1
2
Obsah předmětu
Fyzika pro chemiky II
I. Elektromagnetické vlny a optika I.1. Elektromagnetické vlny I.2. Polarizace vlnění I.3. Odraz a lom světla I.4. Optické zobrazení – zrcadla I.5. Optické zobrazení – čočky I.6. Soustavy dvou čoček I.7. Základy fyzikální optiky – interference vlnění I.8. Interference vln na tenké vrstvě I.9. Difrakce na otvoru I.10. Difrakce na mřížce
Jarní semestr 2014 Elektromagnetické vlny a optika Fyzika mikrosvěta Fyzika pevných látek Petr Mikulík
II. Elementy kvantové fyziky II.1. Kvantový popis světla II.2. Bohrův model atomu II.3. De Broglieho vlny II.4. Základy kvantové mechaniky v 1 dimenzi II.5. Základy formální kvantové teorie II.6. Základy kvantové mechaniky ve 3 dimenzích II.7. Atomy
Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita, Brno
3 III. Základy fyziky pevných (tuhých, kondenzovaných) látek III. Úvod – rentgenová odrazivost, difrakce, transmise III.1. Vazby v pevných látkách III.2. Elektrony v kovu III.3. Pásová teorie III.4. Polovodičové prvky, výroba polovodičových součástek III.5. Magnetické vlastnosti pevných látek III.6. Supravodivost Literatura D. Halliday, R. Resnik, J. Walker, Fyzika, VUTIUM Brno 2000 R. A. Serway, C. J. Moses, C. A. Moyer, Modern Physics, Thomson Learning 1997 C. Kittel, Úvod do fyziky pevných látek, Academia 1984 a J. Wiley, New York 1996
4
Interakce látky a záření Fotoemise
Elipsometrie Fluorescence
Vzorek (+ teplota, tlak, mg. pole, čas)
Spektroskopie
Foton
• Medicína
Dopadající svazek
Tomografie Refrakce
Neelastický rozptyl
Difrakce
• Chemie • Biologie
absorptio n Zobrazování
Změna energie
• Materiálové vědy
Elektron Absorbce
Na základě přednášek Fyzika pro chemiky II – Václav Holý www.physics.muni.cz/~holy
• Fyzika
• Životní prostředí • Vědy o Zemi
• Předměty kulturního Maloúhlový Elastický dědictví rozptyl rozptyl
5
Optická lavice, optická osa, přístroje jednoduché i velmi složité …
6
Světlo Poznatky o světle známé z pozorování: – světlo se šíří přímočaře – paprsky jsou nezávislé a neovlivňují se navzájem – paprsky se odráží na rozhraní různých prostředí pod stejným úhlem – při průchodu paprsků do jiného prostředí dochází k lomu – chod paprsků je možno zaměnit
Vlnová teorie světla – Christiaan Huygens (1690) Světlo je vlnění a šíří se ve vlnoplochách.
Korpuskulární teorie světla Vlnově částicový přístup (přelomová období r. 1800 a r. 1900 ) korpuskulární teorie světla – Isaac Newton (1704) Částice o různých velikostech (barvy) se šíří velkou rychlostí, větší rychlost částic v hustším prostředí – Newtonovo vysvětlení lomu (nesprávné). Fotoefekt (Heinrich Hertz, Albert Einstein)
7 I. ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY A OPTIKA E(r,t) a D(r,t): elektrická intenzita, elektrická indukce H(r,t) a B(r,t): magnetická intenzita, magnetická indukce I.1. Elektromagnetické vlny Historie: Teorie elektromagnetismu (J.C. Maxwell): světlo je elektromagnetické vlnění, elektromagnetické vlnění má vlastnosti analogické světlu – odraz elektromagnetického vlnění, lom na rozhraní atd. Experimentální ověření existence elektromagnetických vln šířících se rychlostí světla, jejich odrazu a lomu, tedy první bezdrátový přenos: Heinrich Hertz (1857–1894)
vlnová délka (m, nm) – energie (eV) – frekvence (Hz)
8 Postupná elektromagnetická vlna Elektromagnetická vlna vzniká nerovnoměrným pohybem nabitých částic – např. elektronů v anténě
Elektrické a magnetické pole se šíří současně; změna elektrického pole vyvolává pole magnetické a naopak.
