Fyzika III Optika. C. Elektromagnetická optika. Kamil Postava. Institut fyziky, VŠB Technická univerzita Ostrava (A931,tel

Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice Absorpce a disperze Polarizace světla Nelineární a kvantová optika

Fyzika III – Optika C. Elektromagnetická optika Kamil Postava [email protected] Institut fyziky, VŠB Technická univerzita Ostrava (A 931, tel. 3104)

18. května 2010

1

K. Postava: Fyzika III – Optika

C. Elektromagnetická optika


Obsah přednášky 1

Elektromagnetické vlny, vlnová rovnice Maxwellovy rovnice Vybrané vztahy vektorové analýzy

2

3

4

2

Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetických vln Typy materiálového prostředí Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny Absorpce a disperze Vlnová rovnice vodivého prostředí Disperze Kramers-Kronigovy disperzní relace Polarizace světla Jonesův počet, Muellovy matice Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy Optika anizotropního prostředí Nelineární a kvantová optika Nelineární optika Kvantová optika K. Postava: Fyzika III – Optika



Členění přístupů v optice 3. Elektromagnetická optika Světlo je elektromagnetickým vlněním Kvantová optika

Elektromagnetická Skalární vlnová Paprsková

jevy polarizace světla, optika anizotropního prostředí Maxwelovy rovnice ∂D =j ∂t ∂B =0 rot E + ∂t

rot H −


div B = 0

Vlnová rovnice ∇2 E −

3

div D = 0

1 ∂2E =0 c2 ∂ t2



Úvod – kde se setkáváme s elektromagnetickým polem

4




Maxwellovy rovnice Hraniční podmínky Maxwellových rovnic, energie elektromagnetic Typy materiálového prostředí Vlnová rovnice, monochromatické rovinné vlny

Srovnání elektrického a magnetického pole Matreriálové vztahy

Elektrické pole

Magnetické pole Veličiny popisující pole

Elektrická intenzita E Elektrická indukce D D = ε E = ε0 E + P ε = ε0 εr – permitivita prostředí ε0 = 8, 8542 · 10−12 C2 N−1 m−2 – permitivita vákua Vektor polarizace P 5


Magnetická intenzita H Magnetická indukce B B = µ H = µ0 H + M µ = µ0 µr – permeabilita prostředí µ0 = 4π · 10−7 N s2 C−2 – permeabilita vákua Vektor magnetizace M C. Elektromagnetická optika



Elektrické pole

Magnetické pole Pole v látce

Vektor polarizace – hustota dipólového momentu P p , P= ∆V

Vektor magnetizace – hustota magnetických momentů P m M= , ∆V

kde p = Q l – elektrický dipolový moment

kde m = µ0 I S – magnetický moment

+Q

p

−Q 6

m

l


I


S



Srovnání elektrického a magnetického pole Síla elektrického a magnetického pole

Elektrické pole

Magnetické pole

Síla elektromagnetického pole F = Fe + Fm Coulombův zákon

Lorentzova síla

Fe = q E

Fm = q v × B

Objemová hustota energie

we = 7

1 ED 2 K. Postava: Fyzika III – Optika

w = we + wm

wm = C. Elektromagnetická optika

1 BH 2



Srovnání elektrického a magnetického pole Elektrické pole

Magnetické pole

Elektrické pole generované bodovým nábojem:

Magnetické pole generované vodičem s proudem:

Coulombův zákon Z ρ dV 1 r E= 4πε r3

Biot – Savartův zákon Z I dl × r µ0 B= 4π r3 B

E

r

r dV

dl

dQ

I 8





Srovnání elektrického a magnetického pole Elektrické pole

Magnetické pole

Tok vektoru E uzavřenou plochou

Cirkulace vektoru B podel uzavřené křivky

Gaussova věta ZZ Q E · dS = ε0 S

Amperův zákon I B · dl = µ0 I

E

l

B dl

dS

I ΣQ

S

9


l C. Elektromagnetická optika



Maxwellovy rovnice

Soustava rovnic popisující vlastnosti elektromagnetického pole. Gaussův zákon elektrostatiky Neexistence izolovaných magnetických nábojů Ampérův zákon celkového proudu (v vcetně Maxwellova zobecnění na nestacionární elektromagnetická pole) Faradayův zákon elektromagnetické indukce Rovnice jsou doplněny materiálovými vztahy, které charakterizují elektrické a magnetické vlastnosti prostředí.

10





Gaussův zákon elektrostatiky

Tok vektoru elektrické indukce D uzavřenou plochou je roven součtu nábojů v objemu, který plocha uzavírá. ZZ

D · dS = Q = S

ZZZ

ρ dV

V

Elektrostatické pole je zřídlové – zřídla jsou náboje.

11





Neexistence izolovaných magnetických nábojů

Magnetický indukční tok (tok vektoru magnetické indukce B) uzavřenou plochou je roven 0. ZZ

B · dS = 0 S

Magnetické pole je nezřídlové – neobsahuje izolované magnetické náboje.

12





Ampérův zákon celkového proudu Cirkulace vektoru magnetické intenzity H po uzavřené křivce je rovna celkovému proudu, který proteče plochou, kterou křivka obepíná. ZZ I j · dS H · dl = I = l

S

Maxwellovo zobecnění na nestacionární elektromagnetická pole: j → j+

∂D , ∂t |{z}

jd – hustota posuvných proudů

jd

13





Faradayův zákon elektromagnetické indukce

Časová změna magnetického indukčního toku závitem vyvolá vznik indukovaného napětí. dΦ Ui = − dt I

l

14

E · dl = −


∂ ∂t

ZZ

S

B · dS .




Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru ZZ

D · dS = S

ZZZ

∂ E · dl = − ∂t l

ZZ

S

B · dS

Faradayův zákon elektromagnetické indukce 15

B · dS = 0.

V

Gaussův zákon elektrostatiky

I

ZZ

ρ dV


S

nezřídlovost magnetického pole

I

l

H · dl =

ZZ S

j+

∂D ∂t

· dS

Ampérův zákon celkového proudu




Maxwellovy rovnice – materiálové vztahy Materiálové vztahy D = εE ε = ε0 εr – elektrická permitivita prostředí B = µH µ = µ0 µr – magnetická permeabilita prostředí j = σ E – Ohmův zákon σ – měrná vodivost prostředí Odvození Ohmova vztahu pro element vodiče: 1 dl dl dI = dU R , kde dI = j dS, dU = E dl, R = ρ dS = σ dS .

16





Vektorová analýza Totální diferenciál skalární funkce f (x, y, z): df ≡

∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

Vektorový operátor nabla:

∂ ∂ ∂ + ~ + ~k ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ~ ∂f grad f = ∇f = ~ı + ~ +k ∂x ∂y ∂z

∇ = ~ı

Operátor gradientu:

Operátor divergence: ∂Ax ∂Ay ∂Az div A = ∇ · A = + + ∂x ∂y ∂z věta Gaussova-Ostrogradského: ZZ ZZZ div A dV = A dS V

17


S




Vektorová analýza Operátor rotace: věta Stokesova: ZZ

~k ~ı ~ ∂ ∂ ∂ rot A = ∇ × A = ∂x ∂y ∂z A A A x y z rot A dS = S

Laplaceův operátor: ∆f = ∇ · ∇f = div grad f =

A dl l

∂2f ∂2f ∂2f + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

div grad f = ∆f ~ = grad div A ~ − ∆A ~ rot rot A 18

I


~=0 div rot A rot grad f = 0




Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru div D = ρ Gaussův zákon elektrostatiky

rot E +

∂B =0 ∂t

Faradayův zákon elektromagnetické indukce 19


div B = 0. nezřídlovost magnetického pole

rot H −

∂D =j ∂t

Ampérův zákon celkového proudu




Hraniční podmínky Maxwellových rovnic Odvození hraničních podmínek Maxwellových rovnic předpokládáme spojitý přechod z prostředí o parametrech ε1 , µ1 , σ1 a ε2 , µ2 , σ2 spojitý přechod je realizován tenkou nehomogenní vrsvou o tloušt’ce h limitním přechodem h → 0 vzniká hranice se skokovou změnou materiálových parametrů 1

ε1

µ1

σ1

1

ε1

µ1

σ1 h

20

2

ε2

µ2

σ2

2

ε2

µ2

σ2


0




Hraniční podmínky Maxwellových rovnic – odvození Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru ZZ −→ (B1n − B2n ) dS = 0, B · dS = 0. S

