Elektřina a magnetismus. Nerecenzovaná verze

Elektrˇina a magnetismus Nerecenzovana´ verze 5. rˇ´ıjna 2004

Kapitola 1 Vektorova´ a tenzorova´ analy´za a algebra 1.1 Za´kladnı´ pojmy Matematicke´ a fyzika´lnı´ velicˇiny klasifikujeme podle jejich chovańı´ prˇi transformaci sourˇadnic

Skala´r - velicˇina, ktera´ neza´visı´ na volbeˇ sourˇadnicove´ soustavy (je dańa pouze svou velikostı´). Jejı´ cˇ´ıselna´ hodnota mu˚zˇe za´viset pouze na volbeˇ jednotek. ¥ Prˇ´ıklad 1.1 pocˇet cˇa´stic; de´lka pru˚vodicˇe r =

p

x2 + y 2 + z 2

Vektor - velicˇina, ktera´ je zadańa velikostı´ a smeˇrem (neˇkdy se te´zˇ odlisˇuje smeˇr a orientace). Prˇi transformaci sourˇadnic (typu x0i = aij xj ) se take´ transformuje. Vektor A ma´ slozˇky A1 , A2 , A3 - ty se transformujı´ podle stejne´ho vztahu jako sourˇadnice A0i = aij Aj Vektor va´zany´ - obra´zek popsany´ (v prˇ´ıpadeˇ karte´zskyćh sourˇadnic) dvojicı´ sourˇ. (ax , ay , az ), (bx , by , bz ) Vektor volny´ - obra´zek popsany´ pouze trojicı´ slozˇek (x, y, z) De´lka vektoru - absolutnı´ hodnota, norma vektoru v q p v = |v | = (bx − ax )2 + (by − ay )2 + (bz − az )2 = x2 + y 2 + z 2 2

1.2. Algebra vektoru˚

Tato velicˇina je skala´rem.

Jednotkovy´ vektor e : vektor s jednotkovou de´lkou. Jednotkovy´ vektor ve smeˇru vektoru A: e =

A

|A|

¥ Prˇ´ıklad 1.2 polohovy´ vektor (pru˚vodicˇ) r = (x, y, z) nebo (x1 , x2 , x3 ) = (xi ) i rychlost v = dx dt i zrychlenı´ a = dv dt hybnost p = mvi i sı´la F = dp dt Tenzor - zde jen na doplneˇnı´, podrobneˇji ve vysˇsˇ´ıch rocˇnıćıćh Velicˇiny, jezˇ jsou tvorˇeny soucˇiny sourˇadnic (xi xj ) nebo obecneˇji slozˇek vektoru˚ (Ai Bj , Ai Bj Ck , ...) Tenzor 2. rˇa´du: Tij = Ai Bj ¥ Prˇ´ıklad 1.3 moment setrvacˇnosti, moment hybnosti (xi pj ), moment sı´ly (xi Fj ), ... ”efektivnı´ hmotnost” Prˇi transformaci sourˇadnic Tij → Tij0 Tij0 = A0i Bj0 = (aik Ak ).(ajl Bl ) = aik ajl Ak Bl = aik ajl Tkl Tenzory vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ obdobneˇ ⇒ tenzory 0. rˇa´du (skala´ry), tenzory 1. rˇa´du (vektory)

1.2 Algebra vektoru˚ Skala´rnı´ soucˇin def

A · B = AB (??!!) = Ak Bk (konvence o sumaci prˇi kk) vy´sledkem je skala´r obra´zek Jina´ definice def

A · B = A.B. cos α Vlastnosti skala´rnı´ho soucˇinu komutativnost A · B = B · A distributivnı´ za´kon (?distributivnost) A ·(B + C ) = A · B + A · C 3

KAPITOLA 1. VEKTOROVA´ A TENZOROVA´ ANALY´ZA A ALGEBRA pro A · B = 0 a A 6= 0 a B 6= 0 ⇒ A ⊥ B (u skala´ru˚ a.b = 0 ⇒ a = 0 nebo b = 0) Vektorovy´ soucˇin def

C = A × B = A.B. sin ϕ.n obra´zek slozˇky: Cx = Ay Bz − Az By Cy = Az Bx − Ax Bz Cz = Ax By − Ay Bx ¯ ¯ ¯ ex ey ez ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A A ¯ ¯ A A ¯ ¯ A A ¯ C = ¯¯ Ax Ay Az ¯¯ = ex ¯¯ y z ¯¯ − ey ¯¯ x z ¯¯ + ez ¯¯ x y ¯¯ ¯ ¯ ¯ By Bz ¯ ¯ Bx Bz ¯ ¯ Bx By ¯ ¯ Bx By Bz ¯

Soucˇet (rozdı´l) vektoru˚ def

C = A ± B = (Ax ± Bx , Ay ± By , Az ± Bz ) obra´zek Graficke´ zna´zorneˇnı´ soucˇet vektoru˚ skala´rnı´ soucˇin (A · B ) = A.(B. cos ϕ) = A.(Bprůmět ) obra´zek vektorovy´ soucˇin [A × B ] = A.B. sin ϕ = A.B⊥ obra´zek [A × B ] · C = A.B. sin ϕ . C. cos ψ = V = skala´r Vlastnosti (A · A) = A 2 Du˚kaz: ϕ = 0, cos ϕ = 1 (A · B )2 + [A × B ]2 = (|A |.|A |)2 Du˚kaz: (A.B. cos ϕ)2 + (A.B. sin ϕ.n )2 = (A.B)2 [cos2 ϕ + sin2 ϕ] = (A.B)2

4

1.3. Dalsˇ´ı pojmy

Du˚kazy na´sledujıćıćh vztahu˚ ponecha´va´me cˇtena´rˇi jako jednoduche´ cvicˇenı´ A ·[B × C ] = [A × B ] · C A ·[B × C ] = C ·[A × B ] = B ·[C × A] A ·[B × C ] = B(A · C ) − C(A · B )

1.3 Dalsˇ´ı pojmy Pole - kazˇde´mu bodu dane´ cˇa´sti prostoru je prˇirˇazena jista´ hodnota jiste´ (neˇjake´?) velicˇiny (pojem matematicky´ × fyzika´lnı´) Skala´rnı´ pole - ϕ(x, y, z, t), ϕ je neˇjaka´ fyzika´lnı´ velicˇina (teplota, koncentrace cˇa´stic,...) Funkce prˇirˇazujıćı´ kazˇde´ usporˇa´dane´ n-tici cˇ´ısel jistou (neˇjakou?) skala´rnı´ hodnotu. Vektorove´ pole - A(x, y, z, t), A je neˇjaka´ vektorova´ velicˇina - velikost a smeˇr (rychlost, sı´la, ...)    Ax (x, y, z, t) A(x, y, z, t) = Ay (x, y, z, t)   Az (x, y, z, t)

složky vektoru

A(x, y, z, t)

1.4 Vektorova´ analy´za Funkce jedne´ promeˇnne´ obra´zky Derivace funkce f (x) jedne´ promeˇnne´ x v bodeˇ x0 . df def f (x) − f (x0 ) = lim x→x0 dx x − x0 Diferencia´l funkce f (x) dx df = df dx Funkce vıće promeˇnnyćh f (x, y, z) Tato funkce mu˚zˇe by´t skala´rnı´ ϕ(x, y, z) nebo vektorova´ A(x, y, z). Argumentem mu˚zˇe te´zˇ by´t skala´r nebo vektor (ϕ(r ), A(r ) Parcia´lnı´ (cˇa´stecˇna´) derivace v bodeˇ (x0 , y0 , z0 ) Vy´znam - smeˇrnice v dane´m Parcia´lnı´ derivace funkce f naprˇ. podle x: ∂f ∂x 5

KAPITOLA 1. VEKTOROVA´ A TENZOROVA´ ANALY´ZA A ALGEBRA

smeˇru

∂f def f (x, y0 , z0 ) − f (x0 , y0 , z0 ) = lim = x→x0 ∂x x − x0

µ

∂f ∂x

¶ (x0 ,y0 ,z0 )

Zde je limitnı´ proces vu˚cˇi jedne´ promeˇnne´, ostatnı´ se prˇitom nemeˇnı´ a povazˇujı´ se za konstanty, tj. jedna´ se o jakousi funkci jedine´ promeˇnne´ f (x, y0 , z0 ) ¥ Prˇ´ıklad 1.4 f (x, y, z) = 3x2 + 2y − z ∂f = 6x, ∂f = 2, ∂f = (−1) ∂x ∂y ∂z Pravidla pro praći s parcia´lnı´mi derivacemi jsou stejna´ jako pro obycˇejne´ derivace: ∂f ∂g ∂(f + g) = + ∂x ∂x ∂x ∂(f.g) ∂f ∂g = ·g(x) + f (x) · ∂x ∂x ∂x A v prˇ´ıpadeˇ, zˇe g(x) 6= 0 ve vsˇech bodech uvazˇovane´ho intervalu take´ ∂(f /g) = ∂x

∂f ∂x

∂g · g(x) − f (x) ∂x g 2 (x)

Parcia´lnı´ derivace vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ Derivace 1. rˇa´du ∂f , ∂f , ∂f ∂x ∂y ∂z Derivace 2. rˇa´du opakovańı´m definice: ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f , , ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Smı´sˇene´ derivace ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f , , , ,··· ∂x∂y ∂y∂x ∂y∂z ∂z∂x Pokud je funkce spojita´ vzhledem ke vsˇem svy´m promeˇnny´m, platı´ ∂ 2f ∂ 2f = ∂x∂y ∂y∂x ¥ Prˇ´ıklad 1.5 f (x) =

x2

x nespojitost v bodě (0, 0) + y2 6

1.4. Vektorova´ analy´za ½

¾ x x lim lim 2 = lim 2 = ±∞ 2 x→0 y→0 x + y x→0 x ¾ ½ x = lim 0 = 0 lim lim 2 y→0 x→0 x + y 2 y→0 Parcia´lnı´ diferencia´ly funkce f (x, y, z) vzhledem k jednotlivy´m promeˇnny´m x, y, z: ∂f ∂f ∂f dx, dy, dz ∂x ∂y ∂z Vy´znam - rychlost zmeˇny v dane´m smeˇru. Tota´lnı´ (u´plny´) diferencia´l funkce f (x, y, z) def

df =

∂f ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz (v sumační konvenci dxi ) ∂x ∂y ∂z ∂xi

¥ Prˇ´ıklad 1.6 f (x, y, z) = 3x2 + 2y − z df = 6x dx + 2 dy − dz Existence tota´lnı´ho diferencia´lu 1. Jestlizˇe v dane´m bodeˇ (x0 , y0 , z0 ) existujı´ vsˇechny parcia´lnı´ derivace dane´ funkce a jsou-li spojite´, pak v tomto bodeˇ existuje tota´lnı´ diferencia´l.⇒ 2. Jestlizˇe funkce f ma´ v dane´m bodeˇ tota´lnı´ diferencia´l, pak ma´ v tomto bodeˇ vsˇechny parcia´lnı´ derivace.⇐ 3. Jestlizˇe ma´ dana´ funkce v dane´m bodeˇ tota´lnı´ diferencia´l, pak je v tomto bodeˇ spojita´.⇐ ¥ Prˇ´ıklad 1.7 Tota´lnı´ diferencia´l polohove´ho vektoru: p r ≡ ( x, y, z) |r | = r = x2 + y 2 + z 2 ∂r ∂r ∂r dr = ∂x · dx + ∂y · dy + ∂z · dz ∂r ∂ 2 2 2 1/2 = ∂x (x + y + z ) = 12 ·(x2 + y 2 + z 2 )−1/2 · 2x = √ ∂x dr = √

x x2 +y 2 +z 2

dx + √

y x2 +y 2 +z 2

dy + √

z x2 +y 2 +z 2

dz =

x x2 +y 2 +z 2 x dx + yr dy + zr r

dz

Slozˇena´ funkce Ve fyzice se cˇasto setka´va´me s tı´m, zˇe funkce f za´visı´ na sourˇadnici (-ıćh) x (xi ), ktera´ se vsˇak s cˇasem t(?) meˇnı´ podle trajektorie, tj. xi ≡ xi (t). Funkce f (x1 , x2 , x3 ) (f (x, y, z)) je tak slozˇenou funkcı´ cˇasu; resp. libovolne´ho parametru t. f ≡ f (x(t), y(t), z(t)) 7


Tota´lnı´ diferencia´l slozˇene´ funkce ∂r ∂r ∂r ∂r df = · dx + · dy + · dz = · ∂x ∂y ∂z ∂x

µ

¶ µ ¶ µ ¶ dx ∂r dy ∂r dz · dt + · · dt + · · dt dt ∂y dt ∂z dt

Podobneˇ (tota´lnı´) derivace funkce f podle cˇasu t: df = ∂f · dx + ∂f · dy + ∂f · dz dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt Je-li parametr t skutecˇneˇ cˇas, je df = vx ∂f + vy ∂f + vz ∂f dt ∂x ∂y ∂z

dx dt

= vx ,

dy dt

= vy ,

dz dt

= vz a ma´me

V rˇadeˇ prˇ´ıpadu˚ za´visı´ i sama funkce f explicitneˇ na cˇase: df dt

=

df =

∂f ∂t ∂f ∂t

+

∂f ∂x

dt +

dx + ∂f · dy + ∂f · dz dt ∂y dt ∂z dt ∂f ∂f ∂f dx + ∂y dy + ∂z dz ∂x

·

Derivovat mu˚zˇeme nejen skala´rnı´, ale i vektorove´ funkce vıće promeˇnnyćh. Pracujeme po slozˇkaćh: A ≡ (Ax , Ay , Az ) dAx dt

=

∂Ax ∂t

+

∂Ax dx ∂x dt

+

∂Ax dy ∂y dt

+

∂Ax dz ∂z dt

dAy dt

=

∂Ay ∂t

+

∂Ay dx ∂x dt

+

∂Ay dy ∂y dt

+

∂Ay dz ∂z dt

dAz dt

=

∂Az ∂t

+

∂Az dx ∂x dt

+

∂Az dy ∂y dt

+

∂Az dz ∂z dt

Opera´tor Funkce - prˇedpis, ktery´ jednomu cˇ´ıslu (promeˇnne´) z neˇjake´ho intervalu prˇirˇadı´ jine´ cˇ´ıslo (funkcˇnı´ hodnotu) ¥ Prˇ´ıklad 1.8 f (x) = sin x, x2 , 5, sgn x, . . .

8

1.4. Vektorova´ analy´za

Opera´tor - zobecneˇnı´ pojmu funkce - prˇedpis, ktery´ jedne´ funkci prˇirˇadı´ jinou funkci ¥ Prˇ´ıklad 1.9 x·, ( )2 ,

∂ , ∂x

...

Hamiltonu˚v opera´tor (opera´tor nabla) ∂ ∂ ∂ ∇ = ex + ey + ez ≡ ∂x ∂y ∂z

µ

∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z

¶

”Symbolicky´ vektor” Take´ se oznacˇuje

∂ , ∂r

cozˇ neznamena´ deˇlenı´ vektorem, ale pra´veˇ zmıńeˇny´ postup.

Ve fyzice zava´dı´me trˇi za´kladnı´ opera´tory. Budeme pracovat se dveˇma funkcemi - skala´rnı´ f ( x, y, z) - vektorovou A( x, y, z) 1. Gradient µ def

grad f =

∂f ∂f ∂f , , ∂x ∂y ∂z

¶ = ∇f

skalární funkce → vektorová funkce

2. Divergence µ def

div A =

∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z

¶ = ∇ · A vektorová funkce → skalární funkce

3. Rotace µ def

rot A =

∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

nebo taky

9

¶ vektorová funkce → vektorová funkce


1. Gradient def

³

grad f =

∂f ∂f ∂f , , ∂x ∂y ∂z

´ = ∇f

skalární funkce → vektorová funkce

2. Divergence def

div A =

³

∂Ax ∂x

+

∂Ay ∂y

∂Az ∂y

−

∂Ay ∂Ax , ∂z ∂z

+

∂Az ∂z

´

=∇·A

vektorová funkce → skalární funkce

3. Rotace def

rot A =

³

−

∂Az ∂Ay , ∂x ∂x

−

∂Ax ∂y

´

=∇×A

vektorová funkce → vektorová funkce Gradient Fyzika´lnı´ vy´znam: meˇjme skala´rnı´ pole f , naprˇ. koncentraci cˇa´stic; body M a N s polohovy´mi vektory r a r + dr . Prˇ´ıru˚stek hodnoty funkce f mezi body M a N je: fN − fM = f (r + dr ) − f (r ) = f (r ) + df − f (r ) = df =

∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z | {z } grad f · dr

Gradient skala´rnı´ho pole f v bodeˇ M nazy´va´me vektor namı´rˇeny´ kolmo k tecˇne´ rovineˇ v bodeˇ M a mı´rˇ´ıcı´ smeˇrem rostoucı´ho pole (≡ ve smeˇru n = norma´ly), cˇ´ıselneˇ rovny´ derivaci podle smeˇru n ∂f ·n (grad f )M = ∂n ¥ Prˇ´ıklad 1.10 kopec = dvourozmeˇrna´ funkce f (x, y) = vy´sˇka v bodeˇ (x, y) grad f = rychlost stoupańı´ (sklon) latinsky gradiens = stoupajıćı´, kraćˇejıćı´ − → ∇f prˇed??? (strana 5 dole) orientovana´?? zmeˇna funkce f ve smeˇrech e1 , e2 , e3 . Pro referencˇnı´ ućˇely gradient v ru˚znyćh sourˇadnicıćh

10


³ kartézské souřadnice (x, y, z) :

³

válcové souřadnice (ρ, ϕ, z) :

³

sférické souřadnice (r, ϑ, ϕ) :

∂f ∂f ∂f , , ∂x ∂y ∂z

´

∂f 1 ∂f ∂f , , ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z

´

∂f 1 ∂f , , 1 ∂f ∂r r ∂ϑ r·sin ϑ ∂ϕ

´

Da´-li se ve fyzice neˇjaky´ vektor A vyja´drˇit jako gradient skala´rnı´ funkce, tj. A = grad f , pak vektor A nazy´va´me potencia´lnı´. Plochy urcˇene´ rovnicı´ f (x, y, z) = konst. se nazy´vajı´ plochami stejne´ho potencia´lu neboli ekvipotencia´lnı´mi plochami. Divergence Fyzika´lnı´ vy´znam: Meˇjme Vektorove´ pole A(r ) (naprˇ. pole rychlosti proudeˇnı´ kapaliny) a kva´dr V velikosti V = h · k · l. Chceme zjistit N = tok pole steˇnami kva´dru.

Prˇedpoklady A = spojita´ funkce V = maly´ objem Tok podstavou: NOBCD = −Az (0, 0, 0) · h · k Tok hornı´ podstavou: NO0 B 0 C 0 D0 = Az (0, 0, l) · h · k ¡ z¢ ¡ z¢ . Zmeˇna toku ve smeˇru z: ∆Nz = NO0 B 0 C 0 D0 + NOBCD = ∂A · h · k · l = ∂A ·V ∂z 0 ∂z 0 ³ ´ . y Podobneˇ: ∆Ny = ∂A ·V ∂y . ¡ ∂Ax ¢ 0 ·V ∆ Nx = ∂x 0 Celkovy´ tok pole A(r ) steˇnami³kva´dru objemu V:´ y ∂Ax z + ∂A + ∂A ∆N = ∆Nx + ∆Ny + ∆Nz = · V = (div A)0 · V ∂x ∂y ∂z 0 ⇒ Divergence A je hustota toku uzavrˇenou plochou; tok vektoru plochou ohranicˇujıćı´ jednotkovy´ objem. (div A)0 = lim

∆N

V →0

Prˇesna´ matematicka´ definice 1 · div A = lim V →0 V

V

I

A · n · dS

(S)

kde S je uzavrˇena´ plocha, n = vneˇjsˇ´ı norma´la, A vektor rychlosti kontinua jednotkove´ hustoty R A · n · dS = tok vektoru A plochou S (S)

11


obra´zky latinsky divergens = rozbı´hajıćı´ se (vyjadrˇuje intenzitu vyte´kańı´ tekutin, . . .) Rotace Fyzika´lnı´ vy´znam: Vezmeme vektorove´ pole A(r ) a budeme chtı´t urcˇit praći vykonanou prˇi obeˇhnutı´ obde´lnı´ku OBCD. RB Definice praće - prˇi pohybu hmotne´ho bodu po krˇivce AB vlivem sı´ly F (r ): F (r ) · dl A

!!!!!!!!!!zkontrolovat formulace!!!!!!!! tj. praće Wl = F ·dra´ha, jsou-li F a l ve smeˇru, nebo Wl = F ·dra´ha· cos α = F · d (v prˇ´ıpadeˇ prˇ´ımky) krˇivku AB rozlozˇ´ıme na u´seky dl a zintegrujeme. Prˇedpokla´da´me, zˇe plocha S = k.l je mala´ Praće na u´seku OB: WOB = Ay (0, 0, 0) ·k na u´seku CD: WCD = −Ay (0, 0, l) ·k na u´seku BC: WBC = Az (0, k, 0) ·l na u´seku DO: WDO = −Az (0, 0, 0) ·l ³ ´ ∂Ay z Pak ∆W = ∂A − ·S ∂y ∂z Zde bylo x konstantnı´ ⇒ x-ova´ slozˇka (cˇa´st) praće prostoru S ≡ (Sx , Sy , Sz ) ⇒ ∆W = (rot A) · S

∆Wx

= (rot A)x · Sx Skutecˇna´ plocha v

Rotace ma´ vy´znam praće, kterou vykona´ vektorove´ pole prˇi obeˇhnutı´ uzavrˇene´ plochy jednotkove´ velikosti. Rotace = vı´rˇenı´, staćˇenı´ tekutiny - v anglicke´ literaturˇe pu˚vodnı´ na´zev curl A (curl = vı´r). Druhe´ (forma´lnı´ zavedenı´ trˇ´ı za´kladnıćh opera´toru˚ pomocı´ opera´toru nabla: grad f = (∇f ) div A = (∇ · A) rot A = ∇ × A Vlastnosti

12

1.4. Vektorova´ analy´za grad(f ± g) = grad f ± grad g grad(f · g) = f · grad g + g · grad f div(f · A) = A · grad f + f · div A div[A × B ] = B · rot A − A · rot B rot(A + B ) = rot A + rot B rot(f · A) = [grad f × A] + f · rot A = f · rot A − [A × grad f ] Oveˇrˇenı´ - rozepsańı´m na jednotlive´ derivace - pomocı´ opera´toru ∇ a vlastnostı´ vektoru˚

Diferencia´lnı´ opera´tory 2. rˇa´du Specia´lnı´ vy´znam ve fyzice ma´ Laplaceu˚v opera´tor ∆ Vyja´drˇenı´ pomocı´ opera´toru ∇ je ∆ = (∇ ·∇) = ∇2 =

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

v kartézských souřadnicích1

(??) Opera´tory druhe´ho rˇa´du (mohou) vzniknou(t) opeˇtovny´m pouzˇitı´m opera´toru˚ vy´sˇe zmıńeˇnyćh. Je trˇeba si uveˇdomit, ktere´ lze aplikovat na funkci (gradient), a ktere´ na vektor (divergence, rotace). Meˇjme funkci f → grad f → → A → div A → → rot A → →

div grad f rot grad f grad div A div rot A rot rot A

experimenty:

% f → grad f & 1

div grad f rot grad f

v teorii relativity ma´me podobny´ opera´tor - ¤ jesˇteˇ s cˇasem a c2

13


A

% &

% A &

div A

→

rot A

% &

div A

→

rot A

% &

grad div A div rot A rot rot A

uzˇ nemu˚zˇu, dorˇesˇit jindy div grad f = ∇ · (∇f ) = (∇ ·∇)f = ∆f Laplaceův operátor rot grad f = [∇ × (∇f )] = 0 mnemotechnicky ∇ k ∇f (∇ není skutečný vektor) div rot A = ∇ · [∇ × A] = 0 neboť ∇ ⊥ [∇ × A] Prˇesneˇ: div rot A =

∂ (rot ∂x ∂ ∂Az ( ∂x ∂y

∂ ∂ A)x + ∂y (rot A)y + ∂z (rot A)z =

y = − ∂A )+ ∂z kvu˚li za´meˇnnosti derivacı´

∂ ∂Ax ( ∂y ∂z

−

∂Az ) ∂x

+

∂ ∂Ay ( ∂z ∂x

−

∂Ax ) ∂y

=0

rot rot A = [∇ × [∇ × A]] = ∇ · (∇ · A) − A · (∇ · ∇) = grad div A − ∆A

¥ Prˇ´ıklad 1.11 ¯ ¯ ¯ ex ey ez ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ ∂ ∂ ¯ ∂z rot r = ¯ ∂x ∂y ∂z ¯ = ex · ( ∂y − ¯ ¯ ¯ x y z ¯ = ex · 0 + ey · 0 + ez · 0 = 0

∂y ) ∂z

+ ey · ( ∂x − ∂z

∂z ) ∂x

∂y + ez · ( ∂x −

¥ Prˇ´ıklad 1.12 E = rK3 · r ¡ ¢ £ ¤ £ ¤ rot E = rK3 · rot r − r × grad rK3 = − r × grad rK3 = 0 nebot’ grad rK3 k r Gaussova veˇta:

I

Z (F · dS ) =

(S)

(div F ) ·V (V )

14

∂x ) ∂y


Stokesova veˇta

I

Z (F · dl ) =

(l)

(rot F ) · dS (S)

15

Kapitola 2 Elektrostatika 2.1 Elektrostaticke´ pole pevneˇ rozlozˇenyćh na´boju˚ ve vakuu Nejprve je nutno si vysveˇtlit pojmy – pojem na´boj. Tento pojem vznikl historicky pozorovańı´m silovyćh ućˇinku˚ mezi teˇlesy, ktera´ byla uvedena do stavu „elektricky nabity´“ ≡ „zelektrizovany´“. Zna´me´ pokusy – trˇenı´ ebonitove´ tycˇe kozˇesˇinou + bezova´ kulicˇka na niti. Nejprve je kulicˇka k tycˇi prˇitahovańa a po dotyku se zacˇne odpuzovat (≡ nabila se na´bojem tycˇe). Tato kulicˇka se ale prˇitahuje ke kozˇesˇineˇ, jı´zˇ bylo pouzˇito k zelektrovańı´. Podle teˇchto ućˇinku˚ je mozˇno nabita´ teˇlesa rozdeˇlit na 2 skupiny – podle toho, zda se prˇitahujı´ nebo odpuzujı´ – ≡ jsou nabita souhlasneˇ nebo nesouhlasneˇ. Cˇisteˇ na´hodneˇ byl jeden na´boj nazvań kladny´ (kozˇesˇina) a druhy´ za´porny´ (tycˇ). Jedna´ se o jev zcela symetricky´, je to pouze konvence, co je kladne´. Z fenomenologicke´ho hlediska je elektricky´ na´boj skala´rnı´ velicˇina, ktera´ mu˚zˇe naby´vat kladnyćh i za´pornyćh hodnot. Mı´rou jejı´ho mnozˇstvı´ a slozˇenı´ na prˇ´ıslusˇnyćh teˇlesech je pra´veˇ silove´ pu˚sobenı´ mezi nimi. V kvantitativnı´m popisu silove´ho pu˚sobenı´ mezi nabity´mi teˇlesy se obvykle zava´dı´ pojem bodove´ho na´boje. Dveˇ za´kladnı´ vlastnosti na´boje: • zachova´va´ se (v izolovane´ soustaveˇ) • kvantuje se, makroskopicky se spojı´ (fluidova´ teorie)

Zna´me atoma´rnı´ stavy hmoty (nenı´ v elektrostatice du˚lezˇita´): atom je navenek neutra´lnı´, ale 16

2.2. Silove´ pu˚sobenı´ mezi bodovy´mi na´boji

skla´da´ se z elektronu˚ a protonu˚ (a neutronu˚, ...). Nejmensˇ´ı na´boj je na´boj 1 elektronu (za´porny´). Zcela stejnou velikost ma´ i na´boj protonu nebo pozitronu (anticˇa´stice). Kdyby tomu tak nebylo, atom by meˇl neˇjaky´ nenulovy´ rea´lny´ na´boj. Experiment: svazek atomu˚ Cs odklańeˇli ve va´kuu elektricky´m polem – aparatura byla sestavena tak, aby byla schopna zjistit odchylku 10−16 – 10−20 e. Zˇa´dna´ odchylka vsˇak nebyla zaznamenańa. Hypote´za kvarku˚. Bodovy´ na´boj – z experimetu˚ o rozptylu cˇa´stic vı´me, zˇe protonovy´ na´boj je v kouli polomeˇru ∼ 10−13 cm, je proto mozˇno vsˇechny makroskopicke´ u´vahy prˇiblı´zˇenı´ bodovosti prˇipustit.

2.2 Silove´ pu˚sobenı´ mezi bodovy´mi na´boji Meˇjme dva nepohyblive´ na´boje q1 , q2 . Jejich polohove´ vektory budou r1 a r2 . Síla působící nábojem q1 na náboj q2 je F2 = k · |qR121·q|23 · R21 R21 = r2 − r1

     

Síla, kterou působí náboj q2 na náboj q1 je      F1 = k · |qR112·q|23 · R12 R12 = r1 − r2

Coulumbu˚v za´kon

Platı´ tedy F2 = −F1 , jak zˇa´da´ Newtonu˚v princip akce a reakce

⇐

R21 = −R12

Tyto sı´ly jsou kolinea´rnı´ s vektory R12 a R21 a lezˇ´ı tedy na spojnici obou na´boju˚. Majı´-li oba na´boje opacˇna´ znameńka tj. pro q1 · q2 < 0, jsou na´boje prˇitahovańy. V opacˇne´m ¡R¢ prˇ´ıpadeˇ jsou odpuzovańy. F1 = k · q1R·q22 · R Za´vislost sı´ly mezi na´boji na vzda´lenosti F ∼ r12 zmeˇrˇil prˇiblizˇneˇ Coulomb v r. 1785 torznı´mi va´hami. V tehdejsˇ´ı dobeˇ bylo mozˇno meˇrˇenı´ prove´st s chybou 2%. V soucˇasne´ dobeˇ byly experimenty opakovańy a bylo zjisˇteˇno, zˇe pro vzda´lenosti rˇa´du 100 – 101 cm je exponent prˇesneˇ −2 (s chybou rˇa´du 10−9 ). Druhou ota´zkou je pro jaka´ r za´kon platı´ – minima´lneˇ platı´ od 10−13 cm do neˇkolika kilometru˚ (v kosmicke´m meˇrˇ´ıtku je to ota´zka). Spodnı´ hranice je dańa podmıńkou, aby bylo mozˇno na´boje bra´t jako bodove´. Coulombu˚v za´kon ma´ dveˇ funkce – vyjadrˇuje vzda´lene´ silove´ pu˚sobenı´ na´boju˚ a soucˇastneˇ je definicı´ na´boje (jako fyzika´lnı´ velicˇiny). Jednotku na´boje zı´ska´me z Coulombova za´kona, 17

KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA prˇedepı´sˇeme-li konkre´tnı´ hodnotu pro konstantu k.

Soustava SI – metr, kilogram, sekunda Za´kladnı´ elektrickou jednotkou je jednotka elektricke´ho proudu – ampe´r ⇒ na´boj je jednotkou odvozenou. Jednotkou na´boje je pak 1 Coulomb = proud jednoho ampe´ru tekoucı´ po dobu 1 sekundy. Tı´m je urcˇena konstanta k: k=F·

R2 q1 ·q2

[F ] = Newton, [r] = metr, [q] = Coulomb, k = 8, 9875 · 109 SI Pı´sˇe se veˇtsˇinou ve tvaru k =

1 , 4πε0

kde ε0 = 8.85 · 10−12

Coulomb2 N ewton·metr2

arad = 8.85 · 10−12 Fmetr

ε0 = permitivita va´kua = univerza´lnı´ fyzika´lnı´ konstanta. Starsˇ´ı soustava jednotek = absolutnı´ soustava CGSE Za´kladnı´ jednotky: centimetr, gram, sekunda Coulumbu˚v za´kon pak slouzˇil k zavedenı´ za´kladnı´ jednotky elektricke´ tı´m, zˇe se polozˇilo k = 1 [F ] = dyn ⇒ jednotkove´ na´boje na sebe pu˚sobı´ ve va´kuu na vzda´lenost 1 cm silou 1 dynu. Jednotka nemeˇla specia´lnı´ na´zev (sC) Platı´ 1C = 2.998 · 10−19 absolutnıćh elektrostatickyćh jednotek (prˇevod prˇes rychlost sveˇtla c) Du˚lezˇita´ fyzika´lnı´ konstanta je na´boj elektronu (jedno „kvantum“) 1e = −1, 6018 · 10−19 C 1e = −4, 8022 · 10−10 jednotek CGSE

2.3 Elektrostaticke´ pole Prˇedpokla´dejme rozdeˇlenı´ nepohyblivyćh na´boju˚ q1 , . . . , qN Na´s bude zajı´mat sı´la, kterou tyto na´boje pu˚sobı´ na neˇjaky´ na´boj q0 Experiment ukazuje, zˇe prˇ´ıtomnost dalsˇ´ıho na´boje neovlivnı´ silove´ pu˚sobenı´ mezi dveˇma na´boji, P proto vy´sledna´ sı´la pu˚sobıćı´ na na´boj q0 je F0 = N i=1 Fi Po dosazenı´ za Fi z Coulombova za´kona: P q0 ·qi R0i F0 = N i=1 k · R2 · R0i 0i

18

2.3. Elektrostaticke´ pole Je videˇt, zˇe z tohoto vztahu je mozˇno q0 vytknout: P qi R0i F0 = q 0 · N i=1 k · R2 · R0i 0i

Zı´ska´me vektorovou velicˇinu, ktera´ za´visı´ pouze na strukturˇe nasˇeho rozdeˇlenı´ na´boju˚ q1 , . . . , qN a na poloze ( x, y, z). Budeme ji rˇ´ıkat intenzita elektrostaticke´ho pole E ( x, y, z). Reprezentuje sı´lu, kterou by na´boje q1 , . . . , qN pu˚sobily na jednotkovy´ na´boj umı´steˇny´ v bodeˇ ( x, y, z). N X 1 qi E ( x, y, z) = · · (ro − ri ) 4πε0 i=1 |ro − ri |3

Tento vztah mu˚zˇe slouzˇit jako forma´lnı´ definice. Nynı´ si povsˇimneˇme dvou podstatnyćh veˇcı´:

Prvnı´: Silove´ pu˚sobenı´ soustavy na´boju˚ na na´boj q0 se zı´ska´ jako vektorovy´ soucˇet jednotlivyćh sil F1 , F2 , F3 ,. . . , FN , ktery´ se vypocˇte tak, jako by tam ostatnı´ na´boje nebyly. Stejny´ prˇ´ıstup se P uplatnı´ i ve vztahu pro intenzitu pole. E = Ei Tomu rˇ´ıka´me princip superpozice. Tento princip byl experimenta´lneˇ potvrzen. V elektrostatice a cele´m elektromagnetismu veˇtsˇinou platı´, nenı´ vsˇak zcela universa´lnı´. Existujı´ naprˇ´ıklad kvantove´ elektromagneticke´ jevy, ktere´ se z klasicke´ho principu superpozice vymykajı´.

Druha´: Zavedli jsme pojem elektrostaticke´ pole. S jeho pomocı´ jsme mohli proble´m silove´ho pu˚sobenı´ mezi na´boji rozdeˇlit do dvou stupnˇu˚. Za prve´ jsme bodu r0 prˇirˇadili urcˇenou hodnotu velicˇiny E (intenzity pole) podmıńeˇnou a urcˇenou prˇ´ıtomnostı´ na´boju˚ q1 , . . . , qN v bodech r1 , . . . , rN . Sı´lu F0 pu˚sobıćı´ na na´boj q0 umı´steˇny´ v bodeˇ r0 jsme za druhe´ vyja´drˇili jako interakci tohoto na´boje s intenzitou pole v dane´m bodeˇ. Tı´m mu˚zˇeme mluvit o silove´m pu˚sobenı´ soustavy na´boju˚ a nepotrˇebujeme prˇitom jejich explicitnı´ vyja´drˇenı´. Naprˇ´ıklad v la´tkaćh ma´me tolik na´boju˚ (∼ 1022 cm−3 ), zˇe je mozˇno mluvit pouze o vy´sledne´ intenziteˇ. Zatı´m pro na´s elektrostaticke´ pole znamenalo jinou formu popisu soustavy na´boju˚ – pomocı´ velikosti a smeˇru sı´ly pu˚sobıćı´ na jednotkovy´ zkusˇebnı´ na´boj q0 umı´steˇny´ do libovolne´ho mı´sta prostoru.

19

KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA

Co to je pole? Je rea´lne´ nebo je to jen matematicky´ obrat – koeficient u na´boje prˇi vy´pocˇtu meˇrˇene´ sı´ly? U pole ma´ vy´znam pouze jeho schopnost konat praći. Fakt existence pole v dane´m bodeˇ prostoru na´m umozˇnˇuje prˇedem urcˇit sı´lu, ktera´ bude pu˚sobit na libovolny´ na´boj v tomto bodeˇ. A to je mnohem vıće nezˇ jen vydedukovana´ velicˇina z jednoho experimentu. Rea´lna´ existence ↔ prˇena´sˇ´ı energii (≡ kona´ praći). Pro zı´skańı´ nove´ prˇedstavy o pru˚beˇhu pole dane´ soustavy na´boju˚ je vy´hodne´ jeho graficke´ zna´zorneˇnı´. Pouzˇ´ıvajı´ se dveˇ metody. • Zobrazı´me velikost a smeˇr intenzity elektrostaticke´ho pole E v ru˚znyćh bodech tı´m, zˇe v teˇchto bodech nakreslı´me sˇipky ru˚zne´ de´lky a u´rovneˇ E . • Zobrazı´me pole pomocı´ silocˇar ≡ orientovanyćh krˇivek majıćıćh tu vlastnost, zˇe vektor intenzity v jejı´m kazˇde´m bodeˇ je tecˇny´ a jeho orientace souhlası´ s orientacı´ krˇivky. Zhruba: silocˇa´ra = dra´ha kladne´ho na´boje. + a vstupujı´ do °. - Velikost intenzity pole se vyjadrˇuje jejich Silocˇa´ry vzˇdy vycha´zejı´ z ° hustotou.

2.3.1 Jednotka intenzity elektrostaticke´ho pole N ewton Mohli bychom ji odvodit z definicˇnı´ho vztahu ⇒ Coulomb Pouzˇ´ıva´ se vsˇak SI jednotka odvozena´ z vy´razu pro praći na´boje v elektrostaticke´m poli ⇒

V olt metr

Na za´kladeˇ principu superpozice lze intenzitu pole soustavy na´boju˚ q1 , . . . , qN cha´pat jako vektorovy´ soucˇet intenzit vytvorˇenyćh v dane´m bodeˇ r jednotlivy´mi na´boji q1 , . . . , qN

E (r ) =

N X

Ei (r )

i=1

kde Ei (r ) =

1 4πε0

·

qi |r −ri |3

· (r − ri )

¥ Prˇ´ıklad 2.1 Intenzita elektrostaticke´ho pole jedine´ho bodove´ho na´boje Q umı´steˇne´ho v pocˇa´tku soustavy sourˇadne´: Q r 1 · 2· E (r ) = 4πε0 r r 20

2.3. Elektrostaticke´ pole ¥ Prˇ´ıklad 2.2 Intenzita elektrostaticke´ho pole dipo´lu. Dipo´l: dva na´boje stejne´ velikosti a opacˇne´ho znameńka |Q+ | = |Q− | = Q umı´steˇne´ ve vzda´lenosti l. Prˇi umı´steˇnı´ podle obra´zku je mozˇno pro E v libovolne´m bodeˇ r odvodit vztah 1 E (r ) = ·Q 4πε0

(

r − 2l r + 2l − |r − 2l |3 |r + 2l |3

)

Pro r À l je mozˇno vzorec zjednodusˇit: . E (r ) =

1 4πε0

µ

( p · r) p 3· ·r − 3 5 r r

¶ ∼

1

r3

Zde p = Q · l = elektricky´ moment dipo´lu Pojem: elementa´rnı´ dipo´l – vznikne z konecˇne´ho dipo´lu limitnı´m prˇechodem ( l → 0, Q → ∞ ∧ p = konst). Pro neˇj platı´ druhy´ vzorec prˇesneˇ. Prvnı´ hlavnı´ poloha: E+ = k ·

Q (r− 2l )2

E− = k ·

E = E+ − E− = k · Q ·

Q (r+ 2l )2

2lr [r2 −( 2l )2 ]2

=k·

2lQ l 2 2 r3 [1−( 2r ) ]

. =k·

2lQ r3

=

1 4πε0

·

2p r3

Druha´ hlavnı´ poloha: cos α = . E =k·

l/2 cos α a lQ 1 = 4πε0 · rp3 r3

=

E/2 E+

. r=a⇒

⇒ E = k · Q·l a3

2.3.2 Spojiteˇ rozlozˇeny´ na´boj Nabite´ teˇleso Meˇjme nabite´ teˇleso. Potom jeho na´boj mu˚zˇeme vyja´drˇit pomocı´ skala´rnı´ velicˇiny ρ = objemova´ hustota na´boje = velikost na´boje prˇipadajıćı´ na jednotku objemu: ρ(r ) =

³

dq dV

ρ = lim

∆q

´

∆V →0 ∆V

Na´boj q1 rozlozˇeny´ v libovolne´ cˇa´sti V1 teˇlesa dostaneme objemovy´m integra´lem Z q1 = ρ(r ) · dV V1

21

KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA Ve specia´lnı´m prˇ´ıpadeˇ rovnomeˇrne´ho rozlozˇenı´ na´boje ρ(r ) = konst ⇒ q1 = ρ · V1 [ ρ ] = C · m−3 Nabita´ plocha Analogicky si vezmeme nabitou plochu. Na nı´ mu˚zˇeme definovat plosˇnou hustotu na´boje ³

dq dS

σ(r ) =

σ = lim

∆q

´

∆S→0 ∆S

Potom Z σ(r ) · dS

q1 = S1

A prˇi rovnomeˇrne´m rozlozˇenı´ na´boje σ(r ) = konst ⇒ q1 = σ · S 1 [ σ ] = C · m−2 Nabita´ krˇivka Konecˇneˇ mu˚zˇeme uvazˇovat rozlozˇenı´ na´boje na krˇivce ⇒ linea´rnı´ hustota na´boje η(r ) =

³

dq dl

η = lim

∆l→0

∆q

´

∆l

Potom Z η(r ) · dl

q1 = l1

A prˇi rovnomeˇrne´m rozlozˇenı´ na´boje η(r ) = konst ⇒ q1 = η · l1 [ η ] = C · m−1 Jedna´ se ovsˇem o prˇiblı´zˇenı´, nebot’na´boj nenı´ spojity´ (elektron), pokud ale ma´me makroskopicke´ u´tvary, je tento popis opra´vneˇny´.

2.3.3 Intenzita elektrostaticke´ho pole Pro bodove´ na´boje platı´: 22

2.3. Elektrostaticke´ pole

N X 1 qi E (x0 , y0 , z0 ) = · · (ro − ri ) 4πε0 i=1 |ro − ri |3

V prˇ´ıpadeˇ spojiteˇ rozlozˇenyćh na´boju˚ rozdeˇlı´me objem V na elementy dV a jeho povrh S na elementy dS, mu˚zˇeme kazˇdy´ z nich povazˇovat za bodovy´ na´boj velikosti ρ · dV a % · dS – sumaci nahradı´me integracı´ prˇes V a S: 1 E (x0 , y0 , z0 ) = · 4πε0

·Z (V )

ρ · dV · (ro − r ) + |r o − r |3

Z (S)

¸ σ · dS · (ro − r ) |r o − r i |3

Konkre´tnı´ vy´pocˇet prova´dı´me po slozˇkaćh: 1 Ex = · 4πε0

·Z (V )

ρ · dV · (xo − x) + |r o − r |3

Z (S)

¸ σ · dS · (xo − x) . . . |ro − r |3

Analogicky pro na´boj rozlozˇeny´ na krˇivce l. Vztahy pro intenzitu pole bodove´ho na´boje divergujı´ pro prˇiblizˇovańı´ se k tomuto na´boji ro → ri jako r12 . Pro spojiteˇ rozlozˇeny´ na´boj je intenzita pole konecˇna´ a je jı´ mozˇno vypocˇ´ıtat pomocı´ uvedenyćh vztahu˚ i uvnitrˇ objemu V : Z

ρ · dV · (ro − ri ) = |r o − r |3

µ

Z ρ · dV

ro − r |r o − r |3

¶

Druhy´ cˇlen v integra´lu se pro ro → ri chova´ jako r12 , ale element objemu dV , ve ktere´m toto chovańı´ pozorujeme je u´meˇrny´ r2 · dr a hustota na´boje ρ je konecˇna´, proto i prˇ´ıspeˇvek je konecˇny´.

2.3.4 Tok vektoru Ma´me-li rovinnou plochu S orientovanou ke smeˇru vektoru E pod u´hlem α, je tok N vektoru E touto plochou N = E · S · cos α = (E · S ) Je-li plocha obecneˇ situovana´ (nutnost skala´rnı´ho soucˇinu) a pole nehomogennı´, slozˇ´ıme vy´sledny´ tok z u´seku˚ dN = E · dS cos α tj. 23


Z N=

Z (E · dS )

E · dS cos α = (S)

(S)

Plocha musı´ by´t orientovana´, tj. musı´ by´t stanoveno, ktery´ smeˇr norma´ly je kladny´. Na´s budou zajı´mat uzavrˇene´ plochy – tam platı´, zˇe norma´la smeˇrˇuje vneˇ. Bude-li vektorem E intenzita elektrostaticke´ho pole, mluvı´me o silove´m toku ≡ pocˇet silocˇar procha´zejıćıćh jednotkovou plochou.

2.4 Gaussova veˇta elektrostatiky Vezmeˇme bodovy´ na´boj q. Kolem neˇj opisˇme kouli o polomeˇru r. Spocˇteˇme silovy´ tok vektoru intenzity elektrostaticke´ho pole E povrchem koule: Intenzita musı´ by´t v kazˇde´mm mı´steˇ povrchu koule stejna´ (symetrie) a E je vsˇude kolme´ k povrchu koule: µ N =E·S =

1 q · 2 4πε0 r

¶ · (4πr2 ) =

q ε0

Tok je u´meˇrny´ q a neza´visı´ na r. Je kladny´ pro q > 0 a za´porny´ pro q < 0. Nynı´ vezmeˇme veˇtsˇ´ı uzavrˇenou plochu S obecne´ho tvaru. Jaky´ bude tok touto plochou? Vezmeˇme kuzˇel vycha´zejıćı´ z q – na kouli o polomeˇru r vytıńa´ plosˇku a , na plosˇe S plosˇku A (vzda´lenost R, θ) ¡ ¢2 |A | je veˇtsˇ´ı nezˇ |a |, nebot’R > r a A je obecneˇ nakloneˇna´ o u´hel θ ⇒ je veˇtsˇ´ı Rr · cos1 θ kra´t. ¡ ¢2 Elektrostaticke´ pole je v A mensˇ´ı Rr kra´t nezˇ na povrchu koule a ma´ radia´lnı´ smeˇr. Tok plosˇkou a : Er · a = Er · a Pak tok plochou A: ER · A = ER (A · cos θ) Upravı´me tok plochou A: E

A

}|R ¶{ ¸ · z µ }| {¸ ·z µ ¶2 2 r R 1 · ER · A = ER · A · cos θ = Er · · a· · cos θ = Er · a R r cos θ 24

2.5. Potencia´l Platı´ tedy, zˇe silovy´ tok libovolnou uzavrˇenou plochou kolem q je konstantnı´ a roven εq0 . Obecneˇ, ma´me-li v objemu N bodovyćh na´boju˚ q1 , ..., qN , bude platit (princip superpozice) I (S)

N 1 X E · dS = · qi ε0 i=1

Nynı´ jizˇ mu˚zˇeme formulovat Gaussovu veˇtu elektrostatiky: ´ hrny´ silovy´ tok uzavrˇenou plochou je u´meˇrny´ celkove´mu na´boji uvnitrˇ plochy a neza´visı´ U na tvaru plochy. Na´boje, ktere´ jsou vneˇ plochy, k silove´mu toku neprˇispı´vajı´ – jejich silocˇa´ry protnou plochu 2× (nebo 4×, 6× pro slozˇiteˇjsˇ´ı tvary plochy) Du˚kaz by se povedl analogicky jako pro na´boj uvnitrˇ. Gaussova veˇta elektrostatiky je prˇ´ımy´ du˚sledek Coulumbova za´kona a ma´ v elektrostatice za´sadnı´ vy´znam. Shoda jejıćh prˇedpoveˇdı´ s experimentem je neprˇ´ımy´m oveˇrˇenı´m Coulumbova za´kona. P V prˇ´ıpadeˇ spojiteˇ rozlozˇene´ho na´boje uvnitrˇ Gaussovy plochy mu˚zˇeme N i=1 qi nahradit jednı´m z vy´razu˚ R R R ρ · dV, σ · dS, η · dl (V )

(S)

(l)

Gaussova veˇta v diferencia´lnı´m tvaru (str. 14)

2.5 Potencia´l Intenzita E charakterizuje elektrostaticke´ pole dobrˇe, ale je to vektor ⇒ hledejme skala´r. Praće se vypocˇ´ıta´ podle vztahu

ZB

F · dl

W = A

Vezmeme-li za F sı´lu prˇekona´vajıćı´ pu˚sobenı´ elektrostaticke´ho pole: F = −q · E Prˇemist’ujeme-li tedy bodove´ na´boje z bodu A do bodu B, vykona´ vneˇjsˇ´ı sı´la −q · E praći ZB

E · dl

W = −q A

ktera´ uda´va´ prˇ´ıru˚stek potencia´lnı´ energie v elektricke´m poli. 25

KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA Za´vislost praće na dra´ze mezi koncovy´mi body A, B: Prˇ´ıru˚stek praće na dra´ze ds : F · ds = F · dr , tj. praće za´visı´ pouze na poloze koncovyćh bodu˚, ne na vlastnı´m tvaru dra´hy. Proto mu˚zˇeme praći prˇi prˇenosu jednotkove´ho na´boje (prˇ´ıru˚stek potencia´lnı´ energie normovany´ na jednotkovy´ na´boj) pouzˇ´ıt k charakterizaci elektrostaticke´ho pole. Budeme definovat skala´rnı´ velicˇinu

UBA

W = =− q

ZB

E · dl A

jako prˇ´ıru˚stek potencia´lu elektrostaticke´ho pole. ¥ Prˇ´ıklad 2.3 Vypocˇ´ıtejme rozdı´l potencia´lu mezi body A a B v poli bodove´ho na´boje q ZB UBA = − A

q q · dr = 2 4πε0 r 4πε0

µ

1 1 − rB rA

¶

(Nebot’ E · dl = E · dr) Jestlizˇe nynı´ necha´me bod A vzdalovat do nekonecˇna, dostaneme potencia´l elektrostaticke´ho pole v bodeˇ B: q 1 UB = lim UBA = · rA →∞ 4πε0 rB Jde o praći, kterou musı´me vykonat, abychom prˇenesli kladny´ jednotkovy´ na´boj z nekonecˇna do bodu B. Tı´mto zpu˚sobem prˇirˇadı´me kazˇde´mu bodu v elektrostaticke´m poli jednoznacˇneˇ skala´rnı´ velicˇinu – potencia´l, prˇicˇemzˇ jsme zavedli nulovou hladinu potencia´lu v nekonecˇnu. Obecneˇ je potencia´l urcˇen azˇ na konstantu (referencˇnı´ bod). Pro potencia´l v poli libovolne´ soustavy na´boju˚ q1 , q2 , · · · , qN (r1 , r2 , · · · , rN ) ma´me N X 1 qi · +C U (r ) = 4πε0 i=1 |r − ri |

Potom prˇ´ıru˚stek potencia´lnı´ energie mezi body A a B (rozdı´l potencia´lu˚) UB A = UB − UA nazy´va´me napeˇtı´m. Jednotka: 1 V olt. Mezi dveˇma body je rozdı´l potencia´lu˚ 1 V , jestlizˇe se prˇi prˇemı´steˇnı´ na´boje 26

2.5. Potencia´l 1 C musı´ vynalozˇit praće 1 Joule [ U ] = V olt =

Joule 1 ) Coulomb

Potencia´l spojiteˇ rozlozˇene´ho na´boje:   Z Z Z 1  ρ(r ) dV σ(r ) dS η(r ) dl  U (r0 ) = · + + 4πε0 |r 0 − r | |r 0 − r | |r 0 − r | V

S

C

Vztah mezi intenzitou elektrostaticke´ho pole a potencia´lem: Platı´ Z U =−

E · dl

potom prˇ´ıru˚stek potencia´lu pode´l elementu dra´hy dl je dU = −El · dl kde El je slozˇka vektoru pole do smeˇru dl Po slozˇkaćh v karte´zskyćh sourˇadnicıćh: Ex = −

∂U ∂x

Ey = −

∂U ∂y

Ez = −

∂U ∂z

⇔

E (r ) = − grad U (r )

Z tohoto vztahu te´zˇ vyply´va´ jednotka elektrostaticke´ho pole = u´bytek potencia´lu na jednotkovou de´lku [V/m]. Vidı´me, zˇe potencia´l U lze pouzˇ´ıt k popisu elektrostaticke´ho pole stejneˇ dobrˇe jako intenzitu E Graficke´ zna´zorneˇnı´ elektrostaticke´ho pole: Dosud jsme pouzˇ´ıvali zna´zorneˇnı´ pomocı´ silocˇar. Dalsˇ´ı zpu˚sob je pomocı´ ekvipotencia´lnıćh ploch. Ekvipotencia´lnı´ plocha je definovańa jako geometricke´ mı´sto bodu˚, v nichzˇ ma´ potencia´l konstantnı´ prˇedepsanou hodnotu K. Jejı´ rovnice je U (r ) = K Vztah ekvipotencia´lnıćh ploch a silocˇar Derivacı´: dU =

∂U ∂x

dx +

∂U ∂y

∂U dz = 0 ∂z ,··· ⇒ − ∂U ∂x

dy +

Vı´me E = − grad U ⇒ Ex =

Ex dx + Ey dy + Ez dz = 0 = E · dr

Jelikozˇ dr lezˇ´ı v ekvipotencia´lnı´ plosˇe, je E ⊥ na ekvipotencia´lnı´ plochu. ) V soustaveˇ CGSE je jednotkou statvolt ⇔ J = 107 ergu˚, C = 3.109 jednotek na´boje CGSE . 1 statvolt = 300 Voltu˚ [erg/jedn. na´boje CGSE] 1

27


Vlastnosti elektrostaticke´ho pole:

Praće vykonana´ prˇi prˇenesenı´ na´boje mezi dveˇma body v elektrostaticke´m poli neza´visı´ na tvaru dra´hy, po ktere´ byl na´boj prˇenesen ⇒ praće vykonana´ po uzavrˇene´ krˇivce je vzˇdy rovna nule. I E · dl = 0 Stokesova veˇta (matematicka´): I

Z

F · dl =

rot F · dS

l

S

I

Z

Gaussova veˇta (matematicka´):

F · dS =

div F · dV

S

Na za´kladeˇ Stokesovy veˇty dostaneme pro rot E vztah: rot E = 0 pro kazˇdy´ bod pole (uzavrˇenou krˇivku jsme mohli zvolit libovolneˇ). Tenty´zˇ vztah bychom dostali na z rovnice (cˇ´ıslo rovnice E=-grad U) a toho, zˇe rot grad = 0 ⇒ rot E = − rot grad U = 0 Uvedena´ podmıńka znamena´, zˇe elektrostaticke´ pole je konzervativnı´, tj. prˇi obı´hańı´ po uzavrˇene´ dra´ze se nemu˚zˇe konat praće.

Pro spojiteˇ rozlozˇeny´ na´boj platı´ pro Gaussovu veˇtu: I Z 1 E · dS = ρ(r ) · dV ε0 S

R Pouzˇitı´m (cˇ´ıslo rovnice Gaussovy veˇty matem.) zı´ska´me V [div E − ερ0 ] · dV = 0 pro libovolny´ objem V . Proto musı´ platit v kazˇde´m bodeˇ Gaussova veˇta v diferencia´lnı´m tvaru: div E (r ) =

ρ(r ) ε0

Tato rovnice platı´ pro bod o polohove´m vektoru r a jeho nejblizˇsˇ´ı okolı´.

