Elektřina a magnetismus Q = e = 1,602 ⋅ 10 −19 C
Elementární náboj
r 1 Q1Q2 r F12 = r12 , 4πε r123
Coulombův zákon pro elektrostatickou sílu
ε = ε 0ε r , ε 0 = 8,854 ⋅ 10 −12 F/m r r FE , E= Q
Intenzita elektrostatického pole
r n r 1 n Qi r E = ∑ Ei = ∑ ri 4πε i=1 ri3 i =1
r 1 ρ dV r E= r ∫∫∫ 4πε V r 3 ρ=
dQ dV
Objemová hustota náboje
σ=
dQ dS
Plošná hustota náboje
τ=
dQ dl
Délková hustota náboje
n
r r N = ∫∫ E dS = S
r ρ div E = εo
∑Q i =1
Gausova věta elektrostatiky
i
εo
Gausova věta elektrostatiky v diferenciálním tvaru
r rB
Práce při přesunu náboje Q
r rA
v elektrostatickém poli
r r A = Q ∫ E dr
Q 4πεo
WP =
ϕ=
∫∫∫ V
nesoucí náboj Q v poli vytvořeném
ρ dV r
náboji Qi
Potenciál elektrostatického pole
WP , Q
ϕ = ∑ ϕi = i
ϕ=
Výsledná potenciální energie částice
Q n Qi ∑ , 4πεo i =1 ri
WP =
1 4πε o
1 Qi , ∑ 4πεo i ri
∫∫∫ V
ρ dV , r
r E = −grad ϕ ,
R r r ϕ = − ∫ E dr , ∞
r r rot E = 0 Elektrické napětí
2
r r U12 = ϕ1 − ϕ2 = ∫ E dr 1
div(− grad ϕ) = − ∆ϕ =
ρ εo
ρ = 0 ⇒ ∆ϕ = 0 ∆ϕ =
Poissonova rovnice pro elektrostatické pole
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
r r p = Ql ϕ=
pole Dipólový moment
r r Ql cos α 1 p⋅r , = 4πε0 r 2 4πε0 r 3
r E = −grad ϕ =
Laplaceova rovnice pro elektrostatické
r r r r 1 ⎛ 3( p ⋅ r )r p ⎞ − 3⎟ ⎜ 4πε0 ⎝ r 5 r ⎠
Elektrostatické pole dipólu
r r r r r M = l × QE = p × E ,
Moment
r r r Fp = ( p ⋅ ∇ ) E
elektrický dipól v elektrostatickém poli
síly
a
síla
C=
Q ϕ
Kapacita vodiče
C=
Q >0 U
Kapacita kondenzátoru
C=ε
působící
na
Kapacita deskového kondenzátoru
S d
Kapacita
n 1 1 =∑ C i=1 Ci
sériového
zapojení
paralelního
zapojení
kondenzátorů Kapacita
n
C = ∑ Ci i =1
kondenzátorů
r d pr P= dV
Vektor polarizace
r ρv = − div P
Vázaný náboj v dielektriku
r r r D = εo E + P
Vektor elektrické indukce
r r r div (ε o E + P ) = div D = ρ
3.Maxwellova rovnice (Gaussova věta elektrostatiky v diferenciálním tvaru)
r r
∫ DdS = ∑ Q = ∫∫∫ρdV i
S
V
r r r r D = ε o (1 + κ )E = ε o ε r E = ε E
Gaussova
věta
elektrostatiky
v integrálním tvaru Závislost elektrické indukce a intenzity v lineárním izotropním prostředí
1 n 1 n n QiQk , Qi ϕi = ∑ ∑∑ 2 i =1 8πε i =1 k =1 rik
W=
Energie elektrostatického pole
i≠k
1 1 ρϕ dV + ∫∫ σϕ dS ∫∫∫ 2 V 2 S
W=
1 Q 2 Q 2d W = CU 2 = = 2 2C 2εS
I=
Energie
nabitého
deskového
kondenzátoru Elektrický proud
dQ dt
r r dI = j dS
r r j = ρvd ,
Vektor proudové hustoty
r dρ + div j = 0 dt
dρ =0 ⇒ dt n
n
i =1
i =1
Rovnice kontinuity el.proudu (zákon zachování náboje) r r n ∫∫ j dS = ∑ I k = 0 S
∑ Ri I i = ∑ εi
1.Kirchhoffův zákon (pro uzly)
k =1
2.Kirchhoffův zákon (pro uzavřené obvody)
r r j = γE
Ohmův zákon v diferenciálním tvaru
I = konst. ⇒ U = R ⋅ I
Ohmův zákon pro homogenní vodič
l
dr , γS 0
R=∫
γ = konst. S = konst.