ZZ

D · dS = Q S

−→

(D1n − D2n ) dS = dQ,

dQ jsou náboje uvnitř objemu lim (dQ/dS) = σ, kde σ je h→0

povrchové náboje dS

h

B1n = B2n D1n − D2n = σ

−dS 21





Hraniční podmínky Maxwellových rovnic – odvození Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru I ZZ ∂ E · dl = − B · dS −→ ∂t l S I

l

H · dl = I +

∂ ∂t

ZZ

S

D · dS

(E1t − E2t ) dl = 0,

−→

(H1t − H2t ) dl = dI,

dI je proud uvnitř tekoucí obdelníkem lim (dI/dl) = J, kde J je délková hustota povrchového proudu

h→0

dl h

−dl 22


E1t = E2t H1t − H2t = J C. Elektromagnetická optika



Hraniční podmínky Maxwellových rovnic n · (B1n − B2n ) = 0 n · (D1n − D2n ) = σ E

n × (E1t − E2t ) = 0 n × (H1t − H2t ) = J B D H

without surface charges

without surface current

Příklady využití hraničních podmínek pro elektromagnetické vlny rovinná rozhraní – jevy na rozhraních, Fresnelovy vztahy, odraz a průchod vrstvou a multivrstvami hraniční podmínky ve válcových souřadnicích – šíření elmag. vln v optických vláknech a vláknových vlnovodech hraniční podmínky v kulových souřadnicích – rozptyl na kulových částicích – Mie rozptyl 23





Energie elektromagnetického pole rot E + ∂B ∂t = 0 | · H ∂D rot H − ∂t = j | · E E

)

rovnice odečteme

∂D ∂B +H + H · rot E − E · rot H = −jE ∂t ∂t

Zákon zachování elektromagnetické energie ∂w + div S = −jE, ∂t 1 w = (ED + HB) – objemová hustota energie 2 elektromagnetického pole, S = E × H – Poyntingův vektor – vektor proudové hustoty energie. 24






)

rovnice odečteme








)

rovnice odečteme







Zákon zachování elektromagnetické energie ∂w + div S = −jE, ∂t Zákon zachování elektromagnetické energie v integrálním tvaru: ZZZ ZZ ZZZ ∂ jE dV w dV = S · dS + − ∂t V S V úbytek elektromagnetické energie z objemu V za jednotku času je dán

množstvím elmag. energie, která proteče přes plochu S ohraničující objem V za jednotku času a

Jouleovým teplem vytvořeným v objemu V za jednotku času.

Intenzita elektromagnetického pole – plošná hustota výkonu [W m−2 ] I =|<S>|=|<E×H>| 25





















Elektromagnetické vlny – omezení ρ, µ prostředí neobsahuje volné náboje: ρ = 0 (efekty volných nabojů jsou započteny do permitivity prostředí) pro optické frekvence prostředí není magneticky aktivní µ = µ0 , µr = 1 magnetické momenty nestačí reagovat na vysoké optické frekvence magnetický moment atomu ≪ elektrický moment atomu neplatí pro nanostrukturované materiály – metamateriály – µ 6= 1

26





Metamateriály Metamateriály – umělé strukturované materiály, se zvláštními elektromagnetickými vlastnostmi, které nemají přírodní materiály.

27





Metamateriály – negativní lom Kombinací záporné permeability a permitivity je možné dosahnout záporného indexu momu n < 0 Příklady potenciálního použití negativní lom

ideální zobrazení neviditelnost (cloaking), transformační optika

28





Dělení materiálových prostředí Absorbující – neabsorbující prostředí nevodivé: σ = 0, j = σE = 0 – neabsorbující, bezeztrátové – dielektrikum vodivé: σ 6= 0 – absorbující, ztrátové – kovy Disperzní – nedisperzní prostředí nedisperzní: ε 6= ε(ω, λ), σ 6= σ(ω, λ) – okamžitá odezva prostředí disperzní: ε = ε(ω, λ), σ = σ(ω, λ) P(r, t) = ε0

Z

χ(r, r′ , t, t′ ) E(r′ , t′ ) dr′ dt′ ,

kde χ je elektrická susceptibilita, εr = 1 + χ. 29





Dělení materiálových prostředí Absorbující – neabsorbující prostředí nevodivé: σ = 0, j = σE = 0 – neabsorbující, bezeztrátové – dielektrikum vodivé: σ 6= 0 – absorbující, ztrátové – kovy Disperzní – nedisperzní prostředí nedisperzní: ε 6= ε(ω, λ), σ 6= σ(ω, λ) – okamžitá odezva prostředí disperzní: ε = ε(ω, λ), σ = σ(ω, λ) P(r, t) = ε0

Z

χ(r, r′ , t, t′ ) E(r′ , t′ ) dr′ dt′ ,

kde χ je elektrická susceptibilita, εr = 1 + χ. 29





Dělení materiálových prostředí Homogenní – nehomogenní prostředí homogenní: ε 6= ε(r), σ 6= σ(r), µ 6= µ(r) – v paprskové aproximaci se světlo šíří přímočaře nehomogenní: ε = ε(r), σ = σ(r), µ = µ(r) – optika nehomogenního prostředí, gradientního indexu lomu (GRID)

Nehomogenní prostředí – refrakce v atmosféře, GRID čočky, gradientní optická vlákna 30





Dělení materiálových prostředí Izotropní – anizotropní prostředí izotropní: ε, σ, µ jsou skaláry – nezávislé na směru E, H – vektory E, D jsou rovnoběžné anizotropní: εˆ, σ ˆ, µ ˆ jsou tenzory – optika anizotropního prostředí, krystalová optika

Vzájemná vazba mezi elektrickým a magnetickým polem: biizotropní: D = ε E + ξ H, B = ζ E + µ H – chiralní prostředí (ξ, ζ – imaginární) bianizotropní: D = εˆ E + ξˆ H, B = ζˆ E + µ ˆH 31





Dělení materiálových prostředí Izotropní – anizotropní prostředí izotropní: ε, σ, µ jsou skaláry – nezávislé na směru E, H – vektory E, D jsou rovnoběžné anizotropní: εˆ, σ ˆ, µ ˆ jsou tenzory – optika anizotropního prostředí, krystalová optika

Vzájemná vazba mezi elektrickým a magnetickým polem: biizotropní: D = ε E + ξ H, B = ζ E + µ H – chiralní prostředí (ξ, ζ – imaginární) bianizotropní: D = εˆ E + ξˆ H, B = ζˆ E + µ ˆH 31





Dělení materiálových prostředí Lineární – nelineární prostředí lineární: polarizace prostředí P je lineární funkcí elektrického pole E: P = ε0 χe E, kde χe je elektrická susceptibilita. D = ε0 εr E = ε E, kde εr 6= εr (E) nelineární: P je nelineární funkcí elektrického pole E:

2 (3) 3 P = ε0 χe E + PNL = ε0 (χe E + χ(2) e E + χe E + · · · ),

kde PNL je nelineární polarizace – nelineární optika

generace druhé harmonické, parametrické zesílení Ramanův rozptyl samofokusace v Kerrově prostředí, optické solitony optická bistabilita

32





Odvození vlnové rovnice pro elektromagnetické vlny Uvažujme nevodivé σ = 0, j = 0, homohenní εr 6= εr (r), izotropní, lineární εr 6= εr (E) prostředí bez volných nábojů ρ = 0. Maxwellovy rovnice se pak s využitím materiálových vztahů redukují: div H = 0.

div E = 0

∂E ∂H rot H = ε ∂t ∂t Z rovnic obsahujících rotace vyloučíme H tak, že aplikujeme operátor rot : rot E = −µ

∂2E rot rot E = grad div E −∆ E = −ε µ | {z } ∂ t2 =0

33





Vlnová rovnice pro elektromagnetické vlny Vlnová rovnice ∆E −

1 ∂2E = 0, v 2 ∂ t2

1 v=√ εµ

Rovnice popisuje šíření elektromagnetických vln rychlostí v. Ve vákuu je rychlost šíření vln: 1 = 2, 998 · 108 m s−1 , c= √ ε0 µ0 což je rychlost světla → světlo je elektromagnetické vlnění.

Index lomu (Maxwellův vztah): √ c √ n = = εr µr ≈ εr v 34





Vlnová rovnice pro elektromagnetické vlny Vlnová rovnice ∆E −

1 ∂2E = 0, v 2 ∂ t2

1 v=√ εµ

Rovnice popisuje šíření elektromagnetických vln rychlostí v. Ve vákuu je rychlost šíření vln: 1 = 2, 998 · 108 m s−1 , c= √ ε0 µ0 což je rychlost světla → světlo je elektromagnetické vlnění. Index lomu (Maxwellův vztah): √ c √ n = = εr µr ≈ εr v

34





Elektromagnetické vlny

35





Monochromatické vlny Monochromatické vlny Uvažujme řešení vlnové rovnice ve tvaru monochromatické vlny o frekvenci ω: E(r, t) = ℜ Eω (r) ei ω t , H(r, t) = ℜ Hω (r) ei ω t , kde ℜ je reálná část a Eω , Hω jsou komplexní amplitudy.

