SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM
ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK
13. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) Rácsos tartók 13.1. Példa Adott: Az ábrán látható rácsos tartó méretei és terhelése.
4m
4m 4
3m
9
F1 2
3m Feladat: Határozza meg a támasztóerőket, ill. a rúderőket!
5
D
3
7
B 6
C
G
I.
= 0 = −16 ⋅ FAy − 3 ⋅ 8 + 4 ⋅10 2
9
4
F1
∑ Fy = 0 = FAy − F2 + FBy
D
F2
5
3
E
8
7
FAx
⇒ FBy = 9 kN ↑ x
E
8
1
⇒ FAy = 1 kN ↑
∑F
F2
A
Megoldás: b
4m
G
F1 = 8 kN , F2 = 10 kN .
∑M
4m
B 1
= 0 = FAx + F1
6
C
FAy
FBy
⇒ FAx = −8 kN ← Az I. átmetszéssel az N1 , N 3 és N 4 rúderők számíthatók.
∑M ∑M
a
= 0 = −6 ⋅ N 3 x − 3 ⋅ F1 ⇒ N 3 x = −4 kN ←
a
= 0 = −8 ⋅ N 3 y − 3 ⋅ F1 ⇒ N 3 y = −3 kN ↑
N 3 = − N 3 x + N 3 y = −5 kN 3 2
∑M
2
F1
8 A
= 0 = −8 ⋅ N 4 y − 8 ⋅1 − 3 ⋅ F1
N 4 = − N 4 x 2 + N 4 y 2 = −6, 66 kN 0 = 0 = −8 + F1 + N1 + N 3 x + N 4 x
13-Rácsos tartók
D
N3x C N3 y
1
4
x
N4
N1
⇒ N 4 y = −4 kN ↓
∑F
G N4x
c
c
N4
N4 y
N3 y
3
= 0 = −6 ⋅ N 4 x − 3 ⋅ F1 − 8 ⋅1 ⇒ N 4 x = −5,33 kN ←
∑M
N3x
⇒
N1 = 9,33 kN →
N3
1
1/11
csomópont vizsgálata: N 2 meghatározása.
D
N4 y
∑ Fx = 0 = − N 2 x + N3 x + N 4 x + 8 ⇒ N 2 x = −1,33 kN → ∑F
y
N4x
= 0 = − N 2 y + N 3 y + N 4 y ⇒ N 2 y = −1 kN ↑
N2 = − N2x + N2 y 2
2
= −1, 66 kN /
8 N2x
D
N3x
2
N2 y
N3 y
csomópont vizsgálata: N 5 és N 9 rúderők számítása.
G
∑F
x
N9 x
= 0 = − N 4 x + N 9 x ⇒ N 9 x = −5,33 kN ←
=
N 9y
4 3
⇒
N 9 y = −4 kN ↑
N 9 = − N 9 x 2 + N 9 y 2 = −6, 66 kN 3
∑F
y
G N4x
N9 x N4 y
9
= 0 = − N 4 y − N 5 − N 9 y ⇒ N 5 = 8 kN ↓
N9 y
N5
5
csomópont vizsgálata: N 6 és N8 számítható.
C
∑F
y
N8 y
= 0 = N 3 y + N 5 + N8 y ⇒ N8 y = −5 kN ↓
=
N 8x
3 4
⇒
∑F
x
∑F
y
N 7x
N1
8
= 0 = − N 3 x − N1 + N 8 x + N 6 ⇒ N 6 = 12 kN
N8 x N6
C
6
csomópont vizsgálata: N 7 számítható.
B
N7 y
N8 y
N3x
N8 x = −6, 66 kN ←
N8 = − N8 x 2 + N8 y 2 = −8,33 kN 0
N5
N3 y
= 0 = 9 + N 7 y ⇒ N 7 y = −9 kN ↓
=
3 4
⇒
N 7 x = −12 kN →
N 7 = − N 7 x 2 + N 7 y 2 = −15 kN 2
13-Rácsos tartók
N7 x
N6 7
N7 y
B 9
2/11
Ellenőrzés: csomópont vizsgálata:
E
∑F
= − N 9 x − N8 x + N 7 x = − (−6, 66) + (−12) = 0 = −(−5,33)
N9 x
∑F
N8 x
x
y
= 0 = N 9 y − 10 − N8 y − N 7 y =
N9 y
10 E
= (−4) − 10 − (−5) − (−9) = 0
N7 x
N8 y
N7 y
A támasztóerők illetve a rúderők számított értékei (kN): Húzott rudak: 1, 5, 6 sorszámúak. A rúderők értéke pozitív. (>0.) Nyomott rudak: 2, 3, 4, 7, 8, 9 sorszámúak. A rúderők értéke negatív. (<0.)
