Fyzika II (elektřina a magnetismus) (UFY101)

Cvičení k přednášce Fyzika II (elektřina a magnetismus) (UFY101) Letní semestr 2007/2008, Určeno pro 1. ročník učitelského studia

Tento text se může v průběhu semestru měnit, zejména jsou odstraňovány chyby. Příklady označené ? jsou obtížnější. Poslední revize: 21. 2. 2008 Podmínky získání zápočtu Zisk alespoň 50% bodů v obou písemkách. Doporučená literatura - z ní je vybrána většina úloh [1] Příklady z elektřiny a magnetismu, kolektiv, skripta SPN Praha 1982 [2] Bartuška K.: Sbírka řešených úloh z fyziky III., Prometheus, Praha, 2002 [3] Sedlák B., Štoll I: Elektřina a magnetismus, Academia , Univerzita Karlova Praha 1993 [4] Sedlák B., Bakule R.: Elektřina a magnetismus, skripta SPN Praha 1973 Doplňková literatura [5] Halliday D., Resnick R., Walker J.: Fyzika. český překlad VUTIUM Brno a Prometheus Praha, 2001 [6] Feynman R.P. a kol.: Feynmanovy přednášky z fyziky 2. český překlad Fragment, Praha, 2001 Budu vděčná za jakékoli připomínky směřující k vylepšení tohoto textu nebo přímo cvičení. Zdeňka Broklová (Zdenka.Broklova @ mff.cuni.cz) 1

Předběžný plán cvičení 1. cvičení: Matematika - vektorové diferenciální operátory 2. cvičení: Elektrostatické pole známého rozložení náboje 3. cvičení: Elektrostatické pole vodivých těles 4. cvičení: Elektrostatické pole v dielektriku 5. cvičení: Energie a silové účinky elektrostatického pole 6. cvičení: Elektrostatika - opakování 7. cvičení: Písemka 8. cvičení: Elektrický proud 9. cvičení: Stacionární elektrické obvody 10. cvičení: Stacionární magnetické pole 11. cvičení: Elektromagnetická indukce 12. cvičení: Elektrické obvody - nestacionární, střídavé proudy 13. cvičení: Elektromagnetické pole 14. cvičení: Písemka

Základní konstanty velikost tíhového zrychlení gravitační konstanta normální atmosférický tlak náboj elektronu permitivita vakua konstanta v Coulombovu zákonu ve vakuu Avogadrova konstanta Faradayova konstanta permeabilita vakua klidová hmotnost elektronu klidová hmotnost protonu (resp. neutronu)

2

9,81 m s−2 6, 67 · 10−11 kg−1 m3 s−2 105 Pa 1, 602 · 10−19 C 8, 85 · 10−12 C2 N−1 m−2 9 · 109 N m2 C−2 6, 02 · 1023 mol−1 9, 65 · 104 C mol−1 4π · 10−7 N A−2 9, 1 · 10−31 kg 1, 67 · 10−27 kg

Matematické okénko Operátory grad, div a rot 1.) Uveďte vlastnosti následujících operací: sčítání vektorů, násobení vektoru skalárem, skalárního součinu dvou vektorů, vektorového součinu dvou vektorů. Vlastnosti formulujte nejprve nezávisle na zvoleném typu soustavy souřadnic. Potom uveďte, jak se uvedené operace provádějí, pokud jsou vektory vyjádřeny v pravoúhlé soustavě souřadné. 2.) Ověřte následující vztahy mezi vektory: a) ~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~b) (cyklická záměna) b) ~a × (~b × ~c) = ~b(~a · ~c) − ~c(~a · ~b) („bác mínus cábÿ) ~ = (~a · ~c)(~b · d) ~ − (~b · ~c)(~a · d) ~ (Lagrangeova identita) ? c) (~a × ~b) · (~c × d) ~ = [~a · (~b × d)]~ ~ c − [~a · (~b × ~c)]d~ ? d) (~a × ~b) × (~c × d) ~ = (~a × ~c)(~b · d) ~ − (~b × ~c)(~a · d) ~ ? e) ~a × [~b × (~c × d)] 3.) Uveďte alespoň dva fyzikální příklady skalárního a vektorového pole pro případ 3-dimenzionálního prostoru. Zkuste vymyslet příklady pro 2dimenzionální, resp. jednodimenzionální případy. Jak souvisí „poleÿ s funkcemi více proměnných? 4.) Uvažujte obecně skalární pole p = p(~r) = p(x, y, z) = (h0 − z)ρg, které popisuje hydrostatický tlak v libovolném místě kapaliny (h0 je výška hladiny). Jak je umístěna soustava souřadná? Pomocí tlaku v místě popsaném polohovým vektorem ~r odhadněte velikost tlaku v místě ~r0 = ~r + δ~r, jestliže δ~r je malé. Na tomto konkrétním příkladě ověřte kolmost gradientu k ekvipotenciálním plochám. 5.) Uvažujme vektorové pole F~ = F~ (~r) = F~ (x, y, z) = (Kz, 2Kz, 0). K je konstanta. Nakreslete a slovně popište, jak toto pole vypadá. Spočtěte tok vektoru pole plochou čtverce o straně L, který leží v rovině x = 0 a má dva vrcholy (0, 0, 0), (0, L, L). Vypočtěte tok povrchem krychle, jehož jednu stěnu tvoří uvedený čtverec a jeho dalším vrcholem je (L, L, L). ? 6.) Zkuste odhadnout tok vektorového pole povrchem malé krychle kolem daného bodu pomocí velikosti pole a jeho derivací v tomto bodě. 7.) Uvažujme vektorové pole F~ = F~ (~r) = F~ (x, y, z) = (Ky, −Kx, 0). K je konstanta. Nakreslete a slovně popište, jak toto pole vypadá. 3

