ELEKTŘINA A MAGNETISMUS – ZAJÍMAVÉ PROBLÉMY Petr Kulhánek
KONDENZÁTOR - ENERGIE, SÍLA NA DESKY Energie kondenzátoru C=
Q
kapacita kondenzátoru
U
Při dodání náboje se energie zvýší o: QdQ dW = U d Q = ⇒ C
W=
1 Q2 2 C
=
1 2
CU 2
Síla působící na desky Posuňme desku o zobecněnou souřadnici ∆q , změna energie bude ∆ W = F ∆ q a odpovídající síla F=
∂ W Q2 ∂ 1 = ∂q 2 ∂ q C .
Deskový kondenzátor: C=
εS d
Otočný kondenzátor: Totéž, jen nahradíme q →ϕ F → MF .
+ ⇒
Q ∂ d Q2 = F= 2 ∂ d ε S 2ε S
−
2
F
F
KOAXIÁLNÍ VEDENÍ δl
y
R1 x
R2 z Kapacita: Jako válcový kondenzátor δ C =
C≡
δC 2πε 0 = δl ln R2 R1
2π ε 0δ l ln R2 R1
. Odsud plyne délková hustota kapacity
.
Indukčnost: Energie vázaná na indukčnost je energie magnetického pole:
1 2
δ L I2 = ∫
L≡
B (r ) 2 2µ 0
dV =
R2
∫
( µ 0 I 2π r ) 2 2µ 0
R1
δL µ R = 0 ln 2 2π δl R1
2π r δ l dr
⇒
δL=
µ0 R δ l ln 2 . Proto R1 2π
.
Úbytek napětí podél vedení: je způsoben úbytkem napětí na indukčnosti vedení δ U = − δ L
∂U ∂I = −L ∂x ∂t
dI dt
⇒
(1).
δI=
Úbytek proudu podél vedení: je způsoben nábojem vázaným na kapacitu vedení.
∂I ∂U = −C ∂x ∂t
∆Q ∆t
=−
δ C ∆U ∆t
(2) .
Rovnice (1) a (2) jsou základní přenosové rovnice. Rychlost šíření: Kombinací (1) a (2) máme:
∂2 ∂ 2 U 2 − L C 2 = 0 ∂t I ∂x
⇒
v=
⇒
Z=
1
LC
=
1
ε0µ0
= c !!
Impedance vedení: (1), (2) ⇒
i kU = − L i ω I ⇒U= i kI = − C i ω U
L I C
L ln R2 R1 R = = 120 Ω ln 2 . C 2πε 0 c R1
;
URČOVÁNÍ POLÍ Pole hrotu Q
Jde o vodič, vše je spojené ⇒ vše je na stejném potenciálu: Q1 Q2 φ1 ≈ φ2 ≈ ; , 4π ε 0 R1 4π ε 0 R 2
Q2 1
R2
φ1 = φ 2
R1
⇒
Q1 R1
=
Q2 R2
.
(1)
Elektrické pole je úměrné plošné hustotě náboje:
E ~σ
⇒
E1 E2
=
Q1 R12 Q2 R22
(1)
=
R2 R1
⇒
E~
1
.
R
E 0
Síť z drátů y
x z +
+
+
Celé pole bude součtem jednotlivých Fourierových komponent: 2π nx φ n ( x , y ) = Fn ( y ) cos . a Dosazením do Laplaceovy rovnice získáme diferenciální rovnici pro Fourierovy koeficienty Fn. Její řešení je: A 0 y, Fn ( y ) = A n exp [ − 2π n y a ],
+
a
n=0 n = 1,2 ,3…
Všechny harmonické řešení pro n > 1 jsou již ve vzdálenosti několika a silně utlumeny. Nejpomaleji klesá základní mod s n = 1. Pro y > a se pole chová s dosti dobrou přesností jako homogenní s n = 0. Jediná složka je φ 0 = A 0 y = − E 0 y . Síť z drátů stíní stejně dobře jako kovová rovina.
2D pole - komplexní proměnná f ( z) :
C
→
C
x+iy → U ( x, y) + iV ( x, y ) Derivace podle z = x + i y nesmí záviset na cestě, proto
! ∂ ∂ (U + iV ) = (U + iV ) ⇒ ∂x ∂ iy
∂U ∂V ∂U ∂V = , =− ∂x ∂y ∂y ∂x
⇒
∆U = 0, ∆V = 0 .
Jde o CR podmínky, ze kterých je snadné dokázat, že reálná i imaginární část libovolné funkce komplexní proměnné splňují Laplaceovu rovnici. •
U ( x , y ) = const. mohou tedy představovat ekvipotenciály reálného systému. Z CR plyne, že V ( x , y ) = const. jsou křivky kolmé k U ( x , y ) = const. , tj. silokřivky elektrického pole! ⇒ V = const. silokřivky U = const. ekvipotenciály V = const. ekvipotenciály ⇒ U = const. silokřivky • Je-li na kterékoli ekvipotenciále kovový nabitý vodič, odpovídají ostatní ekvipotenciály a silokřivky skutečným ekvipotenciálám a silokřivkám kolem vodiče.