28

2.5. Potencia´l

Na´boj

Bodovy´ na´boj je umı´steˇn ve vakuu. Pro na´boj spojiteˇ rozlozˇeny´ je nutne´ me´dium, ktere´ ho nese (jinak silove´ pu˚sobenı´ zmeˇnı´ konfiguraci). Vodicˇ (kov) – mrˇ´ızˇkova´ struktura kladne´ho na´boje a elektronovy´ mrak (za´porny´ na´boj) jsou celkoveˇ elektricky neutra´lnı´. Nabijeme vodicˇ – jeho makroskopicky´ na´boj mu˚zˇe by´t jen na povrchu (uvnitrˇ ne kvu˚li odpuzovańı´). Kladny´ na´boj iontu˚ je tam pra´veˇ kompenzovań (kde TAM???). Elektrony jsou na povrchu vodicˇe – tam by se pode´lneˇ pohybovaly, pokud by bylo prˇ´ıtomno tecˇne´ elektricke´ pole ⇒ Et = 0 Staciona´rnı´ stav: uvnitrˇ vodicˇe je pole nulove´, ve vakuu u povrchu jen pole ve smeˇru vneˇjsˇ´ı norma´ly (tecˇna´ slozˇka pole tedy musı´ by´t nutneˇ nulova´). Et = 0 Vztah mezi plosˇnou hustotou na´boje a intenzitou elektrostaticke´ho pole: Zvolme Gaussovu plochu jako va´lec vy´sˇky dx a za´kladny dS nad i pod povrchem vodicˇe. Silovy´ tok pla´sˇteˇm je nulovy´ (je rovnobeˇzˇny´ s E ). Tok spodnı´ za´kladnou je te´zˇ nulovy´ (Euvnitř = 0). Tok hornı´ za´kladnou: dN = E · dS = E · dS Na´boj uvnitrˇ Gaussovy plochy: QIN = σ · dS Z Gaussovy veˇty (elektrostatiky) pak vyply´va´: E · dS = σεdS a tedy 0 σ ε0

En =

Pokud se nejedna´ o vodicˇ, ale o jiny´ materia´l s povrchovou hustotou na´boje σ, zobecnı´me vztahy pro tecˇnou a norma´lovou slozˇku pole: E1t − E2t = 0

E1n − E2n =

σ ε0

H Relaci E1t − E2t = 0 mu˚zˇeme doka´zat na za´kladeˇ vztahu l E · dl = 0 Za integracˇnı´ krˇivku vezmeme obde´lnıćˇek s delsˇ´ımi stranami rovnobeˇzˇny´mi s povrchem materia´lu. H E · dl = E1t · ∆l − E2t · ∆l = 0 =⇒ E1t − E2t = 0 nebot’ ∆l 6= 0 l Laplaceova a Poissonova rovnice Vyjdeme z Gaussovy veˇty v diferencia´lnı´m tvaru: 29

KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA div E (r ) =

ρ(r ) ε0

a dosadı´me E = − grad U

Vı´me, zˇe div grad = ∇2 = ∆ a dostaneme Poissonovu rovnici ∆U = −

ρ ε0

V bodech, kde nejsou zˇa´dne´ na´boje se Poissonova rovnice redukuje na rovnici Laplaceovu ∆U = 0 Tyto rovnice prˇedstavujı´ podmıńky, ktery´m musı´ potencia´l elektrostaticke´ho pole vyhovovat. Jsou to parcia´lnı´ diferencia´lnı´ rovnice a jsou za´kladem teorie elektrostaticke´ho pole. Jejich platnost je loka´lnı´ – popisujı´ konkre´tnı´ vztah mezi potencia´lem a rozlozˇenı´m na´boje v jednotlivyćh mı´stech pole (?? prostoru ??). Rˇesˇenı´ teˇchto rovnic znamena´ nale´zt takovou funkci U , aby vyhovovala rovnicı´m (cozˇ jesˇteˇ nenı´ jednoznacˇne´), a aby soucˇasneˇ splnˇovala urcˇite´ okrajove´ podmıńky (na vodicˇi ma´me U pevneˇ zadańo,. . .). Pouzˇitı´ Gaussovy veˇty – urcˇenı´ E a U pro jednoducha´ teˇlesa 1) Bodovy´ na´boj Q ¡r ¢ Q 1 Intenzita: Vı´me, zˇe platı´ E (r ) = 4πε · 2 · r r 0 R Q 1 Potencia´l U (r ) = − E · dr = 4πε0 · r + C 2) Spojity´ na´boj sfe´ricky symetricky´ Meˇjme na´boj s hustotou ρ 6= konst, ale za´vislou pouze na vzda´lenosti r od strˇedu, tj. ρ = ρ(r) ∧ ρ = 0 pro r > r0 Chceme zna´t E v bodeˇ P1 a v bodeˇ P2 (vneˇ a uvnitrˇ) Jsou dva mozˇne´ prˇ´ıstupy – prˇes Coulombu˚v za´kon prostorovou integracı´ – pomocı´ Gaussovy veˇty Syste´m je symetricky´ =⇒ intenzita ma´ radia´lnı´ smeˇr a jejı´ velikost je konstantnı´ pro r = konst. Zvolı´me Gaussovu plochu S1 jako kouli o polomeˇru r1 :  R 2  · E(r ) E · d S = E(r ) · S = 4πr 1 1 1 S1 Gaussova veˇta ⇒ E(r1 ) = 4πεQ01 r2 smeˇr radia´lnı´ R R 1  ρ dV = V0 ρ dV = Q1 V1 Intenzita vneˇ je stejna´, jako kdyby byl cely´ na´boj soustrˇedeˇn do jedine´ho bodu v centru. Potencia´l tomu odpovı´da´. 30

2.5. Potencia´l V bodeˇ P2 analogicky:  R 2  E · d S = E(r ) · S = 4πr · E(r ) 2 2 2 S2 ⇒ E(r2 ) = R  ρ dV = Q 2 V2

Q2 4πε0 r22

jako by na´boj uvnitrˇ koule S2 byl v centru a vneˇ nebyl zˇa´dny´ na´boj. Tvar E a U za´visı´ na konkre´tnı´ formeˇ rozdeˇlenı´ ρ 3) Nabita´ vodiva´ koule Meˇjme kouli o polomeˇru R, nabitou na´bojem Q – ten bude po jejı´m povrchu rozprostrˇen Q s hustotou ρ = 4πR 2 ¡ R ¢2 Q 1 σ Intenzita pole: r > R E(r) = 4πε · 2 = ε · r r 0 0 r < R V objemu uzavrˇene´m Gaussovou plochou nejsou zˇa´dne´ na´boje a podle Gaussovy veˇty E = 0 Q 1 σ R2 Potencia´l: r > R U (r) = 4πε · = · r ε r 0 0 σ r = R U (R) = ε0 · R = E(R) · R r < R U (r) = U (R) = konst nebot’E = 0 (vodive´ teˇleso) 4) Rovnomeˇrneˇ nabita´ prˇ´ımka Necht’je na prˇ´ımce na´boj rozlozˇen s linea´rnı´ hustotou η, Gaussovou plochou zvolı´me va´lec de´lky l a polomeˇru r.   Náboj uvnitř této plochy je Q = η · l.  η·l ⇒ E(r2 ) = ε0 2πl·r = 2πεη0 ·r Pole je radiální; nenulový tok bude pouze   pláštěm válce N = E(r) · 2πr · l. Pole je radia´lnı´ (dı´ky symetrii) ⇒ tok podstavami va´lce je nulovy´ R R dr η η Potencia´l: U (r) = − E · dr = − 2πε = − 2πε · ln r + C r 0 0 5) Rovnomeˇrneˇ nabita´ rovina Meˇjme rovinu nabitou plosˇnou hustotou σ(ktera´ se deˇlı´ na obeˇ strany). Gaussouvou plochou bude va´lec k rovineˇ kolmy´. Z du˚vodu symetrie bude E na rovinu kolma´ a nenulovy´ tok bude pouze za´kladnami va´lce Intenzita: ) N = E · ∆S1 + E · ∆S2 = 2E ∆S ⇒ E(r) = ε0σ·∆S = 12 εσ0 6= f (r) ·2 ∆S Q = σ · ∆S R Potencia´l: U (r) = − E · dr = − 21 εσ0 · r + C Vidı´me, zˇe intenzita i potencia´l majı´ obecneˇ odvozene´ vlastnosti: potencia´l je prˇi pru˚chodu nabitou plochou spojity´, intenzita nespojita´.

31


6) Dveˇ rovnomeˇrneˇ nabite´ roviny Vy´pocˇet nebudeme prova´deˇt – vyuzˇijeme princip superpozice. Intenzita: Cˇa´sti prostoru I a III budou bez pole: E = 0 Cˇa´st II bude mı´t pole E = E1 + E2 = εσ0 Na´boj na deskaćh se musı´ prˇesunout na vnitrˇnı´ stranu desek, nebot’jinak by u vneˇjsˇ´ıch stran nemohlo by´t nulove´ pole (???). Potencia´l: Vneˇ ma´ potencia´l hodnotu stejnou jako na rovinaćh, uvnitrˇ se bude meˇnit podle vztahu U (x) = εσ0 · x + C Napeˇtı´ mezi rovinami U = εσ0 d = E · d Z teˇchto prˇ´ıkladu˚ jsme zı´skali poznatky: prˇi pru˚chodu nabitou vrstvou vykazuje intenzita nespojitost εσ0 Na povrchu koule je potencia´l U (R) = R · E(R) =⇒ E(R) = U (R) , tj. pole u kovovyćh koulı´ R na stejne´m potencia´lu je neprˇ´ımo u´meˇrne´ jejich polomeˇru – srsˇenı´ prˇi E > 3 · 106 V · m−1

Doplnit chybeˇjıćı´ u´daje (strana 16 rukopisu)!!!!

2.6 Elektrostaticke´ pole soustavy vodicˇu˚ Elektrostaticke´ pole nabityćh vodicˇu˚ Prˇi uvedenı´ pojmu hustota na´boje se nehovorˇilo o konkre´tnı´ realizaci – ve skutecˇnosti je na´boj va´zań na nositele (elektrony, ionty, . . . ) Stare´ experimenty – ma´me kouli nabitou a nenabitou – dra´t na´boj prˇenese × skleneˇna´ tycˇ ne =⇒ deˇlı´me la´tky na vodicˇe a izola´tory. Vodicˇ nelze zelektrovat trˇenı´m, je-li vodiveˇ spojen se zemı´. Dotkneme-li se nabite´ho vodicˇe (na izolovane´ podlozˇce) v libovolne´m mı´steˇ zemeˇny´m vodicˇem, odvede se ihned cely´ na´boj =⇒ na´boj na vodicˇi je volny´. Dotkneme-li se nabite´ho nevodicˇe odvede se jen na´boj z mı´sta dotyku =⇒ na´boj na izola´toru je va´zany´. Da´le budeme uvazˇovat nabite´ vodicˇe ve vakuu. Vodicˇ je nabity´ pouze na povrchu – uvnitrˇ se vlivem vza´jemne´ho odpuzovańı´ zˇa´dny´ volny´ na´boj neudrzˇ´ı. Proto je intenzita elektrostaticke´ho pole nulova´. Platı´ Et = 0 En = εσ0 σ tj. E = ε0 (Coulombova veˇta) Chovańı´ vodicˇu˚ v elektrostaticke´m poli: 32

2.6. Elektrostaticke´ pole soustavy vodicˇu˚

Umı´stı´me-li vodive´ teˇleso do pole jine´ho nabite´ho teˇlesa, ”objevı´” se na pu˚vodneˇ neutra´lnı´m teˇlese na´boje, ktere´ pozmeˇnı´ pru˚beˇh (?tvar, charakter?) pu˚vodnı´ho pole. Tyto na´boje vytvorˇ´ı vlastnı´ pole, ktere´ bude uvnitrˇ vodicˇe rusˇit pole vneˇjsˇ´ı. Z pokusu˚ vyply´va´, zˇe celkova´ velikost kladne´ho na´boje je rovna celkove´ velikosti na´boje za´porne´ho. Elektrostaticka´ indukce (influence) Tento jev spocˇ´ıva´ v tom, zˇe elektrostaticke´ pole vytva´rˇ´ı makroskopicke´ na´boje na vodicˇicˇ´ıch pu˚vodneˇ nenabityćh (neutra´lnıćh). Vysveˇtlenı´: Ve vodicˇi jsou volne´ na´boje. Na neˇ pu˚sobı´ v elektrostaticke´m sı´la, ktera´ se je snazˇ´ı prˇemı´stit. To vede k separaci kladnyćh a za´pornyćh na´boju˚. Pohyb se deˇje tak dlouho, azˇ je vy´sledna´ intenzita pole uvnitrˇ vodicˇe nulova´ (kdyby neˇkde nulova´ nebyla, byl by tam volny´ na´boj, ten by se vlivem pole pohyboval – stav by nebyl rovnova´zˇny´). Uvnitrˇ kovu je nulova´ intenzita elektrostaticke´ho pole – v takove´m mı´steˇ nenı´ volny´ na´boj. Na´boj je pouze na povrchu kovovyćh vodicˇu˚ a lze jej popsat plosˇnou hustotou na´boje σ(r ). Potencia´l – pro nulovou intenzitu je jeho hodnota uvnitrˇ vodicˇe konstantnı´ R (U (r) = − E (r ) · dr + C). Cely´ objem vodicˇe tvorˇ´ı ekvipotencia´lnı´ objem, povrch ekvipotencia´lnı´ plochu. Intenzita pole je vzˇdy kolma´ k ekvipotencia´lnı´ plosˇe. Platı´ En = E, Et = 0. Meˇjme vodicˇ s dutinou. Pokud v nı´ nebudou prˇ´ıtomny izolovane´ na´boje, elektrostaticke´ pole vneˇ vodicˇe se nezmeˇnı´. Intenzita pole uvnitrˇ vodicˇe (tedy i v dutineˇ) bude nulova´ a nebude tam zˇa´dny´ volny´ na´boj. To mu˚zˇeme oveˇrˇit pokusem s Faradayovou klecı´: Prˇenese-li se na´boj kulicˇkou K2 na vnitrˇnı´ steˇnu dute´ho vodicˇe K1 (tak, zˇe K2 svu˚j na´boj odevzda´), nabije se a odchy´lı´ pouze (vodiva´) kulicˇka na vneˇjsˇ´ı steˇneˇ. Vodicˇ K2 odevzda´ vsˇechen svu˚j na´boj – v okamzˇiku dotyku tvorˇ´ı vodicˇe jedno teˇleso, kulicˇka K2 je uvnitrˇ, tam vsˇak nemu˚zˇe by´t zˇa´dny´ na´boj. Za´kladnı´ proble´m elektrostatiky (jednoznacˇnost elektrostaticke´ho pole vodicˇu˚)

Meˇjme libovolnou soustavu, tvorˇenou N vodicˇi libovolneˇ rozlozˇeny´mi v prostoru. Necht’ tyto vodicˇe nesou na´boje Q1 , Q2 , . . . , QN . Vı´me, zˇe v rovnova´zˇne´m stavu budou na´boje rozlozˇeny jen na povrchu vodicˇu˚ a Ei n bude nulova´. Vyvsta´va´ prˇed na´mi ota´zka: Je tı´mto pozˇadavkem rozlozˇenı´ na´boje pole jednoznacˇneˇ urcˇeno, nebo rozlozˇenı´ na´boje σi na jednotlivyćh vodicˇ´ıch za´visı´ naprˇ´ıklad na porˇadı´ nabitı´ vodicˇu˚ (cˇ´ımzˇ bychom zı´skali vıće mozˇnostı´ pru˚beˇhu pole)?

33


Rozlozˇenı´ na´boje je urcˇeno jednoznacˇneˇ Du˚kaz: Prˇedpokla´dejme, zˇe existujı´ dveˇ rovnova´zˇna´ rozdeˇlenı´ σ1 a σ2 ´ KA !!!! v rukopise str. 18 !!!! DOPLNIT DU˚KAZ ZE SEDLA Rozlozˇenı´ na´boju˚ na libovolnyćh vodicˇ´ıch je tedy jednoznacˇneˇ dańo velikostı´ teˇchto na´boju˚, tvarem vodicˇu˚ a jejich rozmı´steˇnı´m v prostoru. Tı´m jsou dańy i potencia´ly vsˇech vodicˇu˚ (azˇ na aditivnı´ konstantu). 1) Pru˚beˇh potencia´lu je principia´lneˇ mozˇno vzˇdy vypocˇ´ıtat na za´kladeˇ znalosti pru˚beˇhu hustoty na´boje podle Z 1 σ(r ) U (r0 ) = · · dS 4πε0 |r 0 − r | S

2) Jiny´ (snadneˇji rˇesˇitelny´) postup vyuzˇ´ıva´ Laplaceovy rovnice s vedlejsˇ´ımi podmıńkami. Vedlejsˇ´ı podmıńky najdeme z nasˇich znalostı´ potencia´lu: a) Potencia´l ma´ konstantnı´ hodnotu v cele´m objemu kazˇde´ho vodicˇe. Tyto hodnoty jsou prˇedepsańy vztahem (odvozeny´m z Gaussovy veˇty) Z ε0 · grad U · dS = −Qi Si

b) Jsou-li vsˇechny vodicˇe rozmı´steˇny v konecˇnu, platı´: lim U (r ) = 0

r→∞

(tı´m urcˇujeme aditivnı´ konstantu) Tvrzenı´: Existuje nejvy´sˇe jedno rˇesˇenı´ Laplaceovy rovnice vyhovujıćı´ podmıńka´m a), b). Du˚kaz: Prˇedpokla´dejme, zˇe existujı´ dveˇ rˇesˇenı´ U1 a U2 . Kvu˚li lineariteˇ Laplaceovy rovnice je rˇesˇenı´m i U 0 = U1 − U2 . U 0 = 0 na kazˇde´m vodicˇi (tam je potencia´l urcˇen pro U1 i U2 stejneˇ). Da´le limr→∞ U 0 (r ) = 0. Kdyby bylo U 0 6= 0 v neˇjake´m bodeˇ prostoru r0 (necht’naprˇ. U 0 > 0), existuje kulova´ plocha K kolem r0 v jejıćh bodech je U 0 < U 0 (r0 ) ⇒ grad U 0 < 0 ⇒ E = − grad U 0 > 0 (ven) a platı´ ˇ EBA ZE SEDLA ´ KA DOPLNIT TR Vı´me: 1) rˇesˇenı´ dane´ elektrostaticke´ u´lohy existuje a splnˇuje podmıńky a), b) 2) podmıńkami a), b) je rˇesˇenı´ Laplaceovy rovnice urcˇeno jednoznacˇneˇ 34

2.6. Elektrostaticke´ pole soustavy vodicˇu˚

Proto: najdeme-li takovou funkci, ktera´ soucˇasneˇ vyhovuje Laplaceoveˇ rovnici a za´rovenˇ podmıńka´m a), b), pak tato funkce bude urcˇovat pru˚beˇh potencia´lu nasˇ´ı soustavy.

/bf Konkre´tnı´ rˇesˇenı´: cˇasto je trˇeba najı´t pru˚beˇh potencia´lu soustavy vodicˇu˚ umı´steˇnyćh v dutineˇ vodive´ho teˇlesa. Pak je trˇeba modifikovat podmıńku b) – pozˇadujeme nulovy´ potencia´l na te´to vodive´ oba´lce. Zjednodusˇenı´ vy´pocˇtu: mu˚zˇeme si cˇa´st prostoru obklopenou ekvipotencia´lou nahradit vodicˇem a na´boj, ktery´ byl v tomto objemu prˇevedeme na nasˇe vodive´ teˇleso. Tı´m se pu˚vodnı´ pole nezmeˇnı´, podmıńka a) bude i nada´le splneˇna. Vy´pocˇet prˇitom mu˚zˇe by´t podstatneˇ jednodusˇsˇ´ı.

¥ Prˇ´ıklad 2.4 Situace pra´veˇ opacˇna´: Zajı´ma´ na´s pole soustavy nekonecˇna´ vodiva´ rovina – na´boj Q umı´steˇny´ ve vzda´lenosti a od roviny. Tomuto pu˚sobenı´ prˇevedene´mu na sı´lu (?!?! jak se pu˚sobenı´ prˇeva´dı´ na sı´lu ?!?! Q.E?) se rˇ´ıka´ sı´la zrcadlenı´. Vı´me, zˇe dipo´l ma´ ekvipotencia´lnı´ plochu ve sve´ rovineˇ symetrie. Do plochy (poloprostoru) nulove´ho potencia´lu mu˚zˇeme umı´stit vodicˇ anizˇ bychom tı´m pole zmeˇnili. Tedy pole soustavy bude mı´t tvar stejny´ jako pole dipo´lu.

2.6.1 Kapacita, kondenza´tor Kapacitnı´ a influencˇnı´ koeficienty Meˇjme izolovane´ vodive´ teˇleso a na neˇm na´boj Q. Potencia´l tvorˇeny´ tı´mto teˇlesem bude U (r ), potencia´l na povrchu teˇlesa volı´me U0 . Na teˇleso nynı´ umı´stı´me jiny´ na´boj Q0 = A · Q (A je konstanta). Chceme najı´t potencia´l (jako funkci sourˇadnic) vyhovujıćı´ Laplaceoveˇ rovnici a splnˇujıćı´ podmıńky a), b). Tyto pozˇadavky formulujme naprˇ´ıklad (v karte´zskyćh sourˇadnicıćh) takto: ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U + + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Z a) b)

ε0 ·

grad U · dS = −Q

lim U (r ) = 0

r→∞

35

KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA Proto platı´, zˇe pomeˇr na´boje a potencia´lu U0 je konstantnı´ (za´visı´ pouze na geometrii teˇlesa): C=

Q U0

Velicˇinu C nazveme kapacita – je to schopnost dane´ho teˇlesa shromazˇd’ovat na´boj. Teˇleso o mensˇ´ı kapaciteˇ prˇivedeme dany´m na´bojem na vysˇsˇ´ı potencia´l. Jednotkou kapacity je Farad – kapacita teˇlesa, ktere´ se na´bojem 1 C prˇivede na potencia´l 1 V . Mensˇ´ı jednotky: µF = 10−6 F ; nF = 10−9 F ; pF = 10−12 F . Nynı´ se zaby´vejme dvojicı´ vodivyćh teˇles (pro n-tici by byl postup analogicky´). Chceme najı´t vztahy mezi na´boji na teˇlesech a potencia´ly elektrostaticke´ho pole. Budeme postupneˇ uvazˇovat ru˚zne´ specia´lnı´ prˇ´ıpady, ktere´ pak zobecnı´me. 1) Vezmeme teˇleso I osamocene´ v prostoru, nabite´ na´bojem Q1 . Jeho kapacitu oznacˇme C01 . Pro jeho potencia´l platı´ (0) Q1 = C01 · U1 (0. přiblížení) 2) Do soustavy prˇida´me teˇleso II bez na´boje. V rovnova´ze bude na teˇlese II indukovań na´boj obou znamenı´ tak, aby vy´sledne´ pole v teˇlese II bylo nulove´. Toto pole bude zpeˇtneˇ pu˚sobit i na teˇleso I, tam musı´ te´zˇ dojı´t k prˇerozdeˇlenı´ na´boju˚, aby v teˇlese I nebylo zˇa´dne´ pole. Pak potencia´ly kdekoliv v prostoru budou dańy funkcı´ (1) (1) U (r ), ktera´ na teˇlesech bude naby´vat hodnot U1 a U2 (1. prˇiblı´zˇenı´) 3) Zmeˇnı´me na´boj teˇlesa I na hodnotu Q01 = A · Q1 . Okrajovy´m podmıńka´m potencia´lu bude (1) (1) vyhovovat funkce U 0 (r ) = A · U (r ), na vodicˇ´ıch bude naby´vat hodnot A · U1 a A · U2 . Tato funkce podle veˇty o jednoznacˇnosti popisuje novy´ pru˚beˇh potencia´lu. Proto opeˇt existujı´ konstanty urcˇujıćı´ u´meˇrnost mezi na´bojem Q1 a potencia´ly teˇles (dane´ geometriı´): (1)

U1 = B11 · Q1

(1)

U2 = B21 · Q1

(1. přiblížení)

4) Provedeme analogicky´ postup s teˇlesem I bez na´boje a teˇlesem II s na´bojem Q2 . Na teˇlesech budou potencia´ly a u´meˇrnost mezi na´bojem a potencia´ly bude (2)

(2)

U1 = B12 · Q2

U2 = B22 · Q2

(10 . přiblížení)

(??? 2. priblizeni ??? viz rukopis str 20) 5) Obecny´ prˇ´ıpad – teˇleso I s na´bojem Q1 a teˇleso II s na´bojem Q2 – je superpozice prˇ´ıpadu˚ 3) a 4). Potencia´ly U1 a U2 budou (1)

(2)

U1 = U1 + U1 = B11 · Q1 + B12 · Q2 36

2.6. Elektrostaticke´ pole soustavy vodicˇu˚ (1)

(2)

U2 = U2 + U2 = B21 · Q1 + B22 · Q2 Pro n teˇles bude tato soustava mı´t n rovnic o n cˇlenech U1 = B11 Q1 + B12 Q2 + . . . B1n Qn U2 = B21 Q1 + B22 Q2 + . . . B2n Qn .. .. . . Un = Bn1 Q1 + Bn2 Q2 + . . . Bnn Qn Rˇesˇenı´ soustavy dvou teˇles pro na´boje bude Q1 = C11 U1 + C12 U2 Q2 = C21 U1 + C22 U2 kde C11 =

B22 , ∆

C22 =

B11 , ∆

C12 = − B∆12 , C21 = − B∆21 , a ∆ = B11 · B22 − B12 · B21 = detM

Obecneˇ: Ui =

N X

Bij Qj

j = 1, 2, . . . , N

Cij Uj

j = 1, 2, . . . , N

j=1

Qi =

N X j=1

Konstanty Bij urcˇene´ rozmeˇry a vza´jemny´mi polohami vsˇech vodicˇu˚ nazveme potencia´love´ koeficienty Konstanty Cii kapacitnı´ koeficienty Konstanty Cij (i 6= j) influencˇnı´ koeficienty Da´ se uka´zat, zˇe vsˇechny zde uvedene´ koeficienty nejsou neza´visle´. Platı´: Bij = Bji Cij = Cji , da´le Cij > 0 Obecneˇ neplatı´ Cii = C, kde C je kapacita izolovane´ho i-te´ho vodicˇe. V Cii se projevuje i vliv vsˇech ostatnıćh vodicˇu˚. Bude Cii → C, bude-li vliv ostatnıćh vodicˇu˚ maly´, tj. budou-li male´ prˇ´ıslusˇne´ influencˇnı´ koeficienty.

Kondenza´tor V prˇedchozı´m odstavci jsme si zavedli pojem kapacita jako schopnost dane´ho teˇlesa shromazˇd’ovat elektricky´ na´boj. 37


Pro potencia´l kulove´ho vodicˇe platı´: q q =⇒ C = = 4πε0 R 4πε0 · R U Koule polomeˇru 1 cm ma´ kapacitu C = 4πε0 · 10−2 = 4π · 8, 85 · 10−12 · 10−2 = £ ¤ 1, 1 · 10−12 F aradu ≡ Coulomb V olt V soustaveˇ CGSE ma´ kapacita rozmeˇr de´lky – cm (4πε0 = 1). Vidı´me, zˇe v soustaveˇ CGSE je kapacita koule rovna jejı´mu polomeˇru. U=

Kapacita izolovane´ho teˇlesa je velmi mala´. Kouli o polomeˇru R = 1 cm mu˚zˇeme nabı´t na vzduchu maxima´lneˇ na potencia´l 3 · 104 V (srsˇenı´ prˇi vysˇsˇ´ıch hodnotaćh). Bude na nı´ na´boj 3, 3 · 10−8 C, cozˇ je velmi ma´lo. Kapacita teˇlesa se vsˇak zvy´sˇ´ı, pokud do jeho blı´zkosti umı´stı´me neˇjake´ dalsˇ´ı teˇleso. Budeme-li druhe´ teˇleso prˇiblizˇovat, bude potencia´l prvnı´ho teˇlesa klesat (bude klesat vyćhylka elektroskopu). Jelikozˇ Q = konst, bude kapacita ru˚st. Tı´m vznikne zarˇ´ızenı´ nazy´vane´ kondenza´tor. Obecneˇ budeme uvazˇovat usporˇa´dańı´ dvou teˇles – teˇleso I je v dutineˇ teˇlesa II. Prˇivedeme na´boj Q na teˇleso I. Na vnitrˇnı´ straneˇ teˇlesa II se indukuje steˇjneˇ velky´ na´boj −Q. Potencia´ly vodicˇu˚ budou U1 a U2 (U1 6= U2 nebot’v dutineˇ je elektrostaticke´ pole). Obecneˇ platı´: Q = C11 · U1 + C12 · U2 V nasˇem konkre´tnı´m prˇ´ıpadeˇ ale nejsou koeficienty neza´visle´. Pro Q = 0 platı´ U1 = U2 ⇒ C11 = −C12 = C. Pak Q = C · U kde U = U1 − U2 = napeˇtı´ mezi vodicˇi. Pole v dutineˇ neza´visı´ na na´bojıćh na vneˇjsˇ´ım povrchu vodicˇe II a na okolnı´m prostoru. Situace je popsańa jedinou konstantou C – kapacitou kondenza´toru.

Prakticka´ realizace kondenza´toru: Technicky nenı´ mozˇno realizovat konfiguraci, kdy jedna elektroda zcela obklopuje druhou. Volı´ se proto kompromisy.

1) Deskovy´ kondenza´tor Elektrody jsou dveˇ rovnobeˇzˇne´ rovinne´ desky ve vzda´lenosti d a plosˇe S. Bude-li d ve srovnańı´ s rozmeˇry desek velmi male´, bude pole soustrˇedeˇno hlavneˇ mezi deskami a rusˇenı´ vneˇjsˇ´ımi poli √ ¡ bude male´ (? zanedbatelne´ ?). Alternativnı´ formulace:Bude-li d ¿ S, bude pole soustrˇedeˇno 38

2.6. Elektrostaticke´ pole soustavy vodicˇu˚ ¢ hlavneˇ mezi deskami a rusˇenı´ vneˇjsˇ´ımi poli bude male´. Pouzˇijeme rˇesˇenı´ zı´skane´ho pro dveˇ nekonecˇne´ roviny (!! odkaz na rˇesˇeny´ prˇ´ıklad !!). Intenzita E bude kolma´ na desky. Na´boj na kazˇde´ desce bude ±q = σ · S. Napeˇtı´ mezi deskami Zd

E · dl = E · d

U=

E=

σ ε

,σ= Sq

0 =⇒

U=

0

Podle definice kapacity kondenza´toru C = Uq a tedy C = to platı´, je-li mezi deskami vakuum (prˇ´ıpadneˇ vzduch).

2) Va´lcovy´ kondenza´tor Pro jeho kapacitu platı´ C =

2πε0 r ln r2

q·d ε0 ·S

ε0 S d

·l

1

Snazˇ´ıme se zı´skat kondenza´tor o malyćh rozmeˇrech a velke´ kapaciteˇ. Proto chceme, aby: 1) ućˇinna´ plocha byla co nejveˇtsˇ´ı 2) vzda´lenost desek byla co nejmensˇ´ı . 3) permitivita dielektrika byla velika´ (εr = 101 − −102 , maxima´lneˇ 104 ) Typy beˇzˇneˇ pouzˇ´ıvanyćh kondenza´toru˚: 1) Kondenza´tor vzdusˇny´ se dveˇma sadami rovnobeˇzˇnyćh desek (poprˇ. jedna sada otocˇna´). 2) Kondenza´tor svitkovy´ – dielektrikum (izolace) je realizovańo papı´rovou fo´liı´. 3) Kondenza´tory s keramicky´m dielektrikem (T iO2 , BaT iO3 ) 4) Kondenza´tory elektrolyticke´ (hlinı´kova´ anoda, tenka´ vrstva Al2 O3 , elektrolyt) Zapojenı´ vıće kondenza´toru˚:

1) Paralelnı´ kombinace (vedle sebe): Oba kondenza´tory jsou na stejnyćh potencia´lech. Pro jejich na´boje platı´: Q1 = C1 · U Q2 = C2 · U Celkovy´ na´boj je tedy: Q = Q1 + Q2 = (C1 + C2 ) · U Toto zapojenı´ je ekvivalentnı´ jednomu kondenza´toru s kapacitou C = se scˇ´ıtajı´ Obecneˇ pro n kondenza´toru˚: n X C= Ci i=1

39

Q U

= C1 + C2 – kapacity


2) Se´riove´ zapojenı´ (za sebou): Na´boj na kondenza´torech je stejny´ (vznika´ elektrostatickou indukcı´). Pro napeˇtı´ platı´: U = U1 + U2 = CQ1 + CQ2 = Q C C1 C2 1 1 1 Pak C = C1 + C2 ⇐⇒ C = C1 +C2 Obecneˇ pro n kondenza´toru˚: n

X 1 1 = C Ci i=1

Scˇ´ıtajı´ se prˇevraćene´ hodnoty kapacit. Ma´me-li dva stejne´ kondenza´tory kapacity C, bude jejich paralelnı´ kombinace mı´t kapacitu 2C a se´riova´ kombinace kapacitu C2 (ale snese dvojna´sobne´ napeˇtı´). Elektrostaticke´ genera´tory Jsou to zarˇ´ızenı´, ktera´ jsou schopna´ udrzˇovat dva ru˚zne´ vodicˇe trvale na ru˚zne´m potencia´lu. Zdroje kladne´ho a za´porne´ho na´boje.

1) Indukcˇnı´ (Wimshurstova) elektrˇina – 1883 Vyuzˇ´ıva´ jevu elektrostaticke´ indukce. Tvorˇ´ı ji dva ebonitove´ (skleneˇne´) kotoucˇe, otaćˇejıćı´ se proti sobeˇ, pokryte´ kovovy´mi lamelami. Na´hodnou fluktuacı´ vznikne v A2 kladny´ na´boj. Indukcı´ pak za´porny´ na´boj v A1 a kladny´ v C1 . Otaćˇenı´m se za´porny´ na´boj prˇesune do polohy B1 , cˇ´ımzˇ se indukuje kladny´ na´boj v B2 a za´porny´ v D2 . Tı´m se hornı´ cˇa´st II a dolnı´ cˇa´st I nabı´jejı´ kladneˇ, dolnı´ cˇa´st II a hornı´ cˇa´st I se nabı´jejı´ za´porneˇ. Na´boje se snı´majı´ kartaćˇky S1 a S2 do kondenza´toru (Leydenske´ lahve). Lamely majı´ malou kapacitu – vznika´ velky´ potencia´l.

2) Van de Graaffu˚v genera´tor – 1931 Vyuzˇ´ıva´ faktu, zˇe intenzita pole v dutineˇ vodicˇe je nulova´ a na´boj je rozmı´steˇn jen na vneˇjsˇ´ım povrchu vodicˇu˚. Skla´da´ se z dute´ izolovane´ kovove´ elektrody E, transportnı´ho pa´su T (nevodivy´ materia´l jako je naprˇ. guma, ...), baterie B (galvanicky´ cˇlańek), sbeˇracˇu˚ K1 a K2 . Elektroda E se mu˚zˇe nabı´jet na libovolne´ napeˇtı´, dane´ izolacı´ (rˇa´doveˇ 106 V ). 40

2.7. Elektrostaticke´ pole v dielektriku

2.7 Elektrostaticke´ pole v dielektriku Vektor elektricke´ polarizace: La´tky jsme rozdeˇlili na vodicˇe a izola´tory (dielektrika). Umı´stı´me-li do elektrostaticke´ho pole vodicˇ, dojde k indukci volne´ho na´boje. Dielektrikum zˇa´dny´ volny´ na´boj nema´. Skla´da´ se vsˇak z atomu˚ – kladne´ho ja´dra a za´porne´ho elektronove´ho obalu. Umı´stı´me-li dielektrikum do elektrostaticke´ho pole, chova´ se (i prˇes to, zˇe je jako celek elektricky neutra´lnı´) jako elektricky aktivnı´ soustava. Jeho chovańı´ si mu˚zˇeme popsat pomocı´ elektrickyćh dipo´lu˚. Neˇktere´ la´tky majı´ molekuly, ktere´ prˇ´ımo majı´ dipo´lovy´ moment (naprˇ´ıklad voda). Elektrostaticke´ pole je pouze orientuje, jine´ se mohou zpolarizovat posunutı´m elektronove´ho obalu vu˚cˇi ja´dru (teˇzˇisˇteˇ zu˚stane na mı´steˇ, ale vzhledem k pomeˇru hmotnosti ja´dra a obalu bude pohyb ja´dra zanedbatelny´), poprˇ´ıpadeˇ (u iontovyćh krystalu˚) se posunou dveˇ cˇa´sti molekuly. Popis pomocı´ dipo´lovyćh momentu˚ je pouze prˇiblizˇny´, cˇasto je dobre´ pouzˇ´ıt momenty vysˇsˇ´ı. Popis take´ platı´ ve vzda´lenostech podstatneˇ veˇtsˇ´ıch nezˇ rameno dipo´lu.

Shrnˇme tedy: vlivem vneˇjsˇ´ıho elektrostaticke´ho pole vzniknou v la´tce dipo´ly orientovane´ smeˇrem vneˇjsˇ´ıho pole. Rˇ´ıka´me, zˇe se dielektrikum polarizuje. Jeho stav popisujeme vektorem polarizace P , ktery´ uda´va´ vektorovy´ soucˇet elementa´rnıćh dipo´lovyćh momentu˚ v objemove´ jednotce. Vezmeme objem ∆V – tam je N molekul o dipo´lovyćh momentech pi (i = 1, . . . , N ). Vy´sledny´ dipo´lovy´ moment tedy bude N X P∆V = pi i=1

Budeme-li objem ∆V zmensˇovat (makroskopicky), prˇejdeme k pojmu hustota dipo´love´ho momentu (analogicky pojmu hustota na´boje) = vektor elektricke´ polarizace.

P = lim

P∆V

∆V →0 ∆V

(Celkovy´ dipo´lovy´ moment na jednotkovy´ objem) Polarizaci cˇa´sti dielektrika ∆V1 najdeme jako Z P1 = P (r ) · dV (= P · V1 jestliže je P = konst) V1

Rozmeˇr elektricke´ polarizace v soustaveˇ SI je Coulomb = Coulomb·m m2 m3 Na polarizaci dielektrika se mu˚zˇeme dı´vat dveˇma zpu˚soby: – V cele´m objemu dielektrika vznikajı´ elektricke´ dipo´ly – popis pomocı´ vektoru polarizace P 41

KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA – Pomocı´ indukovane´ho na´boje σi = povrchovy´ na´boj. Indukovany´ na´boj na dielektriku ma´ jinou podstatu nezˇ volny´ cˇi indukovany´ na´boj na vodicˇi. Rozdı´ly: 1) povrchove´ indukovane´ na´boje na dielektriku nejsou volne´ a nelze je od sebe oddeˇlit. Kdyzˇ rozdeˇlı´me dielektrikum prˇ´ıcˇny´m rˇezem, objevı´ se na rˇezu opeˇt na´boje obou znamenı´ a celkovy´ na´boj kazˇde´ cˇa´sti je roven nule (ne tak u vodicˇu˚) 2) elektricke´ pole v dielektriku vlivem indukovanyćh na´boju˚ poklesne, ale zcela nevymizı´. Elektricke´ pole v dielektriku poklesne, nebot’ u elektrody kondenza´toru nabite´ na´bojem Q se indukuje na´boj Qi opacˇne´ polarity. Novy´ vy´sledny´ na´boj na (a u) elektrodeˇ je Q0 = Q + Qi < Q. Na´boje na vodicˇi jsou na´boje volne´, na´boje na dielektriku jsou na´boje va´zane´. Experimenta´lneˇ bylo zjisˇteˇno, zˇe polarizace je prˇ´ımo u´meˇrna´ poli E v dielektriku (pro veˇtsˇinu la´tek).

P = ε0 · χe (r )E (r ) zde χe = elektricka´ susceptiblilta – bezrozmeˇrna´ velicˇina, materia´lova´ konstanta. 2 ) Teplotnı´ za´vislost χ je mozˇno popsat vztahem χe = χe0 +

konst T

Typicke´ hodnoty prˇi teploteˇ 300 K: Materia´l: χe

jantar 1,8

porcelań petrolej benzen 4 ÷ 5,7 1,1 1,3

voda 80

Vezmeˇme rovinny´ kondenza´tor s homogennı´m dielektrikem. Je-li dielektrikum rovnomeˇrneˇ zpolarizovańo, je u´hrnny´ dipo´lovy´ moment P ·V , objem V = S ·d. ) ε0 se do vztahu zava´dı´ z rozmeˇrovyćh du˚vodu˚: V V [P ] = mC2 , [E ] = m ⇒ [konst. úměrnosti] = mC2 · m = 2

F m

42

⇒ volíme ε0

2.7. Elektrostaticke´ pole v dielektriku

Tento dipo´lovy´ moment si take´ mu˚zˇeme prˇedstavit jako tvorˇeny´ celkovy´m indukovany´m na´bojem +qi , −qi ve vzda´lenosti d, tj. qi · d. Z rovnosti teˇchto momentu˚ plyne: P · S · d = qi · d qi = σi S Polarizace v prˇ´ıpadeˇ, zˇe jejı´ smeˇr je kolmy´ na povrch dielektrika, je prˇ´ımo u´meˇrna´ hustoteˇ indukovane´ho na´boje. Obecneˇ lze odvodit P =

Pn = σi U neˇkteryćh materia´lu˚ mu˚zˇeme pozorovat anoma´lnı´ chovańı´: Ferroelektricke´ la´tky Platı´ pro neˇ anoma´lnı´ vztah mezi P a E . Jako prˇ´ıklad uved’me Segnettovu su˚l (sı´ran sodno– draselny´, N aKC4 H4 O6 · 4H2 O), titanicˇitam barnaty´, . . . Toto chovańı´ lze sledovat jen pro teploty nizˇsˇ´ı nezˇ ferroelektricka´ Curieova teplota (charakteristicka´ pro danou la´tku). Za´vislost P (E ) je dańa hystereznı´ smycˇkou. Prˇi prvnı´m pu˚sobenı´ pole na la´tku platı´ krˇivka 0−Pm . Pote´ se jizˇ pohybujeme po hystereznı´ smycˇce. Pro nulove´ pole ma´me remanentnı´ polarizaci Pr . Na nulu klesne polarizace azˇ prˇi urcˇite´ za´porne´ hodnoteˇ pole, ktere´ nazy´va´me ferroelektricky´m V koercitivnı´m polem. Hodnoty pro BaT iO3 : Ec ∼ 105 m , Ps ∼ 0, 26 mC2 (T = 300K). Chovańı´ je zpu˚sobeno tı´m, zˇe cely´ objem je v urcˇityćh oblastech spontańneˇ zpolarizovań (skla´da´ se z domeń). Vneˇjsˇ´ı pole pak ovlivnˇuje rozdeˇlenı´ teˇchto domeń. Na cˇa´sti krˇivky 0 − Pm je mozˇno prˇiblizˇneˇ zave´st susceptibilitu – ma´ hodnotu ∼ 103 ! Elektrety Majı´ trvaly´ elektricky´ moment. Jsou tvorˇeny veˇtsˇinou smeˇsı´ organickyćh pryskyrˇic. Moment vznika´ naprˇ´ıklad tı´m, zˇe se la´tka necha´ tuhnout v silne´m elektricke´m poli – tı´m vlastnı´ momenty molekul ”zamrznou” v usporˇa´dane´m stavu.

Piezoelektricky´ jev Makroskopicka´ elektricka´ polarizace vznika´ vlivem mechanicke´ deformace – naprˇ. krystalicky´ krˇemen. + elektrostrikce (??)

Pro dalsˇ´ı popis zavedeme dveˇ idealizace: Idea´lnı´ meˇkke´ dielektrikum – isotropnı´, prˇesneˇ pro neˇj platı´ vztah P = χ · ε0 E (tohoto typu 43


la´tky se bude ty´kat veˇtsˇina nasˇich u´vah) Idea´lnı´ tvrde´ dielektrikum – ma´ permanentnı´ polarizaci, ktera´ nemu˚zˇe by´t vneˇjsˇ´ım polem ovlivneˇna (? jejı´zˇ velikost nemu˚zˇe ... ?).

Jake´ pole bude v dielektriku Musı´me uvazˇovat volny´ i va´zany´ na´boj. Za Gaussovu plochu zvolme va´lec o podstavaćh dS – celkovy´ tok je E · dS (v kovu je E = 0). Na´boj uzavrˇeny´ Gaussovou plochou bude Q = σ · dS a Qi = σi dS (Qi ma´ opacˇnou polaritu) E · dS =

1 1 (σ − σi ) dS =⇒ E = (σ − σi ) ε0 ε0

Za σi dosadı´me σi = P = χe ε0 E E=

σ ε0 (1 + χe )

Mı´sto vy´razu (1 + χe ) zavedeme relativnı´ permitivitu εr = 1 + χe = materia´lova´ konstanta. E= V porovnańı´ s vakuem (E =

σ ) ε0

σ ε0 εr

je pole v dielektriku εr -kra´t slabsˇ´ı.

Kapacita kondenza´toru s dielektrikem Umı´steˇnı´m dielektrika mezi desky kondenza´toru se intenzita εr -kra´t snı´zˇ´ı. Napeˇtı´ U = E · d se tedy take´ εr -kra´t snı´zˇ´ı. Jelikozˇ se na´boj na deskaćh kondenza´toru nezmeˇnil, platı´ Cdiel =

Q Q = Uvak = εr Cvak Udiel ε r

Nalezneˇme vztah mezi σ a σi : Platí

E= E=

1 (σ ε0 σ ε0 εr

− σi )

) σi = σ(1 −

1 ) εr

Relativnı´ permitivita εr = (1 + χe ) je du˚lezˇita´ materia´lova´ konstanta charakterizujıćı´ dielektrikum. Jejı´ hodnota je veˇtsˇ´ı nebo rovna jedne´ (χ ≥ 0). Je bezrozmeˇrna´. Zbavuje na´s nutnosti pouzˇ´ıvat σi . Zavedeme velicˇinu ε = ε0 εr = permitivita. Jejı´ rozmeˇr v soustaveˇ SI je F · m−1 . Pro prˇ´ıpad vakua, kdy P = 0 je ε = ε0 =⇒ proto ε0 = permitivita vakua. V isotropnı´m dielektriku ma´ elektricke´ pole i polarizace stejny´ smeˇr. Proto jsou χe a εr skala´ry. Obecneˇ vsˇak (v krystalech a v jinyćh anisotropnıćh la´tkaćh) mohou mı´t E a P ru˚zne´ smeˇry. Pak 44

2.8. Obecne´ rovnice elektrostaticke´ho pole v dielektriku jsou χe a εr tenzory.

2.8 Obecne´ rovnice elektrostaticke´ho pole v dielektriku Prˇi rˇesˇenı´ u´loh musı´me v dielektriku bra´t v u´vahu vesˇkery´ na´boj – volny´ i va´zany´. Konzervativnost elektrostaticke´ho pole zu˚stane zachovańa: I

rot E = 0 v každém bodě

E · dl = 0 pro každou uzavřenou křivku

2.8.1 Gaussova veˇta v dielektriku Nemu˚zˇeme uvazˇovat bodovy´ na´boj obklopeny´ dielektrikem, nebot’ pak bychom se dostali do prˇ´ılisˇ malyćh vzda´lenostı´, kdy popis pomocı´ makroskopickyćh velicˇin P a σi selha´va´. Proto budeme rˇesˇit situaci, kdy je do neomezene´ho dielektrika vnorˇena vodiva´ koule. Kouli nabijeme na´bojem Q – volny´ na´boj. Ten se rozdeˇlı´ po povrchu rovnomeˇrneˇ s hustotou σ=

Q 4πR2

Dielektrikum se pu˚sobenı´m pole nabite´ koule polarizuje. Je-li dielektrikum izotropnı´, bude mı´t pole kulovou symetrii a vektor polarizace bude mı´t na povrchu koule smeˇr norma´ly. V kazˇde´m bodeˇ bude indukovany´ na´boj 1 σi = σ(1 − ) εr Integracı´ prˇes cely´ povrch koule dostaneme Qi = Q(1 −

1 ) εr

Nynı´ pouzˇijeme Gaussovu veˇtu. Vezmeme v dielektriku libovolnou Gaussovu plochu obklopujıćı´ nasˇ´ı kouli. Celkovy´ na´boj uvnitrˇ je Q − Qi I 1 1 E · dS = (Q − Qi ) = ·Q ε0 ε0 εr S

Zavedenı´m permitivity jsme z vy´razu odstranili indukovany´ na´boj.

45


Zavedeme novou velicˇinu:

D(r ) = ε0 E (r ) + P (r ) = εr ε0 E (r ) = εE (r ) Novou velicˇinu nazveme vektor elektricke´ indukce (elektricke´ posunutı´). Pak Gaussova veˇta znı´: I N X D · dS = Qj j=1

S

”Tok vektoru posunutı´ uzavrˇenou plochou je roven soucˇtu volnyćh na´boju˚ uvnitrˇ plochy.” H Z integra´lnı´ Gaussovy veˇty S D · dS = Q mu˚zˇeme odvodit diferencia´lnı´ tvar (pokud uvnitrˇ plochy S nejsou volne´ plosˇne´ na´boje) div D = ρ Pole bodove´ho na´boje v homogennı´m dielektriku (tj. pole jizˇ zmıńeˇne´ vodive´ koule s na´bojem Q): Podle Gaussovy veˇty na kulove´ koncentricke´ plosˇe: 4πr2 · D = Q

D=

1 Q · ·r 4π r3

Jde-li o meˇkke´ dielektrikum, platı´ D = εE a intenzitu pole E ve vzda´lenosti r od na´boje ma´me

E=

1 Q · ·r 4πε r3

Vidı´me, zˇe intenzita pole bodove´ho na´boje ve vakuu εr -kra´t poklesne. Protozˇe jsme definovali pole jako sı´lu na jednotkovy´ na´boj, ma´ Coulombu˚v za´kon pro dva bodove´ na´boje tvar

F=

1 Q1 · Q2 · ·r 4πε0 εr r3

Tedy i sı´la mezi dveˇma bodovy´mi na´boji je εr -kra´t mensˇ´ı.

2.8.2 Vlastnosti vektoru˚ E a D Elektricke´ pole mu˚zˇeme popisovat bud’ vektorem E nebo D . Silocˇa´ry (obraz vektoru E ) zacˇ´ınajı´ na kladne´m na´boji a koncˇ´ı na za´porne´m. To platı´ pro na´boje volne´ i va´zane´. Zavedeme cˇa´ry posunutı´ D – z Gaussovy veˇty plyne, zˇe zdrojem toku posunutı´ (D · dS ) jsou jen volne´ na´boje. Povrchem dielektrika, kde je rozlozˇen indukovany´ na´boj, procha´zejı´ cˇa´ry posunutı´ spojiteˇ. 46

2.8. Obecne´ rovnice elektrostaticke´ho pole v dielektriku

Na povrchu vodicˇe ma´ elektricke´ pole vzˇdy smeˇr norma´ly – bude-li dielektrikum u kovu izotropnı´, ma´ i D tenty´zˇ smeˇr. Da´ se odvodit µ ¶ σ Dn = σ ⇐= En = ε0 εr ¥ Prˇ´ıklad 2.5 Rozhranı´ dvou dielektrik (permitivity ε1 , ε2 ) (?? v rukopise na str. 27 uvedeno ”relativnı´ permitivity”) Zvolı´me Gaussovu plochu ve tvaru va´lce o za´kladnaćh dS, vy´sˇku zvolı´me velmi malou, abychom mohli zanedbat tok pla´sˇteˇm. Gaussova veˇta pak da´va´: N = (D1n − D2n ) · dS = 0 (na plosˇe 1-2 nenı´ volny´ na´boj) D1n = D2n Norma´love´ slozˇky vektoru posunutı´ jsou na rozhranı´ spojite´. Pak pro intenzitu platı´: ) D1n = ε1 E1n ε2 − ε1 ε2 − ε1 · E2n = · E1n E1n − E2n = ε1 ε2 D2n = ε2 E2n Norma´lova´ slozˇka vektoru E se tedy zmeˇnı´ skokem, tj. na rozhranı´ zacˇ´ınajı´ dalsˇ´ı silocˇa´ry na indukovanyćh na´bojıćh. H Tecˇne´ slozˇky: pouzˇijeme vztah E · dl = 0 Odtud E1t = E2t A proto pro vektor posunutı´ bude platit: D1t D2t = ε1 ε2 Zavedeme u´hly α1 , α2 , ktere´ svı´rajı´ silocˇa´ry s norma´lami v obou dielektrikaćh: ) D1n = D2n ⇐⇒ D1 · cos α1 = D2 · cos α2 tg α1 ε1 = tg α2 ε2 E1t = E2t ⇐⇒ E1 · sin α1 = E2 · sin α2 Za´kon lomu silocˇar. Ve vakuu cˇa´ry E i D sply´vajı´.

¥ Prˇ´ıklad 2.6 Dielektricka´ koule v homogennı´m vneˇjsˇ´ım poli Meˇjme dielektrickou kouli polomeˇru R zhotovenou z meˇkke´ho dielektrika o permitiviteˇ ε. Tuto kouli vlozˇ´ıme do homogennı´ho pole E0 . Materia´l koule se zpolarizuje a vytvorˇ´ı se vlastnı´ pole Ep . Vy´sledne´ pole v kazˇde´m bodeˇ prostoru bude dańo superpozicı´ obou:

E = E0 + Ep 47


Pole vneˇ koule bude obecneˇ nehomogennı´. Azˇ teprve ve velke´ vzda´lenosti od koule bude porucha zanedbatelna´ a tam bude pu˚vodnı´ hodnota E0 . Na´s zajı´ma´ vy´sledne´ pole uvnitrˇ koule. Pouzˇijeme experimenta´lnı´ho (i teoreticke´ho) faktu, zˇe homogennı´ dielektrikum ve tvaru rotacˇnı´ho elipsoidu se ve vneˇjsˇ´ım homogennı´m poli polarizuje homogenneˇ. Ep musı´ by´t v cele´ kouli konstantnı´. Proto stacˇ´ı, kdyzˇ spocˇ´ıta´me jeho hodnotu pouze v jednom bodeˇ – naprˇ´ıklad ve strˇedu. Hustota va´zane´ho na´boje indukovane´ho na povrchu koule: σi = Pn = P · cos ϑ Integracı´ dostaneme intenzitu pole podle vztahu 1 Ep (rstřed ) = 4πε0

Z S

σi (r ) · (rstřed − r ) · dS |rstřed − r |3

Po zavedenı´ sfe´rickyćh sourˇadnic dostaneme

Ep = −

1 ·P 3ε0

Tento vy´raz spolu se vztahem P = (ε − ε0 )E dosadı´me do E = E0 + Ep :

E=

3 · E0 εr + 2

¥ Prˇ´ıklad 2.7 Kulova´ dutina v homogennı´m dielektriku Budeme rˇesˇit proble´m inverznı´ prˇedcha´zejıćı´mu. Meˇjme nekonecˇne´ homogennı´ a homogenneˇ zpolarizovane´ dielektrikum a v neˇm dutinu. Pu˚vodnı´ pole v dielektriku bylo E0 (a sta´le je dosti daleko od dutiny). Na povrchu dutiny vzniknou va´zane´ na´boje, ktere´ vytvorˇ´ı sve´ pole Ep . Vy´sledne´ pole v dutineˇ bude opeˇt

E = E0 + Ep Tyto na´boje budou mı´t stejnou absolutnı´ hodnotu a rozdeˇlenı´ jako na´boje na kouli (v minule´m prˇ´ıkladeˇ), pouze opacˇna´ znameńka (koule byla vyjmuta):

Ep =

1 ·P 3ε0

Tı´m dostaneme pro vy´sledne´ pole v dutineˇ vztah

E=

εr + 2 · E0 3 48

2.9. Energie a sı´ly v elektrostaticke´m poli

2.9 Energie a sı´ly v elektrostaticke´m poli Odvodili jsme, zˇe elektrostaticke´ pole je konzervativnı´ – ma´ proto vy´znam mluvit o energii (potencia´lnı´) a pomocı´ nı´ vyjadrˇovat silove´ pu˚sobenı´ vneˇjsˇ´ıho pole na nabita´ teˇlesa. Da´le je mozˇno hovorˇit o energii samotne´ho elektrostaticke´ho pole (tj. o praći potrˇebne´ k vytvorˇenı´ dane´ soustavy).

Potencia´lnı´ energie bodove´ho na´boje ve vneˇjsˇ´ım poli Vezmeˇme bodovy´ na´boj q. Pak jeho potencia´lnı´ energii (vu˚cˇi referencˇnı´mu bodu) W jsme jizˇ odvodili (v partii o potencia´lu !!odkaz na prˇ´ıslusˇnou kapitolu!!) ZB W = q · U (r )

E · dl )

(tj. W = −q A

Potencia´lnı´ energie elektricke´ho dipo´lu ve vneˇjsˇ´ım poli Tuto energii odvodı´me jako potencia´lnı´ energii obou na´boju˚, ze kteryćh se dipo´l skla´da´. W− = −q · U (r )

W+ = q · U (r + l )

W = q · [U (r + l ) − U (r )] Pokud bude l dostatecˇneˇ male´, mu˚zˇeme vy´raz upravit · ¸ ∂U ∂U ∂U . · lx + · ly + · lz = U (r ) + grad U · l 3 ) U (r + l ) = U (r ) + ∂x ∂y ∂z Dostaneme W = p · grad U = −p · E Energie soustavy bodovyćh na´boju˚ bez vneˇjsˇ´ıho pole Ma´me-li soustavu na´boju˚ q1 , q2 , . . . , qN , kazˇdy´ z teˇchto na´boju˚ ma´ potencia´lnı´ energii v poli ostatnıćh na´boju˚. Sumeˇ te´to energie (? podivna´ formulace ?) rˇ´ıka´me interakcˇnı´ energie ≡ energie pole. Ma´me-li dva na´boje q1 a q2 , je jejich potencia´lnı´ energie (na´boj q2 umist’ujeme do pole vytva´rˇene´ho na´bojem q1 , prˇ´ıpadneˇ naopak)

3

. ) U(r + dr) = U (r ) +

∂U ∂x

dx +

W 2 = q2 ·

q1 q2 q1 = 4πε0 · R12 4πε0 · R12

∂U ∂y

dz

dy +

∂U ∂z

49

KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA Prˇida´me-li trˇetı´ na´boj q3 , musı´me prˇidat jeho potencia´lnı´ energii od na´boju˚ q1 a q2 W 3 = q3 ·

q2 q1 + q3 · 4πε0 · R13 4πε0 · R23

Celkova´ energie trˇ´ı na´boju˚ bude W =

q1 q2 q1 q3 q2 q3 + + 4πε0 · R12 4πε0 · R13 4πε0 · R23

Takto mu˚zˇeme pokracˇovat pro vsˇech N na´boju˚. Dostaneme vy´raz Ã N ! 1 X X qi qj 1 W = 4πε0 2 i=1 j6=i Rij Cˇinitel

1 2

vznikl tı´m, zˇe prˇi nasˇem znacˇenı´ scˇ´ıta´me vy´raz

qi qj Rij

i

qj qi , Rji

tj. 2× stejnou hodnotu.

¥ Prˇ´ıklad 2.8 Vypocˇteˇme potencia´lnı´ energii krychle o straneˇ b, v jejıćhzˇ rozıćh jsou za´porne´ na´boje −e a ve strˇedu krychle jeden kladny´ na´boj velikosti +2e µ ¶ (−2e2 ) e2 1 e2 e2 e2 1 W = 8· √ = · ··· + 12 · + 12 · √ +4· √ · b 4πε0 4πε0 b ( 3/2) · b 2·b 3·b W =

1 e2 · 4, 32 · 4πε0 b

Zde jsme brali 8 dvojic – strˇed:roh, 12 dvojic – dva sousednı´ rohy, 12 dvojic rohu˚ prˇes steˇnovou u´hloprˇ´ıcˇku, 4 dvojice prˇes teˇlesovou u´hloprˇ´ıcˇku. Vy´sledna´ energie te´to soustavy je kladna´, tj. museli jsme vynalozˇit praći, abychom na´boje do dane´ konfigurace prˇivedli. Takova´ soustava nenı´ stabilnı´ – ”pokud ponecha´me na´boje samy sobeˇ, tak se rozebeˇhnou.” Sı´la odpudiva´ prˇevazˇuje nad sı´lou prˇitazˇlivou. Stabilnı´ konfigurace na´boju˚ musı´ mı´t celkovou energii (tj. potencia´lnı´ energii, jsou-li v klidu) za´pornou.