Spočtěte circulaci tohoto pole (= integrál podél uzavřené křivky) podél kružnice o poloměru r se středem v počátku souřadnic, pokud tato kružnice leží v rovině z = 0, resp. y = 0. ? 8.) Odhadněte cirkulaci vektorového pole podél malého čtverce kolem daného bodu. Uvažujte různé roviny, ve kterých tento čtverec leží. Shrnutí vektorových operátorů v kartézských souřadnicích ~ ≡(∂, ∂, ∂) pozn.: Hamiltonův operátor (nabla): ∇ ∂x ∂y ∂z gradient

divergence

vektor → skalár

- směr největšího růstu - velikost odpovídá rychlosti růstu - kolmý k ekvipotenciální ploše - charakterizuje velikost bodového zdroje - tok vektorového pole maličkou plochou okolo daného bodu

H

R

skalár → vektor

S

rotace

~ · dS ~= G

V

S

~ · d~l = G

R V

~ · dS ~ rot G

9.) Vypočtěte: a) div (x + y, −x + y, −2z) b) rot (x + y, −x + y, −2z) c) grad(x + y + z)

~ ∇u ~ = div G

∂Gx ∂x

+

∂Gy ∂y

+

∂Gz ∂z

~ ·G ~ ∇

Gauss-Ostrogradskeho věta

- velikost odpovídá „mířeÿ točení - směr, kolem kterého se pole nejvíce „otáčíÿ

vektor → vektor H

~ div GdV

∂u ∂u grad u = ( ∂u ∂x , ∂y , ∂z )

~ = ( ∂Gz − rot G ∂y ~ ×G ~ ∇

∂Gy ∂Gx ∂z , ∂z

Stokesova věta

d) div (2y, 2x + 3y, 3y) e) rot (2y, 2x + 3y, 3y)

~ vektorová pole, pozn: V následujících příkladech jsou u, v skalární pole, F~ , G cpkonstanta a p~ konstantní vektor. ~r = (x, y, z) je polohový vektor a r = x2 + y 2 + z 2 jeho velikost. 10.) Pomocí kartézských a) grad r = ~rr b) div ~r = 3 c) rot ~r = (0, 0, 0) d) grad (1/r) = − r~r3

souřadnic ověřte následující identity: e) grad p~ · ~r = p~ ? f) rot rp~3 = p~ × r~r3 ? g) grad p~r·~3r = −3(~p · ~r) rp~5 + rp~3 r ? h) rot p~r×~ p · ~r) rp~5 − rp~3 3 = 3(~

4

−

∂Gz ∂Gy ∂x , ∂x

−

∂Gx ∂y )

? i) grad (uv) = u grad v + v grad u ? j) div (uF~ ) = F~ grad u + u div F~ 11.) Postupná aplikace diferenciálních operátorů: a) Odvoďte vyjádření v kartézských souřadnicích tzv. Laplaceova operátoru: 4u ≡ div grad u b) Dokažte: rot grad u = ~0 div rot F~ = 0. ? 12.) Představte si, že nadmořská výška kopce je dána formulí: h(x, y) = 5 exp(−x2 − 9y 2 ). Nakreslete profil krajiny v okolí počátku souřadného systému. Nalezněte kolmé vektory k vrstevnicím v bodech o souřadnicích A = (3,0) a B = (-3,1). V kterém z těchto bodů je kopec strmější? Křivočaré souřadnice 13.) Odvoďte Laméovy koeficienty, přírůstek polohového vektoru, elementární objem a vyjádření operátorů gradient, divergence a rotace a) ve válcových souřadnicích b) ve sférických souřadnicích Pozn.: Využijte vztahy z přehledu vzorců doc. Rottera Další poučení: [3] - Dodatek 1. Přehled vektorové analýzy

Elektrostatika Elektrický náboj a Coulombův zákon 14.) Dvě stejné částice zanedbatelných rozměrů jsou nabity nábojem rovným náboji elektronu. Jakou hmotu by tyto částice musely mít, aby gravitační síla mezi nimi byla stejně velká jako elektrostatická síla? Porovnejte s hmotností elektronu a protonu. 1.9 µg, 2·1021 , 1018 15.) Jakou silou by na sebe působily dvě měděné kuličky o poloměru r = 1 cm ve vzdálenosti R = 1 m, pokud by každému atomu mědi scházel 1 elektron? 2.9·1019 N; 0,32 mg Jak by se změnila hmotnost těchto kuliček? 16.) Jak velké náboje musíme umístit do středu dvou homogenních koulí o hmotnosti Země (6 · 1024 kg), aby elektrická a gravitační síla byly v rovno5,2·1014 C váze?