Zdroje: svíčka žárovka výbojka světelná dioda (LED) fluorescence fosforescence laser synchrotron
9
10
Elektromagnetické vlnění
Maxwellovy rovnice a materiálové vztahy
Světlo je vlnění elektromagnetického pole, které je charakterizováno elektrickou E a D a magnetickou B a H složkou elektromagnetické vlny. Tyto složky jsou na sobě závislé (Maxwellovy rovnice) a pro popis optických jevů je podstatná elektrická složka E, která souvisí s většinou optických jevů v látkách (lom, rozptyl, luminescence, …).
Elektrické a magnetické pole se šíří současně; změna elektrického pole vyvolává pole magnetické a naopak.
E, D, B, H … intenzita, indukce; řešení pro izotropní či homogenní prostor …
Foton je vlnové klubko – puls elektromagnetického vlnění, který je omezen v prostoru a čase.
Spektrální čáry rtuti: Šířka čáry vs doba života, Lorentzova křivka profilu spektrální čáry, … Závislost na poloze v prostoru a čase, např.:
Závislost na poloze v prostoru, např.:
11 Z Maxwellových rovnic pro vakuum (j=0, =0) plyne vlnová rovnice pro elektromagnetické vlnění:
∂2 E 1 ∂2 E Δ E = ε0 μ0 2 ≡ 2 2 ∂t c ∂t
12 Důležité vlastnosti elektromagnetického pole ve vakuu (platí přibližně i ve většině materiálů) • Elektromagnetické vlnění je příčné, tj. vektory E a B jsou kolmé na směr šíření vlny. • Vektory E a B jsou na sebe kolmé. • V případě monochromatického (harmonického) vlnění mají vlny E a B stejnou frekvenci a jsou ve fázi. Předpokládejme například, že vlnění se šíří podél osy z a vlna E je polarizována v rovině xz:
Fázová rychlost elektromagnetického vlnění
c ve vakuu je fundamentální fyzikální konstanta:
1 c= = 2,99792458⋅108 m⋅s−1 ≈ 3⋅108 m⋅s−1 √ ε0 μ0
E(r , t ) = E(r) e
Stacionární řešení vlnové rovnice:
±iω t
E=E 0 Re [ e−i(ω t−k z) ] , E 0=(E 0 ,0, 0) Vlna B je potom
B=B0 Re [ e−i(ωt−k z) ] , B 0=(0, E0 √ ε 0 μ0 , 0)
Postupná elektromagnetická vlna přenáší energii. Hustoty toku energie (tj. přenesený výkon jednotkovou plochou kolmo na směr šíření vlnění) je dán Poyntingovým vektorem
S=
1 E×B μ0
jehož směr určuje směr šíření vlnění. Fáze postupného monochromatického vlnění je ϕ = ω t−k z
13 Místo konstantní fáze
ϕ = ω t−k z=konst
se pohybuje fázovou rychlostí:
I.2. Polarizace vlnění
dz ω v= = dt k
Polarizační rovina je určena vektory E a k.
Vlnoplocha je geometrické místo konstantní fáze. Vlnoplocha postupné vlny se posouvá fázovou rychlostí v. Rovinná vlna má rovinnou vlnoplochu kolmou na vlnový vektor k. Rovnice rovinné vlny je E=E Re e −i(ωt −k⋅r) 0
[
Elektromagnetická vlna je příčná, proto
Lineárně polarizované elektromagnetické vlnění – směr polarizační roviny se nemění v prostoru ani v čase (lasery).
]
E⋅k =0
skalární součin k∙r
Kruhově polarizované vlnění – polarizační rovina se stáčí v prostoru i v čase.
Kulová vlna má kulovou vlnoplochu, jejíž poloměr se zvětšuje rychlostí v. Rovnice kulové vlny šířící se z bodového zdroje v počátku souřadnic je
E=
14
A −i(ωt−k r ) ] Re [ e r
Nepolarizované vlnění (žárovka, Slunce).
součin velikostí k.r
V dalším vynecháme symbol Re. Intenzita vlnění je pak dána vztahem *
I =∣E⋅E ∣
Polarizační filtry – látky s dlouhými lineárními molekulami – v ideálním případě propouštějí jen jeden směr polarizace dopadajícího světla.