¥ Prˇ´ıklad 2.9 Energie krystalicke´ mrˇ´ızˇky Neˇktere´ krystaly jsou va´zańy dosti prˇesneˇ pouze elektrostaticky´mi silami. Pro neˇ mu˚zˇeme nasˇe u´vahy pouzˇ´ıt. Vezmeme si naprˇ´ıklad krystal N aCl, ktery´ ma´ strukturu N a+ Cl− v pravidelne´m porˇa´dku (podobneˇ i pro ostatnı´ iontove´ krystaly). Prˇesny´ vy´pocˇet by se musel prove´st sumacı´ prˇes vsˇechny dvojice na´boju˚. Molekul v krystalu je ale velmi mnoho – rˇa´doveˇ 1020 a vıće. Nasˇteˇstı´ je krystal periodicky´, proto stacˇ´ı vypocˇ´ıtat 50


potencia´lnı´ energii male´ cˇa´sti a vyna´sobit faktorem popisujıćı´m, kolikra´t je vy´sledny´ objem veˇtsˇ´ı. Vypocˇ´ıta´me proto jen potencia´lnı´ energii jedne´ bunˇky krystalicke´ mrˇ´ızˇky (na obra´zku) Ve strˇedu + iont, od neˇj budeme pocˇ´ıtat: je ° µ ¶ 6e2 12e2 1 1 8e2 + √ − √ + ··· · W = N − = ··· 2 a 4πε0 2a 3a Vy´pocˇet na pocˇ´ıtacˇi da´

0, 8738 1 · N · e2 · a 4πε0 kde N = pocˇet iontu˚ (dvojna´sobny´ nezˇ pocˇet molekul). W =−

Potencia´lnı´ energie dielektricke´ho teˇlesa ve vneˇjsˇ´ım poli Ma´me dielektricke´ teˇleso objemu V ve vneˇjsˇ´ım poli E0 1) Idea´lnı´ tvrde´ dielektrikum: maly´ objem ∆V je permanentnı´m elektricky´m dipo´lem momentu P0 ∆V (P0 = polarizace teˇlesa). Potencia´lnı´ energie tohoto male´ho objemu v poli E0 je ∆W

= −P · E0 = −(P0 · E0 ) ∆V

Pro cely´ objem dostaneme

Z

P0 · E0 · dV

W =− V

2) Idea´lnı´ meˇkke´ dielektrikum: energie bude veˇtsˇ´ı o hodnotu nutnou na zpolarizovańı´. Polarizovańı´ – posun kladnyćh na´boju˚ proti za´porny´m o vektor ∆l . Je-li hustota na´boju˚ jednoho znameńka v dielektriku ρ, vytvorˇ´ı se posuvem vsˇech na´boju˚ o ∆l polarizace ∆

P = ρl

Praće vykonana´ vneˇjsˇ´ım polem prˇi posunutı´ na´boju˚ o

l je prˇi jednotkove´m objemu

d

F

Wext

∆

z}|{ z}|{ = ρ E0 · ∆ l = E0 · P

Celkova´ praće nutna´ k vytvorˇenı´ vy´sledne´ polarizace P se zı´ska´ integracı´ od 0 do P (je P = ε0 χE0 ) ZP ZP 1 1 E0 · dP = P · dP = E0 · P ε0 χ 2 0

0

51

KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA Praći potrˇebnou k zpolarizovańı´ cele´ho teˇlesa zı´ska´me inegracı´ prˇes objem V Z 1 Wpolar = E0 · P dV 2 V

Vy´sledna´ potencia´lnı´ energie meˇkke´ho dielektrika se zı´ska´ secˇtenı´m Wpolar + Wtvrde´ d. Z 1 W =− E0 · P dV 2 V

Energie elektrostaticke´ho pole soustavy na´boju˚ Budeme pocˇ´ıtat praći potrˇebnou k vytvorˇenı´ tohoto pole (tj. praći vneˇjsˇ´ıch sil, ktere´ dostanou vodicˇe do potrˇebne´ konfigurace) – to je energie pole. Vezmeˇme jeden vodicˇ – je nabit na´bojem Q na potencia´l U . Chceme-li prˇene´st dalsˇ´ı na´boj dQ (maly´), musı´ vneˇjsˇ´ı sı´ly vykonat praći (rovnou potencia´lnı´ energii tohoto na´boje v poli vodicˇe) dQ · U . K prˇenesenı´ celkove´ho na´boje Q je pak nutno vynalozˇit praći ZQ W =

ZQ U · dQ =

0

1 Q2 1 1 Q dQ = · = CU 2 = QU C 2 C 2 2

0

Budeme-li nynı´ mı´t soustavu N vodicˇu˚ s na´boji Qi a potencia´ly Ui , dostaneme analogicky (potencia´ly Ui jizˇ vyjadrˇujı´ ?? - rukopis str.31 polı´ ostatnıćh na´boju˚ ??) N

1X W = Qi Ui 2 i=1 Energie deskove´ho kondenza´toru Je to specia´lnı´ prˇ´ıpad prˇedchozı´ho vztahu – obeˇ desky majı´ na´boj Q a mezi deskami je napeˇtı´ U = U1 − U2 . Pak 1 1 Q2 W = QU = CU 2 = 2 2 2C 1 2 Provedeme u´pravu vztahu W = 2 CU – prˇedpokla´dejme, zˇe pole je homogennı´: U = E · d, C = ε0dS µ ¶ 1 ε0 S ε0 ε0 W = E 2 d2 = E 2 (Sd) = E 2 V 2 d 2 2 V = S · d je objem prostoru mezi deskami, tj. objem elektrostaticke´ho pole. Pak w – objemova´ hustota energie ε0 · E2 [Joule · m−3 ] w= 2 52


Analogicky, kdybychom meˇli mezi deskami kondenza´toru idea´lnı´ meˇkke´ dielektrikum, dostali bychom pro hustotu energie vztah ε0 w= · εr · E 2 2 1 w = (E · D ) 2 Vy´sledna´ energie elektrostaticke´ho pole se da´ vzˇdy vyja´drˇit jako Z W = w · dV V

Tı´m jsme vyja´drˇili energii nabite´ho kondenza´toru pomocı´ velicˇin charakterizujıćıćh jeho elektrostaticke´ pole (pro vakuum jen E , pro meˇkke´ dielektrikum E a D ) Sı´ly v elektrostaticke´m poli Sı´la pu˚sobıćı´ na bodovy´ na´boj: Ma´me-li elektrostaticke´ pole intenzity E , bude na na´boj q umı´steˇny´ v bodeˇ o polohove´m vektoru r pu˚sobit sı´la

F = q · E (r ) Sı´la pu˚sobıćı´ na elementa´rnı´ dipo´l: Zde bude potrˇeba apara´t z mechaniky, ktery´ se teprve bude prˇedna´sˇet (???). Vezmeme dva na´boje Q+ a Q− (stejne´ absolutnı´ hodnoty) ve vzda´lenosti l od sebe. Umı´stı´me je do elektrostaticke´ho pole intenzity E (r ). Pak na tyto na´boje pu˚sobı´ sı´ly

F+ = Q · E (r+ ) F− = −Q · E (r− ) Dipo´l povazˇujeme za tuhou soustavu. Proto je mozˇno obeˇ sı´ly prˇene´st do jednoho bodu (prˇitom musı´me jejich vy´slednici doplnit dvojicı´ sil vhodne´ho momentu). Sı´lu F+ prˇeneseme do bodu r− . Pak vy´slednice sil ¸ ½· ∂Ex ∂Ex ∂Ex . · lx + · ly + · lz i + F = F+ + F− = Q [E (r− + l ) − E (r− )] = Q ∂x ∂y ∂z · ¸ · ¸ ¾ ∂Ey ∂Ey ∂Ey ∂Ez ∂Ez ∂Ez + · lx + · ly + · lz j + · lx + · ly + · lz k = ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z · ¸ ∂ ∂ ∂ =Q· lx + ly + lz E (r− ) ∂x ∂y ∂z 53


Zavedeme skala´rnı´ opera´tor (l · grad) = lx Pak platı´:

∂ ∂ ∂ + ly + lz ∂x ∂y ∂z

.

F = Q · (l · grad)E (r− ) = (p · grad)E (r− ) Tato vy´slednice vyjadrˇuje translacˇnı´ cˇa´st silove´ho pu˚sobenı´ pole. Cˇa´st rotacˇnı´ se zı´ska´ z momentu l

z }| { M = (r+ + r− ) × F+ = l × F+ = Q · [l × E (r+ )]

M = [p × E ] Tento za´pis se nezmeˇnı´ prˇi prˇechodu k elementa´rnı´mu dipo´lu (l → 0, Q → ∞ tak, zˇe Q · l = p = konst). V obecneˇ nehomogennı´m poli jsou F i M nenulove´. Pokud bude pole homogennı´ bude jeho translacˇnı´ ućˇinek F nulovy´. Na dipo´l bude pu˚sobit pouze moment M , ktery´ se bude snazˇit stocˇit vektor dipo´love´ho momentu p do smeˇru pole. Vy´sledny´ stav bude p k E , pak i M = 0 . Sı´ly pu˚sobıćı´ na nabity´ vodicˇ: Budeme pocˇ´ıtat sı´ly pu˚sobıćı´ na desky kondenza´toru. Na deskaćh jsou opacˇne´ na´boje, ktere´ se podle Coulombova za´kona prˇitahujı´. Sı´lu mu˚zˇeme spocˇ´ıtat pomocı´ hustoty energie elektrostaticke´ho pole. Prˇedpokla´dejme, zˇe mezi deskami je bud’ vakuum nebo plynne´ cˇi kapalne´ dielektrikum. Necha´me sta´ly´ na´boj na deskaćh. Posuneme jednu desku kolmo na jejı´ povrch o de´lku dx, tı´m proti prˇitazˇlive´ sı´le F vykona´me praći dW dW = F · dx Tato praće se spotrˇebuje na zveˇtsˇenı´ elektrostaticke´ energie kondenza´toru, nebot’ prˇi odda´lenı´ desek se zvy´sˇ´ı potencia´l (klesne kapacita). Toto zveˇtsˇenı´ energie je mozˇno vyja´drˇit pomocı´ hustoty energie (pole je konstantnı´, nebot’Q = konst) dW = w · dV = w · S · dx Odtud

1 ε0 εr U 2 ε0 εr · E 2 · S = · 2 ·S 2 2 d Z tohoto vztahu vidı´me, zˇe existuje jednoznacˇna´ souvislost mezi velicˇinou mechanickou (sı´lou) a velicˇinou elektrickou (napeˇtı´m). Proto je mozˇne´ napeˇtı´ meˇrˇit absolutneˇ mechanicky. F =w·S =

54


Elektrostaticke´ meˇrˇ´ıcı´ prˇ´ıstroje Obecneˇ jsou tyto prˇ´ıstroje tvorˇeny soustavou vodicˇu˚. Prˇi meˇrˇenı´ srovna´va´me silove´ ućˇinky elektrostaticke´ho pole se silami jine´ho druhu (gravitacˇnı´mi, elasticky´mi, . . . ). Z tohoto srovnańı´ usuzujeme na velikost potencia´lovyćh rozdı´lu˚ mezi eelektrodami prˇ´ıstroje.

1) Elektroskop Tento prˇ´ıstroj slouzˇ´ı ke kvalitativnı´mu zjisˇt’ovańı´ prˇ´ıtomnosti na´boju˚ a k jejich velmi hrube´mu meˇrˇenı´. Lı´stkovy´ elektroskop ma´ 1 nebo 2 tenke´ prouzˇky kovove´ folie, ktere´ se odchylujı´ odpuzovańı´m souhlasnyćh na´boju˚. Pokud obal uzemmnı´me, slouzˇ´ı tyto elektroskopy k meˇrˇenı´ elektricke´ho potencia´lu, nebot’na´boj na nich je roven Q = C · U a kapacita C je sta´la´. Jejich stupnici proto mu˚zˇeme cejchovat prˇ´ımo v jednotkaćh napeˇtı´. Je snimi mozˇno meˇrˇit jen veˇtsˇ´ı napeˇtı´ (101 ÷ 103 V ). Vla´knove´ elektroskopy slouzˇ´ı k prˇesneˇjsˇ´ımu meˇrˇenı´. Dvouvla´knovy´ elektrometr Wulfu˚v (?Wolfu˚v?) je tvorˇen dveˇma tenky´mi platinovy´mi dra´ty napnuty´mi obloucˇky z krˇemenne´ho vla´kna. Jednovla´knovy´ elektrometr ma´ vla´kno, ktere´ se prˇitahuje ke dveˇma brˇitu˚m, na nichzˇ je pomocne´ napeˇtı´. Vyćhylka se odecˇ´ıta´ mikroskopem. Tyto a podobne´ prˇ´ıstroje je jizˇ mozˇno nazvat elektrometry. Meˇrˇenı´ s teˇmito prˇ´ıstroji lze prova´deˇt dveˇma zpu˚soby – dotykem a indukcı´ (indukujeme na´boj, anizˇ ovlivnˇujeme jeho velikost).

2) Thomsonovy elektrostaticke´ va´hy Je to absolutnı´ metoda meˇrˇenı´ napeˇtı´. Jedna deska kondenza´toru je pohybliva´ a je prˇipevneˇna na jednom rameni vah. Tı´m je mozˇno va´zˇenı´m prˇesneˇ stanovit sı´lu mezi deskami (a tedy napeˇtı´ U ). Aby bylo pole homogennı´ i na okrajıćh, je kolem hornı´ desky umı´steˇn vodivy´ prstenec. Rovnova´ha vah je ale labilnı´, proto se meˇrˇenı´ prova´dı´ dosti obtı´zˇneˇ.

3) Elektrostaticke´ voltmetry Majı´ proti elektroskopu˚m dokonalejsˇ´ı konstrukci umozˇnˇujıćı´ prova´deˇt kvantitativnı´ meˇrˇenı´. Meˇrˇ´ıcı´ syste´m je tvorˇen soustavou neˇkolika elektrod, z nichzˇ alesponˇ jedna je pohybliva´. Ta je ve sve´ poloze udrzˇovańa elektrostaticky´mi silami (pruzˇinou, . . . ). Po prˇilozˇenı´ napeˇtı´ se ustavı´ rovnova´ha dana´ pomeˇrem obou sil. Jako prvnı´ elektroda slouzˇ´ı sada pevnyćh desek, jako druha´ elektroda sada lehkyćh otocˇnyćh

55


tycˇinek zaveˇsˇenyćh na torznı´m vla´kneˇ. Tyto tycˇinky se mohou zasouvat mezi pevne´ deky. Sı´la mezi elektrodami je u´meˇrna´ U 2 . Voltmetr slouzˇ´ı pro stejnosmeˇrne´ i strˇ´ıdave´ napeˇtı´. Vhodnou konstrukcı´ je mozˇne´ zı´skat prˇ´ıstroje citlivosti od 1V (i meńeˇ) azˇ do 1kV .

Hlavnı´ vy´hodou vsˇech elektrostatickyćh prˇ´ıstroju˚ je, zˇe prˇi meˇrˇenı´ neodebı´rajı´ prakticky zˇa´dny´ proud (azˇ na pocˇa´tecˇnı´ proudovy´ na´raz). Nevy´hodou je pomeˇrneˇ mala´ citlivost. Shrnˇme du˚lezˇite´ vztahy, ke ktery´m jsme doposud dosˇli.

Elektrostatika

Vakuum

F=

Coulombův zákon

Intenzita elstat. pole

Dielektrikum

1 Q1 Q2 r 4πε0 r3

F=

1 Q1 Q2 r 4πε r3

N N 1 X Qi 1 X Qi E= · (r − ri ) E = · (r − ri ) 4πε0 i=1 |r − ri |3 4πε i=1 |r − ri |3

Z Gaussovavěta(int.tvar) S

Gaussova věta (dif. tvar)

Q E · dS = ε0 div E =

Z

D · dS = Q S

ρ ε0

div D = ρ rot E = 0

Konzervativnost elektrostatického pole I

E · dl = 0 l

Pole u povrchu vodiče

E=

σ ε0

Hustota energie elstat. pole

1 w = ε0 E 2 2

Kapacita deskového kondenzátoru

C=

ε0 S d 56

E=

σ ε

1 w = E·D 2 C=

ε·S d


Vakuum 1 Q1 Q2 F = 4πε r r3 0

Coulombu˚v za´kon Intenzita elstat. pole Gaussova veˇta (int. tvar)

E=

1 4πε0

R S

N P i=1

Qi |r −ri |3

E · dS =

Gaussova veˇta (dif. tvar)

div E =

Konzervativnost elstat. pole

rot E = 0

Pole u povrchu vodicˇe Hustota energie elstat. pole Kapacita deskove´ho kondenza´toru

· (r − ri ) E =

E=

Q ε0

ρ ε0

σ ε0

w = 21 ε0 E 2 C=

57

ε0 S d

Dielektrikukm 1 Q1 Q2 F = 4πε r r3 1 4πε

R

N P i=1

Qi |r −ri |3

· (r − ri )

D · dS = Q

S

H

div D = ρ

E · dl = 0 E=

σ ε

w = 21 E · D C=

ε·S d

Kapitola 3 Elektricky´ proud, staciona´rnı´ elektricke´ pole 3.1 Za´kladnı´ vlastnosti proudu V elektrostatice jsme se veˇnovali studiu vlastnostı´ elektrickyćh na´boju˚ v klidu. Ve vodicˇ´ıch jsou volne´ na´boje. Ty se mohou vlivem elektricke´ho pole pohybovat. Usporˇa´dany´ pohyb na´boju˚ nazveme elektricky´ proud. Vezmeme orientovanou plochu S – projde-li za cˇasovy´ interval ∆t touto plochou na´boj ∆Q, definujeme velicˇinu ∆Q I = lim ∆t→0 ∆t ktera´ vyjadrˇuje okamzˇite´ mnozˇstvı´ na´boje prosˇle´ho za jednotku cˇasu plochou S – proud (jeho okamzˇita´ hodnota). Obecneˇ platı´ J = J(t) = nestaciona´rnı´ proud. Pokud je proud cˇasoveˇ nepromeˇnny´, mluvı´me o staciona´rnı´m proudu (za jednotku cˇasu projde plochou S vzˇdy stejny´ na´boj). Mnozˇstvı´ na´boje, ktere´ projde pru˚rˇezem vodicˇe za dobu t je Zt stac.

Q=

J(t) dt = I · t 0

Proud je skala´rnı´ velicˇinou. Kladny´ je tehdy, prote´ka´-li v kladne´m smeˇru (plocha S je orientovana´) kladny´ na´boj. Jednotkou je 1 Ampe´r 1 ). Z nı´ je potom (pomocı´ prˇedchozı´ho vztahu) 1

) je definovań pomocı´ magnetickyćh ućˇinku˚, je za´kladnı´ jednotkou soustavy SI

58

3.1. Za´kladnı´ vlastnosti proudu

odvozen Coulomb 1C = 1A · 1s Na´mi zavedena´ velicˇina uda´va´ celkovy´ proud danou plochou. Nic na´m nerˇ´ıka´ o orientaci proudu v prostoru. Proto zavedeme vektorovou velicˇinu i – plosˇnou hustotu proudu. Jejı´ cˇ´ıselna´ velikost je definovańa jako proud prˇipadajıćı´ na plosˇnou jednotku pru˚rˇezu vodicˇe. Smeˇr je vzˇdy totozˇny´ se smeˇrem pohybu kladnyćh na´boju˚. Za definicˇnı´ vztah pro i mu˚zˇeme vzı´t Z J = i · dS S

Pokud bude proud po cele´ plosˇe konstantnı´ je I = i · S Nositele´ proudu Doposud jsme mluvili o na´boji pouze abstraktneˇ. La´tky se skla´dajı´ z atomu˚. Proto existuje neˇkolik mechanismu˚ proudu. (rukopis str. 35).

1) Proud vodivy´ (kondukcˇnı´) Jde o prˇemist’ovańı´ volnyćh nositelu˚ na´boje v la´tkove´m prostrˇedı´. Je to nejcˇasteˇjsˇ´ı mechanismus vedenı´ proudu. Jako volne´ nositele na´boje ma´me elektrony (ve vodicˇ´ıch), kladne´ a za´porne´ ionty (v kapalinaćh, v iontovyćh krystalech – N aCl) a ionizovane´ molekuly (v plynech). Neˇkdy te´zˇ tzv. dı´ry (v polovodicˇ´ıch). //(str. 35 rukopisu dole: Elektrony a dı´ry x ionty (prˇenos hmoty). Rozdı´l je v teplotnı´ za´vislosti)// Obecne´ vlastnosti kondukcˇnı´ho proudu neza´visejı´ na typu nositelu˚. Vezmeˇme vodicˇ – ten ma´ v dane´m bodeˇ hustoty na´boju˚ ρ+ a ρ− a rychlosti v+ a v− . Za cˇas dt projde kladny´ na´boj dQ+ plochou dS . Vyplnı´ objem dV : dQ+ = ρ+ · dV = ρ+ · dS · v+ · dt Hustota proudu kladne´ho na´boje pak bude

i+ = ρ+ · v+ = en+ v+ kde ρ+ = en+ n+ = koncentrace, e = elementa´rnı´ na´boj Analogicky´ vztah dostaneme pro i− . Hustota vodive´ho proudu pak bude

iv = i+ + i− = ρ+ v+ + ρ− v− Bude-li prˇ´ıtomen pouze na´boj jednoho druhu, vztah pro iv se zjednodusˇ´ı. Beˇzˇny´ prˇ´ıpad je, zˇe vodicˇ jako celek je elektricky neutra´lnı´. Pak platı´: |ρ+ | = |ρ− | = ρ a

iv = ρ · v = nev

v = v+ − v− ≡ relativní rychlost obou typů nositelů 59

KAPITOLA 3. ELEKTRICKY´ PROUD, STACIONA´RNI´ ELEKTRICKE´ POLE

Konvence: Kladny´ smeˇr proudu = smeˇr postupu kladnyćh na´boju˚

2) Proud konvekcˇnı´ Volny´ pohyb nositelu˚ na´boje v pra´zdne´m prostoru. Mu˚zˇe to by´t proud elektronu˚ (viz partie emise elektronu˚), iontu˚ i nabityćh cˇa´stic. Konkre´tnı´ pohyb bude jiny´ nezˇ v prˇ´ıpadeˇ proudu vodive´ho (obra´zky) Obecneˇ odvozene´ vztahy vsˇak zu˚sta´vajı´ v platnosti.

3) Posuvny´ proud v dielektriku Jsou to cˇasove´ zmeˇny va´zanyćh na´boju˚ v dielektriku, ktere´ nastanou prˇi zmeˇneˇ polarizace. Mu˚zˇeme psa´t ∂P ip = ∂t Obecneˇ bude pro vy´sledny´ proud platit

icelk = iv + ik + ip Pokud budeme vysˇetrˇovat jen staciona´rnı´ proud, bude cˇlen ip = 0, nebot’ polarizace dielektrika nemu˚zˇe nekonecˇneˇ ru˚st. Proto pojmem proud budeme rozumeˇt

i = iv + ik (vodivý a konvekční) Prˇi zjisˇt’ovańı´ proudu a vysˇetrˇovańı´ jeho vlastnostı´ se musı´me rˇ´ıdit fyzika´lnı´mi ućˇinky, ktere´ vyvola´va´. Prˇ´ımou informaci na´m smysly neda´vajı´ (na vodicˇi nevidı´me, zda jı´m prote´ka´ elektricky´ proud). Mu˚zˇeme sledovat a) magneticke´ ućˇinky – procha´zı´-li proud vodicˇem, je v jeho okolı´ magneticke´ pole. Dva vodicˇe spolu prostrˇednictvı´m polı´ interagujı´ (prˇitahovańı´, odpuzovańı´, staćˇenı´). b) tepelne´ ućˇinky – zahrˇ´ıvańı´ vodicˇe (kov, kapalina, plyn) prˇi pru˚chodu proudu c) chemicke´ ućˇinky – prˇi elektroly´ze se vylucˇujı´ na elektrodeˇ kov nebo plyn (?? str 36 rukopisu - dole)

Rovnice kontinuity Prˇi pru˚chodu proudu vodicˇem se na´boj nikde nehromadı´, nikde nevznika´ ani nezanika´. To je experimenta´lnı´ fakt. Jeho matematicky´m vyja´drˇenı´m – za´konem zachovańı´ na´boje – je rovnice kontinuity. Tento za´kon je univerza´lnı´ v makro- i mikrosveˇteˇ. Tam ma´me za´kony zachovańı´ -na´boje, -leptonove´ho na´boje a nukleonove´ho na´boje. Vezmeˇme libovolnou uzavrˇenou plochu S, ktera´ omezuje objem V s na´bojem Q. Vyte´ka´-li z te´to 60

3.2. Prˇ´ıcˇiny vzniku elektricke´ho proudu plochy proud I, za cˇas ∆t vytecˇe na´boj ∆Q0 = − ∆Q, o neˇjzˇ se musı´ zmensˇit celkovy´ na´boj Q uzavrˇeny´ plochou S v objemu V . < 0) Pro ∆t → 0 dostaneme (Q se zmensˇuje, proto ∂Q ∂t I+

∂Q =0 ∂t

Dosadı´me-li proudovou hustotu, dostaneme rovnici kontinuity proudu v integra´lnı´m tvaru Z ∂Q =0 i · dS + ∂t S

Vyja´drˇ´ıme Q pomocı´ objemove´ hustoty ρ (pokud to jde) Z Z Z ∂Q ∂ ∂ρ Q = ρ · dV =⇒ = ρ · dV = · dV ∂t ∂t ∂t V

V

V

Prvnı´ cˇlen rovnice kontinuity prˇepı´sˇeme pomocı´ Gaussovy veˇty integra´lnı´ho pocˇtu a dostaneme rovnici kontinuity v diferencia´lnı´m tvaru. div i +

∂ρ =0 ∂t

Pro staciona´rnı´ proud se tyto obecne´ rovnice zjednodusˇ´ı. V zˇa´dne´ plosˇe nemu˚zˇe by´t uzavrˇen nekonecˇny´ na´boj, proto v usta´lene´m stavu musı´ by´t ∂Q i ∂ρ = 0. ∂t ∂t Dostaneme Z i · dS = 0 div i = 0 S

3.2 Prˇ´ıcˇiny vzniku elektricke´ho proudu V tomto paragrafu budeme sledovat prˇ´ıcˇiny vyvola´vajıćı´ elektricky´ proud, budeme studovat podmıńky jeho trvale´ existence a jeho neˇktere´ fyzika´lnı´ projevy. Prˇ´ıcˇinou vzniku proudu jsou sı´ly pu˚sobıćı´ na nositele na´boje. Tyto sı´ly mohou by´t povahy elektricke´ i neelektricke´. Z elektrickyćh sil je nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı staciona´rnı´ elektricke´ pole ve vodicˇi (tj. pole cˇasoveˇ nepromeˇnne´ × elektrostaticke´ pole – to je ve vodicˇi nulove´).

Proud v homogennı´m vodicˇi Vezmeˇme homogennı´ vodicˇ a na jeho konce prˇilozˇme rozdı´lne´ potencia´ly – tı´m ve vodicˇi vznikne staciona´rnı´ elektricke´ pole a jeho vlivem se budou na´boje pohybovat tak, aby se vodicˇ stal opeˇt 61


ekvipotencia´lnı´m (v elektrostatice se to podarˇ´ı – tam se prˇechodove´ jevy nestudujı´). Pro vznik usta´lene´ho proudu je nutno pu˚vodnı´ rozdı´l potencia´lu˚ udrzˇovat, tj. udrzˇovat ve vodicˇi staciona´rnı´ elektricke´ pole E . Nositeli na´boje v kovove´m vodicˇi jsou volne´ elektrony, ty se pohybujı´ v krystalove´ mrˇ´ızˇce tvorˇene´ ionty kovu. Pohyb elektronu˚ je neusporˇa´dany´ – tepelny´. Rychlosti elektronu˚ jsou rovnomeˇrneˇ rozdeˇleny do vsˇech smeˇru˚. Elektrony se podobajı´ molekula´m plynu – proto jim rˇ´ıka´me v kovu elektronovy´ plyn. Pohyb elektronu˚ do vsˇech smeˇru˚ se vyrusˇ´ı, proto v makroskopicke´m meˇrˇ´ıtku nepozorujeme zˇa´dny´ proud. Vytvorˇ´ıme-li vsˇak ve vodicˇi staciona´rnı´ elektricke´ pole intenzity E , zacˇne na elektrony pu˚sobit sı´la F = −eE = ma , ktera´ je bude urychlovat. Ve vakuu by se pohybovaly rovnomeˇrneˇ zrychleneˇ po celou dra´hu , kde na neˇ sı´la pu˚sobı´ (∼ svisly´ pa´d v zemske´m gravitacˇnı´m poli). Pohyb v kovu je vsˇak brzˇdeˇn sra´zˇkami s ionty krystalicke´ mrˇ´ızˇky a vodivostnı´mi (? rukopis str. 38) elektrony – ty pu˚sobı´ jako odpor prostrˇedı´. Dojde k usta´lene´mu stavu (?!? dojı´t k usta´lene´mu stavu ?: Po neˇjake´mm cˇase se rychlost usta´lı´, protozˇe dojde k vyrovnańı´ ...), kdy velikost brzdne´ sı´ly je pra´veˇ rovna urychlujıćı´ sı´le F . Elektrony se pak pohybujı´ pru˚meˇrnou rychlostı´ v¯ , ktera´ ma´ smeˇr pra´veˇ opacˇny´ nezˇ E (toto chovańı´ se prˇekla´da´ prˇes tepelny´ pohyb). Pru˚meˇrna´ rychlost je u´meˇrna´ intenziteˇ pole E . Platı´

v =µ·E kde µ = pohyblivost na´boje = pru˚meˇrna´ rychlost elektronu˚ v jednotkove´m elektricke´m poli 2 ). Vı´me, zˇe platı´

i = ρ · v = nev Dosadı´me za v :

i =σ·E kde σ = ρµ = enµ = specificka´ (meˇrna´) elektricka´ vodivost (materia´lova´ konstanta) Dostali jsme za´vislost mezi proudovou hustotou a intenzitou staciona´rnı´ho elektricke´ho pole ve vodicˇi, rovnice (cˇ´ıslo rovnice) je Ohmu˚v za´kon v diferencia´lnı´m tvaru. Na za´kladeˇ rˇady experimentu˚ (kdy byla zjisˇteˇna za´vislost mezi rozdı´lem potencia´lu˚ na koncıćh vodicˇe a procha´zejıćı´m proudem) formuloval G. S. Ohm roku 1826 vztah, ktery´ rˇ´ıka´, zˇe proud I tekoucı´ v urcˇite´m okamzˇiku dany´m vodicˇem je u´meˇrny´ okamzˇite´ hodnoteˇ poklesu potencia´lu U na tomto vodicˇi. 1 Ohmův zákon I = ·U R ) ucˇinˇme dohodu:¯ v = v (bez pruhu) budeme toto pravidlo pouzˇ´ıvat i v dalsˇ´ım textu ovsˇem s veˇdomı´m, zˇe se jedna´ o rychlost pru˚meˇrnou 2

62

3.2. Prˇ´ıcˇiny vzniku elektricke´ho proudu Konstanta R za´visı´ na geometricke´m tvaru vodicˇe a na jeho materia´lu = elektricky´ odpor. Odpor charakterizuje schopnost vodicˇe ve´st elektricky´ proud. Je vzˇdy ≥ 0. Cˇ´ım je odpor veˇtsˇ´ı, tı´m tecˇe mensˇ´ı proud. Jednotkou odporu je 1 Ohm [Ω] = 1V · 1A−1 . Vodicˇ ma´ odpor R = 1Ω, procha´zı´-li jı´m proud 1A a napeˇtı´ na vodicˇi je 1V . Abychom mohli porovna´vat ru˚zne´ la´tky , je vhodne´ zave´st meˇrny´ (specificky´) odpor ρ. Vezmeme vodicˇ tvaru va´lce de´lky l a pru˚rˇezu S. je-li vodicˇ homogennı´, bude odpor u´meˇrny´ l a neprˇ´ımo u´meˇrny´ S. Potom zavedeme S l ⇐⇒ R = ρ l S neboli – meˇrny´ odpor je odpor vodicˇe jednotkove´ de´lky a jednotkove´ho pru˚rˇezu (≡ odpor krychle o hraneˇ 1m). Jednotkou meˇrne´ho odporu je Ohm · metr(Ω · m). Zava´dı´ se jesˇteˇ vodivost vztahem G = R1 . Jejı´ jednotkou je Ω−1 ≡ Siemens (S) Ohmu˚v za´kon si mu˚zˇeme odvodit z jeho diferencia´lnı´ho tvaru ρ=R·

i = σ · E = −σ · grad U = −σ Hustotu i mohu u homogennı´ho vodicˇe psa´t jako

dU l dl l

I S

dU dl Integracı´ tohoto vztahu pode´l cele´ho vodicˇe l dostaneme I = −σ · S ·

Zl I·

ZU2 dl = −σ · S ·

0

dU

U1

I · l = −σ · S(U2 − U1 ) = σ · S(U1 − U2 ) = σ · S · U kde U = U1 − U2 = napeˇtı´ na vodicˇi. Vyrˇesˇ´ıme-li tuto rovnici pro U , dostaneme U= Oznacˇ´ıme-li R = Vidı´me, zˇe odpor

1 σ

1 l · ·I σ S

· Sl , dostaneme Ohmu˚v za´kon U = I · R R=

1 l l · =ρ· σ S S

kde σ1 = ρ = meˇrny´ odpor Experimenta´lnı´ oveˇrˇenı´ Ohmova za´kona (postupneˇ R = konst, U = konst, I = konst) a) R = konst: meˇnı´me U = 2, 4, 6V I=

U1 U2 U3 U =⇒ I1 = , I2 = , I3 = =⇒ I1 : I2 : I3 = U1 : U2 : U3 R R R R 63

KAPITOLA 3. ELEKTRICKY´ PROUD, STACIONA´RNI´ ELEKTRICKE´ POLE b) U = konst: postupneˇ meˇnı´me R a meˇnı´me I I=

U U U U 1 1 1 =⇒ I1 = , I2 = , I3 = =⇒ I1 : I2 : I3 = : : R R1 R2 R3 R1 R2 R3

c) I = konst: postupneˇ meˇnı´me R tak, zˇe I zu˚stane konstantnı´ U1 = IR1 , U2 = IR2 , U3 IR3 =⇒ U1 : U2 : U3 = R1 : R2 : R3 Staciona´rnı´ elektricke´ pole Nynı´ si vysveˇtlı´me neˇktere´ obecne´ vlastnosti staciona´rnı´ho elektricke´ho pole. Da´ se uka´zat, zˇe silove´ pu˚sobenı´ pole intenzity E na pohybujıćı´ se na´boj je stejne´ jako na na´boj v klidu (to vsˇak neplatı´ pro rychlosti blı´zke´ rychlosti sveˇtla, tam musı´me bra´t vztahy relativisticke´). Proto je mozˇno pouzˇ´ıt za´kladnı´ vztahy odvozene´ pro pole elektrostaticke´. Staciona´rnı´ elektricke´ pole je take´ konzervativnı´. rot E = 0 V hmotne´m prostrˇedı´ opeˇt mu˚zˇeme zave´st vektor elektricke´ indukce, pro ktery´ platı´: div D = ρ Souhrnneˇ si mu˚zˇeme rˇ´ıci, zˇe staciona´rnı´ elektricke´ pole ma´ tyte´zˇ vlastnosti (alesponˇ ty za´kladnı´) jako pole elektrostaticke´ + neˇktere´ vlastnosti dalsˇ´ı (nenulove´ pole ve vodicˇi). Prˇi pru˚chodu staciona´rnı´ho proudu vodicˇem vsˇak v jeho okolı´ vznika´ i pole magneticke´ (tomu se budeme veˇnovat v dalsˇ´ıch kapitolaćh).

Elektromotoricke´ napeˇtı´ Nynı´ se budeme zajı´mat o prˇ´ıcˇinu vzniku staciona´rnı´ho proudu. K tomu samotne´ staciona´rnı´ pole netacˇ´ı, nebot’je konzervativnı´ a nemu˚zˇe proto posunovat elektrony uzavrˇeny´m obvodem dokola (tj. konat praći). Obvod proto musı´ by´t prˇerusˇen oblastı´, kde existujı´ dalsˇ´ı – nekonzervativnı´ – sı´ly. Obecneˇ potom diferencia´lnı´ Ohmu˚v za´kon bude

i = σ(E + ) kde je vtisˇteˇna´ (elektromotoricka´) sı´la – zavedena´ zcela forma´lneˇ. Ohmu˚v za´kon zı´ska´me z tohoto vy´razu integracı´ po dra´ze l1 od A do B ZB

i σ

A

ZB · dl =

ZB

E · dl + A

· dl A

64

3.2. Prˇ´ıcˇiny vzniku elektricke´ho proudu Pro hustotu proudu platı´, zˇe je k s dl , da´le i = ZB

i σ

ZB · dl =

A

Velicˇina

RB A

dl σ· ∆S

I ∆S

i · dl = I · σ

A

ZB

dl σ · ∆S

A

je odpor prˇ´ıslusˇne´ho u´seku vodicˇe R

Pokles potencia´lu na u´seku AB bude ZB

E · dl

UAB = A

Zavedeme velicˇinu

ZB

· dl

EAB = A

= elektromotoricke´ napeˇtı´ pu˚sobıćı´ na u´seku vodicˇe AB [Volt] Pak dostaneme 1 I = (UAB + EAB ) R To je Ohmu˚v za´kon pro cˇa´st AB nehomogennı´ho vodicˇe. Proud tekoucı´ touto cˇa´stı´ nehomogennı´ho vodicˇe je u´meˇrny´ soucˇtu elektricke´ho napeˇtı´ a elektromotoricke´ho napeˇtı´. Jestlizˇe nynı´ provedeme integraci prˇes celou uzavrˇenou smycˇku nehomogennı´ho vodicˇe, dostaneme (elektricke´ pole je konzervativnı´, proto prvnı´ cˇlen vypadne) I=

E Rcelk

E > 0 – celkova´ hodnota elektromotoricke´ho napeˇtı´. Je-li toto elektromotoricke´ napeˇtı´ na cˇase neza´visle´, zabezpecˇuje na´m usta´leny´ proud tekoucı´ obvodem3 ).

Konkre´tnı´ realizace Spojı´me-li svorky zdroje se sta´ly´m rozdı´lem potencia´lu˚ (tj. s E) vodicˇem o odporu R, prote´ka´ jı´m usta´leny´ proud I od svorky ⊕ k ª. Usta´leny´ proud musı´ by´t uzavrˇeny´, proto se vracı´ vnitrˇkem zdroje. 3

) energie se doda´va´ naprˇ´ıklad u galvanickyćh cˇlańku˚ z energie chemickyćh reakcı´ probı´hajıćıćh mezi elektrodami a elektrolytem, u dynama z energie mechanicke´, . . .

65

KAPITOLA 3. ELEKTRICKY´ PROUD, STACIONA´RNI´ ELEKTRICKE´ POLE Kazˇdy´ zdroj je kromeˇ elektromotoricke´ho napeˇtı´ E charakterizovań i vnitrˇnı´m odporem Ri . Do vneˇjsˇ´ıho obvodu zapojı´me odpor Re . Pak platı´ I=

E E = Rcelk Ri + Re

=⇒

E = I(Ri + Re )

Na svorkaćh AB pak zjistı´me pouze napeˇtı´ (tote´zˇ jako na odporu Re ) U = Re · I = E − IRi = Svorkové napětí Elektromotoricke´ napeˇtı´ a vnitrˇnı´ odpor jsou pro zdroj konstantnı´, kdezˇto svorkove´ napeˇtı´ se meˇnı´ se zatı´zˇenı´m. Cˇ´ım bude odebı´rań veˇtsˇ´ı proud, tı´m vıće bude svorkove´ napeˇtı´ klesat. U=

E <E 1 + RRei

Zdroje deˇlı´me na tvrde´ (Ri ¿ Re , a proto U ∼ E) a meˇkke´ (Ri je velke´, a proto U ¿ E). Zateˇzˇovańı´ zdroju˚: 1. Zdroj na pra´zdno: Re = ∞ =⇒ I = 0, U = E 2. Zdroj na kra´tko (zkrat): Re → 0 =⇒ U → 0, u tvrdyćh zdroju˚ navıć I → ∞, cozˇ vede ke znicˇenı´ zdroje. Elektromotoricke´ napeˇtı´ lze meˇrˇit prˇesneˇ jen tehdy, neprocha´zı´-li meˇrˇ´ıcı´m prˇ´ıstrojem zˇa´dny´ proud (elektrostaticke´ voltmetry).

Elektricke´ obvody a sı´teˇ Elektricky´ obvod je uzavrˇena´ smycˇka tvorˇena´ vodicˇi a prote´kana´ elektricky´m proudem. Znacˇenı´: odpor (obra´zek), zdroj elektromotoricke´ho napeˇtı´ (obra´zek) Sı´t’je slozˇena z rˇady obvodu˚. Obsahuje te´zˇ uzly – mı´sta, kde se sty´kajı´ (alesponˇ) 3 vodicˇe. Cˇa´st obvodu mezi dveˇma uzly nazy´va´me veˇtev. Budeme vysˇetrˇovat jednoduchy´ obvod obsahujıćı´ zdroj elektromotoricke´ho napeˇtı´ a rˇadu odporu˚ spojenyćh ru˚zny´m zpu˚sobem.

Se´riove´ zapojenı´ odporu˚: Zdroj ma´ (svorkove´) napeˇtı´ U – to se skla´da´ (?) z napeˇtı´ na jednotlivyćh odporech U1 , U2 , . . . (kde Ui = Vi − Vi−1 , Vi = potencia´ly) n X Ui U= i=1

Obvodem prote´ka´ proud I, ktery´ je dań vy´sledny´m odporem R a svorkovy´m napeˇtı´m U . I=

U R

66

3.2. Prˇ´ıcˇiny vzniku elektricke´ho proudu Podle Ohmova za´kona je spa´d napeˇtı´ Ui na i-te´m odporu IRi , tj. U = IR = IR1 + IR2 + IR3 + · · · + IRn = I(R1 + R2 + R3 + · · · + Rn )

=⇒

R=

n X

Ri

i=1

Paralelnı´ kombinace odporu˚: Prˇi tomto zapojenı´ je na vsˇech odporech stejne´ napeˇtı´ U . Proud I = I1 = RU1 , I2 = RU2 ,. . . In = RUn . Platı´: n

n

X 1 XU U =U I= = I1 +I2 +· · ·+In = R Ri Ri i=1 i=1

U R

se veˇtvı´ na proudy

n

=⇒

X 1 1 = R Ri i=1

(sčítají se vodivosti)

¥ Prˇ´ıklad 3.1 Platı´: I = I1 + I2 , I2 = I3 + I4 U = 1A I1 = 30 1 1 1 R34 : R3 + R14 = 12 + 36 = 19 =⇒ R34 = 9 Ω R234 = 15 Ω =⇒ I2 = 2 A Napeˇtı´ na R34 : U34 = U − I2 R2 = 30 − 12 = 18V I3 = UR343 = 18 = 1,5 A 12 I4 = 0,5 A Prˇi rˇesˇenı´ slozˇiteˇjsˇ´ıch elektrickyćh obvodu˚ a sı´tı´ se pouzˇ´ıvajı´ tyto dva empiricke´ poznatky, ktery´m se rˇ´ıka´ Kirchhoffovy za´kony.

I. Kirchhoffu˚v za´kon: Ty´ka´ se rozveˇtvenyćh obvodu˚ – v uzlech se nemu˚zˇe na´boj hromadit (= rovnice kontinuity) =⇒ Algebraicky´ soucˇet proudu˚ v libovolne´m uzlu je roven nule n X

Ii = 0

i=1

Proudy vte´kajıćı´ do uzlu bereme kladne´, proudy vyte´kajıćı´ za´porne´. V nasˇem obra´zku ma´me: I1 − I2 − I3 + I4 − I5 = 0

⇐⇒

I1 + I4 = I2 + I3 + I5 , tj.

soucˇet proudu˚ do uzlu vte´kajıćıćh se rovna´ soucˇtu proudu˚ z uzlu vyte´kajıćıćh.

II. Kirchhoffu˚v za´kon: Ty´ka´ se uzavrˇenyćh obvodu˚ (samostatnyćh i cˇa´stı´ sı´teˇ) – je to du˚sledek Ohmova za´kona. Obvod slozˇeny´ z odporu˚ Ri a zdroju˚ uda´vanyćh pomocı´ elektromotoricke´ho napeˇtı´ (vnitrˇnı´ odpor zapocˇ´ıta´me do prˇ´ıslusˇne´ho odporu veˇtve Ri ). Vesˇkere´ napeˇtı´ v obvodeˇ se skla´da´ z elektromotorickyćh 67

KAPITOLA 3. ELEKTRICKY´ PROUD, STACIONA´RNI´ ELEKTRICKE´ POLE napeˇtı´ Ei a ohmickyćh u´bytku˚ napeˇtı´ Ri Ii . Elektromotoricka´ napeˇtı´ jsou kladna´, ma´-li kladny´ smeˇr proud, ktery´ toto napeˇtı´ v prˇ´ıslusˇne´ veˇtvi vyvolal, tj. vneˇjsˇkem od ⊕ k ª (vnitrˇkem od ª k ⊕ obra´zek). Ohmicky´ u´bytek napeˇtı´ je kladny´, je-li kladny´ smeˇr proudu Ii . II Kirchhoffu˚v za´kon dostaneme integracı´ Ohmova za´kona prˇes cely´ obvod. Prˇi tom zvolı´me urcˇity´ smeˇr integrace za kladny´ (vu˚cˇi neˇmu vztahujeme i napeˇtı´). Pro jednu veˇtev ma´me: Vi−1 − Vi + Ei Ii = Ri Obecneˇ:

n X

Ri Ii =

i=1

m X

Ej

j=1

kde v soucˇtu bereme znameńka kladna´ i za´porna´. V libovolne´m uzavrˇene´m obvodeˇ je algebraicky´ soucˇet ohmickyćh u´bytku˚ napeˇtı´ roven algebraicke´mu soucˇtu elektromotorickyćh napeˇtı´ zarˇazenyćh do obvodu. Aplikace: Pomocı´ obou Kirchhoffovyćh za´konu˚ mu˚zˇeme vypocˇ´ıtat proudy v libovolneˇ slozˇityćh sı´tıćh na za´kladeˇ znalosti odporu˚ a napeˇtı´ zdroju˚ v jednotlivyćh veˇtvıćh. Jedna´ se o rˇesˇenı´ soustavy linea´rnıćh rovnic. Prˇedpokla´dejme, zˇe sı´t’ma´ k veˇtvı´, l uzlu˚ a tvorˇ´ı m jednoduchyćh uzavrˇenyćh obvodu˚. Celkem musı´me vypocˇ´ıtat proudy ve vsˇech veˇtvıćh, tj. k proudu˚ =⇒ potrˇebujeme k neza´vislyćh rovnic. Da´ se zjistit, zˇe platı´ k =m+l−1 musı´me proto napsat m rovnic pro II. Kirchhoffu˚v za´kon ve vsˇech obvodech, l − 1 rovnic pro I. Kirchhoffu˚v za´kon (l-ta´ rovnice nenı´ neza´visla´). To jsou jen za´kladnı´ pravidla. Tyto za´kony platı´ i pro sı´teˇ s obecny´mi prvky (kapacitami, indukcˇnostmi) a prˇi libovolne´m pru˚beˇhu proudu. (**** strana 42 rukopisu dole ****) ¥ Prˇ´ıklad 3.2 Vypocˇteˇte proudy I1 , I2 , I3 , platı´-li: E1 = 12V, E2 = 4V, E3 = 6V, R1 = 20 Ω, R2 = 11 Ω, R3 = 10 Ω, Ri1 = 0, Ri2 = 1 Ω, Ri3 = 0 Utvorˇ´ıme si dva obvody (obra´zek) Pro 1. obvod II. Kirchhoffu˚v za´kon: E1 − E2 = R1 I1 + (R2 + Ri2 )I2 Pro 2. obvod II. Kirchhoffu˚v za´kon: E2 + E3 = R3 I3 − (R2 + Ri2 )I2 68

3.2. Prˇ´ıcˇiny vzniku elektricke´ho proudu

I. Kirchhoffu˚v za´kon pro uzel A: I1 − I2 − I3 = 0 Cˇ´ıselneˇ:

8 = 20I1 + 12I2 10 = 10I3 − 12I2 I1 = I2 + I3

Vyrˇesˇenı´m te´to soustavy dostaneme: I1 = 0,53A I2 = −0,21A I3 = 0,74A Praće a vy´kon usta´lene´ho proudu Vezmeme konvekcˇnı´ proud tvorˇeny´ nositeli na´boje ve vakuu. Vneˇjsˇ´ım zdrojem udrzˇujeme mezi elektrodami napeˇtı´ U (tj. pole intenzity E = Ud ).Na cˇa´stici s na´bojem q bude pu˚sobit sı´la F = q· E . Prˇi probeˇhnutı´ cele´ vzda´lenosti d zı´ska´ kinetickou energii W rovnou zmeˇneˇ potencia´lnı´ energie W =q·U Tato energie nemu˚zˇe by´t elektricke´mu poli navraćena (na´raz na elektrodu ⇒ teplo, rozrusˇenı´ elektrody, . . . ). Musı´me proto mı´t vneˇjsˇ´ı zdroj energie. Prˇi pru˚chodu proudu I po cˇas ∆t bude dodańa energie ∆W = (I · ∆t) · U Za konecˇnou dobu t je vykonańa praće Zt W =

U · I(t) · dt 0

Jde-li o usta´leny´ proud, dostaneme W = U It = RI 2 t Vy´kon elektricke´ho proudu N =

∆W ∆t

pak bude N = U · I = R · I2

Mu˚zˇeme najı´t i diferencia´lnı´ tvar vy´konu. Vezmeme u´sek proudove´ trubice o plosˇkaćh . ∆S2 ( ∆S1 = ∆S2 ) ve vzda ´ lenosti ∆l (smeˇr spa´du potencia´lu). Spa´d potencia´lu ∆U = U1 − U2 = E · l . 69

∆S1

a

KAPITOLA 3. ELEKTRICKY´ PROUD, STACIONA´RNI´ ELEKTRICKE´ POLE Energie, kterou zı´ska´ na´boj ∆Q prˇi probeˇhnutı´ ∆l: W = ∆Q · (E · ∆l ) Za cˇas ∆t (nutny´ k probeˇhnutı´ ∆l) projde pru˚rˇezem proudove´ trubice na´boj Tomuto na´boji prˇeda´ pole energii W = i · ∆S · ∆t · E · ∆l 1 Vy´kon vztazˇeny´ na jednotku objemu (tj. ∆S1∆l · ∆t ) bude

∆Q

= (i · ∆S ) · ∆t

n=i ·E to je diferencia´lnı´ vyja´drˇenı´ vy´konu proudu Kondukcˇnı´ (vodivy´) proud Vezmeme vodicˇ – mu˚zˇeme opeˇt urcˇit energii potrˇebnou k udrzˇovańı´ proudu ve vodicˇi. Experimenta´lneˇ nalezeny´ vztah: Joulu˚v za´kon – ve vodicˇi prote´kane´m proudem I a na neˇmzˇ je potencia´lovy´ spa´d U vznika´ tepelny´ vy´kon N Q=N =U ·I =

U2 = I 2R R

Joulu˚v za´kon mu˚zˇeme vyja´drˇit i v diferencia´lnı´m tvaru. Zı´ska´me vztahy analogicke´ jako pro konvekcˇnı´ proud i2 2 n = i · E = σE = σ Tomuto vy´konu budeme rˇ´ıkat prˇ´ıkon, je to vy´kon spotrˇebovany´ ve vodicˇi a zmeˇneˇny´ na teplo. Podstatny´ rozdı´l mezi vy´konem proudu konvekcˇnı´ho a kondukcˇnı´ho (i prˇes cˇ´ıselnou shodu): Vy´kon konvekcˇnı´: nositele na´boje jsou urychlovańy – energie je v nich akumulovańa, pak na´hle uvolneˇna na´razem na elektrodu. Vy´kon kondukcˇnı´: elektrony jsou sta´le v interakci s la´tkou – Joulovo teplo vznika´ v cele´m vodicˇi (v jeho objemu)

Energeticka´ bilance v uzavrˇene´m elektricke´m obvodu Praće elektricke´ho proudu se bude skla´dat z praće vneˇjsˇ´ı a vnitrˇnı´ cˇa´sti obvodu. W = Re I 2 t + Ri I 2 t = (Re + Ri )I 2 t Vı´me, zˇe platı´ E = I(Re + Ri ) Odtud W = EIt V uzavrˇene´m obvodu vykona´va´ praći zdroj silami, ktere´ nejsou elektrostaticke´ho pu˚vodu. To je podstatny´ rozdı´l proti cˇa´sti obvodu, kde ma´me potencia´lovy´ spa´d U . Pro vy´kon usta´lene´ho proudu v uzavrˇene´m obvodu platı´ N = EI 70


je to tedy vy´kon zdroje. Tento vy´kon za´visı´ na vneˇjsˇ´ım odporu. Naby´va´ hodnoty v intervalu 0 (pro Re −→ ∞) azˇ µ ¶ E E2 Nmax = E = Ri Ri Vy´kon spotrˇebovany´ ve vodicˇi: E 2 Re N= (Re + Ri )2 Prˇi zkratu je vy´kon ve vodicˇi roven nule (Re −→ 0). Vy´kon ve vodicˇi je maxima´lnı´ pro dN = 0) Re = Ri ( dR e Jednotky – Praći elektricke´ho proudu uda´va´me v Joulech a vy´kon ve W attech. Podle vztahu W = U It je Joule = V · A · s a podle vztahu N = U I je W att = V · A. Take´ se rˇ´ıka´ [W ] = J = W · s – veˇtsˇ´ı jednotka je kW h = 3,6 · 103 · 103 W s = 3,6 · 106 W s = 3,6 · 106 J Vyuzˇitı´ Joulova tepla Podle vztahu pro vy´kon proudu a pro uvolneˇne´ teplo ve vodicˇi, ktere´ jsou identicke´, vidı´me, zˇe vsˇechna energie se zcela zmeˇnı´ v teplo. Elektrony urychlene´ ve vodicˇi elektricky´m polem prˇena´sˇejı´ mimo na´boje i kinetickou energii, tu prˇeda´vajı´ prˇi sra´zˇkaćh iontu˚m krystalove´ mrˇ´ızˇky kovu. Tı´m zvysˇujı´ jejich teplotu. Teplo se vyuzˇ´ıva´ k topny´m ućˇelu˚m – elektricke´ odporove´ pece, varˇicˇe, . . . Tepelne´ ampe´rmetry – prˇi pru˚chodu proudu dra´tem se dra´t ohrˇ´ıva´ (? le´pe vodicˇ ?) a prodluzˇuje se. Mezi svorkami A, B je tenky´ dra´t napnuty´ prˇ´ıcˇneˇ pruzˇinou. Prodlouzˇenı´ dra´tu se tak prˇena´sˇ´ı na rucˇku ampe´rmetru (viz obra´zek) Uvolneˇne´ teplo je u´meˇrne´ I 2 , proto dQ = RI 2 dt

=⇒

výchylka

α ∼ I2

Tento ampe´rmetr je pouzˇitelny´ pro meˇrˇenı´ stejnosmeˇrne´ho i strˇ´ıdave´ho proudu (kvu˚li I 2 ). Nevy´hody – pomale´ usta´lenı´, nesnesou veˇtsˇ´ı prˇetı´zˇenı´ =⇒ ma´lo se pouzˇ´ıvajı´.

Meˇrˇenı´ velicˇin elektricke´ho obvodu K meˇrˇenı´ napeˇtı´ a proudu se pouzˇ´ıva´ elektrickyćh meˇrˇ´ıcıćh prˇ´ıstroju˚ (galvanometru˚). Prˇi meˇrˇenı´ napeˇtı´ na odporu R se prˇ´ıstroj prˇipojı´ paralelneˇ – aby byl meˇrˇeny´ obvod co nejmeńeˇ ovlivneˇn, musı´ mı´t meˇrˇidlo velky´ vnitrˇnı´ odpor – voltmetr. Prˇi meˇrˇenı´ proudu zapojujeme prˇ´ıstroj se´rioveˇ. Jeho odpor musı´ by´t maly´ – ampe´rmetr.