Heavisideovo pole (letící náboj); c=1 E′ =
S´:
r′
Q
φ′ =
2
4π ε 0 r ′ r ′ ,
γ γβ φ Ax = γβ γ 0 0 Ay 0 0 Az
φ=
0 0 1 0
0 0 0 1
;
4π ε 0 γ 2 ( x − vt ) 2 + y 2 + z 2
E ≡ −∇φ −
Q
x =0 y=0
y
S
′ ⇒
=
x = vt
1
γ
2
=γ
x
γ βQ A= ; 0 ; 0 ; 2 2 2 2 4π ε 0 γ ( x − vt ) + y + z
Q
(
4π ε 0 y 2 + z 2
Q 4π ε 0 ( x − vt )
2
x´
v
z´
z
∂A γQ = ( x − vt ; y ; z ) ; ∂t 4π ε 0 γ 2 ( x − vt ) 2 + y 2 + z 2
E y2 + E z2
E|| = E x
4π ε 0 r ′
φ Ax Ay Az
γQ
E⊥ =
y´
S´
A′ = 0
B′ = 0
S:
Q
;
)
B ≡ rot A = v × E
×
P⊥
B
E v
×
.
v
P||
Koloidní částice v elektrolytu - Debyeův poloměr Původní koncentrace iontů byla n0. Přítomnost koloidní částice ovlivní hustotu náboje iontů a tím výsledný potenciál pole v okolí koloidní částice: d 2φ dx
2
=− =− ≅−
d 2φ d x2
=−
• A = ?: •
λD
ρ + ρ− ρ =− + = ε0 ε0 Qi n0
ε0
(e
− |Qi |φ ( x )/ kT
kT
φ
+
)
⇒
⇒
−
−
+
++
−
−
+
φ ( x ) = A exp[ − x λ D ] ;
+
+
λD ≡
+
+
koloidní částice
−
− e |Qi |φ ( x )/ kT ≅
Qi n0 | Qi |φ | Qi |φ − 1 + 1 − kT kT ε 0 2n0 Qi2
+
−
ionty elektrolytu (např. K+, Cl-) −
x
− +
+
ε0 kT 2n0 Qi2
Při povrchu koloidní částice (x → 0) platí E = − ∇ φ = σ ε 0 ⇒ A = σ λ D ε 0 Debyeův poloměr. Ionty odstiňují koloidní částici od okolí i od ostatních částic. Přidání soli do
roztoku ⇒ zmenšení λ D ⇒ koloidní částice lépe stíněny ⇒ mohou se srazit ⇒ vysrážení koloidu.
ELEKTRICKÝ DIPÓL Potenciál dvojice nábojů z
Pole budeme určovat daleko od zdrojů, tj. r >> d , ra Q Q φ = − ≈ 2 2 2 4πε 0 ( z − d 2) + x + y 4πε 0 ( z + d 2) 2 + x 2 + y 2
[
≈
Q 4πε 0
[(r
]
[
]
]
+Q
− zd ) − 1 2 − (r 2 + zd ) − 1 2 ≈
2
d
=
φ =
Q 4πε 0 r
3
p⋅r
1
Q d⋅ r
zd =
x
⇒
4πε 0 r 3 p ≡ Qd
;
4πε 0 r 3
.
Dipólový moment označujeme p.
Potenciál lokalizované soustavy nábojů φ =
∑ a
≈
Qa 4πε 0 (r − ra ) 2 Q
∑ 4πεa a
≈
0
a
P (x,y,z)
r-ra −1 2
]
ra
− (r 2 + zd ) − 1 2 ≈
y
1 2 r ⋅ ra + " ≈ 1 + 2 2 r 0r
Qa
∑ 4πε a
1 ∑ Qa + ≈ 4πε 0 r a 4πε 0 r 3 1
φ =
z
≈
[(r − 2 r ⋅ r ) 2
y
−Q
1 zd 1 zd ≈ − 1 − = 1 + 4πε 0 r 2 r2 2 r2 Q
Q 4πε 0 r
+
⇒
Q ≡
p⋅r 4πε 0 r
x
∑ Qa ra ⋅ r a
3
+ "
∑ Qa a
; kde
p ≡
∑ Qa ra
.
a
Zápis pomocí gradientu φ =
p⋅r
4πε 0 r 3
= −
1 4πε 0
(p ⋅ ∇ )
1 r
Elektrické pole dipólu z
P ( x,y,z )
p
E⊥ r
E| |
E y
φ = E =
pz
⇒
4πε 0 r 3
3z x 3z y 3z 2 1 5 , 5 , 5 − 3 4πε 0 r r r r p
resp.
E = ( E ⊥ , E|| ) = =
x
p 4πε 0 r 3
(3 cosθ sinθ
)
, 3 cos2 θ − 1
Moment síly působící na dipól ve vnějším poli M F = r+ × Q E − r− × Q E = p × E
+Q
⇒
E −Q
MF = p × E .
