Fyzika III Optika. A. Geometrická optika. Kamil Postava. Institut fyziky, VŠB Technická univerzita Ostrava (A931,tel

Úvod, zákony geometrické optiky Optické zobrazení, optické komponenty Oko a optické přístroje Optika gradientního indexu lomu (GRIN)

Fyzika III – Optika A. Geometrická optika Kamil Postava [email protected] Institut fyziky, VŠB Technická univerzita Ostrava (A 931, tel. 3104)

11. března 2010

1

K. Postava: Fyzika III – Optika

A. Geometrická optika


Obsah přednášky 1

2

3

4

2

Úvod, zákony geometrické optiky Předmět optiky, aplikace Členění přístupů v optice Světlo, jako elektromagnetické vlnění Postuláty geometrické optiky, Fermatův princip Optické zobrazení, optické komponenty Zrcadla, optická rozhraní Optické zobrazení, čočky Aberace optických soustav Maticová paprsková optika Oko a optické přístroje Oko – optika vidění, barevné vidění Fotografický přístroj – kamera, Lupa Mikroskop Dalekohled Optika gradientního indexu lomu (GRIN) Úvod, variační metody Paprsková a eikonálová rovnice A. Geometrická optika K. Postava: Fyzika III – Optika


Předmět optiky, aplikace Členění přístupů v optice Světlo, jako elektromagnetické vlnění Postuláty geometrické optiky, Fermatův princip

Aplikace optiky Předmět studia optiky Optika popisuje vznik, šíření a detekci světla. vysvětluje světelné jevy v přírodě, vlastnosti vidění optické přístroje – dalekohled, mikroskop, fotoaparát, projekční a fokusační zařízení využívá se k přenosu informací a internetových sítích – optická vlákna, zdroje, detektory, spínače využití v metrologii, analýze a charakterizaci materiálů – optická spektroskopie, interfereometrie, měření posuvu, drsnosti, pohybu optické zpracování a záznam informace 3





Aplikace optiky – tenké vrstvy

4





Aplikace optiky Zdroje světla tepelné – Slunce, žárovky luminiscenční – zářivky, LED koherentní – lasery

5





Aplikace optiky Optické vláknové komunikace – přenos informace světlem

6





Návaznosti v dalších předmětech oboru Nanotechnologie Tenké vrstvy 5. semestr Bc. povinně volitelný 2+2 (Postava)

Spektroskopie nanostruktur 1. semestr NMgr. přednášky 3 + praktikum 3 (Postava)

Optoelektronika a integrovaná optika 2. semestr NMgr. fyzikální větev 2+2 (Ciprian, Hlubina)

Fotonické krystaly 3. semestr NMgr. fyzikální větev 2+2 (Hlubina, Ciprian)

7





Členění přístupů v optice

interakce záření a látky polarizace interference, difrakce odraz, lom

8


4. Kvantová (fotonová) optika 3. Elektromagnetická optika 2. Skalární vlnová optika 1. Paprsková (geometrická) optika




Členění přístupů v optice 1. Paprsková (geometrická) optika

Kvantová optika

Elektromagnetická Skalární vlnová

Světlo se šíří ve formě paprsků (trajektorie částic světla) přímočaré šíření, odraz, lom, optické zobrazení – čočky, zrcadla, oko, lupa, dalekohled, mikroskop Fermatův princip δ

Paprsková

Z

B

n ds = 0 A

Zákon odrazu a lomu ε = ε′′

9



n sin ε = n′ sin ε′



Členění přístupů v optice 2. Skalární vlnová optika Kvantová optika

Světlo se šíří ve formě vln, vlnoplochy jsou kolmé k paprskům jevy interference a difrakce – skládání vlnění

Elektromagnetická Skalární vlnová Paprsková

Huygensův princip (Huygens-Fresnelův) Skalární vlnová rovnice ∇2 u −

1 ∂2u =0 c2 ∂ t2

u – vlnová funkce 10





Členění přístupů v optice 3. Elektromagnetická optika Světlo je elektromagnetickým vlněním Kvantová optika


jevy polarizace světla, optika anizotropního prostředí Maxwelovy rovnice ∂D =j ∂t ∂B =0 rot E + ∂t

rot H −


div B = 0

Vlnová rovnice ∇2 E −

11

div D = 0


1 ∂2E =0 c2 ∂ t2



Členění přístupů v optice 4. Kvantová (fotonová) optika

Kvantová optika


Světlo je tvořeno fotony, je reprezentováno částicově a také vlnově jevy generace světla (laser), kvantová povaha světla, nelineární optika kvantová elektrodynamika ˆ H ˆ – operátory E, energie a hybnost fotonů E = h f = ~ ω, ~=

h 2π

Diracova konstanta 12


p = ~k

= 1.0546 10−34 J s je




Úvod – kde se setkáváme s elektromagnetickým polem

Optické elektromagnetické záření zahrnuje – viditelné, infračervené a ultrafialové záření (λ = 10 nm – 100 µm). 13