R=
l l =ρ γ.S S
Elektrický odpor
Sériové zapojení odporů
n
R = ∑ Ri i =1
n 1 1 =∑ R i =1 Ri
Paralelní zapojení odporů
R ≈R0 (1 + α∆t )
Teplotní závislost elektrického odporu
m = AQ = AIt
1.Faradayův zákon elektrolýzy
Mm , νF
2.Faradayův zákon elektrolýzy
A=
F = 9,6485 ⋅ 10 4 C/mol U2 P = I .U = I .R = R
Výkon elektrického proudu
WQ = U I t = R I 2t
Teplo vyvinuté při průchodu
2
elektrického proudu I vodičem s odporem R za dobu t (Jouleovo teplo)
r r r r ∂D ∂E ∂P jp = = εo + ∂t ∂t ∂t Q = Q0e − t / RC ,
I=
Proudová hustota posuvného proudu
Vybíjení kondenzátoru přes odpor
dQ ⎛Q ⎞ = −⎜ 0 ⎟ e −t / RC dt ⎝ RC ⎠
r r r F = Q(v × B )
Lorenzova síla působící na pohybující se náboj v magnetickém poli
r r r F = ∫ I (dl × B ) L
Síla, kterou působí magnetické pole na proudovodič
r r r r r r µ o I (dl × r ) µ o I (dl × ro ) = ∫ B(r ) = , 4π ∫L 4π L r3 r2 µo =
1 = 4π ⋅ 10 − 7 H m −1 , 2 ε 0c
Biot-Savartův indukce
zákon
pro
magnetického
pole
výpočet vodiče
protékaného proudem
r r B = ∑ Bi , r r r r µo ( j × rr ) µo ( j × rro ) B(r ) = = ∫ 4π V∫ r 3 4π V r 2 B=
µ0 I 2πd
B =& µ 0
dΦ ⋅ ∫
IN L
dl = dΦ ⋅ Rm = NI µdS
r r Φ = ∫∫ B dS
Indukce magnetického pole dlouhého přímého liniového vodiče Indukce magnetického pole na ose uvnitř dlouhé cívky Hopkinsonův zákon pro magnetický obvod Magnetický indukční tok
S
r div B = 0
4.Maxwellova rovnice v diferenciálním tvaru (Gaussova věta magnetismu)
r r B ∫∫ dS = 0 S
4.Maxwellova
rovnice
v integrálním
tvaru (Gaussova věta magnetismu) r r
∫ B dl
= µo ∑ I k
Zákon celkového proudu
C
r r rot B = µ o jcelk
Rotace magnetického pole
r r m = I .S
Magnetický dipólový moment smyčky
r r r r r M mech = IS × B = m × B
Mechanický smyčku
moment
působící
protékanou
na
proudem
v magnetickém poli r r dm M = dV
Vektor magnetizace
r 1 r r H= B−M µo
Vektor intenzity magnetického pole
r r r ⎛ r ∂D ⎞ r ∫ H dl = ∫∫S ⎜⎜⎝ j + ∂t ⎟⎟⎠ dS C
r r ∫ H dl = I , C
1.Maxwellova rovnice (zákon celkového proudu) v integrálním tvaru
r r r ∂D rot H = j + ∂t
1.Maxwellova rovnice (zákon celkového
r r r r r r B = µ o (H + M ) = µ o (1 + χ m ) H = µ oµ r H = µH
Vztah magnetické indukce a intenzity
µ = µ o (1 + χ m ) = µ oµ r
Relativní permeabilita
r r r r r U in = ∫ E dl = ∫ (v × B )dl
Indukované
C
proudu) v diferenciálním tvaru
C
napětí
při
pohybu
uzavřeného vodiče v magnetickém poli
r r dΦ = − ∫ E dl = U in dt C r r ∂B rot E = − ∂t
(Faradayův indukční zákon)
2. Maxwellova rovnice v diferenciálním tvaru
(zákon
elektromagnetické
indukce)
r r
r r
d
∫ E dl = − dt ∫∫ B dS
C
S
2. Maxwellova rovnice v integrálním tvaru indukce)
