SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM
GÉPSZERKEZETTAN ÉS MECHANIKA TANSZÉK
6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás 6.1. Példa r F1
Egy létrát egy verembe letámasztunk az ábrán látható módon. Adott a létra súlya, valamint a létra és a verem méretei:
1m
S
r r G = (− 100 j ) N . A testek érintkező felülete sima.
r FB r G
2m
µ0 = 0 r FA 1,5 m 2m
Feladat: r Határozza meg azt az F1 max erőt, amelynek hatására a létra még éppen nem mozdul el! a. Szerkesztéssel és b. számítással!
Megoldás: a. Elsőként vizsgáljuk meg azt az esetet, mikor a létrára nem hat vízszintes erő, r r vagyis F1 = 0 . Ekkor három erő egyensúlyát vizsgálhatjuk a már tanult módon.
1
r F1 = 0 P r G
r FB
r FB r G
S
r FA
r FA Szerkezeti ábra
r
Erőábra
A másik határeset, mikor a legnagyobb vízszintes erő működik a létra felső végében. Ebben az esetben a létra még éppen nem mozdul meg, vagyis az A pontban ébredő támasztóerő függőleges összetevője éppen nullává válik. Tehát ismert mind a négy erőnek az iránya, egy erő – a súlyerő ismeretében az ún. Culmann-módszer segítségével megszerkeszthetők az ismeretlen támasztóerők, r illetve a szintén ismeretlen F1 max terhelés. P1
r F1 max
r G r FB
Culmann-egyenes
r FA
P2
Szerkezeti ábra
r G
r FB
r F1 max
Erőábra
b. A B támasznál minden esetben a létra hossztengelyére merőleges támasztóerő r ébred, míg az A sarokban ébredő támasztóerő nagysága és iránya függ az F1 erő r nagyságától. A statika alapegyenleteit és az FB erőre vonatkozó geometriai összefüggést fel lehet írni:
2
r FA
Fx = 0 = FAx − FBx + F1 , Fy = 0 = FAy + FBx − G, M c = 0 = −4 FAy + 2,5 G − 3F1 , r és ismerjük az FB erő irányát:
tg 45° =
FBy FBx
=1 ⇒
FBy = FBx .
A fenti egyenletekben az F1 erő, mint változó paraméter szerepel. Vizsgáljuk meg először azt az esetet, mikor ez az erő zérussal egyenlő. Ekkor 0 = FAx − FBx , 0 = FAy + FBx − G, 0 = −4 FAy + 2,5 G, FBy = FBx .
Az egyenletrendszer megoldása: r r r FA = 37,5i + 62,5 j N, r r r FB = − 37,5i + 37,5 j N.
( (
)
)
A másik eset az, amikor az F1 erő eléri maximális értékét, vagyis amikor a létra r elveszti stabilitását és megmozdul. Ez az a pillanat, mikor az FA erő függőleges összetevője zérussá válik, vagyis FAy = 0 . Az egyenletrendszer ebben az esetben: 0 = FAx − FBx + F1 , 0 = FBx − G, 0 = 2,5 G − 3F1 , FBy = FBx . A megoldás: r r F1 max = 83,33i N, r r FA = 16,66i N, r r r FB = − 100i + 100 j N.
( (
(
)
)
)
3
6.2. Példa Egy hasáb-jellegű testet az ábrán látható módon egy verembe helyezünk. Adott a hasáb súlya és az ábráról leolvasható geometria méretek. A hasáb és a verem érintkezéseinél a súrlódás elhanyagolható: r r G = − 400 j N,
(
)
µ 0 ≈ 0.
A
Feladat:
S C
r G
3m
Határozza meg a támasztóerőket a. szerkesztéssel, b. számítással.
2m B
2,5 m 3m
2m
Megoldás: a. A támasztóerők megszerkesztéséhez a Culmann-módszert alkalmazzuk. r r r r r r G + FA + FB + FC = 0. Az ábrán az FBC erő hatásvonala a Culmann-egyenes. 1 42 4 3 r FBC
r FA
Culmann-egyenes eBC
r FA
P1 S
A
r r FB + FC
r G
r FC
P2
r FB
r G r r FA + G
C
r FC
B r FB
Szerkezeti ábra
Erőábra
b. A statika alapegyenleteit felhasználva, az alábbi egyenletrendszert kapjuk: Fy = 0 = FA − FC
(1),
Fx = 0 = − m g + FB M a = 0 = −2,5 G − 1 FC + 3 FB
(2), (3).
4
Az egyenletrendszer megoldása:
(2)
⇒
FB = G = 400 N (↑ ),
(3)
⇒
FC =
(1)
⇒
r r FA = (200i ) kN ,
− 2,5 G + 3 FB = 200 N (←), 1 FA = FC = 200 N (→). r r FB = (400 j ) kN ,
r r FC = (− 200i ) kN .
