Fyzika III Optika a částicová fyzika

Úvod, zákony geometrické optiky Optické zobrazení, komponenty a přístroje Maticová optika Optika gradientního indexu lomu (GRIN)

Fyzika III – Optika a částicová fyzika A. Geometrická optika Kamil Postava [email protected] Institut fyziky, VŠB Technická univerzita Ostrava (A 931, tel. 3104)

4. března 2009

1

K. Postava: Fyzika III – Optika a částicová fyzika

A. Geometrická optika


Obsah přednášky 1

2

3

4

2

Úvod, zákony geometrické optiky Předmět optiky, aplikace Členění přístupů v optice Světlo, jako elektromagnetické vlnění Postuláty geometrické optiky, Fermatův princip Optické zobrazení, komponenty a přístroje Zrcadla, optická rozhraní Optické zobrazení, čočky Oko – optika vidění, barevné vidění Základní optické přístrje Maticová optika Definice přenosové matice Přenosové matice základních optických komponent Vlastnosti systému popsaného maticí M Optika gradientního indexu lomu (GRIN) Paprsková rovnice Eikonálová rovnice K. Postava: Fyzika III – Optika a částicová fyzika



Předmět optiky, aplikace Členění přístupů v optice Světlo, jako elektromagnetické vlnění Postuláty geometrické optiky, Fermatův princip

Aplikace optiky Předmět studia optiky Optika popisuje vznik, šíření a detekci světla. vysvětluje světelné jevy v přírodě, vlastnosti vidění optické přístroje – dalekohled, mikroskop, fotoaparát, projekční a fokusační zařízení využívá se k přenosu informací a internetových sítích – optická vlákna, zdroje, detektory, spínače využití v metrologii, analýze a charakterizaci materiálů – optická spektroskopie, interfereometrie, měření posuvu, drsnosti, pohybu optické zpracování a záznam informace 3





Návaznosti v dalších předmětech oboru Nanotechnologie Tenké vrstvy 5. semestr Bc. povinně volitelný 2+2 (Postava)

Spektroskopie nanostruktur 1. semestr NMgr. přednášky 3 + praktikum 3 (Postava)

Optoelektronika a integrovaná optika 2. semestr NMgr. fyzikální větev 2+2 (Ciprian, Hlubina)

Fotonické krystaly 3. semestr NMgr. fyzikální větev 2+2 (Hlubina, Ciprian)

4





Aplikace optiky – tenké vrstvy

5





Aplikace optiky Zdroje světla tepelné – Slunce, žárovky luminiscenční – zářivky, LED koherentní – lasery

6





Aplikace optiky Optické vláknové komunikace – přenos informace světlem

7





Členění přístupů v optice

interakce záření a látky polarizace interference, difrakce odraz, lom

8


4. Kvantová (fotonová) optika 3. Elektromagnetická optika 2. Skalární vlnová optika 1. Paprsková (geometrická) optika




Členění přístupů v optice 1. Paprsková (geometrická) optika

Kvantová optika

Elektromagnetická Skalární vlnová

Světlo se šíří ve formě paprsků (trajektorie částic světla) přímočaré šíření, odraz, lom, optické zobrazení – čočky, zrcadla, oko, lupa, dalekohled, mikroskop Fermatův princip δ

Paprsková

Z

B

n ds = 0 A

Zákon odrazu a lomu ε = ε′′

9



n sin ε = n′ sin ε′



Členění přístupů v optice 2. Skalární vlnová optika Kvantová optika

Světlo se šíří ve formě vln, vlnoplochy jsou kolmé k paprskům jevy interference a difrakce – skládání vlnění

