SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM
ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK
REZGÉSTAN GYAKORLAT Kidolgozta: Dr. Nagy Zoltán egyetemi adjunktus
14. feladat: Mindkét végén befalazott rúd longitudinális rezgései (kontinuum modell) A, ρ , E
Adott: a mindkét végén befalazott l hosszúságú prizmatikus rúd anyaga és geometriája:
K x
x x=0
u ( x, t ) l
x=l
A = 212 mm 2 , l = 7 m , ρ = 7800 kg/m3 , E = 2 ⋅1011 N/mm 2 .
A rúd keresztmetszetének alakja tetszőleges. Feladat: a) A longitudinális kontinuum-rezgések differenciálegyenletének megoldása. b) A rúd első három sajátfrekvenciájának és a hozzájuk tartozó rezgésképeknek a meghatározása.
Kidolgozás: a) A longitudinális kontinuum-rezgések differenciálegyenletének megoldása: 2 ∂ 2u E ∂ 2 u 2 ∂ u . = = a ∂t 2 ρ ∂x 2 ∂x 2 A differenciálegyenletben u = u ( x, t ) a rúd K keresztmetszetének rúdirányú (a rúd középvonalának irányába eső) elmozdulása.
A longitudinális kontinuum-rezgés mozgásegyenlete:
A megoldást Fourier módszerrel egy, csak a helykoordinátától függő Φ ( x) és egy, csak az időtől függő T (t ) függvény szorzatának alakjában keressük: ⎡ ⎛α ⎞ ⎛ α ⎞⎤ u ( x, t ) =Φ ( x ) T ( t ) = ⎢ D1 cos ⎜ x ⎟ + D2 sin ⎜ x ⎟⎥ ⎡⎣cos (α t + ε ) ⎤⎦ . ⎝a ⎠ ⎝ a ⎠⎦ ⎣ A megoldásban szereplő D1 , D 2 állandók a rúd két végére felírt peremfeltételekből határozhatók meg: Az x = 0 helyen a keresztmetszet elmozdulása: u ( x = 0, t ) = ⎣⎡ D1 ⋅1 + D2 ⋅ 0⎦⎤ ⎣⎡cos (α t + ε ) ⎦⎤ = 0. ⇓ D1 = 0. ⎛α ⎞ Az x = l helyen a keresztmetszet elmozdulása: u ( x = l, t ) = D2 sin ⎜ l ⎟ ⎡⎣cos (α t + ε )⎤⎦ = 0. ⎝a ⎠ ⇓ ⎛α ⎞ D 2 = 0, vagy sin ⎜ l ⎟ = 0 . ⎝a ⎠ A D 2 = 0 esetén az u ( x, t ) ≡ 0 megoldást kapnánk, ami számunkra érdektelen (mert azt je-
lenti, hogy nincs rezgés). Ezért a másik lehetőséget vizsgáljuk meg (ez esetben D 2 értéke tetszőleges):
1
α ⎛α ⎞ A sin ⎜ l ⎟ = 0 abban az esetben teljesül, ha l = i π , ahol (i = 0,1, 2,3, .... , ∞) . a ⎝a ⎠ Ebből a feltételből kapjuk a longitudinális kontinuum-rezgés saját körfrekvenciáit: a 1 E α i = iπ = iπ , ( i = 1, 2,3, .... , ∞ ). l l ρ b) A rúd első három sajátfrekvenciájának és a hozzájuk tartozó rezgésképeknek a meghatározása és megrajzolása: 2 ⋅1011 = 5063, 7 m/s , állandó fizikai jelentése: a 7800 ρ longitudinális rezgés (rezgéshullám) terjedési sebessége a rúdban. ⎛α ⎞ A rezgésképeket a Φ = Φ ( x ) függvény ábrázolásával kapjuk: Φ i = Φ i ( x ) = D2 sin ⎜ i x ⎟ . ⎝ a ⎠ Legyen a továbbiakban D 2 = 1 .
