ´ıch teplota´ch se maximum energie vyzarˇuje v dlouhovlnne´ oblasti – teˇleso vysı´la´ infracˇervene´ za´rˇenı´.4 Prˇi zvysˇova´nı´ teploty teˇlesa jeho vyzarˇova´nı´ postupneˇ prˇecha´zı´ z infracˇervene´ oblasti do sveˇtelne´ a jeho barva se z tmaveˇ cˇervene´ postupneˇ meˇnı´ na sveˇtle cˇervenou, oranzˇovou, zˇlutou azˇ k bı´le´. Jako bı´le´ vnı´ma´me sveˇtlo slunecˇnı´, ktere´ je svy´m slozˇenı´m blı´zke´ sveˇtlu vyzarˇovane´mu cˇerne´m teˇlesem o teploteˇ T ≈ 5600 K.

Wienu˚v vztah V cˇervenci roku 1896 Wien pro spektra´lnı´ hustotu intenzity vyzarˇova´nı´ cˇerne´ho teˇlesa teoreticky odvodil vztah ³ κ ´ κ1 2 0 Ieλ = 5 exp − , (10.11) λ λT kde κ1 = 3, 741 3 · 10−16 J·m3 ·s−1 a κ2 = 1, 438 8 · 10−12 m·K jsou konstanty, ktere´ bylo nutno nale´zt experimenta´lneˇ (???). Wien prˇi svy´ch u´vaha´ch vysˇel z prˇedpokladu, zˇe pro molekuly tvorˇ´ıcı´ cˇerne´ teˇleso platı´ Maxwellovo-Boltzmannovo rozdeˇlenı´ rychlostı´ a zˇe frekvence za´rˇenı´ vysı´lane´ho kazˇdou molekulou je u´meˇrna´ jejı´ aktua´lnı´ rychlosti. Tento za´kon byl vza´peˇtı´ potvrzen experimenty konany´mi prˇi relativneˇ nı´zky´ch teplota´ch v oborech viditelne´ a ultrafialove´ cˇa´sti elektromagneticke´ho spektra a byl obecneˇ te´meˇrˇ trˇi roky povazˇova´n za spra´vny´. Cˇasto se v te´to souvislosti hovorˇ´ı o tepelne´m za´rˇenı´, ale to nenı´ zcela spra´vne´, protozˇe prˇ´ıvlastek tepelne´ odkazuje na zpu˚sob vzniku za´rˇenı´ a nesouvisı´ s vlnovou de´lkou. 4

152

10.1. Za´kony za´rˇenı´ cˇerne´ho teˇlesa Rayleighu˚v-Jeansu˚v vztah V roce 1899 a jesˇteˇ jasneˇji v roce 1900 se uka´zala neshoda Wienova za´kona 10.11 s novy´mi meˇrˇenı´mi, prova´deˇny´mi prˇi vysˇsˇ´ıch teplota´ch v dlouhovlnne´ cˇa´sti spektra. Novy´ vy´raz pro spektra´lnı´ hustotu intenzity vyzarˇova´nı´ teoreticky nalezl William Strutt (lord Rayleigh) a pozdeˇji uprˇesnil James Jeans. Ve sve´ teorii vyzarˇova´nı´ cˇerne´ho teˇlesa vyuzˇili matematickou ekvivalenci popisu energie stojaty´ch elektromagneticky´ch vln a harmonicky´ch oscila´toru˚5 a uzˇili veˇtu o strˇednı´ energii prˇipadajı´cı´ na stupenˇ volnosti syste´mu v termodynamicke´ rovnova´ze prˇi teploteˇ T (ekviparticˇnı´ teore´m). Vztah 0 Ieλ =

κ3 λT λ5

,

(10.12)

kde κ3 je konstanta, se dobrˇe shodoval s meˇrˇenı´mi v novy´ch oblastech, ale bylo jasne´, zˇe pro kra´tke´ vlny vede k va´zˇny´m proble´mu˚m. Spektra´lnı´ hustota intenzity vyzarˇova´nı´ totizˇ podle tohoto vzorce roste pro λ → 0 do nekonecˇna a tedy kdybychom chteˇli vypocˇ´ıtat (celkovou) intenzitu vyzarˇova´nı´ z cˇerne´ho teˇlesa, dosˇli bychom k nekonecˇneˇ velke´ hodnoteˇ Z∞ Ie0

= κ3 T

dλ = lim κ3 T λ0 →∞ λ4

µ

1 − 3

¶µ

0

¶¯λ0 1 ¯¯ →∞ λ3 ¯ 0

(10.13)

– tento prˇ´ıkry´ nesoulad mezi za´veˇry klasicke´ teorie s rozumny´mi prˇedpoklady a skutecˇnostı´ byl nazva´n ultrafialova´ katastrofa. Plancku˚v vztah a kvantova´ hypote´za V rˇ´ıjnu roku 1900 Max Planck vystoupil s formulı´ 0 Ieλ =

κ1 1 ¡κ ¢ 5 λ exp λT2 − 1

,

(10.14)

ktera´ sjednocovala Rayleighu˚v-Jeansu˚v (λT >> 1) a Wienu˚v za´kon (λT << 1). Pro vysoke´ teploty κ2 κ2 a dlouhe´ vlnove´ de´lky totizˇ mu˚zˇeme psa´t exp λT ≈ 1 + λT a dosta´va´me vy´raz 10.12 (Rayleighu˚vJeansu˚v za´kon) za prˇedpokladu, zˇe κ3 = κ1 /κ2 . Na druhou stranu pro nı´zke´ teploty a kra´tke´ vlnove´ de´lky mu˚zˇeme ve jmenovateli jednicˇku vu˚cˇi exponencia´le zanedbat a zı´ska´me vy´raz 10.11 (Wienu˚v za´kon). Planck se nada´le snazˇil za kazˇdou cenu svou interpolacˇnı´ formuli vysveˇtlit fyzika´lneˇ, cozˇ se mu beˇhem dvou meˇsı´cu˚ povedlo. Vztah 1 2πhc2 0 ¡ hc ¢ Ieλ = ,6 (10.15) 5 λ exp κλT − 1 Analogie mu˚zˇe by´t videˇna porovna´nı´m vy´razu˚ 12 ε0 E 2 pro elektrickou cˇa´st hustoty energie elektromagneticke´ho pole (viz 4.39) a potencia´lnı´ energie harmonicke´ho oscila´toru 12 kx2 . 6 κ je Boltzmannova konstanta (cˇasto znacˇena´ k cˇi kB ), jejı´zˇ dnes uzna´vana´ hodnota je κ = (1, 380 650 3±0, 000 002 4)· 10−23 J·K. 5

153

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA ktery´ mu z jeho u´vah vysˇel, se skveˇle shodoval s interpolacˇnı´ formulı´ 10.14 i s nameˇrˇeny´mi konstantami (κ1 = 2πhc2 , κ2 = hc/κ). Prˇitom zavedl novou univerza´lnı´ konstantu h, dodnes po neˇm nazy´vanou, jejı´ hodnota je v soucˇasnosti h = (6, 626 068 76 ± 0, 000 000 52) · 10−34 J·s

Planckova konstanta

(10.16)

Prˇi odvozova´nı´ sve´ho vzorce byl Planck nucen prˇijmout prˇedpoklad, ktery´ byl zcela cizı´ duchu tehdejsˇ´ı fyziky – byl nucen prˇedpokla´dat, zˇe energie se mezi povrchem (steˇnami) cˇerne´ho teˇlesa a elektromagneticky´m za´rˇenı´m vymeˇnˇuje nespojiteˇ !7 Konkre´tnı´ vy´meˇna se deˇje po kvantech (cˇi balı´cˇcı´ch) energie E0 u´meˇrny´ch kmitocˇtu ν, tj. hc . (10.17) E0 = hν = λ Planck sa´m svu˚j hlavnı´ prˇedpoklad teoreticke´ho odu˚vodneˇnı´ sve´ formule pro spektra´lnı´ hustotu intenzity vyzarˇova´nı´ cˇerne´ho teˇlesa nepovazˇoval za „fyzika´lneˇ rea´lny´“, a tedy nevyvodil z neˇj nada´le zˇa´dne´ za´sadnı´ du˚sledky. Mohlo by se zda´t, zˇe samotna´ existence minima´lnı´ hodnoty energie by nemusela by´t tak velky´m prˇerodem ve fyzice, kdyby hodnota tohoto „za´kladnı´ho balı´cˇku“ byla mala´ ve srovna´nı´ s energiemi, se ktery´mi se ve fyzice setka´va´me. Prˇedstavme si pro urcˇitost elektricky´ na´boj kmitajı´cı´ jako linea´rnı´ harmonicky´ oscila´tor8 Pro nı´zke´ kmitocˇty oscila´toru cˇi za´rˇenı´, ktere´ je jı´m vyda´va´no (ma´ stejnou frekvenci), je bezpochyby kvantum energie male´. Ale naprˇ´ıklad pro sveˇtelne´ vlnove´ de´lky a vysˇsˇ´ı teploty jizˇ nikoli – pro vlnovou de´lku 500 nm (kmitocˇet 6 · 1014 Hz) a teplotu 1500 K je podle ekviparticˇnı´ho teore´mu strˇednı´ energie oscila´toru hEosc i = κT ≈ 2 · 10−20 J a kvantum jeho energie E0 = hν ≈ 40 · 10−20 J, tj. strˇednı´ energie oscila´toru je dvacetkra´t mensˇ´ı nezˇ kvantum, ktere´ vyzarˇuje. Pro rozdeˇlenı´ velicˇiny, ktera´ naby´va´ hodnot 0, E0 , 2E0 , 3E0 , · · · , je takova´ strˇednı´ hodnota klasicky naprosto nepochopitelna´ (pro vysˇsˇ´ı teploty a kratsˇ´ı vlnove´ de´lky (vysˇsˇ´ı frekvence) jejich rozdı´l jesˇteˇ veˇtsˇ´ı). Zavedenı´ kvanta energie tedy nenı´ jen diskretizace klasicky spojite´ velicˇiny, ale za´sadnı´ rozchod s principy klasicke´ fyziky popisujı´cı´ vza´jemne´ pu˚sobenı´ elektromagneticke´ho za´rˇenı´ a hmotny´ch cˇa´stic. Prˇestozˇe se prˇi experimenta´lnı´m oveˇrˇova´nı´ uzˇ´ıva´ Plancku˚v vztah nejcˇasteˇji ve formeˇ 10.15, v teoreticky´ch u´vaha´ch se daleko cˇasteˇji pracuje s frekvencı´ a jesˇteˇ cˇasteˇji s u´hlovou frekvencı´. Transformujme tedy spektra´lnı´ hustotu intenzity vyzarˇova´nı´ pro vlnove´ de´lky Ieλ na spektra´lnı´ hustotu intenzity vyzarˇova´nı´ pro kmitocˇty Ieν – tato velicˇina vyjadrˇuje energii, ktera´ je za jednotku cˇasu vyza´rˇena z obsahu jednotkove´ plosˇky v kmitocˇtove´m intervalu hν, ν + dνi, tzn. Ieλ dλ = dIe = Ieν dν 7

.

(10.18)

Planck prˇi svy´ch u´vaha´ch pouzˇil matematickou metodu, zna´mou jizˇ drˇ´ıve (jejı´ analogie jsou dnes bohateˇ uzˇ´ıva´ny prˇi numericky´ch simulacı´ch na pocˇ´ıtacˇ´ıch), rozdeˇlenı´ spojite´ velicˇiny na rˇadu diskre´tnı´ch kroku˚. Na konci vy´pocˇtu vsˇak diskre´tnı´ velicˇinu E0 nemohl „poslat k nule“, protozˇe by zpeˇt zı´skal Rayleighu˚v-Jeansu˚v za´kon. Diskre´tnosti se prˇes vesˇkerou svou snahu nemohl zbavit. 8 Planck si prˇi sve´m odvozenı´ prˇedstavoval cˇerne´ teˇleso slozˇene´ pra´veˇ z takovy´chto oscila´toru˚ a zkoumal vy´meˇnu energie mezi nimi a elektromagneticky´m polem. Du˚vod, procˇ mohl veˇrˇit, zˇe prˇesto zı´ska´ obecne´ vztahy lezˇ´ı v tom, zˇe zpu˚sob vyzarˇova´nı´ cˇerne´ho teˇlesa neza´visı´ na jeho realizaci.

154

10.1. Za´kony za´rˇenı´ cˇerne´ho teˇlesa Protozˇe platı´ λ = c/ν, bude dλ = −cdν/ν 2 , a tedy vzhledem k 10.18 ma´me Ieν = Ieλ c/ν 2

.9

(10.19)

Plancku˚v matematicky´ za´kon pro vyzarˇova´nı´ cˇerne´ho teˇlesa 10.15 pak mu˚zˇeme prˇevyja´drˇit na 0 Ieν =

2πhν 3 1 ¡ hν ¢ . 2 c exp κT − 1

(10.20)

Pomocı´ u´hlove´ frekvence ω = 2πν a prˇi zavedenı´ tzv. redukovane´ Planckovy konstanty h = (1, 054 571 596 ± 0, 000 000 082) · 10−34 J · s 2π mu˚zˇeme Plancku˚v vztah prˇepsat na10 ~=

0 Ieω =

ω2 ~ω ¡ ¢ . ~ω 2π 2 c2 exp κT −1

(10.21)

(10.22)

Pro svou vy´hodnost prˇi za´pisu vy´razu˚ se v obecneˇ teoreticky´ch u´vaha´ch se jizˇ samostatna´ Planckova konstanta te´meˇrˇ nevyskytuje, proto se jizˇ cˇasto redukovane´ Planckoveˇ konstanteˇ rˇ´ıka´ prosteˇ Planckova konstanta. Z didakticky´ch du˚vodu˚ budeme v tomto skriptu nada´le uva´deˇt obeˇ vyja´drˇenı´. Protozˇe Plancku˚v za´kon povazˇujeme za spra´vny´, meˇly by se z neˇj da´t vyvodit Stefanu˚v-Boltzmannu˚v za´kon11 a Wienu˚v posunovacı´ za´kon. Zkuste to sami, prˇitom se va´m v integraci prvnı´ho mu˚zˇe hodit vztah Z∞ x3 π4 dx = ex − 1 15 0

a prˇi hleda´nı´ extre´mu Planckova vzorce rˇesˇenı´ rovnice 5(ex − 1) − xex = 0, ktere´ je x = 4, 965. Konstanta Stefanova-Boltzmannova za´kona 2π 5 κ 4 π2κ4 σ= ≡ 15c2 h3 60c2 ~3 (???zjisti, kde je chyba, v prvnı´m vy´razu napravo je ve starsˇ´ıch ucˇebnicı´ch π 4 ???) a konstanta Wienova posunovacı´ho za´kona hc ~c b= ≡ . 4, 965κ 9, 93πκ

10.1.4 Opticka´ pyrometrie Podrobna´ znalost zpu˚sobu vyzarˇova´nı´ cˇerne´ho teˇlesa umozˇnila neˇkolik prakticky´ch vyuzˇitı´.12 Pro meˇrˇenı´ teploty rozzˇhaveny´ch teˇles se uzˇ´ıva´ prˇ´ıstroju˚ zvany´ch pyrometry, ktere´ jsou vy´hodne´ zejme´na pro meˇrˇenı´ vysˇsˇ´ıch teplot. 9

Vynechali jsme za´porne´ zname´nko, protozˇe rˇ´ıka´ jen to, zˇe kdyzˇ jeden diferencia´l roste, druhy´ klesa´. Kvantum energie pak vyjadrˇujeme jako E0 = ~ω. 11 Z toho se uka´zˇe, zˇe celkovy´ integra´l intenzity vyzarˇova´nı´ je konecˇny´, a tedy zˇe nenasta´va´ ultrafialova´ katastrofa. 12 Mimochodem, podrobne´ studium vyzarˇova´nı´ teˇles bylo mimo jine´ inspirova´no i prakticky´mi potrˇebami – kvu˚li vznikajı´cı´mu poulicˇnı´mu osveˇtlenı´ Berlı´na. 10

155

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA V pyrometru s mizejı´cı´m vla´knem porovna´va´me jas monochromaticke´ho za´rˇenı´ vysı´lane´ho teˇlesem, jehozˇ teplotu meˇrˇ´ıme s jasem svı´tı´cı´ho vla´kna zˇa´rovky. Obraz teˇlesa i strˇed vla´kna pozorujeme okula´rem prˇes cˇerveny´ absorpcˇnı´ filtr (λ = 660 nm) soucˇasneˇ. Prˇi samotne´m meˇrˇenı´ meˇnı´me (zˇhavı´cı´) proud procha´zejı´cı´ vla´knem pomocı´ reostatu azˇ do te´ doby, nezˇ vla´kno na pozadı´ teˇlesa „zmizı´“. Pak je jas obou stejny´. Byl-li tedy pyrometr ocejchova´n pomocı´ cˇerne´ho teˇlesa, zmeˇrˇenı´m zjistı´me, jake´ teploteˇ cˇerne´ho teˇlesa odpovı´da´ aktua´lnı´ teplota meˇrˇene´ho teˇlesa – rˇ´ıka´me, zˇe meˇrˇ´ıme tzv. jasovou teplotu Tλ . Abychom mohli najı´t skutecˇnou teplotu T , musı´me zna´t pomeˇr jasu teˇlesa k jasu cˇerne´ho teˇlesa na vlnove´ de´lce 660 nm prˇi stejne´ teploteˇ.

10.2

Fotoelektricky´ jev

Cˇloveˇkem, ktery´ patrneˇ jako prvnı´ vzal nutnost Planckova kvantove´ho prˇedpokladu va´zˇneˇ byl Albert Einstein. V jednom ze svy´ch trˇ´ı velmi vy´znamny´ch cˇla´ncı´ch z roku 1905 uka´zal, zˇe mnohe´, do te´ doby nepochopene´, jevy lze vysveˇtlit s pomocı´ prˇedstavy, zˇe se elektromagneticke´ za´rˇenı´ skla´da´ z proudu lokalizovany´ch cˇa´stic – kvant energie, ktere´ byly po Planckoveˇ vzoru rozlisˇeny kmitocˇtem hν. Einstein, na rozdı´l od Plancka, nehledeˇl na proble´m kvantova´nı´ jako na jaky´si specificky´ du˚sledek vy´meˇny energie mezi hmotou a za´rˇenı´m, ale zacˇal na neˇj nahlı´zˇet jako na na vlastnost samotne´ho za´rˇenı´, tj. zˇe se elektromagneticke´ za´rˇenı´ nejen vyzarˇuje a pohlcuje po kvantech, ale take´ se sˇ´ırˇ´ı ve formeˇ kvant.13 Uka´zˇeme si Einsteinovo vysveˇtlenı´ na prˇ´ıkladu tzv. vneˇjsˇ´ıho fotoelektricke´ho jevu (fotoefektu). Historicka´ propletenost experimenta´lnı´ch vy´sledku˚ a Einsteinova vysveˇtlenı´ je relativneˇ velika´, proto se bez odkazu na deˇjovou linii nejprve sezna´mı´me s vy´sledky pokusu˚ a azˇ pote´ prˇejdeme k Einsteinovu vysveˇtlenı´ pomocı´ sveˇtelny´ch kvant.14

10.2.1 Vy´sledky experimenta´lnı´ho zkouma´nı´ Asi nejjednodusˇsˇ´ım usporˇa´da´nı´m, ve ktere´m by mohl by´t pozorova´n fotoelektricky´ jev je zkouma´nı´ vybı´jenı´ cˇi naopak nabı´jenı´ elektroskopu, na jehozˇ hornı´ kovovou desticˇku (kovy mu˚zˇeme meˇnit) svı´tı´me sveˇtlem (nebo horsky´m slunı´cˇkem) prˇes ru˚zne´ filtry. Poneˇkud sofistikovaneˇjsˇ´ımi experimenta´lnı´mi 13

Podle jeho vlastnı´ch slov lze jevy jako za´rˇenı´ cˇerne´ho teˇlesa, fotoefekt a fotoluminiscenci le´pe pochopit za prˇedpokladu, zˇe „prˇi sˇ´ırˇenı´ z jednoho bodu se energie sveˇtelne´ho paprsku nerozdeˇluje na sta´le rostoucı´ prostorovy´ objem, ale sesta´va´ se z konecˇne´ho pocˇtu prostoroveˇ lokalizovany´ch kvant energie, ktere´ se pohybujı´, anizˇ se da´le deˇlı´ a mohou by´t take´ jen jako celky pohlceny.“ 14 Kvanta energie .... sveˇtelna´ kvanta .... fotony.