Elektromagnetická Skalární vlnová Paprsková

Huygensův princip (Huygens-Fresnelův) Skalární vlnová rovnice ∇2 u −

1 ∂2u =0 c2 ∂ t2

u – vlnová funkce 10





Členění přístupů v optice 3. Elektromagnetická optika Světlo je elektromagnetickým vlněním Kvantová optika


jevy polarizace světla, optika anizotropního prostředí Maxwelovy rovnice ∂D =j ∂t ∂B =0 rot E + ∂t

rot H −


div B = 0

Vlnová rovnice ∇2 E −

11

div D = 0


1 ∂2E =0 c2 ∂ t2



Členění přístupů v optice 4. Kvantová (fotonová) optika

Kvantová optika


Světlo je tvořeno fotony, je reprezentováno částicově a také vlnově jevy generace světla (laser), kvantová povaha světla, nelineární optika kvantová elektrodynamika ˆ H ˆ – operátory E, energie a hybnost fotonů E = h f = ~ ω, ~=

h 2π

Diracova konstanta 12


p = ~k

= 1.0546 10−34 J s je




Úvod – kde se setkáváme s elektromagnetickým polem

Optické elektromagnetické záření zahrnuje – viditelné, infračervené a ultrafialové záření (λ = 10 nm – 100 µm). 13





Elektromagnetické vlny Rozdíly jsou ve vlnové délce λ a frekvenci vlnění

14





Spektrální rozsahy energie fotonů

E (eV)

E = h f = ~ ω,

h = 6, 62607 10 J s je Planckova konstanta, f je frekvence (Hz) h ~ = 2π = 1.0546 10−34 J s je Diracova konstanta, ω = 2πf je úhlová frekvence −34

1 eV = 1.602 10−19 J

vlnová délka

λ (nm)

λ=

c f

=

hc E

λ (nm) = 1240/E (eV ). vlnové číslo k0 =

2π λ ,

vlnočet

1 λ

(cm−1 )

používá se zejména v infračervené obasti

vlnočet (cm−1 ) = E (eV ) · 10−7 /1240 15






E (eV)

E = h f = ~ ω,


1 eV = 1.602 10−19 J

vlnová délka

λ (nm)

λ=

c f

=

hc E


2π λ ,

vlnočet

1 λ

(cm−1 )


vlnočet (cm−1 ) = E (eV ) · 10−7 /1240 15






E (eV)

E = h f = ~ ω,


1 eV = 1.602 10−19 J

vlnová délka

λ (nm)

λ=

c f

=

hc E


2π λ ,

vlnočet

1 λ

(cm−1 )


vlnočet (cm−1 ) = E (eV ) · 10−7 /1240 15





Fermatův princip světlo se šíří ve formě paprsků optické prostředí charakterizujeme indexem lomu n = c/v součin nd se nazývá optická dráha, je úměrná času, který světlo potřebuje, aby prošlo vzdálenost d Fermatův princip Světlo se šíří z bodu A do bodu B takovými paprsky, aby potřebná optická dráha byla minimální Z B n ds = 0 δ A

16





Optická prostředí n = 1 – vákuum, vzduch (n ≈ 1) n = 1, 5 – sklo n = 1, 3 – voda n = 2, 2 – safír, diamant n = 4 – Si, Ge, GaAs n je komplexní – ztrátové, absorbující materialy – kovy n < 0 – speciální nanostrukturované materiály

17





Disperze – disperzní hranol Závislost indexu lomu n na vlnové délce

využití: disperzní hranol – rozklad světla ve spektrálních přístrojích 18





Disperze indexu lomu v přírodě

vznik duhy na vodních kapkách

19





Barevná aberace čoček, barevná disperze optických vláken negativní důsledky disperze: barevná aberace čoček – zhoršení kvality optického zobrazení

barevná disperze optických vláken – omezení rychlosti přenosu informace optickými vlákny 20





Důsledky Fermatova principu přímočaré šíření paprsků v homogenním prostředí odraz a lom na rozhraní dvou prostředí Zákon odrazu a Snellův zákon lomu θ1 = −θ3 ,

21


n1 sin θ1 = n2 sin θ2




Zákon lomu n1 > n2 → θ1 > θ2 – lom ke kolmici n1 < n2 → θ1 < θ2 – lom od kolmice

22





znaménková konvence v optice

+

−

+

−

+

− paraxiální aproximace v optice Rozvoj geometrických funkcí v Taylorovu mocninnou řadu f (x) =

∞ X f (n) (a)

n=0

n!