Az összefüggésben szereplő a =
E
=
i=1 - első saját körfrekvencia, első rezgéskép: Φ1 1,0 0,5
+ x
0 −0,5
−1 l =7 m
Az első saját körfrekvencia: a α1 = (1⋅ π ) = 723,38 ⋅ 3,141 l rad . α1 = 2272 s Az első rezgéskép: x⎞ ⎛ Φ1 = Φ1 ( x ) = sin ⎜1⋅π ⎟ l⎠ ⎝ A peremfeltételek az x = 0 és x = l helyen : 0⎞ ⎛ Φ1 = Φ1 ( 0 ) = sin ⎜1⋅π ⎟ = 0 , l⎠ ⎝ l⎞ ⎛ Φ1 = Φ1 ( l ) = sin ⎜ 1 ⋅ π ⎟ = 0 . l⎠ ⎝
A rezgésképen a függvényértékek az elmozdulások nagyságát, a nyilak pedig az x tengely irányú elmozdulások irányát szemléltetik.
2
i=2 - második saját körfrekvencia, második rezgéskép: Φ2 1,0 0,5
+
0
x -
−0,5
−1 l =7 m
A második saját körfrekvencia: v α2 = l ( 2 ⋅ π ) = 723,38 ⋅ 6, 282 l rad . α 2 = 4544 s A második rezgéskép: x⎞ ⎛ Φ 2 = Φ 2 ( x ) = sin ⎜ 2 ⋅ π ⎟ l⎠ ⎝ Peremfeltételek az x = 0 és x = l helyen: 0⎞ ⎛ Φ 2 = Φ 2 ( 0 ) = sin ⎜ 2 ⋅ π ⎟ = 0 , l⎠ ⎝ l⎞ ⎛ Φ 2 = Φ 2 ( l ) = sin ⎜ 2 ⋅π ⎟ = 0 . l⎠ ⎝
i=3 - harmadik saját körfrekvencia, harmadik rezgéskép: Φ3 1,0 0,5
+
+
0
x -
−0,5
−1 l =7 m
A harmadik saját körfrekvencia: v α3 = l ( 3 ⋅ π ) = 723,38 ⋅ 9, 423 l rad . α 3 = 6816 s A harmadik rezgéskép: x⎞ ⎛ Φ3 = Φ3 ( x ) = sin ⎜ 3 ⋅ π ⎟ l⎠ ⎝ Peremfeltételek az x = 0 és x = l helyen: 0⎞ ⎛ Φ3 = Φ3 ( 0) = sin ⎜ 3 ⋅π ⎟ = 0 , l⎠ ⎝ l⎞ ⎛ Φ 3 = Φ 3 ( l ) = sin ⎜ 3 ⋅ π ⎟ = 0 . l⎠ ⎝
3
15. feladat: Befalazott kör keresztmetszetű rúd torziós rezgései (kontinuum modell) y
Adott: az egyik végén befalazott kör keresztmetszetű, l hosszúságú rúd anyaga és geometriája.
IP , G
ϕ ( x,t ) K
l = 10 m , ρ = 8000 kg/m 3 , G = 80000 MPa .
z S x
x =0
l
x
Feladat: a) A torziós (csavaró) kontinuum-rezgések differenciálegyenletének megoldása. b) A rúd első három sajátfrekvenciájának és a hozzájuk tartozó rezgésképeknek a meghatározása.
x=l
Kidolgozás: a) A torziós (csavaró) kontinuum-rezgések differenciálegyenletének megoldása: ∂ 2ϕ G ∂ 2ϕ 2 ∂ 2ϕ A torziós kontiuum-rezgés mozgásegyenlete: . = =b ∂t 2 ρ ∂x 2 ∂x 2 A differenciálegyenletben ϕ = ϕ ( x, t ) a rúd K keresztmetszetének x tengely körüli szögelfordulása. A megoldást Fourier módszerrel egy, csak a helykoordinátától függő Φ ( x) és egy, csak az időtől függő T (t ) függvény szorzatának alakjában keressük: ⎡ ⎛α ⎞ ⎛ α ⎞⎤ ϕ ( x, t ) = ⎢ D1 cos ⎜ x ⎟ + D2 sin ⎜ x ⎟ ⎥ ⎡⎣cos (α t + ε ) ⎤⎦ = Φ ( x ) T ( t ) . ⎝b ⎠ ⎝ b ⎠⎦ ⎣ A megoldásban szereplő D1 , D 2 állandók a rúd két végére felírt peremfeltételekből határozható meg: Az x = 0 helyen a keresztmetszet elmozdulása: u ( x = 0, t ) = ⎣⎡ D1 ⋅1 + D2 ⋅ 0⎦⎤ ⎣⎡cos (α t + ε ) ⎦⎤ = 0. ⇓ D1 = 0.