Elektromagnetické vlny Rozdíly jsou ve vlnové délce λ a frekvenci vlnění

14





Spektrální rozsahy energie fotonů

E (eV)

E = h f = ~ ω,

h = 6, 62607 10 J s je Planckova konstanta, f je frekvence (Hz) h ~ = 2π = 1.0546 10−34 J s je Diracova konstanta, ω = 2πf je úhlová frekvence −34

1 eV = 1.602 10−19 J

vlnová délka

λ (nm)

λ=

c f

=

hc E

λ (nm) = 1240/E (eV ). vlnové číslo k0 =

2π λ ,

vlnočet

1 λ

(cm−1 )

používá se zejména v infračervené obasti

vlnočet (cm−1 ) = E (eV ) · 10−7 /1240 15






E (eV)

E = h f = ~ ω,


1 eV = 1.602 10−19 J

vlnová délka

λ (nm)

λ=

c f

=

hc E


2π λ ,

vlnočet

1 λ

(cm−1 )


vlnočet (cm−1 ) = E (eV ) · 10−7 /1240 15






E (eV)

E = h f = ~ ω,


1 eV = 1.602 10−19 J

vlnová délka

λ (nm)

λ=

c f

=

hc E


2π λ ,

vlnočet

1 λ

(cm−1 )


vlnočet (cm−1 ) = E (eV ) · 10−7 /1240 15





Postuláty geometrické optiky – Fermatův princip světlo se šíří ve formě paprsků optické prostředí charakterizujeme indexem lomu n = c/v součin nd se nazývá optická dráha, je úměrná času, který světlo potřebuje, aby prošlo vzdálenost d Fermatův princip Světlo se šíří z bodu A do bodu B takovými paprsky, aby potřebná optická dráha byla minimální δ

16

Z

B

B

n ds = 0 A


A

ds




Optická prostředí – index lomu n = 1 – vákuum, vzduch (n ≈ 1) n = 1, 5 – sklo

n = 1, 3 – voda n = 2, 2 – safír, diamant n = 4 – Si, Ge, GaAs n je komplexní – ztrátové, absorbující materialy – kovy n < 0 – speciální nanostrukturované materiály

17





Disperze – disperzní hranol Závislost indexu lomu n na vlnové délce

využití: disperzní hranol – rozklad světla ve spektrálních přístrojích 18





Disperze indexu lomu v přírodě

vznik duhy na vodních kapkách

19





Barevná aberace čoček, barevná disperze optických vláken negativní důsledky disperze: barevná aberace čoček – zhoršení kvality optického zobrazení

barevná disperze optických vláken – omezení rychlosti přenosu informace optickými vlákny 20





Důsledky Fermatova principu přímočaré šíření paprsků v homogenním prostředí odraz a lom na rozhraní dvou prostředí Zákon odrazu a Snellův zákon lomu θ1 = −θ3 ,

21


n1 sin θ1 = n2 sin θ2




Zákon lomu n1 > n2 → θ1 < θ2 – lom od kolmici

n1 < n2 → θ1 > θ2 – lom ke kolmice

22





znaménková konvence v optice

+

−

+

−

+

− paraxiální aproximace v optice Rozvoj geometrických funkcí v Taylorovu mocninnou řadu f (x) =

∞ X f (n) (a)

n=0

n!

(x − a)n

α3 α5 α7 α9 + − + − ··· 3! 5! 7! 9! Pro malé úhly α < 5◦ : sin x ≈ x, tan x ≈ x, cos x ≈ 1. sin α = α −

23





znaménková konvence v optice

+

−

+

−

+

− paraxiální aproximace v optice Rozvoj geometrických funkcí v Taylorovu mocninnou řadu f (x) =

∞ X f (n) (a)

n=0

n!