156

10.2. Fotoelektricky´ jev zarˇ´ızenı´mi (chteˇlo by to obra´zek s popisem) se o tomto jevu zjistilo15 : 1) Prˇi dopadu elektromagneticke´ho za´rˇenı´ urcˇity´ch vlnovy´ch de´lek na dany´ kov (katodu) se z neˇj uvolnˇujı´ elektrony. 2) Pro kazˇdy´ kov (katodu) existuje nejmensˇ´ı frekvence ν0 dopadajı´cı´ho za´rˇenı´ (rˇ´ıka´ se jı´ prahova´ cˇi hranicˇnı´), pod nı´zˇ jizˇ jev nasta´va´, tj. elektrony opousˇteˇjı´ kov, jen kdyzˇ na neˇ dopadne za´rˇenı´ s kmitocˇty ν ≥ ν0 . Naprˇ´ıklad pro kovovy´ sodı´k je ν0 ≈ 5 · 1014 Hz (vlnova´ de´lka je me´neˇ nezˇ 600 nm), pro Zn je ν0 = 8, 5 · 1014 Hz (λ je asi 350 nm), pro Ag je ν0 = 9, 22 · 1014 Hz a pro W je ν0 = 13, 0 · 1014 Hz. 3) Prˇi dopadu monochromaticke´ho za´rˇenı´ (konstantnı´ ν) na kov roste pocˇet vyrazˇeny´ch elektronu˚ s jeho zveˇtsˇujı´cı´ se intenzitou (v zarˇ´ızenı´ tecˇe veˇtsˇ´ı elektricky´ proud). 4) Maxima´lnı´ kineticka´ energie vyrazˇeny´ch elektronu˚ neocˇeka´vaneˇ neza´visı´ na intenziteˇ sveˇtla (jak by se z Maxwellovy teorie mohlo zda´t). 5) Maxima´lnı´ kineticka´ energie elektronu˚ vyrazˇeny´ch z kovu za´visı´ pouze na frekvenci dopadajı´cı´ho za´rˇenı´, a to linea´rneˇ. Obra´zek – Graf za´vislosti kineticke´ energie vyletujı´cı´ch elektronu˚ na frekvenci. 6) Zatı´mco zˇa´dna´ intenzita pod prahovou frekvencı´ f0 nevede k uvolneˇnı´ elektronu˚ z dane´ho kovu, i ta nejslabsˇ´ı intenzita za´rˇenı´ o vysˇsˇ´ı frekvenci je k zı´ska´nı´ vyrazˇeny´ch elektronu˚ dostatecˇna´ a elektrony se uvolnˇujı´ bez zpozˇdeˇnı´ (prˇesneˇji, zpozˇdeˇnı´ je v rˇa´du nanosekund).

10.2.2

Pokus o vysveˇtlenı´ tohoto jevu vlnovou teoriı´

Elektromagneticka´ vlna dopadajı´cı´ na kov rozkmita´ elektrony (v neˇkolika atomovy´ch vrstva´ch v blı´zkosti povrchu). Z Maxwellovy teorie elektromagneticke´ho pole plyne, zˇe • s rostoucı´ intenzitou za´rˇenı´ se elektron rozkmita´va´ sta´le vı´ce, tı´m zı´ska´va´ energii a jeho kineticka´ energie by meˇla po opusˇteˇnı´ kovu by´t o to veˇtsˇ´ı; • elektron by prˇi slabe´m sveˇtle nad prahovou frekvencı´ sbı´ral energii potrˇebnou na vyrazˇenı´ neˇkolik sekund cˇi dokonce neˇkolik meˇsı´cu˚ (v za´vislosti na zvoleny´ch prˇedpokladech); • tato teorie nedoka´zˇe vysveˇtlit existenci prahove´ frekvence ν0 . 15

Meˇrˇenı´ se prova´deˇla hlavneˇ pomocı´ tzv. fotonky, jejı´zˇ cˇinnost je popsa´na v cˇla´nku 10.2.4. Dodnes nejsou prˇesna´ meˇrˇenı´ fotoelektricke´ho jevu zcela jednoducha´.

157

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA

10.2.3

Einsteinovo vysveˇtlenı´

Prˇedstavme si dopad za´rˇenı´ na kov jako na dopad roje cˇa´stecˇek, ktere´ se trefujı´ do elektronu˚ ukryty´ch pod povrchem kovu. Kazˇdy´ cˇa´stecˇka (balı´cˇek energie) s sebou nese energii hν ≡ ~ω. Tato energie se po pohlcenı´ kvanta elektronem „spotrˇebuje“ jednak na prˇekona´nı´ sil, ktere´ drzˇ´ı elektrony v kovu (elektron musı´ proti teˇmto sila´m vykonat tzv. vy´stupnı´ pra´ci (ozn. Wv )16 a zbytek energie se projevı´ jako jeho pohybova´ energie Ek = 12 me v 2 . Existence prahove´ frekvence souvisı´ s vy´stupnı´ pracı´ vztahem Wv = hν0 ,

(10.23)

protozˇe pra´veˇ prˇi energii hν0 dopadajı´cı´ kvantum za´rˇenı´ prˇeda´ elektronu energii takovou, zˇe se pra´veˇ uvolnı´ z kovu (s nulovou rychlostı´). Pokud se kvantum energie pohltı´ cele´ (musı´ cˇi nemusı´? mu˚zˇe se jen v kovu rozpty´lit?) a pokud pro elektron nenastanou jine´ ztra´ty, mu˚zˇe po dopadu za´rˇenı´ zı´skat maxima´lnı´ kinetickou energii Ekmax = hν − Wv .

(10.24)

Takzˇe oznacˇ´ıme-li vmax maxima´lnı´ rychlost, kterou mu˚zˇe elektron vyrazˇeny´ z kovu o vy´stupnı´ pra´ci Wv zı´skat po dopadu kvanta za´rˇenı´ s frekvencı´ ν, bude energeticka´ bilance tohoto procesu 1 2 hν = Wv + me vmax . 2

(10.25)

Mimochodem, Einstein zı´skal svou Nobelovu cenu za rok 1921 zejme´na dı´ky sve´ pra´ci na teorii fotoelektricke´ho jevu.

10.2.4

Fotonka

Fotonka je elektronka zalozˇena´ na principu vneˇjsˇ´ıho fotoefektu. Ma´ velkou plochu katody a anodu ve tvaru vla´kna, vsˇe je ve vakuove´ skleneˇne´ trubici. Prˇi osveˇtlenı´ katody prote´ka´ fotonkou elektricky´ proud i prˇesto, zˇe tam nenı´ napeˇtı´ – sveˇtlo vyra´zˇ´ı elektrony a cˇa´st z nich dopada´ na anodu i bez urychlujı´cı´ho potencia´lu. Prˇilozˇ´ıme-li napeˇtı´, dopada´ na anodu veˇtsˇ´ı cˇa´st sveˇtlem uvolneˇny´ch elektronu˚ a fotonkou procha´zı´ veˇtsˇ´ı proud. Pokud napeˇtı´ prˇi konstantnı´m osveˇtlenı´ zveˇtsˇujeme, docha´zı´ nakonec k nasycenı´ elektricke´ho proudu – vsˇechny elektrony uvolneˇne´ z katody dopadnou na anodu a vytva´rˇ´ı maxima´lnı´ proud (prˇi dane´m osveˇtlenı´). Obra´zek – Sche´ma fotonky a jejı´ voltampe´rova´ charakteristika. Uzˇijeme-li mrˇ´ızˇku, na kterou prˇilozˇ´ıme za´porny´ potencia´l vu˚cˇi katodeˇ, budou se elektrony letı´cı´ na anodu brzdit a prˇi veˇtsˇ´ım napeˇtı´ na anodu „dosa´hnou“ pouze elektrony s velkou kinetickou energiı´. Prˇi 16

Tato vy´stupnı´ pra´ce je pro kazˇdy´ kov charakteristicka´, je materia´lovou konstantou.

158

10.2. Fotoelektricky´ jev jiste´m (opacˇne´m) napeˇtı´ jizˇ zˇa´dny´ elektron prˇi dane´m osveˇtlenı´ z katody na anodu nedorazı´, takove´mu napeˇtı´ rˇ´ıka´me brzdne´ napeˇtı´ a znacˇ´ıme obvykle Ub , prˇi tomto napeˇtı´ tedy neprocha´zı´ zˇa´dny´ proud. Kinetickou energii elektronu˚ vyletujı´cı´ch z katody pak mu˚zˇeme vypocˇ´ıtat ze vztahu Ek = eUb . Pro maxima´lnı´ rychlost vmax vyletujı´cı´ch elektronu˚ pak bude platit 1 me v 2 = eUb 2

r =⇒

vmax =

2eUb . me

(10.26)

10.2.5 Vnitrˇnı´ fotoelektricky´ jev Prˇi pu˚sobenı´ elektromagneticke´ho za´rˇenı´ se v krystalicke´ strukturˇe neˇktery´ch polovodicˇu˚ uvolnˇujı´ nosicˇe elektricke´ho na´boje (elektrony nebo dı´ry) – tomu rˇ´ıka´me vnitrˇnı´ fotoelektricky´ jev. Energie potrˇebna´ k uvolneˇnı´ nosicˇu˚ by´va´ mensˇ´ı nezˇ vy´stupnı´ pra´ce kovu˚, proto stacˇ´ı za´rˇenı´ o nizˇsˇ´ı (prahove´) frekvenci. Meznı´ vlnova´ de´lka je tak obvykle veˇtsˇ´ı nezˇ u vneˇjsˇ´ıho fotoefektu a mu˚zˇe zasahovat azˇ do infracˇervene´ oblasti. Na´sledujı´cı´ tabulka uva´dı´ neˇkolik polovodicˇu˚ prakticky pouzˇ´ıvany´ch pro vnitrˇnı´ fotoefekt i s jejich prahovy´mi vlnovy´mi de´lkami. polovodicˇ selen thalofid sirnı´k olovnaty´ selenid olovnaty´ telurid olovnaty´

λ0 /nm 900 1400 3500 5500 5800

Vyjmenujme si neˇktera´ zarˇ´ızenı´, v nichzˇ se uzˇ´ıva´ vnitrˇnı´ho fotoelektricke´ho jevu: a) Fotoodpory – vyuzˇ´ıva´ se za´vislost vodivosti na osveˇtlenı´, vyzˇadujı´ vneˇjsˇ´ı elektricky´ zdroj. b) Hradlove´ fotocˇla´nky – vyuzˇ´ıva´ se usmeˇrnˇovacı´ho u´cˇinku na rozhranı´ polovodicˇ-kov. Elektromagneticke´ za´rˇenı´ uvolnˇuje v polovodicˇi nosicˇe elektrˇiny, ktere´ procha´zı´ rozhranı´m do kovu. Mezi kovem a polovodicˇem vznika´ potencia´lovy´ rozdı´l a hradlovy´ fotocˇla´nek se tak sta´va´ zdrojem elektromotoricke´ho napeˇtı´. Tyto fotocˇla´nky se uzˇ´ıvajı´ jako detektory v expozimetrech, luxmetrech a fotometrech. c) Fotodiody – jsou, podobneˇ jako hradlove´ fotocˇla´nky, zdrojem elektromotoricke´ho napeˇtı´ prˇi osveˇtlenı´. Zde je usmeˇrnˇujı´cı´m rozhranı´m PN prˇechod. Vyuzˇ´ıvajı´ se zejme´na u slunecˇnı´ch bateriı´. 159

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA

10.3 Foton 17

Ve veˇtsˇineˇ komunity fyziku˚ existoval k zavedenı´ sveˇtelny´ch kvant, cˇi jak se jim pozdeˇji zacˇalo rˇ´ıkat fotonu˚, znacˇny´ odpor – naprˇ´ıklad Max Planck se svy´mi kolegy se jesˇteˇ v roce 1913 v dopise doporucˇujı´cı´m Einsteina na prˇijetı´ do Pruske´ Akademie veˇd o Einsteina „otrˇel“ slovy: Skutecˇnost, zˇe obcˇas ve svy´ch spekulacı´ch prˇestrˇelı´, jako to ucˇinil naprˇ´ıklad ve sve´ hypote´ze kvantova´nı´ sveˇtelne´ energie, by mu nemeˇla by´t prˇ´ılisˇ vycˇ´ıta´na.

Robert Millikan, jehozˇ meˇrˇenı´ s u´zˇasnou prˇesnostı´ Einsteinovu teorii fotoefektu potvrdila na adresu Einsteinovy teorie prohla´sil: Stojı´me tva´rˇ´ı v tva´rˇ udivujı´cı´ skutecˇnosti, zˇe tato fakta [Millikanova meˇrˇenı´] byla prˇed devı´ti lety spra´vneˇ prˇedpoveˇzena kvantovou teoriı´, ktera´ vsˇak byla mezi tı´m vsˇeobecneˇ opusˇteˇna. V roce 1905 Einstein prˇi popisu fotoefektu navrhl odva´zˇnou, ne-li prˇ´ımo sˇ´ılenou mysˇlenku, zˇe sveˇtlo se chova´ jako korpuskule o energii hν, jezˇ je absorbova´na elektronem ... . Ale teorie, kterou Einstein dospeˇl ke sve´ rovnici 10.24 se dnes zda´ by´t naprosto neudrzˇitelna´. K realiteˇ kvanta energie sa´m Max Planck na konci sve´ nobelovske´ prˇedna´sˇky v roce 1918 uvedl: Co se stane s energiı´ fotonu pote´, co byl zcela vyza´rˇen? Sˇ´ırˇ´ı se vsˇemi smeˇry jako vlny v Huygensoveˇ teorii a zaujı´ma´ tak sta´le vı´ce prostoru a prˇitom se tlumı´? A nebo vyle´tne jako projektil v jednom smeˇru jako v Newtonoveˇ teorii? V prvnı´m prˇ´ıpadeˇ by kvantum nemohlo koncentrovat v jednom bodeˇ prostoru tolik energie, aby doka´zalo vyrazit elektron z atomu a v druhe´m by musel by´t obeˇtova´n hlavnı´ triumf Maxwellovy teorie ... nasˇe soucˇasne´ cha´pa´nı´ dobrˇe prozkoumany´ch interferencˇnı´ch jevu˚ – oba pro dnesˇnı´ teoretiky nevı´dane´ du˚sledky. Je rovneˇzˇ zajı´mave´, zˇe Einstein, tvu˚rce teorie relativity, va´hal s prˇipsa´nı´m hybnosti kvantu energie dlouhy´ch 12 let. Ze specia´lnı´ teorie relativity18 totizˇ plynou pro hybnost a energii cˇa´stice s (klidovou) hmotnostı´ m obecne´ vztahy mv

p=q

1−

v2 c2

,

mc2 E=q 2 1 − vc2

17

.

(10.27)

Citace v tomto cˇla´nku byly prˇevzaty z prˇ´ıspeˇvku Chy´la J.:Od Planckovy hypote´zy kvanta k Pauliho vylucˇovacı´mu principu. ve sbornı´ku projektu Otevrˇena´ veˇda z roku 2005. 18 Byla zverˇejneˇna v roce 1905 zhruba trˇi meˇsı´ce po zverˇejneˇnı´ Einsteinovy koncepce kvantova´nı´ energie elektromagneticke´ho za´rˇenı´.

160

10.3. Foton Podı´lem teˇchto rovnic zı´ska´me

Ev . (10.28) c2 Pro sveˇtelne´ cˇa´stice je v = c, takzˇe oznacˇ´ıme-li en jednotkovy´ vektor ve smeˇru sˇ´ırˇenı´, mu˚zˇeme zave´st hybnost fotonu vztahem E (10.29) p = en , c cozˇ pro E = ~ω da´va´ ~ω p = en = ~k en = ~k . (10.30) c Rozepisˇte si tyto vztahy pomocı´ frekvence f a vlnove´ de´lky λ. Oveˇrˇte od zacˇa´tku platnost vztahu

p=

p= Pokud vyja´drˇ´ıme energii z 10.27 takto " E 2 = c2

h λ

.

(10.31)

m2 v 2 m2 c2 m2 v 2 + − 2 2 2 1 − vc2 1 − vc2 1 − vc2

# ,

te´zˇ z 10.27 uzˇijeme vy´raz pro hybnost a sloucˇ´ıme druhy´ a trˇetı´ cˇlen, pak bude " # 2 2 2 m (c − v ) E 2 = c2 p2 + c2 −v 2

(10.32)

(10.33)

c2

a zı´skali jsme tak obecny´ a velmi uzˇitecˇny´ vy´raz E 2 = c2 p2 + m2 c4

,

(10.34)

ktery´ nerozlucˇneˇ spojuje energii a hybnost cˇa´stic. Z tohoto vztahu s pouzˇitı´m 10.29 pro foton vyply´va´, zˇe jeho (klidova´) hmotnost je nulova´ (m = 0).19 Shrneme-li vy´sˇe uvedene´, kvantova´nı´ elektromagneticke´ho za´rˇenı´ si lze prˇedstavit tak, zˇe na kazˇdou (monochromatickou) elektromagnetickou vlnu o frekvenci ν nesoucı´ celkovou energii E prˇipada´ n kvant energie, kde E n= . (10.35) hν Prˇitom ale nenı´ naprˇ´ıklad jasne´, jak si prˇedstavit rozdeˇlenı´ energie kulove´ vlny sˇ´ırˇ´ıcı´ se z bodove´ho zdroje. Na jednu stranu je tato vlna schopna interference, na druhou stranu se chova´ jako soubor oddeˇleny´ch „hrudek“ la´tky s jednoznacˇneˇ urcˇenou hybnostı´ (nejen velikostı´, ale i s urcˇity´m smeˇrem), kulova´ vlna totizˇ mu˚zˇe by´t natolik slaba´, zˇe se „do nı´ vejde“ jen jedine´ kvantum (=foton). Vypada´ to tedy tak, zˇe protozˇe fotony prˇena´sˇejı´ energii a protozˇe energie elektromagneticke´ho vlneˇnı´ v urcˇite´m mı´steˇ je u´meˇrna´ druhe´ mocnineˇ intenzity elektricke´ho pole v tomto mı´steˇ (viz diskuse 19

Musı´ to tak by´t, kdyzˇ se pohybuje rychlostı´ sveˇtla, jinak by dı´ky 10.27 musel mı´t nekonecˇnou hybnost i energii.

161

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA k poklesu intenzity se vzda´lenostı´ od zdroje na str. ??), bude do mı´sta s veˇtsˇ´ı hodnotou E dopadat vı´ce fotonu˚, nezˇ do mı´sta s mensˇ´ı E . Pokusme se tuto prˇedstavu zpracovat matematicky. Hustota energie EM pole je (viz 4.36 a 4.39) ρE = Zavedenı´m komplexnı´ funkce

¢ 1¡ 2 εE + µH 2 2 1 √ 2

.

√

def F = √ ( ε 0 E + i µ0 H )

bude ρ E = F ∗ · F = |F |2

.

Je-li ρN = dN/dV hustota cˇa´stic (tj. pocˇet cˇa´stic v krychlove´m metru), pak ρN dV je pocˇet cˇa´stic v objemove´m elementu dV . Velicˇina ρN dV d℘ = R ρN dV urcˇuje pravdeˇpodobnost toho, zˇe cˇa´stice bude nalezena v objemove´m elementu dV .20 V prˇ´ıpadeˇ monochromaticke´ elektromagneticke´ vlny je hustota fotonu˚ (pocˇet fotonu˚ v jednotce objemu) ρN =

ρE ~ω

.

Podle toho by pravdeˇpodobnost d℘ nalezenı´ fotonu v objemove´m elementu dV meˇla by´t |F |2 dV d℘ = R 2 |F | dV R Je-li |F |2 dV = κ2 , pak za´meˇnou F = κF 0 docı´lı´me toho, zˇe Z |F 0 |2 dV = 1 R Jiny´mi slovy, vhodnou volbou lze docı´lit toho, aby byl integra´l |F |2 dV roven jedne´. Tomuto pozˇadavku rˇ´ıka´me normova´nı´. Pro takto normovane´ elektromagneticke´ pole F (x, y, z) je pravdeˇpodobnost nalezenı´ fotonu v objemove´m elementu dV rozprostrˇene´m v male´m okolı´ bodu se sourˇadnicemi [x, y, z] da´na vy´razem d℘ = |F |2 dV Kvasnicova skripta) Konecˇnost celkove´ energie vyzˇaduje, aby byl integra´l Z |F |2 dV konecˇny´. 20

R

ρN dV je celkovy´ pocˇet cˇa´stic.

