ANALISIS MODEL MATEMATIKA INTERAKSI INANG DAN PARASITOID SAAT PARASITOID BERHASIL MENEKAN INANGNYA. Oleh : Dewi Anggreini Dosen STKIP PGRI Tulungagung

ANALISIS MODEL MATEMATIKA INTERAKSI INANG DAN PARASITOID SAAT PARASITOID BERHASIL MENEKAN INANGNYA Oleh : Dewi Anggreini Dosen STKIP PGRI Tulungagung ABSTRAKSI: Model matematika merupakan cabang dari matematika yang di dalamnya mengkaji penerapan matematika yang berkenaan dengan kehidupan sehari-hari, salah satunya adalah model matematika interaksi inang Whitefly (Trialeurodes vaporariorum) dengan parasitoid Encarsia formosa. Parasitoid Encarsia Formosa adalah serangga yang hidup dengan cara menumpang dan mengambil sari-sari makanan dari inang Whitefly (Trialeurodes vaporariorum). Whitefly merupakan sejenis serangga hama yang menyerang tanaman rumah kaca. Encarsia formosa digunakan sebagai musuh alami atau pengendali hayati bagi Trialeurodes vaporariorum. Di dalam jurnal ini akan dibahas mengenai model matematika yang dikonstruksi dari interaksi inang Trialeurodes vaporariorum dengan parasitoid Encarsia Formosa. Selanjutnya akan dilakukan analisa dan simulasi model menggunakan program Matlab. Jika Diasumsikan bahwa laju pertumbuhan maksimum dari parasitoid Encarsia formosa lebih besar daripada laju pertumbuhan inang maka solusi dari sistem dengan menggunakan asumsi tersebut adalah

d r rt p(t )  p0 e rt dan ht   h0 e rt    p0 te . Sehingga untuk jangka waktu yang lama  a  populasi parasitoid akan naik secara eksponensial sedangkan populasi hama Whitefly turun secara eksponensial. Jadi penggunaan parasitoid Encarsia formosa efektif untuk mengendalikan hama kutu putih Trialeurodes vaporariorum. Kata Kunci: Model Interaksi, parasitoid, menekan inang

Model matematika merupakan

standar untuk mencari penyelesaian

cabang dari matematika yang di

sistem

dalamnya

nonlinear,

mengkaji

penerapan

persamaan

diferensial

sedangkan

persamaan

matematika yang berkenaan dengan

diferensial linear secara teori sudah

kehidupan

ada metodenya meskipun terkadang

sehari-hari.

Model

matematika juga mempunyai peran

sulit

dalam pemecahan masalah riil salah

Analisa bidang fase digunakan untuk

satunya adalah

mengetahui sifat kualitatif perilaku

bidang

biologi,

penerapan dalam pertanian

dan

entomologi. Banyak sistem persamaan yang

mencari

sistem nonlinear. inang

penyelesaiannya.

persamaan

diferensial

Berdasarkan Whitefly

interaksi

(Trialeurodes

diterapkan dalam menyusun model

vaporariorum)

dengan

matematika, salah satunya adalah

Encarsia formosa, model matematika

persamaan diferensial linear dan

yang

nonlinear. Saat ini belum ada metode

diferensial dan sistem persamaan

berbentuk

parasitoid

persamaan

Dewi Anggreini : Analisis Model Matematika Interaksi Inang Dan Parasitoid Saat Parasitoid Berhasil Menekan Inangnya, April 2014

45

diferensial merupakan cara yang

digunakan

cocok

mengendalikan

dalam

menggambarkan

interaksi antara inang-parasitoid. Parasitoid

Encarsia

tanaman

secara

luas

kutu

rumah

untuk

putih

kaca.

pada

Encarsia

formosa

formosa digunakan sebagai musuh

adalah serangga yang hidup dengan

alami atau pengendali hayati bagi

cara menumpang dan mengambil

Trialeurodes

sari-sari makanan dari inang Whitefly

Encarsia

formosa

(Trialeurodes

ditemukan

pada

vaporariorum).

vaporariorum. mula-mula

sejenis

bunga

Whitefly merupakan sejenis serangga

spesies Pelargonium pada tahun

hama

tanaman

1924 dalam sebuah rumah kaca di

rumah kaca salah satunya adalah

Idaho, Amerika Serikat (Hoddle,

tomat dan mentimun. Whitefly dalam

1998).