Energie dipólu ve vnějším poli W = Q φ (r+ ) − Q φ (r− ) ≈ Q d ⋅ ∇φ = − Q d ⋅ E = − p ⋅ E
⇒
W = − p⋅E .
Vektor polarizace P ≡
lim
∆ V →0
1 ∆V
∑ pa a
hustota dipólového momentu
DIELEKTRIKA - VEKTOR POLARIZACE Definice n P
Vektor polarizace definujeme jako hustotu elektrického dipólového momentu: P
P S
P
P =
E
E
E
1
∑ qα vα
∆V α
= qnd ,
d je vektor posunutí.
Plošný náboj na povrchu dielektrika Je-li dielektrikum polarizováno, objeví se na povrchu plošný náboj, jehož velikost je zřejmá z definice P:
σ pol = P ⋅ n .
Hustota polarizačního náboje Je-li vektor P nehomogenní, může posunutím uniknout lokálně z malé uzavřené plochy polarizační náboj. V oblasti vzniká lokální prostorový vázaný náboj: − ∆Q = ∫ P ⋅ d S ⇒ − ∫ ρ pol dV = ∫ P ⋅ d S ⇒ V
S
S
ρ pol = − div P .
Polarizační proudová hustota Mění-li se vektor polarizace s časem, dochází ke vzniku polarizačního proudu: j pol =
∂P ∂t
.
Lineární prostředí Při působení slabých polí je vektor polarizace úměrný elektrickému poli: P = α E = ε 0 κ E = ε 0 n α 0 E .α - polarizovatelnost, κ - susceptibilita, a - polarizovatelnost atomu. 0
Kondenzátor Pole mezi deskami určíme z Gaussovy věty integrací přes naznačenou plochu: σ free − σ pol σ free − P σ free − ε 0 κ E σ ⇒ E = = = = E =
ε0 σ free
1
ε0
1+κ
U = Ed = C ≡
Q U
=
ε0
σ
=
free d
ε εS d
σ
ε0
free
ε =
Qd Sε
d + + + + + + +
ε0
⇒
S
E −
⇒
Pole v dutině • Dutina podél pole: rot E = 0
⇒
E dutiny = E
• Dutina napříč pole: div E = ρ pol ε 0
⇒
E dutiny = E +
P
ε0
• Kulová dutina: podobným výpočtem
E dutiny = E +
P
E
3ε 0
V dutině podél pole je pole stejné jako průměrné pole v dielektriku. V dutině napříč pole je pole větší než průměrné pole v dielektriku. Tečná složka pole E je na hranici spojitá, normálová složka má skok.
DIELEKTRIKA - TENZOR POLARIZOVATELNOSTI (SUSCEPTIBILITY) Definice Elektrické pole přiložené k materiálu způsobí posunutí nábojů a vznik elementárních dipólů. Předpokládáme, že vektor polarizace P (hustota dipólového momentu) je lineárně závislý na přiloženém elektrickém poli E: Pi = α ik E k = ε 0 κ ik E k . Veličina α se nazývá polarizovatelnost. Někdy se používá elektrická susceptibilita κ ≡ α/ε0. Jde o symetrický tenzor druhého řádu. Vlastní směry symetrických tenzorů jsou navzájem kolmé a tvoří souřadnicový systém, ve kterém je tenzor diagonální (s vlastními čísly na diagonále). Poznámka: Někdy se také používá atomová (molekulová) polarizovatelnost α0 definovaná vztahem κ=€nα0, pro polarizaci je pak možné psát jeden z následujících výrazů: P = α E = ε 0 κ E = ε 0 n α 0 E
Elipsoid energie Objemová hustota energie se posunutím nábojů ve vnějším elektrickém poli změní o du = ∑ f a d x a = ∑ na qa E d x a = E d P . Je-li vektor polarizace lineárně závislý na elektrickém poli můžeme výraz integrovat: du = E d P
⇒
u =
1 E ⋅P 2
⇒
u =
1 α i k Ei E k 2
.
Jde o kvadratickou pozitivně definitní formu. Graf u = const představuje graf koncových bodů vektoru pole E v osách (Ex,Ey,Ez), které způsobí stejnou polarizační energii materiálu. Grafem je rotační elipsoid s osami ve vlastních směrech tenzoru polarizovatelnosti.
DIELEKTRIKA - STATICKÁ POLARIZACE Nepolární plyn Atomy nemají vlastní dipólový moment. Vlivem vnějšího elektrického pole dochází k posunu elektronů v atomu plynu → vzniká dipólový moment. ## x + ω 20 x =
eE me
P = ne x =
n e2 E me ω 20
⇒
x =
⇒
κ =
eE
⇒
me ω 20 n e2 me ε 0 ω 20
=
ω 2p ω 20
p = ex =
e2 E
,
⇒
me ω 20
ε = ε 0 (1 + κ ) = ε 0 1 +
ω 2p
ω 20 .
Úhlová frekvence ω0 odpovídá tuhosti atomárního oscilátoru . V prvním přiblížení lze tuto frekvenci určit z ionizační energie atomu podle vztahu Wion = $ ω .