162

10.4. Comptonu˚v jev (Co na´m dovoluje libovolneˇ zveˇtsˇovat cˇi zmensˇovat vektory EM pole?) Einstein svy´m prˇ´ıstupem k odvozenı´ Planckova za´kona vypustil Dzˇina z la´hve – pak proti tomu bojoval – statisticky´ popis prˇ´ırody – nemohl uveˇrˇit, zˇe „Bu˚h hraje v kostky“. Planckem nastı´neˇny´ proble´m se v soucˇasnosti „rˇesˇ´ı“ zahalenı´m do ha´vu na´hody. Prˇedpokla´da´ se totizˇ, zˇe elektromagneticke´ pole je popsa´no spojity´mi (polnı´mi) komplexnı´mi funkcemi Ψ (r , t) (ktere´ se jen v jisty´ch specia´lnı´ch prˇ´ıpadech redukujı´ na zna´me´ polnı´ velicˇiny E (r , t) a B (r , t)), pravdeˇpodobnost nalezenı´ fotonu v mı´steˇ urcˇene´m polohovy´m vektorem r je v cˇase t da´na vy´razem Ψ ∗ (r , t)Ψ (r , t).21 Vsˇeobecneˇ je tento zvla´sˇtnı´ model v popisu prˇ´ırody velmi u´speˇsˇny´ a je proto vsˇeobecneˇ prˇijı´ma´n. Nicme´neˇ existuje mnoho vy´znamny´ch veˇdcu˚, ktery´m se toto rˇesˇenı´ nezda´ zcela uspokojive´ ... asto se v te´to souvislosti hovorˇ´ı o dvojake´ (dualisticke´) vlnoveˇ cˇa´sticove´ povaze sveˇtla a rˇ´ıka´ se, zˇe „sveˇtlo se cˇa´stecˇneˇ chova´ jako vlna a cˇa´stecˇneˇ jako cˇa´stice“. Tuto terminologii vsˇak nepovazˇuji za prˇ´ılisˇ vhodnou. Du˚vod, ktery´ bych asi nevyja´drˇil le´pe, popsal ve sve´ u´tle´, ale velmi peˇkne´ knı´zˇce [?] Daniel Styer:22 „Z hlediska kazˇdodennı´ho pohledu na sveˇt zna´me neˇkolik trˇ´ıd objektu˚: kulicˇky, kousky tmelu, vlnky na rybnı´ku, prˇ´ıbojove´ vlny v ocea´nu, mraky, tycˇe, bubliny atd. Pozˇadovat po objektech z mikrosveˇta aby zapadly do jedne´ nebo druhe´ z teˇchto kategoriı´ je naprosto scestne´. Je to jako kdyzˇ muzˇ narozeny´ a vychovany´ v Anglii, znajı´cı´ neˇkolik druhu˚ zvı´rˇat: koneˇ, kra´vy, prasata atd., cestuje do Afriky, uvidı´ hrocha a odmı´ta´ uznat, zˇe je to novy´ druh zvı´rˇete. Mı´sto toho zasta´va´ na´zor, zˇe zvı´rˇe je „v jiste´m smyslu jako ku˚nˇ a v jiste´m smyslu jako prase“. Spı´sˇe nezˇ rˇ´ıkat „foton se chova´ trochu jako vlna a trochu jako cˇa´stice“, radeˇji rˇ´ıka´m „foton se chova´ prˇesneˇ jako foton“ – toto chova´nı´ nenı´ vsˇedneˇ zna´me´ a tedy nemu˚zˇe na va´s pu˚sobit uspokojivy´m dojmem.“ Einstein: cely´ch teˇch padesa´t let prˇemy´sˇlenı´ nad fotonem ... zjisti prˇesneˇ Na´sledujı´cı´ prˇedeˇlej – bacha, intenzita el. pole nenı´ stavova´ funkce Podivna´ „dvojakost“ elektromagneticke´ho za´rˇenı´ se velmi zrˇetelneˇ projevuje i prˇi jeho rozptylu na elektronech, ktere´ byly poprve´ spra´vneˇ analyzova´ny Arthurem Holly Comptonem (1892-1962) a neza´visle Peterem Josephem Williamem Debyem (1884-1966).

10.4 Comptonu˚v jev Arthur H. Compton zkoumal v letech 1922-1923 spektra´lnı´ slozˇenı´ rentgenove´ho za´rˇenı´ po rozptylu na lehcˇ´ıch prvcı´ch (grafit). Touto sadou pokusu˚ prˇesveˇdcˇil zrˇejmeˇ nejveˇtsˇ´ı cˇa´st fyzika´lnı´ komunity o „realiteˇ“ sveˇtelny´ch kvant. V pokusech, jejichzˇ princip usporˇa´da´nı´ jsou na obr. ??? zjistil, zˇe v rozpty´leny´ch paprscı´ch jsou kromeˇ pu˚vodnı´ch paprsku˚ o vlnove´ de´lce λ i paprsky s vlnovou de´lkou Prˇesneˇji rˇecˇeno, urcˇuje se pravdeˇpodobnost nalezenı´ fotonu v infinitezima´lnı´m objemu dV obklopujı´cı´ho mı´sto r vy´razem Ψ ∗ (r , t)Ψ (r , t)dV . 22 Volneˇ prˇelozˇeno a aplikova´no na fotony mı´sto elektronu˚. 21

163

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA λ0 > λ. Obra´zek: Sche´ma Comptonova experimenta´lnı´ho usporˇa´da´nı´ V cˇem je proble´m? Podle Maxwellovy (vlnove´) teorie elektromagneticke´ho za´rˇenı´ spocˇ´ıva´ mechanismus rozptylu v rozkmita´nı´ elektronu˚ obsazˇeny´ch ve vzorku elektromagneticky´m polem dopadajı´cı´ vlny. Pokud na vzorek dopada´ rovinna´ elektromagneticka´ vlna, elektricky´ vektor te´to vlny pu˚sobı´ na elektron tak, zˇe jej donutı´ vykona´vat harmonicke´ kmity23 a v du˚sledku toho se elektron sta´va´ strˇedem kulove´ vlny, ktera´ prˇedstavuje vlastnı´ rozpty´lenou vlnu. Tato vlna ma´ stejny´ kmitocˇet jako kmitajı´cı´ elektron, ktery´ ale „naopla´tku“ kmita´ stejneˇ jako elektricke´ pole ve vlneˇ. Klasicka´ vlnova´ teorie tedy prˇedpovı´da´ nemeˇnnost frekvence rozpty´leny´ch elektromagneticky´ch vln.24 Compton prˇi sve´m teoreticke´m rˇesˇenı´ tohoto proble´mu vysˇel ze za´kona zachova´nı´ energie a za´kona zachova´nı´ hybnosti a pouzˇil je na sra´zˇku elektronu a fotonu zcela analogicky jako na sra´zˇku dvou kulecˇnı´kovy´ch koulı´. Pro sra´zˇku fotonu a elektronu mu˚zˇeme zapsat za´kon zachova´nı´ energie ve tvaru25 ~ω + me c2 = ~ω 0 +

p

p02 c2 + m2e c4

(10.36)

a za´kon zachova´nı´ hybnosti ve tvaru ~k + 0 = ~k 0 + p 0 ,

(10.37)

prˇitom necˇa´rkovane´ velicˇiny se vztahujı´ na dobu prˇed sra´zˇkou a cˇa´rkovane´ na dobu po sra´zˇce, p = |p | je velikost hybnosti elektronu a |k | = 2π/λ je velikost vlnove´ho vektoru prˇirˇazene´ho dopadajı´cı´mu fotonu. Obra´zek zna´zornˇujı´cı´ sra´zˇku fotonu a elektronu z hlediska hybnostı´. V za´vislosti na tom, co vlastneˇ chceme vyja´drˇit si vy´razy mu˚zˇeme prˇepsat pomocı´ kmitocˇtu˚ nebo pomocı´ vlnove´ de´lky. Pokusı´me se ze vztahu˚ 10.36 a 10.37 vyja´drˇit zmeˇnu u´hlove´ frekvence dopadajı´cı´ho za´rˇenı´, tj. chceme najı´t vyja´drˇenı´ ω 0 pomocı´ ω, a to v za´vislosti na u´hlu rozptylu za´rˇenı´ ϑ. Nejprve skala´rneˇ umocneˇme nejprve rovnici 10.37, zı´ska´me tak ~2 (k · k − 2k · k 0 + k 0 · k 0 ) = p 0 · p 0 , 23

(10.38)

Prˇi prˇesneˇjsˇ´ım rozboru bychom nesmeˇli zanedba´vat pu˚sobenı´ magneticke´ slozˇky vlny na pohybujı´cı´ se elektron. Nı´zˇe uvedene´ proble´my by se vsˇak stejneˇ nevyrˇesˇily. 24 Maxwellova teorie ma´ proble´my i s rozdeˇlenı´m intenzity rozpty´lene´ho za´rˇenı´ do jednotlivy´ch u´hlu˚ a dalsˇ´ı. 25 Pokud va´m deˇla´ proble´my vyjadrˇovat se v termı´nech u´hlove´ho kmitocˇtu a redukovane´ Planckovy konstanty, odvozenı´ si prˇepisˇte. ;-)

164

10.4. Comptonu˚v jev kterou prˇepı´sˇeme na ~2 (k 2 + k 02 − 2kk 0 cos ϑ) = p02 .

(10.39)

Nahrazenı´m k = ω/c a k 0 = ω 0 /c zı´ska´me vyja´drˇenı´ hybnosti elektronu po sra´zˇce p02 =

~2 2 (ω + ω 02 − 2ωω 0 ). c2

(10.40)

Nynı´ upravı´me rovnici 10.36 na ~(ω − ω 0 ) + me c2 =

p

p02 c2 + m2e c4 ,

(10.41)

umocnı´me ji ~2 (ω 2 + ω 02 − 2ωω 0 ) + 2~(ω − ω 0 )me c2 = p02 c2

(10.42)

a dosazenı´m za hybnost z prˇedchozı´ho a u´praveˇ zı´ska´me 2~2 ωω 0 (1 − cos ϑ) + 2~ω 0 me c2 = 2~ωme c2 .

(10.43)

Tato rovnice vede po konecˇne´m vyja´drˇenı´ na vy´raz pro u´hlovou frekvenci rozpty´lene´ho za´rˇenı´ v za´vislosti na u´hlu rozptylu a na pu˚vodnı´ frekvenci ω0 =

ω ~ω (1 me c2

1+

− cos ϑ)

.

(10.44)

Z tohoto vy´razu je patrne´, zˇe pro nizˇsˇ´ı frekvence, pro ktere´ je ~ω ¿ me c2 (cozˇ je podmı´nka na to, aby energie jednoho kvanta elektromagneticke´ho za´rˇenı´ byla o mnoho mensˇ´ı nezˇ je klidova´ energie elektronu), nebude docha´zet k podstatne´ zmeˇneˇ frekvence za´rˇenı´ (ω 0 ≈ ω) a prˇ´ıpad je podobny´ klasicke´mu rozptylu. Pro energie kvant, ktere´ jsou mnohem veˇtsˇ´ı nezˇ klidova´ energie elektronu (~ω À me c2 ) bude frekvence rozpty´lene´ho za´rˇenı´ (ϑ 6= 0) neza´visla´ na frekvenci dopadajı´cı´ho, protozˇe kdyzˇ ve jmenovateli vztahu 10.44 zanedba´me jednicˇku vu˚cˇi zbyle´mu vy´razu, ma´me ω0 =

me c2 /~ . 1 − cos ϑ

Chceme-li prˇ´ımo srovnat vy´sledky Comptonova pokusu s teoriı´, vyja´drˇ´ıme si z uvedeny´ch za´konu˚ zachova´nı´ 10.36 a 10.37 rozdı´l vlnovy´ch de´lek mezi dopadajı´cı´m za´rˇenı´m a rozpty´leny´m za´rˇenı´m (opeˇt uzˇijeme vyloucˇenı´ p 0 ). Po neˇkolika u´prava´ch tak zı´ska´me zajı´mavy´ vy´raz pro zmeˇnu vlnove´ de´lky λ0 − λ ≡ ∆λ =

h 2π~ 2 ϑ ϑ h (1 − cos ϕ) = 2 sin2 ≡ 2 sin . me c me c 2 me c 2

(10.45)

Cˇasto se tomto vy´razu pouzˇ´ıva´ oznacˇenı´ def

Λ=

2π~ h ≡ , me c me c 165

(10.46)

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA ktere´ definuje novou univerza´lnı´ konstantu zvanou Comptonova vlnova´ de´lka. Hodnota te´to konstanty pro elektron je prˇiblizˇneˇ 2, 42 · 10−12 m. Dnes se v teoreticky´ch u´vaha´ch cˇasteˇji uzˇ´ıva´ redukovana´ verze te´to konstanty Λ/2π = ~/me c. Posun vlnovy´ch de´lek prˇi rozptylu pak obvykle pı´sˇeme ∆λ = 2Λ sin2

ϑ 2

nebo

∆λ = Λ(1 − cos ϕ)

(10.47)

Z tohoto vztahu take´ vidı´me, zˇe posunutı´ ∆λ je nulove´ (minima´lnı´) pro nulovy´ u´hel rozptylu za´rˇenı´ a maxima´lnı´ pro rozptyl smeˇrem dozadu (2Λ). Je rovneˇzˇ videˇt, zˇe tento posun neza´visı´ na pu˚vodnı´ vlnove´ de´lce, cozˇ mimo jine´ umozˇnˇuje pochopit, procˇ byl Comptonu˚v jev poprve´ pozorova´n na rentgenove´m za´rˇenı´ a nikoli uzˇ prˇedtı´m na sveˇtelne´m cˇi ra´diove´m. Pro jeho dobrou „pozorovatelnost“ je totizˇ rozhodujı´cı´ pomeˇr posunu vlnovy´ch de´lek a samotne´ vlnove´ de´lky dopadajı´cı´ho za´rˇenı´, tj. velicˇina ∆λ/λ, cˇ´ım je tento pomeˇr mensˇ´ı, tı´m hu˚rˇe ze prˇirozeneˇ zkouma´. Zkuste si sami vypocˇ´ıtat tento pomeˇr pro ra´diove´ (∼ 100 m), mikrovlnne´ (∼ 1 mm), infracˇervene´ (∼ 1 µm), sveˇtelne´ (∼ 500 nm), ultrafialove´ (∼ 100 nm), rentgenove´ (∼ 1 nm) a gama (∼ 1 pm) za´rˇenı´. Vy´pocˇet dovoluje vysveˇtlit i za´vislost intenzity za´rˇenı´ rozpty´lene´ho s vlnovy´mi de´lkami λ0 > λ (viz obr. ???) a za´rˇenı´ rozpty´lene´ho s λ0 ≈ λ a vu˚bec vysveˇtlit, procˇ se v meˇrˇenı´ pro ru˚zne´ u´hly rozptylu objevujı´ i vlnove´ de´lky stejne´, jake´ ma´ dopadajı´cı´ za´rˇenı´. Pokud se svazek za´rˇenı´ rozptyluje na atomech s atomovy´m cˇ´ıslem Z, bude s rostoucı´m Z ru˚st pravdeˇpodobnost sra´zˇky dopadajı´cı´ho fotonu s neˇktery´m z elektronu˚ nacha´zejı´cı´m se hloubeˇji ve vnitrˇnı´ cˇa´sti atomove´ho obalu. Takovy´ elektron je silneˇji va´za´n nezˇ elektron v povrchove´ vrstveˇ, a proto je pravdeˇpodobneˇjsˇ´ı, zˇe spı´sˇe nezˇ aby na sra´zˇku reagoval jen samotny´ elektron, bude na ni reagovat cely´ atom. V takove´m prˇ´ıpadeˇ ve vztahu 10.45 nebude hmotnost elektronu me , ale hmotnostı´ cele´ho atomu. Bude proto pro energii dopadajı´cı´ho fotonu platit nerovnost ~ω ¿ matomu c2 , z nizˇ jizˇ plyne, zˇe se vlnova´ de´lka rozpty´lene´ho sveˇtla prakticky nezmeˇnı´. Z uvedene´ho je plyne, zˇe s rostoucı´m Z mu˚zˇeme ocˇeka´vat, zˇe podı´l intenzit rozpty´leny´ch za´rˇenı´ s posunutou a „neposunutou“ vlnovou de´lkou bude klesat.

10.5 Lasery – kvantove´ genera´tory sveˇtla 10.5.1

Stavba atomu˚

Za´hy po objevu elektronu (J. J. Thomson 1897) se uka´zalo jako velmi pravdeˇpodobne´, zˇe tato lehka´ cˇa´stice (te´meˇrˇ 2 000× lehcˇ´ı nezˇ nejlehcˇ´ı z prvku˚ vodı´k) bude nejspı´sˇ soucˇa´stı´ atomu˚, tvorˇ´ıcı´ch vsˇechny prvky. Matne´ prˇedstavy o strukturˇe atomu se o neˇco vyjasnily objevem atomove´ho ja´dra (E. Rutherford 1911) a velmi brzy pote´ se jako velmi plodna´ zacˇala prosazovat kvantova´ prˇedstava energiove´ho usporˇa´da´nı´ elektronove´ho obalu atomu (N. Bohr 1913). Pod „energiovy´m usporˇa´da´nı´m“ ma´me na mysli strukturu mozˇny´ch zmeˇn celkove´ energie elektronove´ho obalu a to, zˇe je kvantova´na neznamena´ nic jine´ho, nezˇ se jeho energie nemeˇnı´ spojiteˇ, ale po skocı´ch. Atomy ru˚zny´ch prvku˚ majı´ ru˚zne´ energiove´ hladiny. Usporˇa´da´nı´ hladin energie je pro dany´ prvek charakteristicke´, tj. vsˇechny atomy dane´ho 166

10.5. Lasery – kvantove´ genera´tory sveˇtla prvku majı´ stejnou strukturu hladin energiı´.26 Prˇedstavu o te´to strukturˇe si mu˚zˇete vytvorˇit pohledem na obra´zek 10.2, na ktere´m svisla´ osa znacˇ´ı celkovou energii atomu a vodorovne´ u´secˇky jednotlive´ energiove´ hladiny, mezi ktery´mi mu˚zˇe energie elektronove´ho obalu atomu prˇecha´zet (vodorovna´ osa nenı´, tj. de´lka u´secˇek je veˇcı´ konvence a graficke´ vy´hodnosti v na´sledujı´cı´ch u´vaha´ch a nema´ nic spolecˇne´ho s cˇ´ımkoli rea´lny´m).

Obra´zek 10.2: Kvantova´ struktura hladin elektronu Atom se (v neutra´lnı´m stavu) obvykle nacha´zı´ na nejnizˇsˇ´ı hladineˇ, ktere´ se rˇ´ıka´ za´kladnı´ hladina a o atomu pak rˇ´ıka´me, zˇe se nacha´zı´ v za´kladnı´m stavu. Vlivem vneˇjsˇ´ıho i vnitrˇnı´ho (tj. z ja´dra pocha´zejı´cı´ho) za´rˇenı´ nejru˚zneˇjsˇ´ıho druhu cˇi dı´ky sra´zˇka´m s ostatnı´mi atomy mu˚zˇe elektronovy´ obal naby´t skokem vysˇsˇ´ı energii, rˇ´ıka´me pak, zˇe je atom vybuzeny´ nebo take´ excitovany´. Na teˇchto vysˇsˇ´ıch hladina´ch nezu˚stane atom obvykle dlouho a navracı´ se zpeˇt do za´kladnı´ho stavu, prˇitom se musı´ zbavit prˇebytecˇne´ energie. Tento na´vrat mu˚zˇe probı´hat ru˚zny´m zpu˚sobem, ale pro na´s bude nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı metodou „atomove´ho zbavova´nı´ se energie“ zpu˚sob vyza´rˇenı´ fotonu˚. Oznacˇme energii za´kladnı´ho stavu atomu (prˇesneˇji atomove´ho obalu) Eg (g od slova ground) a energii, na kterou je atom vybuzen (excitova´n) Ee , zı´ska´-li atom energii Ee − Eg , stane se vybuzeny´m a pomocı´ elektromagneticke´ho za´rˇenı´ se jı´ mu˚zˇe zbavit – mu˚zˇe k tomu pouzˇ´ıt bud’prˇ´ımy´ zpa´tecˇnı´ prˇeskok z Ee na Eg , prˇitom vznikne kvantum elektromagneticke´ energie (=foton) s frekvencı´ Ee − E g Ee − Eg ν= resp. ω = . (10.48) h ~ Atom se ale mu˚zˇe zbavit energie take´ dvojity´m prˇeskokem, tj. celkova´ energie jeho obalu mu˚zˇe nejprve klesnout na neˇjakou mezilehlou energiovou hladinu Em , pro kterou platı´ Ee > Em > Eg a azˇ potom skocˇit na za´kladnı´ hladinu. Samozrˇejmeˇ je mozˇny´ i trojity´ prˇeskok atd. (viz obr. 10.3)27 26 ˇ

St’ouralove´ jisteˇ mohou namı´tnout, zˇe existujı´ ru˚zne´ izotopy dane´ho prvku a mezi jejich soustavou energiovy´ch hladin jsou odlisˇnosti, i kdyzˇ jen drobne´. Podrobneˇjsˇ´ı informace se o strukturˇe atomu a jejı´m popisu dozvı´te v prˇedmeˇtu Atomova´ fyzika. 27 Pozor, nenı´ vhodne´ si onen „prˇeskok“ prˇedstavovat jako jakousi prostorovou zmeˇnu z jednoho mı´sta na druhe´, ale jen jako zmeˇnu v energii. Ska´cˇe se tedy pouze po hladina´ch energie.

167

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA

Obra´zek 10.3: Jednokrokovy´ a dvoukrokovy´ prˇeskok prˇi deexcitaci atomu. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe je atom pohlcenı´m fotonu excitova´n, rˇ´ıka´me, zˇe nastala absorpce (fotonu). V prˇ´ıpadeˇ, zˇe atom ztratı´ cˇa´st sve´ energie (deexcitace atomu) vyza´rˇenı´m fotonu, rˇ´ıka´me, zˇe nastala emise fotonu.

Obra´zek 10.4: Atom mu˚zˇe naprˇ´ıklad pu˚sobenı´m za´rˇenı´ s vhodnou frekvencı´ zmeˇnit svou energii – nasta´va´ absorpce za´rˇenı´ (fotonu˚).