15
16
Šíření vlny v prostředí … Index lomu, vlnová délka, …
Malusův zákon Propustnost polarizačního filtru pro lineárně polarizované světlo je funkcí úhlu mezi polarizační rovinou a směrem propouštěné polarizace 2
I = I 0 cos (Θ) Polarizátor a analyzátor … viz demonstrační pokus Stáčení polarizace: cukr … sacharóza (pravotočivá) vs fruktóza (levotočiváú → přístroj na měření cukernatosti: sacharimetr. V anizotropním prostředí je fázová rychlost světla závislá na polarizaci – dvojlom světla. světla Dvojlom se pozoruje ve všech monokrystalech (propustných pro světlo) kromě kubických
ϵ = ϵ(r)
a jsou permitivita a permeabilita prostředí r a r jsou relativní permitivita a relativní permeabilita prostředí, =r 0
εμ=
1 2 v
ε 0 μ0 =
a
Velikost vlnového vektoru (vlnové číslo)
k=
1 2 c
n=
Frekvence
c = √ ε r μ r ≈ √ εr v
Index lomu
2π 2π ν 2π νn 2π n = = = = n k0 λ v c λ0
Vlnová délka Fázová rychlost světla v prostředí
Rychlost světla Vlnová délka ve vakuu ve vakuu
Vlnové číslo ve vakuu 16
17
Index lomu funkcí λ … interakce látky a záření
Chromatická disperze n( λ) = A+
18
B C + +⋯ λ2 λ4
Závislost indexu lomu taveného křemene na vlnové délce světla: Typické hodnoty indexu lomu pro = 589 nm: vakuum vzduch
voda
etanol roztok cukru 30 %
roztok cukru 80 %
glycerol řepkový benzen nitrobenzen sklo olej
1,36
1,49
1,473
diamant
1,46 – 1,89 n
1
1,00029 1,33
1,38
1,476
1,50
1,554
obvykle pro výpočty: 1,5
2,42
Křemík:
n(λ) = 3,397 + 1,40513∙10 5 nm2 / λ2 + 1,992∙10 10 nm4 / λ4 Ale: závislost indexu lomu světla na vlnové délce n(λ) – chromatická disperze
19
Imaginární část indexu lomu … absorbce
V této a následujících kapitolách použijeme aproximaci geometrické optiky. optiky V této aproximaci se světlo v homogenním prostředí šíří po přímce – zanedbáme ohyb světla.
Imaginární část indexu lomu a koeficient absorbce:
Průchod světla rozhraním dvou prostředí:
n ' = n+ i k
odražená vlna
dopadající vlna
1
E( z) = E e
1’
v1
2
v2
in k 0 r Úhly dopadu, odrazu a lomu: měříme od kolmice k rozhraní
Lambertův–Beerův zákon:
I ( z) = I 0 e
20 I.3. Odraz a lom světla
− t
lomená vlna
μ … index absorbce Při průchodu rozhraním se zachovává frekvence vlnění a tečná složka vlnového vektoru. Odtud lze odvodit:
Aplikace: • Absorbce viditelného světla • Infračervená absorpční spektroskopie • Rentgenová radioagrafie a tomografie (různé μ pro různé materiály)
Zákon odrazu
θ1 = θ1 ' Odvození: viz přednáška
Zákon lomu – Snellův zákon
n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ2
21 Světlo prochází z prostředí opticky řidšího do prostředí opticky hustšího → lom ke kolmici:
22 Disperze n(λ): rozklad bílého světla lomem
odražená vlna
dopadající vlna
1
1’
n1
vzduch
2
n2 > n1
sklo
sklo vzduch
lomená vlna
Světlo prochází z prostředí opticky hustšího do prostředí opticky řidšího → lom od kolmice: odražená vlna
dopadající vlna
1
1’
nfialová > nčervená → fialová barva se lomí méně a tudíž je blíže kolmici
n1
2 lomená vlna
n2 < n1
23
24 Odrazivost rozhraní – poměr intenzit odraženého a dopadajícího světla
Úplný (totální) odraz světla na rozhraní:
2
2 = /2
ze Snellova zákona plyne kritický úhel:
θ m = arcsin n=
( 1n )
R=
Vzorce pro rp, rs, a pro tp, ts se nazývají Fresnelovy koeficienty
1
m
n2 je index lomu rozhraní n1
Odrazivost rozhraní vzduch – sklo:
K totálnímu odrazu světla dochází při průchodu rozhraním z prostředí opticky hustšího do opticky řidšího pro úhel dopadu větší než m. Vlna v opticky řidším prostředí se exponenciálně tlumí (evanescentní vlna).
n (589 nm)
I refl ∣E refl∣2 = I inc ∣Einc∣2
voda
etanol
sklo
diamant
1,33
1,36
1,5
2,42
kritický úhel, rozhraní látka → vzduch
Spočtěte sami!