71


1. Meˇrˇenı´ napeˇtı´ Chceme zmeˇrˇit napeˇtı´ na odporu R. Prˇed zapojenı´m voltmetru tekl obvodem proud I, svorkove´ napeˇtı´ bylo E U = E − IRi = IR I = R + Ri Prˇipojenı´m voltmetru se odpor zmeˇnil na R0 :

1 1 1 = + 0 R R Rv

=⇒ R0 =

R · Rv R =
Tı´m vzrostl proud tekoucı´ obvodem z I na I 0 I0 =

E >I Ri + R 0

0 Usv = E − I 0 Ri < Usv

=⇒

0 K tomu, aby voltmetr znatelneˇ obvod neovlivnil (tj. aby platilo Usv ≈ Usv ), musı´ by´t

Rv À R Zveˇtsˇenı´ rozsahu voltmetru: Chceme voltmetrem meˇrˇit veˇtsˇ´ı napeˇtı´, nezˇ prˇ´ıslusˇ´ı jeho maxima´lnı´ vyćhylce. Zarˇadı´me proto do se´rie s nı´m prˇedrˇadny´ odpor Rp . Ma´-li voltmetr rozsah Uv a chceme meˇrˇit napeˇtı´ nUv , musı´ platit nUv = Uv + Up

=⇒

Up = (n − 1)Uv

Prˇi se´riove´m zapojenı´ se napeˇtı´ rozdeˇluje u´meˇrneˇ odporu˚m. Musı´me tedy zvolit prˇedrˇadny´ odpor Rp = (n − 1)Rv 2. Meˇrˇenı´ proudu Ampe´rmetr zarˇazujeme do se´rie s odporem R. Pu˚vodneˇ tekl proud I dany´ vztahem I=

E R + Ri

Tento proud se zarˇazenı´m ampe´rmetru o odporu Ra snı´zˇ´ı na I0 =

E 1 E 1 = · =I·
K tomu, aby ampe´rmetr znatelneˇ neovlivnil proud musı´ platit Ra ¿ R + Ri

tj. přibližně

Ra ¿ R (obvykle je Ri ¿ R) 72


Zveˇtsˇenı´ rozsahu ampe´rmetru Chceme zvy´sˇit rozsah ampe´rmetru n-kra´t – zarˇadı´me bocˇnı´k o odporu Rb Napeˇtı´ mezi body A a B je U : Ia Ra = (n − 1)Ia Rb

=⇒

Rb =

Ra n−1

3. Regulace napeˇtı´ a proudu Pouzˇ´ıva´me reostat = odpor, jehozˇ hodnoty se dajı´ spojiteˇ nebo po skocıćh meˇnit. Ma´ svorky AB na koncıćh a svorku C vyvedenou z pohyblive´ho jezdce. Zapojenı´ pro regulaci proudu Svorku B necha´me volnou, do obvodu zarˇadı´me rerostat na svorky A a C. Ma´-li reostat odpor Rr , zarˇazujeme jeho hodnoty z intervalu h0, Rr i a tı´m meˇnı´me proud v rozsahu U R

až

U R + Rr

. . . jako proměnný odpor

Zapojenı´ pro regulaci napeˇtı´ – jako potenciometr Vlozˇ´ıme-li na potenciometr napeˇtı´ U , odebı´ra´me napeˇtı´ U1 u´meˇrne´ zarˇazene´ cˇa´sti reostatu R1 U1 = U ·

R1 Rr

U ∈ h0, U i

Podmıńkou pro platnost tohoto vztahu je, aby k svorka´m s napeˇtı´m U1 byl prˇipojen odpor podstatneˇ veˇtsˇ´ı nezˇ R1 , jinak potecˇe potenciometrem velky´ proud a U1 se zmensˇ´ı (R1 klesne) 4. Meˇrˇenı´ odporu a) Metoda prˇ´ıma´ – meˇrˇ´ıme proud a napeˇtı´, pouzˇijeme Ohmu˚v za´kon. Zı´skany´ vy´sledek nenı´ zcela prˇesny´, nebot’ je nutno jej korigovat na odpory ampe´rmetru a voltmetru. Podle zpu˚sobu zapojenı´ ma´me prˇesnou hodnotu bud’ napeˇtı´ (I) nebo proudu (II). Zapojenı´ I je vhodneˇjsˇ´ı pro male´ odpory Rx (sna´ze se splnı´ podmıńka Rx ¿ Rv ), zapojenı´ II pro velke´ odpory Rx (podmıńka Rx À Ra ). b) Metoda substitucˇnı´ Nezna´my´ odpor nahradı´me odporem hodnoty zna´me´ – odporovou deka´dou. Deka´du nastavujeme tak, aby se proud ampe´rmetrem nezmeˇnil. c) Metoda Wheatstoneova mu˚stku Slouzˇ´ı k meˇrˇenı´ odporu˚ srovna´vacı´ metodou – ma´ trˇi zna´me´ odpory R1 , R2 , R3 , nezna´my´ odpor Rx a galvanometr. Jeden (alesponˇ) odpor regulujeme. Mu˚stek mu˚zˇeme vyrˇesˇit pomocı´ 73

KAPITOLA 3. ELEKTRICKY´ PROUD, STACIONA´RNI´ ELEKTRICKE´ POLE Kirchhoffovyćh za´konu˚ – hleda´me 6 nezna´myćh I, Ix , I1 , I2 , I3 , Ig =⇒ musı´me sestavit 6 rovnic. I. Kirchhoffu˚v za´kon – pro 3 uzly (4. nenı´ neza´visly´), II. Kirchhoffu˚v za´kon – obvody ABD, BCD, zdroj ADC. A) I − Ix − I2 = 0 ABD) B) Ix − I1 − Ig = 0 BCD) D) I2 + Ig − I3 = 0 zdroj ADC)

Rx Ix + Rg Ig − R2 I2 = 0 R1 I1 − R3 I3 − Rg Ig = 0 R2 I2 + R3 I3 + (Rr + Ri )I = E

´ loha se zjednodusˇ´ı, nastavı´me-li zmeˇnou jednoho z odporu˚ Mu˚zˇeme hledat obecne´ rˇesˇenı´. U R1 – R3 mu˚stek do rovnova´hy (Ig = 0). Potom Ix = I1 Rx Ix = R2 I2 I2 = I3 R1 I1 = R3 I3

) Rx = R1 ·

R2 R3

Prakticka´ realizace: R2 a R3 pevne´ (nebo prˇepıńane´ v pomeˇru 1:10:100:. . . ) a R1 odporova´ R2 deka´da. Prˇesnost meˇrˇenı´ je nejvysˇsˇ´ı, kdyzˇ Rx ∼ R1 a R = 1. Pu˚vodnı´ usporˇa´dańı´: Odpory R2 a 3 R3 byly realizovańy homogennı´m odporovy´m dra´tem, po neˇmzˇ se posunoval pohyblivy´ kontakt. Prˇi vyva´zˇene´m mu˚stku platı´ x Rx = R1 l−x 5. Meˇrˇenı´ elektromotoricke´ho napeˇtı´ Prˇesne´ meˇrˇenı´ E je mozˇne´ jen prˇi zcela nezatı´zˇene´m zdroji, kdy je prˇ´ımo rovno svorkove´mu napeˇtı´. Je proto nutno pouzˇ´ıt voltmetr s nekonecˇny´m odporem (elektrostaticky´) nebo metodu, kdy vlivem vhodne´ho zapojenı´ neprocha´zı´ zdrojem proud. Vhodna´ je metoda kompenzacˇnı´, kdy se srovna´va´ nezna´me´ E se zna´my´m napeˇtı´m. Jako zna´me´ napeˇtı´ se pouzˇ´ıva´ norma´lnı´ Westonu˚v cˇlańek E0 (prˇi t = 20◦ C je E0 = 1,0183V ). Jako kompenzacˇnı´ napeˇtı´ pouzˇijeme zdroj E > E0 , E > Ex . Meˇrˇenı´ napeˇtı´ se prova´dı´ vyrovna´vańı´m obvodu (tj. Ug = 0) – ve dvou polohaćh prˇepıńacˇe dosaneme hodnoty odporu˚ R0 a Rx . Jelikozˇ zdrojem neprote´ka´ proud (Ig = 0), je meˇrˇene´ svorkove´ napeˇtı´ prˇ´ımo rovno elektromotoricke´mu. Proto pomeˇr odporu˚ Rx a R0 , ktery´ je u´meˇrny´ pomeˇru svorkovyćh napeˇtı´, na´m slouzˇ´ı k meˇrˇenı´ elektromotoricke´ho napeˇtı´ Ex Ex = E0

Rx R0

Vidı´me, zˇe ve vy´sledne´m vztahu se hodnota pomocne´ho napeˇtı´ E nevyskytuje, proto na tento zdroj nemusı´me kla´st zvla´sˇtnı´ pozˇadavky (jen E > Ex , E > E0 a sta´lost beˇhem meˇrˇenı´). Meˇrˇenı´ Ex se prˇeva´dı´ na meˇrˇenı´ odporu˚ – je mozˇno jej prova´deˇt s prˇesnostı´ azˇ 10−6 V . 74

3.3. Vedenı´ proudu v la´tkaćh

3.3 Vedenı´ proudu v la´tkaćh Za´konitosti a poznatky dosud uvedene´ platily veˇtsˇinou univerza´lneˇ pro vodicˇe bez ohledu na jejich skupenstvı´ a tı´m i na mechanismus prˇenosu na´boje. Nynı´ budeme studovat jednotliva´ skupenstvı´, povsˇimneme si jejich odlisˇnyćh elektrickyćh vlastnostı´. Budeme studovat soustavy homogennı´ – vliv vneˇjsˇ´ıch podmıńek na vodivost, a soustavy nehomogennı´, ktere´ prˇicha´zejı´ v u´vahu jako zdroje elektromotoricke´ho napeˇtı´. ) Vodiče − látky o měrné vodivosti σ > 106 (Ωm)−1 polovodiče σ ∈ (10−8 , 106 )(Ωm)−1 Nevodiče (izolátory, dielektrika) : σ > 10−8 (Ωm)−1 Tyto hranice jsou pouze orientacˇnı´ (σ za´visı´ na teploteˇ, osveˇtlenı´, . . . )

3.3.1 Pevne´ la´tky – homogennı´ soustavy a) Teplotnı´ za´vislost vodivosti kovu˚ Kovy majı´ elektronovou vodivost a jsou dobry´mi vodicˇi. Teplotnı´ za´vislost vodivosti kovu˚ – s rostoucı´ teplotou odpor roste. Za´vislost je ale nevy´razna´. Je ji mozˇno dosti prˇesneˇ popsat vztahem pro meˇrny´ odpor: ρ(t) = ρ(0) · (1 + αt + βt2 ) kde t = teplota ve ◦ C, ρ(0) = meˇrny´ odpor prˇi 0◦ C, α a β jsou linea´rnı´ a kvadraticky´ teplotnı´ soucˇinitel odporu. Jsou to experimenta´lnı´ hodnoty. Cˇasto stacˇ´ı uvazˇovat linea´rnı´ aproximaci. Typicke´ hodnoty: Materia´l Meˇrna´ vodivost [Ωm]−1 Meˇrny´ odpor [Ωm] Koeficient α [deg −1 ]

strˇ´ıbro 6,1 · 107 1,6 · 10−8 3,8 · 10−3

meˇd’ 5,8 · 107 1,7 · 10−8 3,9 · 10−3

hlinı´k 3,5 · 107 2,5 · 10−8 3,9 · 10−3

olovo 4,5 · 106 2,2 · 10−7 4,3 · 10−3

manganin 2,3 · 106 4,5 · 10−7 2,0 · 10−6

konstantan 2 · 106 5 · 10−7 3 · 10−6

Vidı´me, zˇe kovy (jsou-li cˇiste´) majı´ veˇtsˇ´ı teplotnı´ soucˇinitel odporu nezˇ slitiny. Slitiny majı´ te´zˇ veˇtsˇ´ı specificky´ odpor. Neˇktere´ kovy (zejmeńa P t) majı´ prˇesneˇ definovanou teplotnı´ za´vislost meˇrne´ vodivosti =⇒ je ji mozˇno pouzˇ´ıt k meˇrˇenı´ teploty – odporovy´ teplomeˇr. 1 =⇒ je mozˇno pouzˇ´ıt vztah Veˇtsˇina cˇistyćh kovu˚ ma´ α stejne´ – asi 3,7 · 10−3 deg −1 = 273 ρ(t) = ρ(0◦ C)αT 75

kde [T ] = K


Teplotnı´ za´vislost odporu kovu˚ byla nalezena experimenta´lneˇ supravodivost – vysveˇtlenı´ na za´kladeˇ kvantoveˇ mechanickyćh u´vah. Jev byl objeven na olovu prˇi teploteˇ Tkrit = 4,15K Postupneˇ se darˇilo pro ru˚zne´ la´tky pozorovat tento jev i prˇi teplotaćh prˇes 200K. Konstantan a manganin (i dalsˇ´ı slitiny) majı´ α ∼ 0, proto se pouzˇ´ıvajı´ k zhotovenı´ bocˇnı´ku˚ a prˇedrˇadnyćh odporu˚, prˇesnyćh reostatu˚ . . . Proudove´ stabiliza´tory (varia´tory) – materia´l s velky´m α. Chceme mı´t na neˇjake´m odporu sta´ly´ proud =⇒ do se´rie zapojı´me varia´tor. Stoupne-li E, stoupne i proud ve stabiliza´toru. To vede ke zvy´sˇenı´ jeho teploty a tı´m i jeho odporu =⇒ proud v obvodu se snı´zˇ´ı (obraćeneˇ v prˇ´ıpadeˇ opacˇne´ zmeˇny E).

Elektricka´ vodivost je tvorˇena elektronovy´m plynem (?! str49 rukopisu nahorˇe). Stejneˇ tak se elektrony podı´lejı´ i na tepelne´ vodivosti (prˇena´sˇejı´ kinetickou energii - teplo). Experimenta´lneˇ byla nalezena souvislost mezi elektrickou vodivostı´ σ a tepelnou vodivostı´ λ - Wiedemannu˚v Franzu˚v za´kon: λ = konst.T σ kde konst. ≈ 2.10−8 W · Ω · deg −2 (jejı´ hodnota je prˇiblizˇneˇ stejna´ pro vsˇechny kovy), [T ] = K.

b) Polovodicˇe Obecneˇ jsou polovodicˇe definovańy jako la´tky s σ ∈ (10−8 , 106 ) (Ω·m)−1 . V uzˇsˇ´ım slova smyslu je v elektronice polovodicˇ materia´l, jehozˇ specificky´ odpor exponencia´lneˇ klesa´ s rostoucı´ teplotou ρ(T ) = ρ(0) · e

konst T

Prˇi velmi nı´zke´ teploteˇ by´vajı´ polovodicˇe te´meˇrˇ dokonale´ izola´tory, s ru˚stem teploty prˇiby´va´ volnyćh elektronu˚ a vodivost materia´lu se zvysˇuje.

c) Izola´tory Materia´ly se specificky´m odporem azˇ rˇa´du 1015 Ω · m. Izola´tory nemajı´ zˇa´dne´ volne´ elektrony. Majı´-li dokonalou krystalickou mrˇ´ızˇ, neprocha´zı´ jimi zˇa´dny´ proud. Jinak u nich mu˚zˇe existovat iontova´ vodivost. Ty´ka´ se to zejmeńa iontovyćh krystalu˚ (N aCl, AgCl, AgBr, . . .), jejichzˇ krystalicka´ mrˇ´ızˇ je vybudovańa z ⊕ a ª iontu˚. Jsou-li ionty na svyćh mı´stech, je vodivost nulova´. Pokud se iont ze sve´ polohy v krystalicke´ mrˇ´ızˇi uvolnı´, stane se volny´m a mu˚zˇe ve´st proud (spolu s prˇenosem hmoty). S ru˚stem teploty se uvolnˇuje sta´le vıće iontu˚. Tı´m vodivost roste s teplotou. Vodivost vyhovuje Ohmovu za´konu (prˇi mensˇ´ıch 76


polıćh).

3.3.2 Pevne´ la´tky – nehomogennı´ soustavy a) Kontaktnı´ potencia´ly v kovech A. Volta zjistil koncem 18. stoletı´, zˇe prˇi dotyku dvou kovu˚ vznika´ mezi nimi rozdı´l potencia´lu˚ – kontaktnı´ rozdı´l potencia´lu˚. Jeho hodnota za´visı´ na druhu kovu˚. Kovy je mozˇno sestavit do rˇady, kde kov, ktery´ je vıće vlevo, se prˇi kontaktu s kovem (ktery´ je vpravo) nabı´jı´ kladneˇ: ⊕ Al, Zn, Sn, Cd, P b, Sb, Bi, Hg, F e, Cu, Ag, Au, P t, P d ª Spojı´me-li vıće kovu˚, zmeˇrˇ´ıme kontaktnı´ napeˇtı´ prˇ´ıslusˇejıćı´ krajnı´m materia´lu˚m. Du˚sledkem je, zˇe kontaktnı´ potencia´ly samotne´ nemohou za norma´lnıćh podmıńek vytvorˇit v uzavrˇene´m obvodu proud, nebot’ prˇi uzavrˇenı´ obvodu vodicˇem se potencia´ly zcela vyrovnajı´ (jako celek). Kovy jsou vodicˇe 1. trˇ´ıdy. Platı´ pro neˇ za´kon zachovańı´ energie, proto uzavrˇeny´ obvod nemu˚zˇe mı´t zdroj elektromotoricke´ho napeˇtı´. Zarˇadı´me-li vsˇak do obvodu i vodicˇ 2. trˇ´ıdy (tj. takovy´ v neˇmzˇ prˇi pru˚chodu proudu probı´hajı´ chemicke´ reakce – elektrolyt), mu˚zˇe teći proud – na u´kor chemicke´ energie. Vysveˇtlenı´: V kovech jsou elektrony volne´ (elektronovy´ plyn) – majı´ v nich vsˇak ru˚zne´ potencia´lnı´ energie. K tomu, aby elektron mohl kov opustit, musı´ vykonat urcˇitou praći = vy´stupnı´ praći. Ta je v kazˇde´m kovu jina´. Prˇi kontaktu dvou kovu˚ elektrony z kovu o nizˇsˇ´ı vy´stupnı´ praći prˇejdou do kovu o praći vysˇsˇ´ı – kovy se nabijı´.

Meˇrˇenı´ kontaktnı´ho rozdı´lu potencia´lu˚ Kontaktnı´ potencia´ly nenı´ mozˇne´ meˇrˇit prˇ´ımo voltmetrem (ktery´ by obvod zkratoval). Princip metody neprˇ´ıme´: kovy A a B oddeˇlene´ izola´torem a spojene´ vodicˇem C (materia´l nerozhoduje), odda´lı´me spojku C → A i B zu˚stanou nabite´. B odda´lı´me → na´boj A zmeˇrˇ´ıme elektroskopem (kalibrovany´m v napeˇtı´).

b) Termoelektricke´ jevy Seebecku˚v jev – utvorˇ´ıme obvod z kovu˚ A, B Kontakty budeme udrzˇovat na ru˚znyćh teplotaćh. Zjistı´me, zˇe obvodem potecˇe proud. Vysveˇtlenı´: Kontaktnı´ rozdı´l potencia´lu˚ za´visı´ na teploteˇ UAB = UAB (T ). Pak I=

UAB (T1 ) − UAB (T2 ) R 77

KAPITOLA 3. ELEKTRICKY´ PROUD, STACIONA´RNI´ ELEKTRICKE´ POLE kde R = celkovy´ odpor obvodu. Seebeckovo termoelektricke´ napeˇtı´ Es je rovno rozdı´lu kontaktnıćh potencia´lu˚ obou spoju˚: E = UAB (T1 ) − UAB (T2 ) Hodnota termoelektricke´ho napeˇtı´ je mı´rou teploty → termoelektricky´ cˇlańek. Termocˇlańek je tvorˇen vhodnou dvojicı´ kovu˚ – jeden spoj je vlozˇen do mı´sta s nezna´mou teplotou, druhy´ je referencˇnı´ (0◦ C). Vytvorˇene´ termonapeˇtı´ meˇrˇ´ıme voltmetrem. Za´vislost termonapeˇtı´ na teploteˇ by´va´ mozˇno popsat vztahem 1 E = at + bt2 2 kde celkove´ termonapeˇtı´ by´va´ desı´tky mV . Typicke´ hodnoty: Termocˇlańek a [V /deg] tmax [◦ C]

meˇd’/konstantan 4,2 · 10−5 600

Fe/konstantan 5,4 · 10−5 800

Pt/PtRh (90% Pt, 10% Rh) 0,64 · 10−5 1600

Typicka´ hodnota b by´va´ asi o 3 rˇa´dy mensˇ´ı nezˇ a. V prvnı´ aproximaci je proto mozˇno neˇkdy kvadraticky´ cˇlen vynechat. Pro prˇesneˇjsˇ´ı meˇrˇenı´ se vsˇak uzˇ´ıva´ prˇesna´ kalibracˇnı´ krˇivka4 ). Termocˇlańky mohou meˇrˇit teplotu prakticky bodoveˇ. Napeˇtı´ je mozˇno zvy´sˇit zarˇazenı´m vıće termocˇlańku˚ do se´rie. Peltieru˚v jev Je to jev inverznı´ k jevu Seebeckovu. Meˇjme obvod ze dvou materia´lu˚ a zdroj elektromotoricke´ho napeˇtı´ – prˇi pru˚chodu proudu I se teplota T2 spoje 2 zvy´sˇ´ı proti teploteˇ T1 spoje 1. Na rozhranı´ vznika´ teplo Jouleovo (vzˇdy kladne´) a navıć teplo Peltierovo (bud’ kladne´ nebo za´porne´). Tecˇe-li proud ze zdroje ve smeˇru, ktery´m by tekl proud Seebecku˚v prˇi zahrˇ´ıvańı´ kontaktu, kontakt se ochlazuje; tecˇe-li naopak, kontakt se zahrˇ´ıva´ (je nutno prˇekona´vat vneˇjsˇ´ım polem kontaktnı´ rozdı´l potencia´lu˚ – kona´ se praće – je doda´vańo teplo).

Thomsonu˚v jev Potencia´lovy´ spa´d vznika´ i v homogennı´m vodicˇi, jsou-li jeho konce udrzˇovańy na ru˚znyćh teplotaćh. Elektronovy´ plyn bude difundovat z mı´sta o vysˇsˇ´ı teploteˇ do mı´st chladneˇjsˇ´ıch. Tı´m se teplejsˇ´ı konec vodicˇe nabije kladneˇ a studeny´ za´porneˇ. Mezi konci vodicˇe de´lky l vznikne rozdı´l potencia´lu˚ U1 − U2 = ET = elektromotoricke´ napeˇtı´. Spa´d tohoto napeˇtı´ na u´seku tycˇe de´lky dl ) Neˇktere´ kombinace majı´ b za´porne´ a kalibracˇnı´ je konka´vnı´ (obr.). Maximum je prˇi neutra´lnı´ teploteˇ tn , termonapeˇtı´ meˇnı´ znameńko prˇi ti = inverznı´ teplota. 4

78


je

dT dl dl gradient teploty. Je-li na koncıćh vodicˇe teplota T1 , resp. dET = −κ

kde κ je Thomsonu˚v koeficient a T2 , platı´

dT dl

ZT2 E =−

κ dT T1

Tento jev je dosti slaby´. Spra´vneˇ bychom jej meˇli uvazˇovat i prˇi studiu termocˇlańku˚, tam je vsˇak veˇtsˇinou zcela prˇekryt jevem Seebeckovy´m.

c) Vlastnosti prˇechodu p-n Polovodicˇ – materia´l s vodivostı´ elektronovou a deˇrovou. Polovodicˇ vlastnı´ – prˇi vysˇsˇ´ı teploteˇ se generujı´ volnı´ nositele´ na´boje – vodivost roste s teplotou (exponencia´lneˇ) – vodivost e− i d+ . Prˇ´ımeˇsove´ polovodicˇe – do materiaú (Ge, Si) je prˇidańo male´ mnozˇstvı´ jine´ la´tky, ktera´ vytva´rˇ´ı donory (peˇtimocny´ prvek ve cˇtyrˇmocne´m za´kladeˇ – snadne´ uvolnˇovańı´ elektronu˚ – elektronova´ vodivost – n-typ polovodicˇe) nebo akceptory (trojmocny´ prvek do mrˇ´ızˇe – zachycovańı´ elektronu˚ – deˇrova´ vodivost – p-typ polovodicˇe). p-n prˇechod = kontakt polovodicˇe typu n a p. V jedne´ cˇa´sti jsou volne´ elektrony, v druhe´ dı´ry. Obeˇ cˇa´sti jsou elektricky neutra´lnı´ (zbyly kladneˇ nabite´ donory nebo za´porneˇ nabite´ akceptory). Po kontaktu difundujı´ elektrony do materia´lu p a dı´ry do materia´lu n. Tı´m se n-typ nabije kladneˇ a p za´porneˇ. Difuse probı´ha´ tak dlouho, azˇ vznikne pole, ktere´ dalsˇ´ı difusi zabrańı´. Vodivost prˇechodu – prˇilozˇ´ıme-li ⊕ po´l zdroje na p-typ, pole prˇechodu Ec je cˇa´stecˇneˇ zrusˇeno vneˇjsˇ´ım polem a dalsˇ´ı elektrony potecˇou do p a dı´ry do n; prˇechodem potecˇe proud – propustny´ smeˇr. Prˇi opacˇne´ polariteˇ (⊕ zdroje prˇipojeno na n-typ) – nepropustny´ (za´veˇrny´) smeˇr – vnitrˇnı´ rozdı´l potencia´lu˚ se zvy´sˇ´ı, dı´ry i elektrony se vta´hnou hloubeˇji do svyćh oblastı´ a vznikne ochuzena´ izolacˇnı´ vrstva, ktera´ ma´ velky´ odpor. Vy´pocˇet ukazuje, zˇe vlastnosti prˇechodu popisuje VA charakteristika µ ¶ eU I = Is (exp − 1) kT . Pro n-p prˇechod neplatı´ Ohmu˚v za´kon. Pro T = 300K je kT = 0,025eV , proto jizˇ prˇi velmi malyćh kladnyćh napeˇtıćh ma´me za´vislost exponencia´lnı´ (1 ¿ exp) a prˇi velmi malyćh za´pornyćh napeˇtıćh I = Is = proud nasyceny´. Aplikace – diody (jeden p − n prˇechod) 79

KAPITOLA 3. ELEKTRICKY´ PROUD, STACIONA´RNI´ ELEKTRICKE´ POLE – tranzistory (dva p − n prˇechody) – cela´ rˇada dalsˇ´ıch prvku˚ Diody – germaniove´, krˇemı´kove´ – usmeˇrnˇovacˇe (vyuzˇ´ıva´ se silne´ nesymetrie VA charakeristiky) – stabiliza´tory napeˇtı´ (Zenerovo napeˇtı´ = vratny´ pru˚raz – pole asi 5.105 V. cm−1 ) – fotodiody = proud v za´veˇrne´m smeˇru silneˇ za´visı´ na osveˇtlenı´ (luxmetry, . . . ) Tranzistor – objev Shockleye, Bardeena a Brattaina z roku 1948 – je to na´hrada triody v pevne´ fa´zi. Obsahuje trˇi oblasti p − n − p nebo n − p − n = emitor, ba´ze kolektor. Vyuzˇ´ıva´ se toho, zˇe proud tekoucı´ jednı´m prˇechodem mu˚zˇe by´t ovlivnˇovań proudem v druhe´m prˇechodu. Emitor je propojen s ba´zı´ ve smeˇru propustne´m, prˇechod ba´ze–kolektor je po´lovań nepropustneˇ. Tı´m potecˇe v prvnı´m p − n prˇechodu velky´ proud deˇr, cˇa´st z nich prodifunduje tenkou ba´zı´ azˇ k druhe´mu p − n prˇechodu. Tento za´veˇrny´ prˇechod je pro dı´ry propustny´ =⇒ v kolektorove´m obvodu potecˇe proud. Bude-li v obvodu emitorove´m odpor maly´ a v kolektorove´m velky´, dojde pomocı´ male´ zmeˇny napeˇtı´ v prvnı´m obvodu k rˇ´ızenı´ podstatneˇ veˇtsˇ´ıho napeˇtı´ v druhe´m obvodu – zesı´lenı´ napeˇt’ove´ a vy´konove´. (ne proudove´ – to je vzˇdy mensˇ´ı nezˇ 1 – jen cˇa´st deˇr z emitoru dojde azˇ do kolektoru). Voltampe´rove´ charakteristiky tranzistoru v zapojenı´ se spolecˇnou ba´zı´ – kolektorove´ charakteristiky. Jedna´ se vlastneˇ o zapojenı´ diody v za´veˇrne´m smeˇru. Posouvańı´ krˇivek se deˇje vlivem proudu emitorove´ho. Platı´ tedy Ik = f (Ie )Uk =konst

3.3.3 Kapaliny – homogennı´ soustavy Veˇtsˇina kapalin ma´ iontovou vodivost =⇒ prˇena´sˇ´ı se te´zˇ hmota (vodicˇe 2. trˇ´ıdy). Vy´jimecˇneˇ i vodivost elektronova´ (naprˇ. roztavene´ kovy) – tı´m se vsˇak nebudeme zaby´vat. Neˇktere´ velmi cˇiste´ kapaliny (voda, alkohol, . . . ) jsou velmi sˇpatny´mi vodicˇi (naprˇ´ıklad σH2 O = 4.10−6 (Ω.m)−1 , σtetrachlormethan = 4.10−16 (Ω.m)−1 ). Prˇida´me-li male´ mnozˇstvı´ kyseliny, za´sady nebo soli, vodivost se o mnoho rˇa´du˚ zvy´sˇ´ı Roztok Vodivost [Ω.m]−1

H2 O 4.10−6

HCl 1.10−6

vodny´ roztok HCl (10−4 mol/litr) 4.10−3

Vodicˇe tohoto druhu se nazy´vajı´ elektrolyty. Neˇktere´ la´tky zvysˇujı´ vodivost roztoku znacˇneˇ = silne´ elektrolyty (soli anorganickyćh a organickyćh kyselin, anorganicke´ kyseliny a za´sady), jine´ 80


slabeˇ = slabe´ elektrolyty (organicke´ kyseliny), neˇktere´ nezvysˇujı´ vu˚bec (alkohol ve vodeˇ, cukr ve vodeˇ, . . . ). Zvy´sˇenı´ vodivosti roztoku pomocı´ elektricky neutra´lnıćh solı´, kyselin, . . . nasta´va´ vlivem elektrolyticke´ disociace. Neutra´lnı´ molekula se sˇteˇpı´ na ionty. N aCl −→ N a+ + Cl− H2 SO4 −→ 2H + + SO42− CuSO4 −→ Cu2+ + SO42− KOH −→ K + + OH − Disociace nenı´ podmıńeˇna vneˇjsˇ´ım elektricky´m polem, ale vlivem rozposˇteˇdla. Jeho molekuly vytva´rˇejı´ silna´ loka´lnı´ elektricka´ pole =⇒ uvolnˇujı´ vazebne´ sı´ly uvnitrˇ molekul rozpousˇteˇne´ la´tky. Disociacˇnı´ ućˇinek je prˇ´ımo u´meˇrny´ dipo´love´mu momentu rozousˇteˇdla. Velmi ućˇinny´m rozpousˇteˇdlem je voda, ma´ εr = 81. Disociujı´ se zejmeńa iontove´ krystaly (anorganicke´ la´tky), organicke´ sloucˇeniny by´vajı´ va´zańy jinak (cukr nenı´ ve vodeˇ elektrolyticky disociovań). Za´vislost meˇrne´ vodivosti roztoku˚ na koncentraci: Vodivost nejprve prudce roste, po dosazˇenı´ maxima vsˇak zacˇne klesat. Mı´rou elektrolyticke´ disociace je stupenˇ disociace α α=

n no

kde no je pocˇet molekul rozpusˇteˇne´ la´tky v jednotce objemu roztoku a n je pocˇet disociovanyćh molekul, α ∈ h0; 1i. Stupenˇ disociace za´visı´ na druhu rozpousˇteˇne´ la´tky i na druhu rozpousˇteˇdla, na koncentraci roztoku a na jeho teploteˇ. S rostoucı´ teplotou α roste, se zvysˇujıćı´ se koncentracı´ klesa´. Pro silneˇ zrˇedeˇne´ roztoky α −→ 1, koncentrovane´ roztoky majı´ α −→ 0.

Vedenı´ proudu v elektrolytu: Ionty v elektrolytu bez pole konajı´ chaoticky´ tepelny´ pohyb =⇒ I = 0. Vlozˇ´ıme-li elektrody – za´porne´ ionty se zacˇnou pohybovat ke kladne´ anodeˇ (odtud jejich oznacˇenı´ anionty), kladne´ ionty ke katodeˇ (kationty). Ionty se budou pohybovat vlivem elektricke´ho pole E . Bude na neˇ vsˇak pu˚sobit sı´la trˇenı´. V rovnova´ze: q E = Ft 81

KAPITOLA 3. ELEKTRICKY´ PROUD, STACIONA´RNI´ ELEKTRICKE´ POLE zde q = ±ze, kde z = valence (mocenstvı´ iontu). Sı´la Ft je prˇiblizˇneˇ dańa Stokesovy´m vzorcem pro pohyb ve visko´znı´m prostrˇedı´ (η = koeficient viskozity roztoku) zeE = 6πηrv Odtud pro kladne´ a za´porne´ ionty dostaneme: v+ =

z+ e E 6πηr+

v− =

z− e E 6πηr−

Koeficienty u E majı´ vy´znam pohyblivostı´ kladnyćh a za´pornyćh iontu˚. Majı´ hodnoty rˇa´du 10−8 m.s−1 /V.m−1 . Proto rychlosti iontu˚ jsou male´ – i prˇi velkyćh polıćh (103 V.m−1 ) pouze desetiny mm.s−1 . S koncentracı´ roztoku rychlost iontu˚ klesa´ (stoupa´ η). Pro hustotu proudu mu˚zˇeme psa´t

i = e(z+ n+ v+ + z− n− v− ) ´ pravami dostaneme ohmickou za´vislost (pro jednoduchost zvolme z+ = z− = z, n+ = n− = n) U i=

z 2 e2 n ·E 3πηr | {z } σ

Vidı´me, zˇe σ je u´meˇrne´ n = no α =⇒ vodivost roste se stupneˇm disociace a je neprˇ´ımo u´meˇrna´ η. S rostoucı´ teplotou koeficient viskozity rychle klesa´. Proto proud s teplotou roste. Elektroly´za Souhrn jevu˚, ktere´ nasta´vajı´ prˇi pru˚chodu proudu – chemicke´ zmeˇny v elektrolytu a na elektrodaćh. Proces vedenı´ proudu elektrolytem: Ze zdroje na katodu prˇijdou elektrony a na anodeˇ elektrony chybeˇjı´. V roztoku jsou anionty = za´porneˇ nabite´ ionty, ktere´ prˇi styku s anodou jı´ prˇeda´vajı´ elektrony a naopak kationty, ktere´ berou elektrony od katody. Vy´sledek je takovy´, jakoby elektrony katodou vstupovaly do elektrolytu a anodou z neˇj vystupovaly. Neutralizace iontu˚ na elektrodaćh mu˚zˇe probı´hat ru˚zneˇ podle materia´lu elektrod a elektrolytu. ¥ Prˇ´ıklad 3.3 Vodnı´ roztok CuSO4 + meˇdeˇna´ anoda, katoda libovolna´ =⇒ pohyb iontu˚ Cu2+ a aniontu˚ SO42− . Kationty odevzdajı´ na katodeˇ svu˚j na´boj (prˇijmou elektrony) a vyloucˇ´ı se jako cˇista´ meˇd’, anionty po prˇedańı´ na´boje zreagujı´ s meˇdeˇnou anodoua odnesou cˇa´st. Proto se nebude meˇnit koncentrace elektrolytu, ale bude prˇiby´vat meˇd’ na katodeˇ a uby´vat na anodeˇ. 82

3.3. Vedenı´ proudu v la´tkaćh ¥ Prˇ´ıklad 3.4 Hoffmanu˚v prˇ´ıstroj: voda + H2 SO4 a platinove´ elektrody. Elektrolyt se rozsˇteˇpı´: H2 SO4 −→ 2H + + SO42− Aniont SO42− prˇeda´ anodeˇ za´porny´ na´boj a sloucˇ´ı se s vodou v okolı´ anody: 2SO42− + 2H2 O −→ 2H2 SO4 + O2 Kationty H + se po neutralizaci uvolnı´ jako plynny´ vodı´k. Vy´sledkem je, zˇe se zdańliveˇ pouze rozkla´da´ voda 2H2 O −→ 2H2 + O2 Elektrody se nemeˇnı´, voda uby´va´ a koncentrace roztoku se zvysˇuje

Kvantitativnı´ strańku vedenı´ proudu v elektrolytech popisujı´ Faradayovy za´kony (roku 1833): 1. Faradayu˚v za´kon: Mnozˇstvı´ vyloucˇene´ la´tky na elektrodaćh je prˇ´ımo u´meˇrne´ na´boji, ktery´ prosˇel elektrolytem. M =A·Q=A·I ·t Konstanta A se nazy´va´ elektrochemicky´ ekvivalent = mnozˇstvı´ la´tky vyloucˇene´ 1 Coulombem (??? [48/e] str. 54) 2. Faradayu˚v za´kon: Mnozˇstvı´ la´tek vyloucˇena´ z ru˚znyćh elektrolytu˚ ty´mzˇ na´bojem majı´ se k sobeˇ v pomeˇru prˇ´ıslusˇnyćh chemickyćh gramekvivalentu˚. M1 : M2 : . . . = G1 : G2 : . . . Chemicky´ gramekvivalent = tolik gramu˚ la´tky, kolik cˇinı´ jeho atomova´ va´ha deˇlena´ mocenstvı´m z G = mz (?? oznacˇenı´ m) Z 1. Faradayova za´kona dostaneme pro elektrochemicky´ ekvivalent: Za jednotku cˇasu dospeˇje na jednu elektrodu n iontu˚, z nichzˇ kazˇdy´ ma´ hmotu m a mocenstvı´ z. Pak procha´zejıćı´ proud je I = nze Za vterˇinu se na elektrodeˇ vyloucˇ´ı la´tka M1 = n · m. Za dobu t se vyloucˇ´ı M = M1 · t = n · m · t Porovnańı´m s 1. Faradayovy´m za´konem dostaneme pro A nmt = A · nzet 83

=⇒

A=

m ze

KAPITOLA 3. ELEKTRICKY´ PROUD, STACIONA´RNI´ ELEKTRICKE´ POLE Rozsˇ´ırˇ´ıme tento vy´raz Avogadrovy´m cˇ´ıslem NA , v cˇitateli dostaneme mNA = hmota gramatomu α. Ve jmenovateli bude zeNA . Soucˇin eNA = F = Faradayův náboj = 96, 496Coulombů. Je mozˇno napsat spojenı´ obou Faradayovyćh za´konu˚ M =G·

q F

K vyloucˇenı´ jednoho chemicke´ho gramekvivalentu libovolne´ la´tky je trˇeba na´boje rovne´ho Faradayovu na´boji F . Prˇi prˇenosu na´boje elektrolytem se uvazˇuje, kolik prˇenesly anionty a kolik kationty. To na´m poskytuje informaci o pohyblivosti nositelu˚ na´boje. Je-li celkovy´ prˇeneseny´ na´boj Q, na kationty prˇipada´ QK a na anionty QA . Zava´deˇjı´ se bezrozmeˇrne´ velicˇiny tK =

QK Q

tA =

QA Q

zvane´ Hittorfova prˇevodnı´ cˇ´ısla. Pro neˇ platı´ tK + tA = 1 (nebot’Q = QK + QA ) Ma´me-li elektrolyt tvorˇeny´ vıće druhy iontu˚, platı´ prˇi (nekonecˇne´m) zrˇedeˇnı´ experimenta´lneˇ zjisˇteˇny´ Kohlrauschu˚v za´kon – vy´sledna´ vodivost je soucˇtem vodivostı´ tvorˇenyćh jednotlivy´mi ionty – ”za´kon neza´visle´ho pohybu iontu˚”.

Elektrolyticka´ polarizace – elektrochemicke´ procesy na elektrodaćh Experiment: v Hoffmanoveˇ prˇ´ıstroji (P t/H2 SO4 + H2 O/P t) docha´zı´ k ”rozkladu vody” prˇi vneˇjsˇ´ım napeˇtı´ veˇtsˇ´ım nezˇ napeˇtı´ rozkladne´ = 1,68V . Pokud se pak zdroj odpojı´, zjistı´me, zˇe mezi elektrodami vznikl rozdı´l potencia´lu˚ – polarizacˇnı´ napeˇtı´ (= 1,68V ). Elektrody se pru˚chodem proudu z vneˇjsˇ´ıho zdroje zpolarizovaly. Vysveˇtlenı´: kov ponorˇeny´ do elektrolytu se rozpousˇtı´ a to ve formeˇ kladnyćh iontu˚ mrˇ´ızˇe, ktere´ vystupujı´ do elektrolytu. Tı´m se elektroda nabı´jı´ za´porneˇ, Coulombovske´ prˇitahovańı´ pak dalsˇ´ımu ”vyparˇovańı´” iontu˚ do elektrolytu zabrańı´. Naopak kladne´ kationty z elektrolytu majı´ snahu se zabudovat do mrˇ´ızˇe kovu =⇒ nabı´jejı´ elektrodu kladneˇ. Podle toho, ktery´ jev pro dany´ materia´l elektrody a dany´ elektrolyt prˇevla´dne, zı´ska´me potencia´l elektrody v elektrolytu = elektrodovy´ potencia´l

Polarizacˇnı´ napeˇtı´ pozorujeme, kdyzˇ: H O z }| { z }| { 1) elektrody jsou chemicky ru˚zne´ ( P t/H2 SO4 + H2 O/P t ) 2) elektrody jsou chemicky totozˇne´, ale ponorˇeny v ru˚znyćh elektrolytech 3) elektrody jsou chemicky totozˇne´, je pozˇit stejny´ elektrolyt, ale jeho ru˚zne´ koncentrace

84


Absolutnı´ hodnotu elektrodove´ho potencia´lu nenı´ mozˇno meˇrˇit – je nutna´ druha´ (srovna´vacı´) elektroda. Vzˇdy mu˚zˇeme urcˇovat pouze napeˇtı´ dane´ elektrody vu˚cˇi standardnı´ elektrodeˇ =⇒ standardnı´ elektrodove´ potencia´ly. Cˇasto se pouzˇ´ıva´ standardnı´ vodı´kova´ elektroda. Vu˚cˇi nı´ platı´ (elektrolyt H2 SO4 ): Elektroda Li Al Zn Fe Ni El. potencia´l [V ] -3,02 -1,69 -0,76 -0,43 -0,22

Pb

H

Cu

Hg

Au

Pt

O

F

-0,12

0

0,34

0,86

1,38

1,60

1,68

2,85

Polarizace je pru˚vodnı´m jevem elektroly´zy. Projevuje se tak, jako kdyby v pru˚beˇhu elektroly´zy zapocˇal v obvodu pu˚sobit novy´ zdroj tzv. polarizacˇnı´ho elektromotoricke´ho napeˇtı´. Toto napeˇtı´ ma´ vzˇdy opacˇny´ smeˇr nezˇ pu˚vodnı´ elektromotoricke´ napeˇtı´, ktere´ je vyvolalo.

Galvanicke´ cˇlańky Zarˇ´ızenı´ vyuzˇ´ıvajıćı´ elektroly´zy k zı´ska´vańı´ elektromotoricke´ho napeˇtı´.

1) Prima´rnı´ (nevratne´) cˇlańky V pru˚beˇhu jejich cˇinnosti vlivem elektroly´zy dojde ke znicˇenı´ elektrod. Zı´skajı´ se tak, zˇe do elektrolytu ponorˇ´ıme dveˇ elektrody, z nichzˇ kazˇda´ ma´ vu˚cˇi neˇmu jiny´ potencia´l. Nejjednodusˇsˇ´ı: Voltu˚v cˇlańek: Cu/H2 SO4 (kladna´ elektroda) + H2 O/Zn (za´porna´ elektroda) – elektromotoricke´ napeˇtı´ asi 1,05V . Beˇhem cˇinnosti H2 SO4 −→ 2H + + SO42− . Ze zinkove´ elektrody odcha´zejı´ ionty Zn2+ a vznika´ Zn2 SO4 (?!? sı´ran zinecˇny´ ?!?). Tı´m zinkova´ elektroda uby´va´ a uby´va´ i elektrolyt (meˇnı´ se slozˇenı´). Elektroda Cu se pokry´va´ vodı´kem =⇒ polarizuje se =⇒ elektromotoricke´ napeˇtı´ rychle klesa´. Proto se ru˚zny´m zpu˚sobem snazˇ´ıme zabrańit vzniku nezˇa´doucı´ho polarizacˇnı´ho napeˇtı´ – naprˇ. uvolneˇny´ vodı´k chemicky va´zˇeme v elektrolytu, nebo kazˇdou z elektrod ponorˇ´ıme do roztoku jejı´ vlastnı´ soli. Danielu˚v cˇlańek: (kladna´ elektroda) Cu/CuSO4 + H2 O a ZnSO4 + H2 O/Zn (za´porna´ elektroda) . . . oddeˇlene´ pru˚lincˇitou steˇnou. Westonu˚v cˇlańek – norma´lovy´. Tento cˇlańek ma´ prˇi 20◦ C sta´lou hodnotu elektromotoricke´ho napeˇtı´ 1,018646V (pro I < 1µA). Pouzˇ´ıva´ se pro kompenzacˇnı´ meˇrˇenı´. Suchy´ cˇlańek (beˇzˇneˇ uzˇ´ıvany´): Je to modifikace Leclancheóva cˇlańku. Prˇi cˇinnosti uby´va´ zinkova´ elektroda, u uhlı´ku se slucˇuje vodı´k s burelem, ktery´ se redukuje na M n2 O3 a vznikly´ amoniak se Zn2+ tvorˇ´ı (Zn(N H3 )2 )2+ . Elektromotoricke´ napeˇtı´ E = 1,5V 85


Sekunda´rnı´ (vratne´) cˇlańky – akumula´tory V teˇchto cˇlańcıćh se polarizace naopak vyuzˇ´ıva´ k akumulovańı´ elektricke´ energie. Akumula´tor nejprve nabijeme, tj. zpolarizujeme a pak z neˇj mu˚zˇeme odebı´rat proud. Oloveˇny´ akumula´tor: P b/H2 SO4 + H2 O(25 − 30%)/P b. S oloveˇny´mi elektrodami probeˇhne chemicka´ reakce, takzˇe vyćhozı´ stav elektrod bude P bSO4 , elektrolyt H + , SO42− nabı´jenı´: na anodeˇ: P bSO4 + SO42− + 2H2 O −→ PbO2 + 2H2 SO4 na katodeˇ: P bSO4 + 2H + −→ Pb + H2 SO4 Prˇi nabı´jenı´ uby´va´ vody a prˇiby´va´ kyseliny sı´rove´ =⇒ stoupa´ koncentrace elektrolytu. Napeˇtı´ akumula´toru je 2,6 − 2,7V , velmi rychle vsˇak klesne na 2,1V , kde se udrzˇ´ı dosti dlouho. Pak teprve zacˇne klesat k nule. Vybı´jenı´ je nutno prˇerusˇit asi u 1,8V – prˇi vybı´jenı´ se obnovujı´ elektrody z P bSO4 , ktere´ jsou blı´zko u sebe; mohlo by dojı´t k dotyku elektrod, ke zkratu a znemozˇneˇnı´ dalsˇ´ıho nabitı´. Akumula´tor N iF e (Edisonu˚v): (kladna´ elektroda) N i/KOH + H2 O/F e (za´porna´ elektroda) – po nabitı´ zu˚stane katoda F e a anoda bude tvorˇena hydroxidem hlinity´m (N i(OH)3 ). Elektromotoricke´ napeˇtı´ 1,45V −→ 1,1V . Vy´hody: mu˚zˇe se vybı´t azˇ k nule, nesˇkodı´ mu proudove´ prˇetı´zˇenı´, ma´ nizˇsˇ´ı va´hu nezˇ oloveˇny´. Nevy´hodou je monotonnı´ pokles napeˇtı´ prˇi vybı´jenı´ a vysˇsˇ´ı cena.

Kapacita akumula´toru – na´boj, ktery´ akumula´tor vyda´ beˇhem sve´ho vybı´jenı´ (uda´va´ se v Ah = 3600C). ´ cˇinnost akumula´toru – pomeˇr energie prˇi vybı´jenı´ ku energii prˇi nabı´jenı´ – max. 90% U

3.3.4 Plyny Vedenı´ elektrˇiny v plynech za´visı´ podstatneˇ na vneˇjsˇ´ıch podmıńkaćh, zejmeńa na tlaku (teploteˇ, . . . ). Za beˇzˇnyćh podmıńek plyny prakticky nevedou proud – molekuly jsou elektricky neutra´lnı´. Male´ mnozˇstvı´ iontu˚ je ve vzduchu vzˇdy prˇ´ıtomno vlivem kosmicke´ho a radioaktivnı´ho za´rˇenı´. V 1cm3 vzduchu vznikajı´ rˇa´doveˇ jednotky jednotky iontovyćh pa´ru˚ (z 1019 prˇi atmosfe´ricke´m tlaku) =⇒ proto je vodivost jen nepatrna´ (proudova´ hustota 10−14 A.m−2 ). K tomu, aby plyny mohly ve´st proud, se musı´ vytvorˇit dalsˇ´ı ionty – ionizace. 86

3.3. Vedenı´ proudu v la´tkaćh Ionizace probı´ha´ tak, zˇe se z neutra´lnı´ molekul odsˇteˇpı´ elektron a ten se zachytı´ bud’ na jine´ neutra´lnı´ molekule (vzniknou dva ionty ⊕ a ª), nebo se pohybuje samostatneˇ (vznik pa´ru I + a e− ). Prˇi vysˇsˇ´ım tlaku plynu (kolem atmosfe´ry) je pravdeˇpodobnost zachycenı´ elektronu velka´, prˇi nizˇsˇ´ıch tlacıćh nasta´va´ druhy´ prˇ´ıpad. Ionizaci lze vyvolat: zahrˇa´tı´m plynu (plamenem), oza´rˇenı´m kra´tkovlnny´m elektromagneticky´m za´rˇenı´m (UV, rentgenove´, gama) nebo radioaktivnı´m korpuskula´rnı´m za´rˇenı´m (α, β). Tı´m vznika´ nesamostatna´ vodivost. Pokud pocˇet iontu˚ vzru˚sta´ vlivem sra´zˇek jizˇ existujıćı´ iontu˚ a elektronu˚ (urychlovanyćh elektricky´m polem) s neutra´lnı´mi molekulami, jde o ionizaci na´razem. Vlivem nı´ (vodivost bez vneˇjsˇ´ıch cˇinitelu˚) je vodivost samostatna´. Proved’me experiment (krˇivka I na obra´zku)– prˇi vzru˚stu napeˇtı´ nejprve poroste proud linea´rneˇ – Ohmu˚v za´kon (a), pak by se proud nasytil (c) – polem jsou ”odsa´ty” vsˇechny volne´ ionty (elektrony). Pokud zesı´lı´me ionizaci, krˇivka zveˇtsˇ´ı sve´ absolutnı´ hodnoty (viz. krˇivka II), ale zachova´ charakter – to vsˇe je samostatny´ vy´boj. Absolutnı´ hodnota proudu je dosti mala´ – 10−12 azˇ 10−3 A.m−2 . Prˇi dalsˇ´ım ru˚stu napeˇtı´ dojde opeˇt k ru˚stu proudu – zacˇ´ına´ samostatny´ vy´boj. Ten ma´ vysˇsˇ´ı proudovou hustotu a prˇesta´va´ za´viset na vneˇjsˇ´ıch podmıńkaćh. Jeho konkre´tnı´ prou˚beˇh za´visı´ na tlaku plynu, elektrodaćh, . . .

Samostatny´ vy´boj prˇi atmosfe´ricke´m tlaku Tichy´ vy´boj (vy´boj Towsendu˚v, temny´) – vznika´ mezi hrotovou elektrodou a deskou prˇi velke´m poli u hrotu (asi 106 V.m−1). Ma´ velmi malou proudovou hustotu a za tmy se projevuje slabeˇ fialovy´m zabarvenı´m. Pro jeho udrzˇenı´ musı´ by´t v obvodu velky´ odpor, jinak ionizace na´razem lavinoviteˇ naroste a tichy´ vy´boj prˇejde v jiskrovy´.

Jiskrovy´ vy´boj – zmensˇ´ıme-li vzda´lenost elektrod, nebo zveˇtsˇ´ıme potencia´ly, vytvorˇ´ı se u´zka´ vodiva´ dra´ha, po ktere´ prˇeskocˇ´ı jiskra. Tı´m se potencia´ly elektrod vyrovnajı´ a deˇj se opakuje. Doba trvańı´ jiskry je asi 10−6 s. Jiskra je doprova´zena prasknutı´m, tj. zahrˇa´tı´m vzduchu pode´l sve´ dra´hy. Typicky´m prˇ´ıkladem tohoto typu vy´boje je blesk.

Obloukovy´ vy´boj – prˇi dalsˇ´ım zmensˇenı´ vzda´lenosti elektrod prˇejde jiskrovy´ vy´boj ve vy´boj obloukovy´. Zapaluje se te´zˇ dotekem uhlı´ku˚ (elektrod) a jejich rozzˇhavenı´m. Na jeho udrzˇenı´ stacˇ´ı napeˇtı´ neˇkolika desı´tek voltu˚ a proud desı´tek ampe´r. Za´porny´ uhlı´k se zasˇpicˇat’uje, v kladne´m

87

KAPITOLA 3. ELEKTRICKY´ PROUD, STACIONA´RNI´ ELEKTRICKE´ POLE vznika´ kra´ter (T ∼ 3500◦ C). Samotny´ vzduch mezi uhlı´ky ma´ teplotu azˇ 5000◦ C. Vsˇe intenzivneˇ bı´le svı´tı´. Voltampe´rova´ charakteristika obloukove´ho vy´boje je klesajıćı´ (hyperbolicka´: I ∼ U1 ). V obvodu je proto nutny´ omezovacı´ odpor. Ten vy´boj stabilizuje. Uzˇitı´ obloukove´ho vy´boje: Drˇ´ıve ke svıćenı´ (je to projekce experimentu˚), lećˇenı´ (vhodne´ spektrum), usmeˇrnˇovańı´ velkyćh proudu˚, elektricke´ sva´rˇenı´ (mezi hrotovy´mi elektrodami).

Samostatny´ vy´boj ve zrˇedeˇnyćh plynech Podmıńkou pro vznik samostatne´ho vy´boje je ionizace na´razem. Cˇa´stice musı´ mı´t dostatecˇnou strˇednı´ volnou dra´hu, aby mohly by´t polem urychleny. Proto vy´boj nastane azˇ prˇi nizˇsˇ´ım tlaku. Je to vy´boj doutnavy´.Experimenta´lnı´ konfigurace: skleneˇna´ va´lcova´ na´doba, dveˇ knekove´ (?!? kruhove´) elektrody, stejnosmeˇrne´ napeˇtı´ ∼ 1000V . Vy´boj zacˇ´ına´ prˇi tlaku prˇibl. 40torr. Uprostrˇed trubice vlnıćı´ se cˇerveny´ pruh – jasneˇ svı´tı´ – jde od A (anody) skoro azˇ ke K. Prˇi snizˇovańı´ tlaku se sloupec naprˇ´ıcˇ rozsˇirˇuje a jeho sveˇtlo sla´bne. U katody je vzˇdy tmavy´ (Crookesu˚v) prostor, kde je take´ nejveˇtsˇ´ı spa´d napeˇtı´ (tam jsou elektrony z katody urychlovańy). Prˇi poklesu tlaku asi na 2.10−2 torr sveˇtlo prˇesta´va´, pouze fluoreskujı´ steˇny trubice. Katodove´ paprsky Prˇi tlaku mensˇ´ım nezˇ 2.10−2 torr je strˇednı´ volna´ dra´ha elektronu˚ emitovanyćh katodou srovnatelna´ s rozmeˇry vy´bojove´ trubice =⇒ elektrony budou urychleny cely´m napeˇtı´m vlozˇeny´m na anodu a mohou vystoupit otvorem v anodeˇ do prostoru. – experimenty uka´zaly, zˇe se sˇ´ırˇ´ı prˇ´ımocˇarˇe, odchylujı´ se magneticky´m polem, majı´ fluorescencˇnı´ ućˇinky, mechanicke´ ućˇinky, zahrˇ´ıvajı´ mı´sto dopadu, majı´ chemicke´ ućˇinky (cˇerna´ fotograficka´ deska), ionizacˇnı´ ućˇinky, jsou stıńeˇne´ kovy (?? sˇpatne´ k prˇecˇtenı´ – str. 59 rukopisu).

Rentgenove´ za´rˇenı´ Dopadajı´-li urychlene´ elektrony (katodove´ paprsky) na kovovou elektrodu, vystupuje z nı´ elektromagneticke´ za´rˇenı´ o vlnove´ de´lce dane´ jejich kinetickou energiı´. Pu˚vodnı´ varianta meˇla vy´bojovou trubici s katodou, anodou a antikatodou; nynı´ se pouzˇ´ıvajı´ ru˚zneˇ modifikovane´ Coolidgeovy lampy, kde se v dobre´m vakuu vyuzˇ´ıva´ termoemise. Rentgenovo za´rˇenı´ ma´ cˇa´st vlastnostı´ jako katodove´ paprsky (ućˇinky tepelne´, chemicke´ fluorescencˇnı´, ionizacˇnı´ – v silneˇjsˇ´ı mı´rˇe), neodchylujı´ se vsˇak v elektromagneticke´m poli a procha´zejı´ materia´ly. Jejich koeficient absorpce za´visı´ na atomove´m cˇ´ısle. Je to elektromagneticke´ za´rˇenı´ o vlnove´ de´lce λ ∼ ˚A= 10−10 m (? desetin nm).

88


Teorie nesamostatne´ vodivosti (Towsend) Ionizacˇnı´ cˇinidlo tvorˇ´ı iontove´ pa´ry – jejich pocˇet v jednotce objemu za jednotku cˇasu oznacˇ´ıme n∗ = intenzita ionizace. Ionty zanikajı´ vlivem rekombinace (spojovańı´ iontu˚ objemu v neutra´lnı´ molekulu) – pocˇet n1 a vlivem neutralizace (odevzdańı´ na´boje na elektrodaćh) – pocˇet n2 . Musı´ platit (rovnova´ha): n∗ = n1 + n2 Rekombinace: pocˇet n1 je u´meˇrny´ pocˇtu sra´zˇek; tedy soucˇinu n+ a n− n1 = γn+ n− kde γ je koeficient rekombinace. Platı´ n+ = n− = n =⇒ n1 = γn2 Neutralizace: pocˇet kladnyćh iontu˚ dopadajıćıćh na katodu je stejny´ jako pocˇet za´pornyćh iontu˚ dopadajıćıćh na anodu. Je-li plocha desek S, vzda´lenost d a ionty jsou jednomocne´, platı´ n2 =

I i = eSd ed

Vztah pro rovnova´zˇny´ stav pak bude popsań i ed Z tohoto vztahu je mozˇno vyja´drˇit za´vislost I(U ). Nejprve budeme rˇesˇit prˇ´ıpad malyćh napeˇtı´, kdy bude proud maly´. Pak bude cˇlen neutralizacˇnı´ maly´ proti rekombinacˇnı´mu a pocˇet iontu˚ n bude r ∗ n n= γ Pro hustotu proudu mu˚zˇeme psa´t n∗ = γn2 +

i = n+ ev+ + n− ev− = ne(v+ + v− ) Je mozˇno (analogicky jako v elektrolytu a pevne´ la´tce) zave´st pohyblivost µ± =⇒ v+ = µ± · E i = σE

kde

σ = ne(µ+ + µ− )

Prˇi malyćh hustotaćh proudu je n, µ+ a µ− konstantnı´ a ma´me (?platı´) Ohmu˚v za´kon. Poroste-li napeˇtı´, poroste proud a bude klesat velikost n (nenı´ jizˇ mozˇne´ zanedbat neutralizacˇnı´ cˇlen edi vu˚cˇi γn2 v [odkaz na rovnici]. Prˇi velke´m napeˇtı´ zacˇne platit opacˇna´ podmıńka: edi À γn2 , tj. ionty budou uby´vat pouze neutralizacı´ na elektrodaćh: n∗ =

i ed

=⇒

i = inasyc = n∗ ed 89

KAPITOLA 3. ELEKTRICKY´ PROUD, STACIONA´RNI´ ELEKTRICKE´ POLE Vidı´me, zˇe i 6= i(U ), ale proud roste se vzda´lenostı´ elektrod, nebot’stejna´ u´rovenˇ ionizacˇnı´ho cˇinidla vytvorˇ´ı ve veˇtsˇ´ım objemu vıće pa´ru˚. To je rozdı´l proti vodivosti kovu˚, kde R ∼ d.

Teorie samostatne´ vodivosti Neutra´lnı´ atom (molekula) po dodańı´ urcˇite´ energie Wi uvolnı´ elektron a stane se kladny´m iontem. Tento proces se nazy´va´ ionizace a nutna´ energie Wi je ionizacˇnı´ energie poprˇ´ıpadeˇ ionizacˇnı´ potencia´l Ui = We i . Neˇktere´ hodnoty ionizacˇnı´ho potencia´lu jsou uvedeny v na´sledujıćı´ tabulce: Materia´l Hatom Hmolek Ui [V] 13,6 15,4

Heatom

Oatom

N eatom

COmolek

Na

K

Cs

24,6

13,6

21,6

14,0

5,12

4,32

3,87

Vsˇe, co mu˚zˇe dodat takovou energii ionizuje. Jsou elektromagneticke´ vlny (kra´tke´), ale i urychlene´ elektrony. K tomu, aby mohly ionizovat elektrony (nebo ionty), musı´ by´t strˇednı´ volna´ dra´ha dosti dlouha´, aby od pole mohly naby´t dostatecˇnou energii. Energie od pole U Ui W = eEx = e x ≥ eUi =⇒ x ≥ d d U Strˇednı´ volna´ dra´ha λ musı´ by´t tak velka´, aby cˇa´stice prˇi sra´zˇce jizˇ meˇla energii dostatecˇnou k ionizaci. Tı´m vznikne vıće nabityćh cˇa´stic, ty se urychlı´ – lavina. K tomuto procesu prˇispı´va´ i emise z elektrod vlivem dopadu elektronu˚ a iontu˚. To vsˇe dovoluje ve´st proud i bez ionizacˇnı´ho cˇinidla (xkosne (?? nemohu prˇecˇ´ıst – str. 60 rukopisu dole) za´rˇenı´ startuje). Towsendova teorie da´va´ pro proud vztah I = Ivnější čin.

eαd 1 − γ(eαd − 1)

kde α = Towsendu˚v koeficient = strˇednı´ pocˇet ionizacı´ elektronem od katody k anodeˇ, γ = pocˇet elektronu˚ uvolneˇnyćh z katody pomocı´ I + . Vidı´me, zˇe I 6= 0 i pro Ivnější čin. = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ 1 = γ(eαd − 1) – podmıńka pro lavinu. (??? matematicke´ sˇt’ourańı´: vidı´m spı´sˇe pro Ivnější čin. −→ 0 nebot’neumı´m deˇlit nulou???) Hodnoty koeficientu˚ za´visı´ na druhu plynu, teploteˇ, . . . Platı´ Paschenu˚v za´kon – nasazenı´ samostatne´ho vy´boje p · d = konst V konstanteˇ je zahrnut druh plynu, geometrie.

90


Shrnutı´– probı´rali jsme elektrostatiku = studium pole pevneˇ rozlozˇenyćh na´boju˚ (v klidu) – staciona´rnı´ elektricke´ pole Z elektrostatiky jsme si prˇinesli dva za´kladnı´ poznatky: div D = ρ

Diferenciální Gaussova věta

rot E = 0

Konzervativnost elektrostatického pole

Prˇi uvedenı´ na´boju˚ do pohybu vznika´ staciona´rnı´ elektricke´ pole. Pro neˇ jsme uka´zali, zˇe oba prˇedcha´zejıćı´ vztahy zu˚sta´vajı´ v platnosti, ale na pohybujıćı´ se na´boj pu˚sobı´ dalsˇ´ı pole – magneticke´. Tato ota´zka bude u´kolem cˇa´sti na´sledujıćı´ho semestru (!!! ? radeˇji uve´st vztah ke skriptu ? !!!). Zde prˇedbı´ha´m – nasˇ´ım u´kolem bude dospeˇt azˇ k vytvorˇenı´ (?? popisu ??) elektromagneticke´ho pole, ktere´ je popsańo Maxwellovy´mi rovnicemi: ∂D = i ∂t div D = ρ

rot H −

∂B = 0 ∂t div B = 0

rot E +

(3.1) (3.2) (3.3) (3.4)

Jednotlive´ velicˇiny nebudu nynı´ vysveˇtlovat – postupneˇ se k nim dostaneme beˇhem vy´kladu.