Polární plyn Molekuly plynu mají vlastní dipólový moment p0. Ten se ve vnějším poli bude orientovat. Elektronová polarizace bude zanedbatelná. Rozdělení počtu dipólů orientovaných ve směru θ je dáno statisticky. Konstantu rozdělení lze snadno určit integrací rozdělení přes celý prostorový úhel. n p ⋅ E n(θ ) = K exp 0 ; n(θ ) dΩ = n ⇒ K = ∫ 4π kT n p0 E cosθ exp n(θ ) = kT 4π
p
0
E
Vektor polarizace bude P = < P|| > = P =
n p02 E 3k T
∫ n(θ ) p0 cosθ dΩ ⇒
⇒
κ =
Vztah pro permitivitu se nazývá Curieův zákon.
n p02 3ε 0 k T
,
n p2
0 ε = ε 0 (1 + κ ) = ε 0 1 + . 3ε 0 k T
DIELEKTRIKA - DYNAMICKÁ POLARIZACE Normální dielektrika Elektrony v látce reagují na elektrickou komponentu elektromagnetické vlny a pohybují se podle rovnice eE 0 − iω t e me
x## + 2δ x# + ω 20 x =
⇒
x=
(
eE 0
me ω 20 −
2i δ ω − ω
2
)
e − iω t
Vlastní frekvence určuje vratnou harmonickou sílu vázaných elektronů, koeficient útlumu souvisí s tlumením pohybu elektronů zářivými procesy, srážkami, atd. Nyní snadno určíme vektor polarizace daný posunutím x: P = ene x =
ne e 2
(
me ω 20 − 2i δ ω − ω 2
)
E = ε0
ω 2p ω 20
−
2i δ ω − ω 2
E ;
ω 2p ≡
kde
ne e 2 me ε 0
je kvadrát plazmové frekvence. Susceptibilitu určíme ze vztahu P = ε0κE
κ ≡
ω 2p ω 20 −
2i δ ω − ω
κ ≡ ω 2p ∑
resp.
2
k
fk 2
ωk
−
2i δ k ω − ω 2
,
má-li vázaný elektron více vlastních frekvencí ω0, ω1, ω2, ….Čísla fk se nazývají vazbové konstanty a jsou blízké jedné. Nyní snadno určíme dynamickou permitivitu ε = ε 0 (1 + κ ) a z ní kvadrát indexu lomu N :
N2 =
c2 v 2f
=
ε = 1+ κ ε0
N 2 = 1 + ω 2p ∑ k
⇒ fk
2
ωk
−
2i δ k ω − ω 2
Vzhledem k tomu, že N = c / v f = ck / ω , není výraz pro index lomu nic jiného než disperzní relace elektromagnetické vlny v daném prostředí.
Opticky řídké látky (plyny, sklo) V opticky řídkých látkách se index lomu příliš neliší prvního řádu odmocnit. • fk 1 N = 1 + ω 2p ∑ 2 2 2 k ω k − 2i δ k ω − ω
NRe
od jedné a výraz pro index lomu lze s přesností do Pro běžné plyny je první vlastní frekvence z oblasti UV záření. Proto velikost indexu lomu i reálná část rostou v optické oblasti směrem k modrému konci spektra. Modrá barva se láme více než červená. Proto je obloha ve dne modrá.
• Imaginární část indexu lomu je velmi malá s výjimkou oblasti rezonance. Tam je index lomu komplexní a dochází k absorpci vlny.
1
• Pro RTG záření je ω >> ω0 a N ≈ 1 − ω 2p / 2ω 2 .
ω0
ω1
ω
Fázová rychlost šíření RTG elektromagnetické vlny je větší než c.
Opticky husté látky V opticky hustých látkách působí na elementární dipóly nejen pole původní elektromagnetické vlny, ale i pole vyzářené ostatními náboji. Konkrétní náboj si můžeme představit jako vložený do kulové dutiny v dielektriku. V této dutině působí pole E 0 = E + P / 3ε 0 . Indukovaný dipólový moment potom bude P = ε 0 κ E 0 = ε 0 κ ( E + P / 3ε 0 ) Odpovídající kvadrát indexu lomu je
⇒
P = ε0
κ E 1−κ 3
⇒
ε = ε 0 1 +
κ 1 − κ 3
N2 = 1 +
κ 1−κ 3
resp.
3
N2 − 1 N2 + 2
= κ
resp.
N2 − 1
3
=
N2 + 2
∑κ α α
.
Toto je Clausiova-Mosottiho rovnice. Poslední tvar platí pro směs více látek. Sama susceptibilita látky je součinem koncentrace a atomové (molekulární) polarizovatelnosti. Koncentrace látky je "schována" v plazmové frekvenci.