5

17.) Na dvou stejných kapkách vody je po jednom přebytečném elektronu navíc. Přitom síla elektrického odpuzování je stejně velká jako síla gravitačního přitahování. Určete poloměr kapek. 76 µm Otázka: Co můžeme říci na základě předchozích příkladů o velikosti gravitační a elektrické síly? Elektrostatické pole známého rozložení náboje 18.) Rozcvička Jak je třeba změnit vzdálenost dvou kladných bodových nábojů, jestliže se velikost jednoho náboje zvětší 4x a vzájemná síla se změnit nemá? zvětšit 2x Teorie: Coulombův zákon, potenciál bodového náboje a homogenního pole, Gaussova věta 19.) Ve vrcholech čtverce, resp. trojúhelníka o straně a jsou umístěny stejně velké kladné náboje e. Jak velký náboj musíme umístit do středu čtverce/ trojúhelníka, aby síly působící na jednotlivé náboje byly nulové? Je toto p √ uspořádání ve stabilní rovnováze? (2 2+1)e/4; (3)e/3, ne

20.) Dvě malé kuličky jsou zavěšeny ze stejného místa na nitích délky 1 m. Po nabití elektrickým nábojem se rozestoupily na vzdálenost 5 cm. Jak velkým nábojem byly nabity? 8,2·10−9 C 21.) Bodový náboj o velikosti Q leží v počátku souřadného systému, bodový náboj o velikosti −nQ v místě o souřadnicích (d, 0, 0), n, d > 0. Jaký tvar má plocha, na které je potenciál roven potenciálu v nekonečnu? kulová plocha, R = dn/(n2 − 1), xS = −a/(n2 − 1)

22.) Vypočtěte elektrickou intenzitu v okolí homogenně nabité nekonečné roviny. (Plošnou hustotu náboje označte σ.) a) přímou integrací intenzity (výhodné je použít polární souřadnice) b) integrací potenciálu a užití vztahu mezi intenzitou a potenciálem c) pomocí Gaussovy věty elektrostatiky homogenní pole, E=

23.) Pomocí Gaussovy věty elektrostatiky určete elektrickou intenzitu a následně určete potenciál v okolí a) homogenně nabité koule b) homogenně nabité kulové vrstvy c) homogenně nabité kulové plochy d) homogenně nabité nekonečné přímky e) homogenně nabitého nekonečného válce pozn.: Nezapomeňte na průběhy „uvnitřÿ těles! 6

σ z 2²0 |z| ; φ

=

σ 2²0 |z|

24.) Dvě rovnoběžné plochy umístěné blízko sebe ve vzdálenosti L, nabité hustotami náboje stejně velkými, ale opačného znaménka, tvoří tzv. elektrickou dvojvrstvu. Určete průběh intenzity a potenciálu. vně desek je pole nulové, uvnitř desek σ 25.) Najděte takové uspořádání jednoho protonu a dvou elektronů na přímce, E = ²0 aby potenciální energie soustavy byla nulová. pořadí √ p-e-e, d1 /d2 =

26.) Napište intenzitu a potenciál elektrického pole soustavy dvou opačných nábojů o velikosti Q umístěných v bodech (0, 0, L/2) a (0, 0, −L/2). Určete konkrétně velikost intenzity a potenciálu elektrického pole v bodě ležícím uprostřed mezi náboji. Určete průběh intenzity a potenciálu podél spojnice obou nábojů a podél osy jejich spojnice.

(1 +

5)/2

? 27.) V předchozím příkladu uvažujte, že vzdálenost L je malá vzhledem ke vzdálenosti počátku souřadného systému a místa, ve kterém počítáme intenzitu/potenciál. Napište přibližné vztahy pro intenzitu a potenciál. Ověřte, ~ = −grad ϕ) zůstal v platnosti. že vztah mezi potenciálem a intenzitou (E Porovnejte s průběhem intenzity a potenciálu elementárního dipólu. . Nápověda: |~r − ~r0 | = r − r0 cos θ ? 28.) Ukažte, že intenzita elektrického pole dipólu (orientovaného ve směru osy z), má stejný směr ve všech bodech přímky procházející počátkem. Určete úhel, který svírá intenzita s osou z na přímce, která svírá s osou z úhel 0, π/4, π/2. 29.) Mračno malých rozměrů nesoucí náboj 20 C je ve výšce 1 km nad povrchem Země. Určete intenzitu elektrostatického pole vzbuzeného tímto nábojem u povrchu Země ve vzdálenosti 3 km od místa, nad nímž se nachází 1,8·104 V m−1 mrak. 30.) Mezi dva stejně velké bodové náboje Q1 , Q2 (ve vzdálenosti d od sebe) umístíme třetí bodový náboj Q3 , který se může pohybovat jen po spojnici prvních dvou nábojů. Všechny náboje mají stejné znaménko. Kde se ustálí uprostřed, rovnováha náboj Q3 ? Změnila by se poloha náboje, pokud by měl opačné znaménko? ? 31.) Pomocí Laplaceovy-Poissonovy rovnice určete průběh potenciálu homogenně nabité kulové plochy.