10.5.2

Einsteinova analy´za Planckova za´kona

Planck svu˚j za´kon vyzarˇova´nı´ cˇerne´ho teˇlesa odvodil tak, zˇe uvazˇoval steˇny dutiny simulujı´cı´ cˇerne´ teˇleso slozˇene´ z elektricky´ch oscila´toru˚, ktere´ emitovaly elektromagneticke´ za´rˇenı´. Toto za´rˇenı´ se hromadilo v dutineˇ, dokud nedosˇlo k rovnova´ze mezi energiı´, kterou steˇny dutiny za sekundu vysı´laly a energiı´, kterou zpeˇt prˇijı´maly. Rˇekli jsme si, zˇe odvozenı´ spra´vne´ho vztahu pro spektra´lnı´ hustotu intenzity vyzarˇova´nı´ ~ω ω2 0 ¡ ~ω ¢ . (10.49) Meω = 2 2 2π c exp κT − 1 168

10.5. Lasery – kvantove´ genera´tory sveˇtla prˇedpokla´dalo, zˇe oscila´tory vysı´lajı´ elektromagnetickou energii po kvantech o velikosti ~ω. Planckovo odvozenı´ jeho spra´vne´ho za´kona z roku 1900 bylo nekonzistentnı´ (z cˇa´sti klasicke´ a zcˇa´sti nikoli), ale s du˚sledneˇ kvantovy´m odvozenı´m, ktere´ uvazˇuje rovnova´zˇne´ za´rˇenı´ v dutineˇ jako fotonovy´ plyn a fotony cha´pe jako sve´ho druhu nerozlisˇitelne´ cˇa´stice, prˇisˇel azˇ v roce 1924 indicky´ (benga´lsky´) fyzik Satyendra Nath Bose. Mezitı´m Einstein v roce 1917 zajı´mavou u´vahou prˇisˇel na dalsˇ´ı podrobnosti interakce mezi la´tkou a za´rˇenı´m, kdyzˇ prˇedpokla´dal, zˇe Plancku˚v vy´sledek je platny´. Uvazˇoval zhruba takto: Meˇjme dveˇ z mnoha energiovy´ch hladin atomu, naprˇ´ıklad g-tou a e-tou (Eg < Ee ). Kdyzˇ na atom s teˇmito hladinami dopada´ elektromagneticke´ za´rˇenı´ (=proud fotonu˚) s vhodny´m kmitocˇtem, mu˚zˇe by´t pohlcen (absorbova´n) foton a atom prˇejde na z nizˇsˇ´ı na vysˇsˇ´ı hladinu, rˇ´ıka´me, zˇe dosˇlo k absorpci. Pravdeˇpodobnost, zˇe se to stane za´visı´ nejen na samotny´ch hladina´ch (pro jine´ hladiny by byla jina´), ale take´ na tom, kolik je tam za´rˇenı´ (pocˇet fotonu˚), tj. na hustoteˇ energie za´rˇenı´ ρE (viz vztah 4.36 a na´sledujı´cı´). Samozrˇejmeˇ ale, zˇe za´lezˇ´ı na prˇ´ıtomnosti „teˇch spra´vny´ch“ fotonu˚, tj. fotonu˚ se spra´vny´m kmitocˇtem, proto tato pravdeˇpodobnost nebude u´meˇrna´ samotne´ hustoteˇ energie za´rˇenı´, ale spektra´lnı´ hustoteˇ energie ρE (ω) (vynecha´va´me pro strucˇnost index „0“, ktery´ vyznacˇuje prˇ´ıslusˇnost k cˇerne´mu teˇlesu).28 Mezi pravdeˇpodobnostı´ absorpce a spektra´lnı´ hustotou energie za´rˇenı´ prˇedpokla´dal Einstein jednoduchou prˇ´ımou u´meˇrnost a konstantu u´meˇrnosti oznacˇil Bge .

Obra´zek 10.5: Na pocˇa´tku se atom, na ktery´ dopada´ za´rˇenı´ s vhodnou frekvencı´, nacha´zı´ na za´kladnı´ Obra´zek 10.6: Foton je absorbova´n a energie hladineˇ energie. atomu se skokem zvy´sˇila. O pravdeˇpodobnosti vyza´rˇenı´ (emise) fotonu prˇi prˇechodu z hladiny Ee na hladinu Eg Einstein zjistil (aby dosa´hl konecˇne´ho souhlasu s Planckovy´m vzorcem), zˇe se musı´ skla´dat ze soucˇtu dvou cˇlenu˚. Prvnı´ cˇlen bude odpovı´dat pravdeˇpodobnosti emise „i za u´plne´ tmy“, to znamena´, zˇe existuje jista´ pravdeˇpodobnost, zˇe excitovany´ elektronovy´ obal samovolneˇ ztratı´ energii vyza´rˇenı´m elektromagneticke´ho kvanta a prˇeskocˇ´ı z e-hladiny na g-hladinu. Tento proces nazy´va´me sponta´nnı´ emise. Pro danou dvojici 28

Spra´vneˇ by se nejspı´sˇ meˇlo rˇ´ıkat spektra´lnı´ hustota hustoty energie, protozˇe jde o energii obsazˇenou v jednotce objemu (to je ta obycˇejna´ hustota) a navı´c v jednotkove´m intervalu (u´hlovy´ch) frekvencı´ (to je ta spektra´lnı´ hustota), takzˇe ve frekvencˇnı´m intervalu hω, ω + dωi bude v male´m objemu dV dutiny obsazˇena energie za´rˇenı´ dE(ω) = ρE (ω)dωdV .

169

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA hladin opeˇt prˇedpokla´dal, zˇe pravdeˇpodobnost sponta´nnı´ho prˇechodu mezi nimi je konstantnı´, neza´visla´ na prˇ´ıtomnosti elektromagneticke´ho pole, oznacˇme ji Aeg . Ukazuje se vsˇak, zˇe pravdeˇpodobnost emise pro dveˇ hladiny se, pu˚sobenı´m za´rˇenı´ o stejne´ frekvenci jakou hladina g sama ra´da absorbuje aby se dostala na e, zvysˇuje. Tato dodatecˇna´ pravdeˇpodobnost bude opeˇt u´meˇrna´ hustoteˇ energie za´rˇenı´ prˇ´ıtomne´ho v dutineˇ (konstantu u´meˇrnosti oznacˇ´ıme Beg . Tento deˇj, kdy dopadajı´cı´ za´rˇenı´ (fotony) budı´ dalsˇ´ı za´rˇenı´ se stejny´mi vlastnostmi, nazy´va´me indukovana´ emise nebo take´ stimulovana´ emise. Pravdeˇpodobnost prˇeskoku z hladiny Ee na hladinu Eg doprova´zene´ho vyza´rˇenı´m fotonu o energii ~ω = Ee − Eg je tak u´meˇrna´ soucˇtu Aeg + Beg ρE (ω).

Obra´zek 10.8: Foton dopadajı´cı´ na atom indukuje jeho sponta´nnı´ prˇechod z excitovane´ hladiny na Obra´zek 10.7: Na pocˇa´tku se atom, na ktery´ dopada´ hladinu za´kladnı´ a prˇitom se vyza´rˇ´ı dalsˇ´ı foton s za´rˇenı´ s vhodnou frekvencı´, nacha´zı´ na excitovane´ velmi blı´zky´mi vlastnostmi jako meˇl ten dopadajı´cı´. hladineˇ energie. Je-li prˇi teploteˇ T usta´lena rovnova´ha, bude mı´t Ng atomu˚ v dutineˇ energii elektronove´ho obalu Eg a Ne atomu˚ energii Ee , prˇitom pocˇty teˇchto atomu˚ jsou u´meˇrne´ cˇlenu e−Eg /κT

resp.

e−Ee /κT

.

Celkovy´ pocˇet atomu˚, ktere´ za jednotku cˇasu prˇecha´zejı´ z energie Eg na Ee je tak u´meˇrny´ vy´razu Bge ρE (ω)e−Eg /κT

.

(10.50)

Naproti tomu celkovy´ pocˇet atomu˚, ktere´ za jednotku cˇasu prˇecha´zejı´ zpeˇt z hladiny Ee na hladinu Eg , bude u´meˇrny´ vy´razu (Aeg + Beg ρE (ω))e−Ee /κT . (10.51) Dynamicka´ rovnova´ha pozˇaduje, aby pocˇet atomu˚ v dutineˇ prˇecha´zejı´cı´ch z g na e byl stejny´ jako pocˇet atomu˚ prˇecha´zejı´cı´ch z e na g, tak se zachova´va´ pocˇet atomu˚ na kazˇde´ hladineˇ, jak ma´ v rovnova´ze by´t. Tento pozˇadavek vyjadrˇuje rovnost (Aeg + Beg ρE (ω))e−Ee /κT = Bge ρE (ω)e−Eg /κT 170

.

(10.52)

10.5. Lasery – kvantove´ genera´tory sveˇtla Z te´to rovnice u´pravou plyne Aeg + Beg ρE (ω) = Bge ρE (ω)eEe −Eg /κT

.

(10.53)

Vyja´drˇenı´m spektra´lnı´ hustoty energie zı´ska´me ρE (ω) =

Bge

Aeg E −E e g /κT e

− Beg

.

(10.54)

Abychom mohli srovnat tento vy´raz s Planckovy´m za´konem 10.49, musı´me jesˇteˇ najı´t vztah mezi spektra´lnı´ hustotou elektromagneticke´ energie v dutineˇ a spektra´lnı´ hustotou intenzity vyzarˇova´nı´ Me . Pro nasˇe u´cˇely nenı´ nutne´ prˇesne´ odvozenı´ tohoto vztahu, stacˇ´ı si jen uveˇdomit, zˇe jsou si tyto velicˇiny prˇ´ımo u´meˇrne´. Du˚vod veˇzı´ v tom, zˇe Me u´zce souvisı´ s tokem energie skrze jednotkovou plosˇku, tj. souvisı´ s hustotou toku energie (Poyntingu˚v vektor), a ze vztahu 4.40 vı´me, zˇe pro velikost tohoto vektoru platı´ S = cρE , kde c je rychlost sveˇtla (v dutineˇ je vakuum). Snad je jizˇ prˇijatelne´, zˇe Me ∼ ρE .29 Suma suma´rum, meˇla by platit i u´meˇrnost Aeg /Bge Beg /Bge exp(

Ee −Eg ) κT

−1

∼

exp

ω3 ¡ ~ω ¢ κT

−1

.

(10.55)

Prˇedpokla´da´me-li, zˇe se v dutineˇ pro kazˇdou frekvenci naleznou vhodne´ dveˇ hladiny energie tak, zˇe prˇ´ıslusˇne´ fotony budou mı´t energii ~ω = Ee − Eg , je z rovnice 10.55 videˇt, zˇe pro koeficienty absorpce a stimulovane´ emise platı´ Bge = Beg a s nimi je sva´za´na u´meˇrnostı´ i konstanta pro sponta´nnı´ emisi Aeg ∼ ω 3 Beg

.

Vy´sˇe uvedene´ vztahy rˇ´ıkajı´, zˇe 1) pravdeˇpodobnost absorpce a pravdeˇpodobnost stimulovane´ emise jsou stejne´ a 2) pravdeˇpodobnost sponta´nnı´ emise se zveˇtsˇuje u´meˇrneˇ se zveˇtsˇujı´cı´ se schopnostı´ stimulovane´ emise. Tato u´meˇrnost vsˇak nenı´ prˇ´ıma´, sponta´nnı´ emise roste take´ se trˇetı´ mocninou frekvence, tj. pro „vysoke´ hladiny“ je mnohem pravdeˇpodobneˇjsˇ´ı, zˇe vyza´rˇ´ı foton sponta´nneˇ nezˇ zˇe ho vyza´rˇ´ı stimulovaneˇ. Existence stimulovane´ emise nasˇla zajı´mave´ uplatneˇnı´ v konstrukci laseru˚ (jak uvidı´me, pra´veˇ poslednı´ fakt velmi znesnadnˇuje konstrukci rentgenovy´ch laseru˚).

10.5.3

Principy laseru˚

Strucˇneˇ rˇecˇeno je laser jednı´m z kvantovy´ch genera´toru˚ elektromagneticke´ho za´rˇenı´, ktere´ slouzˇ´ı ke generaci cˇi zesı´lenı´ za´rˇenı´ pomocı´ stimulovane´ emise na kvantovy´ch prˇechodech v atomech, molekula´ch, 29

Dı´ky smeˇrovosti toku energie a izotropii za´rˇenı´ v dutineˇ lze prˇesneˇjsˇ´ımi u´vahami doka´zat, zˇe platı´ Me = 4c ρE .

171

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA iontech nebo jiny´ch kvantovy´ch syste´mech. Tato zarˇ´ızenı´ se pouzˇ´ıvajı´ v sˇiroke´m rozsahu elektromagneticke´ho spektra, od ra´diovy´ch frekvencı´, prˇes mikrovlnne´ (masery), opticke´ (lasery) azˇ po rentgenove´. Samotne´ slovo „laser“ vzniklo jako akronym z anglicke´ho Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation – zesı´lenı´ sveˇtla pomocı´ stimulovane´ emise za´rˇenı´.30 Prvnı´ laser (rubı´novy´) vyrobil Theodore Harold Maiman v roce 1960.31 Za´sluhu na teorii, ktera´ podrobneˇ vysveˇtlila cˇinnost kvantovy´ch genera´toru˚ elektromagneticke´ho za´rˇenı´ majı´ fyzikove´ z tehdejsˇ´ıho Soveˇtske´ho svazu Nikolaj Gennadijevicˇ Basov a Alexandr Michajlovicˇ Prochorov a americky´ fyzik Charles Hard Townes, kterˇ´ı za ni zı´skali v roce 1964 Nobelovu cenu. Princip cˇinnosti laseru˚ spocˇ´ıva´ v na´sledujı´cı´m: Chceme-li naprˇ´ıklad, aby laser vyzarˇoval sveˇtlo na frekvenci ν = ω/2π,32 musı´me nale´zt takove´ prostrˇedı´ (pracovnı´ la´tku), jehozˇ energie jsou kvantovane´ a mezi teˇmito energiemi jsou dveˇ, pro ktere´ platı´ E2 − E1 = hν. Protozˇe v tepelne´ rovnova´ze bude v du˚sledku platnosti Boltzmannovy statistiky vzˇdy vysˇsˇ´ı pocˇet N1 atomu˚ (cˇi molekul) prostrˇedı´, ktere´ majı´ mensˇ´ı energii nezˇ pocˇet N2 atomu˚, ktere´ majı´ energii veˇtsˇ´ı,33 musı´me vymyslet (netepelny´) zpu˚sob, jak dosa´hnout toho, aby veˇtsˇina atomu˚ prˇesˇla na vysˇsˇ´ı energiovou hladinu (rˇ´ıka´me, zˇe musı´me dosa´hnout inverze populace). Toto je nutne´ proto, aby prˇevla´dala emise nad absorpcı´. Umı´stı´me-li pracovnı´ la´tku mezi dveˇ zrcadla, jedno jako dokonaly´ odrazˇecˇ a druhe´ polopropustne´ – vytvorˇ´ı se tak rezona´tor (toto zarˇ´ızenı´ nazy´va´me Fabryho-Perotu˚v rezona´tor). Tı´m se zavede zpeˇtna´ vazba – cˇa´st sveˇtelne´ energie se vzˇdy vracı´ pro dalsˇ´ı stimulovanou emisi. Pro konstrukci laseru je tedy du˚lezˇite´ 1) aktivnı´ prostrˇedı´, 2) Fabry-Perotu˚v rezona´tor ???, 3) zdroj energie pro inverzi populace. Co je vlastneˇ na za´rˇenı´ vycha´zejı´cı´m z laseru tak u´zˇasne´? Podı´vejme se na charakteristiku vycha´zejı´cı´ho svazku. Za´rˇenı´ vycha´zejı´cı´ z laserove´ho zarˇ´ızenı´ 1. ma´ vysoky´ stupenˇ koherence, 2. je vysoce monochromaticke´ (resp. monofrekvencˇnı´), protozˇe E2 − E 1 . h To, zˇe laserove´ za´rˇenı´ je „jen“ vysoce monochromaticke´ a ne u´plneˇ monochromaticke´ mu˚zˇeme vysveˇtlit jaky´msi „rozmaza´nı´m“ hladin energie elektronovy´ch obalu˚, tj. tı´m, zˇe tyto hladiny nemajı´ prˇesneˇ urcˇenou energii a tudı´zˇ ani prˇechody mezi nimi nemohou by´t tak ostre´ (nulova´ spektra´lnı´ sˇ´ırˇka). Naprˇ´ıklad pro laser operujı´cı´ na vlnove´ de´lce λ = 600 nm = 6·10−7 m (cˇervene´ 3·108 1 15 Hz je spektra´lnı´ sˇ´ırˇka ∆ν ∼ 103 − 104 Hz sveˇtlo) ν = λc = 6·10 −7 = 2 · 10 ν=

30

Slovo „maser“, ktere´ mimochodem vzniklo drˇ´ıve nezˇ slovo laser, vznikne akronymem stejne´ho vyja´drˇenı´ azˇ na za´meˇnu prvnı´ho slovı´cˇka Light za Microwave. 31 Jizˇ ale prˇedtı´m byly vyrobene´ masery. 32 Zvykejte si na vsˇechno:-) 33 µ ¶ N2 E2 − E1 ∼ exp − N1 κT

172

10.5. Lasery – kvantove´ genera´tory sveˇtla

Obra´zek 10.9: Princip konstrukce laseru 3. je linea´rneˇ polarizovane´ (tj. polarizovane´ v jedne´ rovineˇ) (viz obra´zek lin. polarizovane´ho sveˇtla ???) 4. je ma´lo rozbı´have´ (ma´lo divergentnı´).

10.5.4

Rubı´novy´ laser

V krystalu krystalu rubı´nu, jehozˇ za´kladnı´ mrˇ´ızˇku tvorˇ´ı korund (Al2 O3 ), jsou neˇktere´ atomy hlinı´ku nahrazeny ionty Cr3+ (zhruba v mnozˇstvı´ 0,05%), proto ma´ cˇervenou barvu. Zjednodusˇene´ vysveˇtlenı´ principu cˇinnosti rubı´nove´ho laseru je na´sledujı´cı´: V energiovy´ch hladina´ch iontu˚ chromu existujı´ (pro na´s) trˇi vy´znamne´, oznacˇme je E1 , E2 a E3 (viz obr. 10.10). Deexcitace iontu˚ z hladiny energie E3 na E1 da´va´ vznik fotonu˚m odpovı´dajı´cı´m modre´mu sveˇtlu a deexcitace z E2 na E1 da´va´ vznik sveˇtlu cˇervene´mu (694,3 nm). Protozˇe rubı´n je schopen silneˇ absorbovat modre´ sveˇtlo, budeme-li ho jı´m ozarˇovat (naprˇ. xenonovou nebo rtut’ovou vy´bojkou), budou ionty chromu prˇecha´zet na vysˇsˇ´ı hladiny energie (E1 → E3 ). Tam majı´ velmi kra´tkou dobu zˇivota, cozˇ je strˇednı´ doba, po kterou ionty „vydrzˇ´ı“ by´t v excitovane´m stavu, a pak samovolneˇ prˇecha´zı´ neza´rˇivy´m prˇechodem na hladinu E2 , kde je doba zˇivota delsˇ´ı (tzv. 173

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA

Obra´zek 10.10: Obra´zek energiovy´ch hladin v rubı´nu metastabilnı´ hladina) – takovy´mto zpu˚sobem (tzv. opticke´ cˇerpa´nı´) vznika´ dostatecˇny´ pocˇet iontu˚ na vysˇsˇ´ı hladineˇ, nasta´va´ inverze populace. Prˇi sponta´nnı´ emisi z hladiny E2 na hladinu za´kladnı´ E1 vznikajı´ fotony cˇervene´ho sveˇtla, ktere´ budı´ (indukujı´) stimulovane´ za´rˇive´ prˇechody (stimulovanou emisi) – vznika´ tak koherentnı´ za´rˇenı´ s vlnovou de´lkou a s takovy´mi vlastnostmi jake´ majı´ indukujı´cı´ (sponta´nneˇ emitovane´) fotony.