Az x = 0 helyen (befalazott rúdvég) a keresztmetszet szögelfordulása: ϕ ( x = 0, t ) = ⎡⎣ D1 ⋅1 + D 2 ⋅ 0 ⎤⎦ cos (α t + ε ) = 0. ⇓ D1 = 0.
Az x = l helyen (szabad rúdvég) a csavaró nyomaték, illetve az ezzel arányos ϑ = M c / I p G fajlagos szögelfordulás: ∂ϕ ( x, t ) 1 α ⎛α ⎞ = ϑ= Mc = D2 cos ⎜ l ⎟ cos (α t + ε ) = 0. IP G N b ∂x x=l ⎝b ⎠ =0 ⇓
⎛α ⎞ D 2 = 0, vagy cos ⎜ l ⎟ = 0 . ⎝b ⎠
4
A D 2 = 0 esetén az ϕ ( x, t ) ≡ 0 megoldást kapnánk, ami számunkra érdektelen (mert azt jelenti, hogy nincs rezgés). Ezért a másik lehetőséget vizsgáljuk meg (ez esetben D 2 értéke tetszőleges): α π ⎛α ⎞ A abban az esetben teljesül, ha cos ⎜ l ⎟ = 0 l = + ( i − 1) π , ahol b 2 ⎝b ⎠ (i = 0,1, 2,3, .... , ∞) . Ebből a feltételből kapjuk a csavaró kontinuum-rezgés saját körfrekvenciáit: b ⎡π ⎤ 1 G ⎡π ⎤ + ( i − 1) π ⎥ , αi = ⎢ + ( i − 1) π ⎥ = (i = 1, 2,3, ..... , ∞). ⎢ l ⎣2 ⎦ l ρ ⎣2 ⎦ b) A rúd első három sajátfrekvenciájának és a hozzájuk tartozó rezgésképeknek a meghatározása és megrajzolása: 8 ⋅1010 = 3162, 7 m/s állandó fizikai jelentése: a ρ 8000 csavaró rezgés (rezgéshullám) terjedési sebessége a rúdban. ⎛α ⎞ A rezgésképeket a Φ = Φ ( x ) függvény ábrázolásával kapjuk: Φ i = Φ i ( x ) = D2 sin ⎜ i x ⎟ . ⎝b ⎠ Legyen a továbbiakban D 2 = 1 .
Az összefüggésben szereplő b =
G
=
i=1 - első saját körfrekvencia, első rezgéskép: Φ1
Az első saját körfrekvencia: b ⎡π ⎤ bπ α1 = ⎢ + (1 − 1) π ⎥ = l ⎣2 ⎦ l 2 3162 3,141 rad α1 = = 496,5 . 10 2 s
1,0 0,5
+ 0
x
−0,5
−1 l = 10 m
Az első rezgéskép: ⎛ ⎡π ⎤ x⎞ Φ1 = sin ⎜ ⎢ + (1 − 1) π ⎥ ⎟ ⎦l⎠ ⎝⎣2 Jellemző értékek az x = 0 és x = l helyen: ⎛π ⎞ Φ1 = Φ1 ( 0 ) = sin ⎜ ⋅ 0 ⎟ = 0, ⎝2 ⎠ ⎛π l ⎞ Φ1 = Φ1 ( l ) = sin ⎜ ⋅ ⎟ =1. ⎝2 l⎠
A rezgésképen a függvényértékek a szögelfordulás nagyságát, a nyilak pedig azt szemléltetik, hogy az x tengely körüli szögelfordulásról van szó. A nyilak iránya a szögelfordulás irányát adja meg.