5,33
5,33 4
4 5,33
4
8
1,33
4 8
3
1
4
9,33
12
6,66 3
5
8 1
10
5,33
8
1 1,33
4
5
9
6,66
12
12
12
9,33
9
9
Végül ábrázolhatjuk a szerkezetet leegyszerűsítve, ahol a nyomott rudak vastagon (eredeti), a húzott rudak szaggatottan („kötél”) szedettek. G
8 2
9
4
D
3
5 8
10
E
7
8
B 1
1 13-Rácsos tartók
C
6
9 3/11
13.2. Példa
Adott: Az ábrán látható rácsos tartó méretei és terhelése.
B
2
C
3
1
F0 = 15 kN , F1 = 5 kN , a =1 m .
G F0
A
F
7
5
4
Feladat: Határozza meg a rúderőket!
6
9
8
D
a
10
E
G
11
13
12
H
G F1
a
a
a
Megoldás:
Elsőként a támasztó erőket határozzuk meg.
∑ M = 0 = − a ⋅ F + 2a ⋅ F + a ⋅ F ∑ M = 0 = a ⋅ F − 2a ⋅ F + a ⋅ F ∑F = 0 = F −F a
0
e
Ey
0
x
Ax
⇒ FEy = 5 kN ↑
1
Ay
⇒ FAy = 10 kN ↑
1
⇒ FAx = 5 kN →
1
Jelöljük ki a „vakrudakat” (N=0), melyek számítás nélkül is láthatóak. B csomópont egyensúlya: ⇒ ∑ Fx = 0 = N 2
∑F
y
= 0 = − N1
N2
N 2 = 0 vakrúd
⇒
N1 = 0 vakrúd
D csomópont egyensúlya: ⇒ ∑ Fy = 0 = N5
N1 N5
N 5 = 0 vakrúd
N4
N8
Ugyanígy H ill. F csomópontok egyensúlyaiból: N12 = 0 vakrúd, ∑ Fx = 0 = − N12 ⇒
∑F ∑F
y
= 0 = N13
⇒
N13 = 0 vakrúd, ill.
y
= 0 = − N9
⇒
N 9 = 0 vakrúd. 15 kN
B
2
C
6
F
10
G
5 kN 1 5 kN
A
3 4
7
5 D
8
10 kN 1m 13-Rácsos tartók
1m
9 E
11
13
12
H
1m
5 kN 1m 4/11
A számítást ott kezdjük, ahol erőbevezetés van, és maximum 2 rúderő ismeretlen. Kezdhetjük tehát az A vagy a G csomópontnál, és legutoljára hagyjuk a C ill. E jelű csomópontokat. A csomópont egyensúlya: N 3 és N 4 meghatározása.
∑F
N3 y
N1 = 0
y
N3x
5 kN
N4
10 kN
= 0 = N 3 y + 10 ⇒ N 3 y = −10 kN ↓ , tehát az y
összetevő a keresztmetszetbe mutat, ezért az x összetevőnek is befelé kell mutatnia. 1 N3 y tgα = = ⇒ N 3 x = −10 kN ← 1 N3 x N3 = −
∑F
x
( N3 x ) + ( N3 y ) 2
2
3
⇒ N 3 = −10 2 kN
= 0 = 5 + N 3 x + N 4 ⇒ N 4 = −5 − N 3 x = −5 − ( −10 ) = 5 kN → , N 4 = 5 kN
4
G csomópont egyensúlya: N10 és N11 számítása.
N10
5 kN
N11x
∑F
= 0 = − N11 y − N13 ⇒ N11 y = 0 kN , így ⇒ N11x = 0 kN
∑F
= 0 = − N11x − N10 − 5 ⇒ N10 = −5 kN →
y
x
N11y
N13 = 0
N11 = 0 kN vakrúd, ill. N10 = −5 kN
10
F csomópont egyensúlya: N 6 az alábbiak szerint adódik. N6
N10 N9 = 0
∑F
x
= 0 = − N 6 + N10 ⇒ N 6 = −5 kN →
N 6 = −5 kN
∑F
y
6
= 0 -ból látható, hogy N 9 vakrúd.
