SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM
ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK
1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló 1.1. Mátrixalgebrai összefoglaló: a) Mátrix értelmezése, jelölése: Mátrix: skaláris mennyiségeknek, számoknak megadott szabály szerint táblázatba rendezett halmaza. ⎡ a11 a12 a13 ⎤ Jelölése: A = ⎢⎢ a21 a22 a23 ⎥⎥ ⎢⎣ a31 a32 a33 ⎥⎦ Négyzetes mátrix: olyan mátrix, amelyben a sorok és oszlopok száma megegyezik. ⎡ a1 ⎤ Oszlopmátrix: ⎡⎣ a ⎤⎦ = ⎢⎢ a 2 ⎥⎥ . ⎢⎣ a 3 ⎥⎦ Sormátrix: ⎡⎣ a ⎤⎦ = [ a1 a 2 T
a3 ]
b) Műveletek mátrixokkal: • Mátrix transzponáltja: tükrözés a főátlóra. A mátrix főátlóját az azonos indexű elemek alkotják. a ⎤ a21 ⎤ T ⎡a ⎡a ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ 11 12 ⎥ ⇒ ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ 11 ⎥ ⎣ a21 a22 ⎦ ⎣ a12 a22 ⎦ ( 2×2 )
•
( 2×2 )
Mátrixok összeadása, kivonása: csak azonos méretű mátrixok adhatók össze, ill. vonhatók ki egymásból. A+B=C
⎡a A = ⎢ 11 ⎣ a21
a12 ⎤ ⎡b ; B = ⎢ 11 ⎥ a22 ⎦ ⎣b21 a12 ⎤ ⎡ b11 ⎡a A + B = ⎢ 11 ⎥±⎢ ⎣ a21 a22 ⎦ ⎣b21 ( 2×2 )
•
b12 ⎤ b22 ⎥⎦ b12 ⎤ ⎡ ( a11 ± b11 ) =⎢ b22 ⎥⎦ ⎣( a21 ± b21 )
( 2×2 )
( a12 ± b12 ) ⎤ ⎡ c11 = ( a22 ± b22 ) ⎥⎦ ⎢⎣c21
( 2×2 )
Mátrix szorzás (sor-oszlop kombináció): A⋅ B = C , ⎡ a11 ⎢a ⎣ 21
a12 ⎤ ⎡ b11 b12 ⎤ ⎡ ( a11b11 + a12b21 ) ⋅ =⎢ a22 ⎥⎦ ⎢⎣b21 b22 ⎥⎦ ⎣( a21b11 + a22b21 )
( 2×2 )
( 2×2 )
( a11b12 + a12b22 ) ⎤ ( a21b12 + a22b22 ) ⎥⎦
( 2×2 )
-1-
c12 ⎤ c22 ⎥⎦
( 2×2 )
A b=c,
⎡ a11 ⎢a ⎣ 21
a12 ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎡ ( a11b1 + a12b2 ) ⎤ ⎡ c1 ⎤ =⎢ ⎥= a22 ⎥⎦ ⎢⎣b2 ⎥⎦ ⎣( a21b1 + a22b2 ) ⎦ ⎢⎣ c2 ⎥⎦ ( 2×1)
( 2×2 )
( 2×1)
( 2×1)
a ⋅B = d , T
T
⎡b b ⎤ a2 ] ⋅ ⎢ 11 12 ⎥ = ⎡⎣( a1b11 + a2b21 ) ( a1b12 + a2b22 ) ⎤⎦ = [ d1 d 2 ] ⎣b21 b22 ⎦ (1×2 ) (1×2 ) 1×2
[ a1
(
( 2×2 )
)
c) Különleges mátrixok: • •
⎡1 0 ⎤ Egységmátrix: E = ⎢ ⎥ . Tulajdonsága: E ⋅ A = A ⋅ E = A . ⎣0 1 ⎦ Az egységmátrixszal történő szorzás nem változtatja meg a megszorzott mátrixot. T Szimmetrikus mátrix: A = A , azaz aij = a ji , ahol ( i, j = 1, 2,3,...) . A mátrix elemei
megegyeznek a főátlóra vett tükörképükkel. ⎡ 1 3 −2 ⎤ Például: A = ⎢⎢ 3 5 7 ⎥⎥ ⎢⎣ −2 7 8 ⎥⎦ •
Ferdeszimmetrikus mátrix: A = − A, azaz aij = −a ji , ahol i, j = 1, 2,3,... . A mátrix T
bármelyik eleme megegyezik a főátlóra vett tükörképének mínusz egyszeresével. Ebből következik, hogy a főátlóban csak zérus elemek lehetnek. ⎡ 0 5 −2 ⎤ Például: A = ⎢⎢ −5 0 1 ⎥⎥ . ⎣⎢ 2 −1 0 ⎦⎥ 1.2. Vektorok skaláris, kétszeres vektoriális és diadikus szorzata: Vektor: irányított geometriai, vagy fizikai mennyiség, ami jellemezhető iránnyal, nagysággal, mértékegységgel. a) Vektorok skaláris szorzata: Skaláris szorzás értelmezése: a ⋅ b = a b cos α , ahol α a vektorok által bezárt szög.