(x − a)n

α3 α5 α7 α9 + − + − ··· 3! 5! 7! 9! Pro malé úhly α < 5◦ : sin x ≈ x, tan x ≈ x, cos x ≈ 1. sin α = α −

23




Zrcadla, optická rozhraní Optické zobrazení, čočky Aberace optických soustav Maticová paprsková optika

Zrcadla rovinné zrcadlo

24





Zrcadla parabolické zrcadlo

eliptické zrcadlo

25





Kulové zrcadlo zobrazení bodu A → A′ kulovým zrcadlem:

C – střed křivosti, r – poloměr křivosti kulového zrcadla a, a′ – poloha předmětu a obrazu P ε α A

α0 C

ε′

α′

A’

a′ r a 26



h V



Kulové zrcadlo Zobrazovací rovnice kulového zrcadla (paraxiální aproximace) 1 2 1 + ′ = a a r P α A

C

ε ′ ε α′ α0 A’ a′

h V

duté zrcadlo r<0 vypuklé zrcadlo r>0

r a

a = −∞ ⇒ a′ = f ′ = 27

r 2

– ohnisková vzdálenost





Zobrazení dutým a vypuklým zrcadlem

28





Příklad zobrazení zrcadlem v přírodě Hlubokomořská ryba Strašík (Dolichopteryx longpes)

– využívá zrcadlového oka k zachycení slabých luminiscenčních signálů, zrcadlo v oku je tvořeno látkou guanin 29





Rovinné rozhraní – totální odraz Snellův zákon:


θc = arcsin 30

n2 , n1

sklo − vzduch



θc ≈ 45◦



Využití totálního odrazu – odrazné hranoly

Pravoúhlý hranol

Pentagonální hranol 31


Doveův hranol

Koutový odražeč A. Geometrická optika

Rhombický hranol



Využití totálního odrazu – optické vlákno

n1 n2

εa

ε

εc

n1 > n2

Numerická apertura: N A = sin εa =

p n21 − n22

Využití optických vlnovodů pro přenos světla a informace v optických komunikačních systémech

32





Kulové rozhraní zobrazení bodu A → A′ kulovým rozhraním mezi optickými prostředími n, n′ : C – střed křivosti, r – poloměr křivosti kulového rozhraní a, a′ – poloha předmětu a obrazu n

n′

ε ε′

h σ A

V


A’

C

r a 33

σ′

κ

a′ A. Geometrická optika



Kulové rozhraní Zobrazovací rovnice kulového rozhraní (paraxiální aproximace) n′ − n n′ n = ′ − r a a n

n′

ε ε′

h σ A

V


A’

C

r a 34

σ′

κ

a′ A. Geometrická optika



Příčné měřítko zobrazení (zvětšení) n′

n ε

y

A’ ε′

A

a′

a

Příčné měřítko zobrazení (zvětšení) β= 35

y′ n a′ = ′ y n a



y′



Významné body optické soustavy ohniska F, F’, ohniskové roviny ϕ, ϕ′ hlavní body P, P’, hlavní roviny η, η ′ (β = 1) η

ϕ

n′j

n1

η′

ϕ′

P’ F

P

f aF 36

F’

a′P ′

aP d


f′ a′F ′




Významné body optické soustavy ohniska F, F’, ohniskové roviny ϕ, ϕ′

obrazové ohnisko F’ – obraz bodu v −∞ předmětové ohnisko – zobrazí se do +∞

hlavní body P, P’, hlavní roviny η, η ′

předmětový hlavní bod P se zobrazí v obrazový hlavní bod P’ a jejich β = 1 hlavními body procházejí hlavní roviny η, η ′

ohniskové vzdálenosti f , f ′

obrazová ohnisková vzdálenost f ′ – vzdálenost ohniska F’ of hlavního bodu P’ předmětová ohnisková vzdálenost f – vzdálenost ohniska F of hlavního bodu P

optická mohutnost φ (jednotka Dioptrie – D) n′j n1 φ= ′ =− f f 37





Významné body optické soustavy ohniska F, F’, ohniskové roviny ϕ, ϕ′

obrazové ohnisko F’ – obraz bodu v −∞ předmětové ohnisko – zobrazí se do +∞

hlavní body P, P’, hlavní roviny η, η ′

předmětový hlavní bod P se zobrazí v obrazový hlavní bod P’ a jejich β = 1 hlavními body procházejí hlavní roviny η, η ′

ohniskové vzdálenosti f , f ′

obrazová ohnisková vzdálenost f ′ – vzdálenost ohniska F’ of hlavního bodu P’ předmětová ohnisková vzdálenost f – vzdálenost ohniska F of hlavního bodu P

optická mohutnost φ (jednotka Dioptrie – D) n′j n1 φ= ′ =− f f 37





Zobrazení tlustou čočkou n, n0 – index lomu materiálu čočky a okolního prostředí r1 , r2 poloměry křivosti lámavých ploch čočky η η′ ϕ ϕ′