Pak

36

∂ ∂t

→ i ω a Maxwellovy rovnice přecházeji na tvar:

rot Hω = i ω ε Eω

rot Eω = −i ω µ Hω

div Eω = 0

div Hω = 0.





Monochromatické vlny Monochromatické vlny Uvažujme řešení vlnové rovnice ve tvaru monochromatické vlny o frekvenci ω: E(r, t) = ℜ Eω (r) ei ω t , H(r, t) = ℜ Hω (r) ei ω t , kde ℜ je reálná část a Eω , Hω jsou komplexní amplitudy. Pak

36

∂ ∂t

→ i ω a Maxwellovy rovnice přecházeji na tvar:

rot Hω = i ω ε Eω

rot Eω = −i ω µ Hω

div Eω = 0

div Hω = 0.





Monochromatické vlny Helmholtzova rovnice – vlnové rovnice pro monochromatické vlny ∆ Eω + k2 Eω = 0, ω √ ω kde k = = ω ε µ = n = n k0 je vlnové číslo. v c k0 – vlnové číslo ve vákuu. Řešení Helmholtzovy rovnice: rovinné vlny Gaussův svazek, Gauss-Hermitovy svazky stojaté vlny v rezonátoru vlny v optickém vlákně difrakční úlohy (Fresnelova a Fraunhofferova difrakce) 37





Monochromatické vlny Helmholtzova rovnice – vlnové rovnice pro monochromatické vlny ∆ Eω + k2 Eω = 0, ω √ ω kde k = = ω ε µ = n = n k0 je vlnové číslo. v c k0 – vlnové číslo ve vákuu. Řešení Helmholtzovy rovnice: rovinné vlny Gaussův svazek, Gauss-Hermitovy svazky stojaté vlny v rezonátoru vlny v optickém vlákně difrakční úlohy (Fresnelova a Fraunhofferova difrakce) 37





Energie monochromatické vlny Intenzita: I = | < S > |, kde Poyntingův vektor je dán: S = E × H S = ℜ Eω ei ω t × ℜ Hω ei ω t = 1 = Eω × H∗ω + E∗ω × Hω + Eω × Hω ei 2ω t + E∗ω × H∗ω e−i 2ω t . 4 < S >=

1 (Eω × H∗ω + E∗ω × Hω ) . 4

Energie monochromatické vlny < S >= ℜ(Sω ),

Sω =

1 Eω × H∗ω 2

kde Sω je komplexní Poyntingův vektor. 38






1 (Eω × H∗ω + E∗ω × Hω ) . 4


Sω =

1 Eω × H∗ω 2







1 (Eω × H∗ω + E∗ω × Hω ) . 4


Sω =

1 Eω × H∗ω 2







1 (Eω × H∗ω + E∗ω × Hω ) . 4


Sω =

1 Eω × H∗ω 2






Řešení Helmholtzovy rovnice – rovinné vlny ∆ Eω + k2 Eω = 0, Předpokládejme separovatelné řešení Eω (r) = Ex (x) Ey (y) Ez (z), pak se Helmholtzova rovnice rozpadne do tří lineárních diferenciálních rovnic: dEx + kx2 Ex = 0, dx kde kx2 + ky2 + kz2 = k2 . Řešení rovnic je ve tvaru Ex = Ax e−i kx x . Celkové řešení: Eω (r) = E0 e−i (kx x+ky y+kz z) = E0 e−i k r .

39






39






39





Řešení Helmholtzovy rovnice – rovinné vlny Rovinné vlny Eω (r) = E0 e−i k r , kde E0 je komplexní obálka vlny a k je vlnový vektor. Vlnoplochy konstantní fáze jsou roviny kolmé na směr vlnového vektoru k. Operátor nabla přechází:

∂ ∂ ∂ + j ∂y + k ∂z → −i k . ∇ = i ∂x

Mawellovy rovnice jsou ve tvaru:

E0 = −

1 k × H0 ωε

k E0 = 0 40


H0 =

1 k × E0 ωµ

k H0 = 0. C. Elektromagnetická optika



Řešení Helmholtzovy rovnice – rovinné vlny Rovinné vlny Eω (r) = E0 e−i k r , kde E0 je komplexní obálka vlny a k je vlnový vektor. Vlnoplochy konstantní fáze jsou roviny kolmé na směr vlnového vektoru k. Operátor nabla přechází:

∂ ∂ ∂ + j ∂y + k ∂z → −i k . ∇ = i ∂x

Mawellovy rovnice jsou ve tvaru:

E0 = −

1 k × H0 ωε

k E0 = 0 40


H0 =

1 k × E0 ωµ

k H0 = 0. C. Elektromagnetická optika



Rovinné vlny Pro rovinné vlny v izotropním prostředí platí E0 , H0 ⊥ k, E 0 ⊥ H0 . Intenzita rovinné monochromatické vlny: Sω =

41

1 E0 H0∗ , 2 q = µε =

I = |ℜ(Sω )| =

1 |E0 |2 |E0 H0 | = , 2 2η

η0 E0 kde η = H n je impedance prostředí a q 0 η0 = µε00 je impedance vakua. K. Postava: Fyzika III – Optika



Vlnová rovnice vodivého prostředí Disperze Kramers-Kronigovy disperzní relace

Odvození vlnové rovnice ve vodivém prostředí Uvažujme nyní vodivé σ 6= 0, j 6= 0, bez volných nábojů ρ = 0.

Maxwellovy rovnice se pak s využitím materiálových vztahů redukují: div E = 0

div H = 0.

∂H ∂E =0 rot H − ε = j = σE ∂t ∂t Z rovnic obsahujících rotace vyloučíme H tak, že aplikujeme operátor rot a ∂∂t : rot E + µ

∂2E ∂E − µσ . rot rot E = grad div E −∆ E = −ε µ 2 | {z } ∂t ∂t =0

42





Odvození vlnové rovnice ve vodivém prostředí Uvažujme nyní vodivé σ 6= 0, j 6= 0, bez volných nábojů ρ = 0.

Maxwellovy rovnice se pak s využitím materiálových vztahů redukují: div E = 0

div H = 0.

∂H ∂E =0 rot H − ε = j = σE ∂t ∂t Z rovnic obsahujících rotace vyloučíme H tak, že aplikujeme operátor rot a ∂∂t : rot E + µ

∂2E ∂E − µσ . rot rot E = grad div E −∆ E = −ε µ 2 | {z } ∂t ∂t =0

42





Vlnová rovnice ve vodivém prostředí Vlnová rovnice ve vodivém prostředí ∂E ∂2E = 0. − µσ ∂ t2 ∂t ∂ Pro monochromatické vlny ∂t → i ω vlnová přechází ve ztrátovém prostředí: ∆E − εµ

Helmholtzova rovnice ve vodivém prostředí ∆ Eω + kˆ2 Eω = 0, kde kˆ = ω

43

q

√ ε − i ωσ µ = ω εˆ µ je komplexní vlnové číslo.





Vlnová rovnice ve vodivém prostředí Vlnová rovnice ve vodivém prostředí ∂E ∂2E = 0. − µσ ∂ t2 ∂t ∂ → i ω vlnová přechází ve Pro monochromatické vlny ∂t ztrátovém prostředí: ∆E − εµ

Helmholtzova rovnice ve vodivém prostředí ∆ Eω + kˆ2 Eω = 0, kde kˆ = ω

43

q

√ ε − i ωσ µ = ω εˆ µ je komplexní vlnové číslo.





Vodivé prostředí

Maxwellovy rovnice pro komplexní amplitudy monochromatické vlny ve vodivém prostředí: rot Hω −i ω ε Eω = σEω

rot Eω + i ω µ Hω = 0

div Eω = 0

div Hω = 0.

σ Jestliže zavedeme komplexní permitivitu εˆ = ε − i jsou rovnice ω ve stejném tvaru, jako pro nevodivé prostředí.