A skaláris szorzás kiszámítása mátrixszorzással: ⎡bx ⎤ a ⋅ b = ⎡⎣ ax a y az ⎤⎦ ⎢⎢by ⎥⎥ = ax bx + a y by + az bz ⎢⎣ bz ⎥⎦ A szorzás eredménye egy skaláris mennyiség. b) Vektorok kétszeres vektoriális szorzata: a × b × c , vagy a × b × c
(
)
(
)
Kiszámítás kétféleképpen lehetséges: a két vektoriális szorzásnak a kijelölt sorrendben történő elvégzésével, a kifejtési tétellel:
-2-
( a × b ) × c = b ( a ⋅ c ) − a ( b ⋅ c ) , ill. a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) . c) Vektorok diadikus szorzata: Legyen adott az a, b és c tetszőleges vektor.
Két vektor diadikus szorzatának jelölése: a b , elnevezése: diád. Két vektor diadikus szorzatát a szorzás tulajdonságainak megadásával értelmezzük: a diadikus szorzás és a skaláris szorzás asszociatív (csoportosítható, azaz a szorzások elvégzésének sorrendjét felcserélhetjük): a b ⋅c = a b⋅c ,
(
-
)
( )
a diád a skaláris szorzás szempontjából nem kommutatív (nem mindegy, hogy egy diádot jobbról vagy balról szorzunk skalárisan egy vektorral, mert más eredményt kapunk). c⋅ a b = a b ⋅c
(
) (
)
Ha a szorzás a fent leírt összefüggéseket kielégíti a szorzás diadikus. Két vektor diadikus szorzatának kiszámítása jobbsodrású, derékszögű koordináta rendszerben. ⎡a x b x a x b y a x bz ⎤ ⎡a x ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ a b ⎤ = a y ⎡ b x b y b z ⎤ = ⎢⎢ a y b x a y b y a y b z ⎥⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎢ a z bx a z by a z bz ⎥ ⎢⎣ a z ⎥⎦ ⎣ ⎦ 1.3. Tenzorok előállítása: a) Tenzorok értelmezése és tulajdonságai: Tenzor: homogén, lineáris vektor-vektor függvény által megvalósított leképezés (hozzárendelés). w = f ( v) = T ⋅ v .
v
hozzárendelés
w
Ow
Ov
A T tenzor a tetszőleges v vektorhoz a w képvektort rendeli hozzá. b) Tenzor előállítása jobbsodratú, derékszögű descartesi koordináta-rendszerben: Tenzor megadása: a tenzor koordinátáival (mátrixával) és koordináta rendszerrel történik. Tenzor koordinátáinak jelölése mátrixba rendezve: ⎡ Txx Txy Txz ⎤ ⎡ T11 T12 T13 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎡ T ⎦⎤ = ⎢ Tyx Tyy Tyz ⎥ = ⎢T21 T22 T23 ⎥ . xyz ⎢ Tzx Tzy Tzz ⎥ ⎢⎣ T31 T32 T33 ⎥⎦ ⎣ ⎦
-3-
Tenzor előállítása: Legyen ismert három értékpár: i →a =f i , a = a x i + a y j + a z k,
() j → b = f ( j), k → c = f (k),
b = b x i + b y j + b z k, c = c x i + c y j + c z k.