P F n0

P’

n

F’

n0 f′

f d

1 φ n − n0 = = f′ n0 n0 38


1 1 − r1 r2

+

d(n − n0 )2 n n0 r1 r2




Tenká čočka ve vzduchu

1 φ = ′ = (n − 1) f

1 1 − r1 r2

,

1 1 1 − = ′ b a f

β=

b a

f ′ – ohnisková vzdálenost, β – příčné měřítko zobrazení (zvětšení) 39





Zobrazení spojnou a rozptylnou čočkou

40





Typy čoček

41





Aberace optických soustav – sférická (otvorová, aperturní) osová aberace – projevuje se i pro osový bod, vliv odchylek od paraxiální aproximace, hranice paprsků – kaustika

kompenzace pomocí kombinace spojných a rozptylných čoček s optimalizovanými křivostmi clonění apertury – otimální clonové číslo vzhledem k rozlišení (difrakce) a světelnosti 42





Sférická aberace jednoduchých čoček Vliv tvaru čočky o dané ohniskové vzdálenosti na velikost sférické 1 aberace. Tvar popsán pomocí q = rr22 +r −r1 .

43





Aberace optických soustav – koma mimoosová monochromatická abarace

korekce kombinací spojných a rozptylných čoček s optimalizovanými lámavými plochami systémy s korigovanou sférickou aberací a komou se nazývají aplanatické 44





Sférická aberace a koma jednoduchých čoček

Sférická aberace a koma čočky z korunového skla (n = 1.517) o f ′ = 10 cm, pomoměru h = 1 cm při zobrazení dopadajícího rovnoběžného svazku paprsků 45





Aberace optických soustav – sklenutí pole

46





Aberace optických soustav – astigmatismus Astigmatismus – rozdíl mezi tangenciálním a sagitálním sklenutím – zobrazení mimoosového bodu pro systémy bez výrobních vad

47





Aberace optických soustav – astigmatismus

48





Aberace optických soustav – zkreslení

49





Aberace optických soustav – barevná (chromatická)

kompenzace pomocí kombinace spojných a rozptylných čoček z různých materiálů – achromatické systémy zobrazení pomocí zrcadel (teleobjektivy, dalekohledy, mikroskopové objektivy) 50





Maticová optika y

n1

Normovaný úhel:

n2

V = n sin θ ≈ n θ

θ1

Lineární systém:

y1 y2

z2 výstupní rovina

z1 vstupní vstup (y1 , V1 )

51

y2 = A y1 + B V1 V2 = C y1 + D V1 optická osa y2 y1 =M z V2 V1 θ2

Optický systém M

výstup (y2 , V2 )


Přenosová matice: A B M= C D




Maticová optika y

n1

Normovaný úhel:

n2

V = n sin θ ≈ n θ

θ1

Lineární systém:

y1 y2

z2 výstupní rovina

z1 vstupní vstup (y1 , V1 )

51

y2 = A y1 + B V1 V2 = C y1 + D V1 optická osa y2 y1 =M z V2 V1 θ2

Optický systém M

výstup (y2 , V2 )


Přenosová matice: A B M= C D




Vlastnosti přenosové matice y2 = A y1 + B V1 V2 = C y1 + D V1

−→

Přenosová matice: M =

M1

y1 V1

=

y2 V2

A B C D

D −B −C A

=

A B C D

y2 V2

M2


y1 V1

, det(M) = AD − BC = 1

MN

M = MN MN −1 · · · M2 M1 52




Přenosové matice základních optických komponent 1

šíření v prostředí o indexu momu n a tloušt’ce t θ2

n

Mt = θ1

y2

redukovaná tloušt’ka:

y1 z1

1 −T 0 1

t

z2

z

T =

t n

šíření na vrstvách n1 n2

nN 

t1 t2 53

tN


 1 − Mt = 

N X i=1

TN  

0 1 splnění Snellova zákona A. Geometrická optika






lom na sférickém rozhraní n1

ε1

θ1 ε2 κ

θ1

n2 θ2

1 n2 − n1 r

Mr =

κ y1 = y2

C

r

φ=

0 1

!