7

stabilní;poloha se nezmění, ale rovnováha labilní

Elektrostatické pole vodivých těles 32.) Rozcvička Dvě kuličky jsou od sebe vzdáleny 1 m. Jedna z nich je nabita nábojem 1 · 10−3 C a druhá −3 · 10−3 C. Jak velkou silou budou na sebe kuličky působit? Jak velkou silou by na sebe působily, pokud by se před umístěním do předepsané vzdálenosti dotkly? 27 kN; 9 kN (pokud jsou vodivé)

Teorie: chování vodičů v elektrostatickém poli, kapacitní a influenční koeficienty, kapacita vodiče ~ = (0, 0, E0 ) je vložen elementární 33.) Do homogenního pole o intenzitě E dipól s momentem p~ mající směr osy z. a) Ukažte, že ekvipotenciální plocha s nulovým potenciálem má kulový tvar a určete její poloměr. b) Co se stane, pokud do této ekvipotenciální plochy vložíme vodivou plochu? c) Jaká by byla hustota náboje na této ploše? d) Jaký by byl celkový dipólový moment P~ této plochy? e) Jak se změní odpovědi v části c) a d), pokud po/před vložením vodivé plochy, odstraníme dipól? Metoda „zrcadleníÿ 34.) Určete elektrostatický potenciál pole, které vytváří bodový náboj q nacházející se ve vzdálenosti a od vodivé stěny udržované na nulovém potenciálu. Určete plošnou hustotu náboje na vodivé stěně, jeho celkovou velikost a sílu, kterou je náboj ke stěně přitahován. 35.) Určete sílu, která působí na náboj, který je umístěn v blízkosti dvou vodivých na sebe navzájem kolmých rovin. Určete sílu, která působí na náboj umístěný v blízkosti tří na sebe navzájem kolmých vodivých rovin (tvořících „koutÿ).

pro náboj stejně vzdálený od všech desek:√ 2 1−2 √ 2 Fx = Fy = − kq a2 8 2 Fx = Fy = Fz = √ 2 − kq (−1 + 2/2 − √ 4a2 3/9)

Kapacitní a influenční koeficienty 36.) Určete kapacitu osamoceného kulového vodiče.

4π²0 R

37.) Vypočtěte kapacitní a influenční koeficienty pro soustavu tvořenou dvěma C11 soustřednými vodivými kulovými plochami o poloměrech R1 < R2 .

= −C12 R2 −C21 = 4(RR21−R 1)

38.) Určete kapacitu kondenzátoru, který je tvořen dvěma soustřednými válci C21 = R22 4(R2 −R1 ) o poloměrech R1 a R2 (R1 < R2 ). Výška obou válců l je stejná a je dostatečně C = 2π²R02l velká, abychom mohli zanedbat rozptylové pole na okrajích. ln R1

8

=

obr. 1: vlevo - 1a, vpravo - 2a

39.) Vypočtěte kapacitu deskového kondenzátoru o ploše desek S = 10 cm2 a vzdálenosti d = 0, 1 cm. (Vliv nehomogenit na okrajích desek zanedbejte.) Nakreslete graf průběhu potenciálu a intenzity mezi deskami kondenzátoru, jestliže je nabit nábojem 0,1 nC. 8,87 pF 40.) Deskový kondenzátor má kapacitu C =100 pF. Jak se změní kapacita kondenzátoru, jestliže mezi destičky vložíme rovnoběžně vodivou destičku, jejíž tloušťka je rovna čtvrtině vzdálenosti elektrod? Má poloha plechu vliv na výslednou kapacitu? V obou případech určete průběch potenciálu mezi deskami kondenzátoru. 4/3 C; nemá Zapojování kondenzátorů 41.) Kondenzátory jsou zapojeny dle obrázku 1a. Určete celkovou kapacitu zapojení, napětí a náboje na deskách jednotlivých kondenzátorů při zapojení 0,84 µF; 84 V, 84 V, na napětí 100 V. (C1 = C3 = 1 µF, C2 = C4 = 10 µF) 42.) Kondenzátory o téže kapacitě C jsou zapojeny podle obrázku 1b. Určete výslednou kapacitu. Dále určete napětí a náboje na deskách jednotlivých kondenzátorů, jestliže na celém zapojení je napětí U .

7,6 V, 7,6 V; 84 µC, 84 µC, 7,6 µC, 76 µC 11 5 C

Další příklady 43.) Z vodivé mýdlové bubliny o poloměru 2 cm a nabité na potenciál 10 kV vznikne po prasknutí kapka vody o poloměru 0,05 cm. Jak velký bude potenciál kapky? 40 kV 44.) Jaký maximální náboj se udrží na kovové kouli o poloměru 10 cm, je-li dielektrická pevnost suchého vzduchu 30 kV cm−1 ? 3 µC 9

45.) Kolik elektronů nese kulička o hmotnosti 10−11 g, jestliže je udržována v rovnováze v rovinném kondenzátoru, jehož desky jsou ve vzdálenosti 5 mm od sebe a jsou nabity na potenciální rozdíl 76,5 V? (Millikanův pokus) 40 46.) V jakém poměru se rozdělí náboj na dvě kovové koule o poloměrech 4 cm a 1 cm, které jsou spojené dlouhým tenkým vodičem? Porovnejte i poměr plošných hustot náboje. náboje 4:1, plošné hustoty náboje 1:4