Obra´zek 10.11: Indukujı´cı´ foton

10.5.5

Dalsˇ´ı typy laseru˚

1. Plynovy´ laser: Skla´da´ se z pyrexove´ nebo krˇemenne´ trubice naplneˇne´ vhodny´m plynem (CO2 , inertnı´ plyny) a prˇipojene´ na vysoke´ napeˇtı´ (∼ kV). Je-li trubice naplneˇna He a Ne, vytva´rˇ´ı se vy´boj prˇi snı´zˇene´m tlaku a docha´zı´ tak k tvorbeˇ a pohybu iontu˚ He, ktere´ pak nara´zˇ´ı na atomy Ne. Nasta´vajı´ nepruzˇne´ sra´zˇky, prˇi ktery´ch ionty prˇeda´vajı´ energii atomu˚m. Atomy Ne se na´sledneˇ dosta´vajı´ do excitovane´ho stavu a tı´m se u nich vytva´rˇ´ı inverze populace. 174

10.5. Lasery – kvantove´ genera´tory sveˇtla

Obra´zek 10.12: Indukovana´ emise 2. Molekulovy´ laser: CO2 + N2 + He – tento laser je velmi vy´konny´. 3. Chemicke´ lasery: Jsou to plynove´ s opticky´m cˇerpa´nı´m pomocı´ chemicke´ reakce. 4. Polovodicˇove´ lasery: Jsou vy´hodne´ zejme´na dı´ky tomu, zˇe mohou pracovat v sˇiroke´m rozmezı´ vlnovy´ch de´lek a zˇe u nich lze dosa´hnout vysoke´ u´cˇinnosti blı´zˇ´ıcı´ se azˇ 100 %.34

10.5.6 Polovodicˇove´ lasery Struktura energiovy´ch hladin polovodicˇu˚ Podobneˇ jako u jednoho atomu vznikajı´ energiove´ hladiny prˇ´ıslusˇne´ jeho elektronove´mu obalu, prˇ´ıslusˇ´ı struktura energiovy´ch hladin i krystalove´ mrˇ´ızˇi, kde jsou atomy pravidelneˇ usporˇa´da´ny relativneˇ blı´zko sebe (a tedy se silneˇ ovlivnˇujı´). V cele´m objemu krystalu mohou existovat elektrony, ktere´ jsou „sdı´lene´“ vsˇemi atomy – tyto elektrony nejsou va´za´ny k jednotlivy´m ja´dru˚m sedı´cı´m v uzlech mrˇ´ızˇe, ale jsou schopne´ pohybu po cele´m krystalu. Na rozdı´l od energiove´ struktury samostatne´ho atomu nevznikajı´ jednoduche´ hladiny oddeˇlene´ oblastmi se zaka´zanou energiı´, ale spı´sˇe pa´sy energiı´, do ktery´ch se mohou tyto sdı´lene´ elektrony dosta´vat. Tyto energiove´ pa´sy jsou tvorˇeny husteˇ usporˇa´dany´mi jednoduchy´mi hladinami energie a jsou opeˇt oddeˇlene´ oblastmi, jejichzˇ energii sdı´lene´ elektrony nikdy naby´t nemohou (viz obr. 10.13). Pouzˇijeme-li zjednodusˇenou prˇedstavu, mu˚zˇeme si myslet, zˇe existujı´ hladiny energie podobne´ dra´tu˚m vysoke´ho napeˇtı´ usporˇa´dany´m nad sebou, na ktere´ se skla´dajı´ (sdı´lene´) elektrony podobneˇ jako vrabci. Na kazˇde´m dra´tu vsˇak mu˚zˇe by´t pouze omezeny´ pocˇet vrabcu˚ a stejneˇ tak kazˇda´ energiova´ hladina mu˚zˇe by´t „osazena“ omezeny´m pocˇtem elektronu˚ (Pauliho vylucˇovacı´ princip). Prˇi nı´zky´ch teplota´ch (prˇesneˇ prˇi 0 K) naby´vajı´ sdı´lene´ elektrony nejnizˇsˇ´ıch energiı´ (vrabci si sedajı´ na nejnizˇsˇ´ı dra´ty), tj. jsou 34

Prvnı´ polovodicˇovy´ laser slozˇeny´ z Ga a As byl spusˇteˇn jizˇ v roce 1962.

175

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA

Obra´zek 10.13: Struktura energiovy´ch hladin krystalu zaplneˇny nejnizˇsˇ´ı pa´sy. U polovodicˇu˚ je sdı´leny´mi elektrony zcela zaplneˇn neˇjaky´ pa´s (vrabci zcela zaplnili neˇkolik dra´tu˚), takzˇe aby mohli by´t elektrony excitova´ny, musı´ by´t doda´na pomeˇrneˇ velka´ energie, aby se prˇenesly prˇes zaka´zanou oblast do dalsˇ´ıho pa´su. V tomto „volne´m“ pa´su lze pak mezi nahusto nasa´zeny´mi hladinami prˇeskakovat snadno. Poslednı´mu zcela obsazene´mu pa´su energiı´ rˇ´ıka´me u polovodicˇu˚ valencˇnı´ a nejblizˇsˇ´ımu vysˇsˇ´ımu pa´s vodivostnı´. Energii k prˇeskoku mu˚zˇe doda´vat zdroj tepla nebo naprˇ´ıklad vneˇjsˇ´ı pole (prˇilozˇene´ napeˇtı´) – bude-li napeˇtı´ dostatecˇneˇ velke´, zı´skajı´ elektrony z valencˇnı´ho pa´su dostatek energie na prˇeskok zaka´zane´ oblasti, pokud vsˇak uzˇ, naprˇ´ıklad dı´ky tepelne´ energii, ve vodivostnı´m pa´su neˇktere´ elektrony jsou, stacˇ´ı jen velmi male´ napeˇtı´, aby elektrony mohly prˇeskakovat uvnitrˇ pa´su z jedne´ hladiny na druhou a ve´st tak elektricky´ proud. Prˇi prˇeskoku elektronu do vodivostnı´ho pa´su zu˚stane ve valencˇnı´m pa´su volne´ mı´sto, ktere´ se efektivneˇ chova´ jako cˇa´stice s kladny´m na´bojem – dı´ra, hovorˇ´ıme tak o vzniku pa´ru elektron-dı´ra (vrabec ze zaplneˇne´ho dra´tu skocˇ´ı na vysˇsˇ´ı dra´t a po neˇm zu˚stane volne´ mı´sto). Stejneˇ jako elektrony ve vodivostnı´m pa´su, mohou i dı´ry v pa´su valencˇnı´m ve´st elektricky´ proud (je-li na jednom konci dra´tu zrnı´ (napeˇtı´), prˇesouvajı´ se vrabci prˇirozeneˇ blı´zˇe k neˇmu a dı´ra mezi nimi se pohybuje opacˇny´m smeˇrem). Pokud na uvolneˇne´ mı´sto (dı´ru) spadne elektron z vodivostnı´ho pa´su, rˇ´ıka´me, zˇe nastala rekombinace elektronu a dı´ry.

Laserovy´ efekt u polovodicˇu˚ Jak uzˇ bylo uvedeno, k prˇeskoku elektronu z valencˇnı´ho do vodivostnı´ho pa´su mu˚zˇe dojı´t nejen vlivem tepelny´ch kmitu˚ mrˇ´ızˇe, ale mu˚zˇe ho vyvolat i jiny´ vneˇjsˇ´ı vliv. Uvazˇujme o ozarˇova´nı´ polovodicˇe elektromagneticky´m za´rˇenı´m – proudem fotonu˚ (at’ uzˇ je to cokoli). Je-li energie fotonu veˇtsˇ´ı nezˇ sˇ´ırˇka zaka´zane´ho pa´su (hν > ∆E), dojde prˇi jeho pohlcenı´ – absorpci – ke vzniku pa´ru elektron-dı´ra. Soucˇasneˇ s generacı´ tohoto pa´ru mu˚zˇe docha´zet i k opacˇne´mu procesu, k „seskakova´nı´“ elektronu˚ zpeˇt 176

10.5. Lasery – kvantove´ genera´tory sveˇtla do valencˇnı´ho pa´su, a tedy k rekombinaci elektronu˚ a deˇr prˇi uvolneˇnı´ energie (nemusı´ by´t, ale mu˚zˇe, ve formeˇ sveˇtla). Kromeˇ samovolne´ rekombinace vsˇak mu˚zˇe docha´zet i k vynucene´ rekombinaci vlivem sveˇtelny´ch kvant, kdyzˇ energie fotonu je blı´zka´ rozdı´lu energiı´ elektronu˚ a dı´ry. To znamena´, zˇe za urcˇity´ch podmı´nek lze v polovodicˇi zesilovat a generovat sveˇtlo. V tepelne´ rovnova´ze je u stropu valencˇnı´ho pa´su vı´ce elektronu˚ nezˇ deˇr (viz obr. 10.14). Prˇi osveˇtlenı´ pak prˇevla´da´ pocˇet absorpcı´ nad pocˇtem vynuceny´ch emisı´ a polovodicˇ tak pohlcuje sveˇtlo.

Obra´zek 10.14: Obsazenı´ energiovy´ch pa´su˚ polovodicˇe v tepelne´ rovnova´ze

K tomu, abychom mohli vyuzˇ´ıt jevu indukovane´ emise musı´me porusˇit tepelnou rovnova´hu polovodicˇe – musı´me husteˇ zaplnit oblast u dna vodivostnı´ho pa´su elektrony a oblast u stropu valencˇnı´ho pa´su zhusta deˇrami. Tato inverze populace zpu˚sobı´, zˇe prˇi dopadu fotonu na polovodicˇ bude veˇtsˇ´ı pravdeˇpodobnost, zˇe nastane vynucena´ rekombinace nezˇ absorpce. Tı´m tedy poroste pocˇet fotonu˚ a dojde k zesı´lenı´ prima´rnı´ho svazku. V cˇisty´ch polovodicˇ´ıch se obtı´zˇneˇ dosahuje inverze populace. Daleko snadneˇji se toho dosahuje u tzv. prˇ´ımeˇsovy´ch polovodicˇu˚, cozˇ jsou polovodicˇe, do ktery´ch byly v mnozˇstvı´ mensˇ´ım nezˇ male´m :-) prˇida´ny jine´ la´tky (uved’ prˇ´ıklad koncentrace, tusˇ´ım 1:1 000 000???). Tyto prˇ´ımeˇsi zpu˚sobı´, zˇe v polovodicˇi jizˇ nebudou elektrony a dı´ry v pomeˇru 1:1, ale prˇeva´zˇ´ı jedno nebo druhe´ a navı´c se mezi pu˚vodnı´mi energiovy´mi pa´sy polovodicˇe vytvorˇ´ı dalsˇ´ı hladiny, ktere´ tak vlastneˇ zmensˇujı´ zaka´zanou oblast mezi valencˇnı´m a vodivostnı´m pa´sem. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe v polovodicˇi prˇevazˇujı´ elektrony, nazy´va´ se polovodicˇem typu N35 , prˇevazˇujı´-li dı´ry, rˇ´ıka´ se mu polovodicˇ typu P.36 Rozhranı´ teˇchto dvou druhu˚ polovodicˇu˚ (tzv. PN prˇechod) ma´ neˇkolik zajı´mavy´ch vlastnostı´ (dioda, tranzistor), ale pro na´s je du˚lezˇite´, zˇe je na neˇm prakticky jizˇ vytvorˇena inverze populace a snadneˇji tam docha´zı´ k rekombinacı´m. Vlastnostı´ PN prˇechodu se vyuzˇ´ıva´ v tzv. injekcˇnı´ch laserech. 35 36

N jako negative Procˇ asi?

177

KAPITOLA 10. KVANTOVA´ OPTIKA

10.5.7

Vyuzˇitı´ laseru˚

Rubı´novy´ laser se pouzˇ´ıval v pru˚myslu do (??? spı´sˇ od ne???) 1965, dnes se pouzˇ´ıvajı´ zejme´na neodymove´ a CO2 lasery. Lasery jsou za´kladnı´m pracovnı´m na´strojem prˇi vy´zkumu v nove´ oblasti fyziky – v nelinea´rnı´ optice, ktera´ za svu˚j vznik deˇkuje pra´veˇ vy´konny´m laseru˚m. Vy´kon laseru˚, ktere´ pracujı´ ve spojite´m rezˇimu v soucˇasnosti dosahuje rˇa´doveˇ desı´tek wattu˚. Dnes existujı´ i tzv. impulsnı´ lasery, ktere´ majı´ vy´kon v impulsu azˇ desı´tek terawattu˚. Impuls trva´ ovsˇem velmi kra´tkou dobu (rˇa´doveˇ 10−10 s, ale deˇlajı´ se i femtosekundove´ lasery). (nevı´m, jak moc jsou tato data aktua´lnı´???) Zkracova´nı´ impulsu by se dal vy´kon jesˇteˇ zvy´sˇit P = W/t. Laser pracuje prˇiblizˇneˇ s jediny´m kmitocˇtem sveˇtla, ne prˇesneˇ, vyzarˇuje tedy sveˇtlo s frekvencı´ v urcˇite´m intervalu. V takove´m u´zke´m intervalu dopada´ na zemsky´ povrch z kazˇde´ho km2 Slunce ∼ 0,01 W vy´konu sveˇtelne´ energie. Laser v tomto intervalu mu˚zˇe na cm2 vyzarˇovat spojiteˇ 100 W/cm2 . K tomu, aby horke´ (cˇerne´) teˇleso vyzarˇovalo 100 W na kazˇdy´ svu˚j cm2 by muselo mı´t teplotu tisı´c miliard K. Nelinea´rnı´ optika – uka´zalo se, zˇe la´tky ktere´ jsou pru˚zracˇne´ prˇi pru˚chodu obvykly´ch sveˇtelny´ch toku˚, prˇi velky´ch hustota´ch sveˇtelne´ energie meˇnı´ svoje vlastnosti. Zacˇ´ınajı´ silneˇ pohlcovat energii a meˇnit se na ma´lo pru˚hledne´. Lze pozorovat i jev opacˇny´: la´tky pru˚hledne´ prˇi maly´ch hustota´ch se zveˇtsˇova´nı´m hustoty se sta´vajı´ pru˚hledneˇjsˇ´ımi. Vy´konny´ sveˇtelny´ paprsek take´ mu˚zˇe meˇnit index lomu prostrˇedı´, cˇ´ımzˇ vytva´rˇ´ı jake´si cˇocˇky a sa´m se vlastneˇ fokusuje (zaostrˇuje). Laserova´ spektroskopie – jemne´ detaily, nelinea´rnı´ efekty. Lasery umozˇnili uskutecˇnit novy´ zpu˚sob zı´ska´nı´ objemovy´ch a barevny´ch obrazu˚ tzv. holografii. Rubı´novy´ laser se pouzˇ´ıva´ v medicı´neˇ (chirurgie, kosmeticke´ u´cˇely) prˇi operaci ocˇ´ı. Slouzˇ´ı na rychle´ a bezbolestne´ prˇivarˇenı´ odlupujı´cı´ se sı´tnice oka. Laserovy´ paprsek mu˚zˇe prˇemeˇnit na pa´ru libovolnou la´tku. Ota´zka je jen jake´ mnozˇstvı´, cozˇ za´lezˇ´ı na intenziteˇ a dobeˇ pu˚sobenı´. Svarˇova´nı´ neobvykly´ch slitin (Ti a Mo), mikrosoucˇa´stek, vrta´nı´ deˇr (Ti, diamant, dudlı´k), opracova´nı´ kovovy´ch povrchu˚. Laserovy´ paprsek se pouzˇ´ıva´ k prˇenosu informacı´ (spojenı´ s druzˇicı´, meˇrˇenı´ vzda´lenosti Zemeˇ – Meˇsı´c, prˇesnostı´ lom, prˇenos televize). Prˇ´ınos by byl ve vyuzˇitı´ ve vy´pocˇetnı´ technice, kde by sveˇtlo laseru˚ bylo pouzˇito mı´sto elektricky´ch signa´lu˚, mohlo zvy´sˇit stona´sobneˇ rychlost operacı´. Laser prˇedstavuje novy´ velmi jemny´ prˇ´ıstroj, jehozˇ mozˇnosti nejsou dosud prozkouma´ny. Pomocı´ laseru˚ se v soucˇasnosti zkouma´ i mozˇnost tzv. inercia´lnı´ fu´ze ...

178

Kapitola 11 Kapalne´ krystaly Byly objeveny roku 1888 botanikem (chemik a biolog) Freidrichem Reinitzerem (1857 - 1927). Narodil se v Praze, rodina patrˇila k prazˇsky´m neˇmecky´m vrstva´m. LCD ... Liguid crystal Display Roku 1888 byl tento jev objeven Freidrichem Reinitzerem. Jde o la´tku, ktera´ je na prˇechodu pevne´ a kapalne´ la´tky. Organicke´ la´tky jejichzˇ molekuly se teˇsneˇ nad bodem ta´nı´ smeˇroveˇ usporˇa´da´vajı´. Podmı´nkou je, zˇe molekuly nemajı´ kujl´ovy´ tvar. Prˇi te´to teploteˇ nad ta´nı´m vznika´ anizotropnı´ kapalina, teˇchto kapalin je zna´mo vı´ce jak 10 000 druhu˚.

Dlouho povazˇova´ny za kuriozity, azˇ v 60. letech snaha vyuzˇ´ıt zajı´mavy´ch opticky´ch vlastnostı´ ⇒ vy´zkum a vyuzˇitı´.

Pevne´ krystalicke´ la´tky • periodicke´ usporˇa´da´nı´ ve 3D • anizotropnı´ (mohou by´t)

Kapaliny • molekuly neusporˇa´dane´ • izotropnı´ (beˇzˇneˇ) 179

KAPITOLA 11. KAPALNE´ KRYSTALY

11.1 Typy krystalu˚ 11.1.1

Nematicky´ krystal

Vsˇechny molekuly rovnobeˇzˇne´, projevuje se dvojlom sveˇtla. Podletvaru˚ na´doby docha´zı´ k usmeˇrneˇne´mu zobrazenı´. Funkcˇnı´ prˇi teplota´ch 20 − 47◦ C.

11.1.2 Smekticky´ krystal molekuly ve vrstva´ch

11.1.3

Stylicky´ krystal

molekuly do sloupcu˚.

11.1.4

Cholesticky´ krystal

Krystal do sˇroubovice, odra´zˇ´ı sveˇtlo selektivneˇ tzn. jevı´ se barevneˇ podle teploty. Prˇi vlozˇenı´ elektromagneticke´ho pole se indikuje na´boj a vytva´rˇ´ı se male´ dipo´ly, ktere´ se orientujı´ ve smeˇru elektromagenticke´ho pole. Nad na´dobkami je polarizacˇnı´ filtr. Po prˇilozˇenı´ napeˇtı´ se krystal pootocˇ´ı a tı´m se sveˇtlo neodra´zˇ´ı. Kapalne´ krystaly • organicke´ la´tky, jejichzˇ molekuly se v urcˇite´m rozmezı´ teplot nad bodem ta´nı´ smeˇroveˇ usporˇa´da´vajı´. • podmı´nka: molekuly nemajı´ kulovy´ tvar • anizotropnı´ kapalina (tecˇe, ale ma´ i usporˇa´da´nı´ jako krystal) • prˇechod mezi pevnou la´tkou a izotropnı´ kapalinou Struktura a vlastnosti • zna´mo vı´ce nezˇ 10 000 organicky´ch la´tek s touto vlastnostı´ • stavebnı´m kamenem benzenova´ ja´dra, k nim prˇipojeny´ alifaticky´ rˇeteˇzec 180

11.1. Typy krystalu˚ • molekuly majı´ prota´hly´ tvar (nejcˇasteˇji) de´lka: 2 · 10−3 µm sˇ´ırˇka: 5 · 10−4 µm • ru˚zna´ usporˇa´da´nı´ molekul, deˇlı´me na 3 fa´ze: a) nematicke´ (viz. da´le) b) smekticke´ (molekuly do vrstev) c) sfy´licke´ (molekuly do sloupcu˚) ad a) rovnobeˇzˇne´ usporˇa´da´nı´ molekul projevuje se dvojlomem sveˇtla Interakce se steˇnami na´doby ovlivnˇuje usporˇa´da´nı´ molekul ⇒ u´pravou povrchu na´doby (ry´hy) dosa´hneme usporˇa´da´nı´ v urcˇite´m smeˇru. Prˇ.: nematicky´ krystal MBBA - methoxybenziliden butylanilin pro 20 − 47◦ C. Nematicky´ kapalny´ krystal, u neˇhozˇ se usporˇa´dane´ molekuly v rpostoru sta´cˇ´ı → vytva´rˇejı´ sˇroubovici se nazy´va´ cholestericky´ odra´zˇ´ı sveˇtlo selektivneˇ → jevı´ se bezbarvy´ (podle teploty). Usporˇa´da´nı´ molekul lze meˇnit i pu˚sobenı´m vneˇjsˇ´ıho elektricke´ho cˇi magneticke´ho pole. Prˇi prˇilozˇenı´ el. pole na nematicky´ kapalny´ krystal se indukujı´ el. dipo´ly (naprˇ.: ve smeˇru molekul) a orientujı´ se ve smeˇru E Magneticke´ pole - lze si prˇedstavit benzenove´ ja´dro. Molekula je vlastneˇ vodivou smycˇkou ⇒ molekula se nata´cˇ´ı Pouzˇitı´ a) v zobrazovacˇ´ıch (displejı´ch LCD - liquid crystal display) segmenty - na´dobky s k. k., nad nimi polarizacˇnı´ filtr bez el. pole dopadajı´cı´ polarizovane´ sveˇtlo propousˇtı´ → sveˇtly´ 181

KAPITOLA 11. KAPALNE´ KRYSTALY

Prˇi prˇipojenı´ el. pole E - zmeˇnı´ se opticka´ osa tak, zˇe segment polarizovane´ sveˇtlo nepropousˇtı´ → tmavy´ Stacˇ´ı nı´zke´ napeˇtı´ ⇒ mala´ spotrˇeba energie - vyuzˇitı´ dopadajı´cı´ho sveˇtla Prˇida´nı´m dichroicky´ch barev (la´tek, jejichzˇ barva za´visı´ na orientaci molekul vu˚cˇi dopadajı´cı´mu sveˇtlu) → barevny´ displej. b) televiznı´ obrazovka - zkonstruova´ny jizˇ CˇB i barevne´ na ba´zi k. k. o velikosti pohlednice brzy budou obrazovky na zdi jako obrazy c) v medicı´neˇ – orientaci lze meˇnit i zvukovou cˇi ultrazvukovou vlnou ⇒ elektrozvukova´ diagnostika – diagnostika za´neˇtlivy´ch onemocneˇnı´ - ??? zmeˇny teploty d) molekula´rnı´ elektronika - mozˇnost vytva´rˇet 3D integrovane´ el. obvody na molekula´rnı´ u´rovni e) biologicke´ membra´ny

[ 1 ] Lejcˇek, L.: Kapalne´ krystaly. Vesmı´r 68 (1989) cˇ. 7, str. 373 [ 2 ] Janka, J., Teˇsˇ´ınka´, E.: 100 let od objevu kapalny´ch krystalu˚. Cˇs. cˇas. fyz. A 39 (1989) str. 72 [ 3 ] Glogarova´, M: S profesorem G. Durandem o kapalny´ch krystalech. Cˇs. cˇas. fyz. A 38 (1988) str. 66

182

Kapitola 12 Mikroskopie s loka´lnı´ sondou Vznik je datova´n do pocˇa´tku 80-ty´ch let 20.stoletı´, prˇedtı´m byly pouze elektronove´ mikroskopy.