5
i=2 - második saját körfrekvencia, második rezgéskép: Φ2
A második saját körfrekvencia: b ⎡π ⎤ b 3π α 2 = ⎢ + ( 2 − 1) π ⎥ = l ⎣2 ⎦ l 2 3162 3 ⋅ 3,141 rad α2 = = 1490 . 10 2 s
1,0 0,5
+
0
x -
A második rezgéskép: ⎛ ⎡π ⎤ x⎞ Φ 2 = sin ⎜ ⎢ + ( 2 − 1) π ⎥ ⎟ ⎦l⎠ ⎝⎣2 Jellemző értékek az x = 0 és x = l helyen: ⎛ 3π ⎞ Φ2 = Φ2 ( 0) = sin ⎜ ⋅ 0 ⎟ = 0, ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3π ⎞ Φ 2 = Φ 2 ( l ) = sin ⎜ ⋅1⎟ = − 1. ⎝ 2 ⎠
−0,5
−1 l = 10 m
i=3 - harmadik saját körfrekvencia, harmadik rezgéskép: Φ3
A harmadik saját körfrekvencia: b ⎡π ⎤ b 5π α3 = ⎢ + ( 3 − 1) π ⎥ = l ⎣2 ⎦ l 2 3162 5 ⋅ 3,141 rad α3 = = 2483 . 10 2 s
1,0
0,5
+
+
0 −0,5
x -
−1 l = 10 m
A harmadik rezgéskép: ⎛ ⎡π ⎤ x⎞ Φ 3 = sin ⎜ ⎢ + ( 3 − 1) π ⎥ ⎟ ⎦l⎠ ⎝⎣2 Jellemző értékek az x = 0 és x = l helyen: ⎛ 5π ⎞ Φ3 = Φ3 ( 0 ) = sin ⎜ ⋅0⎟ = 0 , ⎝ 2 ⎠ ⎛ 5π ⎞ Φ3 = Φ3 ( l ) = sin ⎜ ⋅1⎟ =1. ⎝ 2 ⎠
6
16. feladat: Befalazott kör keresztmetszetű rúd torziós rezgései (kontinuum modell) y
IP , G
ϕ ( x, t )
Adott: az egyik végén befalazott kör keresztmetszetű, l hosszúságú rúd anyaga és geometriája.
K
l = 10 m , ρ = 8000 kg/m 3 , G = 80000 MPa .
S S
z
S
x x =0
x l
Feladat: a) A torziós (csavaró) kontinuum-rezgések differenciálegyenletének megoldása. b) A rúd első három sajátfrekvenciájának és a hozzájuk tartozó rezgésképeknek a meghatározása.
x=l
Kidolgozás: a) A torziós (csavaró) kontinuum-rezgések differenciálegyenletének megoldása: ∂ 2ϕ G ∂ 2ϕ 2 ∂ 2ϕ A torziós kontiuum-rezgés mozgásegyenlete: . = =b ∂t 2 ρ ∂x 2 ∂x 2 A differenciálegyenletben ϕ = ϕ ( x, t ) a rúd K keresztmetszetének x tengely körüli szögelfordulása. A megoldást Fourier módszerrel egy, csak a helykoordinátától függő Φ ( x) és egy, csak az időtől függő T (t ) függvény szorzatának alakjában keressük: ⎡ ⎛α ⎞ ⎛ α ⎞⎤ ϕ ( x, t ) = ⎢ D1 cos ⎜ x ⎟ + D2 sin ⎜ x ⎟ ⎥ ⎡⎣cos (α t + ε ) ⎤⎦ = Φ ( x ) T ( t ) . ⎝b ⎠ ⎝ b ⎠⎦ ⎣ A megoldásban szereplő D1 , D 2 állandók a rúd két végére felírt peremfeltételekből határozható meg: Az x = 0 helyen (szabad rúdvég) a csavaró nyomaték, illetve az ezzel arányos ϑ = M c / I p G fajlagos szögelfordulás: ∂ϕ ( x, t ) 1 α ⎛α ⎞ = ϑ= Mc = D2 cos ⎜ ⋅ 0 ⎟ cos (α t + ε ) = 0. ∂x x =0 IP G N b ⎝b ⎠ =0 ⇓ D 2 = 0.
Az x = l helyen (befalazott rúdvég) a keresztmetszet szögelfordulása: ⎡ ⎛ α ⎞⎤ ϕ ( x = 0, t ) = ⎢ D1 cos ⎜ l ⎟ ⎥ cos (α t + ε ) = 0. ⎝ b ⎠⎦ ⎣ ⇓ ⎛α ⎞ D1 = 0 , vagy cos ⎜ l ⎟ = 0 . ⎝b ⎠ A D1 = 0 esetén az ϕ ( x, t ) ≡ 0 megoldást kapnánk, ami számunkra érdektelen (mert azt jelenti, hogy nincs rezgés). Ezért a másik lehetőséget vizsgáljuk meg (ez esetben D1 értéke tetszőleges):
7
⎛α ⎞ abban cos ⎜ l ⎟ = 0 ⎝b ⎠ (i = 0,1, 2,3, .... , ∞) .