Elektrostatické pole v dielektriku 47.) Rozcvička Představte si dva bodové náboje ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti 60 cm. Tyto náboje na sebe působí určitou silou. Do jaké vzdálenosti je musíme umístit ve vodě (dielektrikum s relativní permitivitou 81), aby na sebe působily stejně velkou silou? 6,7 cm 48.) Dvě stejné kuličky jsou zavěšeny na nitích stejné délky ve stejném místě. Poté co, kuličky nabijeme stejným elektrickým nábojem rozestoupí se tak, že závěsy spolu svírají úhel 2α. Vypočtěte hustotu látky, ze které jsou kuličky vyrobeny, jestliže se při ponoření kuliček do benzenu úhel závěsu nezměnil. (ρbenzen = 879 kg m−3 , ²r = 2, 3) 1560,kg/m3 49.) Deskový kondenzátor (o ploše desek S a vzdálenosti d, S > d) byl nabit při napětí U0 . Poté byl zcela vyplněn měkkým dielektrikem o permitivitě ². Toto vkládání se dělo a) při zapojeném zdroji b) až po odpojení zdroje. Doplňte následující tabulku: napětí mezi deskami kapacita kondenzátoru náboj na deskách elektrická indukce elektrická intenzita polarizace dielektrika hustota vázaného plošného náboje v dielektriku u desek celkový vázaný plošný náboj v dielektriku u desek hustota vázaného objemového náboje v dielektriku

bez dielektrika U0

a) odpojený zdroj

b) připojený zdroj

50.) Prostor mezi elektrodami deskového kondenzátoru je vyplněn dvěma 10

stejně velkými dielektriky o permitivitách ²1 , ²2 . Jaká je kapacita kondenzátoru, je-li rozhraní dielektrik rovnoběžné/kolmé k deskám kondenzátoru? 51.) Prostor mezi deskami rovinného kondenzátoru (plochy S a vzdálenosti desek d) je vyplněn dielektrikem, jehož relativní permitivita se mění lineárně od hodnoty ²1 do hodnoty ²2 . Určete kapacitu kondenzátoru, jestliže se permitivita mění a) kolmo na rovinu desek. ? b) rovnoběžně s deskami.

S(²1 +²2 ) 2S²1 ²2 d(²1 +²2 ) ; 2d

S²0 (²1 +²2 ) S²0 (²1 −²2 ) ; 2d ln ²1 2d ² 2

52.) Vypočtěte dipólový moment těchto uspořádání bodových nábojů. a) ve vrcholech rovnostraného trojúhelníka v pořadí q, q, −2q b) ve vrcholech čtverce v pořadí −q, q, q, −q c) ve vrcholech čtverce v pořadí −q, q, −q, q

√ aq 3; 2aq; 0

53.) Určete celkový dipólový moment homogenně polarizované koule. Jaké pole vytváří tato koule (poloměr R, polarizace P~ ) uvnitř a vně sebe samé? ? 54.) Do homogenního elektrického pole ve vakuu byla vložena dielektrická koule o permitivitě ² a poloměru R. Vypočítejte vektor polarizace v kouli, její dipólový moment a hustotu vázaného náboje na jejím povrchu. Energie a silové účinky elektrostatického pole 55.) Rozcvička Jakou práci vykonáme, pokud v homogenním elektrickém poli o velikosti elektrické intenzity E = 60 kV · m−1 posuneme kladný náboj o velikosti 5 nC o vzdálenost 20 cm, jestliže směr posunutí svírá se směrem siločar úhel 45◦ ? Nakreslete obrázek celé situace. 42 µJ 56.) Jaká energie se uvolní při vybití deskového kondenzátoru o kapacitě C nabitého na napětí U ? CU 2 /2 57.) Jak se změní kapacita a energie kondenzátoru, jestliže jeho náboj zvětnezmění, n2 šíme n-krát? 58.) Jaká síla působí na elektrodu deskového kondenzátoru při napětí U ? Plocha desek je S, jejich vzdálenost d << S a permitivita prostředí mezi deskami je ². Jakou práci vykonáme, pokud desky vzdálíme na dvojnásobnou vzdálenost? Kondenzátor je odpojený od zdroje. Diskutujte, jak by se situace změnila, pokud by kondenzátor byl připojen ke zdroji napětí. 59.) Otočný vzduchový kondenzátor má maximální kapacitu Cmax a minimální Cmin . Při hodnotě Cmax byl nabit na napětí Umax . Jakou práci vyko11

²SU 2 ²SU 2 2d2 ; 2d

náme při změně jeho kapacity na Cmin , jestliže zdroj napětí bude a) odpojen ? b) zůstane připojen? Neuvažujte mechanické tření apod. 60.) Vypočtěte elektrostatickou energii homogenně nabité koule a) jako práci potřebnou R pro postupné přidávání tenkých vrstev. b) pomocí vztahu 21 Vkoule ϕ(~r)ρ(~r)dV .