(zákon
elektromagnetické
Φ = I ⋅L
Vlastní indukčnost vodiče
r r dl × r r µ dS L= 4π ∫∫∫ r3 S C
L = konst. ⇒ U in = −
dΦ dI = −L dt dt
Φ 21 = L21I1 , L12 = − L21 , U 2 = −
Wm =
dΦ 21 dI = − L21 1 dt dt
1 n n 1 n L I I = IkΦk ∑∑ ik i k 2 ∑ 2 k =1 i =1 k =1
ε = ε m sin ωt ,
Napětí indukované časově proměnným proudem Vzájemná indukčnost
Celková
energie
n
magnetických
obvodů Harmonický střídavý proud
i = I m sin (ωt − ϕ) d2 I dI I dε(t ) L 2 +R + = dt dt C dt
Diferenciální rovnice pro sériový RLC
X C = 1 / ωC
Kapacitní odpor
X L = ωL
Induktivní odpor
X = X L − XC
Reaktance 2
1 ⎞ ⎛ 2 2 Z = R + ⎜ ωL − ⎟ = R +X , ωC ⎠ ⎝
obvod
Impedance
a
fázový
posun
mezi
2
napětím a proudem
tg ϕ = X / R
ω=
1 LC
Rezonanční frekvence RLC obvodu
Střední hodnota výkonu střídavého
T
P=
1 P(t ) dt = 12 ε m I m cos ϕ ∫ T0
elektrického proudu
εm I , Ie = m 2 2
εe =
Efektivní hodnoty napětí a proudu
P = I e ε e cos ϕ
Činný výkon
Pj = I e ε e sin ϕ
Jalový výkon
PZ = I e ε e
Zdánlivý výkon
U 2 N 2 I1 = = U 1 N1 I 2
Transformační poměr (transformátor)
r r r r F = Q(E + v × B )
Lorenzova síla působící na pohybující se náboj Q v elektromagnetickém poli
r r r N = E×H w=
Poyintingův vektor
(
1 rr rr HB + ED 2
)
Hustota energie elektromagnetického pole
∂
r r
∫ j E dV = ∂t ∫ w dV + ∫ j E dV + ∫ N dS
Zákon zachování energie v elmag. poli
r r r 1 ∂2E 1 ∂2H 2 r ∇ E= 2 2 , ∇ H= 2 v ∂t v ∂t 2
Vlnová rovnice pro šíření elmag. vln v
r r*
V
rr
V
2
V
S
homogenním izotropním prostředí bez nábojů a proudů
v=
1 1 = εµ ε o ε r µ oµ r
Rychlost šíření elmag.vln v prostředí
Rychlost šíření elmag.vln ve vakuu
1 = 2,99792456 ⋅ 108 m/s ≈ 3 ⋅ 108 m/s ε oµ o
c=
r r r r E (r , t ) = E0 (r )e−iωt
Harmonická elektromagnetická vlna
r r r r ∇ 2 E o ( r ) + k 2 Eo ( r ) = 0
Helmholzova rovnice pro amplitudu
[
rr r r r r rr E (r , t ) = E0 exp[ ik (nr − vt ) ] = E0 exp i(k r − ωt )
]
Rovinná harmonická elmag. vlna
r r ε r r µ r r (n × E ) E = − (n × H ) , H = µ ε
I=
1 ε r Eo 2 µ
V (r , t ) = C1
I =C
Intenzita rovinné harmonické elmag.
2
vlny
exp(ikr − iωt ) exp(−ikr − iωt ) + C2 r r
Sférická harmonická elmag. vlna
Intenzita
A2 r2
divergentní
sférické
harmonické elmag. vlny
r r D = εˆ E , r r B = µˆ H ,
Rovnice
pro
šíření
v anizotropním prostředí
⎛ ε11 ε12 ⎜ εˆ = ⎜ ε 21 ε 22 ⎜ε ⎝ 31 ε32
ε13 ⎞ ⎛ µ11 µ12 µ13 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ε 23 ⎟ , µˆ = ⎜ µ 21 µ 22 µ 23 ⎟ , ⎜µ ⎟ ε33 ⎟⎠ ⎝ 31 µ32 µ33 ⎠
r r r r N E×H s= = w 1 Hr Br + ErDr 2
(
r r r r s × B + εˆ −1D = 0 , r r r r s × D − µˆ −1 B = 0
)
elmag.vln