Brewsterův úhel
Kolmá odrazivost
25
26
Hodina číslo 2
Polarizace světla odrazem S- a P-polarizované světlo:
Je-li úhel dopadu 1 roven Brewsterovu úhlu B, pak se P-polarizované světlo neodráží. Z Fresnelova koeficientu rp plyne, že
θ B = arctan (n)
n (589 nm)
voda
etanol
sklo
diamant
1,33
1,36
1,5
2,42
Brewsterův úhel, rozhraní vzduch → látka
Spočtěte sami!
27 Průchod světla destičkou – posuv vystupujícího paprsku
28 Optické zobrazení – principy Přiblížení geometrické optiky – šíření světla se modeluje paprsky, světlo se šíří přímočaře, pokud neprochází rozhraním. Ohyb světla se zanedbá.
Definice optického zobrazení
Viz přednáška nebo Spočtěte sami!
předmět
optický systém
skutečný obraz
oko pozorovatele
stínítko, detektor
paprsky vycházející z téhož bodu předmětu se po průchodu optickým systémem protínají v tomtéž bodě skutečného obrazu. Skutečný obraz je možno pozorovat na stínítku.
Aberace: – chyby dokonalého zobrazení – neprotínají-li se, případně je to různé pro různé vlnové délky.
29
30
I.4. Optické zobrazení – zrcadla Rovinné zrcadlo
optický systém
předmět
oko pozorovatele
zdánlivý obraz zdánlivý vzpřímený obraz
předmět Prodloužené paprsky prošlé optickým systémem se protínají v tomtéž bodě zdánlivého obrazu. Zdánlivý obraz není možné zachytit na stínítku
l
l’
l = l'
Oko pozorovatele (jakožto optický systém) převádí zdánlivý obraz na skutečný obraz na sítnici. Bodu P’ říkáme virtuální obraz bodu P, když paprsky po průchodu optickým systémem se šíří tak, jako by vycházely z tohoto bodu.
31
Kulové zrcadlo vypuklé = konvexní
32 U parabolického zrcadla je popsaný chod paprsků dodržen i mimo paraxiální přiblížení.
vyduté = konkávní
C je střed křivosti zrcadla, R je poloměr křivosti Paraxiální přiblížení: • vzdálenost paprsků rovnoběžných s optickou osou je mnohem menší než poloměr křivosti • úhel paprsků s optickou osou je velmi malý
Zobrazení kulovým zrcadlem Zobrazovací rovnice kulového zrcadla
1 1 1 + = a a' f
Příčné zvětšení obrazu – poměr výšek obrazu a předmětu
m=
Chod paprsků vydutým zrcadlem (paraxiální přiblížení) F je ohnisko zrcadla, Ohnisková vzdálenost:
f = R /2
1. paprsek rovnoběžný s ohniskovou osou se odráží do ohniska 2. paprsek procházející středem zrcadla se odráží do středu zrcadla 3. paprsek procházející ohniskem je po odrazu rovnoběžný s optickou osou
h' a' =− h a
V případě vydutého kulového zrcadla je f > 0. Je-li a > 2f, je f < a’ < 2f, obraz je reálný, převrácený, zmenšený (-1 < m < 0) Je-li a = 2f, je a’ = 2f, obraz je reálný, převrácený, m = -1 Je-li f < a < 2f , je a’ > 2f, obraz je reálný, převrácený, zvětšený (m < -1) Je-li a < f, je a’ < 0, obraz je zdánlivý, přímý (m > 0) V případě vypuklého zrcadla je f < 0. Vždy vzniká vzpřímený (m > 0) a zdánlivý obraz za zrcadlem (a’ < 0).
33
34 Tenké čočky
Optické zobrazení – čočky
Předpokládejme, že index lomu materiálu čočky n je větší než 1, index lomu okolí je 1. Tenká čočka – její tloušťka na optické ose je mnohem menší než její průměr a poloměry lámavých ploch R1,2
Jedna lámavá plocha – zakřivené rozhraní dvou prostředí Paraxiální přiblížení Snellův zákon v paraxiálním přiblížení
n1 θ 1 = n2 θ2
ohnisková vzdálenost f >0
Platí přitom
θ1 = α 1+ γ , θ2 = γ−α 2 , BV BV BV α1 ≈ , α2 ≈ ,γ≈ a a' R Odtud plyne zobrazovací rovnice lámavé plochy (pozor na znaménka a a a’) ohnisková vzdálenost f <0
n 1 n 2 n 2−n1 + = a a' R
Obrazová a předmětová rovina
V případě vyduté lámavé plochy je R < 0.
35 Definice ohniska – čočky
36 Chod svazku paprsků čočkou
P’
C
F‘
F
´
C
F‘
´
vlnoplochy 1.