12.1 Minulost oboru 12.1.1

1982-Binning, Rohrer

Zkonstruovali prvnı´ Scanning Tunneling Mikroskop, za toto dostaly Nobelovu cenu za fyziku v roce 1986. Tento mikroskop je zalozˇen na jevech kvantove´ mechaniky, elektrony obı´hajı´ kolem ja´dra na energeticky´ch hladina´ch. Elektrony majı´ v obalu pravdeˇpodobnost vy´skytu.

12.2 Za´kladnı´ pojmy 12.2.1

Tunelovacı´ jev

Pru˚chod mezi vodivostnı´mi pa´sy dvou vodicˇu˚, ktere´ jsou velice blı´zko.

12.2.2

Intenzita tunelovacı´ho proudu √ It = U exp[−cd A] 183

KAPITOLA 12. MIKROSKOPIE S LOKA´LNI´ SONDOU

12.3 STM - Scanning Tunneling Microscope Pocˇa´tkem 80. let se zrodil novy´ typ mikroskopu

1982 Binning a Rohrer - STM (v r. 1986 Nobelova cena za fyziku)

Princip STM (Scanning Tunneling Microscopy) je zalozˇen na jevech kvantove´ mechaniky.

Elektron - pravdeˇpodobnost vy´skytu v atomu

tzn. zˇe elektron nenı´ nutneˇ va´za´n uvnitrˇ objemu, k neˇmuzˇ na´lezˇ´ı, ale ma´ nenulovou pravdeˇpodobnost nacha´zet se i vneˇ

Kdyzˇ prˇiblı´zˇ´ıme 2 kovove´ povrchy (bloky) na vzda´lenost < 1 nm, mohou neˇktere´ elektrony prˇekonat potencia´lovou barie´ru mezi nimi. ⇒ tunelovy´ jev (elektron nema´ dostatecˇnou energii!)

Prˇi maly´ch d tecˇe tunelovy´ proud.

Intenzita tunelove´ho proudu

√

It = V e−Ad

Φ

V - prˇedpeˇtı´, A - konstanta

Silna´ za´vislost na vzda´lenosti d (prˇ.: prˇi Φ = 4 eV znamena´ ∆d = 0, 1 nm 10× zmeˇnu It ) STM:

Hrot se pohybuje (???) nad povrchem. Tvorˇ´ı ho naprˇ. wolframovy´ dra´tek - vyra´bı´ se strˇizˇenı´m, chemicky´m lepta´nı´m

Sche´ma STM: 184

12.3. STM - Scanning Tunneling Microscope Rezˇimy detekce a) rezˇim konstantnı´ho proudu - tunelovy´ proud se udrzˇuje konstantnı´ pomocı´ rˇ´ızenı´ vzda´lenostı´ mezi hrotem a povrchem (tzn. udrzˇuje se konstantnı´ vzda´lenost d) Obraz je tvorˇen ??? (jako v TV) povrchu ve smeˇrech x, y a nezaznamena´vajı´ se zmeˇny z b) rezˇim konstantnı´ vy´sˇky (z = konst) - meˇnı´ se prˇi ??? tunelovy´ proud It v za´vislosti na topografii povrchu (zmeˇna d). Za´znam It (x, y) vytva´rˇ´ı „obraz“ povrchu.

Signa´ly ze trˇ´ı smeˇru˚ x, y, z umozˇnı´ reprodukovat trojrozmeˇrnou typografii povrchu

Rozlisˇovacı´ schopnost prˇ´ıstroje urcˇuje prˇesnost kroku rastrova´nı´ a kvalita (geometrie) sondy.

Zı´ska´nı´ 1 snı´mku trva´ ∼ s azˇ ∼ min.

Tunelove´ proudy jsou ∼ nA

Rozlisˇovacı´ schopnost STM azˇ 0,05 nm prˇ´ıcˇneˇ (x, y) 0,01 nm pode´lneˇ (z) (Atomy!)

Druh izolantu mezi hrotem a povrchem nehraje roli ⇒ STM mu˚zˇe pracovat ve vakuu ve vzduchu v roztocı´ch

Na za´kladeˇ tohoto objevu vznikla posle´ze nova´ trˇ´ıda mikroskopu˚; SPM (Scanning Probe Microscopy) - Mikroskopy s rastrovacı´ sondou

Princip cˇinnosti je odvozen od STM, pouze vyuzˇ´ıvajı´ jiny´ druh interakce s povrchem Pouzˇ´ıva´ velmi ostry´ vodivy´ hrot. Hrot necha´va´me rastrovat nad povrchem. Hrot se vyra´bı´ chemicky´m lepta´nı´m. • Rezˇim konstantnı´ho proudu Snazˇ´ıme se udrzˇovat konstantnı´ proud It • Rezˇim konstantnı´ vy´sˇky Proud It uda´va´ zmeˇnu vzda´lenosti. 185

KAPITOLA 12. MIKROSKOPIE S LOKA´LNI´ SONDOU

12.4 AFM - Atomic Force Microscope - Mikroskopie atomovy´ch sil Vlivem meziatoma´rnı´ch sil se zı´ska´va´ sourˇadnice z. Rastrova´nı´ x,y ... 0,1 nm, z ... 0,01 nm

Rame´nko se ohy´ba´ vlivem meziatoma´rnı´ch van der Waalsovy´ch sil. Zaznamena´va´ se pohyb rame´nka.

STM lze pouzˇ´ıt pouze pro vodive´ povrchy AFM bylo vyvinuto pro studium izolantu˚

Rozlisˇovacı´ schopnost: 0,1 nm (x, y) 0,01 (z)

12.5

SPM - Scanning Probe Microscope

Princip cˇinnosti odvozen od STM, pouzˇ´ıva´ se pouze tunelovacı´ proud. Tento mikroskop byl vyvinut prˇi zkouma´nı´ dielektrik. Oba prˇedcha´zejı´cı´ patrˇ´ı do te´to rodiny.

12.6 NSOM - Near-field Scanning Optical Microscope – Opticka´ mikroskopie v blı´zke´m poli Prˇi difrakci vznikajı´ dveˇ vlny 1. Za´rˇiva´ - homogennı´ tu sledujeme okem 2. Neza´rˇiva´ - nehomogennı´ nesˇ´ırˇ´ı se, je lokalizovana´ v blı´zkosti povrchu. E(x, y, z) = E0 (x, y, z) exp[−i(kx x + ky y)] exp[−az] exp[iωt], protozˇe se tato vlna sˇ´ırˇ´ı u povrchu, prˇiblı´zˇ´ıme k tomuto povrchu hrot a ten snı´ma´ tuto vlnu a tak dosahujeme rozlisˇenı´ 15 nm (x,y) a 1 nm (z)

Opticke´ mikroskopy dosahujı´ rozlisˇenı´ max. 250 nm vlivem difrakce. 186

12.7. Rozlisˇovacı´ schopnost Prˇi difrakci vznikajı´ v teˇsne´ blı´zkosti povrchu vzorku 2 typy vln: a) homogennı´ sˇ´ırˇ´ıcı´ se (za´rˇiva´) - pozorovana´ ve vzda´lene´m poli opticky´m mikroskopem b) nehomogennı´ nesˇ´ırˇ´ıcı´ se (neza´rˇiva´, evanescentnı´) - lokalizovana´ u povrchu, v teˇsne´ blı´zkosti

E(x, y, z, t) = E0 (x, y, z, t) e−i(kx x+ky y) e−az eiωt (Podobneˇ jako u tota´lnı´ho odrazu) Vlna se sˇ´ırˇ´ı pouze v rovineˇ xy. Ve smeˇru z exponencia´lneˇ uby´va´ (tlumena´). Umı´steˇnı´m transparentnı´ho dielektricke´ho hrotu do teˇsne´ blı´zkosti povrchu mu˚zˇeme sejmout tuto nehomogennı´ vlnu. Tı´m mu˚zˇeme zveˇtsˇit rozlisˇovacı´ schopnost azˇ na 15 nm (prˇ´ıcˇneˇ) 1 nm (z) Jsou pokusy vyuzˇ´ıvat i dalsˇ´ı interakce → dalsˇ´ı typy mikroskop; CM (kapacitnı´ mikroskop) TM (teplotnı´ mikroskop) Tyto typy mikroskop; jsou mozˇne´ dı´ky pokroku technologiı´ • piezoelektricke´ polohovacı´ ???, ktere´ jsou schopny posunout hrot reprodukovatelneˇ v rozmezı´ ˚A • el. obvody s velmi nı´zkou u´rovnı´ sˇumu umozˇnˇujı´cı´ meˇrˇit pA Dalsˇ´ı na´pady na mikroskopy jsou • Kapacitnı´ • Teplotnı´

12.7 Rozlisˇovacı´ schopnost • dle hrotu (kvalita sondy) 187

KAPITOLA 12. MIKROSKOPIE S LOKA´LNI´ SONDOU • prˇesnost nanoposuvu • tunelovacı´ proudy jsou snı´ma´ny ampe´rmetrem, takzˇe prˇesnost ampe´rmetru Dnes je rozlisˇovacı´ schopnost 0,05 nm v prˇ´ıcˇne´m smeˇru (x,y) a 0,01 nm ve svisle´m smeˇru (z) vy´sˇka. Proto dnes ma´me mozˇnost videˇt jednotlive´ atomy. Neza´visı´ na dielektriku.

188

Kapitola 13 Optika atmosfe´ry V atmosfe´rˇe se pohlcuje vı´ce modre´ nezˇli cˇervene´ sveˇtlo a proto atmosfe´ra vyrˇazuje modrou barvu.

13.1 Intenzita rozpty´lene´ho sveˇtla 13.1.1

Za´kon modre´ho nebe I∼

1 λ4

Cˇervena´ barva Slunce prˇi za´padu Absorpce la´tek je selektivnı´, ve vzduchu se pohlcuje modra´ barva silneˇji. Procˇ je nebe modre´? Z teorie absolutneˇ cˇerne´ho teˇlesa: La´tky vyzarˇujı´ nejvı´ce ty vlnove´ de´lky, ktere´ nejvı´ce pohlcujı´. Molekuly vzduchu se nacha´zı´ v el. mag. poli. Rozkmita´vajı´ se a vyzarˇujı´. Docha´zı´ k rozptylu sveˇtla. Intenzita rozpty´lene´ho sveˇtla (za´kon modre´ho nebe): I∼

1 λ4

λCˇ = 650, 0 nm λM = 450, 0 nm

λCˇ = 1, 44 λM 189

KAPITOLA 13. OPTIKA ATMOSFE´RY

IM = (1, 44)4 = 4, 3 ICˇ Intenzita rozpty´lene´ho modre´ho sveˇtla je 4× veˇtsˇ´ı nezˇ cˇervene´ho. Pokus:

Pozorujte pru˚chod svazku bı´le´ho sveˇtla banˇkou s vodou, do ktere´ jste prˇidali trochu mle´ka.

• prˇi pozorova´nı´ svazku prˇ´ımo prˇes vodu se jevı´ nacˇervenale • prˇi pozorova´nı´ rozpty´lene´ho sveˇtla se jevı´ namodrale´

190

Cˇa´st III Prˇ´ılohy

191

192

Prˇ´ıloha A Neˇktere´ du˚lezˇite´ vztahy mezi goniometricky´mi funkcemi

sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1

(A.1)

cos2 ϕ − sin2 ϕ = cos 2ϕ

(A.2)

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

(A.3)

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

(A.4)

tg(α ± β) =

tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β

(A.5)

sin α ± sin β = 2 cos

α∓β α±β sin 2 2

(A.6)

cos α + cos β = 2 cos

α−β α+β cos 2 2

(A.7)

α+β α−β sin 2 2

(A.8)

cos α − cos β = −2 sin

193

PRˇI´LOHA A. NEˇKTERE´ DU˚LEZˇITE´ VZTAHY MEZI GONIOMETRICKY´MI FUNKCEMI

194

Prˇ´ıloha B Pocˇ´ıta´nı´ s komplexnı´mi cˇ´ısly B.1

Zavedenı´ komplexnı´ch cˇ´ısel a jejich reprezentace

Kazˇde´ komplexnı´ cˇ´ıslo z mu˚zˇe by´t vyja´drˇeno s pomocı´ tzv. imagina´rnı´ jednotky „i“, pro kterou platı´ i2 = −1, vztahem z = a + bi

(B.1)

kde rea´lne´ cˇ´ıslo a ≡ Re(z) nazy´va´me rea´lna´ cˇa´st komplexnı´ho cˇ´ısla z a rea´lne´ cˇ´ıslo b ≡ Im(z) nazy´va´me imagina´rnı´ cˇa´st komplexnı´ho cˇ´ısla z. Scˇ´ıta´nı´ rea´lne´ a imagina´rnı´ cˇa´sti je stejne´ jako prˇi pocˇ´ıta´nı´ v rea´lny´ch cˇ´ıslech a stejneˇ tak na´sobenı´ cˇ´ısla b a imagina´rnı´ jednotky. Podobneˇ jako osˇka´lovanou prˇ´ımkou (rea´lnou osou) reprezentujeme mnozˇinu rea´lny´ch cˇ´ısel, mu˚zˇeme geometricky reprezentovat komplexnı´ cˇ´ısla jako body v tzv. Gaussoveˇ rovineˇ. Zavedenı´m karte´zsky´ch sourˇadnic, v nichzˇ na osu x nana´sˇ´ıme rea´lne´ cˇa´sti komplexnı´ch cˇ´ısel a na osu y nana´sˇ´ıme imagina´rnı´ cˇa´sti komplexnı´ch cˇ´ısel bude kazˇdy´ bod v rovineˇ reprezentovat jedine´ komplexnı´ cˇ´ıslo a naopak, jednomu komplexnı´mu cˇ´ıslu bude jednoznacˇneˇ prˇirˇazen jeden bod roviny. Spojı´me-li libovolneˇ vybrane´ komplexnı´ cˇ´ıslo (resp. jemu prˇirˇazeny´ bod) s pocˇa´tkem, bude jeho poloha v Gaussoveˇ rovineˇ jednoznacˇneˇ urcˇena i de´lkou te´to spojnice z0 a u´hlem ϕ, ktery´ tato spojnice svı´ra´ s osou rea´lny´ch cˇa´stı´. Vyja´drˇenı´ B.1 pak mu˚zˇeme prˇepsat na z = z0 (cos ϕ + i sin ϕ), kde z0 =

√

a2 + b2

a

(B.2)

b tg ϕ = . a

Ve fyzice se obvykle rea´lne´mu cˇ´ıslu z0 rˇ´ıka´ velikost komplexnı´ho cˇ´ısla a rea´lne´mu cˇ´ıslu ϕ fa´ze komplexnı´ho cˇ´ısla. 195

PRˇI´LOHA B. POCˇI´TA´NI´ S KOMPLEXNI´MI CˇI´SLY

B.2

Euleru˚v vztah

Lze doka´zat (naprˇ. pomocı´ Taylorova rozvoje funkcı´ do polynomicke´ rˇady), zˇe takova´to kombinace goniometricky´ch funkcı´ je ekvivalentnı´ exponencia´lnı´ funkci, konkre´tneˇ, zˇe platı´ cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ Tento, tzv. Euleru˚v vztah umozˇnˇuje zapsat komplexnı´ cˇ´ısla na trˇetı´, ve fyzice nejuzˇ´ıvaneˇjsˇ´ı, tvar z = z0 eiϕ

(B.3)

Z uvedene´ho je zrˇejme´, zˇe mezi komplexnı´mi cˇ´ısly a goniometricky´mi funkcemi platı´ i na´sledujı´cı´ vztahy eiϕ − e−iϕ sin ϕ = (B.4) 2i a eiϕ + e−iϕ cos ϕ = . (B.5) 2 Zavedenı´ komplexnı´ch cˇ´ısel ve fyzika´lnı´ch vy´pocˇtech je velmi vy´hodne´ z hlediska jednoduchosti mnoha za´pisu˚ a vy´pocˇtu˚, ale prova´dı´me-li meˇrˇenı´ v rea´lne´m sveˇteˇ (a za takovy´ fyzika sveˇt povazˇuje, at’uzˇ slovo „rea´lny´“ znamena´ cokoli:-)), zı´ska´va´me jako vy´sledky vzˇdy rea´lna´ cˇ´ısla. Proto i kdyzˇ pro zjednodusˇenı´ si pra´ce s komplexnı´mi cˇ´ısly pocˇ´ıta´me, na konci kazˇde´ho vy´pocˇtu ktery´ ma´ by´t porovna´n s experimentem musı´ by´t rea´lne´ cˇ´ıslo. K snadne´mu zı´ska´va´nı´ rea´lny´ch cˇ´ısel z cˇ´ısel komplexnı´ch slouzˇ´ı du˚lezˇita´ operacı´, kterou na komplexnı´ch cˇ´ıslech prova´dı´me tzv. komplexnı´ sdruzˇenı´. Komplexneˇ sdruzˇene´ cˇ´ıslo k cˇ´ıslu z napsane´m ve tvaru B.1 je cˇ´ıslo z ∗ = a − bi.

(B.6)

Obecneˇ komplexneˇ sdruzˇene´ cˇ´ıslo k dane´mu cˇ´ıslu zı´ska´me vzˇdy zmeˇnou zname´nka stojı´cı´ho u imagina´rnı´ jednotky (nebo jinak – vyna´sobenı´m imagina´rnı´ jednotky cˇ´ıslem -1). Rea´lna´ cˇ´ısla vyskytujı´cı´ se v komplexnı´m cˇ´ısle zapsane´m ve tvaru B.1 pak mu˚zˇeme zı´skat pomocı´ komplexnı´ho sdruzˇenı´ takto 1 b = z − z∗. 2

1 a = z + z∗ 2

(B.7)

Ve fyzice se vsˇak komplexnı´ sdruzˇenı´ v uvedene´m vy´znamu pouzˇ´ıva´ daleko cˇasteˇji u „eulerovsky vyja´drˇeny´ch cˇ´ısel“. To znamena´, zˇe ke komplexnı´mu cˇ´ıslu ve tvaru Zavedenı´ komplexnı´ch cˇ´ısel ve fyzika´lnı´ch vy´pocˇtech je velmi vy´hodne´ z hlediska jednoduchosti mnoha za´pisu˚ a vy´pocˇtu˚, ale prova´dı´me-li meˇrˇenı´ v rea´lne´m sveˇteˇ (a za takovy´ fyzika sveˇt povazˇuje, at’uzˇ slovo „rea´lny´“ znamena´ cokoli:-)), zı´ska´va´me jako vy´sledky vzˇdy rea´lna´ cˇ´ısla. Proto i kdyzˇ pro zjednodusˇenı´ si pra´ce s komplexnı´mi cˇ´ısly pocˇ´ıta´me, na konci kazˇde´ho vy´pocˇtu ktery´ ma´ by´t porovna´n s experimentem musı´ by´t rea´lne´ cˇ´ıslo. K snadne´mu zı´ska´va´nı´ rea´lny´ch cˇ´ısel z cˇ´ısel komplexnı´ch slouzˇ´ı du˚lezˇita´ operacı´, 196

B.3. Fa´zory kterou na komplexnı´ch cˇ´ıslech prova´dı´me tzv. komplexnı´ sdruzˇenı´. Komplexneˇ sdruzˇene´ cˇ´ıslo k cˇ´ıslu z napsane´m ve tvaru B.1 je cˇ´ıslo z ∗ = a − bi. (B.8) Obecneˇ komplexneˇ sdruzˇene´ cˇ´ıslo k dane´mu cˇ´ıslu zı´ska´me vzˇdy zmeˇnou zname´nka stojı´cı´ho u imagina´rnı´ jednotky (nebo jinak – vyna´sobenı´m imagina´rnı´ jednotky cˇ´ıslem -1). Rea´lna´ cˇ´ısla vyskytujı´cı´ se v komplexnı´m cˇ´ısle zapsane´m ve tvaru B.1 pak mu˚zˇeme zı´skat pomocı´ komplexnı´ho sdruzˇenı´ takto 1 a = z + z∗ 2

1 b = z − z∗ 2

(B.9)

Ve fyzice se vsˇak komplexnı´ sdruzˇenı´ v uvedene´m vy´znamu pouzˇ´ıva´ daleko cˇasteˇji u „eulerovsky vyja´drˇeny´ch cˇ´ısel“. To znamena´, zˇe ke komplexnı´mu cˇ´ıslu ve tvaru B.3 sestrojujeme komplexneˇ sdruzˇene´ cˇ´ıslo z ∗ ve tvaru z = z0 e−iϕ . (B.10) Velikost komplexnı´ho cˇ´ısla mu˚zˇeme tak zı´skat pomocı´ komplexnı´ho sdruzˇenı´ takto z02 = zz ∗ .