(x − a)n

α3 α5 α7 α9 + − + − ··· 3! 5! 7! 9! Pro malé úhly α < 5◦ : sin x ≈ x, tan x ≈ x, cos x ≈ 1. sin α = α −

23





znaménková konvence v optice

+

−

+

−

+

− paraxiální aproximace v optice Rozvoj geometrických funkcí v Taylorovu mocninnou řadu f (x) =

∞ X f (n) (a)

n=0

n!

(x − a)n

α3 α5 α7 α9 + − + − ··· 3! 5! 7! 9! Pro malé úhly α < 5◦ : sin x ≈ x, tan x ≈ x, cos x ≈ 1. sin α = α −

23




Zrcadla, optická rozhraní Optické zobrazení, čočky Oko – optika vidění, barevné vidění Základní optické přístrje

Zrcadla rovinné zrcadlo

24





Zrcadla parabolické zrcadlo

eliptické zrcadlo

25





Kulové zrcadlo zobrazení bodu A → A′ kulovým zrcadlem: C – střed křivosti, r – poloměr křivosti kulového zrcadla a, a′ – poloha předmětu a obrazu P ε α A

α0 C

ε′

α′

A’

a′ r a 26



h V



Kulové zrcadlo Zobrazovací rovnice kulového zrcadla (paraxiální aproximace) 1 2 1 + ′ = a a r P α A

C

ε ′ ε α′ α0 A’ a′

h V

duté zrcadlo r>0 vypuklé zrcadlo r<0

r a

a = −∞ ⇒ a′ = f ′ = 27

r 2

– ohnisková vzdálenost





Zobrazení dutým a vypuklým zrcadlem

28





Příklad zobrazení zrcadlem v přírodě Hlubokomořská ryba Strašík (Dolichopteryx longpes)

– využívá zrcadlového oka k zachycení slabých luminiscenčních signálů, zrcadlo v oku je tvořeno látkou guanin 29





Rovinné rozhraní – totální odraz Snellův zákon:


θc = arcsin 30

n2 , n1

sklo − vzduch



θc ≈ 45◦



Využití totálního odrazu – odrazné hranoly

Pravoúhlý hranol

Pentagonální hranol 31


Doveův hranol

Koutový odražeč A. Geometrická optika

Rhombický hranol



Využití totálního odrazu – optické vlákno

n1 n2

εa

ε

εc

n1 > n2

Numerická apertura: N A = sin εa =

p n21 − n22

Využití optických vlnovodů pro přenos světla a informace v optických komunikačních systémech

32





Kulové rozhraní zobrazení bodu A → A′ kulovým rozhraním mezi optickými prostředími n, n′ : C – střed křivosti, r – poloměr křivosti kulového rozhraní a, a′ – poloha předmětu a obrazu n

n′

ε ε′

h σ A

V


A’

C

r a 33

σ′

κ

a′ A. Geometrická optika



Kulové rozhraní Zobrazovací rovnice kulového rozhraní (paraxiální aproximace) n′ − n n′ n = ′ − r a a n

n′

ε ε′

h σ A

V


A’

C

r a 34

σ′

κ

a′ A. Geometrická optika



Příčné měřítko zobrazení (zvětšení) n′

n ε

y

A’ ε′

A

a′

a

Příčné měřítko zobrazení (zvětšení) β= 35

y′ n a′ = ′ y n a



y′



Významné body optické soustavy ohniska F, F’, ohniskové roviny ϕ, ϕ′ hlavní body P, P’, hlavní roviny η, η ′ (β = 1) η