91

Kapitola 4 Magneticke´ pole v kvazistaciona´rnı´m prˇiblı´zˇenı´ 4.1 Za´kladnı´ za´kony Historicky´ u´vod – schopnost zˇeleznyćh rud (zejmeńa magnetitu F eO.F e2 O3 ) prˇitahovat cˇa´stecˇky zˇeleza byla zna´ma jizˇ da´vno. Tato schopnost se prˇeda´va´ i dalsˇ´ım zˇelezny´m prˇedmeˇtu˚m potı´rańı´m kouskem rudy. Tı´m se z la´tky stane magnet. Kazˇdy´ magnet je nejaktivneˇjsˇ´ı na koncıćh – po´lech. Ty se nazy´vajı´ severnı´ (kladny´) a jizˇnı´ (za´porny´) – podle toho, jak se magnetka orientuje v zemske´m magneticke´m poli. Souhlasne´ po´ly se odpuzujı´, nesouhlasne´ prˇitahujı´. Jev magneticke´ influence (analogie elektrostatiky) – po prˇiblı´zˇenı´ zˇeleza k permanentnı´mu magnetu se la´tka te´zˇ zmagnetuje – bud’ trvale (ocel) nebo jen po dobu prˇiblı´zˇenı´ (meˇkke´ zˇelezo) Pokus: Dveˇ F e tycˇinky zaveˇsˇene´ tak, zˇe se doty´kajı´. Po prˇiblı´zˇenı´ magnetu se tycˇinky rozestoupı´, nebot’se obeˇ zmagnetovaly souhlasneˇ =⇒ odpuzujı´ se.

Tyto stare´ empiricke´ poznatky daly vzniknout veˇdeˇ – magnetismu – ktera´ se dlouho vyvı´jela zcela samostatneˇ. Coulombovy experimenty uka´zaly, zˇe sı´la, kterou na sebe pu˚sobı´ po´ly dvou dlouhyćh tycˇovyćh magnetu˚ je prˇ´ımo u´meˇrna´ soucˇinu magnetickyćh mnozˇstvı´ v teˇchto po´lech a neprˇ´ımo u´meˇrna´ cˇtverci jejich vzda´lenosti. Forma´lneˇ byl zaveden pojem magneticke´ mnozˇstvı´ – zcela analogicky podle elektrostatiky lze vybudovat i magnetostatiku (magneticke´ fluidum – ekvivalent elektricke´ho na´boje). Je zde vsˇak zcela podstatny´ rozdı´l – zatı´mco elektricke´ na´boje rea´lneˇ existujı´, s magneticky´m mnozˇstvı´m je tomu jinak. Rozdeˇlenı´m tycˇove´ho magnetu vzniknou opeˇt dva magnety (s obeˇma po´ly), . . . . Nakonec 92

4.1. Za´kladnı´ za´kony

deˇlenı´m vznikne elementa´rnı´ magneticky´ dipo´l. Magneticke´ monopo´ly zatı´m neexistujı´, acˇkoliv podle Diracovy teorie byly prˇedpoveˇzeny (v r. 1975 se objevila prvnı´ zpra´va o jejich nalezenı´). Dalsˇ´ı historicky´ vy´voj vedl ke sblizˇovańı´ elektrˇiny a magnetismu. 1820 – Oersted – experimenta´lneˇ zjistil, zˇe vodicˇ prote´kany´ elektricky´m proudem vyvola´va´ ve sve´m okolı´ magneticke´ ućˇinky ∼ 1830 – Faraday – prˇi pohybu magnetu vznika´ ve vodicˇi elektricky´ proud Ampe´rovy praće uka´zaly, zˇe dva vodicˇe prote´kane´ proudem na sebe siloveˇ pu˚sobı´. Na magnetismus se zacˇalo pohlı´zˇet jako na prˇ´ımy´ na´sledek deˇju˚ elektrickyćh – uvnitrˇ hmoty zˇe tecˇou molekula´rnı´ proudy (trvale). Tento na´zor platı´ azˇ do soucˇasnosti – atom ma´ magneticky´ moment vlivem obeˇhu elektronu kolem ja´dra (orbita´lnı´) a vlivem vlastnı´ho momentu elektronu (spinove´ho). Konecˇneˇ v 70. letech 19. stoletı´ prˇisˇly praće Maxwellovy, ktery´ vybudoval jednotnou teorii elektromagnetismu, jezˇ je vyja´drˇena v Maxwellovyćh rovnicıćh. Nauku o elektromagnetismu je mozˇno budovat dveˇma zpu˚soby – jednak prˇes Coulombu˚v za´kon pro silove´ pu˚sobenı´ magnetickyćh po´lu˚ a budovat analogii elektrostatice (magnetostatiku) – za druhe´ vycha´zet ze silovyćh ućˇinku˚ pohybujıćıćh se elektrickyćh na´boju˚. Tento prˇ´ıstup le´pe vyhovuje fyzika´lnı´ realiteˇ (kvazistaciona´rnı´ prˇiblı´zˇenı´).

Obecneˇ kazˇdy´ pohybujıćı´ se na´boj vytva´rˇ´ı kolem sebe mimo pole elektricke´ho (ktere´ neza´visı´ na rychlosti na´boje) jesˇteˇ dalsˇ´ı vektorove´ pole – pole magneticke´. Toto se projevuje silovy´mi ućˇinky na pohybujıćı´ se na´boje (proud). V te´to kapitole si polozˇ´ıme na magneticke´ pole urcˇite´ omezenı´. Budeme prˇedpokla´dat, zˇe cˇasove´ zmeˇny prostorove´ho rozlozˇenı´ na´boju˚ jsou dostatecˇneˇ male´, takzˇe v rovnici kontinuity mu˚zˇeme zanedbat cˇlen ∂ρ : ∂t div i = 0 I pro cˇasoveˇ za´vislou hustotu proudu i (r , t) platı´ rovnice kontinuity ve zjednodusˇene´m tvaru I i (r , t) · dS = 0 ⇐⇒ div i (r , t) = 0 S

Potom je proudova´ hustota dańa soucˇtem pouze dvou slozˇek – kondukcˇnı´ a konvekcˇnı´. Proud posuvny´ je zanedbatelny´. Toto se nazy´va´ kvazistaciona´rnı´ prˇiblı´zˇenı´. Jesˇteˇ specia´lneˇjsˇ´ım prˇ´ıpadem, kdy tecˇou pouze staciona´rnı´ elektricke´ proudy, je staciona´rnı´ magneticke´ pole. Konecˇneˇ pole, ktere´ vznika´ pouze vlivem zmagnetovanyćh la´tek (ne proudu˚) je pole magnetostaticke´.

93

KAPITOLA 4. MAGNETICKE´ POLE V KVAZISTACIONA´RNI´M PRˇIBLI´ZˇENI´

Za´kladnı´ fyzika´lnı´ projevy magneticke´ho pole – silove´ ućˇinky na pohybujıćı´ se na´boje i na la´tku – elektromagneticka´ indukce – vznik elektromotoricke´ho napeˇtı´ ve vodicˇ´ıch prˇi zmeˇnaćh magneticke´ho pole (nenasta´va´ u staciona´rnı´ho a staticke´ho magneticke´ho pole). Popis magneticke´ho pole – kazˇde´mu bodu prostoru mu˚zˇeeme prˇirˇadit fyzika´lnı´ vektorovou velicˇinu. Zava´dı´ se vektor magneticke´ indukce B nebo vektor intenzity magneticke´ho pole H (analogie D a E ). Ve vakuu jsou vektory rovnocenne´, nebot’jsou va´zańy vztahem

B = µ0 H kde µ0 = permeabilita vakua (odpovı´da´ vy´znamem permitiviteˇ vakua ε0 ). Da´le je mozˇno (jako v elektricke´m poli) zave´st pro obecnou plochu S Z magnetický silový tok Ψ Ψ = (H · dS ) S Z

(B · dS )

magnetický indukční tok Φ Φ = S

Velicˇiny B a H je mozˇno definovat ze silovyćh ućˇinku˚ magneticke´ho pole. Za´kladnı´ vy´znam ma´ vektor magneticke´ indukce B . Budeme studovat vliv prˇ´ıme´ho vodicˇe s proudem I0 na na´boj Q pohybujıćı´ se rychlostı´ v . Prˇi zmeˇneˇ smeˇru v se experimenta´lneˇ najde, zˇe sı´la je u´meˇrna´ pouze pru˚meˇtu v do roviny Π (viz. obra´zek): vΠ Stejneˇ je sı´la u´meˇrna´ na´boji Q. Konstantu u´meˇrnosti nazveme B: F = B · |Q| · vΠ = B · |Q| · v sin α

F ∦v

Smeˇr sı´ly F : vzˇdy lezˇ´ı v rovineˇ Π a je kolma´ k pru˚meˇtu rychlosti vΠ . Potom, budeme-li B povazˇovat za vektor: F = Q[v × B ] Velicˇina B = vektor magneticke´ indukce, se vztahuje k bodu rQ , za´visı´ na hodnoteˇ I0 a a. Bude-li v prostoru prˇ´ıtomno i elektricke´ pole, bude sı´la popsańa empiricky´m Lorentzovy´m vzorcem:

F = Q[E + v × B ] Tento vztah mu˚zˇeme povazˇovat za definicˇnı´ pro E i B . Silove´ ućˇinky magneticke´ho pole Na pohybujıćı´ se na´boj pu˚sobı´ pole o indukci B silou F = Q[v × B ]. Meˇjme v tomto poli vodicˇ 94

4.1. Za´kladnı´ za´kony prote´kany´ proudem I. Zavedeme vektor proudove´ hustoty i . Pak pro sı´lu pu˚sobıćı´ na nosicˇe proudu (?? pozor – co je nosicˇ proudu ??) v jednotkove´m objemu f :

f = ρ[v × B ] = [i × B ] Tento vztah lze te´zˇ pouzˇ´ıt jako definicˇnı´ pro vektor B . S jeho pomocı´ je mozˇno urcˇit indukci B (nebo naopak proud i ) va´zˇenı´m. Ma´me-li vodicˇ (element) de´lky dl , bude sı´la dF = I[ dl × B ] Smeˇr sı´ly je dań vektorovy´m soucˇinem – neˇkdy se uva´dı´ Flemingovo pravidlo leve´ ruky: ”Polozˇ´ıme-li levou ruku pod vodicˇ tak, zˇe prsty jsou ve smeˇru proudu a silocˇa´ry vstupujı´ do dlaneˇ, vodicˇ se vychy´lı´ ve smeˇru palce.” Pouzˇili jsme pojem silocˇa´ra – analogicky jako v elektricke´m poli zava´dı´me magneticke´ silocˇa´ry a magneticke´ indukcˇnı´ cˇa´ry. Jsou to krˇivky jejichzˇ tecˇny majı´ v kazˇde´m bodeˇ smeˇr H nebo B . Cˇ´ıselneˇ se da´ velikost (?? vektoru ??) pole vyja´drˇit pomocı´ hustoty silocˇar = pocˇet silocˇar procha´zejıćıćh jednotkovou plochou postavenou kolmo. Homogennı´ magneticke´ pole = silocˇa´ry probı´hajı´ rovnobeˇzˇneˇ a majı´ vsˇude stejnou hustotu. Jednotky: Jednotkou magneticke´ indukce je tesla (T ). [T ] = N A−1 m−1 . . . ze vztahu F = Q[v × B ]. Magneticke´ pole indukci 1 T pu˚sobı´ na na´boj 1 C pohybujıćı´ se kolmo rychlostı´ 1 m.s−1 silou 1 N ewtonu = pole pu˚sobı´ silou 1 N . Jednotkou magneticke´ho indukcˇnı´ho toku je Weber (W b). [W b] = T.m2 = V.s (nebot’ R Φ = B dS ) Mimo soustavy SI se drˇ´ıve zavedla soustava CGSM , ktera´ je v odborne´ literaturˇe jesˇteˇ cˇasto pouzˇ´ıvańa. Jednotkou indukce je absolutnı´ jednotka elektromagneticka´: gauss, 1 gauss = 10−4 T . Permeabilita vakua je v te´to soustaveˇ µ0 = 1, B = H ve vakuu. Jednotkou magneticke´ho indukcˇnı´ho toku je maxwell, 1 M x = G.cm2 ; 1 M x = 10−8 W b.

Silove´ ućˇinky homogennı´ho magneticke´ho pole Na prˇ´ımy´ vodicˇ pu˚sobı´ magneticke´ pole silou projevujıćı´ se v translacˇnı´m pohybu. Pu˚sobenı´ na za´vit: Vezmeˇme za´vit rovinny´ – rozmeˇry a a b. Zpocˇa´tku lezˇ´ı v rovineˇ silocˇar. Na kazˇdou stranu b pu˚sobı´ sı´la F = IBb Na strany a, ktere´ jsou rovnobeˇzˇne´ se smeˇrem pole, sı´ly nepu˚sobı´. Vy´sledkem je silova´ dvojice 95


s momentem M = F a = IBba = IBS Tato dvojice sil se bude snazˇit otocˇit za´vit do rovnova´zˇne´ polohy , kdy S k B . V obecne´ poloze (S a B svı´rajı´ u´hel α) je vy´slednice na strany a nulova´ (sı´la pu˚sobı´ pouze deformaci za´vitu), sı´la na rameno b se nezmeˇnı´, ale zmeˇnı´ se velikost silove´ dvojice, protozˇe se zmensˇ´ı rameno sı´ly z a na a sin α. Vy´sledkem bude M = I[S × B ] Soucˇin I S se oznacˇuje m = magneticky´ moment za´vitu:

M = [m × B ] Obecneˇ: na za´vit v homogennı´m magneticke´m poli pu˚sobı´ silova´ dvojice, ktera´ se ho snazˇ´ı stocˇit do rovnova´zˇne´ polohy a napnout. Translacˇnı´ pu˚sobenı´ nenı´. V nehomogennı´m magneticke´m poli prˇistoupı´ k rotacˇnı´mu momentu i sı´la translacˇnı´

F = (m · grad)B Jedna´ se o prˇesnou analogii k situaci z elektrostatiky, kde jsme meˇli vztahy

F = (p · grad)E M = [p × E ] Vidı´me te´zˇ, zˇe ekvivalentem E je v magneticke´m poli indukce B . Sı´la pu˚sobıćı´ na pohybujıćı´ se na´boj v magneticke´m poli Na na´boj Q pohybujıćı´ se rychlostı´ v pu˚sobı´ Lorentzova sı´la

F = Q[v × B ] Tato Lorentzova sı´la je vzˇdy kolma´ k rychlosti v , proto nekona´ praći. Velikost rychlosti |v | a kineticka´ energie se v magneticke´m poli nemeˇnı´. Proto si mu˚zˇeme vysˇetrˇit pohyb nabite´ cˇa´stice v magneticke´m poli. I. Vletı´-li cˇa´stice do pole kolmo, Lorentzova sı´la pu˚sobı´ jako sı´la dostrˇediva´ – pohybuje se po kruzˇnici. Necht’jejı´ polomeˇr je R, pak mv 2 = QvB R

=⇒ 96

R=

mv QB

4.1. Za´kladnı´ za´kony Cˇa´stice o hmotnosti m se po kruzˇnici pohybuje s u´hlovou rychlostı´ ω=

v QB = , R m

T =

2π 2πm = ω QB

´ hlova´ rychlost ani perioda neza´visı´ na rychlosti cˇa´stice ani na polomeˇru dra´hy. U

Pozn.: Na tom je zalozˇeny´ jeden z urychlovacˇu˚ nabityćh cˇa´stic (obra´zek). Podrobnosti v atomove´ fyzice. II. Svı´ra´-li B s v u´hel α, je vy´sledny´ pohyb cˇa´stice dań superpozicı´ rovnomeˇrne´ho kruhove´ho pohybu s postupny´m pohybem ve smeˇru B – pohyb po sˇroubovici. Rychlost v si rozlozˇ´ıme na dveˇ slozˇky v⊥ = v sin α

vk = v cos α

Polomeˇr R dostaneme pomocı´ v⊥ R=

mv⊥ mv sin α = QB QB

ω i T se proti prˇedchozı´mu prˇ´ıpadu nezmeˇnı´. Stoupańı´ sˇroubovice dostaneme z vk h = vk T =

2πmv cos α QB

Takovy´ pohyb konajı´ naprˇ. nabite´ cˇa´stice v radiacˇnıćh pa´sech Zemeˇ nebo i v mezihveˇzdne´m prostoru. Tohoto jevu se pouzˇ´ıva´ naprˇ. v Penningoveˇ vakuomeˇru, kdy pro veˇtsˇ´ı citlivost chceme podstatneˇ prodlouzˇit dra´hu iontu mezi elektrodami. III. Pu˚sobı´-li magneticke´ pole B ve smeˇru pohybu cˇa´stice, k ovlivneˇnı´ tohoto pohybu nedojde. Stanovenı´ specificke´ho na´boje elektronu ( me ) Na za´kladeˇ vychylovańı´ elektronu magneticky´m polem vymyslel Thomson metodu pro urcˇenı´ e . (!! :-) Studenti si ji vymyslı´ sami – u zkousˇky bude pozˇadovańa. Pokud si ji nevymyslı´, udeˇla´ m se na cvicˇenı´. :-) !!). e = (1, 7590 ± 0, 0015) · 1011 C.kg −1 m 97

(pro v ¿ c)


Elektromagneticka´ indukce Tento jev je vedle silovyćh ućˇinku˚ druhy´ za´kladnı´ projev magneticke´ho pole. Jev byl objeven v roce 1931 Faradayem – magneticke´ pole mu˚zˇe by´t pu˚vodcem elektricke´ho proudu ve vodicˇi. Je mozˇno prove´st neˇkolik experimentu˚: 1) Origina´lnı´ pokus Faradaye (viz. obra´zek) – pohybuje-li se vodicˇ zdola nahoru, potecˇe proud zdola nahoru, potecˇe proud doleva. Pohybuje-li se vodicˇ dolu˚ nebo se zmeˇnı´ smeˇr magneticke´ho pole, obra´tı´ se i smeˇr proudu. 2) Bude-li se pohybovat cı´vka v poli permanentnı´ho magnetu (nebo v poli jine´ cı´vky), indukuje se proud. 3) Indukce nastane i tehdy, budou-li obeˇ cı´vky vu˚cˇi sobeˇ v klidu, ale zmeˇnı´me proud prvnı´ z nich. 4) Ma´me-li smycˇku, ktera´ je v klidu, ale meˇnı´me jejı´ plochu pomocı´ pohyblive´ prˇ´ıcˇky, indukuje se opeˇt proud. Smeˇr indukovane´ho napeˇtı´ (proudu) je takovy´, zˇe se snazˇ´ı zabrańit zmeˇneˇ, kterou byl vyvolań = Lencovo pravidlo (r. 1834) Vysveˇtlenı´: Kdybychom na obra´zku (cˇ´ıslo obra´zku) dali mı´sto galvanometru zdroj, aby vyvolal proud stejne´ho smeˇru, jako by byl proud indukovany´, magneeticke´ pole by na neˇj pu˚sobilo silou stlacˇujıćı´ ho dolu˚ (proti smeˇru pohybu prˇi nasˇem experimentu).

Shrnutı´ experimentu˚: Ve vodicˇi se indukuje proud, jestlizˇe se bud’ vodicˇ pohybuje v magneticke´m poli tak, zˇe protıńa´ silocˇa´ry, nebo se analogicky pohybuje zdroj pole vzhledem k vodicˇi, anebo se meˇnı´ velikost magneticke´ indukce. K indukci proudu tedy docha´zı´, meˇnı´-li se indukcˇnı´ tok zkoumanou smycˇkou (fiktivnı´ smycˇkou u dra´tu). Ma´me-li smycˇku o odporu R a v nı´ se indukuje proud I(t), zavedeme indukovane´ elektromotoricke´ napeˇtı´ Ei (t) Ei (t) = RI(t) Potom vsˇechny experimenty je mozˇno shrnout do za´kladnı´ho za´kona elektromagneticke´ indukce = za´kona Faradaye dP hi Ei = − dt ”Indukovane´ elektromotoricke´ napeˇtı´ v uzavrˇene´m obvodeˇ je rovne´ cˇasove´mu u´bytku magneticke´ho indukcˇnı´ho toku procha´zejıćı´ho plochou obvodem uzavrˇenou.” Pozn.: Plocha popsana´ uzavrˇenou smycˇkou nenı´ jednoznacˇneˇ urcˇena, ale jak bude uka´zańo da´le, indukcˇnı´ tok sa´m neza´visı´ na velikosti konkre´tnı´ plochy Si , ale je dań pouze ohranicˇujıćı´m konturem. 98

4.1. Za´kladnı´ za´kony

Faradayu˚v za´kon je za´kon odvozeny´ z experimentu˚, proto jej nenı´ mozˇno odvodit. Je mozˇno jej alesponˇ prˇiblizˇneˇ formulovat?

Formulace Faradayova za´kona: Vezmeme vodivou smycˇku, ktera´ ma´ pohyblivou prˇ´ıcˇku AC. Smycˇka ma´ plochu S. Je prˇ´ıtomno pole B . De´lka prˇ´ıcˇky je l. Pohybuje-li se AC sta´lou rychlostı´ v, urazı´ za dt dra´hu ds a plocha S se zveˇtsˇ´ı o dS = l ds. Elektrony v prˇ´ıcˇce se prˇemist’ujı´ rychlostı´ v = ddts . Na kazˇdy´ z nich pu˚sobı´ Lorentzova sı´la.

F = e[v × B ] = e[

ds × B] dt

Smeˇr sı´ly je takovy´, zˇe pu˚sobı´ od C k A a tı´m zvysˇuje koncentraci za´pornyćh elektronu˚ u C. Je tedy pu˚sobenı´ Lorentzovy sı´ly F rovnocenne´ elektricke´mu poli E = Fe uvnitrˇ vodicˇe,

E = [v × B ] Poneˇvadzˇ po cele´ de´lce l vodicˇe je magneticke´ pole homogennı´, bude homogennı´ i elektricke´ pole uvnitrˇ vodicˇe. Proto rozdı´l potencia´lu˚ U vznikajıćı´ na koncıćh vodicˇe (mezi A a C) bude Zl

E dl = [v × B ] · l = [

U=

ds × B] · l dt

0

´ pravou dostaneme Tento rozdı´l potencia´lu˚ je elektromotoricke´ napeˇtı´ Ei . U Ei = B · [ l ×

ds 1 ] = − B · [ ds × l ] dt dt

Je dS = [ ds × l ], proto Ei = −

B · dS dt

=−

dΦ dt

. . . není to univerzální (B = konst)

V jednotlivyćh specia´lnıćh prˇ´ıpadech je mozˇno Faradayu˚v za´kon zjednodusˇit Pro homogennı´ magneticke´ pole:

d Ei = − dt (B · S ) = −B ·

dS dt

d (B · S ) = −S · ddtB Ei = − dt R R d Pro nehomogennı´ pole (a konstantnı´ plochu): Ei = − dt B · dS = − ∂∂tB · dS

Pro konstantnı´ plochu (a promeˇnne´ pole):

S

S

Nynı´ se podı´va´me na Faradayu˚v za´kon elektromagneticke´ indukce z hlediska za´kona zachovańı´ energie. 99

KAPITOLA 4. MAGNETICKE´ POLE V KVAZISTACIONA´RNI´M PRˇIBLI´ZˇENI´ Zvolı´me opeˇt vodivy´ obde´lnı´k s pohyblivou prˇ´ıcˇkou. Vezmeme odpor R a zdroj elektromotoricke´ho napeˇtı´ E0 . Kdyby nebylo magneticke´ho pole, tekl by proud I0 . Zdroj by za dt vydal energii E0 I0 dt, ktera´ by se cela´ zmeˇnila na Jouleovo teplo E0 I0 dt = RI02 dt S homogennı´m magneticky´m polem B mı´rˇ´ıcı´m kolmo k plosˇe obde´lnı´ka potecˇe proud I. Pole pu˚sobı´ na pohyblivou prˇ´ıcˇku silou F |F | = lBI Vlivem te´to sı´ly se bude prˇ´ıcˇka pohybovat. Za dt urazı´ dra´hu ds a sı´la vykona´ praći na nı´zˇ se spotrˇebuje cˇa´st energie dane´ zdrojem. dW = F · ds Existuje-li magneticke´ pole, vyda´ zdroj za dt energii E0 I0 dt, z nı´zˇ se na Jouleovo teplo spotrˇebuje jen cˇa´st (RI 2 dt) a zbytek dW na konańı´ vneˇjsˇ´ı praće (?? vneˇjsˇ´ı praće ??). Proud I bude mensˇ´ı nezˇ proud I0 . Platı´ E0 I dt = RI 2 dt + F ds E0 I dt = RI 2 dt + (IBl) ds a dostaneme E0 = RI + Bl

ds dt

=⇒

I=

1 ds 1 (E0 − Bl ) = (E0 + Ei ) R dt R

V obvodeˇ tedy mimo elektromotoricke´ho napeˇtı´ E0 zdroje pu˚sobı´ nove´ elektromotoricke´ napeˇtı´ Ei = −Bl

dΦ ds =− dt dt

sgn Ei = − sgn E0

⇐⇒

I < I0

Indukovany´ proud vznika´ jak v uzavrˇenyćh vodicˇ´ıch jednorozmeˇrnyćh, tak i v neuzavrˇenyćh vodicˇ´ıch veˇtsˇ´ıch pru˚rˇezu˚. Vlozˇ´ıme-li mesivnı´ kovove´ teˇleso do rychle se meˇnıćı´ho magneticke´ho pole, nebo budeme-li jı´m rychle v magneticke´m poli pohybovat, indukuje se elektromotoricke´ napeˇtı´ a v kovu potecˇou po uzavrˇenyćh drahaćh proudy vı´rˇive´ (Foucaultovy). Masivnı´ kovova´ teˇlesa kladou teˇmto proudu˚m maly´ odpor – proudy majı´ velkou intenzitu =⇒ Jouleovo teplo. Toho se vyuzˇ´ıva´ v indukcˇnıćh pecıćh, naopak nezˇa´doucı´ jsou vı´rˇive´ proudy v transforma´torech – prˇehrˇ´ıvańı´ ja´dra. Vı´rˇive´ proudy majı´ silne´ brzdıćı´ ućˇinky (Lencovo pravidlo), cˇehozˇ se vyuzˇ´ıva´ naprˇ. pro omezenı´ 100

4.2. Magneticke´ pole ve vakuu

kmitańı´ cı´vky elektrickyćh meˇrˇ´ıcıćh prˇ´ıstroju˚. Pozn.: Faradayu˚v za´kon je mozˇno pouzˇ´ıt pro zavedenı´ vektoru magneticke´ indukce B a magneticke´ho indukcˇnı´ho toku Φ. Rozmeˇr Φ bude [Φ] = [E][t] = V.s

4.2 Magneticke´ pole ve vakuu Prakticky vsˇe, co jsme doposud pro magneticke´ pole popsane´ vektorem magneticke´ indukce B uvedli, platı´ neza´visle na prostrˇedı´, tj. na konkre´tnı´m mechanismu proudu, ktery´ je vyvola´va´ (makroskopicke´ proudy ve vodicˇ´ıch, konvekcˇnı´ proudy, pohyb nabityćh teˇles) nebo na zmagnetovanyćh teˇlesech. Zatı´m jsme se zaby´vali projevy magneticke´ho pole – silovy´mi a elektromagnetickou indukcı´. Nynı´ se budeme snazˇit vyja´drˇit velikost magneticke´ho pole v za´vislosti na zdroji. V tomto paragrafu budou zdrojem pouze vodicˇe prote´kane´ proudem.

Ampe´ru˚v za´kon Budeme studovat pole v okolı´ prˇ´ıme´ho dlouhe´ho vodicˇe prote´kane´ho proudem I. Vra´tı´me se k prˇ´ıpadu, kdy jsme na´bojem Q s rychlostı´ v zkoumali silove´ ućˇinky. Na za´kladeˇ Lorentzovy sı´ly mu˚zˇeme te´zˇe metody pouzˇ´ıt pro zkoumańı´ rozlozˇenı´ pole B v prostoru. Ukazuje se, zˇe B lezˇ´ı vzˇdy v prˇ´ımce b kolme´ na rovinu Π (je dańa vodicˇem a na´bojem). Experimenta´lneˇ bylo zjisˇteˇno, zˇe B za´visı´ na I a a a to: na I prˇ´ımo u´meˇrneˇ, na a neprˇ´ımo u´meˇrneˇ: B=c

I a

( c je konstanta)

V rovineˇ kolme´ k ose vodicˇe opı´sˇeme kruzˇnici k o polomeˇru a. Vektor B je v kazˇde´m bodeˇ k tecˇny´ (k = indukcˇnı´ cˇa´ra). Budeme pocˇ´ıtat krˇivkovy´ integra´l prˇes k I

I

B · dk = k

= 2πa

z }| { I I B · dk = c · dk = 2πcI a

k

k

Nynı´ u´vahu zobecnı´me a zvolı´me libovolnou uzavrˇenou krˇivku l obepıńajıćı´ vodicˇ (viz obra´zek). Spocˇ´ıta´me I

B1 · dl l

101

KAPITOLA 4. MAGNETICKE´ POLE V KVAZISTACIONA´RNI´M PRˇIBLI´ZˇENI´ Platı´: BB1 = aa1 (podle vztahu B = c aI ) ϑ Z obra´zku plyne: ∆k = ∆lacos a 1 I I I I a B1 · dl = B1 · cos ϑ · dl = B · · cos ϑ · dl = B · dk = 2πcI a1 l

l

l

k

Dostali jsme tedy stejny´ vy´sledek jako v prˇ´ıpadeˇ jednoduche´ kruzˇnice. Konecˇneˇ je mozˇno vysˇetrˇovat prˇ´ıpad krˇivky (uzavrˇene´), ktera´ neobepıńa´ proudovodicˇ. Da´ se uka´zat (za´jemci si to odvodı´ sami), zˇe v tomto prˇ´ıpadeˇ I

B · dn = 0 n

Na´vod: Cela´ krˇivka se dle obra´zku rozdeˇlı´ na dvojice, ktere´ majı´ opacˇne´ prˇ´ıspeˇvky Zatı´m ma´me nezna´mou konstantu c. Ta je dańa volbou jednotek. V soustaveˇ SI vyjdeme z definice ampe´ru, ktery´ je urcˇen podle CˇSN ze silove´ho pu˚sobenı´ dvou prˇ´ımyćh nekonecˇneˇ dlouhyćh vodicˇu˚ prote´kanyćh proudem.

Ampe´r je proud, ktery´ prˇi sta´le´m pru˚toku dveˇma rovnobeˇzˇny´mi, prˇ´ımy´mi, velmi dlouhy´mi vodicˇi zanedbatelne´ho pru˚rˇezu, umı´steˇny´mi ve vakuu ve vzda´lenosti jednoho metru od sebe, vyvola´ mezi vodicˇi sı´lu 2.10−7 N na jeden metr de´lky. Vzorec pro sı´lu pu˚sobıćı´ mezi dvojicı´ rovnobeˇzˇnyćh vodicˇu˚ de´lky l, vzda´lenosti a, jimizˇ prote´ka´ proud I je µ ¶ I F = BlI = c lI a S pouzˇitı´m definice ampe´ru dostaneme: c = 2.10−7 N.A−2 Ampe´ru˚v za´kon: Krˇivkovy´ integra´l z vektrou magneticke´ indukce pocˇ´ıtany´ prˇes libovolnou uzavrˇenou krˇivku l splnˇuje vzˇdy vztah I

B · dl = µo I l

kde I je proud prote´kajıćı´ plochou krˇivky l a µo = 2πc = 4π10−7 N.A−2 je permeabilita vakua. Tento za´kon je experimenta´lneˇ oveˇrˇen pro ru˚zne´ krˇivky. Pokud uvnitrˇ smycˇky netecˇe proud, je H B · dl = 0. Pokud smycˇka obepıńa´ proud N -kra´t, je na prave´ straneˇ N µo I. Ampe´ru˚v za´kon l

102


vyjadrˇuje jednu ze za´kladnıćh za´konitostı´ magneticke´ho pole – toto pole nenı´ konzervativnı´. Za´kon uda´va´ souvislost mezi hodnotami magneticke´ indukce a proudy, ktere´ ji vytva´rˇ´ı, a to v implicitnı´m a integra´lnı´m tvaru. Lze jej pouzˇ´ıt pro konkre´tnı´ vy´pocˇty polı´ analogicky jako Gaussovu veˇtu elektrostatiky.

Biot – Savartu˚v za´kon Existuje jesˇteˇ jeden zpu˚sob, jak vyja´drˇit souvislost magneticke´ho pole a tvorˇ´ıcıćh jej proudu˚. Tuto souvislost objevili v roce 1820 Biot a Savart prˇi meˇrˇenı´ na vodicˇ´ıch ru˚zne´ho tvaru. Obecnou formulaci vytvorˇil Laplace. Bereme smycˇku prote´kanou proudem I. Smycˇku l si rozdeˇlı´me na u´seky ∆l. Podle Biotova – Savartova za´kona si mu˚zˇeme celkovou indukci B vyja´drˇit jako soucˇet prˇ´ıspeˇvku˚ ∆B vyvolanyćh u´seky ∆l. Chceme zna´t indukci v libovolne´m bodeˇ o polohove´m vektoru r . Vezmeme u´sek ∆l = n · ∆l o polohove´m vektoru r 0 . Biotu˚v – Savartu˚v za´kon rˇ´ıka´

B=

∆

µo I 4π

l ×R

∆

R3

R = r − r0

Pak celkova´ hodnota indukce v bodeˇ r je dańa krˇivkovy´m integra´lem prˇes celou krˇivku l Z µo dl × R B (r ) = I 4π R3 l

Tento za´kon prˇi sve´ formulaci (druhy´ vztah) prˇedpokla´da´ platnost principu superpozice. Proti za´konu Ampe´rovu ma´ vy´hodu v tom, zˇe vyjadrˇuje za´vislost B na I v explicitnı´m tvaru. Experimenta´lnı´ oveˇrˇenı´ za´kona je mozˇne´ pouze neprˇ´ımo, protozˇe nenı´ mozˇno realizovat u´sek proudovodicˇe ∆l izolovaneˇ. Je mozˇno pracovat s vektorem hustoty proudu i = i (r 0 , t). Prˇitom nahradı´me I · dl = i dV kde dV je objemovy´ element vodicˇe. Pak je mozˇno Biotu˚v – Savartu˚v za´kon psa´t ve formeˇ Z i ×R µo dV B (r ) = 4π R3 V

Je mozˇno te´zˇ pracovat s plosˇny´mi proudy, pak se integrujı´ tyto proudy prˇes dS.

Vy´pocˇet magneticke´ho pole v okolı´ jednoduchyćh vodicˇu˚: Na za´kladeˇ Biotova – Savartovova za´kona je mozˇno nale´zt pru˚beˇh magneticke´ho pole v okolı´ 103


neˇkteryćh vodicˇu˚. My uvedeme pouze vy´sledky, vy´pocˇet ponecha´me cˇtena´rˇi jako cvicˇenı´. Analogicke´ vy´sledky na´m da´ i Ampe´ru˚v za´kon.

a) Prˇ´ımy´ vodicˇ Vy´pocˇet podle Ampe´rova za´kona: Jako krˇivku l zvolı´me kruzˇnici o polomeˇru a. Z du˚vodu symetrie Z Z µo I B kdl B · dl = B dl = Bl = B2πa = µo I =⇒ B(a) = · (a > a0 ) 2π a l

l

Uvnitrˇ vodicˇe mu˚zˇeme pole te´zˇ spocˇ´ıtat, prˇedpokla´da´me-li, zˇe proud tecˇe rovnomeˇrneˇ celou plochou pru˚rˇezu vodicˇe (pro stejnosmeˇrny´ proud je splneˇno). Potom zvolı´me soustrˇednou kruzˇnici l0 o polomeˇru a < a0 . Proud tekoucı´ vnitrˇkem kruzˇnice bude πa2 a2 I0 = 2 I = 2 I πa0 a0 Ampe´ru˚v za´kon na´m pak da´: B2πa = µo I 0

=⇒

B=

µo Ia 2πa20

(a < a0 )

Vidı´me, zˇe pru˚beˇh magneticke´ indukce je na povrchu spojity´. Stejny´ vy´sledek na´m da´ i uzˇitı´ Biotova – Savartova za´kona. Silocˇa´ry kolem prˇ´ıme´ho vodicˇe majı´ tvar soustrˇednyćh kruzˇnic. Pole v okolı´ prˇ´ıme´ho vodicˇe nenı´ homogennı´.

Pole na ose kruhove´ho za´vitu Pole ma´ smeˇr osy za´vitu B(z) =

µo a2 I 2 (a2 + z 2 ) 32

Ve strˇedu za´vitu bude pole B(0) =

µo I 2a

c) Magneticke´ pole solenoidu Solenoid je proudovodicˇ upraveny´ tak, aby vytva´rˇel pokud mozˇno homogennı´ magneticke´ pole ve sve´ dutineˇ. Je to vlastneˇ rˇada za´vitu˚. V nekonecˇneˇ dlouhe´m solenoidu je uvnitrˇ dokonale homogennı´ pole. Cˇ´ım je pomeˇr de´lka:polomeˇr solenoidu mensˇ´ı, tı´m je odchylka od idea´lnı´ho prˇ´ıpadu veˇtsˇ´ı. V okolı´ solenoidu je pole rozpty´lene´ (??!!??). Silocˇa´ry jsou uzavrˇene´! Pro idea´lnı´ solenoid platı´ (v homogennı´ cˇa´sti): B = µ 0 N0 I 104

4.2. Magneticke´ pole ve vakuu kde N0 je pocˇet za´vitu˚ na jednotku de´lky solenoidu. d) Magneticke´ pole toroidu Toroid je prstencova´ cı´vka, vznika´ stocˇenı´ solenoidu. Je velmi vy´znamna´ pro magneticka´ meˇrˇenı´. Silocˇa´ry jsou ve tvaru soustrˇednyćh kruzˇnic jen uvnitrˇ toroidu. Vneˇ zˇa´dne´ pole nenı´. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe de´lka toroidu je velka´ ve srovnańı´ s jeho pru˚meˇrem (za´vitu˚), lze toto pole povazˇovat za homogennı´. Zde vidı´me, zˇe silocˇa´ry jsou uzavrˇene´. Pro toroid s celkovy´m pocˇtem za´vitu˚ N a polomeˇrem R0 zı´ska´me B = µ0

NI 2πR0

c) Magneticky´ dipo´l Pro indukci v bodeˇ r platı´ µ B (r ) = 0 4π

µ

(viz solenoid . . . N0 =

(m · R) m 3 ·R− 3 5 R R

N ) 2πR0

¶

R = r − r0

m je magneticky´ moment smycˇky m = I S . Prˇesneˇji m = Ampe´ru˚v magneticky´ moment smycˇky – jednotka v SI je A.m2 . Da´le se zava´dı´ Coulombu˚v magneticky´ moment pm = µ0 · m [W b.m] = [V.s.m] Silove´ pu˚sobenı´ dvou proudu˚ Vza´jemne´ silove´ ućˇinky dvou proudu˚ jsou podmıńeˇny vza´jemny´m pu˚sobenı´m jejich magnetickyćh polı´. Vezmeme dva prˇ´ıme´ dlouhe´ vodicˇe, spolu rovnobeˇzˇne´, vzda´lene´ od sebe o de´lku a; prote´kajı´ jimi proudy I1 a I2 . Proud I1 vytva´rˇ´ı v okolı´ magneticke´ pole – silocˇa´ry jsou soustrˇedne´ kruzˇnice v rovineˇ na vodicˇe kolme´. Indukce ma´ smeˇr tecˇny k indukcˇnı´ cˇa´rˇe. Platı´ B 1 = µ0

I1 2πa

Toto pole pu˚sobı´ na de´lku l druhe´ho vodicˇe prote´kane´ho proudem I2 . Podle Flemingova pravidla leve´ ruky pu˚sobı´ silou F2 , ktera´ je v prˇ´ıpadeˇ souhlasne´ho smeˇru proudu˚ve smeˇru k prvnı´mu vodicˇi. Jejı´ velikost je µ0 l F2 = I2 B2 l = I1 I2 2π a Tenty´zˇ vztah platı´ i pro sı´lu F1 . Vlivem te´to sı´ly se oba vodicˇe prˇitahujı´. Petrˇinova spira´la – jednoduchy´ prˇerusˇovacˇ proudu. Vlivem prˇitahovańı´ za´vitu˚ se spira´la zkra´tı´ 105

KAPITOLA 4. MAGNETICKE´ POLE V KVAZISTACIONA´RNI´M PRˇIBLI´ZˇENI´ =⇒ prˇerusˇ´ı proud =⇒ zkracujıćı´ sı´la prˇestane pu˚sobit . . . Pokus – obvod z ohebne´ho vodicˇe nepravidelne´ho tvaru se vlivem odpudivyćh sil protilehlyćh cˇa´stı´ vyrovna´.

Intenzita magneticke´ho pole ve vakuu Na za´kladeˇ vektoru magneticke´ indukce B je mozˇno pomocı´ permeability vakua µ0 zave´st vektor intenzity magneticke´ho pole H . B = µ0 H Vzhledem k tomu, zˇe µ0 je konstanta rovna´ 4π.10−7 N.A−2 jsou oba vektory ve vakuu rovnocenne´. Je proto mozˇne´ pomocı´ H prˇepsat Biotu˚v – Savartu˚v i Ampe´ru˚v za´kon (skriptum Brozˇ Klier !krˇ´ızˇovy´ odkaz!). Za´kladnı´ konstanty ε0 = permitivita vakua = 8,856.10−12 C 2 N −1 m−2 a µ0 = permeabilita vakua = 4π.10−7 N A−2 jsou va´zańy vztahem √

1 = 2,9979.108 m.s−1 = c = rychlost světla ε0 µ0

Obecne´ vlastnosti magneticke´ho pole ve vakuu Uvedli jsme Ampe´ru˚v za´kon I

B · dl = µ0 I l

To je jedna ze za´kladnıćh rovnic magneticke´ho pole. Ma´ vy´znam analogicky´ Gaussoveˇ veˇteˇ elektrostatiky. Lze te´zˇ mimo formy integra´lnı´ uve´st i formu diferencia´lnı´. Na Ampe´ru˚v za´kon nejsou kladena zˇa´dna´ fyzika´lnı´ omezenı´. Proud I mu˚zˇe by´t realizovań libovolny´m zpu˚sobem. Zvolme libovolnou plochu S ohranicˇenou krˇivkou l. Prˇedpokla´da´me-li, zˇe po te´to plosˇe netecˇou zˇa´dne´ plosˇne´ proudy, platı´ pomocı´ proudove´ hustoty Z I = i · dS H

R

S

S pouzˇitı´m Stokesovy veˇty (C · dl ) = (rot C · dS ) mu˚zˇeme Ampe´ru˚v za´kon prˇepsat l

Z

S

[rot B − µ0 i ] · dS = 0 S

Vzhledem k libovolnosti plochy S dostaneme v libovolne´m bodeˇ (s nulovou plosˇnou hustotou) diferencia´lnı´ formu Ampe´rova za´kona: rot B = µ0 i 106

4.2. Magneticke´ pole ve vakuu V teorii elektromagneticke´ho pole se zava´deˇjı´ obecneˇ dva potencia´ly – skala´rnı´ (U, ϕ) a vektorovy´ (A). Toho lze vy´hodneˇ pouzˇ´ıt prˇi studiu vlastnostı´ magneticke´ho pole. Zavedeme proto nove´ vektorove´ pole A(r , t) vztahem B (r , t) = rot A(r , t) Tato definice nenı´ jednoznacˇna´, nebot’spolu s funkcı´ A vyhovuje i kazˇda´ funkce

A0 (r , t) = A(r , t) + grad Λ(r , t) Platı´ totizˇ: rot grad Λ ≡ 0 pro libovolnou skala´rnı´ funkci Λ. Z toho du˚vodu je mozˇno (a nutno) mimo definicˇnı´ho vztahu B (r , t) = rot A(r , t) (!!krˇ´ızˇovy´ odkaz!!) prˇedepsat pro vektorovy´ potencia´l A jesˇteˇ vedlejsˇ´ı podmıńku. Postup je analogicky´ prˇ´ıpadu skala´rnı´ho potencia´lu U , ktery´ je definicı´ E = − grad U urcˇen azˇ na aditivnı´ konstantu:

E 0 = − grad U 0 = − grad(U + h) = − grad U = E Tuto vedlejsˇ´ı podmıńku nalezneme z diferencia´lnı´ho Ampe´rova za´kona, pro ktery´ budeme pozˇadovat, aby jej bylo mozˇno pomocı´ vektorove´ho potencia´lu vyja´drˇit v jednoduche´m tvaru. Platı´ rot B = µ0 i

⇐⇒

rot rot A = µ0 i

Z vektorove´ analy´zy (da´ se odvodit naprˇ. rozpisem rotacı´ do slozˇek) plyne rot rot = grad div − ∆ Ampe´ru˚v za´kon pak prˇepı´sˇeme ve tvaru − ∆A + grad div A = µ0 i Protozˇe mu˚zˇeme prˇedepsat vedlejsˇ´ı podmıńku, ucˇinı´me to pozˇadavkem div A = 0 Potom Ampe´ru˚v za´kon ve vyja´drˇenı´ pomocı´ vektorove´ho potencia´lu ma´ tvar vektorove´ (≡ 3 slozˇky) Poissonovy rovnice ∆A = −µ0 i Pozn.: Laplaceu˚v opera´tor ma´ tvar ∆ = Soustava Poissonovyćh rovnic:

∂2 ∂x2

+

∂2 ∂y 2

+

∂2 ∂z 2

∆Ax = −µ0 ix ∆Ay = −µ0 iy ∆Az = −µ0 iz 107


V elektrostatice jsme meˇli pro potencia´l Poissonovu rovnici ρ ∆U = − ε0 jejı´zˇ rˇesˇenı´ bylo

1 U (r ) = 4πε0

Z

ρ(r 0 ) dV R

|R | = |r − r 0 |

V

V prˇ´ıpadeˇ magneticke´ho pole je proto mozˇno vektorovou Poissonovu rovnici vyrˇesˇit analogicky. Vy´sledek bude Z µ0 i (r 0 ) dV A(r ) = 4π R V

kde se integruje prˇes cely´ objem V (s promeˇnnou r 0 ), kde platı´ i (r 0 ) 6= 0. Tı´m jsme zı´skali vy´raz pro vektorovy´ potencia´l A (jedno rˇesˇenı´ z mnoha, nebot’ platı´ i pro A0 = A + grad Λ). Podle definicˇnı´ho vztahu pro A je mozˇno vypocˇ´ıst hodnotu B : Z µ0 i (r 0 ) dV B (r ) = rot A(r ) = rot 4π R V

Zde operace rotace pu˚sobı´ na r , integrace na r 0 . Je tedy mozˇne´ zameˇnit porˇadı´ operacı´: µ 0 ¶ Z i (r ) µ0 B (r ) = rot dV 4π R V

Platı´ (na za´kladeˇ vlastnostı´ opera´toru˚) µ 0 ¶ · ¸ i (r ) 1 1 0 rot = grad × i (r ) + rot i (r 0 ) R R R Prvnı´ cˇlen spocˇ´ıta´me prˇ´ımy´m vy´pocˇtem 1 R =− 3 R R 0 Druhy´ cˇlen i (r ) neza´visı´ na r , prˇes ktere´ se prova´dı´ rotace, a proto je nulovy´. Vy´sledkem bude Z µo i ×R B (r ) = dV 4π R3 grad

V

cozˇ je Biotu˚v – Savartu˚v za´kon Prˇedcha´zejıćı´ vy´pocˇet na´m uka´zal neˇkolik veˇcı´: – Pro vektorovy´ potencia´l platı´ (prˇepsańı´m Ampe´rova za´kona) Poissonova rovnice – Z Ampe´rova za´kona lze exaktneˇ odvodit za´kon Biotu˚v – Savartu˚v. Pro dokoncˇenı´ tohoto du˚kazu je jesˇteˇ trˇeba doka´zat, zˇe A splnˇuje vedlejsˇ´ı podmıńku div A = 0 (v literaturˇe) 108


Z toho, zˇe magneticke´ pole je mozˇno vyja´drˇit pomocı´ vektorove´ho potencia´lu, plyne druha´ du˚lezˇita´ rovnice magneticke´ho pole. Na definicˇnı´ vztah B = rot A pouzˇijeme operaci div. Vzhledem k tomu, zˇe div rot ≡ 0, platı´: div B = 0 Tato rovnice platı´ v kazˇde´m bodeˇ. Vyjadrˇuje skutecˇnost, zˇe v prˇ´ırodeˇ neexistujı´ magneticke´ na´boje. Integra´lnı´ forma tohoto vztahu se da´ najı´t pomocı´ Gaussovy veˇty integra´lnı´ho pocˇtu: I B · dS = 0 S

”Tok vektoru magneticke´ indukce uzavrˇenou plochou je nulovy´.” Protozˇe neexistujı´ magneticke´ na´boje, jsou magneticke´ silocˇa´ry vzˇdy uzavrˇene´. (?? Magneticke´ pole na rozhranı´ dvou prostrˇedı´ ??) Vezmeme plochu S, po ktere´ tecˇou plosˇne´ proudy hustoty j (r 0 ) V analogicke´m prˇ´ıpadu elektrostatiky s plochou nabitou na´bojem plosˇne´ hustoty σ jsme dostali E1t = E2t

E1n − E2n =

σ ε0

Nynı´ se podı´va´me na proble´m tecˇnyćh a norma´lovyćh slozˇek B (?? na rozhranı´ dvou prostrˇedı´??). H Pro norma´love´ slozˇky zvolı´me Gaussovu plochu ∆S male´ vy´sˇky. Pouzˇitı´ vztahu B · dS = 0 S

na´m da´ B1n = B2n Pro vysˇetrˇovańı´ tecˇnyćh slozˇek budeme uvazˇovat uzavrˇenou krˇivku tvaru obde´lnı´ku s delsˇ´ımi stranami de´lky ∆l rovnobeˇzˇny´mi s tecˇny´m vektorem t . Kratsˇ´ı strany budou kolme´ k plosˇe rozhranı´ S, tj. budou rovnobeˇzˇne´ s norma´lou n . Jesˇteˇ zavedeme trˇetı´ jednotkovy´ vektor N = n × t H a pouzˇijeme integra´lnı´ Ampe´ru˚v za´kon B · dl = µ0 I. Celkovy´ proud prote´kajıćı´ plochou l

obde´lnıćˇku bude I = jN ∆l = (j · N ) ∆l Prˇ´ıspeˇvky od kratsˇ´ıch stran k integra´lu jsou zanedbatelne´, proto I B · dl = (B1 − B2 ) · t ∆l = µ0 (j · N ) ∆l l

Pak (platı´ t = N × n )

(B1 − B2 ) · [N × n ] = µ0 (j · N ) 109

KAPITOLA 4. MAGNETICKE´ POLE V KVAZISTACIONA´RNI´M PRˇIBLI´ZˇENI´ Da´le pouzˇijeme vztahu z vektorove´ analy´zy a · [b × c ] = c · [a × b ] = b · [c × a ]. Dostaneme

N · {n × (B1 − B2 ) − µ0 j } = 0 Jelikozˇ t byl libovolny´ tecˇny´ vektor, je i N libovolne´. Pak vztah platı´ jen tehdy, je-li

n × (B1 − B2 ) − µ0 j = 0 n je norma´la namı´rˇena´ z prostrˇedı´ 2 do prostrˇedı´ 1 Magnticke´ pole pohybujıćıćh se na´boju˚ Vı´me, zˇe v okolı´ vodicˇe prote´kane´ho proudem vznika´ magneticke´ pole o indukci B = budeme uvazˇovat situaci pohybujıćı´ho se na´boje. Podle Biotova – Savartova za´kona je indukce od elementu vodicˇe dl v mı´steˇ A dB =

µ0 I . 2π a

Nynı´

µ0 I [ dl × R ] 4πR3

Toto pole je vy´slednicı´ dı´lcˇ´ıch polı´, ktera´ vyvola´vajı´ jednotlive´ nabite´ cˇa´stice, pohybujıćı´ se v elementu vodicˇe de´lky dl a pru˚rˇezu S spolecˇnou rychlostı´ v . Jsou-li teˇmito cˇa´sticemi elektrony s ba´bojem e, platı´ (I = nevS) I dl = nev dV Dosazenı´m Biotova – Savartova za´kona dostaneme dB =

neµ0 dV [v × R] 4π R3

V objemu dV je n dV elektronu˚. Jeden elektron tedy vytvorˇ´ı magneticke´ pole o indukci

B=

µ0 e dB = [v × R] n dV 4π R3

Tote´zˇ platı´ pro libovolny´ na´boj Q umı´steˇny´ v dl . Pak pole v bodeˇ A je

B=

µ0 Q [v × R] 4π R3

Indukce B pohybujıćı´ho se na´boje Q stojı´ kolmo k rovineˇ tvorˇene´ vektory v a R a jde-li o kladny´ na´boj, mı´rˇ´ı na tu stranu, ze ktere´ vidı´me nejkratsˇ´ı stocˇenı´ v k R v kladne´m smyslu (neboli vektory v , R a B v tomto porˇadı´ tvorˇ´ı pravotocˇivy´ syste´m). Pro za´porny´ na´boj Q bude smeˇr vektoru B pra´veˇ opacˇny´.

110


Silove´ ućˇinky dvou na´boju˚ pohybujıćıćh se rovnobeˇzˇneˇ Vezmeme dva na´boje Q1 a Q2 pohybujıćı´ se rovnobeˇzˇneˇ stejnou rychlostı´ v a jsou ve vzda´lenosti a. Na tyto na´boje pu˚sobı´ dveˇ sı´ly (a gravitace) – Coulombova elektricka´ a Lorentzova. Coulombova sı´la je 1 Q1 Q2 F = 4πε0 a2 Magneticka´ sı´la: na´boj Q1 vzbuzuje prˇi pohybu v mı´steˇ na´boje Q2 magneticke´ pole indukce B1 =

µ0 v Q1 4π a2

(v ⊥ R)

Toto pole pu˚sobı´ na na´boj Q2 Lorentzovou silou f = Q2 [v × B1 ] = Q2 vB1 µ0 v 2 f = Q1 Q2 4π a2

(v ⊥ B1 )

V prˇ´ıpadeˇ souhlasnyćh na´boju˚ (viz obra´zek): Q1 > 0 =⇒ B1 ma´ smeˇr za papı´r a sı´ly smeˇrˇujı´ k sobeˇ. V prˇ´ıpadeˇ nesouhlasnyćh na´boju˚: Magneticka´ i Coulombovska´ sı´la jsou vza´jemne´, pu˚sobı´ na oba na´boje symetricky (¾½) Podı´l Teˇchto dvou sil bude: ³ v ´2 f = ε 0 µ0 v 2 = F c Protozˇe obvykle v ¿ c, pak sı´la magneticka´ mezi na´boji je veˇtsˇinou mnohem mensˇ´ı nezˇ sı´la elektricka´ (podobneˇ je zanedbatelna´ sı´la gravitacˇnı´ – ta ale skoro vzˇdy – azˇ na relativisticke´ efekty). Vezmeme-li dva vodicˇe prote´kane´ proudy, silove´ ućˇinky jsou dane´ magnetickou silou. Coulombova sı´la se neprojevı´, nebot’vodicˇe jsou jako celek elektricky neutra´lnı´. Analogicky je mozˇno uvazˇovat magnetickou sı´lu mezi nabity´mi teˇlesy ve vakuu.

Jednotka intenzity magneticke´ho pole Jednotka magneticke´ indukce B – tesla – je zavedena z Lorentzovy sı´ly jako N A−1 m−1 . Jednotku intenzity H je mozˇno zave´st ze vztahu pro pole solenoidu B = µ 0 N0 I

⇐⇒

H = N0 I

Dosadı´me-li proud v ampe´rech a N0 = pocˇet za´vitu˚ na jednotku de´lky (v m−1 ) =⇒ H Rozmeˇr jednotky intenzity H je tedy ampe´r na metr [Am−1 ] Intezita magneticke´ho pole 1 Am−1 je uvnitrˇ nekonecˇneˇ dlouhe´ho solenoidu, ktery´m procha´zı´ proud 1 A a u neˇhozˇ prˇipada´ 1 za´vit na de´lku 1 m. 111


V soustaveˇ CGSM je ”absolutnı´ jednotka elektromagneticka´ intenzity pole” (??) – oersted (Oe). Platı´ 103 Am−1 1 Oe = 4π

4.3 Magneticke´ pole v la´tkove´m prostrˇedı´ Strucˇneˇ si zopakujeme situaci elektrostaticke´ho pole v dielektriku. Tam jsme na za´kladeˇ dipo´love´ho momentu molekul p zavedli vektor polarizace P :

P∆V =

N X

pi

i=1

P =

lim

P∆V

∆V →0 ∆V

[P ] = Cm−2

Stav polarizace dielektrika je mozˇno popsat bud’ pomocı´ P v cele´m objemu, nebo pomocı´ va´zane´ho povrchove´ho na´boje σi Pn = σi Vztah mezi vektorem intenzity elektricke´ho pole E a polarizacı´ je

P (r ) = ε0 χe (r )E (r )

χe je elektrická susceptibilita

Na jeho za´kladeˇ lze zave´st novou velicˇinu = vektor elektricke´ indukce

D = ε0 E + P = ε0 εr E = εE

εr = 1 + χe

Podle velikosti χe se la´tky deˇlı´ na – meˇkka´ dielektrika (χ = konst, male´) – tvrda´ dielektrika – ferroelektricke´ la´tky, hystereznı´ smycˇka Nynı´ se vra´tı´me k magnetismu

Magneticky´ dipo´l je ekvivalentnı´ smycˇce prote´kane´ proudem. Zava´dı´ se

m = I S = Ampérův magnetický moment smyčky [m] = Am2 pm = µ0 m = Coulombův magnetický moment [pm ] = W b.m = V.s.m Prozatı´m jsme studovali magneticke´ pole a jeho obecne´ za´konistosti (kapitola !!krˇ´ızˇovy´ odkaz!! (3.1)) a vznik magneticke´ho pole v okolı´ vodicˇu˚ prote´kanyćh proudem ve vakuu (3.2) (!!krˇ´ızˇovy´ 112

4.3. Magneticke´ pole v la´tkove´m prostrˇedı´

odkaz!!). V te´to kapitole se budeme zaby´vat situacı´ v la´tkove´m prostrˇedı´. Atoma´rnı´ struktura la´tek – jednotlive´ atomy majı´ vlastnı´ magneticke´ momenty – experimenta´lnı´ zjisˇteˇnı´. Atom se skla´da´ z ja´dra, kolem obı´hajı´ eelektrony. Obı´hajıćı´ elektron je ekvivalentnı´ uzavrˇene´mu elektricke´mu proudu – je-li doba obeˇhu elektronu T , je tento proud I=

e T

Kazˇde´mu uzavrˇene´mu proudu prˇ´ıslusˇ´ı magneticky´ moment Z m = I dS S

kde dS = 12 [r × dr ] je elementa´rnı´ plocha opsana´ pru˚vodicˇem r za dobu dt; dr je prˇ´ıru˚stek pru˚vodicˇe do smeˇru dra´hy. Pro vy´pocˇet m musı´me inegrovat prˇes celou eliptickou dra´hu. Le´pe je prˇeve´st vy´pocˇet na integraci prˇes cˇas ( dS = dSdt(t) dt): dS 1 1 1 dr 1 1 [r × v me ] b = [r × dr ] = [r × ] = [r × v ] = = dt 2 dt 2 dt 2 2 me 2me Zde jsme prˇidańı´m hmotnosti elektronu me zavedli b = [r × me v ] = mechanicky´ moment hybnosti elektronu. Dosazenı´m do vztahu pro m dostaneme Z

m= S

e e dS = T T

ZT

dS e dt = dt T

0

µ

b 2me

¶ ZT dt = 0

e b 2me

Z tohoto vztahu plyne u´meˇrnost mezi magneticky´m momentem a momentem hybnosti elektronu. Oba momenty jsou kolme´ na rovinu dra´hy elektronu. Vzhledem k tomu, zˇe e < 0, jsou opacˇne´ho smeˇru. Pro jednoduchost bereme kruhovou dra´hu =⇒ r ⊥ v |b | = me rv = me r2 ω Podle kvantove´ teorie mu˚zˇe elektron obı´hat kolem ja´dra jen po urcˇityćh (kvantovyćh) drahaćh – jinak vyzarˇuje energii a spadne na ja´dro. Bohr nasˇel podmıńku 2π|b | = nh n ∈ N kde h = Planckova konstanta = 6,625.10−34 J. Da´le n = hlavnı´ kvantove´ cˇ´ıslo – stanovı´ porˇadı´ h drah v atomu. Zava´dı´ se tzv. redukovana´ Planckova konstanta: ~ = 2π =⇒ |b | = n~ 113

KAPITOLA 4. MAGNETICKE´ POLE V KVAZISTACIONA´RNI´M PRˇIBLI´ZˇENI´ Dosazenı´m za m dostaneme

e n~ 2me neboli magneticky´ moment elektronu prˇi obeˇhu kolem ja´dra = orbita´lnı´ magneticky´ moment elektronu je kvantovań. Nejmensˇ´ı hodnota (pro n = 1) je Bohru˚v magneton µB . |m | =

|mmin | = µB =

e~ . = 9,273.10−24 Am2 = 10−23 Am2 2me

Prˇi prˇechodu elektronu˚ z jedne´ dra´hy do druhe´ se meˇnı´ jejich orbita´lnı´ momenty nespojiteˇ (kvantujı´ se). Mimo to majı´ elektrony jesˇteˇ dalsˇ´ı magneticky´ moment – spinovy´ magneticky´ moment elektronu. Tento moment je dań vlastnı´ strukturou elektronu – velmi hrubou analogiı´ je rotace elektronu. U elektronu mu˚zˇe naby´vat pouze dvou hodnot |mspin | = ±µB = ±

e~ 2me

Ja´dra a nukleony majı´ te´zˇ vlastnı´ momenty – tyto magneticke´ momenty jsou vsˇak asi o 3 rˇa´dy 1 mensˇ´ı ( m1e À mprot ) nezˇ momenty elektronu˚. Proto vy´sledny´ moment atomu (molekuly) je dań prˇiblizˇneˇ vektorovou superpozicı´ magnetickyćh momentu˚ – spinovyćh i orbita´lnıćh jednotlivyćh elektronu˚. Vy´sledny´ moment proto mu˚zˇe by´t nulovy´ i ru˚zny´ od nuly. Jednotlive´ magneticke´ momenty jsou v la´tce orientovańy veˇtsˇinou chaoticky. My pracujeme s makroskopicky´mi poli, proto si vliv jednotlivyćh magnetickyćh momentu˚ nahradı´me neˇjakou makroskopickou (strˇedovanou) velicˇinou. Magneticke´ pole la´tek je magneticke´ pole soustavy dipo´lu˚ – jeho pru˚beˇh je dań velikostı´ a prostorovy´m rozlozˇenı´m teˇchto dipo´lu˚. Analogicky jako v elektrostatice se zava´dı´ vektor magneticke´ polarizace Pm a magnetizace M . Vezmeme element objemu ∆V (dost velky´ pro strˇedovańı´ a dost maly´ pro makroskopicke´ nehomogenity). V tomto objemu ma´me atomove´ momenty Ampe´rovy m a Coulombovy pm . Vy´sledny´ magneticky´ moment objemu ∆V je:

Pm,∆V =

N X

pmi

M∆V =

i=1

N X

mi

i=1

Magnetickou polarizaci Pm respektive magnetizaci M zavedeme limitnı´m prˇechodem

Pm (r ) = lim

∆V →0

Pm,∆V

M (r ) = lim

∆V

∆V →0

M∆V ∆V

Potom magneticky´ moment libovolne´ho objemu V bude Z Z Pm,V = Pm dV MV = M dV V

V

114


nebo v prˇ´ıpadeˇ homogennı´ magneticke´ polarizace (magnetizace) v cele´m teˇlese

Pm,V = Pm V

MV = M V

Mezi magnetickou polarizacı´ Pm a magnetizacı´ M platı´ tenty´zˇ vztah jako pro moment Coulombu˚v a Ampe´ru˚v. Pm (r ) = µ0 M (r ) Jednotkou magneticke´ polarizace v SI je W b.m−2 = V.s.m−2 , jednotkou magnetizace A.m−1 (tj. magneticky´ moment.m−3 ).