44





Komplexní permitivita ve vodivém prostředí Pro rovinné monochromatické vlny vodivost prostředí odpovídá komplexnímu vlnovému číslu r p σ ω ˆ ε−i ˆ =n µ = ω εˆ µ = n ˆ k0 k=ω ω c

a následně komplexní permitivitě εˆ a komplexnímu indexu lomu n ˆ:

Komplexní permitivita a komplexní index lomu vodivého prostředí σ σ Komplexní permitivita εˆ = ε − i = ε0 εr − i = ε0 εˆr . ω ε0 ω r p σ . Komplexní index lomu n ˆ = εˆr = εr − i ε0 ω 45





Komplexní permitivita ve vodivém prostředí Pro rovinné monochromatické vlny vodivost prostředí odpovídá komplexnímu vlnovému číslu r p σ ω ˆ ε−i ˆ =n µ = ω εˆ µ = n ˆ k0 k=ω ω c

a následně komplexní permitivitě εˆ a komplexnímu indexu lomu n ˆ:

Komplexní permitivita a komplexní index lomu vodivého prostředí σ σ Komplexní permitivita εˆ = ε − i = ε0 εr − i = ε0 εˆr . ω ε0 ω r p σ . Komplexní index lomu n ˆ = εˆr = εr − i ε0 ω 45





Rovinné vlny ve vodivém prostředí Rovinná vlna šířící se ve směru osy z ve vodivém prostředí má komplexní amplitudu ˆ

Eω = E0 e−i k z = E0 e−i nˆ k0 z = E0 e−i k0 ℜ(ˆn) z e−k0 ℑ(ˆn) z . Beer-Lambertův zákon – intenzita rovinné vlny ve vodivém prostředí I(z) = I0 e−2k0 ℑ(ˆn) z = I0 e−α z , exponenciálně klesá se vzdáleností z. α = 2k0 ℑ(ˆ n) je absorpční (extinkční, útlumový) koeficient. Beer-Lambertův zákon nezapočítává jevy na rozhraních prostředí a interferenční jevy v tenkých vrstvách 46





Rovinné vlny ve vodivém prostředí Rovinná vlna šířící se ve směru osy z ve vodivém prostředí má komplexní amplitudu ˆ

Eω = E0 e−i k z = E0 e−i nˆ k0 z = E0 e−i k0 ℜ(ˆn) z e−k0 ℑ(ˆn) z . Beer-Lambertův zákon – intenzita rovinné vlny ve vodivém prostředí I(z) = I0 e−2k0 ℑ(ˆn) z = I0 e−α z , exponenciálně klesá se vzdáleností z. α = 2k0 ℑ(ˆ n) je absorpční (extinkční, útlumový) koeficient. Beer-Lambertův zákon nezapočítává jevy na rozhraních prostředí a interferenční jevy v tenkých vrstvách 46





Ztrátové prostředí

Charakteristická penetrační hloubka W – definována jako tloušt’ka materiálu, na níž je vlna utlumena na hodnotu 1/e, tedy 36.8 %. 1 W = . α Imaginární část indexu lomu ℑ(ˆ n) nebo permitivity ℑ(ˆ ε) = 2ℜ(ˆ n)ℑ(ˆ n) odpovídá ztrátovosti prostředí.

ˆ odpovídá absorpci Imaginární část vlnového vektoru ℑ(k) elektromagnetické vlny.

47





Ztrátové – ziskové prostředí V konvenci monochromatické vlny ei ω t ℑ(ˆ n) < 0, ℑ(ˆ ε) < 0 – absorbující, ztrátové prostředí Elektromagnetická energie je absorbována elektrony a převáděna na teplo, nebo na vibrační, rotační rezonance, fonony, excitony, atd. ℑ(ˆ n) = 0, ℑ(ˆ ε) = 0 – neabsorbující, bezeztrátové prostředí

ℑ(ˆ n) > 0, ℑ(ˆ ε) > 0 – zesilující, ziskové prostředí Např. lasery, nebo luminiscenční zdroje, elektromagnetická energie je generována (zesilována) stimulovanou, nebo spontanní emisí. Pozn.: V konvenci e−i ω t platí opačná znaménka pro absorbující, zesilující prostředí. 48





Disperze materiálů Závislost indexu lomu na vlnové délce (frekvenci)

49





Disperze materiálů Uvažujme lineární prostředí, jehož odezva na elektrické pole není okamžitá. Vektor polarizace je dán konvolucí Z ∞ χ(t − τ ) E(τ ) dτ, P(t) = ε0 −∞

kde χ(t) je elektrická susceptibilita, εr = 1 + χ přechod k Fourierovým obrazům (od časových k frekvenčním R závislostem), např. E(ω) = E(t) exp(iω t) dt: P(ω) = ε0 χ(ω) E(ω).

princip kauzality – důsledek nemůže předcházet příčinu. Pro τ > t je χ(t − τ ) = 0. 50



















Vztah mezi absorpcí a disperzí

Absorpce a disperze je svázána Kramers-Kronigovymi disperzními relacemi Vyjadřují vztah mezi reálnou a imaginární částí odezvové funkce prostředí χ(ω) = χ′ (ω) + iχ′′ (ω). Jsou základními vztahy v optické spektroskopii. Využívají se k analýze experimentálních spektroskopických dat. Jsou přímým důsledkem principu kauzality

51





Využití teorie funkce komplexně promněnné Je-li h(z) – funkce komplexní proměnné z = x + iy, která je holomorfní (analytická) funkce (v každém bodě má derivaci), pak platí Cauchyova I h(z ′ ) dz ′ = 0.

věta:

C

Uvažujme integrál: I f (z ′ ) dz ′ = 0 ′−z z C

C

kde křivka C obsahuje reálnou osu, obklopuje pól z = x a uzavírá se v ∞ horní poloroviny (uvnitř křivky nejsou póly) Z 52

x−δ −∞

f (x′ ) dx′ + x′ − x

Z

∞ x+δ

f (x′ ) dx′ + x′ − x


8

y=Im(z)

Cδ x

Z

Cδ

f (z ′ ) dz ′ + z′ − z

Z

C∞


x=Re(z)

f (z ′ ) dz ′ = 0 z′ − z



Využití teorie funkce komplexně promněnné Je-li h(z) – funkce komplexní proměnné z = x + iy, která je holomorfní (analytická) funkce (v každém bodě má derivaci), pak platí Cauchyova I h(z ′ ) dz ′ = 0.

věta:

C

Uvažujme integrál: I f (z ′ ) dz ′ = 0 ′−z z C

C

kde křivka C obsahuje reálnou osu, obklopuje pól z = x a uzavírá se v ∞ horní poloroviny (uvnitř křivky nejsou póly) Z 52

x−δ −∞

f (x′ ) dx′ + x′ − x

Z

∞ x+δ

f (x′ ) dx′ + x′ − x


8

y=Im(z)

Cδ x

Z

Cδ

f (z ′ ) dz ′ + z′ − z

Z

C∞


x=Re(z)

f (z ′ ) dz ′ = 0 z′ − z



Využití teorie funkce komplexně promněnné Z

x−δ −∞

|

Z Z Z ∞ f (x′ ) f (z ′ ) f (z ′ ) f (x′ ) ′ ′ ′ + + dx + dx dz dz ′ = 0, ′ ′ ′ ′ −z x −x x − x z − z z C C x+δ {z } | ∞ {z } } | δ {z pro δ → 0 →0 subst. Z ∞ z ′ − x = δ eiϕ pro |z ′ | → ∞ f (x′ ) ′ P dx ′ f (z) − omezená → −iπf (x) −∞ x − x

kde P je Cauchyho hlavní hodnota integrálu.

Z

∞

f (x′ ) dx′ = iπ f (x), kde f (x) = f ′ (x) + if ′′ (x) ′ −∞ x − x Hilbertovy integrální transformace: Z ∞ ′′ ′ Z ∞ ′ ′ f (x ) dx′ f (x ) dx′ 1 1 ′′ ′ , f (x) = − P f (x) = P π x′ − x π x′ − x −∞ −∞

P

53





Využití teorie funkce komplexně promněnné Z

x−δ −∞

|

Z Z Z ∞ f (x′ ) f (z ′ ) f (z ′ ) f (x′ ) ′ ′ ′ + + dx + dx dz dz ′ = 0, ′ ′ ′ ′ −z x −x x − x z − z z C C x+δ {z } | ∞ {z } } | δ {z pro δ → 0 →0 subst. Z ∞ z ′ − x = δ eiϕ pro |z ′ | → ∞ f (x′ ) ′ P dx ′ f (z) − omezená → −iπf (x) −∞ x − x

kde P je Cauchyho hlavní hodnota integrálu.