(B.11)

Tento vztah se ve fyzice cˇasto vyuzˇ´ıva´. Euleru˚v vztah umozˇnˇuje i na´zornou prˇedstavu o na´sobenı´ komplexnı´ch cˇ´ısel a jednoduchou derivaci a integraci neˇktery´ch komplexnı´ch funkcı´. Naprˇ. z1 · z2 = z01 eiϕ1 · z02 eiϕ2 = z01 z02 ei(ϕ1 +ϕ2 ) nebo zavedeme-li komplexnı´ funkci z rea´lne´ promeˇnne´ t z(t) = z0 ei(ωt+ϕ0 ) bude

dz = iωz0 ei(ωt+ϕ0 ) = iωz dt

Z a

zdt =

(B.12)

1 z z0 ei(ωt+ϕ0 ) + κ = +κ iω iω

Protozˇe sama imagina´rnı´ jednotka mu˚zˇe by´t vyja´drˇena ve tvaru π

i = ei 2

a tedy take´

π 1 = e−i 2 i

mu˚zˇeme cha´pat derivaci funkce B.12 jako jejı´ vyna´sobenı´ ω a pootocˇenı´ jejı´ fa´ze o π/2. Stejneˇ tak jejı´ integra´l se redukuje na deˇlenı´ konstantou ω a pootocˇenı´ fa´ze o −π/2.

B.3

Fa´zory

Protozˇe je cos ϕ = Re(cos ϕ + i sin ϕ) = Re(eiϕ ) 197

(B.13)

PRˇI´LOHA B. POCˇI´TA´NI´ S KOMPLEXNI´MI CˇI´SLY a protozˇe se s exponencia´lnı´mi funkcemi zacha´zı´ obvykle jednodusˇeji nezˇ s funkcemi goniometricky´mi, nahrazujı´ se cˇasto rea´lne´ velicˇiny periodicky za´visle´ na argumentu φ velicˇinami komplexnı´mi, zvany´mi fa´zory. Fa´zory jsou komplexnı´ funkce (rea´lne´ho) argumentu φ. Na´zorneˇ (geometricky) si tyto funkce reprezentujeme polohovy´m vektorem okamzˇite´ hodnoty te´to funkce (=komplexnı´ cˇ´ıslo) v Gaussoveˇ rovineˇ. Fa´zor prˇirˇazeny´ rea´lne´ velicˇineˇ ψ obvykle oznacˇujeme strˇ´ısˇkou nad tı´mto oznacˇenı´m. rozhodl jsem se pro vlnovku, protozˇe strˇ´ısˇkou znacˇ´ıme opera´tory .... Tedy je-li naprˇ. ψ(φ) = A cos φ, zava´dı´me fa´zor te´to velicˇiny vztahem ψ˜ = Aeiφ a platı´ ˜ ψ = Re(ψ) Reprezentace rea´lny´ch velicˇin fa´zory (komplexnı´mi cˇ´ısly) nemeˇnı´ fyzika´lnı´ vy´znam rovnic. Zava´dı´ se pouze z du˚vodu forma´lneˇ jednodusˇsˇ´ıho popisu reality. .... Chybı´ prˇesne´ vymezenı´ pouzˇitı´ vy´pocˇtu˚ pomocı´ fa´zoru˚!!! Fa´zor je rotujı´cı´ vektor v komplexnı´ rovineˇ :-) fakt prˇesne´ :-) y˜ = y0 e[ ωt + ϕ] , ktery´ kdyzˇ budeme derivovat dosta´va´me stejny´ fa´zor otocˇeny´ o d˜ y π = y0 e[ ı ]ω dt 2

198

π 2

a vyna´sobeny´ ω. (B.14)

Prˇ´ıloha C Neˇktere´ du˚lezˇite´ vztahy vektorove´ analy´zy

a · (b × c ) = c · (a × b ) = b · (c × a )

(C.1)

a × (b × c ) = b(a · c ) − c (a · b )

(C.2)

rotrot = grad div − div grad ≡ grad div −∇2

(C.3)

∇ ... grad ... (

∂ ∂ ∂ , , ..., ) ∂x1 ∂x2 ∂xn

(C.4)

∇ · a ... div

(C.5)

∇ × a ... rot

(C.6)

199

PRˇI´LOHA C. NEˇKTERE´ DU˚LEZˇITE´ VZTAHY VEKTOROVE´ ANALY´ZY

200

Prˇ´ıloha D Za´kladnı´ vztahy Fourierovy analy´zy

x(t) = a0 + a1 sin = a0 +

∞ X

2π 2π 2π 2π t + a2 sin 2 t + · · · b1 cos t + b2 cos 2 t + · · · = T T T T

(an sin nωt + bn cos nωt)

(D.1)

n=1

kde a0

1 = T

ZT x(t)dt

(D.2)

x(t) sin nωtdt

(D.3)

x(t) cos nωtdt

(D.4)

0

an

2 = T

ZT 0

bn

2 = T

ZT 0

D.1

Fourieru˚v polynom x(t)

(D.5)

harmonicka´ funkce s periodou T, lze rozlozˇit na Fourierovu rˇadu x(t) = a0 + a1 cos(ωt) + a2 cos(2ωt) + ... + b1 sin(ωt) + b2 sin(2ωt) + ...

x(t) =

∞ X

[ai cos(iωt) + bi sin(iωt)],

i=0

201

(D.6)

PRˇI´LOHA D. ZA´KLADNI´ VZTAHY FOURIEROVY ANALY´ZY kde

2 ai = T

Z T x(t) cos(iωt)dt

(D.7)

T x(t) sin(iωt)dt

(D.8)

0

2 b0 = T

Z 0

je-li x(t) = −x(t) ⇒ bi = 0

(D.9)

x(t) = −x(−t) ⇒ ai = 0

(D.10)

jde o sudou funkci, je-li jde o lichou funkci

D.2

Fourieru˚v integra´l

Pokud D.5 nenı´ periodicka´ funkce, ale ma´ rozumny´ pru˚beˇh, pak se da´ tato funkce napsat ve tvaru Z∞ x(t) =

Z∞ A(ω) sin(ωt)dω +

0

B(ω) cos(ωt)dω

(D.11)

0

kde

Z∞

1 A(ω) = π

x(t) sin(ωt)dt

(D.12)

x(t) cos(ωt)dt

(D.13)

−∞

Z∞

1 B(ω) = π

−∞

D.3

Fourierova transformace

Transformace funkce f 1 g(k) = √ 2π

Z∞ f (x) exp[ikx]dx −∞

a zpeˇt inverznı´ Fourierovou transformacı´ 1 f (k) = √ 2π

Z∞ g(k) exp[−ikx]dk −∞

202

Prˇ´ıloha E Variacˇnı´ pocˇet E.1

Brachistochrona

Hleda´me nejrychlejsˇ´ı zpu˚sob jak se dostat z bodu A do bodu B. Pocˇ´ıta´ se to pomocı´ tzv. Variacı´ δl = 0 ZB nds = 0

δ A

203

(E.1)

PRˇI´LOHA E. VARIACˇNI´ POCˇET

204

Prˇ´ıloha F K rozboru matematicke´ho kyvadla Meˇjme kulicˇku zanedbatelny´ch rozmeˇru˚ o hmotnosti m (cˇa´stice) visı´cı´ ve vakuu v blı´zkosti povrchu Zemeˇ (zemske´ pu˚sobenı´ tedy mu˚zˇeme popsat tı´hovou silou, ktera´ se beˇhem pohybu kulicˇky nemeˇnı´) na lanku de´lky r se zanedbatelnou hmotnostı´ i protazˇitelnostı´ (viz obr. F.1). Trˇenı´ v bodeˇ u´chytu budeme povazˇovat rovneˇzˇ za zanedbatelne´. Takove´muto idea´lnı´mu objektu se rˇ´ıka´ matematicke´ kyvadlo. Obvykle se hned zpocˇa´tku prˇedpokla´da´, zˇe kyvadlo je jen velmi ma´lo vzda´lene´ od osy y (tj. u´hel ϕ je maly´), proble´m vyrˇesˇenı´ historie kulicˇky `(t) se pak velmi zjednodusˇ´ı. My se ale hned zpocˇa´tku takto nebudeme omezovat, protozˇe mu˚zˇeme vyuzˇ´ıt numerickou metodu rˇesˇenı´, o ktere´ jsme si rˇ´ıkali v ???. Pro jednoduchost ale budeme v dalsˇ´ım prˇedpokla´dat, zˇe na pocˇa´tku pohybu (t = 0 s) neudeˇlı´me kulicˇce zˇa´dnou rychlost a zˇe se kyvadlo bude pohybovat pouze v rovineˇ xy.

Obra´zek F.1: K matematicke´mu kyvadlu Vy´slednice sil pu˚sobı´cı´ch na kulicˇku, ktera´ se v tı´hove´m poli Zemeˇ ky´ve prˇi zanedba´nı´ odporu˚ na nehmotne´ niti (viz obr. F.1) je da´na vztahem

Fv = Flan + Fg , 205

PRˇI´LOHA F. K ROZBORU MATEMATICKE´HO KYVADLA kde jako Flan je oznacˇena sı´la odpovı´dajı´cı´ pu˚sobenı´ lanka na kulicˇku.

Obra´zek F.2: Rozbor sil u matematicke´ho kyvadla Cˇasto se ma´ za to, zˇe velikost sı´ly, kterou pu˚sobı´ vla´kno na teˇlı´sko1 je da´na vztahem |Flan | = mg cos ϕ , kde ϕ je u´hel sevrˇeny´ svislicı´ a lankem a velikost tı´hove´ho zrychlenı´ |g | ≡ g. To ale nenı´ pravda, protozˇe naprˇ´ıklad prˇi pru˚chodu rovnova´zˇnou polohou (ϕ = 0) bude vla´kno na teˇlı´sko pu˚sobit silou, pro jejı´zˇ velikost z Newtonovy pohybove´ rovnice plyne (viz obr. ??) m|a | = |Flan | − mg

|Flan | = m|a | + mg .

⇒

Kulicˇka se prˇi pru˚chodu rovnova´zˇnou polohou pohybuje rychlostı´ o velikosti |v | po cˇa´sti kruzˇnice s polomeˇrem r a sı´ly, ktere´ na ni pu˚sobı´ jsou kolme´ na pohyb. Velikost vy´sledne´ho zrychlenı´ kulicˇky tedy bude rovno dostrˇedive´mu zrychlenı´, tj. |av | = Celkem tedy |Flan | = m 1

|v |2 . r

|v |2 + mg 6= mg cos 0 . r

Tato sı´la je co do velikosti stejna´ jako sı´la, kterou je napı´na´no vla´kno (akce a reakce).

206

Jak to ale je se silou od lanka prˇi obecne´m vychy´lenı´ kulicˇky (o libovolny´ u´hel ϕ)? Zrychlenı´ kulicˇky mu˚zˇeme rozlozˇit (jako v oddı´lu ???) do smeˇru tecˇne´ho a do smeˇru norma´love´ho k pohybu kulicˇky (viz vztah ???2.38). Zrychlenı´ ve smeˇru kolmo na pohyb, tj. dostrˇedive´mu zrychlenı´, musı´ odpovı´dat sı´ly v tomto smeˇru2 – zde se perou sı´la lanka Flan a norma´lovy´ pru˚meˇt tı´hove´ sı´ly, bude tedy platit |Flan (ϕ)| = mg cos ϕ + m

v 2 (ϕ) , r

kde v 2 (ϕ) oznacˇuje, zˇe rychlost kulicˇky za´visı´ na u´hlu vychy´lenı´ kyvadla. Jizˇ vı´me, zˇe urcˇenı´ rychlosti cˇa´stic neprˇedstavuje pro numerickou metodu rˇesˇenı´ proble´m, zna´me-li zrychlenı´, my vsˇak jizˇ zna´me postup, ktery´ na´m umozˇnı´ postupovat prˇesneˇji. Protozˇe jedina´ dveˇ pu˚sobenı´, ktere´ ovlivnˇujı´ pohyb kulicˇky pocha´zı´ od lanka a od Zemeˇ a pu˚sobenı´ od lanka je kolme´ na pohyb a pu˚sobenı´ od Zemeˇ mu˚zˇeme popsat pomocı´ potencia´lnı´ energie, bude v kazˇde´m okamzˇiku pohybu kulicˇky, resp. prˇi kazˇde´m u´hlu vychy´lenı´ ϕ platit: 1 2 mv + m|g |`y = m|g |`ymax . 2 Z toho plyne, zˇe mu˚zˇeme vyja´drˇit rychlost kulicˇky pomocı´ jejı´ sourˇadnice na ose y jako v 2 = 2g(`ymax − `y ) . Protozˇe z geometrie proble´mu vyply´vajı´ vztahy cos ϕ =

r − `y r

a

sin ϕ =

`x , r

bude pro velikost sı´ly od lanka platit |Flan | = mg

r − `y 2mg(`ymax − `y ) r + 2`ymax − 2`y + = mg r r r

Abychom mohli aplikovat Newtonovu pohybovou rovnici, musı´me rozlozˇit vy´slednici sil Fg a Fl do smeˇru˚ sourˇadnicovy´ch os x a y (viz obr. ??). Dostaneme pak max = −Flanx = −|Flan | sin ϕ , may = −Flany + Fgy = |Flan cos ϕ − mg . Podı´vejme se nejprve podrobneˇji na pohyb v ose x. Pohybova´ rovnice v tomto smeˇru da´ zrychlenı´ g `x ax = − (r + 2`ymax − 2`y ) . r r

(F.1)

PSˇNEZ: Tento argument nenı´ v prˇ´ıpadeˇ inercia´lnı´ vztazˇne´ soustavy spojene´ s bodem za´veˇsu kyvadla zcela kosˇe´r, protozˇe Newtonova pohybova´ rovnice platı´ ve tvaru ??? pouze v inercia´lnı´ch vztazˇny´ch soustava´ch, ale kolmice na tecˇnu k pohybu meˇnı´ svu˚j smeˇr prostoru a proto s nı´ nemu˚zˇeme sva´zat inercia´lnı´ vztazˇnou soustavu a tedy na ni nemu˚zˇeme promı´tnout pohybovou rovnici... Uvazˇova´nı´ z hlediska neinercia´lnı´ vztazˇne´ soustavy vsˇak k uvedene´mu sva´za´nı´ rychlosti pohybu kyvadla, u´hlu vychy´lenı´ a sı´ly lanka vede ... 2

207

PRˇI´LOHA F. K ROZBORU MATEMATICKE´HO KYVADLA Zde si je za´hodno povsˇimnout, zˇe je-li lanko dlouhe´ a pocˇa´tecˇnı´ vy´chylka je velmi mala´, tj. je-li `y ¿ r, bude prvnı´ cˇlen ve vy´razu F.1 dominantnı´ a pohybova´ rovnice matematicke´ho kyvadla v x-ove´m smeˇru bude g ax = − `x . r Je zajı´mave´, zˇe analogicky´ vy´raz pro zrychlenı´ se objevuje i prˇi zkouma´nı´ pohybu˚ teˇles ovlivneˇny´ch pruzˇny´m pu˚sobenı´m (viz ???). Takove´ cˇa´stice, jak jsme zjistili v oddı´lu ???, vykona´vajı´ harmonicky´ pohyb (jejich sveˇtocˇa´ra je sinusovka nebo kosinusovka). „Nespra´vny´ pohyb“

Rozbor pohybu matematicke´ho kyvadla se da´ deˇlat take´ takto ...

Tecˇna´ slozˇka vy´slednice sil ??) je Fvt = −Fg sin ψ

.

(F.2)

Protozˇe dra´hova´ sourˇadnice s teˇlı´ska mu˚zˇe by´t popsa´na funkcı´ s = lψ, bude jeho tecˇne´ zrychlenı´ at = Pohybova´ rovnice tedy bude

tj.

d2 s d2 ψ = l dt2 dt2

.

(F.3)

d2 ψ ml 2 = −mg sin ψ dt d2 ψ g + sin ψ = 0 dt2 l

,

(F.4)

.

tento rozbor je sˇpatny´, protozˇe Newtonova pohybova´ rovnice ve tvaru mapru˚meˇt = Fpru˚meˇt platı´ pouze pro pru˚meˇty na prˇ´ımku, nikoli na zakrˇivenou trajektorii – museli bychom pouzˇ´ıt Lagrangeovy rovnice 2. druhu ... je to kra´sny´ prˇ´ıklad nespra´vne´ho odvozenı´ spra´vne´ho vy´sledku :-)

208

Prˇ´ıloha G Pohybova´ rovnice (vodorovne´ho) sloupce kapaliny Na´cˇrt situace je analogicky´ obr. tyc.doc z rozboru kmita´nı´ tycˇe. Prˇedpokla´dejme, zˇe v klidu je v cele´m objemu kapaliny stejny´ tlak p0 (neuvazˇujeme hydrostaticky´ tlak). Oznacˇ´ıme-li jako pa prˇ´ıdavny´ tlak, zpu˚sobeny´ v mı´steˇ kapaliny o sourˇadnici x vneˇjsˇ´ım rozruchem a zpu˚sobujı´cı´ zmeˇnu male´ho objemu ·µ ¶ µ ¶¸ δx δx V =S x+ − x− = Sδx 2 2 vybrane´ho kolem te´to sourˇadnice, o hodnotu δV , bude δV V kde K je modul objemove´ pruzˇnosti (zmensˇ´ı-li se objem, tlak vzroste). Protozˇe δx je velmi male´, mu˚zˇeme prˇiblizˇneˇ psa´t ∆V Sδψ ∂ψ = = V Sδx ∂x Celkovy´ tlak v mı´steˇ x1 a blı´zke´m mı´steˇ x2 ≡ x1 + ∆x pak bude pa = −K

∂ψ (x1 ) ∂x ∂ψ p(x2 ) = p0 + pa (x2 ) = p0 − K (x2 ) ∂x

p(x1 ) = p0 + pa (x1 ) = p0 − K

a pru˚meˇty sil na osu x pak

¸ ∂ψ (x1 ) = S p0 − K ∂x · ¸ ∂ψ = −S p0 − K (x2 ) ∂x ·

F1 F2

Vy´slednici sil potom mu˚zˇeme psa´t jako · ¸ ∂ψ ∂ψ ∂ 2ψ Fv = SK (x2 ) − (x1 ) = SK 2 ∆x ∂x ∂x ∂x 209

PRˇI´LOHA G. POHYBOVA´ ROVNICE (VODOROVNE´HO) SLOUPCE KAPALINY Pohybova´ rovnice pro element o hmotnosti ∆m = ρS∆x, kde ρ je hustota kapaliny, tedy nabude tvaru ρS∆x

∂ 2ψ ∂ 2ψ = SK ∆x ∂t2 ∂x2

Rychlost sˇ´ırˇenı´ fa´ze vlneˇnı´ v kapalineˇ

⇒

∂ 2ψ K ∂ 2ψ = ∂t2 ρ ∂x2

(G.1)

s vf =

K ρ

je tak za´visı´ na modulu objemove´ pruzˇnosti kapaliny a jejı´ hustoteˇ.

210

(G.2)

Prˇ´ıloha H Analy´za sˇ´ırˇenı´ vlnove´ho balı´ku V cˇla´nku 2.4.2 jsme si zavedli pojem grupove´ rychlosti na jednoduche´m prˇ´ıkladu superpozice dvou harmonicky´ch vlneˇnı´. Nynı´ se podı´vejme na o neˇco komplikovaneˇjsˇ´ı jednorozmeˇrny´ prˇ´ıklad tzv. vlnove´ho balı´ku, cozˇ je vy´sledne´ vlneˇnı´ slozˇene´ z harmonicky´ch vln ve tvaru A cos(ωt − kx), jejichzˇ amplitudy a jejichzˇ frekvence za´visı´ na vlnocˇtu (disperze), tj. je A = A(k) a ω = ω(k). Takove´to vlneˇnı´ mu˚zˇeme vyja´drˇit funkcı´, ktera´ je da´na superpozicı´ Z+∞ ψ(x, t) = A(k) cos[ω(k)t − kx]dk

.

