9. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár

SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM

ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK

9. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.)

9.1. Fajlagos nyúlás meghatározása nyúlásmérő bélyeggel Mérőeszköz: 600 -os nyúlásmérő bélyeg (rozetta) Adott: Ismertek egy szilárd test P pontjában az a, b, c irányokban mért nyúlásai. Feladat: Az x, y, z irányú fajlagos  x ,  y ,  z nyúlások, valamint az  x, y  tengelyek között értelmezett  xy szögtorzulás meghatározása. y

nb

nc c

600 600 x

b

a

1 3 nb  i  j, 2 2 1 3 nc   i  j. 2 2

Megoldás: a) Az " a " jelű nyúlásmérő bélyeg hatásvonalában mért nyúlás: a   x . b) Az " b " jelű nyúlásmérő bélyeg hatásvonalában mért nyúlás: 1   1    0 x xy   2  2    1  1 3 3 3  3 1  b  nb   A  nb   0   yx y 0     x   xy   y .   2 4 4 4 2 2  2    0 z   0   0     c) Az " c " jelű nyúlásmérő bélyeg hatásvonalában mért nyúlás: 1    1    0 x xy    2 2     1  1 3 3 3  3 1  c  nc   A  nc    0   yx y 0     x   xy   y .   2 4 4 4  2 2  2    0 z   0   0     Tarnai Gábor

1 / 12



d) Az egyes irányokban mért nyúlás: 1 3 3 II .  b   x   xy   y , I. a   x , 4 4 4 e)

1 3 3 III .  c   x   xy   y . 4 4 4

Az x, y, z irányú fajlagos  x ,  y ,  z nyúlások, továbbá az  x, y  tengelyek között értelmezett  xy szögtorzulás:

 2 3  xy ,  b   c  4  II .  III .   2  b   c     . xy  3  1 3   b   c  2  x  2  y ,  II .  III .   2  b   c    x 2  b   c    a   .  y  3 3 Továbbá:

Tarnai Gábor

z  

 1 



x

y .

2 / 12



9.2. Kör keresztmetszetű prizmatikus rúd hajlítása y

y

2F

Adott:  meg  120 MPa ,

z

x d

F

D

l

l  80 cm , D  40 cm , d  10 cm , F  10 kN .

Feladat: a) A tartó igénybevételi ábráinak megrajzolása. b) Veszélyes keresztmetszet meghatározása. c) Feszültségeloszlás ábrázolása a veszélyes keresztmetszet z és y tengelyei mentén. d) Veszélyes pont meghatározása. e) A tartó szilárdságtani ellenőrzése. Megoldás: a) A befalazott tartó igénybevételi ábrái: y 2F MA d B

D

Támasztó erőrendszer:

Fy  FAy  0 ,

x

A

Fx  0  FAx  2F  F  FAx  10 kN (  ) ,

FAx F

FAy l

6 kNm

6 kNm

B

10 kN N

A

10 kN

0,8 m

 kN 

x

10

Ty

10

 kN  6 kNm

6 kNm

x

Tarnai Gábor

x

b) Veszélyes keresztmetszet: A rúd A és B jelű keresztmetszete között lévő összes keresztmetszet, így az A és B jelű keresztmetszet is.

0

M hz kNm  6

D D 2F  F  M A 2 2  M A  1,5  D  F  1,5  0, 4 10 ,  M A  6 kNm . Ma  0  

y

x 6

3 / 12



c) Feszültségeloszlás ábrázolása a veszélyes keresztmetszet z és y tengelyei mentén:

y

1, 27

y

61,12

y

C M hz

z

 MPa  1, 27

 xN  MPa 

z

 xM

 xN

S

1, 27

 MPa  61,12

1, 27

 xM

z

h

h

 MPa  0

d) Veszélyes pont meghatározása: A d átmérőjű tartó bármelyik keresztmetszetének C pontja.

e) A tartó szilárdságtani ellenőrzése: d 2 1002  A   7853,98 mm2 , 4 4 N 10 103  xN    1, 27 MPa , A 7853,98 d 4 1004    4908738,52 mm4 , 64 64 M 6 106  xM h  hz yC   50  61,12 MPa , Iz 4908738,52 Iz 

 x  C    xN   xM  1, 27  61,12  62,39 MPa , h

 x  C   62,39 MPa <  meg  120 MPa , tehát a tartó megfelel!