yang

menyerang

istilah pertanian dan ekologi biasa

Di dalam penelitian ini akan

disebut sebagai kutu putih atau kutu

dibahas mengenai model matematika

kebul. Hama menyebabkan kerugian

yang

dikonstruksi

petani

inang

Trialeurodes

karena

berkurangnya

dari

interaksi

vaporariorum

produktivitas pertanian, kerusakan

dengan parasitoid Encarsia formosa

tanaman

dan Amitus bennetti.

dan

kerugian

secara

ekonomis. Penggunaan bahan-bahan

LANDASAN TEORI

kimia

dan

Definisi 1 (Anton dan Rorres,

insektisida pada tanaman pertanian

2005) Misalkan A adalah matriks

selain

kerusakan

bujur sangkar. Det (A) didefinisikan

tanaman juga menyebabkan hama

sebagai jumlah semua hasil kali

menjadi kebal terhadap pestisida

elementer bertanda dari A.

seperti

pestisida

menyebabkan

(resisten). Hal ini bisa menyebabkan dampak kerusakan lingkungan dan ekonomi bagi petani. Untuk itu diperlukan

cara

untuk

mengendalikan populasi hama yang

Definisi 2 (Anton dan Rorres, 2005)

Misalkan

berukuran vektor

matriks

A



dan

n  n . Skalar

xn1  0

yang

memenuhi

alami atau istilahnya dikenal dengan

Ax   x

biological control. Encarsia formosa

nilai eigen dan vektor eigen dari A .

merupakan

jenis

serangga

masing-masing

disebut

yang


46

x0  E

Definisi 3 (Perko, 1993) Misalkan L

n



menyatakan

Diberikan

n

f:

fungsi



n

.

n

,

x0  E. Selanjutnya f

T

f  C1  E  ,

n

Df  x0   L 

n

 yang

diferensiabel,

 x0  h   f  x0   D f  x0  h

h 0

h

dengan transformasi linear Df  x0  disebut derivatif f di titik x 0 dan h

n

.



didefinisikan

merupakan x n

norm

Euclide

pada dengan



n

2

n

2

disebut

norm

jika untuk semua x, y 

n

vektor berlaku:

x  0 , x  0 Jika dan hanya jika kx  k x untuk

x = 0, k

maka

selalu

semua

dan berlaku x + y  x + y .

turunan

ada.

Teorema

berikut menjelaskan tentang suatu fungsi

yang

diferensiabel

selalu

memiliki turunan parsial. Teorema 5 (Perko, 1993) Diberikan n



n

,

E

dengan

himpunan terbuka. Jika fungsi f diferensiabel

di

x0  E, maka

fi , i, j  1, 2,..., n , x j

derivatif parsial

x = x1  x2  ...  xn . 2

:

 0,

f :E

Selanjutnya

dikatakan

f diferensiabel

jika

parsialnya

f

di

Jika suatu fungsi diketahui

memenuhi:

lim

kontinu

kontinu di setiap x  E.

jika terdapat suatu transformasi linear

parsial

diferensiabel kontinu pada E, ditulis

dengan f =  f1 , f 2 ,..., f n  . Fungsi f dikatakan diferensiabel di x0 

derivatif

fi , i, j  1, 2,..., n x j

himpunan

semua transformasi linear pada

dan

ada di x 0 dan untuk setiap x0  E, berakibat

f  x0  x j j 1 x j n

Df  x0  x  

dengan

x   x1 , x2 ,..., xn 

T

Definisi 4 (Perko, 1993) Diberikan

f :E

n

himpunan



f   f1 , f 2 ,..., f n  . T

n

,

dengan

terbuka.

Fungsi

E f

dikatakan diferensiabel kontinu di

x0  E jika f

dan

diferensiabel

Dari Teorema 5 jika f suatu fungsi diferensiabel di x0  E, maka

di


47

Df  x0  dituliskan dengan matriks

terbuka.