(H.1)

−∞

Pro prˇesny´ vy´pocˇet bychom museli zna´t prˇesneˇ funkce A(k) (maxima´lnı´ vy´chylky jednotlivy´ch vln) a ω(k) (disperznı´ relace) – my si proble´m zjednodusˇ´ıme tak, zˇe budeme prˇedpokla´dat, zˇe amplitudy jsou nenulove´ pouze pro u´zky´ pa´s vlnocˇtu˚ k k0 − ∆k ≤ k ≤ k0 + ∆k a navı´c, zˇe jsou v tomto pa´su konstantnı´, tj. A(k) = A(k0 ) pro k ∈ (k0 − ∆k, k0 + ∆k). Potom superpozice H.1 bude k0Z+∆k ψ(x, t) = A(k0 ) cos[ω(k)t − kx]dk . (H.2) k0 −∆k

Prˇedpokla´da´me-li navı´c, zˇe disperznı´ za´vislost nenı´ v uvedene´m intervalu „divoka´“, mu˚zˇeme podle Taylorovy veˇty funkci ω(k) rozvinout kolem bodu k0 a prˇiblizˇneˇ psa´t ω(k) ≈ ω(k0 ) +

dω(k0 ) (k − k0 ) . dk

Zaved’me oznacˇenı´ ω0 ≡ ω(k0 ) a vg ≡

dω dk

211

PRˇI´LOHA H. ANALY´ZA SˇI´RˇENI´ VLNOVE´HO BALI´KU a prˇepisˇme [ω0 t + vg (k − k0 )] t − kx = ω0 t − k0 x + (k0 − k)(x − vg t) . Potom k0Z+∆k

ψ(x, t) = A(k0 )

cos[ω0 t − k0 x + (k0 − k)(x − vg t)]dk =

k0 −∆k k0Z+∆k

= A(k0 ) cos(ω0 t − k0 x)

cos[(k0 − k)(x − vg t)]dk −

k0 −∆k k0Z+∆k

− A(k0 ) sin(ω0 t − k0 x)

sin[(k0 − k)(x − vg t)]dk

.

k0 −∆k

Prvnı´ integra´l mu˚zˇeme vyrˇesˇit pomocı´ substituce κ ≡ k − k0 : +∆k Z

A(k0 ) cos(ω0 t − k0 x)

cos[κ(x − vg t)]dκ = A(k0 ) cos(ω0 t − k0 x)

−∆k

2 sin[∆k(x − vg t)] x − vg t

.

Stejna´ substituce prˇevede i druhy´ integra´l na +∆k Z

A(k0 ) sin(ω0 t − k0 x)

sin[κ(x − vg t)]dκ

.

−∆k

Podintegra´lnı´ funkce je licha´, a tedy je tento integra´l nulovy´. Celkem tedy mu˚zˇe by´t balı´k vln H.2 popsa´n rovnicı´ ψ(x, t) = 2A(k0 )

sin[∆k(x − vg t)] cos(ω0 t − k0 x). x − vg t

Uvedeny´ vy´raz vlastneˇ popisuje harmonickou vlnu s fa´zı´ ω0 t − k0 x, modulovanou „amplitudovou funkcı´“ sin[∆k(x − vg t)] 2A(k0 ) , x − vg t ktera´ ma´ tvar funkce (viz obr. ??) sin ξ , ξ tedy ma´ ostre´ maximum v bodech x = vg t. Mı´sta stejne´ amplitudy jsou urcˇena rovnicı´ x − vg t = konst . tj. mu˚zˇeme rˇ´ıkat, zˇe vlnovy´ balı´k se prˇesouva´ v prostoru rychlostı´ vg =

dω dk

cozˇ je grupova´ rychlost zavedena´ jizˇ v 2.20. 212

,

-20

-10

0

10

20

30

40

50

30

40

50

Obra´zek H.1: Graf funkce sin x/x

-20

-10

0

10

20

Obra´zek H.2: K sˇ´ırˇenı´ vlnove´ho balı´ku

213

PRˇI´LOHA H. ANALY´ZA SˇI´RˇENI´ VLNOVE´HO BALI´KU

-20

-10

0

10

20

30

40

50

40

50

Obra´zek H.3: K sˇ´ırˇenı´ vlnove´ho balı´ku

-20

-10

0

10

20

30

Obra´zek H.4: K sˇ´ırˇenı´ vlnove´ho balı´ku

214

Prˇ´ıloha I Meˇrˇenı´ rychlosti sveˇtla I.1

Galilei

Prvnı´ zaznamenany´ na´vrh zmeˇrˇenı´ rychlosti sveˇtla pocha´zı´ od Galilea Galilei. V Galileiho experimentu se dva pozorovatele´ se zahaleny´mi lucernami postavili na dva vzda´lene´ kopce – prvnı´ z nich odkryl svou lucernu (vyslal sveˇtelny´ signa´l) a zacˇal meˇrˇit cˇas. Druhy´ pozorovatel meˇl, jakmile uvidı´ sveˇtlo, odkry´t svoji lucernu. Cˇas se prˇestal meˇrˇit, jakmile prvnı´ pozorovatel spatrˇil sveˇtlo z lucerny druhe´ho pozorovatele.... Dnes se to touto metodou deˇla´ s uzˇitı´m odrazu od jiny´ch kosmicky´ch teˇles. Naprˇ. na Meˇsı´ci se instaloval koutovy´ odrazˇecˇ (co to je?) a zaznamena´vala se doba ... . (viz te´zˇ Kulha´nkova prˇedna´sˇka o konstanta´ch a fy velicˇina´ch z Aldebaranu)

I.2

Rømer

V roce 1676 Da´nsky´ astronom Ole Rømer (vı´ce viz E = mc2 ) Obeˇzˇna´ trajektorie Jupiterova nejblizˇsˇ´ıho meˇsı´ce Io lezˇ´ı prˇiblizˇneˇ v rovineˇ Jupiterova obeˇhu kolem Slunce. Rømer pecˇliveˇ studoval zatmeˇnı´ Io, jako se pohybuje ve stı´nu za Jupiterem. V roce 1676 prˇedpoveˇdeˇl, zˇe 9. listopadu Io vystoupı´ ze stı´nu o neˇjaky´ch 10 minut pozdeˇji, nezˇ by bylo mozˇno ocˇeka´vat na za´kladeˇ jeho pru˚meˇrne´ho pohybu beˇhem roku. Io vystoupila prˇesneˇ podle prˇedpoveˇdi a Rømer toto zpozˇdeˇnı´ spra´vneˇ vysveˇtlil pomocı´ konecˇne´ rychlosti sveˇtla. Byl schopen urcˇit, zˇe sveˇtlo k pru˚chodu pru˚meˇrem zemske´ trajektorie kolem Slunce (asi 300 milio´nu˚ kilometru˚) potrˇebuje asi 22 minut. Huygens a Newton byli prˇesveˇdcˇeni o spra´vnosti Rømerovy pra´ce. Po neza´visle´m odhadu vzda´lenosti Zemeˇ od Slunce dospeˇli k hodnota´m rychlosti sveˇtla 2, 3 · 108 m/s a 2, 4 · 108 m/s. Kdyby se Zemeˇ nepohybovala, byla by doba obeˇhu T0 . Zemeˇ se vsˇak za tuto dobu posune da´l nebo 215

PRˇI´LOHA I. MEˇRˇENI´ RYCHLOSTI SVEˇTLA

Obra´zek I.1: K Rømerovu odhadu rychlosti sveˇtla

blı´zˇ k Jupiteru. Prˇedpokla´dejme, zˇe se na´m posˇteˇstilo zmeˇrˇit doby zatmeˇnı´ jednoho z Jupiterovy´ch meˇsı´cu˚ pra´veˇ ve chvı´lı´ch, kdy se Zemeˇ nacha´zı´ na tecˇna´ch vedeny´ch z Jupitera k zemske´ obeˇzˇne´ dra´ze (viz obr. I.1), prˇitom na teˇchto tecˇna´ch mu˚zˇeme v dobre´m prˇiblı´zˇenı´ povazˇovat maly´ oblouk zemske´ trajektorie za prˇ´ımku. Da´le prˇedpokla´dejme, zˇe zatmeˇnı´ Io nastanou pra´veˇ ve chvı´li, kdy je Zemeˇ ve stejny´ch vzda´lenostech od Jupitera. V prˇ´ıpadeˇ, kdy se Zemeˇ k Jupiteru prˇiblizˇuje (ozn. A) bude na Zemi zmeˇrˇena´ doba za´krytu TA souviset s dobou T0 , kterou bychom nameˇrˇili, kdyby se Zemeˇ nepohybovala vztahem ³ vTA v´ TA = T0 − ⇒ T0 = TA 1 − c c V prˇ´ıpadeˇ, zˇe se Zemeˇ od Jupiteru vzdaluje (ozn. B) bude tento vztah ³ vTB v´ TB = T0 + ⇒ T0 = TB 1 − c c Porovna´nı´m pro rychlost sveˇtla ve vakuu zı´ska´me c= Rømerovi z meˇrˇenı´ vysˇla hodnota 215 000

TB + TA v TB − TA

km . s

I.3 Fizeau Fizeau - nava´zal na Galileiovy pokusy Prˇi pomalejsˇ´ım ota´cˇenı´ kola stacˇ´ı sveˇtlo projı´t zpeˇt stejnou mezerou. Prˇi zvysˇova´nı´ frekvence ota´cˇek dopadne prˇi urcˇite´ rychlosti ota´cˇenı´ sveˇtlo z mezery pra´veˇ na zub. 216

I.4. Foucault

Obra´zek I.2: Viz obr. ozubkolo2.doc

Je-li u´hlovy´ kmitocˇet ota´cˇenı´ ozubene´ho kola ω = 2πf , otocˇ´ı se kolo beˇhem doby ∆t o u´hel ∆ϕ = ω∆t. ´ hel odpovı´dajı´cı´ pootocˇenı´ ze strˇedu mezery na strˇed zubu zjistı´me takto: Oznacˇ´ıme-li sˇ´ırˇku mezery U cˇi zubu d a pocˇet zubu˚ n, bude pro obvod kola platit rovnice 2πr = 2nd Bude tedy

d π = r n Uva´zˇenı´m, zˇe za cˇas ∆t musı´ sveˇtlo urazit vzda´lenost l od ozubene´ho kola k zrcadlu a zpeˇt zı´ska´me rovnici π 2l = 2πf n c z nı´zˇ jizˇ snadno plyne vyja´drˇenı´ rychlosti sveˇtla z meˇrˇitelny´ch parametru˚: ϕ=

c = 4nf l chyba je da´na zejme´na neprˇesnostı´ urcˇova´nı´ okamzˇiku za´krytu (meˇrˇenı´ kmitocˇtu?)...

I.4

Foucault

Foucault tuto metodu upravil – pouzˇil mı´sto ozubene´ho kola rotujı´cı´ zrcadlo.

I.5

Michelson

Dalsˇ´ı zdokonalenı´ provedl Michelson

217

Literatura [1] HALLIDAY, WALKER, RESNICK: Fyzika. Vutium&Prometheus, Brno 2001 [2] KVASNICA J. A KOL.: Mechanika. Academia, Praha 1988 (vysˇlo nove´ vyda´nı´) [3] HLAVICˇKA A.: Fyzika pro pedagogicke´ fakulty I. SPN, Praha ??? [4] MAIN I. G.: Kmity a vlny ve fyzice. Academia, Praha 1990 [5] FEYNMAN R. P., LEIGHTON, SANDS: Feynmanovy prˇedna´sˇky z fyziky. Fragment, Praha ??? [6] FEYNMAN R. P.: Podivna´ teorie sveˇtla a la´tky. Aurora, Praha 199? [7] SALEH B. E. A., TEICH M. C.: Za´klady fotoniky 1-4. Matfyzpress, Praha 1994-1996 [8] SˇTRBA A.: Vsˇeobecna´ fyzika 3. Optika. Alfa-SNTL, Bratislava-Praha 1979 [9] DUSˇEK M.: Koncepcˇnı´ ota´zky kvantove´ teorie. Univerzita Palacke´ho v Olomouci, Olomouc 2002 [10] BARTSCH: Matematicke´ vzorce. ??? [11] TICHY´, SˇKRA´SˇEK: Aplikovana´ matematika. ???

218

Rejstrˇ´ık absolutneˇ cˇerne´ teˇleso, 56, 150 absorpce, 168, 169 absorpce sveˇtla, 126 amplituda, 16 amplitudy modulovane´, 34 analyza´tor, 134 Braggova podmı´nka, 97 chininova´ su˚l, 134 Comptonova vlnova´ de´lka, 166 Comptonu˚v jev, 163 Cornuova spira´la, 95 desticˇka cˇtvrtvlnova´, 140 dichroismus, 130 disperze, 44 disperznı´ relace, 44 disperznı´ za´kon, 44 doba zˇivota, 173 dra´hovy´ rozdı´l, 100 dvojlom, 129 dvojlom umeˇly´, 133 de´lka vlnova´, 38 deˇj prˇechodovy´, 26 dı´ra, 176 elektrodynamika kvantova´, 57 elektromagneticke´ vlneˇnı´ energie, 65 elektromagneticke´ vlneˇnı´ hybnost, 65 elektromagneticke´ vlneˇnı´ intenzita, 67 emise, 168 emise indukovana´, 170 emise sponta´nnı´, 169

emise stimulovana´, 170 energie elektromagneticke´ho vlneˇnı´, 65 energie potencia´lnı´, 21 Fizeau A. H. L., 56 fotoelasticimetrie, 143 fotoelasticita, 143 fotoelektricky´ jev vnitrˇnı´, 159 foton, 57 fotoodpory, 159 fotocˇla´nky hradlove´, 159 Foucault L. J. B., 56 Fourierova rˇada, 201 Fraunhoferovy ohybove´ jevy, 93 frekvence, 13 frekvence tlumene´ho pohybu, 24 frekvence u´hlova´, 16 Fresnel J. A., 91 Fresnelova pa´sma, 93 Fresnelovy ohybove´ jevy, 93 Fresnelu˚v hranol, 125 funkce Airyho, 87 funkce aperturnı´, 97 funkce stavova´, 14 funkce vlnova´, 36 fa´ze, 16 fa´ze komplexnı´ho cˇ´ısla, 195 fa´ze pocˇa´tecˇnı´, 16 fa´zorovy´ za´pis, 65 fa´zova´ rychlost, 39 Gaussova rovina, 195 grupova´ rychlost, 34 219

REJSTRˇI´K herapatit, 134 hranol Fresnelu˚v, 125 hranol odrazny´, 124 hustota energie elektromagneticke´ho pole, 65 hustota linea´rnı´, 37 Huygens, 90 Huygens Christiaan, 55 hybnost elektromagneticke´ho vlneˇnı´, 65 imagina´rnı´ jednotka, 195 index lomu (absolutnı´), 61 index lomu absolutnı´, 130 intenzita elektromagneticke´ho vlneˇnı´, 67 intenzita sveˇtla, 67 intenzita vyzarˇova´nı´, 147 intenzita vyzarˇova´nı´ spektra´lnı´ hustota, 148 interference, 56 interference polarizovane´ho sveˇtla, 137 interference cˇa´stecˇneˇ destruktivnı´, 72 interference cˇa´stecˇneˇ konstruktivnı´, 72 interference u´plneˇ destruktivnı´, 72 interference u´plneˇ konstruktivnı´, 71 interferencˇnı´ cˇlen, 70 interferometr Fabryu˚v-Perotu˚v, 88 interferometr Jaminu˚v, 81 interferometr Lummeru˚v-Gehrcheho, 88 interferometr Machu˚v-Zehnderu˚v, 81 interferometr Rozˇdeˇstvenske´ho, 81 interferometry dvousvazkove´, 81 inverze populace, 177 jednotka imagina´rnı´, 195 jev Comptonu˚v, 163 jev Faradayu˚v, 144 jev fotoelasticky´, 142 jev fotoelektricky´, 156 jev Kerru˚v, 143 jevy ohybove´ Fraunhoferovy, 93 jevy ohybove´ Fresnelovy, 93

katastrofa ultrafialova´, 153 kmitocˇet, 13 kmity nucene´, 13 kmity volne´, 13 koeficient absorpce, 127 kompara´tor, 81 kompenza´tory, 141 komplexnı´ sdruzˇenı´, 196, 197 komplexnı´ cˇ´ıslo fa´ze, 195 komplexnı´ cˇ´ıslo velikost, 195 kondenzor, 78 konstanta Planckova, 154 konstanta Planckova redukovana´, 155 konstanta Verdetova, 144 konstanta u´tlumu, 22 kontinuum, 35 krite´rium Rayleighovo rozlisˇovacı´, 98 krouzˇky Newtonovy, 80 krouzˇky stejne´ho sklonu, 78 krystaly dvojose´, 129 krystaly jednoose´, 129 kvanta energie, 56 kvantova´ elektrodynamika, 57, 90 kvantova´nı´, 56 kyvadlo Foucaultovo, 56 laser, 171 logaritmicky´ dekrement u´tlumu, 24 Maxwell J. C., 56 metastabilnı´ hladina, 174 modulace amplitudova´, 44 modulace frekvencˇnı´, 44 modulace fa´zova´, 44 meˇrna´ sta´cˇivost, 144 mrˇ´ızˇka opticka´, 83 napeˇtı´ brzdne´, 159 Newton Isaac, 55 Newtonova skla, 80 220

Rejstrˇ´ık Newtonovy krouzˇky, 80 obrazce Lissajousovy, 30 odraz tota´lnı´, 123 odrazivost, 121 ohyb sveˇtla, 90 opticka´ aktivita, 143 opticka´ mrˇ´ızˇka, 83 opticka´ osa, 129 opticka´ vla´kna, 125 opticke´ cˇerpa´nı´, 174 optika elektromagneticka´, 56 optika kvantova´, 57 optika paprskova´, 57 optika vlnova´, 57 oscila´tor, 13 oscila´tory sprˇazˇene´, 31 paprsek mimorˇa´dny´, 129 paprsek rˇa´dny´, 129 perioda, 13 Planck M., 56 PN prˇechod, 177 podmı´nky okrajove´, 38 pohltivost, 148 pokus Youngu˚v, 73 polarizace elipticka´, 64 polarizace kruhova´, 64 polarizace linea´rnı´, 64 polariza´tor, 134 poloha rovnova´zˇna´, 13 poloosa elipticke´ho kmitu, 136 polovodicˇ typu P,N, 177 polovodicˇe prˇ´ımeˇsove´, 177 polovodicˇe cˇiste´, 177 princip Fermatu˚v, 100 princip Huygensu˚v-Fresnelu˚v, 90 princip superpozice, 28 propustnost, 121

prouzˇky ekvidistantnı´, 74 prouzˇky stejne´ tlousˇt’ky, 79 prouzˇky stejne´ho sklonu, 78 pruzˇina tuhost, 15 pra´ce vy´stupnı´, 158 pyrometr, 155 pa´s valencˇnı´, 176 pa´s vodivostnı´, 176 refraktometr, 81 rekombinace, 176 rekombinace samovolna´, 177 rekombinace vynucena´, 177 relace disperznı´, 44 rezonance amplitudova´, 27 rezonance rychlostnı´, 27 rezonancˇnı´ frekvence, 27 rovina Gaussova, 195 rovnice charakteristicka´, 23 rovnice Maxwellovy, 90 rovnice vlnova´, 37 rozdeˇlenı´ Boseho-Einsteinovo, 57 rozdeˇlenı´ Maxwellovo, 56 rychlost fa´zova´, 39 rychlost grupova´, 44, 212 ra´zy, 29, 45 sdruzˇenı´ komplexnı´, 196, 197 spektrometr, 81 spektra´lnı´ hustota intenzity vyzarˇova´nı´, 148 stavova´ funkce, 14 tlumena´ vlna, 124 tlumenı´, 22 tok za´rˇivy´, 147 turmalı´n, 130 teˇleso cˇerne´, 150 teˇleso cˇerne´ absolutneˇ, 150 teˇleso cˇerne´mu absolutneˇ, 56 221

REJSTRˇI´K vektor Poyntingu˚v, 65 velikost komplexnı´ho cˇ´ısla, 195 velky´ trˇesk, 150 vlnoplocha, 46 vlnoplocha kulova´, 46 vlnova´ de´lka, 38 vlnova´ de´lka Comptonova, 166 vlnove´ cˇ´ıslo, 38 vlnovy´ balı´k, 211 vlnocˇet, 38 vlnocˇet u´hlovy´, 38 vlneˇnı´ pode´lne´, 41 vlneˇnı´ postupne´, 45 vlneˇnı´ rovinne´, 47 vlneˇnı´ smı´sˇene´, 45 vlneˇnı´ stojate´, 43, 45 vrstva planparalelnı´, 76 vzorce Fresnelovy, 117, 118 vzorec Thomsonu˚v, 20

u´hlova´ frekvence, 16 u´hlovy´ vlnocˇet, 38 u´tlum, 24

zdroj vlneˇnı´ elementa´rnı´, 90 za´kon disperznı´, 44 za´kon Hookeu˚v, 39 za´kon Lambertu˚v absorpcˇnı´, 127 za´kon lomu, 116 za´kon odrazu, 116 za´zneˇje, 29 za´rˇenı´ reliktnı´, 150 za´rˇenı´ tepelne´, 152 za´rˇivy´ tok, 147 cˇinitel odrazu amplitudovy´, 118 cˇinitel prostupu amplitudovy´, 118 cˇ´ıslo vlnove´, 38 e´ter, 55 rˇada Fourierova, 201 u´hel Brewsteru˚v, 122 u´hel meznı´, 88, 123 222