Vyja´drˇenı´ stavu zmagnetovane´ho teˇlesa V prˇ´ıpadeˇ elektricke´ polarizace se popis prˇevedl na indukovane´ va´zane´ na´boje. My vı´me, zˇe magneticky´ moment dipo´lu je ekvivalentnı´ magneticke´mu poli smycˇky prote´kane´ proudem. Proto je mozˇno magneticke´ pole zmagnetovane´ho teˇlesa (tj. pole soustavy dipo´lu˚) vyja´drˇit pomocı´ pole tvorˇene´ho soustavou proudovyćh smycˇek v objemu i na povrchu teˇlesa. Tyto smycˇky prˇedstavujı´ uzavrˇene´ proudy. Je proto mozˇno na popis zmagnetovane´ho teˇlesa pouzˇ´ıt vztahy odvozene´ pro makroskopicke´ proudy tekoucı´ ve vakuu. Tyto proudy tekoucı´ v la´tce se nazy´vajı´ va´zany´mi proudy a majı´ vy´znam ampe´rovyćh molekula´rnıćh proudu˚. Tyto proudy mohou by´t nenulove´ i v nevodive´m prostrˇedı´, nemajı´ vy´znam skutecˇnyćh makroskopickyćh proudu˚ (prˇemı´st’ovańı´ na´boje), vyjadrˇujı´ pouze efektivnı´ zdroje magnetizace. Pro homogenneˇ zmagnetizovane´ teˇleso se uvnitrˇ la´tky jednotlive´ proudove´ smycˇky navza´jem vyrusˇ´ı (jejich ućˇinek), nekompenzovane´ pak zu˚stanou jen cˇa´sti prˇi povrchu. Proto je magneticky´ ućˇinek vsˇech elementa´rnı´ proudu˚ mozˇne´ prˇeve´st na ućˇinek proudu povrchove´ho. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe teˇleso nebude zmagnetizovane´ homogenneˇ, musı´me uvazˇovat i proudy objemove´. Da´ se uka´zat (vy´pocˇet prova´deˇt nebudeme), zˇe pomocı´ teˇchto va´zanyćh proudu˚ lze vyja´drˇit makroskopicke´ velicˇiny – vektor magneticke´ polarizace nebo magnetizace. Oznacˇ´ıme-li si hustotu va´zanyćh plosˇnyćh proudu˚ jm (rozmeˇr bude A.m−1 – u objemovyćh proudu˚ A.m−2 ), platı´ pro magnetizaci Mt = jN (???) Nehomogenity magnetizace uvnitrˇ teˇlesa jsou popsańy hustotou objemovyćh va´zanyćh proudu˚

im

I rot M = im

⇐⇒

M · dl

Im = l

Zde vidı´me fyzika´lnı´ vy´znam prˇ´ıpadu ktery´ jsme jizˇ rˇesˇili – lom indukcˇnıćh cˇar na plosˇe prote´kane´ plosˇny´mi proudy – jedna´ se tedy o prˇechod magneticke´ indukce B povrchem zmagnetizovane´ho teˇlesa. 115


Obecne´ rovnice magneticke´ho pole v la´tkove´m prostrˇedı´ Mu˚zˇeme pouzˇ´ıt vztahy odvozene´ pro vakuum, kdyzˇ kromeˇ makroskopickyćh proudu˚ budeme jako zdroje uvazˇovat i va´zane´ proudy reprezentujıćı´ magnetizaci la´tek.

1) Spojitost magnetickyćh indukcˇnıćh cˇar – zu˚stane zachovańa, protozˇe ani v la´tkove´m prostrˇedı´ nejsou monopo´ly. Platı´ I

B · dS = 0

div B = 0

S

2) Ampe´ru˚v za´kon – bude platit pro libovolnou uzavrˇenou krˇivku, musı´me vsˇak prˇidat celkovy´ va´zany´ proud Im prote´kajıćı´ plochou krˇivky l. I B · dl = µ0 (I + Im) l

Za Im mu˚zˇeme dosadit magnetizaci Im =

H l

M · dl :

I (B − µ0 M ) · dl = µ0 I l

Analogicke´ vyja´drˇenı´ pomocı´ magneticke´ polarizace bude I (B − Pm ) · dl = µ0 I l

Mu˚zˇeme zave´st vektor intenzity magneticke´ho pole v la´tkove´m prostrˇedı´ vztahem

H (r ) =

1 (B (r ) − Pm (r )) µ0

(4.1)

S jeho pomocı´ prˇepı´sˇeme Ampe´ru˚v za´kon v la´tce ve tvaru I H · dl = I l

Pokud budeme jako obvykle prˇedpokla´dat zˇe plochou ohranicˇenou krˇivkou l netecˇou plosˇne´ proudy, pouzˇijeme Stokesovu veˇtu rot H = i kde i je hustota volne´ho objemove´ho proudu v dane´m bodeˇ. Vektor intenzity magneticke´ho pole H zavedeny´ vztahem (!! krˇ´ızˇovy´ odkaz !! ?(x.1)) na´m v 116


la´tkove´m prostrˇedı´ slouzˇ´ı k tomu, abychom mohli z u´vah vyloucˇit va´zane´ proudy. Je nutno si vsˇak uveˇdomit, zˇe i v la´tkove´m prostrˇedı´ je pro vyja´drˇenı´ ućˇinku˚ magneticke´ho pole (silove´ ućˇinky, elektromagneticke´ indukce(?)) rozhodujıćı´ vektor magneticke´ indukce. (?? nuu´plny´ za´pis str. 80 rukopisu dole: Definice la´tka – vakuum totozˇne´)

Vztah mezi magnetizacı´ a intenzitou magneticke´ho pole Magnetizace dane´ la´tky M za´visı´ na intenziteˇ magneticke´ho pole. Tuto za´vislost mu˚zˇeme vyja´drˇit vztahem

M (r ) = χm H (r ) kde χm je magneticka´ susceptibilita (znacˇena´ neˇkdy te´zˇ κ). Podobneˇ pro magnetickou polarizaci mu˚zˇeme psa´t

Pm (r ) = µ0 χm H (r ) Na za´kladeˇ tohoto vztahu mu˚zˇeme najı´t souvislost mezi vektory B a H v la´tce

B (r ) = µ0 H (r ) + Pm (r ) = µ0 (1 + χm )H (r ) Zavedeme µ = µ0 (1 + χm ) = permeabilita la´tky, µr = 1 + χm = relativnı´ permeabilita.

B (r ) = µH (r )

=⇒

ve vakuu B (r ) = µ0 H (r )

Obeˇ definice jsou totozˇne´; µr a χm jsou velicˇiny bezrozmeˇrne´. Rozdeˇlenı´ la´tek podle magnetickyćh vlastnostı´ Vektory magnetizace M , magneticke´ polarizace Pm a magneticke´ indukce vyjadrˇujı´ stav prostrˇedı´, naproti tomu susceptibilita χm a permeabilita µ charakterizujı´ jeho magneticke´ vlastnosti. Obecneˇ mohou by´t funkcemi teploty, pole, . . .

Vsˇechny la´tky jsou magneticky aktivnı´ (v ru˚zne´ mı´rˇe). Deˇlı´me je na la´tky: – slabeˇ magneticke´ – jejich magnetizace je mala´ (ale prˇesto ru˚na´ od nuly) – silneˇ magneticke´ – jejich magnetizace naby´va´ znacˇnyćh hodnot (ferromagneticke´ la´tky) Jine´ deˇlenı´ je na la´tky diamagneticke´ – χm < 0 paramagneticke´ – χm > 0 117

KAPITOLA 4. MAGNETICKE´ POLE V KVAZISTACIONA´RNI´M PRˇIBLI´ZˇENI´ Paramagneticke´ la´tky majı´ susceptibilituχm kladnou, nebo-li relativnı´ permeabilitu µr > 1. Vy´sledny´ magneticky´ moment la´tky ma´ smeˇr pole, la´tka je vtahovańa do mı´st s veˇtsˇ´ı intenzitou magneticke´ho pole. Zcela forma´lneˇ mezi neˇ rˇadı´me i ferromagnetika, acˇkoliv majı´ veˇtsˇinu vlastnostı´ odlisˇnyćh (majı´ ale χm > 0). La´tky diamagneticke´ majı´ χm < 0 =⇒ M je antiparalelnı´ s H =⇒ la´tka je vypuzovańa z mı´st s vysokou intenzitou magneticke´ho pole, orientuje se do smeˇru pole. Typicke´ paramagneticke´ la´tky: veˇtsˇina kovu˚, neˇktere´ soli v krystalicke´m stavu, vodnı´ roztoky teˇchto solı´, neˇktere´ plyny (kyslı´k). Diamagneticke´ la´tky: neˇktere´ kovy, neˇktere´ nekovove´ pevne´ la´tky i kapaliny, veˇtsˇina la´tek organicke´ho pu˚vodu. Cˇ´ıselne´ hodnoty χm neˇkteryćh beˇzˇnyćh la´tek prˇi pokojove´ teploteˇ: La´tka diamagneticka´ vodı´k helium voda meˇd’ strˇ´ıbro olovo krˇemen rtut’

χm .106 -0,0023 -0,011 -9,1 -9,5 -26 -17 -15 -29

La´tka paramagneticka´ vzduch kyslı´k hlinı´k wolfram platina paladium neodym kyslı´k kap. (80 K)

χm .106 0,369 1,85 21 60 276 820 3400 3600

Vidı´me, zˇe la´tky dia- i paramagneticke´ majı´ hodnoty |χm | ¿ 1. Pro veˇtsˇinu la´tek je susceptibilita paramagnetik v absolutnı´ hodnoteˇ znacˇneˇ veˇtsˇ´ı nezˇ susceptibilita diamagnetik. Pro slabeˇ magneticke´ la´tky para- i diamagneticke´ je ve veˇtsˇineˇ prˇ´ıpadu˚ za´vislost mezi M a H prˇ´ımkova´, tj. susceptibilita je konstantnı´.

Teplotnı´ za´vislost slabeˇ magnetickyćh la´tek: V teplotnı´ za´vislosti susceptibility χm (T ) se la´tky paramagneticke´ a diamagneticke´ za´sadneˇ lisˇ´ı. Detailnı´ meˇrˇenı´ prova´deˇl Pierre Curie, sve´ vy´sledky shrnul ve dvou za´konech:

1) Susceptibilita diamagnetickyćh la´tek neza´visı´ na teploteˇ

χmdia (T ) = const 118


2) Susceptibilita paramagnetickyćh la´tek je neprˇ´ımo u´meˇrna´ absolutnı´ teploteˇ C T Je to Curieu˚v za´kon, C = Curieova konstanta, charakteristicka´ pro danou la´tku. χmpara (T ) =

Anoma´lnı´ slabeˇ magneticke´ la´tky: Vy´jimecˇneˇ existujı´ la´tky, ktere´ nemajı´ χm konstantnı´ a neplatı´ pro neˇ Curieovy za´kony. Jsou to zejmeńa ”anoma´lnı´ diamagnetika”, stejneˇ tak existujı´ ”anoma´lnı´ paramagnetika”. V jejich prˇ´ıpadeˇ se i hodnota χm vymyka´ z norma´lnıćh mezı´. Klasicka´ teorie diamagnetismu Diamagneticke´ la´tky jsou nejmeńeˇ magneticky aktivnı´. Jejich susceptibilita je za´porna´ a teplotneˇ neza´visla´. Absolutnı´ hodnota jejich susceptibility je obvykle znacˇneˇ mensˇ´ı nezˇ u la´tek para- a zvla´sˇteˇ ferromagnetickyćh. Tato mala´ magneticka´ aktivita vedla k domneˇnce, zˇe atomy (molekuly) teˇchto la´tek majı´ bez pole nulovy´ magneticky´ moment. Kazˇdy´ elektron moment ma´, musı´ se tedy v atomu vyrusˇit (nejjednodusˇsˇ´ı la´tka (?ktera´) ma´ (?alesponˇ) dva elektrony je He – atom, H2 – molekula). Na za´kladeˇ te´to domneˇnky vypracoval v roce 1905 P. Langevin mikroskopickou teorii diamagnetismu. Obeˇh elektronu kolem jader vyvola´va´ proudy, jejichzˇ magneticky´ moment se rusˇ´ı. Prˇilozˇenı´ vneˇjsˇ´ıho pole zpu˚sobı´, zˇe se v atomech indukuje prˇ´ıdavny´ magneticky´ moment. Prˇedstava podle Larmora je tato: Prˇes krouzˇivy´ pohyb elektronu˚ se prˇekla´da´ otaćˇivy´ pohyb elektronove´ho syste´mu atomu kolem osy, jejı´zˇ smeˇr je dań vneˇjsˇ´ım magneticky´m polem. Magneticky´ moment (pokud nenı´ k s H ) kona´ precesnı´ pohyb – Larmorovu precesi – s u´hlovou rychlostı´ ωp . Tı´m zı´ska´ prˇ´ıdavnou u´hlovou rychlost ∆ω = ±ωp . Prˇesny´ vy´pocˇet (klasicky) je mozˇno prove´st, uvazˇujeme-li rovnova´hu vsˇech sil – dostrˇedive´ Coulombovske´ Fe , odstrˇedive´ sı´ly me rω 2 a Lorentzovy sı´ly FL = evB FL = evB = evµ0 H = eωrµ0 H Musı´ platit Fe = me rω 2 bez vnějšího pole 2 Fe + eωrµ0 H = me r(ω ± ∆ω) s vnějším polem Musı´ dojı´t ke zmeˇneˇ u´hlove´ rychlosti pohybu, nebot’odstrˇediva´ sı´la nynı´ nedoka´zˇe vyrovnat dveˇ sı´ly. me a r jsou pevneˇ dańy =⇒ musı´ se zmeˇnit ω. Pro ∆ω ¿ ω platı´ µ0 e H ∆ω = ± 2me 119

KAPITOLA 4. MAGNETICKE´ POLE V KVAZISTACIONA´RNI´M PRˇIBLI´ZˇENI´ Z tohoto vztahu vidı´me, zˇe zmeˇna u´hlove´ rychlosti elektronu za´visı´ pouze na intenziteˇ pole H . My vı´me, zˇe magneticky´ moment |m | je prˇ´ımo u´meˇrny´ u´hlove´ rychlosti ω:

m=

e b 2me

|b | = m e r 2 ω

Proto vznik prˇ´ıdavne´ u´hlove´ rychlosti znamena´ vznik prˇ´ıdavne´ho momentu

∆

m

1 µ0 e 2 r 2 |∆m | = er2 ∆ω = − H 2 4me (??? velikost ma´ za´pornou hodnotu ???) Na tento indukovany´ magneticky´ moment se mu˚zˇeme dı´vat tak, zˇe vznika´ prˇi pohybu smycˇky ve vneˇjsˇ´ım magneticke´m poli, nebo-li docha´zı´ k indukci prˇ´ıdavne´ho proudu jehozˇ magneticke´ ućˇinky jsou proti vneˇjsˇ´ımu poli namı´rˇene´ (Lenzovo pravidlo). To na´m da´va´ za´kon elektromagneticke´ indukce (znameńko mıńus). Prˇ´ıdavny´ magneticky´ moment je maly´, znamena´ diamagnetismus jednoho elektronu. Pro atom se budou tyto prˇ´ıdavne´ momenty skla´dat – skala´rneˇ, nebot’ majı´ smeˇr antiparalelnı´ k vneˇjsˇ´ımu magneticke´mu poli.

Pro jeden atom dostaneme: Z

µ0 e2 X 2 |matom | = − H r 6me i=1 i Zde Z = atomove´ cˇ´ıslo prvku, ri2 = strˇednı´ kvadraticka´ hodnota polomeˇru elektronove´ dra´hy (nenı´ kruzˇnice). Mı´sto 14 ma´me 16 – v atomu jsou dra´hy elektronu˚ orientovańy v prostoru. Obecneˇ 1 drah stojı´ rovnobeˇzˇneˇ s polem a 32 kolmo k poli =⇒ vy´pocˇet da´ pouze 23 vliv elektronu˚. 3 Vezmeˇme jednotkovy´ objem diamagnetika s n atomy (stejny´mi), platı´:

M = nmatom = χm H Pro diamagnetickou susceptibilitu dostaneme: Z n|matom | µ0 ne2 X 2 χm = =− r |H | 6me i=1 i

Vidı´me, zˇe diamagneticka´ susceptibilita neza´visı´ na teploteˇ (1. Curieu˚v za´kon). Ve vy´pocˇtu jsme neprovedli zˇa´dna´ omezenı´ na pouzˇitou la´tku =⇒ diamagnetimus je vlastnı´ vsˇem la´tka´m (i parai ferromagneticky´m). Pokud se do vztahu za χm dosadı´ cˇ´ıselne´ hodnoty (za ri rˇa´doveˇ 10−8 cm = polomeˇr atomu), dostaneme rˇa´doveˇ spra´vny´ vy´sledek (∼ 10−6 ). 120


Tato teorie je klasicka´. Ve dvaca´tyćh letech 20. stoletı´ vypracoval J. H. van Vleck kvantovou teorii, ktera´ prˇesneˇji prˇisˇla k podobny´m vy´sledku˚m (jinak se ovsˇem musı´ formulovat ”polomeˇr dra´hy elektronu˚”). Klasicka´ i kvantova´ teorie je aplikovatelna´ pouze na la´tku, ktera´ nema´ volne´ elektrony. Pro kovy provedl vy´pocˇet L. D. Landau, ktery´ nasˇel vy´raz pro diamagnetismus vodivostnı´ elektronu˚ kovu.

Klasicka´ teorie paramagnetismu Tuto teorii vypracoval te´zˇ P. Langevin. Vycha´zı´ z prˇedpokladu, zˇe kazˇdy´ atom (molekula) ma´ i bez vneˇjsˇ´ıho pole svu˚j magneticky´ moment matom . Da´le se prˇedpokla´da´, zˇe jednotlive´ atomy na sebe mechanicky ani mangeticky nepu˚sobı´ – prˇesneˇ to platı´ jen pro plyny za snı´zˇene´ho tlaku. Potom jsou bez vneˇjsˇ´ıho pole momenty chaoticky orientovane´, takzˇe se vyrusˇ´ı. Budeme uvazˇovat la´tku s n molekulami (atomy) v jednotce objemu se stejny´mi magneticky´mi momenty |matom |. Prˇedpokla´dejme, zˇe momenty atomu˚ svı´rajı´ s urcˇity´m smeˇrem obecneˇ u´hly ϑ1 , ϑ 2 , . . . , ϑ n Potom hodnota magnetizace do tohoto smeˇru bude M = |matom |

n X

cos ϑi

i=1

Oznacˇ´ıme-li pru˚meˇrnou hodnotu cosinu jako cos ϑ, ma´me M = |matom | · cos ϑ · n Bez pole je cos ϑ = 0. Se zavedenı´m pole se molekuly zacˇnou cˇa´stecˇneˇ nataćˇet do jednoho smeˇru. Prˇi dokonale´m vyrovnańı´ (ϑ = 0) bychom do smeˇru pole meˇli: cos ϑ = 1 =⇒ Ms = n|matom | a dosa´hli bychom nasycene´ magnetizace Ms .V rea´lne´m prˇ´ıpadeˇ je magnetizace mensˇ´ı, nebot’ dokonale´mu usporˇa´dańı´ brańı´ tepelny´ pohyb molekul. Vy´pocˇet je nutno prova´deˇt s apara´tem statisticke´ fyziky. atom |H , tj. podı´lu magnetostaticke´ a tepelne´ energie. Langevin Vy´sledek bude funkcı´ α = µ0 |mkT zı´skal pro strˇednı´ hodnotu cosinu v rea´lnyćh podmıńkaćh cos ϑ = cotgh α − 121

1 = L(α) α


Je to tzv. Langevinova funkce. M Relativnı´ magnetizace la´tky M pak bude: s M = cos ϑ = L(α) Ms V rea´lnyćh prˇ´ıpadech vzˇdy platı´ α ¿ 1 (magnetostaticka´ energie je mnohem mensˇ´ı, nezˇ termicka´), pak mu˚zˇeme prove´st rozvoj pro mala´ α: µ ¶ 1 1 α α3 1 α α3 . α L(α) = cotgh α − = + − + ... − = − + ... = α α 3 45 α 3 45 3 Dostaneme: M Ms

=

1 µ0 |matom |H 3 kT

) χm =

Platí : M = χm H, Ms = n|matom |

µ0 n|matom |2 3kT

Z tohoto vztahu vidı´me, zˇe paramagneticka´ susceptibilita je neprˇ´ımo u´meˇrna´ absolutnı´ teploteˇ (druhy´ Curieu˚v za´kon). Curieova konstanta bude C=

µ0 n|matom |2 3k

Jejı´m zmeˇrˇenı´m zı´ska´me hodnotu magneticke´ho momentu jednoho atomu. Zprˇesneˇnı´ te´to teorie je opeˇt mozˇno prove´st na za´kladeˇ kvantove´ mechaniky – Brillouin a J. H. van Vleck. Prˇ´ıspeˇvek volnyćh elektronu˚ zı´skal W. Pauli. Kazˇda´ paramagneticka´ la´tka podle´ha´ te´zˇ diamagneticke´mu mechanismu. Ten je vsˇak obecneˇ mnohem slabsˇ´ı a je prˇekryt paramagnetismem. Silneˇ magneticke´ la´tky Od slabeˇ magnetickyćh la´tek se lisˇ´ı jak veˇtsˇ´ı hodnotou magneticke´ susceptibility, tak zejmeńa slozˇitou za´vislostı´ magnetizace na intenziteˇ pole (χm (H)), na historii vzorku, . . . Typicke´ silne´ magneticke´ la´tky jsou ferromagnetika – za beˇzˇnyćh teplot zna´me 4 ferromagneticke´ prvky: zˇelezo, kobalt, nikl a gadolinium. Da´le sem patrˇ´ı velke´ mnozˇstvı´ slitin a sloucˇenin, obsahujıćıćh ferromagneticke´ i neferromagneticke´ prvky, ferromagneticke´ oxidy (magnetit F eO · F e2 O3 ). Ferromagnetismus je vlastnostı´ pouze pevnyćh la´tek krystalicke´ struktury (ne kapalin, plynu˚, amorfnıćh pevnyćh la´tek oproti la´tka´m para- a diamagneticky´m). Ferromagneticke´ la´tky majı´ dosti spolecˇne´ho s la´tkami paramagneticky´mi. Platı´ pro oboje χm > 0(µr > 1). V obou prˇ´ıpadech majı´ jejich atomy i bez pole magneticky´ moment nenulovy´. Te´zˇ velikost tohoto momentu je te´meˇrˇ stejna´. Podrobna´ meˇrˇenı´ uka´zala, zˇe 122


magneticky´ moment atomu˚ ferromagnetik je tvorˇen nevykompenzovany´mi spinovy´mi momenty elektronu˚ (u paramagnetik to jsou momenty orbita´lnı´). S ru˚stem teploty magnetizace paramagnetik i ferromagnetik klesa´, s ru˚stem magneticke´ho pole roste. Prˇes tyto vneˇjsˇ´ı shody je za´sadnı´ odlisˇnost (?v origina´le je ”rozpor”?) v mechanismu magnetizace – proces magnetizace u ferromagnetik je proces kolektivnı´ na rozdı´l od v podstateˇ individua´lnı´ho chovańı´ paramagnetik (prˇedp. teorie – nenı´ vza´jemna´ interakce). Proces ferromagnetismu objasnil Weiss: – V ferromagnetiku existuje vnitrˇnı´ (molekula´rnı´) pole, ktere´ prˇi teploteˇ T < Tc (Tc = Curieova teplota, charakteristicka´ pro danou la´tku) vyvola´ v uzavrˇenyćh oblastech ferromagnetika magnetizaci do nasycenı´ = spontańnı´ magnetizace (bez pole) – Kazˇde´ ferromagnetikum se prˇi T < Tc rozpada´ na male´ oblasti = ferromagneticke´ (Weissovy) domeńy z nichzˇ kazˇda´ je zmagnetovańa do nasycenı´.

Vlivem molekula´rnı´ho pole se v kazˇde´ domeńeˇ stavı´ magneticke´ pole vsˇech atomu˚ paralelneˇ. Momenty jednotlivyćh domeń jsou usporˇa´dańy bez pole chaoticky – proto se navenek neprojevı´. Vlivem vneˇjsˇ´ıho pole se momenty domeń postupneˇ usporˇa´dajı´ do tohoto smeˇru (nejprve zacˇnou by´t preferovańy domeńy, ktere´ majı´ slozˇku magnetizace do pole, pak se vytvorˇ´ı jedina´ oblast s magnetizacı´ nejvy´hodneˇjsˇ´ıho smeˇru – jejı´ magneticky´ moment se stocˇ´ı do smeˇru pole prˇesneˇ). ´ kolem vneˇjsˇ´ıho pole nenı´ tedy magnetizaci budit, ale pu˚sobit, aby se mohla navenek U projevit. Spontańnı´ magnetizace za´visı´ na teploteˇ. S rostoucı´ teplotou klesa´, prˇi T = Tc je rovna nule. Hodnoty Curieovy teploty pro 4 ferromagneticke´ prvky: Prvek TC [◦ C] TC0 [◦ C]

zˇelezo 770 787

kobalt 1130 1140 – 1160

nikl gadolinium 358 16 377 30

Prˇi prˇekrocˇenı´ Curieovy teploty ztraćı´ la´tka sve´ ferromagneticke´ vlastnosti a sta´va´ se paramagnetickou. Pro jejı´ paramagnetickou susceptibilitu platı´ Curieu˚v – Weissu˚v za´kon: χm (T ) =

C0 T − TC0

kde C 0 = Curieova – Weissova konstanta a TC0 = paramagneticka´ Curieova teplota. Obeˇ konstanty jsou charakteristicke´ pro danou la´tku. Obycˇejneˇ TC0 ≈ TC (viz. tabulka) 123


Fyzika´lnı´ vysveˇtlenı´ vzniku molekula´rnı´ho pole a jeho podstaty nalezli Frenkel a Heisenberg. Mezi elektrony sousednıćh atomu˚ existujı´ vy´meˇnne´ sı´ly kvantove´ povahy. Energie teˇchto sil je podstatneˇ veˇtsˇ´ı, nezˇ ućˇinek sil magnetickyćh. Tyto kvantove´ sı´ly se mohou projevovat jen v krystalickyćh la´tkaćh.

Za´kladnı´ znaky ferromagnetickyćh la´tek 1. Snadnost dosazˇenı´ nasycenı´ la´tky jako celku. Magneticka´ susceptibilita je velka´ – azˇ 105 proti 10−6 ÷ 10−4 pro paramagneticke´ la´tky. 2. Magnetizace ferromagnetik nenı´ linea´rnı´ funkcı´ magneticke´ho pole

=⇒

χm = χm (H)

3. Magnetizace za´visı´ nejen na okamzˇite´ hodnoteˇ magneticke´ho pole H, ale i na jeho prˇedchozıćh hodnotaćh – hystereze. 4. Ferromagnetismus existuje jen pro 0 ≤ T ≤ TC Za´kladnı´ jsou body jsou 1. a 4. (χm velke´ a existence TC ) – v ostatnı´m mohou by´t odchylky. Dalsˇ´ı silneˇ magneticke´ la´tky Mimo la´tek ferromagnetickyćh se jedna´ o la´tky antiferromagneticke´ a ferrimagneticke´.

Antiferromagneticke´ la´tky: Jsou to pevne´ la´tky s krystalickou strukturou. Jejich krystalicka´ mrˇ´ızˇ je tvorˇena dveˇma podmrˇ´ızˇkami, ktere´ se vza´jemneˇ prostupujı´. Vy´meˇnny´mi silami jsou vzˇdy momenty jedne´ mrˇ´ızˇky usporˇa´dańy paralelneˇ, ale podmrˇ´ızˇky (stejne´ materia´ly) vu˚cˇi sobeˇ majı´ momenty antiparalelnı´ −→ rusˇ´ı se (zcela). Proto je χm male´ jako u paramagnetickyćh la´tek. Prˇi prˇekrocˇenı´ urcˇite´ teploty se spontańnı´ magnetizace rusˇ´ı – teplota Neélova −→ paramagneticke´. Jsou to oxidy, sirnı´ky a chloridy manganu, chromu, zˇeleza, kobaltu, niklu.

Ferrimagnetika: nekovove´ la´tky krystalicke´ povahy – ferrity. Jedna´ se veˇtsˇinou o sloucˇeniny oxidu zˇeleza F e2 O3 a oxidu jine´ho dvoumocne´ho kovu M : M O · F e2 O3 . Jako u antiferromagnetickyćh la´tek existujı´ dveˇ podmrˇ´ızˇky, ktere´ ale nejsou ekvivalentnı´, proto se jejich magneticke´ momenty zcela nevyrusˇ´ı. Ferrimagnetika jsou proto antiferromangetika s nevykompenzovany´mi momenty. Ferrity majı´ velke´ prakticke´ pouzˇitı´, nebot’nepatrˇ´ı z hlediska elektricke´ vodivosti mezi kovy, ale mezi polovodicˇe. Majı´ vysoky´ elektricky´ odpor, proto jsou u nich ma´lo vy´razne´ vı´rˇive´ proudy 124


a lze je pouzˇ´ıt i ve strˇ´ıdavyćh magnetickyćh polıćh velmi vysokyćh frekvencı´.

Domeńy mu˚zˇeme opticky zna´zornit pomocı´ kovovyćh pilin. Po vylesˇteˇnı´ plochy ferromagnetika se la´tka posype jemny´mi pilinami v kapalineˇ. Nad povrchem domeń je magneticke´ pole homogennı´ a pra´sˇek tam nenı´ vtahovań. Vytvorˇ´ı vsˇak ostre´ kontury domeń, ktere´ jsou v mikroskopu dobrˇe patrne´. Magnetizacˇnı´ krˇivka Vyjdeme-li z dokonale odmagnetovane´ho ferromagnetika, ma´me domeńy orientovane´ zcela nahodile. Se vzru˚stem magneticke´ho pole se nejprve posouvajı´ hranice domeń – tento proces je vratny´ (u´secˇka OA na obra´zku). V oblasti AB jednotlive´ domeńy zanikajı´ – docha´zı´ ke zmeˇna´m nevratny´m. Tyto zmeˇny jizˇ nejsou spojite´, ale jsou charakterizovańy Barkhausenovy´mi skoky. Krˇivka nenı´ plynula´, ale jednotlive´ skoky jsou tak male´, zˇe je (? v origina´le ”to”) nelze zmeˇrˇit 1 ). V oblasti BC docha´zı´ k staćˇenı´ vy´sledne´ho vektoru Ms do smeˇru vneˇjsˇ´ıho pole. V bodeˇ C = pro magneticke´ pole Hs dosa´hne magnetizace la´tky do smeˇru pole sve´ maxima´lnı´ hodnoty Ms . Pak se jizˇ nemeˇnı´ (jen nepatrny´ ru˚st prˇekracˇujıćı´ ra´mec elementa´rnı´ho modelu). Magneticka´ susceptibilita se meˇnı´ s magneticky´m polem slozˇity´m zpu˚sobem – roste od pocˇa´tecˇnı´ hodnoty χm0 , dosahuje maxima χm max (pro bod B krˇivky M (H)) a pak opeˇt klesa´. Je mozˇno te´zˇ zave´st velicˇiny µ a mur . Relativnı´ permeabilita je popsańa za´vislostı´ na poli analogickou za´vislosti χm (H), nebot’platı´ µr = 1 + χm . Prozatı´m jsme mluvili o panenske´ krˇivce magnetizace. Prˇi opeˇtovnyćh meˇrˇenıćh docha´zı´ k jevu magneticke´ hystereze, ktery´ je forma´lneˇ stejny´ jako u ferroelektrickyćh la´tek: Hystereznı´ smycˇka ma´ vy´znacˇne´ body (? v origina´le ”vy´razne´ hodnoty” ?): Ms – nasycena´ magnetizace, Hs – pole k dosazˇenı´ nasycene´ magnetizace, Mr – remanentnı´ (zbytkova´) magnetizace, Hc – koercitivnı´ sı´la (? pole ?) (pro M = 0) Prˇi rychle´ zmeˇneˇ magneticke´ho pole (prˇemagnetovańı´ strˇ´ıdavy´m proudem) vznikajı´ ve ferromagnetiku ztra´ty energie – hystereznı´ ztra´ty. Tyto ztra´ty energie v jednom cyklu prˇepocˇtene´ a jednotkovy´ objem jsou dańy plochou hystereznı´ smycˇky: I wh =  ??

B dH 

I wh =

B dH

??

h

)Demonstrace je mozˇna´ pokusem: ferromagneticky´ materia´l (tenky´ dra´t) v cı´vce, Z – zesilovacˇ, R – reproduktor. Prˇiblizˇovańı´ magnetu =⇒ skoky v dra´tu =⇒ indukcˇnı´ zmeˇny skokem v cı´vce =⇒ praskot v reproduktoru 1

125


Typicke´ hodnoty: Uhlı´kova´ ocel (98,1%F e, 1%M n, 0,9%C) Kobaltova´ ocel (52,6%F e, 36%Co, . . .) Velmi cˇiste´ zˇelezo Obycˇejne´ zˇelezo

Hc 4 200 1 830 2 75 – 300

µr max ∼ Mr 90 40 280 000 1 500 – 4 500

wh [J.m−3 ] 200 000 900 000 19 1 000 – 2 500

Uhlı´kova´ ocel (98,1%F e, 1%M n, 0,9%C) Kobaltova´ ocel (52,6%F e, 36%Co, . . .) Velmi cˇiste´ zˇelezo Obycˇejne´ zˇelezo

Hc 4 200 1 830 2 75 – 300

µr max ∼ Mr 90 40 280 000 1 500 – 4 500

wh [J.m−3 ] 200 000 900 000 19 1 000 – 2 500

magneticky tvrde´ magneticky meˇkke´

Pro technicke´ vyuzˇitı´ se prˇipravujı´ ferromagneticke´ materia´ly z ru˚znyćh hledisek: 1. Ferromagneticke´ la´tky zmagnetovane´ do remanentnı´ho stavu mohou slouzˇit jako zdroje magneticke´ho pole – jako trvale´ magnety. Zˇa´da´me, aby magneticky´ stav la´tky byl pokud mozˇno sta´ly´, a aby co nejmeńeˇ za´visel na vneˇjsˇ´ıch magnetickyćh polıćh. La´tka proto musı´ mı´t co nejveˇtsˇ´ı hodnotu koercitivnı´ho pole, da´le co nejveˇtsˇ´ı remanentnı´ magnetizaci. Tomu odpovı´da´ panenska´ krˇivka s malou strmostı´ a sˇiroka´ hystereznı´ krˇivka o velke´ plosˇe. Jsou to la´tky magneticky tvrde´. 2. La´tky magneticky meˇkke´ majı´ naopak velkou susceptibilitu a u´zkou hystereznı´ smycˇku o male´ plosˇe. Pouzˇ´ıvajı´ se v elektrickyćh strojıćh (genera´torech, elektromotorech, transforma´torech) pracujıćıćh s promeˇnny´m magneticky´m polem. Magnetostrikce Prˇi magnetovańı´ ferromagneticke´ho teˇlesa docha´zı´ ke zmeˇneˇ jeho rozmeˇru˚ – prˇi prodlouzˇenı´ teˇlesa mluvı´me o magnetostrikci kladne´. Objemova´ magnetostrikce by´va´ mala´, proto prˇi prodlouzˇenı´ teˇlesa docha´zı´ veˇtsˇinou k jeho zkraćenı´ v prˇ´ıcˇne´m smeˇru. Relativnı´ zmeˇna by´va´ rˇa´du 10−6 ÷ 10−5 (?! cˇeho m ? – neuvedeno) v za´vislosti na H.

Magneticky´ obvod Magneticky´ obvod je cˇa´st prostoru, ve ktere´ se uzavı´ra´ urcˇity´ magneticky´ tok (naprˇ´ıklad vnitrˇek toroidu). Hranice magneticke´ho obvodu jsou vymezeny plochou , v nı´zˇ lezˇ´ı indukcˇnı´ cˇa´ry (? magneticke´ho ?) pole – hranicı´ magneticke´ho obvodu neprocha´zı´ zˇa´dny´ magneticky´ tok – tok je konstantnı´ pode´l cele´ho obvodu. 126


Jeho vy´znam je v tom, zˇe je pro mozˇne´ prˇiblizˇneˇ formulovat Ohmu˚v a Kirchhoffovy za´kony – z analogie s elektricky´m polem lze pocˇ´ıtat magneticke´ pole.

Vysˇetrˇme nejprve jednoduchy´ prˇ´ıpad uzavrˇene´ho prstence z izotropnı´ho ferromagnetika, jehozˇ pru˚rˇez ma´ plochu S, strˇednı´ obvod de´lku l, a ktery´ je ovinuty´ N za´vity rovnomeˇrneˇ po cele´m obvodu. Za´vity prote´ka´ proud I. Budeme bra´t pole v toroidu prˇiblizˇneˇ homogennı´. Pro indukcˇnı´ tok plochou S platı´: Φ = B · S = µ0 µr HS = µHS Magneticke´ pole uvnitrˇ toroidu najdeme z Ampe´rova za´kona v la´tce, kde Icelk = N I I NI = H · dl = Icelk =⇒ Hl = Icelk = N I =⇒ H = l l

Dosazenı´m dostaneme Φ=µ

NI NI S= l l µS

Tomuto vztahu se rˇ´ıka´ Hopkinsonova rovnice. Jejı´ cˇitatel Icelk = N I prˇedstavuje mı´ru, kterou se na vytvorˇenı´ magneticke´ho pole v obvodu podı´lı´ vneˇjsˇ´ı makroskopicky´ proud – nazy´va´ se magnetomotoricke´ napeˇtı´ Em . Jednotkou magnetomotoricke´ho napeˇtı´ je Ampe´r [A]. l Jmenovatel Hopkinsonovy rovnice je magneticky´ odpor Rm = µS . Ten je prˇ´ımo u´meˇrny´ de´lce obvodu, neprˇ´ımo jeho plosˇe. Z analogie s elektricky´m odporem vidı´me, zˇe permeabilita ma´ vy´znam meˇrne´ magneticke´ vodivosti. Jednotkou magneticke´ho odporu je [Ω.s]−1 (= [H −1 ]) Hopkinsonovu rovnici mu˚zˇeme napsat ve tvaru Φ=

Em Rm

Budeme ji pokla´dat za Ohmu˚v za´kon pro magneticky´ obvod. Indukcˇnı´ tok pak ma´ vy´znam proudu. Analogie elektrˇiny a magnetismu je pouze forma´lnı´, nebot’pro magneticky´ tok neexistujı´ izola´tory (µ je vzˇdy nenulove´; je µ ≥ µ0 = permeabilita vakua). Kdybychom cely´ postup zobecnili na indukcˇnı´ trubici Φ v prostrˇedıćh µ1 , µ2 , . . . , µN (jimzˇ odpovı´dajı´ u´seky l1 , l2 , . . . , lN ), dostali bychom obecneˇjsˇ´ı formu:   Z Z Z dl dl  dl + + ··· + Em = Φ  µ1 ∆ S µ2 ∆S µN ∆ S l1

l2

lN

127


I tento vztah je analogicky´ vztahu pro elektricky´ obvod. Na za´kladeˇ takto vybudovane´ho magneticke´ho obvodu bychom mohli postupovat k rˇesˇenı´ magnetickyćh sı´tı´, zave´st analogii Kirchhoffovyćh za´konu˚:

1. za´kon:

N X

Φi = 0

i=1

”Soucˇet indukcˇnıćh toku˚ v uzlu je roven nule.”

2. za´kon:

N X

Φi Rmi =

i=1

N X

Emi

i=1

”Soucˇet magnetickyćh napeˇtı´ danyćh soucˇiny magnetickyćh indukcˇnıćh toku˚ a odporu˚ je pro uzavrˇeny´ obvod roven soucˇtu magnetomotorickyćh napeˇtı´ pu˚sobıćıćh v tomto obvodu.” Uka´zˇeme si du˚lezˇity´ prˇ´ıklad – toroid z ferromagneticke´ho materia´lu prˇerusˇeny´ mezerou δ. Pru˚rˇez ja´dra bude S – polomeˇr R0 , materia´l o permeabiliteˇ µ. Na ja´drˇe je navinuto N za´vitu˚ a prote´ka´ jimi proud I. V tomto prˇ´ıpadeˇ potecˇe obvodem indukcˇnı´ tok Φ0 . Budeme prˇedpokla´dat, zˇe se v mezerˇe nerozptyluje. Potom Z Z dl dl 0 0 Em = N I = Φ +Φ µ1 S µ2 S l1 l2 | {z } | {z } mezera

jádro

Z

Platı´: jádro Rm

Z

dl 2πR0 − δ = µ1 S µS

= l1

mezera Rm

= l2

dl δ = µ2 S µ0 S

0

Dosazenı´m dostaneme pro indukcˇnı´ tok Φ : Φ0 =

NI +

2πR0 −δ µS

δ µ0 S

. =

NI = + µ0δS

2πR0 µS

2πR0 (1 µS

NI 1 =Φ δ δ + µr 2πR0 ) 1 + µr 2πR 0

Vidı´me, zˇe indukcˇnı´ tok se v prˇ´ıtomnosti vzduchove´ mezery zmensˇil v pomeˇru ΦΦ0 = 1 + δl µr . Tento efekt je vy´razny´ i pro velmi u´zke´ mezery – naprˇ. pro µr = 103 a δl = 10−2 se zmensˇ´ı magneticky´ indukcˇnı´ tok 11×. Pomeˇry v mezerˇe: 128

4.3. Magneticke´ pole v la´tkove´m prostrˇedı´ Φ0 = BS =⇒ Bjádro = Bmezera = Bj = µHj B m = µ0 H m

Φ0 S

)

Bj = Bm indukce bude stejná Hm = µr Hj pole bude v mezeře µr × větší

Vneˇjsˇ´ı pole je vytvorˇeno toroidem, vnitrˇnı´ pole je vlivem teˇlesa zeslabeno – teˇleso ma´ demagnetizacˇnı´ ućˇinek: Hj = µ1r Hm = Hm − (???) Pru˚beˇh magneticke´ho pole na rozhranı´ dvou prostrˇedı´ H Jizˇ vı´me, zˇe platı´: B1n = B2n – du˚sledek S B · dS = 0 Da´le: n × (B1 − B2 ) = µ0 (j + jm ). Tento tvar nenı´ vhodny´, nebot’ obsahuje va´zane´ proudy. Odstranı´me je zavedenı´m intenzity magneticke´ho pole H : n × (H1 − H2 ) = j Budeme-li prˇedpokla´dat, zˇe na rozhranı´ nema´me volne´ plosˇne´ proudy:

n × (H1 − H2 ) = 0

⇐⇒

H1t = H2t

Oba vztahy prˇepı´sˇeme pomocı´ u´hlu˚: B1n = B2n H1t = H2t

=⇒ =⇒

B1 cos ϑ1 = B2 cos ϑ2 H1 sin ϑ1 = H2 sin ϑ2

)

tg ϑ1 tg ϑ2 = µ1 µ2

Tı´m jsme nasˇli vztah pro lom cˇar vektoru H a B na rozhranı´ dvou prostrˇedı´ o permeabilitaćh µ1 a µ2 Specia´lnı´ prˇ´ıpad: Rozhranı´ – vzduch (µ1 = µ0 ) × ferromagnetikum (µ2 À µ0 ) . tg ϑ1 = µµ21 = 0 Potom tg ϑ2 . Tento vztah mu˚zˇe by´t pro libovolny´ u´hel ϑ2 platit jen tehdy, je-li ϑ2 = 0. Magneticke´ pole vystupuje z ferromagnetika kolmo na jeho povrch. (? V prˇ´ıpadeˇ kvazistaciona´rnı´ho pole bylo div i (t) = 0 – nedocha´zelo k cˇasovy´m zmeˇna´m na´bojove´ hustoty. Nynı´ se budeme veˇnovat poli magnetostaticke´mu ?) (? Pozn.: Poznatky vztahujıćı´ se k tomuto te´matu byly jizˇ uvedeny drˇ´ıve, procˇ jsou tyto cˇa´sti oddeˇlene´? ?)

4.3.1 Magnetostaticke´ pole Magneticke´ pole je tvorˇeno jak makroskopicky´mi proudy, tak i zmagnetovany´mi teˇlesy. Magneticke´ pole, ktere´ vznika´ pouze jako du˚sledek nenulove´ magnetizace ferromagnetickyćh la´tek nazveme pole magnetostaticke´. Obecne´ rovnice odvozene´ pro magneticke´ pole v kvazistaciona´rnı´m prˇiblı´zˇenı´ zu˚sta´vajı´ v platnosti 129


i pro pole magnetostaticke´. Mimo teˇchto obecnyćh za´veˇru˚ mu˚zˇeme zı´skat jesˇteˇ dalsˇ´ı poznatky. Z H Ampe´rova za´kona v la´tkove´m prostrˇedı´ ( l H · dl = I) plyne: I H · dl = 0 ⇐⇒ rot H = 0 l

Magnetostaticke´ pole je tedy polem konzervativnı´m. Mu˚zˇeme proto zave´st skala´rnı´ magneticky´ potencia´l ψ(r ) H = − grad ψ(r ) Da´le pro magnetostaticke´ pole (jako pro pole magneticke´) musı´ platit I div B = 0 B · dS = 0 S

Na za´kladeˇ teˇchto vztahu˚, ktere´ jsou forma´lneˇ totozˇne´ s rovnicemi elektrostaticke´ho pole, je mozˇno zave´st i fyzika´lnı´ analogii elektrostatiky. V la´tce si zavedeme (forma´lneˇ) va´zane´ magneticke´ na´boje s objemovou hustotou ν. Mezi touto hustotou a vektorem magneticke´ polarizace Pm pak bude platit: ν(r ) = − div Pm (r ) Analogie na´m k sobeˇ prˇirˇazuje dvojice E . . . H , D . . . B . Je to analogie pouze forma´lnı´. Za´kladnı´m vektorem v elektrˇineˇ je intenzita elektricke´ho pole E , zatı´mco fyzika´lnı´ ućˇinky magneticke´ho pole jsou popsańy pomocı´ vektoru magneticke´ indukce B .

4.4 Elektricky´ obvod v kvazistaciona´rnı´m prˇiblı´zˇenı´ Jizˇ drˇ´ıve jsme se zaby´vali obvody staciona´rnı´ho proudu. Pro neˇ jsme si nasˇli za´kladnı´ za´kony: Ohmu˚v za´kon, I. a II. Kirchhoffu˚v za´kon. Ve stejnosmeˇrne´m obvodu se mohou vyskytovat pouze ohmicke´ odpory a zdroje elektromotoricke´ho napeˇtı´. Prˇechod ke kvazistaciona´rnı´m proudu˚m situaci zkomplikuje. Prˇ´ıtomnost cˇasoveˇ promeˇnnyćh proudu˚ vyvola´ jev elektromagneticke´ indukce =⇒ do obvodu je nutno zarˇadit i indukovane´ elektromotoricke´ napeˇtı´. Da´le se v tomto prˇ´ıpadeˇ projevı´ i kapacita mezi jednotlivy´mi vodicˇi, nebot’ prˇi zmeˇnaćh potencia´lu˚ vodicˇu˚ docha´zı´ ke zmeˇneˇ rozlozˇenı´ na´boju˚ (Q = CU ) a tı´m ke vzniku dodatecˇnyćh proudu˚. Vezmeˇme vodicˇ tvorˇ´ıcı´ uzavrˇeny´ obvod – bude-li se v neˇm meˇnit elektricky´ proud, bude se v jeho okolı´ meˇnit i magneticke´ pole. Bude se meˇnit magneticky´ indukcˇnı´ tok Φ procha´zejıćı´ plochou S; tato zmeˇna vyvola´ indukovane´ elektromotoricke´ napeˇtı´ ve vlastnı´m vodicˇi – jev vlastnı´ indukce 130

4.4. Elektricky´ obvod v kvazistaciona´rnı´m prˇiblı´zˇenı´

(samoindukce). Jako prˇ´ıklad si vezmeme va´lcovou krˇivku plochy S o n (? N ?) za´vitech (N1 = vakuu a prote´kanou proudem I. Uvnitrˇ cı´vky vznika´ magneticke´ pole intenzity H = N1 I

(?B = µ0 N1 I

−

N ), l

lezˇ´ıcı´ ve

mohu pak rovnou dosadit?)

Cı´vkou procha´zı´ magneticky´ tok (pro kazˇdy´ za´vit) Φ1 = BS = µ0 HS = µ0 N1 IS

celkem pro N závitů Φ = N Φ1

Mezi magneticky´m indukcˇnı´m tokem Φ a proudem I tedy platı´ u´meˇrnost Φ = LI

L = µ 0 N1 N S = µ 0

N 2S l

W eber kde L = koeficient samoindukce (≡ indukcˇnost). Jednotkou indukcˇnosti je [L] = [Φ] = Amper . [I] Te´to jednotce rˇ´ıka´me Henry (H). Vlastnı´ indukcˇnost smycˇky za´visı´ pouze na tvaru smycˇky poprˇ´ıpadeˇ na permeabiliteˇ prostrˇedı´. Vlastnı´ indukcˇnost vodicˇe vyjadrˇuje jeho schopnost vytva´rˇet magneticke´ pole. Definicˇnı´ vztah (uvedeny´ vy´sˇe) je statickou definicı´. Mimo neˇj je mozˇno pouzˇ´ıt dynamicky´ definicˇnı´ vztah uda´vajıćı´ souvislost mezi indukovany´mi elektromotoricky´mi napeˇtı´mi a zmeˇnami procha´zejıćı´ho proudu: Meˇnı´-li se proud I s cˇasem, meˇnı´ se i indukcˇnı´ tok Φ a na svorkaćh cı´vky vznika´ indukovane´ elektromotoricke´ napeˇtı´

E =−

dΦ dt

=⇒

E = −L

dI dt

Nebo-li: vodicˇ ma´ indukcˇnost 1 H, jestlizˇe se v neˇm zmeˇnou proudu o 1 A za 1 s indukuje elektromotoricke´ napeˇtı´ 1 V . Smeˇr indukovane´ho napeˇtı´ se rˇ´ıdı´ Lencovy´m pravidlem – prˇi zapnutı´ nebo zesı´lenı´ proudu vznika´ (? ve vodicˇi ?) E takove´ho smeˇru, zˇe pu˚vodnı´ proud zeslabuje. Prˇi poklesu proudu (vypnutı´) se naopak indukovane´ napeˇtı´ snazˇ´ı proud udrzˇet. Konkre´tnı´ vy´pocˇet L pro solenoid – de´lka l, N za´vitu˚ plochy S: Magneticky´ indukcˇnı´ tok jednı´m za´vitem je Φ = LI, pro N za´vitu˚ platı´ N Φ = LI 2 Ve vakuu je Φ = µ0 Nl IS =⇒ L = µ0 N l S 2 V izotropnı´m prostrˇedı´ (ja´dro) o relativnı´ permeabiliteˇ µr indukcˇnost vzroste na L = µ0 µr N l S Nasˇ´ı u´vahu mu˚zˇeme rozsˇ´ırˇit na soustavu vıće vodicˇu˚: – p¯ rote´ka´-li vodicˇem (1) proud I1 , vznika´ v jeho okolı´ tok Φ, z neˇho cˇa´st Φ2 procha´zı´ obvodem (2). Analogicky: Φ2 = M12 I1 131

KAPITOLA 4. MAGNETICKE´ POLE V KVAZISTACIONA´RNI´M PRˇIBLI´ZˇENI´ kde M 12 = koeficient vza´jemne´ indukcˇnosti (vza´jemna´ indukcˇnost). Mu˚zˇeme zave´st i dynamickou definici: Meˇnı´-li se proud I1 v (1) s cˇasem, bude se v obvodu (2) indukovat elektromotoricke´ napeˇtı´ E2 = −

dΦ2 dI1 = −M12 dt dt

Naopak potecˇe-li proud I2 obvodem (2), bude obvodem (1) procha´zet indukcˇnı´ tok Φ1 = M 21I2 . Prˇi zmeˇneˇ proudu I2 se bude v (1) indukovat napeˇtı´ E1 = −M21

dI2 dt

Vy´znam vza´jemne´ indukcˇnosti: je to indukcˇnı´ tok vysı´lany´ jednotkovy´m proudem druhe´ho obvodu. Nemeˇnı´-li se geometrie, platı´ M 12 = M 21 = M

(Věta o vzájemnosti)

Jednotkou vza´jemne´ indukcˇnosti je opeˇt henry. Dva obvody majı´ vza´jemnou indukcˇnost 1 H, jestlizˇe prˇi pru˚chodu proudu 1 A bude jeden obvod v druhe´m vyvola´vat magneticky´ indukcˇnı´ tok 1 W b (nebo – 1 A.s−1 −→ 1 V ). Nasˇ´ı u´vahu bychom mohli jesˇteˇ da´le rozsˇ´ırˇit na soustavu n smycˇek. Zavedeme vza´jemne´ indukcˇnosti M ik a mohli bychom rˇesˇit soustavu rovnic podobneˇ jako pro kapacitnı´ a influencˇnı´ koeficienty. Vlastnı´ indukcˇnost vodicˇe je vzˇdy kladna´ velicˇina, vza´jemna´ indukcˇnost mu˚zˇe by´t jak kladna´ tak i za´porna´ – podle polohy smycˇek. Veˇta o vza´jemnosti na´m pak rˇ´ıka´: ”Jestlizˇe proud I v k-te´m obvodu prˇispı´va´ k celkove´mu magneticke´mu toku i-te´ho obvodu hodnotou Φik , pak stejny´ proud v i-te´m obvodu prˇispı´va´ stejnou hodnotou k magneticke´mu toku k-te´ho obvodu.” Mik = Mki ¥ Prˇ´ıklad 4.1 Jako prˇ´ıklad vezmeme dva solenoidy – vneˇjsˇ´ı N1 , l, S a vnitrˇnı´ N2 , l, S Osy obou solenoidu˚ vezmeme shodne´. Procha´zı´-li (1) proud I1 , v sobeˇ (a tı´m i v (2)) budı´ magneticke´ pole intenzity H1 = N1 Il1 . V prˇ´ıpadeˇ vakua bude indukcˇnı´ tok Φ2 : Φ2 = B1 S = µ0 H1 S = µ0

N1 I1 S l

Jednı´m za´vitem prote´ka´ tok Φ2 = M 0 I1 . Pro N2 za´vitu˚ bude proto platit N2 Φ 2 = M I 1

=⇒ 132

M = µ0

N1 N2 S l

4.4. Elektricky´ obvod v kvazistaciona´rnı´m prˇiblı´zˇenı´ Vyplnı´me-li prostor uvnitrˇ magnetikem o relativnı´ permeabiliteˇ µr , bude M = µ0 µr

N1 N2 S l

Kdybychom byli prˇesnı´, zavedli bychom do obecne´ soustavy vzˇdy soucˇasneˇ samoindukcˇnost i vza´jemnou indukcˇnost Φ1 = M I2 + LI1

E1 = −M

dI2 dt

1 − L dI dt

Φ2 = M I1 + LI2

E2 = −M

dI1 dt

2 − L dI dt

Prˇechodove´ jevy prˇi zapnutı´ a prˇerusˇenı´ proudu (stejnosmeˇrny´ zdroj) V prˇ´ıpadeˇ, zˇe v obvodeˇ na obra´zku nebude cı´vka L, zˇa´rovka se rozsvı´tı´ okamzˇiteˇ po zapnutı´ klıćˇe K. Zarˇazenı´ velke´ indukcˇnosti zpu˚sobı´, zˇe se zˇa´rovka rozsvı´tı´ azˇ po urcˇite´ chvı´li. Nynı´ vysˇetrˇ´ıme situaci v obvodu (bez zˇa´rovky).

