I. Urˇ cete integr´ aly a proved’te zkouˇ sku. Urˇ cete interval(y), kde integr´ al existuje. Z 1.
2
xe−x dx
substituce t = x2 Z
Z 2.
1 dx x ln x ln(ln x)
substituce t = ln(ln x), dt = Z 3.
4
x3 ex dx
cos 5x − x · sin 5α + C 5 Z p 7 19. x4 2 + x5 dx subst. t = 2 + x5
1 x ln x
substituce t = x4
Z 20.
1 √ dx 4. 2 1 − x (arcsinx)2 substituce t = arcsinx) Z 2 5. xex dx substituce t = x2
6.
7. 8. 9. 10.
11. 12.
13. 14.
15.
Z 21. Z 22. v 0 = x2 3 v = x3
a substituce t = 1 − x2 , x3 = x2 · x, 1 − t = x2 Z x dx substituce t = x2 e x2 Z Z Z 1 − cos2 x sin2 x 2 dx = dx tg xdx = cos2 x cos2 x Z 3 x dx substituce t = x4 e x4 Z 1 dx = 16 + x2 Z 1 x subst. t = 2 dx 4 16(1 + x16 ) Z ex dx substituce t = 2 + ex 2 + ex Z 1 dx = 3 + x2 Z x 1 subst. t = √ 2 dx 3 3(1 + x3 ) Z 1 e−x + e−2x dx = −e−x − e−2x + C 2 Z 1 √ dx (1 + x) x √ 1 subst. t = x, 1 + t2 = 1 + x, dt = √ dx x Z p 3 x2 1 + x3 dx subst. t = 1 + x3 Z
16. Z 17.
x2 arccosxdx
u = arccosx 0 1 u = − √1−x 2
1 dx x ln2 x √ 3
subst. t = ln x
x2 dx subst. t = 7 + x3 7 + x3
α∈R=
−
Z
Z
sin 5x − sin 5αdx,
18.
Z 23. Z 24. Z 25. Z 26.
√
sin x dx subst. t = 3 + cos x 3 + cos x
√ 7
x4 dx 3 + x5
cos x dx 2 + sin x √
subst. t = 2 + sin x
x dx subst. t = 2 − x3 1 − x2
sin x dx 2 + cos x √
subst. t = 3 + x5
subst. t = 2 + cos x
x2 dx subst. t = 2 − x3 2 − x3
sin5 xdx subst. t = cos x
x3 dx 1 − x2 subst. t = 1 − x2 , x3 = x · x2 , x2 = 1 − t Z 28. cos5 xdx subst. t = sin x Z
27.
Z 29. Z
√
x dx subst. t = 3 − 2x2 3 − 2x2
1 1 1 sin( ) 2 dx subst. t = x x x Z √ Z 5 2 1 − 2x + x2 31. dx = (1 − x) 5 −1 dx 1−x Z 2 32. 4x3 e−2x dx Z 1 2 subst. t = 2x , dt = 4xdx, ⇒ te−t dt 2 u = t v 0 = e−t 0 u = 1 v = −e−t Z Z Z 1 1 ex 33. dx = dx = dx 1 x e−x + ex 1 + e2x ex + e x subst. t = e Z ln2 x 34. dx subst. t = ln x x 30.
II. Urˇ cete integr´ aly a proved’te zkouˇ sku. Urˇ cete interval(y), kde integr´ al existuje.
Z
5x − 3 dx x2 − 5x + 6
15.
Z
3x − 1 dx x2 − 3x + 2
16.
Z
5x − 4 dx 2 x − 8x + 12
17.
Z
2 dx 1 − x2
18.
Z
A 3x + 2 B dx ⇒ + 2x2 + x − 3 x − 1 2x + 3
19.
Z
1 dx 2 x − 6x + 5
20.
1 dx 4 − 9x2
21.
A 7x + 1 B dx ⇒ + 6x2 + x − 1 2x + 1 3x − 1
22.
x dx 2x2 + 3x + 1
23.
1. 2. 3. 4. 5. 6. Z 7. Z 8. Z 9. Z 10.
x2
4x + 1 dx + 3x − 4
Z 11.
2x2 Z
12. 13. Z 14.