2 (Cmax −Cmin)Cmax Umax 2Cmin (C −C )U 2 ; max 2min max

4 2 5 15²0 πρ R

? 61.) Určete sílu a moment sil, které působí na tuhý dipólový moment a) v homogenní elektrickém poli. b) v poli bodového náboje. Nalezněte stabilní polohy. ? 62.) Porovnejte elektrostatickou energii soustavy dvou tuhých dipólů p~1 = (0, 0, p), p~2 = −~p1 . První dipól se nachází v počátku souřadného systému a druhý se nachází v místě a) o souřadnicích (0, 0, d). b) o souřadnicích (d, 0, 0). 2 V obou případech určete také síly a momenty sil, které na dipóly působí. - 2π²p0 d3 ;

p2 4π²0 d3

63.) Na atomové jádro těžkých prvků se lze dívat jako na homogenně nabitou kouli s nábojovou hustotou ρ = 43 · 1025 C m−3 . Jak se změní elektrostatická energie při symetrickém rozštěpení jádra uranu na dvě stejně velká jádra atomů palladia? 6,65·10−11 J 64.) Elektrické pole deskového kondenzátoru vtahuje do prostoru mezi deskami dielektrikum. Určete velikost této síly v závislosti na vzdálenosti x, ve které je již dielektrikum do kondenzátoru zasunuto. (Dielektrikum bezezbytku vyplní objem mezi deskami kondenzátoru.)

(²r −1) Q2 d 2²0 Sl (1+(²r −1)x/l)2

65.) Elektron vlétl rychlostí 10 km/s do homogenního elektrického pole o intenzitě 20 V/m. Rychlost elektronu je rovnoběžná s elektrickými siločárámi. 800 km/s Vypočtěte rychlost elektronu poté, co v elektrickém poli urazí dráhu 9 cm. 66.) Elektrické pole u povrchu Země má intenzitu 130 V/m. Jaký by měl být potenciální rozdíl mezi chodidly a hlavou člověka vysokého 170 cm? Je tomu 230 V, ne lidské tělo je opravdu tak? vodivé

12

Stacionární elektrické pole, elektrický proud, stacionární elektrické obvody 67.) Vypočtěte pohyblivost nositelů náboje v mědi, za předpokladu, že na každý atom připadá jeden vodivostní elektron. (A = 63, 6, hustota h = 8,9 g cm−3 , měrný odpor ρ = 1, 7 · 10−8 Ω m). 4, 36 · 10−3 m2 s−1 V−1 68.) Z desky o tloušťce t vyřízneme mezikruží s vnitřním poloměru R1 a R2 . Stanovte odpor mezikruží, jestliže jako elektrody slouží kružnice, kterými je omezeno. Měrný odpor materiálu je ρ.

ρ 2πt

2 ln R R1

69.) Rezistory o odporech R1 , R2 , R3 jsou zapojeny do trojúhelníka. Najděte velikosti odporů r1 , r2 , r3 , které při zapojení do „hvězdyÿ původní rezistory nahradily. r1 = r2 =

R2 R3 R1 +R2 +R3 , R3 R1 R1 +R2 +R3 , R1 R2 R1 +R2 +R3

70.) Ke zdroji stejnosměrného elektromotorického napětí Ue s vnitřním od- r3 = porem Ri je připojen spotřebič. Určete odpor spotřebiče R, aby příkon spotřebiče (výkon dodaný spotřebiči zdrojem) byl maximální. Tzv. výkonové přizpůsobení spotřebiče. R = Ri

71.) Potenciometrem zhotoveným z homogenního vodiče délky l a celkovém odporu Rl = al se mění napětí na spotřebiči o odporu R. Určete napětí a proud spotřebičem jako funkci vzdálenosti x jezdce potenciometu od jednoho konce potenciometru. Jaké zjednodušení lze provést, jestliže R >> Rl (viz obr. 2a) UR = RIR , IR =

lxU x(l−x)Rl +l2 R

? 72.) Uprostřed velkého homogenního tělesa s vodivostí σ existuje v okamžiku t = 0 volný náboj o hustotě ρ0 . Jak se bude tento náboj měnit s časem? Odhadněte pro měď (σ ≈ 6 · 107 Ω−1 m−1 ) a sklo (σ ≈ 10−12 Ω−1 m−1 ), kdy jeho velikost klesne pod 1% původní velikosti. ρ = ρ0 exp(− ²σ0 t) 73.) Určete celkový odpor zapojení dle obrázku 2b. Všechny rezistory mají stejný odpor R. 5/11R

? 74.) Určete odpor drátěné krychle mezi různými dvojicemi vrcholů, jestliže všechny její hrany mají stejný odpor R. vrcholy na jedné hraně: 7/12R, vrcholy na stěnové uhlopříčce 3/4R, vrcholy na tělesové uhlopříčce 5/6R

75.) Miliampérmetr se stupnicí do 15 mA má vnitřní odpor 5 Ω. Jaký rezisotor a jak je k němu třeba připojit, abychom s ním mohli měřít a) proudy do 0,15 A? a) bočník 5/9 Ω, b) b) napětí do 150 V? předřadník 9995 Ω

13

obr. 2: obr. 2a - vlevo, obr. 2b - uprostřed, obr. 2c - vpravo

obr. 3:

76.) Ampérmetr s vnitřním odporem 0,16 Ω je opatřen bočníkem 0,04 Ω. Ručička ukazuje 6 A. Jaký proud protéká vedením? 30 A 77.) Mějme zapojení dle obrázku 2c. Určete proud tekoucí odporem R.