Z

∞

f (x′ ) dx′ = iπ f (x), kde f (x) = f ′ (x) + if ′′ (x) ′ −∞ x − x Hilbertovy integrální transformace: Z ∞ ′′ ′ Z ∞ ′ ′ f (x ) dx′ f (x ) dx′ 1 1 ′′ ′ , f (x) = − P f (x) = P π x′ − x π x′ − x −∞ −∞

P

53





Odvození Kramers-Kronigových relací Elektrická susceptibilita χ(ω) = χ′ (ω) + i χ′′ (ω) kauzalita χ(t − t′ ) – Fourierova transformace je analytická v horní polorovině je omezená protože E, P jsou reálné, je χ(ω) Fourierovou transformací reálné veličiny χ(t − t′ ) χ′ (−ω) = χ′ (ω) − sudá χ(−ω) = χ∗ (ω) −→ ′′ χ (−ω) = −χ′′ (ω) − lichá 1 χ (ω) = P π ′

54

Z

∞ −∞

χ′′ (ω ′ ) dω ′ , ω′ − ω


1 χ (ω) = − P π ′′

Z


∞

−∞

χ′ (ω ′ ) dω ′ ω′ − ω



Kramers-Kronigovy disperzní relace Vztah mezi absorpcí a disperzí

χ′ (ω) =

2 P π

Z

∞ 0

ω ′ χ′′ (ω ′ ) dω ′ , ω ′2 − ω 2

χ′′ (ω) = −

2ω P π

Kramers-Kronigovy disperzní relace ε(ω) = ε1 (ω) + i ε2 (ω) = ε0 [1 + χ(ω)] Vztah mezi reálnou a imaginární částí permitivity: Z ∞ ′ ω ε2 (ω ′ ) dω ′ 2 ε1 (ω) = ε0 + P π ω ′2 − ω 2 0 Z ∞ ε1 (ω ′ ) dω ′ 2ω P ε2 (ω) = − π ω ′2 − ω 2 0 55



Z

0

∞

χ′ (ω ′ ) dω ′ ω ′2 − ω 2



Absorpce vazaných elektronů Pohybová rovnice vazaných elektronů (v jedné dimenzi x): d2 x , dt2 kde me je hmotnost elektronu a F je síla působící na elektron F = me a = me

F = −e E − κ x − γ v. První člen je síla elektrického pole E = E0 exp(iω t) působící na elektron o náboji e Druhý člen představuje přitažlivou sílu atomového jádra (restoring force). Síla je přímo úměrná výchylce x s konstantou úměrnosti κ = me ω02 , ω0 je vlastní rezonanční frekvence Třetí člen představuje sílu tlumení, kde γ je konstanta tlumení a v = dx dt je rychlost elektronu. 56





Absorpce vazaných elektronů Pohybová rovnice vazaných elektronů (v jedné dimenzi x): d2 x , dt2 kde me je hmotnost elektronu a F je síla působící na elektron F = me a = me

F = −e E − κ x − γ v. První člen je síla elektrického pole E = E0 exp(iω t) působící na elektron o náboji e Druhý člen představuje přitažlivou sílu atomového jádra (restoring force). Síla je přímo úměrná výchylce x s konstantou úměrnosti κ = me ω02 , ω0 je vlastní rezonanční frekvence Třetí člen představuje sílu tlumení, kde γ je konstanta tlumení a v = dx dt je rychlost elektronu. 56





Absorpce vazaných elektronů Pohybová rovnice vazaných elektronů: me

dx d2 x + me ω02 x = −e E0 ei ω t +γ 2 dt dt

Řešení pohybová rovnice předpokláme ve tvaru x = x0 ei ω t Pak x0 =

−e E0 a dipolový moment p = −e x0 . me (ω02 − ω 2 ) + i γ ω

Polarizace (hustota dipolových momentů) E0 e2 N a příspěvek k relativní permitivitě: P =Np= 2 me ω0 − ω 2 + i mγe ω χe =

57

A P = 2 . 2 ε0 E ω0 − ω + iγ0 ω









Polarizace (hustota dipolových momentů) e2 N E0 P =Np= a příspěvek k relativní permitivitě: 2 me ω0 − ω 2 + i mγe ω χe =

57

A P = 2 . 2 ε0 E ω0 − ω + iγ0 ω









Polarizace (hustota dipolových momentů) E0 e2 N a příspěvek k relativní permitivitě: P =Np= 2 me ω0 − ω 2 + i mγe ω χe =

57

A P = 2 . 2 ε0 E ω0 − ω + iγ0 ω





Lorentzův tlumený harmonický oscilátor χe (ω) =

ω02

A A0 = 2 , E0 − E 2 + i Γ0 E − + i γ0 ω ω2

kde E = ~ ω je energie fotonů elektromagnetické vlny

E0 = ~ ω0 , ω0 je rezonanční frekvence oscilátoru Γ0 = ~ γ0 představuje tlumení oscilátoru A0 = ~ A, A =

N e2 ε0 me

je amplituda oscilátoru

Příspěvek k relativní permitivitě ε1 − i ε2 : A0 E02 − E 2 A0 Γ0 E , ε2 (E) = ε1 (E) = 2 2 E02 − E 2 + Γ20 E 2 E02 − E 2 + Γ20 E 2

Pro Γ0 ≪ E0 a E ≈ E0 je ε2 (E) Lorentzova funkce. 58





Lorentzův tlumený harmonický oscilátor Lorentzův tlumený harmonický oscilátor – vyhovuje Kramers-Kronigovým disperzním relacím

59





Vztah mezi absorpcí a disperzí Dielektrická funkce − SiO2 5

ε1

0 −5 10 5 0 60

ε2 10−3 10 −2

10 −1 10 0 10 1 Energie (eV)


10 2 10 3




Optické materiály – spektrální propustnost

61




Jonesův počet, Muellovy matice Šíření světla na rozhraní, Fresnelovy vztahy Optika anizotropního prostředí

Úvod – polarizace světla Polarizace projev vektorové povahy světla (E – vektor) oko není citlivé na polarizaci světla

62





Využití polarizace světla Polarizační filtry ve fotografii

Polarizace světla odrazem od vodní hladiny. Fotografie bez a s polarizačním filtrem.

63





Využití polarizace světla Polarizace oblohy rozptylem – orientace hmyzu

Polarizace oblohy rozptylem na vodních částicích polarizačně citlivé vidění hmyzu (včely, mravenci) orientace při plavbě po moři (Vikingové) 64





Využití polarizace světla Displeje s kapalných krystalů, spínače, izolátory, fotoelasticita

65





Polarizace rovinné monochromatické vlny Polarizace monochromatické n o rovinné vlny: iω t−ikr E(r, t) = ℜ A e

Při šíření ve směru osy z, je vektor komplexní obálky: A = Ax i + Ay j = ax eiϕx i + ay eiϕy j, pak E(z, t) = ax cos(ωt − kz + ϕx ) i + ay cos(ωt − kz + ϕy ) j {z } | {z } | Ex Ey

vyloučíme parametr (ωt − kz) 66





Polarizace rovinné monochromatické vlny Polarizace monochromatické n o rovinné vlny: iω t−ikr E(r, t) = ℜ A e

Při šíření ve směru osy z, je vektor komplexní obálky: A = Ax i + Ay j = ax eiϕx i + ay eiϕy j, pak E(z, t) = ax cos(ωt − kz + ϕx ) i + ay cos(ωt − kz + ϕy ) j {z } | {z } | Ex Ey

vyloučíme parametr (ωt − kz) 66





Polarizace rovinné monochromatické vlny Složky vektoru E vyhovují rovnici elipsy Ex Ey Ex2 Ey2 + 2 −2 cos ϕ = sin2 ϕ, 2 ax ay ax ay kde ϕ = ϕy − ϕx . Monochromatická vlna je vždy úplně elipticky polarizovaná lineární polarizace sin ϕ = 0 pravotočivá levotočivá

sin ϕ > 0 sin ϕ < 0

– kruhová polarizace ax = ay , cos ϕ = 0 67





Jonesův vektor Polarizace monochromatické o rovinné vlny: n E(r, t) = ℜ A eiω t−ikr

Při šíření ve směru osy z, je vektor komplexní obálky: A = Ax i + Ay j = ax eiϕx i + ay eiϕy j, Jonesův vektor J= Celková intenzita I=

Ax Ay

.

|Ax |2 + |Ay |2 1 + |E|2 = = J J, 2η 2η 2η

kde J+ = [A∗x A∗y ] je Hermitovsky sdružený vektor. 68





Jonesův vektor Polarizace monochromatické o rovinné vlny: n E(r, t) = ℜ A eiω t−ikr

Při šíření ve směru osy z, je vektor komplexní obálky: A = Ax i + Ay j = ax eiϕx i + ay eiϕy j, Jonesův vektor J= Celková intenzita I=

Ax Ay

.

|Ax |2 + |Ay |2 1 + |E|2 = = J J, 2η 2η 2η

kde J+ = [A∗x A∗y ] je Hermitovsky sdružený vektor. 68





Transformace Jonesova vektoru rotací souřadnicového systému y′ A′y

y Ay A′x Ax

x′ α x

Transformace Jonesova vektoru rotací souřadnicového systému cos α sin α ′ J = R(α) J, R(α) = − sin α cos α

Platí: 69

R−1 (α) = R(−α) K. Postava: Fyzika III – Optika




Ortogonální polarizace Polarizační stavy J1 , J2 jsou ortogonální, jestliže: ∗ ∗ J+ 1 J2 = A1x A2x + A1y A2y = 0

Ortogonální polarizační stavy mophou tvořit bázi – libovolný polarizační stav lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci: J = α1 J1 + α2 J2 . Příklady ortogonálních polarizací: dvě kolmé lineární polarizace levotočivá a pravotočivá kruhová polarizace

70





Ortogonální polarizace Polarizační stavy J1 , J2 jsou ortogonální, jestliže: ∗ ∗ J+ 1 J2 = A1x A2x + A1y A2y = 0