5
6.3. Példa Az ábrán látható merev FED rudat három másik merev rúddal (AF, BE és CD) támasztottunk meg. Az FED rudat egy vonal mentén egyenletesen megoszló erőrendszer terheli. Adott a szerkezet méretei és terhelése. q0
C
D F
q = 4 kN/m
E
2m 1m A 1m
B 2m
2m
2,5 m
Feladat: Határozza meg az A, a B és a C csuklókban ébredő támasztóerőket a. szerkesztéssel és b. számítással! Megoldás: a. A megoszló terhelő erőrendszer eredője: Fq = q l = 4 ⋅ 5 = 20 kN , ahol l a megoszló terhelés hossza, az eredő helye konstans megoszló terhelésnél a hossz felénél van. A támasztóerők meghatározása a Culmann-szerkesztéssel történik.
F eA r FA
P2 e AB
Culmann-egyenes D E eB r Fq
A
r FC
r FB
r FC r FAB
C eC r Fq
B eq
r r r r r Fq + FC + FA + FB = 0 1 42 3 r4 FAB
r FB
eAB ≡ Culmann-egyenes
P1
Szerkezeti ábra
Erőábra 6
r FA
b. A támasztóerők kiszámíthatók az ún. Ritter-módszerrel, melynek lényege az, hogy a nyomatéki egyenleteket olyan keresztmetszetekre írjuk fel, amelyek a támasztóerők hatásvonalainak metszéspontjaiban helyezkednek el. A támasztó rudakban, így a csuklókban is csakis rúdirányú erők ébrednek, tehát a rudak iránya meghatározza a támasztóerők hatásvonalát. A hatásvonalak az F az E, illetve egy távolabbi P pontban metszik egymást (ld. a fenti szerkezeti ábrát). A nyomatéki egyenletek rendre: 1,5 ⋅ Fq = 10 kN (↑ ), 3 1,5 ⋅ Fq M f = 0 = 6 ⋅ FBx − 1,5 ⋅ Fq ⇒ FBx = = 5 kN (→), 6 1,5 ⋅ Fq M e = 0 = −3 ⋅ FA + 1,5 ⋅ Fq ⇒ FA = = 10 kN (↑ ), 3 − 1,5 ⋅ Fq M p = 0 = −6 ⋅ FC − 1,5 ⋅ Fq ⇒ FC = = −5 kN(←). 6 M f = 0 = 3 ⋅ FBy − 1,5 ⋅ Fq
⇒ FBy =
Az F keresztmetszetre felírt nyomatéki egyenleteknél azt a tételt lehet kihasználni, hogy egy erő a hatásvonala mentén bárhova eltolható, így ha az E pontba toljuk először, akkor csak az y irányú összetevőjének, ha pedig a P pontba toljuk, akkor az x összetevőjének lesz nyomatéka, mert a másik összetevő hatásvonala keresztülmegy az F keresztmetszeten. r r FA = (10 j ) kN ,
r r r FB = (5i + 10 j ) kN ,
7
r r FC = (− 5i ) kN .
6.4. Példa Az ábrán látható szerkezetet egy koncentrált nyomaték, és egy vonal mentén egyenletesen növekvő, megoszló erőrendszer terheli. Adott a szerkezet méretei és terhelése. r M1 q0
C
q 0 max = 4 kN/m,
1,5 m
M 1 = 3 kNm.
A 45° B 3m
Feladat:
Számítsa ki az A, a B és a C csuklókban ébredő támasztóerőket! Megoldás: y F
r FC
r Fq
r M1 E
C D
1,5 m
2m A
45°
r FB
r FA
x
B
3m
Elsőként a megoszló erőrendszer eredőjét és az eredő helyét kell meghatározni. Ebben az esetben az eredő nagysága egyenlő a háromszög területével. Természetesen definíció szerint, a már ismertetett módon felírva a határozott integrált ugyanerre az eredményre jutunk, tehát 8
Fq =
q0 max l = 6 kN . 2
Az eredő hatásvonala áthalad a háromszög súlypontján, ami derékszögű háromszögek esetében a befogókat 1/3 – 2/3 arányban osztják (lásd a fenti ábrát). A feladat Ritter-módszerrel megoldható. A nyomatéki egyenleteket a D, az E és az F keresztmetszetekre írjuk fel. Az A keresztmetszetnél ébredő támaszerő az érintkező felületek közös normálisával megegyező irányú. Esetünkben a támasztó síkra merőleges irányú, vagyis 45°-os szöget zár be a vízszintessel, ez az egyenletek felírásánál is figyelembe vehető. M d = 0 = 1,5 FAy − M 1 − 2 Fq tg 45° =
FAy FAx
⇒ FAy =
M 1 + 2 Fq 1,5
= 10 kN (↑ ),
⇒ FAx = FAy = 10 kN (←),
M f = 0 = 1,5 FC − M 1 − 2 Fq
r r r FA = (− 10i + 10 j ) kN ,
− M 1 − 0,5 Fq
= −4 kN (↓ ), 1,5 M + 2 Fq ⇒ FC = 1 = 10 kN(→). 1,5
M e = 0 = −1,5 FB − M 1 − 0,5 Fq
⇒ FB =
r r FB = (− 4 j ) kN ,
9
r r FC = (10i ) kN .