Rovnoběžný svazek paprsků svírající s optickou osou úhel se protíná v obrazové ohniskové rovině v průsečíku P'.
2.
Polohu tohoto průsečíku určí paprsek svazku jdoucí středem čočky. Bod P' můžeme považovat za obraz bodu P, který leží nekonečně daleko od čočky. Ohnisková rovina je pak i obrazovou rovinou.
3.
Podle principu reversibility se paprsky vycházející z bodu ohniskové roviny šíří za čočkou rovnoběžně s paprskem jdoucím středem čočky.
1. Paprsky rovnoběžné s optickou osou se po průchodu čočkou protínají v obrazovém ohnisku (definice ohniska). 2. Rovinnou vlnu změnila čočka ve vlnu kulovou. 3. Čočka při zobrazování nemění fázový rozdíl mezi paprsky. 4. Princip reverzibility v geometrické optice říká, že dráhy paprsků optickým systémem nezávisí na směru šíření světla.
37 Tenká čočka se popisuje jako soustava dvou lámavých ploch s poloměry R1,2. Zobrazovací rovnice první plochy (zleva) je
Chod paprsků tenkou spojkou (f>0)
1 n n−1 + = a a '' R1 Zobrazovací rovnice druhé plochy je
Paprsek (1) rovnoběžný s optickou osou prochází po průchodu čočkou obrazovým ohniskem. Paprsek (2) procházející předmětovým ohniskem je po průchodu čočkou rovnoběžný s optickou osou. Paprsek (3) procházející vrcholem čočky zachovává směr.
n 1 1−n − + = a '' a' R2 Odtud plyne zobrazovací rovnice tenké čočky
(
1 1 1 1 1 1 + = , = (n−1) − a a' f f R1 R2
Příčné zvětšení je:
)
m=−
38 H a H´ jsou předmětový a obrazový hlavní bod, F a F´ jsou předmětové a obrazové ohnisko čočky, V je vrchol čočky.
a' a
Přitom se použila znaménková konvence
a>0
Je-li a > 2f, je f < a’ < 2f, obraz je reálný, převrácený, zmenšený (-1 < m < 0) Je-li a = 2f, je a’ = 2f, obraz je reálný, převrácený, m = -1 Je-li f < a < 2f , je a’ > 2f, obraz je reálný, převrácený, zvětšený (m < -1) Je-li a = f, je a’ → ∞ Je-li a < f, je a’ < -f, obraz je zdánlivý, přímý, zvětšený (m > 1)
a’ > 0
39 Vzájemné polohy předmětu a obrazu spojky. 6' je zdánlivý předmět (a < 0), jemuž odpovídá skutečný obraz 6.
f
40
Chod paprsků tenkou rozptylkou (f<0) H a H´ jsou předmětový a obrazový hlavní bod, F a F´ jsou předmětové a obrazové ohnisko čočky, V je vrchol čočky.
Paprsek (1) rovnoběžný s optickou osou prochází po průchodu čočkou obrazovým ohniskem. Paprsek (2) procházející předmětovým ohniskem je po průchodu čočkou rovnoběžný s optickou osou. Paprsek (3) procházející vrcholem čočky zachovává směr. Obraz je vždy je zdánlivý, vzpřímený a zmenšený (0 < m < 1).
41
42 Oko
Vzájemná poloha předmětu a obrazu rozptylky. 2–5 jsou zdánlivé předměty (a < 0)
Doplňte sami!
Oko – optická mohutnost – dioptrie
43
44
Soustavy dvou čoček – zobrazení lupou oko je velmi blízko lupě
Dioptrie = 1/ohnisková vzdálenost v metrech
Čočka oka
Čočka lupy čočka s f=1 m má 1 dioptrii, pro f=0,1 m je 10 dioptrií
P
Zdravé lidské oko: 60 dioptrií, dokáže ji měnit až o 15 dioptrií za cca 1/3 sekundy; 1/10 sekundy se udává jako reakční doba
P
Sítnice oka
F1
F1
F2
F2
a l0
2.
P
1.
Virtuální obraz vytváří 1. spojka a 2. spojka jej zobrazuje jako reálný obraz na stínítko. Obraz P´´ vytváří jen malý svazek paprsků ze širokého svazku procházejícího 1. čočkou. Dalekozrakost:
Krátkozrakost:
Předmět dáme jej do takové vzdálenosti a, aby obraz vznikl ve vzdálenosti l0 = 25 cm (konvenční zraková vzdálenost). Oko (čočka 2), pak vidí virtuální obraz (přímý, zvětšený).