Kovy U kovů jsou dominantní volné vodivostní elektrony, všechny vlastní frekvence jsou proto nulové:
ω 2p
N2 = 1 −
σe =
;
ne e 2 me ν e
⇒
ν e = 2δ =
me σ e
ne e 2 2i δω + ω Ze vztahu pro elektronovou vodivost určíme srážkovou frekvenci elektronů v kovu, která je rovna koeficientu útlumu 2δ v pohybové rovnici. Útlum dosadíme do vztahu pro index lomu: 2
N2 = 1 −
σe ε0
1 iω +
ω2 σe ω 2p ε 0
Nízké frekvence (ω<<σe/ε0): Pro měď jde o frekvence podstatně nižší než 6×1018 s-1 a vlnové délky elektromagnetického záření větší než 0.3 mm. Ze vztahu pro index lomu v nízkofrekvenční limitě zbude
N2 ≈ 1 +
iσ e
ε0 ω
≈
iσ e
ε0 ω
⇒
σe 2ε0 ω
N = (1 + i)
Reálná a imaginární část indexu lomu jsou stejně veliké, dochází k silné absorpci, elmg. vlna neprochází. exp (i kx ) = exp (i ω N x c) = exp ( − x d ) exp (i ω NRe x c) ;
d ≡
2
σ e µ0 ω
.
Veličinu d nazýváme skinová hloubka. Vysoké frekvence (ω>>σe/ε0): Ze vztahu pro index lomu ve vysokofrekvenční limitě zbude
N2 = 1 −
ω 2p ω2
Pro ω < ω p je index lomu po odmocnění komplexní a dochází k útlumu vlny, vlnění neprochází. Pro ω > ω p je index lomu reálný a kov je pro elektromagnetické záření průhledný. Některé kovy jsou průhledné již pro UV obor, jiné až pro RTG obor záření.
MAGNETICKÝ DIPÓL Definice z
Jakákoli malá smyčka protékaná proudem. Magnetický dipólový moment je definován vztahem
µ ≡ I S . Dipólový moment soustavy částic můžeme také definovat pomocí poloh a rychlostí jednotlivých nabitých částic:
I
y
µ≡
x
1 2
∑ Qa ra × v a
. Pro náboj rotující po kružnici je to zřejmé:
a
µ = IS =
Q T
πr 2 =
Q 2π r v
πr 2 =
1 2
Qrv .
Je vidět, že dipólový moment částice souvisí s orbitálním momentem hybnosti vztahem µ = (Q 2 m) L . Pro spinový moment elektronu je výsledek dvojnásobný. Důležitý je vztah magnetického momentu a celkového momentu hybnosti systému J.
µ=g
|e | m
g = −2 g = +5.68 g = −3.86
J
elektron proton neutron
Do Landého faktoru g zahrneme i znaménko náboje částice. Magnetický moment elektronu je orientován opačně než jeho moment hybnosti, protonu souhlasně. To souvisí s náboji těchto částic. Neutron je navenek neutrální částice složená ze tří kvarků. Ty jsou nabité, celkový magnetický moment neutronu je proto nenulový. Pro celý atom je Landého faktor určen orbitálními a spinovými momenty elektronů a proto je g ∈ <-1,-2>. Magnetický moment atomových jader je naopak převážně určen orbitálními a spinovými momenty protonů. Za hmotnost je třeba v posledním vztahu dosadit hmotnost protonu.
Potenciál dipólu z Pro odvození stačí obdélníková smyčka µ0 j x ( r ′ ) 3 Ax = d r′ 4π ∫ r − r ′
I
Situace je stejná jako v elektrostatice se y záměnou: µ 1 Ax ↔ φ ; ↔ 0 ; jx ↔ ρ x 4πε 0 4π Tomu ale odpovídá elektrický dipól tvaru na obrázku vpravo nahoře.
φ=
Q∆x y ρ ∆V ∆ x y − = − − 4πε 0 r 3 4πε 0 r 3
µ y Ax = − 0 I ∆ y ∆ x 3 . 4π r µ y x A = 0 µ − 3 , 3 , 0 . 4π r r A =
∆V
∆y
y + + + + + + + +
∆x
− − − − − − − −
x
⇒
Analogicky určíme Ay . Máme tedy: Vektorově můžeme psát
µ0 µ × r . 4π r 3
Magnetické pole dipólu magnetické pole dipólu určíme ze vztahu B = rot A. Pole má stejnou strukturu jako pole elektrického dipólu.
z
P ( x,y,z ) B⊥
µ 0 3z x 3z y 3 z 2 1 µ 5 , 5 , 5 − 3 4π r r r r
B =
r
resp.
B y
B = ( B⊥ , B|| ) = =
B| |
µ0 µ 3 cosθ sin θ , 3 cos2 θ − 1 4π
(
) x
Moment síly působící na dipól ve vnějším poli z M x = F ∆ y sin θ = I ∆ x ∆ y B sin θ = µ B sin θ
B
MF = µ ×B
F I
⇒
F
y
x
Energie dipólu ve vnějším poli W = − µ ⋅B . dW = − M F dθ = − µ B sin θ dθ ⇒ Tento vztah můžeme pomocí celkového spinu přepsat do kvantové podoby: e e$ W = − g µ B jz B . W = − µ ⋅B = − g J ⋅B = − g jz B ⇒ 2m 2m Veličina µB se nazývá Bohrův magneton. Energie je kvantována pomocí celkového magnetického spinového čísla jz = −j … j. Původní energie se v magnetickém poli bude štěpit na 2j+1 ekvidistantních podhladin.