8x2 − 103x + 15 dx (x − 1)(x + 3)(x − 6)
Z
2x2 − 8x + 14 dx (x2 − 1)(x − 3)
Z
x2 dx (x + 2)(x2 + 3x + 2)
Z
1 dx x(1 + x2 )
Z
1 + x2 dx x(x2 − 1)
Z
x2 + 4x + 4 dx x(x − 1)2
Z
x2 − 3x + 2 dx x(x + 1)2
Z
32x dx (2x − 1)(4x2 − 16x + 15)
Z
4x2 + 16x dx x(x2 − 4)
Z
1 dx x(6x2 − 7x − 3)
Z
2x2 + 41x − 91 dx (x − 1)(x + 3)(x − 4)
Z
1 dx x(x2 + 4)
Z
x dx (x + 1)(x + 2)(x + 3)
Z
x dx (x − 1)(x2 + x − 2)
24. 25.
2x + 3 dx + 3x − 10
26.
1 dx 3x2 − 2x − 1
27.
x+2 dx x2 + 3x − 4
28.
x2 Z
x dx − 3x − 2
Z
III.Aplikace Vypoˇ ctˇ ete obsah rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho kˇ rivkami 1. y = 4 − x2 ; y = 0 Vypoˇ ctˇ ete obsah rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho
2. y = 6x − x2 ; y = 0
1. parabolou y = x2 − 2x + 2 a jej´ı teˇcnou v bodˇe [3, 5] a osami ox , oy .
3. y = 4 − x2 ; y = x2 4. y = −x2 + 4x − 2; x + y = 2 5. y = x − 2x; y = x
2. kˇrivkou y = ex a jej´ı teˇcnou v bodˇe [0, 1] a pˇr´ımkou x = −1.
6. y = x2 ; x = y 2
3. grafem funkce y = x3 + x2 − 6x pro −3 ≤ x ≤ 3 a osou x.
7. y = x2 − x − 6; y = −x2 + 5x + 14
4. parabolou y = x2 − 6x + 8 a jej´ımi teˇcnami v bodech [1, 3] a [4, 0]
2
8. y = x3 ; y = 4x
5. kˇrivkamixy = 6, x + y − 7 = 0
9. xy = 4; x + y = 5
6. kˇrivkamiy = x2 − 8x + 14, y = −x2 + 4x + 14
π 10. y = tgx; y = 0; x = 4 11. y = sin x; y =
Vypoˇ ctˇ ete obsah rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho osou x a parametricky zadanou kˇ rivkou √ √ 1. x = 3t2 , y = 3t − t3 ; − 3 ≤ t ≤ 3
2x π
12. y = ex ; y = e−x ; x = ln 2
2. x = 2 sin t, y = 2 cos t, 0 ≤ t ≤ π; x = 2 sin t, y = 2 cos t, 0 ≤ t ≤ π
2
13. y = ln x; y = ln x 14. y = sin x; y = cos x; x =
π 3π ; x= 4 4
15. y = arcsinx; y = 0; x = 0; x = 1 2
16. y =
x 8 ; y= 2 4 x +4
17. y = 2x ; x = −1; x = 0; y = 0 18. y = 2x3 ; y =
2 ; x − y = 1; x ≥ 0 x
19. y 2 = 2x + 1, x − y − 1 = 0 2 20. y = tgx, y = cos x, y = 0 3 21. y = arctgx, y = arccosx, x = 0 22. y =
ln x , y = x ln x 4x
3. x = 2(t − sin t), y = 2(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π 4. x = 3 sin3 t, y = 3 cos3 t, 0 ≤ t ≤ π 5. x = 2t − t2 , y = 2t2 − t3 , 0 ≤ t ≤ 2 Vypoˇ ctˇ ete obsah rovinn´ e oblasti ohraniˇ cen´ e k1 a k2 : k1 : x = a cos t, y = b sin t; k2 : x = b cos t, y = b sin t, a, b ∈ R, a > b > 0, t ∈ h< − π2 , π2 i Vypoˇ ete obsah smyˇ cky kˇ rivky x = 3t2 , y = 3t − √ctˇ √ 3 t , − 3≤t≤ 3 Vypoˇ ctˇ ete obsah rovinn´ e oblasti dan´ e nerovnostmi 1. x2 + y 2 ≤ 8, 2y ≥ x2 2. y ≤ 4, x2 ≥ y, x2 ≤ 4y
D´elka oblouku kˇrivky Necht’ je funkce f (x) definovan´ a na intervalu < a, b > a m´a zde spojitou derivaci. Pak d´elka t´eto kˇrivky Z
b
s=
q
2
1 + [f 0 (x)] dx.
