FYZIKA II
Petr Praus 10. Přednáška – Elektromagnetické kmity a střídavé proudy (pokračování)
Osnova přednášky • činitel jakosti, vektorové diagramy v komplexní rovině • Sériový RLC obvod - fázový posuv, rezonance • Paralelní RLC obvod • Výkon střídavého proudu, vyjádření při užívání komplexní symboliky • Účiník • Transformátory • Třífázový proud • Točivé magnetické pole • Princip asynchronního motoru
Vektorové diagramy a komplexní impedance
Vektorové diagramy a komplexní impedance
Vektorové diagramy a komplexní impedance
Sériový RLC obvod – fázový posuv Z pravoúhlého trojúhelníku fázorů určíme fázový posuv ϕ
Sériový RLC obvod – fázový posuv
Sériový RLC obvod – rezonance
Rezonanční křivky:
Sériový RLC obvod – činitel jakosti
Sériový RLC obvod – činitel jakosti
Paralelní RLC obvod Na prvcích tohoto obvodu je stejné napětí, ale proudy v jednotlivých větvích jsou různé. Liší se nejen svou hodnotou, ale i fází: proud má stejnou fázi jako napětí, proud se za napětím opožďuje a proud ho předbíhá. Vzhledem k různým fázím proudů, není možné získat celkový proud obvodu aritmetickým součtem proudů v jednotlivých větvích. Pro efektivní hodnotu I výsledného proudu dostaneme: jedná se o efektivní proudy
Celková impedance:
Admitance: I u paralelního RLC obvodu je možné hovořit o rezonanci. Ta nastává opět při rezonanční frekvenci , při níž je fázový rozdíl proudu a napětí nulový a tedy impedance je maximální (u sériového obvodu je impedance minimální) resp. admitance je minimální. Rezonanční frekvence splňuje podmínku:
Při rezonanci prochází obvodem minimální proud. I při paralelním spojení prvků obvodu se při rezonanci chová obvod tak, jako kdyby v něm byl zapojen pouze rezistor.
Výkon ve střídavých obvodech
Výkon ve střídavých obvodech Zavedení efektivních hodnot U a I umožňuje , abychom střední hodnoty ztrát ve střídavých obvodech (střední výkony) v ustáleném stavu vyjádřili formálně stejným vztahem jako pro stejnosměrné proudy. Pro střídavé proudy můžeme definovat efektivní hodnotu napětí a emn:
Součinitel úměrnosti
platí pro všechny 3 proměnné
Podíl R/Z je roven kosinu fázového posunu φ
Měření efektivního napětí Přenos energie - pokud je zdroj zatížen pouze rezistorem, je účinník roven 1, přiložené efektivní emn je rovno efektivnímu U na zátěži a při efektivním proudu je dodaný výkon do zátěže: efektivní napětí a proudy se standardně v elektrotechnice popisují bez označení efektivními hodnotami. Přístroje pro měření harmonických napětí zpravidla měří efektivní hodnoty. Často nalezneme označení RMS (root mean square) a přístroje označené True RMS – přístroj měří metodou střední kvadratické hodnoty a je přesnější i pro zkreslené sinusové průběhy V rozvodných soustavách je výhodné z důvodu bezpečnosti a účinnosti strojů pracovat s nízkými napětími na straně elektrárny a spotřebitele. Při přenosu energie však potřebujeme minimalizovat ztráty dané odporem v přenosovém vedení Jouleovým teplem. Potřebujeme tedy jednoduše měnit (transformovat) napětí a proud. Ztráta při přenosu energie z elektrárny pro různá napětí:
K přenosu energie je potřeba použít co nejmenší proud a co nejvyšší napětí
Transformátory
Spínač rozepnut
Transformátory
Transformátory
Transformátory – impedanční přizpůsobení
Maximální přenos výkonu do R zátěže probíhá pokud je odpor zdroje a zátěže stejný. Pro střídavý proud platí analogicky, že impedance generátoru musí být přizpůsobena zátěži , což můžeme dosáhnout zařazením tzv. impedančního transformátoru s vhodným poměrem závitů N1/N2.
Teslův transformátor Slouží k získávání vysokofrekvenčních velmi vysokých napětí. Původně měl sloužit pro dálkový přenos energie. Dnes je známý zejména díky svému využití ve formě speciálních efektů, například na koncertech.Skládá se z primárního vinutí několika závitů tlustého drátu a ze sekundárního vinutí navinuté stovkami až několika tisíci závity tenkého drátu. V primárním obvodu je nutné ještě připojit kondenzátor a jiskřiště. Oba obvody je nezbytné naladit na stejný rezonanční kmitočet. Pokud se pak zařízení připojí ke zdroji vysokého napětí, začne se nabíjet kondenzátor v primárním obvodě. Naroste-li napětí na takovou úroveň, že přeskočí jiskra v jiskřišti, vybije se kondenzátor tlumenými kmity rezonanční frekvence. V sekundárním vinutí se pak indukuje velmi vysoké napětí. Kmitočet proudu dosahuje stovek kHz až několika MHz. Tak velké frekvence při určitých napětích již umožňují vznik tzv. skin efektu, který způsobuje, že proud teče pouze po povrchu vodiče. Z tohoto důvodu je zařízení relativně bezpečné i na dotek.
