Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK
Praktikum II – Elektřina a magnetismus Úloha č. VII Název:
Měření indukčnosti a kapacity metodou přímou
Pracoval:
Matyáš Řehák
stud.sk.:
13
dne: 31.10.2008
Odevzdal dne: ..............................
Hodnocení: Připomínky:
Naměřené body v grafu vždy prokládat křivkou! V závěru uvádět shrnutí naměřených hodnot, nikam neodkazovat.
kapitola referátu
možný počet bodů
udělený počet bodů
Teoretická část
0-3
3
Výsledky měření
0 - 10
10
Diskuse výsledků
0-4
3
Závěr
0-2
1
Seznam použité literatury
0-1
1
Celkem
max. 20
18
Posuzoval:..................................
dne: ...........................
Pracovní úkol 1. Změřte závislost indukčnosti cívky na procházejícím proudu pro tyto případy : a) cívka bez jádra b) cívka s otevřeným jádrem c) cívka s uzavřeným jádrem 2. Přímou metodou změřte odpor cívky a určete její kvalitu. 3. Změřte velikost kapacit kondensátorů z kapacitní dekády. 4. Odhadněte přesnost měření.
Teorie (viz. [1]) Impedance cívky Prochází-li harmonický elektrický proud
i * = i0 exp( jωt )
(1)
reálnou cívkou, je možné její chování vystihnout sériovým zapojením ideální cívky s indukčností L a ohmického odporu RL. Okamžitá hodnota napětí je pak:
u * = ( RL + jωL)i * ,
(2)
kde j je komplexní jednotka a ω je úhlová frekvence střídavého proudu. Posun napětí vůči proudu o úhel φ se nazývá fázový posun. Pro tento platí:
tan ϕ =
ωL RL
= Q.
(3)
Veličina Q se nazývá činitel jakosti cívky. Impedance cívky je dána vztahem:
Z* =
u* i*
(4)
a její velikost je:
Z=
U 2 = R L + ω 2 L2 , I
(5)
kde U je efektivní hodnota napětí a I efektivní hodnota proudu. Indukčnost cívky je možné, pokud změříme tyto dvě veličiny, získat ze vztahu:
L=
U2 − R2 2 I , 2π f
(6)
kde f je frekvence. Impedance kondensátoru Je-li k ideálnímu kondensátoru přiloženo napětí
u * = u 0 exp(− jωt ) ,
(7)
je posuvný proud tekoucí kondensátorem:
i *p = jωCu * .
(8)
Chování reálného kondensátoru ze vystihnout zapojením paralelního obvodu, takže celkový proud kondensátorem bude:
1 i * = + jωC u * . RC
(9)
Velikost impedance je rovna:
Z=
U = I
1 1 RC
2
.
(10)
+ ω 2C 2
Kapacitu kondensátoru je možné určit, pokud známe efektivní hodnoty proudu a napětí pro
1 ωC
(11)
I . 2π fU
(12)
RC >> jako
C=
Výsledky měření Indukčnost cívky Všechna měření jsem prováděl pro zapojení voltmetru před i za ampérmetr. Pro tyto případy se při stejném proudu hodnoty napětí lišily. Toto indikuje, že vnitřní odpor voltmetru byl výrazně vyšší než cívky, takže je vhodné použít zapojení ampérmetru před voltmetr. Hodnoty napětí pro zapojení voltmetru před ampérmetru zde proto neuvádím. Tab. 1: Stejnosměrný proud a napětí cívkou I [A]
σI [A]
U [V]
σU [V]
0,050 0,002 0,14 0,100 0,002 0,27 0,15 0,01 0,43 0,20 0,01 0,58 0,25 0,01 0,71 chyba je chybou měřících přístrojů
0,01 0,01 0,01 0,01 0,01
Lineární regresí U = RI je určen odpor cívky jakožto konstanta úměrnosti jako RL = (2,85 ± 0,01) Ω. Tab. 2: Střídavý proud a napětí cívkou bez jádra I [A] 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500