Tarnai Gábor

4 / 12



9.3. Prizmatikus rúd összetett igénybevétele (húzás+hajlítás) y y F h A

x

B

S

b

Adott:

B

Rp 0,2  85 MPa ,

z

n  1,2 , b  2a , F  10 kN , l  800 mm , h  100 mm .

l a

Feladat: a) Rajzolja meg a tartó AB szakaszán az igénybevételi ábrákat! b) Határozza meg a tartó veszélyes keresztmetszetét! c) Rajzolja meg a feszültségeloszlást a veszélyes keresztmetszet S pontján átmenő, y és z tengelyei mentén! d) Végezze el a tartó szilárdságtani ellenőrzését hajlításra! e) Végezze el a tartó ellenőrzését húzás+hajlításra! Megoldás: a) A tartó AB szakaszán az igénybevételi ábrái:

y

FA

FB x

MA

MB

N  kN 

Redukáljuk az F erőt a tartó A jelű keresztmetszetének S pontjába: FA  F  10 kN   , M A  h  F  0,110  1 kNm

10

x Ty  kN 

Fx  0  FB  FA

1 kNm

x 1 kNm M hz  kNm  1

Tarnai Gábor

A támasztó erőrendszer:

1

 FB  FA  10 kN  

Ma  0  M A  MB

 M B  M A  1 kNm ,

b) A tartó veszélyes keresztmetszete: az AD szakaszon belül minden keresztmetszet.

x

5 / 12



c) A feszültségeloszlás a keresztmetszet S pontján átmenő, y és z tengelyei mentén:

C

y

D

y

y

M hz S

z

A

 x N 

 x M hz 

 x N 

z

A keresztmetszet veszélyes pontjai: a CD élen lévő összes pont.

 x M hz 

z

0

d) a tartó szilárdságtani ellenőrzése hajlításra:

ab3 a   2a  8a 4 2a 4 Iy     , 12 12 12 3 3

A megengedett feszültség: A maximális feszültség:

 x  C    meg 

3M hz   meg 2a 3

Rp 0,2

80  66, 67 MPa , n 1, 2 M b M 2a 3M hz  x max   x  C   hz  hz4  , I z 2 2a 2 2a 3 3 6 3 10 N  66, 67   3 2a mm2

 meg 



3 106  a  28, 23 mm , 2  66, 667 a biztonság felé kerekítve: a  30 mm , b  60 mm . a

3

e) A tartó ellenőrzése húzás+hajlításra: Az a  30 mm , b  60 mm -es méretek alapján a tényleges keresztmetszeti jellemzők: Iy 

ab3 30  603   540 000 mm4 , A  ab  30  60  1800 mm2 . 12 12

Maximális feszültség:  x meg   x  C  

N x M hz b 10 103 106 60    A I z 2 1800 540 000 2

 x meg   x  C   5,56  55,56  61,12 MPa .

 x max  61,12 MPa   meg  66,67 MPa , a tartó szilárdságtanilag megfelel!

Tarnai Gábor

6 / 12



9.4. Négyzet keresztmetszetű prizmatikus rúd hajlítása

y

y

l1 A

x

B

z

a

l2

F

Adott: Rp 0,2  150 MPa ,

a

C

Az "A" keresztmetszet

l1  1 m , l2  0, 4 m , n  1, 2 , F  12 kN .

Feladat: a) A tartó A  B szakaszán az igénybevételi ábrák megrajzolása. b) Rajzolja meg a tartó A keresztmetszetének feszültség eloszlási ábráit! c) A keresztmetszet " a " méretének meghatározása. d) A tartó szilárdságtani ellenőrzése. Megoldás: a) A tartó igénybevételi ábrái:

y

Helyezzük át a C pontban ható F erőt a B pontba:

MA x

B

A

FAx

M B  l2  F  0, 4 12  4,8 kNm , FB  FC  12 kN .

l2

F

FAy

C

l1

Támasztó erőrendszer:

y MB

MA FAx

FAy

x

B

A

F l1

y 4,8 kNm

4,8 kNm

12 kN

1m

N 12

x

B

A

Fy  FAy  0 , Fx  0  FAx  F  FAx  12 kN (  ) , Ma  0  M A  MB  M A  4,8 kNm .

12 kN

 kN  12

Ty  kN  4,8 kNm

M hz  kNm 

4,8 Tarnai Gábor

x

0 x 4,8 kNm x

4,8 7 / 12



b) A tartó A keresztmetszetének feszültség-eloszlási ábrái: y y a

M hz

z a

D

 xN

S

 xN

 xM

h

E A veszélyes pontok a négyzet alsó

z z

y

 xM

élén, az ED jelű egyenesen vannak . h

0

c) A keresztmetszet " a " méretének meghatározása. a3a a 4 2 Geometriai jellemzők: A  a , Iz   . 12 12 N M  a  12000 2,88 107  Maximális feszültség:  x max   x  E    hz     , A Iz  2  a2 a3 Rp 0,2 150   125 MPa . ahol a megengedett feszültség:  meg  n 1, 2 Behelyettesítés után kapjuk a következő harmadfokú egyenletet: 12000 2,88 106   125 .  x max   meg  a2 a3  xM