ϕ

n′j

n1

η′

ϕ′

P’ F

P

f aF 36

F’

a′P ′

aP d


f′ a′F ′




Významné body optické soustavy ohniska F, F’, ohniskové roviny ϕ, ϕ′

obrazové ohnisko F’ – obraz bodu v −∞ předmětové ohnisko – zobrazí se do +∞

hlavní body P, P’, hlavní roviny η, η ′

předmětový hlavní bod P se zobrazí v obrazový hlavní bod P’ a jejich β = 1 hlavními body procházejí hlavní roviny η, η ′

ohniskové vzdálenosti f , f ′

obrazová ohnisková vzdálenost f ′ – vzdálenost ohniska F’ of hlavního bodu P’ předmětová ohnisková vzdálenost f – vzdálenost ohniska F of hlavního bodu P

optická mohutnost φ (jednotka Dioptrie – D) n′j n1 φ= ′ =− f f 37





Významné body optické soustavy ohniska F, F’, ohniskové roviny ϕ, ϕ′

obrazové ohnisko F’ – obraz bodu v −∞ předmětové ohnisko – zobrazí se do +∞

hlavní body P, P’, hlavní roviny η, η ′

předmětový hlavní bod P se zobrazí v obrazový hlavní bod P’ a jejich β = 1 hlavními body procházejí hlavní roviny η, η ′

ohniskové vzdálenosti f , f ′

obrazová ohnisková vzdálenost f ′ – vzdálenost ohniska F’ of hlavního bodu P’ předmětová ohnisková vzdálenost f – vzdálenost ohniska F of hlavního bodu P

optická mohutnost φ (jednotka Dioptrie – D) n′j n1 φ= ′ =− f f 37





Zobrazení tlustou čočkou n, n0 – index lomu materiálu čočky a okolního prostředí r1 , r2 poloměry křivosti lámavých ploch čočky η η′ ϕ ϕ′

P F n0

P’

n

F’

n0 f′

f d

1 φ n − n0 = = f′ n0 n0 38


1 1 − r1 r2

+

d(n − n0 )2 n n0 r1 r2




Tenká čočka ve vzduchu

1 φ = ′ = (n − 1) f

1 1 − r1 r2

,

1 1 1 − = ′ b a f

β=

b a

f ′ – ohnisková vzdálenost, β – příčné měřítko zobrazení (zvětšení) 39





Zobrazení spojnou a rozptylnou čočkou

40





Typy čoček

41





Aberace optických soustav – sférická (otvorová, aperturní) osová aberace – projevuje se i pro osový bod, vliv odchylek od paraxiální aproximace, hranice paprsků – kaustika

kompenzace pomocí kombinace spojných a rozptylných čoček s optimalizovanými křivostmi clonění apertury – otimální clonové číslo vzhledem k rozlišení (difrakce) a světelnosti 42





Sférická aberace jednoduchých čoček Vliv tvaru čočky o dané ohniskové vzdálenosti na velikost sférické 1 aberace. Tvar popsán pomocí q = rr22 +r −r1 .

43





Aberace optických soustav – koma mimoosová monochromatická abarace

korekce kombinací spojných a rozptylných čoček s optimalizovanými lámavými plochami systémy s korigovanou sférickou aberací a komou se nazývají aplanatické 44





Sférická aberace a koma jednoduchých čoček

Sférická aberace a koma čočky z korunového skla (n = 1.517) o f ′ = 10 cm, pomoměru h = 1 cm při zobrazení dopadajícího rovnoběžného svazku paprsků 45





Aberace optických soustav – sklenutí pole

46





Aberace optických soustav – astigmatismus Astigmatismus – rozdíl mezi tangenciálním a sagitálním sklenutím – zobrazení mimoosového bodu pro systémy bez výrobních vad

47





Aberace optických soustav – astigmatismus

48





Aberace optických soustav – zkreslení

49





Aberace optických soustav – barevná (chromatická)

kompenzace pomocí kombinace spojných a rozptylných čoček z různých materiálů – achromatické systémy zobrazení pomocí zrcadel (teleobjektivy, dalekohledy, mikroskopové objektivy) 50





Oko

51





Některé parametry oka průměr 24 mm čočka n = 1, 42, rohovka n = 1, 376, oční mok, sklivec n = 1, 336 maximální akomodace f ′ = 23 mm, φ = 58 D adaptace – průměr zornice (duhovky) 2 – 8 mm blízký bod 25 cm rozlišovací mez 1”