Jacobian n x n sebagai berikut:

x0  E, maka f kontinu di x0  E .

f diferensiabel

Jika

Selanjutnya jika  f1  x0    x1  f  x   2 0 Df  x0    x1    f n  x0    x1

f1  x0 

f1  x 0    xn  f 2  x 0    xn    f n  x 0    xn 

x2

f 2  x0  x2 f n  x0  x2

Definisi 8 (Perko, 1993) Diberikan

E

n

, E himpunan terbuka dan

f  C  E  . Vektor x  t  disebut solusi

Sistem persamaan diferensial

Teorema 6 (Perko, 1993) Diberikan

f :E 

n



terbuka.

n

diferensiabel

 2.4 

I

jika

x t 

pada

I dan

untuk

interval

setiap t  I

dari f di titik x 0 .

diferensiabel

pada E , maka f kontinu pada E .

pada Df  x0  dinamakan matriks Jacobian

f

di

berlaku x  t   E dan

x  t   f  x  t   , dengan

C E

menyatakan himpunan semua fungsi

E

,

himpunan

f dikatakan

Fungsi

diferensiabel kontinu pada E jika

fi , i, j  1, 2,..., n x j

dan hanya jika

E dan

kontinu pada

I

interval

terbuka. Teorema 9 (Perko, 1993) Jika

E

n

,E

himpunan

terbuka,

f  C1  E  dan x0  E maka terdapat

ada dan kontinu pada E . Fungsi yang kontinu pada

a > 0 sehingga masalah nilai awal

suatu domain belum tentu menjadi

x = f  x  dengan

fungsi

mempunyai solusi tunggal x  t  pada

yang

domain

diferensiabel

tersebut,

akan

pada tetapi

sebaliknya selalu berlaku. Teorema

x 0   x0

interval  a, a .

berikut memberikan hubungan antara

Definisi 10 (Olsder, 1994)

fungsi

x

kontinu

dan

fungsi

diferensiabel.

n

disebut

titik

Titik

ekuilibrium

Sistem  2.4  jika f  x   0.

Teorema 7 (Perko, 1993) Diberikan

f :E 

n



n

,

E

himpunan

METODE PENELITIAN


48

Sebelum diperlukan

membuat

model,

mendasari

terbentuknya

model

informasi-informasi

interaksi inang-parasitoid. Berikut ini

terkait dengan interaksi inang dan

adalah model dasar interaksi mangsa

parasitoid. Informasi yang diperlukan

pemangsa.

berupa

fakta-fakta

terkait

laju

pertumbuhan intrinsik dari inang, efek oviposisi parasitoid dewasa, laju kematian

parasitoid

fungsional.

dan

Setelah

diperoleh

respon

selanjutnya

disusun

pembentukan

model

matematika dengan memperhatikan fakta-fakta dan asumsi-asumsi yang ada. Selanjutnya dari model dicari solusi dari model tersebut kemudian dilakukan analisa dan simulasi dari model matematika tersebut. Setelah itu dilakukan interpretasi dari model

PENELITIAN

DAN

PEMBAHASAN Pengendalian Hayati

fakta-fakta

asumsi-asumsi yang akan digunakan dalam

HASIL

Pengendalian merupakan

hayati

pemanfaatan

penggunaan

musuh

dan

alami

untuk

mengendalikan populasi hama yang merugikan. Penggunaan musuh alami seperti

parasitoid

bertujuan

atau

untuk

predator

menurunkan

populasi hama agar tetap rendah. Pengendalian

hayati

fenomena

penting

merupakan dalam

pengendalian alami.

matematika. Bentuk persamaan matematika dari

Menurut Nyoman Oka (2005)

model tersebut dirumuskan dengan

Musuh alami atau agen pengendalian

memperhatikan

transfer

hayati dapat dikelompokkan menjadi

yang menggambarkan interaksi inang

parasitoid, predator dan patogen.

dengan

Pengendalian

diagram

parasitoid.

hayati

adalah

yang

dihasilkan

pengendalian populasi hama dengan

sistem

persamaan

musuh alami yang sudah terjadi

matematika berbentuk

Model

campur

diferensial.

tangan

manusia

untuk

mencapai tujuan melindungi tanaman Sebelum

membahas

mengenai respon fungsional interaksi inang-parasitoid terlebih dahulu akan diberikan

model

dasar

budidaya

dari

serangan

hama,

melalui cara pemasukan musuh alami dari satu tempat ke tempat lain.