a
Necht’ funkce f je d´ ana parametrick´ ymi rovnicemi x = ϕ(t) a y = ψ(t), pˇriˇcemˇz funkce ϕ(t) a ψ(t)jsou spojit´e pro t ∈ hα, βi, pˇriˇcemˇz funkce ϕ(t) a ψ(t) maj´ı spojit´e derivaci na intervalu hα, βi Pak d´elka t´eto kˇrivky Z
β
s= α
Vypoˇ ctˇ ete d´ elku kˇ rivky p 1. y = arcsinx + 1 − x2 , −1 ≤ x ≤ 1 √ √ 2. y = ln x, 3 ≤ x ≤ 8 3. y = 1 − ln(cos x), 0 ≤ x ≤
π 4
4. y 2 = 4x3 , 0 ≤ x ≤ 2, y > 0 5. y = ln(1 − x2 ), 0 ≤ x ≤
1 2
6. x = 2 cos t, y = 2 sin t, 0 ≤ t ≤ π 7. x = 2 cos3 t, y = 2 sin2 t, 0 ≤ t ≤ 2π
q
2
2
[ϕ0 (t)] + [ψ 0 (t)] dt.
Objem rotaˇ cn´ıho tˇ elesa Necht’ je funkce f (x) spojit´ a a nez´ aporn´ a na intervalu < a, b >. Pak rotaˇcn´ı tˇeleso, kter´e vznikne rotac´ı kˇrivoˇcar´eho lichobˇeˇzn´ıka ohraniˇcen´eho shora funkc´ı f (x), osou x a pˇr´ımkami x = a, x = b kolem osy x, m´a objem b
Z
f 2 (x) dx
V =π a
Necht’ funkce f je d´ ana parametrick´ ymi rovnicemi x = ϕ(t) a y = ψ(t), t ∈ hα, βi, pˇriˇcemˇz funkce ϕ(t) m´a spojitou derivaci na intervalu hα, βi a funkceψ(t) je spojit´ a a nez´ aporn´ a na intervalu hα, βi . Pak pro objem rotaˇcn´ıho tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı element´ arn´ı oblasti ϕ(α) ≤ x ≤ ϕ(β), 0 ≤ y ≤ ψ(t) kolem osy x plat´ı: Z
β
V =
ψ 2 (t)|ϕ0 (t)| dt
α
Pro v´ ypoˇcet objemu rotaˇcn´ıho tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı oblasti ohraniˇcen´e kˇrivkami g(x) ≤ f (x) kolem osy x pro x ∈< a, b > pouˇzijeme vztah Z b Z b Z b 2 2 2 V =π f (x) dx − π g (x) dx = π f (x) − g 2 (x) dx a
a
a
Zcela analogicky m˚ uˇzeme urˇcit objem rotaˇcn´ıho tˇelesa, jehoˇz pl´aˇst’ vznikl rotac´ı spojit´e kˇrivky x = h(y), y ∈< c, d > kolem osy y: Z V = c
Vypoˇ ctˇ ete objem rotaˇ cn´ıho tˇ elesa, kter´ e vznikne rotac´ı rovinn´ eho obrazce ohraniˇ cen´ eho zadan´ ymi kˇ rivkami kolem osy x: 1. y = x2 , x = y 2 2. y = x2 , x = y 3 3. y = x2 , y = 1 − x2 4. y = x, y =
1 , x=2 x
5. y = 2 − 2x2 , y = 1 − x2 6. y = tgx, y = 0, x = 0, x =
π 4
7. y = arcsinx, y = 0, x = 0, x = 1 8. xy = 4, y = 0, x = 1, x = 4 9. y = 2x , 3x − 4y + 5 = 0 r x2 − 1 10. y = , y = 0, |x| = 1 x−3 11. x2 + y 2 = 4, x + y = 2 12. y = sin x, y = 0, x = 0, x = π x 2 2 13. y = 2 , y = 2 5 14. x2 − y 2 = 1, x2 + 4y 2 = 0, x ≥ 0
d
h2 (y) dy
Obsah pl´ aˇ stˇ e rotaˇ cn´ıho tˇ elesa Necht’ je funkcef (x) spojit´ a a nez´ aporn´ a na intervalu < a, b > a m´a zde spojitou derivac if 0 (x). Pak pro obsah rotaˇcn´ı plochy vznikl´e rotac´ı oblouku kˇrivkyy = f (x) kolem osy x plat´ı Z S = 2π
b
q 2 f (x) 1 + [f 0 (x)] dx
a
Necht’ je funkce f d´ ana parametrick´ ymi rovnicemi x = ϕ(t) a y = ψ(t), t ∈ hα, βi, pˇriˇcemˇz funkce ϕ(t), ψ(t) maj´ı spojit´e derivace na intervalu hα, βi a funkceψ(t) je nez´ aporn´ a na intervalu hα, βi. Pak pro obsah plochy, kter´a vznikne rotac´ı grafu funkce f kolem osy x plat´ı Z β q 2 2 S = 2π ψ(t) [ϕ0 (t)] + [ψ 0 (t)] dt α
Vypoˇ ctˇ ete obsah rotaˇ cn´ı plochy, kter´ a vznikne rotac´ı dan´ e kˇ rivky kolem osy x: 1. y = x3 , − x 2
2 2 ≤x≤ 3 3
2. y = e + e
−x 2
1. x = 2 cos t, y = 2 sin t, 0 ≤ t ≤ π 2. x = 3 cos3 t, y = 3 sin3 t, 0 ≤ t ≤ π
, 0≤x≤2
3. y 2 = 4x, 0 ≤ x ≤ 3
3. x = 4(t − sin t), y = 4(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π 4. x = sin 2t, y = 2 sin2 t, 0 ≤ t ≤ 2π