52





Oční akomodace

53





Oční vady

54





Vidění tyčinky a čípky

čípky – barevné vidění, průměr čípku 5 µm, žlutá skvrna tyčinky – černobílé vidění, max. 510 nm 55





Citlivost očních čípků na barvy

Tristimulus Values Defining CIE 1964

Eye sensitivity to colors

1.5

1

0.5

0

56

x y z

2

400

450

500

550 600 650 Wavelength (nm)



700

750



Trichromatické souřadnice

Citlivost třemi druhy čípků: x ¯(λ), y¯(λ), z¯(λ) x=

x ¯ x ¯ + y¯ + z¯

y¯ x ¯ + y¯ + z¯

y=

z=

z¯ x ¯ + y¯ + z¯

Souřadnice zdroje E(λ): X=

Z

0

∞

x¯(λ)E(λ) dλ,

Y =

Z

∞

y¯(λ)E(λ) dλ,

Z=

0

Možnost přepočtu na RGB, CMYK souřadnice

57



Z

∞

z¯(λ)E(λ) dλ 0



Barevný trojúhelník

58





Sčítání a odečítání barev

59





Stereoskopické (prostorové) vidění Dáno vzdálenosti očí (asi 65 mm) Umělá prostorová vizualizace: holografické zobrazení – prostorová informace obsažena ve fázi digitální prostorovy obraz využití červeného a modrého filtru pro pravé a levé oko využití horizontální a vertikální polarizace

60





Fotoaparát f′ Clonové číslo: c = D Ovlivňuje osvětlení CCD (filmu) expoziční čas ostrost zobrazení (aberace) hloubku pole rozlišení (difrakce na apertuře) c = |1 −{z1.7} −2 − 2.8 − 4 − 5.6 − 8 − 11 − 16 − 22 √

61

2





Lupa Lupa je tvořena spojnou čočkou a umožňuje rozlišit předměty menší než 1’. konvenční zraková vzdálenost l0 = 25 cm zvětšení lupy: Γ=

l0 ϕ = ′ ϕ0 f

zvětšení omezeno aberacemi

62





Mikroskop obrazové pole v ∞ f′ f′ f′ = − 1 2 ∆ úhlové zvětšení: Γ=

−∆ l0 l0 = ′ ′ = β1 Γ2 f′ f1 f2

rozlišovací mez mikroskopu: y=

0.61 λ , An

kde An = n sin σ je numerická apertura 63





Mikroskop předmětové objectiv aperturní pole clona

y

σ

hlavní paprsek

F1 ζ

y′

∆ f2

f1′ e

64


výstupní pupila

aperturní paprsek

F2

F1 ’

f1

okulár

polní clona




Mikroskop

65





Mikroskopové objektivy

66





Mikroskopové okuláry

67





Dalekohled (Keplerův)

objectiv aperturní clona τ

okulár

polní clona

F1 ’=F2

výstupní pupila

aperturní paprsek τ′

f1′

68


f2




Dalekohledy zvětšení dalekohledu Γ=

tan τ ′ D f′ = − 1′ = − ′ tan τ f2 D

rozlišovací mez (dána difrakcí na apertuře): λ ψ = 1.22 D Typy dalekohledů: čočkové

Keplerův – spojný okulár triedry, lovecké, astronimicke dalekohledy Galileův – rozptylný okulár divadelní kukátko

zrcadlové

Newton, Cassegrain, Gregory, Cassegrain-Maksutov, Cassegrain-Schmidt

69





Zrcadlové dalekohledy Newton

Cassegrain

70


Gregory




Dalekohled – Hubblův teleskop

71





Dalekohled – Hubblův teleskop

72




Definice přenosové matice Přenosové matice základních optických komponent Vlastnosti systému popsaného maticí M

Maticová optika y

n1

Normovaný úhel:

n2

V = n sin θ ≈ n θ

θ1

Lineární systém:

y1 y2

z2 výstupní rovina

z1 vstupní vstup (y1 , V1 )