Zapnutı´ proudu V prˇ´ıpadeˇ L = 0 by obvodem tekl jen stejnosmeˇrny´ proud velikosti I0 = ER0 . Pro L 6= 0 po zapnutı´ klıćˇe bude proud vzru˚stat – bude se indukovat elektromotoricke´ napeˇtı´ Ei . Bude platit: dI RI = E0 + Ei = E0 − L dt dI R E0 + I= dt L L Jedna´ se o linea´rnı´ diferencia´lnı´ rovnici pro I(t). Rˇesˇenı´ se skla´da´ z jednoho rˇesˇenı´ s pravou stranou a z obecne´ho rˇesˇenı´ homogennı´ rovnice (= rovnice bez prave´ strany: dI = −R dt). Ma´ I L tvar R E0 I(t) = + Ce− L t R Pocˇa´tecˇnı´ podmıńky: pro t = 0 je I = 0 =⇒ 0 = ER0 + C =⇒ C = − ER0 = −I0 . Pro proud I(t) pak dostaneme ´ ³ R I(t) = I0 1 − e− L t Pomeˇr

L R

se nazy´va´ cˇasova´ konstanta τ (uda´va´ rychlost naru˚stańı´ proudu) =⇒ ³ ´ − τt I(t) = I0 1 − e

V prˇ´ıpadeˇ pouze ohmicke´ho odporu (L = 0, =⇒ τ = 0) proud naroste okamzˇiteˇ na I0 ; pro L À 0 je vzru˚st pomaly´.

133


Vypnutı´ proudu Prˇi vypnutı´ klıćˇe klesne proud =⇒ vznikne indukovane´ napeˇtı´, ktere´ se bude snazˇit proud udrzˇet. Bude pu˚sobit ve smeˇru pu˚vodnı´ho zdroje napeˇtı´. Vlivem tohoto napeˇtı´ se mezi kontakty klıćˇe K vytvorˇ´ı obloukovy´ vy´boj, ktery´ umozˇnı´ dalsˇ´ı pru˚chod proudu. V tomto prˇ´ıpadeˇ je odpor v obvodeˇ: R + odpor elektricke´ho oblouku mezi kontakty klıćˇe K. Tento druhy´ odpor se zmensˇovańı´m proudu roste. Mu˚zˇeme opeˇt sestavit rovnici (Ohmu˚v za´kon) I(t) =

L dI Ei =− 0 0 R R dt

kde R0 je celkovy´ odpor obvodu (R0 À R). Pro prˇiblizˇny´ vy´pocˇet je mozˇno prˇedpokla´dat, zˇe se R0 s cˇasem nemeˇnı´. Potom dI R0 = − dt I L

=⇒

ln I = −

R0 t + ln C 0 L

Pocˇa´tecˇnı´ podmıńky: prˇerusˇ´ıme-li obvod v cˇase t = 0, Platı´ I(0) = I0 a tedy ln C 0 = ln I0 R0

I(t) = I0 e− L t Vidı´me, zˇe po prˇerusˇenı´ obvodu klesa´ proud exponencia´lneˇ s cˇasem. Jelikozˇ R0 À R je L τ 0 = RL0 ¿ τ = R a pokles proudu prˇi vypnutı´ je mnohem prudsˇ´ı, nezˇ vzru˚st prˇi zapnutı´. Za´kony kvazistaciona´rnı´ho obvodu Na konkre´tnı´m prˇ´ıpadeˇ jednoduche´ho RL obvodu jsme si uka´zali chovańı´ proudu, ktery´ nemu˚zˇeme povazˇovat za staciona´rnı´. I tehdy mu˚zˇeme pouzˇ´ıt Ohmu˚v a Kirchhoffovy za´kony, musı´me je ale vhodneˇ zobecnit. Jako elektromotoricke´ napeˇtı´ v obvodeˇ zapojene´ do musı´me mimo zdroju˚ elektromotoricke´ho napeˇtı´ uvazˇovat i indukovane´ elektromotoricke´ napeˇtı´ velikosti −L dI ,ak dt ohmicky´m spa´du˚m potencia´lu na odporech Ui = Ri I musı´me prˇidat i spa´d napeˇtı´ na kondenza´torech UC (t) = Q(t) . Obecneˇ C dI(t) dt dI(t) Q(t) = E(t) − L RI(t) + C dt

Rcelk I(t) + UC (t) = Ecelk (t) − L

Vı´me, zˇe platı´ I(t) = rovnici 2. rˇa´du

dQ(t) , dt

proto je mozˇno derivacı´ rovnici prˇeve´st na linea´rnı´ diferencia´lnı´

d2I dI 1 dE +R + I= 2 dt dt C dt Musı´me zobecnit i pojem obvod (v pu˚vodnı´ definici pro kondenza´tor nenı´ mı´sto) – jako elektricky´ obvod budeme cha´pat libovolne´ spojenı´ vodicˇu˚ – homogennıćh i nehomogennıćh, L

134

4.4. Elektricky´ obvod v kvazistaciona´rnı´m prˇiblı´zˇenı´ ktere´ je charakterizovańo parametry R, E, L, M, C. Obecneˇ bychom meˇli prˇedpokla´dat, zˇe kazˇdy´ vodicˇ je charakterizovań svou hodnotou indukcˇnosti a kapacity (tzv. rozprostrˇene´ parametry), ke zjednodusˇenı´ se vsˇak zava´deˇjı´ soustrˇedeˇne´ parametry – do obvodu zarˇadı´me (? mysˇlenkoveˇ – jedna´ se o idealizaci ?) cı´vky a kondenza´tory nahrazujıćı´ tyto parametry vodicˇu˚. Pro kvazistaciona´rnı´ obvod lze analogicky staciona´rnı´mu obvodu zave´st I. Kirchhoffu˚v za´kon pro libovolny´ uzel (rovnice kontinuity zu˚sta´va´ v platnosti) a II. Kirchhoffu˚v za´kon. Pro neˇj bychom pouzˇili postup odvozeny´ pro nerozveˇtveny´ obvod – nynı´ na jednu smycˇku veˇtsˇ´ıho obvodu. Dostali bychom: soucˇet napeˇtı´ na vsˇech odporech a kondenza´torech musı´ by´t v kazˇde´m cˇase t roven soucˇtu elektromotorickyćh napeˇtı´ zdroju˚ a indukovane´ho ve vsˇech cı´vkaćh. Obvod RC Jako prˇ´ıklad vyrˇesˇ´ıme dalsˇ´ı jednoduchy´ obvod. Rovnice pro proud zjednodusˇenı´m obecne´ho vztahu pro L = 0 dI(t) 1 R + I(t) = 0 dt C Integracı´ dostaneme t I(t) = Ke− RC Pocˇa´tecˇnı´ podmıńky: pro t = 0 ma´ kondenza´tor nulovy´ na´boj: dI RI + UC = E − L |{z} dt |{z} =0 =0

RI(0) = E E − t I(t) = e RC R Tento proud tekoucı´ obvodem nabı´jı´ kondenza´tor C. Pro okamzˇitou hodnotu napeˇtı´ na kondenza´toru dostaneme UC = E − RI ´ ³ t UC (t) = E 1 − e− RC Vy´sledna´ hodnota napeˇtı´ na kondenza´toru (kterou dosa´hneme obecneˇ po ∞ dobeˇ) bude E. Vypnutı´ klıćˇe K jizˇ zˇa´dnou zmeˇnu nezpu˚sobı´ – proud nepotecˇe a kondenza´tor zu˚stane trvale nabit.

Strˇ´ıdavy´ proud Prozatı´m jsme se zaby´vali proudy staciona´rnı´mi = stejnosmeˇrny´mi. Je-li v obvodu zarˇazen kondenza´tor nebo cı´vka, je proces zapnutı´ a vypnutı´ obvodu nestaciona´rnı´ – docha´zı´ ke zmeˇneˇ proudu v obvodu. Tento proud se ale limitneˇ blı´zˇ´ı usta´lene´ hodnoteˇ. 135


Neˇktere´ proudy jsou ale s cˇasem promeˇnne´ periodicky – teˇm rˇ´ıka´me proudy strˇ´ıdave´. V technice majı´ du˚lezˇite´ mı´sto. Obvod RLC Nejprve budeme pokracˇovat ve vysˇetrˇovańı´ jednoduchyćh obvodu˚. Vezmem se´riove´ zapojenı´ R, L, C. Prˇedpokla´dejme, zˇe v cˇase t = 0 je kondenza´tor nabit na napeˇtı´ UC,0 . Tento kondenza´tor se po zapnutı´ klıćˇe zacˇne vybı´jet prˇes odpor R a indukcˇnost L. Rovnice popisujıćı´ tento obvod (kde se nevyskytuje elektromotoricke´ napeˇtı´ E) bude L

dI d2I 1 +R + I=0 2 dt dt C

Obecne´ rˇesˇenı´ te´to rovnice bude I(t) = K1 eα1 t + K2 eα2 t kde K1 a K2 jsou integracˇnı´ konstanty a α1,2 jsou korˇeny charakteristicke´ rovnice q −R ± R2 − 4 CL 1 2 Lα + Rα + = 0 α1,2 = C 2L Podle hodnoty diskriminantu zı´ska´me ru˚zna´ rˇesˇenı´: a) D ≥ 0 – v tomto prˇ´ıpadeˇ jsou α1 a α2 rea´lna´. Proud ma´ pru˚beˇh podle obra´zku. Jedna´ se o tzv. aperiodicky´ stav. b) D < 0 – v tomto prˇ´ıpadeˇ je rˇesˇenı´ imagina´rnı´. Oznacˇ´ıme p a ω02 + δ 2 = ω, potom α1,2 = −δ ± iω.

R 2L

= δ,

1 LC

= ω02

Toto znacˇenı´ dosadı´me do nasˇeho rˇesˇenı´ diferencia´lnı´ rovnice. Zavedeme nove´ integracˇnı´ konstanty K a ϕ. Pak I(t) = Ke−δt cos(ωt + ϕ) Rˇesˇenı´ ukazuje, zˇe proud v obvodu mu˚zˇe mı´t charakter tlumenyćh harmonickyćh kmitu˚ = vlastnı´ kmity obvodu. Velicˇina δ se nazy´va´ konstantou u´tlumu, ω je kruhova´ frekvence kmitu˚. ¡ ¢ Pocˇa´tecˇnı´ podmıńky: I(0) = 0 =⇒ UC,0 + L dI = 0. Tomu vyhovuje naprˇ´ıklad fa´zova´ dt t=0 UC,0 π konstanta ϕ = − 2 a K = ωL I(t) =

UC,0 −δt e sin ωt ωL

V obvodu docha´zı´ k te´to situaci: na pocˇa´tku je kondenza´tor nabit na napeˇtı´ UC,0 . Po zapnutı´ klıćˇe se kondenza´tor zacˇne vybı´jet, proud rychle roste. Energie elektrostaticke´ho pole kondenza´toru 136

4.4. Elektricky´ obvod v kvazistaciona´rnı´m prˇiblı´zˇenı´ klesa´, ale soucˇasneˇ roste hodnota magneticke´ho pole cı´vky. Po cˇase t = T4 je kondenza´tor prakticky vybity´, nema´ zˇa´dnou energii – ta je soustrˇedeˇna v poli cı´vky (prˇitom je dI = 0 – napeˇtı´ dt na cı´vce je nulove´). Proud zacˇne klesat, v cı´vce se indukuje elektromotoricke´ napeˇtı´, ktere´ nabı´jı´ kondenza´tor na opacˇnou polaritu. V cˇase t = T2 je opeˇt kondenza´tor nabit, vsˇechna energie je soustrˇedeˇna opeˇt v neˇm a deˇj se bude opakovat. Prˇi vlastnıćh kmitech obvodu docha´zı´ k periodicke´ prˇemeˇneˇ elektricke´ho pole na magneticke´ a naopak. Cˇa´st energie se ztraćı´ v du˚sledku Jouleova tepla. Rychlost ztra´ty energie je popsańa R . Bude-li tlumenı´ dostatecˇneˇ male´ (R ¿ L), bude kruhova´ frekvence konstantou u´tlumu δ = 2L kmitu˚. 1 . ω = ω0 = √ Thomsonův vzorec LC Obvod RLC s maly´m tlumenı´m, v ktere´m mohou vznikat vlastnı´ tlumene´ kmity nazveme oscilacˇnı´ obvod. Takovy´ obvod je mozˇno doplnit zarˇ´ızenı´m kompenzujıćı´m ztra´ty energie (tranzistor, elektronka), pak vznikne netlumeny´ oscilacˇnı´ obvod. Prostrˇednictvı´m vza´jemne´ indukce je mozˇno tento obvod va´zat s jiny´mi obvody – tak mu˚zˇeme zı´skat zdroj promeˇnne´ho elektromotoricke´ho napeˇtı´ E(t) = E0 cos(ωt + ϕ) Obecneˇ jsme si zavedli strˇ´ıdavy´ proud jako libovolny´ proud s cˇasem periodicky promeˇnny´, ale tento termıń se v uzˇsˇ´ım smyslu cˇasto (nespra´vneˇ) da´va´ strˇ´ıdave´mu proudu harmonicke´ho (sinusove´ho) pru˚beˇhu. Ten je vyvolań zdrojem elektromotoricke´ho napeˇtı´ E(t) = E0 sin ωt Jednu mozˇnost realizace zdroje harmonicke´ho strˇ´ıdave´ho elektromotoricke´ho napeˇtı´ jsme jizˇ uvedli (RLC obvod s prˇ´ıvodem energie). Dalsˇ´ı mozˇnost, ktera´ se skutecˇneˇ technicky realizovala, je zalozˇena na elektromagneticke´ indukci: Vezmeme cı´vku otaćˇivou kolem osy rovnobeˇzˇne´ s rovinami za´vitu˚, jejı´ konce jsou pomocı´ krouzˇku˚ a kartaćˇku˚ spojeny s vy´stupnı´mi svorkami. Cı´vka se bude otaćˇet v homogennı´m magneticke´m poli B u´hlovou rychlostı´ ω. Je-li plocha jednoho za´vitu S, pocˇet za´vitu˚ Z a okamzˇity´ u´hel cı´vky k poli α, je indukcˇnı´ tok cı´vkou Φ = ZSB cos α Zavedeme pocˇa´tecˇnı´ podmıńky: pro t = 0 je α = 0 Faradayova za´kona se indukuje v cı´vce napeˇtı´ E(t) = −

=⇒

Φ(t) = ZSB cos ωt. Podle

dΦ = ZSBω sin ωt = E0 sin ωt dt 137

KAPITOLA 4. MAGNETICKE´ POLE V KVAZISTACIONA´RNI´M PRˇIBLI´ZˇENI´ kde E0 = ZSBω je maxima´lnı´ hodnota napeˇtı´ (amplituda). K popisu mu˚zˇeme ovsˇem pouzˇ´ıt i funkci cos, k tomu stacˇ´ı zvolit vhodneˇ pocˇa´tecˇnı´ polohu cı´vky v cˇase t = 0: α0 = π2 E(t) = E0 cos ωt V rozvodne´ sı´ti v Evropeˇ se pouzˇ´ıva´ kmitocˇet f = 50 Hz = 50 kmitů za s: ω = 2πf =

2π = 100 π s−1 T

V USA se pouzˇ´ıva´ 60 Hz – potı´zˇe s ”elektricky´mi hodinami” a neˇktery´mi prˇ´ıstroji.

Strˇ´ıdavy´ obvod Je mozˇne´ zapojit ru˚zne´ obvody ze zna´myćh prvku˚ (R, L, C) a zdroje strˇ´ıdave´ho elektromotoricke´ho napeˇtı´:

***** obra´zky ***** Du˚lezˇite´ jsou zejmeńa poslednı´ dva – se´riovy´ a paralelnı´ RLC obvod. Konkre´tnı´ rˇesˇenı´ teˇchto obvodu˚ necha´me azˇ do kapitoly ”Za´klady teorie sı´tı´ (? krˇ´ızˇovy´ odkaz ?)”. Prozatı´m jen za´kladnı´ poznatek: dosti dlouho po zapnutı´ obvodu (proces usta´lenı´) potecˇe v sı´ti proud sinusove´ho pru˚beˇhu I(t) = I0 cos(ωt + ϕ1 ) Amplituda proudu I0 bude za´visla´ jak na amplitudeˇ napeˇtı´ E, tak na ω, R, L, C, . . . Obecneˇ vzˇdy platı´: E I0 (ω) = Z(ω) tedy obecna´ forma Ohmova za´kona, kde Z je impedance – zobecneˇna´ analogie ohmicke´ho odporu stejnosmeˇrnyćh obvodu˚. Obecneˇ nemusı´ platit, zˇe fa´ze proudu ϕ1 je stejna´ jako fa´ze napeˇtı´ ϕ. Z tohoto du˚vodu se te´zˇ vy´kon bude lisˇit od obvykle´ stejnosmeˇrne´ definice. Sa´m vy´kon bude cˇasoveˇ za´visly´ – jeho okamzˇita´ hodnota bude N (t) = E(t)I(t) Pro prakticke´ uzˇ´ıvańı´ vezmeme strˇednı´ hodnotu (stacˇ´ı strˇedovat prˇes jednu periodu) 1 N≈ = T

ZT 0

E0 I0 E(t)I(t) dt = T

ZT cos(ωt + ϕ) cos(ωt + ϕ1 ) dt = 0

138

4.4. Elektricky´ obvod v kvazistaciona´rnı´m prˇiblı´zˇenı´

E0 I0 1 = T 2

ZT {cos(2ωt + ϕ + ϕ1 ) + cos(ϕ − ϕ1 )} dt =

E0 I0 cos |ϕ − ϕ1 | 2

0

Vy´kon doda´vany´ strˇ´ıdavy´m zdrojem za´visı´ mimo amplitud i na fa´zove´m posuvu proudu a napeˇtı´. ) Eef = √E20 = efektivní hodnoty N ≈ = Eef Ief cos |ϕ − ϕ1 | kde Ief = √I02 N = = EI

−→

z toho jsou efektivní hodnoty zavedeny

Transformace napeˇtı´ V elektronice je du˚lezˇity´ proble´m prˇemeˇny dane´ho napeˇtı´ na vysˇsˇ´ı cˇi nizˇsˇ´ı. U zcela stejnosmeˇrnyćh obvodu˚ je tato u´loha jen obtı´zˇneˇ rˇesˇitelna´ (smeˇrem dolu˚ deˇlicˇem napeˇtı´, cˇa´st vy´konu zdroje se ale ztratı´ Jouleovy´m teplem, smeˇrem nahoru nelze – jen prˇes meˇnicˇe, ktere´ nepouzˇ´ıvajı´ stejnosmeˇrne´ napeˇtı´), u strˇ´ıdavyćh obvodu˚ pomocı´ transforma´toru. Nejprve si povsˇimneme za´kladnı´ho mechanismu: Vezmeme dvojici uzavrˇenyćh smycˇek – L1 , L2 , M . Do prvnı´ smycˇky zarˇadı´me zdroj elektromotoricke´ho napeˇtı´ E1 . Zanedba´me odpor smycˇek. Pak podle II. Kirchhoffova za´kona dI1 dI2 −M = 0 dt dt dI1 dI2 −M − L2 = 0 dt dt

E1 − L1

Tuto soustavu vysˇetrˇ´ıme pro proud I1 : µ ¶ M2 dI1 E1 − L1 1 − =0 L1 L2 dt Vezmeme-li dynamicky´ definicˇnı´ vztah vlastnı´ indukcˇnosti smycˇky smycˇky 1 (bez uvazˇovańı´ smycˇky 2), zjistı´me, zˇe se 1. smycˇka chova´ tak, jako kdyby meˇla efektivnı´ indukcˇnost µ ¶ M2 L1ef = L1 1 − ≥0 L1 L2 Prˇ´ıtomnost druhe´ smycˇky zmensˇuje vlastnı´ indukcˇnı´ prima´rnı´. Zava´dı´ se cˇinitel vazby k = √LM1 L2 ≤ 1 ¢ ¡ L1ef = L1 1 − k 2 Bude-li k blı´zke´ 1, budeme mluvit o teˇsne´ vazbeˇ. Pro k = 1 je efektivnı´ indukcˇnost prima´rnı´ smycˇky nulova´ – tento stav je ale technicky nerealizovatelny´ (obeˇma smycˇkami by musel procha´zet zcela stejny´ tok).

139


Transforma´tor: dvojice cı´vek, jejichzˇ cˇinitel vazby se blı´zˇ´ı jedne´. Realizuje se tak, zˇe se obeˇ cı´vky navinou na jedno ferromagneticke´ ja´dro (magneticky meˇkky´ materia´l s vysokou permeabilitou) tvaru uzavrˇene´ho prstence . . . , takzˇe majı´ skoro stejny´ magneticky´ tok.

Princip cˇinnosti: Vezmeme magneticky meˇkke´ ja´dro pru˚rˇezu S a de´lky l. Z Hopkinsnovy rovnice pro 1. cı´vku platı´ Z1 I 1 =

l Φ µS

Φ=

E R

Da´le pro jeden za´vit cı´vky 1 se staticke´ho definicˇnı´ho vztahu samoindukcˇnosti Φ = L11 I1 Neboli L11 =

Φ Z1 I1 µS 1 µS = = Z1 I1 l I1 l |{z} 1 Rm

Cı´vka se skla´da´ z Z1 za´vitu˚, jejich samoindukce bude L1 = Z1 L11 =

Z12 µS l

Analogicky pro vlastnı´ indukcˇnost druhe´ (sekunda´rnı´ cı´vky) bude L2 = Z22

µS l

Pro vza´jemnou indukcˇnost M by se odvodilo (jedna´ se o teˇsnou vazbu) M ' M=

√

L1 L2

Z1 Z2 p = L1 L2 Rm

Pro idea´lnı´ trafo (k = 1) platı´ mezi L a Z jednoduche´ vztahy: µ ¶2 M Z1 L1 Z1 L1 = = = M L2 Z2 L2 Z2 Idea´lnı´ transforma´tor mu˚zˇeme zna´zornit sche´matem. Pomocı´ II. Kirchhoffova za´kona jej popı´sˇeme rovnicemi: dI2 dI1 −M = R1 I1 dt dt dI2 dI1 −L2 −M = R2 I2 dt dt

E1 − L1

140

4.4. Elektricky´ obvod v kvazistaciona´rnı´m prˇiblı´zˇenı´ Odsud pak mu˚zˇeme vypocˇ´ıtat I1 a I2 . Specia´lnı´ prˇ´ıpady: beˇh napra´zdno – sekunda´r je rozpojen (I2 = 0). V tomto prˇ´ıpadeˇ se na svorkaćh sekunda´rnı´ cı´vky indukuje elektromotoricke´ napeˇtı´ E20 = M Pro jeho velikost platı´: E1 − L1

³ 0´ E2 M

dI1 dt

dI2 = R1 I1 −M | {zdt} =0

Bude-li odpor R1 zanedbatelneˇ maly´, dostaneme E1 L1 Z1 = = 0 E2 M Z2 Zavedeme-li jesˇteˇ transformacˇnı´ pomeˇr Z =

Z1 , Z2

pak

E1 E20

=Z

Opacˇny´ meznı´ prˇ´ıpad – beˇh nakra´tko, tj. odpor sekunda´ru je zanedbatelneˇ maly´ (sekunda´r je zkratovań). V tomto prˇ´ıpadeˇ z druhe´ rovnice (? krˇ´ızˇovy´ odkaz ?) plyne: dI2 dI1 = −M dt dt Vztah mezi prima´rnı´m a sekunda´rnı´m proudem bude L2

I1 L2 Z2 1 =− =− =− I2 M Z1 Z

(???Transformace výkonů E1 I1 = E2 I2 ???)

Znameńko mıńus znamena´, zˇe proudy tecˇou proti sobeˇ. Pro sinusove´ pru˚beˇhy se fa´ze lisˇ´ı o π. Obecneˇjsˇ´ı prˇ´ıpad: odpor R2 6= 0, ale dostatecˇneˇ maly´, takzˇe pro proudy prˇiblizˇneˇ platı´ . 2 1 2 1 Potom z 2. rovnice (? # odkaz ?): − dI = LM2 dI +R I = LM2 dI − LM2 R2 I1 dt dt L2 2 dt 2 Dosadı´me do 1. rovnice (? # odkaz ?): µ E1 (t) − L1 |

M2 1− LL {z 1 2}

¶

dI1 = dt

µ

I1 I2

. = − Z1 .

¶ Z12 R1 + 2 R2 I1 Z | {z 2 } R1ef

L1ef

Vidı´me, zˇe z hlediska prima´rnı´ho obvodu se vliv sekunda´rnı´ho obvodu projevı´ zmensˇenı´m samoindukcˇnosti prima´ru a zveˇtsˇenı´m jeho odporu v pomeˇru µ ¶2 Z1 R2 R1ef = R1 + Z2 141

KAPITOLA 4. MAGNETICKE´ POLE V KVAZISTACIONA´RNI´M PRˇIBLI´ZˇENI´ neboli odpor R2 se prˇena´sˇ´ı do prima´ru s va´hovy´m faktorem Z 2 . Proto se prˇi beˇhu na kra´tko odpor prima´ru rovna´ R1 = R1ef , nebot’R2 = 0. Rea´lny´ transforma´tor ma´ ztra´ty vy´konu jednak Jouleovy´m teplem, da´le Foucaultovy´mi proudy a hysterezı´. Oboje (? vsˇe ?) se projevuje zdańlivy´mi dodatecˇny´mi se´riovy´mi odpory. Snı´zˇenı´ Jouleova tepla – vhodny´m dimenzovańı´m pru˚meˇru vodicˇu˚, snı´zˇenı´ vlivu vı´rˇivyćh proudu˚ – slozˇenı´m ja´dra z plechu˚ nebo feritovy´m ja´drem, snı´zˇenı´ hystereznıćh ztra´t – volbou materia´lu s co nejuzˇsˇ´ı hystereznı´ smycˇkou (ztra´ty jsou u´meˇrne´ jejı´ plosˇe).

Autotransforma´tor *** obra´zek *** mu˚zˇe i do vysˇsˇ´ıho napeˇtı´ (deˇlicˇ ne).

4.5 Energie a silove´ ućˇinky pole V elektrostaticke´m poli jsme odvodili pro energii soustavy vodicˇu˚ s na´boji Qi a potencia´ly Ui vztah N 1X Qi Ui Welst = 2 i=1 Specia´lneˇ pro energii kondenza´toru kapacity C jsme meˇli 1 W = CU 2 2 R a pro hustotu energie w = 12 E · D =⇒ W = w dV V

Nynı´ si vezmeme obvod s odporem R a dlouhy´m solenoidem o indukcˇnosti L (R mu˚zˇe by´t odpor solenoidu). Budeme chtı´t urcˇit energii magneticke´ho pole v solenoidu (jizˇ jsme o nı´ mluvili u oscilacˇnı´ho obvodu *** odkaz na kapitolu ***). Kdybychom meˇli jen E0 s ohmicky´m odporem R, tekl by obvodem usta´leny´ proud I0 . V okolı´ vodicˇu˚ by sice existovalo magneticke´ pole, ale to by se s cˇasem nemeˇnilo. Proto by se vesˇkera´ energie vydana´ zdrojem za cˇas dt spotrˇebovala na ohrˇev vodicˇe: E0 I0 dt = RI02 dt Jestlizˇe nynı´ do obvodu zarˇadı´me indukcˇnost L, zacˇne po zapnutı´ klıćˇe proud I(t) ru˚st z 0 do I0 . , takzˇe podle II. Kirchhoffova za´kona Vlivem toho se v solenoidu indukuje napeˇtı´ Ei = −L dI dt bude dI RI = E0 − L dt 142

4.5. Energie a silove´ ućˇinky pole Za cˇas dt protecˇe solenoidem na´boj dQ = I dt a praće zdroje proto bude µ ¶ dI 2 E0 I dt = RI dt + L (I dt) = RI 2 dt + LI dI dt Porovnańı´m se vztahem (*** odkaz ***) pro cˇisteˇ ohmicky´ obvod vidı´me, zˇe cˇlen LI dI popisuje energii, kterou vyda´ zdroj E0 za cˇas dt na vytvorˇenı´ magneticke´ho pole. Celkova´ energie nutna´ k vytvorˇenı´ jizˇ usta´lene´ho magneticke´ho pole bude Z∞

ZI0 dW =

Wm = t=0

1 LI dI = LI02 2

I=0

Tento vy´raz vyjadrˇuje energii magneticke´ho pole. Vidı´me, zˇe je (forma´lneˇ) analogicky´ vztahu pro Welst = 12 CU 2 . Prˇedstavuje praći, kterou je nutno vynalozˇit k prˇekonańı´ elektromotoricke´ho napeˇtı´ indukovane´ho v indukcˇnosti L prˇi zmeˇnaćh proudu I (od 0 do I0 ). Obecneˇ mu˚zˇeme psa´t – prˇi zmeˇneˇ proudu (v jedne´ smycˇce) z 0 do I(t) 1 1 Wm = LI(t)2 = ΦI(t) 2 2 kde Φ je celkovy´ indukcˇnı´ tok tekoucı´ smycˇkou (solenoidem s N za´vity N ×). Tento vztah lze zobecnit na prˇ´ıpad N smycˇek prote´kanyćh proudy I1 , . . . , IN . Smycˇky majı´ vlastnı´ indukcˇnosti L1 , . . . , LN a dvojice smycˇek i, k ma´ vza´jemnou indukcˇnost Mik . Potom energie magneticke´ho pole te´to soustavy N

Wm

N

1 XX = Mik Ii Ik 2 i=1 k=1

Mii = Li

N

Wm =

1X Φi Ii 2 i=1

kde Φi jsou celkove´ indukcˇnı´ toky prote´kajıćı´ jednotlivy´mi smycˇkami. Zde odvozene´ vztahy prˇedstavujı´ energii magneticke´ho pole pomocı´ prostorove´ho rozlozˇenı´ proudu˚. Zdroj prˇipojeny´ k indukcˇnosti kona´ praći tehdy, roste-li proud ve vodicˇi (a tı´m i magneticke´ pole). V usta´lene´m stavu se zˇa´dna´ dalsˇ´ı energie poli nedoda´va´. Klesa´-li proud, zmensˇuje se magneticke´ pole a jeho energie se uvolnˇuje (prˇi vypnutı´ proudu se spotrˇebuje naprˇ´ıklad na vytvorˇenı´ oblouku mezi kontakty vypıńacˇe).

Energii magneticke´ho pole vodicˇu˚ mu˚zˇeme te´zˇ vyja´drˇit pomocı´ parametru˚ tohoto pole. Naprˇ´ıklad pro toroid s meˇkky´m ferromagneticky´m ja´drem permeability µ platı´: B = µH

H= 143

IN 2πR


kde bereme magneticke´ pole konstantnı´ v cele´m vnitrˇnı´m objemu cı´vky. Magneticky´ tok tekoucı´ ja´drem bude Φ = BS. Tento tok tecˇe kazˇdy´m za´vitem cı´vky, proto µ ¶ 1 1 1 1 H2πR = (BH)(2πRS) = (BH)V Wm = (N Φ)I = (N BS) 2 2 N 2 2 Proto pro objemovou hustotu energie wm mu˚zˇeme psa´t Z

1 wm = (BH) 2

Wm =

wm dV V

Prˇi zobecneˇnı´ postupu pro libovolnou soustavu vodicˇu˚ je objemova´ hustota energie v libovolne´m magneticky meˇkke´m prostrˇedı´ 1 wm = (H · B ) 2 Zpeˇtneˇ lze tohoto vztahu pouzˇ´ıt k jine´mu zavedenı´ vlastnı´ indukcˇnosti 1 LI(t)2 2 Z 1 = (H · B ) dV 2

Wm = Wm

V

odtud pak

1 L= 2 I

Z (H · B ) dV V

Pozna´mka: Elektrostaticke´ pole je polem konzervativnı´m, proto je mozˇno jeho silove´ pu˚sobenı´ jednoznacˇneˇ popsat prˇes energii. U magneticke´ho pole tomu tak obecneˇ nenı´, prˇesto vsˇak je pojem energie i zde uzˇitecˇny´.

Sı´ly v magneticke´m poli Silove´ pu˚sobenı´ magneticke´ho pole na na´boj velikosti Q je dańo Lorentzovy´m vztahem

F = Q{E + v × B } kde v je rychlost tohoto na´boje a B je vektor magneticke´ indukce popisujıćı´ magneticke´ pole. Je mozˇno rˇesˇit u´lohu silove´ho pu˚sobenı´ v magneticke´m poli pro soustavu N tuhyćh smycˇek prote´kanyćh proudy I1 azˇ IN obecneˇ. V tomto prˇ´ıpadeˇ se zavedou zobecneˇne´ sourˇadnice (??? neˇkterˇ´ı studenti tento pojem jesˇteˇ nemusı´ zna´t ???) ξi . S jejich pomocı´ dostaneme pro zobecneˇne´ sı´ly vztahy ¶ µ ∂Wm Gξi = − ∂ξi Φk =konst 144

4.5. Energie a silove´ ućˇinky pole

pokud prˇi posunu smycˇek zu˚stanou zachovańy magneticke´ toky µ ¶ ∂Wm Gξi = − ∂ξi Ik =konst pokud prˇi posunu smycˇek zu˚stanou zachovańy proudy Zde Wm je celkova´ energie magneticke´ho pole soustavy smycˇek. Za´jemci si odvozenı´ najdou ve skriptu Sedla´ka (??? uve´st korektneˇji ???).

Magneticky´ dipo´l ve vneˇjsˇ´ım magneticke´m poli Vezmeme magneticky´ dipo´l ≡ uzavrˇenou vodivou smycˇku prote´kanou proudem I, tuto smycˇku vlozˇ´ıme do magneticke´ho pole B . Chceme spocˇ´ıtat potencia´lnı´ energii smycˇky v tomto poli. Vy´pocˇet provedeme prˇes praći: Smycˇku posuneme do nove´ polohy prˇi I = konst. Posunutı´ bereme velmi male´ – budeme je charakterizovat vektorem ∆a (nemusı´ by´t konstantnı´ pode´l cele´ smycˇky). Na smycˇku pu˚sobı´ v poli B sı´la F (Lorentzova) – prˇi posunutı´ smycˇky vykona´ mechanickou praći A. Z nı´ na element smycˇky ∆l prˇipada´ cˇa´st ∆A: ∆A

=

∆

F · ∆a = I(∆l × B ) · ∆a

cyklicky

=

I(|∆a {z × ∆}l ) · B = I B · ∆S = I ∆Φ ∆S

∆

S je plocha opsana´ ∆l prˇi posunutı´ o ∆a .

Celkovou praći A zı´ska´me integracı´ pode´l cele´ smycˇky A = IΦ R kde Φ je tok prˇes pa´s ohranicˇeny´ starou a novou polohou smycˇky. Vı´me, zˇe platı´ B · dS = R H R dΦ = 0 (??? spı´sˇe S B · dS = dΦ = 0 ???), proto mu˚zˇeme Φ nahradit rozdı´lem magnetickyćh indukcˇnıćh toku˚ hornı´ (pocˇa´tecˇnı´) a dolnı´ (koncovou) polohou. A = I(Φ2 − Φ1 ) Praće bude kladna´, kdyzˇ tok smycˇkou poroste =⇒ magneticke´ sı´ly majı´ snahu vtahovat smycˇku do magneticke´ho pole tak, aby tok jı´ prote´kajıćı´ byl co nejveˇtsˇ´ı. Velicˇina IΦ je praće, kterou magneticke´ sı´ly vykonajı´ prˇi prˇenesenı´ smycˇky z mı´sta o nulove´m toku do mı´sta o toku Φ (?? pozor – toto Φ nenı´ totozˇne´ s Φ uvedeny´m vy´sˇe, ale s Φ2 ??). Potom potencia´lnı´ energie smycˇky v magneticke´m poli je Wm = −IΦ 145

KAPITOLA 4. MAGNETICKE´ POLE V KVAZISTACIONA´RNI´M PRˇIBLI´ZˇENI´ . Ma´-li smycˇka male´ rozmeˇry a plochu S =⇒ Φ = B · S , pomocı´ magneticke´ho momentu m = I S prˇepı´sˇeme potencia´lnı´ energii do tvaru Wm = − m · B Tento vztah je analogicky´ potencia´lnı´ energii elektricke´ho dipo´lu v elektrostaticke´m (?) poli: −p · E . Dalsˇ´ım vy´pocˇtem bychom dostali silove´ ućˇinky magneticke´ho pole na dipo´l:

F = (m grad)B D = m×B (?? D cha´peme jako moment silove´ dvojice nikoliv jako elektrickou indukci ??) Tyto vztahy jsme zı´skali jizˇ pro pravou´hlou smycˇku v magneticke´m poli. Pole se snazˇ´ı smycˇku vhodneˇ orientovat ke smeˇru pole a v prˇ´ıpadeˇ nehomogennı´ho pole ji vtahuje te´zˇ do mı´sta veˇtsˇ´ı indukce B . Hallu˚v jev Vezmeme desticˇku la´tky (viz obra´zek) ve vneˇjsˇ´ım elektricke´m poli Ex a magneticke´m poli Bz . Vlivem elektricke´ho pole potecˇe ve smeˇru x proud I – jedna´ se o elektrony e− . Magneticke´ pole bude (Lorentzovou silou) elektrony odchylovat, spodnı´ podstava se bude nabı´jet kladneˇ. To bude probı´hat tak dlouho, zˇe (? nezˇ, dokud, ... ?) se vytvorˇ´ı pole Ey =⇒ Hallovo napeˇtı´. Sı´la pu˚sobıćı´ na elektron: F = −e{E + v × B } E = (Ex , Ey , 0) V usta´lene´m stavu musı´ platit Fy = 0 =⇒ Ey = vx Bz , kde vx je strˇednı´ una´sˇiva´ rychlost elektronu˚. Hustota procha´zejıćı´ho proudu je dańa pomocı´ vx : Ix = −nevx 1 Odtud Hallova konstanta RH = IxEBy z = − ne Podle cˇ´ıselne´ velikosti RH usuzujeme na koncentraci nositelu˚, podle znameńka na druh nositelu˚: ⊕ = deˇrova´ vodivost, ª = elektronova´ vodivost. Neˇktere´ hodnoty Hallovy konstanty jsou v na´sledujıćı´ tabulce RH [10−11 m3 .A.s−1 ] Cu = −5,5 Be = 24,4 Ag = −8,4 Zn = 3,3 Au = −7,2 Cd = 6,0 Li = −17,0 F e = 100 N a = −25,0 Co = 24 Al = −3,0 N i = −60 146


Meˇrˇ´ıcı´ prˇ´ıstroje Meˇrˇ´ıcı´mi prˇ´ıstroji meˇrˇ´ıme za´kladnı´ elektricke´ velicˇiny: proud, napeˇtı´ a vy´kon =⇒ ampe´rmetry (miliampe´rmetry, mikroampe´rmetry, pikoampe´rmetry, galvanomeˇry), voltmetry (milivoltmetry, mikrovoltmetry, kilovoltmetry) a wattmetry. Specia´lnı´ prˇ´ıstroje – meˇrˇenı´ kmitocˇtu, fa´ze elektricke´ho proudu, . . .

I. Prˇ´ıstroje s otocˇnou cı´vkou (magnetoelektricke´, depre´zske´) Princip cˇinnosti: Mezi po´ly permanentnı´ho magnetu je ve va´lcove´ dutineˇ vyplneˇne´ cˇa´stecˇneˇ ja´drem J z meˇkke´ho zˇeleza (pevny´m) umı´steˇna otocˇna´ cı´vka C spojena´ s ukazatelem. V mezerˇe mu˚zˇe by´t konstantnı´ indukce B . Na cı´vku prote´kanou proudem I – meˇrˇeny´m, pu˚sobı´ silove´ dvojice MS = KS I KS = BlbN Da´le na cı´vku pu˚sobı´ direkcˇnı´ moment (za´veˇsne´ vla´kno galvanomeˇru nebo spira´love´ pe´rko rucˇkovyćh prˇ´ıstroju˚). Direkcˇnı´ moment je u´meˇrny´ vyćhylce α Md = −Kd α

Kd závisí na mechanických vlastnostech vlákna (pérka)

Prˇi pohybu cı´vky v magneticke´m poli se v nı´ indukuje proud opacˇne´ho smeˇru vu˚cˇi proudu prima´rnı´mu. Moment sil vyvolany´ indukovany´m proudem je brzdıćı´ moment Mb – za´visı´ na u´hlove´ rychlosti ω a na celkove´m odporu obvodu R KS2 dα ω = −Kb R dt Pohybova´ rovnice – celkovy´ moment vneˇjsˇ´ıch sil pu˚sobıćıćh na syste´m je roven cˇasove´ zmeˇneˇ momentu hybnosti syste´mu Mb = −

d2α MS + Md + Mb = J 2 dt Po u´praveˇ dostaneme rovnici v α: J

J = moment setrvačnosti

dα d2α + K + Kd α = KS I b dt2 dt

(∗)

Rˇesˇenı´ (v rovnova´zˇne´m stavu) – pro α 6= α(t) je α0 =

KS I Kd

Znamena´ to tedy, zˇe vyćhylka je u´meˇrna´ prote´kajıćı´mu proudu. Rovnice (*) popisuje syste´m, ktery´ mu˚zˇe vykona´vat tlumene´ kmity. Rˇesˇenı´m je funkce α = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t + α0 147

KAPITOLA 4. MAGNETICKE´ POLE V KVAZISTACIONA´RNI´M PRˇIBLI´ZˇENI´ λ1,2 jsou korˇeny charakteristicke´ rovnice ¾ ½ q 1 λ1,2 = −Kb ± Kb2 − 4JKd 2J ˇ esˇenı´ periodicke´ – D < 0 ⇐⇒ Kb2 < 4JKd , cˇili pro odpor R obvodu musı´ platit a) R KS2 R > √4JK d b) Prˇetlumeny´ (hyperaperiodicky´) pohyb – D > 0 ⇐⇒ R <

K2 √ S 4JKd K2

S c) ”Nejvhodneˇjsˇ´ı” rˇesˇenı´ – D = 0 – nastane pro odpor R = odpor aperiodizacˇnı´ = √4JK . Je to d rozhranı´ mezi stavem prˇetlumeny´m a periodicky´m. Syste´m dosa´hne nejrychleji rovnova´zˇne´ vyćhylky a prˇes tuto rovnova´zˇnou polohu neprˇekmitne.

Uzˇitı´: Slouzˇ´ı k meˇrˇenı´ stejnosmeˇrne´ho proudu a napeˇtı´, ve spojenı´ s usmeˇrnˇovacˇem te´zˇ k meˇrˇenı´ ´ daj nenı´ prˇ´ılisˇ proudu strˇ´ıdave´ho. Pro stejnosmeˇrne´ velicˇiny majı´ prˇiblizˇneˇ linea´rnı´ stupnici. U ovlivnˇovań vneˇjsˇ´ım magneticky´m polem. Uzˇ´ıvajı´ se jako prˇ´ıstroje rucˇkove´ nebo jako zrca´tkove´ galvanomeˇry.

Specia´lnı´ aplikace: Balisticky´ galvanomeˇr = prˇ´ıstroj k meˇrˇenı´ na´boje. Je konstruovań tak, zˇe moment setrvacˇnosti syste´mu je velky´ a brzdıćı´ moment pomeˇrneˇ maly´. Tı´m se zveˇtsˇ´ı doba kyvu (azˇ na neˇkolik desı´tek vterˇin) – pokud proud I(t) procha´zı´ po dobu kratsˇ´ı, zmeˇrˇ´ı se celkovy´ prosˇly´ na´boj: Rτ αmax ∼ Q = 0 I dt Fluxmetr: prˇ´ıstroj na meˇrˇenı´ elektromotoricke´ho mnozˇstvı´ ≡ napeˇt’ove´ho impulsu

II. Prˇ´ıstroje s otocˇny´m magnetem: V teˇchto prˇ´ıstrojıćh meˇrˇ´ıme proud a napeˇtı´ na za´kladeˇ silove´ho pu˚sobenı´ mezi magneticky´m polem cı´vky a permanentnı´m magnetem. Cı´vky C1 a C2 jsou zapojeny tak, aby se jejich magneticka´ pole scˇ´ıtala. Je-li magneticke´ pole v mı´steˇ magnetu homogennı´, pu˚sobı´ na magnetku silovy´ moment MS = pH cos α kde p = magneticky´ moment magnetky, H = intenzita magneticke´ho pole, α = u´hel mezi osou . magnetky a smeˇrem magneticke´ho pole (volı´ se α = 0). Proti pu˚sobı´ direkcˇnı´ moment za´veˇsu magnetky Md = −Kd α = f (α) 148


Prˇi rovnova´ze (α0 ) jsou oba momenty stejne´, proto α0 =

p cos α0 H = konst · I H

. nebot’H = cI (nutno prˇedpokla´dat α0 ¿??(1?) =⇒ cos α0 = 1). Jedna´ se o starou konstrukci, jsou velmi citlive´ na vneˇjsˇ´ı magneticke´ pole.

III. Prˇ´ıstroje elektromagneticke´ Meˇrˇeny´ proud prote´ka´ cı´vkou C, do cı´vky zasahuje F e ja´dro spojene´ s rucˇkou. Silovy´ moment pu˚sobıćı´ na ja´dro je: 1 dL Ms = I 2 2 dα kde L je indukcˇnost cı´vky, α u´hel, o ktery´ se ja´dro pootocˇ´ı (resp. jeho pohyb translacˇnı´ se prˇeva´dı´ na rotacˇnı´). Podle za´vislosti L(α) je mozˇno volit tvar stupnice. Je mozˇno je prˇ´ımo pouzˇ´ıt i pro proud strˇ´ıdavy´ – pak I = Ief (v rovnici je kvadra´t). Frekvence proudu ale musı´ by´t dosti velka´, aby syste´m nestacˇil sledovat okamzˇite´ hodnoty. Nejsou pro prˇ´ılisˇ male´ proudy.

Prˇ´ıstroje elektrodynamicke´ Ma´me syste´m pevne´ a otocˇne´ cı´vky. Moment sı´ly pu˚sobıćı´ na otocˇnou cı´vku je MS = I1 I2

dM12 dα

kde I1 , I2 jsou proudy cı´vkami, M12 vza´jemna´ indukcˇnost cı´vek, α u´hel otocˇenı´ poh. (???? str. 103 dole ????) cı´vky. Pouzˇitı´: wattmetry, voltmetry a ampe´rmetry na strˇ´ıdave´ velicˇiny (fungujı´ i na stejnosmeˇrne´) Prˇ´ıklad – zapojenı´ wattmetru – otocˇnou je cı´vka napeˇt’ova´ (tecˇe skrz nı´ maly´ proud, a tak postacˇ´ı tenke´ prˇ´ıvody). Do cı´vek je mozˇne´ vlozˇit zˇelezna´ ja´dra – jsou meńeˇ citlive´ na vneˇjsˇ´ı pole avsˇak majı´ mensˇ´ı prˇesnost a veˇtsˇ´ı frekvencˇnı´ za´vislost (hystereze, vı´rˇive´ proudy).

V. Prˇ´ıstroje elektrostaticke´ *** odkaz na prˇ´ıslusˇnou kapitolu *** Technicka´ realizace obvodu˚ strˇ´ıdave´ho proudu Strˇ´ıdavy´ proud mu˚zˇeme generovat cı´vkou otaćˇejıćı´ se v magneticke´m poli. Nynı´ se vsˇak pouzˇ´ıva´ trojfa´zovy´ syste´m – otaćˇejı´ se soucˇasneˇ 3 cı´vky. Pu˚vodneˇ bychom meˇli mı´t celkem 6 krouzˇku˚ kolektoru, da´ se vsˇak zvolit u´sporne´ zapojenı´ se trˇemi nebo cˇtyrˇmi vodicˇi. 149


Zapojenı´ 3 cı´vek do troju´helnı´ka: Napeˇtı´ na koncıćh cı´vek jsou vyja´drˇena rovnicemi U1 = U0 sin ωt 2 U2 = U0 sin(ωt − π) 3 4 U3 = U0 sin(ωt − π) 3 Vy´sledne´ okamzˇite´ napeˇtı´ je U = U1 + U2 + U3 = 0 Zapojenı´ 3 cı´vek do hveˇzdy: Prˇi tomto zapojenı´ ma´me 4 vodicˇe – z nich mu˚zˇeme odebı´rat napeˇtı´ fa´zova´ – U01 , U02 , U03 nebo napeˇtı´ sdruzˇena´ U12 , U13 , U23 √ U12 = U1 3 Prˇi rovnomeˇrneˇ zatı´zˇenyćh fa´zıćh pro proud nulovy´m vodicˇem platı´: i0 = i1 + i2 + i3 = 0. Z takove´ho trojfa´zove´ho obvodu mu˚zˇeme napa´jet elektromotory.

Indukcˇnı´ motor (asynchronnı´) Vezmeme syste´m 3 cı´vek. V prostoru mezi nimi vznika´ magneticke´ pole, toto pole se rovnomeˇrneˇ otaćˇ´ı (tocˇive´ magneticke´ pole). V tomto poli je klecova´ kotva, ve ktere´ se zacˇnou indukovat proudy. Tyto proudy (Lencovy) se snazˇ´ı zabrańit zmeˇneˇ – kotva se rozebeˇhne. Otaćˇ´ı se ale pomaleji nezˇ magneticke´ pole, jinak by se Lencovy proudy neudrzˇely. Zpozˇdeˇnı´ za´visı´ na zatı´zˇenı´.

Synchronnı´ motor V tomto prˇ´ıpadeˇ je stator vinuty´ stejny´m zpu˚sobem (3, 6, . . . cı´vek). Rotor vsˇak je te´zˇ cı´vkou, je napa´jen prˇes krouzˇky stejnosmeˇrny´m proudem (je te´zˇ elektromagnet se sudy´m pocˇtem po´lu˚). V tomto prˇ´ıpadeˇ se kotva otaćˇ´ı prˇesneˇ stejneˇ jako magneticke´ pole – se zatı´zˇenı´m se pouze mı´rneˇ meˇnı´ fa´ze (maxima´lneˇ do poloviny vzda´lenosti mezi sousednı´mi po´ly statoru).

Stejnosmeˇrny´ genera´tor Pouzˇijeme strˇ´ıdavy´ genera´tor, ale krouzˇky rozdeˇlı´me na polovinu. Zı´ska´me usmeˇrneˇne´ strˇ´ıdave´ napeˇtı´ – tı´m hladsˇ´ı, cˇ´ım vıće pouzˇijeme cı´vek.

150

Kapitola 5 Nestaciona´rnı´ elektromagneticke´ pole Prozatı´m jsme se zaby´vali izolovaneˇ elektricky´m a magneticky´m polem. Jizˇ v 19. stoletı´ veˇdci zjisˇt’ovali, zˇe mezi jevy elektricky´mi a magneticky´mi je souvislost (1820 Oersted – v okolı´ vodicˇe vznika´ magneticke´ pole, 1830 Faraday – pohyb magnetu vyvola´ ve vodicˇ´ıch elektricky´ proud, Ampe´r – silove´ pu˚sobenı´ vodicˇu˚ prote´kanyćh proudem). Tento vy´voj dovrsˇil v 70. letech J. C. Maxwell, ktery´ vybudoval teorii jedine´ho elektromagneticke´ho pole. Se za´klady te´to teorie se sezna´mı´me.

Z elektrostatiky zna´me rovnice: div D = ρ

diferenciální Gaussova věta

(5.1)

rot E = 0

konzervativnost elektrického pole

(5.2)

Studium magneticke´ho pole v kvazistaciona´rnı´m prˇiblı´zˇenı´ prˇineslo dalsˇ´ı dva vztahy rot H = i

diferenciální forma Ampérova zákona

(5.3)

div B = 0

neexistence magnetických nábojů

(5.4)

i je proud kondukcˇnı´ i konvekcˇnı´

Nynı´ budeme vysˇetrˇovat situaci, kdy obecneˇ ρ = ρ(r , t) a i = i (r , t). Obecneˇ mu˚zˇeme dostat zcela jine´ vztahy, ktere´ vsˇak v limiteˇ musı´ prˇejı´t na 4 uvedene´ rovnice. Proud musı´ obecneˇ splnˇovat rovnici kontinuity (za´kon zachovańı´ na´boje) ∂ρ =0 div i + ∂t Tato rovnice je vsˇak ve sporu s (*.3): provedeme operaci divergence na (*.3) ∂ρ = 0 . . . spor neboť ρ = ρ(t) div(rot H ) ≡ 0 = div i ⇐⇒ ∂t 151

KAPITOLA 5. NESTACIONA´RNI´ ELEKTROMAGNETICKE´ POLE

Maxwell, aby tento spor vyrˇesˇil, zˇa´dal aby i v nestaciona´rnı´m prˇ´ıpadeˇ platilo (*.1). Rovnici (*.3) prˇizpu˚sobil nestaciona´rnı´mu prˇ´ıpadu tı´m, zˇe nahradil i → i 0 : rot H = i 0 . Na proud i 0 kladl dveˇ podmıńky: 1. div i 0 = 0 2. i 0 → i prˇi t ≈ zpomal. (kvazistac., stac.) (?? str. 105 dole ??) Ze vztahu (*.1):

∂ ∂ρ = (div D ) = div ∂t ∂t

µ

∂D ∂t

¶

Dosadı´me do rovnice kontinuity: ∂ρ 0 = div i + = div i + div ∂t

µ

∂D ∂t

¶

µ

∂D = div i + ∂t

¶ ⇐⇒

i0 = i +

∂D ∂t

Tı´m dostaneme 1. se´rii Maxwellovyćh rovnic (pro nestaciona´rnı´ magneticke´ pole) ∂D = i ∂t

(5.5)

div D = ρ

(5.6)

rot H −

Fyzika´lnı´ interpretace: Maxwell zobecnil proud i (≡ proud volnyćh na´boju˚ = proud kondukcˇnı´ a konvekcˇnı´) tı´m, zˇe prˇidal dalsˇ´ı cˇlen ∂∂tD = hustota Maxwellova proudu. Platı´ D = P + ε0 E =⇒ ∂∂tD = ∂∂tP + ε0 ∂∂tE ∂P = hustota polarizacˇnı´ho (posuvne´ho) proudu – popisuje transport va´zane´ho na´boje v ∂t dielektriku (kmitańı´ molekul – mikrosk.) ε0 ∂∂tE = posuvny´ proud ve vakuu – je 6= 0 i ve vakuu, bez hmotne´ho prostrˇedı´. Musı´me to bra´t jako za´kon – ”ve vakuu existuje proud” – je to du˚sledek existence nestaciona´rnı´ho elektricke´ho pole ve vakuu (a jeho projev). Nynı´ se podı´va´me na 2. soustavu Maxwellovyćh rovnic: rovnice (*.2) a (*.4) Rovnice div B = 0 platı´, nebot’magneticke´ pole nema´ zdroje silocˇar, tj. nema´ magneticke´ na´boje. ´ prava rovnice rot E = 0: U Prozatı´m jsme jev elektromagneticke´ indukce va´zali vzˇdy na urcˇity´ elektricky´ obvod. Prˇitom se elektromagneticke´ (??? elektromotoricke´ ???) napeˇtı´ indukovane´ v tomto obvodeˇ projevilo zmeˇnami proudu. Vznika´ ota´zka, je-li pro vznik elektromagneticke´ indukce prˇ´ıtomnost vodive´ smycˇky podstatna´ – nenı´. 152

Vezmeme na´boj Q ve vakuu, umı´stı´me jej do promeˇnne´ho magneticke´ho pole. Budeme-li prˇedpokla´dat, zˇe promeˇnne´ magneticke´ pole je schopne´ vyvolat konvekcˇnı´ proud volnyćh nabityćh cˇa´stic, musı´me prˇedpokla´dat, zˇe na Q bude magneticke´ pole pu˚sobit silou F 0 , ktera´ je u´meˇrna´ cˇasove´ zmeˇneˇ magneticke´ho pole a nenı´ za´visla´ na pohybu cˇa´stice. Pak mu˚zˇeme zave´st indukovane´ elektricke´ pole Eind

F 0 = QEind Bude-li prˇ´ıtomno i staciona´rnı´ elektricke´ pole Es , bude vy´sledne´ pole E = Eind + Es . Celkova´ sı´la F pu˚sobıćı´ na cˇa´stici pohybujıćı´ se rychlostı´ v je

F = Q [E + v × B ] Tento vztah je obvykly´ Lorentzu˚v vzorec, kde intenzita pole E ma´ novy´, obecneˇjsˇ´ı smysl. Prˇedstavuje celkovou intenzitu elektricke´ho pole danou jednak okamzˇity´m rozlozˇenı´m na´boju˚ v prostoru, jednak hodnotou indukovane´ho elektricke´ho pole. Toto celkove´ elektricke´ pole nazy´va´me nestaciona´rnı´m elektricky´m polem. Toto nestaciona´rnı´ elektricke´ pole nenı´ jizˇ polem konzervativnı´m (rot E 6= 0): Vezmeme uzavrˇenou krˇivku l v nestaciona´rnı´m elektricke´m poli E . Vodivost smycˇky je σ. Smycˇkou potecˇe proud i = σ E . Pak I I I I I i · dl i · dS1 · dl i · dS1 · dl dl E · dl = = = =I σ σ dS1 σ dS1 σ dS1 l l l l l | {z } R

Na druhou stranu z Faradayova za´kona platı´: Z

dΦ IR = − dt

B · dS

Φ= S

Porovnańı´m vztahu˚:

I

Z

E · dl = −

IR =

∂B · dS ∂t

S

l

Zde jsme prˇedpokla´dali, zˇe smycˇka je pevna´ a meˇnı´ se indukce. Da´le pouzˇijeme Stokesovu veˇtu, tı´m levy´ integra´l prˇevedeme na integra´l prˇes (libovolnou) plochu Σ ohranicˇenou krˇivkou l. Touto plochou zvolı´me plochu S, potom Z ·

¸ ∂B rot E + · dS = 0 ∂t

S

153

⇐⇒

rot E = −

∂B ∂t


Tı´m dosta´va´me 2. se´rii Maxwellovyćh rovnic: rot E = − div B = 0

∂B ∂t

(5.7) (5.8)

Souhrnneˇ tedy ma´me tyto nove´ poznatky: a) Zobecneˇnı´ za´kona elektromagneticke´ indukce – vznik nestaciona´rnı´ho elektricke´ho pole – rovnice (*.7) b) Existence Maxwellova proudu ve vakuu – vznik nestaciona´rnı´ho magneticke´ho pole (H obsahuje i i0 (?? str 106 poslednı´ rˇa´dek ??) ) – rovnice (*.5) Elektromagneticke´ pole – shrnutı´ V nestaciona´rnı´m prˇ´ıpadeˇ neexistuje samostatne´ elektricke´ a samostatne´ magneticke´ pole – jsou to dveˇ strańky projevu obecne´ho elektromagneticke´ho pole – cˇasova´ zmeˇna magneticke´ho pole da´va´ vzniknout poli elektricke´mu a naopak (*** odkaz na prˇ´ıslusˇne´ rce ***). V hmotne´m prostrˇedı´ je elektromagneticke´ pole popsańo cˇtyrˇmi vektory: E , B , D , H . Vektory E a B jsou definovańy silovy´mi ućˇinky (na na´boj Q s rychlostı´ v ):

F = Q [E + v × B ] Vektory D a H jsou definovańy vztahy:

D = ε0 E + P

(5.9)

B = µ0 B + Pm

(5.10)

Mimoto ma´me materia´love´ vztahy:

P = ε0 χe E

=⇒

D = εE

(5.11)

Pm = µ0 χm H

=⇒

B = µH

(5.12)

Vektory E , B , D a H musı´ splnˇovat Maxwellovy rovnice rot H = i + div D = ρ div B = 0 rot E = − 154

∂D ∂t

(5.13) (5.14)

∂B ∂t

(5.15) (5.16)

Gaussova soustava jednotek V te´to soustaveˇ jsou za´kladem 3 mechanicke´ jednotky – cm, gram, sekunda. Za´kladem elektrickyćh velicˇin je Coulombu˚v za´kon, kde pro vakuum klademe k = 1 a ε0 = 1. Odtud se definuje jednotkovy´ na´boj =⇒ na 1 cm pu˚sobı´ na stejny´ na´boj silou 1 dynu. . . . Za´kladem magnetickyćh jednotek je pozˇadavek µ0 = 1. Du˚sledkem je, zˇe ve vztazıćh, kde jsou elektricke´ i magneticke´ jednotky ma´me koeficienty u´meˇrne´ mocnina´m c. Naprˇ. ¸ · 1 F = Q E + (v × B ) c 1

1

V te´to soustaveˇ majı´ vsˇechny 4 vektory E , B , D i H stejny´ rozmeˇr: cm− 2 .g 2 .s−1 . Potom Maxwellovy rovnice: 4π 1 ∂D i+ c c ∂t div D = 4πρ

(5.17)

div B = 0

(5.19)

rot H =

rot E = −

1 ∂B c ∂t

(5.18)

(5.20)

Mikroskopicka´ teorie Maxwellova teorie byla vypracovańa v 70. letech 19. stoletı´. Je to teorie makroskopicka´, uda´va´ vztah mezi vektory pole. Tato teorie neumozˇnˇuje popis elektromagnetickyćh jevu˚ v mikroskopicke´m meˇrˇ´ıtku. Da´le bychom chteˇli na za´kladeˇ chovańı´ mikroskopickyćh objektu˚ (elektronu˚, atomu˚) kvantitativneˇ vypocˇ´ıtat makroskopicke´ materia´love´ konstanty (meˇrnou vodivost, permitivitu, permeabilitu). Prvnı´ u´speˇsˇnou teorii vybudoval v 90. letech H. A. Lorentz. Vycha´zel z atomove´ struktury la´tek. Prˇedpokla´dal, zˇe la´tkove´ prostrˇedı´ je slozˇeno z mikroskopickyćh kladnyćh a za´pornyćh na´boju˚, ktere´ jsou zdrojem kazˇde´ho elektromagneticke´ho pole. Da´le prˇedpokla´dal, zˇe je to pole ve vakuu a mu˚zˇe by´t popsańo Maxwellovy´mi rovnicemi. Potom na za´kladeˇ prostorove´ho rozlozˇenı´ a pohybu elementa´rnıćh cˇa´stic ve vakuu mu˚zˇeme popsat libovolne´ elektromagneticke´ pole. Prˇedpokla´dal, zˇe je mozˇno zave´st m ρ(r , t) = okamzˇitou hodnotu objemove´ hustoty na´boje v dane´m bodeˇ, a zˇe pohyb mikroskopickyćh na´boju˚ lze popsat polem rychlostı´ m v (r , t) =⇒ mu˚zˇeme zave´st hustotu mikroskopicke´ho proudu m

i (r , t) =mρ(r , t) ·m v (r , t)

Pohybem teˇchto na´boju˚ vznikne elektromagneticke´ pole s vektory e (r , t), d (r , t), b (r , t) a h (r , t). Mezi teˇmito vektory platı´ relace (pole ve vakuu):

d = ε0 e

b = µ0 h 155


Potom mikroelektromagneticke´ pole ve vakuu mu˚zˇeme popsat rovnicemi Maxwellova typu se dveˇma vektorovy´mi funkcemi b a e – tzv. Lorentzovy´mi rovnicemi: 1 ∂e + µ0 ·mρ ·m v 2 c ∂t m ρ div e = ε0 ∂b rot e = − ∂t rot b =

div b = 0

(5.21) (5.22) (5.23) (5.24)

Vektory e a b majı´ vy´znam velicˇin popisujıćıćh silove´ ućˇinky elektromagneticke´ho pole na pohybbujıćı´ se mikroskopicke´ na´boje. Definujeme je ze vztahu

f = mρ(e +m v × b) Lorentzovy rovnice majı´ obecneˇjsˇ´ı charakter nezˇ Maxwellovy, tyto rovnice by se z nich meˇly da´t odvodit (?? podminˇovacı´ zpu˚sob ??). Mikroskopicke´ velicˇiny mρ, mv , . . . prˇedstavujı´ okamzˇite´ hodnoty velicˇin v mikroskopicke´m meˇrˇ´ıtku, proto se i na atoma´rnı´ vzda´lenosti (10−8 cm) mohou o mnoho rˇa´du˚ meˇnit. Stejneˇ tak e a b prˇedstavujıćı´ okamzˇite´ hodnoty pole v dane´m bodeˇ se velmi silneˇ v prostoru meˇnı´. Makroskopicke´ velicˇiny E , B , D , H , ρ a i majı´ podle Lorentzova prˇedpokladu vy´znam strˇednıćh hodnot prˇ´ıslusˇnyćh mikroskopickyćh velicˇin. Strˇedovańı´m bychom zı´skali z Lorentzovyćh rovnice Maxwellovy. Pojmem strˇedovańı´ se zde rozumı´ zı´skańı´ strˇednıćh hodnot prˇes sourˇadnice prostorove´ i cˇasovou.