(
)
A tenzor diadikus előállítása: T = a i + b j + c k .
⎡a x A tenzor mátrixa: ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢⎢ a y xyz ⎢⎣ a z 1.3.1. Tenzor előállítása: Adott: rP = 12i + 4 j m.
(
bx by bz
cx ⎤ c y ⎥⎥ . c z ⎥⎦
)
Feladat: a) Azon T tenzor mátrixának
y rP
rA
P
előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a helyvektoroknak a koordinátarendszer O kezdőpontjára tükrözött vektorait állítja elő. b) Előállítani azt az rA vektort, amely az rP vektor origóra vett tükörképe.
x
O
A
a) A tenzor előállítása: Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: i → a = −i, j → b = − j.
(
A két értékpárból a tenzor: T = a i + b j
)
⎡ −1 0 ⎤ A tenzor mátrixa: T = ⎢ ⎥. ⎣ 0 −1⎦
b) Az origóra tükrözött rA képvektor meghatározása: ⎡ −1 0 ⎤ ⎡12 ⎤ ⎡ −12⎤ rA = T ⋅ rP = ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎥ = ⎢ −4 ⎥ . − 0 1 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ rA = −12i − 2 j m.
(
)
-4-
1.3.2. Tenzor előállítása: Adott: rP = 8i + 2 j m, ϕ = 60 .
(
)
y
Feladat: a) Azon T tenzor mátrixának
A
előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a helyvektorok z tengely körül ϕ szöggel elforgatott vektorait állítja elő. b) Előállítani azt az rA vektort, amelyet az rP vektor ϕ szöggel történő elforgatásával kapunk.
rA
ϕ
P
rP
x
a) A tenzor előállítása: Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: i → a = cos ϕ i + sin ϕ j ,
y
( ) j → b = ( − sin ϕ i + cos ϕ j ) .
j
b
ϕ
rP
ϕ
x
i A diádok kiszámítása: ⎡a ⎤ ⎡a ⎡a i ⎤ = ⎢ x ⎥ [1 0] = ⎢ x ⎣ ⎦ ay ⎣ ⎦ ⎣a y
0⎤ ⎡cos ϕ 0 ⎤ , = 0⎦⎥ ⎣⎢ sin ϕ 0 ⎦⎥
⎡b ⎤ ⎡0 b x ⎤ ⎡0 − sin ϕ⎤ ⎡ b j ⎤ = ⎢ x ⎥ [ 0 1] = ⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣ ⎦ by ⎣ ⎦ ⎣0 b y ⎦ ⎣0 cos ϕ ⎦ A tenzor mátrixa: ⎡cos ϕ − sin ϕ⎤ ⎡ 0,5 −0,866 ⎤ ⎡⎣ T ⎤⎦ = ⎢ . ⎥=⎢ 0,5 ⎥⎦ ⎣ sin ϕ cos ϕ ⎦ ⎣0,866 b) Az elforgatott rA vektor meghatározása:
⎡cos ϕ − sin ϕ⎤ ⎡ x P ⎤ ⎡ 0,5 −0,866 ⎤ ⎡8 ⎤ ⎡ 2, 268⎤ = rA = T ⋅ rP = ⎢ . ⎥⎢ ⎥ = ⎢ 0,5 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 7,928 ⎥⎦ ⎣ sin ϕ cos ϕ ⎦ ⎣ y P ⎦ ⎣0,866
(
(
)
A két értékpárból a tenzor: T = a i + b j .
a
)
rA = 2, 268i + 7,928 j m.