n2 − n1 n2 = ′ r f

optická mohutnost (lámavost)

odraz na sférické ploše n1 = 1, 54

n2 = −n1 = −1


Mr = A. Geometrická optika

1 − 2r

0 1




zobrazení tenkou čočkou 1 1 0 1 0 Mr = Mr2 Mr1 = = 1 φ2 1 φ1 1 f′ kde

n−1 , r1

φ1 = θ1

φ2 =

0 1

1−n r2

θ2

φ = φ1 + φ2 y1 = y2

n

55


1 φ = ′ = (n − 1) f A. Geometrická optika

1 1 − r1 r2



Vlastnosti systému popsaného maticí M 1

A=0 y2 = B V1

vstupní rovina

ϕ′

θ1

y2 výstupní rovina

det M = 1 → BC = −1

výstupní rovina = obrazová ohnisková rovina

56






B=0 y2 = A y1 y1

y2

vstupní rovina

příčné měřítko zobrazení β = A =

výstupní rovina

1 D

vstupní a výstupní rovina jsou sdružené

57






C=0 V2 = D V1

vstupní rovina θ1

θ2 výstupní rovina

úhlové měřítko zobrazení: γ =

1 θ2 =D= θ1 A

afokální soustava 58






D=0 výstupní rovina

V2 = C y 1 y1

ϕ

θ2

vstupní rovina

det M = 1 → BC = −1

vstupní rovina = předmětová ohnisková rovina

59





Určení polohy průsečíku paprsku s optickou osou

θ1

y1

vstupní rovina r1

y2

θ2

výstupní rovina r2

y r= θ y r normovaný poloměr křivosti: R = = n V

poloměr křivosti vlnoplochy:

ABCD pravidlo y2 = A y1 + B V2 = C y 1 + D 60


R2 =

A R1 + B C R1 + D




Určení ohniskové vzdálenosti f ′ z matice M n1

n2 výstupní rovina θ2 y2

y1

F’

vstupní rovina f′

y2 V2

=

A B C D

Obrazová ohnisková vzdálenost: Optická mohutnost: 61

φ=C


f′ =

y1 V1

y1 y1 n2 = n2 = θ2 V2 C




Využití maticové optiky pro popis rezonátoru laseru Optický rezonátor tvořený sférickými zrcadly o poloměrech R1 , R2 :

M=

62

„

1 −2/R1

0 1

«„

1 0

−d 1


ym+1 Vm+1

«„

1 −2/R2

=

0 1

A B C D

«„


1 0

−d 1

«

.

ym Vm



Využití maticové optiky pro popis rezonátoru laseru Optický rezonátor tvořený sférickými zrcadly o poloměrech R1 , R2 :

M=

62

„

1 −2/R1

0 1

«„

1 0

−d 1


ym+1 Vm+1

«„

1 −2/R2

=

0 1

A B C D

«„


1 0

−d 1

«

.

ym Vm



Periodický systém sférických zrcadel v rezonátoru

Jak se vyvíjí ym

m ym A B y0 = Vm C D V0 s rostoucím m?

ym+2 = A ym+1 + B Vm+1 , Vm+1 = C ym + D Vm , Vm =

ym+1 −A ym B

ym+2 = (A+D) ym+1 −(AD−BC) ym = Tr(M) ym+1 −det(M) ym | {z } =1

63





Periodický systém sférických zrcadel v rezonátoru

Jak se vyvíjí ym

m ym A B y0 = Vm C D V0 s rostoucím m?

ym+2 = A ym+1 + B Vm+1 , Vm+1 = C ym + D Vm , Vm =

ym+1 −A ym B

ym+2 = (A+D) ym+1 −(AD−BC) ym = Tr(M) ym+1 −det(M) ym | {z } =1

63





Stabilita rezonátoru laseru Předpokládáme řešení ve tvaru ym = y0 hm . dosazením do rekurentního vztahu získáme kvadratickou rovnici: h2 − (A + D) h + 1 = 0, kde A + D = 4(1 + d/R1 )(1 + d/R2 ) − 2.