4. y = 1 − x, 0 ≤ x ≤ 2 x x 5. y = 2 e 4 + e− 4 , 0 ≤ x ≤ 4
5. x = et sin t, y = et cos t, 0 ≤ t ≤
6. y = sin x, 0 ≤ x ≤ π
6. x 3 + y 3 = 9
1. Vypoˇctˇete povrch vrchl´ıku kulov´e plochy o polomˇeru r, jehoˇz v´ yˇska je v < r.
1. Vypoˇctˇete obsah rotaˇcn´ı plochy, kterou vytvoˇr´ı oblouk paraboly y = 4 − x2 , −2 ≤ x ≤ 2 pˇri ot´aˇcen´ı kolem osy y.
2
2. Vypoˇctˇete obsah √ rotaˇcn´ı plochy, kterou vytvoˇr´ı oblouk paraboly y = 2 x pro 3 ≤ x ≤ 8 pˇri ot´ aˇcen´ı kolem osy x. 3. Vypoˇctˇete obsah rotaˇ p cn´ı plochy, kterou vytvoˇr´ı oblouk kˇrivky y = (1 − x) x3 , 12 ≤ x ≤ 1 pˇri ot´ aˇcen´ı kolem osy x. 4. Vypoˇctˇete obsah rotaˇcn´ı plochy, kterou vytvoˇr´ı oblouk x a x e a + e− a , a > 0, 0 ≤ x ≤ a pˇri ˇretˇezovky y = 2 ot´ aˇcen´ı kolem osy x. 5. Vypoˇctˇete povrch tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı rovinn´e oblasti dan´e nerovnostmi y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ r2 , x + y ≤ r, x ≥ − 2r , r > 0 pˇri ot´ aˇcen´ı kolem osy x.
π 2
2
2. Vypoˇctˇete obsah rotaˇcn´ı plochy, kterou vytvoˇr´ı oblouk √ 3 kˇrivky x = t2 , y = t3 − t, − 3 ≤ t ≤ 0 pˇri ot´ aˇcen´ı kolem osy x. 3. Vypoˇctˇete obsah rotaˇcn´ı plochy, kterou vytvoˇr´ı oblouk kˇrivky x = sin 2t, y = 2 sin2 t, 0 ≤ t ≤ π 4. Vypoˇctˇete obsah rotaˇcn´ı plochy, kterou vytvoˇr´ı oblouk kˇrivky traktrix x = 2 cos t + 2 ln tg 2t , y = 2 sin t, pi 6 ≤t≤ π pˇ r i ot´ a ˇ c en´ ı kolem osy x. 2 5. Vypoˇctˇete povrch tˇelesa, jehoˇz pl´aˇst’ vytvoˇr´ı oblouk kˇrivky x = 4 cos t + 4, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 32 π pˇri ot´ aˇcen´ı kolem osy x.