A
az
esetben
teljesül,
ha
α b
l=
π 2
+ ( i − 1) π ,
ahol
Ebből a feltételből kapjuk a csavaró kontinuum-rezgés saját körfrekvenciáit: b ⎡π ⎤ 1 G ⎡π ⎤ + ( i − 1) π ⎥ , αi = ⎢ + ( i − 1) π ⎥ = (i = 1, 2,3, ..... , ∞). ⎢ l ⎣2 ⎦ l ρ ⎣2 ⎦ b) A rúd első három sajátfrekvenciájának és a hozzájuk tartozó rezgésképeknek a meghatározása és megrajzolása: 8 ⋅1010 = 3162, 7 m/s állandó fizikai jelentése: a ρ 8000 csavaró rezgés (rezgéshullám) terjedési sebessége a rúdban. ⎛α ⎞ A rezgésképeket a Φ = Φ ( x ) függvény ábrázolásával kapjuk: Φi = Φi ( x ) = D1 cos ⎜ i x ⎟ . ⎝b ⎠ Legyen a továbbiakban D1 = 1 .
Az összefüggésben szereplő b =
G
=
i=1 - első saját körfrekvencia, első rezgéskép: Φ1
Az első saját körfrekvencia b ⎡π ⎤ bπ α1 = ⎢ + (1 − 1) π ⎥ = l ⎣2 ⎦ l 2 3162 3,141 rad α1 = = 496,5 . 10 2 s
1,0 0,5 + 0
x
−0,5
−1 l = 10 m
Az első rezgéskép: ⎛ ⎡π ⎤ x⎞ Φ1 = cos ⎜ ⎢ + (1 − 1) π ⎥ ⎟ . ⎦l⎠ ⎝⎣2 Jellemző értékek az x = 0 és x = l helyen: ⎛π ⎞ Φ1 = Φ1 ( 0 ) = cos ⎜ ⋅ 0 ⎟ =1 , ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ Φ1 = Φ1 ( l ) = cos ⎜ ⋅1⎟ = 0. ⎝2 ⎠
A rezgésképen a függvényértékek a szögelfordulás nagyságát, a nyilak pedig azt szemléltetik, hogy az x tengely körüli szögelfordulásról van szó. A nyilak iránya a szögelfordulás irányát adja meg.
8
i=2 - második saját körfrekvencia, második rezgéskép: Φ2
A második saját körfrekvencia: b ⎡π ⎤ b 3π α 2 = ⎢ + ( 2 − 1) π ⎥ = l ⎣2 ⎦ l 2 3162 3 ⋅ 3,141 rad α2 = = 1490 . 10 2 s
1,0 0,5 + 0
x −
A második rezgéskép: ⎛ ⎡π ⎤ x⎞ Φ 2 = cos ⎜ ⎢ + ( 2 − 1) π ⎥ ⎟ . ⎦l⎠ ⎝⎣2 Jellemző értékek az x = 0 és x = l helyen: ⎛ 3π ⎞ Φ 2 = Φ 2 ( 0 ) = cos ⎜ ⋅ 0 ⎟ =1 , ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3π ⎞ Φ 2 = Φ 2 ( l ) = cos ⎜ ⋅1⎟ = 0. ⎝ 2 ⎠
−0,5
−1 l = 10 m
i=3 - harmadik saját körfrekvencia, harmadik rezgéskép: Φ3
A harmadik saját körfrekvencia: b ⎡π ⎤ b 5π α3 = ⎢ + ( 3 − 1) π ⎥ = l ⎣2 ⎦ l 2 3162 5 ⋅ 3,141 rad α3 = = 2483 . 10 2 s
1,0 0,5 +
+ 0
− −0,5
−1 l = 10 m
x
A harmadik rezgéskép: ⎛ ⎡π ⎤ x⎞ Φ 3 = cos ⎜ ⎢ + ( 3 − 1) π ⎥ ⎟ . ⎦l⎠ ⎝⎣ 2 Jellemző értékek az x = 0 és x = l helyen: ⎛ 5π ⎞ Φ3 = Φ3 ( 0) = cos ⎜ ⋅ 0 ⎟ =1 , ⎝ 2 ⎠ ⎛ 5π ⎞ Φ3 = Φ3 ( l ) = cos ⎜ ⋅1⎟ = 0. ⎝ 2 ⎠
9