yang


49

Menurut

Aditya

Perdana

(2010) keuntungan penggendalian hama dengan parasitoid antara lain

menyatakan mangsa

perubahan

terhadap

waktu

dp dt

persamaan

daya kelangsungan hidup parasitoid

populasi dan

menyatakan

tinggi, parasitoid hanya memerlukan

perubahan

satu atau sedikit individu inang untuk

terhadap waktu. Konstanta m, a* , q, r

melengkapi daur hidupnya, populasi

semua bernilai positif. Dengan m

parasitoid dapat bertahan meskipun

adalah angka pertumbuhan murni

tingkat populasi inangnya rendah,

dari populasi mangsa,

sebagian besar parasitoid bersifat

angka kematian murni dari populasi

monofag

dan

oligofag

sehingga

memiliki kisaran inang yang sempit. Sifat ini mengakibatkan populasi parasitoid memiliki respon numerik yang

baik

terhadap

perubahan

populasi inangnya.

populasi

a*

pemangsa,

adalah

q

adalah

angka

penangkapan mangsa oleh pemangsa (angka

kematian

dari

r

adalah

mangsa), pertumbuhan pemangsa, interaksi

Model Dasar Mangsa Pemangsa

pemangsa

hp

antara

populasi angka

dari

populasi

adalah

lambang

mangsa

dan

pemangsa. Dalam kehidupan yang Model

dasar

mangsa

pemangsa dari dua interaksi populasi diberikan oleh persamaan LotkaVolterra (1926):

dan dalam interaksi terdapat saling respon antara mangsa dan pemangsa. Selanjutnya, akan diberikan ini

h

adalah populasi mangsa dan

p

persamaan

adalah populasi pemangsa, dengan t waktu.

relevan karena populasi mangsa tidak

pemangsa tidak selamanya menurun

dp  qp  ra*hp dt

adalah

Lotka Voltera di atas sudah tidak

selamanya meningkat atau populasi

dh  mh  a*hp dt

Dalam

nyata saat ini, model persamaan

Persamaan

dh dt

pembentukan

respon

fungsional

Holling tipe II interaksi inangparasitoid berdasarkan model dasar interaksi persamaan

mangsa-pemangsa Lotka

Volterra.


50

Representatif dari populasi mangsa

dengan

yang ditangkap pemangsa dari model

ditangkap

*

N b populasi mangsa yang pemangsa

per

satuan

Lotka Voltera adalah a h yang tidak

waktu. Selain itu, seluruh waktu

bergantung

waktu

yang tersedia bagi pemangsa untuk

kemudian

a*h dinamakan

pemangsaan,

Na .

mencari dan menangani mangsa

Berdasarkan asumsi yaitu terjadi

dilambangkan dengan T , sedangkan

respon antara mangsa dan pemangsa,

waktu yang digunakan untuk mencari

mangsa

merespon

pemangsa

mangsa dilambangkan Ts dan waktu

sehingga

pemangsa

memerlukan

yang digunakan untuk menangani

waktu untuk menangkap mangsa.

mangsa

Selanjutnya N a dimodifikasi menjadi

mengolah, memakan, mengolah dan

representatif

mencerna)

baru

(dilambangkan

(mengejar,

menangkap,

Th .

dilambangkan

Nb ) yang bergantung waktu mencari

Parameter Th ini bergantung dengan

mangsa, angka penangkapan mangsa

populasi mangsa yang ditangkap

dan populasi mangsa yang tersedia.

pemangsa

Hal ini menyatakan bahwa populasi mangsa

yang

ditangkap

yang

sehingga diperoleh persamaan:

per

pemangsa akan berbanding lurus

Ts  T  Th Na .

dengan angka penangkapan mangsa oleh pemangsa (dilambangkan a* ), populasi

mangsa

(dilambangkan

yang

Na

dinamakan

tersedia

h), dan waktu yang

Dari

persamaan

 3.2   3.1 dan  3.2 

diperoleh hubungan sebagai berikut: Nb  a*h T  Th Na 

digunakan untuk mencari mangsa (dilambangkan Ts ) . Parameter ini tidak

bergantung

mangsa,

pada

sehingga

populasi

 Nb  a*hTh Na  a*hT

diperoleh

persamaan: Nb  a*hTs

 Nb  a*hT  a*hTh Na

 3.1

 N   Nb 1  a a*hTh   a*hT  Nb 


51

 Nb 

cukup. Sebelum adanya pemangsa,

a*hT  Na *  a Th h  1  N b  

laju

pertumbuhan

inang proporsional terhadap jumlah populasinya. Dalam hal ini inang menjadi

Na * a Th  b Nb

dan

(laju

kelahiran dikurangi laju kematian)