Nikola Tesla 1856-1943
Třífázový střídavý proud Soustavu střídavých napětí, z nichž každé má jiný fázový posun nazýváme mnohofázovou soustavou napětí. V praxi se používá soustavy třífázové. Generátor má tři cívky, které jsou vzájemně pootočeny o úhel 120°. Magnet otáčející se úhlovou rychlostí ω vytváří v cívkách harmonicky proměnný magnetický indukční tok. V cívkách potom v důsledku elektromagnetické indukce vznikají střídavá elektrická napětí téže amplitudy, posunutá však vzájemně o 120°.
U1 = U e
jω t
U2 = U e
Jejich součet je identicky roven nule
j (ω t −
2π ) 3
U3 = U e
U1 + U 2 + U 3 = 0
Pro odběr proudu se cívky spojují, a to dvojím způsobem – buď do hvězdy (a) nebo do trojúhelníku (b). Při spojení do hvězdy jsou začátky cívek vzájemně spojeny a jejich vývod představuje tzv. nulový vodič.
j (ω t −
4π ) 3
Třífázový střídavý proud Hvězda Amplituda napětí mezi body 1 a 2 tj. mezi dvěma fázemi – amplituda sdruženého napětí – je podle vektorového diagramu dána rozdílem fázových napětí
U 1, 2 = 2U cos 30 = U 3
U 1, 2 = U 1 − U 2
Pro amplitudu sdruženého napětí mezi kterýmikoliv dvěma cívkami potom platí
Us = U f 3
kde indexy f a s je označení hodnoty fázové a sdružené
Proud procházející nulovým vodičem je podle Kirchhoffova zákona
I 0 = I1 + I 2 + I 3
I1 = I 2 = I 3
Trojúhelník napětí fázové je rovno napětí sdruženému
Us = U f
I0 = 0
Is = I f 3
Výkon trojfázového proudu Při průchodu proudu o efektivní hodnotě If cívku s efektivním napětím Uf , dostaneme na jedné fázi výkon
P1 = U f . I f cos ϕ
P = 3 P1 = 3 U f I f cos ϕ
Při spojení cívek do hvězdy nebo do trojúhelníka a po zavedení sdružených hodnot napětí a proudu je výkon v obou zapojeních stejný a je roven
P = 3 . U s . I s cos ϕ
Točivé magnetické pole Připojíme tři stejné cívky otočené vůči sobě o 180° a spojené do hvězdy ke zdroji třífázového proudu. V jednotlivých cívkách se průchodem střídavého proudu vytvářejí harmonická magnetická pole o magnetických indukcích stejných amplitud, posunutých o 120°
B1 = B sin ω t
2 3
B2 = B sin (ω t − π ) 4 3
B3 = B sin (ω t − π ) Středem systému položíme souřadný systém X – Y a vypočteme složky výsledné magnetické indukce Bx a By:
π 3 3 3 B 2 sin cos ω t = B cos ω t ( B2 − B3 ) = 2 2 2 3 1 1 π 3 By = B1 y + B2 y + B3 y = B1 − ( B2 + B3 ) = B sin ω t + B 2 cos sin ω t = B sin ω t 2 2 3 2 Bx = B1x + B2 x + B3 x =
Obě složky indukce magnetického pole Bx a By představují dva harmonické kmity na sebe kolmé a posunuté ve fázi o π / 2 . Jejich složením dostaneme pohyb po kružnici s poloměrem rovným výsledné amplitudě
B0 = Bx2 + By2 = 3 / 2 . B
a s kruhovou frekvencí plynoucí ze vztahu
tg ϕ =
By = tg ω t Bx
Mezi cívkami vzniká tedy magnetické pole, jehož vektor magnetické indukce má velikost B0 a otáčí se kolem středu s úhlovou rychlostí ω - vzniká točivé magnetické pole.ˇNachází široké využití v elektrických točivých strojích
Princip třífázového motoru Umístíme-li do středu mezi cívky napájené třífázovým proudem o kruhové frekvenci ω permanentní magnet, bude se po udělení dostatečného počátečního rotačního impulsu otáčet společně s točivým magnetickým polem úhlovou rychlostí ω . Toto uspořádání představuje princip synchronního třífázového motoru. Rotor může být tvořen i cívkou protékanou stejnoměrným proudem. Asynchronní motor můžeme v principu realizovat závitem spojeným nakrátko umístěným mezi cívky namísto permanentního magnetu. Kotva může být tvořena např. i dutým válcem nebo cívkou spojenou nakrátko. Točivé magnetické pole vyvolává v ploše kotvy proměnný magnetický tok, jehož změna způsobuje vznik indukovaného proudu v kotvě. Ten se podle Lenzova pravidla snaží změně indukčního toku zabránit, svými silovými účinky působí proti otáčení magnetického pole a podle principu akce a reakce se kotva začne sama otáčet. Je zřejmé, že kotva se nemůže otáčet se stejnou úhlovou rychlostí’ ω jako točivé magnetické pole. Neměnil by se totiž indukční magnetický tok v kotvě, nevznikal by indukovaný proud a nepůsobily by tak síly, které vedou k otáčení kotvy. Kotva se tady otáčí s menší úhlovou rychlostí ω‘. Rozdíl obou úhlových rychlostí ω - ω‘ = ωs je veličinou, určující velikost otáčivého momentu, který kotva předává (tzv. skluz). Při zvětšení zátěže kotvy klesá její úhlová rychlost ω‘, tím stoupá hodnota rozdílu ωs. V důsledku toho dochází ke zvýšení změny indukčního magnetického toku a tedy i ke zvýšení intenzity indukovaných proudů, zvýšení výkonu stroje a tím k opětnému vzrůstu úhlové rychlosti kotvy. Asynchronní motor si tak sám reguluje výkon podle svého zatížení.