I=

U1 R2 +U2 R1 RR1 +RR2 +R1 R2

78.) Určete elektromotorické napětí Ue a vnitřní odpor Ri zdroje, který je sestaven ze dvou seriově, resp. paralelně zapojených baterii (Ue1 = 1, 4 V, Ri1 = 0, 6 Ω, Ue2 = 1, 2 V, Ri2 = 0, 4 Ω). Jaký proud poteče rezistorem o odporu R = 4, 2 Ω připojíme-li ho na tento zdroj? sériově: Ue = 2, 6 V, Ri = 1, 0 Ω, I = 0, 5 A Ue = 79.) Dvě žárovky s příkony 40 W a 60 W jsou paralelně zapojeny ke zdroji paralelně: Ue1 Ri2 +Ue2 Ri1 = 1, 5 V, Ri1 +Ri2 napětí, kterým prochází proud 5 A. Určete proudy, které procházejí žárovRi = 0, 24 Ω, I = kami. Ue1 Ri2 +Ue2 Ri1 = RRi1 +RRi2 +Ri1 Ri2

0, 33 A

80.) Určete proudy ve všech větvích obvodu zapojeného podle obrázku 3. 2 A, 3 A Údaje napětí jsou ve voltech, odpory v ohmech. 81.) Při elektrolýze roztoku modré skalice procházel po dobu 2 h proud o velikosti 10 A. Určete a) elektrochemický ekvivalent mědi A, b) tloušťku vrstvy 330 mg C−1 , 1,3 mm mědi, kterou se pokryla katoda o ploše 20 cm2 . 14

82.) Elektron byl urychlen napětím 500 V. Jaké rychlosti dosáhl? Jaká byla vzdálenost, kterou při urychlování urazil, jestliže se pohyboval po dobu 2 µs? 1,3·107 m s−1 , 6,6 m 83.) Na jakou teplotu se ohřálo měděné vinutí motoru, jestliže při zapnutí při 20◦ C mělo odpor 5,4 Ω a po vypnutí 6,4 Ω? (α = 4, 3 · 10−3 K−1 ) 63◦ C 84.) Za jak dlouho ohřeje ponorný vařič 2 l vody 20◦ C teplé na 90◦ C, je-li připojen na napětí 220 V, má odpor 100 Ω a účinnost 75%? Změnu odporu s teplotou lze zanedbat. 27 minut

Magnetické pole 85.) K tenkému drátěnému kruhu o poloměru R je přiváděn proud I. Jaká bude magnetická indukce B ve středu kruhu, jestliže přívody dělí kruh na dvě části délky l1 a l2 . Přívody mají radiální směr. B = 0T 86.) Dva souosé závity o poloměru R jsou umístěny ve vzdálenosti L od sebe a protéká jimi proud I. Určete hodnotu magnetické indukce B uprostřed spojnice středů zavitů, jestliže proud oběma závity teče stejným směrem/opačnými směry. 87.) Dva tenké nekonečné rovnoběžné vodiče jsou umístěné ve vzdálenosti 2L. Oběma protéká proud I. Směry proudů ve vodiči jsou opačné. Určete velikost a směr magnetické indukce v bodech roviny souměrnosti (tj. na rovině uprostřed mezi vodiči.) leží

v rovině, kolmá na vodiče, B = 2πRµ√0xIx 2 +L2

88.) Mějme dva nekonečné rovnoběžné vodiče, kterými prochází proud 1 A a 2 A stejným směrem. Vodiče jsou ve vzdálenosti 6 cm. Určete geometrické místo všech bodů, ve kterých je celková magnetická indukce nulová. přímka ležíci v ro-

vině vodičů, mezi nimi, ve vzdálenosti 2 cm od prvního vodiče

89.) Určete intenzitu magnetického pole, které tvoří plošný proud tekoucí v nekonečné rovině s homogenní proudovou hustotou j. Jaká je nespojitost B a H při průchodu plochou? H = j/2, ∆Hn = j, ∆Bn = 0

90.) Pomocí Ampérova zákona odvoďte vztah pro magnetické pole kolem B= dlouhého přímého vodiče.

µ I 2π d

91.) Pomocí Ampérova zákona odvoďte velikost magnetické indukce ve středu B= toroidální cívky.

µ NI 2π R

15

? 92.) Prstenec z magneticky tvrdého materiálu je přerušen úzkou vzduchovou mezerou délky d. Poloměr prstence je R. Prstenec je zmagnetován podél obvodu (magnetická polarizace P ). Rozměry průřezu prstence jsou malé vůči R, ale velké vůči d. Určete intenzitu a indukci magnetického pole v prstenci i v mezeře. Nakreslete jejich orientace. 93.) Vypočtěte magnetický tok Φ čtvercem o straně a = 3 cm, který je umístěn v blízkosti dlouhého přímého vodiče, kterým protéká proud I = 15 A. Jedna strana je rovnoběžná s vodičem ve vzdálenosti 4 cm a protilehlá strana je ve vzdálenosti 5 cm od vodiče. 6, 8 · 10−7 Wb 94.) Vypočtěte průběh intenzity a indukce magnetického pole koaxiálního kabelu. Poloměr vnitřního vodiče je R1 , vnější vodič je omezen dvěma souosými válcovými plochami o poloměrech R2 a R2 + t. Předpokládejte, že proud I je v obou vodičích rozložen s konstantní proudovou hustotou. Permeabilitu uvnitř kabelu položte rovnu µ0 . Pro t → 0 stanovte indukčnost na jednotku délky nekonečného koaxiálního kabelu.