N a* h  b  . T 1  bh 

Dengan

intrinsik

Nb T

makanan

utama

bagi

parasitoid sehingga sebelum adanya inang,

pertumbuhan

populasi

adalah laju pemangsaan predator atau

parasitoid akan menurun dikarenakan

populasi mangsa yang ditangkap

laju kematian dari parasitoid.

pemangsa

per

satuan

bergantung

mangsa.

waktu

Selanjutnya

persamaan tersebut dituliskan dalam bentuk

Parasitoid inangnya fungsional. adanya

f  h 

a* h 1  bh

satu

inang,

berdasarkan

respon

Sebaliknya

dengan

interaksi

tersebut,

oleh

populasi parasitoid akan dikonversi

 3.3

untuk

Dengan b menyatakan waktu untuk menangani

menyerang

f  h

menyatakan banyaknya inang yang

pertumbuhannya.

Rasio

parasitoid belum dewasa dengan parasitoid dewasa adalah konstan dan populasinya

memiliki

laju

pertumbuhan yang maksimum.

diserang parasitoid per satuan waktu Parameter-parameter

atau banyaknya inang yang diparasit, a* menyatakan angka penyerangan

inang oleh parasitoid. Persamaan

 3.3

merupakan respon fungsional

yang

diberikan untuk membentuk model interaksi

antara

parasitoid

inang

adalah

dengan yang

h(t )

menyatakan populasi inang pada saat Holling tipe II untuk interaksi inang

t, p(t )

menyatakan

populasi

parasitoid. parasitoid Dalam model ini ada dua spesies yang berinteraksi yaitu inang dan

parasitoid.

Populasi

inang

diasumsikan memiliki makanan yang

pada

saat

t,

f  h

menyatakan respon fungsional, a menyatakan efek dari oviposisi pada populasi

parasitoid

menyatakan

laju

dewasa,

r

pertumbuhan


52

intrinsik dari inang, d menyatakan

kontinu dengan f 0  0 , dan f h 

laju kematian dari parasitoid. Semua

diferensiabel kontinu.

parameter tersebut bernilai positif. Respon diasumsikan 

f h 

fungsional merupakan

fungsi

f  h  fungsi



f :R R ,

naik

Berdasarkan tersebut,

dapat

asumsi-asumsi dibuat

diagram

transfer untuk model interaksi inangparasitoid sebagai berikut:

f (h)

af  h  p

f (h) p

h

rh

Berdasarkan asumsi-asumsi dan diagram

dp

p

af  h   d  r

h  h* .

untuk

Laju

transfer di atas diperoleh model interaksi

pertumbuhan inang akan selalu terbatas

inang-parasitoid sebagai berikut:

untuk p  0 , dengan tujuan bahwa laju

dh  rh  f (h) p dt

pertumbuhan

3.4

inang

akan

selalu

dikendalikan oleh parasitoid, dimana nilai h memenuhi h  h * .

dp  (af (h)  d ) p. dt

Selanjutnya, pada bagian ini akan

Analisa Parasitoid Encarsia formosa

dicari titik ekuilibrium Sistem (3.4), yang

Dengan

menyatakan

Inangnya

(Kondisi

Ketika

Parasitoid Dapat Menekan Inangnya) Diasumsikan

bahwa

laju

pertumbuhan maksimum dari parasitoid Encarsia formosa lebih besar daripada laju pertumbuhan inang dengan tujuan untuk menekan populasi inang sehingga dapat mengendalikan populasi hama. Jumlah populasi inang yang berhasil ditekan oleh

keadaan

populasi

berada

dalam keadaan setimbang. Titik Ekuilibrium Model Titik ekuilibrium Sistem (3.4), berada dalam keadaan setimbang, jika fungsi:

 dh dp   ,   (0, 0) .  dt dt 

Keberadaan

titik

ekuilibrium Sistem (3.4) diberikan dalam teorema berikut :

parasitoid dinyatakan dengan h *  0 atau Dewi Anggreini : Analisis Model Matematika Interaksi Inang Dan Parasitoid Saat Parasitoid Berhasil Menekan Inangnya, April 2014