73

y2 = A y1 + B V1 V2 = C y1 + D V1 optická osa y2 y1 =M z V2 V1 θ2

Optický systém M

výstup (y2 , V2 )


Přenosová matice: A B M= C D




Maticová optika y

n1

Normovaný úhel:

n2

V = n sin θ ≈ n θ

θ1

Lineární systém:

y1 y2

z2 výstupní rovina

z1 vstupní vstup (y1 , V1 )

73

y2 = A y1 + B V1 V2 = C y1 + D V1 optická osa y2 y1 =M z V2 V1 θ2

Optický systém M

výstup (y2 , V2 )


Přenosová matice: A B M= C D




Vlastnosti přenosové matice y2 = A y1 + B V1 V2 = C y1 + D V1

−→

Přenosová matice: M =

M1

y1 V1

=

y2 V2

A B C D

D −B −C A

=

A B C D

y2 V2

M2


y1 V1

, det(M) = AD − BC = 1

MN

M = MN MN −1 · · · M2 M1 74




Přenosové matice základních optických komponent 1

šíření v prostředí o indexu momu n a tloušt’ce t n

θ2

Mt = θ1

y2

redukovaná tloušt’ka:

y1 z1

1 −T 0 1

t

z2

z

T =

t n

šíření na vrstvách n1 n2

nN 

t1 t2 75

tN


 1 − Mt = 

N X i=1

TN  

0 1 splnění Snellova zákona A. Geometrická optika






lom na sférickém rozhraní n1

ε1

θ1 ε2 κ

θ1

n2 θ2

1 n2 − n1 r

Mr =

κ y1 = y2

C

r

φ=

0 1

!

n2 − n1 n2 = ′ r f

optická mohutnost (lámavost)

odraz na sférické ploše n1 = 1, 76

n2 = −n1 = −1


Mr = A. Geometrická optika

1 − 2r

0 1




zobrazení tenkou čočkou 1 1 0 1 0 Mr = Mr2 Mr1 = = 1 φ2 1 φ1 1 f′ kde

n−1 , r1

φ1 = θ1

φ2 =

0 1

1−n r2

θ2

φ = φ1 + φ2 y1 = y2

n

77


1 φ = ′ = (n − 1) f A. Geometrická optika

1 1 − r1 r2



Vlastnosti systému popsaného maticí M 1

A=0 y2 = B V1

vstupní rovina

ϕ′

θ1

y2 výstupní rovina

det M = 1 → BC = −1

výstupní rovina = obrazová ohnisková rovina

78






B=0 y2 = A y1 y1

y2

vstupní rovina

příčné měřítko zobrazení β = A =

výstupní rovina

1 D

vstupní a výstupní rovina jsou sdružené

79






C=0 V2 = D V1

vstupní rovina θ1

θ2 výstupní rovina

úhlové měřítko zobrazení: γ =

1 θ2 =D= θ1 A

afokální soustava 80






D=0 výstupní rovina

V2 = C y 1 y1

ϕ

θ2

vstupní rovina

det M = 1 → BC = −1

vstupní rovina = předmětová ohnisková rovina

81





Určení polohy průsečíku paprsku s optickou osou

θ1

y1

vstupní rovina r1

y2

θ2

výstupní rovina r2

y r= θ y r normovaný poloměr křivosti: R = = n V

poloměr křivosti vlnoplochy:

ABCD pravidlo y2 = A y1 + B V2 = C y 1 + D 82


R2 =

A R1 + B C R1 + D




Určení ohniskové vzdálenosti f ′ z matice M n1

n2 výstupní rovina θ2 y2

y1

F’

vstupní rovina f′

y2 V2

=

A B C D

Obrazová ohnisková vzdálenost: Optická mohutnost: 83

φ=C


f′ =

y1 V1

y1 y1 n2 = n2 = θ2 V2 C



Paprsková rovnice Eikonálová rovnice

Optika gradientního indexu lomu (GRIN) Optika nehomogenního prostředí – gradientního indexu lomu (GRIN) n = n(r)