Úhlové zvětšení je:
m=
l0 25 cm = f f
45
I.6. Soustavy dvou čoček
46 Mikroskop
Dvě spojky – mikroskop
1 mm
První čočka (objektiv) vytvoří obraz blízkého předmětu v předmětovém ohnisku druhé čočky (okuláru). Okulár vytvoří obraz v nekonečnu, oční čočkou se převede na sítnici oka. Úhlové zvětšení předmětu je
mθ =
sl θ' = 0 θ f 1f 2
Zvětšení – měřítko Pozorování okem nebo záznam fotoaparátem či kamerou Hloubka ostrosti Rozlišovací schopnost – čtverečky či čáry Binokulární mikroskop, stereomikroskop, …
θ je úhel pod kterým je vidět předmět v konvenční zrakové vzdálenosti l0=25 cm, s je vzdálenost mezi obrazovým ohniskem objektivu a předmětovým ohniskem okuláru. 1)
Mikroskop má okulár a při pozorování obrazu přikládáme oko těsně k okuláru. Okulár a oko pak představují projektiv, který promítá meziobraz na sítnici.
2)
Při ostření mikroskopu měníme vzdálenost mezi preparátem a objektivem tak, abychom viděli ostrý obraz, bez ohledu na to, zda nosíme brýle nebo ne. Při práci s mikroskopem nepoužíváme brýle!
47
I.6. Soustavy dvou čoček
Spojka a rozptylka – Galileiho dalekohled
Dvě spojky – Keplerův dalekohled
Obrazové ohnisko 1. čočky splývá s předmětovým ohniskem 2. čočky Vzdálený předmět (a → ∞) se zobrazí do obrazového ohniska F 1 1. čočky (objektivu). Tento obraz je předmětem pro 2. čočku (okulár). Obraz se vytvoří v nekonečnu (a' → ∞) , oční čočkou se zobrazí na sítnici oka. Úhlové zvětšení dalekohledu je
mθ =
48
f θ' =− 1 θ f2
Obrazové ohnisko 1. čočky splývá s předmětovým ohniskem 2. čočky Vzdálený předmět (a →∞ ) se zobrazí do obrazového ohniska F 1 1. čočky (objektivu). Tento obraz je zdánlivým předmětem pro 2. čočku (okulár). Obraz se vytvoří v nekonečnu (a ' → ∞) a oční čočkou se zobrazí na sítnici oka. Úhlové zvětšení dalekohledu je
mθ =
θ' f 1 = θ f2
49
Vady čoček
50
Hodina číslo 3 Otvorová vada
Sinová podmínka
Koma
Aplanáty
Barevná vada
Apochromatická čočka
Astigmatismus (nesférický tvar) meridianový řez
poduškovité
sagitální řez
soudkovité
51 I.7. Základy fyzikální optiky – interference vlnění Doposud jsme šíření světla popisovali v geometrické aproximaci – zanedbali jsme ohyb a interferenci vlnění, předpokládali jsme, že v homogenní prostředí se světlo šíří přímočaře. V této kapitole uvážíme vlnovou povahu světla, která vysvětlí interferenci a ohyb vlnění. Z Maxwellových rovnic lze odvodit Huygensův–Fresnelův princip: princip Všechny body na vlnoploše v čase t jsou zdrojem sekundárních kulových vln, jejichž superpozicí vzniká další vlnoplocha v čase t+t
52
Skládání vln
Fázory = komplexní amplitudy V fyzice máme: skaláry, vektory, tenzory, komplexní amplitudy Vycházeje z geometrické definice funkce sinus lze stav vlnění znázornit jako fázor. Při superpozici vln se fázory sčítají jako vektory. Toto pravidlo nám pomůže najít amplitudu výsledného vlnění. Z geometrické konstrukce pro velikost výsledného vektoru plyne (kosinová věta)