53

Teorema 1 Sistem (3.4) mempunyai titik

(h , p)  (0,0) dan

ekuilibrium

ar h . Jadi besar pertumbuhan populasi d parasitoid

ar (h , p )  (h, h) . d

sebesar

terhadap

inangnya

adalah

ar . d

Bukti : Analisa Nullcline dan Titik Ekuilibrium Dari Sistem (3.4), diperoleh Pada bagian ini akan di bahas analisa Nullcline Sistem (3.4). Tujuannya dh  0  rh  f (h) p  0 dt

 3.5

dp  0  (af (h)  d ) p  0. dt

 3.6 

 3.6 

Dari persamaan atau

Sehingga

diperoleh p  0 atau f (h) 

d . a

Dari

jika

disubtitusikan

ke

persamaan

diperoleh h  0 . lebih lanjut disubstitusikan diperoleh p 

ke

persamaan

penjelasan

p0

 3.5 , f ( h) 

p  p(t )

dari

Sistem (3.4) mendefinisikan suatu kurva pada bidang h  p . Himpunan titik-titik lintasan

berupa

kurva pada bidang h  p , kurva ini disebut

d a

 3.5 ,

ekuilibrium (h , p)  (0,0) dan

 _ _   ar   h, p    h, h     d 

h  h(t ) ,

(h(t ), p(t )) membentuk (3.8)

ar h. Jadi diperoleh titik d

 _ _   ar   h, p    h, h  .Titik    d 

memperoleh

sistemnya tidak mengalami perubahan. Setiap solusi

diperoleh p  0

(3.8),

untuk

mengenai sifat-sifat dari sistem ketika

(af (h)  d )  0.  3.7 

persamaan

adalah

ekuilibrium

trayektori solusi Sistem (3.4) dan bidang h  p disebut

bidang

fase.

Nullcline

merupakan titik-titik pembuat nol yang trayektorinya memenuhi persamaan : dh    h, p  dt dp    h, p  . dt

Jadi,

  h, p   0

  h, p   0 dan

himpunan merupakan

kurva

yang

bahwa

disebut Nullcline.   h, p   0 merupakan

jika besar populasi inang mendekati h

Nullcline sejajar sumbu-p dan   h, p   0

maka besar populasi parasitoid mendekati

merupakan Nullcline sejajar sumbu-h.

menunjukkan


54

 _ _   ar   h, p    h, h  merupakan    d 

Titik

titik

ekuilibrium lokal yang diperoleh dari perpotongan persamaan  3.5 dan  3.6  . Berdasarkan Nullcline  3.5 dengan asumsi af h  d  r untuk h  h* , akan diestimasi

trayektori

dari

persamaan 3.4 . Berdasarkan

asumsi

yaitu

af (h)  d  r  af h  d  r

 f ( h) 

d r . a

Lebih lanjut, diperoleh:

Sistem

dp dp dt  af  h   d  p rp rp     0. dh dh rh  f (h) p rh  f (h) p d r  rh   p dt  a 

Jadi berdasarkan asumsi

af h  d  r

Bukti:

untuk h  h * diperoleh gradien trayektori

Ditinjau Sistem persamaan (3.9) dan (3.10)

positif. Karena itu trayektori dari Sistem

yaitu

3.4 memotong sistem linear : dh d r  rh   p dt  a 

dan

 3.9 

dp  rp. dt

 3.10 

dp  rp. dt

dh d r   rh    p dan dt  a 

Diberikan nilai awal: Kemudian akan dicari solusi dari Sistem

 3.9 

dan

 3.10  ,

h0  h0  0 ,

untuk

p  0   p0  0.

mengetahui interaksi populasi parasitoid Encarsia formosa dan inangnya pada waktu yang akan datang.

Akan dicari solusi dari Sistem persamaan

Teorema 2 : Solusi dari Sistem linear

 3.10 .

dp  rp dt

(3.9) dan (3.10) adalah p(t )  p0 e rt dan

d r rt ht   h0 e    p0 te dengan  a  rt

merupakan nilai awal.

h0 , p0



dp  dt rp 

1  ln p  t  c r


55

 3.16 

 ln p  r (t  c)  eln p  er (t c )

 ln

 p  ert erc  p(t )  c1ert dengan c1  erc .  3.11

Dari persamaan (3.11) untuk t  0 dan dari nilai awal p0  p(0) , maka diperoleh p0  p(0)  c1e  c1 . 0

 3.11 ,

ke

 h  c1ert .

