22. Mechanické a elektromagnetické kmity 1. Mechanické kmity Oscilátor – t leso, které je schopné kmitat, (kmitání zp sobuje síla pružnosti, nebo tíhová síla, p i kmitání se periodicky m ní potenciální energie oscilátoru v energii kinetickou a naopak) p.
Pojmy související s kmitavým pohybem: - okamžitá výchylka y - amplituda výchylky ym v - rychlost - zrychlení a v = 0m/s, y = y m , a – max. - krajní poloha - rovnovážná poloha v - max., y = 0m, a = 0ms-2 T (doba, za kterou p ejde oscilátor z jedné krajní - doba kmitu = perioda polohy do druhé a zp t) T t= - doba kyvu 2 1 - frekvence f = (po et kmit za asovou jednotku), [f] = s-1= Hz T 2π ω= = 2πf , [ω ] = s-1 - úhlová frekvence T
A. Kinematika harmonického kmitavého pohybu: v0 = ω ⋅ y m
a 0 = ω 2 ⋅ y m ϕ = ωt (fáze kmit. pohybu)
M: a = sin ϕ a0
a = - a 0 ⋅ sin ωt
a = - ω2 y →
(-zd raz uje opa nou orientaci výchylky y a vektoru a ) v = cos ϕ v = v 0 ⋅ cos ωt v = ω ⋅ y m ⋅ cos ωt v0 A: (rovnovážná poloha)
B: (krajní poloha)
ϕ =0
ϕ=
y = y m ⋅ sin 0 = 0m
y = y m ⋅ sin
a = −ω 2 y = 0ms −2
a = −ω 2 y m
v = ωy m ⋅ cos 0 = ω ⋅ y m
→ max .
π
2
π 2
v = ωy m ⋅ cos
= ym
→ max .
→ max .
π 2
= 0ms − 2
Harmonický kmitavý pohyb – je takový pohyb, u kterého zrychlení je p ímo úm rné okamžité výchylce a vektor zrychlení sm uje vždy do rovnovážné polohy (je opa n orientovaný než výchylka) – graf závislosti okamžité výchylky y na ase t je sinusoida Fáze kmitavého pohybu: ϕ 0 - po áte ní fáze (odpovídá úhlu, který má opsán pr vodi oscilátoru v ase t = 0s ) pokud oscilátor neprochází v ase t = 0s rovnovážnou polohou platí: y = y m ⋅ sin(ωt + ϕ 0 ) a = − y mω 2 ⋅ sin(ωt + ϕ 0 ) v = ω ⋅ y m ⋅ cos(ωt + ϕ 0 ) Grafické znázorn ní harmon. kmit. pohybu: 1) asový diagram - graf y = f (t )
2) fázorový diagram (fázor ~ vektor)
Skládání kmitavých pohyb : 1. IZOCHRONNÍ . . . y1 = y m1 ⋅ sin(ωt + ϕ1 ) y 2 = y m 2 ⋅ sin(ωt + ϕ 2 ) a) asový diagram: Pro každý asový okamžik je okamžitá výchylka výsledného pohybu rovna algebraickému sou tu díl ích okamžitých výchylek. Výsledný pohyb je harmonický a jeho perioda a frekvence je stejná jako u pohyb skládaných. yV = y m ⋅ sin(ωt + ϕV ) , kde yV = y1 + y 2 2. NEIZOCHRONNÍ – složité nap .
T - stejná, f - stejná, ω - stejná
b) fázorový diagram:
B. Dynamika harmonického kmitavého pohybu: T leso o hmotnosti m zav šené na pružin o tuhosti k :
→
→
→
→
→
FV = FG + F1
FG = − FN
FV = FG − F1
FG = FN
FV = mg − k (∆l + y )
mg = k ⋅ ∆l
FV = −ky FV = am
Harmonické kmitání mechanického oscilátoru je zp sobeno silou F, jejíž velikost je p ímo úm rná výchylce y a má v každém okamžiku sm r do rovnovážné polohy: F = −ky , kde k je tuhost pružiny, která je charakteristickou vlastností pružiny oscilátoru, [k ] = Nm −1 Vlastní kmitání oscilátoru – kmitání mechanického oscilátoru, p i n mž je oscilátoru dodaná energie jen v po áte ním okamžiku a dále probíhá periodická p em na E p ↔ E k – závisí pouze na parametrech oscilátoru – je vždy tlumené
perioda vlastních kmit pružinového oscilátoru: T = 2π frekvence vlastních kmit pružinového oscilátoru: f =
Matematické kyvadlo:
1 2π
perioda vlastních kmit kyvadla: T = 2π
l g
frekvence vlastních kmit kyvadla: f =
1 2π
nezáleží na hmotnosti zav šeného t lesa
m k
k m
g l
C. Energie harmonického kmitavého pohybu: - ZZE: P i harmon. kmit. pohybu dochází k p em n E k v E p a naopak a to tak, že celkový sou et obou energií je v každém okamžiku konstantní. 1 2 EC = E k + E p EC = k ⋅ y m 2 Chceme-li, aby oscilátor kmital netlumen , musíme dodávat energii. Oscilátor netlumených kmit – rezonátor.
P sobením vn jší periodické síly na oscilátor vzniká nucené kmitání oscilátoru. Jeho perioda odpovídá period vn jšího p sobení na oscilátor. Amplituda oscilátoru je p i každé frekvenci kmitání jiná. Nejv tší amplitudu má p i rezonanci. Rezonance – jev prudkého zvýšení amplitudy výchylky rezonátoru v okamžiku, kdy se frekvence dodávek energie shodne s frekvencí vlastních kmit rezonátoru. Užití rezonance: - zesilování kmit -
Potla -
– k zesílení zvuku hudebních nástroj (rezonan ní sk í ky) – v elektroakustických za ízeních - lad ní kanál (rozhlas, televize)
škodlivý vliv rezonance – stroje v továrn : ω stroje = ω podlahy rezonance m že propadnout – rozkmitání automobilu vlivem nerovnosti vozovky – p ed mostem velitel velí rot „zrušit krok“ ení nežádoucí rezonance: zm na frekvence vlastního kmitání dopln ní mechanizmu tlumi i kmit zv tšení t ení mechanizmu
patro se
2. Elektromagnetické kmity Elektromagnetický oscilátor – elektrický obvod, který kmitá a je zdrojem st ídavého nap tí pot ebné frekvence (nejjednodušší je oscila ní obvod – tvo en cívkou o induk nosti L a kondenzátorem o kapacit C)
– základní prvek pro velké množství za ízení (nap . pro sd lovací techniku, sou ást každého vysíla e) – periodicky p em uje energii elektrického pole v energii magnetického pole a naopak (pouze v malém, omezeném prostoru oscilátoru – v praxi je pot eba dostat
E el od zdroje ke spot ebi i) – v praxi dochází ke ztrátám energie elmg. kmity jsou tlumené
Pro získání netlumených kmit je nezbytné dodávat v pravidelných intervalech energii (nabíjet kondenzátor ze zdroje st ídavého nap tí), používají se k tomu další elektronické obvody celé za ízení se nazývá generátor netlumeného kmitání. Nucené kmitání elmg. oscilátoru – kmity, kterými je dodána energie vlastní kmity oscila ního obvodu: 1 T = 2π LC f = 2π LC
ω - m nitelná frekvence
ω0 =
využití – sd lovací
1
technika
LC
3. Analogie mezi mechanickým a elmg. oscilátorem analogické veli iny: mech. elmg. Ep E el
Ek m v y k F
E mg
L I Q 1 C U