Ortogonální polarizační stavy mophou tvořit bázi – libovolný polarizační stav lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci: J = α1 J1 + α2 J2 . Příklady ortogonálních polarizací: dvě kolmé lineární polarizace levotočivá a pravotočivá kruhová polarizace

70





Jonesovy vektory základních polarizačních stavů y 1

lineárně polarizované světlo polarizace ve směru osy x:

Jx =

polarizace ve směru osy y: Jy =

polarizace pod úhlem α:

Jx′ =

ortogonální polarizace: Jy′ =

71


1 0

0 1

x y x y′ y

cos α sin α

− sin α cos α


y′ y

x′ α x x′ α x



Jonesovy vektory základních polarizačních stavů 2

72

kruhově polarizované světlo pravotočivá polarizace: 1 1 JR = √ i 2

y

levotočivá polarizace: 1 1 JL = √ 2 −i

y


x

x




Jonesovy vektory základních polarizačních stavů

3

y

elipticky polarizované světlo s elipticitou ǫ: J=

cos ǫ i sin ǫ

ǫ

s elipticitou ǫ a azimutem hlavní osy θ: cos θ cos ǫ − i sin θ sin ǫ J= sin θ cos ǫ + i cos θ sin ǫ

73



x

y θ ǫ

x



Transformace Jonesova vektoru polarizační součástkou

Jonesova matice Polarizační součástky lineárně transformují složky komplexní amplitudy

A′x = T11 Ax + T12 Ay A′y = T21 Ax + T22 Ay

)

′

J = TJ

T=

T11 T12 T21 T22

,

kde T je Jonesova matice popisující polarizační vlastnosti součástky. Kaskáda polarizačních součástek: T = TN · TN −1 · . . . · T3 · T2 · T1 . 74





Jonesovy matice základních polarizačních součástek

1

Lineární polarizátor ve směru osy x 1 0 T= 0 0

Lineární polarizátor pod úhlem α cos2 α sin α cos α T(α) = sin α cos α sin2 α Malusův zákon 75





Jonesovy matice základních polarizačních součástek 2

Vlnový retardér (fázová destička) fázové zpoždění mezi lineárními polarizacemi ve směru osy x a y

T=

1 0 −iΓ 0 e

π čtvrtvlnová destička Γ= 2 – transformuje lineárně polarizované světlo na kruhové a naopak půlvlnová destička Γ=π 3

Polarizační rotátor T=

76

cos α − sin α sin α cos α





Popis polarizačního stavu světla

Jonesův vektor, 2 × 2 Jonesova matice

popis pouze úplně polarizovaného světla nelze využít k popisu částečné polarizace, depolarizace

Stokesův vektor, 4 × 4 Muellerova matice

zahrnuje popis úplně polarizovaného, částečně polarizovaného, nebo nepolarizovaného světla

Koherenční vektor, 4 × 4 koherenční transformační matice ekvivalentní se Stokesovým popisem

77





Stokesův vektor Stokesův vektor



 S0  S1   S=  S2  S3

kde S0 je celková intenzita; S1 – rozdíl mezi lineárními polarizacemi podel x a y; S2 – rozdíl mezi lineárními polarizacemi ve směrech ±45◦ ; S3 – rozdíl mezi pravotočivou a levotočivou kruhovou polarizací p S12 + S22 + S32 Stupeň polarizace: P = , 0≤P ≤1 S0 P = 1 – úplně polarizované světlo P = 0 – nepolarizované (chaotické) světlo 0 < P < 1 – částečně polarizované světlo

78





Stokesův vektor Stokesův vektor



 S0  S1   S=  S2  S3

kde S0 je celková intenzita; S1 – rozdíl mezi lineárními polarizacemi podel x a y; S2 – rozdíl mezi lineárními polarizacemi ve směrech ±45◦ ; S3 – rozdíl mezi pravotočivou a levotočivou kruhovou polarizací p S12 + S22 + S32 , 0≤P ≤1 Stupeň polarizace: P = S0 P = 1 – úplně polarizované světlo P = 0 – nepolarizované (chaotické) světlo 0 < P < 1 – částečně polarizované světlo

78





Stokesův vektor – Poincarého sféra

Stokesův vektor úplně polarizovaného světla:   S0  S0 cos 2ǫ cos 2θ   S=  S0 cos 2ǫ sin 2θ  S0 sin 2ǫ

Poincarého sféra

kartezské souřadnice: S1 , S2 , S3 sférické souřadnice: 2θ, 2ǫ

79





Muellerova matice

Polarizační součástku lze popsat pomocí  ′   S0 M11 M12 M13  S1′   M21 M22 M23 ′   S =  S2′  =  M31 M32 M33 S3′ M41 M42 M43

80


Muellerovy matice:   M14 S0   M24    S1  = M S M34   S2  M44 S3




Device using polarization – LCD

81





Polarizace v přírodě Mantis shrimp (kreveta) využívá kruhově polarizovaného světla

82





Rovinná monochromatická vlna na rovinném rozhraní Uvažujme lineární, homogenní, izotropní, nemagnetické prostředí popsané indexy lomu n1 , n2 . E = E0 eiωt−ikr ,

H = H0 eiωt−ikr ,

H0 =

Hraniční podmínky Maxwellových rovnic: E

B D H

without surface charges

83


without surface current


1 k × E0 ωµ



Šíření světla na rozhraní dopadající vlna k1 α1

dopadající vlna E1 , H1 , k1 , lomená vlna E2 , H2 , k2 , odražená vlna E3 , H3 , k3 ,

z

odražená vlna

n α3

k3 x

n1 n2

rozhraní y

k2 α2 lomená vlna

Na rozhraní platí: (E01 )t eiω1 t−ik1 r + (E03 )t eiω3 t−ik3 r = (E02 )t eiω2 t−ik2 r (H01 )t eiω1 t−ik1 r + (H03 )t eiω3 t−ik3 r = (H02 )t eiω2 t−ik2 r 84





Šíření světla na rozhraní (E01 )t eiω1 t−ik1 r + (E03 )t eiω3 t−ik3 r = (E02 )t eiω2 t−ik2 r (H01 )t eiω1 t−ik1 r + (H03 )t eiω3 t−ik3 r = (H02 )t eiω2 t−ik2 r 1

porovnání fází ω1 = ω2 = ω2 – frekvence se při odrazu a lomu nemění k1 r = k2 r = k3 r,

neboli (k1 − k2 ) r = 0

– k1 , k2 , k3 leží v rovině dopadu dané vektorem k1 a normálou n – spojitost tečných složek vlnového vektoru na rozhraní zákon odrazu zákon lomu 2

α1 = −α3 n1 sin α1 = n2 sin α2

porovnání amplitud (E01 )t + (E03 )t = (E02 )t ,

85


(H01 )t + (H03 )t = (H02 )t C. Elektromagnetická optika



Šíření světla na rozhraní (E01 )t eiω1 t−ik1 r + (E03 )t eiω3 t−ik3 r = (E02 )t eiω2 t−ik2 r (H01 )t eiω1 t−ik1 r + (H03 )t eiω3 t−ik3 r = (H02 )t eiω2 t−ik2 r 1

porovnání fází ω1 = ω2 = ω2 – frekvence se při odrazu a lomu nemění k1 r = k2 r = k3 r,

neboli (k1 − k2 ) r = 0

– k1 , k2 , k3 leží v rovině dopadu dané vektorem k1 a normálou n – spojitost tečných složek vlnového vektoru na rozhraní zákon odrazu zákon lomu 2