 3.12 

 3.17 

maka diperoleh :

sehingga diperoleh

1  1 rt 1 h  rt e r  c1 h e c1

solusi persamaan (3.10) adalah p(t )  p0ert .

h  c1 e rt



Selanjutnya kedua ruas  3.16  diturunkan,

Lebih lanjut, dengan mensubstitusikan

 3.12 

h  ln c1 ert



 3.13

Selanjutnya akan dicari solusi dari  3.9  ,

1 1 h  r  c1 h c1



1 dh 1 dc1  r h dt c1 dt



dh h dc1   rh. dt c1 dt

diperoleh :

dh d r   rh     p. dt  a  Misalkan ruas kanan konstan, homogen:

maka

 3.14   3.14 

diperoleh

 3.18

Berdasarkan  3.17  , maka diperoleh : bernilai

persamaan

dh  rh  0 dt

 3.15

dh c1e rt dc1   rh dt c1 dt

dh   rdt  0 h



dh dc  ert 1  rh dt dt

dh   rdt   0 h 



dh dc  rh  ert 1 dt dt

 ln h  rt  k , untuk suatu konstanta k

 ert

dc1 d r   p dt  a 

 ln h  ln ert  ln c1 dengan k  ln c1 Dewi Anggreini : Analisis Model Matematika Interaksi Inang Dan Parasitoid Saat Parasitoid Berhasil Menekan Inangnya, April 2014

56

 d  r   rt  dc1     pe dt.  a  Dengan

 3.19  ,

p(t )  p0 e rt

 3.19 

mensubstitusikan

 3.13

maka

ke

d r  rt h  t   h0ert    p0te . a  

diperoleh:

 d  r  rt  rt dc1    p0e e dt  a 

Dari Sistem

 3.22  dan  3.23

maka h  t  akan turun dimulai dari suatu t . Sehingga untuk jangka waktu yang lama populasi parasitoid akan naik secara

d r    dc1      p0 dt  a 

eksponensial sedangkan populasi hama Whitefly

d r    dc1      p0 dt  a 

turun

(Trialeurodes secara

vaporariorum)

eksponensial.

Jadi

penggunaan parasitoid Encarsia formosa

 3.20 

dapat mengendalikan hama kutu putih (Trialeurodes

vaporariorum)

Dengan mensubstitusikan  3.20  ke  3.17 

maksimal.

dan dari syarat awal h0  h0 diperoleh :

Simulasi Numerik

 d r  rt h  c1e      p0 t  c e   a   rt

d r  rt  h0ert    p0te .  a 

 3.23

diperoleh jika p  t  naik secara permanen,

d r   dc1     p0 dt  a 

d r   c1     p0t  c.  a 

 3.22 

secara

Berikut ini akan diberikan grafik solusi Sistem  3.22  dan  3.23 serta Nullcline (3.5). Dari Nullcline (3.5) diperoleh nilai

 3.21

f ( h) 

rh . Diberikan nilai-nilai parameter p

Jadi diperoleh solusi dari Sistem linear

a  0.05, d  0.03, r  0.5, p0  2, h0  6.

 3.9  dan  3.10  adalah :

dengan syarat a  d , r  a  d .


57

500 kurva p (t) 0

nullcline kurva h (t)

h-p

-500

-1000

-1500

-2000

-2500

0

1

2

3

4

5 t

6

7

8

9

10

Gambar 3.1 Grafik solusi h(t) dan p(t) terhadap t. p(t )  p0 e rt dan

Berdasarkan Gambar 3.1 dapat dilihat

tersebut

bahwa pertumbuhan populasi parasitoid

d r rt ht   h0 e rt    p0 te .  a 

untuk waktu yang cukup lama akan naik secara

kontinu

lebih

besar

daripada

pertumbuhan populasi inang dan populasi

adalah

Interpretasi

dari solusi adalah jika p  t  naik secara

inang akan turun secara kontinu untuk

permanen, maka h  t  akan turun dimulai

waktu

Akibatnya

dari suatu t . Sehingga untuk jangka waktu

populasi parasitoid berhasil menekan laju

yang lama populasi parasitoid akan naik

pertumbuhan inangnya.

secara eksponensial sedangkan populasi

yang

cukup

lama.

hama Whitefly turun secara eksponensial. SIMPULAN DAN SARAN

Jadi

penggunaan

parasitoid

Encarsia

formosa

efektif

untuk

mengendalikan

parasitoid seperti pada Sistem 3.4 . Dari

hama

kutu

putih

Trialeurodes

penelitian ini dapat diambil kesimpulan

vaporariorum.