E 2=E 21 + E 22+ 2 E 1 E 2 cos ( α 2−α 1 )
xi
Fázor = komplexní amplituda v Gaussově komplexní rovině
E2
E
2
E1 1
xr Fázor – nesouvisí s vektorovým charakterem elmag. pole
Po dosazení původního označení je pak interferenční intenzita dána vztahem
I =I 1+ I 2 + 2 √ I 1 I 2 cos ϕ Lloydův pokus (Lloydovo zrcadlo): interference
53
Dvouštěrbinový experiment
54
Experimentální ověření vlnové povahy světla – Youngův pokus (1801)
Spočteme to:
Monochromatické světlo prochází dvěma blízkými malými otvory. Tyto otvory jsou podle H.–F. principu zdroji sekundárních kulových vln. Na stínítku ve vzdálenosti a se pozoruje výsledek skládání (interference) těchto sekundárních vln
Omezíme-li se na případ |x| << a, bude
I (x) ≈ I max cos
Elektrické pole v místě pozorovatele P je součtem elektrických polí dvou sekundárních kulových vln (zanedbáme polarizaci vlnění):
E = E 1 + E2 =
E (t , x) = E 1 (t , x)+ E 2 (t , x) ≈
2
a'≈a
( )
a intenzita vlnění v místě pozorovatele je
I max = 4∣E 0 ∣ > ∣E0 ∣+ ∣E 0 ∣
πxd aλ
2
2
2
I min = 0 Pozorují se ekvidistantně rozložená maxima intenzity. K maximu intenzity dojde, liší-li se vzdálenosti r1, r2 o celistvý počet vlnových délek . Souřadnice m-tého maxima je
A −i(ω t−k r ) A −i(ωt−k r ) e + e r1 r2 1
( )
A k xd −i(ω t−k a' ) 2cos e a' 2 a'
2
xm = m⋅
λa , m = 0,±1,±2,… d
Fraunhoferova aproximace: detektor je „daleko“, takže vzdálenost otvorů d je mnohem menší než a, přesněji:
d≪ √ a λ
55
Proč a jak se mění fáze při odrazu světla na rozhraní? Předpokládejme kolmý odraz:
I.8. Interference vln na tenké vrstvě
E r = E 0 r , Fresnelův koeficient r= Skládání vlnění odražených na dvou rozhraních tenké vrstvy E0 n1 < n 2 : Připomenutí – jedno rozhraní:
R=
I refl ∣E refl∣2 = I inc ∣Einc∣2
opticky řidší
n1−n2 ∣n1−n2∣ =± n1+ n2 n 1+ n2
Er
Δϕ=π −1=e i
opticky hustší
Analogie s mechanickým vlněním šířícím se uzlem spojujícím tenké a tlusté lano:
E0 n 1 > n 2: opticky hustší opticky řidší
Er
Δϕ=0 + 1=e i0
56
57
Kolmý dopad na tenkou vrstvu s indexem lomu n a tloušťkou h A. Z obou stran vzduch (n=1)
(
12
Δϕ = π+ 2 h k n = π 1+ h
n=n2
4 hn λ
58 Kolmý odraz: Jak ho zařídit v mikroskopu či spektrometru: a) polopropustné zrcátko b) vláknová optika
)
fázový posuv při odrazu paprsku 1 je π fázový posuv při odrazu paprsku 2 je nulový
Podmínka interferenčního maxima:
(
Δϕ = π 1+
)
( )
4hn 1 λ = 2π m , m = 1, 2,… ⇒ h = m− λ 2 2n
B. Nahoře vzduch (n1=1), podložka s indexem lomu n3, přičemž n3>n2>n1: Podmínka interferenčního maxima:
Δϕ = 2 h k n2 =
4 h n2 π λ
⇒ h=m
λ 2 n2
Příklady: bublina, olejová vrstva na vodě, tenká vrstva na skle, …
59 Šikmý dopad světla:
60
I.9. Difrakce na otvoru
Body v otvoru štěrbiny emitují sekundární vlnění. Interference sekundárních vln se pozoruje na stínítku.