Vektor magnetizace M ≡
lim
∆ V →0
1
∑µa
∆V a
hustota magnetického dipólového momentu
MAGNETIKA - VEKTOR MAGNETIZACE Definice Vektor magnetizace definujeme jako hustotu magnetického dipólového momentu:
M ≡
lim
∆ V →0
1
∑µa
∆V a
Plošná hustota proudu na povrchu magnetika i = M × n . Vektor normály k povrchu je označen n, i má jednotku A/m.
Magnetizační proud Je-li magnetizace nehomogenní, nevyruší se proudy od elementárních dipólů a lokálně tečou magnetizační proudy
j mag = rot M .
Pole v dutině • Dutina podél pole: rot H = jvod ⇒ Hdutiny = H Bdutiny = B − µ 0 M • Dutina napříč pole: div B = 0
⇒
Bdutiny = B
B
• Kulová dutina: podobným výpočtem
Bdutiny = B −
2 3
µ0 M
V dutině napříč pole je pole stejné jako průměrné pole v dielektriku. V dutině podél pole je pole menší než průměrné pole v dielektriku.
MAGNETIKA - VLASTNOSTI Diamagnetika Diamagnetismus pozorujeme u atomů, jejichž elektrony v obalech jsou všechny spárovány a nevykazují žádný celkový magnetický moment. Jde o obdobu nepolárních látek v elektrostatice. Diamagnetismus nezávisí na teplotě látky nebo je závislost na teplotě nepatrná. Diamagnetismus se objevuje u všech látek, tedy i u paramagnetik a feromagnetik. Zde je ale vzhledem k ostatní magnetické aktivitě zanedbatelný. Klasický popis: Elektron opisuje v atomárním obalu kruhovou dráhu. Při změně vnějšího magnetického pole dojde ke změně indukčního toku plochou dráhy ⇒ podél dráhy je generováno elektrické pole ⇒ elektrická síla Qe změní moment hybnosti elektronu ⇒ změní se magnetický moment. Výsledný magnetický moment působí proti změně, která ho vyvolala (Lenzovo pravidlo). Na látku bude působit síla vytlačující ji z oblasti silnějších polí. Kvantový popis: V elektronovém obalu atomu je podstatnější spinový moment než orbitální. Celkový magnetický moment a jeho změny tedy souvisí více se spinem než s klasickou představou obíhajícího elektronu
Paramagnetika Atom má permanentní magnetický moment. Elektrony v atomovém obalu jsou nespárovány (obdoba polárních látek v elektrostatice). Výsledný spin atomu j = 1/2. Po zapnutí vnějšího pole se část magnetických dipólů orientuje do směru pole a vzniká nenulová magnetizace materiálu. Počet orientovaných spinů roste s klesající teplotou, paramagnetický jev je tedy silně závislý na teplotě. Pseudoklasický popis: Rozdělení počtu dipólů orientovaných ve směru θ je dáno Boltzmannovou statistikou. Konstantu rozdělení lze snadno určit integrací rozdělení přes celý prostorový úhel. n µ ⋅B n(θ ) = K exp 0 ; ∫ n(θ ) dΩ = n ⇒ K = 4π kT n µ B cosθ n(θ ) = exp 0 4π kT
0
0
B
Vektor magnetizace bude M = < M || > =
M =
n g 2 µ 2B 4kT
∫ n(θ ) µ 0 cosθ dΩ
⇒
M =
n µ 20 B 3k T
=
n ( g µ B J $) 2 B 3k T
=
n g 2 µ 2B j ( j + 1) B 3k T
⇒
B .
Kvantový popis:
µ −1 2 B µ +1 2 B + µ −1 2 exp kT kT
µ +1 2 exp M = n< µ > = n
M =
ng µ B 2
µ −1 2 B µ +1 2 B exp + exp kT kT
− g µBB g µBB exp − exp 2 kT 2 kT ng µ B ⇒ = 2 − g µBB g µBB exp + exp 2 kT 2 kT
g µBB th . 2 kT
Při velkých polích a nízkých teplotách dochází k saturaci, všechny spiny jsou již orientovány a další ng µ B zvyšování pole nepřináší zvětšení magnetizace. Saturační hodnota pole je M ≈ M S = . 2 Při malých polích a vysokých teplotách lze nahradit th[x] ≈ x a pro vektor magnetizace platí
M ≈
n g 2 µ 2B 4kT
B , což je právě pseudoklasický výraz.