Podmínka stability zrcadlového rezonátoru: 1 d d |A + D| < 1, 0< 1+ 1+ <1 2 R1 R2 | {z } | {z } g1

64


g2




Stabilita rezonátoru laseru Předpokládáme řešení ve tvaru ym = y0 hm . dosazením do rekurentního vztahu získáme kvadratickou rovnici: h2 − (A + D) h + 1 = 0, kde A + D = 4(1 + d/R1 )(1 + d/R2 ) − 2.

Podmínka stability zrcadlového rezonátoru: 1 d d |A + D| < 1, 0< 1+ 1+ <1 2 R1 R2 | {z } | {z } g1

64


g2




Stabilita rezonátoru laseru

65




Oko – optika vidění, barevné vidění Fotografický přístroj – kamera, Lupa Mikroskop Dalekohled

Oko

66





Některé parametry oka průměr 24 mm čočka n = 1, 42, rohovka n = 1, 376, oční mok, sklivec n = 1, 336 maximální akomodace f ′ = 23 mm, φ = 58 D adaptace – průměr zornice (duhovky) 2 – 8 mm blízký bod 25 cm rozlišovací mez 1’

67





Oční akomodace

68





Oční vady

69





Vidění tyčinky a čípky

čípky – barevné vidění, průměr čípku 5 µm, žlutá a slepá skvrna tyčinky – černobílé vidění, max. 510 nm 70





Citlivost očních čípků na barvy

Tristimulus Values Defining CIE 1964

Eye sensitivity to colors

1.5

1

0.5

0

71

x y z

2

400

450

500

550 600 650 Wavelength (nm)



700

750



Trichromatické souřadnice

Citlivost třemi druhy čípků: x ¯(λ), y¯(λ), z¯(λ) x=

x ¯ x ¯ + y¯ + z¯

y¯ x ¯ + y¯ + z¯

y=

z=

z¯ x ¯ + y¯ + z¯

Souřadnice zdroje E(λ): X=

Z

0

∞

x¯(λ)E(λ) dλ,

Y =

Z

∞

y¯(λ)E(λ) dλ,

Z=

0

Možnost přepočtu na RGB, CMYK souřadnice

72



Z

∞

z¯(λ)E(λ) dλ 0



Barevné souřadnice

trichromatické souřadnice x, y, z RGB souřadnice – využití v displejích, monitorech a dataprojektorech CMYK souřadnice – využití v tiskárnách a plotrech CIELAB souřadnice – L∗ a∗ b∗

73





Barevný trojúhelník

74





Sčítání a odečítání barev

75





Stereoskopické (prostorové) vidění Dáno vzdálenosti očí (asi 65 mm) Umělá prostorová vizualizace: holografické zobrazení – prostorová informace obsažena ve fázi digitální prostorovy obraz využití červeného a modrého filtru pro pravé a levé oko využití horizontální a vertikální polarizace

76





Oči jiných živočichů

77





Ověření existence slepé skvrny Na obrázek se díváme přímo ze vzdálenosti asi 25-40 cm. Pak levé oko zavřeme a pravým okem pohlédnem na kolečko. Křížek se zobrazí na sítnici do slepé skvrny a zmizí.

78





Optické klamy Vidění je zpracováno v mozku na základě zkušeností.

Pásek je homogenně šedý. 79





Optické klamy

80





Optické klamy

Centrální kruhy jsou stejně velké. Podobný jev – Slunce se při obzoru zdá být větší. 81





Optické klamy

82





Optické klamy

83





Optické klamy

84





Optické klamy

85





Optické klamy

86





Optické klamy

87





Optické klamy

88





Fotoaparát f′ Clonové číslo: c = D Ovlivňuje osvětlení CCD (filmu) expoziční čas ostrost zobrazení (aberace) hloubku pole rozlišení (difrakce na apertuře) c = |1 −{z1.7} −2 − 2.8 − 4 − 5.6 − 8 − 11 − 16 − 22 √