σI [A] 0,008 0,008 0,008 0,008 0,008
U [V] 0,52 1,02 1,54 2,04 2,60
σU [V] 0,04 0,04 0,04 0,04 0,09
L [mH] 13,8 13,5 13,6 13,5 13,8
σL [mH] 2,0 1,0 0,7 0,5 0,8
Tab. 3: Střídavý proud a napětí cívkou s otevřeným jádrem I [A] 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250
σI [A] 0,008 0,008 0,008 0,008 0,008
U [V] 1,48 3,05 4,55 6,00 7,60
σU [V] 0,04 0,04 0,09 0,09 0,36
L [mH] 94 97 96 95 96
σL [mH] 14 7 5 4 6
Tab. 4: Střídavý proud a napětí cívkou s uzavřeným jádrem I [A] 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250
σI [A] 0,008 0,008 0,008 0,008 0,008
U [V] 36,0 73,0 99,0 117,0 131,0
σU [V] 0,9 1,8 1,8 1,8 3,6
L [H] 2,29 2,32 2,10 1,86 1,67
σL [H] 0,35 0,18 0,11 0,08 0,07
σI, σU – chyby měřících přístrojů L – indukčnost cívky spočtená ze vztahu (6) σL – chyba vzniklá přenosem chyb ze vztahu (6), chyba f je uvažována jako 0,5 Hz
Graf 1: Závislost indukčnosti cívky bez jádra na proudu 18
15
L [mH]
12
9
6
3
0 0,0
140
0,1
0,2
I [A]
0,3
0,4
0,5
0,6
Graf 2: Závislost indukčnosti cívky s otevřeným jádrem na proudu
120
L [mH]
100 80 60 40 20 0 0,00
0,05
0,10
I [A]
0,15
0,20
0,25
0,30
3,0
Graf 3: Závislost indukčnosti cívky s uzavřeným jádrem na proudu
2,5
L [H]
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0 0,00
0,05
0,10
I [A]
0,15
0,20
0,25
0,30
Pro cívku bez jádra a s otevřeným jádrem jsou hodnoty indukčnosti pro všechny hodnoty proudu v rámci chyby stejné. Proto lze spočítat indukčnost jako průměr těchto hodnot a z těchto určit kvalitu cívky pomocí vztahu (3). Qbez = (1,50 ± 0,11) Qot = (10,5 ± 0,8) V případě cívky s uzavřeným jádrem dochází k poklesu indukčnosti cívky při vyšším proudu, což je způsobeno jejím nasycením.
Kapacita kondensátorů Odpor kondensátorů je výrazně větší než vnitřní odpor voltmetru, takže je vhodné použít zapojení voltmetru před ampérmetr.
Tab. 5: Hodnoty pro kondensátor 1 I [mA] 0,40 0,60 0,80 1,00 1,08
σI [µA] 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02
U [V] 2,20 3,35 4,50 5,55 6,00
σU [V] 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
C [µH] 0,58 0,57 0,57 0,57 0,57
σC [µH] 0,03 0,02 0,02 0,01 0,01
Tab. 6: Hodnoty pro kondensátor 2 I [mA] 0,30 0,60 0,80 0,96 1,10
σI [µA] 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02
U [V] 1,65 3,25 4,40 5,10 6,00
σU [V] 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
C [µH] 0,58 0,59 0,58 0,60 0,58
σC [µH] 0,04 0,02 0,02 0,02 0,01
Tab. 7: Hodnoty pro kondensátor 3 I [mA] 0,40 0,80 1,20 1,60 2,00
σI [µA] 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02
U [V] 1,12 2,25 3,40 4,50 5,55
σU [V] 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
C [µH] 1,14 1,13 1,12 1,13 1,15
σC [µH] 0,08 0,04 0,03 0,02 0,02
Tab. 8: Hodnoty pro kondensátor 4 I [mA] 0,40 0,80 1,20 1,60 2,00
σI [µA] 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02
U [V] 0,66 1,30 1,92 2,60 3,25
σU [V] 0,02 0,02 0,02 0,05 0,05
C [µH] 1,93 1,96 1,99 1,96 1,96
σC [µH] 0,11 0,06 0,04 0,05 0,04
Tab. 9: Hodnoty pro kondensátor 5 I [mA] 0,40 0,80 1,20 1,60 2,00