Elektromagnetická indukce 95.) Drátěný kruh o odporu R se otáčí (kolem svého průměru, který je kolmý na B) v homogenním magnetickém poli o indukce B s konstantní úhlovou rychlostí ω. Napište průběh indukovaného proudu ve vodiči. Ii =

πBd2 ω 4R

sin ωt

96.) Přímý vodič délky 1 m se nachází v homogenním magnetickém poli o magnetické indukci 2 mT. Je umístěn kolmo k magnetickým indukčním čarám. Jakou rychlostí se musí vodič pohybovat, aby indukované napětí mělo velikost 3 mV? 1,5 m s−1 97.) Kolik závitů musí mít solenoid, aby se v něm indukovalo napětí 30 V, změní-li se v jeho dutině magnetický indukční tok z 50 mWb na 20 mWb za 100 čas 0,1 s? 98.) Pevná kovová obdélníková smyčka se vzdaluje od dlouhého přímého vodiče rychlostí v kolmou k vodiči. Dvě protilehlé strany zůstávají neustále rovnoběžné s vodičem. Určete velikost indukovaného elektromotorického napětí ve smyčce v okamžiku, kdy je vzdálenost vzdálenější strany od vodiče Ui = a2 .

16

µ0 I a2 −a1 2 a1 a2 lv

99.) Určete maximální elektromotorické napětí, které se může indukovat v rovinné cívce se 4000 závity o středním poloměru 12 cm rotující s frekvencí 30 Hz v zemském magnetickém poli 50 µm. 1,73 V 100.) Cívka s N závity a průměrem D tvoří s odporem R uzavřený obvod. Odpor vinutí cívky je RC . Tato cívka je umístěna v homogenním magnetickém poli s indukčností B tak, že osa cívky je rovnoběžná s vektorem magnetické Rt indukce. Spočtěte napěťový impuls (tj. t12 Ui (t)dt) a náboj, který projde cívkou, jestliže ji otočíme o 180◦ kolem osy kolmé k B. −2N BπD2 , BπD Q = − 2N R+RC

2

Elektrické obvody - nestacionární, střídavé proudy 101.) Nenabitý kondenzátor o kapacitě C je v čase t = 0 připojen sériově přes rezistor o odporu R ke zdroji o stejnosměrném napětí U . Vypočtěte časový t průběh proudu obvodem. I = U/R exp(− RC ) 102.) Cívkou o indukčnosti L a odporu vinutí R prochází stacionární proud I. V okamžik t = 0 zkratujeme přívody cívky a odpojíme zdroj. Jaká bude závislost proudu na čase? Vypočtěte celkové Joulovo teplo, které se vytvoří I = I0 exp(−Rt/L), na vinutí cívky. Q = 1/2LI 2

103.) Časově proměnný proud I(t) = I1 cos(ωt+φ1 )+I2 cos(2ωt+φ2 ) prochází sériovým zapojením indukčnosti L a odporu R. Určete časový průběh napětí na odporu UR a na indukčnosti UL . UR (t) = RI(t), UL = LI1 ω sin(ωt + φ1 ) +

104.) Průběh harmonického proudu je dán vztahem I(t) = a cos ωt + b sin ωt, 2LI2 ω sin(2ωt + φ2 ) √ kde a, b jsou reálné koeficienty. Přepište do komplexního zápisu. Ie = a2 + b2 e−iϕ , kde sin ϕ = √a2b+b2 , 105.) V sériovém RLC obvodu je R = 200 Ω, L = 0, 3 H a Z = 200 Ω. Frek- cos ϕ = √ 2a 2 a +b

vence střídavého napětí je 50 Hz. Vypočítejte kapacitu kondenzátoru a fázový posuv mezi proudem a napětím. 13 µF, 53◦

106.) Ke zdroji střídavého napětí o efektivní hodnotě 50 V je zapojen do série rezistor o odporu 5 Ω, cívka o indukčnosti 1 H a kondenzátor o kapacitě 4 µF. Při jaké frekvenci bude obvodem procházet maximální proud? Určete jeho 80 Hz, 10 A efektivní hodnotu. 107.) K elektrické síti o napětí 230 V a frekvenci 50 Hz je připojena cívka o indukčnosti 0,2 H a odporu 25 Ω. Jaké teplo předá cívka okolí během 1 17 kJ minuty? 17

108.) Transformátor o účinnosti 93 % zvyšuje napětí 230 V na 1500 V. Sekundární cívkou prochází proud 0,2 A. Jaký proud prochází primární cívkou? 1,4 A 109.) Elektrická energie se přenáší z elektrárny do místa spotřeby dálkovým vedením o odporu 0,4 Ω. Výkon elektrárny je 69 kW a napětí, při kterém se tento výkon přenáší je a) 23 kV, b) 230 V. Určete pro oba případy ztrátový výkon. Na základě výsledku vysvětlete, proč se používá vysoké napětí pro dálkové přenosy elektrické energie. 3,6 W, 36 kW

18