Vlastnosti elektromagneticke´ho pole V nauce o vlneˇnı´ se zava´dı´ pojem postupna´ rovinna´ vlna. Popisuje se jı´ takovy´ stav spojite´ho prostrˇedı´, kdy hodnota jiste´ velicˇiny f , vyjadrˇujıćı´ loka´lnı´ vlastnosti tohoto prostrˇedı´, za´visı´ na cˇase t a poloze r podle vztahu f = f (t − k · r ) kde vektor k je pro danou vlnu konstantou. Vlna je tedy popsańa jedinou promeˇnnou, zahrnujıćı´ v sobeˇ cˇas i polohu: t − k · r . Du˚sledkem bude, zˇe pro t = konst ma´ funkce f stejnou hodnotu ve vsˇech bodech prostoru, kde k · r = konst, tj. vsˇude v rovineˇ kolme´ na k , nebot’pru˚meˇt vsˇech vektoru˚ r bodu˚ roviny na k bude konstantnı´. Vezmeme-li dveˇ roviny Π1 a Π2 vyda´lene´ o s, pak platı´: t1 = t2 − sk 156

Pohyb prostrˇedı´(?m) je tedy takovy´, jako by se jı´m sˇ´ırˇily roviny (vlnoplochy) stejnyćh hodnot velicˇiny f ve smeˇru k s rychlostı´ v = k1 = fázová rychlost. Potom je mozˇno vztah pro f prˇepsat: µ f =f

(n · r ) t− v

¶

n=

k k

Prakticky du˚lezˇity´ prˇ´ıpad je, kdy promeˇnna´ η = t − k · r je v periodicke´ funkci, tj. hodnoty velicˇiny f se v kazˇde´m bodeˇ po uplynutı´ doby T = periody opakujı´. Pak mluvı´me o vlnove´ de´lce λ. λ = vT Funkce f vyhovuje rovnici ∆f −

1 ∂ 2f =0 v 2 ∂t2

zvane´ vlnova´ rovnice. Rˇesˇenı´m te´to rovnice je cela´ velka´ trˇ´ıda funkcı´ representujıćıćh vlny ru˚znyćh typu˚. Postupna´ rovinna´ vlna prˇedstavuje jeden z jednoduchyćh typu˚, ve fyzice du˚lezˇity´. Nynı´ vezmeme Maxwellovy rovnice v prostrˇedı´ vyplneˇne´m nevodivy´m materia´lem s permitivitou ε a permeabilitou µ bez volnyćh na´boju˚. Majı´ tvar (v = √1εµ ): rot B −

1 ∂E = 0 v 2 ∂t div E = 0

div B = 0 ∂B rot E + = 0 ∂t Z teˇchto rovnic (prvnı´ a poslednı´) mu˚zˇeme odvodit vlnovou rovnici. (**1**) derivujeme podle cˇasu, zameˇnı´me porˇadı´ derivace prostorove´ a cˇasove´ a za ∂∂tB dosadı´me z (**4**): rot rot E +

1 ∂E =0 v 2 ∂t

Jelikozˇ div E = 0, je

rot rot = grad div − ∆

∆E −

1 ∂E =0 v 2 ∂t

∆B −

1 ∂B =0 v 2 ∂t

Analogicky dostaneme rovnici

Obeˇ rovnice majı´ skutecˇneˇ tvar vlnove´ rovnice =⇒ majı´ rˇesˇenı´ typu E (η), B (η), η = t − v = √1εµ (rychlost). Libovolna´ dvojice funkcı´ E (η), B (η) ale nemusı´ vyhovovat soustaveˇ 157

(n ·r ) , v


Maxwellovyćh rovnic jako celku. K tomu jesˇteˇ musı´ splnˇovat dalsˇ´ı podmıńky. Nejprve najdeme ¡ ¢ vztahy mezi prostorovy´mi a cˇasovou derivacı´ funkce E t − nv·r ∂E nx ∂ E = − ∂x v ∂t ∂E ny ∂ E = − ∂y v ∂t ∂E nz ∂ E = − ∂z v ∂t Potom

1 rot E = − v

µ

∂E n× ∂t

¶ =−

1∂ (n × E ) v ∂t

Dosadı´me do (**4**)

∂ ∂B (n × E ) = v ∂t ∂t Zintegrujeme a polozˇ´ıme integracˇnı´ konstantu rovnou nule 1 v

B = (n × E ) Analogicky lze vypocˇ´ıtat

E = −v(n × B ) Vy´sledkem tedy je: intenzita elektricke´ho E a magneticke´ho B pole ve tvaru rovinne´ vlny ³ ³ n·r´ n·r´ E =E t− B =B t− v v budou rˇesˇenı´m Maxwellovyćh rovnic jen tehdy, budou-li v kazˇde´m okamzˇiku a v kazˇde´m bodeˇ oba vektory navza´jem kolme´ a take´ kolme´ ke spolecˇne´mu smeˇru sˇ´ırˇenı´ n . Vektory n , E , B tvorˇ´ı pravotocˇivy´ syste´m. Maxwellovy rovnice pozˇadujı´, aby elektromagneticka´ rovinna´ vlna byla vlnou prˇ´ıcˇnou. Fa´zova´ rychlost sˇ´ırˇenı´ vlny je v = √1εµ , s rostoucı´ hustotou prostrˇedı´ klesa´. Ve . vakuu platı´: c = √ε10 µ0 = 2,9979.108 m.s−1 . Energie elektromagneticke´ho pole Vezmeme libovolne´ elektromagneticke´ pole a volny´ na´boj s objemovou hustotou ρ(r , t) a polem rychlostı´ (r , t). Budeme pocˇ´ıtat praći, kterou doda´ uvazˇovane´ pole tomuto na´boji. Vyjdeme z Lorentzova vzorce pro hustotu sı´ly

f = ρ[E + v × B ] Dostaneme (pomocı´ Maxwellovyćh rovnic)

i · E = − div(E × H ) − (E 158

∂B ∂D +H ) ∂t ∂t

Na leve´ straneˇ je vy´kon dodany´ polem do jednotkove´ho objemu, na prave´ hustota vy´konu. V integra´lnı´ formeˇ dostaneme Poyntingovu veˇtu Z Z 2 Z Z i ∂ 0 (E · i ) dV = dV + w dV + S · d σ ∂t V

V

V

S

Leva´ strana: vy´kon doda´vany´ do objemu V vtisˇteˇny´mi silami E 0 (druhy´ cˇlen Ohmova za´kona i = σ[E + E 0 ]). Prvnı´ cˇlen na prave´ straneˇ: vy´kon promeˇneˇny´ v objemu V na Jouleovo teplo Druhy´ cˇlen cˇasova´ zmeˇna energie elektromagneticke´ho pole w = 21 (E · D + H · B ) Trˇetı´ cˇlen: energie vyte´kajıćı´ z objemu V za jednotku cˇasu (S = plocha obklopujıćı´ objem V ). Vektor S = E × H = Poyntingu˚v vektor = plosˇna´ hustota toku vy´konu elektromagneticke´ho pole. Experimenta´lnı´ usporˇa´dańı´ (??? cˇeho ???) Obvod s elektricky´mi kmity mu˚zˇeme realizovat pomocı´ se´riove´ho RLC obvodu s vvneˇjsˇkem 1 nabı´jeny´m kondenza´torem. Frekvence kmitu˚ je dańa Thomsonovy´m vztahem ω = √LC Obvykle´ zapojenı´ zdroje vysoke´ho napeˇtı´ frekvence 105 ÷ 106 Hz je Teslu˚v transforma´tor (autor N. Tesla). Zı´ska´ se jı´m napeˇtı´ azˇ neˇkolik kV . Teslu˚v transforma´tor – trafo na vysˇsˇ´ı napeˇtı´, v prima´ru je kondenza´tor C (sada Leydenskyćh lahvı´) a cı´vka L, o ma´lo za´vitech. Obvod je prˇerusˇen jiskrˇisˇteˇm J. Prˇi naru˚stańı´ sı´t’ove´ho napeˇtı´ stoupa´ napeˇtı´ na kondenza´toru C, azˇ prˇeskocˇ´ı jiskra v J – ta ucˇinı´ dra´hu vodivou =⇒ tı´m se uzavrˇe obvod L1 C a vzniknou tlumene´ kmity ω = √L11 C . Prˇi opacˇne´ periodeˇ se deˇj bude opakovat. S cı´vkou L1 je induktivneˇ va´zańa cı´vka L2 – dlouhy´ jednovrstvovy´ solenoid. Tı´m zı´ska´me dalsˇ´ı oscilacˇnı´ obvod (s kapacitou rovnou vlastnı´ kapaciteˇ vinutı´ L2 ). Bude-li naladeˇn na stejnou frekvenci (ω) jako prima´rnı´ obvod, dostaneme na jeho svorkaćh velmi vysoke´ napeˇtı´ vysokofrekvencˇnı´. Tyto pokusy prova´deˇl jizˇ H. Hertz – k jiskrˇisˇti meˇl prˇipojeny dva prˇ´ıme´ vodicˇe – tı´m dosahoval frekvence azˇ 109 Hz. V prostoru kolem vodicˇe se sˇ´ırˇ´ı elektromagneticke´ vlny. Sˇ´ırˇenı´ elektromagnetickyćh vln pode´l vedenı´: V prˇ´ıpadeˇ stejnosmeˇrne´ho obvodu byl na vsˇech vodicˇ´ıch obvodu stejny´ proud (??? stejne´ napeˇtı´ - viz na´sledujıćı´ odstavec ???). V kvazistaciona´rnı´m prˇ´ıpadeˇ byl te´zˇ proud v cele´m vodicˇi stejny´, i kdyzˇ se jeho hodnota s cˇasem meˇnila (rovnomeˇrneˇ v cele´m obvodu). Jinak tomu vsˇak bude prˇi zdroji elektromagnetickyćh kmitu˚ velmi vysoke´ frekvence. V tomto prˇ´ıpadeˇ se napeˇtı´ po vedenı´ sˇ´ırˇ´ı ve vlnaćh – experiment: V zapojenı´ a) vy´bojka nesvı´tı´ (dra´hovy´ 159

KAPITOLA 5. NESTACIONA´RNI´ ELEKTROMAGNETICKE´ POLE rozdı´l = 0 =⇒ napeˇtı´ na vy´bojku prˇijde ve fa´zi), prˇi posunovańı´ se rozsvı´tı´. Z poloh, kde svı´tı´ nejcˇasteˇji, mu˚zˇeme najı´t velikost rychlosti, se kterou se vlny po vodicˇi sˇ´ırˇ´ı – je konecˇna´.

Lecherovy dra´ty (Lecherovo vedenı´): Dva dlouhe´, rovnobeˇzˇne´ prˇ´ıme´ vodicˇe zakoncˇene´ smycˇkou, kterou se do obvodu mohou indukovat vysokofrekvencˇnı´ kmity. Pokud vedenı´ zkratujeme, vlny se budou odra´zˇet a vznikne stojate´ vlneˇnı´ (analogie Kundtovy trubice z akustiky). Ve vzda´lenostech λ2 od sebe vzniknou kmitny proudu – pokud paralelneˇ prˇipevnı´me zˇa´rovku, tak se rozsvı´tı´. V polovineˇ mezi kmitnami proudu vzniknou kmitny kmitny napeˇtı´ (tj. napeˇtı´ je maxima´lnı´ – rozsvı´tı´ se prˇemost’ujıćı´ doutnavka). Aby byl efekt nejvy´razneˇjsˇ´ı, musı´ by´t vedenı´ naladeˇno, tj. vodivy´ mu˚stek musı´ by´t v mı´steˇ, kde by samo napeˇtı´ bylo nulove´ (kmitna proudu). Umı´stı´me-li Lecherovo vedenı´ do vody zjistı´me, zˇe vlnova´ de´lka je 9× mensˇ´ı nezˇ na vzduchu. To je du˚sledek toho, zˇe εrH2 O = 81 a v ∼ √1ε (λ ∼ v). Prˇi Lecherovyćh dra´tech je elektromagneticke´ pole jen v jejich blı´zkosti, pokud ale konce dra´tu˚ rozevrˇeme (cı´vka L2 Teslova trafa) bude se pole sˇ´ırˇit do prostoru ≡ Hertzu˚v dipo´l.

5.1 Za´klady teorie sı´tı´ Elektricky´ obvod obecneˇ mu˚zˇe obsahovat ru˚zne´ prvky (odpory, kodenza´tory, indukcˇnosti, zdroje, vodicˇe, tranzistory, . . . ). Prvky v obvodu mohou by´t aktivnı´ nebo pasivnı´. Aktivnı´ prvky doda´vajı´ do obvodu trvale energii. Obvody se mohou deˇlit na linea´rnı´ a nelinea´rnı´. Linea´rnı´ obvod je slozˇen z prvku˚ splnˇujıćıćh Ohmu˚v za´kon U = ZI, impedance Z 6= Z(I). V nelinea´rnı´m obvodeˇ je nejmeńeˇ jeden nelinea´rnı´ prvek, pro ktery´ nenı´ U u´meˇrne´ I. Pak charakteristikou prvku nazy´va´me funkci U = f (I). Zava´dı´ se pojmy: Staticka´ impedance nelinea´rnı´ho prvku Zs = II00 . Je to pomeˇr napeˇtı´ a proudu ve zvolene´m bodeˇ charakteristiky, kde tecˇe prvkem proud I0 . ´ ³ df (I) Dynamicka´ impedance prvku Zd = dI I=I0

Platı´ (viz obra´zek): tg α = Zd tg β = Zs V nelinea´rnı´m prvku obecneˇ Zd (I) a Zs (I). Dalsˇ´ı pojmy: obvod stejnosmeˇrny´ – smeˇr proudu v obvodu je (?sta´le?) stejny´ a jeho velikost v dane´m mı´steˇ je 160

5.1. Za´klady teorie sı´tı´ konstantnı´ ⇐⇒ usta´leny´ obvod strˇ´ıdavy´ – smeˇr proudu nebo polarita napeˇtı´ se meˇnı´ harmonicky s cˇasem usta´leny´ stav – u stejnosmeˇrne´ho obvodu, pokud proud a napeˇtı´ neza´visejı´ na cˇase – u strˇ´ıdave´ho obvodu, pokud na cˇase neza´visejı´ sˇpicˇkove´ nebo efektivnı´ hodnoty neusta´leny´ stav – opacˇny´ prˇ´ıpad (naprˇ. zapojenı´ vypnutı´,. . . ) uzel obvodu – mı´sto, kde se sty´kajı´ vıće nezˇ dva vodicˇe spojujıćı´ prvky obvodu veˇtev – cˇa´st obvodu spojujıćı´ dva sousednı´ uzly smycˇka – veˇtve tvorˇ´ıcı´ uzavrˇeny´ obvod, ve ktere´m nenı´ zˇa´dna´ veˇtev zastoupena dvakra´t (*** obra´zky ***) kostra obvodu – za´znam zpu˚sobu propojenı´ obvodu bez prvku˚ (*** obra´zek ***)

Za´kony meˇrˇenı´ stejnosmeˇrnyćh a strˇ´ıdavyćh obvodu˚ v usta´lene´m stavu Uva´deˇli jsme si pro stejnosmeˇrne´ obvody Ohmu˚v za´kon pro prvky obvodu, I. a II. Kirchhoffu˚v za´kon. V prˇ´ıpadeˇ strˇ´ıdavyćh obvodu˚ jsme vycha´zeli z diferencia´lnıćh rovnic: L

d2i di 1 d + R + i = E(t) dt2 dt C dt

Existujı´ jesˇteˇ dalsˇ´ı metody formulace vztahu˚ pro strˇ´ıdave´ obvody

1. Komplexnı´ symbolika Okamzˇitou hodnotu proudu a napeˇtı´ budeme oznacˇovat i = i(t) a u = u(t) u = U0 cos(ωt + ϕ1 ) i = I0 cos(ωt + ϕ2 ) a) R: V prˇ´ıpadeˇ stejnosmeˇrne´ho obvodu jsme meˇli vztah mezi proudem I a napeˇtı´m U udań Ohmovy´m za´konem U = IR s ohmicky´m odporem R Procha´zı´-li obvodem s ohmicky´m odporem strˇ´ıdavy´ proud, bude te´zˇ platit: uR = iR =⇒ U0 = RI0 , ϕ1 = ϕ2 di b) L: Napeˇtı´ na indukcˇnosti je u = L dt (je kladne´ – vznika´) (??? co vznika´ ???) UL = −LI0 ω sin(ωt + ϕ2 ) = ωLI0 cos(ωt + ϕ2 + π2 ) =⇒ U0 = ωLI0 , ϕ1 = ϕ2 + π2 Proud na indukcˇnosti se zpozˇd’uje proti napeˇtı´ o cˇtvrt periody (napeˇtı´ prˇedcha´zı´). Ve stejnosmeˇrne´m obvodu se cı´vka neprojevı´, nebot’pro ω = 0 je U0 = 0. Zava´dı´me induktanci XL = ωL [Ω] Rt c) C: Pro idea´lnı´ kondenza´tor platı´: u = C1 0 i dt 1 1 1 uC = ωC I0 sin(ωt + ϕ2 ) = ωC I0 cos(ωt + ϕ2 − π2 ) =⇒ U0 = ωC I0 , ϕ1 = ϕ2 − π2

161


Proud na kondenza´toru prˇedbı´ha´ napeˇtı´ o cˇtvrtinu periody. 1 Zava´dı´me kapacitanci XC = ωC [Ω] Pro stejnosmeˇrny´ obvod je ω = 0 =⇒ XC → ∞ a obvodem neprocha´zı´ proud. Prˇi rˇesˇenı´ obvodu˚ s ohmicky´m odporem vystacˇ´ıme s promeˇnny´mi rea´lny´mi. Na L a C vsˇak docha´zı´ k fa´zove´mu posuvu mezi proudem a napeˇtı´m, proto (pokud nechceme pouzˇ´ıvat prˇesne´ rˇesˇenı´ diferencia´lnıćh rovnic) musı´me zava´deˇt komplexnı´ symboliku. Prˇitom nahrazujeme goniometricke´ funkce funkcı´ exponencia´lnı´: ej(ωt+ϕ) = cos(ωt + ϕ) + j sin(ωt + ϕ) S touto funkcı´ se le´pe pracuje – vy´sledek pak dostaneme oddeˇlenı´m rea´lne´ cˇa´sti. Zavedeme znacˇenı´ (okamzˇityćh hodnot) u = U0 ej(ωt+ϕ1 )

ı = I0 ej(ωt+ϕ2 )

Sˇpicˇkove´ hodnoty najdeme jako absolutnı´ hodnoty u a ı: U0 = |u| , I0 = |ı| u = Re(u)

i = Re(ı)

Vy´znam zavedenı´ komplexnıćh velicˇin je v tom, zˇe prˇeva´deˇjı´ rˇesˇenı´ diferencia´lnıćh rovnic na rovnice algebraicke´, nebot’derivace a integrace se redukuje na linea´rnı´ operaci – na´sobenı´ d ¡ j(ωt+ϕ2 ) ¢ I0 e = jωI0 ej(ωt+ϕ2 ) = jω · ı =⇒ jω · dt Z Z 1 1 1 ı dt = I0 ej(ωt+ϕ2 ) dt = I0 ej(ωt+ϕ2 ) = · ı =⇒ · jω jω jω dı = dt

¥ Prˇ´ıklad 5.1 Se´riovy´ RLC obvod di Diferencia´lnı´ rovnice je: u = Ri + L dt + Dosadı´me komplexnı´ promeˇnne´: u = Rı + jωLı +

1 C

1 ı jωC

R

i dt

=⇒

ı=

1 kde R + j(ωL − ωC ) = Z = komplexní impedance Zpeˇtneˇ dostaneme i = Re(ı): µ u i = Re R + j(ωL −

162

u R + j(ωL −

¶ 1 ) ωC

1 ) ωC

5.1. Za´klady teorie sı´tı´

Amplituda proudu je

¯ ¯ 1 I0 = |ı| = |u| · ¯¯ R + j(ωL −

1 ωC

¯ ¯ ¯ = U0 q )¯

1 ¡ R 2 + ωL −

¢ 1 2 ωC

Vidı´me, zˇe i v komplexnı´ symbolice jsme dostali analogii Ohmova za´kona s impedancı´ mı´sto R. Platı´: s ¶2 µ q ¢2 ¡ 1 2 2 |Z| = R + ωL − = |X R + X L + X C | = X R + X L − X C ωC Se´riovy´ RLC obvod ma´ tu vlastnost, zˇe v neˇm mu˚zˇe dojı´t k rezonanci. Pro vhodnou velikost 1 L, C a ω je ωL = ωC =⇒ |Z| je minima´lnı´. Hodnota frekvence odpovı´da´ Thomsonovu vztahu: 1 ω0 = √ LC Fa´ze v se´riove´m RLC obvodu Vra´tı´me se k vy´razu: ¡ ¢ 1 R − j ωL − ωC u j(ωt+ϕ1 ) ¢= ¡ ı= ¡ ¢2 · U0 · e 1 2 1 R + j ωL − ωC R + ωL − ωC Polozˇ´ıme: R q ¡ R 2 + ωL −

1 ωC

¢2 = cos ϕ

1 ωL − ωC q ¡ R 2 + ωL −

1 ωC

¢2 = sin ϕ I0 = q

U0 ¡ R 2 + ωL −

¢ 1 2 ωC

Potom i = I0 ej(ωt+ϕ1 −ϕ) ϕ2 = ϕ1 − ϕ ϕ Q 0 podle pomeˇru vlivu L a C. Prˇi rezonanci platı´ ϕ = 0 ⇐⇒ X = R 1 Mimo ohmicke´ho odporu R ma´me induktanci XL = ωL, kapacitanci XC = ωC , reaktanci p 1 2 X = XL − XC = ωL − ωC a impedanci Z = |Z| = XR + X 2 . Pro fa´zovy´ posuv platı´ tg ϕ = X R 2. Vektorova´ symbolika Mı´sto s komplexnı´mi cˇ´ısly mu˚zˇeme pracovat v komplexnı´ rovineˇ s vektory spojujıćı´mi pocˇa´tek s obrazem dane´ho komplexnı´ho cˇ´ısla. Pru˚meˇty vektoru do os pak jsou rovne´ okamzˇity´m cˇasovy´m hodnota´m velicˇin, je-li de´lka vektoru˚ rovna´ amplitudeˇ a odklon od osy x okamzˇite´ fa´zi. ¥ Prˇ´ıklad 5.2 Se´riovy´ RLC obvod Proud i zvolı´me rovnobeˇzˇny´ s osou x, pak uR je te´hozˇ smeˇru, uL o zpozˇd’uje. Cˇ´ıselne´ hodnoty jsou: |uR | = I0 R

|uL | = ωLI0 163

|uC | =

I0 ωC

π 2

prˇedbı´ha´ a uC se o

π 2

KAPITOLA 5. NESTACIONA´RNI´ ELEKTROMAGNETICKE´ POLE ¥ Prˇ´ıklad 5.3 Se´riovy´ RL obvod *** obra´zek *** ¥ Prˇ´ıklad 5.4 Se´riovy´ RC obvod *** obra´zek *** Protozˇe jsou napeˇtı´ rovna soucˇinu I0 a impedance, mohu prˇ´ımo skla´dat impedance. (??? uf ???) ¥ Prˇ´ıklad 5.5 Paralelnı´ obvody. V tomto prˇ´ıpadeˇ mohu zvolit stejny´ postup, ale mı´sto impedancı´ musı´m skla´dat jejich prˇevraćene´ hodnoty = admitance.

Kirchhoffovy za´kony v komplexnı´ symbolice Pouzˇijeme opeˇt znacˇenı´: u = U0 ej(ωt+ϕ1 ) = U0 ejϕ1 ejωt

U0 ejϕ1 = komplexní amplituda = U

ı = I0 ej(ωt+ϕ2 ) = I0 ejϕ2 ejωt

I0 ejϕ2 = komplexní amplituda = I

I. Kirchhoffu˚v za´kon – v uzlu musı´ platit, zˇe soucˇet okamzˇityćh hodnot proudu˚ je roven nule 0=

n X

ik =

k=1

n X

Re(ık ) = Re

n X

k=1

ık

k=1

Tento vztah ma´ by´t identicky roven nule v libovolne´m cˇase. Protozˇe imagina´rnı´ cˇa´st je proti rea´lne´ posunuta o π2 , pak hodnoty imagina´rnı´ cˇa´sti v cˇase t0 = t + π2 (??? mıćhańı´ cˇasu a fa´ze: ? π ωt0 = ωt + π2 =⇒ t0 = t + 2ω ???) jsou rovny hodnota´m rea´lne´ cˇa´sti v cˇase t =⇒ i imagina´rnı´ cˇa´st je identicky rovna nule =⇒ n X ık = 0 k=1

Vydeˇlenı´m ejωt dostaneme vyja´drˇenı´ v komlexnıćh amplitudaćh n X

Ik = 0

k=1

II. Kirchhofu˚v za´kon n X k=1

Re(uk ) =

n X

Re(z k ık ) = Re

k=1

n X k=1

164

z k ık

5.1. Za´klady teorie sı´tı´ Analogicky jako u I. Kirchhoffova za´kona mu˚zˇeme prˇejı´t ke komplexnı´m velicˇina´m. Pro komplexnı´ amplitudy bude platit n n X X Uk = ZkI k k=1

k=1

Obecneˇ musı´me skla´dat velicˇiny obou Kirchhoffyćh za´konu˚ vektoroveˇ – ne pouze algebraicky. Pro soucˇet n proudu˚ dostaneme I 1 + I 2 + . . . + I n = I v = Iv ejϕv Ã n !2 Ã n !2 X X ik cos ϕk + ik sin ϕk Iv2 = k=1 n P

tg ϕv =

k=1 n P

k=1

ik sin ϕk ik cos ϕk

k=1

Rea´lne´ prvky – prozatı´m jsme deˇlali u´vahy pro idea´lnı´ prvky – odpory (proud a napeˇtı´ jsou ve fa´zi), indukcˇnosti (proud se o π2 zpozˇd’uje za napeˇtı´m) a kapacity (proud se o π2 prˇedbı´ha´). Ve skutecˇnosti majı´ i cı´vky mimo indukcˇnosti ohmicky´ odpor, kondenza´tory svody, . . . Rea´lny´ kondenza´tor – ma´me dveˇ na´hradnı´ schemata – se´riove´ a paralelnı´. (*** obra´zky ***) Stupenˇ odchylky rea´lne´ho kondenza´toru od idea´lnı´ho se popisuje pomocı´ ztra´tove´ho u´hlu δ = π2 − |ϕ| q Se´riove´ sche´ma: Z = RS − ωCj S =⇒ |Z S | = RS2 + ω21C 2 S

Fa´zovy´ posuv napeˇtı´ vu˚cˇi proudu je tg ϕS = X = − ωRS1 CS =⇒ tg δS = ωωCS RS R Tangens ztra´tove´ho u´hlu (ztra´tovy´ cˇinitel) je mı´rou ztra´ty elektricke´ energie ve skutecˇne´m kondenza´toru. S rostoucı´ frekvencı´ ztra´ty rostou, s rostoucı´m RS te´zˇ. Paralelnı´ sche´ma: musı´me scˇ´ıtat admitance – vy´sledna´ admitance Y = R1P + jωCP . Odtud P |Z P | = | Y1 | = (1+ωR 2 C 2 R2 ) P

tg δP =

1 ωCP RP

P

=⇒ s ru˚stem ω ztra´ty klesajı´.

To jsou dveˇ jednoduche´ aproximace, kterou pouzˇijeme za´visı´ na frekvencˇnı´ za´vislosti. Neˇkdy musı´me mı´t slozˇiteˇjsˇ´ı sche´ma. Rea´lna´ cı´vka – pro nı´ se pouzˇ´ıva´ bud’ se´riove´ dvouprvkove´ na´hradnı´ sche´ma nebo zapojenı´ trˇ´ıprvkove´. √ Dvouprvkove´ zapojenı´: Z = R + jωL Z = R2 + ω 2 L2 165

KAPITOLA 5. NESTACIONA´RNI´ ELEKTROMAGNETICKE´ POLE Zava´dı´me cˇinitel jakosti cı´vky Q = tg ϕ = ωL R Pro Q −→ 0 ma´me idea´lnı´ prvek. Trˇ´ıprvkove´ zapojenı´: prˇi vysokyćh frekvencıćh se uplatnı´ i vlastnı´ kapacita cı´vky (mezi za´vity). 1 Potom Y = R+jωL + jωC Vy´pocˇtem bychom dostali, zˇe od urcˇite´ frekvence pocˇne vodivost kapacity prˇevazˇovat (roste ω) a rea´lna´ cı´vka se zacˇne chovat jako kondenza´tor. ˇ esˇenı´ linea´rnıćh elektrickyćh obvodu˚ R 1. Meˇjme obecny´ obvod o q uzlech a n veˇtvıćh; budeme jej popisovat komplexnı´mi amlitudami proudu˚ a napeˇtı´. K rˇesˇenı´ pouzˇijeme Kirchhoffovy za´kony. Pro kazˇdou dvojici spolu spojenyćh uzlu˚ j a k oznacˇ´ıme proud (komplexnı´ amplitudu) procha´zejıćı´ veˇtvı´ I jk (≡ −I kj ). Pokud dvojice uuzlu˚ nenı´ spojena veˇtvı´, bude proud nulovy´. Obvod ma´ n veˇtvı´ =⇒ bude od nuly ru˚znyćh n proudu˚ (ktere´ se nelisˇ´ı pouze znameńkem). Pro u´plnou analy´zu sı´teˇ musı´me najı´t teˇchto n proudu˚ – potrˇebujeme najı´t n neza´vislyćh rovnic. I. Kirchhoffu˚v za´kon – mu˚zˇeme napsat q − 1 neza´vislyćh rovnic (q-ta´ rovnice je jizˇ za´visla´) I 11 + I 12 + . . .

+ I 1q = 0

I 21 + I 22 + . . . .. .

+ I 2q = 0

I (q−1)1 + I (q−1)2 + . . . +I (q−1)q = 0

Vzˇdy platı´, zˇe n > q − 1 (z kazˇde´ho uzlu vycha´zejı´ alesponˇ 3 veˇtve, dva uzly jsou spojeny vzˇdy jen jednou veˇtvı´; maximum je nmax = 21 q(q − 1), jsou-li spojeny vsˇechny uzly navza´jem). Obecneˇ musı´me najı´t dalsˇ´ıch n − (q − 1) rovnic. Ty najdeme z II. Kirchhoffova za´kona musı´me sestavit n − q + 1 rovnic, ktere´ musı´ by´t linea´rneˇ neza´visle´. Smycˇky, ktere´ pomocı´ II. Kirchhoffova za´kona popı´sˇeme, musı´me zvolit metodou u´plne´ho stromu. ´ plny´ strom – soustava veˇtvı´, ktera´ ma´ dveˇ vlastnosti: U a) kazˇdy´ uzel obvodu je spojen se vsˇemi ostatnı´mi veˇtvemi u´plne´ho stromu b) vlastnost a) prˇestane by´t splneˇna, vyjmeme-li libovolnou veˇtev z u´plne´ho stromu Konstrukce u´plne´ho stromu nenı´ jednoznacˇna´, ale vzˇdy ma´me stejny´ pocˇet veˇtvı´, ktere´ k neˇmu nepatrˇ´ı = neza´visle´ veˇtve. (*** obra´zky ***)¨¨ Pocˇet neza´vislyćh veˇtvı´ je n − q + 1 166

5.1. Za´klady teorie sı´tı´ Du˚kaz: 1. veˇtvı´ u´plne´ho stromu prˇipojı´me 2. uzel k 1., 2. veˇtvı´ 3. uzel k 2., . . . , (q − 1). veˇtvı´ prˇipojı´me q. uzel k (q − 1). – neza´vislyćh veˇtvı´ bude n − (q − 1). Musı´me sestavit n − q + 1 rovnic z II. Kirchhoffova za´kona – zvolı´me soustavu smycˇek tak, zˇe kazˇda´ smycˇka bude obsahovat pra´veˇ jednu neza´vislou veˇtev. Potom kazˇda´ smycˇka bude obsahovat alesponˇ jeden cˇlen, ktery´ se nevyskytuje v ostatnıćh rovnicıćh. ¥ Prˇ´ıklad 5.6 **** obra´zky **** Vy´sledkem rˇesˇenı´ linea´rnı´ elektricke´ sı´teˇ pomocı´ Kirchhoffovyćh za´konu˚ je soustava n rovnic o n nezna´myćh (proudech v jednotlivyćh veˇtvıćh). Tato soustava ma´ rˇesˇenı´, ale teˇzˇce se hleda´.

2. Veˇta o superpozici Je to jedna z mozˇnostı´, jak zı´skat rˇesˇenı´ linea´rnı´ sı´teˇ jednodusˇeji. Meˇjme linea´rnı´ sı´t’ s m zdroji elektromotoricke´ho napeˇtı´ E1 , E2 , . . . , Em . Zapojı´me-li jediny´ (l) (l) (naprˇ. l-ty´ zdroj) a ostatnı´ nahradı´me vnitrˇnı´mi odpory, potecˇou veˇtvemi proudy I 1 , . . . , I n . Po zapnutı´ vsˇech zdroju˚ pak potecˇe naprˇ. k-tou veˇtvı´ obvodu proud Ik =

m X

(l)

Ik

l=1

Toto tvrzenı´ se nazy´va´ veˇta o superrpozici. Du˚kaz spocˇ´ıva´ v tom, zˇe elektricka´ sı´t’je slinea´rnı´ (je popsańa Kirchhoffovy´mi za´kony, ktere´ majı´ linea´rnı´ formu). V neˇkteryćh prˇ´ıpadech se da´ sı´t’s jediny´m zdrojem snadno vyrˇesˇit (je to pouze rˇazenı´ obvodu˚), vy´sledek potom zı´ska´me secˇtenı´m cˇa´stecˇnyćh rˇesˇenı´ pro jednotlive´ zdroje.

3. Metoda smycˇkovyćh proudu˚ Nejprve metodou u´plne´ho stromu (naprˇ.) vyhleda´me soustavu neza´vislyćh smycˇek. V kazˇde´ smycˇce vezmeme jeden smycˇkovy´ proud. Z teˇchto smycˇkovyćh proudu˚ lze jednodusˇe zı´skat proudy veˇtvemi, ktere´ jsou hledany´m vy´sledkem (*** obra´zek ***): I 1 = I 01 − I 02

I 4 = I 01

I 2 = I 01 − I 03

I 5 = I 02

I 3 = −I 02 + I 03

I 6 = I 03

Takto zvolene´ smycˇkove´ proudy automaticky splnˇujı´ I. Kirchhoffu˚v za´kon v kazˇde´m uzlu. Pocˇet smycˇkovyćh proudu˚ je roven pocˇtu neza´vislyćh smycˇek, tj. n − q + 1 = p. Pro tyto smycˇky sestavı´me p rovnic podle II. Kirchhoffova za´kona pro promeˇnne´ I 01 , . . . , I 0p obvykly´m zpu˚sobem. To znamena´, zˇe elektromotoricka´ napeˇtı´ bereme s ohledem na smeˇr polarity 167


zdroje vu˚cˇi smeˇru smycˇkove´ho proudu (I 01 ), a ohmicke´ spa´dy napeˇtı´ (zde spa´dy napeˇtı´ na impedancıćh) pocˇ´ıta´me pro vsˇechny zućˇastneˇne´ proudy: Z(I 01 − I 02 ) . . . Zı´ska´me soustavu p rovnic o p nezna´myćh. Tato soustava je urcˇiteˇ jednodusˇsˇ´ı nezˇ u´plna´ soustava n rovnic o n nezna´myćh (n > p). My vlastneˇ prova´dı´me vy´pocˇet dvoustupnˇoveˇ – nejprve nalezneme p smycˇkovyćh proudu˚ a z nich teprve n proudu˚ veˇtvemi. ¥ Prˇ´ıklad 5.7 V nasˇem prˇ´ıkladu (*** odkaz ***) je n = 6 a p = n−q+1 = 3, tj. u´spora je velka´.

4. Theveniova veˇta Existujı´ u´koly, kdy na´s nezajı´ma´ u´plna´ analy´za sı´teˇ, ale potrˇebujeme nale´zt proud tekoucı´ urcˇitou veˇtvı´ obvodu. Pokud v te´to veˇtvi nenı´ zˇa´dny´ zdroj (≡ je pası´vnı´m elementem obvodu), chova´ se zbytek obvodu vu˚cˇi te´to veˇtvi jako zdroj, nebot’ do nı´ doda´va´ energii. Potom mu˚zˇeme nahradit zbytek obvodu na´hradnı´m zdrojem elektromotoricke´ho napeˇtı´ s urcˇitou vnitrˇnı´ impedancı´.

Theveniova veˇta: Proud libovolnou veˇtvı´ obvodu se nezmeˇnı´, jestlizˇe tuto veˇtev vyjmeme z obvodu a prˇipojı´me ji na zdroj, jehozˇ elektromotoricke´ napeˇtı´ je rovno napeˇtı´ U0 , ktere´ bude na uzlech po vyjmutı´ veˇtve a jehozˇ vnitrˇnı´ impedance je rovna impedanci obvodu meˇrˇene´ na teˇchto uzlech po nahrazenı´ vsˇech zdroju˚ jejich vnitrˇnı´mi impedancemi. ¥ Prˇ´ıklad 5.8 Chceme zna´t proud odporem R (*** obra´zek ***) R2 Napeˇtı´ U0 = E R1 +R 2 +Ri 1 +Ri )R2 Odpor obvodu bez R: r = (R R1 +R2 +Ri U0 R2 1 Proud veˇtvı´ s odporem R: I = R+r = E R1 +R (R1 +Ri )R2 2 +Ri R+ R

1 +R2 +Ri

Tento vztah se ovsˇem da´ zı´skat te´zˇ prˇ´ımy´m vy´pocˇtem, ale prˇi slozˇiteˇjsˇ´ıch obvodech se Theveniova veˇta prosadı´ le´pe.

5. Metoda uzlovyćh napeˇtı´ Jedna´ se o metodu dua´lnı´ k metodeˇ smycˇkovyćh proudu˚. Vycha´zı´me z I. Kirchhoffova za´kona a urcˇujeme uzlova´ napeˇtı´ = napeˇtı´ vsˇech uzlu˚ vu˚cˇi jednomu uzlu referencˇnı´mu. Z teˇchto uzlovyćh napeˇtı´ pak lehce najdeme proudy tekoucı´ jednotlivy´mi veˇtvemi. Impedance veˇtvı´ si prˇevedeme na admitance Y lk (veˇtev mezi l-ty´m a k-ty´m uzlem), zdroje napeˇtı´ ve veˇvıćh si prˇevedeme na zdroje proudu (*** obra´zky ***)(I = ZEi , Z 0 i = Z i ) a sestavı´me 168

5.1. Za´klady teorie sı´tı´ soustavu rovnic pro jednotlive´ uzly (0, . . . , q − 1). Y 11 U 10 − Y 12 U 20 − . . . − Y 1(q−1) U (q−1)0 = I 1 −Y 21 U 10 + Y 22 U 20 − . . . − Y 2(q−1) U (q−1)0 = I 2 .. . Y (q−1)1 U 10 − Y (q−1)2 U 20 − . . . + Y (q−1)(q−1) U (q−1)0 = I (q−1) kde Y ii je vlastnı´ admitance i-te´ho uzlu (≡ soucˇet vsˇech admitancı´ z uzlu vycha´zejıćıćh), I i = celkovy´ proud doda´vany´ do i-te´ho uzlu zdroji prˇipojeny´mi k tomuto uzlu.

Porovnańı´ metody uzlovyćh napeˇtı´ a smycˇkovyćh proudu˚: Metoda smycˇkovyćh proudu˚ – je trˇeba nale´zt neza´visle´ smycˇky (u´plny´ strom), pak zı´skat soustavu rovnic aplikacı´ II. Kirchhoffova za´kona. Metoda uzlovyćh napeˇtı´ – pocˇ´ıta´me soustavu (q − 1) I. Kirchhoffovyćh za´konu˚, ale je nutno prˇeve´st zdroje napeˇtı´ na zdroje proudu. Pokud spolu nejsou vsˇechny uzly propojeny, je pocˇet smycˇek obvykle mensˇ´ı nezˇ pocˇet uzlu˚, proto je vy´hodneˇjsˇ´ı metoda smycˇkovyćh proudu˚. Pouze pro komplikovanou sı´t’ (q > 4), kdy jsou spojeny navza´jem vsˇechny uzly, bude vy´hodneˇjsˇ´ı metoda uzlovyćh napeˇtı´ (je q − 1 < n − q + 1)

Meˇrˇenı´ indukcˇnostı´ a kapacit Odpory jsme meˇrˇili – metodou prˇ´ımou (z Ohmova za´kona) – metodou substitucˇnı´ – metodou mu˚stkovou (Wheatstoneu˚v mu˚stek) Mu˚stkova´ metoda – vezmeme si obecny´ mu˚stek s impedancemi Z 1 , Z 2 , . . . , Z 6 (*** obra´zek ***) Mu˚stek bude vyrovnań, budou-li v uzlech b a d stejne´ fa´ze i amplitudy. Pak veˇtvı´ 5 nepotecˇe zˇa´dny´ proud. Podmıńka rovnova´hy je µ ¶ Z1 Z3 Z 1Z 4 = Z 2Z 3 = Z2 Z4 ϕ1 − ϕ2 = ϕ3 − ϕ4 ± 2kπ

k = 0, 1, 2, . . .

U stejnosmeˇrnyćh obvodu˚ se jako indika´tor pouzˇ´ıva´ galvanomeˇr, u strˇ´ıdavyćh obvodu˚ (naprˇ. telefonnı´ slucha´tka, f = 50 − 5000 Hz) citlive´ elektronicke´ prˇ´ıstroje nebo osciloskopy. U strˇ´ıdavyćh obvodu˚ (zejmeńa u vysˇsˇ´ıch frekvencı´) je nutno mu˚stek dokonale stıńit.

169


Meˇrˇenı´ kapacity (??? zkusmo pouzˇiji k forma´tovańı´ odstavcu˚ prostrˇedı´ description ???) U kondenza´toru˚ (rea´lnyćh) musı´me zna´t jejich kapacitu C a ztra´tovy´ u´hel δ . a) Metoda prˇ´ıma´: (*** obra´zek ***) Pro kondenza´tory s maly´m ztra´tovy´m u´hlem je C =

I ωU

b) Metoda mu˚stkova´: Pro meˇrˇenı´ bezztra´tovyćh kondenza´toru˚ pouzˇijeme jednoduchy´ mu˚stek (***obra´zek ***) se dveˇma kondenza´tory (norma´lem laditelny´m a hledany´m). Fa´zova´ podmıńka rovnova´hy mu˚stku je splneˇna vzˇdy, amplitudova´ podmıńka na´m da´ vztah Cx R2 = CN R4 4 Mu˚zˇeme te´zˇ do mu˚stku da´t 4 kondenza´tory, pak CCNx = C . C2 Pro meˇrˇenı´ ztra´tovyćh kondenza´toru˚ se pouzˇ´ıva´ Scheringu˚v mu˚stek (*** obra´zek ***) Cx R4 amplitudová podmínka : = C3 R2

fázová podmínka :

ωC4 R4 = tg δx

c) Metody rezonancˇnı´: Meˇrˇeny´ kondenza´tor zapojı´me do rezonancˇnı´ho obvodu spolu s kvalitnı´ cı´vkou. Z rezonancˇnı´ frekvence a cˇinitele jakosti obvodu mu˚zˇeme spocˇ´ıtat kapacitu a ztra´tovy´ u´hel kondenza´toru. Substitucˇnı´ metoda – nezna´my´ kondenza´tor Cx nahradı´me kapacitnı´m norma´lem nastaveny´m tak, aby se rezonancˇnı´ frekvence nezmeˇnila. Potom Cx = CN . Diferencˇnı´ metoda – zapojı´me paralelneˇ Cx a CN . Zı´ska´me rezonanci prˇi kapaciteˇ norma´lu CN 1 . Pak Cx odpojı´me. Na doladeˇnı´ do stejne´ (?? - str. 120 rukopisu) frekvence musı´me zmeˇnit CN 1 −→ CN 2 . Potom Cx = CN 2 − CN 1 Meˇrˇenı´ indukcˇnosti: a) Metoda prˇ´ıma´: V prˇ´ıpadeˇ stejnosmeˇrne´ho obvodu zmeˇrˇ´ıme odpor cı´vky RL . Potom zmeˇrˇ´ıme p Uef a Ief =⇒ UI = RL2 + ω 2 L2 b) Metody mu˚stkove´: (*** obra´zek ***) R2 L3 R1 R2 R3 Rx = R1 Je nutno realizovat idea´lnı´ indukcˇnı´ norma´l L3 (bez odporu). Lx =

170

5.1. Za´klady teorie sı´tı´

Mu˚stek Maxwellu˚v: (*** obra´zek ***) Vy´pocˇtem by se dostalo: Lx = C1 R2 R3 R2 Rx = R3 R1 c) Metody rezonancˇnı´: Vezmeme bezztra´tovy´ kondenza´tor a L3 – zmeˇrˇ´ıme rezonancˇnı´ frekvenci ω0 = √L1x C . Pokud chceme korigovat vlastnı´ kapacitu cı´vky, musı´me pouzˇ´ıt paralelnı´ rezonancˇnı´ obvod a zmeˇnou kapacity meˇnit rezonancˇnı´ frekvenci. Prˇi dvou hodnotaćh ω1 a ω2 vyrˇesˇ´ım Lx i Cx cı´vky. Meˇrˇenı´ vza´jemne´ indukcˇnosti a) Metoda prˇ´ıma´: Pro efektivnı´ hodnoty platı´: U = ωM I (*** obra´zek ***) b) Pomocı´ meˇrˇenı´ indukcˇnosti: 1. Spojı´me vy´vody 1, 3 a meˇrˇ´ıme indukcˇnost se´riove´ho spojenı´, tj. mezi 2 a 4. 2. Spojı´me vy´vody 1, 4 a meˇrˇ´ıme se´riovou indukcˇnost mezi 2 a 3. Kdyzˇ tecˇe proud souhlasneˇ = LA , kdyzˇ nesoulasneˇ = LB : ) LA = L1 + L2 + 2M 1 M = (LA − LB ) 4 LB = L1 + L2 − 2M

171

Kapitola 6 Za´klady elektroniky Emise elektronu˚ Emise elektronu˚ = vy´stup volnyćh z povrchu pevnyćh la´tek. Prˇedstava: Elektrony uvnitrˇ kovu jsou ”volne´”, ale aby prˇesˇly do vakua, musı´ prˇekonat urcˇitou potencia´lovou barie´ru – musı´ na jejich uvolneˇnı´ by´t vynalozˇena urcˇita´ energie. Rˇ´ıka´me, zˇe musı´ v kovu konat vy´stupnı´ praći. Podle toho, odkud elektrony energii na prˇekonańı´ vy´stupnı´ praće zı´skajı´, rozlisˇujeme neˇkolik druhu˚ emise:

1) Termoemise: Elektrony zı´ska´vajı´ energii prˇi ohrˇevu materia´lu. Pokud ohrˇa´ty´ materia´l vlozˇ´ıme do vakuove´ho syste´mu jako katodu a prˇilozˇ´ıme dosti velke´ napeˇtı´, potecˇe nasyceny´ proud hustoty j . Teplotnı´ za´vislost tohoto proudu je dańa rovnicı´ Richardson – Dushmannovou: µ ¶ Φ . 2 j(T ) = AT exp − Φ = 2 − 5 eV kT (??? velke´ nebo male´ Φ ???) Volt – ampe´rova´ za´vislost diody s termokatodou je: (*** obra´zek ***) Proud zacˇ´ına´ teći jizˇ prˇi U < 0 – na´beˇhovy´ proud, prˇecha´zı´ prˇes oblast proudu omezene´ho PN 3 (??? proudem nasyceny´m str. 121 uprostrˇed ???) (Langmuiru˚v trˇ´ıpolovinovy´ za´kon j = dK2 U 2 ) do proudu nasycene´ho. Na´beˇhovy´ proud je zpu˚soben tı´m, zˇe termoelektrony vystupujı´ z katody s nenulovou rychlostı´. Maxima´lnı´ rychlost elektronu˚ je mozˇno urcˇit z U0 : r 2 U0 e vmax = m 172

2) Fotoemise Elektrony vystupujı´ z katody po jejı´m oza´rˇenı´ elektromagneticky´m za´rˇenı´m. U jevu existuje dlouhovlnna´ mez λ0 , prˇi osveˇtlenı´ la´tky sveˇtlem s λ > λ0 emise nenasta´va´. Vysveˇtlenı´ (Einsteinova teorie fotoemise): Vlneˇnı´ (foton) ma´ energii hν. Tato energie se prˇeda´ jednomu elektronu, cˇa´stecˇneˇ se spotrˇebuje na prˇekonańı´ vy´stupnı´ praće Φ, cˇa´stecˇneˇ na kinetickou energii 1 hν = mv 2 + Φ 2

=⇒

hν0 = Φ

ν > ν0

3) Sekunda´rnı´ emise: Je vyvolańa dopadem dostatecˇneˇ rychlyćh elektronu˚ (elektronova´ sekunda´rnı´ emise) nebo iontu˚ (iontova´ sekunda´rnı´ emise) na povrch kovu. Tyto cˇa´stice vyvolajı´ excitaci vodivostnıćh elektronu˚ kovu, z nichzˇ cˇa´st mu˚zˇe vystoupit do vakua.

4) Autoemise: Vznika´ po prˇilozˇenı´ vysoke´ho elektricke´ho pole na povrch katody. V prˇ´ıpadeˇ kovu musı´ toto pole by´t rˇa´du 106 V.cm−1 . Realizace – hrotovy´ autoemisnı´ projektor nebo tenkovrstva´ katoda M IM . Hrube´ vysveˇtlenı´ spocˇ´ıva´ ve ”vytrha´vańı´” volnyćh elektronu˚ z kovu silny´m elektricky´m polem. Ve skutecˇnosti se jedna´ o tunelovy´ jev, jeden ze za´kladnıćh projevu˚ kvantove´ mechaniky.

Elektronky: Dioda: Nejjednodusˇsˇ´ı elektronka – spojenı´ katody a anody ve vycˇerpane´ na´dobeˇ. Obecneˇ libovolny´ druh emise (fotoemise = fotonka), zejmeńa vsˇak termoemisnı´. Konkre´tnı´ tvar – katoda (= ”dra´t”), anoda – va´lec. Charakteristika (*** obra´zek ***) Trioda: Mezi katodu a anaodu diody vlozˇ´ıme trˇetı´ elektrodu = mrˇ´ızˇku1 ) (L. de Forrest). Konkre´tnı´ tvar – konfigurace diody + va´lcova´ sı´t’ka mezi K a A. Termoemise. Napeˇtı´ na mrˇ´ızˇce silneˇ ovlivnˇuje proud tekoucı´ z katody k anodeˇ. Ma´me dva druhy charakteristik: anodova´ Ia = f (Ua )Ug =konst mrˇ´ızˇkova´ Ia = f (Ug )Ua =konst (*** obra´zky ***) Vidı´me, zˇe male´ zmeˇny mrˇ´ızˇkove´ho napeˇtı´ (v oboru Ug < 0) silneˇ ovlivnˇujı´ anodovy´ proud – elektrony po vy´stupu z katody musı´ projı´t jesˇteˇ za´porneˇjsˇ´ı 1

) grid = anglicky mrˇ´ızˇka

173

KAPITOLA 6. ZA´KLADY ELEKTRONIKY elektrodou ≡ syste´m KG je dioda v oblasti na´beˇhove´ho proudu – anodove´ napeˇtı´ tam zasahuje jen cˇa´stecˇneˇ. Tetroda: Hlavnı´ nevy´hoda triody je znacˇna´ kapacita mezi mrˇ´ızˇkou a anodou, cˇ´ımzˇ docha´zı´ ke zpeˇtne´mu ovlivnˇovańı´ oblasti P N (???) mezi katodou a mrˇ´ızˇkou anodovy´m napeˇtı´m. Proto da´va´me stıńıćı´ mrˇ´ızˇku s potencia´lem kladny´m a jen trochu mensˇ´ım nezˇ potencia´l anody. Tı´m se te´zˇ zlepsˇ´ı dalsˇ´ı parametry elektronky. Pentoda: U tetrody zu˚sta´va´ dalsˇ´ı nezˇa´doucı´ efekt – sekunda´rnı´ emise z anody po dopadu elektronu˚. U triody se tyto elektrony na anodu vra´tily, u tetrody je vsˇak zadrzˇ´ı stıńıćı´ (kladna´) mrˇ´ızˇka. Proto mezi Gs a A vkla´da´me dalsˇ´ı mrˇ´ızˇku – brzdıćı´ (prˇ´ımo v elektronce ji spojujeme s katodou). Musı´ by´t dosti rˇ´ıdka´, aby neomezila prˇ´ılisˇ proud prima´rnıćh elektronu˚. Polovodicˇove´ prvky: Polovodicˇova´ dioda: Je to vlastneˇ zapouzdrˇeny´ P N prˇechod Charakteristika: vysoce nesymetricka´ (v za´veˇrne´m smeˇru Zenerovo napeˇtı´, v propustne´m exponenciela) (*** obra´zek ***) Tranzistor: Polovodicˇova´ trioda – dvojity´ P N prˇechod Usmeˇrnˇovacˇe Jednocestne´ usmeˇrneˇnı´ – vyuzˇije se nesymetriscke´ charakteristiky diody – elektronky i polovodive´ (???) (*** obra´zky ***) Dvojcestne´ usmeˇrneˇnı´ – (*** obra´zky ***) Graetzovo zapojenı´ Filtrace: Chceme-li docı´lit lepsˇ´ıho vyhlazenı´, da´me filtr (*** obra´zky ***)

Zesilovacˇe: Vyjdeme z charakteristiky triody Ia = f (Ug ). Cˇ´ım veˇtsˇ´ı je strmost charakteristiky, tı´m veˇtsˇ´ı ma´me zesı´lenı´. Zapojenı´ triody jako zesilovacˇe:(*** obra´zky ***) Zcela analogicky vypada´ zapojenı´ tranzistoru (se spolecˇny´m emitorem) Trioda Tranzistor

katoda emitor

mrˇ´ızˇka anoda ba´ze kolektor

Zapojenı´ jsou pouze schematicka´, je nutno stabilizovat pracovnı´ bod, jsou ru˚zne´ metody vazby 174

– my malujeme vazbu odporovou, pak je transforma´torova´, kapacitnı´, galvanicka´,. . .

Nynı´ nastupujı´ operacˇnı´ zesilovacˇe

175

Elektřina a magnetismus. Nerecenzovaná verze

Recommend Documents