α1 = −α3 n1 sin α1 = n2 sin α2

porovnání amplitud (E01 )t + (E03 )t = (E02 )t ,

85


(H01 )t + (H03 )t = (H02 )t C. Elektromagnetická optika



Definice amplitudových reflexních a transmisních koeficientů Popis polarizačních stavů: E0j x , j = 1, 2, 3. Jj = E0j y

x y

k3 x

α3

k1 y n1 n2

y . . . TM (p) polarizace

J2 = T J 1

T=

ts 0 0 tp

ts , tp – amplitudové transmisní koeficienty rs 0 J3 = R J1 R= 0 rp rs , rp – amplitudové reflexní koeficienty 86


k2 α2

α1

x . . . TE (s) polarizace

x


y



Definice amplitudových reflexních a transmisních koeficientů Popis polarizačních stavů: E0j x , j = 1, 2, 3. Jj = E0j y

x y

k3 x

α3

k1 y n1 n2

y . . . TM (p) polarizace

J2 = T J 1

T=

ts 0 0 tp

ts , tp – amplitudové transmisní koeficienty rs 0 J3 = R J1 R= 0 rp rs , rp – amplitudové reflexní koeficienty 86


k2 α2

α1

x . . . TE (s) polarizace

x


y



Fresnelovy vztahy – TE polarizace E01 + E03 = E02 ,

H03

H01 cos α1 −H03 cos α3 = H02 cos α2 , α1 = −α3

rs =

H0 = n

E03 , E01

r

ts =

ε0 E0 µ0

E02 E01

E02

E03 α3

H02 α2

α1 E01 H01 n1

n2

Fresnelovy vztahy – TE polarizace rs =

sin(α2 − α1 ) n1 cos α1 − n2 cos α2 = n1 cos α1 + n2 cos α2 sin(α1 + α2 )

t s = 1 + rs = 87

2 n1 cos α1 n1 cos α1 + n2 cos α2





Fresnelovy vztahy – TE polarizace E01 + E03 = E02 ,

H03

H01 cos α1 −H03 cos α3 = H02 cos α2 , α1 = −α3

rs =

H0 = n

E03 , E01

r

ts =

ε0 E0 µ0

E02 E01

E02

E03 α3

H02 α2

α1 E01 H01 n1

n2

Fresnelovy vztahy – TE polarizace rs =

sin(α2 − α1 ) n1 cos α1 − n2 cos α2 = n1 cos α1 + n2 cos α2 sin(α1 + α2 )

t s = 1 + rs = 87

2 n1 cos α1 n1 cos α1 + n2 cos α2





Fresnelovy vztahy – TM polarizace E01 cos α1 − E03 cos α3 = E02 cos α2 H01 + H03 = H02 α3 = −α1

rp =

H0 = n

E03 , E01

r

tp =

ε0 E0 µ0

E02 E01

E02

H03 E03 α3 E01

H02 α2

α1 H01 n1 n2

Fresnelovy vztahy – TM polarizace rp =

n2 cos α1 − n1 cos α2 tan(α1 − α2 ) = n2 cos α1 + n1 cos α2 tan(α1 + α2 )

tp = 88

2 n1 cos α1 n1 (1 + rp ) = n2 n2 cos α1 + n1 cos α2





Fresnelovy vztahy – TM polarizace E01 cos α1 − E03 cos α3 = E02 cos α2 H01 + H03 = H02 α3 = −α1

rp =

H0 = n

E03 , E01

r

tp =

ε0 E0 µ0

E02 E01

E02

H03 E03 α3 E01

H02 α2

α1 H01 n1 n2

Fresnelovy vztahy – TM polarizace rp =

n2 cos α1 − n1 cos α2 tan(α1 − α2 ) = n2 cos α1 + n1 cos α2 tan(α1 + α2 )

tp = 88

2 n1 cos α1 n1 (1 + rp ) = n2 n2 cos α1 + n1 cos α2





Rozbor Fresnelových vztahů: n1 < n2 Odraz od opticky hutšího prostředí (ze vzduchu od skla) Reflection air/glass

, p

rp = |rp | eiφp .

s

rs = |rs | e

1

| r |, | r |

iφs

n1 = 1 (vzduch) n2 = 1.5 (sklo)

rs = −rp = 89

n1 − n2 n1 + n2

150 r

p s

(α1 = α2 = 0):

0 200

φ ,φ

Pro kolmý dopad

0.5

s

100

rp

50 0 0

10


20

30 40 50 60 70 Angle of incidence (degree)


80

90



Brewsterův úhel Pro α1 = αB se TM polarizace (p-polarizace) neodráží rp = 0 Brewsterův úhel n2 tan αB = , kde αB je Brewsterův úhel n1 – odražený a lomený paprsek svírají úhel 90◦

Pro rozhraní vzduch (n1 = 1) / sklo (n2 = 1, 5): αB = 56, 3◦ . 90





Využití Brewsterova úhlu polarizátor

Brewsterova okénka laseru

91





Rozbor Fresnelových vztahů: n1 > n2 Odraz od opticky ridšího prostředí (ze skla od vzduchu) Reflection glass/air

, p

rp = |rp | eiφp .

s

rs = |rs | e

1

| r |, | r |

iφs

n1 = 1.5 (sklo) n2 = 1 (vzduch)

rs = −rp = 92

n1 − n2 n1 + n2

150 r

p s

(α1 = α2 = 0):

0 200

φ ,φ

Pro kolmý dopad

0.5

s

100

rp

50 0 0

10


20



80

90



Mezní (kritický) úhel paprsek se pro mezní úhel láme pod úhlem 90◦ Totální (úplný) odraz, mezní úhel sin αC =

n2 , n1

kde αC je mezní (kritický) úhel Totální (úplný) odraz nastává pro α1 > αC Pro rozhraní sklo (n1 = 1.5) / vzduch (n2 = 1): αC = 41, 8◦ .

Úhel lomu pro totální odraz: cos α2 = ± 93

p

1 − sin2 α2 = ±

s


n2 1 − 12 sin2 α1 = −i n2 C. Elektromagnetická optika

s

sin2 α1 −1 sin2 αC



Fáze odražené vlny α1 < αC rozdíl fází mezi odrazy od opticky řidšího a od opticky hustšího prostředí je π (uplatnění v interferenci – Newtonova skla). Pozn.: fázový rozdíl mezi s a p-polarizací je dán otočením souřadného systému

α1 > αC – při totálním odrazu p TE (s) polarizace

TM (p) polarizace Kde bylo využito:

94

sin2 α1 − sin2 αC φs = 2 p cos α1 sin2 α1 − sin2 αC φp tan = 2 sin2 αC cos α1

tan

tan 2α =

α a 2ab 2 tan α ; tan = ⇔ tan α = 2 1 − tan α 2 b b − a2





Fáze odražené vlny při totálním odrazu Fázová retardace mezi TE a TM polarizací při totálním odrazu: p φ cos α1 sin2 α1 − sin2 αC φ = φs − φp , tan = 2 sin2 α1 Pro rozhraní sklo/vzduch je maximální retardace φm = 45◦ pro α1 = 51◦ 40′ .

50

Využ: polarizační retardér

30

p

φ −φ

s

40

20

10

0 40

95


50

60 70 Angle of incidence (degree)


80

90



Evanescentní vlna lomená vlna při úplném odrazu – evanescentní vlna šíří se ve směru rozhraní je rychle exponenciálně tlumena se vzrůstající vzdálenosti od rozhraní

∆x Goos-Hanchenův jev – posuv odraženého poprsku při totálním odrazu 96





Odrazivost a propustnost prostředí r, t – vyjadřují vztah mezi komplexními amplitudami R, T – vyjadřují vztah mezi energiemi, intenzitami (Poyntingovy vektory) S1

S3 S2

Intenzita – výkon který projde kolmou jednotkovou plochou r A2 n µ0 2 I= A = 2η 2 ε0 R=

Odrazivost R, propustnost T n2 cos α2 2 R = |r|2 , T = |t| , n1 cos α1 97


I3 S3 , I1 S1

T =

I2 S2 I1 S1

T = 1 − R.




Odrazivost a propustnost prostředí R = 12 (Rs + Rp )

Odrazivost nepolarizované vlny: Reflection air/glass

Reflection glass/air

1

1 Rs

0.8

0.8

R

p

Reflectivity

Reflectivity

R 0.6

0.4

0.6

0.4

R

s

0.2

0 0

Rp

0.2

10

20


80

90

0 0

R

10

20


n1 − n2 2 , n1 + n2 pro rozhraní vzduch/sklo: R = 0.04.

Pro kolmý dopad R =

98



80

90



Odraz od absorbujícího prostředí Platí vztahy při započtení komplexního indexu lomu. Např: odraz od hliníku pro λ = 500 nm: n = 0.77 − i 6.08 Reflection air/Al

| rs|, | rp|

Reflection air/Al 1

1

0.95

0.95

Reflectivity

0.9

φ s, φ p

150

0.9 Rs

0.85

Rp

r

s

100

r

R

0.8

p

50 0 0

99

10

20


80

90


0.75 0

10

20



80

90



Optika anizotropního prostředí optické vlastnosti anizotropního materiálu závisí na směru šíření a na polarizaci světla pochází z anizotropní struktury materiálu

dielektrické krystaly (v jiné, než kubické symetrii) kapalné krystaly s uspořádanými anizotropními molekulami umělé nanostrukrurované materiály – fotonické krystaly, mřížky, anizotropní metamateriály symetrie porušena vnějším polem (magnetooptické, elektrooptické jevy), nebo tlakem (akustooptický, fotoelastický jev)

závislost vektoru D na E:

100

D1

= ε11 E1 + ε12 E2 + ε13 E2

D2 D3

= ε21 E1 + ε22 E2 + ε23 E2 = ε31 E1 + ε32 E2 + ε33 E2





Optika anizotropního prostředí Tenzor elektrické permitivity εˆ   ε11 ε12 ε13 D =  ε21 ε22 ε23  E ε31 ε32 ε33 | {z } εˆ Reprezentace tenzoru permitivity εˆ pomocí elipsoidu indexů lomu (indicatrixu).