D csomópont egyensúlya: N8 rúderőt kapjuk.
N5 = 0 N4
N8
∑F
x
N8 = 5 kN
∑F
y
13-Rácsos tartók
= 0 = − N 4 + N8 ⇒ N8 = 5 kN → 8
= 0 -ból látható, hogy N 5 vakrúd.
5/11
E csomópont egyensúlya: N 7 rúderő meghatározható. N7 y
N9 = 0
∑F ∑F
N11 y = 0
N11x = 0
N7 x
= 0 = − N8 − N 7 x ⇒ N 7 x = −5 kN →
y
= 0 = N 9 + N 7 y + N11 y + 5 ⇒ N 7 y = −5 kN ↓
N7 = −
N12 = 0 5 kN
N8
x
( N7 x ) + ( N7 y ) 2
2
=−
( −5) + ( −5) 2
2
= − 5 2 kN
7
N 7 = −5 2 kN
Ellenőrzés: C csomópont egyensúlya:
∑F
x
15 kN
N2 = 0
= 0 − (−10) + (−5) + (−5) = 0
N6
N3x
∑F
y
N7 x
N3 y
= −15 − N 3 y − N 5 − N 7 y =
= −15 − (−10) + 0 − (−5) = 0
N7 y
N5 = 0
= − N 2 − N3 x + N6 + N7 x =
A támasztóerők, illetve a rúderők számított értékei (kN): Vakrudak: 1, 2, 5, 9, 11, 12, 13 sorszámúak. A rúderők értéke nulla. (=0.) Húzott rudak: 4, 8 sorszámúak. A rúderők értéke pozitív. (>0.) Nyomott rudak: 3, 6, 7, 10 sorszámúak. A rúderők értéke negatív. (<0.)
15 0
0
5
5
10
5
5
5
5
0 0
0
10 10
0
5
0
0
0 0
5
0 10
0 0
5
0
5 10
13-Rácsos tartók
5
5
5
5
5
0
0
6/11
Ábrázolhatjuk a szerkezetet leegyszerűsítve, ahol a nyomott rudak vastagon (eredeti), a húzott rudak szaggatottan („kötél”), a vakrudak pedig vékonyan („hurkapálca”) szedettek. Figyeljük meg a terhelő erők, illetve a támasztóerők irányát és nagyságát, valamint azoknak a rudakban ébredő hatását (az erők „lefutását”)! N 3 = −10 2 kN , N 7 = −5 2 kN , (nyomott rudak)
N 6 = −5 kN , N10 = −5 kN , ( CG végig nyomott) N 4 = 5 kN , N8 = 5 kN , ( AE végig húzott).
F0 = 15 kN
2
6
1 A
3
FAx = 5 kN
13-Rácsos tartók
11
13
1m
12 H
E
FAy = 10 kN
1m
9
8
D
F1 = 5 kN
10
7
5
4
G
F
C
B
FEy = 5 kN
1m
1m
7/11
13.3. Példa
a
a
Adott: Az ábrán látható rácsos tartó méretei és terhelése.
A
G F1
B
C
1
F1 = 2 kN , F2 = 4 kN , F3 = 6 kN , a = 1 m .
3
4
7
5
2
6
D
Feladat:
F
G F2
E 9
10
Határozza meg a támasztó erőket illetve a rúderőket!
a
G F3
8
11
a
G
Megoldás: A támasztó erők meghatározása:
∑ M = 0 = 2a ⋅ F + a ⋅ F − a ⋅ F − 2a ⋅ F ∑ M = 0 = a ⋅ F + 2a ⋅ F + a ⋅ F + 2a ⋅ F ∑ F = 0 = −F − F + F g
1
c
y
3
1
3
3
2
Cx
⇒ FCx = 3 kN →
1
2
gx
⇒ FGx = −7kN ←
Cy
⇒ FCy = 8 kN ↑
Jelöljük ki a „vakrudakat” (N=0), melyek számítás nélkül is láthatóak. B csomópont egyensúlya: ∑ Fy = 0 = − N 4 ⇒
N1
B
N3
N 4 = 0 vakrúd N4 = 0
F csomópont egyensúlya: ⇒ ∑ Fx = 0 = N11
N10
N11 = 0 vakrúd
N11
F G F3
13-Rácsos tartók
8/11
y 1m
1m
A
2 kN
8 kN
I.