Fyzik´ aln´ı aplikace: pouˇzit´ı urˇcit´eho integr´ alu pˇri v´ ypoˇctu hmotnosti, statick´ ych moment˚ u, souˇradnic tˇeˇziˇstˇe a moment˚ u setrvaˇcnosti. Necht’ je kˇrivka d´ ana parametrick´ ymi rovnicemi x = ϕ(t) a y = ψ(t), t ∈ hα, βi, pˇriˇcemˇz funkce ϕ(t), ψ(t) maj´ı spojit´e derivace na intervalu hα, βi. Je-li d´elkov´ a hustota ρ kˇrivky konstantn´ı, pak m´a kˇrivka hmotnost β
Z
q
m=ρ
2
2
[ϕ0 (t)] + [ψ 0 (t)] dt
α
Pro statick´ e momenty plat´ı β
Z
q 2 2 ψ(t) [ϕ0 (t)] + [ψ 0 (t)] dt
Sx = ρ α β
Z
q 2 2 ϕ(t) [ϕ0 (t)] + [ψ 0 (t)] dt
Sy = ρ α
Momenty setrvaˇ cnosti t´eto kˇrivky dostaneme ze vztah˚ u: Z β q 2 2 2 ψ (t) [ϕ0 (t)] + [ψ 0 (t)] dt Ix = ρ α
Z
β
q 2 2 ϕ (t) [ϕ0 (t)] + [ψ 0 (t)] dt 2
Iy = ρ α
Sy Sx Tˇ eˇ ziˇ stˇ e T = (ξ, η) m´ a souˇradnice ξ = , η= m m Necht’ je hmotn´ a kˇrivka urˇcen´ a explicitn´ı rovnic´ıy = f (x) se spojitou derivaci f 0 (x) na intervalu < a, b > a konstantn´ı d´elkovou hustotou ρ. Pak m´ a kˇrivka hmotnost Z bq 2 m=ρ 1 + [f 0 (x)] dx a
Pro statick´ e momenty plat´ı: b
Z Sx = ρ
q 2 f (x) 1 + [f 0 (x)] dx
a b
Z Sy = ρ
q x
2
1 + [f 0 (x)] dx
a
Momenty setrvaˇ cnosti t´eto kˇrivky dostaneme ze vztah˚ u: Z b q 2 Ix = ρ f 2 (x) 1 + [f 0 (x)] dx a b
Z
x2
Iy = ρ
q
2
1 + [f 0 (x)] dx
a
Sy Sx Tˇ eˇ ziˇ stˇ e T = (ξ, η) m´ a souˇradnice ξ = , η= m m Tˇ eˇ ziˇ stˇ e a moment setrvaˇ cnosti rovinn´ e oblasti Necht’ je hmotn´a rovinn´a oblast ohraniˇcena kˇrivkami g(x) a f (x), kde g(x) ≤ f (x) na intervalu ha, bi. Pak hmotnost t´eto oblasti s konstantn´ı ploˇsnou hustotou ρ je Z b m=ρ [f (x) − g(x)] dx a
Pro statick´e momenty plat´ı: Z 1 b 2 Sx = ρ [f (x) − g 2 (x)] dx 2 a Z b Sy = ρ x[f (x) − g(x)] dx a
Momenty setrvaˇcnosti t´eto rovinn´e oblasti dostaneme ze vztah˚ u: Z 1 b 3 Sx = ρ [f (x) − g 3 (x)] dx 3 a Z Sy = ρ a
Sy Sx Tˇ eˇ ziˇ stˇ e T = (ξ, η) m´ a souˇradnice ξ = , η= m m
b
x2 [f (x) − g(x)] dx
Vypoˇ ctˇ ete souˇ radnice tˇ eˇ ziˇ stˇ e homogenn´ıho rovinn´ eho obrazce kˇ rivkami
ohraniˇ cen´ eho
1. y = 2x − x2 , y = 0 homogenn´ıho rovinn´ eho oblouku kˇ rivky
2. y 2 = 6x, x = 5 3. y 2 = 4x, x = 0, y = 4
1. y = 0
4. 2y = x2 , 2x = y 2 2. y =
2 5. y = x2 , y = 1 + x2
2x , y=0 π
8. y = sin x, y =
1 , 0≤x≤π 2
√ t3 , 0≤t≤ 3 3 π π 4. x = 2 cos t, y = 2 sin t, − ≤ t ≤ 6 6 5. x = 3 cos3 t, y = 3 sin3 t, 0 ≤ t ≤ π 6. x = 2(t − sin t), y = 2(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π
9. x2 + y 2 = 4, y ≥ 0 10. x = 3(t − sin t), y = 3(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π, y = 0 2
x2 1 − ln x, 1 ≤ x ≤ 2 4 2
3. x = t2 , y = t −
6. y = sin x, y = 0, 0 ≤ x ≤ π 7. y = sin x, y =
x2 + 2, −2 ≤ x ≤ 2 2
7. x = cos t + t sin t, y = sin t − t cos t, 0 ≤ x ≤ π
2
11. x 3 + y 3 = 4, x = 0, y = 0, x ≥ 0, y ≥ 0 12. x = t2 − t, y = t3 + t2 , y = 0 Vypoˇ ctˇ ete moment setrvaˇ cnosti vzhledem k ose y homogenn´ı(ho) hmotn´ e(ho) 1. oblasti ohraniˇcen´e kˇrivkami y =
2 , y = x2 1 + x2
√ 1 2. oblouku kˇrivky dan´e parametricky x = t2 , y = t − t3 , 0 ≤ t ≤ 3 3