Štěrbina x’
x
Intenzita elektrického pole v bodě x na stínítku je
r a’ d
a
d/2
0
E(x) =
∫ dx ' Ar e−i(ωt −k r)
−d/ 2
Fázový posuv mezi paprsky:
Δϕ = π+ 2 h
(
)
kn −k tan θ2 sin θ1 = π+ 2 h k n cos θ2 cos θ2
Podmínka interferenčního maxima:
Δϕ = 2m π
Fraunhoferova aproximace
k r≈k a'−
Nakonec vyjde
E(x) = Proužky stejné tloušťky, proužky stejného sklonu
(
d ≪ √ aλ
( )
(
A −i ωt kxd A kd e d sinc ≡ e−i ωt d sinc sinθ a' 2 a' a' 2
)
)
xx' 1 1 , ≈ a' r a'
{
sin (x) pro x≠0 kde sinc(x)= x 1 pro x=0
61 Omezíme-li se na případ |x| << a, bude
62
a '≈a a intenzita vlnění v místě x je 2
I (x) = I max sinc
Hodina číslo 4
( πλxad ) Minima intenzity jsou v bodech
m
aλ , m =±1,±2, … d
Šířka hlavního maxima v poloviční výšce je přibližně
Δx =
aλ d
63 Difrakce na obdélníkovém otvoru
64
Difrakce na kruhovém otvoru x
a’
r
a R y Difraktovaná intenzita je 2
I (x , y) = I max sinc
( ) ( )
(
) (
π x dx 2 π y dy 2 π dx 2 π dy sinc ≡ I max sinc sin θ x sinc sinθ y λa ' λa ' λ λ
)
Difraktovaná intenzita je
I (r) = I max
Rozložení difraktované intenzity na stínítku J1(x): Besselova funkce 1. řádu
(
)
(
2 J 1 (k r R / a') 2 2 J 1 (k R sin θ) ≡ I max k r R /a ' k R sin θ
)
2
65
66 Mezní rozlišovací schopnost Rayleighovo kritérium rozlišení: součet dvou křivek, maximum v minimu
Airyho disk
y
y=
y> b
a
P2
První minimum difrakční intenzity vznikne pro
y
λ sin θ ≈ 1.22 2R
P1
Toto rozložení intenzity se pozoruje v zadní ohniskové rovině spojky. Dva předměty se rozliší, je-li jejich úhlová vzdálenost větší než
λ Δθmin = 1.22 d
D
y
1.
Každý bod předmětu předmětu se zobrazí v nejlepším případě jako ploška o průměru b / D a nazývá se Airyho stopa.
2.
V obraze budou body P1 a P2 rozlišeny, když y´> .
Minima: 1.22, 1.xx
kde d je průměr spojky (Rayleighovo kritérium rozlišení)
67 Rayleighovo kritérium rozlišení: Rozlišení oka: 1 úhlová minuta dáno vzdáleností čípků na sítnici
68 Difrakce na mřížce
Mezní rozlišovací schopnost
sin θ ≈ 1.22
λ d
Difrakční mřížka – periodicky uspořádané totožné štěrbiny Omezíme se na difrakční mřížku s N velmi úzkými dlouhými štěrbinami, každá štěrbina je zdrojem sekundární kulové vlny. Výsledné elektrické pole N
E(x) = ∑ j=1
Spočtěte sami!
A −i (ωt−k r ) e rj j
Nechť platí Fraunhoferova aproximace Pak je
N d≪ √ a λ
xd r j ≈ a'− j a'
N πxd ( λ a' ) A I (x ) = ∣ ∣ a' πxd sin ( λ a' )
a nakonec vyjde
2
sin
2
2
69
Hlavní difrakční maxima jsou v bodech
70
k xd xd d = = sin = m a' a' d sin = m m=0,±1,±2,... x λ sin θ ≡ = m a' d
Hodina číslo 5
Intenzita v difrakčním maximu je
I max = N
2
∣∣ A a'
2
Mezi sousedními hlavními difrakčními maximy je N–1 nulových bodů intenzity, tj. N–2 vedlejších maxim. Šířka hlavního maxima je přibližně rovna vzdálenosti mezi sousedními minimy:
Δ(sinθ ) ≡ cos θ⋅Δθ =
λ Nd
Použití difrakční mřížky: mřížkový spektrograf Konečná velikost štěrbin ovlivní výšku difrakčních maxim, jejich poloha a šířka zůstanou nezměněny.
Dvojlom, polarizační mikroskopie a fotoelasticimetrie
71
72 Difrakce na mřížce vs Youngův pokus
Anizotropní rozložení indexu lomu (nekubické minerály, např. kalcit): vektorový charakter E – rozklad na polarizované Znečistěná voda vlny E1 a E2 – různé směry šíření řádného a mimořádného paprsku.
Difrakční mřížky s N vrypy:
N πxd ( λ a' ) A I (x) = ∣ ∣ a' πxd sin ( λ a' ) 2
polarizační mikroskopie
Tající led
sin
2
2
Fotoelasticimetrie Dvojlom vyvolaný elektrickým polem: Kerrův jev
Youngův pokus:
I (x) ≈ I max cos
Vyjde to stejně pro N = 2 ???
Spočtěte sami!
2
( πλ xad' )
73 Newtonova skla
74
Průchod světla hranolem
Pozorování v prošlém nebo v odraženém světle. Lámavý úhel hranolu
ω
ω δ
δ
úhlová deviace
Minimální deviace:
Spočtěte sami!
Obecně:
δ = 2 −ω
δ = δ 1+ δ2 = + γ−ω
Spočtěte sami!
Spočtěte sami!
minimální úhlová deviace