Feromagnetika Jednotlivé elementární magnetické momenty neinteragují jen s vnějším polem, ale ovlivňují se i navzájem (analogií pro elektrické dipóly jsou opticky husté látky ). Toto ovlivnění má výhradně kvantovou povahu a interakce mezi dipóly je mnohonásobně silnější než odpovídající klasická interakce elektromagnetické povahy. Klasický výpočet proto vede sice k podobným vztahům, ale velikost vzájemné interakce je o mnoho řádů podhodnocena. Při vysokých teplotách (nad Curieovou teplotou Tc) mají spiny tendenci vytvářet chaotické konfigurace a střední magnetizace je nulová. Při nízkých teplotách (T
Antiferomagnetika Vazbová konstanta antiferomagnetik má opačné znaménko než u feromagnetik, spiny mají při nízkých teplotách tendenci se pravidelně střídat, při vysokých teplotách jsou neuspořádané . Při Tc dochází k fázovému přechodu s pikem měrného tepla cV. Zvláštním případem jsou ferity. Jde o kysličníky obsahující dva kovové atomy, jejichž řetězce při nízkých teplotách vytvářejí antiferomagnetickou konfiguraci ↑↓↑↓↑↓. Vzhledem k rozdílnému momentu obou kovů je výsledná magnetizace nenulová a nevodivá látka má magnetické vlastnosti.
MAGNETIKA - MAGNETICKÁ REZONANCE Přiložíme-li k látce proměnné magnetické pole může rezonovat s atomárními (elektronovými) i jadernými (protonovými) magnetickými momenty. V oblasti rezonance je z pole odnímána energie a snadno je možné experimentálně najít oblast rezonance.
B
Klasický výpočet: Magnetická látka je vložena do konstantního vnějšího pole B. Osa magnetických momentů podléhá precesi ∆ J = M F ∆ t ⇒ J sin θ ∆ ϕ = µ B sin θ ∆ t ⇒
ω prec =
µB J
=g
ω prec = ω L ≡
e 2m
g 2
B=
g 2
ωc
ωc ; ωc ≡
J sin ∆ϕ ∆ J = J sin
⇒ e B m
.
,J
Frekvence precese osy dipólu neboli Larmorova frekvence je g/2 násobkem cyklotronní frekvence. Chceme-li změnit sklon osy precese musíme působit slabým přídavným pole B´ kolmým na B Toto pole vytvoří moment síly µ × B´ ve směru B a změní sklon precesní osy. Pole B´ musí být periodické s periodou ω prec , aby „tahalo“ za elektron stále stejným směrem. Kvantový výpočet: V magnetickém poli B je energie magnetického dipólu e e$ W = − µ ⋅B = − g J ⋅B = − g jz B . 2m 2m Tato přídavná energie rozštěpí původní energetickou hladinu elektronu v obalu nebo protonu v jádře na ekvidistantní podhladiny se vzdáleností e$ ∆W = g B . 2m Systém může mezi hladinami přeskakovat a absorbovat nebo emitovat odpovídající kvanta elektromagnetického záření $ ω rez = ∆ W . Příslušná rezonanční frekvence je
ω rez = g
e 2m
B=
g 2
ωc .
Snadno určíme rezonanční frekvenci pro elektrony (rezonance na atomech a molekulách) a pro protony (jaderná magnetická rezonance):
f rez =
ω rez e = gB = KgB ; K = 2π 4π m
MHz T atom {1.44 0.76 kHz T jádro
.
Měřením rezonance lze určovat Landého g faktory pro různé atomy a jádra.
MAGNETOSTATIKA - BIOT-SAVARTŮV ZÁKON div B = 0 , rot B = µ 0 jtot
⇒
∆ A = − µ 0 j tot , div A = 0 , B = rot A .
Rovnice pro vektorový potenciál mají stejný tvar jako ρ ε 0 → µ 0 ji ; φ → Ai ; i = 1, 2 , 3 . Řešení proto je:
A (r ) =
µ0 4π
∫
j(r ′) d 3r ′
rovnice
elektrostatiky,
.
r − r′
Z vektorového potenciálu snadno určíme magnetické pole B = rot A :
B (r ) =
µ0 4π
∫
j(r ′) × (r − r ′) d 3r ′ r − r′
3
. Biot - Savartův zákon.
Specielně pro tenké vodiče je j dV = jS d l = I d l a Biot - Savartův zákon má tvar:
B (r ) =
µ0 I 4π
∫
d l × ( r − r ′) r − r′
3
. Biot - Savartův zákon pro obvody.