B 1
3 kN
C
3 4
1m
7
5
2
4 kN
6
D
E II .
9
10
8
F
11
G
1m x
7 kN
6 kN
Az I. átmetszéssel az N 2 , N 3 és N 4 rúderők számíthatók.
∑M ∑M
a
= 0 = −4 ⋅ N 4 ⇒ N 4 = 0 kN vakrúd
d
= 0 = −a ⋅ N3 + a ⋅ 2
⇒ N 3 = 2 kN → húzott
a
3
2 kN
A
N 2 -t A -be tolva:
1
∑ M b = 0 = a ⋅ N 2 y + a ⋅ 2 ⇒ N 2 y = −2 kN ↑ rúdba
a
N 2 -t D -be tolva:
N 2 = − N 2 x 2 + N 2 y 2 = −2 2 kN 3 nyomott
⇒ N1 = 2 kN → húzott
N4
N2 y D
3
A csomópont egyensúlya: N1 ismeretlen A
∑ Fx = 0 = N1 + N 2 x = N1 + (−2)
4
N2x
2
∑ M b = 0 = a ⋅ N 2 x + a ⋅ 2 ⇒ N 2 x = −2 kN ← rúdba
N3
B
2 kN
N1 1
1
2
N2x
N2 y
13-Rácsos tartók
9/11
A II. átmetszéssel az N8 , N 9 és N10 rúderők számíthatók.
∑M
g
= 0 = −a ⋅ N10 + a ⋅ 6 ⇒ N10 = 6 kN ↑ húzott
10
∑M
d
= 0 = a ⋅ N8 − a ⋅ 7 ⇒ N8 = 7 kN ↑ húzott
8
∑F
= 0 = N10 + N 9 y + N8 − 6 ⇒ N 9 y = −7 kN ↓ rúdba
∑F
= 0 = − N 9 x − 7 ⇒ N 9 x = −7 kN → rúdba
y
x
N9 y
D N9 x N10
N8 a
9
8
N9 x
10
F
N9 y
G
11
6 kN
7 kN
a
N 9 = − N 9 x + N 9 y = −7 2 kN 2 nyomott 2
2
9
D csomópont egyensúlya: N 5 és N 6 ismeretlen.
∑F
y
N4 = 0
= 0 = N 2 y + N 4 + N 5 y − N10 − N 9 y
N 5 y = − N 2 y − N 4 + N10 + N 9 y = = −(−2) + (0) + (6) + (−7) = 1 kN N 5 y = +1 kN ↑ a rúdból kifelé mutató összetevő.
N2 y
N5 x
N2x
N6
D
N5 y
Mivel:
N9 x
N10
α
N9 y
N5 x
tgα =
a N5 y = =1 ⇒ a N5 x
N 5 x = +1 kN → hiszen a rúdból szintén kifelé mutathat csak. 5
N 5 = N 5 x 2 + N 5 y 2 = +1⋅ 2 kN ⇒ N 5 = 1 kN / húzott
∑F
x
N5 y
= 0 = − N 2 x + N5 x + N9 x + N6
N 6 = N 2 x − N 5 x − N 9 x = (−2) − (1) − (−7) = +4 kN
⇒ N 6 = 4 kN → húzott
6
C csomópont egyensúlya: N 7 ismeretlen
∑F
y
= 0 = − N5 y − N7 + 8
⇒ N 7 = − N 5 y + 8 = −(1) + 8 = 7 kN N 7 = 7 kN ↓ húzott
C
N3 7
3 kN
N5 x N5 y
13-Rácsos tartók
8 kN
N7
10/11
A támasztóerők, illetve a rúderők számított értékei kN-ban:
2
8 2
2
2
2 3
2
1
0
1
2 0
2
1
7 7
1
2
4
4
4
7 6
7
7
7 7
6 7
7
0
6
0
Elemző ábra: a nyomott rudak vastagon (eredeti), a húzott rudak szaggatottan („kötél”), a vakrudak pedig vékonyan („hurkapálca”) szedettek. Figyeljük meg az erők „futását”!
A
8 kN
2 kN
B
3 kN
C
1
3
4 2
7
5
4 kN
6
D
E 10
F
9
8 11
G
7 kN
6 kN
13-Rácsos tartók
11/11