-5-
1.4. Differenciálszámítás:
Az f függvény deriváltján az
f ( x + h) − f ( x) h →0 h határértéket értjük (feltételezve, hogy létezik és véges). f ′ ( x ) := lim
Az y = f ( x ) függvény deriváltjának jelölései: f ′, f ′ ( x ) , y′, y′ ( x ) , y,
dy stb. , ahol y az idő dx
szerinti első derivált. A derivált x0 helyen vett f ′ ( x0 ) helyettesítési értékét szokás a függvény x0 helyhez tartozó differenciálhányadosának is nevezni. A derivált előállítását deriválásnak vagy differenciálásnak nevezzük. A f ′ ( x0 ) differenciálhányados geometriai jelentése az y = f ( x ) görbe x0 helyhez tartozó érintőjének az iránytangense, azaz f ′ ( x0 ) = tgϑ (1. ábra). y
y = f ( x) érintő
ϑ tgϑ = f ′ ( x0 )
f ( x0 ) ϑ
0
x0
x
1. ábra Amennyiben egy függvény valamely helyen vagy intervallumon deriválttal rendelkezik, akkor a függvény itt differenciálható. A differenciálhatóságból pedig a függvény folytonossága következik. •
Deriválási szabályok: Legyenek u, v, f , g differenciálható függvények. Ekkor:
1.
( Cu )′ = Cu′, C
2.
( u ± v )′ = u ′ ± v′;
3.
( uv )′ = u′v + uv′ ;
állandó;
⎛ u ⎞′ u ′v − uv′ , v ≠ 0; 4. ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠ ′ 5. ⎡⎣f ( g ( x ) ) ⎤⎦ = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g′x láncszabály ; 6. Legyen y = f ( x ) és x = f −1 ( y ) . Ekkor f ′ ( x ) = 7. Ha x = x ( t ) , y = y ( t ) , akkor y′ =
-6-
y . x
1 ⎡⎣ f ( y ) ⎤⎦′ −1
;
• Alapfüggvények deriváltja:
( x )′ = αx
C′ = 0, C állandó
α
( sin x )′ = cos x
( tg x )′ =
1 = 1 + tg 2 x; 2 cos x
( e )′ = e x
α−1
( cos x )′ = − sin x
( ctg x )′ =
−1 = − (1 + ctg 2 x ) 2 sin x
( a )′ = a
x
x
x
⋅ ln a
Értelmezzük a függvény második, harmadik stb. deriváltját. Jelölésük: f ′′, f ′′′, … , f ( n ) ,… . A f függvény differenciálja: df = f ′ ( x ) dx (2. ábra).
y = f ( x)
y
df
dx 0
x
x + dx
x
2. ábra 1.4.1. Példa:
f ( x + h) − f ( x) 1 formula alapján határozzuk meg az f ( x ) = x 2 és a g ( x ) = h →0 h x függvény deriváltját. A f ′ ( x ) := lim
f ′( x)
( x + h) = lim h →0
h
2
− x2
= lim h→0
2 xh + h 2 x 2 + 2 xh + h 2 − x 2 = lim = lim ( 2 x + h ) = 2 x; h →0 h →0 h h
x − ( x + h) 1 1 − ( x + h ) x = lim −h = lim −1 = − 1 . g ′ ( x ) = lim x + h x = lim h →0 h →0 h →0 h ( x + h ) x h →0 x ( x + h ) h h x2
-7-
1.4.2. Példa:
Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltját: 1 1 1 1 1 ′ ⎛ ⎞ 1 − = ; x = ⎜ x2 ⎟ = x 2 = 1 2 2 2 x ⎝ ⎠ 2 x 1 ′ ⎞ ⎛ 43 ⎞′ 4 13 4 3 ′ ⎛ 3 3 x x = ⎜ x⋅x ⎟ = ⎜ x ⎟ = x = x; 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3
( ) (
)
1.5. A határozatlan integrál: A (nagy) F függvényt a (kis) f függvény primitív függvényének nevezzük valamely nyílt intervallumon, ha itt F ′ ( x ) = f ( x ) . Egy függvénynek végtelen sok primitív függvénye van,
és ezek összességét f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölése:
∫ f ( x ) dx + C , ahol C tetszőleges állandó (integrációs állandó). Például: ∫ 2 dx = 2x + C . Alapintegrálok:
x n +1 x3 + C, ahol C konstans , például: ∫ x 2 dx = +C; n +1 3
1.
n ∫ x dx =
2.