89

2





Fotografický přístroj – ZOOM objektivu

90





Fotografický zrcadlový objektiv

Zrcadlový objektiv – Maksutov

91





Fotografický přístroj – využití elektroniky

92





Lupa Lupa je tvořena spojnou čočkou a umožňuje rozlišit předměty menší než 1’. konvenční zraková vzdálenost l0 = 25 cm zvětšení lupy: Γ=

l0 ϕ = ′ ϕ0 f

zvětšení omezeno aberacemi

93





Mikroskop obrazové pole v ∞ f′ f′ f′ = − 1 2 ∆ úhlové zvětšení: Γ=

−∆ l0 l0 = ′ ′ = β1 Γ2 f′ f1 f2

rozlišovací mez mikroskopu: y=

0.61 λ , An

kde An = n sin σ je numerická apertura 94





Mikroskop předmětové objectiv aperturní pole clona

y

σ

hlavní paprsek

F1 ζ

y′

∆ f2

f1′ e

95


výstupní pupila

aperturní paprsek

F2

F1 ’

f1

okulár

polní clona




Mikroskop – reflexní a transmisní

96





Mikroskop

97





Mikroskop reflexní

98





Mikroskopové objektivy

99





Mikroskopové objektivy – numerická apertura Numerická apertura objektivu An = n sin σ

100





Zrcadlové mikroskopové objektivy

101





Mikroskopové okuláry

102





Dalekohled (Keplerův)

objectiv aperturní clona τ

okulár

polní clona

F1 ’=F2

výstupní pupila

aperturní paprsek τ′

f1′

103


f2




Dalekohledy zvětšení dalekohledu Γ=

tan τ ′ D f′ = − 1′ = − ′ tan τ f2 D

rozlišovací mez (dána difrakcí na apertuře): λ ψ = 1.22 D Typy dalekohledů: čočkové

Keplerův – spojný okulár triedry, lovecké, astronimicke dalekohledy Galileův – rozptylný okulár divadelní kukátko

zrcadlové

Newton, Cassegrain, Gregory, Cassegrain-Maksutov, Cassegrain-Schmidt

104





Binokulární dalekohledy

105





Zrcadlové dalekohledy Newton

Cassegrain

106


Gregory




Zrcadlový dalekohled typu Newton Zkonstruován Isaacem Newtonem v roce 1672.

107





Dalekohled – Hubblův teleskop

108





Dalekohled – Hubblův teleskop

109




Úvod, variační metody Paprsková a eikonálová rovnice

Optika gradientního indexu lomu (GRIN) Optika nehomogenního prostředí – gradientního indexu lomu (GRIN) n = n(r)

Vznik fata-morgany – index lomu vzduchu závisí na teplotě; dochází k nehomogenitám teploty 110





Optika gradientního indexu lomu (GRIN)

Astronomická refrakce – lom na nehomogenní atmosféře atmosféra s výškou řídne a klesá její index lomu

111





Využití optiky gradientního indexu lomu

GRIN čočka gradientní optické vlákno (potlačená modová disperze) 112





Variační počet – řeší úlohu najít takové funkce, pro které daný integrál (funkcionál) nabývá extrémních hodnot. Je dána funkce F (l, y1 , · · · , yn , y1′ , , · · · , yn′ ). Integrál Z l2 I= F (l, y1 , · · · , yn , y1′ , , · · · , yn′ ) dl, jehož definičním oborem l1

je třída křivek podle nichž integrujeme, se nazývá funkcionál

Necht’ tento funkcionál má extrém podél křivky parametricky popsané yi = yi (l) i = 1, · · · , n, pak křivka vyhovuje soustavě diferenciálních rovnic: ∂F d ∂F − = 0, ∂yi dl ∂yi′

i = 1, · · · , n,

které nazýváme Eulerovy rovnice. 113





Paprsková rovnice Fermatův princip: Světlo se šíří z bodu A do bodu B takovými paprsky, aby potřebná optická dráha byla minimální Z B n(r) ds = 0 δ B A ds =

p (dx)2 + (dy)2 + (dz)2

ds A

Integrál se nazývá funkcionálem a jeho hodnota závisí na volbě křivky podel které integrujeme. Nutnou podmínkou pro existenci funkcionálu je splnění Eulerových diferenciálních rovnic. 114





Paprsková rovnice Parameterizace optické dráhy proměnnou l s 2 2 2 dy dz dx ds = + + · dl, dl dl dl