h

A tartót - a nagyságrendi különbségek miatt - alapvetően hajlításra méretezzük, majd a kapott keresztmetszetet 5  10% -kal megnöveljük, és a szilárdságtani ellenőrzést arra végezzük el. 2,88 106  125 ,  aH  3 2,304 105  61,305 mm . Ebből tehát: 3 aH A keresztmetszetet 10 % -kal megnöveljük: aH  1,1 a  67, 43 mm ,  aH  70 mm . d) A tartó szilárdságtani ellenőrzése. N M  a  12000 2,88 106  x  E    hz       2, 45  83,97  86, 42 MPa . A Iz  2  702 703 Mivel  x  E   86, 42 MPa   meg  125 MPa , tehát a tartó megfelel! A tényleges biztonsági tényező: nt  Tarnai Gábor

 meg 125   1, 446 .  x  E  86, 42 8 / 12



9.5. Felületi feszültségi állapot szemléltetése y n

x

Adott:  x  60 MPa ,  n  85 MPa ,  mn  15 MPa , valamint

 2 2 n   i 2  2

P

m

 2  2 i j  , m   2  2 

 j  . 

A P pont a test terheletlen felületén van. Feladat: a) Az  F  feszültségi tenzor mátrixának meghatározása. xyz

b) A Mohr-féle kördiagram megrajzolása, és a főfeszültségek értékeinek meghatározása. c) A  red redukált feszültség meghatározása a P pontban. Megoldás: a) Az  F  feszültségi tenzor mátrixának meghatározása: xyz

  0   0   0     

2  2   30 2   xy  2   2   60  xy 2  2 2  y  n    F   n     yx  y    xy , 2   2 2  0  0 0   0         2 2  2 2 2 1  n  n n   30 2   xy   xy  y  30   xy   y ,   2  2  2 2  2 2   2 2  2 2  2 1  mn   nm  n m   30 2   xy   xy  y      30   y .  2  2  2 2  2  2  Megoldandó egyenletrendszer: 1  1   n  30   xy   y  85  30   xy   y  2  2     1 1    mn  30   y 15  30   y   2 2 

y 40  60 40 0   F    40 30 0  MPa .    0 0 0  Tarnai Gábor

30

 xy  40 MPa,



 y  30 MPa.

n

m 60 P

40 x 9 / 12



b) A Mohr-féle kördiagram megrajzolása, és a főfeszültségek értékeinek meghatározása:  mn MPa  Px

60

P3

40

30

Py

n P2

P1 MPa   40

1 = x  0 MPa , 2=

3=

x  y 2

x  y 2

   y  2 2 2   x    xy  45  15  40  2, 28 MPa , 2   2

   y  2 2 2   x    xy  45  15  40  87, 72 MPa . 2   2

c) A  red redukált feszültség meghatározása a P pontban: Mohr szerint:

 red =1   3  87,72 MPa .

Huber-Mises-Hencky szerint:

 red =

Tarnai Gábor

1 2 2 2 1   2    2   3    3  1    86, 6 MPa .  2

10 / 12



9.6. Felületi feszültségi állapot





y



x

Adott:  x  0,2 103 ,

  450 ,

 y  0,1 103 ,

E  2 105 N/m2 ,

 z  0,15 103 ,

  0,2 .

P  A  ? ,

Feladat:

xyz

 F   ? . xyz

Megoldás: A P pont terheletlen felületen van.

 x  xy  F    yx  y   0 0

  x  1  A    yx 2  0  

0 0  , 0 

1  xy 2

y 0

 0  0.   z  

a) Az  A alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása a P pontban: xyz

 3  0, 2 10  1  A e     2 yx  0  

1  xy 2 0,1103 0

 0  0,   z  

2 2 i j, 2 2 2 2 e   i j. 2 2 e 

   e  A  e ,  2 0   2   2     0,1 103 2    xy  2 4 , 0,1103 0       2   2   3 0  z   0   4  xy  0, 05 10 2       1 1    e   A  e   (0,1103   xy )  (  xy  0, 05 103 ) , 4 4 3   0,05 10  0,5 xy ,  3  0, 2 10  1  A     2 yx  0  

1  xy 2



0,15 103  0,05 103  0,5 xy , 0, 2 103  0,5 xy

z   Tarnai Gábor



 1 

x

y   

0, 2  0, 2  0,1103 , 0,8



 xy  0, 4 103 .



 z  0, 25 103 . 11 / 12



b) Az  F  feszültségi tenzor mátrixának meghatározása a P pontban: xyz

E 2 105 2  (0,18) 2     10 ,  0, 2  0, 2  0,1103    x y 2 1  0,96 0,96 0,36 2 x  10  37,5  x  37,5 MPa .  0,96

x 

E 2 105 2  0, 06 2     10 , 0,1  0, 2   0, 2   103  x 2  y 1  0,96 0,96 0,12 2 1 2 y  10  10  y  12,5 MPa .  0,96 8

y  

E 2 105 0,8 2  xy   xy  0, 4 103  10 2 1   2 1, 2 2, 4



 xy  33,3 MPa .

 37,5 33,3 0   F    33,3 12,5 0  MPa .    0 0 0 

Tarnai Gábor

12 / 12

9. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár

Recommend Documents