zaměníme-li
MAGNETOSTATIKA - VEKTOROVÉ POTENCIÁLY Homogenní pole y A = B 0 (− y 2 ; x 2 ; 0 ) , A ′ = B 0 (0 ; x ; 0 ) ,
1
A=
nebo
2
A ′′ = B 0 ( − y ; 0 ; 0 )
B0 × r
B0
x
z
Velikost A: B = rot A ⇒ A 2π r⊥ = B 0 π r⊥2 ⇒
A=
1 2
B 0 r⊥ =
1 2
A
B0 x2 + y2
Nekonečný přímý vodič x Řešení určíme z analogie v elektrostatice. Nabitý drát ⇒ E ⇒ φ. Z analogie Az: A= B=
A
µ0 I B 0 (0 ; 0 ; − ln r⊥ ) , 2π µ0 I
I
(− y ; x ; 0 ) 2π r⊥2
z
B
y
Nekonečný solenoid x µ0N I ( − y; x;0) 2 A= 2 µ0N I R ( − y r2 ; x r2 ; 0) ⊥ ⊥ 2 µ 0 N I ( 0 ; 0 ; 1) B= ( 0 ; 0 ; 0)
r⊥ < r ,
I
r⊥ > r
z B
r⊥ < r
y
r⊥ > r ,
R I
poloměr solenoidu proud
N
počet závitů na jednotku délky
řešení uvnitř plyne z řešení pro homogenní pole, jeho velikost určíme z Ampérova zákona. Řešení vně plyne například z B = rot A ⇒ ∫ Ad l = ∫ B d S . Pole uvnitř známe, směr A dán směrem proudu. ∂S
S
Magnetický dipól A=
B =
z
µ0 µ × r 4π r 3 µ 0 3z x 3z y 3 z 2 1 µ 5 , 5 , 5 − 3 r r r 4π r
I x
y
MAXWELLOVY ROVNICE V PROSTŘEDÍ, PODMÍNKY NA ROZHRANÍ Rovnice v prostředí div E = ρ tot / ε 0 div B = 0 ∂B rot E = − ∂t
ρ tot = ρ free + ρ pol j tot = j free + j pol + jmag
rot B = µ 0 j tot + µ 0 ε 0
∂E ∂t
ρ pol = − div P j pol =
∂P ∂t
.
j mag = rot M
Polarizační hustota náboje, polarizační proud a magnetizační proud jsou dány vektory polarizace a magnetizace. V Maxwellových rovnicích můžeme ponechat jen volné náboje a proudy: div (ε 0 E + P) = ρ free div B = 0 rot E = −
∂B ∂t
rot (B µ 0 − M ) = j free +
∂ (ε E + P ) ∂t 0
Zkráceně lze také psát div D = ρ free div B = 0 rot E = −
∂B ∂t
; kde
rot H = j free +
D ≡ ε 0E + P H ≡ B µ0 − M .
∂D ∂t
Pole E a B jsou tedy základní pole odpovídající všem zdrojům (všem nábojům a všem proudům). Pole D a H odpovídají jen volným nábojům a vodivostním proudům a jsou definovány pomocnými vztahy přes základní pole a vektory polarizace a magnetizace.
Podmínky na rozhraní Z druhého tvaru zápisu Maxwellových rovnic plyne pro rozhraní bez volných nábojů a proudů spojitost těchto složek: (ε 0 E + P ) ⊥
; B⊥
; ( B µ 0 − M ) || ; E | | .
RELATIVNOST ELEKTRICKÉHO A MAGNETICKÉHO POLE Z transformace proudové hustoty: y´
S´
S:
E =0
ρ =0 j=I S
⇒
µ0 I ⇒ 2π r⊥
B=
Q
µ QI v F = − Qv B = − 0 2π r⊥
S´: Náboj se nepohybuje, magnetické pole nepůsobí. Pohybuje se ale celý vodič. Elektrony se pohybují jinou rychlostí než ionty. (ty v S stojí). Kontrakce délek ve směru x je jiná pro elektrony a jiná pro ionty ⇒ ρ ′+ ≠ ρ ′− ⇒ ρ ′ ≠ 0 ⇒ elektrické pole ′
c ρ γ j = −γ β 0 0 0 0
−γ β
F ′ = QE ′ = − γ
γ 0 0
0 0 0 0 0 j ⋅ ⇒ 1 0 0 0 1 0
ρ ′ = −γ j′ = γ j
v
c
2
y
S
I
Q
j
∫ E ′ dS = ε
⇒
S
x
z
(určíme z Gaussovy věty) ⇒ elektrická síla!
x´
v
z´
⇒
0
ρ ′S µ Iv = −γ 0 E′ = 2π r⊥ ε 0 2π r⊥
⇒
µ 0Q I v . 2π r⊥
Z transformace polí E =0 S:
E′ = γ ( E + v × B )
µ I B= 0 2π r⊥
µ Iv E′ = −γ vB = − γ 0 2π r⊥
S´ :
F′ = − γ
⇒
µ 0 QI v . 2π r⊥
Z transformace potenciálů φ=0 S:
E =0
µ I A = 0 ln r⊥ ; 0 ; 0 2π ′
φ c γ Ax −γ β = S´ : Ay 0 Az 0
⇒
µ I B = rot A = 0 2π r⊥
−γ β 0 0 0 γ 0 0 Ax ⋅ 0 1 0 0 0 0 1 0
µ QI v F = − Qv B = − 0 2π r⊥
⇒
µ0 I ln r⊥ 2π ∂φ′ µ Iv = −γ 0 E′ = − ∂ r⊥ 2π r⊥
φ′ =γ v ⇒
Neustále vychází totéž. Vždy je F´/F = γ. To je ale v pořádku, protože
F′ F
=
⇒
dp⊥′ dt ′ dp⊥ dt
F′ = − γ
=
µ 0 QI v . 2π r⊥
dp⊥′ dt dt ⋅ = =γ . dp⊥ dt ′ dt ′