Diberikan model interaksi inang-

Dari simpulan di atas diharapkan

sebagai berikut: laju

penelitian ini bisa memberikan sumbangan

pertumbuhan maksimum dari parasitoid

bagi khasanah ilmu pengetahuan secara

Encarsia formosa lebih besar daripada laju

umum dan

pertumbuhan inang maka solusi dari

matematika) secara khusus. Penelitian ini

sistem

bisa dilanjutkan dengan mengembangkan

Jika

Diasumsikan

dengan

bahwa

menggunakan

asumsi

matematika terapan (model

asumsi yang ada. Seperti kondisi saat Dewi Anggreini : Analisis Model Matematika Interaksi Inang Dan Parasitoid Saat Parasitoid Berhasil Menekan Inangnya, April 2014

58

parasitoid tidak bisa menekan inangnya. Dalam hal ini belum dibahas dalam jurnal penelitian ini. DAFTAR PUSTAKA Anton,

H. and Rorres, C., 2005, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons, Inc., New York. Edelstein, L., Keshet, 2005, Mathematical Models in Biology, Siam, New York. Grasman, J. dkk., 2001, A Two-Component Model of Host-Parasitoid Interaction: Determination of The size of Inundative Releases of Parasitoid in Biological Pest control, J. Math. Bios. 169: 207216. Hoddle, M. dkk., 1998, Encarsia Formosa Hymenoptera: Aphelinidae, Departement of entomology, University of California, Riverside. Holling, C.S., 1959, Some Characteristics of Simple Types of Predation and Parasitism, J.Canad. Entomol. 91: 385-398. Kuznetsov, Y.A., 1998, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer-Verlag, New York. Nelly, dkk., 2004, Tanggap Fungsional Parasitoid Eriborus argenteopilosus (Cameron) Terhadap Crocidolomia Pavonana (Fabricius) pada suhu yang berbeda, J. Hayati, Vol.12, No.1, 17-22. Nyoman Oka, I., 2005, Pengendalian Hama Terpadu Dan Implementasinya Di Indonesia, Gadjah Mada University press. Olsder, G.J., 1997, Mathematical System Theory. Delftse Uitgeverse Maats Capipij b.v, The Netherlands. Perdana, D.A., 2010, Budidaya pertanian (Pengendalian Hayati),

http://dimasadi tyaperdana.blongspot.com/, di akses 3 April 2012. Perko, L., 2001. Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, New York. Rentokil Indonesia, 2012, Panduan Hama Whitefly Trialeurodes Vaporariorum, http://www.rentokil.co.id/pandua n-hama/serangga/, diakses 5 April 2012. Shelton, A., 2011, Biological Control Encarsia

Formosa,

Cornell

university, America. Skalski, G.T. and Gilliam, J.F., 2001, Functional Responses With Predator Interference: Viable Alternatives to the Holling Tipe II Model, J. Ecol. 82: 3083-3092. Soenarko, H., 2009, Biologi Kutu Kebul, http://www.herrysoenarko.blongs pot.com, diakses 23 Februari 2012. Sulistyowati, E. dkk., 2001, Respon Fungsional Parasitoid Cephalonomia Stephanoderis Betr Terhadap bubuk Buah Kopi, Hypothenemus Hampei Ferr, Program Studi Ilmu Hama Tumbuhan, Universitas Gadjah Mada. Tarumingkeng, R.C., Dinamika Populasi (Kajian Ekologi Kuantitatif), 1994, Pustaka Sinar harapan dan Universitas Kristen Krida Wacana, Jakarta. Tim UC IPM Online, 2011, Bagaimana Mengelola Hama: Manajemen Hama dan Identifikasi, http: //www.ipm.ucdavis.edu/PMG/NE/ encarsia_formosa.html, diakses 1 Maret 2012. Tobing, M.A., 2011, Parasitoid, Program Studi Mikrobiologi dan Bioteknologi, Universitas Sumatra Utara.


59

ANALISIS MODEL MATEMATIKA INTERAKSI INANG DAN PARASITOID SAAT PARASITOID BERHASIL MENEKAN INANGNYA. Oleh : Dewi Anggreini Dosen STKIP PGRI Tulungagung

Recommend Documents