84





Optika gradientního indexu lomu (GRIN)

Astronomická refrakce – lom na nehomogenní atmosféře

85





Optika gradientního indexu lomu (GRIN)

GRIN čočka gradientní optické vlákno (potlačená modová disperze) 86





Paprsková rovnice Fermatův princip: Světlo se šíří z bodu A do bodu B takovými paprsky, aby potřebná optická dráha byla minimální Z B n(r) ds = 0 δ B A ds =

p (dx)2 + (dy)2 + (dz)2

ds A

Integrál se nazývá funkcionálem a jeho hodnota závisí na volbě křivky podel které integrujeme. Nutnou podmínkou pro existenci funkcionálu je splnění Eulerových diferenciálních rovnic. 87





Paprsková rovnice Eulerovy diferenciální rovnice: ∂n d − ∂x ds

dx n = 0, ds

∂n d − ∂y ds

dy n = 0, ds

∂n d − ∂z ds

Paprsková rovnice d ds

dr n ds

= ∇ n,

∂ ∂ ∂ + j ∂y + k ∂z je gradient kde ∇ = i ∂x Řešením paprskové rovnice určíme trajektorii paprsku.

88



n

dz ds

=0



Paraxiální paprsková rovnice paprsky svírají malé úhly s osou z, pak

ds = dz

s

1+

dx dz

2

+

Paraxiální paprsková rovnice: dx ∂n d n ≈ dz dz ∂x

dy dz

2

≈ dz

d dz

dy n dz

≈

∂n ∂y

Speciální parabolický profil indexu molu n: p α2 2 2 2 2 2 (x + y ) n(x, y, z) = n0 1 + α (x + y ) ≈ n0 1 − 2 89





Speciální řešení paprskové rovnice paraxiální aproximace, parabolický profil d2 x = −α2 x dz 2

d2 y = −α2 y dz 2

počáteční podmínky: pro z = 0 → x0 , y0 ,

dx dz

= θx0 ,

dy dz

= θy0

y

y

z

y0

n0 n

θy0

Řešení: x= 90

θx0 sin αz + x0 cos αz α


y=

θy0 sin αz + y0 cos αz α




Speciální řešení paprskové rovnice paraxiální aproximace, parabolický profil d2 x = −α2 x dz 2

d2 y = −α2 y dz 2

počáteční podmínky: pro z = 0 → x0 , y0 ,

dx dz

= θx0 ,

dy dz

= θy0

y

y

z

y0

n0 n

θy0

Řešení: x= 90

θx0 sin αz + x0 cos αz α


y=

θy0 sin αz + y0 cos αz α




GRIN čočka θ′ θy0 = 0 y0

z

θy (y) F’ a′F ′

d

f′

f′ =

91

y0 1 = ′ −θ n0 α sin αd


a′F ′ =

y(d) 1 = ′ −θ n0 α tan αd




Eikonálová rovnice Eikonála S(r) je skalární funkce – plochy konstantní S(r) jsou kolmé k paprskům Eikonálová rovnice: 2 2 2 ∂S ∂S ∂S + + = n2 ∂x ∂y ∂z

neboli

|∇S|2 = n2

Eikonálová rovnice, Fermatův princip a paprsková rovnice jsou ekvivalentní. optická dráha: Z B A

92

n ds =

Z

B

|∇S| ds = S(rB ) − S(rA ) A





Shrnutí – paprsková optika Fermatův princip: Světlo se šíří z bodu A do bodu B takovými paprsky, aby potřebná optická dráha byla minimální B Z B

δ

n(r) ds = 0

A

A

Zákon odrazu a lomu:

θ1 = −θ3 ,

ds


Zobrazení kulovým zrcadlem a na kulovém rozhraní: 2 1 1 = + a a′ r Zobrazení tenkou čočkou: 1 1 1 , − φ = ′ = (n − 1) f r1 r2 93


n′ − n n n′ = ′ − r a a

1 1 1 − = ′ b a f A. Geometrická optika

β=

b a

Fyzika III Optika a částicová fyzika

Recommend Documents