∫ x dx = ln x + C ; ∫ e dx = e + C ;
3.
1
x
x
ax 2x + C, például ∫ 2 x dx = +C; ln a ln 2
4.
x ∫ a dx =
5.
∫ sin x dx = − cos x + C; ∫ cos xdx = − sin x + C .
6.
Integrálási szabályok: 1. ∫ k ⋅ f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx = k ⋅ F ( x ) + C , például: ∫ 2 cos xdx = 2sin x + C ;
2.
∫ ( f + g − h ) dx = F + G − H + C , például: ⎛
∫ ⎜⎝ e 3.
x
+ sin x −
n ∫ f ′ ⋅ f dx =
1⎞ x ⎟ dx = e − cos x − ln x + C ; x⎠
f n +1 + C , például: n +1
ln x 1 ln 2 x = = +C; dx ln x dx ∫ x ∫ x fn 2 f′
-8-
4.
f′
∫f
dx = ln f + C, például:
1⎫ ⎬f ′ 1 1 1 x⎭ ∫ x ⋅ ln x dx = ∫ x ln x dx = ∫ ln x} f dx = ln ln x + C , sin x} f ′
∫ tgx dx = − ∫ − cos x} f cos x} f ′
∫ ctgx dx = ∫ sin x} f 5.
F ( kx )
∫ f ( kx ) dx = ∫e
2x − 5
dx =
1
k
2x −5
e
2
dx = ln cos x + C ,
dx = ln sin x + C .
+ C , például: ∫ cos 3x dx =
sin 3x +C, 3
+C,
1
∫ 2x dx = 2 ln x + C F ( ax + b )
n
n +1
6.
∫ ( ax + b ) dx = ( n + 1) a
7.
∫ f ′ e dx = e
9.
∫ ( 6x + 3) sin ( 3x + 3x ) dx = − cos ( 3x + 3x ) + C ∫ f ′ cos ( f )dx = sin ( f ) + C , például: ∫ ( e + 2x ) cos ( e + x ) dx = sin ( e + x ) + C
f
+ C , például:
f
+C
∫2e
f
2x + 3}
f′ 8. ∫ f ′ sin ( f )dx = − cos ( f ) + C , például: 2
x
2
x
f′ Parciális integrálás: ∫ uv′dx = uv − ∫ u′v dx
dx = e2x +3 + C ;
2
x
2
f
1.6. A határozott integrál:
Az f függvény [ a, b] intervallumra vonatkozó határozott integrálján az integrálközelítő összegek sorozatának határértékét értjük (feltéve, hogy ez létezik és véges), b
∫ a
f ( x ) dx := lim
n
max ∆x → 0
∑ f (ξ )∆x , i =1
i
i
(1)
ahol ∆xi = xi − xi −1 , ahol a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b az [ a, b] intervallum egy felosztása, ξi
pedig az [ xi − xi −1 ] részintervallum egy tetszőleges pontja. Azt így értelmezett integrált
Riemann-integrálnak is nevezzük. Ha létezik az (1) határérték, akkor azt mondhatjuk, hogy f az [ a, b] intervallumon integrálható. Ha a függvény folytonos valamely intervallumon, akkor ott integrálható.
-9-
Ha f az [ a, b] intervallumon integrálható, és itt f ( x ) ≥ 0 , akkor az (1) határozott integrál geometriai jelentése az y = f ( x ) görbe alatti és [ a, b] szakasz fölötti síkidom területe. y
y = f ( x)
b
∫ f ( x ) dx > 0 a
x a
b
3. ábra A határozott integrál tulajdonságai: b
b
a
a
∫ cf ( x ) dx = c ∫ f ( x ) dx, b
b
C állandó; b
∫ ⎡⎣ f ( x ) + g ( x )⎤⎦ dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ; a b
c
a
b
a
a
a
c
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx, a < c < b.
- 10 -