Transformací souřadnicového systému lze εˆ převést na diagonální tvar s permitivitami ε1 , ε2 , ε3 na hlavní diagonále. 101





Hlavní indexy lomu Hlavní indexy lomu:

n1 =

q

ε1 ε0 ,

Dělení anizotropních materiálů: dvojosý

n2 =

q

ε2 ε0 ,

n3 =

q

n1 6= n2 6= n3

ε3 ε0

jednoosý n1 = n2 = no – řádný (ordinární) index lomu, n3 = ne – mimořádný (extraordinární) index lomu pozitivní ne > no křemen (SiO2 ) – ne = 1.553, no = 1.544 LiNbO3 – ne = 2.29, no = 2.20 negativní ne < no islandský vápenec – ne = 1.486, no = 1.658

izotropní

102

n1 = n2 = n3





Vlnová rovnice v anizotropním prostředí Užitím B = µH Maxwellovy rovnice jsou ve tvaru: div D = 0

div H = 0.

∂H ∂D rot H = ∂t ∂t Z rovnic obsahujících rotace vyloučíme H tak, že aplikujeme operátor rot : rot E = −µ

∂ 2D rot rot E = grad div E −∆ E = −µ | {z } ∂ t2 6=0

Vlnová rovnice v anizotropním prostředí ∆E − grad div E + µ 103


∂2D =0 ∂t2




Vlnová rovnice v anizotropním prostředí Užitím B = µH Maxwellovy rovnice jsou ve tvaru: div D = 0

div H = 0.

∂H ∂D rot H = ∂t ∂t Z rovnic obsahujících rotace vyloučíme H tak, že aplikujeme operátor rot : rot E = −µ

∂ 2D rot rot E = grad div E −∆ E = −µ | {z } ∂ t2 6=0

Vlnová rovnice v anizotropním prostředí ∆E − grad div E + µ 103


∂2D =0 ∂t2




Rovinná monochromatická vlna v anizotropním prostředí D0 E0

vlnoplochy

k × H0 = −ωD0

k × E0 = ωµH0

k

S = E 0 × H0

H0 ||B0 H0 k B0 ,

D0 ⊥ k, H0 ,

D0 ∦ E0 ,

E0 6⊥ k

ale

104

H0 ⊥ k, E0 ,


S S ⊥ E 0 , H0




Řešení vlnové rovnice v anizotropním prostředí Jsou-li osy symetrie osami souřadnicového systému:

a ε11 = n1 , ε22 0

k × (k × E0 ) + ω 2 µˆ ε E0 = 0 = n2 a ε33 = n3 , k = (k1 , k2 , k3 )

n21 k02 − k22 − k32 @ k1 k2 k1 k3

k1 k2 n22 k02 − k12 − k32 k2 k3

12 3 k1 k3 E0x A 4 E0y 5 = 0 k2 k3 n23 k02 − k12 − k22 E0z

Soustava rovnic má netriviální řešení jestliže det(·) = 0 – disperzní relace ω = ω(k1 , k2 , k3 ). 1 vlastní vlnové vektory k = (k , k , k ) 1 2 3 – z podmínky det(·) = 0 k-plocha – kolmá na směr paprsků (směr S) 2 vlastní polarizace E = (E 0 0x , E0y , E0z ) – v daném směru se šíří beze změny polarizačního stavu 105





Řešení vlnové rovnice v anizotropním prostředí Jsou-li osy symetrie osami souřadnicového systému:

a ε11 = n1 , ε22 0

k × (k × E0 ) + ω 2 µˆ ε E0 = 0 = n2 a ε33 = n3 , k = (k1 , k2 , k3 )

n21 k02 − k22 − k32 @ k1 k2 k1 k3

k1 k2 n22 k02 − k12 − k32 k2 k3

12 3 k1 k3 E0x A 4 E0y 5 = 0 k2 k3 n23 k02 − k12 − k22 E0z

Soustava rovnic má netriviální řešení jestliže det(·) = 0 – disperzní relace ω = ω(k1 , k2 , k3 ). 1 vlastní vlnové vektory k = (k , k , k ) 1 2 3 – z podmínky det(·) = 0 k-plocha – kolmá na směr paprsků (směr S) 2 vlastní polarizace E = (E 0 0x , E0y , E0z ) – v daném směru se šíří beze změny polarizačního stavu 105





Řešení vlnové rovnice v anizotropním prostředí

Jestliže se světlo šíří podél optické osy, nedochází k dvojlomu.

106





Šíření vln v anizotropním prostředí

směr vlnového vektoru k – šíření vlnoploch směr Poyntingova vektoru S – šíření paprsků – kolmice na k-plochu 107





Jednoosá anizotropie

Index lomu mimořádné vlny (z rovnice elipsy): cos2 θ sin2 θ 1 + = n2 (θ) n2o n2e 108





Dvojlom mimořádná (extraordinární) vlna – TM polarizace sin θ1 = no sin θo řádná (ordinární) vlna – TE polarizace sin θ1 = n(θ) sin θe

109





Dvojlom při kolmém dopadu

110





Polarizační součástky

polarizátory kompenzátory – λ/4 (λ/2) destičky depolarizátory polarizační modulátory (fázové modulátory, rotátory)

111





Typy polarizátorů dichroické polarizátory

wire-grid polarizátory

112





Typy polarizátorů hranolové polarizátory

113





Vlnový retardér Podel rychlé a pomalé osy v jednoosém krystalu se světlo šíří různým indexem lomu no , ne – dochází k fázovému zpoždění mezi kolmými lineárními polarizacemi

Γ= 114

2π (ne − no ) d λ




115





Nelineární optika Kvantová optika

Nelineární susceptibilita

D = ε E = ε0 E + P, P = ε0 χ E + PN L = ε0 χ E + χ(2) E3 + χ(3) E2 + · · ·

kde polarizace

χ – lineární susceptibilita ε = ε0 (1 + χ) χ(2) – kvadratická susceptibilita, kvadratické nelineární jevy χ(3) – kubická susceptibilita, kubické nelineární jevy 116





Nelineární susceptibilita

D = ε E = ε0 E + P, P = ε0 χ E + PN L = ε0 χ E + χ(2) E3 + χ(3) E2 + · · ·

kde polarizace

χ – lineární susceptibilita ε = ε0 (1 + χ) χ(2) – kvadratická susceptibilita, kvadratické nelineární jevy χ(3) – kubická susceptibilita, kubické nelineární jevy 116





Nelineární vlnová rovnice

D = ε E = ε0 E + P, Nelineární vlnová rovnice: ∆E −

1 ∂2E ∂ 2 PN L = µ 0 v 2 ∂t2 ∂t2

Příklady konstant χ(2) : NH4 H2 PO4 – ADP KH2 PO4 – KDP LiNbO3

117

χ(2) = 0.5 · 10−13 mV−1

χ(2) = 0.45 · 10−13 mV−1

χ(2) = 4.8 · 10−13 mV−1 K. Postava: Fyzika III – Optika




Nelineární jevy Kvadratická nelinearita (2. řádu) generace druhé harmonické frekvence ω2 = 2 ω1 frekvenční konverze ω3 = ω1 + ω2 parametrické zesílení Ramanův rozptyl Kubická nelinearita (3. řádu) optický Kerrův jev generace třetí harmonické samofokusace, prostorový soliton čtyřvlnové směšování optická fázová konjugace optická bistabilita 118





Nelineární jevy – Generace druhé harmonické

119





Generace druhé harmonické – naladění fáze

120





Nelineární jevy – Frekvenční konverze

121





Nelineární jevy – Parametrická generace, parametrický laser

OFC – frekvenční konverze; OPA – optický parametrický zesilovač; OPO – optický parametrický oscilátor 122





Optický Kerrův jev, samofokusace, prostorový soliton Index lomu závisí na intenzitě: n = n0 + n2 I

pro sklo n2 ≈ 10−19 m2 V−1 , pro organické materiály n2 ≈ 10−12 m2 V−1

123





Prostorový soliton

124





Členění přístupů v optice Kvantová (fotonová) optika Světlo je tvořeno fotony, je reprezentováno částicově a také vlnově Kvantová optika

jevy generace světla (laser), kvantová povaha světla, nelineární optika

Elektromagnetická

kvantová elektrodynamika ˆ H ˆ – operátory E,

Skalární vlnová

energie a hybnost fotonů E = h f = ~ ω,

Paprsková

~=

h 2π

p = ~k −34

= 1.0546 10

J s je

Diracova konstanta 125


Heisenbergovy relace




Interference jednotlivých fotonů na dvojštěrbině x

x x z

a θ

d

126





Stimulovaná emise, princip laseru

127




128




Fyzika III Optika. C. Elektromagnetická optika. Kamil Postava. Institut fyziky, VŠB Technická univerzita Ostrava (A931,tel

Recommend Documents