√ F = n(r) · · ·,

Úpravou získáme: ∂n ds ∂n √ ∂F ··· = = , ∂x ∂x ∂x dl 2 x′ dx ∂F √ = n =n , ′ ∂x 2 ··· ds

d ds d = dl dl ds

Dosazením do Eulerovy rovnice ∂F d ∂F =0 − ∂x dl ∂x′ 115

→


∂n d − ∂x ds

dx n ds


=0

√

··· =

ds dl




√ F = n(r) · · ·,

Úpravou získáme: ∂n ds ∂n √ ∂F ··· = = , ∂x ∂x ∂x dl 2 x′ dx ∂F √ = n =n , ′ ∂x 2 ··· ds

d ds d = dl dl ds

Dosazením do Eulerovy rovnice ∂F d ∂F =0 − ∂x dl ∂x′ 115

→


∂n d − ∂x ds

dx n ds


=0

√

··· =

ds dl




√ F = n(r) · · ·

Eulerovy diferenciální rovnice: ∂n d − ∂x ds

dx n = 0, ds

∂n d − ∂y ds

dy n = 0, ds

∂n d − ∂z ds

Paprsková rovnice d ds

n

dr ds

= ∇ n,

∂ ∂ ∂ + j ∂y + k ∂z je gradient kde ∇ = i ∂x Řešením paprskové rovnice určíme trajektorii paprsku. 116



n

dz ds

=0



Paraxiální paprsková rovnice paprsky svírají malé úhly s osou z, pak

ds = dz

s

1+

dx dz

2

+

Paraxiální paprsková rovnice: dx ∂n d n ≈ dz dz ∂x

dy dz

2

≈ dz

d dz

dy n dz

≈

∂n ∂y

Speciální parabolický profil indexu lomu n: p α2 2 2 2 2 2 (x + y ) n(x, y, z) = n0 1 − α (x + y ) ≈ n0 1 − 2 117





Speciální řešení paprskové rovnice paraxiální aproximace, parabolický profil d2 x = −α2 x dz 2

d2 y = −α2 y dz 2 dx dz

počáteční podmínky: pro z = 0 → x0 , y0 ,

= θx0 ,

dy dz

= θy0

y

y

z

y0

n0 n

′ θy0

Řešení: x= 118

θx0 sin αz + x0 cos αz α K. Postava: Fyzika III – Optika

y=

θy0 sin αz + y0 cos αz α




Speciální řešení paprskové rovnice paraxiální aproximace, parabolický profil d2 x = −α2 x dz 2

d2 y = −α2 y dz 2 dx dz

počáteční podmínky: pro z = 0 → x0 , y0 ,

= θx0 ,

dy dz

= θy0

y

y

z

y0

n0 n

′ θy0

Řešení: x= 118

θx0 sin αz + x0 cos αz α K. Postava: Fyzika III – Optika

y=

θy0 sin αz + y0 cos αz α




GRIN čočka GRIN čočka je tvořena válečkem z materiálu s parabolickým profilem indexu lomu. θ′ θy0 = 0 y0

z

θy (y) F’ a′F ′

d

f′

f′ = 119

y0 1 = θ′ n0 α sin αd K. Postava: Fyzika III – Optika

a′F ′ =

y(d) 1 = θ′ n0 α tan αd




Eikonálová rovnice Eikonála S(r) je skalární funkce – plochy konstantní S(r) jsou kolmé k paprskům Eikonálová rovnice: 2 2 2 ∂S ∂S ∂S + + = n2 ∂x ∂y ∂z

neboli

|∇S|2 = n2

Eikonálová rovnice, Fermatův princip a paprsková rovnice jsou ekvivalentní. optická dráha: Z B A

120

n ds =

Z

B A

|∇S| ds = S(rB ) − S(rA )





Shrnutí – paprsková optika Fermatův princip: Světlo se šíří z bodu A do bodu B takovými paprsky, aby potřebná optická dráha byla minimální B Z B

δ

n(r) ds = 0

A

A

Zákon odrazu a lomu:

θ1 = −θ3 ,

ds


Zobrazení kulovým zrcadlem a na kulovém rozhraní: 2 1 1 = + a a′ r Zobrazení tenkou čočkou: 1 1 1 , − φ = ′ = (n − 1) f r1 r2 121


n′ − n n n′ = ′ − r a a

1 1 1 − = ′ a′ a f A. Geometrická optika

β=

a′ a

Fyzika III Optika. A. Geometrická optika. Kamil Postava. Institut fyziky, VŠB Technická univerzita Ostrava (A931,tel

Recommend Documents