σI [µA] 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02
U [V] 0,62 1,24 1,84 2,50 3,10
σU [V] 0,02 0,02 0,02 0,05 0,05
C [µH] 2,05 2,05 2,08 2,04 2,05
σC [µH] 0,12 0,06 0,05 0,05 0,04
Tab. 10: Hodnoty pro kondensátor 6 I [mA] 0,40 0,80 1,20 1,60 2,00
σI [µA] 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02
U [V] 0,41 0,82 1,22 1,60 2,00
σU [V] 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02
C [µH] 3,11 3,11 3,13 3,18 3,18
σC [µH] 0,22 0,11 0,08 0,06 0,06
I, U – naměřené hodnoty proudu a napětí σI, σU – chyby měřících přístrojů C – kapacita spočtená dle vztahu (12) σC – chyba kapacity vzniklá přenosem chyb ze vztahu (12), chyba f je uvažována jako 0,5 Hz
Kapacita jednotlivých kondensátorů byla vypočtena lineární regresí z rovnice I/2πf = CU, konstanta úměrnosti C je kapacita. Tab. 11: Kapacita jednotlivých kondensátorů C [µF] 0,57 0,59 1,14 1,96 2,05 3,17
σC [µF] 0,04 0,07 0,08 0,10 0,10 0,14
C1 [µF] 0,56 0,57 1,16 2,2 2,41 4,84
σC - Chyba kapacity je spojením chyby lineární regrese a průměrné chyby určené přenesením chyb ve vztahu (12) a uvedené v tabulkách 5-10 C1 – hodnoty kapacity uvedené na dekádě
Diskuse Chyby měření jsou z velké části způsobené chybami měřících přístrojů. Třída přesnosti přístrojů na měření stejnosměrného napětí byla 0,5 a střídavého 1,5. U střídavého jsem také započítal možnou změnu frekvence ve výši 1%, která je uvedena v návodu k úloze 23 v [1]. Chyba přístrojů, která se nejvíce projeví u spodní části stupnice, proto byla nejvyšší u měření kapacit, kde přístroje neumožňovaly optimálně malý rozsah. Dalšími zdroji chyb mohly být vnitřní odpory měřících přístrojů, které jsem však eliminoval vhodným zapojením ampérmetru před nebo za voltmetr podle parametrů měřené součástky. Na měření rovněž měly vliv odpory měřících přístrojů. Indukčnost cívky jsem měřil pro cívku bez jádra, s otevřeným a s uzavřeným jádrem. V prvních dvou případech se ukázalo, že indukčnost nezávisí neprocházejícím proudu, v případě cívky s uzavřeným jádrem však ano (graf 1-3). To je způsobeno závislostí permeability jádra cívky na intenzitě magnetického pole. Toto i znemožnilo určení činitele jakosti cívky. Naměřené kapacity kondensátorů jsou zatíženy poměrně vysokou chybou, která je zapříčiněna zejména měřením ve spodním rozsahu přístrojů. Naměřené hodnoty (tab. 11) se s hodnotami zapsanými na kondensátorové dekádě shodují u tří nejmenších kapacit, u zbývajících se značně liší. Je však pravdou, že nevím, nakolik jsou hodnoty napsané na dekádě přesné a zda neplatí pro jiné kondensátory, než ty, jež jsou v dekádě.
Závěr Změřil jsem indukčnost cívky bez jádra, s otevřeným a uzavřeným jádrem a výsledky zaznamenal do tabulky 2-4 a do grafu 1-3 jsem zaznamenal závislost indukčnosti na proudu. V prvních dvou případech jsem určil kvalitu cívky: Qbez = (1,50 ± 0,11) a Qot = (10,5 ± 0,8). Změřil jsem kapacitu kondensátorů s dekády a tyto hodnoty zaznamenal do tabulky 11.
Literatura [1] R. Bakule, J. Šternberk: Fyzikální praktikum II., SPN, Praha
